Методы прогнозирования временных рядов и инструментальные средства автоматизации операций на финансовом рынке тема диссертации по экономике, полный текст автореферата

Автореферат диссертации по теме "Методы прогнозирования временных рядов и инструментальные средства автоматизации операций на финансовом рынке"

На правах рукописи

. Боровиков Илья Михайлович

МЕТОДЫ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ И ИНСТРУМЕНТАЛЬНЫЕ СРЕДСТВА АВТОМАТИЗАЦИИ ОПЕРАЦИЙ НА ФИНАНСОВОМ РЫНКЕ

08.00.13 - Математические и инструментальные методы экономики

005016167

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата экономических наук

3 МАЙ 20:2

Воронеж-2012

005016167

Работа выполнена на кафедре математики и математических методов экономики АОНО ВПО «Институт менеджмента, маркетинга и финансов»

Научный руководитель: Давние Валерий Владимирович,

доктор экономических наук, профессор

Официальные оппоненты: Берколайко Марк Зиновьевич,

доктор физико-математических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный университет», профессор кафедры финансов и кредита

Чернов Виктор Петрович, доктор экономических наук, профессор. ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный университет экономики и финансов», профессор кафедры экономической кибернетики и экономико-математических методов

Ведущая организация: ФГБОУ ВПО «Волгоградский государственный

университет»

Защита состоится 12 мая 2012 г. в 14 час. 00 мин. на заседании объединённого диссертационного совета ДМ 212.038.21 при ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный университет» по адресу: 394068, г. Воронеж, ул. Хользунова, 40, ауд. 225.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный университет».

Автореферат разослан 11 апреля 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

Тинякова

Виктория Ивановна

I. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследования

В странах с развитой рыночной экономикой, высока доля сектора финансовых услуг в ВВП и финансовый рынок является важнейшим институтом, который влияет на все субъекты экономики. Российская экономика движется по пути создания и совершенствования рыночных институтов. Само понятие инвестиций и в частности финансового инвестирования подразумевает прогнозирование в том или ином виде. По этой причине разработка и совершенствование методов, стратегий и алгоритмов прогнозирования показателей финансового рынка является актуальной задачей. Особую ценность для участников финансового рынка представляют прогнозы динамики цен финансовых активов. Таким образом, разработка методов прогнозирования временных рядов на финансовом рынке является актуальной задачей.

Сама возможность успешных прогнозов динамики цен финансовых активов на протяжении 20 и начала 21 века является спорным вопросом, который сформулирован в виде т.н. гипотезы эффективного рынка. До настоящего времени вопросы, связанные с гипотезой эффективного рынка, остаются без однозначного ответа.

Большинство из множества существующих методов прогнозирования применимо для стационарных и/или временных рядов с линейными зависимостями между значениями, однако временные ряды на финансовом рынке, в общем случае, имеют свойство нелинейности и нестационарности. Совершенствование методов прогнозирования нелинейных и нестационарных процессов, для прогнозирования временных рядов на финансовом рынке, является актуальной задачей.

Область исследования

Диссертационная работа выполнена в рамках п.1.6. «Математический анализ и моделирование процессов в финансовом секторе экономики ...», п. 1.9. «Разработка и развитие математических методов и моделей анализа и

з

прогнозирования развития социально-экономических процессов общественной жизни...» паспорта специальности 08.00.13 -«Математические и инструментальные методы экономики».

Степень разработанности проблемы

Моделирование динамики ценообразования рискового актива опирается на аппарат теории вероятностей, математической статистики и теории случайных процессов, основы которых заложили: Бернштейн С.Н., Гирсанова И.В., Гнеденко Б.В., Колмогоров А.Н., Ляпунов A.M., Марков A.A., Прохоров Ю.В., Розанов Ю.А., Хинчин А.Я., Чебышев П.Л., и др. В области стохастической финансовой математики центральное место занимают фундаментальные труды А.Н. Ширяева и др.

Попытки аппроксимации динамики цен на фондовых рынках случайными процессами начались с работ Л. Башелье. В дальнейшем его результаты были дополнены и развиты в прикладных работах Г. Марковича, Р. Мертона, П. Самуэльсона, У. Шарпа, а также теоретических трудах М. Осборна, Э. Фама и др.

Фрактальный анализ финансовых временных рядов опирается на работы исследователей: Дубовиков М.М., Ким С., Клочихина Л.В., Ло А., Мандельброт Б., Петере Э., Старченко Н.В., Такку М., Теверовский В., Теплова С.Е., Уиллинджер У., Филатова Д.А., Чен С., Чоу В.

Аппарат эконофизики и нелинейной динамики заложен в работах: Арнольда В.И., Берже П., Видаля К., Лоскутова А.Ю., Мантеня Р., Михайлова A.C., Помо И., Романовского М.Ю., Шустера Г., X. Стенли.

В научном и методическом отношениях неоценим вклад Давниса В.В и Яновского Л.П.

Цель и задачи исследования

Цель исследования - развитие аппарата прогнозирования временных рядов на финансовом рынке и автоматизации арбитражных операций, с использованием этих методов.

В диссертационной работе решаются следующие задачи:

> изучение современных подходов к анализу и прогнозированию временных рядов на финансовом рынке;

> разработка и совершенствование методов анализа и прогнозирования рядов доходности;

> исследование эффективности методов анализа и прогнозирования временных рядов на финансовом рынке;

> альтернативное агрегирование ряда цен в соответствии с гипотезой варьирующейся скорости хода времени на финансовом рынке;

> оценка качества прогнозирования временных рядов финансового рынка и тестирование эффективности арбитражных операций на основе этих прогнозов;

> автоматизация арбитражных операций, совершаемых на основе индикаторов, использующих методы прогнозирования временных рядов.

Объект и предмет исследования

Объект исследования — финансовый рынок России. Предмет исследования - свойства финансовых временных рядов и методы их прогнозирования, а также возможности автоматизации арбитражных операций.

Научная новизна исследования

Результаты, обладающие элементами научной новизны:

1. Разработан алгоритм и реализована программа, вычисляющая статистику паттернов знаков приращений временных рядов. Статистика паттернов эффективно используются для анализа и прогнозирования временных рядов на финансовом рынке.

2. Разработан новый метод оценки показателя фрактальности на основе вероятности поворотной точки временного ряда.

3. Предложен подход для повышения качества прогнозирования временных рядов, производных от ряда цен, путём альтернативного агрегирования ряда цен в соответствии с гипотезой варьирующейся скорости хода времени на финансовом рынке.

4. Разработана и доказана стратегия оптимального управления ставкой на шаге серии знаков фрактального гауссового шума с точки зрения задачи максимизации капитала.

5. Создан алгоритм программы, автоматизирующей арбитражные операции, а также выполнена её программная реализация в математическом пакете МАТЬАВ в связке с торговым терминалом С>и1К. Аналитическая часть алгоритма опирается на методики прогнозирования на основе искусственных нейронных сетей и др., показавших свою эффективность в результате настоящего исследования.

Теоретическая и практическая значимость исследования

Теоретическая значимость научных результатов заключается в том, что основные выводы и положения диссертации развивают теоретико-методологическую базу анализа динамики цен на фондовых рынках, адаптируя ее к современным условиям.

Практическая значимость исследования заключается в том, что сформулированные выводы и предложения, разработанные модели и алгоритмы могут быть использованы финансовыми учреждениями, частными инвесторами, разработчиками информационно-аналитических систем, другими субъектами рынка ценных бумаг в качестве инструментария для получения дополнительной информации, способствующей повышению степени обоснованности инвестиционных решений. Результаты исследования также могут быть использованы в процессе преподавания аналитических дисциплин студентам экономических специальностей.

Апробация результатов исследования проводилась в рамках следующих мероприятий:

• Экономическое прогнозирование: модели и методы VI Международная научно-практическая конференция, 6 апреля 2010 года, Воронежский государственный университет.

• Математика и её приложения. Экономическое прогнозирование: модели и методы, Международная научно-практическая конференция, г. Орёл, 2011 год.

• Проблемы менеджмента, маркетинга и финансов: IV международная научно-практическая конференция молодых учёных, 7 декабря 2011, Воронеж. - Воронеж: АОНО ВПО «Институт менеджмента, маркетинга и финансов», 2011.

• Системное моделирование социально-экономических процессов: 34-ая Международная научная школа-семинар, Светлогорск, Калининградская обл., 2011.

Внедрение

Предложенные методы, модели и программы прошли успешную верификацию на реальных временных рядах российского фондового рынка. Отдельные результаты диссертационного исследования нашли применение в практической деятельности компании ООО «Развитие» (официальный представитель ОАО «Брокерский дом «Открытие»).

Материалы исследования используются кафедрой «математики и математических методов экономики» АОНО ВПО «Институт менеджмента маркетинга и финансов» в преподавании учебных дисциплин «Математическая статистика», «Интеллектуальные методы анализа бизнес-информации». Внедрение результатов исследования в указанных организациях подтверждено соответствующими документами.

Методологические и теоретические основы исследования

Теоретическая и методологическая основа исследования -теоретические и методологические положения, содержащиеся в трудах российских и зарубежных авторов в таких областях науки, как теория вероятностей и математическая статистика, теория случайных процессов, стохастическая финансовая математика, фрактальная геометрия, нелинейная динамика.

Важнейшую роль при написании работы сыграли работы в области исследования свойств фрактального броуновского движения и его финансовых приложений, теории искусственных нейронных сетей.

Программно-технический комплекс анализа и прогнозирования временных рядов реализован с использованием компьютерных программ MATLAB, STATISTICA и Microsoft Excel. Для автоматизации арбитражных операций используется торговая платформа QUIK.

Информационная база исследования

В числе информационных источников диссертации использованы:

• научные источники в виде данных из монографий, а также работ российских и зарубежных авторов в области теории вероятностей и математической статистики, теории случайных процессов, стохастической финансовой математики, фрактальной геометрии, нелинейной динамики, опубликованных в периодической печати, в виде препринтов, научных докладов, материалов конференций и семинаров;

• статистические источники в виде итогов торгов на фондовых площадках, свободно доступных через сеть Internet;

• результаты собственных расчетов.

Публикации

По теме диссертации опубликовано 10 печатных работ (в том числе 3 -в изданиях, определенных ВАК) общим объемом 5,55 п.л. (авторский объем -3,8 п.л.).

Объём и структура диссертации

Диссертация включает введение, три раздела, список литературы, 14 приложений на 20 страницах. Общий объем составляет 164 страницы, в том числе 21 рисунок, 24 таблицы, 156 формул.

II. ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введепни дается общая характеристика работы, обоснование ее актуальности, обсуждается новизна и значимость проведенного исследования.

В первой главе: на основе обзора работ выделены свойства, модели временных рядов на финансовом рынке; проанализированы методы оценки показателя фрактальности на предмет условий применимости; проведён критический анализ современных методов прогнозирования временных рядов.

Во второй главе описан ряд разработок, которые составляют научную новизну исследования.

1. Методика анализа и прогнозирования временных рядов на основе статистики паттернов знаков

Временные ряды доходностей гетероскедастичны, поэтому целесообразно абстрагироваться от амплитуд ряда. Для анализа статистики паттернов знаков временного ряда был создан алгоритм и разработана программа ЭВМ, которая позволила выявить закономерности не только в финансовых временных рядах, но и других сферах, например в сельском хозяйстве. Имеется сертификат о государственной регистрации с номером №2011616717. Идея анализа реализованного в этой программе заключается в вычислении условной статистики значения ряда, при условии, что оно соответствует некоторому паттерну знаков, предшествовавших этому значению.

Алгоритм расчёта статистик паттернов знаков:

1) На основе исходного временного ряда цены Я, получаем ряд приращений х, = 5, - 5М.

2) Временной ряд х, представляется как многомерный ряд, состоящий из векторов вложения - траекторная матрица Хьи), где I - число векторов вложений, у - индекс строки матрицы (паттерна).

3) На основе матрицы XL(j) получаем матрицу знаков ZL(j) = sign(XL(j)), причём каждая строка ZL(J) это паттерн знаков длиной L элементов. Закодируем положительное значение элемента паттерна как 1, а отрицательное как 2, т.е. например, паттерн [+,-,-,+,-] можно обозначить [1,2,2,1,2] или [12212]. Множество всех возможных паттернов pat,(k) длины L включает 2Л элементов, т.е. к = 1.....2L.

4) На основе XL (j) и ZL(j) можем рассчитать статистики:

- Численность каждого из возможных паттернов длиной L знаков содержащихся в ZL (j):

= (1),

j

fl, ZL(j) = patL(k)

где ct(M) = <L (

[0, ZL(j)* patL(k)

- Вероятности паттернов длиной L:

М*) = «л<*)'!>*(*) (2).

*

- Средние амплитуды значений ряда соответствующие последним элементам паттернов длиной L:

\XL(j), ZL(j) = pat,(k) ГДе «,(/,£) = •{

К (Л. ZLU)*patL(k)

- Математические ожидания последнего элемента паттернов длиной L:

paL{k) = pL{k)aL{k) (4).

- Условные вероятности альтернативных исходов в последнем элементе паттернов длиной L элементов:

qL(k) = m,.(*)/K(A, (*)) + т,.(ВД] (5),

[к, mod0t/2)*0 fjfc + 1, mod(*/2)*0

где Аг = 1.....г1, hJk) = { , hJk) = <

,W U-l, mod(Jt/2) = 0' 2V ' U, mod(£/2) = 0

- Коэффициент превышения условной вероятности положительного знака над вероятностью отрицательного знака в последнем элементе паттерна длиной Ь элементов:

- Условное математическое ожидание последнего элемента паттерна длиной Ь элементов:

Яа1\к) = я1Хк)а,Хк) (7).

- Сумма условных математических ожиданий, альтернативных в последнем элементе, для паттернов длиной Ь элементов:

^ (к) = ?«,(/>, + <?ад(й2 (Л)) (В).

- Для сопоставимости можно предложить нормировать^^(£), тогда получим коэффициент неравновесности условного математического ожидания альтернативных в последнем элементе, для паттернов длиной Ь элементов:

kqaL (к) = [9аЛ (Л, (*)) + (Л2 (4))] /[^ (А, (Л)) - (й2 (Л))] (9), где к = 1,...,2Л, а А, (Л) и /г2(£) аналогично формуле (5).

5) Удобно представить т^к), р,.(к), а,(к), ра,(к), я,(к), г,(к), яа,{к), хда,(к), кца, (к), как прямоугольные матрицы соответственно: М(к, Ц, Р(к,Ь), А(к,Ь), РА{к,Ь), й{к,Ь), К(к,Ь), дА(к,Ь), ЩА(к,Ь), дополнив строки при I < ¿гпах копиями, где ¿тах - максимальная длина паттерна, для которой проводится анализ.

6) Можем предложить меру прогнозируемости ряда по паттерну длиной I ■.

где ^ 1, к = 1,...,2\ а И\{к) и И2(к) аналогично формуле (5). Анализ статистики паттернов позволяет прогнозировать:

а) направления изменений ряда, на основе £>(к,Ь);

б) ожидаемые амплитуды изменений ряда, на основе /)(*,£);

в) ожидаемые значения изменений ряда, на основе .

Для всех 3 случаев технология прогнозирования общая: если для прогнозирования используется паттерн длиной £ элементов, то рассматриваются статистики 2 альтернативных паттернов таких, что первые 1-Х элементов у них совпадают, а последний элемент, в одном случае соответствует положительному изменению ряда, а в другом, отрицательному.

Таблица 1. Показатели неравновесности альтернативных знаков в последнем элементе паттернов длиной 4 элемента, ряд абсолютных приращений цен.

Паттерн Превышение условной вер. Превышение условного мат.ож.

Индекс РТС Фьючерс инд. РТС Индекс РТС Фьючерс инд. РТС

1мин 1час Шин 1час Шин 1час Шин 1час

Шх 0,16 0,11 -0,09 0,00 0,28 0,10 -0,03 -0,03

Н2х -0,08 0,07 -0,02 0,05 -0,11 0,02 -0,02 0,01

121х 0,10 0,02 -0,03 -0,01 0,17 0,01 0,01 -0,10

122х -0,13 0,09 0,06 0,10 -0,22 0,08 0,01 0,18

211х 0,14 0,09 -0,05 0,05 0,21 0,04 -0,02 -0,01

212х -0,11 -0,02 0,02 0,02 -0,21 -0,07 -0,02 0,03

221х 0,09 -0,03 0,01 -0,04 0,08 -0,14 0,00 -0,14

222х -0,13 -0,04 0,10 -0,03 -0,24 -0,20 0,05 -0,09

Из анализа таблицы 1 можем заключить, что существуют паттерны знаков приращений цены, для которых превышение условной вероятности/мат.ожидания положительного значения над отрицательным, существенно отличается от нуля.

Разработанный инструментарий анализа временных рядов, на основе подсчёта статистик паттернов, является не параметрическим методом, который обладает высокой универсальностью, так как требует минимальных предпосылок. Он показал свою эффективность при анализе временных рядов на финансовом рынке.

2. Метод оценки показателя фракталыюсти на основе вероятности поворотной точки временного ряда

Фрактальный гауссов шум используется для моделирования доходностей финансовых активов. Его свойства описывается параметром Харста. Однако, одно и то же значение показателя Харста, при

использовании классических методов оценки, может объясняться двумя различными эффектами: эффект Ноя (значительные скачки) и эффект Иосифа (долговременные зависимости). Для задачи прогнозирования важен последний из них, поэтому желательно разработать оценку показателя Харста с точки зрения эффекта Иосифа, поэтому предложен следующий метод, в котором реализована эта идея.

Генерации модельных рядов производилась с помощью функции «\vfbm» пакета МАТЬАВ, которая использует вейвлет преобразование. Вид зависимости вероятности поворотной точки от показателя Харста модельного ряда фрактального гауссового шума с различными значениями показателя Харста аппроксимирован с высоким качеством 11=0,99999, уравнением:

Р(Н) = -0.08555Я2 - 0,06312Я + 0,71965 (11).

Отсюда, метод оценки показателя Харста на основе вероятности поворотной точки задаётся обратной функцией (11):

Я(Р) = л/8,548-11,689Р-0,3689 (12),

где

Р - наблюдаемая вероятность поворотной точки,

Н(Р) - оценка показателя Харста.

Наблюдаемая вероятность поворотной точки может принимать значения в интервале 0£Рй1. Однако, область определения функции (12) -это интервал (-°о; 0,7313], а область значений (12) - это интервал (-0,3689; «О. Таким образом, значение Н(Р) может быть получено в случае, если ре[0; 0,7313), в случае же, когда Ре[0,7313; 1] величина Н{Р) не определена. Таким образом, использование формулы (12) возможно, только если Р € [0; 0,7313), поэтому оценки Н(Р) е (-0,3689; 2,5548).

Аппроксимация функции стандартного отклонения вероятности поворотной точки задаётся уравнением регрессии:

Б[Р] = (0,0646 Я + 0,389) / л/и - 2 (13).

13

Проведён анализ расчётной плотности распределения вероятности с.в. Р{Н). Отношение третьего момента с.в. Р{Н) ко второму моменту в степени 1,5 очень быстро стремится к нулю при увеличении П. Отношение четвёртого момента к квадрату второго момента с.в. Р(Я) быстро стремится к значению 3 при увеличении п. Таким образом, плотность распределения вероятности Р(Н), по модельным данным, быстро стремится к нормальному распределению при увеличении П.

Доверительный интервал М[Р] случайной величины Р, распределенной по нормальному закону, при известном стандартном отклонении £[/■], с уровнем надёжности а:

где

t - аргумент функции Лапласа, при котором 0(0 = а /2,

а - уровень надёжности,

Рп - выборочное среднее 77 значений с.в. Р,

М[Р] — генеральное среднее с.в. Р.

Для случая Я = 0,5, доверительный интервал (14) совпадает с доверительным интервалом по критерию случайности ряда Кендала на основе числа поворотных точек, поэтому (14) является его обобщением.

Используя теорему плотности вероятности функции случайной величины, получим закон плотности распределения вероятности Н(Р):

рп -tS[P}/^<M[P}<Pn +tS[P

(И),

2.555

fH(.x,n,H) =

v{x,n,H)l \v(x,n,H)dx, -0,369 < x < 2,555

(15),

-0,369

0, (-0,369 > x) v (x > 2,555)

где

у(х, п, Н) = |- ОД 711дг- 0,0631|ЛТОг(.РО) - Р(Н), , X имеет смысл Н(Р) ,

Р(Н) — ожидаемая вероятность поворотной точки.

В таком случае, границы доверительного интервала Н будут определяться, как функция (12) от значений границ доверительного интервала М[Р], (формула 14) с уровнем значимости а, т.е.:

Ь^Нйкц (16),

где

\ = -у/8,548 - И ,689(Р - / -Уй) - 0,3689,

= -у/8,548 -11,689(Р+/5[Р]/4п) - 0,3689, I - аргумент функции Лапласа, при котором <3(0 = а/2, а - уровень надёжности, Р — выборочное среднее с.в. Р.

Таблица 2. Оценка показателя Харста рядов приращений цен фьючерса на индекс РТС 2011, методом поворотных точек и сопоставление с

иными методами оценки.

Показатель Таймфрейм

1мин Юмин ЗОмин 1час 1день

Число значений ряда 198905 20253 6932 3467 248

Вероятность поворотной точки 0,684 0,678 0,668 0,675 0,69

Оценка Н на основе поворотных точек 0,373 0,418 0,489 0,446 0,328

Оценка Н на основе вейвлет коэф. 0,503 0,482 0,563 0,438 0,319

Оценка Н базовым методом 0,563 0,572 0,591 0,594 0,523

Из таблицы 2 видно, что различные методы оценки показателя Харста существенно расходятся. Базовый метод даёт смещённую оценку в сторону более высоких значений. Этот вывод основан на том, что анализ паттернов чётко показывал наличие антиперсистентности на некоторых таймфреймах фьючерса, а базовая оценка демонстрирует персистентность. Кроме того она систематически смещена относительно оценок по двум другим методам. Разработанный метод даёт результаты, близкие к вейвлет оценкам на больших таймфреймах, и более антиперсистентные оценки при малых

таймфреймах. Из анализа статистики паттернов видно наличие антиперсистентности, что согласуется с оценками по предложенному методу.

3. Подход альтернативного агрегирования ряда цен в соответствии с гипотезой варьирующейся скорости хода времени на финансовом рынке

Динамику цен на финансовом рынке, прямо или косвенно, определяют события происходящие в социально-экномической, политической и других сферах. Введём понятие времени финансового рынка (рыночного времени) - мера объёма событий, повлиявших на финансовый рынок. Так как плотность событий в различные интервалы астрономического времени различна, то можно выдвинуть гипотезу варьирующейся скорости хода времени на финансовом рынке, по сравнению со скоростью хода астрономического времени.

Не однородность скорости хода рыночного времени, приводит к различию статистических свойств значений временного ряда равных отсчётов астрономического времени. Повысить стационарность временного ряда можно путём повышения однородности скорости хода рыночного времени, т.е. чтобы каждый временной интервал образуемого временного ряда соответствовал равным интервалам рыночного времени (содержал одинаковое количество событий).

Задачу агрегации исходного ряда на одинаковые интервалы рыночного времени за счёт подбора значений начал и концов интервалов г,, можно формализовать исходя из условия:

Ч0„1м) = кп1, / = 1,..,«, =1 (17),

где ¥(/¡,/(>1) - объём произошедших событий с момента г, до г,,,

астрономического времени, влияющих на рынок.

Для практической реализации этой задачи требуется оперделять единицы измерения и величину объёма событий, влияющих на рынок. Напрямую оценить количественные параметры потока сыбытий, влияющих на рынок сложно, поэтому предлагаем ассоциировать поток событий с

16

эффектами, которые он вызывает на рынке. К числу таких эффектов, которые вызывают события, на наш взгляд, относятся: а) рост чила сделок б) изменчивость цен.

Таким образом, можем косвенно определить ч'(t„tM) как:

xV^,t1) = f{P[t^h]) (18),

где

- количественно определённый эффект событий, наблюдавшийся начиная с момента г, до момента /2 астрономического времени.

/(.) - функция связи величины потоках событий влияющих на рынок,

от р.

В качестве исходного ряда х, целесообразно использовать тиковые данные, так как именно в них отражается информация о всех сделках.

Опишем алгоритм функции выполняющей разбиение на интервалы равного рыночного времени в соответствии с условием (17):

1) Начало первого интервала соответствует первому значению исходного тикового временного ряда абсолютных приращений x(i), т.е. индекс начала cl = 1.

2) Устанавливаем индекс предполагаемого конца интервала равным индексу начала с = cl.

3) Индекс предполагаемого конца интервала сдвигается на 1 значение, начиная от значения начала интервала, т.е. с = с +1.

4) Для образованного ряда х{с\.....с) подсчитываем р, и Ч» = /(р).

5) Выполняем пункты 3 и 4 до тех пор, пока мера не превысит критерий ¥ > krit,

6) Если xV>krit, то индекс конца интервала будет соответствовать значению предшествующему тому, на котором выполнилось условие У > krit, т.е. с2 = с -1.

7) Зная индексы начала и конца интервала с1,с2 в исходном ряду *(/), формируем значение образуемого временного ряда, как некоторую интересующую функцию г[х(с1,...,с2)]: например значение начала, либо конца, либо максимум, и т.д.

8) Добавляем значение г[х(с1,...,с2)] как следующее значение образуемого ряда у1.

9) Индекс начала следующего интервала соответствует значению исходного ряда *(/), на котором выполнилось условие ЧР > кг'а в пункте б, т.е. с1 = с.

10) Если не достигнут конец исходного ряда, то переходим к пункту 2, иначе процедура завершается.

Из описания алгоритма понятно, что единственным задаваемым параметром этой процедуры является величина Ь-и, которая определяет средний интервал (таймфрейм) образуемого ряда.

Запишем 2 варианта функции р - обобщённый путь цены и накопленный объём торгов, в принятых обозначениях:

Р = |>(/)Г или Р = ¿16(01 (19),

где q - некоторое число, ()(}) - объём торгов.

Таблица 3. Тест на нормальность распределений рядов приращений цены образованных разными критериями агрегации.

Тайм-фрейм Метод агрегации Колмогоров-Смирнов Критерий

1 мин. Равного астрономического времени 0,0927 0,003

Равного пути пройденного ценой 0,053

Равной суммы квадратов приращений цены 0,0396

Равного торгового объёма. 0,041

Продолжение таблицы 3.

Тайм-фрейм Метод агрегации Колмогоров-Смирнов Критерий

30 мин. Равного астрономического времени 0,09 0,0164

Равного пути пройденного ценой 0,0258

Равной суммы квадратов приращений цены 0,0164

Равного торгового объёма. 0,0327

1 час Равного астрономического времени 0,0836 0,023

Равного пути пройденного ценой 0,023

Равной суммы квадратов приращений цены 0,0133

Равного торгового объёма. 0,0342

Из таблицы 3 видно, что использование альтернативных агрегаций временных рядов цен по сравнению с рядами равного астрономического времени: снижает гетероскедастичность; даёт распределение значительно более близкое к нормальному распределению доходностей, кроме того, позволяет проявить иные свойства, важные для прогнозирования.

4. Стратегия оптимального управления ставкой на шаге серии знаков фрактального гауссового шума

Пусть стратегия игры заключается в управлении величиной ставки в некоторой зависимости от номера шага положительной (отрицательной) серии знаков ряда. Пример разбиения на серии на рисунке 1.

I-1--1-«"Ч-Ц

(0,1) (0,8) (-1,1) (-2,3) (0,5) (-0,6) (0,2) (0,3) (0,4) (0,7) (-0,5) (-0,55) (-0,2)

ЧМ1-1--,-1

Рисунок 1. Пример разбиения ряда на положительные серии (скобки сверху) и отрицательные серии (скобки снизу).

Данная стратегия будет обладать различными свойствами в зависимости от свойств временного ряда случайного процесса. Стратегия может быть прибыльна в случае, когда исходы случайного процесса зависимы. Так как для моделирования доходностей используется фрактальный гауссов шум, то рассмотрим указанную стратегию для

фрактального гауссового шума и определим оптимальную функцию управления ставкой.

В качестве целевой функции примем величину ожидаемой прибыли на единицу располагаемого капитала. Логика данного показателя следующая. Игрок имеет капитал К и значит, его ставка на любом шаге серии не может превышать К, т.е. и где и - минимально возможная ставка. В

случае, когда ставка не может быть отрицательной и = 0. В случае, когда ставка может быть отрицательной и = -К.

Математическое ожидание прибыли игры на всех сериях длиной от 1 до бесконечного числа шагов выражается функцией:

мі

(20),

где

Рп - вероятность серии длиной п шагов,

л-1 і

п - число элементов серии, в том числе элемент завершающий серию,

некоторая функция величины ставки от номера шага серии і, т1 - математическое ожидание значения ряда на шаге серии 3 кроме

последнего закрывающего элемента,

¡л,, - математическое ожидание значения завершающего серию,

имеющего противоположный знак по сравнению со знаком серии.

В результате преобразований функции математического ожидания прибыли ОТ всех серий, к виду линейному относительно ¿0'), можем переписать задачу оптимизации:

N ( N

( N ^

7-1 V '=-'+|

и<*и)<к 7 = 1,2,...,^

ІУ-» оо

> шах

Производная (19) по s(j) равна:

' ds{J) 'И' Тогда оптимальный ряд ставок:

л>-Штр<м'+т>Р' (22)

\К, А, > О

s_optU)-\ ' (23).

[и, Ау < О

Таким образом, с точки зрения максимизации величины ожидаемой прибыли на единицу располагаемого капитала, оптимальные ставки на различных шагах серии должны скачкообразно изменяться между своей верхней и нижней границей.

Можем вычислить производную ожидаемой прибыли по ставке на

шаге j:

¿j=g PjVJ+AJ^P, (24),

Ч 'Ч/+І

где

Р„ - вероятность серии длиной п шагов,

А, - ожидаемая амплитуда на і-ом шаге серии, т, - gA,,

V„ - ожидаемая амплитуда значения закрывающего серию длинной п шагов, = gVn,

g - переменная типа серии: 1 для положительной серии -1 для отрицательной серии.

Оценки Р„, Ап Vn получены по результатам численного эксперимента по методу Монте-Карло на модельных рядах фрактального гауссового шума для различных значений параметра фрактальности. Модельные ряды сгенерированы с помощью пакета MATLAB. Ряды нормированы на средний модуль значения ряда, для сопоставимости результатов игры.

Используя Xj, можем получить s_opt(j) по формуле (23).

Обобщив результат, таблично зададим закон для оптимальной ставки.

Таблица 4. Величина s_opt(j)для различных значений Н.

Номер шага положительной серии

п=1 п>1

0<Н<0,5 К и

0,5<Н<1 и К

Из таблицы 4 видно, что в случае антиперсистентного ряда только на первом шаге оптимальная ставка должна быть максимальна, на остальных шагах серии оптимальная ставка минимальна. Обратная картина наблюдается в случае персистентного ряда - на первом шаге серии оптимальная ставка минимальна, на последующих шагах оптимальная ставка максимальна. Таким образом, не требуется знать точное значение Н, достаточно лишь знать Н>0,5 или Н<0,5.

5. Методика прогнозирования доходностей и автоматизации арбитражных операций посредством программы ЭВМ

В результате тестирования арбитражной стратегии на данных фьючерса на индекс РТС 2011 (2010), использующей, в качестве метода прогнозирования доходностей искусственные нейронные сети в совокупности с алгоритмом обучения Левенберга-Марквардта или генетическим алгоритмом, получены результаты, которые говорят о возможности прибыльного арбитража. Так на 1 часовом таймфрейме ожидаемая прибыль, номинированная в пунктах фьючерса на индекс РТС составила около 200-300 пунктов на сделку.

Предложена методика повышения качества прогнозирования на основе образа прибыли индикативного показателя. Идея заключается в синхронизации сигналов на разных периодах данных. Для фьючерса на индекс РТС получена прибыльная система при использовании в качестве индикативного показателя наклона линейной регрессии, которая строится на прилегающем отрезке ряда цены.

На базе математического пакета МАТЬАВ, создана программа торгового робота, реализующая процесс получения прогнозов, формирования торгового сигнала, совершения торговых операций. Номер свидетельства о государственной регистрации №2010614862.

По теме диссертации опубликованы следующие работы

В журналах, включенных в список ВАК:

1. Яновский Л.П. Критика гипотезы возможности перехода от случайного процесса с независимыми исходами к направленному процессу / Яновский Л.П., Боровиков И.М. // Современная экономика проблемы и решения. - 2011. - №б (18). - С. 233-241.

2. Боровиков И.М. Показатель Херста: способы расчёта и возможности использования в задачах портфельного инвестирования / Боровиков И.М., Куликова Т.В., Тинякова В.И. // Современная экономика проблемы и решения.-2011.-№10 (22),-С. 125-142.

3. Давние В.В. Альтернативное агрегирование ряда цен в соответствии с концепцией рыночного времени / Давние В.В., Боровиков И.М. // Современная экономика проблемы и решения. - 2012. - №1 (25). - С. 179-187.

В остальных журналах и сборниках:

4. Яновский Л.П. Прогнозирование динамики финансовых инструментов на основе анализа внешнего фона с помощью регрессии главных компонент / Яновский Л.П., Боровиков И.М. // Экономическое прогнозирование: модели и методы; материалы V Международной научно-практической конференции, 28 апреля 2009 года; в 2 ч./Воронежский государственный университет, 2009 - 4.1.- С. 281-285.

5. Яновский Л.П. Механическая торговая система для Фьючерса на индекс РТС / Яновский Л.П., Боровиков И.М. // Журнал «Финансовый вестник», Воронежский государственный аграрный университет, Воронеж, т. 1 (19)-2009, С. 85-92.

6. Яновский Л.П. Принципы построения торгового робота для торговли фьючерсами. / Яновский Л.П., Боровиков И.М. // Экономическое прогнозирование: модели и методы; материалы VI Международной научно-практической конференции, 6 апреля 2010 года; в 2 ч./Воронежский государственный университет, 2009 - ч.1, - С. 281-285.

7. Яновский Л.П. Инструментальные средства для оперативного принятия решений на рынке ФОРТС / Яновский Л.П., Боровиков И.М. //

Журнал современная экономика проблемы и решения. - 2010. - №4(4). - С. 119-126.

8. Яновский Л.П. Критика гипотезы возможности перехода от случайного процесса с независимыми исходами к направленному процессу / Яновский Л.П., Боровиков И.М. // Математика и её приложения. Экономическое прогнозирование: модели и методы: материалы международной научно-практической конференции, г Орёл 2011. - С. 180184.

9. Боровиков И.М. Анализ закономерностей и прогнозирование внутрисуточной изменчивости показателей финансового рынка. / Проблемы менеджмента, маркетинга и финансов: матер. IV Междунар. Науч.-практ. Конф. Молодых учёных, 7 декабря 2011, Воронеж. - Воронеж: АОНО ВПО «Институт менеджмента, маркетинга и финансов», 2011. - С. 175-181.

10. Яновский Л.П. Обобщение критерия поворотных точек для дробного броуновского движения. / Яновский Л.П., Боровиков И.М. // Системное моделирование социально-экономических процессов: труды 34-й Международной научной школы-семинара, Светлогорск, Калининградская обл., 2011.-С. 231-234.

Подписано в печать 10.04.2012.

Формат 60 х 84/16. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 1,3 Тираж 100 экз. Заказ №934

Отпечатано в типографии

Воронежского ЦНТИ - филиала ФГБУ «РЭА» Минэнерго России 394036, г. Воронеж, пр. Революции, 30.