Оптимизация инвестиционных стратегий в стохастических условиях с учетом инфляции тема диссертации по экономике, полный текст автореферата

Автореферат диссертации по теме "Оптимизация инвестиционных стратегий в стохастических условиях с учетом инфляции"

Па правах рукописи

ииао55347

Наталуха Инна Геннадиевна

ОПТИМИЗАЦИЯ ИНВЕСТИЦИОННЫХ СТРАТЕГИИ В СТОХАСТИЧЕСКИХ УСЛОВИЯХ С УЧЕТОМ ИНФЛЯЦИИ

08 00 13 - Математические и инструментальные методы экономики

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата экономических наук

Кисловодск - 2007

003055347

Диссертация выполнена в Кисловодском институте экономики и права

Научный руководитель доктор экономических наук, профессор

Кярдаш Виктор Алексеевич

Официальные оппоненты доктор экономических наук, профессор

Хубасв Георгий Николаевич кандидат экономических наук, доцент Кравченко Наталья Ивановна

Ведущая организация Карячпево Черкесская государственная

технологическая академия

Защита состоится 31 марта 2007 года в 13 часов на заседании регионального диссертационного совета ДМ 521 002 01 по экономическим наукам при Кисловодском институте экономики и права (357700, г Кисловодск, ул Р Люксембург, 42)

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Кисловодского института экономики и права

Автореферат разослан 28 февраля 2007 года

Ученый секретарь диссертационного совета

Дмитриев В А

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

А|сгуалыюс1ь темы исследования Сложность оперативного управления портфелем финансовых инвестиций определяет необходимость широкого использования в этом процессе современных количественных методов финансовой математики и финансового инжиниринга В последнее время теория и практика выбора оптимального финансового портфеля столкнулась с отличительной чертой современных финансовых рынков стохастичностыо эволюции инвестиционной среды - краткосрочной процентной ставки, цен рисковых активов, ожидаемых ставок доходности, вариационно-ковариационной матрицы доходностей по рисковым активам, ожидаемой скорости изменения дохода инвестора вне финансового рынка, а также корреляции между перечисленными переменными Отмеченные особенности существенно влияют на оптимальный портфельный выбор инвестора, который может существенно отличаться от определяемого классической портфельной теорией Марковица - Тобина - Шарпа Кроме того, инвестирование неотделимо от текущего потребления (инвесторы, как правило, извлекают полезность не только из конечного капитала па инвестиционном горизонте, но и из текущего потребления в различные моменты времени), а инвестиционная стратегия требует динамической реструктуризации портфеля с учетом стохастических и кризисных явлений различной природы, что также не может быть учтено в рамках классической теории

В процессе финансового инвестирования и управления портфелем инвесторы заинтересованы в реальных доходностях активов Инфляция является одним из источников неопределенности реальных доходностей финансовых инвестиций Хеджирование инфляционного риска является нетривиальной задачей, поскольку на большинстве финансовых рынков предлагаются только номинальные облигации (лишь на нескольких биржах США и Великобритании продаются индексируемые с учетом инфляции облигации) Аналогично, по краткосрочным депозитам выплачивается номинальная процентная ставка В силу стохастических изменений цен потребительских товаров номинальные облигации и депозиты характеризуются рисковой доходностью в реальном выражении Поэтому в условиях инфляционной экономики модели финансового инвестирования должны учитывать инфляционный риск

Достоверные количественные результаты, касающиеся определения оптимальных стратегий инвестирования в рисковые финансовые инструменты и потребления в стохастических условиях, позволяющих агенту финансового рынка оперативно реструктурировать портфель, могут быть получены в рамках строгих экономико-математических моделей финансового инвестирования в непрерывном времени с учетом функций полезности инвестора Этим и определяется актуальность диссертационного исследования

Степень изученности проблемы. Проблемы управления финансовыми инвестициями систематически рассматривались в трудах зарубежных и

I 1о I НО [реи Ю1ИСМ 11011ИМ ЖМСЯ 11,11! 1 И)ЫМЯСМЫС Ш ЙК1 ИВМОЙ Экономическом сфсры В сф(.ру КОН(- I П01 о Потреб 1С11ИЯ

отечественных ученых Большой вклад в теорию финансового менеджмента внесли Алексаидер Г , Бирман Г , Блауг М , Блех Ю , Бренли Р , Ьригхэм Ю , Гетце У , Гитман Л , Дамари Р Друри К , Ирвин Д , Карлиц Г , Коллас Б , Крушвиц Л , Курц X , Ли Ч , Майерс С , Мертон Р , Миллер М , Модильяни Ф , 11ерар Ж , Самуэльсон П , 1 обин Д , Фабоцци Ф , Холт Р , Шарп V , Шим Д и др Среди отечественных ученых следует 01 метить Балабанова ИТ, Бланка И А , Бочарова В В , Герчикову И Н , Ефимову О В , Ковалева В В , Поляка Г Ь , Стоянову С С , Тренева Н Н , Хоминич И П и др

Количественный анализ и прогнозирование финансового состояния фондовых рынков базируется на финансовом менеджменте, финансовой математике и эконометрике Большой вклад в развитие таких разделов финансовой математики, как измерение доходности финансовых инструментов, анализ финансовых рисков, теория решы, анализ производственных инвестиций и измерителей финансовой эффективности, а также финансового инжиниринга внесли российские и зарубежные ученые Алексеев М Ю , Баша-рин Г П , Боди 3 , Браун С , Бригхэм Ю , Бронштейн Е М , Гапенски Л , Даф-фи Д , Евстигнеев И В , Капигоненко В В , Кардаш В А , Карлберг К , Касимов Ю Ф , Кокс Д , Колб Р , Кочович Е , Кочрейн Дж , Крушвиц Л , Ку1уков В Б , Марковиц Г , Маршалл Д , Мертон Р , Миллер М , Миркип Я М , Недо-секин А О , Паррамоу К , Перепелица В А , Попова Е В , Росс С, Самуэльсон П , Смоляк С А , Тобин Дж Уотшем Т„ Фабоцци Ф , Фама Е , Четыркин Е М , Шарп У , Шведов А С , Ширяев А Н , Шоулс М , Эрроу К и др

Магматические основы анализа стохастических процессов в финансах разрабатывались Белявским Г И , Винером Н , Ито К , Кабановым Ю М , Ка-ратзасом И , Колмогоровым АН, Крамковым Д О , Макаровым В Л , Ман-дельбротом Б , Мельниковым А В , Новиковым А А , Павловым И В , Плиска С , Прохоровым Ю В Роджерсом Л , Рутковски М , Скейдсом К , Черным А С , Швейзером М , Ширяевым А Н , Шреве С , Шродером М и др

Однако, несмофя на большое количество публикаций в области моделирования и анализа фондовых рынков и оптимизации инвестиционного портфеля, многие упомянутые выше проблемы далеки от разрешения Отметим также, что в большинстве известных исследований проблемы финансового инвестирования в стохастических условиях задача оптимизации решается численно (Брандт М , Бреннан М , Висейра Л , Дамгард А , Ким Т , Кох-рейн Дж , Кэмпбелл Дж , Латнадо Р , Лонгстафф Ф , Соренсен К , Харвей К , Шварц Е и др) Это не позволяет выявить вклад составляющих портфетя (спекулятивного спроса на рисковые активы и различных видов спроса на хеджирование) в ошимальное решение и проанализировать влияние на него характеристик инвестиционной среды и функции полезности (предпочтений) агента финансового рынка

Теоретическая и практическая значимость моделирования оптимального размещения капшала в рисковые активы в условиях стохастического изменения параметров инвестиционной среды и определили тему и постановку задач диссертационного исследования

Предмет и объект исследования Предметом диссертационного ис-

следования являются стратегии оптимального размещения каптала в рисковые активы в стохастической инвестиционной среде фондового рынка Объектом исследования являются финансовый рынок и инвестиционный портфель финансового инвестора

Цель и задачи исследования Целью диссертационной работы является построение модепей и решение динамических задач оптимального инвестирования на финансовом рынке, характеризующемся стохастичностыо инвестиционной среды

В соответствии с поставленной целью в диссертации решались следующие задачи

- разработка экономико-математических моделей, позволяющих рассчитывать оптимальные доли капитала, размещаемою в рисковые финансовые инструменты с учетом стохастических изменений их цен, ожидаемых доход-ностей, вариационно-ковариационной матрицы доходностсй, а также стохастической динамики краткосрочной процентной ставки,

- моделирование оптимального портфельного и потребительского выбора при функции полезности инвестора с памятью (с учетом привычного уровня потребления) в условиях стохастической эволюции параметроь инвестиционной среды,

- анализ оптимальных инвестиционных и потребительских стратегий при функции полезности с памятью и конкретной (в том числе немарковской) динамике инвестиционных возможностей релаксации рисковой премии к долгосрочному значению (модель Орнштейна — Уленбека) и стохастической динамике краткосрочных процентных ставок, описываемых моделью Кокса-Ингерсолла - Росса,

- сравнительный анализ оптимальных стратегий инвестора, характеризующегося степенной функцией полезности, и инвесторов с различными уровнями привычного потребления,

- построение оптимальных стратегий инвестирования и потребления с учетом стохастической динамики цен рисковых активов, стохастической эволюции параметров инвестиционной среды, а также ожидаемою уровня и неопределенности инфляции

Теоретическая и эмпирическая база исследования Диссертационное исследование основано на фундаментальных разработках отечественных и зарубежных ученых по теории финансового инвестирования и финансовым рынкам, теории случайных процессов, финансовой математике, методам стохастическою оптимального управления

Информационно-документальной базой исследования являются статистические материалы Федеральной службы государственной статистики, законодательные акты РФ, решения и нормативные акты Правительства Российской Федерации, Федеральной службы по финансовым рынкам регулирующие деятельность фондового рынка, статистические данные Центра по исследованию ценных бумаг США (СИБР)

Диссертационное исследование выполнено в рамках п ! 6 "Магматический анализ и моделирование процессов в финансовом секторе экономики,

развитие методов финансовой математики и актуарных расчетов" паспорта специальности 08 00 13 - Математические и инструментальные методы экономики

Методы исследования В диссертации использовались различные методы и приемы экономических исследований математические методы экономики, включающие финансовую математику, теорию стохастического оптимального управления, теорию полезности, теорию случайных процессов, теорию мартишалов, методы сравнительной статики и сравнительной динамики равновесия, аналитические и численные методы анализа стохастических и обыкновенных дифференциальных уравнений

Научная новизна диссертационного исследования состоит в развитии аппарата моделирования, а также методов качественного и количественного анализа процессов финансового инвестирования в стохастических условиях Научная новизна характеризуется следующими положениями

построена модель финансового инвестирования, позволяющая проанализировать оптимальные стратегии инвестирования и потребления с учетом стохастической, в том числе и немарковской динамики цен рисковых активов (в условиях, когда гипотеза «эффективных финансовых рынков» несправедлива), стохастической эволюции параметров инвестиционной среды, а также ожидаемого уровня и неопределенности инфляции,

в явном аналитическом виде получены составляющие оптимального портфеля (спекулятивный спрос на рисковые активы и портфель хеджирования) как функции рисковых премий, волатильностей цен рисковых активов и характеристик функции полезности инвестора, позволяющие агенту финансового рынка оперативно реструктурировать портфель (максимизируя свою полезность) в соответствии со стохастически меняющимися инвестиционными возможностями,

доказано, что на финансовом рынке номинальных ценных бумаг (имеющих рисковые доходности в реальном выражении) в условиях неопределенности инфляции оптимальная инвестиционная стратегия инвестора включает спекулятивный портфель и единственную реальную облигацию, хеджирующую против изменений реальных инвестиционных возможностей, даже если эш изменения генерируются многомерным броуновским движением Если инвестор извлекает полезность только из конечного капитала, хеджирующая облигация представляет собой реальную облигацию с нулевым купоном со сроком погашения на инвестиционном горизонте Если, кроме того, инвестор извлекает полезность из текущего потребления, хеджирующая облигация характеризуется непрерывным купоном, пропорциональным ожидаемой интенсивности потребления в реальном выражении,

построены оптимальные стратегии инвестирования и потребления при функции полезности с памятью (с учетом привычного уровня потребления) в условиях стохастического изменения доходности рисковых активов с учетом стохастической, в том числе и немарковской эволюции параметров инвестиционной среды, позволяющие установить качественные и количественные

отличия от стратегий инвестора, характеризующегося аддитивной по времени функцией полезности,

. 1 установлено, что инвестор с логарифмической полезностью (характеризующийся нейтральным отношением к риску) накапливает средства для обеспечения будущего минимального уровня потребления, однако не хеджирует ни против изменений инвестиционных возможностей, ни против изменений издержек обеспечения минимального уровня потребления в будущем, инвестор с бесконечным неприятием риска вообще не инвестирует в спекулятивную часть портфеля,

I I получены аналитические выражения для оптимальных инвестиционных и потребительских стратегий при конкретной динамике инвестиционных возможностей релаксации рисковой премии к долгосрочному значению (модель Орнштейна - Уленбека) и стохастических краткосрочных процентных ставках (модель Кокса - Ингерсолла - Росса) Выяснено, что привычный уровень потребления существенно снижает спрос на рисковый актив и предельную склонность к потреблению,

' у доказано, что оптимальное портфельное решение при полезности инвестора, учитывающей привычный уровень потребления, есть сумма трех составляющих Первая составляющая представляет собой спекулятивную часть портфеля, (специфическая для инвестора позиция определяется относительной терпимостью инвестора по отношению к риску) и максимизирует мгновенное число Шарпа Вторая составляющая определяет размещение капитала в рисковые активы, соответствующее оптимальному хеджированию инвестором изменения инвестиционных возможностей Последняя составляющая портфеля соответствует инвестированию в купонную облигацию с непрерывными платежами, обеспечивающими экономическому агенту будущий минимальный процесс потребления по крайней мере на привычном уровне

Практическая значимость результатов исследования. Практическая значимость исспедования определяется тем, что разработанные в диссертации модели, методы и алгоритмы ориентированы на решение тактических и стратегических задач при осуществлении участниками финансового рынка управления финансовым инвестированием в рисковые активы в стохастической инвестиционной среде Полученные в диссертации в аналитическом виде составляющие оптимального портфеля (спекулятивный спрос инвестора и портфель хеджирования) позволяют инвесторам оперативно реструктурировать портфель при различных инвестиционных горизонтах в соответствии со стохастически меняющимися рисковыми премиями, волатильностями цен рисковых активов, краткосрочными процентными ставками и с учетом неопределенности инфляции Обобщение полученных результатов на функции полезности с памятью пошоляет рассчитывать оптимальные портфели инвесторов, оптимальное потребление и предельную склонность к потреблению при различных уровнях привычного потребления с учетом конкретной динамики стохастических процентных ставок и рисковых премий

Апробация результатов исследования Результаты диссертационного исследования докладывались автором на V Всероссийском симпозиуме «Ма-

тематическое моделирование и компьютерные технологии» (Кисловодск, 2002), на V Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной ма-гемашке (Сочи 2004, осенняя сессия), на Всероссийской паучно-пракгическои конференции «Механизмы эффективного управления в рыночной Экономикс» (Кисловодск, 2004), на Международной научной конференции «Ломоносов - 2004» (Москва, 2004), на Всероссийском симпозиуме «Экономическая психология проблемы и перспективы» (Кисловодск, 2004), па V! Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Санкт-Петербург, 2005, весенняя сессия), на Международной научно-практической конференции «Экономическое прогнозирование модели и методы» (Воронеж, 2005), на VII Международном симпозиуме «Математическое моделирование и компьютерные технологии» (Кисловодск, 2005), на VI Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Сочи, 2005, осенняя сессия), на V Международной конференции «Новые технолог пи в управлении, бизнесе и праве» (Невинномысск, 2005), на IX Международной научно-практической конференции «Системный анализ в проектировании и управлении» (Санкт-Петербург, 2005), на научно-пракшческой конференции с международным участием «Системный анализ в экономике и управлении - 2005» (Таганрог, 2005), на VII Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Кисловодск, 2006, весенняя сессия), на Международной научно-практической конференции «Финансы, денежное обращение и кредит Организация финансовых систем» (Новочеркасск, 2006)

Результаты диссертационного исследования апробированы и используются ООО «Мсдинвестбанк» (Кисловодский филиал) при выработке эффективных стратегий финансового инвестирования на фондовом рынке

Результаты диссертации используются Кисповодским институтом экономики и права в учебном процессе и включены в структуру учебных дисциплин «Экоиомико-математическое моделирование» и «Рынок ценных бумаг» Публикации Основные результаты исследования отражены в опубликованных автором 16 печатных работах объемом 4,85 п л

Обьем и структура работы Диссертация состоит из введения, грех пав, заключения и списка использованной литературы Текст диссертации иуюжен на 133 страницах, включает 3 таблицы, 5 рисунков Список использованной литературы содержит 150 источников

ОСНОВНЫЕ НАУЧНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ, РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

Во введении обоснована актуальность темы исследования, дана характеристика степени изученности проблемы, сформулированы цель и задачи исследования, научная новизна и практическая значимость

В первой главе "Упртвление финансовыми инвестициями" сделан обзор видов финансовых инструментов инвестирования и их особенностей, методов оценки эффективности инвестирования капитала в финансовые им-

сфуметы, а также методов управления портфелем ценных бумаг с учетом финансовых рисков Обсуждаю 1ся модели оценки реальной стоимости ценных бумаг Дается характеристика факторов, определяющих инвестиционные качества финансовых инструментов инвестирования Рассматривается оценка инвестиционных качеств финансовых инструментов инвестирования по показателям уровня доходности, риска и взаимной ковариации Сдепан обзор работ, посвященных формированию портфеля финансовых инвестиций, выбору портфельной стратегии и типа формируемою инвестиционного портфеля Изложены принципы оперативного управления реструктуризацией порг-фепя финансовых инвестиций Рассматриваются виды отношений инвесторов к риску и характеристики интенсивности нерасположенное г и к риску

Во второй главе «Оптимальные стратегии инвестирования и потребления в стохастической инвестиционной среде с учетом инфляционного риска» построена модель финансового инвестирования в непрерывном времени, на основе которой исслецуются оптимальные стратегии инвестирования и текущего потребления с учетом стохастической (в том числе немар-ковскои) динамики цен рисковых активов, стохастической эволюции параметров инвестиционной среды и неопределенности инфляции В явном аналитическом виде получены составляющие оптимального портфеля

Агенты финансового рынка имеют возможность инвестировать в п + 1 финансовых активов, один из которых является мгновенно номинально безрисковым активом (банковским счетом), номинальная цена которого Л! удовлетворяет уравнению (1А, = Я1А1(1(, где К - непрерывно начисляемая краткосрочная номинальная процентная ставка Инфляция в экономике мо-дечнрусгся следующим образом Динамика номинальной цены единицы потребительского товара П( описывается следующим стохастическим процессом

примем е/П,/П, есть реализуемый уровень инфляции в следующий момент времени, г, - //-мерное стандартное броуновское движение. К, есть ожидаемый уровень инфляции, а (Тп, - волатильность (мгновенное среднее квадра-тическое отклонение) уровня инфляции (индекс Т означает транспонирование) Заметим, что мшовенно номинально безрисковыи актив не является безрисковым в реальном выражении, поскольку реальная цена А, /П( содержит диффузионный член Остальные п активов являются номинально рисковыми с поминальными ценами, определяемыми вектором Р1={Р[, ,Р„,У , удовлетворяющим следующему стохастическому дифференциальному уравнению

(I)

п XII -мерный стохастический процесс, определяющий волатильности цен активов и корреляционно-ковариационную структуру финансового рынка, А, — Я,/) - //-мерный стохастический процесс номинальных риско-

вых премий, //, - п- мерный вектор ожидаемых доходностей по рисковым активам

Инвестор ставит задачу максимизации своей ожидаемой полезности в течение инвестиционного периода, выбирая соответствующие стратегии инвестирования и потребления Инвестиционная стратегия описывается п -

мерным стохастическим процессом х = (г|5 ,х„У, где х„ обозначают доли капитала, инвестируемые в I -ый рисковый актив в момент / Доля капитала, инвестируемая в банковский счет, поэтому составляет х0, = 1 — х]/ Реальная стратегия потребления описывается стохастическим процессом с = (с,) (которому соответствует номинальное потребление С, =с,П() При стратегии инвестирования .г и номинальной стратегии потребления С номинальный капитал инвестора Ж(с г эволюционирует согласно стохастическому дифференциальному уравнению

с!1У,с' = [л,И/,г 1 + -сМ + "х]аР1Л2, (3)

Поскольку построенная модель учитывает инфляционный риск, можно рассматривать задачу выбора агентом непосредственно реального процесса потребления с — (с,) и реального конечного капитала и' При данном реальном процессе потребления с и процессе инвестирования х динамика реального капитала инвестора м',г 1 =И//гГ,1/П( описывается следующим уравнением

<чг = к10,+- К)-с, к+<г - ^п, К

Проблема максимизации ожидаемой полезности инвестора формулируется следующим образом

эир Е

(с »)

о

и^е^^-, 7>0 (4)

1-у 1-у

Функции полезности (4) при у= 1 интерпретируются как предельный случаи логарифмической полезности Неотрицательные константы £, и £2 определяют различные веса промежуточного и конечного потребления, включая ситуации, когда инвестор извлекает полезность только из промежуточного потребления (£2 = 0) или только из конечного капитала (£, = 0)

В диссертации доказано, что оптимальная стратегия потребления и оптимальная инвестиционная стратегия инвестора с постоянным относительным неприятсм риска в реальном выражении определяется соотношением

с, = е

Q,

х'=(ег 7Р,Г

-Л,+

1 — -

Г

У.

(Тп, + от,

(5)

Оптимальные стратегии потребления и инвестирования выражены через стохастический процесс <2 = ((),), определяемый следующим образом

1""

1г Лич) I „Vо Л

I

где дефлятор ш, определяется процессом

ч! = Е,

1

ъ.

т,

V

(6)

т, = ехр<| -1г,еЬ -1- -1\\Я;|| ¿у

(7)

о о

Как видно из (5), оптимальное инвестиционное решение представляет собой

сумму трех составляющих, первая из которых — (сТр, )'л, есть спекулятив-

7

ная часть портфеля («близорукий» спрос инвестора, основанный на анализе математическою ожидания и дисперсии доходности актива), т е размещение капитала в активы инвестором, игнорирующим изменения инвестиционных возможностей Спекулятивная позиция инвестора существенно зависит от стохастической ожидаемой доходности активов А, Например, если ожидаемая избыточная доходность идеально отрицательно коррелированна с ценой актива, спекулятивная стратегия состоит в сокращении позиции по активу после роста их цеп увеличении позиции в случае падения цены актива Следующие две составляющих (5) описывают, как инвестор оптимально хеджирует изменения инвестиционных возможностей, которые включают изменения темпов инфляции (второй член в (5)) и изменения параметров финансового рынка (краткосрочной процентной ставки и рисковой премии) в реальном выражении Заметим, что оптимальный портфель (5) позволяет сделать вывод о том, какие риски следует хеджировать инвестору А именно, кроме инфляционного риска, оптимально инвестору следует хеджировать только те сдвиги в инвестиционной среде, которые влияют на ядро ценообразования в реальном выражении, т е при условии полноты финансового рынка следует хеджировать только изменения реальной краткосрочной процентной ставки и

реальной рыночной цены риска Кроме того, составляющая (<7р,) (Уд,, описывающая хеджирование, определяется волатилыюстью отношения капи-тал/потребчепис инвестора

Из решения (5) видно, что оптимальное потребление составляет зависящую от времени и состояния инвестиционной среды часть капитала инвестора При постоянных реальных инвестиционных возможностях, те при постоянной краткосрочной процентной ствке в реальном выражении /, и постоянной реальной рыночной цене риска X, имеем

а

Г 1 1 1 " \

& -е!

V - /

.Р

V

1--

г + ^л'л^ 2 у

(Ю

Целесообразно рассмотреть два важных частных случая инвестора с логарифмической полезностью (характеризующегося нейтральным отношением к риску при у-1) и инвестора с бесконечным коэффициентом относи-юпьного неприятия риска при у^> оо (формально результаты для инвестора с бесконечным неприятием риска определяются как предельный случай стратегий (5) при Т'—Для инвестора с логарифмической иотезносгыо полз-

чаем — ^ (г, + {р£г ~ и (Тр, = 0, так что инвестор с логариф-

мической функцией полезности вообще не хеджирует ни изменения инвестиционных возможностей, ни инфляционный риск, а ею оптимальная норма пофебления является нестационарной, но детерминированной частью капитана Инвестор с бесконечным коэффициентом относительного неприятия риска вообще не имеет спекулятивного спроса на рисковые ценные бумаги (первое слагаемое в (5) исчезает при у—> 00) Ясли такой инвестор извлекает полезность и из промежуточного потребления, и из конечного капитала, процесс принимает вид

т

I

Поэтому порк])елем хеджирования будет реальная рентная облигация с непрерывным купоном в одну единицу пофебления в интервале [/,7"] и единовременной выплатой с момент Т одной единицы пофебления В спучае, если инвестор извлекает полезность только из конечного капшала, те £{ — О, портфелем хеджирования будет реальная облигация с нулевым купоном со сроком погашения на инвестиционном горизонте

В диссертации определены оптимальные стратегии хеджирования против стохастических процентных ставок реальными облигациями Доказано, чю если реальная краткосрочная процентная ставка г( описывае!ся гауссов-скич процессом и процесс рисковых премий в реальном выражении Лг является детерминированным, ю оптимальная инвестиционная стратегия определяется выражением

т (к + Е,

/

т,

х' = (аг<)

1

Л, +

1 ■

(9)

где <71и + (Тп, - вектор волагилмюсги номинальной цены реальной облига-

ции, выплачивающей непрерывный реальный купон согласно соотношению

I

а

е{ схр

■О

<7,\ 0<1<ь<Т

(10)

и характеризующейся конечной выплатой в момент Г в размере

' "(г-,)

ч] (П)

У

Этот результат даег явное представление оптимальной инвестиционной стратегии с учетом инфляции и весьма общей, в том числе немарковской, многофакторной динамике процентных ставок Оптимальный портфель включает долю капитала 1/у, размещаемую в спекулятивную часть портфеля, и часть капитала 1 — 1 ¡у, вкпадыиаемую в предлагаемую реальную купонную облигацию, хеджирующую против изменений инвестиционных возможностей В случае отсутствия промежуточного потребления соответствующей облигацией является реальная облигация с нулевым купоном с погашением в конце инвестиционного горизонта

В 1ретьсй гчаве «Портфельный и потребительский выбор в стохастических инвестиционных условиях при полезности инвестора с памятью» моделируются оптимальные стратегии инвестирования и потребления при функции полезности с учетом привычною уровня потребления в условиях стохастического изменения доходности рисковых активов с учетом стохастической (в том числе и немарковской) эволюции параметров инвестиционной среды

Большинство исследований процесса финансового инвестирования основано на далеких от реальности предположениях о предпочтениях инвестора А именно, функция полезности инвестора считается степенной функцией конечною капитала или аддитивной сепарабельной по времени степенной функцией потребления Более правдоподобным представлением предпочтений инвестора является учет в функции полезности привычного уровня по-фебления, при этом полезность данного текущего уровня потребления явля-с1ся убывающей функцией уровня потребления в прошлом

Рассматриваем финансовый рынок с одним безрисковым активом, характеризующемся ставкой доходности гп и п рисковыми активами, цены которых обозначаем вектором Р1 Динамику цен рисковых активов описываем стохастическими дифференциальными уравнениями (2)

Инвесюр с фиксированным временным горизонтом Т характеризуется полезностью заданного потока потребления с = (с,), определяемого сле-

|<?Л/(с,, й,)Л

дующим образом 1/(с)= Е

, где Л, - уровень привычного

I

потребления /г, =1це~№ + а.\е'^'^с^н Здесь Н0, а и /? - неотрицательные

о

константы По существу, уровень привычного потребления представляют собой произведение взвешенного среднего предыдущих уровней потребления с экспоненциально убывающими весами, так что уровни недавнего потребления получают большие веса Постоянная а может интерпретироваться как

масштабный фактор, а /? - параметр инертности потребления Инвестор максимизирует полезность и {с), соответствующим образом выбирая неотрицательный процесс потребления с = (с, ) и инвестирования К — {к1) При данных стратегиях потребления с и инвестирования л динамика капитала И/1 инвестора описывается следующим уравнением

<№, = [н'1(!1+к[ст1Л1)-с1\1( + И'Хст,сЬ, (12)

Динамика процессов г и Я может быть и немарковской

Определим неявную полезность в момент J|, как наивысший уровень полезности, который может быть достигнут на инвестиционном горизонте

~т

(13)

У, = sup Е, (с »МО

где A{t) обозначает множество допустимых стратегий потребления и инвестирования в период [t,7*] Для получения обозримых результате и сопоставления их с результатами, полученными для стандартных степенных функций полезное (и, будем предполагать, что «мгновенная» функция полезности

и(с, h) имеет вид и (с, h)= ——- (с - lij~r

1 -у

Решение поставленной немарковской задачи максимизации полезности определяется с использованием процессов F = (F, ) и G = (G, )

I

т -*(,-,)( * V": \е *

£ £

(l + aFj'rch

(14)

F, = Е,

Jexpt-OS-aX^-Oljrfs

= }ехр[-03-aXi-tj]p;ds, (15)

(о О ^ О )

где В* - цена в момент / облигации с нулевым купоном, выплачивающей единицу счета в момент 5, а - дефлятор цепы состояния Можно интерпретировать Е, как цену облигации, выплачивающей непрерывный купон, который экспоненциально убывает со временем Заметим, что представляет собой цену обеспечения того, что будущее потребление точно равняется привычному уровню В диссертации доказано, что оптимальный процесс потребления определяется соотношением

G,

а огиимальная инвеешционлая страте! ия определяется вектором

, W, - h, F, 1/ TV1, w. - h. F. / 7V1 h, F, / Ty)

K = . _ {(jJ ) Д + -J.----L_L (or ' ) a + (cr,r) £7/( (17)

W, y w, W,

}десь W* = (м/,*) есть капитал, индуцированный оптимальными стратегиями, a h* =(/?,*) - процесс, определяющий привычный уровень потребления, индуцированный оптимальной страте!ией потребления

Оптимальная стратегия потребления (16) состоит в потреблении текущего минимального уровня и зависящей от времени и состояния (т е инвестиционной среды) части «свободного капитала», те капитала, превышающего издержки финансирования будущего минимального потока потребле-1

(l + aF ) у

ния Эта часть - ' , те предельная склонность к потреблению MPC G,

(или предельная доля потребления в доходе), зависит от ожиданий и будущих инвестиционных возможностей, и будущих издержек финансирования минимального потока потребления При у > 1 Ft и G, возрастают с ростом а и убывают с ростом [3 и, следовательно, MPC и норма потребления (при фиксированном капитале и уровне привычного потребления) будут убывать с ростом а и возрастать с ростом ¡5

Ошимальное портфельное решение (17) есть сумма трех составляющих Первая составляющая представляет собой спекулятивную часть портфеля («близорукий» спрос инвестора, основанный па анализе математического ожидания и дисперсии доходности активов), те размещение активов инвестором, игнорирующим изменения инвестиционных возможностей Это инвестирование в касательный портфель представляется (ст, Л (специфическая для инвестора позиция определяется относительной терпимостью инвестора по отношению к риску y~'(W — hF)1W ) и максимизирует mi hobch-ное число Шарпа Вюрая составляющая показывает, как инвестор опшмаль-но хеджирует изменения инвестиционных возможностей Последняя составляющая портфеля (17) соответствует инвестированию в купонную облигацию с непрерывными платежами, обеспечивающими экономическому агенту будущий минимальный процесс потребления по крайней мере на привычном уровне, имеющем текущую стоимость hlFl Спекулятивная часть портфеля и спрос инвестора на хеджирование испытывают влияние привычного уровня потребления посредством множителя (IV— hF)W Кроме того, привычный уровень потребления влияет на спрос на хеджирование благодаря присутствию параметра уровня потребления а в процессе G, Интуитивно ясно, что оптимальное хеджирование против изменений инвестиционных возможности должно учитывать изменения будущих издержек обеспечения минимального уровня потребления Поэтому можно заключить, что присутствие привычного уровня потребления в функции полезности инвестора будет по-разному влиять на спекулятивным спрос и па спрос на хеджирование

11редс1авляег интерес проанализирован, оптимальные стратегии инвестирования и потребления в двух предельных случаях неприятия риска инвестором В случае нейтрального отношения инвестора к риску (7=1) предельным переходом у —> 1 в и {с /;) получаем логарифмическую полезность 1п(с — /г) Поэтому оптимальная инвестиционная стратегия принимает вид

IV. — h. F. / , vi h, F. i т \-i

Я< " w> & ' "a + ur-~ К) ^ ^18)

Wl Wt

Oiciona следует, что инвестор с логарифмической полезностью, учитывающий привычный уровень потребления, накапливает средства для обеспечения будущего минимального уровня потребления, однако не хеджирует ни против изменений инвестиционных возможностей, ни против изменений издержек обеспечения минимального уровня потребления в будущем

Другой предельный случай преде 1авляе г собой бесконечное неприятие риска, те у -> Анализ показывает, что инвестор с бесконечным неприятием риска вообще не инвестирует в спекуля гивную часть портфеля

Если функция полезности не учитывает привычный уровень пофебле-ния, ио характеризуется постоянным минимальным уровнем потребления /г, = /г0, нетрудно показать, что С, = Г, = k\V* при к = const, так что оптимальная норма потребления лосюяпна, и оптимальным инвестированием является инвестирование только в облигации с процентными купонами, пред-сывленными процессом Ft Сели в функции полезности учитывается привычный уровень потребления, оптимальная норма потребления уже не является постоянной, и инвестор с бесконечным неприятием риска хеджирует стохастические изменения будущей минимальной нормы потребления

Рассмотрен частный случай оптимальной стратегии (16),(17), соответствующий постоянным инвестиционным возможностям, представленным параметрами г и Л Оптимальные стратегии потребления и инвестирования определяются выражениями

+ 0 + с»

с(/) у wt

Из выражений (19) видно, что с учетом уровня привычного потребления оптимальные доли свободного капитана W -hF, инвестируемые в рисковые активы, идентичны оптимальным долям полного капитала для стандартной сепарабельной по времени степенной функции полезности С ростом капитала (jV —>00) допи капитала, инвестируемые в рисковые активы, увеличиваются и в пределе равны таковым для инвестора с сепарабельной по времени степенной функцией полезности Непосредс1венные вычисления показывают, что при у > 1 предельное отношение потребления к капиталу

(1 + aF{t)Yr

- - - увеличивается со временем и уменьшается с ростом параметра

уровня привычного потребления а

Рассмотрим пример инвестирования в безрисковый актив с доходностью 4% и единственный рисковый актив с волатильностыо 20% и ожидаемой жбьпочпой доходностью 6% В табл 1 сравниваются оптимальные стратегии инвестирования и потребления инвестора со степенной функцией полезности и инвесторов с различными уровнями привычного потребления Инвестиционные возможности постоянны при /"0 03, (Х=0,2, Я =0,3 Рас-смафиваются инвесторы с 30-летним инвестиционным горизонтом и 7=2, ¿-0,02, Ж-=100, h~= 4

Табл 1 показывает, что привычный уровень потребления существенно снижает спрос на рисковый актив и предельную склонность к пофеблению При некоторых сочетаниях параметров а и ¡3, однако, норма потребления инвестора с функцией полезности с памятью выше, чем для инвестора со стандартной степенной функцией полезности

Рис I иллюстрирует зависимость оптимальных стратегий от изменений параметра относительного неприятия риска у и инвестиционного горизонта Г для стандартной степенной функции полезности и функции полезности с памятью Для обоих типов инвесторов оптимальная доля капитала, инвестированною в рисковый актив, убывает гиперболически как функция относительного неприятия риска (рис 1,а) Из рис 1,6 видно, что хотя MPC для функции полезности с памятью ниже для всех значений у, такие инвесторы имеют более высокую норму потребления для очень низких и очень высоких значений параметра у Рис 1,в показывает, что оптимальный вес

Таблица 1 Оптимальные портфельные стратегии с учетом привычного уровня потребления

а Р Fit) <?(/) 18,3 К 75,0% MPC 5 47% С

(.пидартндя сгсиенпая функция полезности 5,47

0 1 0,2 7,54 23 3 52 4% 3,24% 6 26

0,1 0,3 4,34 21,6 62 0% 3 87% 7 20

0,2 о Г 0 2 0,3 7 54 27,4 20,7 52,4% 65 9% 2,31% 561 " 7 72 "

0 4 3 03 4,23%

04 4 34 24 4 62 0% 3 00% 6 48

0 3 04 7 54 30 9 52 4% 1 7°% 5 25

0 1 0 5 2 33 20 2 68 0% 4 46% 8 04

0 2 0 5 3 1)3 22 9 65 9% 3 45% 7 03

03 0 5 4,34 27,0 62 0% 2 44% 6 02

04 0 5 7,54 34 1 52 4% 1,47% 5 02

(a) инвестиции в акции как функция коэффи-[щсшл ошостслыюто пеприяшя риска

10 12 /

(б) норма погрсблеиия и ¥РС как функции козффшшипа опюсн ix'ii.iioi о неприятия риска

, ГОЛЫ О 1U 20 JU 4U 1 , годы

пиши в акции как функция инвест- (г) норм,! щиреблсния и MPC как функции ииопною юриюита шшеепшноытт юризоша

Рис 1 Оптимальные стратегии с учетом привычного уровня потребления при постоянных инвестиционных возможностях Жирные (тонкие) кривые соогвеютвугот функции полезности с учетом привычного уровня потребления (степенной функции полезности) Параметры рынка /"=0,03, <7-0,2, Я =0,3 Параметры инвестора ¿-0,02, ÎPo-100, «-0,3, /?=0,4, /;=4 На рис 1,а ирис 1,6 7*=30, на рис 1,вирис 1,г у = 2

размещения капитала в рисковый актив пнвесюрами с функцией полезности с памятью убывает с ростом инвестиционно! о горизота, поскольку, чем д ншнее горизонт, тем больше денег допжно быгь отложено для обеспечения соответствия будущего потребления привычному уровню Наконец, рис 1,г показывает, что соотношение оптимальных уровней потребления инвесторов с функцией потезности с памятью и со степенной функцией полезности определяется длиной их инвестиционного горизонта

Поскольку MPC значительно ниже для инвесторов с функцией полезности с памятью, чем для инвесторов со степенной функцией полезности, норма потребления первых инвесторов менее чувствительна к экзогенным воздействиям и слецовательно, менее изменчива во времени

Далее в диссертации установлены некоторые важные свойства оптимальных стратегий при конкретной динамике инвестиционных возможностей Рассмотрен интересный с точки зрения практических приложений случай, когда рыночная иена риска Я, (рисковая премия по активам с ожидаемой избыточной доходностью) описывается случайным процессом Орн-штсина - Уленбека

с!Л, = к(Л -Л1 )clt -аяск,, (20)

где к - параметр, характеризующий скорость релаксации рисковой премии Я, к значению X , <7^ - волагилыюегь рисковой премии, z, - стандартное броуновское движение Предполагаем, что рынок акций представлен единственным рисковым активом, цена которого описывается следующим стохастическим дифференциальным уравнением

dP, =/;[(/ + аЛ,}/г + adz,], в котором вопатилыюсть о цены актива предполагается положительной константой, г - бсзрисковая процентная ставка Установлены основные свойства оптимальных стратс1ий (1) спрос па хеджирование на акции положителен, (2) среднее и предельное отношение потребление/капитал увеличивается с ростом рисковой премии, (3) оптимальная часть свободного капитала, ин-

nW

вестпрованного в акции л = - , увеличивается с ростом инвестицион-

W - h F

ного горизонта Замешм, что первые два свойства оптимальных стратегий потребления и инвестирования справедливы для инвестора со степенной се-парабелыюй по времени функцией полезности (при указанной функции полезности оптимальная норма потребления пропорциональна уровню капитала, так что в этом случае нет различия между средним и предельным отношениями потребление/капитал) Поскольку при степенной сепарабельной по времени функции полезности нет различия между свободным капиталом и полным капиталом, в этом случае оптимальная часть полного капитала, инвестируемого в акции, растет с ростом инвестиционного горизонта, что соответствует практическим рекомендациям финансовых аналитиков С учетом зависимости функции полезности от уровня привычного потребления ¡ави-симость части капитала размещаемого в дыши, от инвестиционного гори-

зонта ста!юли гея более тонкой Функция /*'(/) возрастает с ростом инвестиционного горизонта Т, поскольку затраты на финансирование потребления на привычном уровне в течение более длительного периода больше Поэтому при фиксированных И и УУ свободный капитал составляет меньшую часть капитала для больших инвестиционных горизонтов и, следовательно, доля полного капитала, инвестируемого в акции, л = л{1 - Л/^/И7), может уменьшаться с ростом инвестиционного горизонта Эволюция оптимальною веса акций в портфеле инвестора на временах порядка жизненного инвестиционного юризонт? еще более сложна, поскольку И и УУ в этом случае не являются постоянными Большинство агентов имеют тенденцию потреблять меньше и накапливать капитал в начале своей самостоятельной жизни, а далее постепенно увеличивают потребление (и уровень привычного потребления) и сокращают капитал к концу жизни При таком сценарии вероятно, что доля капитала, инвестируемого в акции, будет возрастать в начале деягель-ности агента на финансовом рынке С сокращением жизненного инвестиционного горизонта доля капитала, инвестируемою в акции будет име1ь тенденцию к уменьшению благодаря влиянию процесса релаксации для рисковой премии на А и увеличению отношения А/^/Ж Однако конкретная динамика л" со временем будет зависеть от эволюции цен акций

Для изучения количественного влияния уровня привычного потребления на оптимальные стратегии в рассматриваемой постановке рассмотрим численные примеры В качестве базового случая рассмотрим инвесторов с коэффициентом относительного неприятия риска у—2, инвестиционным горизонтом Т = 30 лет и дисконтным фактором 5 = 0,02 Начальный капитал УУ = 100, для инвесторов с учетом привычного уровня потребления в функции полезности примем начальный уровень привычного потребления А =4 Долгосрочная ожидаемая избыточная доходность составляет 6%, волатильность рынка акций 20%, ожидаемые отклонения рисковой премии Л от долгосрочного уровня уменьшаются вдвое за интервал времени (1п 2)/к =2,3 лет, стандартное отклонение Л составляет 0,087

Табл 2 показывает оптимальные стратегии инвестирования и потребления для инвесторов с аддитивной по времени степенной функцией полезности и инвесторов с функцией попезности, учитывающей привычный уровень потребления с различными комбинациями параметров а и В табл 2 л„по и лш означают спекулятивную и хеджирующую составляющие оптимального портфеля соответственно, те

Л УУ НЕ ах , -ЛУ-ЬР , , Э!пС(А,/) ,„1Ч

уо IV (7 IV Э Л

Обе составляющие портфеля снижаются за счет присутствия уровня привычного потребления /г в выражениях (21), однако хеджирующая составляющая портфеля испытывает большее влияние, поскольку £)(Я,г) зависит и от а, и от р (поскольку зависит от [)) Из табл 2 видно, что

Таблица 2. Оптимальные стратегии при наличии процесса релаксации рисковой премии к своему долгосрочному значению

Таблица показывает оптимальные стратегии инвестирования и потребления при различных комбинациях параметров функции полезности с памятью а и Р Параметры инвестиционной среды имеют следующие значения i=0,

Т= 30 лет, <5=0,02, у= 2, W = 100, /=0,03, <х=0,2, Л =0,3, С7Л=0,1, Я =0,3, ожидаемая избыточная доходность акций 6%, уровень привычного потребления Л =4 MPC есть предельная склонность к потреблению, MPC и С суть предельная склонность к потреблению и норма потребления, соответственно, при Я-const

а Р F<f) DM G (Я,1 Ящуо % nhed % Khcd ^mvo MPC, % С MPC % С

ландартная cie- пешпя фушшия пол-зноен! - -0 2S6X 16 1 75 0 12,8 0 171 62 62 5 47 5 47

0 1 0,2 7,54 -0 2546 20 6 52,4 8,9 0,170 3,24 6 56 3 36 6 35

0,1 0 3 4,34 -0 2559 19,0 62,0 10,6 0 171 4 38 7,62 3 94 7,26

02 0 3 7 54 -0,2536 24 2 52 4 8,9 0 169 2 61 5,82 2 44 5 70

0 1 0,4 3 03 -0,2564 18 3 65 9 11,3 0,171 4 79 8,21 4 27 7 76

02 04 4 34 -0,2554 21 6 62 0 10,6 0,170 3 39 6,80 3 08 6,55

0 3 04 7,54 -0 2530 27 4 52,4 8,8 0,169 2,02 5,41 1,91 5 34

0 1 0 5 2,33 -0,2566 17 8 68 0 11,6 0,171 5,05 8,58 4,49 8 07

02 0 5 3 03 -0,2561 20 2 65,9 11,3 0 171 3 91 7 43 3 51 7,08

0,3 0 5 4,34 -0 2551 23 S 62 0 10,5 0 170 2 77 6,29 2 54 6,09

0,4 0 5 7 54 -0,2526 30 2 52,4 8,8 0 168 1,65 5,16 1 58 5 10

абсолютная величина D(À,t) уменьшается с ростом параметра а, характеризующего уровень привычного потребления, и увеличивается с ростом параметра /5, характеризующею изменчивость потребления Во всех случаях величина 0(Л,г) несколько меньше для инвесторов, характеризующихся полезностью с учетом привычного уровня потребления, чем для инвесторов со степенной аддитивной по времени полезностью, так что спрос на хеджирование снижается существеннее при полезности с учетом привычного уровня попзебления, чем спекулятивный спрос, что видно из столбца кш/я,п)0

Далее рассмотрим оптимальную норму потребления Столбцы MPC и С показывают предельную склонность к потреблению, т е отношение

---— - --- и оптимальную норму потребления Предельная склонность к

G(X,t)

потреблению MPC выше при условии, что рисковая премия определяется процессом с релаксацией (20), чем при постоянной рисковой премии Этот эффект имее1 место как для инвесторов с полезностью с учетом привычного уровня потребления, так и со степенной полезностью Фактически относительное увеличение MPC благодаря процессу релаксации рисковои премии к своему долгосрочному значению почти идентично в случае степенной полезности и во всех четырех случаях, соответствующих учету привычного уровня потребления в функции полезности, в чем можно убедиться, поделив данные столбцов MPC и MPC Следовательно, относительное увеличение реальной нормы потребления благодаря процессу релаксации на рынке акции меньше для инвесторов с полезностью с учетом привычного уровня потребления, чем для инвесторов со стандартной степенной функцией полезности

Проанали{ирогано влияние коэффициента относительного неприятия риска на инвестиционный спрос Установлено, что спекулятивный спрос на акции гиперболически убывает с ростом коэффициента относительного неприятия риска, в то время как спрос на хеджирование возрастает с ростом коэффициента относительного неприятия риска при его значениях, меньших 2, и убывает при больших значениях, однако с более низкой скоростью, чем спекулятивный спрос, однако даже при высоких значениях коэффициента относительного неприятия риска спрос на хеджирование составляет только 1/3 полного спроса на акции Норма потребления и предельная склонность к потреблению стремительно возрастают при низких значениях коэффициента относительного неприятия риска, а затем медленно снижаются при умеренных и высоких значениях этого коэффициента Учет уровня привычного потребления в функции полезности ока¡ывает снижающее воздействие на спекулятивный спрос инвестора и спрос па хеджирование, которое для малых и умеренных значений коэффициента относительною неприятия риска достаточно существенно, а при больших значениях рисковой премии влияние привычного уровня потребления ослабевает

В диссертации исследовано, как функция полезности с привычным уровнем потребления влияет па оптимальное размещение капитала в облигации и акции в предположении, что процентные ставки определяются моделью Кокса - Ингерсолла - Росса Тлбл 3 показывает оптимальные страте! ии для инвестора с аддитивной по времени степенной функцией полезности и для инвестора с функцией полезности, учшывающей привычный уровень потребления с различными комбинациями параметров а и /? Сначала рассмотрим оптимальную инвестиционную стратегию Столбец я"5 содержит оптимальные доли полного капитала, инвестируемые в акции, которые существенно ниже для функции полезности с памятью (чю находится в соответствии с ранее полученными результатами) Полное инвестирование в облига-

1 аблпца 3 Оптимальные страте! ии с учетом стохастической динамики про-ценжых ставок

Оптимальные страте! ии инвестирования и по!ребления при различных комбинациях параметров функции полезности с памятью а ч /3 Параметры инвестиционной среды и инвестора имеют следующие значения 1 = 0, Г - 30, ¿ = 0,02, у = 2, ИГ = 100, 3 = 0,2, к =0,3, Г =- 0,05, а, =0,1

стандарта« силешия фрикция полочное! и 0,1 0 2

0,1

0 2

0 I

О 2

0 1

0 I

0 2

0 3

04

цию показано в столбце лв По сравнению с инвестором со степенной функцией полезнос1И близорукий спрос на облигацию инвестора с функцией полезности с памятью снижается Во всех случаях спрос на хеджирование существенно выше спекулятивного спроса на облигацию, так что весьма важно использовать способность облигаций хеджировать процентный риск при определении оптимального соотношения размещения капитана в акции и облигации Спрос на облигацию, обеспечивающий прожиточный минимум, сильно зависит от параметров, определяющих привычный уровень потребления (а именно, разности а-/3), однако значителен для всех комбинаций параметров а и Р, рассматриваемых в таблице Во всех случаях полный спрос на облигацию несколько выше при функции полезности с учетом привычного уровня потребления, чем при стандартной степенной функции полезности Наконец, оптимальная инвестиционная стратегия включает отрицательную «денежную» позицию, т е краткосрочное заимствование, поскольку сумма вложении капитала в акцию и облигацию превосходит 100% В рассмагри-

ваемых примерах для инвестора с функцией полезности с памятью оптимально меньшее заимствование, чем для инвестора со степенной функцией полезности В целом из проведенного анализа следует, что оптимальное инвестирование в акции, облигации и банковский счет испытывает существенное влияние привычного уровня потребления

Рассмотрим оптимальную стратегию потребления Столбец MPC показывает предельную склонность к потреблению при условии неопределенности процентной ставки, а столбец MPC показывает предельную склонность к потреблению в предположении о постоянстве процентных ставок Столбцы С и С содержат оптимальную норму потребления, соответствующую каждому из сделанных выше предположений о процентных ставках Из табл 3 видно, что влияние функции полезности с привычным уровнем потребления на норму потребления неоднозначно для некоторых комбинаций а и Р MPC и С выше, чем MPC и С, а для других комбинаций а и /3 MPC и С ниже, чем MPC и С

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1 Натапуха И Г Оптимальные стратегии инвестирования и потребления в стохастических условиях // Обозрение прикладной и промышленной математики -2004 -Т 11, выпуск 4 - С 886-887 - 0,1 п л

2 Наталуха И Г Моделирование оптимальных стратегий инвестирования и потребления в стохастической инвестиционной среде // Вестник Иркутского государственного технического университета - 2005 - № 1 - С 8286 - 0,3 п л

3 Наталуха И Г Динамическое размещение рисковых активов в стохастической среде с учетом инфляции // Известия Таганрогского государственного радиотехнического университета Тематический выпуск «Системный анализ в экономике и управлении» -2005 -№8 -С 84-91 - 0,4 п л

4 Наталуха И Г Оптимальное инвестирование и потребление с учетом привычного уровня потребления // Обозрение прикладной и промышленной математики - 2005 -Т 12, выпуск 2 - С 450-455 -0,4 пл

5 Наталуха И Г Оптимальное хеджирование стохастических процентных ставок с учетом промежуточного потребления // Вестник Иркутского государственного технического университета - 2005 - №3 - С 141-147 -0,4 п л

6 Натапуха И Г Стратегии оптимального инвестирования и потребления в стохастических условиях при полезности инвестора с памятью // Финансы и кредит -2006 - № 4(208) - С 15-24 - 0,7 п л

7 11аталуха И Г Оптимальное хеджирование инфляционного риска в стохастической инвестиционной среде // Обозрение прикладной и промышленной математики -2006 -Т 13, вып 4 - С 589-596 - 0,5 п л

8 Наталуха И Г Стратегии оптимального хеджирования процентного риска облигациями // Экономический анализ теория и практика - 2006 -№ 8 (65) - С 58-60 - 0,3 п л

9 Наталуха И Г Динамическое управление размещением акций и облигаций в стохастических инвестиционных условиях // Сборник научных трудов V Всероссийского симпозиума «Математическое моделирование и компьютерные технологии» Секция 2 «Математическое моделирование экономических и экологических систем» - Кисловодск, 2002 - С 64-65 - 0,1 п л

10 Наталуха ИГ Оптимальные стратегии инвестирования и потребления с учетом стохастических процентных ставок // Материалы Всероссийской научно-практической конференции «Механизмы эффективного управления в рыночной экономике» - Кисловодск, 2004 - С 76-80 - 0,2 п л

11 Наталуха ИГ Мартингальное решение задачи стохастического управления инвестированием и потреблением при постоянных инвестиционных возможностях // Материалы Международной научной конференции «Ломоносов - 2004» -М МГУ -2004 - С 112-118 -0,3пл

12 Наталуха И Г Прогнозирование спроса на рисковые активы с учетом стохастической динамики их цен // Международная научно-практическая конференция «Экономическое прогнозирование модели и методы» - Воронеж ВГУ - Т 2 - 2005 - С 326-332 - 0,3 п л

13 Наталуха И Г Влияние привычного уровня потребления на портфельный и пофебительский выбор инвестора// Сборник научных трудов VII Международного симпозиума «Математическое моделирование и компьютерные технологии» - Кисловодск, 2005 - С 29-34 - 0,25 п л

14 Наталуха И Г Динамическое хеджирование процентных ставок, описываемых немарковскими случайными процессами // Труды V Международной конференции «Новые технологии в управлении, бизнесе и праве» -Невинномысск, 2005 -С 155-159 - 0,3 п л

15 Наталуха И Г Оптимальное управление инвестированием и потреблением в стохастической инвестиционной среде с учетом инфляции // Труды IX Международной научно-практической конференции «Системный анализ в проектировании и управлении» - Санкт-Петербург, 2005 - С 369370 - 0,1 п л

16 Наталуха И Г Хеджирование инфляционного риска при немарковской динамике процентных ставок // Сборник докладов Международной на-учпо-практической конференции «Финансы, денежное обращение и кредит Организация финансовых систем» - Новочеркасск, 2006 - 0,2 п л

Подписано в печать 24 февраля 2007 г Форма 60x84/16 Бумага типографская №1 Гарнитура Тайме Уел печ л 1,5_Тираж! 00 экз Заказ 012

Отпечатано в «Новая полиграфия» 357700, г Кисловодск, ул Тельмана, 8 тел 2-93-57

Диссертация: содержание автор диссертационного исследования: кандидата экономических наук, Наталуха, Инна Геннадиевна

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. УПРАВЛЕНИЕ ФИНАНСОВЫМИ ИНВЕСТИЦИЯМИ

1.1. Особенности различных видов финансовых инструментов инвестирования капитала

1.2. Формирование портфеля финансовых инвестиций

1.3. Управление портфелем финансовых инвестиций. Риски финансового инвестирования капитала и управление ими

1.4. Функции полезности и измерение степени неприятия риска

ГЛАВА 2. ОПТИМАЛЬНЫЕ СТРАТЕГИИ ИНВЕСТИРОВАНИЯ И ПОТРЕБЛЕНИЯ В СТОХАСТИЧЕСКОЙ ИНВЕСТИЦИОННОЙ СРЕДЕ С УЧЕТОМ ИНФЛЯЦИОННОГО РИСКА

2.1. Экономико-математическая модель полного финансового рынка в непрерывном времени и методы ее анализа

2.2. Мартингальный подход к задачам определения оптимальных стратегий инвестирования и потребления

2.3. Экономико-математическая модель инвестирования и 59 потребления в стохастической инвестиционной среде с учетом инфляционного риска

2.4. Оптимальные стратегии хеджирования против стохастических процентных ставок реальными облигациями

ГЛАВА 3. ПОРТФЕЛЬНЫЙ И ПОТРЕБИТЕЛЬСКИЙ ВЫБОР В СТОХАСТИЧЕСКИХ ИНВЕСТИЦИОННЫХ УСЛОВИЯХ ПРИ ПОЛЕЗНОСТИ ИНВЕСТОРА С ПАМЯТЬЮ

3.1. Математическая модель и задача оптимизации

3.2. Оптимальное инвестирование и потребление с учетом привычного уровня потребления и релаксации рисковой премии к долгосрочному значению

3.3. Финансовое инвестирование с учетом привычного уровня потребления и стохастических процентных ставок

Диссертация: введение по экономике, на тему "Оптимизация инвестиционных стратегий в стохастических условиях с учетом инфляции"

Актуальность темы исследования. Сложность оперативного управления портфелем финансовых инвестиций определяет необходимость широкого использования в этом процессе современных количественных методов финансовой математики и финансового инжиниринга. В последнее время теория и практика выбора оптимального финансового портфеля столкнулась с отличительной чертой современных финансовых рынков: стохастичностыо эволюции инвестиционной среды - краткосрочной процентной ставки, цен рисковых активов, ожидаемых ставок доходности, вариационно-ковариационной матрицы доходностей по рисковым активам, ожидаемой скорости изменения дохода инвестора вне финансового рынка, а также корреляции между перечисленными переменными. Отмеченные особенности существенно влияют на оптимальный портфельный выбор инвестора, который может существенно отличаться от определяемого классической портфельной теорией Марковича - Тобина- Шарпа. Кроме того, инвестирование неотделимо от текущего потребления (инвесторы, как правило, извлекают полезность не только из конечного капитала на инвестиционном горизонте, но и из текущего потребления в различные моменты времени), а инвестиционная стратегия требует динамической реструктуризации портфеля с учетом стохастических и кризисных явлений различной природы, что также не может быть учтено в рамках классической теории.

В процессе финансового инвестирования и управления портфелем инвесторы заинтересованы в реальных доходностях активов. Инфляция является одним из источников неопределенности реальных доходностей финансовых инвестиций. Хеджирование инфляционного риска является нетривиальной задачей, поскольку на большинстве финансовых рынков предлагаются только номинальные облигации (лишь на нескольких биржах США и Великобритании продаются индексируемые с учетом инфляции облигации). Аналогично, по краткосрочным депозитам выплачивается номинальная процентная ставка. В силу стохастических изменений цен потребительских товаров номинальные облигации и депозиты характеризуются рисковой доходностью в реальном выражении. Поэтому в условиях инфляционной экономики модели финансового инвестирования должны учитывать инфляционный риск.

Достоверные количественные результаты, касающиеся определения оптимальных стратегий инвестирования в рисковые финансовые инструменты и потребления в стохастических условиях, позволяющих агенту финансового рынка оперативно реструктурировать портфель, могут быть получены в рамках строгих экономико-математических моделей финансового инвестирования в непрерывном времени с учетом функций полезности инвестора. Этим и определяется актуальность диссертационного исследования.

Степень изученности проблемы. Проблемы управления финансовыми инвестициями систематически рассматривались в трудах зарубежных и отечественных ученых. Большой вклад в теорию финансового менеджмента внесли Александер Г., Бирман Г., Блауг М., Блех 10., Брейли Р., Бригхэм 10., Гетце У., Гитман JL, Дамари Р., Друри К., Ирвин Д., Карлин Т., Коллас Б., Крушвиц JL, Курц X., Ли Ч., Майерс С., Мертон Р., Миллер М., Модильяни Ф., Перар Ж., Самуэльсон П., Тобин Д., Фабоцци Ф., Холт Р., Шарп У., Шим Д. и др. Среди отечественных ученых следует отметить Балабанова И.Т., Бланка И.А., Бочарова В.В., Герчикову И.Н., Ефимову О.В., Ковалева В.В., Поляка Г.Б., Стоянову Е.С., Тренева H.H., Хоминич И.П. и др.

Количественный анализ и прогнозирование финансового состояния фондовых рынков базируется на финансовом менеджменте, финансовой математике и эконометрике. Большой вклад в развитие таких разделов финансовой математики, как измерение доходности финансовых инструментов, анализ финансовых рисков, теория ренты, анализ производственных инвестиций и измерителей финансовой эффективности, а также финансового инжиниринга внесли российские и зарубежные ученые: Алексеев М.Ю., Баша-рин Т.П., Боди 3., Браун С., Бригхэм 10., Бронштейн Е.М., Гапенски JL, Даф-фи Д., Евстигнеев И.В., Капитоненко В.В., Кардаш В.А., Карлберг К., Касимов Ю.Ф., Кокс Д., Колб Р., Кочович Е., Кочрейн Дж., Крушвиц JL, Кутуков

B.Б., Маркович Г., Маршалл Д., Мертон Р., Миллер М., Миркин Я.М., Недо-секин А.О., Паррамоу К., Перепелица В.А., Попова Е.В., Росс С., Самуэльсон П., Смоляк СЛ., Тобин Дж., Уотшем Т„ Фабоцци Ф., Фама Е., Четыркин Е.М., Шарп У., Шведов A.C., Ширяев А.Н., Шоулс М., Эрроу К. и др.

Математические основы анализа стохастических процессов в финансах разрабатывались Белявским Г.И., Винером Н., Ито К., Кабановым Ю.М., Ка-ратзасом И., Колмогоровым А.Н., Крамковым Д.О., Макаровым B.JL, Ман-дельбротом Б., Мельниковым A.B., Новиковым A.A., Павловым И.В., Плиска

C., Прохоровым Ю.В., Роджерсом Л., Рутковски М., Скейдсом К., Черным A.C., Швейзером М., Ширяевым А.Н., Шреве С., Шродером М. и др.

Однако, несмотря на большое количество публикаций в области моделирования и анализа фондовых рынков и оптимизации инвестиционного портфеля, многие упомянутые выше проблемы далеки от разрешения. Отметим также, что в большинстве известных исследований проблемы финансового инвестирования в стохастических условиях задача оптимизации решается численно (Брандт М., Бреннан М., Висейра JT., Дамгард А., Ким Т., Кох-рейн Дж., Кэмпбелл Дж., Лагнадо Р., Лонгстафф Ф., Соренсен К., Харвей К., Шварц Е. и др.). Это не позволяет выявить вклад составляющих портфеля (спекулятивного спроса на рисковые активы и различных видов спроса на хеджирование) в оптимальное решение и проанализировать влияние на него характеристик инвестиционной среды и функции полезности (предпочтений) агента финансового рынка.

Теоретическая и практическая значимость моделирования оптимального размещения капитала в рисковые активы в условиях стохастического изменения параметров инвестиционной среды и определили тему и постановку задач диссертационного исследования.

Предмет и объект исследования. Предметом диссертационного исследования являются стратегии оптимального размещения капитала в рисковые активы в стохастической инвестиционной среде фондового рынка. Объектом исследования являются финансовый рынок и инвестиционный портфель финансового инвестора.

Цель и задачи исследования. Целью диссертационной работы является построение моделей и решение динамических задач оптимального инвестирования на финансовом рынке, характеризующемся стохастичностыо инвестиционной среды.

В соответствии с поставленной целью в диссертации решались следующие задачи:

- разработка экономико-математических моделей, позволяющих рассчитывать оптимальные доли капитала, размещаемого в рисковые финансовые инструменты с учетом стохастических изменений их цен, ожидаемых доход-ностей, вариационно-ковариационной матрицы доходностей, а также стохастической динамики краткосрочной процентной ставки;

- моделирование оптимального портфельного и потребительского выбора при функции полезности инвестора с памятью (с учетом привычного уровня потребления) в условиях стохастической эволюции параметров инвестиционной среды;

- анализ оптимальных инвестиционных и потребительских стратегий при функции полезности с памятью и конкретной (в том числе немарковской) динамике инвестиционных возможностей: релаксации рисковой премии к долгосрочному значению (модель Орнштейна - Уленбека) и стохастической динамике краткосрочных процентных ставок, описываемых моделью Кокса -Ингерсолла - Росса;

- сравнительный анализ оптимальных стратегий инвестора, характеризующегося степенной функцией полезности, и инвесторов с различными уровнями привычного потребления;

- построение оптимальных стратегий инвестирования и потребления с учетом стохастической динамики цен рисковых активов, стохастической эволюции параметров инвестиционной среды, а также ожидаемого уровня и неопределенности инфляции.

Теоретическая и эмпирическая база исследования. Диссертационное исследование основано на фундаментальных разработках отечественных и зарубежных ученых по теории финансового инвестирования и финансовым рынкам, теории случайных процессов, финансовой математике, методам стохастического оптимального управления.

Информационно-документальной базой исследования являются статистические материалы Федеральной службы государственной статистики, законодательные акты РФ, решения и нормативные акты Правительства Российской Федерации, Федеральной службы по финансовым рынкам, регулирующие деятельность фондового рынка, статистические данные Центра по исследованию ценных бумаг США (СЯ8Р).

Диссертационное исследование выполнено в рамках п. 1.6 "Математический анализ и моделирование процессов в финансовом секторе экономики, развитие методов финансовой математики и актуарных расчетов" паспорта специальности 08.00.13 - Математические и инструментальные методы экономики.

Методы исследования. В диссертации использовались различные методы и приемы экономических исследований: математические методы экономики, включающие финансовую математику, теорию стохастического оптимального управления, теорию полезности, теорию случайных процессов, теорию мартингалов, методы сравнительной статики и сравнительной динамики равновесия, аналитические и численные методы анализа стохастических и обыкновенных дифференциальных уравнений.

Научная новизна диссертационного исследования состоит в развитии аппарата моделирования, а также методов качественного и количественного анализа процессов финансового инвестирования в стохастических условиях. Научная новизна характеризуется следующими положениями:

- построена модель финансового инвестирования, позволяющая проанализировать оптимальные стратегии инвестирования и потребления с учетом стохастической, в том числе и немарковской динамики цен рисковых активов в условиях, когда гипотеза «эффективных финансовых рынков» несправедлива), стохастической эволюции параметров инвестиционной среды, а также ожидаемого уровня и неопределенности инфляции;

- в явном аналитическом виде получены составляющие оптимального портфеля (спекулятивный спрос на рисковые активы и портфель хеджирования) как функции рисковых премий, волатильностей цен рисковых активов и характеристик функции полезности инвестора, позволяющие агенту финансового рынка оперативно реструктурировать портфель (максимизируя свою полезность) в соответствии со стохастически меняющимися инвестиционными возможностями;

- доказано, что на финансовом рынке номинальных ценных бумаг (имеющих рисковые доходности в реальном выражении) в условиях неопределенности инфляции оптимальная инвестиционная стратегия инвестора включает спекулятивный портфель и единственную реальную облигацию, хеджирующую против изменений реальных инвестиционных возможностей, даже если эти изменения генерируются многомерным броуновским движением. Если инвестор извлекает полезность только из конечного капитала, хеджирующая облигация представляет собой реальную облигацию с нулевым купоном со сроком погашения на инвестиционном горизонте. Если, кроме того, инвестор извлекает полезность из текущего потребления, хеджирующая облигация характеризуется непрерывным купоном, пропорциональным ожидаемой интенсивности потребления в реальном выражении;

- построены оптимальные стратегии инвестирования и потребления при функции полезности с памятью (с учетом привычного уровня потребления) в условиях стохастического изменения доходности рисковых активов с учетом стохастической, в том числе и немарковской эволюции параметров инвестиционной среды, позволяющие установить качественные и количественные отличия от стратегий инвестора, характеризующегося аддитивной по времени функцией полезности;

- аналитически проанализированы оптимальные стратегии инвестирования и потребления в двух предельных случаях неприятия риска инвестором -нейтрального отношения инвестора к риску и бесконечного неприятия риска. Установлено, что инвестор с логарифмической полезностью накапливает средства для обеспечения будущего минимального уровня потребления, однако не хеджирует ни против изменений инвестиционных возможностей, ни против изменений издержек обеспечения минимального уровня потребления в будущем; инвестор с бесконечным неприятием риска вообще не инвестирует в спекулятивную часть портфеля;

- получены аналитические выражения для оптимальных инвестиционных и потребительских стратегий при конкретной динамике инвестиционных возможностей: релаксации рисковой премии к долгосрочному значению (модель Орнштейна - Уленбека) и стохастических краткосрочных процентных ставках (модель Кокса - Ингерсолла - Росса). На основе численного анализа проведено сравнение оптимальных стратегий инвестора со степенной функцией полезности и инвесторов с различными уровнями привычного потребления. Выяснено, что привычный уровень потребления существенно снижает спрос на рисковый актив и предельную склонность к потреблению;

- доказано, что оптимальное портфельное решение при полезности инвестора, учитывающей привычный уровень потребления, есть сумма трех составляющих. Первая составляющая представляет собой спекулятивную часть портфеля, (специфическая для инвестора позиция определяется относительной терпимостью инвестора по отношению к риску) и максимизирует мгновенное число Шарпа. Вторая составляющая определяет размещение капитала в рисковые активы, соответствующее оптимальному хеджированию инвестором изменения инвестиционных возможностей. Последняя составляющая портфеля соответствует инвестированию в купонную облигацию с непрерывными платежами, обеспечивающими экономическому агенту будущий минимальный процесс потребления по крайней мере на привычном уровне.

Практическая значимость результатов исследования. Практическая значимость исследования определяется тем, что разработанные в диссертации модели, методы и алгоритмы ориентированы на решение тактических и стратегических задач при осуществлении участниками финансового рынка управления финансовым инвестированием в рисковые активы в стохастической инвестиционной среде. Рассчитанные в диссертации в аналитическом виде составляющие оптимального портфеля (спекулятивный спрос инвестора и портфель хеджирования) позволяют инвесторам оперативно реструктурировать портфель при различных инвестиционных горизонтах в соответствии со стохастически меняющимися рисковыми премиями, волатильностями цен рисковых активов, краткосрочными процентными ставками и с учетом неопределенности инфляции. Обобщение полученных результатов на функции полезности с памятью позволяет рассчитывать оптимальные портфели инвесторов, оптимальное потребление и предельную склонность к потреблению при различных уровнях привычного потребления с учетом конкретной динамики стохастических процентных ставок и рисковых премий.

Апробация результатов исследования. Результаты диссертационного исследования докладывались автором на V Всероссийском симпозиуме «Математическое моделирование и компьютерные технологии» (Кисловодск, 2002), на V Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Сочи, 2004, осенняя сессия), на Всероссийской научно-практической конференции «Механизмы эффективного управления в рыночной экономике» (Кисловодск, 2004), на Международной научной конференции «Ломоносов - 2004» (Москва, 2004), на Всероссийском симпозиуме «Экономическая психология: проблемы и перспективы» (Кисловодск, 2004), на VI Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Санкт-Петербург, 2005, весенняя сессия), на Международной научно-практической конференции «Экономическое прогнозирование: модели и методы» (Воронеж, 2005), на VII Международном симпозиуме «Математическое моделирование и компьютерные технологии» (Кисловодск, 2005), на VI

Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Сочи, 2005, осенняя сессия), на V Международной конференции «Новые технологии в управлении, бизнесе и праве» (Невинномысск, 2005), на IX Международной научно-практической конференции «Системный анализ в проектировании и управлении» (Санкт-Петербург, 2005), на научно-практической конференции с международным участием «Системный анализ в экономике и управлении - 2005» (Таганрог, 2005), на VII Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Кисловодск, 2006, весенняя сессия), на Международной научно-практической конференции «Финансы, денежное обращение и кредит. Организация финансовых систем» (Новочеркасск, 2006).

Результаты диссертационного исследования апробированы и используются ООО «Мединвестбанк» (Кисловодский филиал) при выработке эффективных стратегий финансового инвестирования на фондовом рынке.

Результаты диссертации используются Кисловодским институтом экономики и права в учебном процессе и включены в структуру учебных дисциплин «Экономико-математическое моделирование» и «Рынок ценных бумаг».

Публикации. Основные результаты исследования отражены в опубликованных автором 16 печатных работах объемом 4,85 п.л.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка использованной литературы. Текст диссертации изложен на 133 страницах, включает 3 таблицы, 5 рисунков. Список использованной литературы содержит 150 источников.

Диссертация: заключение по теме "Математические и инструментальные методы экономики", Наталуха, Инна Геннадиевна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Финансовое инвестирование непосредственно связано с формированием инвестиционного портфеля. Финансовые рынки в современных условиях (особенно зарождающиеся рынки, к числу которых относится и российский фондовый рынок) характеризуются нестационарными, стохастическими и кризисными явлениями различной природы. В таких условиях традиционная портфельная теория (модель САРМ) и классические методы финансовой математики, представляющие собой основанный на статистических методах механизм оптимизации формируемого инвестиционного портфеля по задаваемым критериям соотношения уровня его ожидаемой доходности и риска (характеризуемого дисперсией доходности), оказываются неадекватными.

Кроме того, инвестирование неотделимо от потребления (инвесторы, как правило, извлекают полезность не только из конечного капитала в конце инвестиционного периода, но и из промежуточного потребления в различные моменты времени), а инвестиционная стратегия требует динамической реструктуризации портфеля с учетом стохастической эволюции инвестиционной среды, что также не может быть учтено в рамках классической теории. Поэтому возникает необходимость развития методов моделирования оптимального размещения капитала в рисковые активы в условиях стохастического изменения их доходности с учетом стохастической эволюции параметров инвестиционной среды.

Достоверные количественные результаты, касающиеся определения оптимальных стратегий инвестирования в рисковые финансовые инструменты и потребления в стохастических условиях, позволяющих агенту финансового рынка непрерывно реструктурировать портфель, могут быть получены в рамках строгих экономико-математических моделей финансового инвестирования в непрерывном времени с учетом функций полезности инвестора.

В первой главе диссертации рассматриваются виды финансовых инструментов инвестирования капитала и их особенности, методы оценки эффективности инвестирования капитала в финансовые инструменты, а также методы управления портфелем ценных бумаг с учетом финансовых рисков. Дается характеристика факторов, определяющих инвестиционные качества отдельных финансовых инструментов инвестирования. Обсуждаются модели оценки реальной стоимости ценных бумаг. Сделан обзор работ, посвященных формированию портфеля финансовых инвестиций, выбору портфельной стратегии и типа формируемого инвестиционного портфеля. Рассматривается оценка инвестиционных качеств финансовых инструментов инвестирования по показателям уровня доходности, риска и взаимной ковариации. Изложены принципы оперативного управления реструктуризацией портфеля финансовых инвестиций. Рассматриваются виды отношений инвесторов к риску и характеристики интенсивности нерасположенности к риску.

В условиях инфляционной экономики модели финансового инвестирования должны учитывать инфляционный риск. Инфляция является одним из источников неопределенности реальных доходностей финансовых инвестиций. Хеджирование инфляционного риска является нетривиальной задачей, поскольку на финансовых рынках предлагаются только номинальные облигации, которые наряду с депозитами имеют рисковые реальные доходности. В процессе финансового инвестирования и управления портфелем инвесторы заинтересованы в реальных доходностях активов. Однако на большинстве финансовых рынков предлагаемые облигации являются номинальными (только на нескольких биржах США и Великобритании продаются индексируемые с учетом инфляции облигации). Аналогично, по краткосрочным депозитам выплачивается номинальная процентная ставка. В силу стохастических изменений цен потребительских товаров номинальные облигации и депозиты характеризуются рисковой доходностью в реальном выражении.

Во второй главе построены оптимальные стратегии инвестирования и потребления с учетом стохастической (в т.ч. немарковской) динамики цен рисковых активов, стохастической эволюции параметров инвестиционной среды и неопределенности инфляции. Установлено, что на финансовом рынке номинальных ценных бумаг (имеющих рисковые доходности в реальном выражении) в условиях неопределенности инфляции оптимальная инвестиционная стратегия инвестора включает спекулятивный портфель и единственную реальную облигацию, хеджирующую против изменений реальных инвестиционных возможностей, даже если эти изменения генерируются многомерным броуновским движением. Если инвестор извлекает полезность только из конечного капитала, хеджирующая облигация представляет собой реальную облигацию с нулевым купоном со сроком погашения на инвестиционном горизонте. Если, кроме того, инвестор извлекает полезность из текущего потребления, хеджирующая облигация характеризуется непрерывным купоном, пропорциональным ожидаемой интенсивности потребления в реальном выражении.

В явном аналитическом виде получены составляющие оптимального портфеля (спекулятивный спрос на рисковые активы и портфель хеджирования) как функции рисковых премий, волатильностей (мгновенных средних квадратических отклонений) цен рисковых активов и характеристик функции полезности инвестора, позволяющие агенту финансового рынка непрерывно реструктурировать портфель (максимизируя полезность промежуточного потребления и / или конечного капитала) в соответствии со стохастически меняющимися инвестиционными возможностями. Показано, какие риски следует оптимально хеджировать агенту финансового рынка и как финансировать реальный процесс потребления с учетом инфляции. Установлено, что в случае, когда реальная процентная ставка описывается гауссовским случайным процессом (в том числе немарковским), инвесторы, характеризующиеся постоянным относительным неприятием риска, могут оптимально хеджировать стохастические изменения краткосрочной процентной ставки и инфляционный риск с помощью единственной реальной облигации.

Большинство исследований процесса финансового инвестирования основано на далеких от реальности предположениях о предпочтениях инвестора. А именно, функция полезности инвестора считается степенной функцией конечного капитала или аддитивной сепарабельной по времени степенной функцией потребления. Более правдоподобным представлением предпочтений инвестора является учет в функции полезности привычного уровня потребления; при этом полезность данного текущего уровня потребления является убывающей функцией уровня потребления в прошлом. В третьей главе диссертации моделируются оптимальные стратегии инвестирования и потребления при функции полезности с памятью в условиях стохастического изменения доходности рисковых активов с учетом стохастической (в том числе и немарковской) эволюции параметров инвестиционной среды.

В диссертации доказано, что оптимальное портфельное решение при полезности инвестора, учитывающей привычный уровень потребления, есть сумма трех составляющих. Первый член представляет собой спекулятивную часть портфеля, (специфическая для инвестора позиция определяется относительной терпимостью инвестора по отношению к риску) и максимизирует мгновенное число Шарпа. Второй член определяет размещение капитала в рисковые активы, соответствующее оптимальному хеджированию инвестором изменения инвестиционных возможностей. Последний член в портфеле соответствует инвестированию в купонную облигацию с непрерывными платежами, обеспечивающими экономическому агенту будущий минимальный процесс потребления по крайней мере на привычном уровне.

Установлено, что инвестор с логарифмической полезностью с учетом привычного уровня потребления накапливает средства для обеспечения будущего минимального уровня потребления, однако не хеджирует ни против изменений инвестиционных возможностей, ни против изменений издержек обеспечения минимального уровня потребления в будущем. Инвестор с бесконечным неприятием риска вообще не инвестирует в спекулятивную часть портфеля. При релаксации рисковой премии к долгосрочному значению спекулятивная и хеджирующая составляющие оптимального портфеля снижаются за счет присутствия уровня привычного потребления, причем спрос на хеджирование снижается существеннее при полезности с учетом привычного уровня потребления, чем спекулятивный спрос. Предельная склонность к потреблению выше при условии, что рисковая премия определяется процессом с релаксацией, чем при постоянной рисковой премии. Относительное увеличение реальной нормы потребления благодаря процессу релаксации на рынке акций меньше для инвесторов с полезностью с учетом привычного уровня потребления, чем для инвесторов со стандартной степенной функцией полезности.

В диссертации доказано, что и спекулятивный спрос, и спрос на хеджирование на акции увеличивается с ростом рыночной рисковой премии, однако спрос на хеджирование относительно менее чувствителен к изменению рисковой премии. Поскольку инвестор может использовать высокие отрицательные значения рыночной рисковой премии, занимая короткие позиции по акциям, то и предельная склонность к потреблению, и сама норма потребления увеличивается по мере того, как рисковая премия увеличивается по абсолютной величине. Спекулятивный спрос на акции гиперболически убывает с ростом коэффициента относительного неприятия риска, в то время как спрос на хеджирование возрастает с ростом коэффициента относительного неприятия риска при его значениях, меньших 2, и убывает при больших значениях, однако с более низкой скоростью, чем спекулятивный спрос, однако даже при высоких значениях коэффициента относительного неприятия риска спрос на хеджирование составляет только 1/3 полного спроса на акции. Норма потребления и предельная склонность к потреблению стремительно возрастают при низких значениях коэффициента относительного неприятия риска, а затем медленно снижаются при умеренных и высоких значениях этого коэффициента. Учет уровня привычного потребления в функции полезности оказывает снижающее воздействие на спекулятивный спрос инвестора и спрос на хеджирование, которое для малых и умеренных значений коэффициента относительного неприятия риска достаточно существенно, а при больших значениях рисковой премии влияние привычного уровня потребления ослабевает.