Математические модели оптимизации показателей хозяйственной деятельности предприятий машиностроения тема диссертации по экономике, полный текст автореферата
- Ученая степень
- кандидата экономических наук
- Автор
- Шалаева, Елена Николаевна
- Место защиты
- Ижевск
- Год
- 2002
- Шифр ВАК РФ
- 08.00.13
ДиссертацияДиссертация: содержание автор диссертационного исследования: кандидата экономических наук, Шалаева, Елена Николаевна
Основные обозначения
Введение
Глава 1. Оптимизация показателей хозяйственной деятельности в предприятий машиностроения
V 1.1. Предприятие и его структура
1.2. Математическое оптимизационное моделирование
1.3. Выбор критериев оптимизации
1.4. Модели оптимизации производственной программы предприятия с одним критерием
1.5. Модели оптимизации производственной программы предприятия с несколькими критериями
1.6. Постановка цели и задач исследования
Глава 2. Инструментарий исследования оптимизационных задач
2.1. Задачи линейного программирования
2.2. Методы решения задач линейного программирования
V 2.3. Устойчивость и экономическая интерпретация двойственных оценок
2.4. Задачи дробно-линейного программирования
2.5. Задачи многокритериального программирования
2.6. Методы многокритериальной оптимизации
2.7. Алгоритм метода STEM
2.8. Методы последовательной безусловной минимизации
2.9. Полученные результаты и выводы
Глава 3. Модели оптимизации производственной программы мащ 3.1. шиностроительного предприятия Разработка моделей оптимизации производственной программы предприятия
3.2. Информационное обеспечение моделей оптимизации производственной программы машиностроительного предприятия
3.3. Полученные результаты и выводы
Глава 4. Анализ результатов использования оптимизационных моделей в ОАО «Ижевский подшипниковый завод»
4.1. Сравнительный анализ оптимальных решений однокритериальных задач
4.2. Сравнительный анализ оптимальных решений многокритериальных задач
4.3. Полученные результаты и выводы 107 Заключение 109 Литература 112 Приложение
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
Demand- максимальный объем выпуска изделий вида i; К - количество типов оборудования;
Li - количество альтернативных технологий производства изделий вида i;
М - количество типов исходных ресурсов, имеющихся в распоряжении предприятия;
N - число видов изделий, производство которых возможно в планируемом периоде;
Рг(. - прибыль, получаемая от реализации изделия вида i ;
Supply- минимальный объем выпуска изделий вида i;
Тк - число рабочих часов оборудования типа к в планируемом периоде;
2(1) - общее количество электрической энергии, выделяемой предприятию на планируемый период;
Q(2) общее количество тепловой энергии, выделяемой предприятию на планируемый период; atjk - фонд времени, затрачиваемый к типом оборудования на производство изделия i по технологии j;
Ъцт - расход исходного ресурса типа т для производства изделия i по технологии j;
Су -себестоимость изделия вида i, изготовленного по технологии j. гк- количество единиц оборудования типа к имеющихся в распоряжении предприятия; sm - количество исходного ресурса типа т;
Ху - количество изделий вида i производимых по технологии j;
SfJ/l - расход электрической энергии, необходимый для производства изделия i по технологии j на оборудовании типа к;
- расход тепловой энергии, необходимый для производства изделия i по технологии j на оборудовании типа к.
Диссертация: введение по экономике, на тему "Математические модели оптимизации показателей хозяйственной деятельности предприятий машиностроения"
Актуальность темы. В настоящее время весьма актуальна задача информатизации производства, создания информационных систем, которые, помимо данных о функционировании предприятия, могли бы анализировать и рассчитывать различные варианты оптимизации производства. Разработка производственных программ и выполнение различных функций по управлению производством основывается на использовании информации целевого характера о темпах и эффективности производственных процессов с использованием средств вычислительной техники для ускорения ее обработки.
Для эффективной реализации системы тактического планирования и оперативного управления производством весьма актуальным является наличие на предприятии разработанных математических моделей оптимизации основных экономических показателей и соответствующего программного продукта, а учитывая огромное значение машиностроительной отрасли в экономике Удмуртской Республики и России в целом, важно учесть при разработке такого рода моделей отраслевую специфику машиностроительных предприятий.
В зависимости от того, какие требования предъявляются к задаче тактического планирования и оперативного управления и к ее решению, это могут быть модели как однокритериальной, так и многокритериальной оптимизации.
В связи с усложнением структуры хозяйственных взаимосвязей и усилением неопределенности и изменчивости организационно-экономической среды, характерных для этапа формирования развитых рыночных отношений, актуальность изучения многокритериальной оптимизации неизмеримо возрастает. Кроме того, разработка многокритериальных моделей оптимизации производственной программы предприятия позволит задействовать аппарат математического моделирования и компьютерные технологии для нахождения оптимальной производственной программы промышленного предприятия, в частности, на ОАО «Ижевский подшипниковый завод» - одного из крупнейших машиностроительных предприятий Удмуртской Республики, где в настоящее время нет четкой системы определения оптимального плана производства. Важно и то, что решение данных моделей позволит дать рекомендации руководству предприятия по выбору наиболее эффективной модели реализации плановых решений на уровне тактического планирования и оперативного управления им. Все это и определяет актуальность темы и исследования.
Объектом исследования является механизм формирования производственной программы машиностроительных предприятий с заданной номенклатурой выпуска изделий.
Предметом исследования являются основные экономические показатели деятельности машиностроительных предприятий.
Цель работы - разработка математических моделей оптимизации показателей хозяйственной деятельности предприятий машиностроения и создание пакета программ, реализующих алгоритмы решения разработанных математических моделей.
Поставленная цель обусловила необходимость решения следующих задач:
- провести исследование предприятия машиностроения, выявить особенности его структуры и организации процесса производства;
- предложить систему количественных и качественных показателей процессов управления производством, необходимых для выбора критериев оптимизации и поиска наиболее целесообразного варианта хозяйственной деятельности;
- разработать систему ограничений, фиксирующую допустимую область решений с учетом основных внешних и внутренних свойств объекта исследования, а также определить уравнения связи;
- на основе предложенных критериев оптимизации показателей хозяйственной деятельности предприятия построить ряд математических моделей текущего планирования таким образом, чтобы каждая последующая модель не нарушала свойств объекта, отраженных в предыдущих моделях;
- разработать методику проведения сравнительного анализа прибыли, получаемой в условиях разного ресурсного обеспечения.
Методология исследования. Работа основана на использовании элементов теории полезности, элементов теории принятия решений, линейного программирования, дробно-линейного программирования, нелинейного програм мирования теории многокритериальной оптимизации.
Построенные математические модели решены с использованием результатов научных трудов отечественных и зарубежных авторов по вопросам математического моделирования в области экономики. В этой связи особенно следует выделить работы таких ученых, как Е.Г. Голыптейн, А.Б. Горстко, Дж.Б. Данцинг, J1.B. Канторович, О.И. Ларичев, К.В. Павлов, В.А. Точилин, Н.П. Федоренко, Р. Штойер, Д.Б. Юдин.
В качестве источников информации для исследования использовались научные материалы, статистическая и экономическая информация машиностроительного предприятия.
Достоверность и обоснованность полученных в работе результатов и $ выводов подтверждены использованием построенных математических моделей на крупнейшем машиностроительном предприятии Удмуртской Республики -ОАО «Ижевский подшипниковый завод».
Научная новизна основных результатов диссертационной работы, которые выносятся на защиту, заключается в следующем:
- разработаны более совершенные модели оптимизации производственной программы предприятия;
- предложен метод решения нелинейных многокритериальных задач с помощью специально подобранной штрафной функции;
- выявлены резервы и определены направления совершенствования производственной программы машиностроительного предприятия, основанные на результатах применения оптимизационных математических моделей.
Практическая ценность. На основании разработанных математических моделей руководство машиностроительных предприятий может оптимизировать план производства на уровне текущего планирования и оценивать альтернативные решения с точки зрения нескольких критериев.
Материалы диссертационного исследования могут быть использованы в процессе обучения студентов специальности 0618 по дисциплинам "Математические методы и исследование операций в экономике", "Теория оптимального управления", "Эконометрическое моделирование", "Методы социально-экономического прогнозирования" и др.
Осуществлены расчеты на основе статистических данных о хозяйственной деятельности машиностроительного предприятия, доказывающие жизнеспособность разработанных математических моделей оптимизации.
Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационного исследования были представлены на Международной научно-технической конференции «Информационные технологии в инновационных проектах» (Ижевск, 2001); Международной научно-технической конференции, посвященной 50-летию ИжГТУ (Ижевск, 2002); V Международном конгрессе по математическому моделированию (Дубна, 2002); научно-технических конференциях ИжГТУ (Ижевск, 1999-2001).
Публикации. Результаты работы отражены в 7 научных трудах: 2 статьи в научных журналах, 3 публикации в трудах международных конференций и 2 тезиса докладов на международном конгрессе и научно-технической конференции.
СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
I» Диссертация содержит введение, 4 главы и заключение, изложенные на
Диссертация: заключение по теме "Математические и инструментальные методы экономики", Шалаева, Елена Николаевна
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
1. Оптимизация производственной программы предприятия должна осуществляться применительно к определенной номенклатуре выпуска изделий с учетом технологии изготовления каждого вида изделия. В результате проведенных комплексных исследований машиностроительного предприятия создана информационная система производства ОАО «Ижевский подшипниковый завод». Информационная система позволяет упорядочить все ресурсные потоки внутри предприятия, систематизировать внутреннюю и внешнюю информацию, оперативно реагировать на изменения хранимых данных, оптимизировать процесс планирования производственной программы.
На основе созданной информационной системы проведена апробация моделей, произведены расчеты и даны рекомендации по планированию производственной программы на уровне тактического планирования и оперативного управления.
2. Разработаны однокритериальные линейные модели оптимизации показателей хозяйственной деятельности машиностроительного предприятия, в которых в качестве критериев оптимальности используются
- максимум прибыли, получаемой от реализации произведенной продукции;
- максимум объема производства.
Для нахождения оптимальных решений однокритериальных линейных моделей использован симплекс-метод. При этом для задач большой размерности (250 переменных и 136 условий) объем вычислений сравнительно небольшой.
3. Для однокритериальной линейной модели оптимизации прибыли от реализации произведенных изделий предложена схема проведения сравнительного анализа оптимальной прибыли и прибыли при условии выполнения заказа на определенные виды изделий. Эта схема может применяться на машиностроительном предприятии при организации производства изделий определенной номенклатуры для оперативного принятия решения о выполнении поступившего заказа.
4. Применяя теорию двойственности линейного программирования для однокритериальных моделей, рассчитаны двойственные оценки используемых ресурсов и производственных мощностей, что позволяет:
- провести анализ расходов по каждому типу ресурсов;
- оценить остатки ресурсов и время простоя производственных мощностей;
- оценить меру дефицитности каждого типа ресурса для принятия решения об изменении запасов ресурсов с целью получения наилучшего экономического эффекта от дополнительно вложенных средств.
5. Разработаны однокритериальные модели минимизации себестоимости произведенной продукции, приходящейся на единицу изделия и максимизации рентабельности продукции предприятия, которые являются задачами дробно-линейного программирования. Указанные задачи преобразованы с помощью введения новых переменных и решены методом искусственного базиса.
6. Разработана линейная многокритериальная модель оптимизации производственной программы предприятия. Предложены алгоритм ее решения с помощью метода взвешенных сумм с точечным оцениванием весов на основе выпуклой линейной комбинации. Для определения значений компонент вектора весовых коэффициентов используется два способа.
1) Значения компонент вектора весовых коэффициентов задаются ЛПР. Для каждого из критериев вычисляется оптимальное абсолютное значение. Вектор недостижимых одновременно значений является важной информацией для ЛПР и помогает оценить пределы возможного.
2) Значения компонент вектора весовых коэффициентов рассчитываются как технические веса в алгоритме STEM. С начала проводится оптимизация по каждому критерию отдельно, и для этого оптимального значения рассчитываются значения остальных критериев. Вся информация заносится в таблицу относительных значений критериев, в которой все диагональные элементы равны единице, а остальные меньше единицы. Таблица позволяет оценить степень зависимости любой пары критериев и выявить противоречивые критерии.
7. Разработаны нелинейные многокритериальные модели оптимизации показателей хозяйственной деятельности машиностроительного предприятия с линейными и дробно-линейными целевыми функциями и алгоритм их решения. На первом этапе все критерии преобразуются в один, так называемую взвешенную сумму, а ограничения вводятся в взвешенную сумму в виде специально подобранных слагаемых - штрафных функций. В результате выполненных преобразований нелинейная задача многокритериальной оптимизации сводится к задаче безусловной оптимизации. Для нахождения оптимального решения которой применен метод наискорейшего спуска. В качестве начальной точки взято решение однокритериальной линейной модели оптимизации прибыли от реализации произведенных изделий.
8. С использованием описанных в данной работе математических моделей оптимизации и алгоритмов разработан пакет программ, реализующий методику оптимизации показателей хозяйственной деятельности предприятия машиностроения. Пакет программ включает в себя информационную систему предприятия и модули, реализующие алгоритмы, предложенные в работе.
Предложенные модели и пакеты программ могут служить основой для планирования производственной программы предприятий машиностроения на уровне тактического планирования и оперативного управления.
Диссертация: библиография по экономике, кандидата экономических наук, Шалаева, Елена Николаевна, Ижевск
1. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах: Учебное пособие. -М.: Высш. Школа, 1986 г.
2. Александровский А.Д. Delphi 5.0. Разработка корпоративных приложений. -М.: ДМК, 2000 г.
3. Андрейчиков А.В., Андрейчикова О.Н. Анализ, синтез, планирование решений в экономике. М.: Финансы и статистика, 2000 г.
4. Анферов М.А., Селиванов С.Г. Структурная оптимизация технологических процессов в машиностроении. Уфа: Филем, 1996 г.
5. Базара М., Шетти К. Нелинейное программирование. Теория и алгоритмы. / Под ред. Т.Д. Березновой. М.: Мир, 1982 г.
6. Базилевич А.А. Математические модели технико-экономического планирования. Л., 1972 г.
7. Балакирева Е.В. Оптимальное планирование и управление на предприятиях с непрерывной технологией. М.: ЦНИИТЗИ, 1985 г.
8. Балашевич В.А. Математические методы в управлении производством. Минск, 1976 г.
9. Блем А.Г., Блем И.Н. Некоторые модели межцехового оперативного планирования машиностроительного производства. / В сб. ст.: Модели и методы управления производством. Новосибирск: Наука Сиб. отд-е, 1986 г.
10. Бурков В.Н., Ириков В.А. Модели и методы управления организованными системами. М.: Наука, 1994 г.
11. Бусленко Н.П. Моделирование сложных систем. М.: Наука, 1978 г.
12. Вагнер Г. Основы исследования операций. М.: Мир, 1981 г.
13. Верников Г.Р. Основы систем класса MRP MRP II. - Сайт "Корпоративный менеджмент", url: www.cfin.ru, 2000 г.
14. Волконский В.А. Модель оптимального планирования и взаимосвязиэкономических показателей. М.: Наука, 1967 г.
15. Гафт М.Г. Принятие решений при многих критериях. -М.: Знание, 1979 г.
16. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация. М.: Мир, 1985 г.
17. Гладышевский А.И. Методы и модели отраслевого экономического прогнозирования. М.: Наука, 1977 г.
18. Грузинов В.П., Грибов В.Д. Экономика предприятия: Учебное пособие для студентов вузов. М.: Финансы и статистика, 1999 г.
19. Данцинг Дж.Б. Линейное программирование, его применения и обобщения. М.: Прогресс, 1966 г.
20. Дарахвелидзе П.Г., Марков Е.П., Котенок О.А. Программирование в Delphi 5. СПб.: БХВ - Санкт-Петербург, 2000 г.
21. Дегтярев Ю.И. Методы оптимизации. М.: Советское радио, 1980 г.
22. Доля В.И. Об оптимальном планировании непрерывного производства. -Киев, 1978 г.
23. Дончак Л.Я., Романовский М.В. Оптимизация планирования в промышленности. Л.: Лениздат, 1973 г.
24. Дубов Ю.А., Травкин С.И., Якимец В.Н. Многокритериальные модели формирования и выбора вариантов решений. М.: Наука, 1986 г.
25. Дудулин А.И., Ряжских И.А. Эффективное использование материальных ресурсов. М.: Знание, 1987 г., вып.7.
26. Дюкалов А.Н. Некоторые задачи прикладной математической экономики. М.: Наука, 1983 г.
27. Жуковин В.Е. Многокритериальные модели принятия решений с неопределенностью. Тбилиси: Мецниереба, 1983 г.
28. Зубанов Н.В., Пестриков С.В. Анализ устойчивости функционирования экономических систем относительно поставленных целей. Самара: Изд-во
29. Самарского государственного технического университета, 1999 г.
30. Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. М.: Прогресс, 1975 г.
31. Иозайтис B.C., Львов Ю.А. Экономико-математическое моделирование производственных систем. М.: Высшая школа, 1991 г.
32. Канторович JI.B. Математические методы организации и планирования производства. -Д.: Издательство ЛГУ, 1939 г.
33. Канторович Л.В., Горстко А.Б. Математическое оптимальное программирование в экономике. М.: Знание, 1968 г.
34. Карандаев И.С. Решение двойственных задач в оптимальном планировании. М.: Статистика, 1976 г.
35. Карасев А.И., Кремер Н.Ш., Савельева Т.И. Математические методы и модели в планировании. М.: Экономика, 1987 г.
36. Кармлинский A.M., Нестеров П.В. Информатизация бизнеса. М.: Финансы и статистика, 1997 г.
37. Кини Р.Л., Райфа X. Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения. М.: Радио и связь, 1981 г.
38. Колесник А.П. Компьютерные системы в управлении финансами. -М.: Финансы и статистика, 1994 г.
39. Кузнецов Ю.Н., Кузубов В.И., Волощенко А.В. Математическое программирование. М.: Высш. Школа, 1980 г.
40. Курминский А.Б. Численные методы выпуклой оптимизации. М.: Наука, 1991 г.
41. Ларичев О.И. Объективные модели и субъективные решения. М.: Наука, 1987 г.
42. Ларичев О.И., Мошкович Е.М. Качественные методы принятия решений. М.: Физматлит, 1996 г.
43. Ларичев О.И. Наука и искусство принятия решений. М.: Наука, 1979 г.
44. Лесин В.В., Лисовец Ю.П. Основы методов оптимизации. М.: Издательство МАИ, 1995 г.
45. Лескин А.А. Алгебраические модели гибких производственных систем. М.: Наука, 1986 г.
46. Лехтман А.И., Шуман Я.Э. Автоматизированная система текущего планирования основного производства предприятий с непрерывной технологией. / В сб. тр.: Оперативное планирование и управление производством. М.: ЦНИИКА, 1985 г.
47. Макаров И.М. и др. Теория выбора и принятия решений. М.: Наука, 1982 г.
48. Машунин И.К. Методы и модели векторной оптимизации. М.: Наука, 1986 г.
49. Методы решения задач нелинейного и дискретного программирования. Киев: Наукова думка, 1991 г.
50. Мину М. Математическое программирование. -М.: Наука, 1990 г.
51. Михалевич B.C., Волкович В.Л. Вычислительные методы исследования и проектирования сложных систем. М.: Наука, 1982 г.
52. Мишенин А.И. Теория экономических информационных систем. М.: Финансы и статистика, 1999 г.
53. Моудер Дж., Элмаграби С. Исследование операций. М.: Мир, 1981 г.
54. Оптимизация развития и размещения производства в машиностроении. Новосибирск: Наука , 1978 г.
55. Оуэн Г. Теория игр. М.: Мир, 1971 г.
56. Павлов К.В. Общая теория социально-экономической политики. -Ижевск: Изд-во Удмуртского гос. Университета, 1998 г.
57. Парамонов Ф.И. Моделирование процессов производства. М.: Машиностроение, 1984 г.
58. Подиновский В.В. Методы многокритериальной оптимизации. М.: Наука, 1971г.
59. Подиновский В.В., Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. М.: Наука, 1982 г.
60. Подиновский В.В., Гаврилов В.М. Оптимизация по последовательно применяемым критериям. М.: Советское радио, 1975 г.
61. Полищук Л.И. Анализ многокритериальных экономико-математических моделей. М.: Наука, 1989 г.
62. Португал В.М., Павленков М.Н. Автоматизация годового планирования машиностроительного производства. М.: Машиностроение, 1987 г.
63. Розен В.В. Цель оптимальность - решение: Математические модели принятия оптимальных решений. - М.: Наука, 1982 г.
64. Розин Б.Б., Гейфман Р.С. Экономико-математические исследования на металлургическом заводе. М.: Металлургия, 1966 г.
65. Рыжов Э.В., Аверченков В.И. Оптимизация технологических процессов механической обработки. Киев: Наукова Думка, 1989 г.
66. Саати Т., Керне К. Аналитическое планирование. Организация систем. М.: Радио и связь, 1991 г.
67. Серазетдинова Т.Н., Шалаева Е.Н. Декомпозиционная информационно-аналитическая система производства // Сб. научных трудов сотрудников ИТНиПРП ИжГТУ, Ижевск: Изд-во ИТНиПРП ИжГТУ, 2002. С.35-37.
68. Соболь И.М., Статников Р.Б. Выбор оптимальных параметров в задачах со многими критериями. М.: Наука, 1981 г.
69. Современный синтез критериев в задачах принятия решений. М.: Радио и связь, 1992 г.
70. Соколицын А.С. Применение математических методов в экономике и организации машиностроительного производства. JI: Лениздат., 1970 г.
71. Сюняев О.Т. Некоторые аспекты создания информационных систем поддержки управления материально-техническим снабжением крупного предприятия. Сайт "Планета КИС", url: www.russianterprisesolutions.com, 2000 г.
72. Точилин В.А. Корректность экономико-математических моделей. -Киев: Наук. Думка, 1989 г.
73. Уланов Г.М. и др. Методы разработки интегрированных АСУ промышленными предприятиями. М.: Энергоатомиздат, 1983 г.
74. Управление производством: Учебник / Под ред. Н.А. Соломатина.-М.: ИНФРА-М, 2001 г.
75. Федоренко Н.П. Оптимизация экономики. М.: Наука, 1977 г.
76. Хоменюк В.В. Метод решения задач оптимизации по многоцелевому программированию. Л.: Изд-во ЛГУ, 1973 г.
77. Цодиков Ю.М. Математическое обеспечение типовых систем управления непрерывным производством. В сб.: ЭВМ в задачах управления. М.:1. ИПУ, 1983 г. 34 с.
78. Шалаева Е.Н., Серазетдинова Т.И., Русяк И.Г. Оптимизация прибыли от производства подшипников при заданной номенклатуре // Вестник ИжГТУ № 3. Ижевск: Изд-во ИжГТУ, 2000.- С.16-18.
79. Шалаева Е.Н., Серазетдинова Т.И. Исследование решения задачи оптимизации прибыли от производства подшипников // Тез. докл. 32 Научно-технической конференции ИжГТУ. Ижевск: ИжГТУ, 2000. - 1 с.
80. Штойер Р. Многокритериальная оптимизация: теория, вычисления, приложения. -М.: Радио и связь, 1992 г.
81. Щедрин Н.И., Кархоа А.Н. Математические методы программирования в экономике. М.: Статистика, 1974 г.
82. Щукин В.Н. Оптимизация производственной структуры отрасли и промышленного предприятия. Новосибирск: Наука, 1973 г.
83. Щукин В.Н., Архипенков С.М. Экономико-математические модели производственной структуры предприятия. М.: Экономика, 1973 г.
84. Экономика предприятия: Учебник для вузов / Под ред. Проф. В.Я. Горфинкеля, проф. Е.М. Купрякова. М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1996 г.
85. Юдин Д.Б., Голыдтейн Е.Г. Задачи и методы линейного программирования. М.: Сов. радио, 1964 г.
86. Юдин Д.Д., Гольштейн Е.Г. Линейное программирование. Теория и конечные методы. М.: Физматгиз, 1963 г.
87. Юдин Д.Д., Гольштейн Е.Г. Новые направления в линейном программировании. М.: Советское радио, 1966 г.
88. I.J. Lustig, R.E. Marsten and D.F. Shanno. On Implementing Mehrotra's predictor-corrector interior point method for linear programming. SIAM J. Optimization 2, 1992
89. S. Mehrotra. On the implementation of a primal-dual interior point method. SIAM J. Optimization 2, 1992
90. Serasetdinova T.I., Shalaeva E.N. Multiobjective optimization of economical characteristics of production // Book of abstracts V International congress on mathematical modeling. M.: "JANUS K", 2002. - C. 176.