Актуарный анализ автотранспортного страхования формирование страховых тарифов тема диссертации по экономике, полный текст автореферата

Автореферат диссертации по теме "Актуарный анализ автотранспортного страхования формирование страховых тарифов"

N

На правах рукописи УДК 519.22:368

РГК од

? к

' •'» •' • < L и

КОМЛЕВ СЕРГЕЙ БОРИСОВИЧ

АКТУАРНЫЙ АНАЛИЗ АВТОТРАНСПОРТНОГО СТРАХОВАНИЯ. ФОРМИРОВАНИЕ СТРАХОВЫХ ТАРИФОВ.

Специальность 08.00.11 - Статистика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата экономических наук

Москва, 2000

Работа выполнена в Московском государственном университете экономики, статистики и информатики.

Научные руководители Доктор технических наук

Профессор Дубров Абрам Моисеевич Доктор физико-математических наук Шоргин Сергей Яковлевич

Официальные оппоненты Доктор экономических наук

Профессор Устинов Аркадий Нилович Кандидат экономических наук Доцент Киселева Галина Петровна

Ведущая организация Государственный Университет Управления

Защита диссертации состоится 25 мая 2000 г. в 14- часов на заседании диссертационного совета К 053.19.01 в Московском государственном университете экономики, статистики и информатики по адресу: 119501, Москва, ул. Нежинская, 7.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного университета экономики, статистики и информатики.

Автореферат разослан 25 апреля 2000 г. Ученый секретарь диссертационного совета,

Кандидат экономических наук, доцент

Данчснок Л. А.

Актуальность проблемы

Страхование автотранспортных средств относят к «рисковым видам страхования». По этой причине во главу угла страховые компании ставят вопросы, связанные с оцениванием тех рисков, которые возникают в период действия как отдельно взятого договора, так и страхового пакета в целом. Оценка этих рисков и определение факторов, влияющих на формирование расходов, служат основой для устойчивости страховой компании, ее конкурентоспособности.

Необходимость применения актуарных расчетов в автостраховании, в принципе, очевидна. В условиях рыночной экономики для страховой компании, пожалуй, единственным критерием (здесь мы абстрагируемся от таких понятий, как реклама или общественное мнение, формирующее степень доверия к той или иной страховой компании) для привлечения клиентов является ее тарифная политика, а именно возможность страхования клиента на аналогичных с другими страховыми компаниями условиях при одинаковой величине страховой суммы, но за меньшую для страхователя цену. Определяя эту минимально возможную для себя цену, страховщик неминуемо сталкивается с необходимостью математического и вероятностного оценивания своей деятельности, с необходимостью построения математических моделей по учету рисков и с актуарным подходом при формировании своих тарифов.

Цель и задачи исследования.

Целью исследования является комплексный анализ страхования автотранспортных средств математико-статнстическими методами. В связи с этим в диссертации поставлены и решены следующие задачи:

• дано описание видов автострахования, охарактеризованы различия между ними;

N

/

• описана экономическая сущность показателей автотранспортного страхования;

• предложена система статистических показателей автострахования, приведены взаимосвязи между основными показателями;

• определены наборы факторов, влияющих на величину страховых возмещений;

• разработана методика и модели многомерного статистического анализа показателей автотранспортного страхования;

• дана оценка методам отбора, основанным на регрессионном анализе;

• предложены правила построения систем бонус-малус и приведены актуарные расчеты в рамках; данных систем;

• дано описание моделей риска в автостраховании;

• построены модели расчета страховых тарифов по различным ввдам автостраховашш;

• доказана оптимальность построенных моделей.

Объект исследования

Понятие «Автострахование» достаточно широко. К объектам автострахования относят: страхование «Автокаско», страхование гражданской ответственности, страхование от всех рисков, страхование экспортно-импортных грузов, страхование грузов при перевозках на внутренних сообщениях, страхование от несчастных случаев при дорожно-транспортных происшествиях (ДТП).

Объектом исследования в диссертации являлись величины страховых возмещений, тарифных ставок и риски, возникающие при страховании автотранспортных средств на условиях полного или

частичного «Автокаско», а также при страховании гражданской ^ ответственности. Данные виды автострахования наиболее популярны и наиболее полно отражают все особенности автострахования в целом. Следует заметить, что все полученные модели в равной степени могут быть применимы и для других видов автострахования.

Методы исследования.

Статистические расчеты проводились с использованием корреляционного и факторного анализа. Исследование проводилось на нескольких наборах данных, представленных разными российскими страховыми компаниями и публикуемых в печати данных зарубежных компаний. Были проведены актуарные расчеты по построению моделей риска в автостраховании и оптимизации систем бонус-малус.

При решении задач использовались пакеты прикладных программ: Microsoft Excel 7.О., Statistica for Windows 5.O., SPSS 8.O., Olymp, Mesosaur, а также ряд прикладных программ, составленных автором.

Методологической основой явились работы отечественных и зарубежных ученых в области страхования, математической статистики и теории рисков.

Научная новизна и вопросы, выносимые па защиту

Работа представляет собой наиболее полное изучение зависимости между показателями автотранспортного страхования и степе™ их влияния на величину страховых возмещений. Предложены новые модели формирования страховых тарифов, дана оценка их эффективности.

В диссертации сформулированы следующие положения, выносимые на защиту:

/ • предложена система статистических показателей

автострахования, описаны ограничения, на них накладываемые;

• предложена модель статистического анализа суммы страховых возмещений;

• разработана модель формирования страховых тарифов по условиям «Автокаско»;

• дано определение оптимальной системы бонус-малус и предложена модель составления тарифов по условиям страхования гражданской ответственности.

Основные тезисы работы

Диссертация состоит из трех глав, введения, заключения, списка использованной литературы и приложений.

В первой главе описана экономическая сущность страхования автотранспортных средств, представлена система статистических показателей автострахования, сформул1фованы задачи актуарного анализа, определение и оценивание взаимосвязей между различными факторами автотранспортного страхования, проведен статистический анализ данных.

Любые статистические расчеты - сбор, предварительная обработка данных и их последующий анализ - опираются на определенную систему статистических показателей. Такая система складывается из показателей, наличие которых предполагается у всех предприятий определенной сферы деятельности, в нашем случае - у страховых компаний, работающих на рынке автосграхования.

Абсолютные показатели:

N страховой портфель, характеризующий количество действующих договоров (полисов) страхования

Сп стоимость нового автомобиля

Со страховая стоимость автомобиля (оценочная)

Б страховая сумма

В страховая премия (взнос страхователя)

У страховое возмещение

и сумма ущерба

Вр Перестраховочный взнос

¥р Перестраховочное возмещение

я страховой фонд компании

к начальный капитал

ъ тарифная ставка

J норма износа застрахованного автомобиля

Ег Франшиза

Ш накладные расходы страховщика

\У1 Скидки

V число страховых исков

ь Максимальный лимит ответственности

Ьш лимит ответственности (максимальная разовая выплата)

М число максимальных разовых выплат при установленном лимите ответственности.

Для проверки степени влияния факторов на величину страховых возмещений использовались корреляционный и регрессионный анализ: построены матрицы парных коэффициентов корреляции и различные

уравнения регрессии, применен факторный анализ и метод главных компонент. Была рассмотрена проблема мультиколлиниарности, проверена значимость полученного уравнения регрессии и его коэффициентов.

Проведенные исследования позволяют сделать вывод о том, что величина страховых возмещений может бьггь выражена из уравнения, содержащего следующие факторы: страховую сумму, количество договоров и количество страховых случаев. Коэффициент детерминации полученного уравнения равнялся 0,957, что позволило считать полученную модель адекватной.

У= 7396880,092-0,002- X,- 267795,130- Х2+ 7906947,068-Х3, где X,-страховая сумма, Хг- число договоров, Х3-число страховых выплат.

Вторая глава содержит описание моделей оценивания риска страховой компании, градацию этих рисков, определение минимально допустимой страховой ставки, описание моделей страхового фонда компании и построение модели страховых тарифов по страхованию «Автокаско».

Любой риск страховщика, наверное, за исключением риска неполучения прибыли от его собственных инвестиций или риска заниматься страхованием в тех или иных экономических условиях, связан со случайным фактором, а именно с вероятностью наступления страхового случая.

Базовым критерием в прогнозировании увеличения или уменьшения числа страховых случаев является относительная частота происшествий среди договоров страхования: V

у =—, где V - число страховых требований, а N - кол-во договоров.

N

В существующей литературе принята следующая классификация моделей:

-«модель индивидуального риска» или «статистическая модель страхования», в которой рассматривается страховой портфель, собранный единовременно, страховые премии собраны в момент формирования страхового портфеля, срок действия всех договоров одинаков, страховые события, приводящие к страховым выплатам, происходят в течение этого срока, -«модель коллективного риска» или «динамическая модель страхования» - если предполагается, что страховщик оплачивает иски в моменты времени, образующие некоторый случайный процесс. Процесс поступления страховых премий также является случайным процессом. Оба этих процесса не связаны между собой. Такая модель может рассматриваться как на некотором конечном, так и на бесконечном отрезке времени. Из задач, которые решаются этими моделями, можно выделить следующие:

-«вычисление распределения суммарного иска», т.е. суммы убытков страховщика. В .модели индивидуального риска суммарный иск принимается как случайная величина и определяется по итогам страховой деятельности компании по всему страховому пакету за период действия договоров страхования. В модели коллективного риска суммарный иск рассматривается как случайный процесс и определяется по итогам деятельности компании в течение некоторого интервала времени;

-«определение страховых тарифов», обеспечивающих на заданном уровне вероятность «не разорения» страховщика. Под «разорением» понимается событие, при котором в некоторый оцениваемый момент времени сумма страховых выплат (исков)

оказывается больше суммы начального резерва и накопленных к этому времени страховых премий (под страховой премией понимается нетго-премия).

Следует отметать, что под термином «разорение» в данной работе понимается ситуация, описанная выше, а не фактическое разорите или банкротство страховой компании.

На практике величина страховых тарифов в какой-то степени считается заданной и определяющейся конъюнктурой рынка, либо посредством государственного контроля. В этом случае для страховщика главной задачей является не формирование страховых тарифов, а выбор наиболее подходящей схемы перестрахования. В данной работе рассматриваются не полные тарифная ставка и страховая премия, а соответственно нетто-ставка и нетто-премия, т.е. та часть страховой премии, которая зачисляется в страховой фонд компании. При такой постановке задача оптимизации страховых тарифов становится приоритетной для страховщика.

Создателем классической математической теории риска явился Ф. Лундберг, которому принадлежит концепция модели коллективного риска. Непосредственным последователем Лундберга был Г. Крамер.

Классическая модель Лундберга-Крамера ставит своей задачей исследование случайного процесса:

ЛЧО 1=1

где г- начальный капитал страховщика, £(/) =с*1 - случайный процесс поступления премий, N(1)- точечный процесс моментов выплат (обычно рассматривается как процесс Пуассона), Уь одинаково распределенные случайные величины, равные суммам, выплачиваемым в ьый момент скачка процесса И(0.

Модель позволяет решать задачи типа вычисления и оценки вероятности «разорения» на бесконечном (при Т = оо) и конечном (при Т < оо) отрезке времени:

^г) = ад < о}

Ф. Лундберго.м была доказана нормальность процесса:

А1(1)

*(')=£ к

1=1

в случае, когда N(0- пуассоновский процесс и ¿¡(¿) =с*1, а также введено понятие вероятности «разорения» за бесконечное время:

Ш<е\

где к- коэффициент Лундберга, являющийся решением уравнения: X + ск = Ш ехр (кУ^)

и асимптотика:

уф)* Се*,

где С - некоторая константа.

Достаточно глубокие результаты, получаемые в рамках «модели коллективного риска», достигаются во многом благодаря следующим предположениям:

1. Предполагается, что процесс поступления страховых премий можно описать либо в виде детерминированной функции времени, либо в виде некоторого случайного процесса, не зависящего от случайных величин выплат (страховых исков).

2. Долгосрочное прогнозирование в рамках «модели коллективного риска» требует постоянства в течение длительного времени ряда

случайных параметров модели, таких как частота наступления страховых случаев, поступления премий и т.д. 3. В распоряжении исследователя должна быть достаточно богатая информация о распределениях случайных величин, факторов, включенных в модель.

Описанные выше требования явились серьезным ограничением для применения этой модели на практике. В основном данная модель использовалась для решения задач, в которых в качестве критерия рассматривалась не вероятность «разорения», а величина среднего времени жизни страховой компании.

В общем виде, «модель индивидуального риска» может быть представлена как:

N N

}=\ /=1

где г- начальный капитал страховой компании, И- количество договоров страхования, включенных в страховой портфель, 2]- страховая премия (точнее нетто-премия; та часть, которая зачисляется в страховой фонд компании), страховые выплаты.

Если предполагать, что формирование страхового портфеля начинается с момента времени 1=0 и существует конечный момент времени 1=11, то характер процесса поступления договоров страхования на отрезке [О.Л]] не имеет значения для распределения случайной величины И, т.е. игнорируется поведение страхового фонда на отрезке [0..11 ]. Это имеет смысл, прежде всего, когда ^ мало отличается, от нуля и достаточно мало по сравнению с тем временем, когда заканчивается действие всех договоров страхования.

Принципиальным отличием двух моделей является то, что «модель индивидуального риска» позволяет прогнозировать функционирование

12

страховой компании на некоторый краткий период, поэтому ее часто называют краткосрочной моделью индивидуального риска, в то время как «модель коллективного риска» изначально создавалась для долгосрочных прогнозов.

Для построения модели определен™ страховых тарифов будем использовать «модель индивидуального риска». Обосновывается это, прежде всего тем, что в российских условиях использование «модели коллективного риска» как модели долгосрочного прогнозирования, менее предпочтительно.

Будем считать, что в «модели индивидуального риска» число договоров страхования, включенных в страховой портфель, - случайная величина и для каждого договора страхования данного страхового пакета величина страховой премии определяется как:

Ъ^ - х !5)

где г- постоянная для всех договоров страхования страховая ставка (тариф).

Тогда в этих предположениях, величина И. может быть записана

как:

/=1

где ХЬ величина относительного иска, равная Х} = ~.

Величину X можно детализировать следующим образом:

Х=1*К

где К- величина, равная условному значению относительного иска, при условии, что страховое событие состоялось, а I- индикатор наступления

хотя бы одного страхового случая за время действия договора страхования, т.е. индикатор события Х>0:

!0, с вероятностью Би(0) 1, с вероятностью 1 -Рх(0)

где Рх(0)=Р(Х<=0).

Обозначим р=1- Рх(0). Тогда под минимальной страховой ставкой го будем понимать ставку г, удовлетворяющую следующим условиям:

1. Условию «средней безубыточности»:

г > ЕХ^ = рЕК].

2. Условию «итогового неразорения»:

Нижнюю грань значений х, для которых одновременно выполняются эти условия, будем называть минимально допустимой страховой ставкой (страховым тарифом):

= М{г: г>ЕХ], Р{Я > 0} >

Величина Q представляет собой минимальную допустимую для страховщика вероятность «итогового неразорения» и выбирается самим страховщиком в соответствии со степенью его склонности к риску (Обычно О полагается равной 0,9 или 0,95).

Условие (1) при Г)>0,5 и большом количестве договоров страхования, т.е. когда распределение случайной величины II близко к нормальному, естественно, является следствием условия (2). Однако в общем случае это не так. Условие (1) вводится для того, чтобы обеспечить положительное значение средней разности между собранными страховыми премиями и страховыми выплатами. Отсутствие этого условия может

привести к следующему: пусть г=0, N=1, &=1, У= 1 с вероятностью 1-<5 и У=0 с вероятностью С>. Тогда II = / - У, и очевидно, что условие (2) истинно при любом г, даже при г=0, что, конечно, неприемлемо для страховщика. Введение же ограничения (1) приводит к вполне естественному результату = 1 - С?. С другой стороны, использование только ограничения (1) при большом числе договоров приводит к тому, что значение «вероятности неразорения» близко к 0,5, что также неприемлемо для страховщика.

Определенную формулой минимальную ставку можно в принципе назвать и «оптимальной страховой ставкой» или «оптимальным нетто-тарифом», поскольку минимальность страховой ставки означает и минимальность сумм, зачисляемых в страховой фонд, т.е. денежных сумм, в определенном смысле слова, «замораживаемых».

Условие (2) с учетом (3.10.) можно переписать в виде:

У N Л

И ^—^и

V /=1 /=1 У

Введем следующие обозначения: А=ЕХ=рЕК, В2~ЭХ, У2=ОБ/Е2($)- коэффициент вариации случайной величины Б, Л =ЕИ, МЧЖ, \у=У2+М2/ Л , <1 = г-А, Н, = Б / (г - Х}), 1Н5Н=с1Е8, яЧЖ

Тогда в соответствии с теоремой, выведенной С.Я. Шоргиным, и предположением, что распределение случайной величины Я асимптотически нормально при Л =ЕЫ—> со, минимальная допустимая страховая ставка убудет определяться следующим образом: Пусть:

1 1

3=^(1 + Г2)25[Л-^2]2 И 9i=g(l + У2)2BЛ2

1) если существует абсолютная постоянная 6 '<1 такая, что

Тз^-

то существует такое А 0 (зависящее от в'), что при Л > Л 0:

где:

2) если

[Л-^2]

; Л - Ч%2

1

\е \<в(0)-г^—

Л1

£5

то существует такое А ь что при Л > Л 1:

г0 = Л + е,

где величина Б определяется из (3.20.). 3) если существует такое в" >1, что:

г

то существует такое А 2 (зависящее от 9"), что при А > А 2:

20=А

Следует отметить, что определенная таким образом минимально допустимая страховая ставка удовлетворяет ограничениям (1) и (2) / 3.13. и

16

3.14. соответственно / и является минимально допустимой нетто-ставкой или нетто-тарифом, которая впоследствии должна служить базой для формирования брутто-тарифа. Брутто-тариф (100%):

нетго-тариф (общ) издержки

Л.

Приведенный в данной схеме общий нетто-тариф предлагается рассчитывать в зависимости от данных, по которым определялась минимально допустимая страховая ставка.

Оптимальным вариантом послужил бы расчет минимально допустимой ставки на наборе данных по каждому виду автомобиля с учетом его давности. В этом случае размер общей нетто-ставки определялся бы исключительно рассчитанной минимально допустимой страховой ставкой. Однако, такой подход представляется нереальным на настоящий момент из-за недостатка накопленной у страховщиков информации. В рамках страхового пакета можно, в принципе, говорить об однородности величины рисков, которые несет страховщик при страховании автомобилей различных марок и сроков эксплуатации (понятно, что чем больше страховая сумма, тем больше будет премия страховщика). Поэтому расчет минимально допустимой страховой ставки по данным страхового пакета в целом представляется вполне обоснованным.

Допустим, рассчитанная минимальная ставка составила 2%, а доля договоров по автомобилям первой категории (недорогие авто) и автомобилям второй категории (дорогие авто) определяется в соотношении 70% и 30% соответственно. Предлагается следующая формула по определению брутго-тарифа:

♦ осуществляется переход к общему нетго-тарифу:

• (2 +30%) ± кт ± кз - для первой категории;

• 2+70% ± кт ± к? - для второй категории;

где кт - коэффициент влияния марки автомобиля и к5 - коэффициент срока эксплуатации. Оба коэффициента выбираются страховщиком в зависимости от его субъективной оценки риска по данной группе автомобилей. Предполагается, что каждый коэффициент не превышает 20%.

♦ К полученному базовому нетго-тарифу добавляются надбавки: резерв предупредительных мероприятий, издержки, комиссии страховщика. По полученным данным составляются таблицы базовых тарифных ставок, содержащие фактически величины брутго-тарифа.

♦ Окончательный тариф формируется на основе базового тарифа с учетом различных скидок. Возможны тайке и надбавки к базовому тарифу, например, с градацией по стажу вождения автотранспортного средства и району эксплуатации.

В третьей главе дано понятие оптимальной системы бонус-малус для страхования гражданской ответственности, построена модель составления тарифов по данному виду автострахования.

Для того чтобы дифференцировать страховые премии, большинство развитых стран используют классификационные переменные. Типичные наборы таких переменных включают возраст, пол, род занятий водителя, город, а также тип и характер использования автомобиля. В

некоторых станах вводились более широкие наборы переменных, включающие такие как, семейное положение водителя и даже цвет автомашины. Такие переменные обычно называют априорными рейтинговыми переменными, поскольку их значение может быть определено до того, как страхователь сядет за руль автомашины. Основной целью их использования является разделение страхователей на классы.

Дифференцирование страховых премий диктуется прежде всего практикой, накопленной страховыми компаниями и, с одной стороны, является вполне очевидным подходом к формированию тарифных ставок. Например, даже нет никакой необходимости в проведении статистических исследований, чтобы утвер>вдать, что число дорожно-транспортных происшествий в городе больше чем в пригороде. Тогда, из соображения справедливости, с негородских водителей следует взимать меньшую плату, и было бы логично введение такой переменной как «город/ не город» для определения страховой премии. С другой стороны, такой подход к формированию тарифов в какой-то степени противоречит основному принципу страхования - определению страховой премии в процентах от страховой суммы.

Но, несмотря на существующие противоречия, рейтинговая система формирования тарифов - это один из способов привлечь клиента. При формировании такой системы должны использоваться практически все возможные переменные, которые коррелированы с рисками. Страховщики, действующие на свободном рынке, должны применять рейтинговые системы, при которых премии наиболее соответствуют рискам или, по крайней мере, соответствуют не хуже, чем у конкурентов.

В страховании жизни очень ограниченный набор классификационных переменных (возраст, пол, курящий/некурящий, некоторые виды деятельности) всегда считался достаточным как для того,

чтобы соблюсти справедливость по отношению к страхователю, так и для того, чтобы избежать неблагоприятного отбора. В автомобильном страховании это не так. Несмотря на использование множества априорных переменных, в каждом тарифном классе все же наблюдается разница в качестве вождения. Индивидуальные способности каждого водителя такие как точность оценок, агрессивность на дороге, знание правил дорожного движения и отношение к алкоголю, также оказываются чрезвычайно важными факторами, влияющими на число страховых случаев, но их, в отличие, например, от стоимости, нельзя измерить в подходящих единицах. Исследования, проведенные в раде стран, показали, что эти факторы в действительности являются самыми важными и наилучший прогноз будущего числа страховых случаев основан не на возрасте, поле или виде занятости водителя, а на его водительском «послужном списке», его предшествующей аварийности. Поэтому еще в конце 1950-х годов была высказана мысль о корректировке тарифных ставок, которая проводилась бы в зависимости от «историю) страховых случаев для каждого страхователя. Такая система называлась либо расчетом ставок страховой премии с учетом индивидуальной практики, либо системой со скидками за ненасгупление страховых случаев, либо системой бонус-малус (СБМ), штрафующей страхователей, ответственных за одну и более аварию, надбавками к страховой премии (малус), и поощряющей страхователей, не совершивших страховых случаев, скидкой (бонус). Основная цель этих систем - помимо повышения заинтересованности в аккуратном вождении -состоит в улучшении учета индивидуальных рисков с тем, чтобы каждый, в конечном счете, платил премии, соответствующие его собственной частоте страховых случаев.

По определению страховая компания использует СБМ, если:

1. Полисы, принадлежащие данной тарифной группе, могут быть разделены на конечное число классов, которые обозначаются через О / = (1,...,5) так, чтобы размер годовой премии зависел только от этого класса.

2. Класс, к которому относится полис в текущий период страхования (обычно один год), определяется исключительно классом, в котором он находился в предыдущий временной период, и числом страховых случаев, зарегистрированных в этот период.

Такая система определяется тремя элементами:

1. премиальной шкалой Ъ ~ {Ъх,... Д.);

2. начальным классом С/0;

3. переходными правилами - правилами, которые определяют переход из одного класса в другой, если число страховых случаев известно.

Эти правила можно ввести в виде преобразований Тк, таких, что Тк(1) - у, если полис переходит из класса С/ в класс С/ при условии, что зарегистрировано к страховых случаев. Преобразование Тк может быть представлено в виде матрицы Тк — ') , где £^ = 1, если

7&(/) = у , и fj. - 0 в противном случае.

Вероятность того, что через год полис переместится из класса С/ в класс С} для страхователя, который характеризуется некоторым параметром X (например, своей частотой страховых случаев), имеет вид

00

является вероятностью того, что

водитель с частотой страховых случаев Я будет повинен в к страховых

я

случаях в течение года. Очевидно, что р1} (Я) > 0 и что (Л) = 1 .

7=1

со

Матрица М{/1) — (рц (у1)) = является переходной матрицей

к=О

цепи Маркова, для которой развитие в будущем зависит только от настоящего состояния, но не от истории процесса или способа, которым это начальное состояние было достигнуто. Это процесс без памяти, состояниями которого являются различные классы СБМ. Знания нынешнего класса и числа страховых случаев, происшедших в течение года, достаточно для определения класса в следующем году. Нет необходимости помнить, каким образом страхователю удалось попасть в тот класс, в котором он находится в настоящее время. Это правило не создает необходимости для страховой компании накапливать большие объемы баз данных для запоминания истории страховых случаев по каждому конкреггному полису.

Будем считать систему бонус-малус оптимальной, если она соответствует следующим требованиям:

требование страховщика: средний уровень премий не меняется от года к году;

требование страхователя: каждый страхователь платит премию, размер которой пропорционален риску, который он собой представляет.

Второе требование, собственно, и обосновывает применение системы бонус-малус. В нем подразумевается, что страховой портфель компании неоднородный, и каждый страхователь несет в себе свой собственный риск.

Теперь построим отрицательную биноминальную модель по неоднородному страховому портфелю.

Выбор этой модели обоснован тем, что модель отрицательного биноминального распределения в основном применяется в статистике несчастных случаев.

Полагается, что все страхователи имеют разные риски, и распределение числа страховых случаев для каждого страхователь является пуассоновским,

е'лЛк

рк(А)=—~Ч* = о,1...,

к\

причем параметр Л изменяется от одного индивидуума к другому. Величина Л предполагается случайной. В качестве ее распределения выбирается гамма-распределение. Функция плотности этого распределения имеет вид

йЛ Г(Л)

где а > 0, г > 0. Математическое ожидание этого распределения равно

а а

—, а дисперсия равна —-.

Г

Пусть р (к = ОД,...) - распределение числа страховых случаев в портфеле. Тогда

М <*> -X со -Л(Ь-г).|*+я-1 °

р = | ршащл) =/ -¿-щл) = /———^ал=

ок о К о МГ(а)

к\Т(а)( 1+г) о

Щ + а) „ т Г(£ + 1)Г(а) (1+т)к+а

Г(к+а)

где- - биноминальный коэффициент.

Щ + 1)Г(а)

Оценивая параметры по методу максимального правдоподобия при

~ <5

г = —, где а является решением уравнения х

Учитывая, что X =0,1011, получаем следующие оценки: а = 1.61313 иг = 16.1384.

Ниже приведена табл1ща частот страховых случаев для реального страхового портфеля и частот, рассчитанных по отрицательной биноминальной модели.

2 2 у =0.102, у =5,991

/Ь набл. А/ 2,0.05

Теоретические и выборочные частоты практически совпадают, что позволяет сделать вывод о том, что отрицательная биноминальная модель, построенная по неоднородному портфелю, подходит в качестве теоретической модели для построения оптимальной системы бонус-малус.

Теоретические и выборочные частоты

к- число пк - число страхователей с пк - число

страховых к страховыми случаями страхователей с к

случаев (теоретическое) страховыми случаями

(выборочное)

0 96980,8 96978

1 9230,9 9240

2 708,6 704

3 50,1 43

4 3,4 9

>4 0 0

Самый простой принщш подсчета премии состоит в требовании к страхователю выплатить теоретическую премию плюс теоретическую надбавку, размер которой пропорционален теоретической премии.

Т + 1

Этот принцип и определяет оптимальную систему бонус-малус:

1. Система оказывается справедливой. Каждый страхователь должен платить премию, пропорциональную его частоте страховых случаен.

2. Размер премии зависит только от к , общего числа ДТП.

3. В момент 1=0, когда еще нет никакой информации о риске, все новые страхователи имеют одну и ту же априорную частоту страховых

1 а

случаев Я = —, равную априорному среднему. При увеличении I т

оценки частоты страховых случаев постепенно становятся различными.

Величина (/:,,.стремится к величине —, котора?

представляет собой истинный риск полиса. Дисперсия апостериорной:

а+к

распределения параметра л равна -—г и стремится к нулю прг

(г + 02

/ —> со. Поэтому асимптотически распределение страхователе! является наилучшим. 4. Предложенная система бонус-малус является частным случаем известной «формулы доверия», согласно которой размер премии начисленной с учетом опьгга (А,должен бьш

представлен в виде линейной комбинации априорной премии (Я = — ]

т

к

и наблюдений (—): /

I

Если предположить, что х =-, то получится

т + t

о + к

=-. Причем, х- вес, который придается

индивидуальному опыту, является возрастающей функцией времени и при *->оо

По теме диссертации опубликованы следующие работы: 1. Анализ риска от инвестиций во фьючерсные контракты // Матсматико-статистический анализ финансовой и банковской деятельности: Сб. науч. тр. М„ МЭСИ 1996 - 0.1 п.л.

26

2. Классификация моделей риска при автостраховании // Математико-статистические методы в страхован™ и бизнесе: Сб. науч. Тр. М., МЭСИ 2000 - 0.2 п. л.

3. Моделирование страховых тарифов // Математико-статистические методы в страховании и бизнесе: Сб. науч. тр. М., МЭСИ 2000 -0.2 п. л.

Лицензия ЛР № 020563 от 07.07.97 Подписано к печати

Формат издания 60x84/16 Бум.офсет. КзХ Печать офсетная Печ.л. А5 Уч.-изд.л. ;£. Тираж Х.00 Экз.

Заказ №Ц7Л

Типография издательства МЭСИ. 119501, Москва, Нежинская ул., 7