Теоретические основы и методы векторной оптимизации в моделировании экономических систем тема диссертации по экономике, полный текст автореферата

Автореферат диссертации по теме "Теоретические основы и методы векторной оптимизации в моделировании экономических систем"

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ТИХООКЕАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

МАШУНИН Юрий Константинович

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ И МЕТОДЫ

ВЕКТОРНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ В МОДЕЛИРОВАНИИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Специальность 08.00.13 — Математические и инструментальные

методы экономики

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора экономических наук

Владивосток 2005

Работа выполнена в Тихоокеанском государственном экономическом университете Министерства образования и науки Российской Федерации

Научный консультант - доктор физико-математических наук, профессор Катрахов Валерий Вячеславович

Официальные оппоненты: доктор экономических наук, профессор Мун Де Ен; доктор технических наук, профессор Матвеев Михаил Григорьевич; доктор экономических наук, профессор Жигун Леонид Александрович

Ведущая организация - Институт автоматики и процессов управления ДВО РАН

Защита состоится «23» сентября 2005 г. в 14 часов на заседании регионального диссертационного совета ДМ 212.054.01 при Тихоокеанском государственном экономическом университете

690950, г. Владивосток, Океанский проспект. 19. С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Тихоокеанского государственного экономического университета

Автореферат разослан « 22 » августа 2005 г.

Ученый секретарь

регионального диссертационного совета кандидат экономических наук y^T/i/^r^/

И. И. Савченко

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. В области экономики решение вопросов автоматизации управления производственными и экономическими системами связано с дальнейшим развитием научно-технического прогресса и созданием автоматизированных систем управления, отвечающих последним достижениям науки и техники. И хотя в настоящее время разработан и внедрен целый ряд автоматизированных систем управления предприятиями, производственными объединениями, отраслями, регионами, анализ результатов их работы показывает, что многие из них не отвечают современным запросам, требованиям и условиям рыночных взаимоотношений. Автоматизация управления направлена на решение наиболее простых задач, отдельных функций управления производством. И мало уделяется внимания решению комплексных (интегрированных) задач управления, учитывающих как спрос, так и предложение на какие-либо товары. Для решения таких задач обычно разрабатываются и используются математические модели, в основе которых лежат оптимизационные задачи. Но традиционные математические модели не всегда удовлетворяли многим требованиям, которые предъявляются к экономическим системам. Это связано с тем, что математические модели должны описывать и оценивать функционирование экономической системы: во-первых, как целенаправленную деятельность единой, целостной системы, во-вторых целенаправленную деятельность его подразделений, учитывая иерархическую многоуровневую структуру управления, в-третьих учитывать те многие экономические факторы рынка (спрос, предложение), которые в совокупности, реально оказывают влияние на функционирование исследуемой системы и, замыкающихся на них отдельных подразделений. Сложность исследуемых экономических проблем привела к появлению сложных математических моделей, которые должны адекватно отображать статику и динамику развития экономической системы. Эти модели имеют, как правило, не один, а несколько критериев оптимизации. т. е. в основе таких моделей лежат векторные (многокритериальные) задачи оптимизации. Дефицит научных знаний в области

теории и методологии решения векторных задач математического программирования, с одной стороны, и насущная необходимость их использования при моделировании развития экономических систем, с другой стороны, определили актуальность темы диссертационного исследования.

Теоретические вопросы и методология решения задач векторной (многокритериальной).оптимизации, и ее использование в экономических моделях, базировались на многочисленных теоретических исследованиях и решениях практических задач, проводимых в нашей стране и за рубежом. В нашей стране в области многокритериальной оптимизации работы выполнялись следующими авторами: Березовский Б. А., Бутрим Б. И., Вилкас Э., Гафт М. К., Гермейер Ю. С., Емельянов С. В., Жуковин В. Е., Кемпер П. П., Краснекер В. С., Подиновский В. В., Полтерович В. И., Статников Р. Б., Хоменюк В. В. и др. На Украине: Михайлевич В. С., Волко-вич В. Л., Войналович В. М., Зак Ю. А., Даргейко и др. За рубежом: Бенайюн Р., Р1зЬогп Р. С., СсйтюпА. М., Ниогщ С. Ь., Ьепиапп Н., КогпЫиШ I. Б. Н., Базка I., 2е1епу М. и другие. Анализ работ перечисленных авторов представлен в [1-3]. Методы и алгоритмы решения векторных задач математического программирования (ВЗМП) в работах перечисленных авторов развивались в следующих направлениях: решение ВЗМП, основанное на свертывании критериев; решение, использующее ограничения на критерии; методы целевого программирования; методы, основанные на отыскании компромиссного решения; методы, основанные на человеко-машинных процедурах принятия решения. Данная диссертационная работа продолжает разработку теории и методов решения задач векторной оптимизации одного из направлений, связанных с отысканием компромиссного решения, и его использования в экономических задачах исследования развития рыка и экономических систем. Это все и определило выбор темы, цель и задачи диссертационного исследования.

Цель и задачи исследования. Целью исследования является решение крупной научной проблемы - разработки теоретико-методологических основ векторной оптимизации, вычислительных методов решения векторных задач математического програм-

мирования и их использования в задачах моделирования рынка и экономических систем.

Для достижения цели исследования были поставлены следующие задачи:

• провести исследование и анализ современного состояния проблемы управления экономическими системами, модели которых представлены задачами векторной оптимизации;

• разработать теоретические основы и методы решения задач векторной оптимизации в том числе: аксиоматику и принципы оптимальности решения задач векторной оптимизации; вычислительные методы решения векторных задач, которые позволяют решать ВЗМП при равнозначных критериях и заданном приоритете критерия; метод выбора точки по заданной величине целевой функции и с заданной точностью;

• построить математическую модель рынка и провести моделирование его развития в том числе: построить математическую модель одно-продуктового рынка; выполнить моделирование развития рынка совершенной конкуренции, рынка олигополии; построить общую математическую модель рынка и провести ее тестирование;

• разработать математическую модель и выполнить моделирование сложных экономических систем в том числе: моделирование управления многоуровневой иерархической экономической системой с учетом централизации и децентрализации; разработать композиционные и декомпозиционные методы в задачах анализа и синтеза экономических систем; разработать агрегацию информации при переходе от одного уровня к другому в иерархической экономической системе;

• построить модели управления фирмой на краткосрочный и долгосрочный период планирования с учетом ее целенаправленности;

• выполнить построение модели управления регионом на основе межотраслевого баланса и веюорной оптимизации и провести моделирование его развития;

• разработать программные средства, реализующие разработанные методы решения векторной оптимизации линейного и нелинейного программирования;

• представить методологию построения модели экономической системы в виде задачи векторной оптимизации, используя для ее решения разработанные методы и программное обеспечение решения практических задач принятия решений.

Объект исследования - методы, принципы и аксиоматика решения задач векторной оптимизации и их применение в задачах моделирования экономических систем.

Предмет исследования - раздел векторной оптимизации, основанный на нормализации критериев и принципа гарантированного результата, и его использование в задачах моделирования развития рынка и экономических систем.

Теоретическую и методологическую основу исследования составляют труды классиков экономической теории, работы отечественных и зарубежных авторов по проблеме векторной оптимизации, теории управления и теории принятия решений в экономических системах.

Результаты исследования. Наиболее важные научные результаты, отражающие вклад автора в проведенное исследование, заключается в следующем:

• разработан авторский подход к решению векторной задачи математического программирования при равнозначных критериях и при заданном приоритете критерия;

• уточнены методологические основы использования векторной оптимизации при моделировании экономических систем;

• разработана методика построения моделей многоуровневых иерархических систем, а также их агрегированных вариантов, для этой цели разработаны композиционные и декомпозици-' онные методы решения задачах анализа и синтеза сложных экономических систем;

• построены модели векторной оптимизации для принятия решений на уровне фирмы и проведен расчет ее годовых и долгосрочных планов развития;

• выполнено построение моделей, проведено моделирование развития рынка и выбора оптимальных объемов производства товаров и их потребления;

• разработан подход к моделированию рыночных структу р -совершенной конкуренции и олигополии;

• разработана модель векторной оптимизации региона с использованием межотраслевого баланса и задачи, выпуска продукции, для решения которых в отличие от стандартных подходов, использовались разработанные методы.

Научная новизна результатов диссертационной работы заключается в следующем:

1. Созданы теоретические основы для решения задач векторной оптимизации, базирующиеся в отличие от существующих на нормализации критериев и принципе гарантированного результата, а также определения приоритета критериев в таких задачах.

2. Разработаны и апробированы методы решения векторной задачи математического программирования при равнозначных критериях и при заданном приоритете критерия, в котором выбор точки из множества точек, оптимальных по Парето, осуществляется с точностью, обусловленной линейной аппроксимацией действительного изменения приоритетного критерия.

3. Разработана процедура агрегации информации в многоуровневой иерархической системе, агрегированный критерий которых сохраняет целенаправленность агрегируемых локальных подсистем.

4. Разработаны приемы композиции и декомпозиции локальных подсистем управления в задачах анализа и синтеза сложных экономических систем.

5. Построены модели векторной оптимизации формирования годового и долгосрочного планов развития производства на уровне отдельной фирмы.

6. Построены модели рыночных структур: совершенной конкуренции, олигополии, выполнено моделирование развития рынка с учетом импортных и экспортных операций;

7. Обоснована и апробирована балансовая модель региона в виде задачи векторной оптимизации.

Представленные научные результаты и выносятся на защиту.

Практическая значимость работы и реализация результатов^ Теоретические и прикладные результаты исследования изложены в рекомендациях по совершенствованию моделирования задач управления на уровне фирмы и региона. Выполненные

исследования и созданное программное обеспечение характеризуется экономической направленностью и доведено до конкретных методик.

Работа выполнялась в Институте автоматики и процессов управления Дальневосточного Отделения АН СССР и Тихоокеанском государственном экономическом университете.

1) НТП 0.74.01, тема: «Разработка вычислительных процедур принятия решений для автоматизации геофизических исследований», № 81055373;

2) тема: «Исследование и разработка методов и программных средств управления в гибких производственных системах», № гос. регистрации 01860 107737;

3) программа фундаментальных исследований: "Повышение надежности систем "Машина - человек - среда";

4) Федеральная целевая программа «Государственная поддержка интеграции высшего образования и фундаментальной науки на 1997-2000 годы» (Проект № М295-01)

Основным практическим результатом работы является разработка комплекса программных средств решения векторных задач и его использование в практике управления экономическими системами.

Разработанные программные средства внедрены на заводе «Радиоприбор» по теме: «Разработка программного обеспечения годового плана предприятия, сбалансированного по основным технико-экономическим показателям и ресурсам».

Результаты исследования использованы при разработке авторского курса «Математические основы управления в экономике», «Разработка управленческого решения в организации» и др., которые внедрены в учебный процесс Тихоокеанского государственного экономического университета, Дальневосточного государственного университета и других высших учебных заведений.

Апробация результатов исследования осуществлена в публикациях по теме диссертации и выступлениях на международных, всероссийских и региональных научных конференциях и семинарах: на УШ Всесоюзном совещании по проблемам управле-

ния НКАУ СССР (Таллинн, 1980); на П Всесоюзной конференции по статическому и дискретному анализу нечисловой информации и экспертным оценкам (Таллинн, 1984); на Ш Всесоюзном семинаре «Методы синтеза и планирования структур крупномасштабных систем» (Москва, 1985); на Всесоюзной конференции «Современные методы и средства создания и развития интегрированных АСУ городом» (Москва, 1985); на Всесоюзной научно-технической конференции «Проблемы и перспективы автоматизации производства на предприятиях приборо- и машиностроения» (Пермь, 1987); Международной конференции «Проблемы автоматизированного проектирования в машиностроении «САПР-88» (Москва, 1988); на Всесоюзной конференции «Теория и практика автоматизации управления отраслями народного хозяйства» (Москва, 1988); на Всесоюзном семинаре «Моделирование развития региональной экономики» (Ташкент, 1988); на Международном семинаре ИФАК/ИМАКС «Автоматизация проектирования систем управления (Алма-Ата, 1989); на Всероссийской научной конференции "Актуальные проблемы менеджмента в условиях реформирования Российской экономики" (Владивосток 1998). на 11 Международном семинаре IFAC «Оптимизация в задачах управления (Сант-Петербург, 2000); Международная научная конференция «Математические методы в технике и технологиях» (Смоленск, 2001); Международной конференции «Проблемы управления и моделирования сложных систем» (Самара, 2001).

Публикации. Научные результаты, составляющие содержание диссертации, опубликованы в 65 печатных работах, часть из которых представлены в списке основных работ, в том числе в трех монографиях:

1. Машунин Ю.К. Методы и модели векторной оптимизации. - М.: Наука, 1986. - 141 с.

2. Машунин Ю.К., Левицкий В. JI. Методы векторной оптимизации в анализе и синтезе технических систем. Владивосток: ДВГАЭУ, 1996.

3. Машунин Ю.К. Теоретические основы и методы векторной оптимизации в управлении экономическими системами. - М.:

9

ЛОГОС: 2002. 248 е., а также четырех учебных пособий по 10 п.л. каждое.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и восьми глав, разделенных натри части, заключения и четырех приложений, восьми рисунков и пяти таблиц, представленных на 400 стр. компьютерного текста. Список литературы содержит 160 наименований. Приложения содержат описание: методологии принятия решений в экономических системах по моделям, представленных векторной задачей оптимизации; характеристику программного обеспечения решения векторных задач линейного программирования с равнозначными критериями и заданным приоритетом критерия; решения векторных задач математического программирования, моделирующих рынок и его структуру на примере совершенной конкуренции и олигополии; а также акты внедрения представленных разработок в практику.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении аргументирована актуальность темы диссертационной работы, определены задачи исследования и представлены основные положения, выносимые на защиту.

В первой части представлены анализ и исследование проблемы моделирования экономических систем, а также разработан математический аппарат, включающий теоретические основы и методы решения задач векторной оптимизации в том числе: анализ экономических систем и методов их моделирования на основе векторной оптимизации; анализ современного состояния проблемы векторной оптимизации; аксиоматику векторной оптимизации и принципы оптимальности решения векторных задач (теоретические основы); методы решения векторных задач при равнозначных критериях и заданном приоритете критерия. Первая часть включает четыре главы. [1-3, 17, 20, 21, 30, 38].

В главе 1 исследован и проведен анализ современного состояния проблемы моделирования экономических систем. Результаты анализа показали, что большинство экономических систем имеют множество целей, и для их моделирования требуется решение векторных задач, лежащих в основе этих моделей. При анализе векторных задач выявлено, что для большинства современных методов решения векторных задач не решена проблема соизмеримости критериев в ВЗМП, а также не решена проблема выбора оптимального решения, т. е. построения принципа оптимальности, указывающего, почему одно решение лучше другого, как при равнозначных критериях, так и при заданном предпочтении (приоритете) критерия.

В диссертации перечисленные проблемы будут решаться в следующей последовательности: нормализация критериев и формулировка принципов оптимальности; разработка на их основе конструктивных методов решения векторных задач математического программирования. Этому и посвящены последующие главы.

В главе 2 рассматривается векторная задача математического программирования (ВЗМП) с неоднородными критериями.

opt F(X) = {max F,(X) = {fk(X), k = C*T}, (2.1)

тшРг(Х)= {<;(Х), к= КХ+\,К }},

С(Х)<В, Х>0,

(2.2)

(2.3)

(2.4)

где X = {х^ ] = } - вектор вещественных переменных, т. е. вектор из Ы-мерного евклидова пространства (обозначениеj — эквивалентно] = 1, 2,...,М);

^(Х) = {^(Х), к = 1, АГ, } - векторный критерий максимизации, каждая компонента которого максимизируется, К, — число, а

К1 -множество индексов критерия (заметим, что ВЗМП(2.1),

(2.3), (2.4) представляет собой ВЗМП с однородными критериями максимизации), в дальнейшем будем предполагать, что ^(Х),

к = 1, ЛГ, - непрерывные вогнутые функции (для краткости их будем иногда называть критериями максимизации);

Р2(Х) = {^(Х), к = К, + \,К } - векторный критерий минимизации, К2=К1 +1.АГ - множество индексов критерия, (ВЗМП (2.2)-

(2.4) представляет собой ВЗМП с однородными критериями минимизации), в дальнейшем будем предполагать, что ^(Х),

к= К, +1,К - непрерывные выпуклые функции (для краткости их будем иногда называть критериями минимизации).

Для удобства введем множество индексов компонент первого векторного критерия (максимизации) К={ 1,...,К,}, а для второго критерия (минимизации)ЛГ2={К1+1,...,К}. Объединение множеств критериев максимизации К1 и минимизации Кг дает суммарное множество критериев К, которые используются в векторной задаче (2.1)-(2.4), т. е.: К^К=К\

Р(Х) обозначает вектор-функцию (векторный критерий), имеющую К компонент, (К представляет собой мощность множества/О, Р(Х)={фО, к

С(Х) < В - стандартные ограничения, §1(Х)<Ь1, ¡= \,М, где Ь набор вещественных чисел, а функции §,(Х) предполагаются не-

прерывными и выпуклыми (для краткости их будем иногда называть ограничениями). М - множество индексов ограничений. Множество допустимых точек Б, представленных ограничениями (2.3)-(2.4), не пусто и представляет собой компакт: 8={Хе11к|Х > О, С(Х)<В}*0.

Для построения принципов оптимальности решения ВЗМП (2.1 )-(2.4) и методов их решения введем определения: относительной оценки; относительного уровня; приоритета критерия в ВЗМП над другими критериями; числового выражения приоритета критерия и др. Все эти определения неотрывно связаны с понятием нормализацией критериев. [1-3].

Относительная оценка \(Х), представляет собой нормализованный критерий кеК в точке X е Б ВЗМП (2.1)-(2.4) с нормализацией вида:

\(Х) = (Гк(Х) - П )/({[ -:), V к е (2.5)

где ^(Х) - величина к-го критерия в точке X е Б; ^ - величина к-го критерия в точке оптимума Х'еБ, полученная при решении ВЗМП (2.1)-(2.4) отдельно по к-му критерию; П - наихудшая величина к-го критерия на допустимом множестве Б в ВЗМП (2.1)-(2.4). VкбКНш X. (Х) = 1.

Относительный уровень А, (в дальнейшем "уровень") в ВЗМП (2.1)-(2.4) является нижним среди относительных оценок

А.к(Х), к=1,Ктакой, что

V X е Б, X < \(Х), к = ГкТ (2.6)

уровень X для выполнения условия (2.6) определяется:

УХе8Д=тш^Х), (2.7)

Приоритет критерия. Критерий яе К. в ВЗМП (2.1 )-(2.4) имеет приоритет над другими критериями к=1,Кв точке ХеБ, если

\(Х) > \(Х), к = йГ, V Ч е К,

Множество точек у которого ^(Х^Л^Х), V Хе8ч называется множеством точек приоритетных по ц-му критерию.

13

Числовое выражение приоритета ц-го критерия над остальными критериями к=1,К в ВЗМП (2.1)-(2.4) показывает во сколько раз относительная оценка Хч(Х), цеК больше остальных относительных оценок А^Х), к=1,К:

р: (X) = \(Х)/\(Х), к = цГ, (2.8)

Рг(Х)>1, V X е Бч с Б, к = Чц<=К.

Определение 1. О подмножестве точек, оптимальных по Парето.

В ВЗМП максимизации (2.1), (2.3)-(2.4), у которой множество допустимых точек не пусто, и представляет собой компакт, подмножество точек Б0 оптимально по Парето, если в этом подмножестве не существует точек X', в которых можно улучшить один из критериев не ухудшая при этом другие.

Определение 2. Равенства, равнозначности критериев в ВЗМП.

В ВЗМП два критерия с индексами к е К, ц е К будут считаться равными в точке X е Б, если относительные оценки по к-му и я-му критерию равны между собой в этой точке, \(Х) = ^(Х), к, Ч е К, X е Б.

Критерии равнозначны в ВЗМП, если в точке ХбБ при операции сравнения по числовой величине относительных оценок ^(Х), к = 1,к между собой, на каждый критерий ^(Х), к=1,к и соответственно относительные оценки \(Х), к = 1, к не накладывается условий о приоритетах критериев.

Определение 3. О подмножестве точек, приоритетных по критерию.

В ВЗМП подмножество точек Бч с Б называется областью приоритета критерия ц е К над другими критериями, если для УХб5чДч(Х)>\(Х),

Это определение распространяется и на множество точек Б", оптимальных по Парето. Покажем это в виде определения За.

Определение За. О подмножестве точек, приоритетных по критерию, из подмножества точек, оптимальных по Парето. 14

В ВЗМП подмножество точек Б ° с: Б0 с: Б называется областью приоритета критерия ц е К над другими критериями, если для V X е Хч(Х)>Хк(Х), V кеЛГ,

Заметим, что подмножество точек Б ^ с одной стороны принадлежит области приоритета критерия qeЛr над другими критериями: Б ° сгБчсБ, а с другой, подмножеству точек оптимальных

по Парето: Б ° <= Б° с Б.

Определение 4. Принцип оптимальности решения ВЗМП при равнозначных критериях.

Векторная задача математического программирования при равнозначных критериях решена, если найдена точка Х° е Б и максимальный уровень Х° среди всех относительных такой, что

(2.9)

Используя взаимосвязь выражений (2.6) и (2.7), преобразуем максиминную (2.9) в экстремальную задачу

Х°= шаха., (2.10) .

Х<Хк(Х)Д= йК- (2.11)

Полученную задачу (2.10)-(2.11) назовем ^-задачей в соответствии с векторной задачей линейного программирования [17].

В результате решения задачи (2.10)-(2.11) получаем точку Х° и уровень которые определяют оптимальное решение в векторной задаче с равнозначными критериями на основе нормализации критериев и принципа гарантированного результата. Результаты решения точка Х° и уровень Х° соответствуют ограничениям (2.11) и записываются в виде:

Х°<Хк(Х°)Д=йк. (2.12)

Заметим, однако, что результат решения ВЗМП в общем-то представляет собой оптимальный вектор Х° е N+1 - компонента которого есть Х°

Х° = {х°, х°, ..., х°+|}, х°+1 = X", т.е. (N+1) компонента вектора Х° выделена в виду ее специфики для решения ВЗМП.

Аналогично формируется принцип оптимальности для ВЗМП с приоритетом критерия.

Приведем основные теоретические результаты, связанные с аксиоматикой и принципами оптимальности векторной оптимизации.

Теорема 1. О суи(ествовании оптимального решения ВЗМП с равнозначными критериями.

В выпуклой ВЗМП максимизации при непрерывных критериях, решаемой на основе нормализации критериев и принципа гарантированного результата, существует оптимальное решение

Теорема 2. Теорема о наиболее противоречивых критериях в ВЗМП с равнозначными критериями.

В выпуклой векторной задаче математического программирования при равнозначных критериях, решенной на основе нормализации критериев и принципа гарантированного результата, в оптимальной точке {Х°,А,°} всегда найдется два критерия с индексами цеК, реК (которые в некотором смысле являются наиболее противоречивыми из всех критериев к=1, к ), для которых выполняется равенство:

= \(Х°), ч, р е ЛГ, X е Б, (2.13)

а остальные критерии определяются неравенствами

А.0£^(Х°), УкеЛГ,ц*р*к.

Следствие теоремы 2. О равенстве оптимального уровня и относительных оценок в ВЗМП с двумя равнозначными критериями.

В выпуклой векторной задаче математического программирования с двумя равнозначными критериями, решенной на основе нормализации критериев и принципа гарантированного результата, в оптимальной точке Х° всегда выполняется равенство: Х° = \(Х°) = >.2(Х°), Х°е Б.

Из этого соотношения вытекает, приоритет критерия в ВЗМП с двумя равнозначными критериями в оптимальной точке Х° равен единице: р^ (Х°) = р? (Х°) = Х,(Х)/Я2(Х) = 1, Х° е Б.

Теорема 3. Теорема об оптимальности по Пареторешения ВЗМП максимизации с двумя равнозначными критериями. 16

В выпуклой векторной задаче математического программирования с двумя равнозначными критериями, решенной на основе нормализации критериев и принципа гарантированного результата, оптимальная точка Х° всегда оптимальна по Парето.

Теорема 4. Теорема о наиболее противоречивых критериях в ВЗМП с заданным приоритетом.

Если в выпуклой векторной задаче математического программирования максимизации (2.1), (2.3)-(2.4) задан приоритет ц-го

критерия р',к=1,К^цеК над остальными критериями, то в точке оптимума Х° е Б, полученной на основе нормализации критериев и принципа гарантированного результата, всегда найдется два критерия с индексами г е К, I е К, для которых выполняется равенство: А." = р £ А.г(Х°)=р • А^Х0), г, (,еК,а остальные критерии

определяются неравенствами: Л°< р£ (Х°), к = 1, К, V ц е К.

Теорема 5. Теорема об оптимальности по Парето решения ВЗМП при равнозначных критериях.

В выпуклой векторной задаче математического программирования при равнозначных критериях точка оптимума Х°, полученная на основе нормализации критериев и принципа гарантированного результата, оптимальна по Парето, причем, если критерии строго выпуклы, то такая точка только одна.

Теорема 6. Теорема о пределах изменения величины приоритета в ВЗМП.

Если в ВЗМП максимизации (2.1), (2.3)-(2.4) критерий цеК имеет приоритет над остальными критериями, и ^(Х) >0, V X е Б,

то величина задания приоритета р Ц, к = 1, К при перемещении из точки Х°, полученной на основе нормализации критериев и принципа гарантированного результата при равнозначных критериях,

в точку X *, полученной при решении по ц-му критерию, изменяется в пределах:

Хч(Хо)/\(Х°)<рг <Х(Х;)/\(Х-Ч), УЧ6 К. (2.14)

В главе 3 излагаются методы решения задач векторной оптимизации: решение задач векторной оптимизации с равнознач-

17

ными критериями; решеиие задач векторной с заданным приоритетом критерия; метод выбора любой точки из множества Парето по заданной величине целевой функции с заданной точностью. [1-3, 7, 21,38]. Покажем первые два. Алгоритм 1.

Шаг 1. Решается задача (2.1)-(2.4) по каждому критерию отдельно, т.е. для V к е К, ищется максимум, а для VkGK^ ищется

минимум. В результате решения получим: X *, f * = fk(X *), k = 1, К.

Шаг 2. Определяем наихудшую неизменяемую часть критерия f °, k = 1, К. Для чего решается задача (2.1 )-(2.4) для каждого критерия к = 1,К, на минимум: f°=min fk(X), G(X)^ В, Х>0, к = 1, К|. Решается задача (2.2)-(2.4) для каждого критерия на максимум: f ° =шах fk(X), G(X) < В, Х>0, к=1,К2.

Шаг 3. От каждого критерия отнимается его наихудшая неизменяемая часть. fk(X) - f °, k = 1,K,Xg S.B результате получили критерии, которые при переходе от наихудшей точки к оптимальной лежат в пределах:

о £ (fk(X) - f •) < (f; - f°), k = l Ki, о ;> (fk(X) - fi) £ (f; - f °),

k= ПкГ.

Шаг 4. Выполняется стандартная нормализация критериев:

\(Х) = (fk(X)- f;)/(f: -f°),k= Гк,Х s S. В целом по задаче VkeK относительная оценка Ак(Х),

к= 1, К лежит в пределах 0 < < 1, VkeK. Шаг 5. Построение Л,-задачи.

V XeS определим A=minA.k(X), которую максимизируем по XeS, в результате получим максиминную задачу с нормализованными критериями.

Л» = шах min Xk(X), G(X) SВ, X £ 0. (3.1)

Используя взаимосвязь (2.6) и (2.7), преобразуем задачу (3.1) в Х-задачу.

Х°=шах X, ХЩХ)-^ )<0, к= ЦК, в(Х) < В, X > 0. (3.2)

Шаг 6. Решение Х-задачи.

Шаг 7. Конец.

В результате решения Х-задачи получаем:

точку оптимума Х° и максимальную относительную оценку

Х°, такую, что Xе < \(Х°), к= 1, К, Х° 6 Б, т.е. является максимальным нижним уровнем для всех относительных оценок А.к(Х°), гарантированным результатом в относительных единицах, а в соответствии с теоремой 3 точка {X0} оптимальна по Парето.

Алгоритм 2.

Шаг I. Решается ВЗМП с равнозначными критериями (алгоритм 1).

В результате решения получим:

точки оптимума X *, к = 1, К и величины целевых функций

в этих точках Г *, к = 1, К, которые представляют собой границу множества Парето;

наихудшую неизменяемую часть критерия к = 1, К;

при решении максиминной задачи и построенной на ее основе Х-задачи, получили Х° - точку оптимума решения ВЗМП при равнозначных критериях и максимальную оценку Х°, которая является гарантированным уровнем для всех критериев в относительных единицах.

В каждой точке X*, к=1,К вычислим величины всех критериев ц= 1, К:

{Г(х;),ч=ьк},к=йк, (3.3)

которые показывают величины каждого из я б К критериев при переходе от одной оптимальной точки к другой.

В точке Х° вычислим величины критериев Гк(Х0) и относительных оценок Х^Х"), к=1,К, которые удовлетворяют неравен-

19

ству < \(Х°), к=1,К, X°sS. В ней все критерии больше или равны ЯЛ В других точках X е S0 наименьший из критериев в относительных единицах \(Х) всегда меньше

Из (3.3) вычислим матрицу относительных оценок в точках оптимума:

{Х(Х I ) = (f(X:) - f)/(f; : Р), q = UK }, k = ЬК. (3.4)

Матрица (3.4) показывает величины всех критериев в относительных единицах на границе множества Парето. Эта информация и является основой для дальнейшего изучения структуры множества Парето. И на ее основе выбирается приоритетный критерий q е К. Запоминаются данные Х-задачи (3.2) .

Шаг 2. Определяются пределы изменения величины приоритета критерия q е К, для чего в точках Х° и X J определяются приоритеты критерия q е К по отношению к другим критериям: Pj(X°) = Xq(Xo)/\(X°),

P2(x;) = \(x;y\(x;),k=Oc

и устанавливаются пределы изменения задаваемого вектора приоритетов

Pj(X°)^Pj <Pj(X;),k= ЬК, VqeK. (3.5)

ШагЗ. Полученные результаты выдаются на печать (на дисплей):

f;, f;,..., f;, (3.6)

f,(X°), f2(X°),..., fk(X°),

f,(x;), f2(x;),..., fk(x;), x,(x;),x2(x;), ...,\(x;)

и пределы изменения задаваемого вектора приоритетов (3.5).

Эти результаты и служат основой для принятия решения.

Шаг 4. Лицо, принимающее решение, проводит анализ результатов решения ВЗМП при равнозначных критериях (3.6). Выявляет наиболее противоречивые критерии. Предполагается, что у ЛПР имеется представление об приоритетном критерии в виде 20

его числовой величины Он сравнивает эту величину с показателями по q-мy критерию ^, ^(Х0) (на первой итерации расчета) или результатами решения на шаге 6 (на последующих итерациях).

Если ^(Х°) отвечает требованиям ЛПР, то задача решена и переходим к шагу 7. Если нет, то выбирается новое значение коэффициентов задаваемого вектора приоритетов Р 2, к = 1, К, V яе К из (3.6) таким образом, чтобы вновь задаваемый вектор приоритетов был больше вектора приоритетов на предыдущей итерации в точке оптимума X •.

Р£ >Р;(Х°)Д= е 80с5. (3.7)

Шаг 5 . В данные Х-задачи (3.2) вводится заданный вектор приоритетов (3.7), в результате получим Х-задачу с приоритетами:

Х° = шах X, (3.8)

Х-Р'Хк(Х)<0,к = йк,

в(Х) < В, X > 0.

Шаг 6 . Решение 1-задачи (3.8).

Результаты решения:

Х° -точка оптимума, - максимальная относительная оценка, такая, что < Р,? Г), к = 1, К, V я е К.

^(Х"), к = 1, К - величины всех критериев;

Х^Х °), к = 1, К - величины всех относительных оценок;

Р2(Х°)Д = 1,К - вектор приоритета я-го критерия над другими.

Переход к шагу 3 .

Шаг 7. Конец.

В результате решения получим:

X ° - точку оптимума и максимальную относительную оценку, такую, что Х°< Р £ Хк(Х°), к = 1, К, V я е К, где вектор приори-

21

тетов Р2, к= 1, К соответствует заданным понятиям ЛПР о приоритете q-ro критерия над остальными.

Предполагается, что в данном алгоритме каждый шаг выполняется на ЭВМ, а величины компонент вектора приоритетов задаются ЛПР, при этом на шаге 4 производится сравнение полученной

точки Х,° и максимальной по величине q-ой целевой функции. (Понятно, что лучше точек Х° и X¡ не может быть получено, т.е. они оптимальны по Парето). Тестовые примеры см. в [1-3, 21, 38].

Во второй части представлено построение моделей рынка, их исследование и моделирование. [14, 39]. Математический аппарат моделирования — векторная оптимизация, представленная в первой части.

В главе 4 проведен анализ современного состояния конкурентной экономики и на его основе построена математическая модель одно-продуктового рынка. В качестве управляющей переменной принят вектор X={xq], q=l,Q, 1=1,L }, который определяет объемы продукта, купленные 1-м потребителем у q-ro производителя (фирмы), Q, L — множество индексов производителей и потребителей соответственно. Стоимость единицы товара -cql, q= 1,Q,

1= 1, L устанавливается q-й фирмой на рынке из условия, если имеется статистические данные об объемах продаж с соответствующими ценами, то, используя регрессионный анализ, строится кривая спроса c=f(X), если статистические данные отсутствуют, то

устанавливаются пределы изменения цены: с Г ^cql <с Г", V leZ., где с Г" определяется себестоимостью единицы произведенной продукции, а с Г* - маркетинговыми исследованиями рынка. aql - затраты на производство единицы продукции, выпущенного q-й фирмой. р = cql - aq| - прибыль, получаемая фирмой при производстве

единицы продукта, q=l,Q.

Задача заключается в определении таких объемов производства Xo, которые наиболее полно улучшали цели всех производи-22

телей и потребителей продукта одновременно, с учетом ограничений, накладываемых на их возможности. Эту задачу сформулирована в виде векторной задачи математического (линейного) программирования:

L

opt F(X)= {max f (Х)= £ pqlxq„ q= IQ, (4.1)

о _

шт£;(Х)=Е сЛ„1=1+д,К}, (4.2)

сч1хч1<ЬГ, 1=1дГ, (4.3)

I.

5 ая,хЧ|5 Ьч, 4= Со", (4.4)

хч1^0,Ч=Го",1=1дГ, (4.5)

где И(Х) - векторная целевая функция (векторный критерий), в задаче векторной оптимизации (4.1)-(4.2), К=ОиЬ - множество критериев потребителей и производителей соответственно; (4.1)-критерии (5 производителей, максимизирующих свои прибыли; (4.2) - критерии Ь потребителей, минимизирующие свои затраты,

за счет стоимости и качества продукта, £з1 + С?,К множество индексов потребителей; (4.3) - бюджетные ограничения, связанные

с минимальным Ь,"™, 1=1,Ь и максимальным Ь,"", 1=1,Ь объемом финансовых средств, которые- потребитель может выделить на покупку продукта от разных фирм; (4.4) - ограничения по производственным мощностям «<3» производителей; (4.5) - ограничения, связанные с не отрицательностью объемов проданной продукции.

Для решения векторной задачи линейного программирования (ВЗЛП) (4.1)-(4.5) используются методы, основанные на нормализации критериев и принципе гарантированного результата, представленные в первой части.

В результате решения ВЗЛП (4.1)-(4.5) при равнозначных критериях на получим: точку оптимума Х°={хч1, ц=ч,<3,1=1Д.}, ко-

23

торая определяет объемы продукта, произведенного и проданного каждым производителем каждому потребителю; величины целевых функций ^(Х°), к= 1,К, К=С>иЬ, в т. ч. ^(Х°), 1,(3, определяют доходы каждого производителя; 1= 1, Ь, определяют затраты каждого покупателя; максимальную относительную оценку

такую, что <\(Х°), к= цГ, Х°е Б, где \(Х°)=(1"к(Х°Н;)/(Гк),

к=1,К, Х°б8 - нормализованный критерий, в котором Г,, Г:, кеК -наилучшее и наихудшее решение соответственно, К=ОиЬ.

Максимальную относительную оценку Х° можно интерпретировать, как максимальный уровень, до которого подняты обоюдные интересы всех производителей и потребителей в относительных единицах. Любое увеличение интересов (критерия) какого-либо производителя или потребителя, приводят к ухудшению оставшихся участников рынка (производителей и потребителей), т. е. получившаяся точка оптимальна по Парето. Вектор - функция

Р,(Х)={Г (Х°), я= 1,С> } представляет собой вектор-функцию предложения, а вектор - функция Р2(Х)={Г,(Х°), 1=1,Ь } представляет вектор-функцию спроса. Таким образом, сформулирована и решена задача, в которой наряду с балансом спроса и предложения отражена целенаправленность каждого участника рынка - производителя и потребителя.

Методология моделирования одно-продуктового рынка на основе математической модели (4.1)-(4.5) показана на примере «

решений моделей для рынка совершенной конкуренции и олигополии. Для их исследования разработана базовая модель одно-продуктового рынка с двумя производителями и потребителями. Один из результатов решения такой задачи, показывающий взаимосвязь объемов производства для каждого производителя в модели олигополии показан в табл.1 и рис. 1. Естественно, данная модель может усложняться, например, за счет введения блоков накопления или установления внешних и внутренних взаимосвязей, учитывающих экспорт и импорт [9-10], т.е. модель (4.1)-(4.5) является основой для построения более сложных экономических моделей. 24

Таблица I

Взаимосвязь объемов производства для каждого производителя

Объем продаж в X х; XV) Хо XV) х;

0 1 2 3 4 5

Объем продаж (спрос) X, X, 125/62,5 1 0,545 99,45/77,5 0,7677 0,5682 84,16/65,97 0,6111 0,6111 77.51/99,45 80/100 0,5682 0,545 0,7678 1

Относит, оценки производителей в конкурентной экономике

= о

ЛЛ 1,1,1

0,545

£

£

Объемы продаж (х 1 -х4)

-» - Ш Л Ь2

Рис. 1. Взаимосвязь объемов производства для двух фирм в олигополии. Ы, Ь2 -относительные оценки первого и второго производителя

В главе 5 выполнено построение математической модели рынка.

Рассматривается рынок с множеством N товаров ,'у= 1, N. На рынке функционируют О производителей и Ь потребителей этого продукта: индекс и множество производителей; 1=1, Ь - индекс и множество потребителей. При построении математической модели рынка используем модель одно-продуктового рынка (4.1)-(4.5). С учетом моделей всех производителей и потребителей продукта математическую модель рынка представим в виде векторной задачи математического (линейного) программирования:

оР1Р(Х)={{тахГ(Х)=2. I Р/^Г 1,0}, (5-1)

{тт^(Х)=5 Е с.Л„ 1=1 + 0,К }, (5.2)

тах уХ)= ± ± ± (5.3)

I. Ч N

тт ^(Х)= £ Е Е с.Л,}, (5.4)

? 1=ГГ, (5.5)

? § (5-6)

^ТдГ, (5.7)

где И(Х) - векторный критерий, К=0у>Ь\ (5.1) - критерии «С?» производителей, максимизирующих свои прибыли; (5.2) - критерии «Ь» потребителей, минимизирующие свои затраты, за счет стоимости и качества продукта, £,= 1 + 0,К ; (5.3)-(5.4) - показатели отражающие системные факторы — суммарные предложение и спрос соответственно; (5.5) - бюджетные ограничения, связанные

с минимальным Ь Г, 1= 1, Ь и максимальным Ь Г, 1= 1, Ь объемом финансовых средств, которые потребитель может выделить на покупку продукта от разных фирм; (5.6) - ограничения по производственным мощностям «С?» производителей; (5.7) - ограничения, связанные с не отрицательностью объемов проданной продукции.

Векторная задача линейного программирования (5.1)-(5.7) представляет собой модель рынка. Качество и прочие характеристики товара, учитываемые потребителем, в модели (5.1 )-(5.7) определяются приоритетом того или иного критерия. Для решения ВЗЛП (5.1)-(5.7) используются методы, основанные на нормализации критериев и принципе гарантированного результата, кото-26

рые дают возможность решать задачи при равнозначных критериях и заданном приоритете критерия.

В результате решения задачи (5.1)-(5.7) - математической модели рынка - при равнозначных критериях получим:

• точку оптимумаХ°=Цч1,]=1,М,я= 1,(2,1=1,Ь }, которая определяет объемы товара, произведенного и проданного каждым производителем каждому потребителю;

• величины целевых функций Гк(Х°), к=1,К, К=С>иЬ, в т. ч. ^(Х°), я=1,<3, определяют доходы каждого производителя; ^(Х°),

1=1,Ь, определяют затраты каждого покупателя;

• максимальную относительную оценку такую, что

<\(Х°), к= ГкГ, Х°еБ, где )/({[ ), к=ЦГ, Х°еБ

- нормализованный критерий, в котором Г[ - наилучшее решение

по кеК критерию, - наихудшее соответственно, К=0~)Ь - множество критериев.

Максимальную относительную оценку можно интерпретировать, как максимальный уровень, до которого подняты обоюдные интересы всех производителей и потребителей в относительных единицах. Любое увеличение интересов (критерия) какого-либо производителя или потребителя, приводят к ухудшению оставшихся участников рынка (производителей и потребителей), т. е. получившаяся точка оптимальна по Парето.

Вектор - функция Р,(Х)={Гч(Х°), 1,С? } представляет собой вектор - функцию предложения, а вектор - функция Р2(Х)={^(Х°),

1= 1, Ь } представляет вектор - функцию спроса. Функции ^(Х) и ^(Х) представляют суммарное предложение (в терминах прибыли) и суммарный спрос. В терминах стоимостей они равны между собой:

^(Х)=§ х 5 (РЛ)х,=г11(х)=|: § § сЛ,

т. е. предложение равно спросу.

Выбор объемов производства, при которых оптимально учтены интересы производителей и потребителей показаны на моделировании рынка (5.1)-(5.7), состоящего из двух производителей и потребителей, обменивающихся двумя товарами (модель 2*2*2).

Основной результат - новый подход к математическому моделированию сложных экономических систем - модели рынка. Такой подход показал принципиальную возможность вести: во-первых, системный анализ и синтез каждой подсистемы (участников рынка — всех производителей и потребителей) с учетом целенаправленности каждого из них, в- вторых, учитывать ресурсные возможности, как производителей, так и бюджетные ограничения потребителей, в-третьих, учитывать внутренние и внешние взаимосвязи в совместном функционировании, в-четвертых, учитывать системные требованиями - баланс спроса и предложения и определения равновесной цены.

В третьей части представлено построение моделей сложных экономических систем. Она включает три главы. [1-3, 8-12, 24,26-32, 39-40].

В главе 6 показана организация управления фирмой на базе информационных и математических моделей. Проведен анализ проблемы автоматизации управления фирмой, а также анализ технологий менеджмента и их взаимосвязь в общей системе управления фирмой. На их основе построены: математическая модель формирования годового плана предприятия и модель долгосрочного (стратегического) плана развития фирмы.

Экономическая сущность задачи составления годового плана производственной фирмы состоит в выборе оптимальной номенклатуры (видов) и соответственно объемов изделий, подлежащих производству в планируемом году, из множества видов изделий, выявленных в результате маркетинговых исследований, и тех, которые может производить фирма. С учетом этих требований представим модель формирования годового плана предприятия в виде векторной задачи линейного программирования:

N __

оР1Р(Х(1))={тахГь(Х(0)=£с^х.0),к = 1,К, ^ (6Л)

N

гаш Гк(Х(0)= 2Хх((0,к = 1 + К„К} ?

(6.2)

N

^аДОхДО^ЬДО.^.М,

(6.3)

N

(6.4)

(6.5)

где Х={х)(0,] = 1, N } - вектор переменных, который определяет количество^го вида изделий, включенных в план в планируемом году 1еТ; Р(Х(0) - векторный критерий, у которого К, компонент требуется максимизировать - (6.1), а компонент - минимизировать - (6.2), 1 + К,, К ; (6.3) - ограничения по ресурсам, накладываемые на фирму в целом; (6.4) - тоже, но ц-го подразделения; (6.5) — ограничения, связанные с маркетинговыми исследованиями, где а, jeN, - вероятный объем продукции]-го вида, полученные службой маркетинга при исследовании рынка товаров, которые могут производиться фирмой.

Для решения векторной задачи линейного программирования (6.1)-(6.5) используются методы, основанные на нормализации критериев и принципе гарантированного результата, разработанные в первой части.

В результате решения задачи (6.1)-(6.5) получим: точку оптимума Х° и максимальную относительную оценку такую, что

А.°<\(Хо(0), к = 1,К , ХфсЗ, т.е. является максимальным нижним уровнем для всех относительных оценок \.(Х°0)), к = 1,К или гарантированным результатом в относительных единицах, а в соответствии с теоремой 4, точка {Х°, А.0} оптимальна по Парето.

Долгосрочный план служит основой перспективного развития фирмы и ее предприятий. При построении модели используем модель годового плана (6.1 )-(6.5) с учетом экстенсивных и интенсивных факторов развития фирмы. В результате математическая

модель формирования долгосрочного плана развития фирмы на период t = 1,Т лет примет вид:

N

opt F(X(t)) = {max f (X(t)) = X c;Xj(t), q = 1,Q, (6.6)

max fk(X(t)) =Xc'xj(t),k = l + K„K}) (6.7) .1=1

N

S (a4(t) - Аац(1 + 1 ))x/t) £ (b.(t) + Ab,(t +l)),ieM, (6.8)

N _

X (a^t) - Aau(t +1 ))x/t) < (ЬДt)) + Ab,(t + 1)), i = ЦЙЧ (6.9)

x/t)£u/t)J=UN,t = U\ (6.10)

где (6.6) — векторный критерий функционирования экономики предприятий, входящих в фирму; (6.7) — векторный критерий функционирования экономики фирмы в целом, К2s 1 + К,, К ; (6.8)-(6.9) — ограничения по ресурсам, накладываемые на функционирование фирмы в целом и ее q = 1,Q подразделений, здесь Aa^t+l), Ab^t+l), ieM — интенсивная и экстенсивная составляющие развития фирмы; в (6.10) величины u.(t),j =1,N> t= I,T представлены в предположении, что они будут востребованы рынком в соответствующей стратегической зоне хозяйствования; величины b^t+l) —являются потенциальными возможностями фирмы в приобретении ¡-го ресурса в t-ом году, они определяются из соотношений

bi(t+l) = bi(t) + Abi(t+l),t = lTT.

Таким образом, математическая модель (6.6)-(6.10) по существу является моделью стратегического планирования в фирме. Для реализации моделей (6.1)-(6.5) и (6.6)-(6.10) создано программное обеспечение, которое было использовано при моделировании развития фирмы.

В главе 7 проведено исследование и моделирование многоуровневых иерархических систем.

30

Методология изучения многоуровневых иерархических систем (ИС) базируется на представлении ее как совокупности более простых подсистем например, двухуровневых.

Двухуровневая ИС состоит из одной высшей управляющей подсистемы (ВП) и О нижестоящих по иерархии локальных управляющих подсистем (ЛП). ЛП может быть как непосредственно управляющей процессом (производство), так и высшей управляющей подсистемой для других нижестоящих по уровню ЛП. Для ВП известны: а) данные о каждой ЛП: цели их функционирования; номенклатура продукции, которую могут выпускать ЛП; ресурсные затраты на выпускаемую продукцию; потенциал ЛП; б) цели функционирования всей ИС; глобальные ограничения по ресурсам (например, по финансам).

Эта информация обрабатывается ВП и в результате вырабатывается управляющий вектор V' = ..., К• ..., V.) — вектор координации, который для каждой ЛП содержит номенклатуру, объемы и технико-экономические выпускаемой продукции. Каждая ЛП обрабатывает данные о развитии производства, в результате ЛП имеет собственный вектор управления V, • Объединяя собственный вектор управления у"щ с ц-ой компонентой вектора управления у\, полученного из высшей управляющей подсистемы, каждая ЛП получает результирующий вектор управления:

К=КС + К'- С7-1)

который содержит номенклатуру, объемы продукции, экономические показатели, ее характеризующие, на планируемый интервал времени, и служит для окончательного управляющего решения по производству.

Анализируя компоненты У/((°), результирующего вектора управления на момент времени 1°, сформируем три механизма децентрализации управления ЛП в двухуровневой ИС.

1-й механизм (Полная децентрализация управления). ЛП в двухуровневой ИС функционирует самостоятельно, если вектор

= о, отсюда:

УМ°)=У:Ф,Ч<7вО. (7.2)

2-й механизм (Полная централизация). ЛП в двухуровневой ИС управляется строго централизовано, если вектор 0, отсюда:

(7.3)

3-й механизм (Децентрализация или частичная централизация).

ЛП в двухуровневой ИС децентрализована, если > О и У,(/")> 0, но каждый из них меньше^//"), который равен их сумме:

= + V:«о),

Для определения Г,"(/,,), V? представим

функционирование двухуровневой ИС в виде векторной задачи

математического программирования:

opt F(X) = {opt F,(X) = {f(X), q = UQ}, (7.4)

opt F2(X) = {fk(X), k =1+Q,K }}, (7.5)

G(X) ^ B, (7.6)

G(Xq)^Bq,X;<Xq<X;,q=UQ*, (7.7)

где X = {Хч={х^, j=l,Nq}, ц=1,<3 } - вектор неизвестных, определяющий номенклатуру и объемы производимой (планируемой) продукции всей двухуровневой ИС и qeQ ее ЛП, ^сЫ - множество видов продукции, выпускаемой ц-й ЛП и двухуровневой ИС в целом; (7.4) - векторный критерий, характеризующий технико-экономические показатели, q=l,QЛП; (7.5) - векторный критерий, характеризующий функционирование ИС в целом, К2 - множество

компонент векторного критерия, К2=1+(3,К; (7.6) - ограничения, накладываемые на ИС в целом (глобальные ограничения), которые. двухуровневая ИС распределяет между ЛП; (7.7) — ограничения по ресурсам (материальные, трудовые, производственные мощности), накладываемые на функционирование каждой из q =1,0 32

ЛП, X ~ч, X *, я = 1,0 - минимальные и максимальные объемы продукции, выпускаемые каждой ЛП;

В результате решения ВЗМП (7.4)-(7.7) получим:

Х° = {Хч°={х], ]=1,Ыч}, 4=1,0 } - вектор, определяющий оптимальную номенклатуру и объемы производимой продукции всей ИС и яеС? ее ЛП;

Гк(Х;), к = 1,К , я= 1,0 - технико-экономические показатели, характеризующие я-ю ЛП;

^(Х°), к = 1, К 2 - тоже, но ИС в целом;

- максимальный уровень, до которого подняты в относительных единицах все критерии, такой, что Х°<Хк(Х°), к = 1,К , Х'сБ.

Теоретические результаты

Теорема 7. Если в выпуклой векторной задаче математического программирования для любой пары индексов я,кеС> пересечение подмножеств индексов переменных пусто (такие критерии назовем независимыми):

V я,кеК, N^N=0, я*к, N. N.

то в точке оптимума Х°, полученной на основе нормализации критериев и принципа гарантированного результата, все относительные оценки равны между собой и равны

Х°=Х(Х°), я=Со~-

Теорема 8. Если в ВЗМП с независимыми критериями один из критериев цеС> имеет приоритет над другими, то в точке оптимума Х°:

где р£, к = 1,0 - заданный приоритет я-го критерия по отношению к остальным к = 1,0 критериям.

В приложении к ВЗМП(7.4)-(7.7) представленной в линейной постановке показывает уровень децентрализации в ИС, при этом решается задача распределения глобальных ресурсов

33

ИС (7.6) по отдельным локальным подсистемам. [1-4, 11,22, 26, 31,36].

В работе рассмотрена методология построения и решения композиционных и декомпозиционных задач при анализе и синтезе функционирования двухуровневых экономических систем.

Задача построения обобщенной (или агрегированной) математической модели двухуровневой ИС (в т.ч. обобщенных оценок и ограничений) по моделям отдельных ЛП есть композиционная задача. Задача разделения математической модели двухуровневой ИС на совокупность более простых задач есть задача декомпозиции.

Композиционная задача.

Исходная задача Результирующая задача

(Отдельные Q задач) (Агрегированная модель)

optFq(X), optF(Y),

Gq(Xq)<Bq,Xq>0,q=rQ G(Y) < В, Y > 0. (7.8)

Декомпозиционная задача. Исходная задача Результирующая задача

(Агрегированная модель) (Q задач, с учетом агрегации) optF(Y), optFq(X), f(Xq) <yq°,

G(Y)<B,Y>0 -> Gq(Xq)<Bq,Xq>0,q=j^>. (7.9)

На основе результирующих задач (7.9) каждая ЛП определяет свой вектор управления V , q = l, Q.

Метод включает два этапа.

а) Композиция моделей ЛП в агрегированную модель двухуровневой ИС. В результате получим агрегированную модель:

optF(X)={optF1(Y)={yq,q= l,Q}, (7.10)

Q _

optF2(Y)={optf1((X)= +c у ),k= 1,K+ }}, (7.11)

q=l k4J4

о _ _

+^£0,1 = 1,М, ,Ч = 1,0, (7.12)

У° (7.13)

где У = (уч, ц = 1,0) - векторный критерий, каждая компонента которого является ведущим критерием отдельной ЛП;

(7.11)-агрегированный векторный критерий ВП,К+= Ц^ч;

Ч£0*

(7.12) - агрегированные ограничения ИС;

(7.13) - ограничения, накладываемые на ведущие переменные в агрегированной ВЗМГТ; с , скч, а , ак<] - коэффициенты аппроксимации.

ВЗМП (7.10)-(7.13) представляет собой композицию отдельных ЛП или агрегированный вариант глобальной модели (7.4)-(7.7), при этом ВЗМП (7.4)-(7.7), имела переменных, а ВЗМП (7.10)-(7.13), имеет О переменных, и по построению в этой задаче сохранена целенаправленность отдельных ЛП.

б) Метод декомпозиции.

Решается ВЗМП (7.10)-(7.13) при равнозначных критериях, в итоге получим: У* = { у*, я = 1,С>}; Х°, У° = {у ° , ц = 1,0 }. Эти данные используются при построении ВЗМП для каждой ЛП вида:

V ч 6 О оР1 ^(Х,) = {шах Гк(Хч), к = 1, К,, (7.14)

ттГк(Хч),к = 1 + К„К}, (7.15)

П(Хч) = У°,уеКЧ, (7.16)

с(хч)<о,х;<х<х;,ч=Го". (7.17)

В результате решения этой задачи получаем оптимальные параметры ЛП Х°={х^3=1,, 4=1,0 } - с соответствующими характеристиками ^(Х0), к = 1,К, в том числе К2= 1 + К,, К .

ВЗМП (7.14)-(7.17) представляет собой модель ЛП, на которую наложены дополнительные ограничения, представляющие собой управляющие сигналы вышестоящей управляющей подсистемы.

Метод решения композиционных и декомпозиционных задач используется при анализе и синтезе функционирования многоуровневых экономических систем при переходе от одного уровня управления к другому.

В главе 8 представлено моделирование развития региона на базе разработанных методов векторной оптимизации. Проведен анализ современного состояния и подходы к региональному управлению и, как следствие, представлены предложения по прогнозированию и развитию экономики региона. Для моделирования развития экономики региона (на примере Приморского края) использованы, с одной стороны, модели межотраслевых материальных связей, которые характеризуют материальные и ценностные межотраслевые связи в экономике региона, а с другой векторные модели, характеризующие развитие отраслей региона. Данные о межотраслевых материальных связях являются информационной базой для математического моделирования. В ходе экономического моделирования решались следующие задачи.

1. Рассчитывался межотраслевой баланс Приморского края за 2003 г. по данным статистической отчетности [9]. В соответствии с основными соотношениями и свойствами модели рассчитывались-матрица прямых и полных затрат, а по ограничениям имеющихся трудовых ресурсов - коэффициенты полных трудовых затрат. Проведен анализ взаимосвязей выпусков, производственных ресурсов и конечного спроса в крае и представлены типовые задачи прогнозирования (использованы стандартные методы).

2. На основании расчетов была построена и проанализирована модель межотраслевых зависимостей цен и добавленной стоимости, с изучением межотраслевых зависимостей конечного спроса и добавленной стоимости. Был проведен анализ межотрасле-36

вой модели с открытыми внешними связями и изучено их влияние на экономику Приморского края [9, 10].

3. Построена межотраслевой модели, представленной в виде векторной задачи математического программирования, методы решения которой разработаны в первой части [2, 10].

Обычно при решении третьей задачи использовался метод аддитивного критерия, а в работе для решения векторной задачи математического программирования развивается метод, основанный на нормализации критериев и принципе гарантированного результата.

Критериями являются конечный спрос агрегированных отраслей, которые в совокупности представляют векторный крите-

Ограничениями являются, во-первых, межотраслевой баланс, во-вторых, ресурсные ограничения и ограничения по производственным мощностям.

С учетом сказанного, векторная задача, моделирующая развитие экономики региона на планируемый период, примет вид:

где (8.1) — представляет векторный критерий максимизации конечного спроса;

(8.2) - межотраслевые балансовые ограничения;

(8.3) - ограничения по ресурсам;

(8.4) — ограничения по мощностям отраслей и не отрицательность конечного спроса.

Эта модель решалась на примере Приморского края, предполагая, что имеется три агрегированные отрасли, а общим ограниченным ресурсом является труд. В результате решения получим оптимальные значения переменных:

Х° ={х°, у°, j=l,n } - оптимальный вектор переменных, характеризующий объемы выпуска каждой п-ой отраслью;

рий: У={у^=1,п}.

ор1 У = {таху^=1,п}, (I - А)Х - У & 0, АХ < В

0<Х<Х% У>0,

(8.1) (8.2)

(8.3)

(8.4)

оптимальный относительный уровень, до которого поднято производство во всех отраслях:

Таким образом, все критерии (конечный спрос отрасли) подняты до максимально возможного уровня. Любое улучшение одного из критериев приводит к ухудшению других критериев, т.е. решение оптимально по Парето.

Заключение

Проблема векторной оптимизации относится к числу наиболее важных теоретических и прикладных оптимизационных проблем современной математики. Актуальность этой проблемы состоит в том, что в большинстве моделей экономических и технических систем целенаправленность характеризуется многими показателями качества и решение определяется по всей совокупности критериев.

В настоящей работе на основе ретроспективного анализа векторной оптимизации и ее приложения в экономическом моделировании, выполнен цикл исследований, направленных на создание теоретических основ векторной оптимизации и конструктивных методов решения векторных задач, и их использования при создании моделей рынка и экономических систем, а также моделирования их развития.

Основные научные и практические результаты работы состоят в следующем:

1. Созданы теоретические основы решения задач векторной оптимизации базирующиеся в отличие от раннее разработанных подходов к решению векторных задач на нормализации критериев и принципе гарантированного результата, что позволило сформулировать понятия равенства, равнозначности и приоритета критерия в векторных задачах. Выведен принцип оптимальности для решения векторных задач при равнозначных критериях и при заданном приоритете критерия. Это позволило с единых методологических позиций рассматривать класс векторных задач математического (выпуклого) программирования и формировать методы их решения.

2. Разработаны и апробированы методы решения векторных задач математического программирования (ВЗМП) с равнозначными критериями и с заданным приоритетом критерия, в котором выбор точки из множества точек, оптимальных Парето, осуществляется с точностью, обусловленной линейной аппроксимацией действительного изменения приоритетного критерия. Доказан ряд теоретических результатов, связанных с методами решения ВЗМП.

Исследована проблема двойственности векторных задач линейного программирования.

3. Создана и апробирована на тестовых примерах методология построения математической модели рынка и проведено моделирование его развития, при этом выполнены задачи::

построения математической модели одно-продуктового рынка;

моделирование развития одно-продуктового рынка на примере рынка с двумя производителями и двумя потребителями.

4. Построены модели и проведено моделирование развития рыночных структур: совершенной конкуренции, олигополии, а также моделирование развития рынка с учетом импортных и экспортных операций.

5. Построена и апробирована общая математическая модель рынка. Основной результат — новый подход к математическому моделированию сложных экономических систем, коим и является модель рынка. Такой подход показал принципиальную возможность вести: во-первых, системный анализ и синтез каждой подсистемы (участников рынка - всех производителей и потребителей) с учетом целенаправленности каждого из них; во-вторых, учитывать ресурсные возможности, как производителей, так и бюджетные ограничения потребителей; в- третьих, учитывать внутренние и внешние взаимосвязи в совместном функционировании; в-четвертых, учитывать системные требованиями - баланс спроса и предложения, а также определения равновесной цены. Методология моделирования рынка показана на решении ряда практических задач.

6. Разработана методология построения и моделирования сложных многоуровневых экономических систем управления с учетом централизации и децентрализации. Разработаны композиционные и декомпозиционные методы в задачах анализа и синтеза сложных экономических систем. На их основе при переходе от одного уровня иерархической экономической системы к другому построена методика агрегации информации.

7. Выполнена и апробирована методология моделирования развития региона. При построении модели региона использован межотраслевой баланс и векторная оптимизация. Решение 40

осуществлялось на базе разработанных методов решения векторных задач.

8. На основе выполненных теоретических исследований разработаны программные средства, реализующие методы решения векторных задач при равнозначных критериях и заданном приоритете критерия. Приоритет критерия задается в диалоговом режиме в виде вектора приоритетов критерия или в натуральных единицах, в последнем случае точность выбора точки определяется линейной аппроксимацией приоритетного критерия. Таким образом, выполняется человеко-машинная процедура принятия решений по моделям, представленными векторными задачами. Программные средства реализуют процедуру оптимального распределения ресурсов в экономической системе по ее отдельным локальным подсистемам. Программные средства позволяют формировать годовые - пятилетние планы развития предприятий отраслей с учетом интенсификации производства, производства продукция на экспорт. На основе разработанных методов и программных средств решен ряд важных, практических задач, имеющих народнохозяйственное значение.

Полученные научные результаты диссертационных исследований (Теоретические основы, методы, модели и приложения) представляют решение крупной научной проблемы, имеющей важное народохозяйственное значение.

Список основных работ по теме диссертации

Монографии, книги, брошюры.

1. Машунин Ю.К. Методы и модели векторной оптимизации. -М.: Наука, 1986. - 141 с. (9,0 пл.).

2. Машунин Ю.К., Левицкий В. Л. Методы векторной оптимизации в анализе и синтезе технических систем. Монография. -Владивосток: ДВГАЭУ МВПО, 1996. 131 с. (7,6 пл., в т.ч. 0,5 авторские).

3. Машунин Ю.К. Теоретические основы и методы векторной оптимизации в управлении экономическими системами. - М.: Логос, 2001. 256 с. (15,5 пл.).

4. Баранов Б. В., Бодня Ю.С., Машунин Ю.К. и др. Программное обеспечение гибких производственных систем. - Владивосток: ДВО АН СССР, 1988. - 236 с. (14,6 пл., в т.ч. 0,15 авторские).

5. Машунин Ю.К., Болтянский Л. И. Система местного самоуправления. Учебное пособие. Владивосток: ПИГС, 2003. 198 с. (12,1 пл., в т.ч. 0,65 авторские).

6. Машунин Ю.К. Разработка управленческого решения в организации. Учебное пособие. Владивосток: ПИГС, 2003. 165 с. (10,1 пл.).

7. Машунин Ю.К., Торгашов А. Ю. Математические основы управления в экономике. Учебное пособие. - Находка: Институт технологии и бизнеса, 2003. 216 с. (11,7 пл., в т.ч. 0,75 авторские).

8. Машунин Ю. К. Технологии менеджмента. Учебное пособие. Владивосток: ТГЭУ. 2005. - 212 с. (12,3 пл.).

9. Машунин Ю. К., Проскурина Ж. С. Анализ и прогноз развития региона на основе статистических данных (на примере Приморского края). Методическое пособие. Владивосток: ДВГАЭУ. 2004. - 36 с. (2,1 пл., в т.ч. 0,5 авторские).

10. Машунин Ю. К., Проскурина Ж. С. Моделирование развития региона на основе межотраслевого баланса и векторной оптимизации (на примере Приморского края). Методическое пособие. Владивосток: ДВГАЭУ. 2004. - 50 с. (1,1 пл., вт.ч. 0.5 авторские).

Статьи в научных сборниках, журналах.

11. Машунин Ю.К. Решение композиционных и декомпозиционных задач синтеза сложных технических систем методами векторной оптимизации//Изв. РАН. Теория и системы управления. 1999. №3. С. 88-93 (0,6 п.л.).

12. Машунин Ю.К. Торгашов А. Ю., Кривошеее В. П., Хол-ланд Ч. Д.. Расчет и многокритериальная оптимизация статических режимов массообменных процессов на примере абсорбции в производстве газоразделения // Изв. ВУЗов. Нефть и газ, 2001, №3. С. 82-86 (0,5 п.л., в т.ч. 0,25 авторские).

13. Машунин Ю.К. Информационные технологии моделирования технических систем на базе методов векторной оптимизации//Информационные технологии. 2001. №9. С. 14-21 (0,6 п.л.).

14. Машунин Ю.К. Информационные технологии моделирования развития рынка// Информационные технологии. 2005. №2. С. 20-27 (0,8 п.л.).

15. Повешенко С.Г., Машунин Ю.К. Проблемы организации городского строительства //Информация и управление. - Владивосток: ИАПУ ДВНЦ АН СССР. Вып. 13, 1974. С.119-127 (0,8 п.л., в т.ч. 0,65 авторские).

16. Машунин Ю.К. Применение задачи линейного программирования при формировании плана застройки города //Информация и управление. - Владивосток: ИАПУ ДВНЦ АН СССР. Вып. 13, 1974. С. 128-134 (0,6 п.л.).

17. Хоменюк В.В., Машунин Ю.К. Многокритериальная задача линейного программирования //Информация и управление. -Владивосток: ИАПУ ДВНЦ АН СССР. Вып. 13, 1974. С. 134-141 (0,7 п.л., в т.ч. 0,5 авторские).

18. Повешенко С.Г., Дзадзиев А.И., Машунин Ю.К., Шесталь-ский Ю.С. Автоматизированная система управления институтом // На стройках России. - М.: Советская Россия. 1975. № 6. С. 2629 (0,6 п.л., в т.ч. 0,35 авторские).

19. Хоменюк В.В., Машунин Ю.К. Использование векторных задач линейного программирования при формировании плана застройки города //Эконом, матем. методы планир. и управл. в

системе городского хозяйства. - Владивосток: ДВНЦ АН СССР, -1977. С. 128-137 (0,7 п.л., в т.ч. 0,5 авторские).

20. Машунин Ю.К. Алгоритмы решения задач математического программирования. - Владивосток: ДВНЦ АН СССР. 1977. -21 с. Деп. в ВИНИТИ 14.06.77, № 2360-77 ДЕЛ (1,3 п.л.).

21. Машунин Ю.К. Аксиоматика и алгоритмы векторной оптимизации //Мат. обеспеч. океанологических исследований. -Владивосток: ДВНЦ АН СССР, 1980. С. 95-108 (0,7 п.л.).

22. Машунин Ю.К. Распределение ресурсов в экономических, иерархических системах на основе векторной оптимизации // Моделирование океанологических производственных систем: -Владивосток: ИЭИ ДВНЦ АН СССР. 1981. С. 46-59 (0,8 п.л.).

23. Машунин Ю.К. Методы решения задач векторной оптимизации на основе 1-критерия // Методы многоцелевой оптимизации. - Владивосток: ДВНЦАН СССР. 1982. С. 95-111 (0,6 п.л.).

24. Машунин Ю.К. Векторная оптимизация и иерархические системы: Препринт. - Владивосток: ИАПУ ДВНЦАН СССР. 1982. - 44 с. (2,6 п.л.).

25. Машунин Ю.К. Двойственность в векторных задачах линейного программирования: Препринт. - Владивосток: ИАПУ ДВНЦ АН СССР, 1983. - 40 с. (2,2 п.л.).

26. Машунин Ю.К. Многокритериальная модель иерархической системы, развивающейся в динамике равномерно и пропорционально: Препринт. - Владивосток: ИАПУ-ДВНЦ АН СССР, 1984.-39 с. (2,4 п.л.).

27. Машунин Ю.К. Исследование и разработка методов решения многокритериальных задач оптимизации в приложении к сложным иерархическим системам // Диссерт. на соиск. уч. степени к.т.н. (9,6 п.л.).

28. Машунин Ю.К. Векторная оптимизация многоуровневых иерархических систем //Системный подход в исследовании экономики освоения океана. - Владивосток: ДВНЦ АН СССР. 1984. С. 95103 (0,6 п.л.).

29. Машунин Ю.К. Формирование пятилетнего плана развития городского хозяйства методами многокритериальной оптими-

зации 11 Современные методы и средства создания и развития АСУ городов. -М.: НПО АСУ «Москва», 1986.С. 107-108 (0,2 п.л.).

30. Машунин Ю.К. Исследование структуры множества Па-рето в векторных задачах математического программирования // Обработка информации в геофизических исследованиях. - Владивосток: ИАПУ ДВНЦ АН СССР, 1986. С. 108-115 (0,6 п.л.).

31. Машунин Ю.К. Исследование многоуровневой иерархической системы: предприятие - отрасль - государство - мировая экономика методами векторной оптимизации: Препринт. - Владивосток: ИАПУ ДВО АН СССР. 1988. - 42 с. (2,6 п.л ).

32. Машунин Ю.К. Исследование модели «отрасль-предприятие» методами векторной оптимизации //Теория и практика автоматизации управления отраслями: Информ. сб. - М.: Информ-прибор. 1988. С. 34-35 (0,2 п.л.).

33. Машунин Ю. К. Использование методов векторной оптимизации при оптимальном управлении многокритериальными технологическими процессами // Технологические объекты: моделирование, идентификация, управление. - Владивосток: ИАПУ ДВО АН СССР, 1988. с. 30-37 (0,7 п.л.).

34. MashuninYu. К. The use of optimization techniques in selecting optimal parameters of an engineering system// Computer-Aided Control Systems Design. IFAC/IMACS Workshop. Alma-Ata, USSR, P. 6061. 20-24 June, 1989 (0,2 п.л.).

35. Машунин Ю.К. Методы выбора любой точки из множества Парето в векторной задаче математического программирования с заданной точностью: Препринт. Владивосток: ИАПУ ДВО АН СССР, 1990. 39 с. (2,2 п.л.).

36. Машунин Ю.К. Управление регионом в условиях рыночной экономики. - Владивосток: ИАПУ ДВО АН СССР, 1992. - 42 с. (2,6 п.л.).

37. Машунин Ю.К. Управление развитием муниципального образования на базе мониторинга его финансового состояния. // Актуальные проблемы государственного и муниципального управления в условиях рыночной экономики. Владивосток: Изд-во ДВГАЭУ. 2000. С. 79-85 (0,6 п л.).

38. Mashunin Yu. К. Engineering system modelling on the base of vector problem of nonlinear optimisation //Control Applications of Optimization. Preprints of the eleventh IFAC International workshop. CAO 2000. July 3-6,2000. Saint - Petersburg, 2000. p. 145-149 (0,6 пл.).

39. Машунин Ю.К. Системный анализ и принятие решений в сложных системах. (На примере моделирования развития экономики региона) // Международной конференции «Проблемы управлении и моделирования сложными системами». - Самара: Инст. проблем управл. РАН, 2001 (0,4 п.л.).

40. Машунин Ю.К. Формирование бюджета муниципального образования // Пути повышения эффективности муниципальной власти в управлении социально-экономическим развитием Дальнего Востока и Севера. Сборник материалов Всероссийской научно-практической конференции. Владивосток: ПИППККГС. 2004. С. 115-117(0,3 п.л.).

Машунин Юрий Константинович

V ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

" И МЕТОДЫ ВЕКТОРНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ В МОДЕЛИРОВАНИИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Автореферат

Отпечатано по оригинал-макету, подготовленному автором, минуя редподготовку

\

Подписано в печать 13.07.2005. Формат 60x84/^2" Усл.-печ. л. 2,7. Уч.-изд. л. 3 Тираж 100 экз. Заказ Х«/»70

Издательство Тихоокеанского государственного

экономического университета Участок оперативной полиграфии 690950, Владивосток, Океанский пр., 19

Диссертация: содержание автор диссертационного исследования: доктора экономических наук, Машунин, Юрий Константинович

Введение.

Часть 1. Проблемы моделирования экономических систем на основе методов векторной оптимизации.

Глава 1. Анализ экономических систем и методов их моделирования на основе векторной оптимизации

1.1. Экономические системы и место процесса моделирования в систе- 15 ме ее управления

1.2. Постановка проблемы моделирования экономических систем на 25 основе методов векторной оптимизации

1.3. Исследование и анализ современного состояния проблемы век- 31 торной оптимизации (ВО)

1.4. Анализ некоторых подходов к решению задач ВО

1.5. Выводы по результатам анализа экономических систем и исследо- 53 вания методов решения векторных задач

Глава 2. Теоретические основы векторной оптимизации

2.1. Векторная задача математического программирования (ВЗМП) 54 2.2.Основные понятия и определения, используемые при построении методов решения задач векторной оптимизации.

2.3. Принципы оптимальности решения ВЗМП

2.4. Теоретические результаты, связанные с аксиоматикой и принципами оптимальности решения ВЗМП

2.5. Двойственность в векторных задачах линейного программирова- 85 ния

2.6. Выводы по теоретическим вопросам векторной оптимизации

Глава 3. Методы решения задач векторной оптимизации

3.1. Решение задач векторной оптимизации с равнозначными крите- 98 риями

3.2. Решение задач векторной оптимизации с заданным приоритетом 102 критерия

3.3. Выбор точки из множества Парето в ВЗМП по заданной величине 106 целевой функции и с заданной точностью

3.4. Выводы по методам решения задач векторной оптимизации 111 Часть 2. Математическое моделирование развития рынка на основе методов векторной оптимизации

Глава 4. Математическая модель одно-продуктового рынка как задача векторной оптимизации

4.1. Анализ модели конкурентной экономики

4.2. Построение векторной модели одно-продуктового рынка

4.3. Построение базовой модели одно-продуктового рынка с двумя производителями и потребителями (четыре критерия)

4.4. Моделирование рынка совершенной конкуренции, модель которой представлена векторной задачей оптимизации

4.4.1. Основные характеристики модели рынка совершенной конкуренции

4.4.2. Исследование модели совершенной конкуренции

4.5. Моделирование развития рынка олигополии

4.5.1. Основные характеристики модели рынка олигополии

4.5.2. Исследование модели олигополии

4.6. Моделирование одно-продуктового рынка с агрегированными критериями

Глава 5. Математическая модель рынка как задача ВО

5.1. Модель одно-продуктового рынка с учетом импортных и экспортных операций

5.2. Математическая модель рынка

5.3. Построение модели рынка с двумя товарами, производителями и потребителями (Модель 2*2*2)

Часть 3. Моделирование экономических систем на основе методов ВО

Глава 6. Управление фирмой на базе информационных и математических моделей.

6.1. Анализ проблем управления фирмой

6.2. Технологии менеджмента и их взаимосвязь в общей системе управления фирмой

6.3. Математическая модель формирования годового плана предприятия

6.4. Математическая модель формирования долгосрочного (стратегического) плана предприятия

6.5. Финансовая деятельность в фирме

6.6. Тестовый пример формирования годового - долгосрочного плана 192 для управления фирмой

Глава 7. Моделирование многоуровневой иерархической системы эко- 200 номики как задачи векторной оптимизации

7.1. Общие вопросы многоуровневых иерархических систем

7.2. Двухуровневые иерархические системы (ИС)

7.3. Двухуровневые ИС с самостоятельными локальными подсистемами (ЛП). (ЛП с полной децентрализацией) 214 7. 4. Двухуровневые ИС с полной централизацией управления ЛП

7.5. Двухуровневые иерархические системы с децентрализацией управления ЛП

7.6. Композиционные и декомпозиционные методы в задачах децентрализованного управления ЛП

7.7. Иллюстрация двухуровневой ИС с децентрализацией управления 238 ЛП на тестовом примере.

7.8. Двухуровневые ИС, развивающиеся в динамике равномерно и пропорционально

7.9. Моделирование многоуровневых иерархических систем.

7.10. Выводы по моделированию многоуровневых иерархических систем

Глава 8. Моделирование развития региона на основе методов векторной оптимизации (На примере Приморского края)

8.1. Анализ современного состояния регионального управления регионом и выводы

8.2. Основные цели и задачи регионального управления

8.3. Анализ межотраслевого баланса

8.4. Моделирование межотраслевых материальных связей (Первый- 283 второй квадрант МОБ)

8.4.1. Построение и расчет модели межотраслевых материальных связей

8.4.2. Расчет модели межотраслевых материальных связей с учетом производственных ресурсов

8.4.3. Структурный анализ взаимосвязей выпусков, производственных ресурсов и конечного спроса

8.4.4. Типовые задачи прогнозирования

8.5. Моделирование межотраслевых зависимостей цен и добавленной стоимости (Первый-третий квадрант МОБ)

8.6. Межотраслевые модели с открытыми внешними связями

8.6.1. Оценка влияния внешних связей на экономику региона

8.6.2. Разработка модели экономики региона с не дополняющим ввозо\

8.7. Построение оптимизационных моделей региона

8.7.1. Построение оптимизационной модели межотраслевого баланса 319 продукции и производственных мощностей

8.7.2. Разработка оптимизационной модели с ограничениями по общим производственным ресурсам

8.7.3. Построение оптимизационных моделей

8.8. Построение векторных оптимизационных моделей региона

Диссертация: введение по экономике, на тему "Теоретические основы и методы векторной оптимизации в моделировании экономических систем"

Актуальность темы исследования. В области экономики решение вопросов автоматизации управления производственными и экономическими системами связано с дальнейшим развитием научно-технического прогресса и созданием автоматизированных систем управления, отвечающих последним достижениям науки и техники. И хотя в настоящее время разработан и внедрен целый ряд автоматизированных систем управления предприятиями, производственными объединениями, отраслями, регионами, анализ их опыта показывает, что многие из них не отвечают современным запросам, требованиям и условиям рыночных взаимоотношений. Автоматизация управления направлена на решение наиболее простых задач, отдельных функций управления производством. И мало уделяется внимания решению комплексных (интегрированных) задач управления, учитывающих как спрос, так и предложение. Для решения таких задач обычно разрабатываются и используются математические модели, в основе которых лежат оптимизационные задачи. Но традиционные математические модели не всегда удовлетворяли многим требованиям, которые предъявляются к экономическим системам. Это связано с тем, что математические модели должны описывать и оценивать функционирование экономической системы: во-первых, как целенаправленную деятельность единой, целостной системы, во-вторых целенаправленную деятельность его подразделений, учитывая иерархическую многоуровневую структуру управления, в-третьих учитывать те многие экономические факторы рынка (спрос, предложение), которые в совокупности, реально оказывают влияние на функционирование исследуемой системы и, замыкающихся на них отдельных подразделений. Отсюда сложность исследуемых экономических проблем привела к появлению сложных математических моделей, которые должны адекватно отображать статику и динамику развития экономической системы. Эти модели имеют, как правило, не один, а несколько критериев оптимизации, т. е. в основе таких моделей лежат векторные (многокритериальные) задачи оптимизации. Дефицит научных знаний в области теории и методологии решения векторных задач математического программирования, с одной стороны, и насущная необходимость их использования при моделировании развития экономических систем, с другой стороны, определили актуальность темы диссертационного исследования.

Теоретические вопросы и методология решения задач векторной (многокритериальной) оптимизации, и ее использование в экономических моделях, базировались на многочисленных теоретических исследованиях и решениях практических задач, проводимых в нашей стране и за рубежом. В нашей стране в области многокритериальной оптимизации работы выполнялись следующими авторами: Березовский Б. А., Бутрим Б. И., Вилкас Э., Гафт М. К., Гермейер Ю. С., Емельянов С. В., Жуковин В. Е., Кемпер П. П., Краснекер В. С., Подиновский В. В., Полтерович В. И., Статников Р. Б., Хо-менюк В. В. и др. На Украине: Михайлевич В. С., Волкович В. JL, Войнало-вич В. М., Зак Ю. А., Даргейко и др. За рубежом: Бенайюн P., Fisborn Р. С., Geffrion А. М., Hwong С. L., Isermann Н., Kornbluth J. S. Н., Saska J., Zeleny M. и другие. С перечисленными работами можно ознакомиться в [70, 88, 99]. Методы и алгоритмы решения векторных задач математического программирования (ВЗМП) в работах перечисленных авторов развивались в следующих направлениях: решение ВЗМП, основанное на свертывании критериев; решение, использующее ограничения на критерии; методы целевого программирования; методы, основанные на отыскании компромиссного решения; методы, основанные на человеко-машинных процедурах принятия решения. Данная диссертационная работа продолжает разработку теории и методов решения задач векторной оптимизации одного из направлений, связанных с отысканием компромиссного решения, и его использования в экономических задачах исследования развития рынка и экономических систем. Это все и определило выбор темы, цель и задачи диссертационного исследования.

Цель и задачи исследования. Целью исследования является решение крупной научной проблемы - разработки теоретико-методологических основ векторной оптимизации, вычислительных методов решения векторных задач математического программирования и в задачах моделирования развития рынка и экономических систем.

Для достижения цели исследования были поставлены следующие задачи:

• провести исследование и анализ современного состояния проблемы векторной оптимизации, и ее использования в управлении экономическими системами;

• разработать теоретические основы и методы решения задач векторной оптимизации в том числе: аксиоматику и принципы оптимальности решения задач векторной оптимизации; вычислительные методы решения векторных задач, которые позволяют решать ВЗМП при равнозначных критериях и заданном приоритете критерия; метод выбора точки по заданной величине целевой функции и с заданной точностью;

• построить математическую модель рынка и провести моделирование его развития в том числе: провести исследование и анализ современного состояния проблемы конкурентной экономики; построить математическую модель одно-продуктового рынка; выполнить моделирование развития рынка совершенной конкуренции, рынка олигополии; построить общую математическую модель рынка и провести ее тестирование;

• разработать математическую модель и выполнить моделирование сложных экономических систем в том числе: моделирование управления многоуровневой иерархической экономической системой с учетом централизации и децентрализации; разработать композиционные и декомпозиционные методы в задачах анализа и синтеза экономических систем; разработать агрегацию информации при переходе от одного уровня к другому в иерархической экономической системе;

• построить модели управления фирмой на краткосрочный и долгосрочный период планирования с учетом ее целенаправленности;

• выполнить построение модели управления регионом на основе межотраслевого баланса и векторной оптимизации и провести моделирование его развития;

• разработать программные средства, реализующие разработанные методы решения векторной оптимизации линейного и нелинейного программирования;

• разработать методологию использования теоретических результатов и программного обеспечения для решения практических задач автоматизации процессов управления и принятия решений в экономических системах.

Объект исследования - методы, принципы и аксиоматика решения задач векторной оптимизации и их применение в задачах моделирования экономических систем.

Предмет исследования - раздел векторной оптимизации, основанный на нормализации критериев и принципа гарантированного результата, и его использование в задачах моделирования развития рынка и экономических систем.

Теоретическую и методологическую основу исследования составляют труды классиков экономической теории, работы отечественных и зарубежных авторов по проблеме векторной оптимизации, теории управления и теории принятия решений в экономических системах.

Результаты исследования. Наиболее важные научные результаты, отражающие вклад автора в проведенное исследование, заключается в следующем:

• проведен анализ существующих методов векторной оптимизации и определено направление исследований, связанное с нормализацией критериев и принципом гарантированного результата;

• разработан авторский подход к решению векторной задачи математического программирования при равнозначных критериях и при заданном приоритете критерия;

• уточнены методологические основы использования векторной оптимизации при моделировании экономических систем;

• разработана методика построения композиционных и декомпозиционных методов в задачах анализа и синтеза сложных экономических систем;

• построены модели векторной оптимизации для принятия решений на уровне фирмы и проведен расчет ее годовых и долгосрочных планов;

• выполнено построение моделей, проведено моделирование развития рынка и выбора оптимальных объемов производства товаров и их потребления;

• разработан подход к моделированию рыночных структур - совершенной конкуренции и олигополии;

• разработана модель векторной оптимизации региона с использованием межотраслевого баланса и задачи, выпуска продукции, для решения которых в отличие от стандартных подходов, использовались разработанные методы.

Научная новизна результатов диссертационной работы заключается в следующем:

1. Созданы теоретические основы для решения задач векторной оптимизации базирующиеся в отличие от существующих на нормализации критериев и принципе гарантированного результата, а также определения приоритета критериев в таких задачах.

2. Разработаны и апробированы методы решения векторной задачи математического программирования при равнозначных критериях и при заданном приоритете критерия, в котором выбор точки из множества точек, оптимальных по Парето, осуществляется с точностью, обусловленной линейной аппроксимацией действительного изменения приоритетного критерия.

3. Разработана процедура агрегации информации в многоуровневой иерархической системе, агрегированный критерий которых сохраняет целенаправленность агрегируемых локальных подсистем.

4. Разработаны приемы композиции и декомпозиции локальных подсистем управления в задачах анализа и синтеза сложных экономических систем.

5. Построена модель векторной оптимизации на уровне фирмы.

6. Построены модели развития рыночных структур: совершенной конкуренции, олигополии, выполнено моделирование развития рынка с учетом импортных и экспортных операций;

7. Обоснована и апробирована балансовая модель региона в виде задачи векторной оптимизации.

Представленные научные результаты и выносятся на защиту.

Практическая значимость работы и реализация результатов. Теоретические и прикладные результаты исследования изложены в рекомендациях по совершенствованию моделирования задач управления на уровне фирмы и региона. Выполненные исследования и созданное программное обеспечение характеризуется экономической направленностью и доведено до конкретных методик.

Работа выполнялась в рамках:

1) научно-технической программы НТП 0.74.01, тема: "Разработка вычислительных процедур принятия решений для автоматизации геофизических исследований", № 81055373;

2) тема: "Исследование и разработка методов и программных средств управления в гибких производственных системах", № гос. регистрации 01860 107737;

3) программа фундаментальных исследований: "Повышение надежности систем "Машина - человек - среда";

4) Федеральная целевая программа "Государственная поддержка интеграции высшего образования и фундаментальной науки на 1997-2000 годы" (Проект № М295-01).

Основным практическим результатом работы является разработка комплекса программных средств решения векторных задач и его использование в практике управления экономическими системами.

Разработанные программные средства внедрены на заводе "Радиоприбор" по теме: "Разработка программного обеспечения годового плана предприятия, сбалансированного по основным технико-экономическим показателям и ресурсам".

В области техники разработанные методы решения векторных задач математического программирования реализованы при расчете инженерной модели магнитоэлектрических линейных индукционных двигателей.

Результаты исследования использованы при разработке авторского курса "Математические основы управления в экономике", "Разработка управленческого решения в организации" и др., которые внедрены в учебный процесс Дальневосточной академии экономики и управления, Дальневосточного Государственного университета и других высших учебных заведений.

Апробация результатов исследования осуществлена в публикациях по теме диссертации и выступлениях на международных, всероссийских и региональных научных конференциях и семинарах: на УШ Всесоюзном совещании по проблемам управления НКАУ СССР (Таллинн, 1980); на Ш Всесоюзном семинаре "Методы синтеза и планирования структур крупномасштабных систем" (Москва, 1985); на Всесоюзной конференции "Современные методы и средства создания и развития интегрированных АСУ городом" (Москва, 1985); на Всесоюзной научно-технической конференции «Проблемы и перспективы автоматизации производства на предприятиях приборо- и машиностроения» ( Пермь, 1987); Международной конференции "Проблемы автоматизированного проектирования в машиностроении "САПР-88" (Москва, 1988); на Всесоюзной конференции "Теория и практика автоматизации управления отраслями народного хозяйства" (Москва, 1988); на Всесоюзном семинаре "Моделирование развития региональной экономики" (Ташкент, 1988); на Международном семинаре ИФАК/ИМАКС "Автоматизация проектирования систем управления (Алма-Ата, 1989); на Всероссийской научной конференции "Актуальные проблемы менеджмента в условиях реформирования Российской экономики" (Владивосток 1998). на 11 Международном семинаре IFAC "Оптимизация в задачах управления (Сант-Петербург, 2000); Международная научная конференция "Математические методы в технике и технологиях" (Смоленск, 2001); Международной конференции "Проблемы управления и моделирования сложных систем" (Самара, 2001).

Публикации. Научные результаты, составляющие содержание диссертации, опубликованы в 60 работах, в том числе в трех монографиях:

1. Машунин Ю.К. Методы и модели векторной оптимизации. - М.: Наука, 1986. - 141 с.

2. Машунин Ю.К., Левицкий В. Л. Методы векторной оптимизации в анализе и синтезе технических систем. Владивосток: ДВГАЭУ, 1996.

3. Машунин Ю.К. Теоретические основы и методы векторной оптимизации в управлении экономическими системами. - М.: ЛОГОС: 2002. 248 с. , а также трех учебных пособий по 10 п.л. каждое.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и восьми глав, разделенных на три части, заключения и четырех приложений, восьми рисунков и пяти таблиц. Список литературы содержит 160 наименований. Приложения содержат описание методологии принятия решений в экономических системах по моделям, представленных векторной задачей оптимизации.

Диссертация: заключение по теме "Математические и инструментальные методы экономики", Машунин, Юрий Константинович

2). Выводы и предложения по прогнозированию и развитию экономики региона

Перечисленные выше системы управления характеризуются тремя особенностями: во-первых, она использует статистическую базу данных, которая, с одной стороны, основана на системе национальных счетов и данные, для которой представляются статистическими органами государства, а с другой, служат основой для прогнозирования развития региона; во-вторых, для обоснования принимаемых решений используется математическое моделирование, которое включает балансовые (модели Input -Output) и оптимизационные модели; в- третьих, математические модели реализованы в виде, профессионально написанного, программного обеспечения, которое опирается на обширную информационную базу данных (нармативно-справочная информация, статистическая и плановая база данных).

Именно такой подход, построенный на взаимосвязи трех основных компонентов системы управления (статистика, математические модели, информационное обеспечение, с учетом их программной реализации) лежит в основе предлагаемой системы управления регионом. Но математические модели, представленные выше, строились на однокритериальной задаче оптимизации. Нами же развивается векторная оптимизация и многоуровневая система планирования, показанная в предыдущих главах.

Итак, цель данной главы показать механизм управления регионом в условиях рыночной экономики на основе информационных и математических моделей. Механизм управления регионом осуществляется в трех уровнях:

- на нижнем уровне представлены предприятия региона, предполагается, что они функционируют в условиях рынка, т.е. могут свободно покупать продукцию, необходимую для производственного процесса, а свою продавать, при этом, получаемая прибыль, за вычетом налогов в местный и государственный бюджет, идет на воспроизводство;

-на втором уровне отрасли региона, анализируя совокупные (агрегированные) данные о производстве отраслевого товара, формируют отраслевую информацию к расчету на уровне региона;

- на третьем уровне регион, анализируя данные о всей отраслевой продукции, выпускаемой в нем, формирует свою налоговую и экономическую политику.

В качестве математической модели региона предлагается векторная задача линейного программирования, учитывающая интересы-цели отдельных производителей, отраслей и региона в целом.

Статистические данные, предназначенные для взаимосвязи с математической моделью, предлагается представлять в виде информационной модели. При передаче информации в математической модели от уровня предприятия к уровню отрасли, региону используется метод агрегации.

8.2. Прогнозирование, основные цели и задачи регионального органа управления.

Прогноз - это система научно-обоснованных представлений о будущем состоянии изучаемого объекта. Эти представления носят, как правило вероятный характер.

Региональный прогноз - это научно-обоснованные перспективы развития экономики региона, содержащие гипотезы о направлениях развития и будущем состоянии региона в целом и отдельных его составляющих. Он позволяет оценить различные варианты развития региона. При разработке региональных прогнозов выполняется научный анализ социальных, экономических и научно-технических процессов и тенденций их развития, дается оценка сложившейся ситуации и выявляются узловые проблемы хозяйственного развития региона. Результаты прогнозов служат исходным материалом для выбора целей развития на определенный период.

Функционирование каждого региона направлено на решение трех глобальных целей: наиболее полное удовлетворение материальных и духовных потребностей населения (т.е. реализация по модели Маслоу первой и второй потребности - физиологической и безопасности); производство продукции общероссийского назначения; выполнение природоохранных мероприятий на каждом технологическом производстве с целью сохранения природы в первоначальном состоянии [90].

Для реализации поставленных целей необходима информация о будущих тенденциях развития региона, т.е. региональный прогноз, который включает следующие основные виды прогнозов: демографические прогнозы (численность и структура населения, трудовые ресурсы); прогнозы развития и добычи природных ресурсов; прогнозы развития науки и техники региона.

На основании этих данных даются экономические прогнозы динамики развития производства, и их агрегированные оценки.

При реализации сформулированные раннее глобальные цели (оценки) развития региона разделяются на ряд подцелей, которые по своей сути представляют решение крупных комплексов задач.

В соответствии с первой глобальной целью - наиболее полное удовлетворение материальных и духовных потребностей населения региона - решаются следующие комплексы задач: обеспечение населения продовольствием; обеспечение населения товарами народного потребления; обеспечение жильем каждую семью региона; развитие социальной инфраструктуры для реализации потребностей населения в медицинском, коммунальном и бытовом обеспечении; обеспечение надлежащего уровня образования и культуры населения. Попутно должны решаться задачи повышения качества выпускаемой продукции и снижения ее себестоимости.

Вторая цель связана с общегосударственными интересами.

В соответствии с третьей целью - выполнение природоохранных мероприятий - решаются следующие комплексы задач: разработка и внедрение ресурсосберегающих технологий; более глубокая переработка природных ископаемых региона, в том числе вторичная переработка отходов, накопленных в местах добычи полезных ископаемых региона; необходимо, чтобы воздействие вновь начинаемых производств (строек) на окружающую среду было незначительным, т.е. такие производства должны учитывать затраты на все природоохранные мероприятия; решать задачи по охране окружающей среды от загрязнений ее существующими предприятиями.

Перечисленные выше задачи решаются администрацией региона не впрямую, а за счет создания благоприятных экономических и налоговых условий.

В настоящий момент подготовка прогноза идет в соответствии со сценарными условиями функционирования экономики страны. Сценарные условия содержат общую характеристику современной социально-экономической ситуации; варианты сценариев социально-экономического развития РФ на предстоящий год, которые описывают два разных направления развития страны в прогнозируемом году: один предполагает полную реализацию поставленных задач, исключая возможность возникновения неблагоприятных факторов, другой вариант предполагает воздействие факторов, которые могут замедлить выход на целевые ориентиры в установленные сроки.

К проекту сценарных условий функционирования экономики России прилагаются предварительные, исходные основные макроэкономические показатели, которые служат ориентиром при сопоставлении прогноза развития экономики региона, а также два варианта прогноза динамики индексов дефляторов цен. Данные первого варианта прогноза индексов дефлятора используются при расчете показателей первого варианта прогноза развития региона. Данные второго прогноза используются в качестве ориентиров при исчислении второго варианта прогноза развития региона.

При таком подходе полностью отсутствуют целевые характеристики индивидуального региона и его отраслей, а также их сбалансированность с финансовыми и ресурсными затратами на развитие региона. В связи с этим для решения задач, связанных с прогнозом развития региона, предлагается математическая модель в виде векторной задачи линейного программирования.

8.3. Анализ межотраслевого баланса (На примере Приморского края)

Для моделирования развития экономики региона (на примере Приморского края) используем модели межотраслевых материальных связей. Эти модели характеризуют материальные и ценностные межотраслевые связи в экономике региона. Данные о межотраслевых материальных связях являются информационной базой для математического моделирования. В ходе экономического моделирования решались следующие задачи:

1. Рассчитывался межотраслевой баланс Приморского края за 2003 г. по данным статистической отчетности;

2. В соответствии с основными соотношениями и свойствами модели рассчитывались матрица прямых и полных затрат, а по ограничениям имеющихся трудовых ресурсов - коэффициенты полных трудовых затрат;

3. Проведен анализ взаимосвязей выпусков, производственных ресурсов и конечного спроса в крае и представлены типовые задачи прогнозирования;

4. На основании расчетов была построена и проанализирована модель межотраслевых зависимостей цен и добавленной стоимости, с изучением межотраслевых зависимостей конечного спроса и добавленной стоимости;

5. Был проведен анализ межотраслевой модели с открытыми внешними связями и изучено их влияние на экономику Приморского края.

6. Проведен расчет межотраслевой модели, представленной в виде оптимизационной задачи [19].

7. Проведен расчет межотраслевой модели, представленной в виде векторной задачи математического программирования, методы решения которой представлены в первой части [69, 72, 80, 82, 91, 92, 96, 97].

8.3.1. Характеристика межотраслевого баланса

Базой для модельных построений будет служить межотраслевой баланс экономики Приморского края за 2003 год. Прежде чем приступить к построению модели дадим краткую информационную характеристику и математическую постановку межотраслевого баланса экономики региона. [19, 96, 97].

Межотраслевой баланс в концепции системы национальных счетов Щ- (МОБ СНС) - важный вид балансовых построений. Являясь дальнейшим развитием и детализацией счета производства и счета образования доходов СНС, МОБ СНС - информационно-методологическая база анализа взаимосвязей между отраслями национальной экономики, выявления важнейших экономических пропорций и структурных сдвигов.

Схема МОБ СНС отвечает известной открытой статистической модели, в которой выделяются три основные части (квадранты) внутренний квадрант (I), боковое крыло (II), нижнее крыло (III). Первый квадрант характеризует взаимосвязи отраслей и одновременно промежуточное потребление, во втором квадранте отражается конечное использование валового внутреннего продукта (ВВП), в третьем квадранте показан стоимостной состав ВВП.

В первом квадранте, который представляет собой "шахматную таблицу", I отражается промежуточное потребление, которое охватывает как отрасли материального производства, так и отрасли сферы нематериальных услуг. Раскрываются взаимосвязи между отраслями, именно поэтому первый квадрант считается основным в МОБ.

В колонках по каждой отрасли экономики, выделяемой в МОБ, представлены затраты на производство продукции (сырье, материалы, топливо, энергия и т. д.) по группам "чистых" отраслей.

По строкам показывается, как распределяется продукция каждой отрасли между всеми отраслями. Практический расчет показателей первого квадранта заключается в определении состава затрат на производство продукции по каждой отрасли экономики (колонке), выделяемой в номенклатуре МОБ СНС. Строки первого квадранта (распределение продукции) формируются автоматически после заполнения колонок этого квадранта.

Информационной базой для расчета структуры промежуточного потребления отраслей материального производства являются данные формы № 5-а (в промышленности и строительстве) или формы 8-АПК (в сельском хозяйстве) обследований, бюджетов домашних хозяйств, других единовременных обследований затрат, расчеты объемов покупок товаров, используемых населением на производственные нужды. Для отраслей нематериальных услуг промежуточное потребление определяется по данным статистики государственного бюджета, бухгалтерской и статистической отчетности финансово-кредитных органов, специализированных отраслевых отчетов, годовых бухгалтерских балансов.

В математическом плане первый квадрант представляет собой матрицу, состоящую из N строк и N столбцов, включающих информацию по отраслям народного хозяйства. На пересечении i-й строки и j-ro столбца стоит величина x,j, которая показывает, с одной стороны, текущие затраты продукции i-ой отрасли на выпуск j-ой отрасли, а, с другой, выпуск i-ой отрасли на выпуск j-ой отрасли. Предполагая линейную зависимость между затратами i-ой отрасли и объемом производства j-ой отрасли, получаем: хч = a,jXj, (8.3.1) где Xj- объем производства j-ой отрасли; аи - коэффициент пропорциональности.

Параметр ау>0 - это коэффициент прямых затрат продукции i-ой отрасли на производство единицы продукции j-ой отрасли. Эти коэффициенты в совокупности образуют квадратную матрицу N-ro порядка. А = {a,j, i, j =T7n >. n

Итог первого раздела по i-й строке Z a.jXj характеризует суммарное

7=1 производственное потребление продукции i-й отрасли другими отраслями, N итог по j-му столбцу ^ ayXj представляет сумму текущих производственных

1=1 затрат j-й отрасли. Общий итог первого раздела, равный сумме ПРОИЗВОДИЛА N венных затрат всех отраслей Z Z a,jXj или сумме производственного по

Л .=1 N n требления всех отраслей Z a,jXj, есть промежуточный продукт народ

1-1 ного потребления: n N N n

Е Z auxJ =Z Z auxJ' (8-3-2)

7-1 1=1 1=1 7-1

Второй квадрант межотраслевого баланса отражает конечное использование (конечный спрос) валового внутреннего продукта (ВВП) в комбинационной группировке - по видам (или направлениям) конечного использования и материально-вещественному составу. По видам конечного использования выделяются показатели конечного потребления, валового накопления и экспорта. Обозначим 1 - индекс вида (направления) конечного спроса 1 =1,L, L -множество видов.

Конечное потребление группируется по принципу "кто финансирует расходы" и включает: расходы на конечное потребление домашних хозяйств; расходы на конечное потребление общего государственного управления; расходы на конечное потребление некоммерческих организаций, обслуживающих домашние хозяйства.

Источниками информации для расчетов расходов на конечное потребление домашних хозяйств являются данные о товарообороте, а также данные обследований бюджетов домашних хозяйств, показатели баланса денежных доходов и расходов населения.

Основной источник информации, используемый при определении расходов на конечное потребление учреждений общего государственного управления, - госбюджет (данные об исполнении федерального и территориального бюджетов); по расчетам расходов на конечное потребление некоммерческих организаций, обслуживающих домашние хозяйства, отраслевая специализированная бухгалтерская и статистическая отчетность.

Показатели валового накопления - следующее важнейшее направление конечного использования валового внутреннего продукта. Также правильно говорить о валовом накоплении как о ресурсах данного года. Главные из них - валовое накопление основного капитала; изменение запасов материальных оборотных средств; чистое приобретение ценностей.

Валовое накопление основного капитала определяется на валовой основе, т.е. до вычета потребления основного капитала (однако выбытие основных фондов учитывается). Валовое накопление основного капитала охватывает прежде всего капитальные вложения, т.е. затраты по воспроизводству основных фондов, рассматриваемые в капитальных вложениях. Исходная информационная база расчетов валового накопления основного капитала -статистика капитального строительства, статистика основных фондов и ведомственная статистика.

В составе изменения запасов материальных оборотных средств учитывается прирост (или уменьшение): производственных запасов, незавершенного производства, готовой продукции у производителей, товаров для перепродажи у предприятий торговли, заготовок, материально-технического снабжения, государственного материального резерва. Достаточно сложной методологической и информационной проблемой является оценка отдельных компонентов изменения запасов материальных оборотных средств. Полная информация о запасах материальных оборотных средств может быть получена только на основании единовременного обследования отраслей экономики. Для ориентировочных оценок можно использовать разработки данных о нормируемых материальных оборотных средствах по их видам в разрезе отраслей промышленности. Используются также натуральные балансы и экспертные оценки. y,i - конечный спрос i-ой отрасли 1-ого вида использования. В совокупности: Y={y,={yli, 1 =1,L}, i=l,N }.

Объединяя первый и второй квадрат поучим балансовые уравнения: п х. = X a.jXj + у„ i= 1,N, (8.3.3) j-i

Эти N - уравнений, записанные в матричной форме, представляют уравнения Леоньтьева:

X = АХ + Y или (I - А)Х = Y, (8.3.4) где X = (Xj, j= 1,N} - вектор-столбец валовых выпусков; Y={y„ i=l,N} -вектор-столбец конечной продукции; I - единичная матрица.

Третий квадрант МОЕ СНС отражает стоимостной состав компонентов валового внутреннего продукта (ВВП). Он показывает распределение по отраслям первичных доходов, полученных институционными единицами-резидентами в результате непосредственного участия в процессе производства. Первичные доходы - это доходы, получаемые институционными единицами в результате их участия в процессе производства (оплата труда, налоги на производство и импорт, прибыль, смешанные доходы) или владения активами (доходы от собственности), которые могут быть использованы в производстве. В совокупности они (доходы) представляют собой валовую добавленную стоимость (ВДС), создаваемая в производстве.

Система уравнений цен в общем виде выводится из соотношений межотраслевого баланса по вертикали, т. е. из взаимосвязи первого и третьего квадрата.

По каждой отрасли имеется баланс выпуска и затрат: л

X xy + Zj,j = 1,N, (8.3.4) i где Zj - величина валовой добавленной стоимости (ВДС) j-ой отрасли. Допуская, что "физические" величины выпусков и затрат имеют по каждой отрасли единую цену, введем дополнительные обозначения: q, - выпуск j-ой отрасли в физическом выражении; qy - затраты продукции i-ой отрасли на выпуск продукции j-ой отрасли в физическом выражении (qtJ = a^q,); г, - коэффициент ВДС в цене продукции j-ой отрасли; р, - цена единицы продукции j-ой отрасли. Преобразуем выражение (8.3.4): п

Pj4) = X Pi(aij4u) + ГД| J = 1>N, 1 п

Pj= X Р>аи + Г)' j = !'N. (8.3.5) i

Разделив обе части на q,, получим систему уравнений цен: р = рА + г или р(1-А) = г. (8.3.6)

Информационная база расчетов по третьему квадранту МОБ - единовременные обследования структуры затрат; текущая статистика - статистика издержек производства и заработной платы, финансовая и банковская статистика, статистика государственного бюджета.

Данные, содержащиеся в межотраслевом балансе, являются информационной базой математических моделей, характеризующих материальные и ценностные межотраслевые связи в экономике региона. Покажем указанные взаимосвязи для региона на примере экономики Приморского края

Исходными данными для построения межотраслевого баланса являются данные Госкомстата России.

8.3.2. Межотраслевой баланс Приморского края

Межотраслевой баланс экономики Приморского края за 2003 год представлен в разрезе трех групп агрегированных отраслей (или секторов): "Добыча", "Готовая продукция", "Услуги" (табл. 8.1). Сектор "Добыча" включает следующие отрасли: электроэнергетика; угольная промышленность; черная металлургия; цветная металлургия; горнохимическая промышленность; лесное хозяйство; рыбное хозяйство.

Сектор "Готовая продукция" включает отрасли: машиностроение и металлообработка; деревообрабатывающая и целлюлозно-бумажная промышленность; промышленность строительных материалов; легкая промышленность; пищевая промышленность; сельское хозяйство.

Сектор "Услуги" включает отрасли: транспорт; связь; строительство; торговля; общественное питание; материально-техническое снабжение и сбыт; информационно-вычислительное обслуживание; операции с недвижимым имуществом; общая коммерческая деятельность по обеспечению функционирования рынка; жилищное хозяйство; коммунальное хозяйство и бытовое обслуживание; здравоохранение; физическая культура; социальное обеспечение; образование; культура и искусство; наука и научное обслуживание; финансы, кредит, страхование и пенсионное обеспечение; управление; геология и разведка недр, геодезическая и гидрометеорологическая служба.

Заключение.

Проблема векторной оптимизации относится к числу наиболее важных теоретических и прикладных оптимизационных проблем современной математики.

Актуальность этой проблемы состоит в том, что в большинстве моделей экономических и технических систем целенаправленность характеризуется многими показателями качества и решение определяется по всей совокупности критериев. Решение проблемы векторной оптимизации относится к числу фундаментальных и весьма сложных проблем математики и в прикладном аспекте теории управления и моделирования экономических систем.

В настоящей работе на основе ретроспективного анализа векторной оптимизации и ее приложения в экономическом моделировании, выполнен цикл исследований, направленных на создание теоретических основ векторной оптимизации и конструктивных методов решения векторных задач, и их использования при создании моделей рынка и экономических систем, а также моделирования их развития.

Основные научные и практические результаты работы состоят в следующем:

1. Созданы теоретические основы решения задач векторной оптимизации базирующиеся в отличие от раннее разработанных подходов к решению векторных задач на нормализации критериев и принципе гарантированного результата, что позволило сформулировать понятия равенства, равнозначности и приоритета критерия в векторных задачах. Выведен принцип оптимальности для решения векторных задач при равнозначных критериях и при заданном приоритете критерия. Это позволило с единых методологических позиций рассматривать класс векторных задач математического (выпуклого) программирования и формировать методы их решения.

2. Разработаны и апробированы методы решения векторных задач математического программирования (ВЗМП) с равнозначными критериями и с заданным приоритетом критерия, в котором выбор точки из множества точек, оптимальных Парето, осуществляется с точностью, обусловленной линейной аппроксимацией действительного изменения приоритетного критерия. Доказан ряд теоретических результатов, связанных с методами решения ВЗМП. Исследована проблема двойственности векторных задач линейного программирования.

3. Создана и апробирована на тестовых примерах методология построения математической модели рынка и проведено моделирование его развития, при этом выполнены задачи:: построения математической модели одно-продуктового рынка; моделирование развития одно-продуктового рынка на примере рынка с двумя производителями и двумя потребителями.

4. Построены модели и проведено моделирование развития рыночных структур: совершенной конкуренции, олигополии, а также моделирование развития рынка с учетом импортных и экспортных операций.

5. Построена и апробирована общая математическая модель рынка. Основной результат - новый подход к математическому моделированию сложных экономических систем, коим и является модель рынка. Такой подход показал принципиальную возможность вести: во-первых, системный анализ и синтез каждой подсистемы (участников рынка - всех производителей и потребителей) с учетом целенаправленности каждого из них; во-вторых, учитывать ресурсные возможности, как производителей, так и бюджетные ограничения потребителей; в- третьих, учитывать внутренние и внешние взаимосвязи в совместном функционировании; в-четвертых, учитывать системные требованиями - баланс спроса и предложения, а также определения равновесной цены. Методология моделирования рынка показана на решении ряда практических задач, представленных векторными задачами.

6. Разработана методология построения и моделирования сложных многоуровневых экономических систем управления с учетом централизации и децентрализации. Разработаны композиционные и декомпозиционные методы в задачах анализа и синтеза сложных экономических систем. На их основе при переходе от одного уровня иерархической экономической системы к другому построена методика агрегации информации.

7. Выполнена и апробирована методология моделирования развития региона. При построении модели региона использован межотраслевой баланс и векторная оптимизация. Решение осуществлялось на базе разработанных методов решения векторных задач.

8. На основе выполненных теоретических исследований разработаны программные средства, реализующие методы решения векторных задач при равнозначных критериях и заданном приоритете критерия. Приоритет критерия задается в диалоговом режиме в виде вектора приоритетов критерия или в натуральных единицах, в последнем случае точность выбора точки определяется линейной аппроксимацией приоритетного критерия. Таким образом, выполняется человеко-машинная процедура принятия решений по моделям, представленными векторными задачами. Программные средства реализуют процедуру оптимального распределения ресурсов в экономической системе по ее отдельным локальным подсистемам. Программные средства позволяют формировать годовые - пятилетние планы развития предприятий отраслей с учетом интенсификации производства, производства продукция на экспорт. На основе разработанных методов и программных средств решен ряд важных, практических задач, имеющих народнохозяйственное значение.

Полученные научные результаты диссертационных исследований (Теоретические основы, методы, модели и приложения) представляют решение крупной научной проблемы, имеющей важное народохозяйственное значение.