Эффективные математические методы вычисления цен опционов в моделях, допускающих скачки тема диссертации по экономике, полный текст автореферата

Автореферат диссертации по теме "Эффективные математические методы вычисления цен опционов в моделях, допускающих скачки"

На правах рукописи

Кудрявцев Олег Евгеньевич

Эффективные математические методы вычисления цен опционов в моделях, допускающих скачки

Специальность 08.00.13 - Математические и инструментальные методы

экономики

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 2012

Работа выполнена в Ростовском филиале государственного казённого образовательного учреждения высшего профессионального образования "Российская таможенная академия"

Научный консультант: доктор технических наук, профессор

Белявский Григорий Исаакович

Официальные оппоненты: Жуков Михаил Юрьевич,

доктор физико-математических наук, доцент, ФГАОУ ВПО "Южный федеральный университет", заведующий кафедрой

Пресман Эрнст Львович,

доктор физико-математических наук,

ЦЭМИ РАН, главный научный сотрудник

Хаметов Владимир Минирович, доктор физико-математических наук, профессор ФГОБУ ВПО "Московский государственный институт электроники и математики (технический универстиет)", профессор

Ведущая организация: Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования "Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации".

Защита состоится 14 мая 2012 года в 15 часов на заседании диссертационного совета Д 002.013.02 в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Центральный экономико-математический институт Российской академии наук, расположенном по адресу: 117418, Москва, Нахимовский проспект, ауд. 520.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ЦЭМИ РАН. Автореферат разослан ^/-бс-Л 2012 г.

Учёный секретарь диссертационного совета

Борисова Светлана Валерьевна

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. В развитых странах срочный рынок - рынок фьючерсных и опционных контрактов - является важнейшей составляющей финансового рынка, поскольку его оборот в десятки раз превышает объем торгов на рынке базовых активов. Срочный рынок является весьма популярным среди большого круга инвесторов благодаря широким возможностям при минимальных затратах эффективно управлять ценовыми рисками рынков акций, валют, а также долгового и товарного рынков.

В России появление рынка фьючерсов и опционов в РТС (FORTS) в значительной степени обусловлено финансовым кризисом 1998 г., когда деятельность участников фондового рынка была практически парализована. В настоящее время рынок FORTS стал ведущей площадкой по торговле производными финансовыми инструментами не только в нашей стране, но и в странах Восточной Европы. Задача создания самостоятельного финансового центра в России является важнейшим приоритетом долгосрочной экономической политики страны.

Согласно "Стратегии развития финансового рынка Российской Федерации на период до 2020 года", в рамках решения задачи по повышению ёмкости и прозрачности российского финансового рынка планируется расширить спектр производных финансовых инструментов и укрепить нормативно-правовую базу срочного рынка. Таким образом, в ближайшем будущем следует ожидать качественный рост объёмов сделок с производными финансовыми инструментами. В связи с этим, важной актуальной задачей является применение на российском срочном рынке адекватных математических моделей ценообразования деривативов. Поскольку российский финансовый рынок достаточно молод,, имеет смысл воспользоваться накопленным опытом стран Западной Европы и США в вопросах моделирования и ценообразования производных финансовых инструментов.

Производные инструменты неоднократно становились объектом исследования учёных. При этом, в силу более позднего формирования структур рынка деривативов в нашей стране, большая часть работ по данной тематике принадлежит иностранным исследователям, в число которых входят: S. Asmussen, F. Avram, О. Е. Barndorff-Nielsen, D. S. Bates, M. N. Broadie, A. Bensoussan, F. Black, P. Carr, R. Cont, J. С. Сох, F. Delbaen, D. Duffie, E. Eberlein, P. Glasserman, S. L. Heston, A. Hirsa, J. E. Ingersoll, P. Jaillet, I. Karatzas, A. E. Kyprianou, S. Kou, D. Lamberton, B. Lapeyre, F. Longstaff, D. B. Madan, R. Merton, E. Mordecki, G. Peskir, H. Pham, L. C. G. Rogers, S. A. Ross, W. Schachermayer, M. Scholes, W. Schoutens, C. Schwab, E. Schwartz, N. Touzi, M. Yor, X. L. Zhang и другие.

В нашей стране большое влияние на формирование и развитие финан-

совой математики было оказано академиком Российской академии наук, профессором А.Н.Ширяевым и его учениками. На юге России указанное направление первым стал развивать профессор С.З.Левендорский. В настоящее время многие российские учёные активно работают в области финансовой математики в России и зарубежом, являются консультантами финансовых институтов, входят в редколлегии ведущих международных журналов. В список этих учёных входят К. А. Боровков, С. И. Боярченко, Г. И. Белявский. А. А. Гущин, Ю. М. Кабанов, Д. О. Крамков, С. 3. Левендорский, А. В. Мельников, А. А. Новиков, И. В. Павлов, Э. Л. Пресман, Д. Б. Рохлин, В. Н. Ту-тубалин, В. М. Хаметов, А. С. Чёрный, А. Н. Ширяев и др.

Напомним, что одновременно с началом первых торгов на Чикагской бирже в 1973 году, появляются работы P.C. Мертона, Ф. Блэка и М. Шоулса, посвященные ценообразованию опционов. На основе этих работ была построена теория ценообразования деривативов, использующая гауссовские процессы для моделирования финансовых рынков. Согласно этой теории, справедливые цены опционов представляют собой определённые функционалы от моделирующего процесса. По сути, опцион представляет собой контракт, который в обмен на премию (цену опциона) даёт право его владельцу при осуществлении определённых условий продать или купить некоторый финансовый актив по фиксированной цене. Вычисление справедливой цены опциона в модели Блэка-Шоулса, как правило, сводится к решению дифференциального уравнения в частных производных с определёнными начальными и краевыми условиями или свободной границей. Данное уравнение в финансовой математике носит имя Блэка-Шоулса и является ничем иным, как обратным уравнением Колмогорова. Вместе с тем, непрерывность траекторий и "тонкие хвосты", приводящие к недооцениванию ценовых рисков, делали эту модель не слишком близкой к реальности.

С конца прошлого века выделился определённый класс более реалистичных негауссовских процессов Леви, обобщающих модель Блэка-Шоулса. Преимуществом новых моделей является с одной стороны возможность моделирования скачков цены акции, с другой - более реальная оценка ценовых рисков. В отличие от гауссова случая, соответствующие функционалы от процессов Леви связаны с интегро-дифференциальным уравнением Колмогорова (обобщённым уравнением Блэка-Шоулса).

Наличие стохастической волатильности в модели Леви увеличивает размерность задачи и значительно усложняет ее решение. В последнее время многих авторов привлекает задача, когда модель зависит от марковской цепи с конечным числом состояний, которые могут быть интерпретированы как случайно изменяющиеся факторы среды (напр., финансового рынка). Наибольший интерес представляет моделирование скачков (напр., цены акции) с помощью негауссовских процессов Леви с переключениями режима по па-

раметрам. В частности, такие процессы позволяют приблизить модели Леви со стохастической волатильностью. Важные для приложений задачи вычисления функционалов от процессов Леви с переключениями режима сводятся к решению достаточно сложных систем интегро-дифференциальных уравнений с частными производными.

С точки зрения банковской практики для принятия оперативных решений широко востребованы быстрые алгоритмы ценообразования производных финансовых инструментов; в частности, это необходимо для калибровки моделей финансового рынка. Наибольший практический интерес представляет подбор параметров модели по ценам экзотических опционов. Однако в настоящий момент, методы ценообразования таких опционов в общих моделях Леви являются затратными по времени.

Теория опционов может применяться не только на финансовом рынке, но и в реальном секторе экономики. В частности, метод реальных опционов позволяет вычислить стоимость инвестиционного проекта. Вместе с тем, реальные опционы могут быть найдены в таможенно-тарифной и налоговой политике. Следует отметить, что поступления от внешнеэкономической деятельности (таможенные пошлины, сборы, НДС, акцизы и др. платежи) представляют значительную долю доходной части государственного бюджета Российской Федерации (от 30% до 50%). Таким образом, актуальность проведения научно-исследовательской работы, посвященной задачам анализа финансовых рисков, связанных с таможенной деятельностью, определяется значимостью данного вопроса для Федеральной таможенной службы России.

Диссертационная работа посвящена эффективным математическим методам вычисления специального вида функционалов, возникающих в финансовой математике при ценообразовании опционов в моделях, допускающих скачки. Работа выполнена в рамках федеральной целевой программы "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России", государственный контракт № 02.740.11.0208 от 7 июля 2009 г.

Следует отметить, что большое влияние на автора оказали научные работы С. 3. Левендорского, которому хотелось бы выразить глубокую благодарность за введение в область финансовой математики.

Цель диссертационной работы состоит в разработке эффективных и универсальных математических методов вычисления безарбитражных цен широкого спектра производных финансовых инструментов в моделях, допускающих скачки.

Для достижения поставленных целей были решены следующие задачи:

• разработан универсальный и эффективный метод приближенной факторизации Винера-Хопфа для широкого класса моделей Леви (метод "Быстрой факторизации Винера-Хопфа");

• разработаны эффективные методы ценообразования барьерных и цифровых опционов первого касания в моделях Леви;

• разработаны эффективные методы ценообразования барьерных и цифровых опционов первого касания в моделях Леви с переключением режимов по параметрам процесса, обобщаемые на модели Леви со стохастической волатильностью

• применён асимптотический метод вычисления безарбитражной цены цифровых опционов первого касания в негауссовой модели Леви;

• предложена методика оценки финансового риска, связанного с получением таможенных платежей ниже планового задания;

• предложен метод реальных опционов для обоснованного формирования плановых показателей получения таможенных платежей.

Методика исследования. Теоретическую и методологическую основу работы составили исследования в области стохастической финансовой математики, свойств бесконечно делимых распределений и интегральных преобразований, теории процессов Леви, псевдодифференциальных операторов и вычислительной математики.

Научная новизна. Центральным результатом работы является метод приближенной факторизации Винера-Хопфа для широкого класса моделей Леви в контексте ценообразования опционов. Указанный метод позволяет за секунды и даже доли секунды решать огромный спектр задач финансовой математики. В частности, с помощью разработанного метода "Быстрой факторизации Винера-Хопфа" (БФВХ) можно вычислять безарбитражные цены барьерных, бермудских опционов, цифровых опционов первого касания в общих моделях Леви. Метод легко обобщается на случай моделей Леви с переключением режимов по параметрам и моделей со стохастической волатильностью. Вместе с тем, возможно распространение разработанного метода и на другие виды опционов (напр., американские, Swing, lookback и др.). Метод БФВХ - это первое применение метода приближенной факторизации к задачам финансовой математики.

В работе предложена эффективная асимптотическая формула для опционов первого касания в модели Normal Inverse Gaussian, опирающаяся на факторизацию Винера-Хопфа. Разработана точная конечно-разностная схема для негауссовых моделей Леви. Предложен общий подход, основывающийся на факторизации матриц Теплица, для решения неявных конечно-разностных схем в контексте ценообразования опционов. Разработаны новые математические методы анализа и оценки рисков, возникающих в таможенной

деятельности. В качестве элемента управления финансовыми рисками, связанными с получением таможенных платежей, предложен метод реальных опционов.

Теоретическая и практическая значимость.

Теоретическая ценность результатов диссертации состоит в построении приближенной факторизации Винера-Хопфа и разработке эффективных математических методов решения начально-краевых задач для обобщённого уравнения Блэка-Шоулса, возникающих в финансовой математике при решении задачи ценообразования опционов с барьерами. Указанные задачи могут возникать и в других приложениях при моделировании движения частицы с помощью процессов Леви в одномерном пространстве с поглощающим барьером.

Результаты диссертации нашли практическое применение и внедрены в программный продукт Premia (web-портал: www.premia.fr) в рамках участия в международном научно-исследовательском проекте по финансовой математике "Mathfi" на базе французского национального научно-исследовательского института информатики и автоматизации в Париже (INRIA-Rocquencourt, Paris, web-портал: www.inria.fr). Программный продукт Premia решает задачи по ценообразованию опционов, хеджированию и калибровке моделей финансовых рынков. Данный проект реализуется в тесном сотрудничестве с консорциумом финансовых институтов, включающим в себя ведущие банки Франции и Австрии.

В настоящее время автор входит в группу постоянных разработчиков этого программного продукта. Разработанные автором алгоритмы вошли в выпуски Premia 11, Premia 12 и Premia 13. Программный продукт Premia зарегистрирован "Французским агентством по защите программ" (web-портал: http://app.legalis.net/), номер лицензии IDDN FR 001.190010.009.

В частности, автором разработаны и внедрены в программную платформу Premia:

• метод БФВХ для барьерных и цифровых опционов первого касания в 4 моделях Леви: TSL, NIG, Kou, VG;

• метод БФВХ для барьерных и цифровых опционов первого касания в 2 моделях Леви с переключением режимов: TSL, Кои;

• конечно-разностная схема для модели Леви KoBoL;

• метод БФВХ для барьерных опционов в модели Хестона.

Предложенные в диссертационном исследовании методы оценки финансовых рисков могут быть использованы региональными таможенными управлениями при составлении и контроле за выполнением плановых заданий по таможенным платежам.

Материалы диссертационного исследования используются в учебном процессе в Южном федеральном университете при преподавании специального курса "Финансовая математика" и в дальнейшем могут быть применены в специальных курсах магистерской программы "Финансовая математика", направление 010400 - Прикладная математика и информатика.

Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались на международных, российских и региональных конференция и научных семинарах в России и зарубежом, в том числе:

• Конференция АМаМеР по численным методам в финансах, Французский национальный научно-исследовательский институт информатики и управления (ДОША-Гк^иепсоиг!;), 1-3 февраля, 2006, Париж, Франция

• Встречи Американского математического общества, Международный университет Флориды, Майами, США, 1-2 апреля, 2006

• Пятый Всемирный Конгресс Финансового Общества Башелье, Лондон, Великобритания, 15-19 июля, 2008

• Пятая международная конференции "Передовые математические методы в области финансов", АМаМеР 2010, 3 мая - 9 мая 2010 г., Блед, Словения

• Международная научно-практическая видео-конференция "Модернизация таможенного дела - актуальная задача современного развития ФТС России", 22 октября 2010 года, г.Москва-Люберцы

• Международный научный семинар "Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения", Южный федеральный университет, г. Ростов-на-Дону, 24-28 апреля 2011

• Международная научно-практическая конференция "Актуальные аспекты освоения требований международных стандартов ИСО серии 9000 в таможенных службах государств-участников Таможенного союза", 21 декабря 2011 года, г. Москва-Люберцы

• Всероссийские симпозиумы по прикладной и промышленной математике (Ростов-на-Дону, май 2002 г., Йошкар-Ола, декабрь 2006 г, Сочи-Дагомыс, октябрь 2010г, Казань, май 2011г).

• научно-практические семинары и конференции на базе Ростовского филиала Российской таможенной академии, посвященные вопросам оптимизация таможенных процедур, 2005-2009 годы.

• научный семинар на кафедре исследования операций, Южного федерального университета, Ростов-на-Дону, октябрь, 2009г

• заседание Ростовского математического общества, Ростов-на-Дону, декабрь, 2009

• научный семинар "Вероятностные методы в финансах" в университете Пари-Эст Марн-ля-Валле (Paris-Est Marne-la-Vallée), Париж, февраль 2009 г, январь 2010 г (среди участников семинара D.Lamberton, B.Lapeyre)

• встреча разработчиков программного продукта PREMIA и аналитиков банков Франции и Австрии, институт Башелье, Париж, Франция, февраль 2009 г.

• научный семинар на факультете экономики и финансов, университет г. Удине, Италия, май 2010 г

• научный семинар "Вероятностные проблемы управления и стохастические модели в экономике, финансах и страховании", Центральный экономико-математический институт РАН, ноябрь, 2010 г

• научный семинар кафедры математики "Современная математика и концепции инновационного математического образования", Финансовый университет при Правительстве РФ, декабрь, 2010 г

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 36 печатных работах (общий объём 46,12 п.л., личный вклад 31,57 п.л.), в том числе 2 монографии, 4 статьи в международных научных журналах, входящих в международные системы цитирования (Web of Science, Mathematics Abstracts, Scopus, Springer), 11 публикаций в рецензируемых научных журналах и изданиях, рекомендованных ВАК России.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, обзора литературы, 5 глав, заключения и библиографии. Общий объем диссертации 273 страниц, из них 245 страницы текста, включая 9 таблиц и 11 рисунков. Библиография включает 216 наименований на 28 страницах.

Содержание работы

Во Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана практическая значимость полученных результатов, представлены выносимые на защиту научные положения.

В первой главе разработан эффективный метод приближенной факторизации Винера-Хопфа, позволяющий быстро и точно решать широкий спектр задач финансовой математики в моделях, допускающих скачки.

В первых параграфах раздела даны основные факты теории процессов Леви и примеры моделей Леви, которые используются в качестве адекватных моделей финансовых рынков. Напомним основные определения.

Процесс Леви Xt - это стохастически непрерывный процесс со стационарными независимыми приращениями, выходящий из нуля и имеющий траектории, непрерывные справа с левосторонними пределами Простейшими примерами процесса Леви являются (стандартное) броуновское движение и обобщённый пуассоновский процесс.

Известно, что процесс Леви Xt полностью определяется своей характеристической экспонентой ф, которая находится из соотношения

M\e*Xt] = е R.

Согласно формуле Леви-Хинчина1, характеристические экспоненты процессов Леви допускают следующее представление.

2 р

ЯО = - iK + J (1 - е*1 + i£xl[_ul(:r))n(dx), (1)

R

где ct>0h¿i€R - константы, а П - мера на R \ {0}, удовлетворяющая свойству JR rnin{l, ,т2}П(<±е) < +оо. Параметр а2 называется гауссовским коэффициентом, мера П - мерой Леви, а тройка параметров (сг2,7, П) - порождающим триплетом. Плотность 7г(х) меры Леви П называется плотностью Леви. Если П = 0, процесс Леви является гауссовым, а если а2 = 0 - чисто скачкообразным, или чисто негауссовым.

Инфинитезимальный оператор L процесса Леви X допускает представление в виде интегро-дифференциального оператора2:

¿/СО = уГОг) + ßf'(x) + |(/(х + у) - f(x) - 1{_1М(у)у!\хШ<1у), (2)

R

для любой дважды непрерывно дифференцируемой функции / с компактным носителем.

С другой стороны, оператор L можно представить в виде псевдодиффе-

1 Ширяев, А. Н. Основы стохастической финансовой математики // Факты. Модели. - М.: Фазис, 1998. - Т. 1.

1 Cont R., Tankov P. Financial modelling with jump processes Ц Chapman Sc Hall/CRC Press. - 2004.

ренциального операторе?

Lf(x) = (2тг)

-1

где / - преобразование Фурье функции /, определяемое по формуле:

ДО =

e~iT*I{x)dx. (3)

Обратное преобразование Фурье определяется по формуле

/(.х) = (2тг)-1|е^/т. д

Теория псевдодифференциальных операторов (ПДО) расширяет понятие дифференциального оператора и широко используется при решении ин-тегро-дифференциальных уравнений (ИДУ). Основная идея заключается в том, что дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами может быть представлен как композиция преобразования Фурье, умножения на многочлен, называемый символом оператора, и обратного преобразования Фурье. По аналогии, используя символы более общего вида, мы получаем псевдодифференциальный оператор.

Итак, оператор вида

Af{x) = (2ТГ)-1

¿MQfWi (4)

называется псевдодифференциальным оператором (ПДО) с символом а. Оператор А, в этом случае, обозначают А = a(D), где D = —idx. Таким образом, оператор L = —ip(D) представляет собой ПДО с символом —ф. Отметим, что интеграл Фурье в (4) определяется в классическом смысле, если символ а(£) и функция /(£) достаточно регулярны. В общем случае, интеграл в (4) необходимо регуляризовать в терминах обобщённых функций1.

С практической точки зрения моделирования финансовых рынков наибольший интерес представляет специальный класс регулярных процессов Jle-ви экспоненциального типа (РПЛЭ)3. Характеристическая экспонента процессов класса РПЛЭ допускает аналитическое продолжение в полосу € (Л_.Л+), Л_ < —1 < 0 < А+, непрерывна вплоть до ее границы и допускает

3 Boyarchenko S. I., Levendorskiï S. Z. Non-Gu'l3S\qi\ Merton-Black-Scholes theory // New Jcrcey, London, Singapore, Hong Kong : World Scientific, 2002.

представление в виде i/>(f) = -I- </>(£), где (i е R, ф(£) ~ при

—¥ ±оо, € (А_,А+), с± > 0. Параметр v е (0;2] называется порядком процесса.

В частности, в данный класс входят следующие модели: броуновское движение со сносом, модели Мертона и Коу, гиперболические, нормальные обратные гауссовы процессы, модели KoBoL, или CGMY. Важным исключением является семейство процессов Variance Gamma (VGP), характеристическая экспонента которой имеет логарифмический рост на бесконечности.

Отметим, что с математической точки зрения цена опциона - это функционал от моделирующего процесса, вычисление которого в случае моделей Леви сводится к решению задач для специального класса интегро-дифференциальных уравнений с частными производными. Аналитические формулы для решений в случае общих процессов Леви обычно получить не удаётся, поэтому приходится применять численные методы. В ходе применения различных численных методов, возникает необходимость многократного решения следующего типа уравнений, зависящих от положительного параметра q > 0:

q-\q-L)g{x) = G(x),x > h, (5)

g(x) = 0, x < h, (6)

где /i € R, G(x) - ограниченная функция, G{x) —► 0 при x —> +oo, L - инфи-нитезимальный оператор процесса Леви. Классическим методом решения подобных интегро-дифференциальных и псевдодифференциальных уравнений на полуоси является метод Винера-Хопфа, основанный на факторизацион-ных тождествах. Напомним основные определения, связанные с факторизацией Винера-Хопфа.

Пусть (n,J-, Р) - вероятностное пространство, на котором определён одномерный процесс Леви X. Обозначим через Xt = sup0<J<( Xs и Xt = info<.,<t X,,. Процессы X = {Xt} и X_ = {X,} называются процессами супремума и инфимума, соответственно.

Формула факторизации Винера-Хопфа, которая используется в вероятности, имеет вид4:

М[е*хъ\ = V £ е R, (7)

где Тч - случайная величина, имеющая показательное распределение с параметром q > 0. Вводя обозначения

<(0 = м [е1'^] , ф-(0 = М [е'^] ,

4 Sato, К. Livy processes and infinitely divisible distributions // Cambridge : Cambridge University Press, 1999.

мы можем записать (7), как

Тождество (8) - это специальный вид факторизации Винера-Хопфа символа ПДО. В приложениях к теории процессов Леви, символ - этод/(<7 + где гр - это характеристическая экспонента процесса Леви а ПДО £я := д/(д — Ь) - это нормированная резольвента процесса Х^.

£чд{х) = дМ1

+ОС

| e-«g(Xt)dt . о

= q{q + 4>{D))-1g(x), (9)

В контексте финансовой математики этот оператор вычисляет ожидаемую дисконтированную стоимость потока платежей qg{Xt)5. Рассмотрим следующие операторы5:

■■= <(£>), (ю)

символами которых являются характеристические функции процессов супремума и инфимума. Одним из основных фактов теории ПДО является то, что произведение символов соответствует композиции операторов. В нашем случае, из (8) следует, что

£я = £f£~ = £q£+. (11)

Для широкого класса процессов Леви операторы £ и имеют следующую интерпретацию:

+00 +оо

£д(х) = | 9(х + y)P(dy), £*<?(*) = | д(х + у)Р?Ш,

-00 -оо

где P(dy), Р*(dy) безгранично делимые распределения вероятности, такие что supp Pf С [0,+oo),supp Р~ С (—оо, 0]. Более того, характеристические функции распределений Р и Pf имеют вид q(q + VCO)—1 и Фя{0* соответственно.

В параграфе 5 первой главы автором предложена эффективная универсальная процедура численной факторизации Винера-Хопфа в моделях класса РПЛЭ (метод может быть распространён и на более широкие классы моделей Леви). Разработанный метод будем называть методом "Быстрой факторизации Винера-Хопфа" (БФВХ).

5 Boyarchenko S. I., Levendorskii S. Z. Irreversible Decisions under Uncertainty (Optimal Stopping Made Easy) 11 Series: Studies in Economic Theory. - Berlin : Springer-Verlag, 2007. - Vol. 27.

Заметим, что решение задачи (5)-(6) может быть получено методом Винера-Хопфа и записано в терминах операторов и £~. Трудность практической реализации указанных формул связана с необходимостью вычислять 2 или 3-мерные интегралы. Основным вкладом метода БФВХ в решение начально-краевых задач для обобщённого уравнения Блэка-Шоулса является эффективная численная реализация операторов и £~, которая позволяет за секунды или даже доли секунды решать достаточно сложные задачи финансовой математики.

Первым шагом задача сводится к факторизации символа порядкаО, который стабилизируется к константе на бесконечности. Выделим главную часть символа оператора £q, которая легко факторизуется. Введём символы:

Л-(О = Л+"*(А+ +г£Г+, Л+(0 = (-А_)"-(-А_

Ф(0 = ?((9 + 1К0)Л+(€)Л_(0)~\:'

где и i/_ зависят от параметров процесса Леви класса РПЛЭ, а именно от порядка i/ и сноса fi.

Функции Л±(£) представляют собой характеристические функции безгранично делимых распределений на отрицательной и положительной полуосях, аналитичны и не обращаются в ноль в полуплоскостях > О, непрерывны вплоть до границы и Л±(£)-1 асимптотически имеют полиномиальный рост на бесконечности. Таким образом, остаётся факторизовать функцию Ф(0: Ф(0 = Ф+(0Ф~(0-

На первом шаге, мы аппроксимируем функцию Ф(£) периодической функцией Ф<*(£) с большим периодом 2n/d, затем мы факторизуем последнюю, предварительно заменив In частичной суммой соответствующего ряда Фурье.

При построении приближенной факторизации мы опираемся на хорошо известную теорему о том, что характеристическая функция каждого безгранично делимого распределения может быть записана как предел последовательности конечного числа произведений характеристических функций пуас-соновского типа6. Верно и обратное утверждение. Поскольку i/*(0 - характеристическая экспонента процесса Леви, то функция q/(q + %¡){£)) является характеристической функцией безгранично делимого распределения, как и

Ф±■

Пусть фиксированы малое положительное d и большое М = 2т (М должно быть больше, чем 1 /d). Явные приближенные формулы для фак-

' Теорема 5.4.2, Lukacs, Б. ChamcterisUc functions // London : Charlee Griffin к Company limited,

1960

торов ф± принимают следующий вид. Положим

Ь* = ^ | 1пФ(Ое-^Ч, МО,

-тг/с/ Л//2

ЬлМО = £ ЬЙ(ехр(»€*иО - 1),

(13)

к=-М/2+1

М/2

О - £>2(ехр«М) - 1),

(14)

/к=1

-I

= Е - 1);

(15)

к=-М/2+1

ф±(0 « ехр(Ь^(0), ^(0 = Л±(0Ф±(0-

(16)

Далее, в параграфе даётся подробное обоснование построенной факторизации.

Замечание 1. Заметим, что приближенная факторизация может быть построена и без сведения к символам нулевого порядка, т.е. сА± = 1. В этом случае, мы получаем простейший вариант приближенной факторизации характеристическими функциями пуассоновского типа. Как показывают численные эксперименты, оба подхода несущественно отличаются друг от друга в точности вычислений.

Для эффективной реализации операторов £ч, £* и £~ в первой главе автором предложено использовать быстрое преобразование Фурье (БПФ) для вещественнозначных функций.

Пусть, как и ранее, в, - шаг в исходном пространстве переменной х, а М = 2т - число точек сетки. Напомним, что прямое и обратное дискретное преобразования Фурье (БРТ и ¡БИ1) определяются, соответственно, по формулам:

В рассматриваемых ниже задачах, исходные данные представляют собой массив вещественных чисел {<7*:}£1о Результирующее БРТ обладает следующими свойствами: С?а/-/ = С/, С? о и г ~ вещественны, т.е. оно имеет

м-1

С, = ЮРТ\д){1) = £ йе^, I = 0,..., М- 1. (17)

/=о

столько же "степеней свободы", что и исходный набор действительных чисел. Таким образом, для того, чтобы вычислить весь массив G¡, 1 — 0,..., М — 1, достаточно знать только G¡, I = 0,..., Л//2. В этом случае эффективнее использовать БПФ для действительнозначных функций, которое в два раза быстрее стандартного алгоритма комплексного БПФ.

Основная идея БПФ для вещественных функций заключается в том, чтобы оптимально разместить исходный массив действительных чисел без дополнительных нулей мнимой части в массив комплексных чисел половинной длины. Тогда комплексное БПФ можно применить к этому более короткому массиву. Затем применяется специальный приём получения требуемых значений из результата вычислений7.

Для того, чтобы различать DFT для вещественнозначных функций мы будем использовать обозначение RDFT. В частности,

1 м-1

дк = iRDFT[G](k) = — £ О*-™»'" =

1=0

2 М,2~У 1 = мШ £ Gie-2»ikl'M + -(G0 + Gm/2), fc = 0,...,M-l. i=i

Опишем приближенную процедуру вычисления преобразования Фурье действительнозначных функций. Фиксируем uiard > 0 и число точек М = 2Т" в пространстве. Построим разбиение области изменения исходной переменной х, [-У?; хк = + kd, к = О,...,М - 1. Далее, строится разбиение области для двойственной переменной [-f¡ = I = —M/2,...,M/2. Тогда приближённо преобразование Фурье функции д[х) определяется по формуле:

Ш/2 М-1 AÍ-1

Ш » I e-^g(x)dx к ]Г 9{*k)e-iXkí,d = deM £ д(хк)е~^, -МЛ/2 fc=0 fc=0

т. е.

№) ~ deMRDFT[g](l), i = 0,.... AÍ/2. (19)

Мы используем z для обозначения операции комплексного сопряжения числа z.

Теперь опишем приближенную реализацию оператора£9. Положим р({) = я{я + ФЮ)~1у тогда, учитывая, что ф(0 = Ф(~0< получаем

{£,чд){хк) « iRDFT\p. * RDFT[g]](k), к = 0,..., М- 1. (20)

7 Numerical recipes in С: The Art of Scientific Computing / W. Prese |et al). - Cambridge Univ. Press, available at www.nr.com, 1992.

Здесь и ниже".*" используется для обозначения покомпонентного произведения элементов двух массивов.

Для аппроксимации операторов^ = найдём приближение функ-

ции 1пФ частичной суммой ее ряда Фурье с помощью формулы (13). Коэффициенты Ь* в (13) определяются по формуле (12) и могут быть эффективно вычислены с помощью ¡ШЭРТ. Имеем,

А М/2 Тяг

Е 1пФ(0)е-2^г/М^ = гЯ^Т[1пФ](^). (21)

1=-М/ 2+1

Следующим шагом вычислим функции в (14)—(15), и обозначим приближенные факторы Винера-Хопфа через функции

рЧЫ = Л^,) ехр^д,(£,))■' = —М/2, ...,0. (22)

Действие операторов на функции можно аппроксимировать следующим образом:

(£?д)(хк)=1ЕОГТ{^-ЯОРТ{д}}(к), * = О,.., Л/- 1. (23)

Отметим, что в приложениях к финансовой математике часто возникают задачи, когда интеграл Фурье (3) для функции д в формулах (20), (23), расходится при £ € И (например, когда функция выплат д растёт на одной из полуосей). Поэтому для улучшения сходимости метода при численной реализации операторов £~ следует рассматривать преобразование Фурье соответствующих функций д с определённым экспоненциальным весом.

Фиксируем действительное число и! и вводим функции дш(х) = д(х)ешх. Положим qш = д + 1р(ги>) и рассмотрим оператор £Чш с символом 7ш(дш + МО)'1, гДе '01 (О = + гш) — 1р(ш) - также является характеристической экспонентой некоторого процесса Леви. Исходные операторы и операторы^, связаны следующими соотношениями.

= е»*£д-е-»х, = , (24)

д£я„ = (25)

Таким образом, центральным результатом первой главы является метод приближенной факторизации Винера-Хопфа для широкого класса моделей Леви. Разработанный метод "Быстрой факторизации Винера-Хопфа" (БФ-ВХ) включает в себя эффективную практическую реализацию операторов^"1" и £~ являющихся факторами Винера-Хопфа в факторизационном тождестве (11). Вычислительная сложность алгоритма численной реализации действия операторов и £~ равна 0(М 1п М), где М - число точек дискретизации по

пространственной переменной. Управлять точностью аппроксимации факторов можно увеличивая область локализации и число А/, которое одновременно является количеством слагаемых в Фурье разложении факторов. Метод БФВХ, основанный на свойствах безгранично делимых распределений и алгоритме быстрого преобразования Фурье, по простоте реализации близок к конечно-разностным схемам, но существенно выигрывает в скорости и точности, как показано в главе 5.

Предложенный автором метод БФВХ - это первое применение приближенной факторизации Винера-Хопфа к решению задач финансовой математики для общих моделей Леви. Первыми работами, в которых был описан метод БФВХ, являются [5, 10, 11]. Отметим, что работа [5] была выполнена совместно с С. 3. Левендорским; в работе были построены два метода решения задачи ценообразования барьерных опционов:

• метод "Быстрой факторизации Винера-Хопфа", предложенный автором диссертации;

• "Итерационный метод Винера-Хопфа" (метод ИВХ), предложенный С, 3. Левендорским.

Метод ИВХ заключается в представлении оператора задачи в виде суммы главной (легко факторизуемой) и подчинённой части. Далее, задача рассматривается в явно-неявном виде (неявном относительно главной части и явном относительно подчинённой. Затем задача решается методами Винера-Хопфа и простой итерации. Оба метода (БФВХ и ИВХ) хорошо согласуются между собой, но метод БФВХ в несколько раз быстрее.

Метод "Быстрой факторизации Винера-Хопфа" позволяет за секунды и даже доли секунды решать огромный спектр задач финансовой математики. В частности, с помощью метода "Быстрой факторизации Винера-Хопфа" можно вычислять цены барьерных, американских опционов, цифровых опционов первого касания, опционов Swing в общих моделях Леви (см. [1, 5, 8, 10, 11, 13, 16, 18, 20, 36]). Метод легко обобщается на случай моделей Леви с переключением режимов по параметрам и моделей со стохастической волатильностью (см. [1, 10, 12, 19, 33, 35]). Таким образом, становится практически возможным калибровать модели финансового рынка, допускающие скачки, по ценам опционов не только европейского стиля.

Во второй главе разработаны эффективные математические методы вычисления безарбитражных цен барьерных опционов в моделях Леви. Предположим, что относительно нейтральной к риску меры, выбранной рынком, цена базового финансового актива (напр., акции) описывается моделью

S, = ех', (26)

где Xt - процесс Леви с инфинитезимальным генератором L (см. (2)) и характеристической экспонентой ф (см. (1)). Тогда должно выполняться условие M[eXt] < 4-оо, и следовательно, характеристическая экспонента ib должна допускать аналитическое продолжение в полосу € ( — 1,0) непрерывное вплоть до границы. Далее, если безрисковая годовая процентная ставках- > 0 постоянна и по акции не выплачиваются дивиденды, тогда дисконтированный процесс цены акции должен быть мартингалом. Равносильно, должно выполняться следующее условие8

r + V(-i) = 0, (27)

которое можно использовать для выражения параметра ц через остальные параметры процесса (см. (1)):

<72 Т

P = r- y+ J(l-e" + yl[-i,i](y))n(dy). (28)

-оо

Обозначим через h - поглощающий барьер, Т - некоторый момент времени. В приложениях часто возникает задача вычисления следующего функционала:

V(x, t) = M [e~rV-4KT>hg{XT)\Xt = *] , (29)

где 2Lt — info<3<i Xt ~ процесс инфимума, г > О, T > 0 - момент времени. В частности, данный функционал решает задачу ценообразования барьерного опциона в финансовой математике.

Пусть St - модель цены акции (26), г > 0 - безрисковая процентная ставка по облигациям. Напомним, что барьерный опцион на акцию - это контракт, по которому выплачивается определённая сумма G(St) в момент окончания срока действия контракта Т, при условии, что течении срока действия контракта цена акции St не упадёт ниже определённого барьера H (англ. down-and-out barrier options) или не поднимется выше определённого барьера H (англ. up-and-out barrier options). Когда барьер H пересекается, то опцион обесценивается; иногда владелец получает некоторую компенсацию (англ. rebate).

В частности, если рассматривается барьерный опцион с барьером снизу с правом продать акцию по цене К ("опцион put"), то

G(S) = 1(я,+со)(5) тах{0, К - S}.

8 Boyarchenko S. I., Levendorskiï S. Z. Non-Gaussian Merton-Black-Scholes theory // New Jercey, London, Singapore, Hong Kong : World Scientific, 2002.

В случае барьерного опциона с барьером сверху с правом купить акцию по цене К ("опцион call"), мы получаем, что

G(5) = l(0;H)(5)max{0,5- К).

Для определённости, мы остановимся на случае барьерных опционов с барьером снизу без компенсации. Тогда цена такого опциона V{x, I) с барьером Н и сроком действия Т, при условии St = Не1, определяется по формуле (29) с д{х) = G(HeT) и h = 0.

Будем считать, что функция выплат д непрерывна при х > 0 и удовлетворяет следующим условиям:

д(х) = 0, х < 0, (30)

д(х) < С,х>0, (31)

где С > 0.

Если характеристическая экспонентаг/> достаточно регулярна (напр., принадлежит классу РПЛЭ), то вычисление функционала V(x, t) (29) можно свести к решению начально-краевой задачи для обобщённого уравнения Блэка-Шоулса8. Положим v(x,t) = V(x,T — т). Тогда v(x,т) является единственным и непрерывным на (0; 4-оо) х (0, +оо) решением в классе ограниченных измеримых функций следующей задачи8 (см. также [5]):

{dr + r- L)v{x, г) = 0, т > 0, х > 0; (32)

v(z,0) = g{x), х > 0; (33)

v(x,t) = 0, т > 0, х < 0. (34)

Отметим, что можно рассмотреть и случай более общих функций выплат д(х). В частности, для барьерных опционов с барьером снизу вида call, достаточно ввести подходящий экспоненциальный вес, см. ниже.

Замечание 2. Отметим, что при г = 0, задача (32)-(34) возникает в естественных науках при моделировании траектории движения частицы с помощью процесса Леей Xt с генератором L вида (2). В этом случае, решение задачи v(x, т) представляет собой плотность вероятности положения частицы в момент времени т при условии, что в начальный момент времени т = 0 плотность вероятности была равна д(х).

Во втором параграфе главы автором предлагается решить начально-краевую задачу (32)-(34) для безарбитражной цены барьерного опциона методом

горизонтальных линий9 в сочетании с методом БФВХ. Напомним, что метод горизонтальных линий - это процедура дискретизации одной переменной (в нашем случае г) в то время, как другая (в нашем случае i) остаётся непрерывной.

Разделим промежуток [0,Т] на N подпериодов точками т;- = jAt,j = 0,1,..., N, где Дт = T/N, и обозначим через Vj(x) приближенное значение V(x,Tj). Тогда vq(x) = д(х), и аппроксимируя производнуюдт в (32) конечной разностью, мы получаем, для j = 1,2,..., TV, семейство следующих задач:

Оq - L)Vj(x) = At-1Vj_i(x), х > 0. (35)

Vj{x) = 0, x < 0, (36)

где q = Дт"1 + т. Решение каждой задачи может быть записано в терминах операторов и £~ (см. (Ю))5:

Vj(x) = (gAO-^l^W^^ViW. (37)

где 1^4(ж) - индикатор-функция множества А.

Как видно из (37), на каждом шаге по времени возникает необходимость применения факторов Винера-Хопфа в операторной форме. Поскольку явные формулы для факторов сложны для практической реализации, то применение любых приближенных формул будет создавать на каждой итерации по времени дополнительные вычислительные ошибки.

Для того, чтобы обойти эту сложность автором предлагается вычислять на каждом шаге j = 1,2,..., N, не функции Vj(x), а вспомогательные функции Wj(x), определяемые по формуле:

wj(x) = 1(0;+oo)(x)£9+i>.,-i(i). (38)

Из (37)-(38) и формулы Винера-Хопфа (11) следует, что функции т, и wj-j связаны формулой:

Wj{ х) = (gAi)_1l(o;+oo)(x)£4^-i(i), (39)

где символ оператора £ч явно определяется через характеристическую экспоненту процесса^, см. (9).

Таким образом, алгоритм включает следующие шаги:

• находим w\(x) по формуле (38);

• j = 2,... ,N, находим Wj(x) по формуле (39);

" Rothe, Б. Zweidimensionale parabolische Randwertaufgaben als Grcnzfall eindimensinaler Randwerttaufgaben // Math Ann. - 1930. - Vol. 102.

• определяем vn(x) по формуле:

vN(x) = (дАт) l£q wN(x).

(40)

Далее, применяем метод "Быстрой факторизации Винера-Хопфа", разработанный автором в главе 1, который включает в себя эффективную численную реализацию операторов £f, £~ и £ч. Отметим, что для вычисления v\ нам необходимо применять операторы £f и £~ только на первом и последнем шагах, соответственно. Следовательно, приближенные формулы (16) для символов операторов £f и £~ нам понадобятся только один раз. На всех промежуточных шагах (см. (39)) будет использоваться аналитическое выражение для символа оператора £ч, что существенно уменьшит вычислительную ошибку. Вычислительная сложность описанного алгоритма будет равна0(NM In М), где М - число точек пространственной переменной х.

Отметим, что для опциона call с барьером снизу, интеграл Фурье (3) для функции выплат д расходится при ( £ R. Поэтому в зависимости от типа опционов, то есть вида функции д, для улучшения сходимости метода при численной реализации операторов ££, £~ следует рассматривать преобразование Фурье функций Vj с определённым экспоненциальным весом. Это ещё один новый элемент предлагаемого метода. Отметим, что в ряде работ, посвя-щённых вычислению европейских опционов в моделях Леви, в терминах преобразования Фурье, в подобных ситуациях возникает необходимость сдвига контура интегрирования в комплексную плоскость. Следовательно, усложняются вычисления. Предлагаемый приём эквивалентен указанной процедуре, но позволяет оставаться на вещественной оси и использовать преимущества быстрого преобразования Фурье для вещественнозначных функций.

Пусть символ оператора — L, характеристическая экспонента V процесса Леви Xt, голоморфна в полосе е (А_;А+), А_ < -1 < 0 < А+ (см. (26)). Данное условие выполняется, например, для процессов класса РПЛЭ. Фиксируем действительное число lj, А_ < ш < А+, и вводим функции v"{x) = Vj{x)e"x. Положим ди = q + ip(iui) и рассмотрим оператор £Чи с символом <7и,(<7ш+^1(0)~\ где = ~Ф((,+ш)—ф(ш) также является характеристической экспонентой некоторого процесса Леви. Исходные операторы и операторы £Чы, £f связаны соотношениями (24)—(25), учитывая которые, выражение (37) можно переписать в виде

(41)

тогда алгоритм переписывается в следующем виде:

• находим Wi{x) по формуле (42);

• j = 2,..., N, находим w"(x) по формуле:

• определяем v^{x) по формуле:

v%(x) = (q^ty'S-w^x);

• находим v¡ij(x) = v^¡{x){x)e~ux.

Таким образом, для вычисления vn нам опять необходимо применять операторы и только на первом и последнем шагах, соответственно. Как показывают вычислительные эксперименты, для опционов call с барьером снизу оптимальный выбор ш = —2, а для опционов put с барьером сверху -ы = 1.

В §3 второй главы метод БФВХ применяется после применения преобразования Лапласа относительно времени к начально-краевой задаче (32)-(34). Определим преобразование Лапласа v(t, х) относительно временной переменной по формуле

00

v(X,x) := | е_Лти(т, х) dr, о

где А - параметр преобразования, 5?А > 0. В дальнейшем, будем полагать, что А € R+. Согласно стандартным правилам операционного исчисления

drv(r,х) >->■ Ат)(А, х) - ■и(С),х), Lv(t,х) Lv(А, х).

Применяя преобразование Лапласа к уравнению (32), мы получаем, что образ v(X, х) удовлетворяет следующему уравнению:

(А + г - L)v(X, х) = д{х),х > 0, (43)

с преобразованными граничными условиями

v(X,x) =0, х < 0. (44)

Далее, мы решим соответствующую задачу для положительных значений параметра преобразования, определяемых алгоритмом Гавера-Стехфе-ста, с помощью метода БФВХ, используя аналог формулы (37) с q = А + г.

Напомним, что согласно формуле Гавера-Стехфеста10, функция v(t, х) может быть приближённо записана в виде

v(t,x) «-¿w/t -v 0 < т < оо, (45)

где 71 - натуральное число, а константы определяются по формуле

^ ("1} . 1П(2) £ Г'С^С^, (46)

j=|(*+l)/2)]

в которой [а:] - целая часть числа х, а = (LJ£yK\ _ биномиальные коэффициенты. В связи с биномиальными коэффициентами в весах ы*., алгоритм Гавера-Стехфеста с ростом п требует увеличения количества значащих цифр в расчётах для достижения хорошей точности13.

Отметим, что в основе алгоритма Гавера-Стехфеста использовался дискретный аналог формулы Поста-Виддера, включающий в себя использование конечных разностей для аппроксимации N-Pi производной образа. Согласно теореме Виддера, для непрерывной и ограниченной функции /(г), преобразование Лапласа которой существует для любого А > О,

/(г) = lim Ыт); (47)

JV—» оо

где /(*'(А) - к-я производная преобразования Лапласа / в точке А. Сходимость равномерная на любом конечном отрезке.

Таким образом, для хорошего численного обращения решения v(X,x) задачи (43), (44), на самом деле, необходимо найти ô^_1t)(A, х).

Дифференцируя обе части уравнений (43), (44) по параметру А для j = 1,2— 1, получаем последовательность следующих задач

(А + г - L)d{v{X, х) = ~jdfx'1v(X,x),x > 0, (49)

djö(A.x) = 0, х < 0. (50)

Фиксируем целое число N > 1, и положим Дт = T/N, А = 1/Дт. Затем введём следующие функции:

i*(z) = д(х)- (51)

«J+i(«) = J=0,...,AT-1. (52)

10 VaJko, P. P. Abate, J. Comparison of sequence accelerators for the Gaver method of numerical Laplace

transform inversion // Computers and Math, with Applies. - 2004. - Vol. 48. - P. 629-636.

Выражая öj^ö (¿7, х) через uJ+i(x), с учётом (49), получаем, что функции Vj(x) являются решениями семейства задач (35)-(36) с q = г + 1/Дт. Опять можно применить метод БФВХ, см. шаги (38)-(40). Наконец, принимая во внимание теорему Виддера (см., (47)-(48)), мы приходим к выводу, что решение vpj[x) стремится к решению v(T, х) задачи (32)-(34), при неограниченном росте N и фиксированном Т.

Вместе с тем, показано, что функции Vj(x) одновременно являются аппроксимацией решения v(jAr,x) задачи (32)-(34), полученные методом горизонтальных линий после дискретизации времени и замене производной в (32) конечной разностью. Данное наблюдение является очень важным, поскольку позволяет перенести все свойства последовательностей (48) в формуле Поста-Видцера, которые изучались многими авторами11, на решения Ущ(х) последовательности задач (35)-(36). В частности, это касается вопросов ускорения сходимости.

Известно, что формула Поста-Виддера даёт достаточно плохую аппроксимацию (порядка ЛГ-1)11. Для того, чтобы достичь хорошей точности необходим алгоритм ускорения сходимости для последовательности vk(x). Большинство подходов к ускорению сходимости метода Поста-Виддера используют экстраполяцию (напр., полиномиальную12 или аппроксимацию Паде13). В частности, мы получаем простое обоснование экстраполяции Ричардсона для барьерных опционов.

Таким образом, мы показали, что метод горизонтальных линий для задачи (32)-(34) сходится и более того, указали порядок сходимости ([6, 16, 19]). Сходимость метода линий может быть также доказана путём технически более сложного интегрирования по частям интегрального представления решения в комплексной плоскости14.

На основе свойств функционалов в формуле Поста-Виддера, мы доказали следующее утверждение.

Утверждение 1. Пусть Xt - процесс Леей с инфинитеэимальным генератором (2), v(t, х) - решение задачи (32)-(34); x), j = N -1. N -

2,..., О - последовательность решений семейства задач (36)-(35) g(x), q = Ar-1 + г и Дт = T/N. Тогда для каждого фиксированного х выполняются следующие свойства:

11 Jagerman, D. L. Ad inversion technique for the Laplace transform with applications // Bell System Tech. J. - 1978. - Vol. 57. - P. 669-710.

12 Abate, J. Whitt, W. Numerical inversion of Laplace transforms of probability distributions // orsa Journal on Computing. - 1995. - № 7. - P. 36-43.

13 FVolov, G. A. Kitaev, M. Y. Improvement of accuracy in numerical methods for inverting Laplacc transforms based on the Post-Widder formula // Computers and Mathematics with Applications. - 1998 - Vol. 36, № 5.- P.23-34.

14 Levendorskii, S. Z. Convergence of Carr's randomization approximation near barrier // SIAM J. Finan. Math. - 2011. - № 2. - 79-111.

• о < vj?>(T,:х) < supxeRg(x), VN;

• VN, VC > 0, уравнение у^\т,х) = С относительно переменной Т имеет не более корней, чем уравнение v(T, х) = С;

• имеют место следующие асимптотики:

vW\T,x)-v(T,x) ~ ¿£^,ЛГ->оо (53) j=1

т

^2w{k,m)v^kk){T,x)-v(T,x) = 0{N~m),N-* оо (54) fc=i

где т € N, w(k, т) определяются по формуле

I.т

(55)

Численные эксперименты, проведённые автором, показывают, что при выборе А^ = 10ит = 3в формуле (55) (60 итераций по времени), предлагаемый метод даёт ту же точность вычислений, что и метод, основанный на неоптимизированном методе горизонтальных линий при N = 1000 — 2000. Следовательно, данный подход позволяет увеличить скорость вычислений безарбитражных цен барьерных опционов в десятки раз. Точность метода возрастает с увеличением параметров N к т. в формуле (54). В отличие от метода, основанного на алгоритме Гавера-Стехфеста, метод, использующий формулу Поста-Виддера, не требует применения длинной арифметики.

Одним из наиболее популярным математическим методом приближенного решения задач ценообразования опционов являются конечно-разностные схемы, рассмотренные в §4 второй главы. Этот метод достаточно популярен на практике, поскольку в диффузионных моделях соответствующая матрица системы является трехдиагональной и легко обращается. Однако, в случае моделей финансового рынка, допускающих скачки, возникает необходимость обращать "плотные" теплицевы матрицы. Для того, чтобы обойти эту проблему большинство авторов предлагают явно-неявные схемы, в которых после дискретизации получается трехдиагональная система15. Основная идея заключается в том, чтобы дискретизация дифференциальной части инфини-тезимального генератора осуществлялась неявным способом, а интегральной - явным. Очевидно, что при таком подходе теряется точность расчётов и для достижения результатов с низкой погрешностью требуется очень мелкая сетка.

16 Cont, R. Voltchkova, Е. A finite difference scheme for option pricing in jump diffusion and exponential Uvv models // SI AM Journal on Numerical Analysis. - 2005. - Vol. 43. - № 4. 1596-1626.

Альтернативный подход, основанный на методе простой итерации, предложен в §4 второй главы, см. также [4]. Недостатком этого подхода является необходимость проводить несколько итераций на каждом шаге по времени, что существенно замедляет вычисления.

Напомним, что в конечно-разностных схемах в общих моделях Леви производные в инфинитезимальном операторе заменяются на конечные разности, а интегральная часть оператора, отвечающая за скачки в цене акции, заменяется на дискретную сумму. В процессе построения консчно-разностной схемы происходит дискретизация по пространственной и временной переменным, усечение больших скачков и аппроксимация малых. Усечение больших скачков необходимо для получения конечного числа слагаемых в интегральной сумме, аппроксимация малых скачков нужна в случае, когда мера Леви имеет неинтегрируемую особенность в нуле. Отметим, что ряд авторов18 заменяет малые скачки дополнительной диффузионной компонентой, которая, в случае чисто негауссовых процессов Леви, качественно меняет инфините-зимальный оператор появлением производной второго порядка. При вычислении безарбитражных цен барьерных опционов такая аппроксимация, безусловно, скажется на поведении цен вблизи барьера. Автором предлагается заменить малые скачки введением дополнительного сноса, что не изменит порядок оператора, и следовательно, сохранит качественные особенности решения (см., напр., [4]).

В предыдущих параграфах второй главы для решения задач типа (5)-(6) применялся метод БФВХ. Вместе с тем, указанные задачи можно эффективно решить с помощью конечно-разностных схем, применяя формулу факторизации Винера-Хопфа для теплицевых матриц, см детали в [21].

Выберем шаг в пространстве логцены Ах и положим х; = IАх, I (Е Ъ. Большинство конечно-разностных схем, построенных для аппроксимации инфинитезимального оператора процесса Леви, в контексте ценообразования опционов, объединяет его представление в следующем виде:

Ьд(хк) = аМхк+1) + <*о9{хк), ац > О, I ф 0; ^ а/ = -а0 < оо.

№ МО

Данное представление можно интерпретировать с вероятностной точки зрения, как аппроксимацию исходного процесса Леви марковской цепью с непрерывным временем со счётным числом состояний матрица интен-сивностей которой порождается последовательностью {а^^оо' и является

лоренцевой матрицей L(a) (т.е. постоянной на диагоналях):

/

L(a) =

ao Q-2 ОГ_З

ai Qo a_i a_2

Q2 C*i ÖO <*-1

Q3 »2 <*1 & 0

\

/

Тогда получаем следующую аппроксимацию для оператора q l(q — L).

q'\q - L)g[xk) = ^а,д(а:А:_/), (57)

iez

где

а,

(58)

-q 1а-1,1фО\а0 = 1+д 1 У^аь

¥0

После дискретизации функцию 5 € ¿г(П-) можно считать кусочно-постоянной на сегментах (х/ — Дх/2; Ж/ + Дх/2]. Следовательно, можно рассматривать функцию р как элемент ¿2(2): 5 = (..., 0(1-2),5(1-1),д(х0)}д(хх),д{х2), ■■■)■ Тогда перепишем (57) в терминах матрицы Лоренца Ь(а), порождённой последовательностью {а;}:

q~\q - L)g{xk) = {L{a)g)k,k е Z.

(59)

Пусть Т обозначает единичную окружность в комплексной плоскости. Поскольку {а/} принадлежит ¿i(Z), мы можем ввести функцию a(t) = aktk, t 6 Т, которая известна, как символ матрицы (оператора) Лоренца Ь(а). Напомним, что множество таких функций образует алгебру Винера W := W(X)16, которая является банаховой алгеброй относительно поточечных алгебраических операций и нормы ||a||jy = 1а*1-

Далее, последовательность {ак}к=-оо представляет собой набор коэффициентов ряда Фурье функции a(i):

a* = 2i

a(e'*)e~ikfd<p,k е Z.

(60)

Обозначим через Г : ¿г(Т) —> ЬС^) оператор, который отображает функцию а(£) в последовательность коэффициентов {ак} ее ряда Фурье (см. (60)). Хорошо известно16, что матрица Лоренца Ь(а) представляет собой матричное

19 Böttcher, A. Silbermann, B. Introduction to large truncated ToepUtz matrices // Springer-Verlag, New York, Berlin, Heidelberg, 1999.

представление оператора умножения на функцию а(<) в относительно

ортонормированного базиса {^■е'*^}. Следовательно, Ь{а) = FaF"1, откуда следует, что

Цах)Ь(аг) = Ь(а1а2),^аиа2 € ¿«(Т). (61)

Согласно теореме Винера, если а Е IV и а(() ^ О, € Т, тогда а-1 = 1/а е IV. Будем обозначать множество всех обратимых элементов алгебры IV через СИЛ Согласно свойствам оператора Лоренца (см. (61)), обратный оператор к обратимому оператору Лоренца с символом из алгебры Винера снова является оператором Лоренца с символом в алгебре Винера.

Последовательность {а;}^^ порождает также бесконечную матрицу Теплица Т(а):

/ ао а-2 а-з а,о (11 а2

Т(а) =

а 1

а2

аз

a_i а_2 ао а_ 1 а 1 ао

\

(62)

Тогда, учитывая, что Т(а) = РЬ(а)Р (Р - оператор ортогональной проекции из на /г^)), после применения конечно-разностной схемы (см. (57)),

(5)-(6) можно переписать в виде:

Т(а)д = PG,

(63)

где G = (...,G(x-2),G(x^i),G{xo),G(x\),G(x2),...) рассматривается как элемент l2(Z).

В работе показывается, что символ а(£) удовлетворяет необходимым условиям стандартной теоремы об обращении теплицевых матриц. Итак, в контексте рассматриваемых конечно-разностных схем, можно показать, что справедливо следующее утверждение (см. [21]).

Утверждение 2. Пусть последовательность {а/}/!00^, определяемая по формулам (58), представляет собой набор коэффициентов ряда Фурье функции a{t). Тогда оператор Т(а) обратим и существуюта+, а-, р,р+,р- € GW, b € W такие, что а = ехр(Ь) = a+a_ и

a+(t) =

k>0

Т(а) = Т(а-)Т(а+),

p(t) = №))-* ,p(t) = ]Tpkth,

ke г

(64)

k< о

T(a)-1 = T{all)T{a-_l), (65)

p+(t) = МОГ'.Р-С*) = (a-(i))_1.(66)

fc<0

t>o

Следовательно, решение задачи (63)) может быть записано в виде:

9 = T(a+1)T(aZ1)G. (68)

С практической точки зрения, (68) удобнее переписать в терминах операторов Лоренца £(рх):

g = L(jp+)PL(p-)G. (69)

С помощью утверждения 2, можно построены явные формулы для символов p+(t),p-(t):

к=+оо к=-1

Р+(0 = ехр(- £ Ь*(«* - 1)), p_(i) = ехр(— - l)),t 6 T. (70)

k=0 fc=-oo

где

7Г

bfc = -L f IfceZ. (71)

27Г J

—1T

Численная реализация (69) осуществляется с помощью быстрого преобразования Фурье.

Формулы (70) построены таким образом, что операторы L(p), L(p±) получают следующий вероятностный смысл (см. [21]), который позволит их применять для вычисления других видов опционов, в частности, бермудских.

Теорема 1. Пусть выполнены условия утверждения 2 и последовательности {р;}, {pf} определены согласно (66), (67), (70), (71). Положим

Р( О = Х>ехpi-tZÇAiJ.ieR, (72)

le г i=o

Р+(0 = Х>Г«сP(-iitAx),zeB., (73)

/=-оо í=+oo

Р-(О = £ PfexpHiÇAxUeR. (74)

(=0

Тогда Р, Р+ и Р~ - характеристические функции безгранично делимых решетчатых распределений X, Х+ и Х~ с шагом Ах, принимающих вещественные, неотрицательные и неположительные значения, соответственно.

Таким образом, соответствующие операторы Лоренца Ь(р), Ь(р+) и Ь{р~) можно интерпретировать, как операторы математического ожидания:

ЦрЫхк) = ^Р19(хк-1) = М[д(хк + X)},

(75)

(=о

Цр+)<7Ы = Р!9(хк-1) = М\д(хк + Х-)},

(76)

/=-ао (=+оо

(77)

1=0

В силу указанной интерпретации операторы Ь(р±) можно рассматривать как дискретные аналоги операторов £т.

Таким образом, задача (32)-(34) вычисления безарбитражной цены барьерного опциона во второй главе решается в три этапа:

• Сведение к семейству одномерных задач на полуоси для интегро-дифференциального (псевдодифференциального) уравнения следующими ме-

— методом горизонтальных линий путём дискретизации времени;

— с помощью одностороннего преобразования Лапласа по временной переменной.

• Решение каждой задачи семейства с помощью приближенной факторизации Винера-Хопфа:

— применяется метод Винера-Хопфа в операторной форме, решение записывается в терминах операторов £ч, £+,£~, применяется метод "Быстрой факторизации Винера-Хопфа", разработанный в первой главе;

— конечно-разностная схема сводит задачу к решению системы матрица, которой является тёплицевой, затем применяется приближенная факторизация Винера-Хопфа, приближенное решение записывается в терминах матриц Лоренца.

• Определение приближенного решения исходной задачи на основе решений семейства одномерных задач.

Как показывают численные эксперименты, проведённые автором, построенные методы быстро сходятся и хорошо согласуются с другими методами (Монте-Карло и конечно-разностные схемы), но существенно превосходят их по скорости.

тодами:

Наиболее эффективным оказывается применение метода, основанного на БФВХ и формуле Поста-Виддера. С одной стороны, данный метод позволяет существенно ускорять сходимость, с другой, его применение не требует вычислений с длинной арифметикой. Показано, что указанный метод без ускорения сходимости может быть интерпретирован, как метод горизонтальных линий. Таким образом, автором дано простое доказательство того, что метод горизонтальных линий для барьерных опционов сходится, указаны порядок сходимости и формулы ускорения (см. утверждение 1).

Разработанные в главе методы распространены на случай моделей Ле-ви, зависящих от марковской цепи. Следовательно, они могут, в том числе, использоваться для ценообразования барьерных опционов в моделях Леви со стохастической волатильностью.

Описанные в главе методы программно реализованы автором и опубликованы ((1, 4, 5, 10, 11, 13, 16, 18, 19, 21, 33, 35, 36]).

В третьей главе третьей главе предложены эффективные математические методы ценообразования цифровых опционов первого касания в моделях Леви.

Цифровой опцион первого касания (англ. first-touch digital) - это контракт, который выплачивает 1 д. е., если цена S определённого финансового актива (напр., акции) пересечёт некоторый барьер Н вплоть до конца срока действия опциона. Если барьер не пересекается, то опцион обесценивается. Различают цифровые опционы первого касания с барьером сверху и снизу.

Указанный вид опционов может быть интерпретирован как функция распределения вероятности первого перехода через барьер. Следовательно, данный вид задач имеет большое значение и для страховой математики. Напомним, что одной из общепринятых мер финансового риска является показатель VaR (англ. Value-at-Risk), который представляет собой квантиль распределения доходов (потерь) инвестора в момент достижения определённого временного горизонта. Однако, данный показатель не учитывает размер возможных потерь в течение рассматриваемого периода времени.

По аналогии с показателем VaR, ряд авторов17 предлагают рассматривать "внутрипериодический риск" (англ. "intra-horizon risk"), отражающий размер возможных потерь от текущего момента времени до конца периода (обычно рассматривается десятидневный период). Таким образом, "внутри-периодический риск" можно измерить, как квантиль распределения вероятности первого перехода за фиксированный (короткий) период времени. Отметим, что задача оценки функции распределения вероятности первого перехода частицы через барьер возникает во многих приложениях. Наибольший интерес представляет возможность учитывать скачки при моделирова-

17 Bakshia, G. Panayotov, G. First-Passage Probability, Jump Models, and Intra-Horizon Risk // Journal of Financial Economics. - 2010. - Vol. 95. - № 1. - P. 20-40.

нии движения частицы. Поэтому решение указанной задачи в моделях Леви представляет большой практический интерес.

Рассмотрим цифровой опцион первого касания на акцию SL в экспоненциальной модели Леви (26) с барьером снизу Я и сроком действия Т. Пусть F (St, t) - безарбитражная цена такого опциона, тогда,

F(S, t) = М[е-г<Г-Чг<т \ St = S\, (78)

где 7" случайная величина времени вхождения цены S в промежуток (О, Н\. Формулу для цифрового опциона с барьером сверху легко получить, исходя из соображений симметрии.

Задача ценообразования цифровых опционов в моделях Леви сводится к начально-краевой задаче для обобщённого уравнения Блэка-Шоулса. Известны явные формулы для таких опционов в случае модели Блэка-Шоулса18 и общие теоретические формулы (сложные для практического применения) для случая РПЛЭ19.

Для решения данной задачи автором предлагается использовать метод горизонтальных линий и метод "Быстрой факторизации Винера-Хопфа". Как и в предыдущей главе метод горизонтальных линий может быть интерпретирован как формула Поста-Виддера, и сходимость метода может быть существенно ускорена с помощью прямого аналога утверждения 1. Далее, метод может быть распространён на случай моделей Леви с переключением режимов по параметрам процесса и стохастической волатильностью. В данной главе также предложена модификация полуявной процедуры вычисления американских опционов put в модели Коу19, на случай цифровых опционов первого касания.

Автор имеет определённый опыт применения асимптотических методов анализа (см., напр., [7]). Наиболее важный результат главы - это эффективная асимптотическая формула для цены цифрового опциона первого касания в модели Normal Inverse Gaussian (NIG). Приближенная формула представляет собой главный член асимптотики в явной формуле для цены. Напомним, что характеристическая экспонента процесса NIG имеет следующий вид:

Ш) = -irf + ¿[(а2 - Ф + Ч)2)1'2 - (а2 - /32)П (79)

где где а > |/3|, ô > 0 и ц € R. Отметим, что а — /3 и а + (3 описывают скорость экспоненциального убывания правого и левого хвостов распределения вероятности, соответственно.

18 Ingersoll, Jr., J. Е. Digital contracts: simple tools for pricing complex derivatives // Jo urn. of Business. - 2000. - Vol. 73.

" Boyarchenko S. I., Levendorskiî S. Z. Non-Gaussian Merton-Black-Scholes theory Ц New Jercey, London, Singapore, Hong Kong : World Scientific, 2002.

Асимптотика вычисляется при условии, что параметр а в определении характеристической экспоненты процесса NIG стремится к бесконечности. Для типовых значений параметров асимптотическая формула даёт хорошее приближение, начиная с пяти дней до окончания срока действия опциона; чем дальше от барьера, тем лучше аппроксимация цены с помощью асимптотической формулы (подробнее, см. главу 5).

Все разработанные в главе методы были программно реализованы, а основные результаты третьей главы нашли отражения в следующих работах автора: [1, 3, 8, 16, 17]. Следует отметить, что работы [3, 17], посвящённые асимптотической формуле выполнены совместно с С.З.Левендорским, которому принадлежит идея упростить выведенную им общую приближенную формулу в случае модели NIG. Техническая реализация асимптотической формулы для цифрового опциона первого касания в модели NIG была сделана автором.

В четвертой главе были рассмотрены методы количественного анализа

• таможенных рисков, связанных с "перетеканием" товаров между органами таможенного оформления;

• таможенных рисков, связанных с "товарами риска" и "товарами прикрытия";

• финансовых рисков получения таможенных платежей ниже планового задания.

В ходе выполнения серии научно-исследовательских работ (НИР) под руководством автора, на базе Ростовского филиала Российской таможенной академии, разработаны методы оценки и анализа рисков, связанных с таможенной деятельностью. Исследования проводились совместно с сотрудниками таможенных органов и учениками, которые в настоящее время являются действующими сотрудниками таможенных органов или преподавателями Ростовского филиала РТА и нашли отражение в монографии [2] и публикациях (см. [9, 14, 15, 22-25, 27, 29, 31, 32, 34]).

Последние результаты автора в направлении выявления потенциальных таможенных рисков изложены в §2 четвёртой главы. В следующих параграфах четвёртой главы автором даётся анализ финансовых рисков, связанных с фискальной функцией таможенных органов. В первую очередь финансовые риски в таможенной деятельности возникают в связи с неопределенностью получения таможенных платежей, поскольку заранее невозможно предугадать их размер. Вместе с тем, перед таможенными управлениями и отдельными таможенными органами ставятся плановые задания по таможенным платежам. В частности, в контексте финансовых рисков в главе были проанализированы

импортируемые товарные группы, оформляемые в зоне деятельности Южного таможенного управления в период 2008-2009 годы. В результате, можно сделать вывод о высоком финансовом риске получения платежей с индексом ниже среднего, что говорит о наличие небольшой доли разовых платежеём-ких поставок.

Вместе с тем, в главе предложен новый подход к оценке ожидаемых таможенных платежей, основанный на реальных опционах. Данный подход даст возможность изменять стратегию и принимать оптимальные решения в будущем в соответствии с поступающей информацией. Причём возможности принимать и изменять решения в будущем количественно оцениваются в момент планирования бюджета. В частности, при изменении конъюнктуры рынка (например, цен на нефть) Правительство может изменять ставки таможенных пошлин, отказываться от определённых расходов или начинать новые проекты. Выбрав модель для цены товара (например, нефти) с помощью метода Монте-Карло можно оценить стоимость реального опциона.

Метод реальных опционов предлагается применить для оценки функции распределения "выполнения планового задания". Автором предлагается моделировать процесс суммарных таможенных платежей с помощью субординатора (процесса Леви с неубывающими траекториями), при этом указанная функция распределения может быть интерпретирована как цифровой опцион первого касания с барьером сверху. Под барьером в данном случае понимается плановый показатель. Решение данной задачи можно эффективно осуществить методами главы 3.

Данная работа является новой в вопросе анализа финансовых рисков, связанных с таможенной деятельностью, и представляет собой первые шаги в этом направлении. В будущих исследованиях планируется развить эту тему.

В пятой главе описаны результаты вычислительных экспериментов, которые показывают, что разработанные автором в первых трёх главах методы быстро сходятся и согласуются с результатами, полученными другими методами (Монте-Карло, конечно-разностные схемы), но существенно превосходят их в скорости расчётов.

В Заключении автором:

• суммируются результаты, проведённого исследования;

• делаются выводы о возможности обобщения разработанных методов на случай других видов опционов (американских, опционов Swing, гибридов экзотических опционов: частично барьерных опционов, lookbarrier и других, в частности, см. [1, 4, 11, 12, 20, 26, 35, 36]);

• обсуждается возможность применения других способов приближенной факторизации и сопряжённых трудностей;

• обозначается возможность построение эффективных методов Монте-Карло для вычисления безарбитражных цен опционов, функция выплат, которых зависит от процесса инфимума(супремума) и исходного процесса;

• определяется направление дальнейшего анализа финансовых рисков, связанных с таможенной деятельностью.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Универсальная и эффективная процедура приближенной факторизации Винера-Хопфа в терминах характеристических функций (рабочее название: метод "Быстрой факторизации Винера-Хопфа", сокращённо: метод БФВХ), основанная на свойствах безгранично делимых распределений. Метод БФВХ применим для широкого класса процессов Леви, включающего в себя популярные модели финансовых рынков. По простоте практической реализации метод БФВХ сравним с конечно-разностными схемами, но даёт существенные преимущества при решении аналогичных задач финансовой математики. Более того, для применения метода БФВХ достаточно знать только характеристическую экспоненту модели Леви, в то время как для других методов (например, конечно-разностных схем), как правило, требуется дополнительный анализ особенностей меры Леви в окрестности нуля. Отметим, что мера Леви обычно значительно сложнее характеристической функции с вычислительной точки зрения, в частности, может выражаться с помощью специальных функций.

2. Алгоритм метода "Быстрой факторизации Винера-Хопфа", включающий в себя эффективную практическую реализацию операторной формы факторов Винера-Хопфа с помощью быстрого преобразования Фурье для вещественнозначных функций. Данный подход позволяет аппроксимировать операторы (факторы Винера-Хопфа в операторной форме) в формуле для цены опциона, в то время как для других методов (например, конечно-разностных схем) аппроксимируется оператор в уравнении для цены, а затем решается приближенная задача. Следовательно, метод БФВХ позволяет разрабатывать более точные численные методы вычисления безарбитражных цен опционов.

3. Эффективные математические методы ценообразования барьерных и цифровых опционов в моделях Леви без переключения режимов и с переключением режимов по параметрам процесса, которые легко обобщаются на случай моделей Леви со стохастической волатильностью. С помощью метода горизонтальных линий (дискретизации времени)

или преобразования Лапласа начально-краевая задача для обобщенного уравнения Блэка-Шоулса (или системы уравнений) сводится к семейству задач на полуоси, которые можно быстро и эффективно решить с помощью метода "Быстрой факторизации Винера-Хопфа". Более того, в предложенных методах приближённые формулы для факторов Винера-Хопфа применяются однократно, что позволяет значительно сократить вычислительные ошибки. Обоснована сходимость метода горизонтальных линий, указан порядок сходимости и предложены формулы ускорения сходимости.

4. Эффективный асимптотический метод вычисления безарбитражных цен цифровых опционов первого касания в чисто негауссовой модели Normal Inverse Gaussian. Если необходимо с точностью до нескольких процентов определить цену опциона для одного значения цены базового актива не позднее, чем за 5 дней до окончания срока действия опциона, то асимптотическая формула может быть хорошей альтернативой методу БФВХ в смысле скорости.

5. Программная реализация метода БФВХ для ценообразования барьерных и цифровых опционов первого касания для различных моделей, допускающих скачки. Большинство разработанных алгоритмов внедрены в программный платформу Premia.

6. Преимущества метода БФВХ в контексте ценообразования различных видов опционов по сравнению с другими методами (Монте-Карло и конечно-разностные схемы) подтверждены разнообразными вычислительными экспериментами на модельных примерах. Метод БФВХ позволяет за секунды и даже доли секунды решать задачи ценообразования опционов в адекватных моделях финансовых рынков. Следовательно, подбор параметров моделей базовых активов можно достаточно быстро проводить на качественно более высоком уровне: калибровать модели по безарбитражным ценам экзотических опционов.

7. Общий подход к решению вспомогательных систем, возникающих после применения конечно-разностной схем к интегро-дифференциально-му уравнению с частными производными для цены барьерного опциона. Метод использует приближенную факторизацию Винера-Хопфа в терминах тёплицевых матриц и эффективно применим к полностью неявным схемам относительно дифференциальной и интегральной частей оператора. Существующие конечно-разностные методы вычисления безарбитражных цен опционов применяются к явно-неявным схемам; явным (относительно дифференциальной части) и неявным (относительно интегральной части), что приводит к потери точности.

8. Выявление рисков в таможенной деятельности. Методика оценки финансового риска, связанного с получением таможенных платежей ниже планового показателя. Применение метода реальных опционов при формировании контрольных показателей.

Основные публикации по теме диссертации

Монографии

[1] Кудрявцев, О. Е. Современные численные методы решения интегро-дифференциальных уравнений, возникающих в приложениях: монография / О. Е. Кудрявцев // М.: Вузовская книга, 2010. - 144 с. (8,37 п.л.)

[2] Гамидуллаев, С. Н. Современные методы оценки и анализа рисков в таможенной деятельности : монография / С. Н. Гамидуллаев, О. Е. Кудрявцев, И. В. Хоршева. - М.: Вузовская книга, 2011. - 152 с. (9 п.л./З п.л.)

Публикации в ведущих международных рецензируемых журналах, включенных в международные базы цитирования

[3] Kudryavtsev, О. Е. Pricing of first touch digitals under normal inverse Gaussian processes / О. E. Kudryavtsev, S. Z. Levendorskn // International Journal of Theoretical and Applied Finance. 2006. - Vol. 9. - № 6. P. 915-949. (1,75 п.л./1 п.л.) Входит в международные системы цитирования Scopus, Mathematics Abstracts

[4] Levendorskii, S. The relative efficiency of numerical methods for pricing American options under Ldvy processes / S. Levendorskn, O. Kudryavtsev, V. Zherder // Journal of Computational Finance. - 2006. - Vol. 9. - № 2. P. 69-97. (1,25 п.л./0,6 п.л.) Входит в международную систему цитирования Web of Science

[5] Kudryavtsev, О. Fast and accurate pricing of barrier options under Ьёуу processes / O. Kudryavtsev, S. Levendorskii // Finance Stock. - 2009. -Vol. 13. - № 4. - P. 531-562. (1,5 п.л./0,8 п.л.) Входит в международные системы цитирования Web of Science, Scopus, входит в Перечень ВАК

[6] Kudryavtsev, О.Ye. An efficient numerical method to solve a special cass of integro-differential equations relating to the Levy models / O. Kudryavtsev // Mathematical Models and Computer Simulations. - 2011.- Vol.3.- №6. P. 706-711. (0,5 п.л.) Входит в международную систему цитирования Springer

Публикации в российских рецензируемых изданиях, рекомендованных ВАК России

[7] Кудрявцев, О. Е. Спектральные асимптотики для магнитных операторов Шредингера и нильпотентные алгебры Ли. / О. Е. Кудрявцев // Доклады Академии Наук. - 2002. - Т. 382. - № 2. - С. 158-161. (0,3 п л.)

[8] Кудрявцев, О. Е. Сравнительный анализ цен опционов first touch digital в модели NIG и скачкообразной диффузионной модели / О. Е. Кудрявцев // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2007. - т. 14. - в. 2. - С. 245-246. (0,1 п л.)

[9] Кудрявцев, O.E. Методика автоматизированного выявления потенциального риска перетекания товаропотоков между различными таможенными органами / О. Е. Кудрявцев, О. В. Лисейкина // Управление риском. - 2010. - № 3. - С.52-58. (0,5 п.л./0,25 п.л.)

[10] Кудрявцев, О. Е. Быстрый и эффективный метод оценивания барьерных опционов в моделях Леви с переключением режимов по параметрам процесса / О. Е. Кудрявцев // Научно-технические ведомости СПбГПУ.

- 2010. - Т. 93. - № 1. - С. 136-141. (0,5 п.л.)

[11] Кудрявцев, О. Е. Вычисление цен барьерных и американских опционов в моделях Леви / О. Е. Кудрявцев // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2010. - Т. 17. - № 2. - С. 210-220. (0,5 п.л.)

[12] Кудрявцев, О. Е. Эффективный численный метод оценивания американских опционов в моделях Леви с переключением режимов по параметрам процесса / О. Е. Кудрявцев // Вестник РГУПС. - 2010. - Т. 39.

- № 3. - С.158-167. (0,5 п.л.)

[13] Кудрявцев, О. Е. Эффективные численные методы оценивания барьерных опционов в моделях Леви / О. Е. Кудрявцев // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2010. - Т. 17. - № 4. - С.575. (0,1 п.л.)

[14] Гетман, А. Н. Оценка финансового риска получения таможенных платежей / А. Н. Гетман, О. Е. Кудрявцев // Научно-технические ведомости СПбГПУ. - 2010. - Т. 108.- №5. - С. 115-122. (0,5 п.л./0,35 п.л.)

[15] Кудрявцев, О. Е. Целевые методики выявления рисков как один из элементов построения полнофункциональной модели системы управления рисками / О. Е. Кудрявцев, И. Б. Татарова // Вестник Российской таможенной академии. - 2011. - № 1. - С. 42-47. (0,5 п.л./0,25 п.л.)

[16] Кудрявцев, О. Е. Эффективный численный метод решения специального класса интегро-дифференциальных уравнений, связанных с моделями Леви / О. Е. Кудрявцев // Математическое моделирование. - 2011, - Т. 23, - № 5. - С.95-104. (0,5 п.л.)

Научные издания зарубежных научных центров

[17] Kudryavtsev, О. Comparative study of first touch digitals: normal inverse Gaussian vs. Gaussian Modelling / 0. Kudryavtsev, S. Levendorskn // Centre for Mathematical Physics and Stochastics Department of Mathematical Sciences, University of Aarhus, Research Report 33. - 2002. (1,1 п.л./0,7 п.л.)

[18] Kudryavtsev, O. Fast and Accurate Pricing of Barrier Options Under Levy Processes // O. Kudryavtsev, S. Levendorski // Research Report № 6670, Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique, Paris -Rocquencourt. - Octobre, 2008. (1,8 п.л./1,2 п.л.)

[19] Kudryavtsev, О. E. Efficient pricing options under regime switching / О. Е. Kudryavtsev //Research Report № 7184. Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique, Paris - Rocquencourt. - January, 2010. (1,6 п.л.)

[20] Kudryavtsev О., Efficient pricing of Swing options in Lévy-driven models / О. Kudryavtsev, A. Zanette //Working Paper 1-2010, Dipartimento di Finanza dell'Impresa e dei Mercati Finanziari, Udine University (Italy), 2010. (0,75 п.л./0,4 п.л.)

[21] Kudryavtsev, О. Е. An implementation of the Wiener-Hopf factorization into finite difference methods for option pricing under Levy processes / О. E. Kudryavtsev //Research Report № 7873. Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique, Paris - Rocquencourt. - February, 2012. (1,9 п.л.)

Статьи в других научных журналах и тезисы докладов на научных конференциях

[22] Беляева, E. Н. Математические методы оценки таможенных рисков / Е. Н. Беляева, О. Е. Кудрявцев // Академический Вестник. - 2005.- Вып. 3,- С. 6-8. (0,2 п.л./0,1 п.л.)

[23] Кудрявцев, О. Е. Выбор объектов таможенного аудита с использованием системы анализа и управления рисками : учеб. пособие / О. Е. Кудрявцев, В. В. Соловьев, И. В. Соловьева. - Ростов н/Д : РИО РФ РТА, 2005. - 105 С. (4,5 п.л./1,2 п.л.)

[24] Кудрявцев, О. Е. Оптимизация системы анализа и управления таможенными рисками / О. Е. Кудрявцев, И. В. Соловьева // Материалы научно-практического семинара "Таможенная служба России: современное состояние и перспективы развития". Рост, ф-л РТА. Ростов н/Д, 2005. - С. 74-79. (0,2 п.л./ОД п.л.)

[25] Кудрявцев, О. Е. Метод экспертных оценок как один из способов оценки таможенного риска (на примере СТИ ЮТУ) / О. Е. Кудрявцев, И.

B. Соловьева // Тезисы докладов научно-практического семинара "Проблемы совершенствования таможенных процедур в свете развития новых информационных технологий". Рост, ф-л РТА. Ростов н/Д, 2006. —

C. 85-89. (0,25 п.л./0,1 п.л.)

[26] Levendorskii, S. Finite difference scheme for pricing American options under Levy processes / S. Levendorskii, O. Kudryavtsev, V. Zherder // Spring Southeastern Meeting, Florida International University, Miami, FL, Notices Program Issue: April 2006, Abstract Issue: 27/2. (0,1 п.л./0,05 п.л.)

[27] Кудрявцев, О. Е. Совершенствование системы управления таможенными рисками на основе внедрения в практику деятельности таможенных органов ЮТУ балльного метода оценки таможенных рисков / О. Е. Кудрявцев, И. В. Соловьева // Материалы научно-практической конференции "Проблемы экономической безопасности России и роль таможенных органов в ее обеспечении". Рост, ф-л РТА. Ростов н/Д, 2007. - С. 16-24. (0,3 п.л./0,15 п.л.)

[28] Kudryavtsev, О. Fast and Accurate Pricing of Barrier Options Under Levy Processes / O. Kudryavtsev, S. Levendorskii // Abstracts of the 5th World Congress of the Bachelier finance society, London, 2008. - P. 33 (0,1 п.л./0,05 п.л.)

[29] Кудрявцев, O.E. Совершенствование системы управления таможенными рисками на основе методики выявления потенциальных "товаров риска" и "товаров прикрытия" / О. Е. Кудрявцев, И. Б. Дудукалова // Оптимизация таможенных процедур: от поиска решений к их реализации: материалы научно-практического семинара. Ростов-на-Дону: РИО Ростовского филиала, 2009. - С.32-41. (0,6 п.л./0,3 п.л.)

[30] Kudryavtsev, О. Efficient pricing barrier options under Lëvy Processes / O. Kudryavtsev // Abstracts of the 5th General Conference on Advanced Mathematical Methods in Finance, Bled - Slovenia, 2010. - P. 92. (0,05 п.л.)

[31] Кудрявцев, О. E. Математические методы оценки рисков: Учеб. пособ.

/ O.E. Кудрявцев // Ростов н/Д: Российская таможенная академия, Ростовский филиал, 2010. (4,2 п.л.)

[32] Лисейкина, О. В. Анализ и автоматическое выявление перетекания то-варопотоков между различными таможенными органами / О. В. Лисейкина, О. Е. Кудрявцев // Материалы научно-практического семинара "Таможенное дело на Юге России": история, теория, практика. - Ростов н/Д: Российская таможенная академия Ростовский филиал, 2010. - С. 135-140. (0,5 п.л./0,25 п.л.)

[33] Кудрявцев, О. Е. Приближенная факторизация Винера-Хопфа в задачах финансовой математики / О. Е. Кудрявцев // Международный семинар "Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложений". - Ростов н/Д: Южный федеральный университет, 2011. - С. 51. (0,1 п.л.)

[34] Кудрявцев, О. Е. Оценка финансового риска получения таможенных платежей ниже планового задания / О. Е. Кудрявцев // Модернизация таможенного дела - актуальная задача современного развития ФТС России // Сборник материалов Международной научно-практической конференции, 22 октября 2010. - М.: Изд-во Российской таможенной академии, 2011. - С. 44-49. (0,4 п.л.)

[35] Кудрявцев, О. Е. Численный метод оценивания барьерных и американских опционов в моделях Хестона и Бейтса / О. Е. Кудрявцев // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2011, - Т. 18, - № 2. - С. 289. (0,1 п.л.)

[36] Кудрявцев, О. Е. Эффективный численный метод вычисления цен барьерных опционов в моделях Леви / О. Е. Кудрявцев // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2011, - Т. 18, - № 3. - С. 355-372. (1 п.л.)

Кудрявцев Олег Евгеньевич

Эффективные математические методы вычисления цен опционов в моделях, допускающих скачки

Специальность 08.00.13 - Математические и инструментальные методы

экономики

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Заказ № 49. Объем 2,1 п.л. Тираж 100 экз.

Копировально-издательский центр «Тональ» 344007, г. Ростов-на-Дону, пер. Газетный, 51.

2-11226

2012094421

2012094421

Диссертация: содержание автор диссертационного исследования: доктора физико-математических наук, Кудрявцев, Олег Евгеньевич

Введение

Обзор литературы.

Глава 1. Метод "Быстрой факторизации Винера-Хопфа" для моделей Леви.

1.1. Процессы Леви: определения и основные свойства.

1.2. Виды процессов Леви, применяемые при моделировании финансовых рынков

1.3. Некоторые обобщения моделей Леви

1.4. Факторизация Винера-Хопфа.

1.5. Метод "Быстрой факторизации Винера-Хонфа".

1.6. Интегро-дифференциальиое уравнение для расчёта цен опционов

1.7. Выводы к первой главе.

Глава 2. Эффективные математические методы вычисления барьерных опционов в моделях, допускающих скачки.

2.1. Начально-краевые задачи для уравнения Колмогорова: случай барьерных опционов.

2.2. Метод горизонтальных линий и метод БФВХ для вычисления безарбитражных цен барьерных опционов.

2.3. Преобразование Лапласа и метод БФВХ для вычисления безарбитражных цен барьерных опционов.

2.4. Метод Винера-Хопфа для конечно-разностных схем: барьерные опционы.

2.5. Начально-краевая задача для системы обратных уравнений Колмогорова: случай модели Леви с переключением режимов

2.6. Выводы к второй главе

Глава 3. Эффективные математические методы вычисления цифровых опционов первого касания в моделях Леви.

3.1. Начально-краевая задача для уравнения Колмогорова: вычисление вероятности первого перехода через барьер.

3.2. Метод горизонтальных линий и метод БФВХ для цифровых опционов первого касания

3.3. Цифровые опционы первого касания в модели Коу.

3.4. Асимптотические методы вычисления цифровых опционов первого касания.

3.5. Выводы к третьей главе.

Глава 4. Математические методы оценки рисков в таможенной деятельности.

4.1. Риски в таможенной деятельности.

4.2. Анализ и оценка таможенных рисков.

4.3. Оценка риска получения платежей ниже планового показателя

4.4. Реальные опционы в контексте управления рисками в таможенной деятельности

4.5. Выводы к четвёртой главе.

Глава 5. Результаты численных экспериментов.

5.1. Барьерные опционы.

5.2. Цифровые опционы первого касания.

5.3. Метод Винера-Хопфа для конечно-разностных схем.

5.4. Выводы к пятой главе.

Диссертация: введение по экономике, на тему "Эффективные математические методы вычисления цен опционов в моделях, допускающих скачки"

Актуальность темы исследования. В развитых странах срочный рынок - рынок фьючерсных и опционных контрактов - является важнейшей составляющей финансового рынка, поскольку его оборот в десятки раз превышает объем торгов на рынке базовых активов. Срочный рынок является весьма популярным среди большого круга инвесторов благодаря широким возможностям при минимальных затратах эффективно управлять ценовыми рисками рынков акций, валют, а также долгового и товарного рынков.

В России появление рынка фьючерсов и опционов в РТС (FORTS) в значительной степени обусловлено финансовым кризисом 1998 г., когда деятельность участников фондового рынка была практически парализована. В настоящее время рынок FORTS стал ведущей площадкой по торговле производными финансовыми инструментами не только в нашей стране, но и в странах Восточной Европы. Задача создания самостоятельного финансового центра в России является важнейшим приоритетом долгосрочной экономической политики страны.

Согласно "Стратегии развития финансового рынка Российской Федерации на период до 2020 года", в рамках решения задачи по повышению ёмкости и прозрачности российского финансового рынка планируется расширить спектр производных финансовых инструментов и укрепить нормативно-правовую базу срочного рынка. Таким образом, в ближайшем будущем следует ожидать качественный рост объёмов сделок с производными финансовыми инструментами. В связи с этим, важной актуальной задачей является применение на российском срочном рынке адекватных математических моделей ценообразования деривативов. Поскольку российский финансовый рынок достаточно молод, имеет смысл воспользоваться накопленным опытом стран Западной Европы и США в вопросах моделирования и ценообразования производных финансовых инструментов.

Производные инструменты неоднократно становились объектом исследования учёных. При этом, в силу более позднего формирования структур рынка деривативов в нашей стране, большая часть работ по данной тематике принадлежит иностранным исследователям, в число которых входят: S. Asmussen, F. Avram, О. Е. Barndorff-Nielsen, D. S. Bates, M. N. Broadie, A. Bensoussan, F. Black, P. Carr, R. Cont, J. С. Сох, F. Delbaen, D. Duffie, E. Eberlein, P. Glasserman, S. L. Heston, A. Hirsa, J. E. Ingersoll, P. Jaillet, I. Karatzas, А. E. Kyprianou, S. Kou, D. Lamberton, B. Lapeyre, F. Longstaff, D. B. Madan, R. Merton, E. Mordecki, G. Peskir, H. Pham, L. C. G. Rogers, S. A. Ross, W. Schachermayer, M. Scholes, W. Schoutens, C. Schwab, E. Schwartz, N. Touzi, M. Yor, X. L. Zhang и другие.

В нашей стране большое влияние на формирование и развитие финансовой математики было оказано членом-корреспондентом РАН, профессором А.Н.Ширяевым и его учениками. На юге России указанное направление первым стал развивать профессор С.З.Левендорский. В настоящее время многие российские учёные активно работают в области финансовой математики в России и зарубежом, являются консультантами финансовых институтов, входят в редколлегии ведущих международных журналов. В список этих учёных входят К. А. Боровков, С. И. Боярченко, Г. И. Белявский, А. А. Гущин, Ю. М. Кабанов, Д. О. Крамков, С. 3. Левендорский, А. В. Мельников,

A. А. Новиков, И. В. Павлов, Э. Л. Пресман, Д. Б. Рохлин, В. Н. Тутубалин,

B. М. Хаметов, А. С. Чёрный, А. Н. Ширяев и др.

Напомним, что одновременно с началом первых торгов на Чикагской бирже в 1973 году, появляются работы P.C. Мертона, Ф. Блэка и М. Шоулса, посвящённые ценообразованию опционов. На основе этих работ была построена теория ценообразования деривативов, использующая гауссовские процессы для моделирования финансовых рынков. Согласно этой теории, справедливые цены опционов представляют собой определённые функционалы от моделирующего процесса. По сути, опцион представляет собой контракт, который в обмен на премию (цену опциона) даёт право его владельцу при осуществлении определённых условий продать или купить некоторый финансовый актив по фиксированной цене. Вычисление справедливой цены опциона в модели Блэка-Шоулса, как правило, сводится к решению дифференциального уравнения в частных производных с определёнными начальными и краевыми условиями или свободной границей. Данное уравнение в финансовой математике носит имя Блэка-Шоулса и является ничем иным, как обратным уравнением Колмогорова. Вместе с тем, непрерывность траекторий и "тонкие хвосты", приводящие к недооцениванию ценовых рисков, делали эту модель не слишком близкой к реальности.

С конца прошлого века выделился определённый класс более реалистичных негауссовских процессов Леви, обобщающих модель Блэка-Шоулса. Преимуществом новых моделей является с одной стороны возможность моделирования скачков цены акции, с другой - более реальная оценка ценовых рисков. В отличие от гауссова случая, соответствующие функционалы от процессов Леви связаны с интегро-дифференциальным уравнением Колмогорова (обобщённым уравнением Блэка-Шоулса).

Наличие стохастической волатильности в модели Леви увеличивает размерность задачи и значительно усложняет ее решение. В последнее время многих авторов привлекает задача, когда модель зависит от марковской цепи с конечным числом состояний, которые могут быть интерпретированы как случайно изменяющиеся факторы среды (напр., финансового рынка). Наибольший интерес представляет моделирование скачков (напр., цены акции) с помощью негауссовских процессов Леви с переключениями режима по параметрам. В частности, такие процессы позволяют приблизить модели Леви со стохастической волатильностью. Важные для приложений задачи вычисления функционалов от процессов Леви с переключениями режима сводятся к решению достаточно сложных систем интегро-дифференциальных уравнений с частными производными.

С точки зрения банковской практики для принятия оперативных решений широко востребованы быстрые алгоритмы ценообразования производных финансовых инструментов; в частности, это необходимо для калибровки моделей финансового рынка. Наибольший практический интерес представляет подбор параметров модели по ценам экзотических опционов. Однако в настоящий момент, методы ценообразования таких опционов в общих моделях Леви являются затратными по времени.

Теория опционов может применяться не только на финансовом рынке, но и в реальном секторе экономики. В частности, метод реальных опционов позволяет вычислить стоимость инвестиционного проекта. Вместе с тем, реальные опционы могут быть найдены в таможенно-тарифной и налоговой политике. Следует отметить, что поступления от внешнеэкономической деятельности (таможенные пошлины, сборы, НДС, акцизы и др. платежи) представляют значительную долю доходной части государственного бюджета Российской Федерации (от 30% до 50%). Таким образом, актуальность проведения научно-исследовательской работы, посвящённой задачам анализа финансовых рисков, связанных с таможенной деятельностью, определяется значимостью данного вопроса для Федеральной таможенной службы России.

Диссертационная работа посвящена эффективным математическим методам вычисления специального вида функционалов, возникающих в финансовой математике при ценообразовании опционов в моделях, допускающих скачки. Работа выполнена в рамках федеральной целевой программы "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России", государственный контракт № 02.740.11.0208 от 7 июля 2009 г.

Следует отметить, что большое влияние на автора оказали научные работы С. 3. Левендорского, которому хотелось бы выразить глубокую благодарность за введение в область финансовой математики.

Цель диссертационной работы состоит в разработке эффективных и универсальных математических методов вычисления безарбитражных цен широкого спектра производных финансовых инструментов в моделях, допускающих скачки.

Для достижения поставленных целей были решены следующие задачи:

• разработан универсальный и эффективный метод приближенной факторизации Винера-Хопфа для широкого класса моделей Леви (метод "Быстрой факторизации Винера-Хопфа");

• разработаны эффективные методы ценообразования барьерных и цифровых опционов первого касания в моделях Леви;

• разработаны эффективные методы ценообразования барьерных и цифровых опционов первого касания в моделях Леви с переключением режимов по параметрам процесса, обобщаемые на модели Леви со стохастической волатильностью

• применён асимптотический метод вычисления безарбитражной цены цифровых опционов первого касания в негауссовой модели Леви;

• предложена методика оценки финансового риска, связанного с получением таможенных платежей ниже планового задания;

• предложен метод реальных опционов для обоснованного формирования плановых показателей получения таможенных платежей.

Область исследования. Содержание диссертации соответствует п. 1.6. "Математический анализ и моделирование процессов в финансовом секторе экономики, развитие метода финансовой математики и актуарных расчетов" и п. 2.6. "Развитие теоретических основ методологии и инструментария проектирования, разработки и сопровождения информационных систем субъектов экономической деятельности: методы формализованного представления предметной области, программные средства, базы данных, корпоративные хранилища данных, базы знаний, коммуникационные технологии" специальности 08.00.13 - Математические и инструментальные методы экономики -паспорта специальности ВАК РФ.

Научная новизна. Центральным результатом работы является метод приближенной факторизации Винера-Хопфа для широкого класса моделей Леви в контексте ценообразования опционов. Указанный метод позволяет за секунды и даже доли секунды решать огромный спектр задач финансовой математики. В частности, с помощью разработанного метода "Быстрой факторизации Винера-Хопфа" (БФВХ) можно вычислять безарбитражные цены барьерных, бермудских опционов, цифровых опционов первого касания в общих моделях Леви. Метод легко обобщается на случай моделей Леви с переключением режимов по параметрам и моделей со стохастической вола-тильностью. Вместе с тем, возможно распространение разработанного метода и на другие виды опционов (напр., американские, Swing, lookback и др.). Метод БФВХ - это первое применение метода приближенной факторизации к задачам финансовой математики.

В работе предложена эффективная асимптотическая формула для опционов первого касания в модели Normal Inverse Gaussian, опирающаяся на факторизацию Винера-Хопфа. Разработана точная конечно-разностная схема для негауссовых моделей Леви. Предложен общий подход, основывающийся на факторизации матриц Теплица, для решения неявных конечно-разностных схем в контексте ценообразования опционов. Разработаны новые математические методы анализа и оценки рисков, возникающих в таможенной деятельности. В качестве элемента управления финансовыми рисками, связанными с получением таможенных платежей, предложен метод реальных опционов.

Практическая значимость. Результаты диссертации нашли практическое применение и внедрены в программный продукт Premia (web-портал: www.premia.fr) в рамках участия в международном научно-исследовательском проекте по финансовой математике "Mathfi" на базе французского национального научно-исследовательского института информатики и автоматизации в Париже (INRIA-Rocquencourt, Paris, web-портал: www.inria.fr). Программный продукт Premia решает задачи по ценообразованию опционов, хеджированию и калибровке моделей финансовых рынков. Данный проект реализуется в тесном сотрудничестве с консорциумом финансовых институтов, включающим в себя ведущие банки Франции и Австрии.

В настоящее время автор входит в группу постоянных разработчиков этого программного продукта. Разработанные автором алгоритмы вошли в выпуски Premia И, Premia 12 и Premia 13. Программный продукт Premia зарегистрирован "Французским агентством по защите программ" (web-портал: http://app.legalis.net/), номер лицензии IDDN FR 001.190010.007.

В частности, автором разработаны и внедрены в программную платформу Premia:

• метод БФВХ для барьерных и цифровых опционов первого касания в 4 моделях Леви: TSL, NIG, Kou, VG;

• метод БФВХ для барьерных и цифровых опционов первого касания в 2 моделях Леви с переключением режимов: TSL, Кои;

• метод БФВХ для барьерных опционов в модели Хестона;

• конечно-разностная схема для модели Леви KoBoL.

Предложенные в диссертационном исследовании методы оценки финансовых рисков могут быть использованы региональными таможенными управлениями при составлении и контроле за выполнением плановых заданий по таможенным платежам.

Материалы диссертационного исследования используются в учебном процессе в Южном федеральном университете при преподавании специального курса "Финансовая математика".

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

1. Универсальная и эффективная процедура приближенной факторизации Винера-Хопфа в терминах характеристических функций (рабочее название: метод "Быстрой факторизации Винера-Хопфа", сокращённо: метод БФВХ), основанная на свойствах безгранично делимых распределений. Метод БФВХ применим для широкого класса процессов Леви, включающего в себя популярные модели финансовых рынков. По простоте практической реализации метод БФВХ сравним с конечно-разностными схемами, но даёт существенные преимущества при решении аналогичных задач финансовой математики. Более того, для применения метода БФВХ достаточно знать только характеристическую экспоненту модели Леви, в то время как для других методов (например, конечно-разностных схем), как правило, требуется дополнительный анализ особенностей меры Леви в окрестности нуля. Отметим, что мера Леви обычно значительно сложнее характеристической функции с вычислительной точки зрения, в частности, может выражаться с помощью специальных функций.

2. Алгоритм метода "Быстрой факторизации Винера-Хопфа", включающий в себя эффективную практическую реализацию операторной формы факторов Винера-Хопфа с помощью быстрого преобразования Фурье для вещественнозначных функций. Данный подход позволяет аппроксимировать операторы (факторы Винера-Хопфа в операторной форме) в формуле для цены опциона, в то время как для других методов (например, конечно-разностных схем) аппроксимируется оператор в уравнении для цены, а затем решается приближенная задача. Следовательно, метод БФВХ позволяет разрабатывать более точные численные методы вычисления безарбитражных цен опционов.

3. Эффективные математические методы ценообразования барьерных и цифровых опционов в моделях Леви без переключения режимов и с переключением режимов по параметрам процесса, которые легко обобщаются на случай моделей Леви со стохастической волатильностью. С помощью метода горизонтальных линий (дискретизации времени) или преобразования Лапласа начально-краевая задача для обобщённого уравнения Блэка-Шоулса (или системы уравнений) сводится к семейству задач на полуоси, которые можно быстро и эффективно решить с помощью метода "Выстрой факторизации Винера-Хопфа". Более того, в предложенных методах приближённые формулы для факторов Винера-Хопфа применяются однократно, что позволяет значительно сократить вычислительные ошибки. Обоснована сходимость метода горизонтальных линий, указан порядок сходимости и предложены формулы ускорения сходимости.

4, Эффективный асимптотический метод вычисления безарбитражных цен цифровых опционов первого касания в чисто негауссовой модели Normal Inverse Gaussian. Если необходимо с точностью до нескольких процентов определить цену опциона для одного значения цены базового актива не позднее, чем за 5 дней до окончания срока действия опциона, то асимптотическая формула может быть хорошей альтернативой методу БФВХ в смысле скорости.

5. Программная реализация метода БФВХ для ценообразования барьерных и цифровых опционов первого касания для различных моделей, допускающих скачки. Большинство разработанных алгоритмов внедрены в программный платформу Premia.

6. Преимущества метода БФВХ в контексте ценообразования различных видов опционов по сравнению с другими методами (Монте-Карло и конечно-разностные схемы) подтверждены разнообразными вычислительными экспериментами на модельных примерах. Метод БФВХ позволяет за секунды и даже доли секунды решать задачи ценообразования опционов в адекватных моделях финансовых рынков. Следовательно, подбор параметров моделей базовых активов можно достаточно быстро проводить на качественно более высоком уровне: калибровать модели по безарбитражным ценам экзотических опционов.

7. Общий подход к решению вспомогательных систем, возникающих после применения конечно-разностной схем к интегро-дифференциально-му уравнению с частными производными для цены барьерного опциона. Метод использует приближенную факторизацию Винера-Хопфа в терминах тёплицевых матриц и эффективно применим к полностью неявным схемам относительно дифференциальной и интегральной частей оператора. Существующие конечно-разностные методы вычисления безарбитражных цен опционов применяются к явно-неявным схемам; явным (относительно дифференциальной части) и неявным (относительно интегральной части), что приводит к потери точности.

8. Методика оценки финансового риска, связанного с получением таможенных платежей ниже планового показателя. Модель потока таможенных платежей в виде процесса Леви с положительными приращениями. Применение метода реальных опционов при формировании контрольных показателей.

Достоверность полученных выводов подтверждается математическим анализом разработанных алгоритмов, проведением вычислительных экспериментов для модельных задач и сравнением результатов с контрольными расчётами альтернативными методами других авторов (метод Монте-Карло, конечно-разностные схемы для достаточно мелкой сетки).

Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались на международных, российских и региональных конференция и научных семинарах в России и зарубежом, в том числе:

• Конференция АМаМеР по численным методам в финансах, Французский национальный научно-исследовательский институт информатики и управления (ЩША-Носяиепсош^), 1-3 февраля, 2006, Париж, Франция

• Встречи Американского математического общества, Международный университет Флориды, Майами, США, 1-2 апреля, 2006

• Пятый Всемирный Конгресс Финансового Общества Вашелье, Лондон, Великобритания, 15-19 июля, 2008.

• Пятая международная конференции "Передовые математические методы в области финансов", АМаМеР 2010, 3 мая - 9 мая 2010 г., Блед, Словения;

• Международная научно-практическая видео-конференция "Модернизация таможенного дела - актуальная задача современного развития ФТС России", 22 октября 2010 года, г.Москва-Люберцы)

Международный научный семинар "Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения", Южный федеральный университет, г. Ростов-на-Дону, 24-28 апреля 2011

Всероссийские симпозиумы по прикладной и промышленной математике (Ростов-на-Дону, май 2002 г., Йошкар-Ола, декабрь 2006 г, Сочи-Дагомыс, октябрь 2010г, Казань, май 2011г). научно-практические семинары и конференции на базе Ростовского филиала Российской таможенной академии, посвящённые вопросам оптимизация таможенных процедур, 2005-2009 годы. научный семинар на кафедре исследования операций, Южного федерального университета, Ростов-на-Дону, октябрь, 2009г заседание Ростовского математического общества, Ростов-на-Дону, декабрь, 2009 научный семинар "Вероятностные методы в финансах" в университете Пари-Эст Марн-ля-Валле (Paris-Est Marne-la-Vallée), Париж, февраль 2009 г, январь 2010 г (среди участников семинара D.Lamberton, B.Lapeyre) встреча разработчиков программного продукта PREMIA и аналитиков банков Франции и Австрии, институт Башелье, Париж, Франция, февраль 2009 г. научный семинар на факультете экономики и финансов, университет г. Удине, Италия, май 2010 г научный семинар "Вероятностные проблемы управления и стохастические модели в экономике, финансах и страховании", Центральный экономико-математический институт РАН, ноябрь, 2010 г

• научный семинар кафедры математики "Современная математика и концепции инновационного математического образования", Финансовый университет при Правительстве РФ, декабрь, 2010 г

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 35 печатных работах, в том числе 2 монографии, 3 статьи в международных научных журналах, входящих в международные системы цитирования (Web of Science, Mathematics Abstracts, Scopus), 10 публикаций в ведущих российских рецензируемых научных журналах и изданиях, рекомендованных ВАК России.

Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, обзора литературы, 5 глав, заключения и библиографии. Общий объем диссертации 273 страницы, из них 245 страницы текста, включая 9 таблиц и 11 рисунков. Библиография включает 216 наименований на 28 страницах.

Диссертация: заключение по теме "Математические и инструментальные методы экономики", Кудрявцев, Олег Евгеньевич

5.4. Выводы к пятой главе

Разработанные в главах 1-3 алгоритмы эффективных математических методов, решающих задачи финансовой математики, внедрены в программный продукт PREMIA [199] в рамках участия автора диссертации в международном научно-исследовательском проекте по финансовой математике "Mathfi" на базе французского национального научно-исследовательского института информатики и автоматизации в Париже (INRIA-Rocquencourt, Paris, web-портал: www.inria.fr). Программный продукт PREMIA решает задачи по оцениванию опционов, хеджированию и калибровке моделей финансовых рынков.

Проведённые вычислительные эксперименты показывают, что разработанные автором методы быстро сходятся и согласуются с результатами, полученными другими методами, но существенно превосходят их в скорости расчётов.

Заключение

С точки зрения практики широко востребованы быстрые алгоритмы оценивания производных финансовых инструментов; в частности, это необходимо для калибровки моделей финансового рынка. Наибольший практический интерес представляет подбор параметров модели по ценам экзотических и американских опционов. Однако в настоящий момент, методы вычисления таких опционов в общих моделях Леви являются затратными по времени.

Метод Винера-Хопфа является стандартным аналитическим методом решения задач на полуоси типа (1.93)-(1.94), которые возникают в процессе решения различных задач финансовой математики. Для ряда опционов в моделях Леви были получены аналитические формулы для преобразования Лапласа цены опциона в терминах факторов Винера-Хопфа (см., напр., [93, 190]). В общем случае, практическая реализация указанных формул связана с необходимостью вычислять 2-или 3-мерные интегралы. Вместе с тем, явные формулы для факторов известны только в небольшом числе частных случаев, когда характеристическая экспонента моделирующего процесса является рациональной функцией (модели Блэка-Шоулса, Коу и некоторые другие).

Главным результатом работы является метод приближенной факторизации Винера-Хопфа, применимый для широкого класса моделей Леви. Разработанный метод "Быстрой факторизации Винера-Хопфа" (БФВХ) включает в себя эффективную практическую реализацию операторов £+ и £~, являющихся факторами Винера-Хопфа в факторизационном тождестве (1.84). Вычислительная сложность алгоритма численной реализации действия операторов £+ и £~ равна О(МЫМ), где М - число точек дискретизации по пространственной переменной. Управлять точностью аппроксимации факторов можно увеличивая область локализации и число М, которое одновременно является количеством слагаемых в Фурье-разложении факторов. Метод БФВХ, основанный на свойствах безгранично делимых распределений и алгоритме быстрого преобразования Фурье, по простоте реализации близок к конечно-разностным схемам, но существенно выигрывает в скорости и точности. Более того, построение конечно-разностных схем обычно требует серьёзного анализа поведения в окрестности нуля меры Леви, которая часто выражается через специальные функции. Напротив, метод БФВХ использует формулу характеристической экспоненты процесса Леви, вид которой обычно достаточно прост с вычислительной точки зрения.

Как показывают вычислительные эксперименты, проведённые в работе, метод "Быстрой факторизации Винера-Хопфа" позволяет за секунды и даже доли секунды решать огромный спектр задач финансовой математики. В частности, с помощью метода "Быстрой факторизации Винера-Хопфа" в диссертации разработаны эффективные универсальные математические методы вычисления безарбитражных цен барьерных опционов и цифровых опционов первого касания в общих моделях Леви. Вычислительная сложность соответствующих алгоритмов равна 0(NMh\M), где М - число точек дискретизации по пространственной переменной, N - количество периодов дискретизации временной переменной. Доказана сходимость метода линий, указан порядок сходимости и формулы ускорения сходимости. Разработанные методы имеют важную отличительную особенность: приближённые формулы для факторов Винера-Хопфа применяются однократно.

Метод обобщён на случай моделей Леви с переключением режимов по параметрам и моделей со стохастической волатильностью (например, модели Хестона или Бейтса). Метод может быть применён и к другим задачам финансовой математики, не рассмотренным в диссертации. Например, к задачам ценообразования американских опционов, опционов Swing, частично барьерных опционов, опционов lookback, lookbarrier и других гибридов экзотических опционов, в частности, см. [36, 40, 41, 45, 46, 153, 157, 167].

Отметим, что предложенный автором метод БФВХ - это первое применение приближенной факторизации Винера-Хопфа к решению задач финансовой математики для общих моделей Леви. Альтернативой методу БФВХ могла бы быть приближённая факторизация Паде [63], которая заключается в аппроксимации отношением двух полиномов характеристической функции q(q + ФЮ)-1) гДе Ф(£) ~ характеристическая экспонента процесса Леви (1.2), см. также [53, 54]. Указанное отношение сравнительно просто раскладывается в произведение двух рациональных функций с нулями и полюсами в верхней и нижней полуплоскостях комплексной плоскости, соответственно. Обсуждение возможности применения аппроксимации Паде в задачах ценообразования некоторых экзотических опционов в моделях Леви см. в [128]. Однако, данный метод, наряду с рядом технических трудностей, не позволяет интерпретировать факторы Винера-Хопфа, как характеристические функции безгранично делимых распределений. Следовательно, для факторов Винера-Хопфа в операторной форме не будут выполняться в полной мере утверждения 1.3-1.5, что не позволит, в частности, решать задачи об оптимальной остановке.

В связи с этим, ряд авторов (см., например, [111, 117, 141]) предлагают аппроксимировать исходный процесс моделью Коу или ее обобщением - диффузией с гиперэкспоненциальными скачками, характеристические экспоненты которых уже являются рациональными функциями. Однако, такое приближение приводит к дополнительному источнику ошибок, которые могут быть весьма значительными для опционов с барьерами (см. примеры в [88, 89]).

Отметим, что в недавних работах А.Кузнецова с соавторами [159, 160] были построены два широких класса моделей Леви: /?-класс и гипергеометрическое семейство, для которых определены полуявные формулы для факторов Винера-Хопфа в виде бесконечных произведений дробно-линейных функций. Недостатком, является тот факт, что типичные модели не входят в эти классы и для факторизации необходимо находить корни полиномов высоких степеней. Ещё одно неудобство (в частности, для калибровки модели) связано с большим числом параметров модели.

Метод БФВХ может быть использован и для построения эффективного Монте-Карло, симулирующего траектории процессов супремума и инфиму-ма. Хорошо известно, что сходимость оценок вероятности первого перехода через барьер стандартными методами Монте-Карло в случае моделей Леви является достаточно медленной. Следовательно, необходимо большое количество симуляций траекторий с достаточно малым временным лагом. Недавно, в работе 2011 года [160] был предложен новый метод симуляции совместного распределения максимума и значения процесса Леви в фиксированный момент времени с помощью факторизации Винера-Хопфа. Указанный метод значительно превосходит с вычислительной точки зрения стандартный метод Монте-Карло для процессов Леви, мера Леви которых представима в виде суммы меры Леви, принадлежащей ^-классу или гипергеометрическое семейству, и конечной меры. Метод БФВХ позволит обобщить данную методику на более широкий класс моделей Леви. Как одно из приложений, новый метод Монте-Карло можно будет эффективно использовать в финансовой математике при вычислении цен широкого класса экзотических опционов.

Наряду с вышеизложенным в диссертации была разработана конечно-разностная схема для вычисления безарбитражных цен барьерных опционов. В отличие от известных конечно-разностных схем ([110, 116, 130]), в которых малые скачки приближаются дополнительной диффузионной компонентой, построенный метод не изменяет порядка инфинитезимального оператора, аппроксимируя малые скачки дополнительным сносом. Следовательно, сохраняются качественные свойства решения.

Вместе с тем предложен общий подход решения систем линейных уравнений, возникающих после применения конечно-разностных схем к обратному уравнению Колмогорова для цен барьерных и других опционов. Метод конечных разностей достаточно популярен на практике, поскольку в диффузионных моделях соответствующая матрица системы является трехдиагональ-ной и легко обращается. Однако, в случае моделей финансового рынка, допускающих скачки, возникает необходимость обращать "плотные" теплицевы матрицы. Для того, чтобы обойти эту проблему многие авторы предлагают явно-неявные схемы, в которых после дискретизации получается трехдиаго-нальная система ([110, 115, 116, 130]).

Большинство конечно-разностных схем, применяемых в финансовой математике, можно интерпретировать с вероятностной точки зрения, как аппроксимацию исходного процесса Леви марковской цепью с непрерывным временем со счётным числом состояний, генератор которой является лоренце-вой матрицей, тесно связанной с теплицевой матрицей системы. Такая интерпретация даёт возможность построить приближенный метод факторизации матриц Теплица, который позволяет обращать "плотные" теплицевы матрицы соответствующих систем.

Результаты диссертации нашли практическое применение и внедрены в программный продукт Premia [199] в рамках участия в международном научно-исследовательском проекте по финансовой математике "Mathfi" на базе французского национального научно-исследовательского института информатики и автоматизации в Париже (INRIA-Rocquencourt, Paris, web-портал: www.inria.fr).

Программная платформа Premia решает задачи по вычислению безарбитражных цен опционов, хеджированию и подбору параметров для моделей финансовых рынков. Данный проект реализуется в тесном сотрудничестве с консорциумом финансовых институтов, включающим в себя ведущие банки Франции и Австрии.

В настоящее время автор входит в группу постоянных разработчиков этого программного продукта. Разработанные автором алгоритмы вошли в выпуски Premia 11, Premia 12 и Premia 13. Программный продукт Premia зарегистрирован "Французским агентством по защите программ" (web-портал: http://app.legalis.net/), номер лицензии IDDN FR 001.190010.007.

В частности, автором разработаны и внедрены в программную платформу Premia:

• конечно-разностная схема для модели Леви KoBoL;

• метод БФВХ для барьерных и цифровых опционов первого касания в 4 моделях Леви: KoBoL, NIG, Kou, VG;

• метод БФВХ для барьерных и цифровых опционов первого касания в 2 моделях Леви с переключением режимов: KoBoL, Kou;

• метод БФВХ для барьерных опционов в модели Хестона;

Проведённые вычислительные эксперименты показывают, что разработанные автором методы быстро сходятся и согласуются с результатами, полученными другими методами (Монте-Карло, конечно-разностные схемы), но существенно превосходят их в скорости расчётов.

В диссертации проведён анализ рисков в таможенной деятельности. Большое внимание уделено финансовым рискам, связанным с таможенными платежами. Впервые предложено сместить акцент с прогнозирования таможенных платежей, которое не приносит удовлетворительных результатов, на анализ финансовых рисков в таможенной сфере. В данном ключе разработана новая методика оценки риска получения таможенных платежей ниже планового задания с помощью метода реальных опционов. В качестве адекватной модели для процесса доходов федерального бюджета предполагается использовать субординатор, а вероятность выполнения контрольных показателей вычислять как цифровой опцион первого касания. Продолжение исследований в данном направлении представляется весьма актуальным и перспективным.