Производственные функции комплексных переменных в экономическом анализе тема диссертации по экономике, полный текст автореферата

Автореферат диссертации по теме "Производственные функции комплексных переменных в экономическом анализе"

08-1 1869

¿Г

На правах рукописи

Светуньков Иван Сергеевич

ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ В ЭКОНОМИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ

Специальность 08.00.13 - "Математические и инструментальные методы экономики"

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата экономических наук

Санкт-Петербург - 2008

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный университет экономики и финансов»

Научный руководитель: доктор экономических наук, профессор

Соколов Дмитрий Викторович Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Савин Геннадий Володарович

доктор экономических наук, профессор

Силкина Галина Юрьевна

Ведущая организация: Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный университет»

Защита состоится "14" февраля 2008 года в_часов на заседании диссертационного совета Д 212.237.03 в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный университет экономики и финансов» по адресу: 191023, Санкт-Петербург, ул. Садовая, 21.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный университет экономики и финансов».

Автореферат разослан "______"__ 2008 г.

Учёный секретарь диссертационного совета

Завгородняя А.В.

1. ОСНОВНЫЕ ИДЕИ И ВЫВОДЫ ДИССЕРТАЦИИ

В настоящее время экономический анализ используется на всех предприятиях, которые стремятся сделать свою работу эффективной. Одними из наиболее развитых методов экономического анализа являются экономико-математические методы, чья инструментальная база в основном развивается по пути совершенствования существующих методов и моделей. Новые направления развития инструментальной базы экономического анализа появляются достаточно редко. Основной резерв этого процесса видится в использовании тех направлений современной математики, которые по различным причинам ещё не нашли применения в экономико-математическом моделировании. Одним из таких направлений выступает теория функций комплексных переменных, которая широко используется в естественно-научных дисциплинах, но до сих пор не используется в гуманитарных науках, в том числе и в экономике. Поэтому успешное решение задачи расширения инструментальной базы экономического анализа с помощью экономико-математического моделирования за счёт использования элементов теории функций комплексных переменных следует признать актуальной научной проблемой.

Из многочисленных разделов экономико-математического моделирования, где комплексные переменные и их функции могут быть использованы, в диссертации рассматривается применение комплексных переменных в теории производственных функций (ПФ).

Принципиальная возможность использования комплексных переменных в экономико-математическом моделировании определяется следующими концептуальными положениями.

Комплексное число - это число, состоящее из двух частей: действительной и мнимой. В алгебраической форме комплексное число г оно имеет следующий вид:

2 = х + гу ^ где х _ действительная часть, /у - мнимая, .г, у - действительные числа, I - мнимая единица (число, удовлетворяющее равенству /2=-/).

Комплексное число является нормальной математической абстракцией, такой же как, например, рациональное или иррациональное число.

В различных технических науках, в физике, в электротехнике комплексные числа используются достаточно активно - они облегчают процесс моделирования различных процессов. При этом постановка переменных в действительную и мнимую части комплексного числа объясняется определёнными законами. Например, в электротехнике считается, что значение активной мощности должно относиться к дей-

ствительной части, а реактивной - к мнимой. В экономике нет таких явных соответствий с действительной и мнимой частями комплексной переменной.

В диссертации предложен способ представления пары экономических показателей, являющихся отображением какого-либо экономического объекта или явления, в форме комплексной переменной, что позволяет применить элементы теории функции комплексных переменных в экономико-математическом моделировании.

Для того чтобы две экономические переменные могли быть объединены в одну комплексную, должно выполняться два условия:

■ эти две экономические переменные должны выступать разными характеристиками одного и того же экономического объекта или явления;

■ эти две экономические переменные должны быть одной размерности.

При этом подходе нет необходимости искать экономический смысл мнимой составляющей комплексной переменной, так как \ объединяет две экономические переменные, а действия с ней являются новым математическим правилом, которое до сих пор в экономике не использовалось.

Так в диссертации предложены ПФ вида и

С/+/С,=/(7к,+/£(Л где (), - объём выпуска (так как чаще всего он измеряется в денежных единицах, то можно также говорить о том, что ¡2, -доход организации), С, - прибыль организации, С, - издержки производства, К, — капитал (стоимость основных производственных фондов), Ц-труд (численность персонала либо суммарная зарплата персонала).

В диссертации предложены и изучены степенные ПФ комплексного аргумента и степенные ПФ комплексных переменных.

1. Линейная ПФ комплексного аргумента

Раскрыв скобки в правой части этой ПФ, из равенства действительных и мнимых частей получим следующую систему уравнений:

В этой функции коэффициенты находятся по следующим форму>

лам;

(О

а0К,+а^, =<2, апЬ, -а.К,= О

(2)

Благодаря тому, что коэффициенты могут быть найдены для каждого наблюдения, по их значениям можно однозначно говорить о том, каково производство по своей сути и как оно меняется во время.

При этом если все переменные приведены к безразмерным величинам по первому наблюдению, то для первого наблюдения коэффициенты (3) равны 0,5, На последующих наблюдениях коэффициенты могут либо увеличиваться, либо уменьшаться. В связи с этим можно наблюдать 4 ситуации, имеющие определённый экономический смысл:

1) когда оба коэффициента возрастают и их значения превышают начальную величину 0,5 - такой вариант развития событий характерен для сбалансированной экономики с устойчивым ростом производительности труда и фондоотдачи;

2) когда оба коэффициента уменьшаются и становятся меньше 0,5 - это возможно в условиях дисбаланса, при структурной перестройке производства, когда один из ресурсов используется в большей степени, чем другой, а отдача ресурсов не увеличивается. Эта зона - зона кризисной динамики;

3) когда значения коэффициента £?/ возрастают и превышают 0,5,'а значения коэффициента а„ уменьшаются - этот вариант характерен для трудоинтенсивного процесса с повышающейся фондоотдачей;

4) когда значения коэффициента уменьшаются, а значения коэффициента а0 возрастают и остаются больше 0,5 - процесс, производства, при котором фондоотдача уменьшается, а производительность труда растёт.

Если требуется рассчитать значения коэффициентов по ряду данных, то надо пользоваться следующими формулами, выведенными в диссертации с использованием метода наименьших квадратов (МНК):

хакА.Ц - К;) тЦЧ КУ)

I I

Так, например, для Диатомового комбината города Инзы Ульяновской области, по ряду данных с I квартала 2004 по 2 квартал 2007 года, ПФ комплексного аргумента для последнего наблюдения будет выглядеть следующим образом:

0 = (0,839-Я),518)(£, + /£,).

ПФ, построенная по всему ряду данных с помощью МНК выглядит

так;

= (0,768 -/'0,5 81) (ЛГ, + И,)

Эти модели свидетельствуют о том, что моделируемый процесс характеризуется устойчивым ростом производительности труда и фондоотдачи.

2. Степенная ПФ комплексного аргумента с действительными коэффициентами

■ß>= а (£,+/£,)* (5)

Здесь а - коэффициент пропорциональности, Ь - коэффициент «типа производства», показывающий, является ли производство на предприятии капиталоинтенсивным или трудоинтенсивным. Находятся эти коэффициенты по формулам:

а =_ß_ , 2тг

Т?74)" "arg(Kl+iL,) W

Как видно из формулы нахождения коэффициента Ь, если K=L, то сам коэффициент равен 8. Это условие, в частности, выполняется для первого наблюдения тогда, когда все данные в ряде приведены к относительным величинам по первому наблюдению. В диссертации показано, что коэффициент b меняется в пределах и отражает пропорции труда и капитала, сложившиеся на производстве. Причём, если значения b лежат в пределах (4; S) s т0 можно сказать, что производство трудоинтенсивно. Если же Ь>8, то производство капиталоинтенсивно,

ПФ комплексного аргумента с действительными коэффициентами для последнего наблюдения по данным Диатомового комбината имеет вид:

Q =0,001(*, UL,)UM\

что свидетельствует о том, что производство капиталоинтенсивно.

3. Степенная ПФ комплексного аргумента с комплексными коэффициентами

ß-fa+^X*,^)^ (7)

Представляя функцию (7) в экспоненциальной форме, получим систему двух уравнений:

Q, = sßf+aje^''"^ШК''"''1

Г—Г— > П S Z (8) 2пп = arg (ап + /о,) + bü arg (К, + iL,) + bt In д/ЛГ,3 + Ц

Из системы (8) видно, что все коэффициенты в этой функции взаимосвязаны. Например, коэффициент Ьи должен удовлетворять равенству, следующему из (8):

ъ _~а|,ё(ао+ )-ь\1п

Коэффициенты функции (7) имеют сложный экономический смысл, раскрыть который не входило в задачи диссертации. На данный момент можно с уверенностью сказать, что коэффициент

Ьд характеризует влияние значений ресурсов К и I (то есть размера затрачиваемых ресурсов) на объём производства в то время как коэффициент Ь/ характеризует влияние отношения Ь к К (то есть пропорций, сложившихся на производстве) на Q. Как показано в диссертации, коэффициенты этой функции могут быть найдены для ряда данных с помощью МНК: «¿(1п (К, + //,) 1п Й) - £(1п а Щ1п (К,.+ И,))

ай + ш, = е т

(9)

(Ю)

Для Диатомового комбината функция (7) с коэффициентами, найденными по (9) и (10), выглядит так:

0=(1,438-/0,74б)(Л:,+Л,)0-м&+'0-367

Полученная ПФ может быть использована как одна из эконометри-ческих моделей, в том числе для многовариантных расчётов.

4. Линейная ПФ комплексных переменных

Функция (11) уникальна, так как ни одна ПФ действительных чисел не позволяет моделировать зависимость двух выходных переменных (в данном случае, объёма выпуска Q и суммарных затрат С) от двух входных.

Если раскрыть скобки равенства (II) и сгруппировать вещественную и мнимую части, то получим, что вещественная часть находится по формуле:

<2,=К (12)

а мнимая:

С, +Ь]К1, (13)

Коэффициенты этой функции находятся по формулам:

■ 6Л+СЛ , С.К.-яа

+ и ' + (14)

Как видно из формул (14) коэффициенты несут в себе сложный экономический смысл, раскрыть который непросто. Знаменатели у этих коэффициентов одинаковы, но числители имеют сложный многофакторный характер. Коэффициент Ь0 будет линейно расти с ростом, как объёма производства, так и с ростом издержек производства при постоянстве затрат ресурсов. Также он будет расти и при увеличении ресурсов, затраченных в производстве. Относительно коэффициента Ъ/, можно сказать, что он будет увеличиваться с ростом себестоимости и, в некоторой степени, с увеличением основных производственных фондов. Если ресурсы, и результаты растут прямо пропорционально, то этот коэффициент остаётся постоянным. Поэтому использовать эту функцию в качестве аналитического инструмента не представляется возможным, но в эконометрических задачах она может найти широкое применение.

Если за точку отсчёта принять первое наблюдение, а все остальные значения привести к относительным значениям, то коэффициент Ьп будет равен единице, а коэффициент Ь, - нулю.

Для Диатомового комбината по последнему наблюдению функция (11) будет иметь вид:

Ql+iC,={\,229 + iO,26^)(Kl+iLl) (15)

В диссертации показано, что коэффициенты функции (11) могут быть найдены с помощью МНК по следующим формулам:

(Iй Xс,/,)(I К; -1 /.;) - 21 А'Л (Iй/, +1с;к, ]

(16)

ь тк+1сл,)(1>7+1СА

(17)

Для Диатомового комбината функция, построенная по всему ряду данных, выглядит так:

а+/С|=(1,Зб9 + »0,1б7)(Я(+/Х,) (18)

5. Степенная ПФ комплексных переменных с действительными коэффициентами

С,+1С1=а(К1+И1)" (19)

ПФ (19) также не имеет аналогов в области действительных чисел, так как позволяет моделировать зависимость прибыли и затрат оргаии-

зации от капитала и труда. Заметим, что С+С=д, то есть, моделируется и динамика выпуска.

По отдельности С, и С, находятся по формулам:

G, = а^К^+Ц] * cos(öarg(ü:( + iL,))

Cl^a(y[KfT^ym(bavg{Kl+iLl))

Кроме того, можно найти доход Q, организации:

Q^aM^Kj + Ü,

sm

п

+ barg{K,+iLl)

Коэффициенты этой функции находятся по формулам f In (С72 + С;) ln(^+4)arg(G,+/C,)x

¿? = ехр

2arg(tf, + /£,)

arg (G, +iC,)

(20) (21)

(22)

(23)

(24)

arg(K, +iL,) '

При этом коэффициент b меняется в следующих пределах: Зж

0 <b<bA=-, .

4 arg (K,+iL,)

В этой области прибыль G, вначале растёт с ростом значений показателя степени, достигая некоторого своего максимального значения, а затем снижается и уходит в область отрицательных значений. Затраты производства С, в этой области возрастают, достигают своего максимума, а затем несколько снижаются. В диссертации показано, что эта функция обладает уникальными свойствами, соответствующими сути производственного процесса. С ростом капитальных ресурсов ПФ (19) моделирует рост валовой прибыли G, и уменьшение издержек С,, что полностью соответствует реальным производственным процессам. Рост трудовых ресурсов на производстве ведёт к росту издержек производства С, и некотором снижении прибыли прибыли Gh Именно эта зависимость и моделируется ПФ (19).

Значение Ь, при котором прибыль равна нулю, легко находится по формуле:

Ъ п

2 2 arg {K,+iL,)

Значение максимума С?, находится по формуле;

агс^

+11,) максимума С,:

п - arctg

1п

аг е(К, + /'£,)

максимума валового выпуска

/ л

3 п

- агс^

агъ(К, +И1)_ 1п

У

По этим значениям 6, можно говорить о 12 разных вариантах про-

изводства:

2.

6е(0;6,) _ производство эффективно, поскольку, несмотря на рост издержек производства С„ растёт и прибыль О,. Доход £>, также растёт.

6 = 6,

точка оптимального производства, в которой при-

быль О, достигает наибольшего значения.

3. Ь е (б,;1) - производство эффективно, но прибыль О, снижается, а издержки С, растут.

4, 6 = 1 -точка, в которой К, не влияет на С,, а I, не влияет на й,, как видно из формулы (19), О, = аК, > С, = аЦ.

- прибыль С, снижается, но доход организации всё ещё продолжает расти. ^ = ^о -• точка максимума дохода организации.

7, 6е(/>е);62) производство всё ещё эффективно, прибыль СI уменьшается, а издержки продолжают расти. Доход (?, уменьшается.

8. Ъ -Ьг - точка бесприбыльного производства (известная в экономическом анализе как «критическая точка»). Здесь

= 0 , доход (21 равен издержкам С,.

9. Ье(Ь2-Ь,) - неэффективное производство, Прибыль отрицательна, но по модулю меньше издержек (то есть, товар приходится продавать по цене, ниже себестоимости), издержки С, растут, доход <2, уменьшается,

10. Ь = Ь} - точка максимального убытка. Это точка-экстремум, в которой издержки принимают наибольшее значение, прибыль отрицательная и по модулю меньше издержек.

11. ^ е(Ь}'ьЬА) - производство крайне неэффективно. Издержки, прибыль и доход снижаются

12. Ь = Ь,, _ точка прекращения производства. Здесь прибыль С?, по модулю равна издержкам С„ а доход £>, равен нулю.

В некоторых случаях, представленная выше последовательность может меняться.

Например, для Диатомового комбината по данным на 2 квартала 2007 года получились следующие значения точек: Ь=2,716; ¿, = 1,559; Ь;=2,842; Ь^>=2,980; Ь3=4,401; Ь^=4,2бЗ. Как видно, точка максимума дохода для Диатомита находится правее точки отсутствия прибыли, а точка прекращения производства - левее точки максимального убытка.

Уникальные свойства данной модели делают её незаменимым инструментом экономического анализа. По значениям Ь можно оценить не только насколько эффективно работает предприятие, но и то, как меняется эффективность работы предприятия во времени. Для оценки этой эффективности введён коэффициент

5 =

г Ь-Ь^ Ь + Ьи

100%

(25)

Для Диатовомого комбината значение коэффициента 5 на 2 квартал 2007 года составило 72,94%.

Для Диатомового комбината на 2 квартал 2007 года функция (19) выглядит следующим образом:

в, +/С, =0,310(£# н-л,)1'"6

6. Степенная ПФ комплексных переменных с комплексными коэффициентами

ОгП.С1={а0 + 1а,){К1+1Ь1){^] (26)

Эта ПФ является общей для целого класса ПФ комплексных переменных, каждая из которых представляет отдельный интерес. Нахождение параметров ПФ (26) позволяет найти параметры более простых функций.

Явный экономический смысл коэффициенты этой функции не имеют, однако они могут быть найдены как на каждом наблюдении, так и по ряду данных с помощью МНК, адаптированного в диссертационной работе:

т£(1п (к, + а,) 1п (а, -I- 1С,)) - 1(1п (о> /с, ))Ц|п (к, + а,))

ьа + = -•-^-

£(1п(С, +/Г, )}-(Ь0 Щ )5>( )) . _/.______/______

а0 + 1а] - е "'

При практическом применении предложенного подхода возможен автоматический выбор наилучшей аппроксимирующей функции, поскольку некоторые коэффициенты могут быть близки к нулю. Например, если с помощью МНК обнаружено, что мнимые составляющие коэффициентов близки к нулю, то наилучшей будет функция (19).

Для Диатомового комбината получилась следующая ПФ:

+ /С, - (0,326 + /1,208)(А:, + И,

Как можно заметить, мнимая часть показателя степени этой функции мала сравнительно со значениями других коэффициентов. Значит, в дальнейших расчётах можно пользоваться функцией, близкой по своим свойствам к функции (19), а именно:

в, + г'С, = (0,326 + Л,208)(/С/ +

Помимо этого, в диссертации предложено использовать обратные ПФ комплексных переменных для рационализации производственных ресурсов. Обратные ПФ - это ПФ, описывающие зависимость факторов производства от результата производства и представляют собой аналог функции затрат, известной в теории ПФ действительных переменных. Они нужны для выяснения того, какими должны быть затраты капитала и труда для достижения тех или и(1ых значений прибыли и издержек или валового выпуска. Так в диссертации были выведены обратные Г1Ф для функций (19) и (26):

к. =

Ц =

^с*

л / соэ

ащ(0, + /С,)

а

ч

аг

(27)

ЭН!

(28)

ДЛЯ функции (26) К, = Рсоз(/?) и Ц =Р$т{0), При этом:

1>о Щ

Ь0(ащ(С, +/С, )~Ш1(Й0 +'0| ))-6| ( 1п(>/с^+гЛ-1п и°о+«Г

Р

Ряд исследованных ПФ можно использовать для целей определения направлений оптимизации работы предприятия - коэффициенты функций могут быть использованы не только для диагностики производственных процессов, но .и для их оптимизации.

Например, для функции (19) по каждому наблюдению из ряда данных рассчитываются значения коэффициента Ь, значение точки Ь/ и коэффициента 5. Это даёт исследователю понимание о том, как меняется эффективность работы предприятия. Далее, подставляя значение Ь, вместо Ь для последнего наблюдения, рассчитывается, какими могли бы быть О, и С„ если бы предприятие работало эффективней. После этого, используя полученные значения и формулы (27) и (28), выясняется, какими должны быть К, и ¿, на данном предприятии при данной технологии производства для достижения максимальной эффективности. Если же исследователя интересует другой критерий оптимизации - не максимум прибыли, а максимум дохода, то вместо точки надо рассчитать значения точки Ьд и далее во всех дальнейших расчётах использовать именно это значение.

Подобный экономический анализ был проведён для Диатомового комбината. Интересно, что проведённые расчёты по ПФ Кобба-Дуртса показали, что Диатомовому комбинату рекомендуется увеличивать К, и ¿, для максимизации валового выпуска. Расчёты по ПФ (19) показали, что при этом действительно становится максимальны, но прибыль становится отрицательной. Для максимизации прибыли Диатомовому комбинату следует уменьшить затраты трудовых ресурсов за счёт рационализации их структуры.

И. ВКЛАД АВТОРА В ПРОВЕДЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ

Вклад автора в проведенное исследование заключается в постановке цели, выбора объекта, обосновании задач и их решения в целях развития концептуальных и методических задач, касающихся разработки теории производственных функций комплексных переменных.

Целью диссертационной работы является разработка концептуальных положений использования элементов теории функций комплексных переменных в экономико-математическом моделировании на примере ПФ.

Для достижения поставленной цели в диссертации решены следующие основные задачи:

1. изучены положения экономико-математического моделирования производственных процессов в экономическом анализе;

2. предложен подход по применению теории функций комплексных переменных в экономико-математическом моделировании;

3. разработаны линейные и степенные ПФ комплексного аргумента и комплексных переменных, изучены их свойства;

4. обоснованы методы оценки коэффициентов всех ПФ комплексного аргумента и комплексных переменных и выведены расчётные формулы.

Объектом диссертационного исследования являются производственные системы разных уровней иерархии - от экономики отдельного предприятия до экономики России.

Предметом исследования выступают математические методы и подходы моделирования производственных процессов с помощью элементов теории функции комплексных переменных,

В ходе выполнения диссертационного исследования использовались статистические данные Госкомстата России, данные открытой печати, собственные данные, собранные диссертантом в ходе эмпирических исследований.

Ш. СТЕПЕНЬ НАУЧНОЙ НОВИЗНЫ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ РЕЗУЛЬТАТОВ ИССЛЕДОВАНИЯ

Основной научной новизной диссертацией является обоснование возможности использования комплексных переменных в экономико-математическом моделировании на примере теории ПФ, К числу наиболее важных новых научных результатов можно отнести следующие:

доказана принципиальная возможность использования теории функции комплексных переменных в экономико-математическом моделировании на примере производственных функций;

предложен способ представления пары экономических показателей в форме комплексной переменной, что позволяет применить элементы теории функции комплексных переменных в экономико-математическом моделировании; введены в научный оборот степенные производственные функции комплексного аргумента, в том числе:

a. предложена и исследована линейная производственная функция комплексного аргумента:

0= («о-«*■)(*/ +'А);

b. обоснована и исследована степенная производственная функция комплексного аргумента с действительными коэффициентами <2, =а(К1 + //,,)'';

c. Исследована производственная функция комплексного аргумента с комплексными коэффициентами

(¿-^¡аМК.+И,)^-.

введены в научный оборот степенные производственные функции комплексных переменных, в том числе:

a. предложена и исследована линейная производственная функция комплексных переменных:

b. обоснована и исследована степенная производственная функция комплексных переменных с действительными коэффициентами

c. предложена и исследована производственная функция комплексных переменных с комплексными коэффициентами О, + /С, = (а0 + ш])(К1 + Щ )(Л";

дана экономическая интерпретация отдельных параметров степенных производственных функций комплексного аргумента и комплексных переменных. Выведены формулы для нахождения коэффициентов производственных функций комплексного аргумента и комплексных переменных на каждом наблюдении. Обоснована расчётная процедура оценки

коэффициентов производственных функций комплексного аргумента и комплексных переменных с помощью метода наименьших квадратов;

6) с помощью обратных производственных функций комплексных переменных предложен подход по экономическому анализу и планированию рационального использования производственных ресурсов и оптимизации использования производственных ресурсов с помощью моделей производственных функций комплексных аргументов и переменных;

7) разработан метод использования предложенных производственных функций комплексных переменных в практике экономического анализа, в результате которого выявлен ряд их преимуществ по сравнению с существующими производственными функциями действительных переменных;

8) Введён ряд новых терминов, расчётных коэффициентов и дано уточнение ряда определений, расширяющих теорию производственных функций.

Практическая значимость диссертации заключается в том, что изученные Пф. доведены до стадии, позволяющей использовать их не только для много вариантных прогнозов развития предприятий, но и для анализа протекающих на производстве процессов.

Основные положения диссертационного исследования, составляющие научную новизну, прошли апробацию в виде докладов на Международных и Всероссийских конференциях. Материалы диссертационного исследования использовались при выполнении гранта РФФИ №0506-80020 «Исследование запредельных случаев метода Брауна в экономическом прогнозировании», а также поддержаны в продолжающемся научном исследовании «Разработка основ экономико-математического моделирования с использованием комплексных переменных» при поддержке РФФИ (грант №07-06-00151).

Основные положения диссертации опубликованы в следующих работах;

Публикации в журналах, рекомендуемых решением ВАК РФ:

1. Светуньков С.Г., Светуньков И.С. О возможности использования комплексных чисел в теории ПФ // Известия Санкт-Петербургского университета экономики и финансов, 2005, № 4.-1,0 п.л. (вклад автора - 0,7 пл.).

2. Светуньков И.С. Использование комплексных неременных в теории ПФ // Известия Санкт-Петербургского университета экономики и финансов, 2007, № 4. - 0,24 п.л.

Публикации в других источниках:

3. Светуньков С.Г., Светуньков И.С. Исследование свойств ПФ комплексного аргумента. Препринт, - СПб.: Изд-во СПбГУЭФ, 2005. - 1,5 п.л. (вклад автора - 1,0 пл.).

4. Светуньков С.Г., Светуньков И.С. Прогнозирование бюджетных доходов с помощью ПФ в виде комплексной переменной // Состояние и проблемы трансформации финансов и экономики регионов в переходный период. Материалы Второй Международной научно-практической конференции 12 мая 2005 г. Ч. I. -Черновцы - Букрек, 2005. с.330 - 331.- 0,12 п.л. (вклад автора -0,06 п.л.)

5. Светуньков С.Г., Светуньков И.С. ПФ в виде комплексного числа в прогнозировании // Экономическое прогнозирование: модели и методы: материалы Международной научно-практической конференции, 29-30 апреля 2005 г.- Воронеж, Изд-во ВГУ, 2005. - Ч.1., с.58 - 61. - 0,24 п.л. (вклад автора -0,12 п.л.).

6. Светуньков С.Г., Бутуханов A.B., Светуньков И.С. Запредельные случаи метода Брауна в экономическом прогнозировании. Препринт. Спб,: Изд-во СпбГУЭФ, 2006. - 4,5 п.л. (вклад автора - 1,5 п.л.)

7. Теория функции комплексного переменного в экономико-математическом моделировании. Материалы Всероссийского научного семинара. 19 декабря 2005 г. / Под ред. проф. С.Г.Светунькова. - СПб.: Изд-во СПбГУЭФ, 2006. - 1 п.л.

8. Светуньков И.С. Обратные ПФ комплексного переменного / Экономическая кибернетика: системный анализ в экономике и управления: Сборник научных трудов. Выпуск № 15 / Под ред. Д.В. Соколова и В.П. Чернова. - СПб.: Изд-во СПбГУЭФ, 2007, с. 88-93.-0,35 п.л.

9. Светуньков С.Г., Светуньков И.С. ПФ комплексных переменных. - М.: Издательство «УРСС», 2007. - 7 п.л. (вклад автора -3,5 п.л.)

СВЕТУНЬКОВ ИВАН СЕРГЕЕВИЧ АВТОРЕФЕРАТ

Лицензия ЛР № 020412 от 12.02.97

Подписано в печать 9.01.08. Формат 60x84 1/16. Бум. офсетная. Печ. л. 1,2. Бум. л. 0,6. РТП изд-ва СПбГУЭФ. Тираж 70 экз. Заказ 13

Издательство Санкт-Петербургского государственного университета экономики и финансов 191023, Санкт-Петербург, Садовая ул., д. 21.