Условно-гауссовские модели финансовых временных рядов тема диссертации по экономике, полный текст автореферата
- Ученая степень
- кандидата экономических наук
- Автор
- Мубаракшин, Олег Анварович
- Место защиты
- Ижевск
- Год
- 2002
- Шифр ВАК РФ
- 08.00.13
ДиссертацияДиссертация: содержание автор диссертационного исследования: кандидата экономических наук, Мубаракшин, Олег Анварович
ВВЕДЕНИЕ.
ГЛАВА 1. G ARCH-МОДЕ ЛИ ФИНАНСОВЫХ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ.
1.1. Введение в GARCH.
1.1.1. Почему используют GARCH.
1.1.2. GARCH-ограничения.
1.2. Использование GARCH.,J.
1.2.1. Корреляция в финансовых временных рядах.
1.2.2. Условная дисперсия.;.J.
1.2.3. Последовательная зависимость в ошибках.
1.2.4. Гомоскедастичность безусловной дисперсии.|.
1.3. Анализ и оценка GARCH моделей.i.
1.3.1. Модели условного среднего и дисперсии.
1.3.2. Стационарные и нестационарные временные ряды.|.
1.3.3. Предварительный анализ.!.
1.3.4. Оценка параметров модели.j.
1.3.5. Проверка адекватности модели.
Диссертация: введение по экономике, на тему "Условно-гауссовские модели финансовых временных рядов"
Актуальность темы. Резкое повышение научного интереса к математическому моделированию в теории финансов в последние три десятилетия основано на революционных преобразованиях финансового рынка - изменении его структуры, возрастании изменчивости (волатильности) в ценах, появлении весьма : изощренных финансовых ; инструментов, использовании новых информационных технологий для анализа цен и многом другом. Все это предъявило к финансовой теории новые | требования и поставило новые проблемы, для решения которых необходимо проведение глубоких научных исследований в области математического моделирования финансовых процессов. Будучи большой и сложной системой с огромным количеством переменных, различных факторов и связей, финансовые рынки требуют для своего анализа достаточно сложных, далеко! продвинутых математических методов, методов статистической обработки данных, численных методов и компьютерных средств.
Практика показывает, что спекулятивные финансовые рынки сегодня являются наиболее чистой моделью свободного рынка и конкуренции, на которых только спрос и предложение определяют движения: цен. Обладая высокой степенью волатильности, а также повышенной скоростью и хорошей ликвидностью, они привлекают большое количество участников, главной целью которых является получение прибыли. Однако следует подчеркнуть, что никакой рынок не дает стопроцентных гарантий получения прибыли. И уж тем более спекулятивная игра на рынке ценных бумаг является высоко рискованным делом. Хотя на таком рынке теоретически можно удвоить капитал за месяц, за сутки и даже за часы, за этот же период его можно и потерять. Чтобы этого не случалось, участнику финансового рынка необходимо умение не только максимально увеличивать свои активы, нё и правильно оценивать финансовый риск и управлять им.
Наиболее важными производными ценными бумагами принято считать опционы и фьючерсные контракты. Хотя и те, и другие имеют высокую степень риска вложений, их разнообразные комбинации с базовыми активами -акциями и облигациями - с успехом используются не только для получения спекулятивного дохода, но и как средство защиты от неблагоприятного изменения рыночных цен. Толчком к развитию рынка производных ценных бумаг послужили чисто теоретические работы Ф. Блэка, М.| Шоулза и Р. Мертона, опубликованные в 1973 г. С одной стороны, эти | теоретические публикации сразу получили применение на практике финансовых операций и стали основным фактором существенного увеличения количества сделок с опционами. С другой стороны, они явились источником многочисленных исследований как более сложных опционов, так и других видов производных ценных бумаг. В-третьих, они подтвердили актуальность научных исследований в области математического моделирования экономических процессов, в частности, на финансовых рынках.
Применение условно-гауссовских моделей для анализа финансовых временных рядов актуально, поскольку позволяет прогнозировать волатильность финансовых инструментов и, в свою очередь, даёт возможность инструментам, применения в количественно оценить риск позиции по данным финансовым Прогноз волатильности также актуален с целью эффективного: основной модели ценообразования опционов Блэка-Шоулза, которая используется как обычными Инвесторами, так и биржамй для расчета рациональной стоимости опционов.
Объектом исследования являются: финансовые временные ряды -последовательности числовых данных, упорядоченные в неслучайные моменты времени, отражающие динамику курсов акций, фьючерсов, обменных курсов валют и биржевых индексов.
Предметом исследования; являются: математические модели условной дисперсии (волатильности) финансовых временных рядов, ; эмпирические закономерности в значениях курсов акции, оценка риска вложении в финансовые инструменты, модели ценообразования опционов.
Цель работы - проведение комплексных исследований, направленных на выявление и формализованное описание эмпирических закономерностей в значениях финансовых временных рядов; получение научно обоснованных технических и методических решений, способствующих созданию условно-гауссовских моделей финансовых временных рядов; разработка методов оценки адекватности получаемых моделей статистическим данным; на основе созданных моделей построение метода количественной оценки р|иска вложений в финансовые инструменты; разработка модели ценообразования опционов Блэка-Шоулза, основанной на прогнозах волатильности с помрщью условно-гауссовских моделей.
Для достижения поставленной цели определены следующие задачи:
- выявить и обосновать эмпирические закономерности, характерные для финансовых временных рядов;
- провести теоретическое исследование условно-гауссовских моделей временных рядов;
- разработать метод оценки параметров модели и реализовать его в программном продукте;
- предложить и обосновать методы исследования оцененных моделей на адекватность статистическим данным;
- на основе получаемых моделей волатильности создать модель количественной оценки риска, разработать и обосновать критерии применимости этой модели;
- использовать прогнозы условной дисперсии для основной модели ценообразования опционов Блэка-Шоулза.
Методология и методы исследования. Основой исследования является математическое моделирование. Для изучения построенной модели применяются методы статистического и корреляционного анализа. методологии
Программное обеспечение реализовано в среде программирования Borland Delphi 5.0, проверка расчетов осуществлялась в среде MATLAB Release 12.
При создании алгоритма оценки параметров модели использовался численный метод максимального правдоподобия, для оценки информационной матрицы использовался метод внешнего произведения градиентов.
Достоверность и обоснованность полученных в работе; результатов и выводов основывается на том,: что математические модели и алгоритмы, предложенные в работе, базируются на фундаментальных положениях математической статистики, теории оптимизации, общепризнанной концепции стоимости риска - Value-at-Risk, модели ценообразования оцционов Блэка-Шоулза.
Достоверность экспериментальных результатов j обеспечена использованием аттестованных средств проверки моделей на адекватность статистическим данным, большим объемом экспериментального материала.
На защиту выносятся результаты исследований по созданию математических моделей для количественной оценки риска вложений в финансовые инструменты, модели ценообразования опционов i Блэка-Шоулза, основанные на условно-гауссовских моделях волатильностй финансовых временных рядов, выводы теоретического и прикладного характера по теме диссертационного исследования:
- определение специфических характеристик финансовых временных рядов;
- разработка математических авторегрессионных моделей условной неоднородности, GARCH моделей;
- использование статистических гипотез для проверки; соответствия оцененных моделей статистйческим данным;
- разработка моделей стоимости риска VaR, основанный на GARCH-моделях;
- изучение модели ценообразования опционов j Блэка-Шоулза, использующей в качестве оценки волатильности ее GARCHfпрогноз.
Научная новизна полученных результатов определяется проведенными комплексными исследованиями финансовых временных рядов с привлечением условно-гауссовских моделей и заключается в том, что:
- построена эконометрическая модель волатильности i финансовых инструментов (акций, фьючерсов, опционов, обменных курсов валют), учитывающая эмпирические закономерности, характерные для значений доходности финансовых активов;
- разработан метод оценки риска вложений Value-at-Risk (VaR) на основе построенной условно-гауссовской модели, произведена: оценка VaR обыкновенных акций РАО «ЕЭС России», для данного метода предложены принципиально новые способы проверки модели на; адекватность статистическим данным;
- разработана математическая модель ценообразования опционов Блэка-Шоулза, применяющая прогнозы волатильности условно-гауссовских моделей для оценки теоретической стоимости опциона;
- создан программный продукт, позволяющий проводить анализ финансовых временных рядов, используя условно-гауссовские модели, оценивать и прогнозировать значения условной дисперсии (волатильности) финансовых инструментов, на основе этих оценок и прогнозов измерять величину риска вложений VaR, вычислять теоретическую стоимость опционов по модели ценообразования опционов Блэка-Шоулза.
Практическая ценность работы заключается в том, что ее выводы и материалы обеспечивают необходимую базу для оценки риска вложений в финансовые инструменты (акции, фьючерсы, обменные курсы валют). Используя созданный программный продукт, можно определять меру стоимости риска (VaR), характеризующую уровень убытков при вложении с заданной вероятностью и для определенного временного горизонта. Можно рассчитывать теоретические стоимости опционов, используя модель Блэка-Шоулза, что позволяет выяснить, в какой степени опцион переоценен или недооценен, а также понять динамику изменения опционной премии.
Апробация работы. Законченные этапы работы докладывались и обсуждались на Международной конференции «Молодежь, студенчество и наука XXI века» (Ижевск, 2001), Научно-технической конференции ИжГТУ (Ижевск, 2001), Международной конференции: V International Congress of mathematical modeling (Дубна, 2002).
Публикации. Результаты работы отражены в 8 научных публикациях, в том числе: 2 статьях центральной печати, 5 статьях в сборниках научно-технических изданий, 1 тезисе докладов на научно-технической конференции.
Структура и объем работы. Диссертация содержит введение, 3 главы и заключение, изложенные на 136 страницах машинописного текста. В работу включены 25 рис., 15 табл., список литературы из 112 наименований и приложения.
Диссертация: заключение по теме "Математические и инструментальные методы экономики", Мубаракшин, Олег Анварович
Основные выводы и результаты работы:
1. Финансовые временные ряды имеют устойчивые закономерности: кластерность волатильности и толстые хвосты в распределении доходностей активов. Эти закономерности были выявлены и формализовано описаны в ходе диссертационного исследования.
2. Разработанная автором методика моделирования рядов доходностей финансовых инструментов, используя условно-гауссовские модели, позволяет получать оценки и прогнозы условной дисперсии (волатильности) исследуемых финансовых временных рядой.
3. Получен метод оценки риска вложений Value-at-Risk (VaR), основанный на прогнозах волатильности условно-гауссовскими моделями; позволяющий определять уровень риска при работе с финансовыми инструментами.
4. Разработана система тестов на адекватность VaR-моделей статистическим данным.
5. Проведено исследование рисковой стоимости методом финансовой позиции, единственным активом которой являются акции обыкновенные РАО «ЕЭС России».
6. Разработан метод оценки теоретической стоимости опционов, основанный на модели ценообразования опционов Блэка-Шоулза* i волатильность
Value-at-Risk базового актива в котором вычисляется с помощью условно-гауссовских моделей.
7. Создан программный продукт, позволяющий проводить анализ финансовых временных рядов, используя условно-гауссовские модели, оценивать и прогнозировать значения условной дисперсии (волатильности) % финансовых инструментов, на основе этих оценок и прогнозов измерять величину риска вложений VaR, вычислять теоретическую стоимость опционов по модели ценообразования опционов Блэка-Шоулза.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В результате проведенных в работе комплексных ! исследований, направленных на получение научно-обоснованных методических и алгоритмических решений, способствующих построению условно-гауссовских моделей финансовых временных рядов, разработана методика оценки риска Value-at-Risk, позволяющая прогнозировать предполагаемые убытки по определенной финансовой позиции с заданным уровнем j значимости и временным горизонтом. Применение разработанной методики на финансовых рынках представляется весьма актуальным, так как позволяет принимать решения с четких научно-обоснованных позиций.
Диссертация: библиография по экономике, кандидата экономических наук, Мубаракшин, Олег Анварович, Ижевск
1. Абрамов Л.М., Капустин В.Ф. Математическое программирование. Л.: Изд. ЛГУ, 1981.
2. Абрамов Л.М., Капустин В.Ф. Математическое программирование. Часть 1. СПб.: Изд. СПбГУ, 2000.
3. Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов. М.: Мир, 1976.
4. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. -М.: Мир, 1974.-Вып. 1,,2.
5. Боровиков В.П., Ивченко Г.И. Прогнозирование в системе STATISTIC А в среде WINDOWS. М.: Финансы и статистика, 2000.
6. Бородин А.Н. Элементарный курс теории вероятностей и I математической статистики. СПб.: Лань, 1999. - 224 с. |
7. Боярский А.Я. Статистика и оптимальное планирование, -j- М.: Статистика, 1977.
8. Бриллинджер Д. Временные ряды: обработка данных и теория. М.: Мир, 1980.
9. Вайнштейн А. Проблема экономического прогноза в её статистической постановке.-М.: 1930.
10. Вентцель А.Д. Курс теории случайных процессов. М.: Наука, 1975.
11. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. 5-е изд. М.: Высшая школа, 1998. -576 с. j
12. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятности и ее инженерные приложения. М.: Наука. Гл.ред.физ.-мат.лит. - 1998. - 480 с.
13. Волков Е. А. Численные методы М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1982.
14. Гмурман В.Е. Теория вероятности и математическая статистика: учебное пособие для вузов. 7-е изд., стер. - М.: Высшая школа, 1999. - 479 с.
15. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. Изд. 2. М.: ГИТТЛ, 1954; Изд. 6-е, перераб. и доп. - М.: Наука, 1988.
16. Демиденко Е.З. Линейная и нелинейная регрессия. М.: Финансы и статистика, 1981.
17. Дынкин Е.Б. Марковские процессы. М.: Физматгиз, 1963.
18. Жакод Ж., Ширяев А.Н. Предельные теоремы для случайных процессов. Т. 1, 2. М.: Физматлит, 1994.
19. Золотарев В.М. Одномерные устойчивые распределения. М.: Наука, 1983.
20. Калинина В.Н., Панкин В.Ф. Математическая статистика М: Высшая школа, 1994.
21. Кендалл М., Стюарт А. Многомерный статистический анализ и временные ряды. М.: Наука, 1976.
22. Кендэл М. Временные ряды. М.: Финансы и статистика,; 1981.
23. Крамер Г. Математические методы статистики. М.: Мир, 1975.
24. Кузнецова К.С., Голодненко В.Н. К вопросу о количественной оценке точности прогноза. М.: «Экономика и математические мётоды», VII, 6, 1971.
25. Кулаичев А.П. Методы и средства анализа данных в средё Windows STADIA 6.0. М.: НПО «Информатика и компьютеры», 1998.
26. Маймин З.Г. К вопросу о выделении детерминированной составляющей случайного поля // Теория вероятностей и ее применения.; 1974. Т. 19. №3. С. 533-546.
27. Прохоров Ю.В. Сходимость случайных процессов и предельные теоремы теории вероятностей // Теория вероятностей и ее! применения. 1956. Т. 1. №2. С. 177-238,
28. Семенов Н.А. Программы регрессионного анализа и прогнозирования временных рядов. Пакеты ПАРИС и МАВР. М.: Финансы и статистика, 1990.
29. Тюрин Ю.Н., Макаров А.А. Статистический анализ данных накомпьютере / Под редакцией Фигурнова В.Э. М.: ИНФР1. А-М, 1998.
30. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т. 2. М.: Мир, 1971.
31. Цыплаков А. GARCH-регрессия: формулировка и оценивание (конспект), 1999 г. http://www.nsu.ru/el7tsy/ecmr/index.htm :
32. Ширяев А.Н. Вероятность. Зд. 2-е, перераб. и доп. М.: Наука, 1989.
33. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Том 1. Факты. Модели. М.: ФАЗИС, 1998. - 512 с.
34. Ширяев А.Н. Стохастические проблемы финансовой математики // Обозрение прикладной и промышленной математики. М,: ТВП, 1994. Т. 1. №5. С. 780-820.
35. Экономико-математические методы и модели. (Раздел "Линейное программирование"): Уч.пособие для практ.занятий / Ю;Л.Куликов и др. М.: МПСИ, 2000.-96 с.
36. Экономико-математические методы и прикладные модели / В.В.Федосеев, А.Н.Гармаш; под ред. В.В.Федосеева. М.:|ЮНИТИ, 2000.-391 с.
37. Энгл Р.Ф., Боллерслев Т. ARCH-модели Handbook of Econometrics Volume 4, Chapter 49, 2000 г.http://www.elsevier.n1/hes/books/02/04/contents/body0204.htin#chapter49
38. GARCH Model with Cross-sectional Volatility; GARCHX Models / Soosung Hwang. Faculty of Finance City University Business School, December 2001. http://www.city.ac.uk/cubs/ferc/wpapers/garchx7.pdf
39. A Structured GARCH Model of Daily Equity Return Volatility / Gregory Connor, 2001.http://www.lse.ac.uk/collections/accountingAndFinance/staff/connor/files/bvg archgc.PDF
40. ARCH and GARCH Models / Bovas Abraham. Dept of Statistics & Actuarial Sciences University of Waterloo, Canada. 2000. http://www.math.uwaterloo.ca/~schenour/stat929.pdf
41. Evaluating the Black-Scholes Model and the GARCH Option Pricing Model / Bin Chang. Queen's University Kingston, Ontario, Canada, August, 2002. http://business.queensu.ca/qfe/docs/BinChangeThesis.pdf !
42. Introduction to ARCH & GARCH models / Roberto Perrelli. Department of Economics University of Illinois, 2001. http://www.econ.uiuc.edu/~econ472/ARCH.pdf
43. Modelling financial time series using GARCH-type models with a skewed Student distribution for the innovations / Philippe Lambert and Sebastien Laurenty, October 2001.http://www.egss.ulg.ac.be/econometrie/pdf%5CSKST.pdf
44. Nonparametric GARCH Models / Peter Buhlmann and Alexaiider J. McNeil, July 2000.http://www.faculty.econ.northwestern.edu/faculty/spady/oldpapers/Nonparam etricGARCH.pdf
45. Абчук B.A. Экономико-математические методы. Элементарная математика и логика. Методы исследования операций. СПб.: Союз, 1999.-320 с.
46. Айвазян С.А. Статистическое исследование зависимостей. М. «Металлургия», 1968.
47. Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика. Основы моделирования и первичная обработка данных. -|М.: Статистика, 1983.
48. Айвазян С.А., Мхитарян B.C. Прикладная статистика и эконометрика. -М.: ЮНИТИ, 1998.
49. Аркин В.И., Евстигнеев И.В. Вероятностные модели управления и экономической динамики. М.: Наука, 1979.
50. Баласанов Ю.Г., Дойников А.Н., Королев М.Ф., Юровский А.Ю. Прикладной анализ временных рядов с программой ЭВРЙСТА. М.: Центр СП «Диалог» МГУ, 1991.
51. Бендат Дж., Пирсол А. Прикладной анализ случайных данных. М.: Мир, 1989.
52. Венецкий И.Г., Венецкая В.И. Основные математико-статцстические понятия и формулы в экономическом анализе. М.: Статистика, 1974. -280 с.
53. Воронцовский А.В. Инвестиции и финансирование. Методы оценки и обоснования. СПб.: Изд-во СПбГУ, 1998. - 528 с.
54. Воронцовский А.В. Методы обоснования программ инвестиционной деятельности. //Вестник СПбГУ. Сер.5. 1996. Вып.2. С.62-70.
55. Воронцовский А.В. Обоснование программ инвестиций и;кредитования. // Известия СПбУЭФ. 1996. N 4.
56. Воронцовский А.В. Основы теории выбора портфеля ценных бумаг // Вестник СПбГУ. Сер.5.Вып. 1 С.83-94
57. Высшая математика для экономистов: Учебник для ВУЗов / Кремер Н.Ш., Путко Б.А; под ред. проф. Кремера Н.Ш. 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1998. - 471 с.
58. Дорофеев Е.А. Влияние колебаний экономических факторов на динамику российского фондового рынка. Промежуточный отчет по гранту РПЭИ, дек. 1998.
59. Доугерти К. Введение в эконометрику: Пер. с англ. М.: ИНФРА-М, 2001.-XIV, 402 с.
60. Ковалев В.В. Финансовый анализ: Управление капиталом;. Выбор инвестиций. Анализ отчетности. М.: Финансы и статистика, 1995. 432с.
61. Кочович Е. Финансовая математика. Теория и практика финансово-банковских расчетов. Пер.с серб. М.: Наука, 1994.
62. Кудрявцев А.А. Актуарные модели финансовой устойчивости страховых компаний. СПб.: Институт страхования, 1996
63. Липсиц И.В., Коссов В.В. Инвестиционный проект: методы подготовки и анализа. Учебно-справочное пособие. М.: Изд-во БЕК, 1996. 304 с.
64. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс. М.: Дело, 1998.
65. Массе П. Критерии и методы оптимального распределений капиталовложений. Пер. с франц. М.: «Статистика», 1971.: 503 с.
66. Математические методы в статистике. Сб. статей под ред.; Г.Л. Ритца. -М.: «Экономическая жизнь», 1972.
67. Математическое моделирование экономических процессов / под ред. Белоусова Е.Г. и др. М.: Изд-во МГУ, 1990. - 228 с.
68. Найт Френк. Понятия риска и неопределенности. Пер. с англ. / TESIS 1994 Вып.5. С. 12-28.
69. Нейман Дж., Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. Пер.с англ. М.: «Наука», 1970. - 707 с.
70. О'Брайен Дж., Шривастава С. Финансовый анализ и торговля ценными бумагами (FAST): Пер. с англ. М.: «Дело ЛТД», 1995. - 208 с.
71. Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник под редакцией В.И. Ермакова. М.: ИНФРА, 2000. - 656 с.
72. Основы страховой деятельности: Учебник / Отв. ред. проф. Т.А.Федорова. М.: Издательство БЕК, 1999. - 776 с.
73. Первозванский А.А., Первозванская Т.Н. Финансовый рынок: расчет и риск. М.: «Инфра-М», 1994. -192 с.
74. Петраков Н.Я. Ротарь В.И: Фактор неопределенности и управление экономическими системами. М.: Наука, 1985.
75. Раяцкас Г.Л. Система моделей планирования и прогнозирования. М.: Статистика, 1976.
76. Рэдхэд К., Хьюс С. Управление финансовыми рисками. М.: Инфра-Мб 1996. (Пер.с англ.: Redhead К., Huhhes S. Financial Risk Management.)
77. Стохастические аспекты финансовой математики. Тематический выпуск // Теория вероятностей и ее применения. 1994. Т. 39. №1. ;
78. Страхование от А до Я. Под ред. Л.И. Корчевской и К.Е. Турбиной М. ИНФРА-М, 1996.-624 с.
79. Финансовое управление компанией. /Общ. ред. Е.В. Кузнецовой. М.: Фонд «Правовая культура», 1995. - 384 с.
80. Хованов Н.В. Математические модели риска и неопределенности. -СПб.: СПбГУ, 1998
81. Холт Р. Барнес С. Планирование инвестиций. М.: «Дело Лтд», 1994. 120 с.
82. Четыркин Е.М. Методы финансовых и коммерческих расчетов. 2-е изд., испр. и доп. - М.: «Дело Лтд», 1995. - 320 с.
83. Шарп У., Александер Г., Бэйли Дж. Инвестиции. / Пер. с ^нгл. М.: «Инфра-М», 1997 - 1024 с.
84. Шахов В.В. Страхование: Учебник для вузов.- М.: Страхо&ой полис. ЮНИТИ, 1997.-311 с.
85. Экланд И. Элементы математической экономики.- М.: Мир, 1983. 248 с.
86. Best's Enterprise Risk Model: A Value-at-Risk Approach / Seabury Insurance Capital, April, 2001http://www.casact.org/ coneduc/specsem/erm/2001/handouts/freestone 1 .pdf
87. Бирман Г., Шмидт С. Экономический анализ инвестиционных проектов / Пер.с англ. М.: Банки и биржи. ЮНИТИ. 1997. - 613 с. j
88. Боди 3., Мертон Р. Финансы.: Пер. с англ.: Уч. пос. М.: Издательский дом «Вильяме», 2000. - 592 с.
89. Бригхем Ю., Гапенски Л. Финансовый менеджмент. Полный курс. / Пер. с англ. под ред. В.В. Ковалева. СПб.: «Экономическая школа», 1997.
90. Буренин А.Н. Контракты с опционами на акции. М.: Изд-во «Руссико», 1992.-56 с.
91. Буренин А.Н. Фьючерсные, форвардные и опционные рынки. М.: Тривола, 1995.
92. Долан Э.Дж., Кэмпбелл К.Д., Кэмпбелл Р.Дж. Деньги, банковское дело и денежно-кредитная политика. СПб.: Санкт-Петербург Оркестр, 1994.
93. Зиновьев С.З. Инфраструктурный фактор рынка ценных бумаг // Деловой экспресс (газета). 25 июня 1996. №23.
94. Кабанов Ю.М., Крамков Д.О. Большие финансовые рынкй: асимптотический арбитраж и контигуальность // Теория вероятностей и ее применения. 1994. Т. 39. №1. С. 222-228.
95. Конюховский П.В. Математические методы исследования операций в экономике. СПб.: Изд. «Питер», 2000.
96. Корнай Я. Путь к свободной экономике. М.: Экономика,; 1990. - 147 с.
97. Котов И.В., Лисицын В.Ю., Воронцовский А.В. и др. Математическое моделирование макроэкономических процессов: Учебное |пособие для ВУЗов по спец. «Экон. Кибернетика». Л.: ЛГУ, 1980. - 2$2с.
98. Лопатников Л.И. Экономико-математический словарь. М.: ВО «Наука», 1993.-448 с.
99. Мельников А.В. Финансовые рынки: стохастический анализ и расчет производных ценных бумаг. М.: ТВП, 1997.
100. Микроэкономика. Теория и российская практика: Учебник для вузов / Под ред. А.Г.Грязновой, А.Ю.Юданова. 2-е изд. - М.: КноРус, 2000. -544 с.
101. Новожилов В.В. Проблемы измерения затрат и результатов при оптимальном планировании. М.: «Экономика», 1967. - 376 с.
102. Пересецкий А.А., Ивантер А.Е. Анализ развития рынка ГКО. РПЭИ, серия научные доклады, июнь 1999 г.
103. Петроченко Н.Я. (ред.) Англо-русский толковый словарь по бизнесу. -М.: Наука, 1985.130
104. Рачев С.Т., Рушендорф JI. Модели и расчеты контрактов с опционами //
105. Теория вероятностей и ее применения. 1994. Т. 39. №1. С. 150-190
106. Розенмюллер И. Кооперативные игры и рынки. М.: Мир; 1983. - 167 с.
107. Холт Р. Основы финансового менеджмента. М.: «Дело»,: 1993.-128 с.
108. Хорн Дж.К.Ван Основы управления финансами. Пер.с англ. М.:1 «Финансы и статистика», 1996. 800 с.
109. Чекулаев М.В. Загадки и тайны опционной торговли. М. : РЖ1. Аналитика, 2001. 432 с.
110. Шепп JI.A., Ширяев А.Н. Новый взгляд на расчеты "Русского опциона"
111. Теория вероятностей и ее применения. 1994. Т. 39. №1. С. 130-149.
112. Шумейкер Пол. Модель ожидаемой полезности: разновидности,подходы, результаты и пределы возможностей Пер.с англ! // TESIS 1994.1. Вып.5. С.29-80.: ;1. Свойства АКСН(р)-модели
113. Рассмотрим ряд свойств последовательности е = (еп , описываемой
114. АЯСН(р)-моделью, ограничившись, для простоты изложения, случаем р = 1. Для р = 1a 2n=a0 + axs2nx,1)и ясно, что для sn = <Jnzn (zn~jV(0,l)) имеем следующие свойства: Ееп= О,1. Es2 =a0+axEs2x,ап = ао +где Qn, информация доступная к моменту времени п-1.
115. В предположении О < а, < 12. Р)4)рекуррентное соотношение (3) имеет единственное «стационарное» решение ,п>0, (5)1. Es^J*1 -а.1. ОСи, таким образом, если взять = ——, то Esln для всех п > 1 будет1 ахвыражаться формулой (5).
116. Далее простой подсчет показывает, что
117. Est = Ecr4nEzt = ЪЕаАп = 3 Е{а0 + axs2nx)2 =з(а02 + 2a0axEs2x + axEs4nx) =1. Ъа1 (l + ах)1.а,3 а? Ее4п-16)1. Ee4= Зо^И-а,)7)
118. Из (5) и (7) следует, что «стационарное» значение коэффициента эксцесса1. Ееа1. К= п-3 =6а?вверх (тем сильнее, чем больше ах ). Напомним, что для нормального распределения эксцесс К = О.