Исследование поведения экономических систем,находящихся под воздействием случайныхфакторов тема диссертации по экономике, полный текст автореферата

Автореферат диссертации по теме "Исследование поведения экономических систем,находящихся под воздействием случайныхфакторов"

МЕЖДУНАРОДНАЯ АКАДЕМИЯ ИНФОРМАТИЗАЦИИ в Генеральном Консультативном Статусе ООН и Всемирного Информациологического Парламента

На правах рукописи

УДК 519.6

Качур Виталий Иванович

Исследование поведения экономических систем, находящихся под воздействием случайных факторов

Специальность 08.00.05 - Экономика и управление народным хозяйством (теория управления экономическими системами)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации в виде научного доклада на соискание учёной степени кандидата экономических наук

Москва - 2000

Работа выполнена в Международной Академии информатизации

Официальные оппоненты:

доктор экономических наук, профессор, действительный член Международной Академии информатизации Дорофеев В. И.

кандидат технических наук, член-корреспондент Международной Академии информатизации Аванесян Г. Р.

Ведущая организация:

Московский институт информациологии

Защита состоится 25 октября 2000 г. на заседании диссертационного совета МАИ по адресу Москва, ул. Антонова-Овсеенко, д. 13.

Диссертация в виде научного доклада разослана 25 сентября 2000 г.

Введение

Современная экономическая система представляет собой сложную совокупность взаимодействующих элементов, каждый из которых также может рассматриваться с системных позиций. С другой стороны, важнейшим свойством любой экономической системы является её целостность, требующая рассмотрения всего комплекса внутренних взаимосвязей в рамках решаемых задач. Это делает необходимым внедрение в экономический анализ современных методов исследований, основанных на аналитических приёмах и в прикладной экономике почти не встречающихся. Целесообразность сугубо теоретического исследования экономических систем связана с тем, что многие нынешние явления экономического характера не поддаются описанию и объяснению типичными для прикладной экономики способами. Традиционно применяемые в экономике несложные математические приёмы способны адекватно отобразить течение лишь тех экономических процессов, которые происходят в условиях строгой линейности взаимосвязей и детерминированности параметров. Причём зачастую предполагается, что параметры, определяющие течение экономических процессов, вообще не меняются - это значительно упрощает анализ. Разумеется, что при таком подходе результат будет получен сильно приближённым и зависящим от случая, так как из анализа заведомо исключаются те факторы, которые в конкретных ситуациях играют роль процессообразующих. Кроме того становится невозможным отследить механизм функционирования совокупности объектов как целостной системы.

Повышение эффективности анализа экономических систем, главным образом, возможно за счёт формализованного описания внутренних экономических механизмов таким образом, чтобы строящаяся модель максимально близко могла бы подойти к действительности. В данном случае речь идёт о тех реальных условиях, которые формируют характер поведения экономической системы как элемента, взаимодействующего с внешней средой. При этом становится ясно, что исследование

экономических систем нельзя проводить в условиях абсолютной детерминированности, так как невозможно строго описать все воздействия извне и учесть всевозможные реакции внутри самой системы. По этой причине анализ следует проводить теоретико-вероятностными методами, выявляя закономерности поведения систем на уровне статистических характеристик.

Цель диссертации

Целью настоящей работы является исследование поведения экономических систем методами, позволяющими максимально учесть реальный характер функционирования, в условиях, когда происходит непрерывное взаимодействие с внешней средой, вносящей факторы случайности.

Научная новизна диссертации

Научная новизна диссертации состоит в том, что на основе сугубо теоретического анализа поведения экономических систем с учётом внешних воздействий случайного характера:

- построена модель стохастической экономической системы, позволяющая проводить как прямое описание системы, так и косвенное, соответственно путём установления взаимосвязей как непосредственно между входными и выходными процессами, так и между их характеристиками;

- установлены три типа стохастических экономических систем, отражающих в различной мере реальные ситуации и позволяющие адаптироваться к решениям различных задач.

Практическая ценность работы

Научные результаты диссертации могут быть использованы для анализа функционирования предприятий различного профиля деятельности независимо от их масштабов и степени интегрированности с другими структурами. При этом подход, реализованный в настоящей работе, призван учесть, несмотря на всю сложность, влияние внешних факторов недетерминированного характера на течение экономических процессов.

Случайные и детерминированные процессы в экономике

Изучение экономических механизмов различными исследователями в разное время приводило к выводу о том, что отклонение теоретических результатов от реально полученных следует объяснять как наличие хаотичности в экономике. Конечно, нельзя считать хаос как нечто доминирующее и не поддающееся изучению. Под хаосом в экономике будем подразумевать всего лишь составляющую случайности в экономическом процессе. Вторая составляющая является детерминированной частью. Показывая зависимость некоторого результирующего экономического показателя у от времени, вышеприведённое утверждение запишем в виде:

y(t) = x(t) + n(t).

В приведённом выражении у(t) - есть результирующий процесс, образованный как алгебраическая сумма детерминированного процесса x(t) и случайного n(t). Разумеется, результат у(t) будет также процессом случайным.

Важным моментом для экономического анализа является соотношение детерминированной x(t) и случайной n(t) составляющих. В зависимости от долей каждой из них решение задачи может носить как детерминированный характер, так и статистический. Сугубо детерминированный подход оказывается оправданным в тех случаях, когда флуктуации имеют малую интенсивность, либо они происходят со скоростью, сильно отличающейся от скорости течения детерминированной составляющей х(t). Однако и здесь следует исходить из ряда ограничений, накладываемых на такого рода допущения. Суть этих ограничений состоит в следующем.

Механизм функционирования экономической системы может оказаться таким, что даже малые колебания случайного характера относительно некоторого среднего могут привести к

переводу системы из одного состояния в другое. Это относится к экономическим системам нелинейного характера, которые, к сожалению, изучаться начали только в последние десятилетия. Причём рядом авторов показано, что нелинейные экономические системы под влиянием случайных факторов могут потерять динамическую устойчивость - выйти из состояния равновесия. Поэтому неустойчивые динамические системы в свете рассматриваемых выше допущений являются одним из ограничений. Кроме того другим ограничением, связанным также с нелинейными экономическими системами, является факт того, что возможны ситуации, когда малые незапланированные динамические возмущения могут привести к структурным изменениям в системе. Такие процессы в настоящее время изучают специалисты по синергетической экономике.

Как видим, даже при условии малой интенсивности случайной составляющей п(I) есть случаи, когда проводить чисто детерминированный анализ, не принимая во внимание другие компоненты, было бы грубой ошибкой.

Вторая причина, по которой допускается не учитывать наличие хаоса п(0, это, как уже указывалось, различие в динамических параметрах - разные временные масштабы. Действительно, любая экономическая система, как система динамическая, безусловно, обладает характеристиками временного типа. Эти характеристики описывают поведение системы во временной области, и если попытаться показать их прикладное значение, то, в качестве простого для понимания примера, можно сказать, что временные характеристики системы показывают, как система реагирует на возмущения извне, отличающиеся скоростью течения. В зависимости от своих скоростных свойств тот или иной внешний процесс вызовет определённую реакцию экономической системы, зависящую от её инерционных свойств. Таким образом, если частотный спектр внешних флуктуаций лежит за пределами полосы частот, в границах которых экономическая система способна функционировать, то

наличием случайной составляющей можно смело пренебречь.

К сожалению, последний случай, который так легко позволяет перейти к детерминированному описанию, не является типичным для реальной экономики, и характер массы экономических процессов приходится считать случайным. Например, экономическая деятельность сельскохозяйственного комплекса никак не может быть описана в рамках детерминированного подхода, поскольку результат его действия зависит в значительной степени от погодных явлений, включая штормы, ураганы, землетрясения, наводнения, пожары и др.

Возникает вполне резонный вопрос: нельзя ли привести экономический процесс к детерминированному виду, заранее изучив механизм его формирования и собрав данные о возможных внешних возмущениях? Теоретически это сделать можно, но понадобится сложнейший аналитический аппарат, которого на сегодняшний день, насколько нам понятно, не существует ни в одной из областей науки. Речь в таком случае должна идти о реализации принципа физического детерминизма, суть которого достаточно исчерпывающе сформулировал Пьер Симон Лаплас: «Разум, который в каждый заданный момент времени знал бы все движущие силы природы, так же как и относительное положение всех составляющих её элементов, и вдобавок был бы столь всеобъемлющим, чтобы подвергнуть анализу эти данные, мог бы выразить единым соотношением как движение величайших тел мира, так и движение мельчайших атомов: ничто не осталось бы для него неизвестным, и он мог бы обозреть одним взглядом как будущее, так и прошлое». Принцип физического детерминизма по лапласовскому определению базируется на понятии единой замкнутой системы в виде вселенной. В таком понимании единой системы заложены априорные знания всех переменных в любой момент времени и связи, формирующие единую систему. Разумеется, что современная экономическая теория занимается изучением только экономических систем и не способна, равно как и другие приклад-

ные теории, охватить всю массу явлений глобального масштаба, влияющих в итоге на решение экономических задач. Поэтому наиболее эффективным и признан подход, основанный на вероятностных мерах. Подход, основанный на предположениях, полученных путём анализа прошлой статистики и свойств изучаемого объекта.

В свете изложенного экономическую систему правомерно считать системой стохастической, когда реакцию системы целесообразно описывать в виде средних результатов или других вероятностных закономерностей.

Модель стохастической экономической системы

Системный подход в экономике позволяет исследовать предмет (объект) экономической деятельности в предположении, что он является единым целым (условие целостности системы), а у его составляющих нет свойств, присущих ему самому. В этом заложена особенность исследований с системных позиций. Нет необходимости вдаваться в изучение принципа действия отдельных элементов системы, достаточно изучить поведение системы по наблюдениям её входных и выходных воздействий. То есть экономическую систему целесообразно рассматривать как «чёрный ящик», реагирующий характерным образом на входные воздействия. В качестве примера, если описывается производственный комплекс, можно показать, что входными воздействиями являются сырьевые продукты и монтажные работы, а результатом являются продукты конечного потребления, выраженные, например, в бытовых изделиях.

Если известна характеристика экономической системы, то выходной результат может быть определён по входному воздействию. Математически это описывают путём использования отображений (оператора, функционала, функции), по сути являющимися однозначными соотношениями между входными и выходными переменными. Такой подход верен до тех пор, пока речь идёт о детерминированных экономических системах. Однако, насколько нам известно, детерминированные экономические системы являются идеализацией, хотя и позволяют решать задачи ограниченного спектра. В реальной же экономической практике приходится учитывать влияние случайных факторов не только на формирование внешних воздействий (входного продукта), но и на функционирование механизма самой системы. Кроме того, случайные процессы могут зарождаться внутри самой экономической системы и влиять на её поведение даже вне зависимости от того, детерминированным или недетерминированным является входной процесс. По указан-

ным причинам однозначность детерминированного отображения нарушается и речь может идти только о стохастическом отображении. Экономические системы, у которых отображение входного состояния на выходное не является детерминированным, будем называть стохастическими экономическими системами.

Исходя из условий и причин формирования стохастических отображений, рассмотрим допустимые и возможные в реальности типы стохастических экономических систем:

- если характеристика системы детерминирована, а входной процесс стохастический, то, следовательно, и выходной процесс будет стохастическим, а сама экономическая система будет считаться детерминированной, но находящейся под стохастическим воздействием;

- если характеристика системы изменяется случайным образом, а процесс на входе детерминированный, то процесс на выходе будет стохастическим, а система будет считаться экономической системой со стохастическим поведением, находящаяся под воздействием детерминированных процессов;

- если характеристика системы и входной процесс меняются случайным образом, то имеем экономическую систему со стохастическим поведением под стохастическим воздействием.

Строго говоря, из приведённых трёх типов стохастических систем максимально приближена к реальным экономическим системам система последнего типа. Однако довольно часто характеристики системы в пределах того интервала времени, в течение которого проводят исследования, можно считать постоянными. Поэтому на практике достаточно часто вполне обоснованно можно применять первую модель стохастической экономической системы.

Перейдём далее к формализованному описанию стохастических экономических систем. Возможны два способа - прямой и косвенный.

Прямое описание стохастических экономических систем предусматривает установление связи между выходными и входными переменными в форме функциональной связи. При этом в получаемых математических выражениях используются сами значения входных и выходных переменных.

Для систем с детерминированными параметрами, но случайным входным воздействием, эта связь имеет вид:

У(0 =f[x(t)],

где у(t) и x(t) - выходной и входной случайные процессы соответственно.

В том случае, если характеристика системы меняется случайным образом, то следует ввести ещё и случайную величину v(t), зависящую от времени и отражающую случайный характер параметров системы:

У(0 =f[x(t), v(t)].

При описании экономических систем прямым способом в предположении, что входной процесс детерминирован, а параметры системы меняются, в качестве моделирующего инструмента выберем дифференциальные уравнения вида:

d"y/df + ап1 d "-'y/dr1 + ... aJ dy/dt + a у = bmcfnx/dtm + ... +btdx/dt + bjc.

Если в приведённом уравнении хотя бы один коэффициент а. = а.(t) зависит от времени, то можно считать, что дифференциальное уравнение описывает экономическую систему с переменными параметрами - параметрами, зависящими от времени. При этом в случае детерминированного воздействия х(t) задача сводится к решению этого уравнения как уравнения с переменными параметрами. Однако здесь возникают слож-

ности, поскольку в общем виде известно лишь решение уравнения первого порядка:

а1 с1у/Ж + аГ)у = х( Г)

Для уравнений более высокого порядка универсальных методов не существует, что связано с трудностью отыскания линейно независимых решений у{г). Некоторые из этих решений найдены - они относятся к уравнениям Бесселя, Матье, Лежандра, Лагерра, Вебера и Эйри.

Можно решить линейные дифференциальные уравнения с переменными параметрами ещё и с помощью преобразований Лапласа. Но и здесь возникает сложность, связанная с тем, что уравнения в области изображения не являются алгебраическими.

Прежде чем продолжать изучение экономических систем с переменными параметрами, сделаем важное отступление, результаты которого будут использованы для дальнейшего изложения материала диссертации.

Введём в качестве характеристики экономических систем некоторую функцию g(t,t0), под которой будем понимать реакцию системы на дельта-функцию 5(7-го), прилагаемую ко входу системы при нулевых начальных условиях и в момент времени 10. По реакции экономической системы на введённое нами стандартизованное воздействие можно судить о

динамических характеристиках системы. Таким образом, функция g(по праву может считаться обобщённой динамической характеристикой системы, которую в курсе общей кибернетики называют импульсной характеристикой системы. По известной импульсной характеристике при помощи интеграла свёртки легко получить выходной процесс системы как реакцию на входное воздействием^:

у(0= ГхфМ*, в) ¿е.

Поскольку нас интересуют только реальные, физически реализуемые системы, когда входное воздействие х(г) поступает на вход системы в момент времени 1=1 0, а не при I = то приведённое выше выражение следует переписать в виде

уи) = у

Кроме того, если учесть, что в частном случае в экономических системах с постоянными параметрами импульсная характеристика системы является лишь функцией от разности моментов времени т = Г - /0, где t - текущее время, а /0-момент приложения воздействия, то зависимость реакции системы от входного воздействия можно показать в виде

у(0 = ^ 'х(х)8(1 -Т) ¿1= у- <° Х{1 -X) £ Шт.

Используя преобразование Лапласа, введём такой важный параметр системы как передаточная функция, представляющая собой отношение выходного и входного процессов, преобразованных по Лапласу, при нулевых начальных условиях:

к(я) = у($)/х(я),

где ^ = а + у'со (а) - циклическая частота).

В форме преобразований Лапласа вышеприведённое выражение, содержащее интеграл свёртки, принимает вид

у(я) = х(5) 0Г ехр(-ят) g (т)дх,

откуда следует, что передаточная функция системы является преобразованием Лапласа от импульсной характеристики g {%):

k(s) = L(g (x)) = Jexp(-sx) g (x)dx.

Вернёмся теперь к экономическим системам с переменными параметрами. Передаточная функция такой системы с учётом введённых нами характеристик будет выглядеть так

у(t) = ехр(st) к(s, t) =

exp(st)J exp(-st)g(t, t-x)dx.

Здесь полагалось, что x(t)=exp(st). Из полученного выражения видно, что передаточная функция к(s, t) представляет собой преобразование Лапласа от импульсной характеристики g{t, t-x) по переменной х.

Для систем с переменными параметрами особый интерес представляет вычисление передаточной функции k(s,t), зависящей от времени. В том случае, если параметры экономической системы меняются медленно, то можно использовать такой приближённый способ решения, как метод замораживания переменных параметров. Отметим, что под медленно изменяющимися параметрами подразумеваются такие параметры, значение которых изменяется очень незначительно за время, равное длительности основной части импульсной характеристики. Особенность этого метода заключается в том, что дифференциальные уравнения, описывающие систему, решают в предположении, что все коэффициенты являются постоянными. После решения уравнения указанные коэффициенты снова полагают переменными.

Существуют и другие способы вычисления передаточных функций систем с переменными параметрами, в частности, путём построения так называемых сопряжённых систем. Однако перейдём далее к описанию стохастических систем косвенными методами, считающимися достаточно иллюстративными и информативными, и зачастую оказывающимися един-

ственно возможными приёмами исследования стохастических систем.

Если считать, что случайные величины на выходе и входе стохастической системы связаны функциональной зависимостью вида у=/(х), то попадание случайного значения х в интервал шириной с1х и попадание случайного значения у в интервал шириной Ыу\ = \/(х)\с!х представляют собой равновероятные события:

р(х)йх = \р(у)йу\.

Следовательно, вводя обратную функцию g(y) = х, получим:

р(у)=р(х)ЫхМу\ =р(8(у))Ш8/<1у\

В том случае, если имеется несколько обратных функций х^/у), неоднозначной функциональной связи между х и у), то выражение для плотности вероятности выходного процесса будет иметь вид

р(у) = ^¡р(х.)ШхМу\, ¡=1,2,.. „К

При известной совместной плотности вероятностей р(х,у) входного и выходного процессов несложно найти плотность вероятностей входного и выходного процессов р(х) и р(у) отдельно, а также условную плотность вероятности процесса на выходе стохастической системы при заданном состоянии на входе р(у\х). Для этого следует воспользоваться известной из теории вероятностей формулой полной вероятности:

Р(у) = \ р(у\х) р(х)с!х.

Если сравнить полученную формулу с формулой, связывающей входные и выходные значения системы через им-

пульсную характеристику в интеграле свёртки, то легко увидеть некоторую аналогию, состоящую в том, что роль обобщённой характеристики системы играет уже не импульсная характеристика g(/z), а условная плотность вероятности р(у\х).

Вычисление вероятностных характеристик процессов в стохастических экономических системах

В настоящем параграфе будем рассматривать стохастические системы с постоянными параметрами, но находящиеся под воздействием входных стохастических процессов. Особый практический интерес представляет вычисление математического ожидания, корреляционной функции и спектральной плотности на выходе системы. Последние две характеристики являются интегральными параметрами, позволяющими получить комплекс информации о свойствах экономической системы и при изучении стохастических процессов в системах порой бывают единственно доступными характеристиками.

Для установления связи между математическими ожиданиями процессов на выходе ту( 1) и входе тх(системы усредним по ансамблю реализаций известное соотношение у(0 = х(1 -х) g (х)йг = У х(1 -х) g (т)с1х,

в результате чего получим

тх(0 = ^Г тр -х) g (х)(1х = J 'тр -х) g (%)с1х.

Как видим, математические ожидания входного и выходного процессов, также как и непосредственно их текущие значения, связаны между собой через импульсную характеристику стохастической системы #(х), что подчёркивает ценность и важность указанной характеристики для анализа систем, строгая внутренняя функциональная взаимосвязь у которых не известна.

Корреляционная функция выходного процесса в общем виде определяется как второй начальный момент

кр1,12) = М{у(11)у(12)} или с учётом вышеприведённого выражения для у(

кррг2) = М {_Г х(1) -т,) g (х1)с1х1 Г х(12 -т2) я (х2)с1х2} = Я (т,) £ (V М{х(7( -х^х(12 -Х2) /¿т7 ¿/т2.

Подставляя в полученное подынтегральное выражение обозначение корреляционной функции входного процесса К(1ГХ,'*2 -ъ2)=М{х(г1 -х1)х(12 -х2)},

окончательно получим

= _Г _Г я {1,) £ (х2) кр1 -%1, г2 -х2)йх1 йх2.

Отметим, что полученная формула, устанавливающая взаимосвязи путём двойного интегрирования, является общим случаем. В тех же ситуациях, когда входной процесс можно считать стационарным, вычисление корреляционной функции можно проводить по формулам, имеющим более простой вид.

Корреляционную функцию процесса на выходе стохастической системы можно определить также и по известным спектру выходного процесса и передаточной функции

системы к(со), если она определена:

к(х) = (2п)-' Г \VJco) ехр0(йх)(1а>=

}(2кУ' Г Щт)к2}т) ехрОтМо.

Передаточная функция системы к(]со) по сути устанавливает связь между выходным и входным спектрами системы:

) Л

что позволяет без труда исследовать спектральные свойства результирующего процесса на выходе экономической системы.

Как видно из последних выражений, изучение принципа функционирования экономической системы, находящейся

под воздействием случайных процессов, можно с успехом проводить, не имея в своём распоряжении ни аналитического вида функции, связывающей входные и выходные процессы, ни закона распределения входных случайных величин. При этом сравнительный анализ спектров и корреляционных функций процессов позволяет получить весьма важную информацию о динамике экономической деятельности конкретной системы и определить целесообразность формирования корректирующих управляющих факторов путём изменения параметров системы.

Заключение

Исследование поведения экономических систем как систем сложных, с развитой внутренней структурой и многофункциональными внутренними и внешними связями, показало, что в реальных условиях экономические системы должны описываться как стохастические системы. При этом ввиду сложности анализа стохастических экономических систем прямыми методами целесообразно в качестве инструмента исследования принять приёмы косвенного анализа, получая результаты на уровне таких вероятностных характеристик как математическое ожидание и корреляционная функция. Такой подход, безусловно, требует знания внутренних свойств изучаемой экономической системы. Указанную информацию можно получить , в частности, путём вычисления реакций системы на специально подобранные стандартизованные воздействия и использовать далее полученный результат для анализа отклика системы на воздействия произвольного вида.