О некоторых вероятностно-статистических методах в техническом анализе тема диссертации по экономике, полный текст автореферата

Автореферат диссертации по теме "О некоторых вероятностно-статистических методах в техническом анализе"

На правах рукописи

Пастухов Станислав Вениаминович

I

О НЕКОТОРЫХ ВЕРОЯТНОСТНО-СТАТИСТИЧЕСКИХ МЕТОДАХ В ТЕХНИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ

Специальность 08.00.13 - математические и инструментальные

методы экономики

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва, 2004

Диссертационная работа выполнена в

Московском Государственном Университете им. М.В. Ломоносова

Научные руководители — член-корреспондент РАН, доктор физико-математических наук, профессор А.Н. Ширяев; член-корреспондент РАН, доктор физико-математических наук, профессор Б.С. Кашин

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник Пресман Эрнст Львович;

кандидат физико-математических наук Куликова Татьяна Юрьевна

Ведущая организация: Тульский Государственный Университет

сов

Защита диссертации состоится " 2004г. в У^часс

на заседании диссертационного совета Д002.013.02 ЦЭМИ РАН по адресу: 117418, г.Москва, Нахимовский проспект, 47, аудитория 520.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Центрального экономико-математического института РАН

Автореферат разослан „

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук ¿/Борисова C.B.

ароб-4

¿1/0833?

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Настоящая диссертация посвящена исследованию некоторых методов технического анализа финансового рынка. Под техническим анализом мы понимаем статистический анализ процессов, описывающих поведение цен и объемов сделок и заявок на покупку или продажу финансовых активов, с целью прогнозирования будущего поведения цен.

Первые шаги в использовании технического анализа на финансовых рынках были сделаны еще в XVII веке в Японии (см. [3], гл.2), однако той популярности, которой он пользуется у финансовых аналитиков в настоящее время, технический анализ во многом обязан бурному развитию рынка в девяностых годах XX века. Связано это прежде всего с тем, что широкое применение электронно-вычислительных машин качественно повысило эффективность получения, хранения и обработки поступающей на рынок информации, в результате чего резко увеличился объем совершаемых сделок и, как следствие, появилось огромное число инвесторов с короткими интервалами инвестирования (в частности, внутри одного дня). И если в случае долгосрочных инвестиционных горизонтов определяющую роль играет фундаментальная информация (глобальное состояние экономики и т.д.), то при сокращении временных горизонтов доминирующую роль начинает играть технический анализ (см. также [2], гл.1, §2Г).

Однако, несмотря на его широкую востребованность со стороны финансового рынка, действия технических аналитиков по-прежнему носят, как правило, субъективный (интуитивный) характер, что приводит порой к прямо противоположным прогнозам относительно будущего движения цен. Невысокий уровень теоретического обоснования выводов технического анализа может быть объяснен отчасти следующим. Финансовая математика до недавнего времени развивалась (и развивается до сих пор) в основном в духе концепции безарбитражности (или эффективности) рынка, что с наглядной точки зрения означает отсутствие на нем арбитражных возможностей, то есть возможностей для извлечения прибыли без риска (подробнее см. [2], гл.1, §2). Иначе говоря, находясь в рамках теории эффективного рынка, классическая финансовая математика исходит из того, что поведение инвесторов обусловлено „рациональными" причинами, в то время как для технического анали-

РОС • \.1ЬНАЯ

* > КА

(

шбгь

за более важно „эмоциональное" состояние рынка. Но если для долгосрочных инвестиционных горизонтов гипотеза безарбитражности еще остается в какой-то степени приемлемой, то для коротких временных интервалов, где, как известно из практики, регулярно возникают арбитражные возможности, классическая финансовая математика, очевидно, не в состоянии адекватно описывать поведение рынка.

Основной целью данной работы является построение модели поведения цен финансового актива, описываемых одномерным случайным процессом X = (X(t))t>о, и создание стратегий, которые позволяют реализовать имеющиеся на рынке арбитражные возможности. Отметим, что лежащие в их основе kagi, гепко Я-построения (известные техническим аналитикам, как kagi, гепко charts), использовались на финансовых рынках еще в XIX веке в Японии (см. [3], гл.8).

Научная новизна. Основными аспектами, принципиально отличающими тему настоящей диссертации от исследований классической финансовой математики, являются следующие:

(i) не постулируется отсутствие арбитражных возможностей на рынке

(И) не делается предположение о распределении процесса X

Основные результаты работы являются новыми. Среди них

• для случайного процесса, траектории которого непрерывны справа и имеют пределы слева, определены следующие понятия: Я-воЛатильность и Я-инверсия

• получены некоторые свойства Я-волатильности и Я-инверсии в случае винеровского процесса

• построены стратегии, которые при определенных значениях Я-волатильности позволяют реализовать имеющиеся на рынке арбитражные возможности

• предложен математически строгий метод построения прогноза, основанный на анализе исторических данных посредством kagi, гепко Я-постро-ений

• описан новый подход к определению меры изменчивости (волатильно-сти) финансового актива

Методы исследования. В настоящей работе использовались методы теории вероятностей и случайных процессов, математической статистики, аппарат кусочно-монотонных аппроксимаций, возникший в теории приближения.

Теоретическая и практическая ценность. Ряд полученных результатов носит теоретический характер. Практическая ценность заключается в том, что результаты работы могут эффективно использоваться на финансовом рынке. Отметим также, что предлагаемая методология может быть задействована также и в любой другой сфере экономики, где имеется адекватная статистика.

Апробация работы. Результаты работы докладывались автором на научных семинарах: „Многомерный статистический анализ и вероятностное моделирование реальных процессов" (ЦЭМИ РАН); „Большой семинар кафедры теории вероятностей" (механико-математический факультет, МГУ им. М.В. Ломоносова)

Публикации. Основные результаты опубликованы в трех печатных работах (одна в соавторстве) общим объемом 2 п.л.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав, разбитых на 11 параграфов, и списка литературы. Объем диссертации — 104 страниц машинописного текста. Диссертация содержит 21 рисунок. Список литературных источников включает 33 наименования.

Основное содержание работы.

В Главе 1, состоящей из пяти параграфов, представлены основные конструкции и введены основные понятия.

В параграфе 1.1 определяются кар, гепко Я-построения (Н > 0) для процесса X = (Х(<))е>о, заданного на некотором фильтрованном вероятностном пространстве со значениями в И1 и обладающего траекториями, непрерывными справа и имеющими пределы слева. Опишем данные конструкции для процесса с непрерывными траекториями (в общем случае смысл построений не меняется, но требует более громоздкого алгоритма).

Суть код Я-построения состоит в индуктивном нахождении последовательности (г*, Тп)п=0,1,...

База индукции: тп = т^м > 0 : тах X — тт X = Я}

1 ~ [о.«1 [о,«] 1

То =

inf{w 6 [0, го] : Х(и) = minX}, если Х(то) = тахХ [о,т0] [о,т0]

inf{u € [0, го] : Х(и) = тахХ}, если Х(то) = minX [о,т0] [о,т0]

Шаг индукции (n->n + 1): на n-ом шаге |Х(т„) - Х(т*)| = Я

тп+1 =

'г»+1

inf{u > тп : maxX - Х{и) = Я}, если Х(т„) - Х(т*) = Я КМ

inf{u > т„ : Х(и) — minX = Я}, если Х(т„) - Х(т*) = -Я [т».«1

inf{w € [т„, т„+1] : Х(и) = max X}, если Х(т„) - Х(т*) = Я

lTn,T„+lJ

inf{u € [т„, т„+1]: Х(и) = min X}, если Х(г„) -г Х(т») = -Я

[Tn.Tn+lJ

Если рассматривать данное построение на интервале [О, Т], то в силу непрерывности траекторий X индукция конечна, то есть для некоторого конечного N = Nt(H, X) нельзя определить момент ту. Полагая ту = Т и находя соответствующим образом точку экстремума Тдг на [ту_ь t#], получим последовательность (г*, т„)п=о,...,лг, которую будем называть kagi Н-построением для процесса X на [О, Т\.

Для случая renko находим индуктивно моменты (pi)i=o,i,...> где

й> = О ... pl+i=mi{u>pi:\X{u)-X{pi)\ = H} и выделяем из них последовательно все моменты (p>m)m=i,2,...i Для которых (Х(р, J - - *(Ä.-a)) < О

Для интервала [0,7] в силу непрерывности траекторий X индукция, очевидно, конечна, то есть для некоторого конечного М = Мт{Н,Х) (считаем, что М > 1) получим последовательность (A)i=0 ¡ц, из которой выделена

подпоследовательность {pim)m=i.....и-1 для некоторого М = Му(Я, X) (если

такая не найдется, полагаем М = 1). Определяя рд = 0, ро = р\, р*м = р-д, Рм — Т, pm — pin и р*т = pim-i для m = 1,...., Л/ - 1 (если М > 2), в итоге

получим последовательность (р^,, Pm)m=o,...,M, которую будем называть гепко Н-построением для процесса X на интервале [О, Т].

В параграфе 1.2 вводится понятие, играющее важную роль в определении меры изменчивости процесса X (волатильности). Величину Nt(H,X) из соответствующего kagi Я-построения на [0,Т] будем называть kagi Н-инверсией процесса X на [О, Т], а величину Mr (Я, X) из renko Я-построения — гепко Я-инверсией процесса X на [О, Т]. Отметим, что термин „Я-инверсия" вполне наглядно отражает смысл вводимых понятий.

Аппарат кусочно-монотонных аппроксимаций, и, в частности, результаты работы [1], позволяют заключить, что kagi, renko Я-построения являются оптимальными в некотором смысле приближениями непрерывной функции. Среди результатов данного параграфа отметим, что для любой непрерывной на [О, Т\ функции F и любого Я > 0 для kagi Я-инверсии функции F выполнено

NT(H, F) = min (n = 0,1,2,... : inf sup |F(t) - f(t)| < f ) l /€S»te[o,r] l J

где E„ — множество кусочно-монотонных функций порядка не выше п, то есть множество таких непрерывных на [О, Т] функций /, для каждой из которых существует разбиение 0 = <о < ... < tj — Т, j < п, что / монотонна на [i,_i,i,] для всех г = 1,..., j (So — множество функций / = const). При этом kagi Я-построение определяет соответствующим образом элемент наилучшего приближения функции F из семейства Еn для N = Nt{H, F).

В параграфе 1.3 определяется понятие, играющее ключевую роль при построении арбитражных стратегий Опишем его для процесса X = (X(t))t>o, обладающего непрерывными траекториями (в общем случае, когда траектории непрерывны справа и имеют пределы слева, суть не меняется). Для заданного Я > 0 рассмотрим kagi, renko Я-построения для процесса X на [О, Т] и для произвольного р > 1 определим следующие величины

Ъ {Н'Х) ~ NT(H,X)' ^ {Н'Х) ~ МТ(Н,Х) где Nx(H,X), Мх(Н, X) -- есть kagi, renko Я-инверсия соответственно, а

VP(H,X) = El Х(г*)-Х(г*_г)Г, (1)

n=l

,. м

ир\н,х) = Е (2)

Ш=1

Величину т$\Н,Х) будем называть кад{ Н-волатпилъностпъю порядка р, величину £т\Н,Х) — гепко Н-волатильностъю порядка р процесса X на [0,Т]. В случае р = 1 величины Уг(Н,Х), ит(Н,Х) (индекс р = 1 опускаем) тесно связаны со следующими вариационными характеристиками:

ЩН,Х) = вирЕТОЬхв-О!, (3)

Т1 (=1

ит(н, X) = вир Е \х(и) - х^оь (4)

та к= 1

где Тх — множество всех конечных разбиений (<о> —><£) таких, что 0 < ¿о < ...<«£< Т и |Х(<() - Х(4,_,)|/Я € [1, +оо) для I = 1,..., I; Т2 - множество всех конечных разбиений (¿о,таких, что 0 = ¿о < ■•• < £ Г и - Х(е4_х)|/Я € N = {1,2,3,...} для к = 1,...,К. Если для какого-то Я > О не существует соответствующих разбиений из (3), (4), полагаем указанные величины равными нулю. Имеет место следующая Лемма 1.3.1 Пусть реализации процесса X являются непрерывными функциями на [0,!Г]. Тогда для любого Я > 0 выполнены соотношения

УТ(Н, X) = Щн, X), ит(Н, X) = ит(Н, X)

Данная лемма поясняет, в частности, почему в определении используется термин „Я-волатилыюсть". Действительно, в финансовой математике достаточно широко используется, так называемая, А-волатильность (см. [2] стр. 419), которая есть ^др, где Д, Т > 0, [•] означает взятие целой части, а

руд I

гт(А,Х) = £ \Х(кА)-Х{(к-1)А)\ (5)

к=1

Величины (3), (4) и (5) для достаточно „регулярных" процессов при малых Я и Д соответственно близки к полной вариации, поэтому указанная схожесть оправдывает использование данной терминологии.

В параграфе 1.4 исследуются Я-волатильность и Я-инверсия для вине-ровского процесса. Основные результаты отражены в следующих теоремах.

Теорема 1.4.1 Пусть W = (Wt)t>о — стандартный винеровский процесс, тогда для любых р >1, Я > О, er > 0 выполнено

Km^&^aW) = Rw(p)HP (п.*.), Vmjft^H^W) = Kwip)HP (п.н.),

00 +0° где Rw{p) = £ Kw(p) = / (1 + x^e-dx.

n=i ¡J

Особо стоит выделить случай р = 1. В этом случае, как несложно показать, = iiw(l) = 2, то есть предел kagi и renko Я-вояатильности равен 2Я. Отметим, что совпадение пределов в этом случае интуитивно может быть объяснено тем, что определяющими в kagi и renko Я-построениях являются процессы maxjo^j X — X(t) и |X(t) — Х(0)| соответственно, а в случае броуновского движения в силу теоремы Леви указанные процессы эквиваленты по распредлению.

Теорема 1.4.2 Пусть W = {Wt)t>Q — стандартный винеровский процесс, тогда для любых И, а > 0 выполнено

Т _ 2Я2 Т

т-1+00 Мт(Н, <tW) ~ а2 ' т™«> NT(H,aW) ~ а* Из теоремы 1.4.2 видно, что, в отличие от Я-волатильности, Я-инверсия процесса aW напрямую зависит от параметра а. И, как будет показано ниже, данное обстоятельство дает основание для использования Я-инверсии при определении меры изменчивости рынка (волатильности).

В параграфе 1.5 для определения меры изменчивости (волатильности) процесса X, траектории которого непрерывны справа и имеют пределы слева, на интервале [О, Т\ для заданного Я рассматриваются величины

О kagi ~ &kagi{T, Я, X) — Я» & renko = Отспко{Т, Я, X) = Я\

где Nt(H,X), Мт{Н,Х) — есть kagi, renko Я-инверсия соответственно. Из теоремы 1.4.2 можно заметить, что для процесса X = aW, где W - стандартный винеровский процесс, данные величины могут быть использованы в

м

качестве оценки параметра ег, поскольку при Т —> ос для различных Я сходятся к одному и тому же значению а. Иначе говоря, в рамках классической финансовой математики, где для описания поведения цены используется броуновское движение, величины (6), (7) вполне адекватно описывают понятие волатильности (то есть параметр а). Как показывает статистический анализ, на финансовом рынке для процесса X, описывающего поведение цены того ИЛИ ИНОГО актива, величины Окадх, (Угепко можно считать в первом приближении константами для достаточно широкого интервала значений параметра Я (см. рис. 5 ниже). Это обстоятельство служит основанием для того, чтобы брать их в качестве меры изменчивости финансового актива. Иными словами, под волатилъностъю финансового актива X будем понимать величину (6) (или (7)). Отметим, что при таком подходе волатильность определяется без предположения о безарбитражности рынка и без предположения о распределении процесса X, как это принято в финансовой математике. Кроме того использование Я-инверсии обеспечивает вводимому понятию практическую наглядность.

Помимо этого в данном параграфе описывается подход к определению меры изменчивости, основанный на величинах Ур\н, X), и^\Н,Х). Кроме того исследуется метод оценки колебания цен на заданном интервале посредством Я-инвсрсии.

В Главе 2 описываются основные модели.

В параграфе 2.1 вводятся гепко Я-стратегии, основанные на том статистическом факте, что на финансовом рынке эмпирическое значение Я-волатильности первого порядка того или иного актива X достаточно хорошо аппроксимируется функцией аН, где величина а зависит только от самого актива. При этом, если значение а отлично от двойки, данные стратегии позволяют извлекать арбитраж, имеющийся для данного актива. В настоящей работе мы полагаем, что инвестор имеет возможность "коротко" продавать актив X (то есть брать его взаймы с целью продажи), а процентная ставка за взятие взаймы денег и актива равна нулю. Кроме того за сделку с единицей актива X уплачивается комиссия в размере А > 0.

Остановимся подробнее на kagi случае, в случае гепко все аналогично. Для процесса X на [0, Т] рассмотрим kagi Я-построение (т*, тп)п=0.....ят(н,х) и рас-

смотрим ка^ Я-волатильность первого порядка, то есть величину гуг(Н, X) (индекс р = 1 опускаем). Скажем, что процесс X обладает свойством кадг, если выполнено

г11тоЕ^(Я,Х) = К(Н)Н (8)

Данное свойство, как показывает статистический анализ, имеет место на финансовом рынке (см. рис. 3), а поэтому модели, вводимые ниже, вполне адекватны реальности. Определим процесс ~ук = {'у(С)о<г<т следующим образом: ладя.х)

7* = £ ^п(Х(т„_1) - Х«_1))х[г„_1,г„)(<) (ХЩЯ)>2} - Х{АГ(Н)<2}) л=1

Процесс ■ук, который задает количество актива X в портфеле инвестора, будем называть кадг Я-стратегией процесса X на [О, Т]. Иными словами, в портфеле содержится единица актива X со знаком, а переформирование происходит в марковские моменты г„. Отметим при этом, что если К{Н) < 2, то инвестор действует против рынка, то есть в момент т„ продает, когда цена растет, и покупает, когда цена падает (см. рис. 1). Если К(Н) > 2, то инвестор действует сонаправленно с рынком.

Капитал в момент времени ^ € [О, Т*|, соответствующий данной стратегии, с учетом издержек обозначим через

У*{Н,Х) = / - А /|й7*|

о о

Рассмотрим также величину, определяющую средний доход одной транзакции на интервале [О, Т\ для стратегии ■ук:

..к(U v\ —

YTK(H,X) Ут{Н'Х) = NT(H,X)

Теорема 2.1.5 Пусть процесс X обладает kagi свойством, а его траектории являются непрерывными функциями, тогда для kagi Н-стратегии выполнено

lim Еу$(Я, X) = |К(Н) - 2|Я - 2А

Г-++оо

Заметим, что в случае К(Н) = 2 (в частности для винеровского процесса) kar gi Я-стратегия не приносит прибыли, что вполне соответствует классическому пониманию безарбитражности рынка. Если же величина \К(Н) — 2\Н — 2\

Рис. 1: Сигналы kagi Я-стратегии (Я = 1) для случая К(Н) < 2

является положительной, то kagi Я-стратегия становится арбитражной, то есть для достаточно большого Т доход нашей стратегии будет положительной в среднем величиной при нулевом начальном капитале. Кроме того, как показывает статистический анализ (см.рис. 3 ниже), К(Н) можно считать константой для достаточно широкого интервала значений Я. А это в свою очередь позволяет говорить, что kagi Я-стратегия не зависит от Я, а является характеристическим свойством рассматриваемого финансового инструмента.

Рассмотренные в параграфе 2.1 арбитражные стратегии уместно сравнить с моделью, также допускающей существование на рынке арбитражных возможностей, в которой процесс X является автомодельным процессом с параметром Xapcma Н (подробнее см. [2], гл.III, §2с). Использование процессов данного вида позволяет адекватно моделировать присущее финансовому рынку свойство самоподобия, состоящее, грубо говоря, в том, что многие активы на малых и больших временных интервалах ведут себя „схожим образом". Данное свойство проявляется, в частности, в „регулярной" зависимости Д-волатильности (упоминавшейся выше) от параметра Д, что позволяет оценить параметр Харста. При этом оказывается, что для многих финансовых

активов Н ф 1/2 (см.[2], гл.Г/,§ЗЬ). Это может служить дополнительным подтверждением того, что рынок, вообще говоря, не является безарбитражным. Однако, сам по себе этот факт не приводит к созданию конкретных арбитражных стратегий, а может служить лишь для выбора адекватного распределения процесса X. В то же время аналогичное проявление свойства самоподобий финансового рынка в поведении Я-волатильности позволяет явно находить арбитражные возможности без какого-либо предположения о распределении процесса X. Данное отличие, по всей видимости, является следствием расхождения в методах построения последовательности цен, исходной для статистического анализа. А именно, при построении Д-волатильности используется "римановский" подход, то есть значения цен группируются по временнбй оси с шагом Д. А для анализа Я-волатильности предлагается "лебеговский" подход, то есть существенны лишь изменения цен на величину, не меньшую Я, а время, за которое эти изменения происходят, вообще говоря, не имеет значения.

В параграфе 2.2 описывается метод построения нетривиального прогноза будущего значения цены X посредством 1^1,гепко Я-построений. Рассмотрим произвольные положительные числа Л+, А~ и для текущего момента времени t определим величину

цЦ,А+,А~) = т£{и>*:Х(и)0(ЛГ(*)-Л-,Х(«) + А+)} (9)

Цель прогнозирования состоит в том, чтобы оценить вероятности Р+, Р~ соответствующих событий

= {Х{ц{1,А\А-))>Х{Ь) + А+}, (10)

П- = {Х(ц(1,А+,А~))<Х«)-А-} (И)

Для этого на интервале [0, £] динамически строим ка§1, гепко Я-построение, то есть последовательность (0*, #^¿=0, которая обозначает либо последовательность (г*,т„)п=01 ,ЩН,Х)< либо (Рт, ртп)т~о,.. ,м,(н,х) (из практических соображений, не ограничивающих общности задачи, рассматриваются только те моменты времени для которых t = в}). Далее по заданному натуральному <2 < I определяем набор целых чисел Кн(г), * = 1, . ,<2 таких, что выполнены неравенства для всех г = 1,..., С}

ъх^а^Кн^Н <|а,|< ^п{а,){КнЦ) + яр»(а,))Я (12)

где а, = - г = 1, ...,<5 (в гепко случае выполняется

только равенство, поскольку а,/Я — целое). Набор {Кн(1), Кц(С))} будем называть Н-паттерном длины Отметим, что в случае непрерывных траекторий процесса X, как было показано ранее, ка^ Я-построение определяет наилучшее кусочно-монотонное приближение реализации X, поэтому в этом случае можно показать, что введенное понятие задает соответствующий класс подобия кусочно-монотонных функций порядка

Понятие Я-паттерна позволяет формализовать многие фигуры технического анализа, широко используемые в реальной торговле на интуитивном уровне. Например, на рис. 2, на котором представлен график внутридневных цен фьючерса на индекс N88(^100 за 20.09.2002, для текущего момента í выделен реализовавшийся Я-паттерн {+1,-2,-1-2,-1} для Я = 3, Q = 4, построенный по kagi Я-построению. Отметим, что данный Я-паттерн описывает фигуру технического анализа, которую на практике называют „перевернутые голова и плечи".

Рис. 2: Пример kagi Я-паттерна {+1,-2,+2,-1} для Я = 3

Далее, анализируя исторические данные о ценах, находим все такие ситуации, где цена вела себя подобным образом, то есть реализовывался соответ-

ствующий Я-паттерн, и, исходя из статистики дальнейшего поведения цены, эмпирически вычисляем вероятности Р+, Р~. Иными словами, мы предполагаем, что условное распределение случайной величины А+, /I-))—Х{Ь) при условии реализации паттерна (1), ...,Кн{Я)} имеет вид:

Тогда очевидно, что достаточно большое значение |А+Р+ — А~Р~|, равное ¡Е(X(fj,(t, А+, А~)) - X(i))|, может служить сигналом покупки или продажи финансового актива в момент времени t. В связи с этим основная цель состоит в поиске таких Я-паттернов длины Q для некоторых Q, А+, А~, чтобы значение ]Л+Р+ — А~Р~\ было достаточно велико, то есть больше некоторого порогового значения, оцененного исходя из размера комиссии и других характеристик рынка.

Оказывается, и в этом состоит основная практическая ценность предлагаемой модели, что во многих случаях эффективный прогноз возможен, в частности, при построении внутридневных прогнозов (см. таб. 1 ниже). Объяснение этому, видимо, следует искать в психологии поведения участников рынка. Стоит отметить, что в рамках классической финансовой математики в силу гипотезы безарбитражности рынка процесс X являлся бы мартингалом (для нулевой процентной ставки). А это означало бы невозможность построения эффективного прогноза, так как в этом случае Е{X{p{t, А+, A~))—X(t)) — 0.

Глава 3 содержит результаты статистического анализа данных о ценах фьючерса на индекс SP500 (EminiSP500) и фьючерса на индекс Nasdaq-100 (EminiNasdaqlOO), торгуемых на бирже СМЕ (Chicago Mercantile Exchange). В настоящей работе используются внутридневные цены, то есть предполагается, что время t изменятся дискретно с интервалом в 1 секунду. Для определенности, в качестве X(t) берется значение последней сделки в момент времени t. Значение Н измеряется в пунктах соответствующего фьючерса. Изменение на 1 пункт соответствует изменению денежной позиции: на $50 для EminiSP500, на $20 для EminiNasdaqlOO. При этом минимальный шаг изменения цены равен 0.25 пункта для EminiSP500 и 0.5 пункта для EminiNasdaqlOO.

X(fi(t, Л-)) - X(t) |{Кя(1).....КиШ = |

А+, Р+ -А', Р-

В параграфе 3.1 исследуется гепко Я-волатильность порядка р для случаев р = 1,2, как наиболее важных с практической точки зрения. Для каждого торгового дня за 2002-2003 гг. вычисляются соответствующим образом ка^, гепко Я-инверсия и величины (1), (2). В окончательных расчетах скачки цен между днями не учитываются, то есть величина г$\н,Х) рассчитывается как частное суммы внутридневных величин (1) и суммы внутридневных kagi Я-инверсий, где суммирование ведется по всем торговым дням за 2002-2003гг. (в гепко случае все аналогично). Оказывается, что построенные таким образом эмпирические величины т}т\н,Х)/Нр, $\Н,Х)/Нр для случаев р = 1,2, хорошо аппроксимируются константами (см.,например, рис. 3 для р = 1).

3

гепко

Н

........I — "Г ■—■•'-»' —I-1 ■ I-I ■— I-1111111 ---

0 75 1 125 1 5 1 75 2 2 25 25 275 3 325 35 375 4 4 25 4 5

Рис. 3: График тгг(Н,Х)/Н, £т(Н,Х)/Н для ЕпишЭРбОО за 2002-2003гг.

Статистический анализ показывает также, что Я-волатильность является устойчивой характеристикой финансового актива в зависимости от колебаний рынка. То есть для "бурных" и "спокойных" дней значения Я-волатильности близки друг к другу. Например, на рис. 4 приведен график внутридневной величины т1г(Н,Х)/Н в случае Я = 1.5 для ЕпишЭРбОО в зависимости от г-ого торгового дня за период 2002-2003гг, интервал [0, Т\ в данном случае

означает торговый период г-ого дня. Иначе говоря, Я-волатильность является некоторой фрактальной характеристикой финансового актива, в то время как степень активности рынка хорошо отражается Я-инверсией (см. пар. 1.5).

2 5

1.5

0.5

о -и

оооооооооооооосэоооо

хщгосотзгойшхшгасэЗйа)*«

Рис. 4: График внутридневной величины тг(Я,Х)/Я, Я = 1.5 для Егт-шБРбОО. Интервал [О, Т] означает торговый период г-ого дня.

Также в данном параграфе анализируются внутридневные цены акции РАО ЕЭС, торгуемой на российской бирже ММВБ.

В параграфе 3.2 исследуются величины (6), (7). Статистическая база расчета и анализируемые активы те же, что и в параграфе 3.1. Также не учитываются разрывы цен между днями, то есть в выражении (6) величина Л^Я, X) — есть сумма внутридневных Я-инверсий, а Т — есть сумма длин интервалов внутриторговых периодов (за единицу времени принят один день), где суммирование ведется по всем торговым дням за 2002-2003гг. (в гепко случае все аналогично). На рис. 5 приведен график величин = Vгепко — Отепко{Н) Для ЕгшшБРбОО.

Также в данном параграфе проводится статистический анализ меры изменчивости, основанный на величинах (1), (2) для случая р = 2. Кроме того показывается, что между внутридневной амплитудой колебания цены и Я-

инверсией существует устойчивая связь, не зависящая от Я.

40 35 30 25 20 15 10 5 0

гепко

кад1

Н

-Г " I-Г---- 1-1-!-1-1-1-1-1-1-1-

0 75 1 1 25 1 5 1 75 2 2 25 2 5 2.75 3 3 25 3 5 3 75 4 Рис. 5: График сгка#{Н), агтко(Н) для ЕгшшЭРБОО за 2002-2003гг.

В параграфе 3.3 приведены результаты моделирования внутридневных ка§1, гепко Я-стратегий для данных фьючерсов в случае К{Н) < 2, Я(Я) < 2 (параметр Я(Я) возникает из соотношения, аналогичного ( 8), для гепко Я-волатильности). Предполагаем, что параметры К(Н), Я(Я) были оценены по 2002 году, а моделирование осуществлялось в 2003 году, при этом в течение всего периода торговли оценка параметров К{Н), Л(Н) не менялась, что говорит о сильной устойчивости данных стратегий во времени. Считаем, что за сделку с одним контрактом взимается комиссия в размере $2.5. Кроме того, поскольку стратегии являются внутридневными, в конце дня ненулевая позиция по фьючерсам закрывается по цене последней сделки. То есть на начало и на конец дня в нашем портфеле фьючерсы отсутствуют, а каждому дню соответствует некоторый доход. На рис. 6 приведена динамика дохода данных стратегий (в долларах США) накопительным образом с начала 2003 года для ЕпнтБРбОО, Я = 1.5.

В параграфе 3.4 приведены некоторые Я-паттерны, для которых возможен нетривиальный прогноз. Для подсчета статистики мы брали данные о

оо со со «о «о со со со <о СО

о о о о О о о О о о

А ш ¿. >± ± с |Л т ± £

X ф со С СО 2 ф

и: -в- 2 ОТ 2 X от о о

<Е С£

Рис. 6: Доход кар, гепко Я-стратегии (Я = 1.5) для ЕгшшЭРбОО за 2003г.

ЕгшшКа8с1ая100

я КН(1),...,КН(4) ЛГ+

+4,-2,+3,-1 6 20

+2,-4,+3,-1 13 2

2 +1,-1,+4,-1 177 121

+1,-2,+5,-1 36 13

+3,-3,+2,-1 13 1

3 +1,-2,+2,-1 212 141

-1,+2,-2,+1 131 214

-1,+2,-3,+1 51 84

ЕтшЗРбОО

Я КН(1),..,КН(4) лг-

+2,-3,+2,-1 56 27

1 +1,-2,+3,-1 137 86

-1,+1,-4,+1 71 141

-2,+1,-3,+1 85 140

+3,-1,+3,-1 25 6

1.5 +1,-2,+3,-1 56 29

-1,+1,-4,+1 36 69

-3,+1,-3,+1 11 22

Таблица 1: Статистика kagi Я-паттернов

внутридневных ценах фьючерсов за год, а именно, за период с 01.10.2001г. по 09.09.2002г. (во всех случаях А+ = А~ — H,Q — 4). Для лучшего представления о мощности статистической выборки вместо эмпирических вероятностей Р+ и Р~ приведены числа N+ и N~, обозначающие количество элементов множества (10), (11) соответственно. Таблица 1 дает информацию о числах N+ и N~ для некоторых Я-паттернов, найденных для указанных фьючерсов по kagi Я-построению. Например, для Я-паттерна {+1, —2,+2, -1}, Я = 3 для EminiNasdaqlOO, как видно из данной таблицы, в соответствующий момент надо покупать. Из графика на рис. 2 можно заметить, что, используя данный сигнал, мы бы заработали 3 пункта на один контракт, что соответствует прибыли в размере $60. Указанные в таблице „перекосы" носят устойчивый характер и проявляются при рассмотрении и других временных интервалов. Объяснение этому, по-видимому, следует искать в психологии поведения участников рынка.

Список литературы

[1] Севастьянов Е.А. Кусочно монотонная аппроксимация и Ф-вариации // Analysis Mathematica, 1975, V.l, Р.141-164.

[2] Ширяев А.H. Основы стохастической финансовой математики — М.: Фазис, 1998, том 1.

[3] Nison S. Beyond candlesticks: New Japanese charting techniques revealed — USA: John Wiley к Sons, 1994.

Список опубликованных работ по теме диссертации

1)Кашин Б. С., Пастухов C.B. О краткосрочном прогнозировании на рынке ценных бумаг // Доклады РАН, 2002, том 387-6, с.754-756.

1)Пастухов C.B. Об Я-волатильности в финансовой математике // Успехи мат. наук, 2003, том 58, вып.1, с.191-192

3) Пастухов С В. О некоторых вероятностно-статистических методах в техническом анализе // Теор. вер. и ее прим., 2004, том 49, вып.2, с.297-316

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ им. М В Ломоносова. Подписано в печать 0(. /О. 04 _

Формат 60x90 1/16 Усл. печ. л.1

Тираж 100 экз Заказ

Лицензия на издательскую деятельность ИД В 04059, от 20.02 2001т

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета

I

!

\

i

i

о/ м - о ^з

РНБ Русский фонд

2006-4 1383

1

I

\

1

Диссертация: содержание автор диссертационного исследования: кандидата физико-математических наук, Пастухов, Станислав Вениаминович

Введение

1 Основные конструкции

1.1 Kagi, renko //-построения.

1.2 Kagi, renko //-инверсия. Связь kagi, renko //"-построений с кусочно-монотонными аппроксимациями.

1.3 Kagi, renko //-волатильность.

1.4 Свойства //-волатильности и //-инверсии винеровского процесса

1.5 //-инверсия как мера изменчивости.

2 Описание моделей

2.1 Одношаговая модель. Kagi, renko //-стратегии.

2.2 Многошаговая модель. Понятие //"-паттерна. Kagi, renko прогнозирование.

3 Статистический анализ

3.1 Анализ //-волатильности.

3.2 Анализ Я-инверсии. Оценивание волатильности.

3.3 Моделирование kagi, renko //-стратегий.

3.4 Анализ //-паттернов.

Диссертация: введение по экономике, на тему "О некоторых вероятностно-статистических методах в техническом анализе"

Настоящая диссертация посвящена исследованию некоторых методов технического анализа финансового рынка. Под техническим анализом мы понимаем статистический анализ процессов, описывающих поведение цен и объемов сделок и заявок на покупку или продажу финансовых активов, с целью прогнозирования будущего поведения цен.

Первые шаги в использовании технического анализа на финансовых рынках были сделаны еще в XVII веке в Японии (см. [30], гл.2), однако той популярности, которой он пользуется у финансовых аналитиков в настоящее время, технический анализ во многом обязан бурному раз-йитию рынка -в девяностых годах XX века. Связано это прежде всего с тем, что широкое применение электронно-вычислительных машин качественно повысило эффективность получения, хранения и обработки поступающей на рынок информации, в результате чего резко увеличился объем совершаемых на рынке сделок (см., например, [16], стр. 7), и, как следствие, появилось огромное число инвесторов с короткими интервалами инвестирования (в частности, внутри одного дня). И если в случае долгосрочных инвестиционных горизонтов определяющую роль играет фундаментальная информация (глобальное состояние экономики и т.д.), то при сокращении временных горизонтов доминирующую роль начинает играть технический анализ (см. также [11], гл.1, §2£; [7]).

Однако, несмотря на его широкую востребованность со стороны финансового рынка/действия технических аналитиков по-прежнему носят, как правило, субъективный (интуитивный) характер, что приводит порой к прямо противоположным прогнозам относительно будущего движения цен. Невысокий уровень теоретического обоснования выводов технического анализа может быть объяснен отчасти следующим. Финансовая математика до недавнего времени развивалась (и развивается до сих пор) в основном в духе концепции безарбитражности (или эффективности) рынка, что с наглядной точки зрения означает отсутствие на нем арбитражных возможностей, то есть возможностей для извлечения прибыли без риска (подробнее см. [11], гл.1, §2). Иначе говоря, находясь в рамках теории эффективного рынка, классическая финансовая математика исходит из того, что поведение инвесторов обусловлено „рациональными" причинами, в то время как для технического анализа более важно „эмоциональное" состояние рынка. Но если для долгосрочных инвестиционных горизонтов гипотеза безарбитражности еще остается в какой-то степени приемлемой, то для коротких временных интервалов, где, как известно из практики, регулярно возникают арбитражные возможности, классическая финансовая математика, очевидно, не в состоянии адекватно описывать поведение рынка.

Основной целью данной работы является построение модели поведения цен финансового актива, описываемых одномерным случайным процессом X = (X(t))t>о, и создание стратегий, которые позволяют реализовать арбитражные возможности. Отметим, что лежащие в их основе kagi, renko Н-построения (известные техническим аналитикам, как kagi, renko charts), использовались на финансовых рынках еще в XIX веке в Японии (см. [30], гл.8).

Основными аспектами, принципиально отличающими тему настоящей диссертации от исследований классической финансовой математики, являются следующие:

I) не постулируется отсутствие арбитражных возможностей на рынке

II) не делается предположение о распределении процесса X

Основные результаты работы являются новыми. Среди них

• для случайного процесса, траектории которого непрерывны справа и имеют пределы слева, определены следующие понятия: ДГ-вола-тильность и ¿/"-инверсия

• получены некоторые свойства Л"-волатильности и //"-инверсии в случае винеровского процесса

• построены стратегии, которые при определенных значениях #-вола-тильности позволяют реализовать имеющиеся на рынке арбитражные возможности

• , , . . -. к . \ 1 I ! П ; . I .г.ч Л ''

• предложен математически строгий метод построения прогноза, основанный на анализе исторических данных посредством к^, гепко Я-построений

• описан новый подход к определению меры изменчивости (волатиль-ности) финансового актива

Комментарии к предположениям -(и), а также краткое пояснение основных результатов приведены ниже.

В настоящей работе использовались методы теории вероятностей и случайных процессов, математической статистики, аппарат кусочно-монотонных аппроксимаций, возникший в теории приближения.

Ряд полученных результатов носит теоретический характер. Практическая ценность заключается в том, что результаты работы могут эффективно использоваться на финансовом рынке. Отметим также, что предлагаемая методология может быть задействована также и в любой другой сфере экономики, где имеется адекватная статистика.

Для пояснения практической значимости полученных результатов остановимся подробнее на сформулированных выше предположениях (1) -(11). По поводу условия (1) уже было сказано, что одной из основных экономических концепций финансовой математики является гипотеза без-арбитражности рынка. Данная гипотеза помимо наглядного смысла допускает также и строгое математическое толкование, которое отражено в первой фундаментальной теореме расчетов финансовых активов (см.,например, [23], [18], [19], [20]). Эта теорема (с некоторыми оговорками) утверждает, что безарбитражный рынок — это такой рынок, для которого существует так называемая риск-иейтралъная (или мартингалъ-ная) мера, относительно которой цены образуют мартингал (подробнее о мартингалах см., например, [2], [4]). В частности, это поясняет невозможность построения нетривиального прогноза цен в рамках концепции безарбитражности, так как наилучшим прогнозом будущего значения мартингала является его значение в настоящий момент. В то же время на практике регулярно возникают ситуации, в которые возможен эффективный прогноз (особенно явно это проявляется на коротких временных интервалах). В настоящей работе приведены примеры таких ситуаций, а также математически строго изложен общий метод построения нетривиального прогноза. И все же, несмотря на неадекватность указанной теоремы реальной ситуации, важность ее в развитии финансовой математики трудно переоценить, поскольку подавляющее большинство моделей рынка возникало и до сих пор возникает в рамках концепции безарбитражности. Среди наиболее популярных и детально изученных безарбитражных моделей отметим модель Башелъе, модель Блэка-Мертона-Шоулса, модель Кокса-Росса-Рубинштейна, впервые описанных в работах [13], [14] и [29], [17] соответственно.

Переходя к обсуждению условия (ii), следует сначала сказать, что в финансовой математике существуют модели поведения рынка, не опирающиеся на концепцию безарбитражности. Наиболее популярной из них является модель со свойством автомодельностпи (или самоподобия), которое заключается в том, что процесс X = (X(t))t>o, описывающий поведение цен финансового актива, является автомодельным процессом с параметром Харста Н (>0), то есть для любого а > 0 выполнено

Law(XaU t > 0) = Law(aHXt,t > 0)

Одними из основных примеров таких процессов являются фрактальное броуновское движение с параметром Н и строго а-устойчивый процесс Леей, где а = 1/Н, а £ (0,2] (см., например, [11], гл.III, §2с). Популярность данной модели, в развитии которой помимо основополагающей работы [24] значительную роль сыграли, в частности, работы [26], [27], [28], объясняется тем, что многие финансовые активы обладают свойством статистического самоподобия, то есть, грубо говоря, на малых и больших временных интервалах они ведут себя „схожим образом". Иными словами, использование автомодельных процессов для описания поведения цен является вполне адекватным реальности шагом. Оценить параметр Н можно методами 1Z/S анализа и анализа А-волатильности (подробнее см., например, [11], гл.1У,§ЗЬ,§4), при этом оказывается, что для многих финансовых активов параметр Харста отличен от 1/2 (см. [22], [31]). Это может служить дополнительным подтверждением того, что рынок вообще говоря не является безарбтражным (случай Н = 1/2 соответствует винеровскому процессу). Однако сам по себе этот факт не приводит к созданию конкретных арбитражных стратегий, а может служить лишь для выявления свойств финансового рынка общего рода, например таких, как кластерностъ, сильное последействие и т.п. (подробнее см., например, [11], гл.Ш,§2с1, гл.1У,§4а). При подгонке же теоретических моделей к реальным статистическим данным для построения соответствующих прогнозов приходится делать априорное предположение о структуре распределения процесса X, которое в данном случае в общем виде состоит в том, что процесс X является фрактальным броуновским движением или строго а-устойчивым процессом Леви. Отметим, что в безарбитражном случае наиболее общим является предположение о семимартингальности процесса X (см., например, [11], гл.III,§5).

В настоящей работе при определении //-волатилыюсти, играющей ключевую роль в построении соответствующих стратегий, в отношении процесса X предполагается лишь то, что его траектории непрерывны справа и имеют пределы слева (данный параметр Н не есть параметр Харста Н). Отметим, что данное ограничение для финансового рынка является максимально общим, поскольку поведение цен для любого актива может быть описано процессом из данного класса. Статистический анализ #-волатильности выявляет, как и в случае 7£/с> анализа и анализа Д-волатильности, присущее финансовому рынку свойство самоподобия. Но при этом, в отличие от описанной выше модели, в настоящей работе удается явно построить арбитражные стратегии, используя только лишь этот статистический факт, который проявляется в определенной зависимости 77-волатильности от параметра Н. Стоит, правда, заметить, что реализация таких стратегий требует в некоторых случаях непрерывности траекторий процесса X. Данное ограничение является вполне адекватным реальности, например, когда потиковое изменение цены на каждом шаге либо сравнимо с минимальной ее дискретностью, либо является малой величиной по отношению к Н.

Обратимся еще раз к тому факту, что в отличие от упомянутых выше методов анализа и анализа А-волатильности, предлагаемая в настоящей работе методика анализа 77-волатильности позволяет не только выявить на рынке арбитражные возможности, но и в явном виде реализовать их. Данное преимущество, по всей видимости, является следствием следующего различия. В финансовой математике при статистическом анализе, как правило, рассматривают данные, поступающие равномерно через определенный промежуток времени Д. Можно сказать, что с экономической точки зрения параметр А при таком подходе классифицирует инвесторов в зависимости от их временных горизонтов на долгосрочных и краткосрочных. В настоящей работе для нас существенным будет лишь изменение цены на величину, не меньшую некоторого заданного Н > 0, а время, за которое это изменение произошло, вообще говоря, не учитывается. Иными словами, мы классифицируем инвесторов в зависимости от их отношения к уровню прибыли или убытка. Например, для одного инвестора потери в $1 в некотором активе являются весомыми, а для другого инвестора изменения этого же актива на $5 даже не берутся в расчет. Иначе говоря, в отличие от используемого в финансовой математике „римановского подхода", когда значения X группируются по временной оси, в настоящей работе применяется „лебеговский подход".

Кроме того в финансовой математике принято считать, что процесс X определяет цены (¿>(£))*>о финансового актива посредством соотношения б'(^) = 5(0)В настоящей работе мы полагаем = Х(Ь), тем самым придавая вводимым понятиям ббльшую практическую наглядность. Эта наглядность особо проявляется, если рассматривать краткосрочные временные интервалы.

По теме диссертации автором опубликовано три работы. Результаты работы докладывались автором на научных семинарах:

Многомерный статистический анализ и вероятностное моделирование реальных процессов" (ЦЭМИ РАН);

Большой семинар кафедры теории вероятностей" (механико-математический факультет, МГУ им. М.В. Ломоносова)

Диссертация состоит из введения, 3 глав, 11 параграфов и списка литературы. Во Введении поясняются цели диссертации и обосновывается ее актуальность. В Главе 1, состоящей из пяти параграфов представлены основные конструкции и введены основные понятия для процесса X = (^(¿))*>сь траектории которого непрерывны справа и имеют пределы слева. В параграфе 1.1 описываются kagi, гепко //-построения для процесса X на интервале [О, Т]. В параграфе 1.2 вводятся определения kagi, гепко Н-инверсии для процесса X на интервале [0,Т] — определения 1.2.1, 1.2.2. Для случая, когда траектории процесса X непрерывны, показано, что kagi, гепко //-построения являются оптимальными в определенном смысле кусочно-монотонными аппроксимациями непрерывной функции — основной результат отражен в леммах 1.2.4, 1.2.5. В параграфе 1.3 определяется kagi, гепко //-волатильность порядка р для процесса X на интервале [О, Т] — определения 1.3.4, 1.3.5. Для случая р = 1, играющего ключевую роль при построении арбитражных стратегий, показывается, что введенное понятие тесным образом связано с вариационными характеристиками процесса X — лемма 1.3.1. Также проводится аналогия между //-волатильностью и Д-волатильностью. В параграфе 1.4 исследуется предельное поведение Н-волатильности и //-инверсии (при Т +оо) для винеровского процесса. Основные результаты содержатся в теоремах 1.4.1, 1.4.2. В параграфе 1.5 описан новый подход к определению меры изменчивости (волатильности) процесса X, основанный на использовании //-инверсии и //"-волатильности