Математическое моделирование динамики финансовых временных рядов с эффектом памяти тема диссертации по экономике, полный текст автореферата

Автореферат диссертации по теме "Математическое моделирование динамики финансовых временных рядов с эффектом памяти"

На правах рукописи

ЛАШКАРЕВ Алексей Николаевич

УДК 336.7+519.2

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ ФИНАНСОВЫХ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ С ЭФФЕКТОМ ПАМЯТИ

Специальность:

08.00.13 - Математические и инструментальные методы экономики (математические методы)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата экономических наук

Ижевск-2005

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Удмуртский государственный университет» (УдГУ).

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Летчиков А.В.

Официальные оппоненты:

доктор экономических наук, профессор Черемных Ю.Н. (Московский государственный университет);

кандидат экономических наук, профессор Горинов М.Н.

(ГОУ ВПО «Ижевский государственный технический университет»).

Ведущая организация: ГОУ ВПО «Уральский государственный экономический университет» (г. Екатеринбург).

Защита состоится 2 декабря 2005г. в 14 часов

на заседании диссертационного совета Д 212.065.05

в ИжГТУ по адресу: 426069, г. Ижевск, ул. Студенческая, 7. ауд. 1-4.

Отзыв на автореферат, заверенный гербовой печатью, просим выслать по указанному адресу в двух экземплярах.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИжГТУ.

Автореферат разослан 1 ноября 2005г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат экономических наук, доцент

О.М. Абрамова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Современный финансовый рынок является одним из наиболее ярких примеров глобализации и модернизации мировой экономики. Инфраструктура финансовых рынков представлена большим разнообразием финансовых посредников, выполняющих как брокерские, так и дилерские функции, огромным количеством биржевых и внебиржевых финансовых операций, а также широким спектром новых финансовых инструментов., позволяющих не только получать высокие доходы, но и снижать финансовые риски. В условиях быстро изменяющейся конъюнктуры финансового рынка менеджеру финансовой комлании необходимы стратегии управления, позволяющие в считанные секунды принимать решения по управлению финансовыми активами. Чтобы не действовать вслепую, участникам рынка требуются эффективные инструменты, позволяющие проводить глубокий экономический анализ финансового рынка и прогнозировать динамику его развития. Очевидно, что такого рода прогнозы должны иметь под собой определенную научную основу, сформированную из построения соответствующей математической модели финансового временного ряда. Однако в настоящее время еще рано говорить о завершенной экономико-математической теории финансового рынка, имеющей адекватные приложения к любому финансовому временному ряду. Современные методы сбора и хранения статистических данных, их обработки и анализа с применением вычислительной техники дают эмпирический материал для анализа различных концепций относительно функционирования финансовых рынков, позволяют выделять новые эффекты финансовых временных рядов, строить гипотезы относительно характера распределений цен и динамики их поведения. В связи с этим становятся актуальными научные исследования по математическому моделированию новых свойств финансовых временных рядов, продвигающие нас в развитии экономико-математической теории финансового рынка.

В среде финансистов есть достаточное количество тех, кто скептически относится к построению математических моделей финансовых временных рядов, поскольку не находят в них сколько-нибудь значимого прогноза относительно будущего движения цен на финансовом рынке. Например, известный финансист Дж. Сорос в своих работах подвергает критике гипотезу случайного блуждания, на основе которой построена известная модель Блэка-Мертона-Шоулса. Главным аргументом финансистов-скептиков против использования математического моделирования является то, что, как правило, построенные модели не дают возможности получить какой-либо прогноз о будущих ценах с достаточной надежностью. Действительно, в классической биномиальной модели с точки зрения будущего движения цены даже ее направление - вверх или вниз - определяется только с вероятностью Уг. Это все равно, что бросать монету, чтобы прогнозировать, куда пойдет цена: вверх или вниз. Понятно, что для финансового менеджера в момент спекулятивной игры на повышение или понижение данная модель не может дать каких-либо практических рекомендаций по управлению инвестиционным портфелем. Однако это не означает, что построение математической модели финансового

временного ряда не несет никакой информа1 Наоборо!,

БИБЛИОТЕКА

С-Петер

оэ

как правило, построенная модель позволяет получать описание процесса эволюции цены на другом более качественном уровне. Неудивительно, что гипотеза случайного блуждания привела к ставшей сегодня классической концепции рационально функционирующего (или эффективного) рынка. В частности, упомянутая выше модель Блэка-Мертона-Шоулса позволяет оценивать вероятностное распределение будущей цены финансового актива и его числовые характеристики. Это, в свою очередь, дает возможность рассчитать риски будущих финансовых операций и дисконтировать свои активы с учетом рассчитанного риска. Поэтому построение математических моделей финансовых временных рядов является актуальной задачей, требующей разнообразных методов ее решения.

Примерами классических моделей, получивших широкое применение в финансовой теории и финансовом менеджменте, являются модель Башелье, модель Блэка-Мертона-Шоулса и модель Кокса-Росса-Рубинштейна, в основе которых лежат, соответственно, линейное броуновское движение, геометрическое броуновское движение и геометрическое случайное блуждание. Однако, как показывает практика, существуют эмпирически подтвержденные феномены, которые не свойственны приведенным классическим моделям. Например, замечено, что при малых волатильностях финансового актива цены стремятся к тому, чтобы их рост или падение длились как можно больше, то есть сохранять направление движения. В то время как для активов с большой волатильностью характерно стремление цены повернуть движение в противоположном направлении, основанное на замедлении своего роста или падения. Все это говорит о том, что для финансовых временных рядов характерен эффект памяти, когда изменение цены зависит от величины предыдущего изменения. Поэтому является актуальным рассмотрение вероятностно-статистических моделей, описывающих эволюцию финансовых временных рядов с учетом выявленного эмпирически эффекта памяти.

Цель работы заключается в построении математических моделей финансовых временных рядов с эффектом короткой или долгой памяти, позволяющих анализировать влияние фактора памяти на динамические свойства финансового временного ряда, а также в разработке на основе построенных моделей математических методов расчета динамических показателей, повышающих точность прогноза динамики финансового временного ряда и позволяющих оценивать финансовые риски инвестиционных проектов.

Для достижения поставленной цели определены следующие задачи:

- провести статистический анализ финансовых временных рядов с целью выявления эмпирических закономерностей, подтверждающих наличие в их динамике эффекта памяти;

- построить математические модели, позволяющие адекватно учитывать в поведении ряда эффект короткой и долгой памяти, и исследовать их динамические свойства;

- выписать формулы основных вероятностных характеристик построенных случайных процессов, моделирующих эффект памяти;

- разработать и реализовать на ЭВМ на основе построенной модели методику прогнозирования будущих динамических характеристик конкретных финансовых временных рядов, обладающих эффектом короткой памяти;

- доказать возможность применения результатов построенной модели для анализа рисков управления инвестиционным портфелем на финансовых рынках.

Объектом исследования являются финансовые временные ряды - последовательности числовых данных, отражающие динамику курсов акций, фьючерсов, обменных курсов валют и биржевых индексов, а также другие временные ряды, обладающие свойством последействия.

Предметом исследования является анализ влияния различных эффектов памяти на динамические свойства и статистические характеристики наблюдаемых рядов.

Методы исследования. В ходе исследования использовались методы теории случайных процессов, стохастической финансовой математики, математической статистики, высшей алгебры, а также средства вычислительной техники и современные программные продукты.

Достоверность и обоснованность полученных в работе результатов и выводов основывается на том, что экономико-математические модели, предложенные в работе, базируются на фундаментальных положениях высшей алгебры, теории вероятностей и математической статистики. Достоверность результатов также подтверждается представительной статистикой финансовых временных рядов.

На защиту выносятся следующие основные положения:

- результаты статистического исследования финансовых временных рядов, позволяющие выявлять и классифицировать эффекты памяти;

- обобщение классической биномиальной модели, имитирующее эффект короткой памяти финансовых временных рядов;

- понятие геометрического случайного блуждания в случайной среде как случайного процесса, моделирующего эффект долгой памяти, и результаты его асимптотического исследования;

- методика расчета параметров обобщенной биномиальной модели, основанная на исследовании вспомогательного процесса случайного блуждания на цилиндре;

- формулы расчета вероятностных характеристик логарифма обобщенной биномиальной модели, полученные в результате применения метода предельной перенормировки;

- результаты применения обобщенной биномиальной модели для расчета инвестиционных рисков, к индексу РТС, цене на сырую нефть.

Научная новизна полученных результатов определяется проведенными комплексными исследованиями финансовых временных рядов и заключается в том, что:

- путем обобщения биномиальной модели построена математическая модель финансовых временных рядов, обладающих эффектом короткой памяти;

- впервые введено понятие геометрического случайного блуждания в случайной среде как процесса, моделирующего финансовый временной ряд с эффектом долгой памяти;

- разработана методика расчета вероятностных параметров обобщенной

биномиальной модели, позволяющая вычислять моменты произвольного порядка будущей цены финансового актива;

- предложен оригинальный метод предельной перенормировки случайного процесса ценообразования в обобщенной биномиальной модели, применение которого позволило получить формулы для оценки математического ожидания и дисперсии логарифма цены исследуемого финансового инструмента;

- доказана возможность применения результатов построенной обобщенной биномиальной модели для анализа рисков управления инвестиционным портфелем на финансовых рынках.

Теоретическая значимость работы заключается в том, что построенные модели позволяют определять влияние эффекта памяти на свойства финансо- \

вых временных рядов и управлять их характеристиками.

Практическая значимость работы заключается в том, что полученные результаты были применены при построении прогнозов динамики фондового рынка для анализа риска инвестирования и могут быть использованы при оценке устойчивости и управлении экономическими системами.

Разработанная методика и соответствующий программный продукт прошли опытную эксплуатацию в ЗАО «Инвестиционная компания «Финнам»» (г. Москва), что подтверждено актом внедрения.

Реализация и апробация работы. Основные положения диссертации и отдельные результаты исследования докладывались на XXXIX и ХЬ Международных конференциях «Студент и научно-технический прогресс» (г. Новосибирск, 2001г. и 2002г.), Всероссийской научно-практической конференции «Проблемы и перспективы российской экономики» (г. Пенза, 2005г.), Всероссийской научной конференции молодых ученых, аспирантов и студентов «Прикладные аспекты статистики и эконометрики» (Москва, 2005г), Седьмой научно-практической конференция преподавателей и сотрудников УдГУ, посвященной 245-летию г. Ижевска (г. Ижевск, 2005г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 работ: 2 статьи и 6 тезисов конференций.

Структура и объем диссертации. Диссертация содержит введение, 4 главы и заключение, изложенные на 103 с. машинописного текста. В работу включены 14 рис., список литературы из 105 наименований и приложение, в котором представлен акт об использовании результатов работы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ ,

Во введении обоснована актуальность темы исследования. Определены цели и задачи работы, приведена структура диссертации.

В первой главе строятся модели, учитывающие эффект памяти в поведении финансовых временных рядов.

Моделирование случайных процессов, обладающих эффектами памяти, является процедурой достаточно сложной и интересной. Во многом с «памятью» временных рядов обычно связывают наличие определенных эмпирических закономерностей, особенно если эти временные ряды являются финансовыми. Под эффектом памяти в нашем исследовании понимается свойство бу-

дущих значений или изменений динамического ряда сильно коррелировать с прошлыми значениями или изменениями.

В поведении случайного временного ряда выделено два вида зависимости от прошлого. Назовем их короткой памятью и долгой памятью. Под короткой памятью мы понимаем зависимость поведения ряда от последнего сделанного тага. Например, в случае наличия высокой инертности в поведении ряда вероятность продолжить движение в направлении предыдущего шага будет выше вероятности изменить это направление. Обратно, в некоторых случаях, когда отсутствует направленность движения, вероятность сменить направление движения будет выше, поскольку рост скорее сменится падением и наоборот. Проиллюстрировать данный эффект можно графиком автокорреляционной функции логарифмических приращений ряда почасовых наблюдений индекса Российской торговой системы 11Т81 с февраля 2001 года по октябрь 2005 года (рис.1). Поскольку объем выборки более 8000, то применением критерия значимости корреляции легко показать, что соответствующее лагу 1 значение 0,193 является статистически значимым. Гипотеза о независимости приращений отвергается.

Вместе с тем, из рисунка 2 видно, что влияние более ранних шагов пренебрежительно мало в сравнении с влиянием последнего сделанного шага, поэтому не имеет практического значения рассмотрение отдельно случая, когда на направление шага влияют и более ранние шаги.

0,2

Лаг

Рис 1 Автокорреляция логарифмических приращеняй РТС

к

0,2 0,15 0,1 4 0,05

(О

Лаг

Рис 2 Частная автокорреляция логарифмических приращений РТС

Под долгой памятью мы понимаем зависимость распределения вероятностей изменения цены от точки, в которой она находится в данный момент. Слово «долгая» отражает тот факт, что при всех последующих попаданиях цены в эту точку распределение вероятностей случайной величины изменения значения ряда останется тем же: оно в некотором смысле «запоминается» навечно. Например, из точки 500 цена уходит вверх с вероятностью 70%, вниз с вероятностью 30%; при всех последующих попаданиях в точку 500 вероятности изменений будут такими же. Неравномерность пребывания значений цены отчетливо прослеживается на гистограмме логарифма дневных наблюдений индекса РТС (рис.3).

Рис. 3 Гистограмма логарифма почасовых наблюдений РТС

Эффект долгой памяти наглядно проявляется в том, что к определенным «уровням» цена «притягивается» за счет структуры вероятностей перехода, обеспечивающих преимущественное движение цены к данному уровню.

В начале первой главы исследована биномиальная модель эволюции цены на финансовом рынке, известная также как модель Кокса-Росса-Рубинштейна. По выражению основоположника финансовой математики в России А.Н. Ширяева роль биномиальной модели в развитии финансовой математики можно сравнить со значением исследования схемы Бернулли для формирования классической теории вероятностей. Главным ее свойством является простота, что позволяет применять известные теоремы теории вероятностей и получать точные расчеты основных финансовых характеристик, таких как волатильность, цены опционов, величину страхового резерва.

Биномиальная модель эволюции цены финансового инструмента построена в следующих предположениях:

1) в начальный момент времени цена известна и является неслучайной

величиной;

2) цена изменяется только в некоторые дискретные моменты времени по прошествии очередного единичного временного отрезка;

3) в каждый такой момент времени цена может измениться либо в и раз с вероятностью р, либо в <1 раз с вероятностью ц-\-р (<1 <и, 0< р<\)\

4) изменения цены в каждый дискретный момент времени являются статистически независимыми.

Если обозначить через 5, значение цены финансового актива в момент времени ? (? = 0,1,2,...), то эволюция.цены представима в следующем виде: =£,„,-/и,. (1)

В приведенных выше предположениях последовательность коэффициентов изменений является последовательностью независимых случайных величин, принимающих два значения и и й с вероятностью р и <7 соответственно.

Из формулы (1) вытекает, что

1=1

Отсюда следует, что распределение цены финансового актива в биномиальной модели имеет следующий вид:

Р {5, = 50 и1 <Г*} = С* ■ рк - д' к, к = 0,1,... Л

где С* - биномиальные коэффициенты.

Для такой модели нетрудно рассчитать математическое ожидание и дисперсию случайного процесса эволюции цены финансового актива через параметры модели:

= V (ри + &)', 05, - ^ • {(ри2 + )'-(ри +

Введено аналогичное вспомогательное понятие логарифмической модели, в которой отличие от биномиальной модели состоит только в том, что последующие значения получаются из предыдущих добавлением случайной величины:

Щ, —'%!-] + пг,, где Й) = И с вероятностью р, = £ с вероятностью д.

Для нее также нетрудно рассчитать математическое ожидание и дисперсию:

Е& =?„+<■ {рк + дg), й!, = / • ((рИ2 + дёг)~(рИ + ге)2).

В частности, 5, = 1п Б, есть логарифмическая модель, в которой й/ = Ъ.т,.

Поскольку является суммой независимых одинаково распределенных величин, к логарифмической модели применима центральная предельная теорема. Предельная нормальность логарифмической модели влечет логнормаль-ность биномиальной модели, что позволяет значительно упростить работу по применению модели.

В диссертационной работе рассмотрено следующее обобщение биномиальной модели, позволяющее ослабить требование независимости относитель-

ных (или логарифмических) приращений процесса эволюции цены во времени. Обобщение биномиальной модели состоит в том, что последовательность {/и,} образует однородную цепь Маркова с пространством состояний из двух элементов {и, с1} и матрицей вероятностей перехода, имеющей следующий вид: 1 - Ь, если х = у-и, 1-е, еслих = у = с1, *'у Ь, если х = и, у = с1, с, если х = с1, у = и.

По выписанным формулам нетрудно увидеть, что вероятностные характеристики заданной цепи Маркова определяются двумя числовыми параметрами Ъ и с (Ь,с е[0,1]). Если считать и и <Л коэффициентами роста и падения соответственно, то введенные параметры определяют вероятности изменить направление движения для моделируемой цены. В частности, параметр с равен вероятности сделать шаг вверх после шага вниз, а параметр Ь - вероятности сделать шаг вниз после шага вверх. Следует заметить, что рассмотренная выше биномиальная модель является частным случаем такого обобщения, когда заданные параметры связаны условием: Ь + с = 1.

Для стационарности цени Маркова {/и,} распределение начального положения Р{та} положим равным стационарному распределению цепи:

р = С , рй =—-—. В работе установлено, что невырожденном случае, когда " Ь + с Ь + с

Ь-с-(\-Ь-с)фО, для 1п5, также будет применима центральная предельная теорема вследствие выполнимости условия равномерно сильного перемешивания и возрастания дисперсии. Поэтому распределение 1п5, будет стремиться к нормальному, соответственно распределение 5, будет стремиться к логнор-мальному. Установление предельного распределения в свою очередь упрощает работу с моделью.

Приведенное выше обобщение биномиальной модели основано на том, что на каждом последующем шаге изменение тм цены финансового актива имеет распределение вероятностей, зависящее от значения предыдущего изменения тя,, но не зависящее от самого значения цены актива 5,. Как уже было замечено, таким образом мы можем моделировать финансовые временные ряды, имеющие свойство сохранять или, наоборот, изменять направление изменения цены актива. С другой стороны, существует достаточное количество примеров финансовых временных рядов, когда вероятностное распределение изменения т1+1 цены финансового актива зависит от того, какое значение имеет сама цена актива Я,. В этом случае вероятности измениться вверх и вниз соответственно будут определяться некоторым числом г из множества возможных значений 5,:

Р{т,„ = = г} = р(2), Р = = г} = д(г) ^ 1 - р(г).

Так как = 5, •, последовательность случайных величин 5, образует однородную цепь Маркова с вероятностями перехода

Р{5,+1 = г • и|5, = г} = р(г), = г • = г} = ф) ^ 1 - р{х).

Таким образом, вероятностное распределение случайного процесса 5, будет полностью определяться некоторой заданной функцией р(г). Так как в этом случае вероятности перехода являются неоднородными относительно пространственного сдвига, функцию р(г) удобно интерпретировать как траекторию некоторого случайного процесса, определенного независимо от самой динамики цены финансового актива 5,. Такого рода дополнительная случайность » определяет уже более сложный случайный процесс, чем тот, которьш модели-

руется биномиальной или обобщенной биномиальной моделями.

Предположим, что 5„=1 и и-й = \. Тогда 1пи = -1п^ = й. Обозначим

х{1) = й-1 • 1п 5,. Соответственно полученный случайный процесс х(() будет це- ' лочисленной марковской цепью с начальным условием х(0) = 0 и вероятностями перехода, определяемыми по функции р(х) (х eZ) следующим образом: Р {*(/ +1) = * +1 |х(/) = х} = р(х), Р {*(* +1) = х - 1|х(0 = х)=ц(х) = \- р(х). Как видио такой процесс является простейшим случайным блужданием по целым точкам прямой, когда на каждом шаге блуждающая точка может перейти только в соседние вершины. С учетом предполагаемой случайности р(х), таким образом, случайный процесс х(/) можно считать случайным блужданием в случайной среде.

В диссертации приводится точное определение процесса случайного блуждания в случайной среде и исследованы его свойства.

По аналогии, как из обычного случайного блуждания можно получить геометрическое случайное блуждание, построенный процесс случайного блужданий в случайной среде х(!) определяет процесс , моделирующий динамику изменения цены финансового актива относительно известной начальной цены 50:

5,=ехр{й-*(0}.

Такой случайный процесс назван геометрическим случайным блужданием в случайной среде. Константа Ъ, стоящая в степени формулы, определяется волатильностью финансового актива и величиной временного промежутка, выбранного в качестве единичного шага.

Асимптотические свойства построенного процесса случайных блужданий в случайной среде при достаточно широких условиях существенно отличаются * от поведения классических случайных блужданий, когда р(х) = р, и были тща-

тельно изучены в печа-ш. Это позволяет утверждать, что распределение геометрического случайного блуждания в случайной среде также существенно отличается от классических распределений, полученных для биномиальной и обобщенной биномиальной моделей.

Приведенные в работе результаты показывают, что поведение случайных блужданий в случайных средах гораздо более разнообразно, чем поведение

классических случайных блужданий. А значит, его исследования не могут свестись к оценке математического ожидания и дисперсии и применении центральной предельной теоремы.

Вторая глава посвящена изложению разработанных алгоритмов и методов расчета вероятностных характеристик обобщенной биномиальной модели. В результате проведенных исследований получена точная формула зависимости вероятностных характеристик финансового временного ряда от параметров модели и момента времени.

Прямой расчет вероятностных параметров обобщенной биномиальной модели представляется крайне затруднительным. Для решения этой задачи был построен вспомогательный процесс - геометрическое случайное блуждание на цилиндре £ х {0,1}, являющееся цепью Маркова, где Ь = {х | х = итс1", т,п = 0,1,2,...}. Матрицу вероятностей перехода для данной цепи положим имеющей следующий вид:

1 -Ъ, если /' = у' = 1 иу = их, 1 - с, если (' = у = 0 иу = сЬс, ~ если / = 1,7 = 0 и у = сЬс, с, если I = 0,7' = 1 и у = их, 0, иначе.

По горизонтали откладывается ось Ь, по вертикали отмечается значение из множества М = {0,1}. Соответственно положение блуждающей частицы будем обозначать У = ). Пусть в начальный момент времени частица находится в точке (1,1) (с вероятностью ри), либо в точке (1,0) (с вероятностью р = \ - ри). Как и для обобщенной биномиальной модели, эти начальные вес Ь

роятности положим равными стационарным: ри

Ь+с

■Ра =

Введем матрицы Р =

величина

8,=

Е (ГДО-ЪЮ)

Ь+с

. В работе доказано, что обладает следующим свойством:

'\-Ъ с '0 0 '

, 0 =

, 0 кЬ 1-е,

в, = (Ри + ,, а поскольку по построению в0

'Р." .А;

то применением ин-

дукции получено, что

в, =(Ри + <2</)'

(

Замечено, что распределение УЛ(г) (¿-координаты) блуждающей частицы будет в точности совпадать с распределением значения цены в обобщенной биномиальной модели, в которой начальным значением является единица. Нетрудно убедиться в том, в обеих моделях по построению одинаковые начальные

значения, одинаковые пространства состояний и одинаковые вероятности перехода. Действительно, если предыдущее движение ¿-координаты блуждающей частицы было вправо, то она находится на верхней полосе, поэтому вероятность продолжить движение вправо равна 1 -Ь, вероятность сдвинуться влево равна Ъ. Аналогично, если предыдущее движение I -координаты блуждающей частицы было влево, то она находится на нижней полосе. Поэтому вероятность продолжить движение влево равна 1 - с, вероятность сдвинуться вправо равна с. Следовательно, вероятностные характеристики (в частности, математическое ожидание и дисперсия) двух этих моделей будут совпадать.

В работе вероятностные характеристики обобщенной биномиальной модели выписаны в скалярном виде путем разложения матрицы (Рг/ + <)(1) по собственным векторам.

Для краткости обозначим

(V, = й?(1 - с) + м(1 - Ь), Щ = (с/(1 - с) + и(1 - Ь))г - 4с/и(1 - Ь - с).

, 1 „

Собственные значения равны А, =--—, А, =-*—. Введем обо-

2 2 значения для сумм координат собственных векторов \, Ь^

2 ьа

2 ьл

Коэффициенты разложения вектора начальных вероятностей

Ри

.Л.

по

собственным векторам равны

. и(1-Ь)-«*(1 + + ^ ,-и(1-й) + </(1 + с) + ^2

а, = Ь-¡=—2—, а, =Ь-¡=—^—• Введем

2 (Ь + с)у[¥2 2 (Ь + с)у]Щ

функцию , зависящую от параметров модели и, и Ь, с и времени

I следующим образом: 0(и,с1,Ь,с/) = аД (А,)' + а2Д2 (Я^)'. Тогда полагая

= 5, окончательно получено, что

= в{и,с1,Ъ,с,1), О

= С(и\с1\Ь,с,()-(0(и,4,Ь,с,1))2.

Эти формулы были использованы для получения вероятностных характеристик соответствующей логарифмической модели.

Преобразуем фиксированную траекторию обобщенной биномиальной

\ I

модели (при 50 = 1) следующим образом: заменим значения и и с/ на и* и <1* соответственно, вычтем единицу и умножим все это на к:

/ Г 1 1 ^ У

к ик,ак -1 , тут к > 0 есть вспомогательная переменная

1

Если теперь взять предел при стремящемся к бесконечности к, то получим траекторию соответствующей логарифмической модели: если Б, = атс1'~т,

то lim Sj" =m\n.u + (t-m)\nd = S,.

oo

Доказано, что такое преобразование может быть применено непосредственно к формуле математического ожидания. Получены следующие результаты:

г, „ г-? с\пи + ЪШ

Ein S, =Е 5, =-1,

b + c

2bc{]-(l-b-c)')(b + c-\) + bc(b + c)(2-b-c)t

DlnS, =D5; =—--j-i\au~\ad) .

[b + c]

С учетом того, что доказана предельная нормальность логарифма обобщенной биномиальной модели, эти формулы значительно упрощают расчет доверительных интервалов для диапазона будущих значений прогнозируемого показателя.

В третьей главе приведены приложения модели. Построенная нами обобщенная биномиальная модель может применяться для анализа самых разных процессов, в которых присутствует эффект короткой памяти. В данной главе некоторые примеры приведены для частного случая b = с П а.

Как и любое другое предсказание, предсказание возможных будущих потерь не може'1 быть конкретным и абсолютно достоверным одновременно. Например, нельзя говорить «с вероятностью 100% ваши убытки при инвестировании в данный актив завтра не превысят 5%». Необходимо понимать, что чем более достоверный прогноз, тем менее он конкретный. В таком случае обычно фиксируют соотношение достоверности и конкретности заданием так называемого уровня значимости, что общепринято в статистике. Содержательным в этом смысле является утверждение «с вероятностью X за указанный период потери не превысят Y процентов». Например, утверждение «с вероятностью 99% за данный период времени ваши потери при инвестировании в данный актив не превысят 10%» несет в себе содержательный смысл и позволяет инвестору определить величину капитала, которую он готов инвестировать в данный актив. Если требуется определить, с какой вероятностью убыток не будет превышать

ЦГ+1) (;-£)'

У, то это значение находится по формуле X = 1 - | , е 20 dz. Еслитре-

1 V2 nD

бусхся определить, какой убыток не будет превышен с вероятностью X; то нужно подставить это значение в данную формулу и решить уравнение относительно У. Тут £ = е!?/-Fo, D = DS',. Формулы Е§, и D?, получены нами выше, значение So - In Sa известно. Таким образом, построена методика использования обобщенной биномиальной модели для расчета инвестиционных рисков.

Отдельно в главе рассмотрено влияние процесса глобализации и открытия границ для перемещения капиталов, обоснована применимость модели. Эффект зависимости от направления предыдущего шага присутствует на рынке капитала: большинство инвесторов ориентируется на показатели предыдущего периода. Причем очень часто логика такова: если экономика росла в предыду-

тцем периоде, значит ситуация благоприятна и в дальнейшем также будет рост. Таким образом, если фондовый индекс вырос, то в следующий момент он скорее также вырастет, поскольку приток капитала инвесторов обеспечит ему ресурсы роста. Если же индекс падает, то в следующий момент он скорее также снизится. Обратно, в случае отсутствия направленного движения, направление скорее изменится, произойдет так называемая коррекция; однако такая ситуация проявляется реже. Значит, вероятность изменения направления а показывает способность капитала проникать в страны с растущей экономикой и покидать страны с падающей экономикой. Если а меньше одной второй, то капитал стекается в точки роста и уходит из точек падения экономики, если а равно одной второй, то он не реагирует на рост и падение. Если же а больше одной второй, то капитал «выдавливается» из растущих стран (отраслей, предприятий) и приходит в падающие. Вышеперечисленные аргументы дают право говорить о применимости обобщенной биномиальной модели к волатильности мировых финансовых рынков. Рассмотрена обоснованность утверждения о том, что международное сотрудничество ускоряет рост мировой экономики. В смысле математического ожидания это верно, с уменьшением показателя а матожидание индекса при рассмотрении мультипликативной модели действительно возрастает. Однако вместе с тем возрастает и риск, понимаемый как дисперсия индекса. Таким образом, мы неизбежно возвращаемся к подтверждению того факта, что большой выигрыш сопровождается большим риском. Разумеется, свести риск к нулю на практике невозможно, однако принимать меры к его ограничению можно и нужно. Следовательно, мировое экономическое сообщество вынуждено будет ради стабильности мировой экономики ограничивать до разумных пределов возможность миграции капитала.

Рассмотрим возможность использования обобщенной биномиальной модели для выбора оптимальной стратегии. Рассмотрены две стратегии управления совокупностью хозяйствующих субъектов. Первая заключается в том, что отстающие будут штрафоваться, а успешные дополнительно поощряться. Вторая стратегия, напротив, предусматривает помощь отстающим за счет успешных. Предположим существование некоторого совокупного показателя успешности работы предприятия, например, доход. Будем рассматривать последовательные моменты времени, предполагая, что к последующему моменту предприятие может изменить свой показатель либо умножением на и, либо умножением на й? . Пусть управляющий объект принимает решение о поддержке либо наказании предприятия по итогам его деятельности - с помощью дополнительных инвестиций, либо наоборот, выводом средств из оборота предприятия. Государство может влиять с помощью фискальных мер, размещения заказов и прочими методами. В этом случае мы можем применить обобщенную биномиальную модель к рассматриваемому показателю:

1) если по прошествии очередного временного интервала принимаются решения наказать отстающих и поощрить успешных, то это будет соответствовать случаю а меньше одной второй, поскольку вероятность продолжить движение в направлении предыдущего шага будет преобладать;

2) обратно, если принимаются решения поощрить отстающих за счет ус-

пешных, то это будет соответствовать случаю а больше одной второй, поскольку скорее направление движения изменится.

Известно, что уравнительная система не способствует ускоренному росту производства, но она гарантирует большую стабильность предприятий. Методология использования такова. Управляющий орган фиксирует подходящий для него уровень соотношения риск/доходность К. Далее статистически определяются параметры модели и, с1 и решается задача

^ ^,с)-»тах, здесь 0(Ь,с),Е(Ь,с) определяются по полу-

Е(Ь,с)

ченным в работе формулам. Затем находится соответствующий найденным значениям Ъ,с уровень управляющего воздействия.

В качестве иллюстрации влияния различных значений параметров на поведение обобщенной биномиальной модели рассмотрены численные реализации данной модели для различных значений бис, проведено сравнение с реализациями простой биномиальной модели. Взят ряд из 100 наблюдений, значения с/-0,99, и -1 / й «1,0101, 50 = 100. Рассмотрены вероятности изменить направление Ь = с = 0,05. Смоделировано поведение рядов на компьютере получен типичный результат, представленный на рисунке 4.

180 - ------- ---

160 - - -------------

140

120

100

Ч 80

60

40

20

1 11 21 31 41 51 61 71 81 91

Время

Рис 4 Траектория обобщенной биномиальной модели с малой изменчивостью

Поскольку значение вероятностей изменения направления достаточно близко к нулю, эффект зависимости от направления движения предыдущего шага будет просматриваться отчетливо на рисунке. Действительно, мы наблюдаем достаточно ярко выраженные длительные периоды однонаправленного движения, причем длительность такого направленного движения различна. В данном примере с большей вероятностью результат прошлого периода будет

повторен: если доход вырос в данный момент, то скорее всего он вырастет и в последующий момент.

Изменим вероятности, приняв Ъ = с = 0,95 (рис.5). Видно, что размах значений в этом случае гораздо менее существенный, поскольку на каждом последующем шаге цена стремится вернуться в предыдущее положение: если предыдущее изменение было вниз, то последующее будет вверх. Применительно к нашему примеру скажем, что за периодом роста дохода скорее будет иериод падения, и наоборот.

Время

Рис 5 Траектория обобщенной биномиальной модели с большой изменчивостью

Время

Рис 6 Траектория классической БМ

Размах значений для классической биномиальной модели (рис.6) средний, за периодом роста с равной вероятностью может следовать и рост, и падение.

Таким образом, обобщенная модель может быть использована не только при анализе рискованности инвестиций, но и для выбора оптимизирующей соотношение ожидаемых риска и дохода стратегии управления хозяйствующими субъектами.

В четвертой главе обобщенная биномиальная модель применяется для прогнозирования индекса РТС.

Рассмотрен долгосрочный финансовый показатель - индекс Российской торговой системы (конкретно, ЯТ81), сокращенно называемый индексом РТС. Традиционно индекс РТС является главным индикатором состояния российского фондового рынка. Часто для описания ситуации на фондовом рынке специалисты просто приводят данные о поведении индекса - снижение индекса говорит об общем понижательном настрое рынка, повышение - о растущем характере рынка. Методика подсчета индекса РТС общедоступна, она может быть получена с официального сайта Российской торговой системы.

Мы анализируем временной ряд значений индекса РТС с интервалом наблюдения в один день. Имеются также и почасовые наблюдения истории индекса, однако они в чистом виде хуже подходят для моделирования, поскольку более зашумлены, в них гораздо труднее выделить некоторую закономерность, чем в дневных наблюдениях. Недельные графики в свою очередь менее зашумлены, чем дневные, однако объем выборки наблюдения в этом случае будет гораздо меньше. Архивы котировок индекса являются общедоступными, их также можно получить на сайте Российской торговой системы. Данный график представляет дневные значения индекса, начиная с первоначального значения 100, всего на графике представлено более 2000 значений индекса.

Итак, на 21 сентября 2005 г. значение индекса Российской торговой системы равно 960,5. Взяв это значение в качестве нулевого, получим прогноз для диапазона колебаний индекса на ближайшие 100 дней с вероятностью попадания 90% (рис.7), в нем верхняя и нижняя границы доверительного интервала в конечный момент равны 1520,062 и 726,7921 соответственно. В настоящее время точечные прогнозы для будущих значений исследуемого финансового временного ряда не вызывают большого интереса у большинства участников рынка вследствие их объективной неточности, случайности самого исследуемого ряда. Однако, как правило, инвесторы неохотно вкладывают средства в непредсказуемые финансовые инструменты, поэтому требуются обоснованные прогнозы того, на что они могут рассчитывать, инвестируя в данный актив. Поэтому актуальным является построение доверительных интервалов для будущих значений исследуемого ряда.

Аналогичный прогноз, построенный при помощи простой биномиальной модели, предполагает более узкий доверительный интервал для будущих значений цены (верхняя и нижняя границы доверительного интервала равны 1462,444 и 755,4266 соответственно), поскольку в нем никак не учитывается эффект последействия, имеющий место при рассмотрении индекса РТС. Поскольку обобщенная биномиальная модель учитывает большее количество ин-

формации об исследуемом финансовом временном ряде, чем простая биномиальная модель, то и построенный на ее основе прогноз имеет основания считаться более адекватным.

со

I-

ос

ю (О 00 СП о ч— см со -f ю

CT) О) с» О) с» о о о о о о

CT) <35 О) CT) CT) CT) CT) О) СП CT) СП

о О о о о о о о о о о

т- т- ч— т— V- у— г-' т- г-

о О о о о о о о о о о

Рис 7. Прогноз индекса РТС при помошн обобщенной биномиальной модели

Таким образом, применение обобщенной биномиальной модели уточняет прогноз доверительного интервала будущих значений цены (в данном примере интервал расширяется), что способствует уточнению инвестиционный планов участников финансовых рынков.

Экономика России и всего мира в значительной степени зависит от мировых цен на нефть, поэтому вопрос прогнозирования цены на нефть является весьма актуальным. В частности, в нашей стране остро стоит вопрос о размере необходимых страховых резервов, предназначенных на случай падения мировых цен на нефть - основную статью доходов страны. В связи с этим, необходимо определить с заданным уровнем значимости цену при наиболее пессимистичном и наиболее оптимистичном сценариях развития ситуации на мировых сырьевых рынках. Поскольку в открытом доступе затруднительно найти архивы котировок цен на российскую нефть марки URALS, прогнозирование было произведено для легкой сырой нефти Саудовской Аравии (Saudi Light Spot Price FOB (Dollars per Barrel)). Построен прогноз доверительного интервала для значений цены на 100 недель вперед (рис.8) с уровнем значимости 90%. Верхняя и нижняя границы доверительного интервала в конечный момент равны 125,1127 и 32,4043 соответственно (при использовании простой биномиальной модели

аналогичные показатели равны 111,9521 и 36,21362). Таким образом, применение обобщенной биномиальной модели вносит уточнения в прогноз доверительного интервала стоимости нефти - падение цены ниже 32,4043 и рост выше 125,1127 долларов за баррель крайне маловероятны.

Рис 8. Прогноз цены сырой нефти при помощи ОБМ на 100 недель

Расчеты параметров прогнозируемых рядов, построение доверительных интервалов и графиков соответствующих рядов, их моделирование производилось при помощи авторского программного продукта, реализованного с помощью языка Visual Basic for Applications в среде Excel.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате проведенного исследования решены следующие задачи: проведен статистический анализ финансовых временных рядов с целью выявления эмпирических закономерностей, подтверждающих наличие в их динамике эффекта памяти; построены математические модели финансовых временных рядов, адекватно учитывающие эффекты долгой и короткой памяти; проведены комплексные исследования динамических свойств построенных моделей; для случайных процессов, моделирующих эффект памяти в финансовых временных рядах, выписаны формулы основных вероятностных характеристик; на основе построенной модели разработана и реализована методика прогнозирования будущих динамических характеристик конкретных финансовых временных рядов, обладающих эффектом памяти; доказана возможность применения результатов построенной модели для анализа рисков управления инвестиционным портфе-

лем на финансовых рынках.

Из результатов проведенных исследований сделаны следующие выводы.

1. Финансовые временные ряды имеют устойчивые эмпирические закономерности, подтверждающие наличие эффекта памяти в их динамике. Эти закономерности выявлены и формально описаны в ходе диссертационного исследования. Между тем классические модели финансовых временных рядов, такие как биномиальная модель эволюции цены акций, никоим образом не учитывают эффект памяти.

2. В работе показано, что поведение финансовых временных рядов, обладающих эффектом памяти, разнообразно в зависимости от того, насколько долго сохраняется зависимость будущей динамики финансового временного ряда от предыдущих его значений или изменений. Поэтому предложено различать эффекты долгой и короткой памяти.

3. Под короткой памятью в работе понимается зависимость распределения изменения цены финансового актива только от предыдущего изменения. Данный эффект короткой памяти моделируется с помощью обобщения биноми-атьной модели, в ходе которого предполагается, что последовательность изменений финансового временного ряда образуют цепь Маркова. Для такой модели установлено, что асимптотическое поведение цены финансового актива является классическим. В этом случае динамика финансового временного ряда может быть описана с помощью логнормального распределения, что позволяет сделать вывод о важности построения точных прогнозов для будущих среднего и дисперсии.

4. Эффект долгой памяти в настоящей работе смоделирован с помощью специального случайного процесса, названного геометрическим случайным блужданием в случайной среде. Приведенные в работе результаты показывают, что поведение геометрического случайного блуждания в случайной среде гораздо более разнообразно, чем поведение классического геометрического случайного блуждания, на котором основана биномиальная модель. А значит, исследования процессов, моделирующих эффект долгой памяти, не могут быть сведены к применении центральной предельной теоремы и оценке математического ожидания и дисперсии будущих значений финансового временного ряда.

5. В работе отдельно исследована обобщенная биномиальная модель. Для нее выведены явные формулы вычисления ее основных вероятностных, основанные на построении вспомогательного процесса случайного блуждания на цилиндре. Полученные формулы позволяют получать точные прогнозные оценки будущих значений среднего и дисперсии цены финансового актива в обобщенной биномиальной модели.

6. В работе реализован оригинальный метод предельной перенормировки случайного процесса ценообразования в обобщенной биномиальной модели, применение которого позволило получить формулы для математического ожидания и дисперсии логарифма цены моделируемого финансового инструмента. С учетом предельной нормальности логарифма обобщенной биномиальной модели это позволяет значительно упростить расчеты параметров и построение прогнозов при помощи обобщенной биномиальной модели.

7. Доказана возможность применения обобщенной биномиальной модели для анализа рискованности инвестиций на фондовом рынке. В частности, выписаны формулы для вычисления вероятности ненрсвышения заданного уровня убытков, а также для определения уровня убытка, который не будет превышен с заданной вероятностью.

8. Обоснована применимость обобщенной биномиальной модели при выборе стратегии управления хозяйствующим субъектом, при планировании его деятельности для расчета волатильности экономических показателей, таких как доход. В рамках применения обобщенной биномиальной модели показано отрицательное влияние неограниченной мобильности капитала на волатиль-ность финансового рынка.

9. Применение обобщенной биномиальной модели для построения прогнозов будущих значений индекса РТС уточняет (вследствие учета эффекта последействия) прогнозы доверительного интервала значений индекса относительно прогнозов, построенных на основании применения классической биномиальной модели, в которой эффект последействия не учитывается.

10. Для практического применения обобщенной биномиальной модели создан удобный для пользователя программный продукт, позволяющий оценивать параметры модели для заданного ряда, строить прогнозы с произвольным уровнем значимости и моделировать поведение ряда. Данный программный продукт принят к использованию одним из ведущих участников фондового рынка России - компанией «ФИНАМ», что подтверждено соответствующим актом внедрения.

НАУЧНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Лашкарев А.Н. Свойства геометрических случайных блужданий в случайной среде // Материалы XXXIX Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс». Математика. - Новосибирск: Изд-во Новосиб. гос. ун-та, 2001. - С.73-74.

2. Лашкарев А.Н. О возвратности случайных блужданий на графах в случайной среде //Материалы ХЬ Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс». Математика. - Новосибирск: Изд-во Новосиб. гос. ун-та, 2002. - С.134-135.

3. Лашкарев А.Н. Расчет и применение модели прогнозирования к финансовым временным рядам //Материалы ХЬ Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс». Экономика, ч II. - Новосибирск: Изд-во Новосиб. гос. ун-та, 2002 - С.46-48.

4. Лашкарев А.Н. Обобщенная биномиальная модель рынка // Проблемы и перспективы российской экономики: Сборник статей IV Всероссийской научно-практической конференции. - Пенза: Приволжский дом знаний, 2005. С. 189192.

5. Лашкарев А.Н. Обобщенная биноминальная модель эволюции цены.// Тезисы докладов Всероссийской научной конференции молодых ученых, аспирантов и студентов: Прикладные аспекты статистики и эконометрики (апрель 2005 г.). - М.: Издательство МЭСИ, 2005. - С.53-54.

6. Лашкарев А.Н. Динамическая модель ценообразования на фондовом рынке // Седьмая научно-практическая конференция преподавателей и сотрудников УдГУ, посвященная 245-летию г. Ижевска. Материалы конференции. Часть 2 (апрель 2005 г.). - Ижевск: Изд-во УдГУ, 2005. - С.325-326

7. Лашкарев А.Н. Обобщенная биномиальная модель и блуждания на цилиндре // Вестник Удм. ун-та. 2005. № 1. Серия Математика. - Ижевск: Изд-во УдГУ, 2005. - С.215-224

8. Вавилова А.Ю., Лашкарев А.Н., Летчиков A.B.. Динамические модели финансовых временных рядов // Вестник Удм. ун-та. 2005. № 3. Серия Экономика. - Ижевск: Изд-во УдГУ, 2005. - С. 5-20.

Лицензия ЛР № 020764 от 29.04.98 г.

Подписано в печать 31.10.2005. Формат 60x84 1 /16. Отпечатано на ризографе. Уч.-изд. л. 1,99. Усл. печ. л. 1,39. Тираж 100 экз. Заказ № 367/2

А.Н. Лашкарев

620014, г. Екатеринбург, ул. Московская - 29, Издательство Института экономики УрО РАН

m 21 1 8 9

РНБ Русский фонд

2006-4 18552

Диссертация: содержание автор диссертационного исследования: кандидата экономических наук, Лашкарев, Алексей Николаевич

Введение.

Глава 1. Математические модели финансовых временных рядов.

1.1 Эффект памяти.

1.2 Биномиальная модель как модель без эффекта памяти.

1.3 Обобщение биномиальной модели как модель с короткой памятью.

1.3.1 Логарифмическая ОБМ.-.

1.3.2 Стандартный вид частного случая ОБМ.

1.4 Случайное блуждание в случайной среде как модель с долгой памятью.

Глава 2. Расчет вероятностных характеристик ОБМ.

2.1 Равносильное блуждание на цилиндре.

2.1.1 Блуждание на цилиндре.

2.1.2 Математическое ожидание для блуждания по цилиндру.

2.2 Характеристики ОБМ.

2.2.1 Собственные значения.'.

2.2.2 Собственные векторы.

2.2.3 Разложение по собственным векторам.

2.2.4 Оценка собственных значений.

2.2.5 Дисперсия модели.

2.2.6 Пример - применение формулы для дисперсии к частному случаю

2.3 Нейтральность к риску обобщённой модели.

2.4 Логарифмическая модель. Предельный переход.

2.4.1 Вероятностные характеристики логарифмической модели.

Глава 3. Экономические приложения ОБМ.

3.1 Оценка величины риска инвестирования.

3.2 Мобильность капитала и устойчивость экономики.

3.3 ОБМ как модель результатов управления.

3.4 Экономика предприятия. Методы планирования.

3.5 Страхование и ОБМ.

3.6 Примеры реализации траекторий ОБМ.

Глава 4. Применение обобщенной биномиальной модели к прогнозам индекса РТС и цен на нефть.

4.1 Вычисление вероятностных характеристик индекса РТС в рамках ОБМ.

4.2 Сравнение с аналогичным прогнозом простой биномиальной модели.

4.3 О применимости представленных расчетов для индекса РТС.

4.4 Прогноз цен на нефть.

4.5 Программный продукт.

Диссертация: введение по экономике, на тему "Математическое моделирование динамики финансовых временных рядов с эффектом памяти"

Актуальность темы. Современный финансовый рынок является одним из наиболее ярких примеров глобализации и модернизации мировой экономики. Инфраструктура финансовых рынков представлена большим разнообразием финансовых посредников, выполняющих как брокерские, так и дилерские функции, огромным количеством биржевых и внебиржевых финансовых операций, а также широким спектром новых финансовых инструментов, позволяющих не только получать высокие доходы, но и снижать финансовые риски. В условиях быстро изменяющейся конъюнктуры финансового рынка менеджеру финансовой компании необходимы стратегии управления, позволяющие в считанные секунды принимать решения по . управлению финансовыми активами. Чтобы не действовать вслепую, участникам рынка требуются эффективные инструменты, позволяющие проводить глубокий экономический анализ финансового рынка и прогнозировать динамику его развития. Очевидно, что такого рода прогнозы должны иметь под собой определенную научную основу, сформированную из построения соответствующей математической модели финансового временного ряда. Однако в настоящее время еще рано говорить о завершенной экономико-математической теории финансового рынка, имеющей адекватные приложения к любому финансовому временному ряду. Современные методы сбора и хранения статистических данных, их обработки и анализа с применением вычислительной техники дают эмпирический материал для анализа различных концепций относительно функционирования финансовых рынков, позволяют выделять новые эффекты финансовых временных рядов, строить гипотезы относительно характера распределений цен и динамики их поведения. В связи с этим становятся актуальными научные исследования по математическому моделированию новых свойств финансовых временных рядов, продвигающие нас в развитии экономико-математической теории финансового рынка.

В среде финансистов есть достаточное количество тех, кто скептически относится к построению математических моделей финансовых временных рядов, поскольку не находят в них сколько-нибудь значимого прогноза относительно будущего движения цен на финансовом рынке. Например, известный финансист Дж. Сорос в своих работах ([4]). подвергает критике гипотезу случайного блуждания, на основе которой построена известная модель Блэка-Мертона-Шоулса. Главным аргументом финансистов-скептиков против использования математического моделирования является то, что, как правило, построенные модели не дают возможности получить какой-либо прогноз о будущих ценах с достаточной надежностью. Действительно, в классической биномиальной модели с точки зрения будущего движения цены даже ее направление - вверх или вниз - определяется только с вероятностью Уг. Это все равно, что бросать монету, чтобы прогнозировать, куда пойдет цена: вверх или вниз. Понятно, что для финансового менеджера в момент спекулятивной игры на повышение или понижение данная модель не может дать каких-либо практических рекомендаций по управлению инвестиционным портфелем. Однако это не означает, что построение математической модели финансового временного ряда не несет никакой информации для его исследователя. Наоборот, как правило, построенная модель позволяет получать описание процесса эволюции цены на другом более качественном уровне. Неудивительно, что . гипотеза случайного блуждания привела к ставшей сегодня классической концепции рационально функционирующего (или эффективного) рынка. В частности, упомянутая выше модель Блэка-Мертона-Шоулса позволяет оценивать вероятностное распределение будущей цены финансового актива и его числовые характеристики. Это, в свою очередь, дает возможность рассчитать риски будущих финансовых операций и дисконтировать свои активы с учетом рассчитанного риска. Поэтому построение математических моделей финансовых временных рядов является актуальной задачей, требующей разнообразных методов ее решения.

Примерами классических моделей, получивших широкое применение в финансовой теории и финансовом менеджменте, являются модель Башелье, модель Блэка-Мертона-Шоулса и модель Кокса-Росса-Рубинштейна, в основе которых лежат, соответственно, линейное броуновское движение, геометрическое броуновское движение и геометрическое случайное блуждание. Однако, как показывает практика, существуют эмпирически подтвержденные феномены, которые не свойственны приведенным классическим моделям. Например, замечено, что при малых волатильностях финансового актива цены стремятся к тому, чтобы их рост или падение длились как можно больше, то есть сохранять направление движения. В то время как для активов с большой волатильностью характерно стремление цены повернуть движение в противоположном направлении, основанное на замедлении своего роста или падения. Все это говорит о том, что для финансовых временных рядов характерен эффект памяти, когда изменение цены зависит от величины предыдущего изменения. Поэтому является актуальным рассмотрение вероятностно-статистических моделей, описывающих эволюцию финансовых временных рядов с учетом выявленного эмпирически эффекта памяти.

Цель работы заключается в построении математических моделей финансовых временных рядов с эффектом короткой или долгой памяти, позволяющих анализировать влияние фактора памяти на динамические свойства финансового временного ряда, а также в разработке на основе построенных моделей математика ческих методов расчета динамических показателей, повышающих точность прогноза динамики финансового временного ряда и позволяющих оценивать финансовые риски инвестиционных проектов.

Для достижения поставленной цели определены следующие задачи:

- провести статистический анализ финансовых временных рядов с целью выявления эмпирических закономерностей, подтверждающих наличие в их динамике эффекта памяти;

- построить математические модели, позволяющие адекватно учитывать в поведении ряда эффект короткой и долгой памяти, и исследовать их динамические свойства;

- выписать формулы основных вероятностных характеристик построенных случайных процессов, моделирующих эффект памяти; *

- разработать и реализовать на ЭВМ на основе построенной модели методику прогнозирования будущих динамических характеристик конкретных финансовых временных рядов, обладающих эффектом короткой памяти;

- доказать возможность применения результатов построенной модели для анализа рисков управления инвестиционным портфелем на финансовых рынках.

Объектом исследования являются финансовые временные ряды - последовательности числовых данных, отражающие динамику курсов акций, фьючерсов, обменных курсов валют и биржевых индексов, а также другие временные ряды, обладающие свойством последействия.

Предметом исследования является анализ влияния различных эффектов памяти на динамические свойства и статистические характеристики наблюдаемых рядов.

Методы исследования. В ходе исследования использовались методы теории случайных процессов, стохастической финансовой математики, математической статистики, высшей алгебры, а также средства вычислительной техники и современные программные продукты.

Достоверность и обоснованность полученных в работе результатов и выводов основывается на том, что экономико-математические модели, предложенные в работе, базируются на фундаментальных положениях высшей алгебры, теории вероятностей и математической статистики. Достоверность результатов также подтверждается представительной статистикой финансовых временных рядов.

На защиту выносятся следующие основные положения:

- результаты статистического исследования финансовых временных рядов, позволяющие выявлять и классифицировать эффекты памяти;

- обобщение классической биномиальной модели, имитирующее эффект короткой памяти финансовых временных рядов;

- понятие геометрического случайного блуждания в случайной среде как случайного процесса, моделирующего эффект долгой памяти, и результаты его асимптотического исследования;

- методика расчета параметров обобщенной биномиальной модели, основанная на исследовании вспомогательного процесса случайного блуждания на цилиндре;

- формулы расчета вероятностных характеристик логарифма обобщенной биномиальной модели, полученные в результате применения метода предельной перенормировки;

- результаты применения обобщенной биномиальной модели для расчета инвестиционных рисков, к индексу РТС, цене на сырую нефть.

Научная новизна полученных результатов определяется проведенными комплексными исследованиями финансовых временных рядов и заключается в том, что:

- путем обобщения биномиальной модели построена математическая модель финансовых временных рядов, обладающих эффектом короткой памяти;

- впервые введено понятие геометрического случайного блуждания в случайной среде как процесса, моделирующего финансовый временной ряд с эффектом долгой памяти;

- разработана методика расчета вероятностных параметров обобщенной биномиальной модели, позволяющая вычислять моменты произвольного порядка будущей цены финансового актива;

- предложен оригинальный метод предельной перенормировки случайного процесса ценообразования в обобщенной биномиальной модели, применение которого позволило получить формулы для оценки математического ожидания и дисперсии логарифма цены исследуемого финансового инструмента;

- доказана возможность применения результатов построенной обобщенной биномиальной модели для анализа рисков управления инвестиционным портфелем на финансовых рынках.

Теоретическая значимость работы заключается в том, что построенные модели позволяют определять влияние эффекта памяти на свойства финансовых временных рядов и управлять их характеристиками.

Практическая значимость работы заключается в том, что полученные результаты были применены, при построении прогнозов динамики фондового рынка для анализа риска инвестирования и могут быть использованы при оценке устойчивости и управлении экономическими системами.

Разработанная методика и соответствующий программный продукт прошли опытную эксплуатацию в ЗАО «Инвестиционная компания «Финам»» (г. Москва), что подтверждено актом внедрения.

Структура и объем диссертации. Диссертация содержит введение, 4 главы, заключение, список литературы и приложение.

Диссертация: заключение по теме "Математические и инструментальные методы экономики", Лашкарев, Алексей Николаевич

Заключение

В результате проведенного исследования решены следующие задачи: проведен статистический анализ финансовых временных рядов с целью выявления эмпирических закономерностей, подтверждающих наличие в их динамике эффекта памяти; построены математические модели финансовых временных рядов, адекватно учитывающие эффекты долгой и короткой памяти; проведены комплексные исследования динамических свойств построенных моделей; для случайных процессов, моделирующих эффект памяти в финансовых временных рядах, выписаны формулы основных вероятностных характеристик; на основе построенной модели разработана и реализована методика прогнозирования будущих динамических характеристик конкретных финансовых временных рядов, обладающих эффектом памяти; доказана возможность применения результатов построенной модели для анализа рисков управления инвестиционным портфелем на финансовых рынках.

Из результатов проведенных исследований сделаны следующие выводы.

1. Финансовые временные ряды имеют устойчивые эмпирические закономерности, подтверждающие наличие эффекта памяти в их динамике. Эти закономерности выявлены и формально описаны в ходе диссертационного исследования. Между тем классические модели финансовых временных рядов, такие как биномиальная модель эволюции цены акций, никоим образом не учитывают эффект памяти.

2. В работе показано, что поведение финансовых временных рядов, обладающих эффектом памяти, разнообразно в зависимости от того, насколько долго сохраняется зависимость будущей динамики финансового временного ряда от предыдущих его значений или изменений. Поэтому предложено различать эффекты долгой и короткой памяти.

3. Под короткой памятью в работе понимается зависимость распределения изменения цены финансового актива только от предыдущего изменения. Данный эффект короткой памяти моделируется с помощью обобщения биномиальной модели, в ходе которого предполагается, что последовательность изменений финансового временного ряда образуют цепь Маркова. Для такой модели установлено, что асимптотическое поведение цены финансового актива является классическим. В этом случае динамика финансового временного ряда может быть описана с помощью логнормального распределения, что позволяет сделать вывод о важности построения точных прогнозов для будущих среднего и дисперсии.

4. Эффект долгой памяти в настоящей работе смоделирован с помощью специального случайного процесса, названного геометрическим случайным блужданием в случайной среде. Приведенные в работе результаты показывают, что поведение геометрического случайного блуждания в случайной среде гораздо более разнообразно, чем поведение классического геометрического случайного блуждания, на котором основана биномиальная модель. А значит, исследования процессов, моделирующих эффект долгой памяти, не могут быть сведены к применении центральной предельной теоремы и оценке математического ожидания и дисперсии будущих значений финансового временного ряда.

5. В работе отдельно исследована обобщенная биномиальная модель. Для нее выведены явные формулы вычисления ее основных вероятностных, основанные на построении вспомогательного процесса случайного блуждания на цилиндре. Полученные формулы позволяют получать точные прогнозные оценки будущих значений среднего и дисперсии цены финансового актива в обобщенной биномиальной модели.

6. В работе реализован оригинальный метод предельной перенормировки случайного процесса ценообразования в обобщенной биномиальной модели, применение которого позволило получить формулы для математического ожидания и дисперсии логарифма цены моделируемого финансового инструмента. С учетом предельной нормальности логарифма обобщенной биномиальной модели это позволяет значительно упростить расчеты параметров и построение прогнозов при помощи обобщенной биномиальной модели.

7. Доказана возможность применения обобщенной биномиальной модели для анализа рискованности инвестиций на фондовом рынке. В ластности, выписаны формулы для вычисления вероятности непревышения заданного уровня убытков, а также для определения уровня убытка, который не будет превышен с заданной вероятностью.

8. Обоснована применимость обобщенной биномиальной модели при выборе стратегии управления хозяйствующим субъектом, при планировании его деятельности для расчета волатильности экономических показателей, таких как доход. В рамках применения обобщенной биномиальной модели показано отрицательное влияние неограниченной мобильности капитала на волатильность финансового рынка.

9. Применение обобщенной биномиальной модели для построения прогнозов будущих значений индекса РТС уточняет (вследствие учета эффекта последействия) прогнозы доверительного интервала значений индекса относительно прогнозов, построенных на основании применения классической биномиальной модели, в которой эффект последействия не учитывается.

10. Для практического применения обобщенной биномиальной модели создан удобный для пользователя программный продукт, позволяющий оценивать параметры модели для заданного ряда, строить прогнозы с произвольным уровнем значимости и моделировать поведение ряда. Данный программный продукт принят к использованию одним из ведущих участников фондового рынка России - компанией «ФИНАМ», что подтверждено соответствующим актом внедрения.

Основные положения диссертации и отдельные результаты исследований обсуждались и докладывались на XXXIX и ХЬ Международных конференциях «Студент и научно-технический прогресс» (г. Новосибирск, 2001г. и 2002г.), Всероссийской научно-практической конференции «Проблемы и перспективы российской экономики» (г. Пенза, 2005г.), Всероссийской научной конференции молодых ученых, аспирантов и студентов «Прикладные аспекты статистики и эконометрики» (МЭСИ, Москва, 2005г.), Седьмой научно-практической конференция преподавателей и сотрудников УдГУ, посвященной 245-летию г. Ижевска (г. Ижевск, 2005г.).