Математические модели валютного дилинга и оптимальные валютные конверсии тема диссертации по экономике, полный текст автореферата

Автореферат диссертации по теме "Математические модели валютного дилинга и оптимальные валютные конверсии"

ИНСТИТУТ СИСТЕМНОГО АНАЛИЗА РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК

На правах рукописи

КОНОПЛЁВ ДМИТРИЙ ВЛАДИМИРОВИЧ

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ВАЛЮТНОГО ДИЛИНГА И ОПТИМАЛЬНЫЕ ВАЛЮТНЫЕ КОНВЕРСИИ

Специальность: 08.00.13 - "Математические и инструментальные методы экономию?

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата экономических наук

Москва-2003 год

Работа выполнена в Московском Физико-Техническом Институте (государственный университет)

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

доцент Бирюков Сергей Иванович

Официальные оппоненты: доктор экономических наук,

профессор Костюк Владимир Николаевич

кандидат физико-математических наук, доцент Волков Юрий Николаевич

Ведущая организация: Вычислительный Центр РАН

Защита состоится "3 " МёЛ-Я/г^ 2003 г. в 14 часов на заседании диссертационного совета Д.002.086.01 при Институте системного анализа РАН по адресу: 117312, Москва, проспект 60-яетия Октября, д. 9.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института системного анализа РАН Автореферат разослан " " 2003 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат экономических наук

Рысина В.Н.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Становление финансового рынка в России потребовало приобщения российских исследователей к разработке приемов и методов анализа этого нового объекта. В работе принято направление, которое названо оптимизационным анализом: его результатом является предельный выигрыш на сегменте финансового рынка в течение выбранного прожитого интервала времени. Предельный выигрыш может найти применение в следующих случаях: для оценки профессионального коэффициента полезного действия дилера и использования этого показателя, например, в формуле его заработной платы; для оценки эффективности исследуемого алгоритма управления финансовыми инструментами; для сопоставления между собой разных сегментов финансового рынка и состояний одного сегмента в разные временные промежутки; наконец, свойства оптимальных управляющих воздействий могут подсказать каким должен быть или каким быть не должен алгоритм управления финансовыми инструментами.

В диссертации рассматривается валютный рынок. Предшественниками настоящего исследования в России были работы Ю.Н.Иванова, А.Г.Примака, А.М.Сизова, Р.А.Сотниковой, Т.С.Спициной, А.В.Уральского, развивших метод оптимизационного анализа применительно к рынку ГКО и фондовому рынку, рынку кредитов и совместному рынку депозитов и кредитов. Работы перечисленных авторов имеют близкое построение: сначала выводится математическая модель операций на соответствующем сегменте финансового рынка, формулируется оптимизационная задача о достижении максимального результата, выводятся и анализируются условия оптимальности, устанавливаются качественные особенности оптимального решения, дается численный метод построения оптимального решения и приводятся результаты

расчета. Построение настоящей работы

предшественников. Были получены следующие практические результаты: 1) действуя оптимальным образом на рынке ГКО в 1995 г. можно было увеличить капитал в 1107,61 раз, 2) в тот же год на фондовом рынке (акции 13 компаний) максимальное увеличение капитала составило 12,34 раза, 3) на рынке межбанковских кредитов в 2000 году можно было увеличить исходный капитал не более, чем на 34,38 % в год, 4) на совместном рынке межбанковских кредитов и депозитов в 2000 году максимальный эффект составил 100 % годовых от начального капитала банка. Настоящая работа подобно предшественникам также заканчивается расчетом максимального выигрыша на своем, валютном, сегменте финансового рынка. Оптимизационные задачи, сформулированные для рынка ГКО, фондового рынка и рынка кредитов, обладают общим свойством в части построения численного решения: сначала решается двойственная задача ходом назад; здесь для каждого временного шага находится свой оптимальный инструмент, затем решается прямая задача ходом вперед со своим стартовым количеством денежного ресурса и своими сторонними поступлениями и изъятиями денежных средств. Подобная процедура оказывается решающей и для задачи, формулируемой для валютного рынка.

Цель работы: разработка методологии оптимизационного анализа мирового валютного рынка для определения предельно возможных выигрышей при дилинговых операциях на этом рынке. Эта цель достигается на пути построения математической модели валютных операций, формулировки критерия оптимальности, вывода и анализа условий оптимальности, разработки численного метода для решения оптимизационной задачи.

Научная новизна. В работе получены следующие новые результаты: - предложен оптимизационный подход для апостериорного анализа валютного рынка;

- предельные выигрыши на валютном рынке предлагается использовать для оценки эффективности валютного дилера и формализованных алгоритмов управления валютным портфелем.

Практическая значимость работы. Третья глава работы содержит результаты практических расчетов. На примере четырех мировых валют и временного отрезка от 01.07.99 до 07.09.99 показано, как рассчитывается предельный выигрыш мирового валютного рынка. Установлена величина этого предельного выигрыша; установлена величина потерь при замене непосредственных конверсий на принудительные конверсии через базовую валюту - доллар.

Внедрение работы. Основные методические результаты работы опубликованы и среди них опубликован конечношаговый алгоритм построения оптимального решения. Таким образом, методика (а она оказалась достаточно несложной) доступна для ее применения в валютных управлениях банков и в финансовых компаниях, работающих на валютном рынке.

Апробация работы. Работа докладывалась 27.03.02 на научном семинаре в Институте системного анализа РАН и 12.04.02 на научном семинаре Факультета прикладной математики и экономики МФТИ.

Объем и структура работы. Работа состоит из Введения, трех глав, Заключения, списка литературы. Общий объем работы - 88 страниц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении описан избранный предмет исследования, дана общая характеристика области исследования с обзором работ предшественников, кратко изложены содержания глав диссертации и приведены публикации диссертанта по теме защищаемой работы.

В главе 1 "Валютный рынок", носящей обзорный характер, кратко изложена история мировой валютной системы, приведены наиболее популярные теории валютных курсов и описан порядок работы на мировом валютном рынке в режиме спот-операций.

В п. 1.1 "История мировой валютной системы" изложена признанная историографами периодизация мировой валютной системы: от 1820 г. до 1944 г. за вычетом лет на первую и вторую мировые войны - период "золотого паритета", когда роль "первичного валютного вещества" играло золото; от 1944 г. до 1976 г. - от Бреттон-Вудсской до Ямайкской конференций, когда роль золота взял на себя доллар и стабильность валютных курсов поддерживал своим капиталом учрежденный в 1944 г. Международный валютный фонд; на этом этапе были установлены фиксированные долларовые курсы всех валют с разрешенными отклонениями от них в пределах фиксированных коридоров; от 1976 г. по настоящее время, когда была признана узаконенной система управляемых плавающих курсов и когда получила распространение и множественные воплощения в жизнь идея валютных блоков типа ЕЭС, стран Карибского бассейна, Центральной и Южной Америк,,Юго-Восточной Азии.

В п. 1.2 освещаются наиболее распространенные теории валютных курсов. Начало современной теории было положено трудами двух авторов: Дж.М.Флеминга (1962) и Р.А.Манделла (1963). Они распространили известную макроэкономическую концепцию Дж.М.Кейнса, исходно ограниченную рассмотрением одной обособленной экономики, на область взаимодействующих экономик. Вместе с этой теорией рассматриваются три концепции, традиционно сопровождающие изложение модели Флеминга-Манделла.

Шведским экономистом Г.Касселем была предложена идея рассчитывать валютные курсы, приравнивая стоимости одной и той же потребительской корзины, исчисленные в разных валютах '- так сказать, на основе паритета покупательной способности валют. Идея нашла свое применение в определении жизненных уровней стран, которые рассчитываются экономической службой ООН, но не нашла отражения в установлении реальных валютных курсов. Еще одно применение этой идеи - уравнение паритета инфяяций: темп изменения курса обмена валюты страны В на валюту страны А равняется разности темпов инфляции в странах А и В. Второе рассматриваемое здесь соотношение - уравнение процентного паритета: темп изменения курса обмена валюты страны В на валюту страны А равняется разности ссудных ставок в странах А и В. И, наконец, третья, обсуждаемая в п. 1.2, концепция - равновесный валютный курс по текущим операциям - курс обмена валюты страны В на валюту страны А есть отношение части дохода в стране А, отдаваемой на покупку продукции страны В, к части дохода в стране В, отдаваемой на покупку продукции страны А.

Следующий п. 1.3 посвящен рассмотрению структуры валютного рынка и порядка действий на нем валютного дилера. Различают два основных типа валютного дилинга: текущие, или арбитражные, или операции типа "спот" и срочные, или форвардные операции. Первые завершаются взаимными платежами не позже, чем на второй торговый день после заключения сделки; в момент заключения сделки второго типа - форвардной -фиксируются спок (обычно 1-6 месяцев), количество обмениваемой валюты и курс; в работе форвардные операции не рассматриваются.

Далее в параграфе излагаются сведения об информационных агентствах, снабжающих валютных дилеров специфическим аппаратным, программным и информационным" обеспечением; к таким агентствам относятся "Рейтер", "Блумберг", "Доу-Джонс Телерейт", "Тенфор" и др. Там же анализируется отчетная информация, поставляемая по результатам торгов агентством Тенфор. В конечном счете приводятся две

таблицы: кросс-курсы мировых валют и долларовые курсы тех же валют на временном интервале 01.07.99-07.09.99 - всего 49 торговых дней; в расчетах фигурируют следующие валюты: доллар США (ф, английский фунт стерлингов (я), немецкая марка (т) и швейцарский франк ф. Таблица кросс-курсов представляет собой последовательность строк, каждая из которых относится к своей дате; в каждой строке приведены цены покупки у дилера валют на валюты: т -» /т -».у,;/^ 5, с1 -*т,

5 т, / —>т, т /; например, 01.07.99 переход « с1 проходил по цене

1,5790 долларов за фунт стерлингов. Таблица долларовых курсов есть также последовательность строк, каждая из которых относится к своей дате; в каждой строке приведены цены покупки у дилера (меньшая цена) и цены продажи дилеру (большая цена) трех валют на доллары. Обе таблицы используются далее как информационная база для проводимых расчетов.

Глава 2 "Оптимальный валютный дилинг" является центральной в работе; в ней рассматривается задача об оптимальном валютном дилинге: выводится модель валютных обменов и формула критерия оптимальности; выводятся и анализируются условия оптимальности; устанавливаются качественные особенности оптимальных валютных конверсий; дается численный метод построения оптимального решения.

Первый параграф второй главы посвящен выводу модели и формулы критерия.

Валютная операция состоит в том, что одна валюта обменивается на другую или не обменивается - тогда капитал сохраняется в исходном виде. На следующем шаге может произойти перевод капитала в третью валюту или в исходную валюту или сохранение капитала во второй валюте. Если капитал валютного портфеля содержит несколько валют, то они могут быть переведены в одну валюту или переведены каждая в свою, или сохранены без переводов, или какие-то валюты сохранены, а остальные переведены. Допустимо, чтобы переводимая валюта переводилась не в одну, а в две или несколько валют, а часть ее оставалась в неизменном виде.

Количество валюты /, которым располагает дилер на торговый день X, будет обозначаться через К/. Объем валюты /, отданный дилером в течение торгового дня / для обмена на валюту V, будет обозначаться через у',, (первый нижний индекс - / -начальная валюта, второй - ¿'-конечная валюта); объем V,'. измеряется в единицах валюты /. Объем валюты и полученный от обмена на нее валюты /', - и'п; объем и'{1 измеряется также в единицах валюты /. Баланс валюты / выглядит в этих обозначениях следующим образом:

¿6/, г=1.....т-1 (2.1)

и читается так: количество валюты / на день / равняется тому же в предыдущий торговый день минус сумме всех объемов валюты г, отданных для переводов в другие валюты плюс сумма конвертированных в валюту I объемов других валют; число таких балансов в каждый торговый день равняется числу рассматриваемых валют; последний член в балансе, //, - поступление валюты / со стороны (//>0) или изъятие ее на сторону (//<0); из числа торговых дней исключается последний: 1=Т - в этот ведется подсчет заработанного капитала и обменные операции не производятся.

Обозначим через с'л курс обмена валюты /' на валюту г; это - цена покупки у дилера валюты Г на валюту г - сколько единиц валюты / получает дилер за 1 единицу валюты г'. За у'., единиц валюты /'дилер получает:

сМ(2.2)

единиц валюты г. Связь (2.2) между объемом отдаваемой валюты Г и объемом получаемой валюты и выраженная через цену покупки с'п позволяет записать баланс (2.1) в следующем виде:

(2.3)

Ге/ 1'е1

Второй вариант записи баланса получается, если из соотношения, аналогичного (2.2), выразить объем отдаваемой валюты V,'. через объем получаемой валюты м',.:

цены продажи валюты /' на валюту г.

Процесс валютного дилинга может начинаться с того, что в портфеле присутствует несколько валют, может продолжаться также со многими валютами и заканчивается тем, что, опять-таки, в портфеле присутствует несколько разных валют. Но капитал портфеля в последний момент должен оцениваться в какой-то одной валюте - в базовой валюте. Критерий оптимальности валютного дилинга - капитал портфеля, исчисленный в базовой валюте.

В предпоследний день рассматриваемого интервала, 1=Т-\, портфель содержит количества валют К/4, / е /; цена перевода в последний день /=Г, из каждой валюты / в базовую валюту "0"-с^; следовательно, в последний день, 1-Т, капитал портфеля, исчисленный в единицах базовой валюты, составляет:

нижний индекс "0" в обозначении критерия указывает на то, что он исчисляется в единицах базовой валюты "0".

Во втором параграфе первой главы формулируется оптимизационная постановка и выводятся условия оптимальности.

Оптимизационная постановка. В общем виде задача об оптимальных валютных обменах записывается так:

После подстановки этого выражения в (2.1) баланс валюты / будет

(2.6)

шах у/Л->о ш

I' и"

Ге/ Се/

(2.9)

Г/°=и/>; г е /; Г = 1,...,Г-1.

В этой записи представлен критерий оптимальности, перенесенный из (2.6), и балансы валют - из (2.3); под знаком шах выписаны аргументы оптимизации

вместе с требованием их неотрицательности; после балансов даны начальные условия.

Условия оптимальности в задаче об оптимальных конверсиях имеют следующий

вид:

если у/'< О, то V/ = 0; если = 0, то V/ > 0;

если <р'и.<0, то V],, -0; если <р'и. = 0, то (2.11)

/,г"е/, / = 1.....Т-1.

Выписанные условия действительны для всех торгуемых видов валют и для всех торговых дней от первого до предпоследнего.

Обозначения раскрываются следующим образом:

.„' „'+• ,л _ „I , А „Г „Т „Г

V, = Р1 ~ Рг. = + • Р> = с,0 >

где р\ - двойственная переменная к балансу валюта г, с^ - цена перехода валюты г в

базовую валюту 0 в последний торговый день.

В п. 2.3 дается анализ условий оптимальности. Изложение начинается с аксиомы

цен.

Она выглядит достаточно тривиально: цена покупки валюты у Вас не может был, больше цены продажи валюты Вам. Чуть более сложный случай: Вы не можете выиграть, обменяв валюту А на валюту В, затем валюту В на валюту С и, наконец, валюту С на валюту А. Вообще, если любые валютные обмены от исходной валюты к исходной валюте приносят доход в этой исходной валюте, то это - ситуация неограниченного источника дохода и при наличии такового оптимальным поведением было бы совершить так много обменов по цепочке, которая приносит доход, как только это возможно.

Отсутствие неограниченного источника среди трех валют с/, я, т записывается следующим образом:

с,1< ' СЫ = С;в ' СА - сЛя ' Сп«1 = СтЯ ' ^ 1 сзт'Сш=ст'С1т->

сл 'сшст1 =с™ -с<г! -сот! (2-13)

сАп'ст' ск/ ~ ' ' ст = ст ' ' сЛп ^ 1В верхней строке записаны неравенства для пар валют. Первая запись читается так: если 1 доллар перевести в фунты стерлингов по курсу сЛ, а затем полученное количество фунтов перевести в доллары по курсу с!г1, то в результате получится сумма, меньшая 1 доллара. Перемена мест сомножителей не меняет величины произведения, но меняет промежуточную валюту, а также исходную - она же финальная: если 1 фунт стерлингов перевести в доллары, а затем полученные фунты вернуть в доллары, то в результате получится количество, меньшее 1 фунта стерлингов. На рис. 2.1 показаны все шесть вариантов переходов, соответствующие первой строке из (2.13) и шесть вариантов, соответствующих второй строке из (2.13).

Таблицы Тенфор не свободны от погрешностей типа неограниченного источника; например, в исходных данных на 27.08.99 приведены такие значения обменных

курсов:

4708 =0,6310; 08 =2,4342; с}]08 =0,6515 и 4708 -с™8-с™8 =1,00069>1.

Во-первых, так не должно быть, а, во-вторых, если оставить исходные данные без коррекции, то численный алгоритм построения оптимального решения будет расходящимся; поэтому число 0,6515 было заменено на 0,6510.

Неравенства (2.13) могут быть записаны в более коротком но, правда, менее наглядном представлении:

СцС^й 1, с1]с]ксы < 1, где г к={с1,5,т). (2.14)

Чтобы получить те же неравенства, что и в (2.13), нужно вместо текущих индексов г, у, к последовательно подставлять индексы валют й, б, т; при этом значения г, к не должны совпадать. В подобной форме экономно записываются неравенства для четырех валют:

где г к 1={ё, б, т,/\ (2.15)

Следующий вопрос, близкий неравенствам (2.13)—{2.15), касается вариантов перевода валюты в валюту: марки можно перевести в швейцарские франки непосредственно по курсу стг, можно перевести через доллары и курс такого опосредованного перевода равен стЛс^; можно включить в процесс перевода еще фунты стерлингов и тогда опосредованный курс равняется с^с^с^. Не всегда самым выгодным

оказывается непосредственный перевод; в таблице Тенфор немало тому примеров и один из них такой (см. табл. 1.2, строка, соответствующая дате 02.09):

с£ю = 0,5416, с®09 = 1,5114, с!}09 =0,8183;

сИ09.с0209 =08186>0;8183 = с02 09

При том, что -Су > ст}, т.е. перевод немецких марок в швейцарские франки выгоднее проводить не непосредственно, а через доллары, одновременно должны выполняться еще два неравенства: ст1) > с^ ■ с^ и с^ ■ с^. Эти неравенства

следуют из первого, потому что выполняются условия (2.13); действительно, после умножений левой и правой частей исходного неравенства сначала на с^, а затем на сы и привлечения из (2.13) двух неравенств: 1 и сатсы <1, получаются искомые

соотношения. Вообще, если среди трех валют г,}, к один из переводов выгоднее делать опосредованно, то это исключает выгодность некоторых других опосредованных переводов:

если су <сйск], то сй > с^с^ и ск] > сьс1р

атакжееслй <с]кск„ то сй>с4усу, и сл>срс,к, (2.16)

Подлинность этих неравенств проверяется привлечением условий из (2.15). Подобным же образом доказывается сопутствие неравенств для случая четырех валют:

если среди четырех валют /, у, К I обнаруживается предпочтительность опосредованного перехода через третью и четвертую валюты по сравнению с непосредственным переходом, то это вызывает следующие отношения между курсами:

СЛ <СлСиС1к> СИ > Ск]С]1С1Ь с|/ >с,1с1кс1д-

Например, первое производное неравенство получается умножением исходного на С]1 с1к > с учетом того, что СуСр < 1 и саса й 1 получается то, что требуется.

Не исключена, а напротив неоднократно встречается в расчетах ситуация, когда за один торговый день исходная валюта переводится в промежуточную, а промежуточная в конечную. По итогам торгового дня исходная валюта конвертировалась в конечную, но в процессе конверсии она прошла через промежуточную или, может быть даже, через несколько промежуточных.

Ключевым в п. 2.3 является пункт под названием "Качественные особенности оптимальных переходов".

Валюта может не конвертироваться ни в какую другую валюту, валюта может конвертироваться в другую валюту непосредственно или опосредованно через третью валюту или через несколько валют.

1°. На каждом временном шаге должна быть хотя бы одна валюта, не конвертирующаяся ни в какую другую; таких валют может быть несколько; такими валютами могут быть все.

2°. Если валюта не конвертируется, то никакая ее часть не конвертируется ни в какую валюту; если валюта конвертируется, то в каждом единичном акте конверсии валюта конвертируется полностью и при том в одну валюту.

3°. Исследуемая оптимизационная задача сводится к перебору финальных валют и

путей в них; эффекты вариантов перехода определяются параметрами а?,:

если с,/ < СуС^Сц, то

(2.17)

Заключает главу 2 п. 2.4. "Алгоритм построения оптимального решения". Следующий рекуррентный процесс приводит к определению неконвертирующихся валют и конвертирующихся валют вместе с путями их конверсии на каждом временном шаге.

Р^'^Р^РГ^С^С,,^}. (2.51)

Чтобы избежать громоздких записей, здесь приняты такие обозначения:

р1"=р.-, (р.'Г=Р.(4); 4= С,,

одним словом верхний индекс Г в обозначении переменных опущен.

Расчет оптимальных конверсий начинается с последнего торгового дня, где т

двойственные переменные р\ заданы равными коэффициентам перевода в базовую

валюту с^, и заканчивается в первый день рассматриваемого временного промежутка. При этом проходе происходит разметка валют на неподвижные и конвертирующиеся вместе с указанием путей их конверсий.

Последняя, третья глава имеет название "Практические расчеты оптимальных конверсий, 01.07.99-07.09.99". В этой главе приводятся результаты расчетов оптимальных конверсий четырех валют: доллара США, английского фунта стерлингов, немецкой марки и швейцарского франка.

Первый параграф главы посвящен оптимальным кроссконверсиям четырех валют. Об этом уже говорилось: конверсии можно производить из любой валюты в любую непосредственно й конверсии можно производить опосредованно - через базовую валюту, например, доллар. Этот параграф посвящен первому виду конверсии, названному кроссконверсией.

Расчет начинается с определения двойственных переменных р\,р*,,р'т,р'; и ведется от конца интервала к его началу; на каждом временном шаге искомые переменные получаются в результате применения рекуррентных формул (2.51). Динамика четырех переменных показана на рис. 3.1.

Как следует из четырех графиков, переменные р\ как функции времени не возрастают. Переменная р*л принимает значение 1,1868 в начале временного интервала (/=01.07) и уменьшается до значения 1,0 в конце интервала ((=07.09), останавливаясь в своем уменьшении на тех шагах, где валюта с! не конвертируется; переменные р[,р'т, начинаются со значений, соответственно, 1,8740; 0,6283; 0,7662 и в конечной точке приходят к значениям 1,5998; 0,5381; 0,6583, равным долларовым курсам покупки этих валют; на тех шагах, где эти валюты не конвертируются в другие валюты, значения двойственных переменных сохраняются. Доллары в представленном расчете выступают как базовая валюта; это значит, что максимизируемый конечный капитал исчисляется в долларах, поэтому финальное значение переменной рТг принимается за единицу. В промежуточные моменты / величина р'л есть коэффициент умножения количества долларов, вводимых в этот момент Г и до конца интервала Т обращающихся по оптимальной программе. Величины р',,р'„,р\ - умноженные цены конверсии,

соответственно фунтов, марок и франков; это - коэффициенты перевода в доллары валют "/', "от" или "/ ", вводимых в момент I и до конца интервала Т обращающихся по оптимальным программам. Величина 1,8740, являющаяся начальным значением р\, включает обменный курс перевода фунта стерлингов в доллары: 1,5790 и коэффициент умножения долларов от начала (<=1) и до конца (Г=7): [1,1868 (1,8740=1,5790 1,1868) ]; то же самое относится к валютам "от" и "/" и начальному моменту (/=1), и это потому, что по оптимальному правилу в начальный момент все валюты конвертируются в доллары.

Оптимальные переходы представлены в табл. 3.1. Таблица читается следующим образом: в верхней строке перечислены четыре типа валют, в левом столбце - даты рассматриваемого временного промежутка, на каждом временном шаге приводится та валюта, в которую по оптимальному правилу переходит валюта, указанная в верхней строке столбца. Например, 13.07 валюта " переходит в валюту'У' в"т" в V " и в "/"; если валюта не переходит ни в какую другую, то вместо обозначения этой валюты фигурирует символ * - так в таблице выделяются "неподвижные" валюты. Как было доказано в п. 2.3.2, на каждом шаге оптимального процесса должна быть хотя бы одна неподвижная валюта; неподвижных валют может быть несколько, неподвижными валютами могут быть все. В представленном расчете только 21.07 три неподвижных валюты и 04.08,24.08, 31.08 - по две неподвижных валюты; в остальные дни неподвижная валюта одна. Отсюда следует так называемое магистральное свойство оптимальной траектории: если процесс начинается с того, что в портфеле представлены несколько валют, то при оптимальных переходах достаточно быстро в портфеле окажется одна валюта; это при том, что сторонних поступлений нет. Например, если до торгов 01.07 в портфеле имеются все четыре валюты, то после торгов - только доллары; если до торгов 21.07 в портфеле опять все четыре валюты, то после - три валюты, исключая доллары, а после следующих торгов - одна валюта - фунты стерлингов. Таким образом, на магистрали удерживается только одна, оптимальная, валюта, а присутствие в портфеле нескольких валют обязано либо начальной ситуации многовалютности, либо недавнему стороннему поступлению в портфель других или другой валюты, отличной от оптимальной и при этом, чтобы после текущих торгов в портфеле остались несколько валют, а не одна, в>строке табл. 3.1 должны быть несколько звездочек, а не одна.

Если нет сторонних поступлений и в стартовом составе портфеля присутствуют все четыре валюты, то картина конверсий имеет вид, представленный на рис. 3.2

Из 48 торговых дней в роли неподвижной валюты доллар выступал 17 раз, фунт стерлингов - 12, немецкая марка - 9, швейцарский франк - 15 раз; в сумме - 53 и это потому, что трое торгов имели по две неподвижных валюты и одни торги - три неподвижных валюты; 49-й торговый день - финальный и здесь вид валюты, доллары, определяются критерием задачи.

Особенность оптимальной торговли валютой в том, что, как правило, любая валюта в роли оптимальной не задерживается в портфеле дольше одного дня: в табл. 3.1 только 12 раз оптимальная валюта остается оптимальной и на следующий день, из них 3 раза - на третий день. Из этого следует, что валютный дилер, как правило, не может рассчитывать, что пропуск им одного дня торгов не сократит его максимальный выигрыш.

На рис. 3.2 демонстрируется одна оптимальная траектория с фиксированными начальными количествами валют и без сторонних поступлений; при помощи табл. 3.1 могут быть построены все оптимальные траектории, заканчивающиеся 07.09.99, начинающие в любой торговый день от 01.07.99 до 06.09.99, с любыми начальными количествами и с любыми сторонними поступлениями в промежуточные дни.

Следующая формула определяет максимальное значение критерия задачи К через

прямые переменные - начальные количества валют К®, V®, К®, V® и начальные значения двойственных переменных:

К = 1,1868 +1,8740 V? + 0,6283 + 0,7662 (3.1)

За 49 торговых дней каждое из начальных количеств валюты умножается в 1,1868 раза или на 18,68%; графики на рис. 3.1 близки к линейным функциям времени р\\ следовательно, удлинение временного промежутка в к раз увеличит норму доходности оптимальной работы на мировом валютном рынке тоже в к раз; информационное агентство Тенфор работает (5x52-11) рабочих дней в году (11 дней приходятся на национальные праздники США); в предположении, что коэффициент умножения линейно

зависит от длительности временного промежутка, максимальный годовой процент доходности работы на мировом валютном рынке составляет:

18,68%х(5х52-11)/49=94,92% в год (3.2)

неожиданно высокий результат для мирового финансового рынка!

Два заключительных замечания. Первое: из многих строк табл. 3.1 следует, что непосредственный переход в неподвижную валюту не всегда выгоден по сравнению с опосредованным, например, 01.07 франки выгоднее переводить в доллары через марки, чем непосредственно; например, 02.07 марки и франки выгоднее переводить в фунты через доллары, чем непосредственно. Насколько существенно отличие опосредованных переходов от непосредственных? Все случаи опосредованных переходов отмечены, в формуле (3.1) круглыми скобками. Если вместо пар курсов, заключенных в круглые скобки и представляющих курс опосредованного перехода, подставить курсы непосредственных переходов, то вместо коэффициента умножения 1,1868 получится 1,1806. В годовом процентном исчислении это - 3,1 процентных пункта.

Второе замечание касается сторонних поступлений. Как уже отмечалось,

двойственные переменные р' определяют коэффициент, с которым количество валюты /', введенное в момент процесса Г, входит в конечный капитал К. Если, например, 20.07

20 07

валютный дилер получил дополнительно доллары в количестве , а 29.07 - фунты

ло (у7

стерлингов // и сразу после получения включил их в оптимальный процесс конверсий, то итог вместо (6.1) окажется следующим:

К+ = 1,1868 +1,8740 К® + 0,6283 +0,7662 +1,1433/^007 +1,7471//907 Заключительный параграф главы 3 содержит результаты расчетов оптимальных конверсий через доллары.

Следует отметить, что переходы через промежуточную валюту связаны с двукратным платежом спреда и по сравнению с непосредственными переходами несут

дополнительные потери. Здесь на конкретном материале оценивается величина этих потерь.

В варианте конверсий через доллары математическая модель торговли валютами повторяет модель торговли ценными бумагами: в одном и другом случаях фигурируют балансы финансовых инструментов (ценных бумаг или валют), а также баланс денежных средств (рублей или долларов). В работе [1] представлена математическая модель операций на рынке ценных бумаг; там же выведены условия оптимальности и предложен алгоритм построения оптимального решения.

В соответствие с этим алгоритмом оптимальное решение сначала строится в двойственных переменных и от правого конца к левому. Решение в двойственных переменных определяется только ценами С/,С/; начальные количества валют, а также сторонние поступления не влияют на значения двойственных переменных. В двойственных переменных решается центральный вопрос оптимального дштанга: какие валюты из тех, что перешли с предыдущего дня или в текущий день поступили со стороны сохраняются в оптимальном портфеле, какие валюты отдаются в обмен на новые и какие новые валюты оказываются в портфеле после торгов дня текущего.

Свойства оптимальных обменов таковы: если валюта сохраняется в портфеле, то она сохраняется полностью; если валюта продается на доллары, то она продается полностью; в качестве нового в портфеле может появиться только один вид валюта. Эти свойства вместе с разметкой валют дают основания для однозначного решения прямой задачи, в которой присутствуют начальные количества валют V? и сторонние поступления .

В табл. 3.3 приведены значения двойственных переменных этой задачи по торговым дням рассматриваемого периода:

Л( - двойственная переменная к балансу долларов,

Х'5,Х'т,Я'^ - к балансам фунтов стерлингов (л), немецких марок (т), швейцарских франков (/).

Структуры оптимальных решений и схемы построения этих решений в задачах о кроссконверсиях и конверсиях через доллары в значительной части идентичны.

Оптимальные переходы, представленные в табл. 3.1 и на рис. 3.2, оказываются такими же для конверсий через доллары на 46 шагах из 49; исключения составляют три даты.

Сравнение двух оптимальных решений, кроссконверсий и конверсий через доллары, показывает, что различие наблюдается только на трех шагах из 49; максимальное значение критерия во второй задаче при этом таково:

К2 = 1,1848 К® +1,8708 К® + 0,6272 + 0,7648 К® (3.4)

1 1

Разность К и К определяет потери в конечном капитале, порождаемые требованием проведения всех конверсий через промежуточную валюту - доллары:

К2-К1 =-(о,0020 +0,0032^° +0,0011^ +0,0014К°) (3.5)

Конверсии через доллары дают на том же статистическом материале, что и непосредственные конверсии, коэффициент увеличения капитала 1,1848 (против 1,1868) или 18,48% за 49 торговых дней: что в пересчете на годовую ставку процента равняется:

18,48% х (5 х 52-11)/49=93,91% в год; таким образом, теряемая доходность составляет 1,01% в год.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1°. Представлен анализ отчетной информации, характеризующей торги на мировом валютном рынке; определены правила выборки данных для оптимизационных расчетов. 2°. Выведена модель валютного дшшнга и формула критерия оптимальности. 3°. Выведены условия оптимальности для задачи оптимального валютного дилинга.

4°. Установлены следующие правила оптимальных валютных обменов. Во-первых, на каждом временном шаге должна быть хотя бы одна валюта, не конвертирующаяся ни в какую другую, таких валют может быть несколько, такими валютами могут быть все; во-вторых, если валюта не конвертируется, то никакая ее часть не конвертируется ни в какую другую; если валюта конвертируется, то она конвертируется полностью и при том в одну валюту. В-третьих, конверсия конвертирующейся валюты в неконвертирующуюся может происходить непосредственно, но также и опосредованно - через одну или несколько промежуточных валют.

5°. Предложен экономный алгоритм построения оптимального решения в виде конечношагового итерационного процесса.

6°. Проведены практические расчеты апостериорных оптимачьных кроссконверсий для четырех валют на интервале 01.07.99-07.09.99; получено, что для случая этих четырех валют максимальный годовой эффект составляет около 100%, т.е. действуя на сокращенном мировом валютном рынке, можно (в максимальном варианте) за 1 год удвоить начальный капитал.

7°. Установлено, что оптимальные конверсии через доллар по сравнению с непосредственными конверсиями сокращают предельный эффект на 1,01% на фоне 94,92% в год.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в следующих статьях:

1. Иванов Ю.Н., Коноплёв Д.В. Моделирование валютных операций и оптимизационный анализ валютного рынка. // Системные исследования. Методологические проблемы. Ежегодник 2001. М., Эдиториал УРСС, 2002.

2. Коноплёв Д.В. Оптимальный валютный дилинг. Препринт. МФТИ, 2002.

3. Коноплёв Д.В. Международная финансовая система и теории валютных курсов. Препринт. МФТИ, 2002.

Таблица 1.2. Кросс-курсы покупки четырех мировых валют на 12 часов торгового дня, 1999 г. ("с/ " - доллар США; "я " - фунт стерлингов; "от " - немецкая марка; "/" - швейцарский франк)

Дата т-* с1 <1-* 5 <}-* т а-* т /-от т■*/

01.07 1,5790 0,5294 0,6455 0,6329 0,3350 0,4086 1,8886 2,9812 1,2107 1,5481 2,4442 0,8193

02.07 1,5708 0,5222 0,6363 0,6364 0,3323 0,4049 1,9146 3,0076 1,2175 1,5712 2,4683 0,8206

05.07 1,5766 0,5233 0,6376 0,6339 0,3317 0,4040 1,9094 3,0104 1.2173 1,5680 2,4720 0,8208

06.07 1,5741 0,5224 0,6366 0,6351 0,3315 1,4042 1,9130 3,0122 1,2177 1,5699 2,4710 0,8198

07.07 1,5613 0,5238 0,6390 0,6403 0,3353 0,4092 1,9079 2,9782 1,2189 1,5644 2,4427 0,8193

27.08 1,5842 0,5333 0,6510* 0,6310 0,3366 0,4108 1,8745 2,9698 1,2203 1,5345 2,4342 0,8180

01.09 1,6095 0,5434 0,6641 0,6211 0,3376 0,4124 1,8392 2,9606 1,2210 1,5043 2,4222 0,8178

02.09 1,6018 0,5416 0,6610 0,6239 0,3380 0,4125 1,8459 2,9568 1,2207 1,5114 2,4211 0,8183

03.09 1,6077 0,5456 0,6684 0,6215 0,3391 0,4155 1,8322 2,9455 1,2240 1,4956 2,4047 0,8163

06.09 1,6028 0,5420 0,6631 0,6235 0,3380 0,4136 1,8439 2,9558 1,2219 1,5070 2,4169 0,8169

07.09 1,5998 0,5381 0,6583 0,6247 0,3362 0,4112 1,8579 2,9733 1,2224 1,5187 2,4308 0,8171

УОЬ. 4,56% 6,49% 6,80% 4,51% 3,32% 3,81% 7,00% 3,29% 0,72% 6,81% 3,71% 0,62%

* В таблице Тенфор была цифра 0,6515. Потребовалась коррекция, чтобы исключить ситуацию с "неограниченным источником" - см. п 4.1.

£ т <1 в т й

АЛ Л „Л Л Л

(! т й в, т я а т « </ т 5

Рис. 2.1. Графическое изображение вариантов переходов между долларом(<7), фунтом стерлингов (у), и немецкой маркой (т).

.¿.т. Г 01.07 _Л 08.07

т

15.07 22.07

29.07

05.08 12.08

19.08 26.08

02.09

й 02.07 т 09.07

16.07 23.07

30.07

06.08

05.07 12.07 19.07 26.07

5 02.08

(1 й

т 13.08 / 20.08 т _ 27.08 03.09

09.08 16.08 23.08

30.08

06.09

ё 06.07

д 13.07

Г 20.07 27.07

У 03.08

т 10.08

й 17.08

й 24.08

Л_ 31.08 <1

07.07

14.07

т_ 21.07

£_ 28.07 и 04.08

11.08 18.08

25.08

01.09

5

й 3

т

5

а

л у

Рис. 3.2. Оптимальные переходы, 01.07-07.09.

Таблица 3.3. Динамика двойственных переменных в задаче о конверсиях через доллары

Дата • Дата

01.07 1,1848 1,8708 0,6272 0,7648 05.08 1,0653 1,7213 0,5860 0,7179

02.07 1,1848 1,8617 0,6187 0,7539 06.08 1,0642 1,7213 0,5840 0,7131

05.07 1,1808 1,8617 0,6179 0,7529 09.08 1,0642 1,7080 0,5816 0,7111

06.07 1,1808 1,8588 0,6169 0,7522 10.08 1,0603 1,7054 0,5816 0,7093

07.07 1,1771 1,8379 0,6166 0,7520 11.08 1,0573 1,7054 0,5787 0,7064

08.07 1,1771 1,8338 0,6140 0,7478 12.08 1,0573 1,7017 0,5754 0,7027

09.07 1,1762 1,8299 0,6140 0,7475 13.08 1,0546 1,7012 0,5754 0,7027

12.07 1,1762 1,8272 0,6109 0,7434 16.08 1,0546 1,6960 0,5709 0,6970

13.07 1,1750 1,8272 0,6084 0,7417 17.08 1,0546 1,6890 0,5693 0,6952

14.07 1,1739 1,8238 0,6080 0,7417 18.08 1,0508 1,6890 0,5661 0,6913

15.07 1,1640 1,8238 0,6079 0,7404 19.08 1,0508 1,6805 0,5631 0,6892

16.07 1,1629 1,8238 0,6065 0,7387 20.08 1,0333 1,6736 0,5629 0,6892

19.07 1,1629 1,8122 0,6031 0,7347 23.08 1,0330 1,6658 0,5625 0,6892

20.07 1,1425 1,8019 0,6024 0,7347 24.08 1,0330 1,6546 0,5532 0,6758

21.07 1,1276 1,7714 0,6024 07332 25.08 1,0311 1,6379 0,5532 0,6758

22.07 1,1237 1,7714 0,6024 0,7331 26.08 1,0311 1,6351 0,5495 0,6711

23.07 1,1188 1,7714 06007 0,7318 27.08 1,0301 1,6324 0,5494 0,6711

26.07 1,1146 1,7654 0,6006 0,7318 30.08 1,0279 1,6324 0,5493 0,6709

27.07 1,1008 1,7523 0,5463 0,7318 31.08 1,0192 1,6281 0,5490 0,6709

28.07 1,0951 1,7456 0,5981 0,7318 01.09 1,0103 1,6260 0,5490 0,6709

29.07 1,0913 1,7456 0,5964 0,7291 02.09 1,0103 1,6183 0,5472 0,6684

30.07 1,0791 1,7456 0,5903 0,7229 03.09 1,0000 1,6077 0,5456 0,6684

02.08 1,0778 1,7456 0,5885 0,7203 06.09 1,0000 1,6028 0,5420 0,6631

03.08 1,0778 1,7411 0,5874 0,7191 07.09 1,0000 1,5998 0,5381 0,6583

04.08 1,0653 1,7292 0,5874 0,7179

Принято к исполнению 11/09/2003 Исполнено 12/09/2003

Заказ № 359 Тираж: 100 экз

ООО «НАКРА ПРИНТ» ИНН 7727185283 Москва, Балаклавский пр-т, 20-2-93 (095)318-40-68 www autoreferat.ru

I J&21

Диссертация: содержание автор диссертационного исследования: кандидата экономических наук, Коноплёв, Дмитрий Владимирович

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ВАЛЮТНЫЙ РЫНОК.

1.1. История мировой валютной системы.

1.2. Теории валютных курсов.

1.2.1. Уравнение паритета инфляций.

1.2.2. Уравнение процентного паритета.

1.2.3. Равновесный валютный курс по текущим операциям.

1.2.4. Модель Дж.М.Флеминга и Р.А.Манделла.

1.3. Валютный дилинг.

1.3.1. Типы дилинга.

1.3.2. Валютная игра.

1.3.3. Информационные агентства.

1.3.4. Кросс-курсы мировых валют.

1.3.5. Долларовые курсы мировых валют.

ГЛАВА 2. ОПТИМАЛЬНЫЙ ВАЛЮТНЫЙ ДИЛИНГ.

2.1. Модель и критерий оптимальности валютных обменов.

2.1.1. Балансы валют.

2.1.2. Критерий оптимальности.

2.2. Оптимизационная постановка и условия оптимальности.

2.2.1. Оптимизационная постановка.

2.2.Условия оптимальности.

2.3. Анализ условий оптимальности.

2.3.1. Аксиома цен.

2.3.2. Двойственная задача.

2.3.3. Качественные особенности оптимальных переходов.

2.3.4. Двойственные переменные р*. и первый интеграл системы.

2.4. Алгоритм построения оптимального решения.

2.4.1. Пример расчета.

2.4.2. Численный метод.

ГЛАВА 3. ПРАКТИЧЕСКИЕ РАСЧЕТЫ ОПТИМАЛЬНЫХ

КОНВЕРСИЙ.

3.1. Оптимальные кроссконверсии четырех валют.

3.1.1. Двойственные переменные.

3.1.2. Оптимальные переходы.

3.1.3. Прямые переменные.

3.2. Оптимальные конверсии через доллары.

3.2.1. Об алгоритме построения оптимального решения.

3.2.2. Сравнение оптимальных решений.

Диссертация: введение по экономике, на тему "Математические модели валютного дилинга и оптимальные валютные конверсии"

1. Предмет исследования. Первая постановка: завершился финансовый год; валютный дилер, работая на своем сегменте финансового рынка, пришел к какому-то результату - убытку или прибыли; а какой была максимально возможная прибыль от валютного дилинга в истекшем году? Отношение полученной дилером прибыли к максимально возможной прибыли вполне может трактоваться как профессиональный коэффициент полезного действия дилера.

Вторая постановка: два дилера работали на валютном рынке; условия их работы различались в том плане, что стартовые валютные ресурсы были разными и, что сложнее, сторонние поступления и изъятия в течение года также были разными. Как сравнивать результаты работы двух дилеров при различающихся внешних условиях? Эта постановка приобретает важное значение, когда заработок дилера хотят сделать зависящим от финансового результата его работы, чтобы повысить эффективность этой работы. 1

Представляется, что в формуле дилерского заработка должен фигурировать как аргумент именно К.П.Д. дилера, а не абсолютная величина принесенной им прибыли.

Третья постановка — оценка эффективности алгоритма управления валютным портфелем. Реальная - в настоящем времени - работа на валютном рынке раскладывается на две составляющих: во-первых, прогнозирование валютных курсов на сколько-то шагов вперед и во-вторых, выбор оптимального состава валютного портфеля на текущем шаге. Вторая проблема — при известных наперед валютных курсах - решается в настоящей работе. Что касается проблемы прогнозирования, то во всей работе по управлению валютным портфелем - это намного более сложная ее часть, не имеющая признанного успешного решения, но постоянно рекрутирующая новых и новых искателей ее решения. Как определить пригодность предложенного алгоритма? Естественно: испытать его на прошлых данных. Как установить его эффективность? Так же естественно: сопоставить прибыль, даваемую алгоритмом, с максимально возможной прибылью. Так еще один раз возникает вопрос об оптимальном валютном дилинге и максимальной прибыли от торговли на валютном рынке.

Четвертая постановка: как охарактеризовать в целом состояние валютного рынка в истекшем году по сравнению с предшествующими годами, и, по сравнению с другими сегментами финансового рынка. Фондовый рынок характеризуют индексами типа Доу-Джонса, Standart and Poors 500, РТС и т.п. Эти индексы представляют собой суммы взвешенных цен акций избранных компаний; индексы рассчитываются после каждого торгового дня; представляет интерес не одно какое-то значение индекса, а его изменение на протяжении недели, месяца, года - одним словом, динамика индекса; если индекс растет, то говорят, что на фондовом рынке происходит оживление; падение индекса свидетельствует о неблагополучии фондового рынка. Подобного индекса для валютного рынка нет. Можно было бы предложить такую конструкцию: искомый показатель есть сумма долларовых курсов, отнесенных каждый к своему значению в начальный день исследуемого временного интервала, сумма делится на число членов в этой сумме. В начальный момент этот показатель равен единице, на следующий день он больше единицы или меньше ее; на третий день он в большую или меньшую стороны отличается от предшествующих дней и т.д.

О фондовых индексах: их рост предопределен экспансионистской природой акционерных обществ; акционеры стремятся к расширению своего дела и поэтому какие-то части прибыли направляют на развитие производственных фондов. Вторая действующая сторона - инвесторы фондового рынка могут оценивать адекватно, переоценивать или недооценивать реальную стоимость того или иного предприятия в те или иные моменты времени, но превалирующей здесь является повышательная тенденция в отношении оценки стоимости и поэтому фондовые индексы имеют тенденцию к росту, а падение фондовых индексов всегда явление временное, свидетельствующее либо о падении покупательной способности инвесторов, либо о неблагополучии на фондовом рынке, либо о неблагополучии в экономике в целом. Одним словом, несмотря на небезупречность рассчитываемых и представляемых широкой публике фондовых индексов, они информативны.

Возвращаясь к предложенному выше индексу валютного рынка, который, кстати, построен по образцу фондовых индексов, следует отметить, что он неинформативен, ибо его рост или падение по сравнению с предшествующим периодом не вызывает никаких ассоциаций с положением на мировом валютном рынке.

Максимальная прибыль на валютном рынке, которую можно было бы получить в истекшем периоде, есть предел для валютного спекулянта. Предельный выигрыш на валютном рынке можно сопоставить с предельными выигрышами на других сегментах финансового рынка: фондовом, ГКО, кредитном и кредитно-депозитном. Такое сопоставление может подсказать инвестору наиболее благоприятную сферу приложения своих средств. Предельный выигрыш в истекшем году можно сравнивать с таковыми в прошлые годы и это сравнение может навести на мысль о необходимости коррекций в организации мирового валютного рынка. Одним словом, предельный выигрыш на валютном рынке предлагается считать одной из характеристик этого рынка. Надо сказать, что эта характеристика свободна от того недостатка фондовых индексов, что здесь не нужно изобретать весовые коэффициенты.

Пятая постановка: какова оптимальная структура управления валютным портфелем, иными словами, каковы характерные особенности управляющих воздействий, которыми распоряжается инвестор? В роли таковых выступают объемы продаваемых и покупаемых валют. Этот вопрос всегда возникает в математических задачах управления: иногда удается построить алгоритм оптимального управления, основывающийся на текущих значениях измеряемых значений фазовых координат или их комбинаций. Одним словом, в некоторых, хотя и редких случаях структура оптимального управления подсказывает алгоритм оптимального управления - это дежурный вопрос, ответ на который иногда бывает полезным.

Итак, по разным основаниям решение задачи об оптимальном управлении валютным портфелем представляется полезным и актуальным делом. Информация о валютных курсах от начала и до конца изучаемого временного интервала имеется. Остается сформулировать задачу оптимизации, разработать математическую модель валютного дилинга, выписать условия оптимальности,- разработать эффективный численный метод и, воспользовавшись доступными отчетными данными о валютных курсах, найти оптимальные валютные обмены.

2. Область исследования. Оптимальные покупки и продажи финансовых инструментов на финансовом рынке были предметом рассмотрения в статьях [4-6,10].

В первой из цитированных статей [4] приводился оптимальный ряд ГКО, построенный на основании курсовых стоимостей облигаций ГКО в 1995 г. следующие выводы были сделаны по результатам расчетов.

Самый впечатляющий из этих выводов таков: действуя оптимальным образом на рынке ГКО в 1995 г. можно было увеличить капитал от 10.01.95 до 29.12.95 в 1107,61 раз (не на такое число процентов, а в такое число раз); ГКО-Клондайк просуществовал несколько лет, обогатив искусных спекулянтов и разорив государство, руководимое то ли неразумными, то ли преступными финансистами. Во-вторых, хотя разница между ценой продажи инвестору и ценой покупки у инвестора облигации ГКО существовала - она составляла около 0,3% от средней цены облигации, но этот спред не оказал влияния на последовательность оптимальных выпусков; оптимальным на каждом шаге процесса был один - единственный выпуск, либо деньги. Признак оптимальности выпуска в этом случае известен и прост: сегодня нужно купить облигации того выпуска, которые назавтра возрастут в цене в наибольшее число раз; если цены всех выпусков завтра станут меньше, чем сегодня, то сегодня надо продать все облигации и остаться с деньгами как оптимальным активом. Деньги оказались оптимальным активом в 15 торговых днях из 194 торговых дней. Упомянутое свойство оптимального алгоритма является весьма практически полезным: прогноз цен на облигации ГКО не должен распространяться более, чем на один торговый день. Третье обстоятельство, которое следует отметить по результатам статьи [4] таково: там было впервые предложно правило расчета коэффициента полезного действия инвестора.

Вторая статья из упомянутого цикла - [5] была посвящена оптимальным продажам и покупкам ценных бумаг, в том числе ГКО. Цены на акции по покупкам и продажам в 1995 г. различались в разы в отличие от цен на облигации ГКО и это обстоятельство существенно осложнило структуру оптимального управления портфелем ценных бумаг и потребовало разработки численного метода, решающего проблему оптимального портфеля ценных бумаг. В отличие от простого признака оптимальности в случае ГКО теперь последовательность оптимальных состояний портфеля ценных бумаг определяется применением специфического численного метода. В работе [5] приводится математическая модель торговли ценными бумагами, формулируется оптимизационная проблема, критерием в которой выступает капитал портфеля в последний торговый день анализируемого временного промежутка, выводятся условия оптимальности и предлагается конечношаговый численный метод. Этот метод выглядит так: сначала решается двойственная задача движением от конца к началу, при этом проходе все ценные бумаги на каждом шаге процесса разносятся по трем классам: "купить", "продать", "сохранить"; при этом на каждом шаге в качестве оптимального покупаемого выявляется только один вид бумаг, либо не одного, когда оптимальным активом являются деньги. Разметка по классам является универсальной заготовкой для полного портфеля: считается, что на данном шаге в портфеле присутствуют все виды ценных бумаг и деньги; происхождение их таково, что они либо переходят с предшествующего шага (в прямом течении времени) и приходят со стороны. При прямом проходе (от начала к концу рассматриваемого интервала) эта заготовка используется для того, чтобы решить задачу в прямых переменных, где задаются конкретные стартовые количества денег и ценных бумаг, а также конкретные поступления активов на каждом шаге процесса.

Для практических расчетов были взяты цены продаж и покупок акций 13 компаний по всем торговым дням 1995 г. - их оказалось 239; результаты следующие.

Первое: из 13 компаний акции только 3-х входили в оптимальную последовательность покупок и продаж и деньги также входят в эту последовательность.

Второе: оптимальная последовательность содержит всего 8 актов продаж и покупок акций - 8 обновлений портфеля; такая инерционность по сравнению с портфелем ГКО объясняется значительным спредом между ценой продажи и ценой покупки: ведь купив акции какой-то компании как минимум нужно дождаться момента, когда цена их покупки сравняется с ценой их продажи в момент покупки; при общей тенденции роста цен такое сравнивание случалось в среднем через 1,5 месяца. Следовательно, прогноз цен фондового рынка должен распространяться на срок не менее 1,5 месяцев (в среднем), в то время для рынка ГКО горизонт должен отстоять на 1 торговый день.

Третье: максимальный коэффициент увеличения капитала на фондовом рынке в 1995 г. составил 12,34 раза; разница в «100 раз по сравнению с рынком ГКО в 1995 г. связана с тем, что рассматривались акции только 13 компаний и, видимо, самое главное с тем, что фондовый рынок как рынок частных лиц оказался много менее щедрым для инвестора, чем государственный рынок ГКО.

В работе [10] рассмотрен рынок межбанковских кредитов (МБК); отчетная информация представлена как зависимость ставки предоставления денежных средств от срока предоставления и календарного времени; сроки предоставления на рынке МБК стандартны: 1, 3, 7, 14, 30 дней. Постановка задачи об оптимальном апостериорном кредитовании такова: задан начальный кредитный ресурс, заданы сторонние поступления и изъятия денежных средств на протяжении всего интервала рассмотрения; кредитный ресурс каждого дня складывается из возвратов ранее предоставленных кредитов (вместе с процентами по ним) и поступления минус изъятие; в дни изъятий обязательно должны быть возвраты, чтобы удовлетворить внешним условиям задачи; требуется выбрать такую последовательность сроков предоставления, чтобы при соблюдении всех внешних условий задачи получить максимальный капитал в последний день рассматриваемого интервала.

В работе [10] введены понятия начальной и краевой задач оптимального кредитования. В начальной задаче определяется оптимальная цепочка кредитов от начала и до конца интервала рассмотрения; в ней определен стартовый ресурс и нет сторонних поступлений и изъятий. Когда в задаче фигурирует помимо стартового ресурса еще один ресурс стороннего поступления и нет изъятий, то ее решение есть сумма решений двух начальных задач: первая начинается в точке старта рассматриваемого процесса, вторая - в точке стороннего поступления; первая оперирует со стартовым ресурсом, вторая — с ресурсом стороннего поступления, обе начальных задачи имеют окончанием финальную точку рассматриваемого процесса. Когда в задаче есть стартовый ресурс и одно стороннее изъятие в промежуточной точке, то это уже краевая задача: нужно не только провести стартовые денежные средства по оптимальной цепочке кредитов до конца рассматриваемого интервала, но еще сделать так, чтобы. заданное количество денежных средств было доставлено в точку изъятия. Эту задачу решают две начальные задачи с общим началом: первая заканчивается в финальной точке рассматриваемого интервала, вторая — в точке изъятия; стартовый ресурс второй задачи есть такая часть общего ресурса, которая после своей оптимальной цепочки становится ровно изымаемым количеством денежных средств в точке изъятия.

Решение общей задачи оптимального кредитования есть сумма решений начальных задач, каждая со своей оптимальной цепочкой кредитов; число начальных задач равняется числу поступлений ресурсов (включая начальный ресурс) плюс число изъятий; то, что решение исходной задачи есть линейная комбинация решений начальных задач, является следствием линейности исходной задачи.

Дополнительно к сказанному надо еще отметить следующие результаты работы [10]. Первый. Численное решение начальной задачи получается двумя проходами: сначала решается двойственная проблема от правого конца к левому; здесь для каждого временного шага находится свой оптимальный кредит (свой оптимальный срок кредитования); затем решается прямая проблема со своим начальным количеством денежных средств; оптимальная цепочка получается последовательным движением от начала данной прямой задачи до ее окончания. Второе: практический расчет оптимальной последовательности кредитов с данными рынка МБК на интервале 01.10.00-24.12.00 привел к максимальному выигрышу 34,38% в годовом исчислении.

В публикации [6] рассматривается проблема оптимизации в отношении совместной работы на рынке депозитов и рынке кредитов. Здесь оптимизационная проблема такова: задан временной интервал; заданы сроки привлечения депозитов и сроки предоставления кредитов; на межбанковском рынке они неизменны по времени; известны две дискретные функции: ставка привлечения и ставка предоставления в зависимости от календарного срока и срока привлечения или срока предоставления; на каждом временном шаге дана возможность привлекать депозиты разных сроков, но обязательно с погашениями в пределах рассматриваемого интервала; на каждом временном шаге образующийся денежный ресурс может распределяться между кредитами разных сроков опять-таки с возвратами до окончания рассматриваемого интервала; оптимальной называется последовательность депозитов и кредитов, приводящая к максимальной прибыли, которая достигается в конечный момент интервала. Оптимальное решение очевидно в отсутствие ограничений: в тот первый торговый день, когда ставка предоставления превысила бы ставку привлечения, следовало бы, не ограничивая себя, привлечь и разместить максимально возможный объем денежных средств; этому препятствуют регламенты Центрального банка, поэтому оптимизационная задача о привлечении депозитов и предоставлении кредитов включает ограничения, задаваемые инструкциями и положениями Центрального банка.

В работе [б] получены следующие результаты. Выведена модель совместного привлечения и предоставления денежных средств. Выведены модели регламентных ограничений Центрального банка: по резерву на возможные потери по ссудам, по резерву по депозитам, по нормативу достаточности капитала банка, по текущей ликвидности банка, по долгосрочной ликвидности банка, по общей ликвидности. Сформулирована задача оптимальных привлечений и предоставлений. Выведены условия оптимальности. Исследована структура оптимального решения. Рассмотрен пример оптимального решения для рынка МБК с данными, относящимися к периоду 01.07.00-30.12.00. Доказано, что в рассматриваемом примере оптимальная последовательность депозитов и кредитов такова: привлекаются только самые дешевые, одношаговые, депозиты; предпочтительными являются самые дорогие, четырехшаговые кредиты; чтобы не нарушалось условие достаточности капитала банка, приходится на первом шаге предоставлять одно- и двухшаговые кредиты и на втором шаге — двухшаговые кредиты. Одно- и двухшаговые кредиты менее выгодны, но их включение в оптимальную траекторию обусловлено необходимостью неубывания капитала банка для выполнения условия достаточности на тех шагах, где нет возврата выгодных четырехшаговых кредитов. Максимальная эффективность совместной работы на рынке межбанковских депозитов и кредитов составляет 190% в год — по опыту расчетов 01.07.00-30.12.00.

Последняя из рассмотренных в этом обзоре задач (ГКО, акции, кредиты, депозиты и кредиты) выпадает из общего круга по следующему основанию. Первые три решаются одним общим методом: сначала ходом назад определяются двойственные переменные задач и делается разметка инструментов на продаваемые (неоптимальные) и покупаемые (оптимальные) и в случае акций - еще сохраняемые; затем ходом вперед, используя результаты первого прохода, находятся оптимальные количества инструментов по заданным начальным ресурсам и сторонним поступлениям-изъятиям. Не так в задаче о привлечении-предоставлении: здесь не удается построить простой алгоритм и причиной этому является ограничение, связывающее на каждом шаге финансовые инструменты. Поэтому здесь лишь можно в каждом конкретном случае угадать оптимальное решение, а затем доказать его оптимальность (вариант с привлечением классических численных методов решения оптимизационных линейных динамических задач хотя и в запасе, но не рассматривается).

3. Содержание диссертационной работы. Работа содержит оглавление, настоящее Введение, три главы, Заключение и список цитированной литературы.

Диссертация: заключение по теме "Математические и инструментальные методы экономики", Коноплёв, Дмитрий Владимирович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе получены следующие основные методические и практические результаты.

1°.°Представлен анализ отчетной информации, характеризующей торги на мировом валютном рынке; определены правила выборки данных для оптимизационных расчетов.

2°. Выведена модель валютного дилинга и формула критерия оптимальности.

3°. Выведены условия оптимальности для задачи оптимального валютного дилинга.

4°.°Установлены следующие правила оптимальных валютных обменов. Во-первых, на каждом временном шаге должна быть хотя бы одна валюта, не не конвертирующаяся ни в какую другую, таких валют может быть несколько, такими валютами могут быть все; во-вторых, если валюта не конвертируется, то никакая ее часть не конвертируется ни в какую другую; если валюта конвертируется, то она конвертируется полностью и при том в одну валюту. В-третьих, конверсия конвертирующейся валюты в неконвертирующуюся может происходить непосредственно, но также и опосредованно - через одну или несколько промежуточных валют.

5°.°Предложен экономный алгоритм построения оптимального решения в виде конечношагового итерационного процесса.

6°.°Проведены практические расчеты апостериорных оптимальных кроссконверсий для четырех валют на интервале 01.07.99-07.09.99; получено, что для случая этих четырех валют максимальный годовой эффект составляет около 100%, т.е. действуя на сокращенном мировом валютном рынке, можно (в максимальном варианте) за 1 год удвоить начальный капитал.

7°.°Оптимальные конверсии через доллар по сравнению с непосредственными конверсиями сокращают предельный эффект на 1,01% на фоне 94,92% в год.