Моделирование оптимальной процентной ставки кредитного контракта тема диссертации по экономике, полный текст автореферата

Автореферат диссертации по теме "Моделирование оптимальной процентной ставки кредитного контракта"

На правах рукописи

Журавлев Дмитрий Сергеевич

МОДЕЛИРОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ КРЕДИТНОГО КОНТРАКТА

08.00.13 - Математические и инструментальные методы экономики

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата экономических наук

Кисловодск - 2004

Диссертация выполнена в Кисловодском институте экономики и права.

Научный руководитель

доктор физико-математических наук, профессор Наталуха Игорь Анатольевич

Официальные оппоненты:

доктор экономических наук, профессор Кардаш Виктор Алексеевич кандидат экономических наук, доцент Васильева Марина Евгеньевна

Ведущая организация:

Ставропольский государственный университет

Защита состоится 29 марта 2004 года в 10 часов на заседании диссертационного совета ДМ 521.002.01 по экономическим наукам при Кисловодском институте экономики и права (357700, г. Кисловодск, ул. Р. Люксембург, 42).

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Кисловодского института экономики и права.

Автореферат разослан 28 февраля 2004 года

Ученый секретарь диссертационного совета

Дмитриев В.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Кредит является опорой экономики, неотъемлемым элементом экономического развития. В современном хозяйстве кредит функционирует как капитал. Это означает, что кредитор передает заемщику ссуженную стоимость не как сумму денег, а как возрастающую стоимость, которая возвращается к нему с приращением в виде ссудного процента. Заемщик же полученные средства должен использовать таким образом, чтобы с их помощью можно было не только обеспечить непрерывность производства, но и создать новую стоимость, достаточн>ю, чтобы рассчитаться с кредитором - возвратить ему первоначально авансированную сумму и уплатить ссудный процент. Кредит, таким образом, способствует непрерывности, ускорению и расширению производства и реализации продукции.

В условиях современной России, когда ставка рефинансирования уменьшается, а фондовый рынок весьма далек от совершенства и характеризуется нестабильностью и низкой доходностью, кредитование становится основным источником дохода для многих банков. Однако увеличение объемов кредитования сопровождается, как правило, ростом дебиторской задолженности. Это выдвигает в ряд фундаментальных задач кредитного учреждения эффективное управление кредитным портфелем, определение оптимальной процентной ставки кредитования, в том числе с учетом возможности дефолта и досрочного погашения кредита заемщиком, а также управление процентным и кредитным риском.

Достоверные количественные результаты, касающиеся размера кредитных процентных ставок в зависимости от среднерыночной (депозитной) процентной ставки, обеспечения кредита, дохода заемщика и сроков кредита, могут быть получены в рамках строгих экономико-математических моделей финансово-экономических взаимоотношений кредитора и заемщика. Этим и определяется актуальность диссертационного исследования.

Степень изученности проблемы. Роль кредита в развитии экономики, а также функции и законы кредита активно исследуются в трудах отечественных ученых И.А.Бланка, С.Л.Ермакова, Е.Ф. Жукова, В.В.Ковалева, Л.Н. Красавиной, О.И.Лаврушина, Г.С. Пановой, Е.А.Рассказова, Н.Э.Соколинской, Е.С. Стояновой, М.М.Ямпольского. а также зарубежных ученых Ф.Аллена, Р.Брейли, Д.Гейла. Д.Даймонда, Х.Курца, С.Майерса, Дж.Синки, Х.Таха, Е.Фамы, Дж.Хикса, Р.Холта.

РОС. НАЦИ01 БИБЛИО СПетер О» »

В.Хорна.

Исследования посвященные моделированию кредитного процесса, включают анализ алгоритмов оптимизации распределения средств кредитных организаций, основанный на развитии принципов классической портфельной теории Г.Марковица, Д.Тобина, У.Шарпа (И.Э.Амелин, З.М.Цирихова, И.Ф.Цисарь, Р.Джонс, Дж.Ингерсолл, Д.Никерсон, С.Росс); прогнозирование потоков платежей, по кредитному портфелю (ААСолянкин, АВ.Бородин,

A.И.Екушов, М.А.Поморина, Е.Фама, Е.Элтон); модели оценки кредитоспособности заемщика (И.А.Киселева, Д.А.Парфенов, Дж.Брукнер, Д.Джаффи, Х.Леланд, Е.Маскин, Дж.Стиглиц).

Анализу кредитного и процентного риска, а также управления рисками посвящены работы В.П.Буянова, Г.Гулиера, Ю.Ф.Касимова, К.А.Кирсанова, П.В.Конюховского. П.Г.Первозванского, К.Рэдхэда, К.Стокера, Д.Хуммеля.

Теории финансовых рент, анализу различных процентных ставок, разработке планов погашения долгосрочных займов, реструктурированию займов и другим вопросам финансовой математики посвящены работы Г.П.Башарина, В.В.Капитоненко, Ю.Ф.Касимова, В.Б.Кутукова,

B.И.Малыхина, Е.М.Четыркина. С.Брауна, Дж.Кау, П.Картледжа, М.Кришмена, Р.Стентона.

Вместе с тем, недостаточно изучены вопросы распределения процентного и кредитного риска между кредитором и заемщиком в кредитном процессе; определения оптимальной процентной ставки кредитного контракта в зависимости от функций полезности кредитора и заемщика с учетом того, что среднерыночная процентная ставка, кредитная процентная ставка, доход заемщика и стоимость обеспечения кредита могут являться случайными функциями. Решение этих проблем требует разработки адекватных математических моделей финансово-экономических процессов при кредитных операциях, что и определило тему и постановку задач диссертационного исследования.

Цель и задачи исследования. Цель диссертационного исследования заключается в определении оптимальной процентной ставки кредитного контракта в стохастических условиях при наличии информационной симметрии. Достижение поставленной цели потребовало решения следующих задач:

- разработка статических и динамических экономико-математических моделей определения оптимальной ссудной процентной ставки в условиях когда стоимость обеспечения кредита, доход заемщика и среднерыночная процентная ставка являются случайными функциями, с учетом рисковых

предпочтений и дисконтных факторов обеих сторон сделки;

- вывод и решение дифференциальных уравнений, определяющих кредитную процентную ставку; анализ влияния стоимости обеспечения кредита дохода заемщика и среднерыночной процентной ставки на характеристики ссудной ставки в детерминированных и стохастических условиях;

- построение и анализ моделей, позволяющих определить оптимальную кредитную процентную ставку при наличии вероятности досрочной предоплаты кредита и дефолта заемщика.

Предмет и объект исследования. Предметом диссертационного исследования являются финансово-экономические процессы, возникающие при кредитных операциях. Объектом исследования оптимальная процентная ставка кредитного контракта.

Теоретическая и эмпирическая база исследования. Диссертационное исследование основано на фундаментальных разработках отечественных и зарубежных ученых-экономистов по теории кредита, финансовой математике, теории риска, экономике благосостояния, теории стохастической оптимизации. Информационно-документальной базой исследования являются законодательные и нормативные акты Правительства Российской Федерации и Центрального Банка России, регулирующие кредитную деятельность банков, а также собственные расчеты автора.

Представленное диссертационное исследование выполнено в рамках п. 1.6 «Математический анализ и моделирование процессов в финансовом секторе экономики, развитие метода финансовой математики и актуарных расчетов» паспорта специальности 08.00.13- математические и инструментальные методы экономики.

Методы исследования. В диссертации, в рамках системного подхода, использовались различные методы и приемы экономических исследований: монографический, сравнительный, динамического стохастического программирования, графический, расчетно-конструктивный.

Научная новизна работы заключается в развитии методологии математического моделирования кредитных контрактов на основе комплексного подхода к определению оптимальной кредитной процентной ставки. Конкретное приращение научного знания характеризуется следующими положениями:

- сформулирован подход к экономико-математическому описанию

оптимальной кредитной процентной ставки статическими и динамическими моделями в детерминированных и стохастических условиях (в предположении, что среднерыночная процентная ставка, стоимость обеспечения кредита и доход заемщика могут быть случайными функциями), с учетом рисковых предпочтений кредитора и заемщика и срока контракта;

- поставлена однопериодическая (статическая) задача для определения кредитной процентной ставки, максимизирующей ожидаемую полезность кредитора при фиксированной полезности заемщика. Получено аналитическое выражение для оптимальной кредитной процентной ставки. Показано, что при учете зависимости стоимости обеспечения кредита от среднерыночной процентной ставки оптимальная ссудная ставка зависит от отношения приращения стоимости обеспечения к сумме кредита. Проведены расчеты оптимальной кредитной процентной ставки при различных зависимостях стоимости обеспечения от среднерыночной процентной ставки и проанализировано соответствующее распределение риска между кредитором и заемщиком;

- предложено обобщение статической модели оптимальной ссудной ставки на ситуации, когда стоимость обеспечения кредита, доход заемщика и среднерыночная процентная ставка представляют собой случайные функции. Показано, что оптимальная кредитная процентная ставка зависит от рисковых предпочтений кредитора и заемщика, а также от предельных изменений в стоимости обеспечения кредита и доходе заемщика в зависимости от изменения рыночной процентной ставки. Проведены расчеты оптимальной ссудной ставки для различных сочетаний трех ситуаций: стоимость обеспечения кредита (доход чаемщика) не коррелированы со среднерыночной процентной ставкой, являются детерминированными функциями от среднерыночной процентной ставки и стохастически коррелированы со среднерыночной процентной ставкой;

- построены и проанализированы динамические (многопериодические) модели оптимальной кредитной процентной ставки (в условиях, когда стоимость обеспечения кредита, доход заемщика и среднерыночная процентная ставка являются случайными функциями), учитывающие дисконтные факторы и рисковые предпочтения кредитора и заемщика. Показано, что долгосрочный заем соответствует более высокой или более низкой ссудной процентной ставке по сравнению с краткосрочным в зависимости от знака корреляции между стоимостью обеспечения по кредиту и среднерыночной процентной ставкой. Установлено, что кредитные

контракты с переменной процентной ставкой могут быть Парето-оптимальными;

- предложены стохастические динамические модели оптимальной ссудной процентной ставки с учетом возможных экзогенных предоплат кредита и дефолта заемщика. Показано, что если стоимость обеспечения кредита положительно коррелирована со среднерыночной процентной ставкой, то увеличение либо вероятности предоплаты кредита (дефолта), либо неустойки за предоплату кредита (дефолт) уменьшает, при прочих равных условиях, степень зависимости оптимальной ссудной ставки от среднерыночной процентной ставки; отрицательная корреляция приводит к противоположному результату;

- построены модели оптимальной ссудной ставки, максимизирующие ожидаемую полезность заемщика при условии сохранения фиксированной полезности кредитора. Проанализировано влияние различных типов функций полезности, процентного риска, рисковых и дисконтных предпочтений сторон сделки и среднерыночной процентной ставки, на характеристики оптимальной кредитной ставки.

Практическая значимость исследования определяется тем, что разработанные в диссертации модели, методы и алгоритмы могут быть использованы кредитными учреждениями и заемщиками при выборе различных условий и схем кредитных контрактов. Разработанные в диссертационном исследовании статические и динамические модели позволяют обеим сторонам кредитной сделки оптимизировать ссудную процентную ставку в зависимости от уровня информации о ситуации (детерминированного или стохастического), которой располагает субъект, принимающий решение, об обеспечении кредита, доходе заемщика и среднерыночной процентной ставке, а также от срока кредита и от рисковых и дисконтных предпочтений сторон. Предложенные в диссертации динамические модели определения оптимальной кредитной процентной ставки с учетом возможных экзогенных предоплат кредита и дефолта заемщика позволяют кредитному учреждению строить кредитную ПОЛИТИКУ на основе количественной оценки кредитного риска и тем самым предотвращать рост дебиторской задолженности. Результаты диссертационного исследования использованы в учебном процессе при

* Под Экзогенными прелин laroîi креттз н дефолюм моштка понимаются нрс юшыгл и д|.фопг пероятипи ь кшорыч ЗЭДа^ТСЯ априори {в ОТЛИЧЖ ОТ ЭМДО! енных финанюно КНЧ НипрОП.НШЫЧ прс ЮН иты И Дефолт,I Ь01 и ira (ЛЦОЯТНОСТЬ должна апреле ттьсн в \0 и a/ia/m tj мо |ели)

разработке программ и учебных курсов по финансовым вычислениям, финансовой математике и экономико-математическому моделированию.

Апробация результатов исследования. Результаты и выводы диссертационного исследования докладывались автором на IV и V Всероссийских симпозиумах «Математическое моделирование и компьютерные технологии» (г. Кисловодск, 2002, 2004 гг.), региональных научных семинарах «Методология системных исследований в гуманитарных отраслях науки» (г. Волгоград, г. Кисловодск, г. Нальчик, 2000-2003 гг.).

Публикации. Основные положения диссертационного исследования отражены в 6 публикациях автора объемом 2,7 п.л.

Объем и структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка использованной литературы. Работа изложена на 130 страницах машинописного текста, содержит 4 таблицы и 12 рисунков.

Во введении обоснована актуальность темы исследования, дана характеристика степени изученности проблемы, изложена цель и задачи исследования, научная новизна и практическая значимость.

В первой главе «Понятие кредита. Методы количественного анализа кредитных операций» рассматривается необходимость и экономическая сущность кредита, анализируются функции и законы кредита, формы и виды кредита. Рассматриваются понятия кредитного и процентного риска, а также критерии кредитоспособности клиента. Характеризуются различные виды процентных ставок, операции наращения и дисконтирования по простым и сложным процентным ставкам. Анализируются различные схемы погашения долгосрочной ссуды в рассрочку. Обсуждается методология измерения доходности различных кратко- и долгосрочных финансовых инструментов.

Во второй главе «Статические модели оптимальной кредитной процентной ставки» формулируется однопериодическая задача определения кредитной процентной ставки, максимизирующей ожидаемую полезность кредитора при сохранении фиксированной полезности заемщика. Сначала исследуется статическая модель, в которой стоимость обеспечения является детерминированной функцией рыночной процентной ставки, и обеим сторонам сделки при заключении контракта известен будущий доход заемщика.

Далее рассматривается обобщенная статическая модель, в которой стоимость обеспечения кредита, будущий доход заемщика и среднерыночная процентная ставка являются совместно распределенными случайными

переменными.

В третьей главе «Динамические модели оптимальных процентных ставок в кредитных контрактах» построено динамическое обобщение статических моделей предыдущей главы на несколько периодов и предложена серия моделей, соответствующих различному сочетанию детерминированных и стохастических характеристик обеспечения кредита и дохода заемщика, коррелированных и некоррелированных со среднерыночной процентной ставкой. Далее динамическая модель распространена на ситуации, предполагающие возможность экзогенных предоплат кредита и дефолт заемщика. Предложена и проанализирована модель оптимального кредитного контракта с корректируемой процентной ставкой, максимизирующей ожидаемую полезность заемщика при сохранении фиксированной полезности кредитора.

В заключении содержатся основные теоретические и практические выводы по проведенному диссертационному исследованию.

ОСНОВНЫЕ НАУЧНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ, РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

В диссертации представлена серия статических и динамических моделей различной сложности, позволяющих рассчитать оптимальную процентную ставку кредитного контракта. Модели основываются на следующих принципиальных предположениях. Кредитный рынок считается конкурентным, так что существует минимальный ненулевой спред между ссудной процентной ставкой и среднерыночной процентной ставкой, ниже которого кредитование невозможно. Экономические агенты (кредитор и заемщик) максимизируют ожидаемую полезность со строго возрастающими предпочтениями. Функция полезности кредитора Еу считается слабо вогнутой (т.е. кредитор может нейтрально относиться к риску или быть отвергающим риск). Функция полезности заемщика Еи считается строго вогнутой (т.е. заемщик считается отвергающим риск). Начальная стоимость обеспечения кредита Уо и сумма кредита известны. При заключении контракта кредитор занимает на рынке и предоставляет заемщику кредит в сумме 2„, который кредитор возвращает в конце срока с процентами по существующей среднерыночной процентной ставке д. Разницу между стоимостью обеспечения кредита и размером кредита заемщик доплачивает из собственных средств. Заемщик возвращает кредит с процентами по кредитной ставке () в конце срока. Стоимость обеспечения К(.в), доход заемщика у и среднерыночная процентная ставка 8 представляют собой случайные величины, совместная плотность распределения вероятностей

которых определяется функцией ЩУу^)- Доход у является частью совокупного дохода заемщика у\, не связанной с рентой, получаемой от владения обеспечением. Условные функции распределения определяются следующим образом:

где №) - плотность распределения вероятностей среднерыночной процентной ставки.

Ожидаемые функции полезности кредитора и заемщика в статической (одноперлодической) модели принимают вид:

Еи = |({£/(г, + V -(1 +ф))20)с{У,у/^Ус1у)/Ш<. (2)

Предполагаем, что кредитному контракту с оптимальной процентной ставкой соответствует предлагаемая кредитором и принимаемая заемщиком процентная ставка, максимизирующая ожидаемую функцию полезности кредитора, обеспечивая заемщику сохранение его ожидаемой полезности. Эта задача максимизации при наличии ограничения может быть решена вариационным методом Лагранжа-Гамильтона. В случае постоянного абсолютного неприятия риска заемщика и кредитора оптимальная ссудная ставка определяется уравнением

с!г

Уу_

в котором функционал

Ж У и + Ум (ги+Уу)7- О '

ЛМГ/ чМ

с!Ус!у

П/1и\С])с(У,у/.^Ус1у

(3)

(4)

с,=>-+и-(1+ф))го

представляет собой меру предельного изменения в стоимости обеспечения и доходе заемщика как реакцию на изменение среднерыночной процентной

и

V

(/ =-тт и Г, =" .

"О 'V

риска заемщика и кредитора соответственно. Поскольку

ставки, а у ---и у =--- коэффициенты абсолютного неприятия

с!ч А ¿5

можно представить это предельное изменение в виде суммы двух

составляющих

где первое слагаемое в правой части представляет собой предельное изменение в стоимости обеспечении кредита, а второе слагаемое есть предельное изменение дохода заемщика.

Анализ существенно упрощается в том случае, если до\од заемщика и стоимость обеспечения являются либо детерминированными функциями среднерыночной процентной ставки, либо распределены нормально. В первом случае получаем

А-

1 * '

Г2{ =■ 1 сЬ

Направление воздействия стоимости обеспечения (дохода заемщика) на кредитную ставку, т.е. рост или снижение наклона оптимальной ссудной

ставки относительно среднерыночной, Величина эффекта определяется абсолютными значениями

м

М-

Аналогично, если стоимость обеспечения и доход заемщика стохастически коррелированы со среднерыночной процентной ставкой, получаем

I ~~

С7с

Знак коэффициента корреляции ку , и к, , определяет направление

влияния изменения стоимости обеспечения (дохода заемщика) на крутизну кривой, определяющей оптимальную ссудную ставку, а отношение средних квадратических отклонений определяет величину изменения крутизны указанной кривой. В табл.1 приведены результаты вычисления для трех различных ситуаций: обеспечение кредита (доход заемщика) некоррелированы со среднерыночной процентной ставкой ()тот случай обозначен являются детерминированными функциями от

среднерыночной ставки (случай В) и стохастически коррелированы со среднерыночной ставкой (случай 8). Каждый элемент матрицы, задаваемой табл.1, представляет собой специфическую модель. В качества примера рассмотрим модель ВВ. В этом случае решение уравнения (3) имеет вид:

П;

>о

(5)

Га+Ух' п/+Уг 7о

Оптимальная ссудная ставка зависит, таким образом, о г отношения

коэффициентов абсолютного неприятия риска кредитора и заемщика и от отношения суммы приращений стоимости обеспечения кредита и дохода заемщика к сумме кредита.

Из (5) следует, что изменение среднерыночной процентной ставки приводит к изменению оптимальной ссудной ставки как непосредственно -при распределении риска, связанного со среднерыночной процентной ставкой (второе слагаемое), - так и неявно, воздействуя на стоимость обеспечения кредита и доход заемщика (третье слагаемое). Влияния стоимости обеспечения и дохода заемщика могут усиливать друг друга, если производные ¿/К/Л и с/у/с/я имеют одинаковый знак, и подавлять друг друга,

если знаки этих производных противоположны.

Таблица 1

Выражения в статической модели

Доход иемшпка Обеспечение кредита

N й 5

N 0 с/У с/з кУ.з-

й ф с/У с/у с/в с/5 аУ л-к' аУ —+лг 4- "5

5 КУ.$ - с/У к,.,-2-*— ау Л Г аУ К}.!, -+ КУ^- а, <7$

На рис. 1 показана зависимость оптимальной кредитной процентной ставки от среднерыночной процетной ставки. Нетрудно видеть, что оптимальная ссудная ставка наибольшая, когда стоимость обеспечения и доход заемщика одновременно возрастают с ростом среднерыночной процентной ставки, и наименьшая в противоположной ситуации. Оптимальная кредитная ставка, определяемая уравнением

находится между указанными экстремальными положениями и соответствует ситуации, когда эффекты изменения дохода заемщика и стоимости обеспечения в зависимости от среднерыночной процентной ставки уравновешивают друг друга:

Рис. 1. Оптимальная кредитная ставка в модели DD в зависимости от среднерыночном процентной ставки

1 V(s) = const >(i)= const

2 r(O = 0,3(exp(0,3s) + i) >(s) = 0,2(exp(0,2s)+I)

. F(i) = 0,3(exp(-0,3i) +1) = 0,2(exp(-0,2i)+ I)

# - ciавка по кредитам установленная Сбербанком РФ (2002-2004i г ) Д - ставка по кредитам }стан0влснная Ставроно ».Промстройбанком (2002-2004[ г )

Источник авторские расчеты

Заметим, что модель, предполагающая независимость стоимости обеспечения кредита и дохода заемщика от среднерыночной процентной ставки, приводит к выводу о том, что оптимальная кредитная ставка никогда не уменьшается с ростом среднерыночной процентной ставки, и что нейтрально относящийся к риску кредитор должен принимать на себя весь процентный риск (т.е. контракт с корректируемой (плавающей) процентной ставкой будет оптимальным только в том случае, если кредитор является отвергающим риск). Эти выводы несправедливы при сделанных в предложенной модели соответствующих реальности предположениях о зависимости стоимости обеспечения кредита и дохода-заемщика от среднерыночной процентной ставки. Фактически, как следует из проведенного анализа, оптимальная ссудная ставка может увеличиваться или уменьшаться при увеличении среднерыночной процентной ставки. Если стоимость обеспечения кредита является возрастающей функцией среднерыночной процентной ставки, обладание такой собственностью обеспечивает хедж против процентного риска. Например, если кредитор нейтрально относится к риску то при

постоянном доходе заемщика для ссудной процентной ставки получаем г(?) = г0+-г- Обеспечение кредита в этом случае служит идеальным хеджем против процентного риска, который заемщик полностью принимает на себя.

При наиболее простом распределении процентного риска между кредитором и заемщиком, описываемом уравнением (6), увеличение коэффициента абсолютного неприятия риска кредитора увеличивает наклон оптимальной ссудной ставки, в то время как увеличение коэффициента абсолютного неприятия риска заемщика уменьшает его при прочих равных условиях. Когда стоимость обеспечения кредита и/или доход заемщика являются стохастическими, имеют место равенства:

Несмотря на то, что увеличение коэффициента абсолютного неприятия риска кредитора имеет эффект, противоположный увеличению коэффициента абсолютного неприятия риска заемщика при прочих равных условиях, в этом случае имеется существенное отличие от ситуации, описываемой уравнением (6). Знак совокупного эффекта изменения этих коэффициентов может быть положительным или отрицательным в зависимости от степени изменения

(7)

отношения совокупного благосостояния заемщика к сумме кредита П|//() . В частности, увеличение коэффициента абсолютного неприятия риска кредитора приводит к увеличению оптимальной ссудной ставки только в том случае, когда совокупное благосостояние заемщика не увеличивается слишком быстро с ростом среднерыночной ставки (т.е. при Если

= 1, изменение коэффициента абсолютного неприятия риска кредитора (заемщика) не приводит к изменению оптимальной кредитной процентной ставки. Наконец, при увеличение коэффициента абсолютного

неприятия риска кредитора приводит к понижению оптимальной ссудной ставки. Одновременное увеличение коэффициента абсолютного неприятия риска кредитора и отношения приращения благосостояния заемщика к сумме кредита оказывают взаимно противоположное воздействие на оптимальную кредитную ставку. Если увеличение коэффициента абсолютного неприятия риска кредитора доминирует, совокупный эффект положителен (т.е. оптимальная кредитная процентная ставка увеличивается); если увеличение отношения приращения благосостояния заемщика к сумме кредита превалирует, совокупный эффект отрицателен (т.е. оптимальная кредитная ставка понижается); наконец, при оба эффекта балансируют друг

друга, и оптимальная кредитная процентная ставка не меняется.

При построении динамической двухпериодической модели кредитного контракта (обобщение теории на произвольное число периодов не представляет принципиальных трудностей) предполагаем, что стоимость обеспечения кредита Г , доход заемщика у и среднерыночная процентная ставка являются случайными величинами, плотность распределения вероятностей которых (доход заемщика у и стоимость обеспечения

кредита V некоррелированы) обладает свойством межвременной инвариантности. Ожидаемые функции полезности кредитора и заемщика записываются в виде:

Ег(/ = <! + 5){у[(ф) _ , (8)

Сх=у-ф)2^ (9)

где б,р - субъективные дискЪнжыё^'(фаакгоры ^^рЬдитора и заемщика. В диссертации получено уравнение, связывающее динамическ>ю и статическую оптимальные ссудные ставки:

+ Л Ог +/,)?<>

I + -- exp/j I P

Q. и /

сравнительного анализа оптимальных кредитных ставок в долгосрочном и краткосрочном периодах с использованием различных моделей, представленных в табл. 1,2.

Установлено, что если доход заемщика некоррелирован со среднерыночной процентной ставкой, то положительный наклон статической кривой, определяющей оптимальную кредитную ставку, гарантирует, что динамическая оптимальная кредитная ставка будет возрастающей функцией среднерыночной процентной ставки. Если доход заемщика одинаков в обоих периодах и то динамическая оптимальная кредитная ставка ниже

статической. При сН'/с/ч < 0 динамическая оптимальная ссудная ставка не только выше соответствующей статической, но и является возрастающей функцией, в то время как статическая ставка убывает. Таким образом, в этом случае нет принципиального отличия динамической модели с возрастающей стоимостью обеспечения кредита от динамической модели с убывающей стоимостью обеспечения, хотя во втором случае оптимальная кредитная ставка ниже.

Если доход заемщика во втором периоде значительно-превосходит доход в первом периоде, динамические модели практически не отличаются от статической модели (6) (если доход заемщика существенно возрастает во втором периоде, роль стоимости обеспечения в установлении оптимальной кредитной ставки снижается). Если доход заемщика во втором периоде будет существенно ниже дохода в первом периоде, стоимость обеспечения кредита, напротив, играет главную роль в определении оптимальной ссудной ставки. Сказанное иллюстрируется рис. 2 для модели МБ табл. 2. Анализ показывает, что динамические оптимальные кредитные ставки часто гораздо слабее реагируют на изменения среднерыночной процентной ставки по сравнению с соответствующими статическими оптимальными кредитными ставками. Иначе говоря, фиксированная кредитная ставка лучше аппроксимирует долгосрочные, чем краткосрочные контракты.

Влияние рисковых предпочтений сторон кредитной сделки на оптимальную ссудную ставку в динамических моделях определяется следующими соотношениями:

(П)

Рис 2 Оптимальные кредитные ставки в зависимости от среднерыночной процентной ставки

1 : F(s) = const, у (л ) = const (статическая модель),

2: V(s) = const ; у т - 11 = 1 (динамическая модель ND)-,

3' V{s)= 0,3(exp(0,3v) + I), vi ->•] =-1,8 (динамическая модель ND),

4- T(s) = 0,3(exp(0,3s)+I), _>•(%) = const (статическая модель).

Источник авторскиерасчсim

Сравнение с (7) показывает, что равенсгво (12) содержит дополнительное слагаемое в правой части. Поэтому увеличение коэффициентов абсолютного неприятия риска кредитора и заемщика не всегда оказывает противоположное воздействие на оптимальную ссудную ставку, как это имеет место в динамических моделях.

В диссертации показано, что кредитные контракты с переменной процентной ставкой в стохастических условиях могут быть Парето-оптимальными. В частности, если стоимость обеспечения кредита и/или будущий доход заемщика положительно коррелированы со среднерыночной процентной ставкой, оптимальные кредитные контракты будут распределять большую часть риска, связанного с процентной ставкой, на заемщика (а меньшую часть на кредитора). Этот результат имеет место потому, что положительная корреляция между стоимостью обеспечения кредита (доходом заемщика) и среднерыночной процентной ставкой упрощает заемщику выплаты по кредиту в сл>чае повышения среднерыночной процентной ставки. Это, в свою очередь, позволяет кредитору получать более высокие кредитные процентные ставки, уменьшая тем самым подверженность своего благосостояния процентному риск без ухудшения благосостояния заемщика.

Продемонстрируем, как предложенные модели могут учитывать досрочную предоплату кредита и дефолт заемщика. Экзогенная предоплата может быть вызвана непредвиденными обстоятельствами, например, продажей обеспечения кредита в связи с болезнью или переездом. Заемщик выплачивает фиксированию неустойку Г в момент предоплаты, имеющей вероятность Ожидаемые функции полезности кредитора и заемщика принимают следующий вид:

где у^/.С/^ функции полезности, определяемые системой (8), (9). Получено аналитическое решение максимизации ожидаемой полезности кредитора при фиксированной полезности заемщика. Оптимальная кредитная ставка определяется соотношением:

ЕУЛ/> =/>|»<(г(О-»)г0+Г)/{»)4йг + (1-А>)£у4/> (13) ^¿.р=Р\и{>' 1 +П?)-(и/-(О)70-Г)/Ч^+(1-р)£г/(/, (14)

>"</./>(•*) ='О +

1+(ехр(п,1(0))Ур6

(15)

Г и + Гу (У(Г + Г г 1 + (ехрОг-\(.ч)))/рЬ '

Проведен сравнительный анализ моделей оптимальной кредитной процентной ставки без предоплаты и с вероятностью предоплаты. Установлено что,

sign

' д drd,«p 8Г ds

■ sign

' a dl\l.f

Sp ch

Поэтому, если стоимость обеспечения кредита положительно коррелирована со среднерыночной процентной ставкой, то увеличение либо вероятности предоплаты, либо неустойки за предоплату, при прочих равных условиях, уменьшает крутизну зависимости оптимальной кредитной ставки от среднерыночной и наоборот. Если стоимость обеспечения кредита положительно коррелирована со среднерыночной процентной ставкой, то оптимальная динамическая ссудная ставка с учетом предоплаты слабее реагирует на изменение среднерыночной процентной ставки, чем аналогичная оптимальная кредитная ставка без предоплаты:

ds

<К

ds

!L<^L<

dr

\t ds

(16)

Если стоимость обеспечения кредита отрицательно коррелирована со среднерыночной процентной ставкой, знаки неравенств меняются на противоположные:

(17)

Наконец, если стоимость обеспечения кредита и среднерыночная ставка некоррелированы, неравенства превращаются в равенства. В диссертации проведены расчеты оптимальных ссудных ставок при различных зависимостях стоимости обеспечения и дохода заемщика от среднерыночной ставки, иллюстрирующие неравенства (16), (17).

При модификации моделей с учетом дефолта предполагаем, что для каждого уровня будущего дохода заемщика у существует вероятность дефолта В случае дефолта кредитор получает

пропорциональные издержки процедуры банкротства, а заемщик сохраняет доход у. Анализ влияния дефолта на оптимальное решение в рамках статической модели МБ табл. 1 показывает, что оптимальная кредитная

процентная ставка в этом случае идентична кредитной ставке без дефолта, определяемой уравнением (3) Для динамической модели такая ситуация места не имеет. Возможность несостоятельности заемщика изменяет оптимальную ссудную ставку. Например, для модели ЫБ табл. 2 (доход заемщика некоррелирован со среднерыночной процентной ставкой, так что а обеспечение кредита является детерминированной функцией среднерыночной процентной ставки) получаем следующее дифференциальное уравнение, определяющее оптимальную, кредитную ставку

в котором

(18)

(19)

Из уравнений (18), (19) следует, что если доход заемщика некоррелирован со среднерыночной процентной ставкой, то экзогенный дефолт" ренормпрует дисконтный фактор заемщика следующим образом:

Возможность дефолта заемщика, таким образом, делает кривую, определяющую оптимальную кредитную процентную ставку, менее крутой, т.е. принципиальное влияние возможности дефолта на оптимальную ссудную ставку такое же, как и возможности экзогенных предоплат. Следует заметить, что если доход заемщика и среднерыночная процентная сивка коррелированы, то оптимальная динамическая кредитная ставка МОАС1 измениться существенно в силу взаимодействия между вероятностью дефолта и среднерыночной процентной ставкой.

Результаты исследования свидетельствуют о том. что в некоторых ситуациях статическая и динамическая кредитная процентная ставка практически совпадают или достаточно близки друг к другу, тогда как мри других параметрах задачи статическая и динамическая процентная ставка могут существенно отличаться, приводя к диаметрально противоположным результатам. При соответствующих реальности допущениях кредитная процентная ставка для многопериодической динамической модели часто

более слабо реагирует на изменения среднерыночной процентной ставки, чем соответствующая ссудная ставка для статической модели, что делает кредитные контракты с фиксированной процентной ставкой более близкими к оптимальным. Этим могут объясняться данные о том, что при отсутствии на кредитном рынке оптимальных контрактов долгосрочные заемщики предпочитают контракты с фиксированной процентной ставкой, в то время как краткосрочные заемщики предпочитают контракты с корректируемой (плавающей) ссудной процентной ставкой. Эти выводы усиливаются при наличии вероятности досрочных предоплат кредита и дефолта со стороны заемщика.

Основные положения диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Журавлев Д С. Однопериодическая модель оптимальной процентной ставки кредитного контракта// Приложение к журналу «Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Общественные науки». 2002, №1.-0.7 п.л.

2. Журавлев Д С. Статические стохастические модели оптимальной ссудной процентной ставки // Приложение к журналу «Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Общественные науки». 2002, №2. -0,4 п.л.

3. Журавлев ДС, Наталуха И А Динамические стохастические модели оптимальной процентной ставки кредитного контракта // Научные исследования: экономика и право. - Кисловодск: КИЭП, 2003, №1. - 0,7 пл. (в т.ч. автора 0,5 п.л.).

4. Журавлев Д С. Стохастические динамические модели оптимальных кредитных контрактов с учетом досрочной предоплаты кредита и дефолта заемщика // Научные исследования: экономика и право. - Кисловодск: КИЭП, 2003, №2. - 0,4 п.л

5. Журавлев Д.С. Оптимальные кредитные контракты с корректируемой процентной ставкой, максимизирующие ожидаемую полезность заемщика //Современные научные исследования. - Кисловодск: КИЭП, 2004, № 1. -0,5 п.л.

6. Журавлев Д С. Моделирование оптимальных процентных ставок краткосрочного и долгосрочного кредита // Материалы VI Всероссийского симпозиума « математическое моделирование и компьютерные технологии». Кисловодск, 2004.0,2 п л.

Подписано в печать 6.02.04 г. Формат 60x84/1 б. Бумага типографская №1 Гарнитура Тайме. Усл. печ. 1,5. Тираж 100 экз. Заказ 304 Издательский центр Кисловодского института экономики и права Лицензия на полиграфическую деятельность ВРО 100558 Лицензия на издательскую деятельность ВРО 100559 357700, Кисловодск, ул. Розы Люксембург, 42

4507

Диссертация: содержание автор диссертационного исследования: кандидата экономических наук, Журавлев, Дмитрий Сергеевич

Введение.

Глава 1. Понятие кредита. Методы количественного анализа кредитных операций.

1.1. Необходимость и сущность кредита. Функции и законы кредита. Формы и виды кредита.

1.2. Кредитный и процентный риски. Понятие и критерии кредитоспособности клиента.

1.3. Виды процентных ставок.

1.4. Наращение и дисконтирование по простым и сложным процентным ставкам. Погашение ссуды в рассрочку.

1.5. Измерение доходности кредитных операций.

Глава 2. Статические модели оптимальной кредитной процентной ставки.

2.1. Функции полезности и измерение степени неприятия риска.

2.2. Однопериодическая модель оптимальной кредитной tr процентной ставки.

2.3. Статическая стохастическая модель оптимальной кредитной процентной ставки.

Глава 3. Динамические модели оптимальной кредитной процентной ставки.

3.1. Детерминированная динамическая модель оптимальной процентной ставки кредитного контракта.

3.2. Стохастическая динамическая модель оптимальной t процентной ставки кредитного контракта.

3.3. Стохастическая динамическая модель оптимальной процентной ставки кредитного контракта, учитывающая вероятность экзогенной досрочной предполаты кредита

3.4. Стохастическая динамическая модель оптимальной процентной ставки кредитного контракта, учитывающая вероятность экзогенного дефолта.

3.5. Оптимальные кредитные контракты с корректируемой процентной ставкой, максимизирующие ожидаемую полезность заемщика.

Диссертация: введение по экономике, на тему "Моделирование оптимальной процентной ставки кредитного контракта"

Актуальность темы исследования. Кредит является опорой экономики, неотъемлемым элементом экономического развития. В современном хозяйстве кредит функционирует как капитал. Это означает, что кредитор передает заемщику ссуженную стоимость не как сумму денег, а как возрастающую стоимость, которая возвращается к нему с приращением в виде ссудного процента. Заемщик же полученные средства должен использовать таким образом, чтобы с их помощью можно было не только обеспечить непрерывность производства, но и создать новую стоимость, достаточную, чтобы рассчитаться с кредитором - возвратить ему первоначально авансированную сумму и уплатить ссудный процент. Кредит, таким образом, способствует непрерывности, ускорению и расширению производства и реализации продукции.

В условиях современной России, когда ставка рефинансирования уменьшается, а фондовый рынок весьма далек от совершенства и характеризуется нестабильностью и низкой доходностью, кредитование становится основным источником дохода для многих банков. Однако увеличение объемов кредитования сопровождается, как правило, ростом дебиторской задолженности. Это выдвигает в ряд фундаментальных задач кредитного учреждения эффективное управление кредитным портфелем, определение оптимальной процентной ставки кредитования, в том числе с учетом возможности дефолта и досрочного погашения кредита заемщиком, а также управление процентным и кредитным риском.

Достоверные количественные результаты, касающиеся размера кредитных процентных ставок в зависимости от среднерыночной (депозитной) процентной ставки, обеспечения кредита, дохода заемщика и сроков кредита, могут быть получены в рамках строгих экономико-математических моделей г финансово-экономических взаимоотношений кредитора и заемщика. Этим и определяется актуальность диссертационного исследования.

Степень изученности проблемы. Роль кредита в развитии экономики, а также функции и законы кредита активно исследуются в трудах отечественных ученых И.А.Бланка, С.Л.Ермакова, Е.Ф. Жукова, В.В.Ковалева, JI.H. Красавиной, О.И.Лаврушина, Г.С. Пановой, Е.А.Рассказова, Н.Э.Соколинской, Е.С. Стояновой, М.М.Ямпольского, а также зарубежных ученых Ф.Аллена, Р.Брейли, Д.Гейла, Д.Даймонда, Х.Курца, С.Майерса, Дж.Сиики, Х.Таха, Е.Фамы, Дж.Хикса, Р.Холта, В.Хорна.

Исследования, посвященные моделированию кредитного процесса, включают анализ алгоритмов оптимизации распределения средств кредитных организаций, основанный на развитии принципов классической портфельной теории Г.Марковица, Д.Тобина, У.Шарпа (И.Э.Амелин, З.М.Цирихова, И.Ф.Цисарь, Р.Джонс, Дж.Ингерсолл, Д.Никерсон, С.Росс); прогнозирование потоков платежей, по кредитному портфелю (А.А.Солянкин, А.В.Бородин, А.И.Екушов, М.А.Поморина, Е.Фама, Е.Элтон); модели оценки кредитоспособности заемщика (И.А.Киселева, Д.А.Парфенов, Дж.Брукнер, Д.Джаффи, Х.Леланд, Е.Маскин, Дж.Стиглиц).

Анализу кредитного и процентного риска, а также управления рисками посвящены работы В.П.Буянова, Г.Гулиера, Ю.Ф.Касимова, К.А.Кирсанова, П.В.Конюховского, К.А.Кирсанова, П.Г.Первозванского, К.Рэдхэда, К.Стокера, Д.Хуммеля.

Теории финансовых рент, анализу различных процентных ставок, 4 разработке планов погашения долгосрочных займов, реструктурированию займов и другим вопросам финансовой математики посвящены работы \ Г.П.Башарина, В.В.Капитоненко, Ю.Ф.Касимова, В.Б.Кутукова, В.И.Малыхина, Е.М.Четыркина. С.Брауна, Дж.Кау, П.Картледжа, М.Кришмена, Р.Стентопа.

Вместе с тем, недостаточно изучены вопросы распределения процентного и кредитного риска между кредитором и заемщиком в кредитном процессе; определения оптимальной процентной ставки кредитного контракта в зависимости от функций полезности кредитора и заемщика с учетом того, что среднерыночная процентная ставка, кредитная процентная ставка, доход заемщика и стоимость обеспечения кредита могут являться случайными функциями. Решение этих проблем требует разработки адекватных математических моделей финансово-экономических взаимоотношении кредитора и заемщика, что и определило тему и постановку задач диссертационного исследования.

Цель и задачи исследования. Цель диссертационного исследования заключается в определении оптимальной процентной ставки кредитного контракта в стохастических условиях при наличии информационной симметрии. Достижение поставленной цели потребовало решения следующих задач:

- разработка статических и динамических экономико-математических моделей определения оптимальной ссудной процентной ставки в условиях, когда стоимость обеспечения кредита, доход заемщика и среднерыночная процентная ставка являются случайными функциями, с учетом рисковых предпочтений и дисконтных факторов обеих сторон сделки;

- вывод и решение дифференциальных уравнений, определяющих кредитную процентную ставку; анализ влияния стоимости обеспечения кредита, дохода заемщика и среднерыночной процентной ставки на характеристики ссудной ставки в детерминированных и стохастических условиях;

- построение и анализ моделей, позволяющих определить оптимальную кредитную процентную ставку при наличии вероятности досрочной а предоплаты кредита и дефолта заемщика. \

Предмет и объект исследования. Предметом диссертационного исследования являются финансово-экономические процессы, возникающие при кредитных операциях. Объектом исследования оптимальная процентная ставка I кредитного контракта.

Теоретическая и эмпирическая база исследования. Диссертационное исследование основано на фундаментальных разработках отечественных и зарубежных ученых-экономистов по теории кредита, финансовой математике, теории риска, экономике благосостояния, теории стохастической оптимизации. Информационно-документальной базой исследования являются законодательные и нормативные акты Правительства Российской Федерации и Центрального Банка России, регулирующие кредитную деятельность банков, а также собственные расчеты автора. *

Представленное диссертационное исследование выполнено в рамках п. 1.2 «Теория и методология экономико-математического моделирования, исследование его возможностей и диапазонов применения: теоретические и методологические вопросы отображения социально-экономических процессов и систем в виде математических, информационных и компьютерных моделей» и п. 1.6 «Математический анализ и моделирование процессов в финансовом секторе экономики, развитие метода финансовой математики и актуарных расчетов» паспорта специальности 08.00.13- математические и инструментальные методы экономики. ■

Методы исследования. В диссертации у в рамках системного подхода, использовались различные методы и приемы экономических исследований: монографический, сравнительный, динамического стохастического программирования, графический, расчетно-конструктивный.

Научная новизна работы заключается в развитии методологии математического моделирования кредитных контрактов на основе \ комплексного подхода к определении^ оптимальной кредитной процентной ставки. Конкретное приращение научного знания характеризуется следующими положениями:

- сформулирован подход к экономико-математическому описанию оптимальной кредитной процентной ставки статическими и динамическими моделями в детерминированных и стохастических условиях, когда среднерыночная процентная ставка, стоимость обеспечения кредита ч доход заемщика могут быть случайными функциями, с учетом рисковых предпочтений кредитора и заемщика и срока контракта;

- поставлена однопериодическая (статическая) задача для определения кредитной процентной ставки, максимизирующей ожидаемую, полезность кредитора при фиксированной полезности заемщика. Получено аналитическое выражение для оптимальной кредитной процентной ставки. Показано, что при учете зависимости стоимости обеспечения кредита от среднерыночной процентной ставки оптимальная ссудная ставка зависит от отношения приращения стоимости обеспечения к сумме кредита. Проведены расчеты оптимальной кредитной процентной ставки при различных зависимостях стоимости обеспечения от среднерыночной процентной ставки и проанализировано соответствующее распределение риска между кредитором и заемщиком;

- предложено обобщение статической модели оптимальной ссудной ставки на ситуации, когда стоимость обеспечения кредита, доход заемщика и среднерыночная процентная ставка представляют собой случайные функции. Показано, что оптимальная кредитная процентная ставка зависит от рисковых предпочтений кредитора и заемщика, а также от предельных изменений в стоимости обеспечения кредита и доходе заемщика в зависимости от изменения рыночной процентной ставки. Проведены расчеты оптимальной ссудной ставки для различных сочетаний трех ситуаций: стоимость обеспечения кредита (доход заемщика) некоррелированы со среднерыночной процентной ставкой, являются детерминированными функциями от среднерыночной процентной ставки и стохастически коррелированы со среднерыночной процентной ставкой;

- построены и проанализированы динамические (многопериодические) модели оптимальной кредитной процентной ставки (в условиях, когда стоимость обеспечения кредита, доход заемщика и среднерыночная процентная ставка являются случайными функциями), учитывающие дисконтные факторы и рисковые предпочтения кредитора и заемщика. Показано, что долгосрочный заем соответствует более высокой или более низкой ссудной процентной ставке по сравнению с краткосрочным в зависимости от знака корреляции между стоимостью обеспечения по кредиту и среднерыночной процентной ставкой. Установлено, что кредитные контракты с переменной процентной ставкой могут быть Парето-оптимальными;

- предложены стохастические динамические модели оптимальной ссудной процентной ставки с учетом возможных экзогенных предоплат кредита и дефолта заемщика. Показано, что если стоимость обеспечения кредита положительно коррелирована со среднерыночной процентной ставкой, то увеличение либо вероятности предоплаты кредита (дефолта), либо неустойки за предоплату кредита (дефолт) уменьшает, при прочих равных условиях, степень зависимости оптимальной ссудной ставки от среднерыночной процентной ставки; отрицательная корреляция приводит к противоположному результату;

- построены модели оптимальной ссудной ставки, максимизирующие ожидаемую полезность заемщика при условии сохранения фиксированной полезности кредитора. Проанализировано влияние различных типов функций полезности, процентного риска, рисковых и дисконтных предпочтений сторон сделки и среднерыночной процентной ставки, на характеристики оптимальной кредитной ставки.

Практическая значимость исследования определяется тем, что разработанные в диссертации модели, методы и алгоритмы могут быть \ использованы кредитными учреждениями и заемщиками при выборе различных условий и схем кредитных контрактов. Разработанные в диссертационном исследовании статические и динамические модели позволяют обеим сторонам кредитной сделки оптимизировать ссудную процентную ставку в зависимости от уровня информации о ситуации (детерминированного или стохастического), которой располагает субъект, принимающий решение, об обеспечении кредита, доходе заемщика и среднерыночной процентной ставке, а также от срока кредита и от рисковых и дисконтных предпочтений сторон. Предложенные в диссертации динамические модели определения оптимальной кредитной процентной ставки с учетом возможных экзогенных предоплат кредита и дефолта заемщика позволяют кредитному учреждению строить кредитную политику на основе количественной оценки кредитного риска и тем самым предотвращать рост дебиторской задолженности. Результаты диссертационного исследования использованы в учебном процессе при разработке программ и учебных курсов по финансовым вычислениям, финансовой математике и экономико-математическому моделированию.

Апробация результатов исследования. Результаты и выводы диссертационного исследования докладывались автором на IV и V Всероссийских симпозиумах «Математическое моделирование в компьютерные технологии» (г. Кисловодск, 2000, 2002 гг.), региональных научных семинарах «Методология системных исследований в гуманитарных отраслях науки» (г. Волгоград, г. Кисловодск, г. Нальчик, 2000-2003 гг.). ъ

Публикации. Основные положения диссертационного исследования отражены в 5 публикациях автора объемом 2,4 п.л.

Объем и структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка использованной литературы. Работа . изложена на 130 страницах машинописного текста, содержит 4 таблицы и 12 рисунков.

Диссертация: заключение по теме "Математические и инструментальные методы экономики", Журавлев, Дмитрий Сергеевич

Результаты исследования свидетельствует о том, что в некоторых ситуациях статическая и динамическая кредитная процентная ставка практически совпадают или достаточно близки друг к другу, тогда как при других параметрах системы статическая и динамическая ставки; могут существенно отличаться, приводя к диаметрально противоположным результатам. При правдоподобных предположениях оптимальная кредитная процентная ставка для межвременной динамической модели часто демонстрирует более слабую реакцию на изменения рыночной процентной ставки, делая кредитные контракты с фиксированной процентной ставкой более близкими к оптимальным. Этим может объясняться тот факт, почему при отсутствии оптимальных контрактов долгосрочные заемщики предпочитают контракты с фиксированной процентной ставкой, в то время как краткосрочные заемщики предпочитают контракты с корректируемой (плавающей) процентной ставкой [80, 81]. Эти выводы усиливаются при наличии вероятности экзогенных досрочных предоплат контракта и дефолта со стороны заемщика.

Предложенные модели открывают пути дальнейшего исследования структуры оптимальных кредитных контрактов. Нетрудно распространить предложенные модели на несколько периодов. Предварительный анализ показывает, что в качественном плане все основные результаты остаются без изменений. Нетрудно также учет трансакционных издержек и налогов. Отказ от предположения о том, что совместные плотности распределения одинаковы в каждом периоде, также не представляет принципиальных затруднений и может привести к интересным результатам. Существенным обобщением модели будет учет эндогенных предоплаты и дефолта. Анализ оптимального кредитного контракта с учетом эндогенного дефолта потребует решения нетривиальной системы с обратной связью.

3.5. Оптимальные кредитные контрасты с корректируемой процентной ставкой, максимизирующие ожидаемую полезность заемщика

В предыдущих разделах рассматривались различные постановки задачи максимизации ожидаемой полезности кредитора при условии сохранения фиксированной полезности заемщика. В этом разделе рассматривается задача максимизации ожидаемой полезности заемщика при условии, что ожидаемая полезность кредитора остается постоянной. Такая постановка задачи мотивирована несколько противоречащим, на первый взгляд, здравому смыслу положением на кредитном рынке, связанным с неэффективным распределением процентного риска между заемщиком и кредитором при условии заключения контракта с фиксированной процентной ставкой. Дело в том, ' что в большинстве моделей финансового посредничества предполагается, что кредитор характеризуется нейтральным отношением к риску. Это вполне естественное допущение, если принять во внимание способность кредитора диверсифицировать свой финансовый портфель и устранять риск путем хеджирования на рынке фьючерсов и опционов. Заемщики считаются отвергающими риск. Анализ простой статической (однопериодической) модели оптимального распределения риска между заемщиком и кредитором показывает, что если кредитор нейтрален к риску, а заемщик отвергает риск, то г\ кредитор целиком принимает на себя процентный риск, связанный с контрактом с фиксированной процентной ставкой. Поскольку субоптимальные контракты не должны существовать на развитом кредитном рынке, популярность контрактов с корректируемой (плавающей) процентной ставкой является парадоксом. ч

Решение этого парадокса становится очевидным при анализе многопериодической модели кредитного контракта, который показывает, что в оптимальном кредитном контракте с фиксированной процентной ставкой последняя может изменять свое значение при переходе от одного периода к другому. Поэтому оптимальный кредитный контракт, определяемый теорией, не обязательно является контрактом с неизменным уровнем платежей в течение срока контракта. Например, если дисконтный фактор заемщика превосходит дисконтный фактор кредитора (т.е. заемщик является более нетерпеливым), оптимальный контракт будет характеризоваться возрастающими платежами.

Предполагаем, что срок кредитного контракта составляет два периода (обозначаемые нулевой и первый периоды). При заключении контракта кредитор занимает на рынке денежные средства, за которые должен выплатить рыночную процентную ставку г° в период 0 и в период 1. Процентная ставка известна при подписании контракта, а процентная ставка является случайной переменной с плотностью распределения вероятности f(rl\

Выплаты по кредиту в расчете на рубль ссуды в периоды 0 и 1 обозначим 7° и i

Поскольку процентная ставка является случайной величиной, то нормированная выплата по кредиту ;1 (т.е. кредитная процентная ставка) зависит от рыночной процентной ставки:

Предполагаем, что кредитор характеризуется нейтральным отношением к риску и дисконтирует свою прибыль за период 1 фактором временного предпочтения в. Ожидаемая приведенная прибыль кредитора в расчете на рубль ссуды составляет i0-rQ+d\[R(rx)-rx]f(rx)drx. ' (55)

Функция полезности Ныомена-Моргенштерна заемщика F(«) предполагается строго вогнутой. Заемщик имеет постоянный доход у и \ \ дисконтирует полезность первого периода кредита фактором $. Заемщик считается более нетерпеливым, чем кредитор: б <0. Это неравенство означает, что оценка заемщиком будущего потребления ниже по сравнению с оценкой кредитора будущей прибыли. При условии нормировки суммы кредита к единице ожидаемая функция полезности заемщика принимает следующий вид:

Пу - '0 ) + S\V\y- R{rx )]/(r, )drx (56)

Поставим следующее условие оптимальности кредитного контракта: максимизировать ожидаемую полезность заемщика (56) (т.е. выбрать соответствующие и ^('l)) при условии, что ожидаемая прибыль кредитора (55) равна нулю (т.е. ожидаемая полезность кредитора фиксирована). Введем переменную состояния

X(i\) = o][R{ii)-u\f{u)du, 0 что дает =0[R(rx)-n]f(rx), drx

Составляем гамильтониан

5V[у - R(rx )]/(г,) + X0[R{rx) - г, ]/(г,) и получаем необходимые условия оптимума:

6V'\y-R{r\)] = M (57) . (58)

Условие (57) означает, что ~ const условие первого порядка для выбора скаляра 70 имеет следующий вид: di0 =0

J = S\v[y-R{rxj\f{rx)drx \ Производная а/

5i0 может бить представлена в виде dJ dJ дХ(г]) di0 dX(rl) di0

Второй множитель равен - 1 (из уравнения (55)), а первый рав«н Окончательно приходим к следующим условиям, определяющим оптимальный кредитный контракт:

59)

V'iy-i lM- (60)

Поэтому оптимальный контракт представляет собой контракт с фиксированными выплатами, причем размер выплат зависит от соотношения между 5 и в. При условиях

5<в, Г<0 уравнения (59), (60) приводят к тому, что должно выполняться неравенство

0 - '1' что соответствует контракту с возрастающими выплатами.

Однако кредитные контракты с возрастающими выплатами предлагаются кредиторами крайне редко в силу риска дефолта, возникающего из-за низкого значения i'q. Проанализируем влияние на форму оптимального контракта дополнительного ограничения, которое состоит в том, что в обоих периодах функция, определяющая зависимость кредитной процентной ставки от рыночной процентной ставки должна быть одной и той же: /q = R(r\) и

• • 1 =/?(/}). Кредитный рынок может рассматриваться как предлагающий' заемщику выбор между функциями, определяющими кредитную процентную ставку при наличии указанных ограничений. Применение этого ограничения на практике может рассматриваться как требование того, чтобы начальная ^и последующие процентные ставки в стандартной схеме кредитного контракта с корректируемой процентной ставкой рассчитывались бы с использованием одинаковой надбавки над рыночной процентной ставкой.

Целыо последующего анализа является исследование природы оптимального кредитного контракта при данном реалистичном ограничении. Необходимо определить характеристики «оптимального с ограничением» кредитного контракта, т.е. найти функцию которая максимизирует ожидаемую полезность заемщика (56) при условии постоянной ожидаемой полезности кредитора (55) и дополнительного требования ~ ^(го). Заметим, что стандартные кредитные контракты с фиксированной процентной ставкой и с корректируемой (плавающей) процентной ставкой представляют собой только два возможных частных случая функции

Начнем анализ с ситуации, когда заемщика и кредитор дисконтируют будущую полезность идентично, т.е. 8 = 0. Имеет место следующее Предложение.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1. Если 8 = 0, то «оптимальный с ограничением» кредитный контракт представляет собой контракт с фиксированной процентной ставкой. Этот результат непосредственно следует из того, что решение задачи без ограничения /q = /?(/*о)» определяемое системой уравнений (59), (60), при условии 8 = 0 имеет вид: /д = /j = i . Поскольку постоянная функция, определяющая кредитную процентную ставку, R(r) = / , может быть использована для определения платежей в обоих периодах, она решает «оптимальную с ограничением» задачу. Результирующий крнтракт представляет собой стандартный кредитный контракт с фиксированной процентной ставкой.

Предложение 1 показывает, что если временные предпочтения кредитора и заемщика совпадают, то риск, связанный с кредитной процентной ставкой, целиком лежит на кредиторе, несмотря на ограничение, налагаемое применением одинаковой в обоих периодах функции. Для того, чтобы понять, как меняется ситуация, если временные предпочтения кредитора и заемщика не совпадают (а именно, заемщик более нетерпелив, чем кредитор), обратимся к рис. 10. Решение без ограничения /0=Л(/"о), определяемое системой уравнений (59), (66), соответствует горизонтальной линии /j, представляющей постоянную кредитную процентную ставку в первом периоде, а также точку (г0,/'о), которая соответствует выплате в нулевой период (неравенство i'q <i\ имеет место, поскольку 8 <0). В этом случае выплата, соответствующая нулевому периоду, не лежит на графике функции, определяющей кредитную ставку для первого периода. Значение iq <i < /j соответствует кредитному контракту с фиксированной процентной ставкой.

Однако процентная ставка, определяемая функцией *(r) = f/0' Г = Г° |/ь r*r0 неудобна для практического применения. Представляется целесообразным искать R(r) в классе линейных функций вида

R(r) = a + J3r.

Условие «нетерпеливости» заемщика означает, что оптимальная линейная функция, определяющая процентную ставку, должна приводить к низким платежам в нулевой период, когда r = rQ. Это означает, что функция R(r) должна быть возрастающей, как показано на рис. 12. Интуитивно ясно, что если заемщик «нетерпелив» и рыночная процентная ставка растет, то оптимальная линейная функция R должна возрастать с ростом рыночной процентной ставки. Такая функция подвергает заемщика риску, но придает восходящий наклон ожидаемому потоку платежей, что удовлетворяет условию предпочтения заемщиком текущего потребления. ч

Для получения строгих результатов рассмотрим формальные характеристики оптимальных линейных кредитных процентных ставок. Представим q в виде гц+s, где s - случайная переменная, имеющая математическое ожидание //. При // > 0 (// < 0) ожидаемая рыночная процентная ставка в период 1 будет больше (соответственно меньше) Подставляя в выражения (55) и (56) и, используя для R(r) линейную функцию, составляем функцию Лагранжа:

У[у-(а + (3,Ъ )} + 5\У\у-{а + /?(г0 + ^))]/"(r0 + c)dc +

61) Л{а + (/? - l)/*o + 0[а + (/?-iXa-o + //)]}

Рис. 12. Оптимальная линейная функция, определяющая процентную ставку

Обозначая Vq и V{ предельные полезности в нулевой и первый периоды, получаем следующие условия первого порядка для выбора а и /? соответственно: :

- V& - 8\V\fdc + Л( 1 + в) = 0, (62) r0Vo -8 jV{(rQ + c)fds + Л[(1 + O)r0 + вц] = 0. (63)

С использованием условий (62), (63) устанавливается следующий результат. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2. Предположим, что 8 <0. Тогда, если Vm<0, то /?> 0 (/?<0) в том случае, если //>0 (// < 0). Значение /? = 0 имеет место, если

7 = 0 независимо от знака Vю.

Доказательство. Умножим уравнение (62) на -гд и прибавим полученное f выражение к уравнению (63). В результате получаем уравнение:

-8\V{ffdc + Mju = 0. (64)

Умножая теперь уравнение (62) на - ц и прибавляя полученное выражение к уравнению (64), приходим к следующему равенству:

V&-X)» = 8\V{{e-ti)fde. (65)

Используя уравнение (65), докажем, что fi>0 при //>0, если Vm<0. Предположим, что р < 0. Тогда о, ds откуда следует, что

8\V{(s-jn)fdc<0 (66) неравенство имеет место, поскольку вес производной V{ над математическим

- - ^ \ V ожиданием случайной величины с меньше, чем ниже матожидания б). Используя уравнение (65) и предполагая, что // > 0, получаем:

УА-Л< 0. (67)

С использованием уравнения (62) преобразуем неравенство (67):

8 J V[fde-Л0 = -{У'-Л)>0. Предположим, что Ут < 0. Тогда fl2V" <0 ds2 и, используя вогнутость функции полезности У и предположения /? < 0 и fj. > 0, получаем:

Уо * ^'[у - (а + /®'0 )] 2S ^ - [а + Pfo + /01) *

68) IГ {у - [а + J3(r0 + e)])fdc = \V{fdc Наконец, предположим, что 8 <9. Тогда из неравенств (66) и (68) следует, что

8\V{fdc-Л0< \V{fdc - Л < - Л < 0, что находится в противоречии с неравенством (67). Итак, если

Ут< 0, 8<0, //>0, то J3>0.

Доказательство того, что если //<0, то /3 < 0 при условии 8 <9 и Ут < 0, проводится аналогично. Предполагаем /? > 0, что меняет знак неравенства (66). Поскольку //<0 сохраняет знак неравенства (67), дополнительные предположения Vя < 0 и 8 < в снова ведут к противоречию.

Вторая часть Предложения 2 следует из уравнения (65): при jli = 0 V{ может быть только постоянной, что в свою очередь приводит к условию /? = 0 независимо от знака Ут. ■

Первая часть Предложения 2 показывает, что рассуждение, касающееся рис. 10, справедливо, если У" неположительна. Неравенство /? > 0, следующее из //>0 (/*o<,l) соответствует решению, предполагаемому на рис. 10. Противоположные неравенства Предложения 2 показывают, что при /-q > rj имеет место J3 < 0, и функция, определяющая кредитную процентную ставку, имеет нисходящий наклон. Этот вывод, который свидетельствует о том, что наклон кривой выплаты по займу и рыночной процентной ставки противоположен, может вызвать удивление. Его интуитивная интерпретация такова. «Нетерпение» заемщика приводит к тому, что выплаты в первый период составляет меньше /*. Поскольку вес разделения г\ в этой ситуации находится левее го, прибыль кредитора может равняться нулю только в том случ?»% когда кредитная процентная ставка имеет наклон вниз. Заметим, что процентный риск, принимаемый на себя кредитором, выше в этом случае, чем при фиксированной кредитной процентной ставке.

Вторая часть Предложения 2 устанавливает, что, независимо от знака V", линейная кредитная процентная ставка постоянна, если // = 0. На рис. 10 это означает, что если /'о и q совпадают, то ожидаемая рыночная процентная ставка постоянна, и оптимальным кредитным контрактом является контракт с фиксированной ставкой, как в Предложении 1. Причиной такого результата является то, что даже хотя выплата в нулевой период ниже / была бы желательной при 8 <0, нулевая прибыль кредитора не может быть достигнута, если кредитная процентная ставка лежит ниже /* при rg = rj (если кредитная процентная ставка лежит ниже / при vq = г\ контракт менее выгоден, чем контракт с фиксированной процентной ставкой в обоих периодах). Но если выплата в нулевой период должна равняться / , заемщик не получает никакого преимущества от того, что Р отлично от нуля, что создает процентный риск.

Дальнейший анализ проведем для квадратичной функции полезности. Квадратичная функция полезности удовлетворяет условиям Предложения 2: Vю = 0. Для квадратичной функции полезности предельная полезность равна

V'{z) = ci-bz\ a,b> 0. Подставляя это соотношение в уравнения (62) и (63) и разрешая их относительно /?, получаем выражение для J3: //(<? -S){a- Ь(у - Ц)) + 0[а - Ь(у - г0 - //)]} 6

2(£ + 02) + &72(1 + 0)2] в котором (Т2 есть дисперсия случайной величины г\. Знаменательно этого выражения положителен, также как и выражение в фигурных скобках в числителе. Заметим, что это выражение содержит предельные полезности, вычисленные при у~г$ и y-r^-jn, которые должны быть положительны, поскольку V > 0 в соответствующем интервале. При условии 5 <0 знак р совпадает со знаком //, как и указывает Предложение 2.

Дифференцирование равенства (69) позволяет выявить следующие эффекты, устанавливаемые в Предложении 3.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3. Для квадратичной функции полезности параметр /У, характеризующий наклон функции, определяющей кредитную процентную ставку, убывает по абсолютной величине, если:

1. риск, связанный с процентной ставкой, увеличивается (т.е. если дисперсия ex2 увеличивается);

2. степень неприятия риска заемщика увеличивается;

3. заемщик становится более терпеливым (т.е. 5 увеличивается);

4. среднерыночная процентная ставка уменьшается в обоих периодах (т.е. Гц снижается).

Кроме того, уменьшение // приводит к снижению р при условии, что // мало и положительно.

Первый пункт Предложения 3, непосредственно следующий из анализа выражения (69), показывает, что функция, определяющая кредитную процентную ставку, становится более пологой, а оптимальный контракт4более приближается к контракту с фиксированной процентной ставкой по мере роста дисперсии <т~ случайной величины rj. Этот результат может быть интерпретирован следующим образом. По мере роста процентного риска оптимальное решение стремится оградить заемщика от этого риска путем предложения менее выгодного для заемщика графика платежей.

Второй пункт Предложения 3 следует из того, что коэффициент абсолютного неприятия риска для квадратичной функции полезности составляет a-bz

В результате выражение в фигурных скобках в числителе равенства 1 умноженное на — равно

ГО У\ где

УО ~ У(У~го) и/1 =у(у~г0 Это предполагает, что по мере того как заемщик становится более отвергающим риск, т.е. по мере того как /о и У\ растут, абсолютный наклон функции, определяющей кредитную ставку, уменьшается. Более сильное неприятие риска означает, что оптимальный контракт вновь стремится оградить заемщика от риска за счет менее выгодного для него графика платежей. Аналогично, анализ выражения (69) показывает, что /? уменьшается по абсолютной величине по мере роста 5 (третий пункт Предложения 3). Причина состоит в том, что большая терпеливость со стороны заемщика снижает потребность низкой выплаты в нулевой период, что делает кредитную процентную ставку более пологой.

Четвертый пункт Предложения 3 демонстрирует влияние изменений рыночной процентной ставки на характеристики оптимального контракта. 5

Снижение ожидаемой рыночной процентной ставки в обоих периодах (снижение ;*о при неизменном //) делает контрактную кредитную ставку более пологой, так что оптимальный контракт приближается к контракту с фиксированной процентной ставкой. Этот вывод находится в согласии с данными ряда экспериментальных работ, которые показывают, что заемщики предпочитают контракты с фиксированной процентной ставкой контрактам с корректируемой процентной ставкой при общем снижении рыночных процентных ставок [79].

Заключительная часть Предложения 3 устанавливается делением числителя и знаменателя выражения на ^. Поскольку знаменатель полученного выражения положителен и убывает по ^ если ^ мало и положительно, а знаменатель возрастает по ^, получаем, что уменьшение ^ понижает Р. Если отрицательно иди положительно и велико, его влияние на @ неоднозначно.

Итак, в этом разделе показано, что оптимальной формой кредитного контракта, состоящего из нескольких периодов, при сделанных предположениях является контракт с фиксированными выплатами, причем размер выплат зависит от соотношения дисконтных факторов кредитора и заемщика. Если дисконтный фактор заемщика меньше, чем дисконтный фактор кредитора (т.е. заемщик является «нетерпеливым» и предпочитает настоящее потребление будущему), то оптимальными будут контракты с возрастающими выплатами. Заметим, что такие контракты предлагаются кредиторами крайне редко в силу большого риска дефолта при такой схеме выплат.

Проанализировано влияние на форму оптимального контракта дополнительного ограничения, которое состоит в том, что во всех периодах линейная функция, определяющая зависимость кредитной процентной ставки от рыночной процентной ставки, должна быть одной и той же. Установлена связь коэффициента, определяющего наклон этой функции, с кредитным риском, степенью неприятиячриска заемщика, дисконтным фактором заемщика и математическим ожиданием рыночной процентной ставки. При таком подходе корректировка кредитной процентной ставки в зависимости от рыночной процентной ставки и распределение риска между кредитором и заемщиком неразрывно связаны. Предположим, например, что ожидаемая рыночная процентная ставка выше, чем текущая. Тогда функция, определяющая рыночную процентную ставку, генерирует ожидаемый поток выплат, возрастающий со временем. Если заемщик «нетерпелив», он может принять на себя риск, связанный с таким контрактом, для получения удобного для себя графика выплат по кредиту.

Анализ показывает, что для модели, в которой распределение риска не может быть выбрано независимо от распределения потока платежей, контракты с регулируемой процентной ставкой оптимальны.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации представлена серия статических и динамических моделей различной сложности, позволяющих рассчитать оптимальную процентную ставку кредитного контракта. Модели основываются на следующих принципиальных допущениях. Кредитный рынок считается конкурентным, так что существует минимальный ненулевой спред между процентной ставкой контракта и среднерыночной процентной ставкой, ниже которого кредитование невозможно. Предполагается наличие информационной симметрии: вся информация предоставляется обеим сторонам сделки бесплатно при заключении контракта. Экономические агенты (кредитор и заемщик) максимизируют ожидаемую полезность со строго возрастающими предпочтениями. Слабо вогнутая функция полезности кредитора (т.е. кредитор может быть нейтрально относящимся к риску или отвергающим риск) зависит от его чистой прибыли по кредиту. Строго вогнутая функция полезности заемщика (т.е. заемщик считается строго отвергающим риск) зависит от стоимости обеспечения кредита и другого потребления. Начальная стоимость обеспечения и сумма кредита известны. Плотность распределения вероятностей среднерыночной процентной ставки известна. Предполагаем, что кредитному контракту с оптимальной процентной ставкой соответствует предлагаемая кредитором и принимаемая заемщиком процентная ставка, максимизирующая ожидаемую функцию полезности кредитора при условии сохранения ожидаемой полезности заемщика.

Поставлена однопериодическая (статическая) задача для определения кредитной процентной ставки, максимизирующей ожидаемую полезность кредитора при фиксированной полезности заемщика. Получено аналитическое выражение для оптимальной кредитной процентной ставки. Показано, что при учете зависимости стоимости обеспечения кредита от среднерыночной процентной ставки оптимальная ссудная ставка зависит от отношения приращения стоимости обеспечения к сумме кредита. Проведены расчеты оптимальной кредитной процентной ставки при различных зависимостях стоимости обеспечения кредита от среднерыночной процентной ставки и проанализировано соответствующее распределение риска между кредитором и заемщиком. Заметим, что модель, предполагающая независимость стоимости обеспечения кредита от среднерыночной процентной ставки, приводит к выводу о том, что оптимальная кредитная процентная ставка никогда не уменьшается с ростом среднерыночной процентной ставки, и что нейтрально относящийся к риску кредитор должен принимать на себя весь процентный риск (т.е. контракт с корректируемой плавающей) процентной ставкой будет оптимальным только в том случае, если кредитор является отвергающим риск). Эти выводы несправедливы при сделанном в предложенной модели соответствующем реальности предположении о зависимости стоимости обеспечения кредита от среднерыночной процентной ставки. Фактически, как следует из проведенного анализа, оптимальная ссудная ставка может увеличиваться или уменьшаться при увеличении среднерыночной процентной ставки. Если стоимость обеспечения кредита является возрастающей функцией среднерыночной процентной ставки, обладание такой собственностью обеспечивает хедж против процентного риска. Описана ситуация, в которой обеспечение кредита является идеальным хеджем процентного риска, который отвергающий риск заемщик полностью принимает на себя, хотя кредитор нейтрально относится к риску. v.

Предложено обобщение статической модели оптимальной ссудной ставки на ситуации, когда стоимость обеспечения кредита, доход заемщика и среднерыночная процентная ставка представляют собой случайные 'функции.

Показано, что оптимальная кредитная процентная ставка зависит от рисковых предпочтений кредитора и заемщика, а также от предельных изменений в стоимости обеспечения кредита и доходе заемщика в зависимости от среднерыночной процентной ставки. Проведены расчеты оптимальной ссудной ставки для различных сочетаний трех ситуаций: стоимость обеспечении кредита доход заемщика) некоррелированы со среднерыночной процентной ставкой, являются детерминированными функциями от среднерыночной процентной ставки и стохастически коррелированы со среднерыночной процентной ставкой.

Показано, что увеличение коэффициента абсолютного неприятия риска кредитора имеет эффект, противоположный увеличению коэффициента . абсолютного неприятия риска заемщика при прочих равных условиях. Знак совокупного эффекта изменения этих коэффициентов может быть положительным или отрицательным в зависимости от степени изменения отношения совокупного благосостояния заемщика к сумме кредита. В частности, увеличение коэффициента абсолютного неприятия риска кредитора приводит к увеличению оптимальной ссудной ставки только в том случае, когда совокупное благосостояние заемщика не увеличивается слишком быстро с, ростом среднерыночной процентной ставки. Одновременное увеличение коэффициентов абсолютного неприятия риска кредитора и отношения приращения благосостояния заемщика к сумме кредита оказывают взаимно противоположное воздействие на оптимальную кредитную ставку. Если увеличение коэффициента абсолютного неприятия риска кредитора доминирует, совокупный эффект положителен (т.е. оптимальная кредитная процентная ставка увеличивается); если \ увеличение отношения приращения благосостояния заемщика к сумме кредита превалирует, совокупный эффект отрицателен (т.е. оптимальная кредитная ставка понижается).

Построена и проанализированы динамические (многопериодические) модели оптимальной кредитной процентной ставки в предположении, что стоимость обеспечения кредита, доход заемщика и среднерыночная процентная ставка являются коррелированными случайными переменными. Модели учитывают также дисконтные факторы и рисковые предпочтения кредитора и заемщика. Установлено, что если доход заемщика некоррелирован со среднерыночной процентной ставкой, то положительный наклон статической кривой, определяющей оптимальную кредитную процентную ставку, гарантирует, что динамическая оптимальная кредитная ставка будет возрастающей функцией среднерыночной процентной ставки. Если доход заемщика одинаков, в обоих периодах и стоимость обеспечения кредита как функция среднерыночной процентной ставки возрастает, то динамическая процентная ставка ниже статической. Если стоимость обеспечения убывает со среднерыночной процентной ставкой, то динамическая оптимальная ссудная ставка не только выше статической, но и является возрастающей функцией, в то время как статическая ставка убывает. Если доход заемщика во втором периоде значительно превосходит доход в первом периоде, динамические модели практически не отличаются от статической модели с постоянной стоимостью обеспечения кредита. Если доход заемщика во втором периоде будет существенно ниже дохода в первом периоде, стоимость обеспечения кредита, напротив, играет главную роль в определении оптимальной ссудной ставки. Показано, что динамические оптимальные кредитные ставки гораздо слабее реагируют на изменения среднерыночной процентной ставки по сравнению с соответствующими статическими \ оптимальными кредитными ставками. Иначе говоря, фиксированная процентная ставка лучше аппроксимирует долгосрочные, чем краткосрочные контракты.

Показано, что кредитные контракты с переменной процентной ставкой в стохастических условиях могут быть Парето-оптимальными. В частности, если стоимость обеспечения кредита и/или будущий доход заемщика положительно коррелированы со среднерыночной процентной ставкой, оптимальные кредитные контракты будут распределять большую часть процентного риска, на заемщика (а меньшую часть на кредитора). Этот результат имеет место потому, что положительная корреляция между стоимостью обеспечения кредита (доходом заемщика) среднерыночной процентной ставкой упрощает заемщику выплаты по кредиту в случае повышения среднерыночной процентной ставки. Это, в свою очередь, позволяет кредитору получать более высокие кредитные процентные ставки, уменьшая тем самым подверженность своего благосостояния риску без ухудшения благосостояния заемщика.

Предложены стохастические динамические модели оптимально^ ссудной процентной ставки с учетом возможных экзогенных досрочных предоплат кредита и дефолта заемщика. Проведен сравнительный анализ моделей оптимальной кредитной процентной ставки без предоплаты и с вероятностью предоплаты. Если стоимость обеспечения кредита положительно коррелирована со среднерыночной процентной ставкой, то увеличение либо вероятности предоплаты, либо неустойки за предоплату, при прочих равных условиях, уменьшает наклоны зависимости оптимальной кредитной ставки от среднерыночной, и наоборот. Если стоимость обеспечения кредита положительно коррелирована со среднерыночной процентной ставкой, то оптимальная динамическая ссудная ставка с учетом предоплаты слабее реагирует на изменение среднерыночной процентной ставки, чем аналогичная оптимальная кредитная ставка без предоплаты. При \ отрицательной корреляций имеет место противоположный результат.

Показано, что возможность экзогенного дефолта ренормирует дисконтный фактор заемщика в сторону уменьшения. Возможность дефолта заемщика, таким образом, делает кривую, определяющую оптимальную кредитную процентную ставку, менее крутой, т.е. принципиальное влияние возможности дефолта на оптимальную кредитную ставку такое же, как и возможности предоплат.

Построены модели оптимальной ссудной ставки, максимизирующие ожидаемую полезность заемщика при условии сохранения фиксированной полезности кредитора. Проанализировано влияние различных типов функций полезности, процентного риска, рисковых и дисконтных предпочтений сторон сделки и среднерыночной процентной ставки на характеристики оптимальной кредитной ставки.