Портфельный анализ и краткосрочные инвестиционные стратегии на фрактальном фондовом рынке РФ тема диссертации по экономике, полный текст автореферата

Автореферат диссертации по теме "Портфельный анализ и краткосрочные инвестиционные стратегии на фрактальном фондовом рынке РФ"

На правах рукописи

004607231

Владыкин Сергей Николаевич

ПОРТФЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ И КРАТКОСРОЧНЫЕ ИНВЕСТИЦИОННЫЕ СТРАТЕГИИ НА ФРАКТАЛЬНОМ ФОНДОВОМ РЫНКЕ РФ

Специальность:

08.00.13 Математические и инструментальные методы экономики

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание степени кандидата экономических наук

2 2 ИЮЛ ?0Ю

Воронеж-2010

004607231

Работа выполнена в Автономной образовательной некоммерческой организации высшего профессионального образования «Институт менеджмента, маркетинга и финансов» (г. Воронеж)

доктор экономических наук, профессор Яновский Леонид Петрович

доктор физико-математических наук, профессор Берколайко Марк Зиновьевич;

кандидат экономических наук, доцент Концевая Наталья Валерьевна

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уфимский государственный авиационный технический университет»

Защита состоится 6 июля 2010 года в 11 час. 00 мин. на заседании диссертационного совета ДМ 212.038.21 при Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Воронежский государственный университет» по адресу: 394068 г. Воронеж, ул. Хользунова, 40, ауд. 225.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Воронежский государственный университет».

Автореферат разослан ^ июня 2010 года.

Ученый секретарь диссертационного совета

Научный руководитель

Официальные оппоненты:

Ведущая организация

I. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Как известно, российскому рынку ценных бумаг присущи следующие особенности: неликвидность значительной доли ценных бумаг, доминирующее влияние игровых спекулятивных операций, резкое изменение тенденций, отсутствие зависимости стоимости акций от финансовых результатов эмитента, информационная непрозрачность, доминирующее значение политических и макроэкономических факторов, большая волатилыюсть. Все это вызывает большие трудности для оценки и прогнозирования значений рыночных показателей и усложняет применение долгосрочных инвестиционных стратегий. Вследствие чего наиболее популярна сейчас активная стратегия управления портфелем, которая сводится к частому пересмотру портфеля в поисках финансовых инструментов, неверно оцененных рынком, и торговле ими с целью получить более высокую доходность. Однако такой подход трудно соотнести с традиционными способами построения оптимального рыночного портфеля, которые, в силу использования в своей основе средних значений доходности, рассчитаны на долгосрочные инвестиции (пассивную стратегию управления портфелем). В связи с этим возникает необходимость в разработке стратегий для краткосрочных портфельных инвестиций, по возможности свободных от предположений о рыночной эффективности, которая в последнее время очевидным образом нарушается.

В теоретическом плане остается много вопросов по исследованию влияния транзакционных издержек на результаты инвестирования.

Отметим, что особую роль в современной экономической науке, равно как и практической деятельности, играет проблематика рисков. Вопросы идентификации, систематизации, анализа, количественной оценки и управления рисками занимают важное место как на уровне теоретической литературы и научных исследований, так и в системе реальной экономики. Объективная реальность развития рынка свидетельствует о том, что на данном этапе требуются новые подходы к формированию портфеля ценных бумаг, новые способы оценки рыночного риска в условиях текущей сверх-рискованности российского рынка акций и невозможности долгосрочного и среднесрочного прогнозирования тенденций фондового рынка.

Степень разработанности проблемы. Начало исследований в области моделей портфельного инвестирования было положено Г. Марковицем в 1952 году. В настоящее время развитие теории оптимального портфеля продолжается. Значительный вклад в исследование рынка ценных бумаг внесли, прежде всего, лауреаты Нобелевских премий (Дж. Тобин, Г. Марковиц, У.Ф. Шарп, М. Шоулс, Р. Ингл), а также ряд других зарубежных (Г. Дж. Александер, Дж. В. Бейли, Г. Джен-кинс, Дж. Линтнер, Д. Мерфи, Дж. Моссин, Д. Нельсон, С. Росси др.) и отечественных (Л.О. Бабешко, М.З. Берколайко, A.B. Воронцовский, В.В. Давние, В.Н. Едронова, Ю.П. Лукашин, Я.М. Миркин, А.О. Недосекин, В.И. Тинякова, Е.М. Че-тыркин, Л. П. Яновский и др.) ученых.

Большое внимание проблематике рисков портфельного инвестирования также уделялось в работах К. Рэдхэда, С. Хьюса, И.Т. Балабанова, В.Р. Евстигнеева. Влияние транзакционных издержек на результаты портфельного инвестирования в теоретическом аспекте изучалось в недавней монографии Ю.Кабанова и М. Сафа-риана. Г.А. Агасандян и Ф.И. Ерешко рассмотрели случай многопериодных порт-

фелей и локально-оптимальные стратегии в задаче управления портфелем ценных бумаг в динамике.

Однако, как уже отмечалось, эти работы, в основном, касаются оценок риска долгосрочного портфельного инвестирования, тогда как современные рыночные реалии требуют аппарата для получения оценок риска в краткосрочных стратегиях.

Объект исследования - динамика базовых активов, торгуемых на биржах РТС, ММВБ, FORTS.

Предметом исследования в настоящей работе является математический аппарат теории САРМ для мониторинга рыночной доходности активов, стратегии формирования портфеля ценных бумаг с оптимальным горизонтом инвестирования и краткосрочные стратегии прогноза динамики рыночного индекса.

Цели и задачи диссертационной работы. Целью данного исследования является выявление эмпирических закономерностей динамики индекса российского фондового рынка и развитие математического аппарата формирования оптимального портфеля ценных бумаг для стратегий долгосрочного инвестирования с применением нового критерия оценки устойчивости портфеля, а также построение на основе выявленных закономерностей краткосрочной торговой стратегии с использованием фьючерса индекса РТС.

Для реализации поставленной цели в диссертационной работе были поставлены и решены следующие задачи:

1) изучены современные подходы к формированию портфеля ценных бумаг на основе теории фрактального рынка;

2) методика глобальной оптимизации экстремальных задач с ограничениями на основе стохастического лучевого поиска оптимального решения методом эмуляции «отжига» распространена на задачи поиска оптимальных весов инвестиционного портфеля;

3) на основе новых показателей устойчивости роста стоимости портфеля разработаны оптимальные портфели с учетом стратегии рефинансирования и выбора инвестиционного горизонта;

4) осуществлено тестирование программной реализации алгоритмов формирования портфеля ценных бумаг и торговых стратегий;

5) разработан векторный вариант САРМ модели финансового рынка учитывающий инвестиционный горизонт и степень уклонения от риска инвестора.

6) проведен анализ прогнозных «русел» и «джокеров» для временного ряда индекса РТС, и на основе проведенного исследования предложена краткосрочная стратегия работы на рынке FORTS фьючерсами на индекс РТС.

Область исследования. Диссертационная работа выполнена в рамках п. 1.6. «Математический анализ и моделирование процессов в финансовом секторе экономики ...», паспорта специальности 08.00.13 - «Математические и инструментальные методы экономики».

Теоретическую и методологическую основу исследования составили современная теория финансовых рынков, а также последние достижения в области математического моделирования. В процессе работы над диссертацией использовались труды отечественных и зарубежных ученых в области построения моделей портфельного инвестирования, инвестиционного менеджмента, применения мето-

да стохастических направлений решения экстремальных задач с ограничениями к анализу фондовых рынков.

Информационно-эмпирическую базу исследования составили материалы научной периодической печати, архивы котировок цен акций и индексов, расположенные на официальных сайтах ЗАО Финам (www.finam.ru) и Российской Торговой Системы (www.rts.ru). Обработка данных проводилась на ПЭВМ с использованием пакетов статистического анализа данных, оригинальных программ на языке JAVA, тестирование представленных методик осуществлялось с помощью оригинального программного обеспечения.

Научная новизна заключается в разработке подхода к управлению портфелем ценных бумаг, отличающегося от существующих тем, что портфельный анализ проводится с учетом нового критерия доходность-риск, на учете склонности инвестора к риску, с учетом горизонта инвестирования и числа реинветирований капитала портфеля.

Научную новизну содержат следующие результаты диссертационного исследования:

— разработана методика формирования портфеля ценных бумаг, обеспечивающая применение стратегий инвестирования с учетом числа реинвестирований капитала и горизонта инвестирования;

— предложены различные варианты нового двупараметрического критерия доходность-устойчивость для оценки качества портфельных стратегий, в рамках которого, в частности, доходность связывается с не со средней доходностью, а с темпом роста капитала портфеля, а оценка устойчивости основана на величине расхождения между средней арифметической и средней геометрической доходностью портфеля;

— исследована связь между стратегией реинвестирования портфеля и склонностью инвестора к риску путем построения риск-нейтральных и риск-уклоняющихся функций полезности для стратегии Марковица, стратегии «купил и держи», модели Мертона - Самуэльсона;

— разработан векторный аналог модели САРМ на основе оценки связи темпа роста доходности актива с темпом роста доходности рыночного индекса с учетом числа реинвестирований в актив на протяжении заданного инвестиционного горизонта;

— построена скрытая Марковская цепь состояний, свойства которой позволили создать работоспособную стратегию краткосрочного прогнозирования рыночного индекса, опираясь на эмпирические свидетельства о том, что индекс РТС обладает значительной детерминированной компонентой;

— предложен и реализован алгоритм стохастического лучевого поиска, с эмуляцией «отжига», поиска глобального решения экстремальной задачи с ограничениями для расчета весов оптимального портфеля. Данный алгоритм ранее применялся в теории финансов только для расчета коэффициентов нейросетевых моделей.

Практическая значимость исследования заключается в том, что сформулированные выводы и предложения, разработанные модели и алгоритмы могут быть использованы финансовыми учреждениями, частными инвесторами, разработчиками информационно-аналитических систем, другими субъектами рынка ценных

бумаг в качестве инструментария для получения дополнительной информации, способствующей повышению степени обоснованности инвестиционных решений.

Апробация результатов работы. Основные результаты исследования докладывались и обсуждались на: семинарах и научных сессиях Института менеджмента, маркетинга и финансов (г. Воронеж); I международной научно-практической Интернет-конференции «Анализ, моделирование и прогнозирование экономических процессов» (Волгоград, 2009), 32-й международной школе-семинаре «Системное моделирование социально-экономических процессов» (Вологда, 2009); V и VI международной научно-практической конференции «Экономическое прогнозирование: модели и методы» (Воронеж, 2009-2010).

Внедрение результатов исследования. Предложенные методы, модели и программы прошли успешную верификацию на реальных временных рядах российского фондового рынка. Отдельные результаты диссертационного исследования докладывались на семинаре и нашли применение в практической деятельности финансовой компании ООО «Инвестиционная палата». Предложенный автором алгоритм передан и внедрен в ЗАО «От Ойл». Результаты исследований применяются в практике ЗАО «От Ойл» и при чтении курсов лекций «Биржевое дело», «Информационные технологии в экономике», «Финансовая математика)^ Институте менеджмента, маркетинга и финансов (г. Воронеж).

Публикации. По теме диссертационного исследования опубликовано 8 работ, в том числе 3 статьи в журналах, рекомендованных ВАК РФ. Список публикаций приведен в конце автореферата. Лично соискателю принадлежит работа [6]. Остальные работы выполнены в соавторстве. В [1] диссертант разработал новый подход к решению задач портфельного инвестирования в условиях гипотезы фрактального рынка, в [2] обосновал новые критерии доходность-устойчивость для формирования оптимальных портфелей, в [3] получил формулу расчета трансак-ционных издержек для переформирования портфеля в случае различных стратегий реинвестирования, в [4] и [7] выявил возможности прогнозирования динамики фрактальных рынков на основе векторного аналога теории САРМ и рассчитал векторные коэффициенты Шарпа, в [5] разработал подход к получению краткосрочного прогноза индекса РТС на основе техники оценки состояний скрытых марковских цепей, в [6] и [8] исследовал связи между степенью уклонения инвестора от риска и стратегией построения и рефинансирования соответствующего оптимального портфеля.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованной литературы из 214 наименований, 2 приложений. Основной текст работы изложен на 151 страницах, содержит 11 таблиц и 30 рисунков.

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, определены предмет и объект исследования, сформулирована цель и поставлены основные задачи, решение которых необходимо для ее достижения, раскрыта научная новизна, теоретическая и практическая значимость результатов исследования.

В первой главе «Проблемы и исторический обзор теории финансового инвестирования» освящены проблемные вопросы современной теории финансовых рынков связанные с доказательством их фрактальности. Дано описание трех основных направлений для анализа и прогнозирования финансовых активов: это

фундаментальный, технический и количественный виды анализа. Изложены основные положения классической теории эффективных рынков.

В конце главы изучены особенности статистических законов фондового рынка охватывающих распределение доходностей инструментов, объемов торговли и числа совершаемых сделок

Во второй главе «Теория формирования оптимальных портфелей финансовых активов» изложена теория оптимального портфеля Тобина-Марковица и затем излагаются авторские альтернативные подходы к построению оптимальных портфелей на основе двупараметрического критерия «доходность -устойчивость», учитывающие фрактальность фондового рынка, в первую очередь наличие большого числа инвесторов с разным инвестиционным горизонтом, разным начальным капиталом и вследствие этого с разной склонностью к риску.

Получены формулы расчета транзакционных издержек на формирование и перебалансировку инвестиционного портфеля. Проведены расчеты оптимальных портфелей для российского фондового рынка как для различных групп инвесторов, с различными ограничениями на устойчивость портфеля, так и расчет обобщенных портфелей состоящих из отдельных портфелей с различными инвестиционными горизонтами и могущими включать один и тот же актив, но с разными условиями реинвестирования. Во второй главе также излагается авторская модификация алгоритма стохастического лучевого поиска глобального экстремума с эмуляцией «отжига». Данный алгоритм ранее не использовался для нахождения портфельных весовых коэффициентов, а использовался для поиска коэффициентов нейросетевых моделей.

Далее в диссертации изложены классические аспекты теории оценки финансовых активов (Capital Assets Pricing Model) и арбитражной теории оценивания (Arbitrage Pricing Theory). В конце главы разработан векторный аналог теории САРМ с учетом инвестиционного горизонта и числа реинвестирований актива и расчитаны коэффициенты Шарпа для инструментов с фиксированным горизонтом инвестирования. Здесь же излагаются новые результаты о связи между выбором стратегии рефинансирования портфеля и степенью уклонения инвестора от риска.

В третьей главе «Краткосрочные стратегии прогнозирования динамики рынка» изложены взгляды диссертанта на роль методов нелинейной динамики в прогнозировании случайных процессов с детерминированной компонентой.

В данной главе проведена оценка долговременной памяти у временных рядов на основе исследования поведения дисперсии ряда. Приведена методология расчета локальных Гельдеровых экспонент и анализ их флуктуаций в предкризисный период. Изложена авторская трактовка взглядов на пределы и возможности прогнозирования временных рядов в естественных науках, природе и экономике.

Установлено, что прогноз динамики индекса фондового рынка РФ средствами теории временных рядов возможен только для краткосрочного периода от 30 минут до 6 часов. Причем прогноз динамики вероятностный, регулярность прогноза с шансами оправдываемости 2 к 1 снижается от 60% для 30 минутного горизонта до 25% для 6-часового горизонта.

В конце главы на базе полученных результатов о свойствах временного ряда индекса РТС предложен индикатор для разработки механической торговой стратегии на основе оценки вероятности состояний скрытых Марковских цепей. Прове-

дены ретроспективные оценки эффективности применения стратегии на различных инвестиционных горизонтах от 30 минут до 6 часов.

В заключении изложены основные научные результаты и выводы диссертационного исследования.

II. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ И РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

Портфельный анализ с учетом инвестиционного горизонта

К настоящему времени исследователям становится ясно, почему ныне господствующая линейная парадигма эффективного рынка и рациональности инвесторов все более становится неадекватной для описания и моделирования быстрых изменений, непредсказуемых скачков, неожиданных качественных проявлений и сложных взаимодействий отдельных составляющих современного мирового рыночного процесса.

Предполагается, что отношение инвестора к риску зависит от возможности реинвестировать, восстанавливать капитал портфеля внутри инвестиционного горизонта. Приемлемый риск рассматривается как наличие свободных ресурсов у инвестора для определенного количества реинвестирований (восстановления) капитала портфеля до первоначального уровня.

Как известно, построение классического портфеля Тобина-Марковица сводится либо к максимизации арифметической средней доходности портфеля (выборочного математического ожидания портфеля, включая безрисковые инструменты) и ограниченности дисперсии портфеля, либо - к минимизации дисперсии портфеля при заданном уровне средней (арифметической) доходности. Инвестор, использующий портфель с такими характеристиками предполагает, что он будет составлять однопериодные портфели на одну и ту же сумму средств (балансировать портфель с постоянными долями инструментов и с постоянным капиталом вначале периода) в течение многих периодов, а число прогнозных периодов определяется числом предыдущих периодов, по которым вычислялась средняя доходность.

К сожалению, портфель с положительной средней доходностью может быть убыточен для долгосрочного инвестора. Приведем простой пример. Пусть долгосрочный первый инвестор вкладывает единицу капитала в портфель Тобина-Марковица на два периода, а второй краткосрочный инвестор вкладывает в каждом периоде в портфель Тобина-Марковица единицу капитала сроком на один период. Предположим, что в первом периоде потери портфеля составили 50% капитала, а во втором периоде доходность портфеля составила 70% вложенных средств. Тогда в результате потери первого инвестора за два периода составили 1-0,5*1,7=0,15 , то есть 15% первоначального капитала, а прибыль второго инвестора (0,5+1,7)- 2=0,2, то есть 10% от вложенного за два года капитала.

Таким образом, максимизация арифметической средней доходности в долгосрочном периоде, состоящем из N краткосрочных периодов, не означает, что построенный портфель при любой схеме управления капиталом портфеля даст наибольший рост капитала за тот же период. Наибольший прирост капитала за N периодов без ребалансировки обеспечит портфель с максимальным средним геометрическим темпом прироста, то есть портфель для которого

Tp=i|fi(l + di) -шах, (1)

где dj - доходность портфеля в i-м периоде (положительная или отрицательная) измеренная в долях капитала в конце (i-1) -го периода; (1 + dj)- окупаемость портфеля за i-й период.

Следовательно, максимизация средней арифметической доходности в портфеле Марковича - Тобина: во-первых дезориентирует наивного инвестора, ожидающего в каждом периоде средний рост капитала соответствующего средней доходности; во-вторых, долгосрочный инвестор, рефинансирующий весь капитал портфеля, использующий портфель Марковича - Тобина при ребалансировке (распределения капитала в соответствии с выделенными на каждый инструмент долями) портфеля в каждом периоде, строит (на исторических данных) портфель не с максимально растущим приростом капитала, а с ростом капитала меньше максимального, так как для портфеля Марковица - Тобина не выполнено условие (1).

Далее, очевидно, что устойчивость роста капитала портфеля с учетом реинвестирования, связана не с разбросом доходностей вокруг среднего значения, а с отклонением TP - среднего темпа прироста капитала за долгосрочный период от показателя, совпадающего с темпом прироста в случае постоянного роста капитала в каждом периоде (также как для случая постоянного инвестированного капитала в каждом периоде, абсолютно устойчив портфель с нулевой дисперсией, когда все значения совпадают со средним). Так как для портфеля с постоянным темпом прироста капитала выражение (1) совпадает со средней доходностью (среднее арифметическое совпадает со средним геометрическим), то колеблемость портфеля V можно определить как отношение

к

F = l-7>/£(l + d,)/A. (2)

j=1

Очевидно, что колеблемость V>0, в силу соотношения между средним арифметическим и средним геометрическим конечного набора положительных чисел.

Портфели с оптимальным темпом роста капитала

Сформулируем теперь оптимизационную задачу построения портфеля с оптимальным темпом роста капитала.

Пусть существует набор из к финансовых инструментов предназначаемых для использования в портфеле. Предположим, что имеется информация по N наблюдениям (обучающей выборке для построения портфеля с оптимальным темпом роста). Обо значим цену i-ro инструмента в j-й период за dy. Тогда окупаемость (темп роста цены) i-ro инструмента в j-й период равна

xij=diJ/dU-l>i = l>"k' j = l-..N. (3)

Обозначим Xj, i = l,2...,k доли i-ого инструмента в портфеле инвестора. Тогда задача нахождения оптимального портфеля с параметрами ^, i = 1,2...,к состоит в максимизации темпа роста портфеля за исторический период, состоящий

из N наблюдений при фиксированном уровне риска портфеля - отклонения сред-

него темпа роста капитала за один период (среднего геометрического доходностей за N периодов) от арифметической средней доходности записывается в виде:

2 = (П(1Л*!/)-1)/^-тах (4)

]=1 <•=!

Г = \- Ь^/АГ-сопзг I, >0, ¿^=1 (5)

V 7=1 1=1 у=1 (=1 ¡"1

Если портфель финансовых инструментов не предполагает «коротких продаж», то есть игру на понижение темпа роста инструмента, то к условиям (5) добавляется условие (6)

X; >0, ¡ = 1,2..,к. (6)

Для теории управления капиталом это означает, что инвестор реинвестирующий весь капитал, полученный в прошлом периоде, и в каждом периоде проводящий ребалансировку портфеля, придерживается стратегии портфеля с оптимальным геометрическим темпом роста, а инвестор, инвестирующий в каждом периоде фиксированную сумму капитала с учетом ребалансировки, использует модель То-бина-Марковица.

Для решения задачи использовался метод стохастического лучевого поиска с эмуляцией «отжига», позволяющий избегать локальных экстремумов при нахождении глобального экстремума.

В отличие от портфеля Марковица, где колеблемость портфеля вычисляется через дисперсию, учитывающую только парные взаимодействия между инструментами, в задаче (4)-(5) в определении колеблемости учитывается взаимодействие всех инструментов портфеля. То есть появляется возможность учесть и вероятности катастрофических событий, возникающих при неблагоприятном сочетании нескольких факторов.

Как и в модели Тобина, один из финансовых инструментов может предполагаться безрисковым, а темп роста этого инструмента будет в данном случае постоянным в течение всех N периодов. Если предположить, что одним из инструментов, скажем, ^ являются денежные резервы портфеля с долей \ , а вторым инструментом XI с долей ¿2 является участие инвестора в некотором рискованном инвестиционном проекте, то решение задачи (4) сводится к определению оптимальной доли участия инвестора в рискованном проекте для получения максимального темпа роста капитала инвестора за N периодов с учетом степени рискованности стратегии (5). Похожая задача нахождения оптимальной доли участия капитала в проекте (оптимального 1) рассматривалась в работах Ральфа Винса, однако в этих работах оптимальная доля инвестирования / связывалась с максимальными потерями, допускаемыми инвестором в процессе инвестирования, и не проводился выбор инвестором уровня колеблемости капитала.

Портфели с оптимальным горизонтом инвестирования и транзакционные издержки. Теперь рассмотрим поведение инвестора с промежуточным горизонтом инвестирования капитала. Предположим, что общее число рассматриваемых периодов равно Ы, но горизонт реинвестирования капитала для инвестора равен т перио-

дам. Для простоты изложения будем считать, что n = N/m целое число.

Тогда задача максимизации темпа роста постоянного портфеля за все N периодов инвестора с промежуточным горизонтом инвестирования сводится к максимизации выражения

n in к /-Л - И 1=1

при условии (5). То есть максимизации дохода приходящегося на один элементарный период, при колеблемости не более заданной постоянной величины и неизменных 7ц, ¡=1,...п..

Для т = 1 (п = N) задача (5),(7) превращается в классическую модель нахождения оптимального портфеля Тобина - Марковича.

На практике построение портфеля с промежуточным горизонтом инвестирования обычно состоит не только в ребалансировке и к фиксации постоянной стоимости портфеля , но и в обновлении коэффициентов модели , 1 = 1,2..,к на каждом из П промежуточных этапов построения модели. При такой постановке нахождение оптимальных параметров портфеля в задаче (5),(7) в первые п — 1 периодов не имеет практического смысла, и мы возвращаемся к задаче (4)-(5) нахождения портфеля с оптимальным темпом роста на предыдущем п-ом периоде длины т.

Однако, в данном случае, может быть поставлена содержательная задача оптимального выбора горизонта инвестирования длины т.

Задача формулируется следующим образом: найти число я интервалов инвестирования в портфель с обновляющимися (или, в частном случае, постоянными) параметрами , 1 = 1,2..,к, для которого максимален рост капитала на элементарный период, который рассчитывается по формуле (7) при выполнении условия устойчивости роста, формула (8).

Решением задачи является оптимальный интервал инвестирования шоггг =Ы/Поггт портфеля. Оптимальный интервал инвестирования можно строить как для отдельных инструментов, фиксированных наборов инструментов, отраслевых индексов и рыночного индекса в целом.

Транзакционные издержки

Для практического применения представленных выше алгоритмов следует в формулу (7) включать постоянные издержки по переформированию портфеля в конце каждого атомарного периода и каждого периода длины т. Эти издержки прямо пропорциональны числу периодов N. числу подпериодов п и состоят из биржевых сборов, вознаграждения брокера и издержек выхода из рынка и входа в рынок, зависящих от степени ликвидности (спрэда) каждого инструмента, входящего в портфель.

Так как в числителе формулы (7) полный доход за все время инвестирования, то, обозначив общий размер транзакционных издержек переменной Р, получим следующую формулу для расчета темпа роста капитала за элементарный период

п т к

С>т ~ Н К-• (9)

Отметим, что величина Р в данном случае определяется в относительных единицах, то есть вычисляется как

Р = РА/У, (10)

где РА - общая величина транзакционных издержек, выраженная в деньгах, а У -денежная стоимость единицы капитала, по сути, равна изначальному размеру размещаемого капитала.

Порядок расчета транзакционных издержек специфичен для каждого брокера, поэтому единой методики их определения не существует. Тем не менее, наиболее простыми и распространенными подходами являются либо фиксированная стоимость обслуживания за период времени при отсутствии комиссии на торговые операции, либо некая комиссия на торговые операции в виде определенного процента от объема каждой сделки.

В первом случае величина транзакционных издержек будет определяться как

РХ=Р\-М1¥, (11)

где Р1 д - денежная стоимость одного элементарного периода.

Во втором случае величина транзакционных издержек рассчитывается по формуле

и-1

Р2=р{\+Ъ

5=1

т к

]=\ м

ЛМ*

+ 11 5=11=1

т к

++ П IV//«)

7=1 »=1

(12)

5 к 5-1 к

; V (п • п (I

}=у 1=1 1=1

где р - это доля от объема сделки, удерживаемая брокером, у - начало подпериода длиной ш для текущего атомарного периода б.

Данная формула получается следующим образом. Во-первых, необходимо учесть издержки на изначальное размещение денег (первое слагаемое, равное единице). Далее в каждом периоде длиной т, кроме последнего, происходит балансирование инвестированной суммы до изначального значения вне зависимости от знака дохода за этот период (второе слагаемое). Также необходимо учесть балансирование портфеля в каждом атомарном периоде, связанное с изменением стоимостей инструментов и соответственно нарушением пропорций портфеля (третье слагаемое). В последнем периоде необходимо вывести итоговую сумму обратно в деньги (четвертое слагаемое).

Так же зачастую используется комбинированная схема, когда присутствуют и постоянные издержки, и зависимые от объема торговых операций. В этом случае общие издержки считаются как

Р=Р1 + Р2. (13)

Расчеты оптимальных портфелей на российском фондовом рынке

Рассмотрим результаты описанных выше расчетов для некоторых инструментов фондовой секции ММВБ. Определим оптимальные периоды инвестирования в

обыкновенные акции российских эмитентов. В расчете принимали участие последние 240 торговых дней 2007 года, то есть практически полный торговый год. Величина безрисковой ставки бралась равной 5%, для расчета транзакционных издержек величина брокерской комиссии принималась равной 0,08% от объема сделки (тарифы ЗАО «ВТБ24» на 20.01.2009 г.). В табл. 1 и табл. 2 приведены соответственно наилучшие и наихудшие длины периодов инвестирования.

Таблица 1

Наилучшие длины периодов инвестирования для инструментов ММВБ

Инструмент период (дней) m 240/m Средняя дневная доходность Издержки Итоговая доходность Колеблемость

Ростелеком 240 1 0.00195322 0.00197660 0.46877350 0.00010397

Аэрофлот 30 8 0.00177144 0.00241595 0.42514556 0.00017857

НК Роснефть 1 240 0.00006622 0.00400259 0.01589311 0.00013329

Газпром 12 20 0.00101107 0.00234383 0.24265720 0.00013056

Норникель 240 1 0.00220628 0.00202523 0.52950631 0.00023167

Лукойл 12 20 0.00018656 0.00229414 0.04477433 0.00014049

Приведем пример оптимального портфеля для инструментов фондового рынка ММВБ. В расчете принимали участие обыкновенные акции: Аэрофлота, Северстали, Газпрома, Норильского Никеля, Лукойла, МТС, Полюс Золото, Роснефти, Ростелекома, Сургутнефтегаза. В табл. 2 приведены результаты расчетов оптимального портфеля за первые 24 недели 2007 года на различных инвестиционных горизонтах (периодах реинвестирования), проверка качества портфелей производилась с 25-й по 48-ю недели 2007г.. Колеблемость ограничивалась сверху значением 0,0003, а доходность максимизировалась, атомарный период - одна неделя.

Таблица 2

Оптимальный портфель для акций ММВБ_

Период (недель) Портфель I 'Л 2007г II У, 2007г

О V 0 V

24 Аэрофлот14,1% Лукойл-24,6% Роснефть- 3,2% Росгелеком-58,1 % 0.00676 0.0003 0.00439 0.00022

12 Аэрофлот13,9% Газпром-0,5% Лукойл -21% Роснефть - 6% Ростелеком- 58,6% 0.00661 0.0003 0.00446 0.00022

6 Аэрофлот13,6% Лукойл-21,6% Роснефть - 6% Ростелеком- 58,8% 0.00649 0.0003 0.00474 0.00022

Следует отметить, что результаты в табл. 2 получены без учета транзакционных издержек.

Обобщенные портфели из квазипортфелей с различными периодами реинвестирования

В простейшем случае стратегии инвестора, у которого нет возможности для восстановления капитала портфеля, то есть максимально уклоняющегося от риска (стратегия «купил и держи») предлаоженный выше новый двупараметрический критерий заключается в максимизации темпа роста доходности портфеля (а не максимизации средней доходности), а устойчивость измеряется при помощи расхождения между средней арифметической доходностью и средней геометрической доходностью (средним темпом роста капитала).

Как видно, в данном подходе портфель заранее не предполагается самофинансируемым, так как необходимое количество свободных средств лежащих на безрисковой ставке регулируется не объемом, а числом возможных рефинансирований портфеля и графиком вывода капитала из портфеля, предусмотренного стратегией.

Степень уклонения рационального инвестора от риска на финансовом рынке зависит от величины капитала подверженного риску и от процентного соотношения возможных доходов к возможным убыткам.

Из сказанного выше вытекает, что величина риска зависит от величины свободных средств находящихся в распоряжении инвестора и возможностью восстанавливать капитал портфеля в случае неблагоприятного стечения обстоятельств, что согласуется с трактовкой приемлемого риска как обладание некоторым достаточным для покрытия возможных потерь ресурсом.

В диссертации была выбрана одна из возможных стратегий реинвестирования, когда на протяжении одного длительного промежутка времени инвестор приводит капитал портфеля до первоначального уровня к раз (забирая накопленный излишек в случае удачи или дополняя капитал в случае неудачной торговли). В дальнейшем планируется исследовать оптимальность портфелей и в других ситуациях (например, пополняя портфель в случае неудачи до уровня капитала в предыдущем периоде, то есть представляя капитал портфеля в виде неубывающей функции на всем промежутке инвестирования).

Еще одна особенность нашего подхода состоит в том, что для оценки устойчивости портфеля учитывается представление об идеальном портфеле инвестора, которое может быть разным. Один инвестор считает идеальным постоянный темп роста капитала внутри промежутка реинвестирования и на разных промежутках реинвестирования этот постоянный темп роста капитала одинаков. (Идеален одинаковый постоянный экспоненциальный рост капитала внутри каждого промежутка реинвестирования)

Другая точка зрения состоит в том, что мы считаем идеальным постоянный процент прироста капитала портфеля на каждом промежутке инвестирования по отношению к первоначальной сумме капитала. То есть идеальной считается постоянная на промежутке реинвестирования норма отдачи прироста капитала портфеля на первоначально вложенный капитал. Этот новый вариант расчета устойчивости портфеля использован в дальнейших расчетах.

Расчет оптимального портфеля выполнялся для акций эмитентов ММВБ с полугодовым инвестиционным горизонтом на первую половину 2008 года с атомарным периодом в одну неделю: Аэрофлот (АБЬТ); Северсталь (СНМБ); Газпром (ОАгР); ГМК Норильский Никель (ОМКЫ); Лукойл (ЬКОН); МТС (МТБ1); Полюс Золото (РЬИ); Роснефть (1Ю8Ы); Ростелеком (ЯТКМ); Сургутнефтегаз (8Ш8).

Обозначим (11 - текущую стоимость портфеля в момент времени ¡. Квазипортфелем будем называть портфель из одного инструмента, но с различным числом реинвестирований портфеля на протяжении всего инвестиционного горизонта. Обобщенный портфель - это портфель составленный из квазипортфелей разных инструментов. Чтобы составить наилучший портфель, с точки зрения темпа роста капитала, с учетом ограничения по колеблемости, из квазипортфелей инструментов, необходимо решить задачу оптимизации с целевой функцией: /№ = < К тах; Л = агетахДЛ), Л - вектор весов обобщенного портфеля.

Пусть Ь - количество вариантов натуральных чисел п и га таких, что п*т = а а - доля капитала, инвестируемая в каждую стратегию управления данным инструментом и данным периодом реинвестирования, тогда формула нахождения темпа роста капитала для портфеля из нескольких квазипортфелей инструментов к Ь П, "I, к Ь Я|

х,- = </,/«/м ;д = 1-!-'-1-= 11-'-1--

N N

Для всех ! = 1, где а^- доля капитала, инвестируемая в стратегию I для инк I* к Ь к струмента ¡. Т]и = агйЛ,-, приэтом 22'///= =1-

; / ;' /

Очевидно, что в данном случае сначала рассчитываются итоговые доходы для каждой стратегии по каждому инструменту независимо друг от друга, а затем они умножаются на соответствующие веса, т.е. балансирования капитала здесь не производится.

Колеблемость (устойчивость) портфеля вычислялась по формуле:

¿0 ь-1 м

Очевидно, колеблемость равна нулю при у^=С. Приведем пример оптимального обобщенного портфеля в табл.3.

Таблица 3

Оптимальный обобщенный портфель. Ограничение по колеблемости V = 0.0003, недельный темп роста капитала 0 = 0.0067

№ эмитент Количество реинвестирований в течение полугода Доля капитала

1 АРЬТ 1 0,13

2 АРЬТ 2 0,001

3 ОМКЫ 3 0,001

4 ОМКЫ 4 0,006

5 0Л7Р 24 0,028

6 1ЖОН 6 0,003

7 ЬКОН 12 0,23

8 яткм 1 0,602

Глобальный алгоритм поиска весовых коэффициентов оптимальных портфелей на основе метода стохастических лучей с эмуляцией «отжига»

При решении реальных задач в общем случае даже приблизительная оценка глобального максимума оказывается неизвестной. По этой причине возникает не-

обходимость применения методов глобальной оптимизации. Рассмотрим один из современных подходов к глобальной оптимизации: метод имитации отжига (можно было бы использовать еще генетические алгоритмы, метод дифференциальной эволюции или метод роя частиц).

Алгоритм стохастического лучевого поиска представляет собой вариант локального поиска, при котором на первом этапе некоторым образом формируется набор начальных состояний, а на каждом последующем этапе формируется несколько состояний приемников, которые затем сортируются случайным образом, но в соответствии со значением их целевой функции (то есть у наилучшего состояния вероятность оказаться в сортировке на наилучшей позиции максимальна и соответственно наоборот - у наихудшего минимальна). Такая случайная сортировка необходима для того, чтобы обеспечивать разнообразие текущей выборки состояний, так как если отсортировать состояния по значению их функции полезности, то возможно возникновение такой ситуации, когда приемники одного состояния будут лучше, чем приемники всех остальных состояний, в этом случае вся выборка сосредоточится в одной локальной области, что снижает вероятность достижения глобального максимума целевой функции. После этого для замещения старых состояний новыми используется эвристика «эмуляция отжига». Смысл ее состоит в том, что состояние-приемник замещает текущее состояние всегда в случае, если значение его функции полезности лучше, чем у текущего, если же это не так, то замещает с вероятностью меньшей единицы, зависящей от текущего этапа работы алгоритма. Как правило, эта вероятность уменьшается по экспоненциальному закону с течением времени работы алгоритма. По сути, эта эвристика представляет собой механизм управления «жадностью» алгоритма («жадным» называется алгоритм, всегда принимающий только лучшие состояния-приемники и никогда худшие). «Жадный» алгоритм очень эффективен, но обладает тем недостатком, что является неполным (в общем случае он не сможет найти глобальный максимум, так как не сможет выйти из локального оптимума). Если же алгоритм не реагирует на величину функции полезности, то фактически он будет представлять собой поиск методом случайного блуждания, что крайне неэффективно. Соответственно «эмуляция отжига» — это попытка совместить эффективность поиска с его полнотой. На начальных этапах работы алгоритма худшие состояния будут приниматься с большой вероятностью, чтобы иметь возможность выходить из локальных максимумов, а на конечных этапах поиск будет максимально жадным, чтобы не выходить из лучшего текущего состояния и искать в его окрестностях еще лучшее.

Также важным вопросом решения задачи оптимизации портфеля является метод выработки состояний-приемников. Очевидно, что в рамках данной задачи метод случайного выбора приемника не даст хороших результатов, так как известно, что в результате оптимизации большинство оптимизируемых долей капитала должны будут обратиться в ноль, а результирующий портфель должен состоять из значительно меньшего количества инструментов. Так, если, к примеру, необходимо оптимизировать портфель из 10 инструментов по 8 вариантам периодов реинвестирования, то получаем 80 оптимизационных параметров. Вероятность того, что большинство из них случайным блужданием обратится в ноль крайне низка.

В диссертации предлагается следующее решение данной проблемы. Для получения состояния приемника нужно выбрать весовой коэффициент для его увеличения за счет уменьшения какого-то другого весового коэффициента. Делается это таким образом, что вероятность быть выбранным у каждого весового коэффициента пропорциональна абсолютной величине его текущего значения и оставшемуся времени работы алгоритма. Таким образом, на начальных этапах процесса оптимизации вероятность быть выбранными у всех весовых коэффициентов одинакова за счет большого оставшегося времени работы, а на конечных этапах с большей вероятностью выбираются те, величина которых больше, чем у остальных, если же величина весового коэффициента равна нулю, то вероятность его быть выбранным ничтожно мала.

Хорошие результаты обучения приносит объединение алгоритмов глобальной оптимизации с детерминированными методами локальной оптимизации. На первом этапе обучения сети применяется выбранный алгоритм глобальной оптимизации, а после достижения целевой функцией определенного уровня включается детерминированная оптимизация с использованием какого-либо локального алгоритма (например, алгоритм Direct Search реализованный в пакете МАТЛАБ).

Векторный аналог теории САРМ. Коэффициенты Шарпа для инструментов с фиксированным горизонтом инвестирования Введем для рыночного инструмента два параметра: 5im и 52т. Параметр 8,ш отвечает за темп роста инструмента при горизонте инвестирования m по сравнению с темпом роста индекса всего рынка с тем же горизонтом инвестирования:

QZcr, =Qfcp +§Г -(Q^ -QfcP)> (14)

где Qm„„CTp - темп роста инструмента или портфеля при горизонте инвестирования m> Q&ap - темп роста безрискового вложения, QrapbiHKa - темп роста всего рынка при горизонте инвестирования т.

6im < 0 говорит о том, что темп роста при горизонте инвестирования га меньше безрискового вложения (Qm„HCTp <QfcP);

5jm = 0 означает, что темп роста инструмента с горизонтом инвестирования m совпадает с темпом роста безрискового вложения (Qm„HCTp =<3безр);

§im < 1 позволяет сделать вывод о том, что темп роста инструмента с горизонтом инвестирования m меньше темпа роста всего рынка (QmHHcrp < Сарыни);

5im = 1 означает, что темп роста инструмента совпадает с темпом роста всего рынка, с тем же горизонтом инвестирования (QmHHcip = *Зтрынга);

8im > 1 определяет ценную бумагу с горизонтом инвестирования т, опережающую по темпу роста рынок в целом при горизонте инвестирования длины m

(Q инстр '' Q рынка)*

Отметим, что величина Sim имеет смысл только в случае выполнении условия, что темп роста рынка больше темпа роста безрискового вложения (Qmpb,„ra > Qgap)-

Параметр 82m отвечает за колеблемость инструмента по сравнению со степенью колеблемости всего рынка при горизонте инвестирования длины т:

ут _§™.ут (151

инстр 2 vрынка '

Vm„Hcip _ колеблемость инструмента или портфеля, VmpbIHlla - колеблемость рынка, рассчитанные по формуле (2).

82ш = 0 означает, что устойчивость инструмента максимальная и совпадает с устойчивостью безрискового вложения, то есть колеблемость равна нулю;

б2т < 1 означает, что устойчивость инструмента выше устойчивости всего рынка (защитная ценная бумага);

52т = 1 означает, что устойчивость инструмента совпадает с устойчивостью всего рынка (Утинсгр = Утрь|Нка);

82т > 1 определяет ценную бумагу с колеблемостью, превышающей колеблемость всего рынка (бумага с повышенным риском вложения).

В табл. 4 представлены коэффициенты Шарпа с фиксированным горизонтом инвестирования рассчитанные относительно индекса РТС.

Таблица 4

Коэффициенты Шарпа с фиксированным горизонтом инвестирования _для инструментов ММВБ_

Инструмент Наилучшие значения Наихудшие значения 52™

период (дней) ш 240/ш 01 период (дней) т 240/т 5Г

Ростелеком 240 1 1.9270246 10 24 1.705890 1.21200000

Аэрофлот 30 8 1.6119454 120 2 1.647077 2.08162801

НК Роснефть 1 240 -0.1340347 240 1 -0.273610 1.55378449

Газпром 12 20 0.9195865 120 2 0.872236 1.52190566

Норникельь 240 1 2.2040850 48 5 2.031666 2.70057971

Лукойл 12 20 -0.0043483 240 1 -0.178532 1.63771511

Как видно из таблицы 4, 240 дней является оптимальной длиной периода инвестирования в акции кампании «Ростелеком». Так как в данном расчете 240 дней — это максимальная длина периода, то имеет смысл рассматривать и более длительные периоды. По доходности инструмент превосходит рынок почти в два раза, тогда как колеблемость незначительно больше.

Для акций кампании «Аэрофлот» можно сделать вывод, что длина периода инвестирования в 30 дней является оптимальной. Инструмент является более доходным по сравнению с рынком в целом, но его колеблемость превышает рыночную доходность в два раза.

ГМК «Норильский никель» является наиболее доходным инструментом при горизонте инвестирования в 240 дней, доходность превышает рыночную больше чем в 2 раза, колеблемость тоже значительно выше, таким образом, его можно отнести к высокодоходным, но высокорисковым инструментам.

Анализ связи между выбором стратегии рефинансирования портфеля и степенью уклонения от риска инвестора

Существует много различных трактовок рыночного риска. Риск трактуется как отклонение (дисперсия) стоимости портфеля или как дисперсия состоящая из квадратов отклонений вниз от средней доходности портфеля; как нижний 1%-5-% квантиль доходности (УА11) и другие.

Обычно каждый портфельный инвестор имеет свой горизонт инвестирования T=n*t, где п число малых периодов t, составляющих период Т.

В диссертации показывается, как число реинвестиций портфеля на всем горизонте инвестирования Т влияет на отношение инвестора к риску. Очевидно, что число реинвестиций на фиксированном временном горизонте прямо зависит от наличия свободных ресурсов портфельного инвестора. Так, например, показано, что стратегия «купил и держи» является стратегией лица наиболее сильно уклоняющегося от риска и следовательно яваляется оптимальной стратегией для инвестора не обладающего свободными ресурсами. Такой инвестор, строя оптимальный портфель, будет максимизировать среднюю геометрическую доходность портфеля.

В то же время портфельный инвестор, обладающий максимальными свободными ресурсами, будет реинвестировать свой портфель п раз на промежутке Т, сообразуясь только с величиной транзакционных издержек на реинвестирование. Поведение последнего инвестора - это поведение инвестора максимизирующего среднюю арифметическую доходность портфеля, то есть выбирающего портфель Марковича. Поведение такого инвестора можно охарактеризовать как нейтральное к риску.

Пусть х - финансовые инвестиции (вложения) в портфель, U(x) - степень (функция) полезности этих вложений. Полезность можно измерять по-разному:

■ как внутреннюю норму доходности (IRR) проекта с инвестициями х;

■ чистую приведенную стоимость NPV проекта портфельных вложений х;

■ приращение стоимости портфеля после дополнительного рефинансирования в размере х проекта;

■ приращение степени роста стоимости портфеля (нормы прибыли) после дополнительного рефинансирования в размере х проекта;

■ степень достижения какой либо иной цели в зависимости от инвестиции х;

Характер роста функции полезности может быть использован для выяснения

степени отношения инвестора к риску. Говорят, что инвестор избегает риска, если его функция полезности больше для детерминированных величин, чем для случайных величин. Математически это свойство выражается в виде неравенства п п Д

Щ1.РЛ)> ÜPiUiXi) где ЕЛ =1; Pi ^0; 1 = 1,...,п. (15)

1=1 М /=1

Функция U(я) называется вогнутой. Вогнутая функция полезности описывает предпочтения лица избегающего риска. Множители pt в формуле (15) можно интерпретировать как вероятности возникновения ситуаций хСледовательно, тогда UQ^pjXj) это полезность детерминированной величины - математического ожидания М(х) = £ pjXj случайной величины х. То есть U(Л/(х)) = />,*/) ■ Средняя ожидаемая полезность M(U(x)) случайной величины х, принимающей значения Х\,Х2,—,ХП с вероятностями Pj >0, i = ],...,» рассчитывается по формуле: M(U(x))=YtPiU(xi)- Из (15) получаем неравенство U(M{x))> M(U(x)). Таким образом, детерминированная величина М(х) предпочтительнее случайной величины х.

и(М(х))-м(и(х))=иеЕР1х0--ЕР^) . (16)

Разность (16) может трактоваться как степень уклонения от риска инвестора, то есть как премия которую готов платить инвестор, чтобы иметь дело не с математическим ожиданием случайной величины полезности, а с полезностью математического ожидания. Премия за риск (16)-доплата к случайной величине, чтобы сделать ее для инвестора одинаково привлекательной с детерминированной средней случайной величины.

Назовем инвестора нейтральным к риску, если средняя полезность случайной величины равна полезности математического ожидания случайной величины. Математически эта характеристика инвестора выражается в виде равенства: ЩМ(х)) = М(и(х))или Ц&РЛ) = 2>№). Нейтральный к риску инвестор имеет линейную функцию полезности. Предположим, что доходность инструмента или портфеля инструментов за элементарный период Д1 может принимать только п дискретных значений Х1,Х2,—,ХП с вероятностями р, >0, ¿ = 1,...,/»,. Хй'

Как уже было замечено выше, инвестор, максимизирующий математическое ожидание доходности за элементарный период М бушдет реинвестировать свой капитал К в конце каждого элементарного периода Д1.

Поэтому средняя доходность такого инвестора за элементарный период Д1 равна М(Х) = ^Ргх1 • Выберем линейную функцию полезности 11{х) = х. Тогда

и(М(х)) = и&рЛ) = = £ р,Щх,) =М(11(х)).

;=1 (=1 с=1 То есть инвестор, максимизирующий математическое ожидание доходности портфеля за элементарный период Д^ например портфель Марковица без ограничений на дисперсию портфеля, нейтрален к риску.

Если инвестр вкладывает капитал в портфель Марковица с ограничением на дисперсию портфеля, то его функция полезности линейна при условиии ограничения дисперсии в заданных пределах и равна - оо при превышении ограничений на величину дисперсии. В то же время инвестор, который вложивший капитал в начальный момент времени и не реинвестирующий капитал за весь период Т, получит среднюю доходность за элементарный период Д1 равную

Мгеом(Х) = П(1 + *)Л-1 Приведенные выше формулы средней доходности инвесторов легко получаются переходом к пределу в выборочных частотных выражениях для средней до-ходностей инвесторов разных типов. Положим функцию полезности инвестора в виде 1/(х) = 1п(1 + х)-1 . Тогда для инвестора, изучающего полезность своей доходности для каждого элементарного периода Д^ имеем

[/(М(Х)) = 1п£р,(1+х,)-1; М{и(Х)) = = ]пЛ(\+хдР' -1;

ЩМ(Х)) - М(и(Х)) = 1п (1 + Л/0с))/П(1 + ^)й • (17)

/=1

То есть, инвестор, не реинвестирующий капитал на периоде длиной Т является инвестором уклоняющимся от риска со степенью уклонения от риска (17) Рассмотрим модель

= -Л + аг- сШЦ)), / > 0. (18)

где - рыночная цена актива; ц - постоянный коэффициент тренда; IV(г) - ви-неровский процесс, то есть случайный процесс с начальным значением Щд и с независимыми на непересекающихся промежутках нормально распределенными приращениями. Эта модель была предложена П. Самуэльсоном в 1965 году и подробно изучена в работах Мертона в 1973 году. Затем на основе этой модели Блек и Шоулс получили свою знаменитую формулу для расчета цены опциона. Из формулы (18), полагая = и применяя формулу Колмогорова - Ито в интегральной форме

о^

получаем следующее представление:

8,=Бъ-ехр\>(Л~о:г/2у + ом>{\з0>0. (19)

Положим /У(хг) = 1п 5", /5о=1п- ехр- а1 /2)1 + оп>( ]={(/;- ст2 / 2)/ + отс, | и Х( = —= /у • т + а ■ ам1 - случайный темп роста капитала за время Ш в момент

2

времени/. Тогда имеем \](М(х^)= М(11(х1))'=М(1п51 а /2)1.

Итак, доказано утверждение: долгосрочный инвестор, темп роста капитала которого описывается формулой (18) (моделью Мертона - Самуэльсона) является уклоняющимся от риска инвестором, со степенью уклонения от риска равной

и(М(х,))- М(и(х<))=- (а1 /2)1.

Торговые стратегии на основе оценки вероятности состояний скрытых Марковских цепей

Под Марковской цепью в обобщённом смысле подразумевается последовательность событий, каждое из которых происходит с определённой вероятностью. Скрытая Марковская цепь (СММ) представляет собой последовательность состояний в каждый дискретный момент времени 1. Переход из состояния Б; в состояние Б; осуществляется случайным образом с вероятностью а^. В каждый дискретный момент времени модель характеризуется вектором наблюдений щ с вероятностью

Для определения СММ для временного ряда с целью прогноза его состояний необходимо задать следующие элементы

1. N - число состояний модели и дать точную характеристику определения каждого состояния. В каждый'дискретный момент времени I временной ряд может находиться в одном из N различных состояний 5],5В дискретные моменты времени I временной ряд претерпевает изменение состояния (возможно, переходя в то же состояние. Состояния модели в каждый момент времени будем обозначать qt.

2. Распределение вероятностей переходов между состояниями А = (о,у), где

Для эффективной работы механической системы обычно достаточно знать не всю совокупность переходных вероятностей А = \ау\ , а переходные вероятности

А\ = {а^} - вероятности переходов между состояниями qt. в агрегированные совокупности состояний В % = £ |Д = 1,.../. Далее мы предполагаем, что агрегированные совокупности состояний временного ряда в момент времени / +1 представляют две совокупности^ = {#■+1 ¡с),к = 1,2.: состояния, которым предшествовал подъем на временном промежутке [/;/+1] и состояния, которым предшествовал спад на том же промежутке.

Исследовался временной ряд индекса РТС за период с января 2003 года до июня 2008 года с шагом в 5 минут. Состояния модели qt в каждый момент времени / характеризовались 20 интервалами попадания коэффициента корреляции Спир-мена между последовательностью значений ряда для трех различных промежутков времени [/;/-Д], где /-/£=Л, и натуральным рядом чисел 1,2,3,. 1 в отрезок [-1;+1]. Соответственно, в результате получено трехмерное непрерывное пространство состояний от -1 до 1 по каждой оси, разбитое на 8000 равных секторов (кубов), каждый из которых и представляет собой одно дискретное состояние в терминах СММ.

Была проведена классификация состояний по следующему правилу: «хорошим» состоянием называлось состояние, для которого, во-первых, количество вхождений в него временного ряда за весь период не менее 40 раз и, во-вторых, эмпирическая вероятность подъема или спада в будущие 30 минут не менее 0,66.

Были исследованы различные комбинации периодов расчетов по каждой из осей, выделены наилучшие с точки зрения частоты вхождения временного ряда в «хорошие» состояния. Они приведены в таблице 5 в порядке убывания.

Таблица 5

Оценка качества состояний при различной глубине памяти ряда_

Ось 1 Ось 2 Ось 3 Всего сост. Хор. сост. Вхождений в хор. сост.

5мин. 4 2ч.4 пе- 4ч.4 пе- 1573 218 64623

периода риода риода

5мин. 4 90мин.5 Зч.4 пе- 1810 247 64087

периода периодов риода

5мин. 4 90мин.4 2ч.4 пе- 1523 172 63961

периода периода риода

5мин. 4 Зч.5 пе- 4ч.4 пе- 1488 186 63884

периода риодов риода

Всего же в этом периоде было 106026 пятиминуток. Таким образом, очевидно, что вхождений ряда индекса РТС в «хорошие» состояния более половины.

Расчеты также показали высокую стабильность в каждом году наблюдений вероятностей подъема или спада в ближайшие 30 минут - 6 часов для целого набора «хороших» состояний, хотя для некоторых состояний статистика заметно изменялась со временем. Это доказывает существование устойчивых паттернов в поведении временного ряда индекса РТС.

На рисунке приведен ретроспективный результат применения данной стратегии к торговле фьючерсом на индекс РТС за период с 03.08.2005 10:50 по

26.05.2008 17:30. Торговля велась исходя из начального капитала 100000 рублей, и затем вся полученная прибыль реинвестировалась в процессе торговли. Всего было исследовано 64703 значения индекса и фьючерса на индекс РТС с интервалом пять минут. Транзакционные издержки и проскальзывание в расчетах не учитывались.

баланс 30 мим алгоритм

Рис. Результаты ретроспективного применения алгоритма СММ для индекса и фьючерса на индекс РТС

III. ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

В диссертационной работе разработан аппарат портфельного инвестирования, отвечающий реалиям развивающегося фрактального неоднородного фондового рынка РФ.

В диссертации разработана на основе новых двупараметрических критериев «доходность-устойчивость» теория оптимального портфельного инвестирования с учетом индивидуальных предпочтений инвестора. При обосновании оптимальной стратегии построения портфеля принимается во внимание темп роста капитала, длина инвестиционного горизонта, число реинвестирований и балансировок портфеля внутри инвестиционного горизонта и показатель устойчивости портфеля.

В работе обосновывается связь между выбором стратегии рефинансирования портфеля и отношением инвестора к риску.

В диссертации использован и реализован в виде компьютерной программы алгоритм поиска глобального экстремума на основе метода стохастических лучей с эмуляцией «отжига» для поиска весов оптимальных портфелей. Ранее данный алгоритм использовался только для нахождения весовых коэффициентов нейросе-тей.

Получена формула для расчета трансакционных издержек на содержание портфеля на всем инвестиционном горизонте.

Проведены расчеты оптимальных портфелей для различных стратегий рефинансирования, различных показателей колеблемости, с учетом и без учета трансакционных издержек.

В работе предложена векторная модель теории СА1Ш, учитывающая темпы роста доходности актива и темп роста доходности индекса, устойчивость актива и

устойчивость индекса при различных предположениях на длину инвестиционного горизонта.

Подробно изложена позиция диссертанта о пределах и возможностях прогнозирования временных рядов в естественных науках, природе и экономике и проведена оценка эффективности нового индикатора для краткосрочного прогнозирования динамики индекса РТС.

IV. ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Публикации в гаданиях, рекомендованных ВАК РФ:

1. Владыкин С.Н. Выбор портфеля с учетом горизонта инвестирования / С.Н. Владыкин, Л.П. Яновский // Финансы и кредит. - 2009. - № 29 (365). - С. 12-18. (0,6 п.л. /0,3п.л.).

2. Владыкин С.Н. Теория САРМ и анализ портфеля с учетом горизонта инвестирования и оптимальным темпом роста капитала / С.Н. Владыкин, Л.П. Яновский // Вестник РГТУ. - 2009. - №7 (34). - С. 98-103. (0,6 п.л. /О.Зп.л.).

3. Владыкин С.Н. Теория САРМ и портфельный анализ с учетом инвести-ционого горизонта / С.Н. Владыкин, Л.П. Яновский // Системы управления и информационные технологии. - 2009. -N4(38). - С. 98-104. (0,6 п.л. /0,3п.л. ).

Публикации в других изданиях:

4. Владыкин С.Н. Портфельный анализ с учетом инвестиционного горизонта / С.Н. Владыкин, Л.П. Яновский // Экономическое прогнозирование: модели и методы: материалы V международной научно-практической конференции. - Воронеж: ИПЦ Воронеж, гос. ун-та, 2009. - 4.1. - С.189-193. (0,3 п.л./0,2п.л.).

5. Владыкин С.Н. Торговая стратегия с оценкой вероятности состояний скрытых марковских цепей / С.Н. Владыкин, Л.П. Яновский // Анализ, моделирование и прогнозирование экономических процессов: материалы I международной научно-практической Интернет-конференции, 2009 - С. 109-112. (0,2 п.л. /0,1 п.л.).

6. Владыкин С.Н. Частота рефинансирования портфеля и степень уклонения от риска инвестора / С.Н. Владыкин // Экономическое прогнозирование: модели и методы: материалы VI международной научно-практической конференции. - Воронеж: ИПЦ Воронеж, гос. ун-та, 2010. - 4.2. - С. 196-199. (0,15п.л. /0,1 п.л.).

7. Владыкин С.Н. Оптимальные портфели с учетом горизонта инвестирования / С.Н. Владыкин, Л.П. Яновский // Системное моделирование социально-экономических процессов: труды 32-й международной научной школы-семинара. -Воронеж: ИПЦ Воронеж, гос. ун-та, 2009. - С. 391-395. (0,25 п.л. /0,15п.л.).

8. Владыкин С.Н. О связи между выбором стратегии рефинансирования портфеля и степенью уклонения от риска инвестора / С.Н. Владыкин, Л.П. Яновский // Современная экономика: проблемы и решения. - Воронеж: ВГУ, 2010. - №1. - С. 139-148. (0,8 п.л. /0,4п.л.).

Подписано в печать 02.06.2010 г. Формат 60x84/16. Усл. п. л. 1.4. Тираж 130 экз. Заказ № 271 Отпечатано в ООО ИПЦ «Научная книга» г. Воронеж, ул. 303 Стрелковой дивизии, д. 1а.

Диссертация: содержание автор диссертационного исследования: кандидата экономических наук, Владыкин, Сергей Николаевич

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ПРОБЛЕМЫ И ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР ТЕОРИИ ФИНАНСОВОГО ИНВЕСТИРОВАНИЯ

1.1. Проблемные вопросы современной теории финансовых рынков

1.2 Фундаментальный и технический анализ финансовых рынков

1.3. Теория эффективных рынков

1.4. Статистические законы на фондовом рынке

ГЛАВА 2. ТЕОРИЯ ФОРМИРОВАНИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ ПОРТФЕЛЕЙ ФИНАНСОВЫХ АКТИВОВ

2.1. Теория оптимального портфеля Тобина-Марковица

2.2. Портфельный анализ с учетом инвестиционного горизонта

2.3 Портфели с оптимальным темпом роста капитала

2.4. Портфели с оптимальным горизонтом инвестирования и транзакционные издержки

2.5. Расчеты оптимальных портфелей на российском фондовом рынке

2.6. Обобщенные портфели из квазипортфелей с различными периодами реинвестирования

2.7. Глобальный алгоритм поиска весовых коэффициентов оптимальных портфелей на основе метода стохастического лучевого поиска с эмуляцией «отжига»

2.7. Модель оценки финансовых активов (Capital Assets Pricing Model)

2.8. Arbitrage Pricing Theory- арбитражная теория оценивания

2.9. Векторный аналог теории САРМ. Коэффициенты Шарпа для инструментов с фиксированным горизонтом инвестирования

2.10. Средневзвешенный темп роста стоимости капитала (Weighted Average Rate of Growth of Capital, WARGC)

2.11. О связи между выбором стратегии рефинансирования портфеля и степенью уклонения от риска инвестора

ГЛАВА 3. КРАТКОСРОЧНЫЕ СТРАТЕГИИ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ДИНАМИКИ РЫНКА

3.1. Роль методов нелинейной динамики в прогнозировании случайных процессов с детерминированной компонентой

3.2. Оценка долговременной памяти у временных рядов на основе исследования поведения дисперсии ряда

3.3. Методология расчета локальных Гельдеровых экспонент и анализ их флуктуаций в предкризисный период

3.4. О пределах и возможностях прогнозирования временных рядов в естественных науках, природе и экономике

3.5. Механические торговые стратегии на основе оценки вероятности состояний скрытых Марковских цепей

Диссертация: введение по экономике, на тему "Портфельный анализ и краткосрочные инвестиционные стратегии на фрактальном фондовом рынке РФ"

Актуальность темы исследования. Как известно, российскому рынку ценных бумаг присущи следующие особенности: неликвидность значительной доли ценных бумаг, доминирующее влияние игровых спекулятивных операций, резкое изменение тенденций, отсутствие зависимости стоимости акций от финансовых результатов эмитента, информационная непрозрачность, доминирующее значение политических и макроэкономических факторов, большая волатильность. Все это вызывает большие трудности для оценки и прогнозирования значений рыночных показателей и усложняет применение долгосрочных инвестиционных стратегий. Вследствие чего наиболее популярна сейчас активная стратегия управления портфелем, которая сводится к частому пересмотру портфеля в поисках финансовых инструментов, неверно оцененных рынком, и торговле ими с целью получить более высокую доходность. Однако такой подход трудно соотнести с традиционными способами построения оптимального рыночного портфеля, которые, в силу использования в своей основе средних значений доходности, рассчитаны на долгосрочные инвестиции (пассивную стратегию управления портфелем). В связи с этим возникает необходимость в разработке стратегий для краткосрочных портфельных инвестиций, по возможности свободных от предположений о рыночной эффективности, которая в последнее время очевидным образом нарушается.

В теоретическом плане остается много вопросов по исследованию влияния трансакционных издержек на результаты инвестирования.

Отметим, что особую роль в современной экономической науке, равно как и практической деятельности, играет проблематика рисков. Вопросы идентификации, систематизации, анализа, количественной оценки и управления рисками занимают важное место как на уровне теоретической литературы и научных исследований, так и в системе реальной экономики. Объективная реальность развития рынка свидетельствует о том, что на данном этапе требуются новые подходы к формированию портфеля ценных бумаг, новые способы оценки рыночного риска в условиях текущей сверхрискованности российского рынка акций и невозможности долгосрочного и среднесрочного прогнозирования тенденций фондового рынка.

Степень разработанности проблемы. Начало исследований в области моделей портфельного инвестирования было положено Г. Марковичем в 1952 году. В настоящее время развитие теории оптимального портфеля продолжается. Значительный вклад в исследование рынка ценных бумаг внесли, прежде всего, лауреаты Нобелевских премий (Дж. Тобин, Г. Марковиц, У.Ф. Шарп, М. Шоулс, Р. Ингл), а также ряд других зарубежных (Г. Дж. Александер, Дж. В. Бейли, Г. Дженкинс, Дж. Линтнер, Д. Мерфи, Дж. Моссин, Д. Нельсон, С. Росси др.) и отечественных (JI.O. Бабешко, А.В. Воронцовский, В.В. Давние, В.Н. Едронова, Ю.П. Лукашин, Я.М. Миркин, А.О. Недосекин, Л. П. Яновский, Е.М. Четыркин и др.) ученых.

Большое внимание проблематике рисков портфельного инвестирования также уделялось в работах К. Рэдхэда, С. Хьюса, И.Т. Балабанова, В.Р. Евстигнеева. Влияние трансакционных издержек на результаты портфельного инвестирования в теоретическом аспекте изучалось в недавней монографии Ю.Кабанова и М.Сафариана. Г.А. Агасандян и Ф.И. Ерешко рассмотрели случай многопериодных портфелей и локально-оптимальные стратегии в задаче управления портфелем ценных бумаг в динамике.

Однако, как уже отмечалось, эти работы, в основном, касаются оценок риска долгосрочного портфельного инвестирования, тогда как современные рыночные реалии требуют аппарата для получения оценок риска в краткосрочных стратегиях

Предметом исследования в настоящей работе являются теоретические и прикладные задачи формирования портфеля ценных бумаг с оптимальным горизонтом инвестирования, математический аппарат теории САРМ для мониторинга рыночной доходности активов, теоретические основы построения краткосрочных стратегий прогноза динамики рыночного индекса.

Объектом исследования избраны- динамика базовых активов торгуемых на биржах РТС , ММВБ, FORTS.

Цели и задачи диссертационной работы. Целью данного исследования является выявление эмпирических закономерностей динамики индекса российского фондового рынка и развитие математического аппарата формирования оптимального портфеля ценных бумаг для стратегий долгосрочного инвестирования с применением нового критерия оценки устойчивости портфеля, а также построение на основе выявленных закономерностей краткосрочной торговой стратегии с использованием фьючерса индекса РТС.

Для реализации поставленной цели в диссертационной работе были поставлены и решены следующие задачи:

1) изучены современные подходы к формированию портфеля ценных бумаг на основе теории фрактального рынка;

2) методика глобальной оптимизации экстремальных задач с ограничениями на основе стохастического лучевого поиска оптимального решения методом эмуляции «отжига» распространена на задачи поиска оптимальных весов инвестиционного портфеля;

2) на основе новых показателей устойчивости роста стоимости портфеля разработаны оптимальные портфели с учетом стратегии рефинансирования и выбора инвестиционного горизонта;

4) осуществлено тестирование программной реализации алгоритмов формирования портфеля ценных бумаг и торговых стратегий;

5) разработан векторный вариант известной САРМ модели финансового рынка учитывающий инвестиционный горизонт и степень уклонения от риска инвестора.

6) проведен анализ возможных состояний (анализ «русел» и «джокеров») для временного ряда индекса РТС, и на основе проведенного исследования предложена краткосрочная стратегия работы на рынке FORTS фьючерсами на индекс РТС.

Область исследования. Диссертационная работа выполнена в рамках п. 1.6. «Математический анализ и моделирование процессов в финансовом секторе экономики .», паспорта специальности 08.00.13 - «Математические и инструментальные методы экономики».

Теоретическую и методологическую основу исследования составили современная теория финансовых рынков, а также последние достижения в области математического моделирования. В процессе работы над диссертацией использовались труды отечественных и зарубежных ученых в области построения моделей портфельного инвестирования, инвестиционного менеджмента, применения метода стохастических направлений решения экстремальных задач с ограничениями к анализу фондовых рынков.

Информационно-эмпирическую базу исследования составили материалы научной периодической печати, архивы котировок цен акций и индексов, расположенные на официальных сайтах ЗАО Финам (www.flnam.ru) и Российской Торговой Системы (www.rts.ru). Обработка данных проводилась на ПЭВМ с использованием пакетов статистического анализа данных, оригинальных программ на языке JAVA, тестирование представленных методик осуществлялось с помощью программного обеспечения, используемого в деятельности ООО «Инвестиционная палата».

Научная новизна заключается в разработке подхода к управлению портфелем ценных бумаг, отличающегося от существующих тем, что портфельный анализ проводится с учетом нового критерия доходность- риск, на учете склонности инвестора к риску, с учетом горизонта инвестирования и числа реинветирований капитала портфеля.

Научную новизну содержат следующие результаты диссертационного исследования: разработана методика формирования портфеля ценных бумаг, обеспечивающая применение стратегий инвестирования с учетом числа реинвестирований капитала и горизонта инвестирования; рассчитаны по новой методике оптимальные портфели для инструментов российского фондового рынка; предложены различные варианты нового двупараметрического критерия доходность-устойчивость ддя оценки качества портфельных стратегий, в рамках которого, в частности, доходность связывается с не со средней доходностью, а с темпом роста капитала портфеля, а оценка устойчивости основана на величине расхождения между средней арифметической и средней геометрической доходностью портфеля; исследована связь между стратегией реинвестирования портфеля и склонностью инвестора к риску, путем построения риск-нейтральных и риск-уклоняющихся функций полезности для стратегии Марковича, стратегии «купил и держи», модели Мертона — Самуэльсона; предложен векторный аналог известной модели САРМ, построеный на основе оценки связи темпа роста доходности актива с темпом роста доходности рыночного индекса с учетом числа реинвестирований в актив на протяжении заданного инвестиционного горизонта; построена скрытая Марковская цепь состояний, свойства которой позволили создать работоспособную стратегию краткосрочного прогнозирования рыночного индекса, опираясь на эмпирические свидетельства о том, что индекс РТС обладает значительной детерминированной компонентой; предложен и реализован для расчета весов оптимального портфеля алгоритм стохастического лучевого поиска, с эмуляцией «отжига», поиска глобального решения экстремальной задачи с ограничениями. Данный алгоритм ранее применялся в теории финансов для расчета коэффициентов нейросетевых моделей.

Практическая значимость исследования заключается в том, что сформулированные выводы и предложения, разработанные модели и алгоритмы могут быть использованы финансовыми учреждениями, частными инвесторами, разработчиками информационно-аналитических систем, другими субъектами рынка ценных бумаг в качестве инструментария для получения дополнительной информации, способствующей повышению степени обоснованности инвестиционных решений.

Апробация результатов работы. Основные результаты исследования докладывались и обсуждались на: семинарах и научных сессиях экономического факультета Воронежского государственного университета; Основные результаты исследования докладывались и обсуждались на: семинарах и научных сессиях Института Менеджмента, Маркетинга и Финансов; I международной научно-практической Интернет-конференции «Анализ, моделирование и прогнозирование экономических процессов» (Волгоград, 2009), 32-й Международной школе-семинаре «Системное моделирование социально-экономических процессов» (Вологда, 2009); V и VI Международной научно-практической конференции «Экономическое прогнозирование: модели и методы» (Воронеж, 2009-2010).

Внедрение результатов исследования. Предложенные методы, модели и программы прошли успешную верификацию на реальных временных рядах российского фондового рынка. Отдельные результаты диссертационного исследования нашли применение в практической деятельности компании ЗАО «ОТ-ОЙЛ» и частных инвесторов. Результаты исследований применяются при чтении курсов лекций «Биржевое дело», «Информационные технологии в экономике», «Финансовая математика» в Институте менеджмента, маркетинга и финансов (Воронеж).

Публикации. По теме диссертационного исследования опубликовано 8 работ, в том числе 3 статьи в изданиях, рекомендованных ВАК России ([21 -23]), и 5 работ в журналах заргистрированных в Роскомнадзоре и сборниках трудов конференций.

Диссертация: заключение по теме "Математические и инструментальные методы экономики", Владыкин, Сергей Николаевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации разработана теория оптимального портфельного инвестирования с учетом индивидуальных предпочтений инвестора, таких как длина инвестиционного горизонта, число реинвестирований и балансировок портфеля внутри инвестиционного горизонта и степени устойчивости портфеля.

В работе обосновывается связь между выбором стратегии рефинансирования портфеля и отношением инвестора к риску.

В диссертации использован и реализован в виде компьютерной программы алгоритм поиска глобального экстремума на основе метода стохастических лучей с эмуляцией «отжига» для поиска весов оптимальных портфелей. Ранее данный алгоритм использовался только для нахождения весовых коэффициентов нейросетей.

Получена формула для расчета трансакционных издержек на содержание портфеля на всем инвестиционном горизонте.

Проведены расчеты оптимальных портфелей для различных стратегий рефинансирования, различных показателей колеблемости, с учетом и без учета трансакционных издержек.

В работе предложена векторная модель теории CARM, учитывающая темпы роста доходности актива и темп роста доходности индекса при различных предположениях на количество реинвестирований на инвестиционном горизонте.

Подробно изложена позиция диссертанта о пределах и возможностях прогнозирования временных рядов в естественных науках, природе и экономике и проведена оценка эффективности индикатора для краткосрочного прогнозирования динамики индекса РТС.