Оптимальное управление конфликтно взаимодействующими экономическими системами тема диссертации по экономике, полный текст автореферата

Ученая степень
доктора физико-математических наук
Автор
Малюков, Владимир Павлович
Место защиты
Москва
Год
1994
Шифр ВАК РФ
08.00.13
Диссертации нет :(

Автореферат диссертации по теме "Оптимальное управление конфликтно взаимодействующими экономическими системами"

РГ6 од 1 8 ДПР 1994

российская академия наук

центральный экономико-математический институт

На правах рукописи

малкжов владимир павлович

оптимальное управление конфликтно взаимодействующими экономическими системами

08.00.13 - экономике - математические методы

А в т о р р ф п р т т диссертации на соискание ученой стрпени доктора физико - математических наук

Москва - 1994

Работа выполнена в Центральном акономико-математическом институте РАН.

Научный консультант : доктор экономических наук,

профессор Дадаян B.C.

Официальные оппоненты : доктор физико-^датоматичоских наук,

профессор лшмзног. с.А. доктор технических наук. Мослов Е.П.

доктор физико -матмг.Ш'ИЧчскпх наук, про,рессор Петросял Л.Л.

Зодущая организация : Киевский государсп-.иший университет

им.Т.Г.Шевченко

Защита диссертации состоится "[ь_" и^аЛ _ . ____1994 г.

в часок па заседании Смециализнровмнногс совета 11002.27.02 и Ц«-нтрал1.ни/ акономико -матемагическом институте РАН Ли а,№су : МЛИб г.Москва, ул.Красикова 32, ЩМИ РАН.

С дис'.'иртациой мола ю познакомиться в библиотеке ц:-мм РАН.

Дыоре'^рат разослан ^ " ______1994 г.

.Ученый секретарь ■'.^'•циалиапрованного совета г.П1!.'11:Д'1Т Физико-математических наук

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы.В последнее время, в сеязи с событиями, произошедшими в обществе, такими как, восстановление и приобретение суверенитета бывшими республиками СССР, и вследствие этого , появления независимой политической, экономической и военной стратегии новых государств, вопросы экономического взаимодействия мевду республиками бывшего Союза приобретают, в силу определенных обстоятельств, первостепенное значение. Кроме того, не теряют своей актуальности, вопросы экономического взаимодействия с традиционными партнерами на международной арене. Этот, далеко не полный, перечень существующих е жизни проблем,со всей очевидностью указывает на необходимость создания информационного, научного и другого обеспечения для пиработки рекомендаций в процессе принятия решений по стрптогически важным вопросам. В научном же обеспечении процосса принятия решений большую роль играет разработка математического инструментария для■ экономических исследований, и в частности, для исследования экономического взаимодействия между государствами. Экономическое взаимодействие может носить как дружественный, так и антагонистический характер. Последнее может иметь место, в ситуациях, когда в ряде случаев,вследствии, не обязательно, целенаправленной политики, принимается стратегия, наносящая ущерб государству-партнеру, например с экологической точки зрения. И, кроме того - ео взаимодействиях, где, наряду с чисто экономическими, присутствуют военные аспекты. Эти аспекты, являщиеся предметом переговоров , обусловлены совокупностью одновременно протекающих процессов разоружения, сокращения вооружений, конверсии Еоенной экономики и создания современных видов вооружений, необходимых для поддержания военного паритета.Создание математического инструментария, нахождение соответствующей математической формализации, в рамках которой правомочна постановка задачи о нахождении оптимального управления экономическими системами, находящимися в конфликте,

представляет большой интерос и с теоретико - познавательной точки зрений.

Подтверждением этому является интерес к математической экономике, теории моделей экономической динамики и теории игр, предоставивших свой аппарат для исследования данной проблемы, со стороны авторитетных, известных ученых, как у нас в стране, так и за рубежом. А именно, значительный вклад в развитие математической экономики, математической теории моделей экономической динамики, которые моделируют экономические системы, участвующие во взаимодействии, внесли авторы этих моделей В.Леонтьев, Дж.фон Нейман, Д.Гейл, а также Л.В.Канторович, В.Л.Макаров, С.А.Ашманов, А.М.Рубинов, В.О.Дадаян, В.М.Полтерович, Мак-Кензи, М.Моришима, Х.Никайдо и другие.

Проблеме оптимального управления игроков при их различной информированности в многошаговых и дифференциальных играх, в рамках которых исследуется конфликтное взаимодействие между экономическими системами, также посвящено большое число работ, в частности, работы Н.Н.Красовского, Л.С.Понтрягина, А.И.Субботина, Ю.С.Осипова, Н.Н.Воробьева, Ф.Л.Черноусько, Л.А.Петросяна, Е.П.Маслова, А.А.Чикрия, А.Ф.Кононенко, И.А.Полетаева, С.И.Ляшко, М.А.Красса, Е.П.Волокитина, М.А.Мухсинова, Г.У.Куна, Р.Дж.Аумана.Р.Айзекса и других.

Все вышеизложенное позволяет заключить, что проблема нахождения оптимального управления конфликтно взаимодействующими экономическими системами является актуальной. Цель работы. Целью работы является нахождение оптимального управления" конфликтно взаимодействующими экономическими системами.

ручная новизна и практическая ценность. В работе получены

найдено решение многошаговой игры качества двух групп окопомичееких систем с полной информацией;

доказано существование оптимальных смешанных стратегий в н. к./горых бесконечных антагонистических играх с разрывными !!:• иням:: [¡латы, для которых развиты методы доминирования;

- доказано существование оптимальных смешанных стратегий в динамических играх с предписанной продолжительностью, е которых множества управлений зависят от состояний игры;

- доказано существование оптимальных смешанных стратегий в задаче о конфликтном взаимодействии моделей Нвймана;

- решены задачи о конфликтном взаимодействии экономических систем с неполной информацией( в стохастическом варианте ) для случаев поочередного и одновременного взаимодействий;

- в случае поочередного взаимодействия найдено решение игры с использованием процедуры получения дополнительной информации;

предложен конструктивный метод решения билинейных дифференциальных игр качества двух групп обьектоЕ с полной информацией;

- найдено решение дифференциальной игры качества двух групп экономических систем;

- разработаны алгоритмы реализации оптимальных стратегий управления конфликтно взаимодействующими экономическими системами, запрограммированные на языке " Фортран-77 " Результаты исследований использованы в договоре Л 1041, заказ А 1443, тема " Исследования по обоснованию перспектив развития технических систем

Полученные в работе результаты являются новыми. Лппробация работы. Основные результаты и отдельные разделы диссертационной работы докладывались на 4 Всесоюзной конференции по проблемам теоретической кибернетики ( Новосибирск, 1977 ), на Международной конференции "Стохастическая оптимизация" ( Киев, 1984 ), на 7 Всесоюзной конференции " Проблемы теоретической кибернетики "( Иркутск, 1985 ), на Мевдународном научном семинаре стран - членов СЭВ " Основные направления математического моделирования экономических процессов, их математическое и программное обеспечение " ( Москва, 1985 ), на Международном советско-польском семинаре н Математические методы оптимального управления и их приложения " ( Минск, 1989 ), на 3 Всесоюзной школе " Понтрягинские чтения " ( Кемерово, 1990 ), на семинарах Института математики СО РАН ,

Новосибирского государственного университета , Института кибернетики им.академика В.М.Глушкова АН Украины, Киевского государственного университета им. Т.Г.Шевченко, Института социально-экономических проблем АН РАН ( Санкт-Петербург ), Вычислительного центра РАН , Института США и Канады РАН, Центрального экономико-математического института РАН.

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 21 статья.

Обьем и структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, четырех приложений,списка литературы ( 90 наименований ). Работа изложена на 316 страницах машинописного текста, содержит три таблицы.

Основное содержание работы

Во введении отмечается актуальность проблематики, связанной с изучением взаимодействия экономических систем, находящихся в конфликте, возможностью их оптимального управления. Приводится круг исследований, к которому примыкает данная работа.

Сформулируем постановку задачи о конфликтном взаимодействии экономических систем, функционирущих как в дискретные моменты времени, так и непрерывно во времени. Обозначим 2я - множество выпуклых замкнутых ограниченных подмножеств вР^= ( I : хсИ" , х > О >, Л* = { 0,1,...}; К,М - натуральные числа, А - некоторое разбиение полуоси 0 < г < +ш системой полуинтервалов т^ < г < х , 1 =0,1,..., т0 = о, 0а = тд = i v v...). иусть е € »

тогда е ) = { х : х е Нп , х > £ }.

1. Модель конфликтного взаимодействия экономических систем, функционирующих в дискретные моменты Еремени

Имеются дав группы экономических систем К,,... и ИЦ,...,!!^, управляемых соответственно игроками ? и

Каждая экономическая система перЕой ( второй )

группы описывается моделью экономической динамики тнич Нейманз-ТейЛа, определяемой своим технологическим отображением а1( а^ ). Напомним, что технологическое отображение а модели экономической динамики есть отображение из К" во множество 2П , обладающее следующими свойствами : а) а(0) = (0);

(3) а(Л.х + (1-А)уЪ Ая(х) + (1 -Л.)а(у) для 0 < Л. < 1; 7) если хп —> х, уп —> у, уп е а(хп), то у е а(х): Свойство 7 называется свойством полунепрерывности сверху по Какутани отображения а(.). Вектор .х - ( х1,...,хп') с К" называется вектором состояния или состоянием модели; 1-я компонента - 1-м продуктом. Технологическое отображение показывает, в какие состояния может попасть модель за один шаг ( плановый период ), если ее начальное состояние есть х.

Задаются две группы матриц Б Б^ ( 1=1.....К; 3=1.....М )

порядка п с неотрицательными элементами : ( Б ^ ) -

матрица воздействия 1-ой ( 3-ой ) экономической системы первой ( второй ) группы на 3-ю ( 1-ю ) экономическую систему второй ( первой ) группы. А также две группы векторов минимального благосостояния (безопасности) е|, е^ : е^ « Н", е^ е Н". Вступая во взаимодействие Рх( ) -й

игрок имеет в момент времени тк информацию ) (

и (т; т )), получаемую с задержкой во времени А. . ( Д, =• ),

Л к д. ^

равной Считается, что V гт е Тд информация

иЛ) (тт)) является элементом некоторого множества и1( и^) называемого информационным пространством Р^Ъ^-го

игрока. Имеются отображения Ь1(Ь^) : и1(и^)-->2п,

определяемые с помощью технологического отображения а1(а^),

и показывающие выпуск 1-ой ( 3-ой ) модели в зависимости от

информации - го игрока. Предполагается, что игроки

начинают припадать свои решения с момента т1 (Тг ), т.е

1 3

^ 1 ( ¿к 5 ) - означает не только задержку в получении

информации, но и задержку во времени принятия решения. Пусть ((х, (тк),...,хт(гк)),у1(тк),...,ук(тк)) -.состояния моделей

экономической динамики первой и второй группы в момент т;к. Взаимодействие проходит следующим образом : Р ^(Ъ ^) - й игрок, имея информацию ^(т^ Ни^^-х )) в момент времени

выбирает из множества Ь^и^т^ ))( ))),

показывающего выпуск 1(Л)-ой модели в момент_ тк вектор

Ь.дист., г ))), который из соображений игрового характера распределяет на два вектора - вектор «^(^к-х ^ *

))), предназначенный для взаимодействия с моделями второй ( первой ) группы, и вектор

остающийся для дальнейшего

функционирования КЗ)-ой модели. Тогда состояния моделей в момент времени тк+1 определяются из соотношений :

мм м

(

О )

У, 'V, >=<' <(хк-1,'VI, »"Л(VI, ■

i (т " ^-ч1 Т (т .11 (т п- я1 г 'т .и :'г ■ !

М (Хк-1, ' ' 1 1 к к-1, ,и1 к 1к"! , П • *°1М\\Г 'к- 1,/ М к !„

, II 'Л М

Если окажется, что состояние хотя бы одной модели из второй группы в момент гк+1 таково, что нарушено люг-.ж из соотношений :

V (х ) > ег-. Ь (II (т - )) м К"'1:'") ^ о (,';

■ .г КМ I ' - з 3 3 кМ-1 " " и '

при условии, что состояния всех моделей первой группы удовлетворяют ограничениям :

х1(тк+1) > М^к^-ц» П Я4п(ф , 0 (3)

тс Зудем говорить, что первая группа экономических систем ( игроки, управляющие первой группой экономических систем "> достигла ; достигли ) своей цели в момент времени ъ, в конфликтном Г.?аЯМОД<?йСТШ! со второй группой 0к01пчич':'ских систем и взаимодействие окончено.

Аналогично определяется достижение своей це.пи второй группой экономических си.-тем.

К"ли --¡кажется, что в момент времени нарушается и

условие (2), и условие с3;, то обо груигш экономических систем не достигли своих целой в конфликте и взаимодействие окончено.

Если же в момент времени тк+1 выполняется и (2) и (3), то взаимодействие продолжается дальше.

Вектор (х^О).....хм(0),.у1(0),...,ук(0)) называется

началышм состоянием игры, если он удовлетворяет (2),(3) при то-0. Введем

Определение 1. Чистой стратегией Р -го игрока из первой группы называется пара функций (Ф1.Г1) Ф. : Тдхи1 —Г±

: таких, что Ф1(\_1 '"Л-х п е Ь1(и1(,1:к-1

Набор функций ((ф1,Г1),...,(<р^,Гм)) - называется чистой стратегией первой группы экономических систем.

Чистая стратегия Ь^-го игрока и второй группы экономических систем определяется таким же образом.

Игрокам, управляющим первой группой экономических систем, требуется найти совокупность начальных состояний

игры (х1 (0).....хм(0),у1(0).....ук(0)) для которых

существует чистая стратегия первой группы экономических

систем ((ф*,Г*).....«£.*£)) такая, что при любых

реализациях чистых стратегий ((ф1,^,).....(Фк>^к)) второй

группы экономических систем, первая группа могла гарантировать себе достижение цели до некоторого момента

времени т +ш . *

Стратегия ((ф*,Г*),..., (ф^Д*)) первой группы экономических систем называется оптимальной, а множество начальных состояний, удовлетворяющих указанному свойству -множеством оптимальности первой группы экономических систем.

Аналогично ставится задача с точки зрения второй группы экономических систем. По классификации теории игр такая модель конфликтного взаимодействия является многошаговой игрой качества двух групп обьектов.

Наряду с поставленной задачей, рассматривается также следующая постановка. Динамика взаимодействия определяется соотношениями (1), задается функция платы К : ип(к+м)—-> н, фиксируется время окончания взаимодействия гк = 1к .

Условия (2),(3) игнорируются. Первая группа экономических систем стремится максимизировать величину

).....хм(т:к ),У1(\ ),...,УК(хк )), вторая

мишмизировать.

отметим, что исследование задач о конфликтном взаимодействии экономических систем, фукционирующих

дискретно во времени, проводилось в работах И.А.Полетаева, И.А.Красса, Е.П.Волокитина и других. В частности, автором и инициатором исследования таких задач, И.А.Полетаевым рассматривалось конфликтное взаимодействие двух однопродуктовых моделей экономической динамики леонтьевского типа, с дискриминацией второго игрока. Им было показано, что все пространство начальных состояний разбилось на два множества таким образом, что если игра начинается из состояний, принадлежащих одному множеству, то существует оптимальная стратегия у одного игрока, если начинается из начальных состояний, принадлежащих другому множеству, то существует оптимальная стратегия у другого игрока.

2. Модель конфликтного взаимодействия экономических систем, функционирующих непрерывно во времени.

Предположим, что информационные пространства_ игроков : и^и^^хК^; информацию и1<\-1 )

игроки получают без задержки во времени, т.е. , =А. 7 =0,

при этом и1(тт)=и^(тт) = (X,.....хи,у1.....Ук). Получим

модель конфликтного взаимодействия экономических систем, функционирующих непрерывно во времени, задавая динамику следующей системой дифференциальных уравнений :

х, т=-х, т-кр, а.и, ап-г, с г. и1 и.^т)-..^^

у, (t)=-y, (г)+ф1 (t.u, (t))-^ (t.u, (tjbs^r, (t.a, et)>-.-s^MrM

(t,UM(t)),

yK(t)=-yK(t)+<i>K(t>UK(t))-iK(t,UK(t))-S^f1(t,U1(t))-..-S^fM

(t.iyt));

Как и в дискретном случае, определяется достижение цели первой ( второй ) группой, с помощью ниже приведенных условий (2*), (3*) вместо условий (2), (3) соответственно :

y^t) е int R"(£j), bj(U (t)) n int Rr+'(8j) я 0 (2*)

xi(t) e Int , Ь^Ш) n int H"(e|) * о (3*)

Чистые стратегии игроков и групп определяются аналогично дискретному случаю с учетом того, что вместо Тд рассматривается Т = ( t : О < t < +oü > и ф1(t.U^C t)) ( Ф (t,Uj(t))) е Int Н"(е|) ( Int ) ). Пусть игроки

первой группы выбрали свои стратегии, а второй группы -некоторые реализации своих стратегий, е предположении, что для каждого J - и^Ш-любая информация, которая может, в частности, включать и информацию о стратегии первой группы-союзницы. Это означает, что задача формализуется в рамках схемы позиционной дифференциальной игры, введенной Н.Н.Красовским. Кроме этого, считаем заданной начальную позицию (.0,(х1 (0),...,хы(0),у1 (0),..., Ум(0)). Рассмотрим дискретный аналог системы дифференциальных уравнений (1*) при некотором заданном разбиении А полуоси 0 < t < +<», т.е. систему дискретных уравнений (1). Введем определения.

определение 2. Ломаной Эйлера будем называть кусочно-

линейную функцию (х^Ш.....x£[t],y^[t],....y£[t])

U^u.O.u, №).....Ук(0)),((Ф, Ы.Г, (•)).....(фм(.),Гм(.)),

^ЛП.Г, U>),..., (фки),Гки.)))],..., y£[t, 0, (х^0),...,ук(

0)),( (ф, (.), f,(.))..... (фм(.).1м(.)).((ф,(г)л1 (д)).....fp[,i

t),fK(t)))J : R+—>R(M+K)n вида (xf(x).....=

t(xj(xk+1).....y£<Vl))+(1"t)(xi(V.....:4(\y>> *'к>х :

k=0,1,...,T=ttk+1+(1-t)Tk, то=0,0 < t < 1.

Определение 3. Движением (x1 [ t ].....укШ)

(х,П;,0, (X, (0).....Ук(0)),((Ф, (.).*, (•)).....(Фм(.),у.))),

.,yK[t,0,(X1 (0).....Ук(0)),((ф, (.).£,(.)).....(фм(.),гм(.)))

], пороаденным стратегией ((ф1 (. ),Г, (.)).....(фм(.)Дм(.)))

из позиции (х1(0),...,ук(0)) называется, любая функция

(х1 [t].....у [t]), для которой, на всяком отрезке 0 < t < е

А,

найдется последовательность ломаных Эйлера (х,t,0,(х,(0),

...,Ук(0)),((ф1 (.КГ^.)).....(фм(.),Гм(.)), ((<f$(t),t*(t)).

...,(^(t),i£(t)))l.....yKklt,0, (X1 (0).....ук(0)),((ф1 (.),г1

(.)).....{CFri(.).fM(.)).((^(t),f^(t)),...,(^(t),r^(t)M]

равномерно сходящаяся к (х1[t],.,у tt]) на отрезке 0 < t < 9 при условии

\ ч

Ilm sup (т...-T. ) = О k~>oe 1 1,1

Тогда задача для непрерывного случая формулируется следующим образом. Игрокам, управляющим первой группой экономических систем, требуется найти совокупность начальных

состояний игры (х,(0).....хм(0),у1(0).....Ук(0)) для которых

существует чистая стратегия первой группы экономических систем ((ф*,Г*)....,(ф*,Г*)) такая, что при любых движениях (х [t],...,yR[tl), порожденных данной стратегией, из данного начального состояния, первая группа могла гарантировать себе достижение цели до некоторого момента

Т.к< +00 .

Стратегия ((ф*,Г*).....(<Рм'гм^ первой группы

экономических систем называется оптимальной, а множество начальных состояний, удовлетворяющих указанному свойству -множеством оптимальности первой группы экономических систем. Аналогично ставится задача с точки зрения второй группы

экономических систем. По классификации теории игр такую модель конфликтного взаимодействия экономических систем, функционирующих непрерывно во времени можно назвать позиционной дифференциальной игрой качества с несколькими терминальными множествами.

Дифференциальные игры, описывающие конфликтное взаимодействие экономических систем, функционирующих непрерывно во времени, рассматривались И.А.Крассом, Е.П.Волокитиным, М.А.Мухсиновым, А.Н.Ляпуновым и другими авторами.

В первой главе рассматривается решение многошаговых игр качества экономических систем с полной информацией.

В разделе 1.1. рассматривается задача о

конфликтном взаимодействии двух однопродуктовых экономических систем. В рамках схемы задачи о конфликтном

взаимодействии экономических систем этой игре

соответствуют следующие предположения :К = М = 1,п=1,11

= 11 = 0, и1 СЬЫКЮ.уШ), 1^(1:) - любое множество, 11,(1;)

с и, и = Н+ х 11,(1;) с и1, и, - любое множество,

Ь, (и, (г)) = а,(х(1:)), Ь1(и1(1))=а1(у(г)), а, (Х)={ у : у е

У < а х, а,>0 }, а, (х)=1 у : у £ К+, у < агх, а2>0 }, е1 - £г = о.

Исходное взаимодействие исследуется в рамках позиционной многошаговой игры качества с полной информацией. Это означает, что определяются две задачи : первого игрока-союзника и второго игрока-союзника. В каждой задаче игрок-союзник применяет позиционные стратегии.

Цель первого ( второго ) игрока-союзника состоит в построении его множеств (¡^ ( ) оптимальности для

любого Т=1,2,___, а также нахождении его оптимальных

стратегий.

В данном разделе решается задача с течи? зрения первого игрока-союзника. Задача с точки зрения второго игрока-союзника решается аналогично.

Решение задачи с точки зрения первого игрока-союзника было найдено при всех соотношениях параметров игры с помощью леммы 1.1.Чтобы ее сформулировать обозначим через ^ величину :

з а з 31а13^

1+э,э_—1-1-ь , т.е. к.= 1+9,3,- --¡-1-ь , 1=0,1,...;

1 2 <^-1 анк1-1

к_1=0, кдИ+з^ . Справедлива лемма 1.1.

Лемма 1.1. При оц >аг 3 N е N :

а а,

э) з з < 1, к > 1=0,...,N-1; 1с <

а ' а

б) 3^2 > 1, к >3,3 -1, 1=0,...,N-1; < 3,3., --.

о^ а.

2

(

Если N=0 , то условия леммы запишутся соответственно

а а ,

так : < к0 < з^ -1 - ( Здесь N =0,1,... ).

"н а2

о

В разделе 1.2. рассматривается задача о конфликтном

взаимодействии двух многопродуктовых экономических систем. В рамках схемы задата о конфликтном взаимодействии экономических систем этой игре соответствуют такие

предположения :К = М = 1,п>1,1, = = О, (г) = (хСЮ.ут), и,(1;) - любое множество, и^) £ и, II = й" х

и", 11,(1;) е и, и - любое множество, Ь1 (и т)=а, (х(1.));

а,(х) = { у: у е И*, у < В,х }, Ъ, (и, (г))=а, (у(1;)), а,(х) =

{ У : У е у £ Вгх }, е1 = е2 = (0,...,0).

Как и в предыдущем разделе, исходное взаимодействие

исследуется в рамках позиционной многошаговой игры качества с полной информацией. Формулируются две задачи : с точки зрения первого и второго игроков-союзников. В каждой задаче игрок-союзник применяет позиционные стратегии.

Цель первого ( второго ) игрока-союзника состоит в

ф ф

построении его множеств1 НУ, ( ) оптимальности для

любого Т=1,2,..., а также нахождении его оптимальных стратегий.

В разделе 1.2. решается задача с точки зрения первого игрока-союзника. Задача с точки зрения второго игрока-союзника решается аналогично.

Решение задачи с точки зрения первого игрока-союзника было найдено при некоторых соотношениях параметров игры. Для того, чтобы привести результаты раздела введем некоторые обозначения. Обозначим через ИГ следующее множество :

1 * И 1 * +

гп

В^х(О) - 32В2у(0) е }, = { (х(О).у(О)) (В1х(0))1 = (БгВ2у(0))1 >. Далее,обозначим :

э2п

а, , к + ак = ( - ак_,в2)

"к-12

,к,1

1. ( аквг ) = о,

< \В15г

< 'и

. ( аквг )и * 0;

1. ( 8,3, )1к = О,

< Чк

< В,Бг

— , ( В,32 )1к * О;

1 < т < п **-------------------------------------

Мт

< °кВг ^

( акВг >1т * 0 если э т(1): ( С1кВг )1т(1) * О»

+ оо,ут:1^т;:п ( 0кВ2 )1т =0;

шах

1 ^ к $ п

1 и^п

Я* , т* •= 1пГ тк , ( 1 = 1.....п );

«4 = <

<ЧА^г >1»

ш1п

1 $ т ^ п ' °кВ2 0

< <\В2

, 3 т(1):

< °квг >1т(1) * 0:

+ оо , V т: 1 й т ^ п ( 0кВ2 )1т = 0;

ш1 = 1пГ , (1 = 1.....п ),

* к К

Справедлива лемма 1.2.

Л

Лемма 1.2. В области КУ, первый игрок может достигнуть

цели:

л К,

а) за конечное число шагов ( т.е. W, с и w^o <N„<+00),

1 п=1 1

T.i

если lim ( min ( lk )) > 1,при некоторм i: 1 ^ 1 < n;

T->t» 1 ^ k $ n

co

б)по-крайней мере за счетное число шагов ( т.е. W, с и Wlj1 ), если lim t min ( lP:'1 ))=1,при некотором 1: 1 ^ 1 ^ п;

Т->оо 1 $ k $ п

В области W первый игрок может не достигнуть цели за какое-либо число шагов:

в) при sup ( max i min ( 1T•1))) < 1.

T 1 < 1 $ n 1 $ k g n

Прежде, чем сформулировать теорему о решении задачи 1, приведем еще одну лемму. Для этого рассмотрим числовую последовательность:

г = - х —ш------- , где 0 5 г. < 1, 0 < я ^ 1.

О < т <. +оо .

Параметры г,, q, ш могут быть связаны между собой различ!шми условиями. Запишем их:

? - ! -- Ч( - - 1 )2 - 1 < m < \ - 1 + Ч( ! - 1 )г - 1

q ' 1 q 1 q

( это условие (4));

m > - 1 + Ч ( ? - 1 )2 - 1 ; (5) Ч 1 ч

I _, +"\T(T:7~jr:"r, г, * u®

ч i q 1 ■■> ■ < 1

( это условие (6);,

ш < § -1 +"ЧГг"Г)г:Т. ^

ц 14 2 1 4

г, < 1+Ш )2_ S (7)

1 о 1 2 Ч

га « I - 1 Г- 7 7 -"7" , г, ? Л( ГЦ*

4 1 ч 1 2 '

( это условие (8).

Лемма 1.3. Последовательность гп будет монотонно возрастающей, неограниченной сверху при выполнении условия (4); при выполнении (5) или (6) - монотонно возрастающей, имеющей предел а :

а - -ч!( )г~ ш ; при выполнении (7) -2 ' 4

монотонно убывающей, имеющей предел а ; при выполнении

(8) - монотонно возрастающей, неограниченной сверху.

Обозначим г* = min lA'1. Полагаем в условиях (4) -

(8) q = q*ax. i*, = ш = m* при некотором 1, 1 < 1 $ п.

Теорема 1.1. В области W первый игрок может достигнуть цели :

а) за конечное число шагов, при 1 : г| ? О, 0 < q^ax< 1; при 1 : т* > 0, 0 < q^ax < 1 и выполнении одного из условий (4), (5) или (8);

б) по-крайней мере, за счетное число шагов при =1 и выполнении условия (5) или условия (6), в котором = 1 при некотором 1;

А

В области первый игрок может не добиться своей

, л О) п

цели за какое-либо число шагов ( т.е. VII е и И ) :

П=1

в) при т* = О V I = 1,...,п;

г) при т* > 0, при некотором 1 и выполнении условия (6), в котором т* г 1.

Замечание 1.2. Утверждения теоремы 1 будут выполняться при замене в ее условиях величины т* на т*, что может быть полезным и удобным с точки зрения проверки условий теоремы 1.1. в конкретной задаче.

В разделе 1.3. рассматривается задача о конфликтном

взаимодействии двух групп многопродуктовых экономических систем. В рамках схемы задачи о конфликтном взаимодействии экономических систем этой игре соответствуют такие

предположения : М > 1, К > 1, = 1 =0, их(1;) =

(х, (г),...,хы(1),у1 (г).....УК(Ш, и (Ю - любое множество,

и1(г) ё и, и = X й1^, и^г) е и, и - любое множество,

Ь1(и1(г))=а1(х1(г)), а1(х)={ у: уе в^, у < в}х },

Ь^и^г^а^уш), а^(х)={ у : у е й". У < В^х ), е]_ =

(0.....0).

Как и в разделах 1.1. и 1.2..исходное взаимодействие

исследуется в рамках позиционной многошаговой игры качестгл с полной информацией. Формулируются две задачи : п ттпси зрения первой группы-союзницы и второй группы-союзницы.- Р каждой задаче группа-союзница применяет позиционные стратегии.

Цель первой ( второй ) группы-союзницы состоит в построении ее множеств ( ) оптимальности для

любого 11=1,2,..., а также нахождении ее огттимяльных стратегий.

Следует отметить, что в группах возможны различные варианты выбора своих управляющих воздействий игроками. В разделе рассматриваются два крайних случая :

1 ) все игроки в группе выбирают свои управляющие воздействия согласованно.

2) все игроки в группе выбирают свои управляющие воздействия не согласованным образом, т.е. ни с одним из игроков его не согласуй.

В обеих случаях строятся множества оптимальности и находятся оптимальные стратегии с точки зрения первой группы-союзницы.

В конце раздела приводится пример взаимодействия двух групп экономических систем, который показывает, что согласованный способ действий игроков в группе позволяет достигнуть цели в ситуации, когда не согласованный способ действий этого не позволяет сделать.

В разделе 1.4. приводится запись множеств оптимальности и оптимальных стратегий первой группы экономических систем в случае, когда уровни минимального благосостояния не равны нуль-вектору.

В разделе 1.5. приводится запись решения задачи о конфликтном взаимодействии двух многопродуктовых экономических систем в случае, когда системы совершают шаги поочередно.

Согласно схемы задачи о конфликтном взаимодействии экономических систем этой задаче соответствуют следующие предположения : К = М = 1, п > 1, = 0, = 1, Д1 = 1, т0

-оиуг) = (х(1),уи>,1(г»,ии-1)

и = и = и311, ь^и^) = £ у : у с у < в, (хш-э^(г-1 дт -1))+ },ь1(й(г-1))={ у : у е у < в2(у(г-1)-з1Г(г-1 ,и(г-1))+ >.

Во второй главе приводится решение задач о конфликтном

взаимодействии с фиксированным временем окончания.Такие задачи, являясь по существу динамическими играми, исследуются с помощью приведения динамической игры к бесконечной антагонистической игре в нормальной форме.

В разделе 2.1. решается задача о конфликтном взаимодействии моделей экономической динамики Неймановского типа с фиксированным Бременем окончания

Задача о конфликтном взаимодействии моделей экономической динамики Неймановского типа представляет собой динамическую игру, е которой множества управлений игроков зависят от состояний игры. Вследствие этого рассматривается вопрос о существовании оптимальных смешанных стратегий в такой динамической игре.

Динамическая игра, которая рассматривается в разделе 2.1, формулируется так :

Имеется конфликтно-управляемая система :

г(1+1) = Пи^гтьт^мШ.ги)), где а(1:) е I, Ъ - линейное хаусдорфовое пространство, иг(г(г)), у (гШ) - управления игроков в момент г е Ш,1,..,т-1>, иг(2(г>) € иги), тг(ги» с -

непустые компактные подмножества в линейных хаусдорфовых пространствах и и V соответственно; Г - функция из ЧхУх2 в Ъ. Игроки формируют свои управления в момент % , имея информацию о состоянии игры 2(г) в момент г, и переходят в состояние г(г+1). Плата в игре задается функцией К :г—>П. Целью первого игрока является максимизация, второго -

минимизация величины K(z(t) ), т.е. рассматривается игра с нулевой суммой.

Одним из предположения, при котором исследуется динамическая игра, является предположение о непрерывной зависимости множеств ,V^ от z. Она определяется

следующим образом.

Обозначим фундаментальные базы окрестностей нулевого элемента в пространствах U, V, Z через il1}, {Q}, {R} соответственно. Будем называть F-окрестностью множества Uz множество U (F) = u(u+F). Говорим, что множества U

непрерывно зависят от z, если V z'eZ, V F* с {F} 3 R(z",F*) : V z е z*+R(s*,F*) Uz ç U„«(F*), Uz* £ UZ(F*).

Совершенно аналогично определяется непрерывная зависимость от z множеств V_. Если U = V = Z = Rn, то определяемая таким образом непрерывность совпадает с непрерывностью по Хаусдорфу. Предполагается :

1. Все z принадлежат Z, где Z - непустое компактное подмножество в Z.

2. Î, К - непрерывные функции на UxVxZ, Z.

3. Для любого z с Z множества являются непустыми компактными множествами в U,V, непрерывно зависящими от z, в определенном выше смысле.

4. v г е Z множества U ,V лежат в компактах U с и, V с V

z z

Обозначим через P(Uz)(P(V=)) и P(U)(P(V)) множество всех регулярных вероятностных мер, определенных _ на о-алгебре борелевских множэсте Uz(Y_) и U(V) соответственно.

Стандартным образом определяются чистые и смешанные стратегии первого и второго игроков и приведение игры к игре в нормальной форме.

Так как в классе чистых стратегий значение игры не существует, то задача состоит в решении динамической игры в классе смешанных стратегий.

Приведем лемму 2.1., с помощью которой решается игра.

Лемма 2.1. функция К : Z—>Н, определяемая соотношением :

K(z) = max min s s K(i(u,vfz))do(2)üT:(z)

Ols)CP(U2) tlzOePCV^ uz vz

является непрерывной функцией переменной z.

Утверждение, аналогичное доказанному, известно, когда соответствующий максмин берется по компактам в конечномерном пространстве, однако применение метода доказательства в данном случае, затруднительно.

Теорема 2.1. В рассматриваемой динамической игре существуют оптимальные смешанные стратегии.

В.Л. Макаровым рассмотрена бескоалиционная игра п - лиц в нормальной форма, в которой множества стратегий игроков зависят от выбора этих стратегий, и доказано существование ситуации равновесия в чистых стратегиях в предположении, что функция полезности каадого игрока вогнута по переменной, которой управляет этот игрок.

В данной же теореме не требуется вогнутости(выпуклости)" функции платы и доказывается существование оптимальных стратегий не в классе чистых, а в классе смешанных стратегий.

Доказанная теорема позволяет решить задачу о конфликтном взаимодействии моделей экономической динамики Неймановского типа с фиксированным временем окончания взаимодействия. Согласно схемы конфликтного взаимодействия экономических систем этой задаче соответствуют следующие предположения : п > 1, т,= т2=0, U,(t)=U <t)=(x(t),y(t))f

4,1t) £ 1), U,(t) С и, и = Hn X H", U - информационное

пространство, 0,(U,(t))=a,(x+(t)), b,(U,(t))=a,(y+(t)), где

Ь дологические отооражения а,.а, определяются так :

Z4

а1(х+) ~ { г : г=В1и, и с { и : и > О, А1и=х+}},

а,(у+) = { г : г=Вгт, V £ { V : г > О, Агу=у+}},

здесь А1(А2) - матрицы с неотрицательными элементами размерности гъ<т (Пхр), обладавдие свойстеом, что у них нет нулевых столбцов; - матрицы размерности Пхт (Пхр) с

положительными элементами . Функция платы к : Нпхйп—>й

определяется так : К(х,у)= £ где х^Н,

у*вН. 7^>0.72>°. 1=1

^ О, х1 > О, 0, у1 > О, х "^-х1, X1 < О; у "^-у1, у1 < 0; 1-1.....п;

На основании теоремы 2.1.следует, что в поставленной задаче существуют оптимальные смешанные стратегии <р*,ф*.

В разделе 2.2. исследуются вопросы применения методов доминирования для решения некоторых классов бесконечных антагонистических игр.

В этом разделе доказывается справедливость принципа "седловой" точки в классе смешанных стратегий для некоторых классов бесконечных антагонистических игр с разрывными функциями шиты, и в частности, в задаче о конфликтном взаимодействии моделей экономической динамики Леонтьевского типа с фиксированным Бременем окончания взаимодействия. Это делается с помощью перенесения методов доминирования с конечных игр на бесконечные.

Пусть К - ограниченная, измеримая по Борелю, функция из ХхУ в й, где X - компакт в Нп, У - компакт в Н™, а множества А,В с х. Будем говорить, что функция К доминирует по х множество А множеством В, и записывать

к.х

этот факт так : А < В, если для любого х с А существует I, « В такой, что К(х,у)<К(х1,у) для любого у е У.

Точно также будем говорить, что функция К доминирует по х множество А множеством В с точностью до е и

записывать этот факт так :

к.х

А < В, если для любого I с А существует х е В такой, е 1

что К(х,у)<К(х1,у)+е, для любого у е У. Аналогично определяется отношение доминирования и доминирования с точность до е множества 0 множеством Б функцией К по у. Соответствующие обозначения имеют вид :

к.у к,у

С < Б и С < В.

Е

Пусть И с х есть множество точек разрыва функции К по х, т.е. при любом фиксированном у с У функция К непрерывна на множестве Х\Б. Для краткости, в дальнейшем, такую функцию будем называть непрерывной по х на множестве Х\Б. Будем говорить, что К возрастает по х в точках разрыва, если существует открытое е X множецтво В такое,

к.зс

что с в и дВ > В, а на Х\В функция К

нецрэрывна по х.Здесь дВ - обозначает границу множества В.

Пусть В с X есть множество разрыва функции К по х. Будем говорить, что К почти возрастает по х в точках разрыва, если для любого е>0 существует открытое множество

К.х

В£ такое, что с В£ и ¿Ве г В£, а на Х\В£ функция

К непрерывна по х.

Будем говорить, что функция К убывает (почти убывает) по х в точках разрыва, если функция (-К) возрастает (почти возрастает) по х в них.

Аналогично вводится понятие возрастания (убывания) и почти возрастания (почти убывания) функции К по у в точках разрыва.

К,х

В случае матричных игр показано ,что если А < В,

к .г

где А,В с 2, АлВ = 0, соответственно С < Б, СпБ = 0,

где О,Б с у, то существуют такие оптимальные стратегии такие, что

аирр [I л А = аирр V п Б = 0 (9)

где через аирр ц. обозначен носитель меры р..

В разделе 2.2. доказывается теорема для бесконечных антагонистических игр о существовании оптимальных смешанных стратегий [I, V, удовлетворяющих (9). Для этого доказывается лемма 2.2.

Лемма 2.2. Пусть А - открытое и Ас X, — -> р. ( символ * обозначает * - слабую сходимость ) и пусть аирр рп с т. Тогда ца|хи ---> Р01ХХА , где -

сужение меры на множество Х\А.

Предложение 2.1. Пусть - меры на X и У

соответственно, и пусть А - измеримое множество в X. Тогда для любого е>0 существует разбиенме {А±} множества А на п£ непересекающихся измеримых множеств, и точки х± е А± такие, что

■Г К(х,у)р1>= т К(х,у)цгч-2 р(А )/К(х .у)гч-т(е)

ХхТ (Х\Д)хГ 1=1 у

где |7(е)|<е.

Заметим, что разбиение СА±> зависит не только от е, но и от меры V.

Будем говорить, что функция К независима в среднем от У на А, если разбиение 1А±> не зависит от меры V. Совершенно симметрично определяется независимость функции К в среднем от X на измеримом множестве В £ У. Функцию К назовем удовлетворяющей условию (а) на АхВ с ХхУ, если она независима в среднем от У на А и от X на В.

Теорема 2.2. (О доминировании).Пусть открытые множества А с X, Б с у и замкнутые множества В,С таковы, что

К.1 К.у

А < В, 0 < В, причем АлВ = СпВ = 0, функция К непрерывна по х на В, по у на С и удовлетворяет условию (а) на Ахи. Тогда, если игра Г = <Х,У,К> имеет решение, то найдется равновесная ситуация (ц,г>), удовлетворяющая (9).

Приведем несколько утверждений из раздела 2.2.

Теорема 2.3. Пусть открытые множества А с X, D с Y и

к.х К.у

замкнутые множества В,С таковы, что As В, С 5 D, причем АлВ = CnD = 0 и кроме того, К непрерывна на (Х\А) x(Y\D).

Тогда игра Г=<Х,У,К> имеет решение.

Предложение 2.4. Пусть замкнутые множества В с X и С с

Y таковы, что К равномерно непрерывна на (X\A)x(Y\C), а на (Х\В) по I и на множестве Y\C по у. Пусть, кроме того, К возрастает по х в своих точках разрыва и убывает по у. Тогда игра Г =<X,Y,K> имеет решение.

Лемма 2.3. Пусть борелевские множества А с _Х, В с Y таковы, что в игре <А,В,К>, где К(х,у)=К(х,у)|ДхВ существуют оптимальные смешанные стратегии. И пусть

К,х а кТу

выполняются условия : А > X, где К(х,у)=К(х,у)|1хВ; В < Y,

где К*(х,у)=К(х,у)|АхТ- Тогда в игре r=<X,Y,K> существуют

оптимальные смешанные стратегии.

Теорема 2.4. Пусть множества А и В : А = С yQ.....ум }с

Y : V х е X VyeY 3 £ А : К(х,у1) < К(х,у); В ={ xQ, ....Xjj ) С X : V IG X Э х± € В : К(х±,у) > К(х,у) V У е А. И, кроме того, множество ^А : V у е Y Э У± € А : К(х,у±) s К(х,у) v х с В. Тогда е игре Г = <X,Y,K> существуют оптимальные смешанные стратегии ц*, г>* : зирр р.* с в, зирр v* с А.

В разделе 2.3. решается задача о конфликтном взаимодействии двух однопродуктовых моделей экономической динамики Леонтьевского типа с фиксированным временем окончания взаимодействия. Согласно схемы задачи о конфликтном взаимодействии экономических систем этой задаче соответствуют следующие предположения :

К = М = 1, п = 1, =1, = О, U,(t) = U1(t) = (x(t),y(t)), U,(t) c U, U, (t) с U. U = R х R, ^(U^t)) = a, (x(t)), b1(U1(t))=a1(y(t)), a, (x)=t у : у g R+, У < c^x"1", а,>0 },

4- 1 £

а, (!)={ у : у 6 Я+1 у 5 о^х, а^О }, е = е = 0. Функция платы определяется так :

Г 1, 1> 0, У < О, К(Х.У) =1-1, ко, У2 0,

I 0, в остальных случаях;

Приведем несколько утверждений раздела 2.3. Рассмотрим строго монотонно убывающие линейные функции

у±(.) ( I =0.....М-1 ) на [0,1], не пересекающиеся при х е

10,13. Обозначим :

П0 = { (х,у) : (х,у) е [0,1]2, у > у0(х) ), Л, = ( (х,у) : (х,у) € [0,1I2, у,(х) < у < у0(х) >, П± = < (х,у) : (х.у) с [0,132, у1(х) < у < У±_.,(х) 1 — 2 у...уМ-1,

Пц = { (х,у) : (х,у) е 10,132, у< Ум_.,(х) }; Определим теперь множества П*. Полагаем :

П* = П* = П, или 0* = { (х,у) : (х,у) е [0,1З2, у,(х)

5 У $ У0(Х) >,

[(х,у) : : (х,у) е [0,1З2, У±(Х) < У < у1. 1 (х)3 или

К*,У) : : (х,у) е [0,1з2, УА(Х) < У < У±_ ,(1)3, если

Цх,у) : : (х,у) £ [0,1З2, У = У±-1 (х)3 С

[(х,у) : : (х.у) е [0,1З2, У±(Х) < у 5 УА. 1(х)3 или

[(х,у) : : (х.у) £ [0,1з2, У±(х) < У < У±. 1(х)3, если

С(х,у) : : (х,у) е [0,1з2. У ~ У±-1 (х) 3 г

1 = 2.....м-1;

Цх,у) : (х,у) е 10,13е, у < ум(х) 3, если Цх,у) : (х,у) с 10,1 ]2, У = Ум (х)] с ;

П^,, если [(х,у) : (х,у) е 10,1 )2, у = Ум(х)] в^;

Рассмотрим функцию К : СО,13 —> И :

а0, (х,у) 6 0о,

К(х,у)=< а1, (х,у) е П1,

. Оу, (х,у) с

и функцию К* : [0,1]2 —> И

К*(х,у)=

а0, (х,у) € П0,

числа а.

а^. (х.у) е V

Тогда любую такую функцию К(.) (К*(.)), У которой

...< Оу и уо(0)=1, у0(1) > 0

% > а,,

а1 < а2

будем называть удовлетворяющей условию А (А ); а функцию К(

•) (К (.)), у которой числа а± : а0 < а,,

а„

Уо(0) > 1, у0(1}=0 - удовлетворяющей условию В (В ).

Пусть функция К удовлетворяет условию А. Обозначим

параллельную оси ,2

х ( оси

) и 2,

через ]/) прямую проходящую через точку (О,а) € Ш,1]с ( (а,0) с [О,1]с) Запись 4(1*.УА) ( О < 1 < М-1 ) будет означать абсциссу точки пересечения прямой 1* и у±, а я(1Т,у±) (О < 1 < М-1) - ординату точки пересечения прямой и у1-

Введем следунщда обозначения для совокупности точек { а0,...,ап,...} £ 10,11, í Ь0,...,Ьп,..Л £ 10,1] :

V1» ао=Уо<1>' .У0).ьа-шахся(1^.уг).

1^1». ан=ч(1ь0'уо5'

ппах£я(1* ,у_М(1* .У.МЦ* ,У1)),если Ьг-Ч(1* ,УР),

О 1 2 О А

ьз

,угМ(1* ,у2М(1* , у,)}, если Ьг=Я<1* );

Ь = тах £Ь>, ъ€о ъ<ъ ,

п-1

где 0=£ Ь, Ь £ [0,1], Ь=я(1* ,у ), 1 с (0,1,...,п-1}, 3 €

■»•>

£1.....М-1 >},

п

Определим множества с 10,1], с [0,1]

соответственно на осях х и у при различном расположении прямых у .

* = 1с), где с - любой элемент из [0,1], * = если

X у О

а0 > у,(О),

= {{Ъо),{0>}; 8у = ££а0),{а1}}, если

а0 < у,(0) < а,, = ££Ьо},£Ь1),£0]}; яу = £{а0>,£а1},£а2}), если

а1 < у1(0) < а2, = ££Ьо},£Ь1},£Ь2},£0}}, = «а^,£а,}Да,),£а,)), если а2 < у,(0) < а3,

= ££Ь0].....£Ьп_, ),£0}}, = ££а0).....{ап}}» всли

а . < у(0) < ая

11-1 1 Пш

Лемма 2.4. ( Об отсечении ).В игре <ХД,К>, где X = У = Ю,П, функция К : [0,1 ]г—> Я и удовлетворяет условию А, существуют оптимальные смешанные стратегии ц*, г>* - смесь соответственно точек из 5 и * .

2 7

Для функций К, удовлетворяющих условию- В, аналогично можно определить я^ и

Замечание 2.2. Для игр с функциями платы К(.), удовлетворяющих условию В, выполняется утверждение леммк 2.4..

Замечание 2.3. Для игр с функциями платы К*(.), удовлетворяющих условиям А* или В* справедливо утверждение аналогичное лемме 2.4.

Если семейство функций К~ удовлетворяет таким условиям: * Р

а) условию А( А ),

б) прямые у±(х,Р), определяадие Кр, непрерывно зависят от вещественного параметра (3 и не пересекаются при х с [0,1];

в) попарные отношения длин отрезков, отсекаемых прямыми при х=0, при х=1 не зависят от Р;

г) попарные отношения тангенсов углов наклона прямых не зависят от р;

то такое семейство функций будем называть, удовлетворяющие условию С (С*).

Семейство функций гКр, удовлетворяющее пунктам б - г, а также условию В (В*) будем называть, удовлетворяющим условию Б (Б*).

Обозначим через р. р множества *у в играх с функцией платы Кр, а через V(р) - значение игры Гр =<Х,

Лемма 2.5. Имеется семейство игр Гр = <Х,У,Кр>, Х=У=[0,1], где К» : 10,132 —> Н, Кр - удовлетворяет

условию С. Пусть (Г : п Суо(0,р*').....(0,р*)}=д.

Тогда существует

У(р*,р) = { р : |р-р*|<р, р > 0} : V р е У(р*,р) выполняется у(Р) = у(Р*).

Замечание 2.4. Пусть Кр удовлетворяет условию Б и *х.р* п «^(О.р*).....^ (О.р*» = 0, где х^О.р*)

- абсцисса точки пересечения прямой у±(-,р*) с осью х. Тогда существует У(р*,р) = ( Р : 1Р-Р*|< р, р > О) : V Ре Уф*,р) выполняется т(Р) =

Лемма 2.6.Имеется семейство игр Гр =<Х,У,Кр>,Х=У=[0,11, где К„ - удовлетворяет условию С, функции у±(0,р),х1(0,р)

( 1 = 1.....М-1 ) возрастающие функции р, у0(1,р) -

убыващая функция р. Тогда для любого р* существует полуокрестность

Т(р*,р) = { р: 0 < р-р* < р, р > О ) : р с У(р\р) выполняется у(Р) = т(р*).

Решение задачи о конфликтном взаимодействии моделей экономической динамики Леонтьевского типа находится с помощью результатов данного раздела, а также раздела 2.2. главы 2 и состоит в последовательном решении некоторых бесконечных антагонистических игр с разрывными функциями платы на единичном квадрате.

При Т = 1 ( Т - время окончания взаимодействия ) область начальных состояний разбивается на конусы постоянства значения игры в* каждом конусе. Конусы постоянства значения игры можно интерпретировать следующим образом. Это множества таких начальных состояний игроков, исходя из которых достигает цели, например, второй игрок (если значение игры в конусе отрицательно), за один шаг, с вероятностью, раиной модулю значения игры в этом конусе, при применении игроками оптимальных смешанных стратегий. Причем, если первый игрок применяет не оптимальную стратегию, то увеличивается вероятность достижения цели вторым игроком.

Определим множество выигрышности первого игрока с вероятностью 1 ровно за Т шагов, как множество всех (х(0),у(0)) с И2 : э и(.) что для любых V выполняется К(х(Т),у(Т)) = +1 и не э и(.) : у V К(х(г),у(г)) = +1, г < Т. Аналогично можно определить множество Еыигрышности второго игрока с вероятностью 1 ровно за Т шагов.

Лемма 2.8.При а, = а2 множество выигрышности того или другого игрока ровно за Т шагов с вероятностью 1, в

точности сошздает с множеством начальных состояний игроков, из которых тот или иной игрок достигает цели с вероятностью

- за один шаг,при применении игроками оптимальных стратегий.

Т

В разделе 2.4 приводится решение многошаговой игры с неполной информацией с фиксированным временем окончания взаимодействия.

Постановка игровой задачи с неполной информацией с фиксированным временем окончания формулируется таким образом.

Имеется конфликтно-управляемая система, движение которой задается следующей системой дискретных уравнений : г(к+1) = Г(а(к),и(к),т(к))р (Ю)

где к е 1 0,...,Т-1 ), г(к) с йт, и(к) € и, у(к) € V, V к е

!(.,.) - непрерывная по переменным функция; и, V -компакты из И1. В к=0 обоим игрокам известна вероятностная мера 10(.), задающая функцию распределения состояний г (О) на Нт. Цель первого игрока (и) -максимизировать вероятность попадания траектории системы (10) на множество М за время Т, цель второго (V) -противоположна.

Позицией в игре ( I ) на к - м шаге является условная вероятность нахождения объекта в данном состоянии на к - м шаге.

Игра { I ) рассматривается при различных информационных предположениях : игроки применяют программные и позиционные стратегии, которые в свою очередь могут быть чистыми и рандомизированными.

Предполагается, что выполняется следующее условие.

Условие. Существует не более, чем счетное множество С, в с йт, такое, что носитель вероятностной меры 50(-) содержится в б.

Обозначим через ¡^т - множество неотрицательных о -аддитивных мер, отображающих а - алгебру борелевских подмножеств из йш в Н+, которые имеют носитель, содержащий не более счетного числа точек и таких, что 0 < |(йи) < 1, т.е. Едт = { £ : £ : В —> И+, 0 < £(йт) < 1 ),

u* = u*(T) = (u(0),___,u(t-1)), u* € U* = Ux—xU ( прямое

произведение T множеств U ), у* = у*(Т) (у(0),...,у(Т-1)), т* € V* = Vx...xV ( прямое произведение Т множеств V ).

Отображение : J^m х V* —> U* назовем чистой

мажорантной программной стратегией первого игрока; Р~ : J^m —> U* - чистой минорантной программной стратегией первого игрока; F* : I^m х U* —> V* - чистой мажорантной программной стратегией второго игрока, í'~ : J^m — > V* -чистой минорантной программной стратегией второго игрока.

Аналогично определяются чистые мажорантные и минорантные позиционные стратегии игроков :

F+ : ErIh х NT х V —> U;

Р~ : S^m х NT ~> U;

Из рекуррентного соотношения определяется £(k,z(k)) -вероятность нахождения траектории в точке z(k) на к - м шаге, при условии, что до этого она не побывала на множестве М.

функция |(к,.) является позицией в игре ( I ) на к -м шаге. Вероятность попадания траектории системы (10) на множество М за время Т при фиксированных управлениях игроков имеет вид

т

■ Р(Т,£Р.(.),и\у*) = 2 £ !(k,z,u*(k),y*(k)); zeM k=0

Рассмотрим случай М = М1 и М2, где п М2 = 0.

Тогда вероятность попадания траектории системы (10) на множество М1 за время Т при фиксированных управлениях игроков имеет вид

т

Р.(Т,£_(.),и*,у*) = £ £ £(k,z,u*(k),y*(k));

zcM^O

Совершенно аналогично определяется вероятность попадания траектории системы (10) на множество М2 за

Р+ : Ект х NT х U —> V;

а

к

J^m х Ыт —> V.

ЗЬ

время Т при фиксированных управлениях игроков-Р2(T,4Q(.),

Пусть Р(.) - один из функционалов Р(.), Р.,(-) или Р2(-).

Стэеится вопрос о(5 отыскании величины а+ :

Inf sup P(T,£_.(.),u*,v*) = а+, (11)

v ev u cU* 0

величины of :

#SU5 Inf P(T,E (.),u*,T*) = a", (12)

u eU v cV

величины a* :

Inf sup ...Inf sup P(T,| (.),u*,v*) = c£,(13) v(ojgv u(0)eu v(t-1)eV U(T~1)eU

величины a" :

sup Inf ...sup Inf P(T,g (.),u*,v*) = a~,(14) u{0)eu u40)ev u.(t—1 )eu v(x-1 )cy

Лемма 2.9. Применяя пару стратегий первый

игрок может V е>0 обеспечить вероятность ■ попадания траектории (2.1Y) на множество М, М, или М2 не меньше, чем тах(0,а+-е), а второй не больше, чем ш1п(1,а++н). В разделе 2.4- приводится смешанное расширение игры. Определяются смешанные мажорантные и минорантные программные стратегии, а так же смешанные позиционные мажорантные и минорантные стратегии игроков.

Как и раньше, Р(.) - один из функционалов Р(.), Р1(.),

Рассмотрим усреднение функции P(T,£0(.),u*,v*) по соответствующим мерам.

P(T,Ea(.),H(.).v<.)> = s, /,P(T,£D(.),uVV(äu*)v(clv*)

U V

Аналогично может быть поставлена задача о нахождении величин а+, а", а^, а~ :

Inf sup P(T,{0(.)»Ji(.),v(.)) = а+, (15)

vc.JeEy* ИОвЕо*

aup Inf P(T,5D(.),n(0,v(.)) = а", (16)

v(.)cEv»

Inf sup ...Inf sup P(T,gQ(.),Hn(-),vn(.

),.-.,H-T_,(.)vT1(.) = (17)

зир 1пг ...аир НИ РЦ,£(.),(10(-)Л

(.),...,цт_1 {.),ут(.)) = а". * (18)

Из теоремы о минимаксе следует

Лемма 2.10. Если множества и, V, 0 состоят из конечного числа элементов, то при применении пары стратегий (э|,з~) в игре ( I ) первый игрок может обеспечить вероятность попадания траекторий (10) на множество М не меньше, а второй не больше, чем а+, соответственно :

^ i л а1 ^ч а. а аi

(з^эр <—> а , (а,.з2) <—> а;, (а,,ар <—> а~. При этом :

а, а а, а_ а

а =■ а = а а, = а» = а»»

А + - А +

а < а < а , а9 < а9 < а^.

Приводится пример, показыващяй влияние способа формирования стратегий на результат игры.

В конце раздела 2.4 показываемся, как предложенный подход к исследованию конфликтных ситуаций применим для решения задачи о конфликтном взаимодействии экономических систем с неполной информацией.

В третьей главе приводится решение задач о конфликтном взаимодействии экономических систем с неполной информацией ( в стохастическом варианте ).Отличие постановок задач, рассматриваемых в этой главе, от постановки задачи, рассмотренной в разделе 2.4. главы 2, заключается в том, что в данной главе время взаимодействия не фиксировано, тогда как в главе 2 оно фиксировано.

В разделе 3.1 рассматривается задача о конфликтном взаимодействии экономических систем е рамках модели Леонтьева с неполной информацией. Исследуется случай поочередного взаимодействия.

В отличие от взаимодействия с полной информацией, в данном взаимодействии первому игроку не известно точно состояние второго игрока, а известна функция распределения ?0(.) его начальных состояний, свое начальное состояние, параметры, определяющие игру, и кроме того, в кавдый момент времени Т ему известны все свои состояния х(1:) для г < Т. При исследовании взаимодействия рассуждения проводятся с позиции первого игрока, поэтому об информированности второго никаких предположений не делается, что эквивалентно тому, что второй игрок обладает любой информацией.

Задаются числа Р0»Р., : О < р0 < 1, О < р, < 1, называемые уровнями риска. Уровни безопасности е, , е2 предполагаются равными нулю.

В общей схеме этой задаче соответствуют следующие

параметры : К=М=1, п=1, :Ц=0, , е1=82=0. Так как первый игрок не знает точно состояние у^(0) второй модели, а знает лишь функции 3?0(.) распределения начальных состояний второго игрока у^(0) и в каждый момент времени г знает свое состояние хШ, функцию Р0(.) и реализацию стратегии I второго_игрокз до момента I включительно, то и Ш =

( хШ,(*(-1).....*(1:)),Р0). ( £ (-1 )=0

т.е.

А

информационное пространство первого игрока есть и1

где N - натуральный ряд чисел, Р - множество одномерных

функций распределения.

Далее, из предположений_ об информированности второго игрока, следует, что и^г), - любые множества.

Определим отображения Ь1 (.), Ь,(.) таким образом :

у : у с й , у < а (ЦМ )-а,1(И -тт , и (1-т -тт )) , если Р( х(1;-т

т )) > о ) 2 р.; 1 1

О, в противном случае;

Ь1 ))=:

у : у е й,, у < сц,(у(г-1т )-вЦИ -т7 ,

Ч 11

и (-Ь-т: -т- )) , если Р(у5(г-тз; )-а

1 1

т )) < О ) < р ; 1 1

. О, в противном случае;

Предполагаем, что *(.), *>,(.) такие : ^(^(-1)) = {у5 (О)}, Г(-1) = О. Определим условия окончания следующим образом :

Р( у^Ю < 0 ) < рс

р( х(г) > о ) > р1

(19)

(20) (2), (3)

В каждый момент времени вместо условий проверяются условия (19),(20).

В разделе 3.1 построены множества оптимальности первого игрока и найдены его оптимальные стратегии при всех соотношениях параметров взаимодействия.

В разделе 3.2 рассматривается конфликтное взаимодействие двух экономических систем с неполной

тэ глотптулм тжптто лх-о^офро ттпппо тто ттп тгттоит/га

дополнительной информации.

Отличие данной постановки от исследованной в разделе 3.1, заключается в том, что здесь Еведена процедура получения дополнительной информации за счет выделения игроком части своих ресурсов.

Постановка задачи формулируется следупцим образом.

Игроки, управляющие однопродуктовыми моделями экономической динамики Леонтьевского типа, вступают в конфликтное взаимодействие. В данном взаимодействии первому игроку не известно точно состояние уЧо) второго игрока, а известна функция распределения 1'0(.) его начальных состояний, которая является равномерным распределением на сегменте [ а-г,а+г] с свое начальное состояние, параметры, определяющие игру, и кроме того, в каждый момент времени Т ему известны все свои состояния хШ для 1; < Т. Считается, что первый игрок может получать дополнительную информацию за счет затраты части своего продукта. Происходит это в результате введения параметра к ( к с 10,1] ), который определяет часть продукта первого игрока, равное (1-к)г ( здесь г. - величина продукта первого игрока ), идущее на получение информации о том, что состояния у^ второго игрока равномерно распределены на сегменте [с-к2й,с+кг<1] ( здесь [с-й,с+й] - сегмент, на котором распределены состояния у^ ). Рассуждения проводятся с позиции первого игрока, поэтому об информированности второго никаких предположений не делается. Шаги совершаются поочередно. В четные моменты шаг совершает первый игрок, в нечетные - Бторой. Динамика взаимодействия "похожа" на динамику взаимодействия экономических систем, приведенную в разделе 3.1. Условия окончания такие же, как и в предыдущем разделе.

Определяются множества оптимальности первого игрока, а также его оптимальные стратегии. Отличие данных множеств оптимальности от множеств оптимальности, построенных в разделе 3.1, заключается в том, что, в данном случае, это

совокупность таких начальных состояний игроков, что если взаимодействие начинается из них, то достигнуть цели первый игрок может . лишь используя процедуру получения дополнительной информации. Причем без этой процедуры он не может достигнуть цели.

В разделе 3.2 построены множества оптимальности первого игрока, используицие процедуру получения дополнительной информации на первом шаге, найдены его оптимальные стратегии.

В разделе 3.3 рассматривается конфликтное взаимодействие двух экономических систем с неполной информацией. В отличие от постановок задачи, приведенной е разделах 3.1 и 3.2, в данном взаимодействии щаги совершвются игроками одновременно.

Постановка задачи формулируется следующим образом.

Игроки, управляющие однопродуктоЕыми моделями экономической динамики Леонтьевского типа, Еступают в конфликтное взаимодействие. Цри этом предполагается, что первому игроку известны его начальное состояние х(0) е Int Н+, функция распределения i'0(Q) начальных состояний у^(0) с Int Н+ второго игрока и е каждый момент времени t ( t = 0,1,... ) его состояния Кт) для т < t, причем х(т) > О при Р( х(1) > О ) > pQ ( О < pQ < 1 ) и х(т) < О при Р( хСс) > О ) < р0, а также величины fcr) ( т < t ), выделенных им для воздействия на вторую модель. Рассуждения будут проводиться с позиции первого игрока, вследствие этого об информированности второго никаких предположений не делается, что эквивалентно тому, что второй игрок обладает любой информацией.Шаги игроками производятся одновременно.

Взаимодействие оканчивается при шполнении условий :

Р( y£(t) < О ) > р0, Р( x(ff> О ) 2 р0, (21) Р( X(t) > 0 ) < pQ, Р( y6(t) < О ) < pQ. (22)

Стандартным образом определяются множества оптимальности первого игрока и его оптимальные стратегии.

В разделе 3.3 построены множества оптимальности первого игрока и найдены его оптимальные стратегии с помощью леммы 1.1 главы 1.

В общей схеме етой задаче соответствуют следующие

параметры : К=М=1, п=1, 1,=0, 1,=0, е1=е2=0. Как уже отмечалось, и, (г) = ( КЮ.Г.^.)), II, = х Р.

Далее, из предположений об информированности второго

игрока, следует, что 11,(1), и, - любые множества.Ь, (И, (1;))

= а1(х(г)), Ь,(11,(1;))=а,(у(1;)), 3,(1)=! у : у с Н+, у 5 а,х,

а,>0 }, а,(х)={ у : у с й+, у < с^х, 0 ), Условия окончания взаимодействия применительно к данному взаимодействию "перейдут" в условия (21),(22).

В четвертой главе рассматривается решение

дифференциальных игр качества экономических систем с полной информацией.

В разделе 4.1 решаэтся дифференциальная игра качества двух однопродуктовых экономических систем. В рамках общей

схемы этой игре соответствуют следующие предположения :

к = м = 1, п=1, 1, =1,-0, и,(г)=(х(1)_,у(г)), и,(1) -

любое множество, и, (г) € и,, и, = = Н+хН+, и, (г) е и,, и, -

любое множество, Ъ, (13,(1:)) = а, (х(1:)), Ь, (и, ))=а, (уШ),

а,(х)={ у : у е Е+, у < а,х, а,>0 }, а, (х)Н. у : у е

у 5 с^х, а2>0 }, е1=Ег=0.

Исследование задачи проводится в рамках схемы позиционной дифференциальной игры с полной информацией. Это означает, что решение находится с позиции игрока-союзника.

В разделе 4.1 решение игры находится с позиции первого игрока-союзника. Решение с позиции второго игрока-союзника находится аналогично. При формулировке конфликтного взаимодействия экономических систем для непрерывного взаимодействия были приведены определения чистых позиционных

стратегий, множеств оптимальности, оптимальных стратегий первого игрока-союзника и решения с позиции первого игрока-союзника.

Решение с позиции первого игрока-союзника находится при любых соотношениях параметров игры.

Следует отметить, что для решения задачи был разработан конструктивный метод решения, основанный на предельном переходе решений многошаговых игр к решению дифференциальных игр, так как вследствие нелинейности правой части системы дифференциальных уравнений методика решения линейных дифференциальных игр здесь неприменима и кроме того, для такого класса игр не разработан эффективный метод конструктивного нахождения решения игры, несмотря на то, что условие существования седловой точки для маленькой игры здесь выполняется.

В разделе 4.2 решается дифференциальная игра качества двух кногопродуктовых экономических систем.

Согласно общей схемы, выполняются следующие

предположения : К = М = 1, п > 1,^=1^=0, и, (Ю=(х(1;),2(1:2), 11,(1:) -любое множество, и,(1;) с и,, и, = Н^ * й^.и, е 1^.11,-

любое множество, Ъ, (и, (г))=а, (хШ); а, (х) = ( у: у £ й^, у

5 В,х }, Ь1(и1(г))=а1(у(1)), а,(х) = I у : у е у < В2х),

е1 = е2 = (О,...,0).

Как и в разделе 4.1, исследование задачи проводится в рамках схемы позиционной дифференциальной игры с полной информацией.

В разделе 4.2 решение игры находится с позиции первого игрока-союзника. Решение с позиции второго игрока-союзника находится аналогично.

Решение с позиции первого игрока-союзника находится при некоторых соотношениях параметров игры. Имеет место следующая теорема.

Теорема 4.1. Задача 1 имеет решение в следующих случаях соотношения параметров игры :

1\U4 >С!П Ц > С R С с; R 2!р-

2) B2S1 < S^, S^Sg > Вг, S,S2 < E, S..S, < E, S^ * 0;

3) B, > SHBgS1t S^g > E, S1B1 * 0;

4) B£S1 г S,B1f B2 s.S^Sg, StSa > E, SgS, 2 E, S1B1 ж 0;

Следует отметить, что случаи, указанные е теореме 4.1 не являются единственно возможными, при которых еще существует решение задачи 1.

В разделе 4.3 решается дифференциальная игра качества деух групп многопродуктовых экономических систем.

В рамках схемы задачи о конфликтном взаимодействии экономических систем, этой игре, соответствуют следующие предположения : М г 1, К > 1, 1^=1^=0, U±(t)= (x1(t),...,xM(t),y1(t).....yK(t)), U±(t) 6 U , U =

RMn x R15*1, U.(t) - любое множество, U.(t) G U - любое

множество, b1(U1(t))=a1(x1(t)),a1(x)={ y : у с R", y< в]х ),

>

b3(ü3(t))-a3(y(t))f a3(x)={ y : y e H?, y < B^x }, ...,0).

Как и в случав, когда во взаимодействии участвовали два игрока, управляющие, либо однопродуктовыми, либо многопродуктовыми экономиче скими системами, исходное взаимодействие определяет две задачи :первой группы-союзницы и второй группы-союзницы.

В кавдой задаче группа-союзница применяет позиционные стратегии.

Будет решена задача с точки зрения первой группы-союзницы. Задача с точки зрения второй группы-союзницы решается аналогично.

В грушах возможны различные варианты ЕЫбора своих управляющих воздействий игроками. В разделе 4.3 рассматриваются два крайних случая :

1) все игроки в группе выбирают свои управляющие воздействия согласованно, как некий единый объект;

2) все - игроки в группе выбирают свои управлявшие воздействия не согласованным образом, т.е. ни с одним из игроков его не согласуй.

Как и в главе 1, в обеих случаях строятся множества оптимальности и находятся оптимальные стратегии с точки зрения первой группы-союзницы. Решение задачи с точки зрения второй группы-союзницы проводится аналогично.

Несмотря на то, что решение задачи при согласованном и при не согласованном способе действий игроков в груше различно, процедура построения множеств оптимальности и наховдения оптимальных стратегий одна и та же. При введении соответствующих обозначений аналог теоремы 4.1, для дифференциальной игры. двух групп многоцродуктовых экономических систем, совпадает с записью теоремы 4.1.

В конце раздела 4.3 приводится пример взаимодействия двух групп экономических систем, который показывает, что согласованный способ действий игроков в группе позволяет достигнуть цели в ситуации, когда не согласованный способ действий этого не позволяет сделать.

В приложениях 1 - 4, на основе результатов

диссертационной работы, предлагается комплекс моделей, описывающих взаимосвязанные процессы :

- процесс развития и производства вооружений;

- процесс переговоров по сокращению вооружений;

- процесс конверсии экономики.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1.Милюков В.П. Конфликтное взаимодействие экономик в рамках модели Леонтьева с неполной информацией // Изв.АН СССР. Техническая кибернетика.- 1974.- N 5.- 0.3-11.

2.Малюков В.П. О существовании значения динамической игры с предписанной продолжительностью // Изв.АН СССР.

Техническая кибернетика.- 1976.- N 5.- 0.24-29.

3.Маликов В. П. О конфликтном взаимодействии моделей экономической динамики // В кн.: 4 Всесоюзная конференция по проблемам теоретической кибернетики. Тезисы докладов.-Новосибирск. ИМ СО АН СССР, 1977.- 0.62-63.

4.Малюков В. П. О конфликтном взаимодействии моделей экономической динамики /7 Кибернетика.- 1979.- N 6.- С.83

- 90.

5.Маликов В.П. Игровая задача управления по неполным данным экономическими системами // В кн.: Междунар.конференция "Стохастическая оптимизация".Тезисы докладов.-Киев, 1984.

- Ч.П.- 0.18-19.

6.Малюков В.П. Об одной игре качества двух многопродуктовых моделей экономической динамики лвонтьевского типа // В кн.: 7 Всесоюзная конференция "Проблемы теоретической кибернетики". Тезисы докладов.- Иркутск. ИГУ,1985.- Ч.П.-0. 72-73.

7.Маликов В.П. Дифференциальная игра качества двух экономик леонтьевского типа // В кн.: Междунар.науч.семинар стран

- членов СЭВ "Основные направления матем .моделирования эконом.процессов, их матем. и программн. обеспечение".-Москва. Тезисы докладов. ЦЭМЙ АН СССР,1385.

8.Маликов В.П. Игра качества двух экономических систем // Кибернетика.- 1987.- N 6.- 0.120-122.

9.Малюков В.П. Многошаговая игра качества двух многопродуктовых моделей экономической динамики // Исследование операций и АСУ. Республиканский межведом, науч.сборник.- Киев,1989.- N 33.- 0.82-89.

Ю.Малюков В.П.Конструктивный метод решения дифференциальной игры качества с двумя терминальными поверхностями // Ж. вычисл.матем. и матем.физ.- 1989.- Т.29.- N 3.-0.323-331.

11.Маликов В.П. Об одной билинейной дифференциальной игре качества // В кн.: Междунар.советско-польский семинар "Математические метода оптимального управления и их Приложения".- Минск,1989,- 0.78-79.

12.Маликов В.П. Моделирование процесса взаимодействия между экономическими системами // Кибернетика.- 1989.- N 4.- 0.

57-63.

13.Маликов В.П. Игровое взаимодействие двух групп объектов // В кн.: 3 Всесоюзная школа "Понтрягинские чтения. Оптимальное управление. Геометрия и анализ." Тезисы докладов.- Кемерово, 1990. - 0.164.

14.Малюков В. П. Игра качества двух групп объектов // Кибернетика.- 1990.- N 5.- 0.59-66.

15.Малюков В.П. Дифференциальная игра качества двух груп объектов // Прикладная математика и механика.- 1991.-Т.55.- Вып.5.- 0.732-740.

16.Малшков В.П. Игра качества двух моделей экономической динамики с неполной информацией У/ Кибернетика и системный анализ,- 1992.- И 1.- С.58-67.

17.МалюноЕ В.П. Об одном способе задания информации в конфликтном взаимодействии моделей экономической динамики // Кибернетика и системный анализ.- 1993.- N 5.

18.Маликов В.П. Дискретно-аппроксимационныя метод решения билинейной дифференциальной * игры // Кибернетика и системный анализ.- 1993.- N 6.