Моделирование спекулятивной торговли на фондовом рынке в стохастических условиях тема диссертации по экономике, полный текст автореферата

Автореферат диссертации по теме "Моделирование спекулятивной торговли на фондовом рынке в стохастических условиях"

00460313.;

На правах рукописи

АСРЯН Гретта Артуровна

МОДЕЛИРОВАНИЕ СПЕКУЛЯТИВНОЙ ТОРГОВЛИ НА ФОНДОВОМ РЫНКЕ В СТОХАСТИЧЕСКИХ УСЛОВИЯХ

08.00.13 - Математические и инструментальные методы экономики

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата экономических наук

" 3 ИЮН 2010

Кисловодск -2010

004603132

Работа выполнена в НОУ ВПО «Кисловодский институт экономики и права»

Научный руководитель: доктор экономических наук, профессор

Скопина Ирина Васильевна

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Наталуха Игорь Анатольевич

кандидат экономических наук, доцент Ладейщикова Екатерина Николаевна

Ведущая организация: ГОУ ВПО «Северо-Осетинский

государственный университет»

Защита состоится 30 мая 2010 года в 10 часов на заседании объединенного диссертационного совета ДМ 521.002.01 по экономическим наукам при Кисловодском институте экономики и права (357700, г. Кисловодск, ул. Р. Люксембург, 42).

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Кисловодского института экономики и права

Автореф ерат раз ослан 29 апреля 2010 года

Ученый секретарь диссертационного совета

Бостанова А.И.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Финансовые рынки в современных условиях (особенно зарождающиеся рынки, к числу которых относится и российский фондовый рынок) характеризуются нестационарными, стохастическими и кризисными явлениями различной природы. В таких условиях традиционная портфельная теория (модель САРМ) и классические методы финансовой математики, представляющие собой основанный на статистических методах механизм оптимизации формируемого инвестиционного портфеля по задаваемым критериям соотношения уровня его ожидаемой доходности и риска (характеризуемого дисперсией доходности), оказываются неадекватными. Методы классической инвестиционной теории часто дают неверные результаты также потому, что основаны на предположении о том, что все инвесторы рациональны и одинаково воспринимают рыночные сигналы относительно состояния рынка. Кроме того, инвестиционная и торговая стратегии требуют динамической реструктуризации портфеля с учетом стохастической эволюции инвестиционной среды, что также не может быть учтено в рамках классической теории. Поэтому возникает необходимость развития методов моделирования оптимального размещения капитала в рисковые активы в условиях стохастического изменения их доходности с учетом стохастической эволюции параметров инвестиционной среды.

Поведение рыночных цен и объемов продаж активов во время эпизодов спекулятивного бума, характеризующихся «ценовыми пузырями», неадекватно описывается классическими теориями оценки активов. Общей чертой этих эпизодов, включая недавний бум Интернет-рынка акций, является сосуществование высоких цен и высоких объемов продаж. Кроме того, при этом часто наблюдается высокая волатильность цен рисковых активов. Адекватное описание этих явлений должно основываться на учете психологии агентов финансового рынка и эволюции оценки ими рыночных сигналов.

Достоверные количественные результаты, касающиеся определения оптимальных стратегий инвестирования в рисковые финансовые инструменты и торговли ими в стохастических условиях, могут быть получены в рамках строгих экономико-математических моделей финансового трейдинга на спекулятивных фондовых рынках в непрерывном времени с учетом функций полезности инвестора. Этим и определяется актуальность диссертационного исследования.

Степень изученности проблемы. Количественный анализ и прогнозирование финансового состояния фондовых рынков базируется на финансовом менеджменте, финансовой математике и финансовой эконометрике. Вопросы управления использованием капитала в процессе финансового инвестирования рассматривались в трудах зарубежных и отечественных ученых. Большой вклад в теорию и практику финансового менеджмента внесли Бирман Г., Блауг М., Блех Ю., Брейли Р., Бригхэм Ю., Гетце У., Гигман Л., Дамари Р.,. Дебре Ж., Друри К., Ирвин Д., Карлин Т., Коллас Б., Колб Р., Курц X., Крушвиц Л., Ли Ч., Марковиц Г., Маршалл Д., Майерс С., Мертон Р., Миддлтон Д., Миллер М.,

Модильяни Ф., Моргенштерн О,, Нейман Д., Перар Ж., Самуэльсон П., Тобин Д., Шарп У., Шим Д., Эрроу К. Среди отечественных ученых следует отметить Балабанова И.Т., Бланка H.A., Ефимову О.В., Ковалева В.В., Поляка Г.Б., Стоянову ЕС., Тренева H.H., Хоминич И.П.

Большой вклад в развитие таких разделов финансовой математики, как теория ренты, измерение доходности финансовых инструментов, анализ производственных инвестиций и измерителей финансовой эффективности, анализ финансовых рисков внесли российские и зарубежные ученые: Алексеев М.Ю., Башарин Г.П., Капитоненко В.В., Кардаш В.А., Касимов Ю.Ф., Кутуков В.Б., Перепеливд В.А., Попова ЕВ., Четыркин ЕМ., Аким Э., Браун С., Бригхэм Ю., Гапенски JL, Джордан Н., Карлберг К., Кочович Е, Паррамоу К., Уотшем Т„ Шим Д. Математические основы анализа стохастических процессов в финансах разрабатывались Гнеденко B.C., Колмогоровым А.Н., Макаровым В.Л., Марковым A.A., Мельниковым A.B., Новиковым A.A., Павловым И.В., Прохоровым Ю.В., Ширяевым А.Н. Из иностранных ученых отметим Винера Н., Ито К., Као X., Карни Е, Маковского JI., Мандельброта Б., Маркуса С., Муна Ф., Поляка Б., Сигела Д., Фукушиму М., Хо У.

Сформировавшись буквально в последние два десятилетия, финансовая эконометрика является в настоящее время одной из наиболее бурно развивающихся областей эконометрики. Среди российских и зарубежных ученых, разрабатывающих эконометрические методы анализа и прогнозирования в теории и практике финансов, следует отметить Андерсена Т., Айвазяна С.А., Боллерсле-ва Т., Винтгоенко И.Г., Давниса В.В., Диболда Ф., Ингла Р., Кэмпбелла Дж., Перепелицу В.А., Попову ЕВ., Тейлора С., Хансена С., Макарова В.Л., Эфрона Б., Яновского Л.П.

В то же время, несмотря на большое количество публикаций в области моделирования и анализа финансовых рынков и оптимизации финансового портфеля, многие упомянутые выше проблемы далеки от разрешения и находятся в стадии обсуждения. Так, практически не изучены экономические механизмы явлений спекулятивного бума и ценовых пузырей, наблюдаемых на фондовых рынках в стохастических условиях. Отметим также, что в большинстве известных исследований проблемы оптимального финансового инвестирования задача решается численно (Барберис Н., Брандт М., Бреннан М., Бэлдаззи П., Висейра JL, Ким Т., Кэмпбелл Дж.), что не позволяет выявить вклад составляющих портфеля (спекулятивного спроса на рисковые активы и различных видов спроса на хеджирование) в оптимальное решение и проследить влияние на него параметров инвестиционной среды и функции полезности (предпочтений) агента финансового рынка.

Теоретическая и практическая значимость моделирования оптимального размещения капитала в рисковые активы и торговли ими в условиях стохастического изменения параметров инвестиционной среды и определили тему и постановку задач диссертационного исследования.

Объект и предмет исследования. Объектом исследования является фондовый рынок. Предметом диссертационного исследования является спекулятивная торговля рисковыми активами и механизмы возникновения спекулятив-

ного бума на фондовом рынке.

Цель и задачи исследования. Целью диссертационной работы является построение моделей и решение динамических задач инвестирования и спекулятивной торговли активами на фондовом рынке, характеризующемся стохастич-ностью инвестиционной среды. В соответствии с поставленной целью в диссертации решались следующие задачи:

- анализ экономических механизмов возникновения спекулятивного бума и ценовых пузырей на фондовых рынках в стохастических условиях;

- разработка экономико-математической модели спекулятивной торговли активами на фондовом рынке с учетом стохастических изменений их цен, ожидаемых доходностей, а также стохастической динамики краткосрочной процентной ставки;

- моделирование и анализ свойств оптимальных стратегий спекулятивной торговли активами группами инвесторов, характеризующихся различной оценкой рыночных сигналов относительно будущих дивидендов;

- анализ равновесного состояния рынка и соответствующего соотношения между ценами рисковых активов, объемами продаж и ценовой волатильностью активов;

- исследование влияния торговых издержек и трансакционных налогов на ценовую волатильность и размер ценового пузыря рискового актива.

Методология и методы исследования. Методологическую базу диссертационного исследования составляют труды отечественных и зарубежных экономистов и математиков по теории финансового инвестирования и финансовым рынкам, теории случайных процессов, финансовой математике, методам стохастического оптимального управления,

Информационно-документальной базой исследования являются статистические материалы Федеральной службы государственной статистики, законодательные акты РФ, решения и нормативные акты Правительства Российской Федерации, Федеральной службы по финансовым рынкам, регулирующие деятельность фондового рынка, статистические данные Центра по исследованию ценных бумаг США (СЯБР).

Диссертационное исследование выполнено в рамках п. 1.6 "Математический анализ и моделирование процессов в финансовом секторе экономики, развитие методов финансовой математики и актуарных расчетов" паспорта специальности 08.00.13 - Математические и инструментальные методы экономики.

Научная новизна диссертационного исследования состоит в следующем:

- разработана модель спекулятивной торговли рисковыми активами, основанная на неоднородности оценок рыночных сигналов участниками фондового рынка будущих дивидендов, позволяющая описывать возникновение ценовых пузырей и явлений спекулятивного бума, наблюдаемых на фондовых рынках в стохастических условиях;

- доказано, что при наличии ограничения короткой продажи владелец актива обладает опционом перепродажи актива другим инвесторам, имеющим более оптимистические прогнозы относительно будущих дивидендов, что по-

зволяет на основе оптимального решения задачи исполнения опциона перепродажи актива рассчитывать важнейшие равновесные характеристики фондового рынка: величину ценового пузыря, частоту продаж и волатильность цены рискового актива;

- выявлены характеристики равновесия на фондовом рынке при малых торговых издержках и установлено, что в этих условиях величина ценового пузыря и избыточная волатильность рисковых активов максимальны, а увеличение таких экзогенных параметров модели, как степень чрезмерной уверенности агентов и информативное содержание рыночных сигналов относительно доходности рисковых активов, приводит к росту ключевых эндогенных переменных -цены активов, объема продаж и волатильности;

- установлено, что применение налога с продаж является эффективным средством сокращения спекулятивной торговли на фондовых рынках, однако эффективность налога с продаж в сокращении ценовой волатильности и размера ценового пузыря рисковых активов значительно ниже;

- рассчитаны характеристики кросс-секционной корреляции между ценой рисковых активов, объемом продаж, дюрацией между продажами и волатиль-ностью цен активов; это позволило установить, что предложенная модель спекулятивной торговли находится в согласии с реально наблюдаемыми на фондовых рынках явлениями спекулятивного бума.

Практическая значимость результатов исследования. Практическая значимость исследования определяется тем, что разработанные в диссертации модели, методы и алгоритмы ориентированы на решение тактических и стратегических задач при осуществлении участниками фондового рынка управления финансовым инвестированием в рисковые активы в стохастической инвестиционной среде. Предложенная модель формирования пузырей цен активов является эффективным средством изучения спекулятивной торговли и может быть использована для установления связей между ценами активов, объемами продаж и ценовой волатильностью на спекулятивных финансовых рынках.

Обоснованность и достоверность научных положений, выводов и рекомендаций подтверждается применением: системного анализа; математических методов экономики, включающих финансовую математику, теорию стохастического оптимального управления, теорию полезности, теорию случайных процессов, метод сравнительной статики равновесия, аналитические и численные методы анализа стохастических и обыкновенных дифференциальных уравнений. Достоверность результатов диссертационной работы подтверждается также тем, что в частных случаях полученные в диссертации общие результаты переходят в известные результаты, аналитические асимптотики согласуются с численными результатами. Аналитические результаты, полученные независимо методом стохастического динамического программирования и мартингальным методом, совпадают. Полученные в работе теоретические результаты согласуются с эмпирическими данными по реальным фондовым рынкам.

Апробация и внедрение результатов исследования. Основные положения и результаты диссертационного исследования докладывались автором на Международном симпозиуме «Актуальные теоретические и прикладные про-

блемы экономической психологии» (Кисловодск, 2005), VII Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (г. Йошкар-Ола, 2006, зимняя сессия), III Международной научно-практической конференции «Экономическое прогнозирование: модели и методы» (г. Воронеж, 2007), Всероссийском симпозиуме «Математические модели и информационные технологии в экономике» (г. Кисловодск, 2007), I Международном научном форуме «Толерантное пространство современности: Экономика-право-мораль» (г. Кисловодск, 2008), IV Международной научно-практической конференции «Экономическое прогнозирование: модели и методы» (г. Воронеж, 2008), Всероссийском симпозиуме «Актуальные проблемы социально-экономического развития» (г. Кисловодск, 2009).

Результаты диссертационного исследования используются СевероКавказским государственным техническим университетом в учебном процессе и включены в структуру учебных дисциплин «Экономико-математическое моделирование», «Рынок ценных бумаг» и «Финансовая математика».

Публикации. Основные результаты исследования отражены в опубликованных автором 9 печатных работах общим объемом 3,15 п.л.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка использованной литературы. Текст диссертации изложен на 125 страницах, включает 1 таблицу, 10 рисунков. Список использованной литературы содержит 138 источников.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы исследования, дана характеристика степени изученности проблемы, сформулированы цель и задачи исследования, научная новизна и практическая значимость.

В первой главе "Управление инвестициями на рынке ценных бумаг" рассматриваются виды финансовых инструментов инвестирования капитала и их особенности, методы оценки эффективности инвестирования капитала в финансовые инструменты, а также методы управления портфелем ценных бумаг с учетом финансовых рисков. Дается характеристика факторов, определяющих инвестиционные качества отдельных финансовых инструментов инвестирования. Обсуждаются модели оценки реальной стоимости ценных бумаг. Сделан обзор работ, посвященных формированию портфеля финансовых инвестиций, выбору портфельной стратегии и типа формируемого инвестиционного портфеля. Рассматривается оценка инвестиционных качеств финансовых инструментов инвестирования по показателям уровня доходности, риска и взаимной ковариации. Изложены принципы оперативного управления реструктуризацией портфеля финансовых инвестиций. Рассматриваются виды отношений инвесторов к риску и характеристики интенсивности нерасположенности к риску.

Во второй главе «Экономико-математическая модель спекулятивного бума на фондовом рынке» предложена модель торговли активами, основанная на неоднородности мнений участников финансового рынка относигель-

но будущих дивидендов, вызванной их чрезмерной уверенностью в оценке рыночных сигналов. Равновесное состояние рынка полностью соответствует указанным наблюдаемым явлениям. Установлены явные соотношения между такими параметрами модели, как издержки продаж и информативность рыночных сигналов, а также равновесные цены актива и объемы продаж. Предлагаемая модель является эффективным средством изучения спекулятивной торговли и может быть использована для установления связей между ценами активов, объемами продаж и ценовой волатильностью.

В построенной модели владение частью актива обеспечивает возможность (опцион) для извлечения прибыли из переоценки актива другими инвесторами. Для того чтобы этот опцион существовал, необходимы некоторые ограничения относительно короткой продажи, которые широко распространены на реальных финансовых рынках. Во-первых, на многих рынках короткая продажа требует заимствования активов, а этот механизм приводит к издержкам, в частности, при росте цены актива, даваемого в долг, кредитор назначает дополнительную цену, связанную с риском дефолта. Во-вторых, риск, связанный с короткой продажей, может отпугнуть инвесторов, не склонных к риску. В-третьих, ограничения доступности капитала потенциальным арбигражерам может также ограничивать короткую продажу. Поэтому в предлагаемой модели короткая продажа не рассматривается.

Психологическим основанием предлагаемой модели является установленная экспериментальными исследованиями человеческого поведения склонность к чрезмерной уверенности в точности своей субъективной оценки получаемой информации. Кроме переоценки точности получаемой индивидуумом информации, в психологии известно также явление «иллюзии знания», которое также может являться основанием предлагаемой далее модели спекулятивного бума. «Иллюзия знания» проявляется в том, что мнения индивидуумов, характеризующихся различной оценкой имеющейся у них информации, становятся еще более поляризованными при получении аргументов, устраивающих стороны, имеющие различные мнения.

В модели с непрерывным временем и бесконечным временным горизонтом рассматривается финансовый рынок с единственным рисковым активом с ограниченным предложением и большим количеством нейтральных по отношению к риску агентов. Текущий дивиденд по активу является случайной реализацией фундаментальной переменной. Кроме дивидендов, в каждый момент времени существуют два набора сигналов. Информация доступна всем участникам рынка; однако агенты делятся на две группы и различаются интерпретацией сигналов. Каждая группа переоценивает информативность отдельного сигнала и, вследствие этого, имеет собственные прогнозы относительно будущих дивидендов. Агенты в предлагаемой модели знают, что их предположения отличаются от прогнозов агентов другой группы. По мере получения информации прогнозы агентов двух рассматриваемых групп могут меняться, и группа агентов, которая в один момент времени является относительно более оптимистичной, может в будущем стать менее оптимистичной, чем агенты другой

группы. Эти флуктуации относительных оценок агентами будущих дивидендов генерируют торговлю активами.

Дивидендный процесс по рисковому активу определяется суммой двух составляющих, первая из которых представляет собой фундаментальную переменную (тенденцию), а вторая - основной процесс Винера:

¿Д + (1)

Здесь й, - дивиденд по активу, ав - волатильность Мгновенное среднее квад-ратическое отклонение). Фундаментальная переменная ft не наблюдаема. Ее эволюция описывается стохастическим уравнением Орнштейна-Уленбека

в котором / - средняя от /, на большом интервале, Л определяет скорость релаксации переменной /, к /, оу > 0 - волатильность, а 2{ - процесс Винера.

Считаем, что предложение актива конечно, и нормируем полный объем предложения на единицу.

Предполагаем, что участниками финансового рынка являются две группы агентов, характеризующихся нейтральным отношением к риску. Предположение о нейтральном отношении к риску финансовых агентов не только упрощает математические выкладки, но также позволяет выявить роль информации в модели. Поскольку агенты характеризуются нейтральным отношением к риску, шум в уравнении (1) не имеет прямого влияния на оценку актива. Однако присутствие шума в динамическом процессе роста дивиденда делает невозможным точное определение ft из статистических данных по кумулятивному дивидендному процессу. Участники рынка используют данные по В, и другие сигналы, коррелированные с /,, для оценки текущих значений /, и определения стоимости актива. В дополнение к кумулятивному процессу, определяющему динамику дивидендов, все агенты наблюдают сигналы .у'4 и яв, удовлетворяющие следующим стохастическим дифференциальным уравнениям:

= + о¿2?, <Ь* = /¡¿Й + , где 2Л и 2в - стандартные Винеровские процессы, а а5 >0 - волатильность сигналов. Будем предполагать, что четыре случайных процесса Zf, , и 2являются взаимно независимыми. Агенты группы А(В) воспринимают хА ) как свои собственные сигналы, хотя они также могут наблюдать сигналы (яА). Неоднородные мнения возникают, поскольку каждый агент вериг, что информативность его собственного сигнала больше, чем истинная информативность этого сигнала. Агенты группы А(В) считают, что случайные составляющие с121* (с!2?) сигнала (лл) коррелированны со случайной составляющей с12{ фундаментального процесса с коэффициентом корреляции ф (О <ф < 1). А именно, агенты группы А считают, что динамический процесс для сигнала л*4 имеет вид

сЬ? = + а,ф!2{ + а8 VI .

Хотя агенты группы А воспринимают истинную безусловную волатильность сигнала корреляция, которую они приписывают случайной составляющей, приводит их к переоценке сигнала . Аналогично, агенты группы В считают, что динамический процесс для сигнала х5 имеет вид

с1х? = /, А + а,фсИ{ + ст, ■

Поскольку все переменные являются гауссовскими, для агентов имеет место стандартная задача фильтрации. При гауссовских начальных условиях условные мнения агентов в группе С 6 {А,В} являются гауссовскими с математическим ожиданием /с и дисперсией ус. Стандартная процедура позволяет вычислить дисперсию стационарного решения и эволюцию условного математического ожидания мнений агентов. Дисперсия этого стационарного решения одинакова для обоих групп агентов и определяется следующим выражением

_ У[Я + {фа}/а,)}2 + (1 -ф212а} /а2 + [я + (г//а,)]

Г иоЪ+Ио)

В диссертации показано, что с увеличением параметра ф увеличивается точность, которую агенты приписывают собственному прогнозу текущего уровня фундаментальной переменной /,. Поэтому будем рассматривать ф как параметр, характеризующий чрезмерную уверенность агентов в оценке рыночных сигналов.

Условное математическое ожидание мнений агентов группы А удовлетворяет уравнению

(2)

л

О",2 ' ' СГп

- /Ал)+-4-(<й? - /Ал)

Аналогично, условное математическое ожидание мнений агентов группы В удовлетворяет уравнению

с1/в=-л{/в -}ва)+

Обозначим через и gв различие во мнениях агентов: -у ,

^в _ ^а _ ^в различие Мнений описывается следующим уравнением

dgA =-р8АЛ + о%<ИУ„А,

в котором р = ,П + фЩ +{[-ф2\т1 -Дг + Дг- , а„ = -^2фа{, а -стан-

^ <*) Оо)

дартный винеровский процесс для агентов группы А, причем случайный процесс в /А и IV* независимы. Это означает, что различие мнений gA следует с точки зрения агентов группы А простому диффузионному процессу с релаксацией. В частности, волатильность различия мнений обращается в нуль в отсутствие переоценки сигналов. Увеличение параметра ф приводит к росту вола-

тильности. Кроме того, параметр —характеризует скорость релаксации к

нулю. Нетрудно проверить, что эта скорость релаксации убывает с ростом параметра ф. Итак, увеличение параметра ф приводит к росту различий во мнениях и к снижению скорости релаксации.

Аналогично устанавливается, что для агентов группы В имеет место уравнение =-pgвdt + agdWg , в котором IV^ - стандартный винеровский процесс.

Будем предполагать наличие торговых издержек: продавец платит с > О в расчете на единицу проданных активов. Эти издержки могут представлять собой реальные трансакционные издержки или налог.

В каждый момент времени / агенты группы С е {Л,В} готовы платить р^ за единицу актива. Цена, которую агент готов заплатить, отражает оценку агентом фундаментальной переменной и тот факт, что он будет иметь возможность продать свои акции с прибылью позднее по цене спроса агентов другой группы. Обозначим 0 е {А,В} группу текущего владельца актива, 0 - другую группу и Е°, - ожидание членов группы 0, зависящее от информации, которой они располагают в момент I. Тогда цену р°, можно записать в виде

г>0

7е-^П!+е-"{Р1-с)

(4)

где г - время остановки, а р®+т - резервированная цена покупателя в момент совершения сделки < + г.

Поскольку сЮ = /°с1( + сГдй^д , то, используя уравнения, описывающие эволюцию условных математических ожиданий мнений агентов (уравнения (2) и (3)), получаем

7 = [/ + е-*"" - ф + М,+г,

1 I

где Е°М,+Т = 0.

Поэтому можно переписать уравнение (4) в следующем виде

А° = тах + И^О? - /)]* + е"" - с)\. (5)

Далее в диссертации постулируется конкретный вид равновесной функции, определяющей цену р1 (уравнение (6)). Затем эвристически выводятся свойства, которым предлагаемая равновесная функция цены должна удовлетворять, потом строится функция, удовлетворяющая этим свойствам, и проверяется, что действительно получено равновесие.

Поскольку все рассматриваемые стохастические процессы являются марковскими и однородными по времени, а участники рынка характеризуются нейтральным отношением к риску, естественно искать равновесие, в котором цена спроса текущего владельца имеет ввд

(6)

г г + Л

причем д > О и д' > 0. Используя выражение (6) в уравнении (5) и преобразуя, получаем

г + Л

г + Л

Соответственно, стоимость опциона перепродажи удовлетворяет условию

,0

Г20

(7)

Поэтому для того, чтобы показать, что равновесие в форме (6) существует, необходимо и достаточно построить функцию стоимости опциона ц, удовлетворяющую уравнению (7). Это уравнение аналогично уравнению Беллмана. Текущий владелец актива выбирает оптимальное время остановки для исполнения своего опциона на перепродажу.

Выражение для цены р,5определяет цену как сумму двух составляющих.

? 7

Первая часть — + —-— представляет собой ожидаемую текущую стоимость

г г + Л

будущих дивидендов с точки зрения текущего владельца актива. Третье слагаемое представляет собой стоимость опциона перепродажи д^,0), который зависит от текущего различия между мнениями агентов другой группы и мнением текущего владельца. Будем называть первую величину фундаментальной оценкой владельца актива, а вторую - стоимостью опциона перепродажи (называемого ценовым пузырем). Уравнение (5) аналогично уравнению Беллмана. Текущий владелец актива выбирает оптимальное время остановки для исполнения своего опциона на перепродажу. После исполнения опциона владелец

получает «цену исполнения» + g(gí0+r 1 представляющую собой сумму

г + Л

избыточно оптимистичной оценки покупателем фундаментальной стоимости актива и стоимости опциона перепродажи, за вычетом издержек с. При оценке актива агенты учитывают собственный взгляд на фундаментальную переменную и тот факт, что владелец актива имеет возможность (опцион) продать актив в будущем агентам другой группы. Этот опцион может быть исполнен текущим владельцем актива в любой момент, и новый владелец актива имеет, в свою очередь, другой опцион продажи актива. Эти характеристики делают рассматриваемый опцион американским и придают ему рекуррентную структуру (в отличие от проблемы оптимального исполнения для американских опционов, в рассматриваемой задаче цена исполнения зависит от самой функции стоимости опциона перепродажи). Подчеркнем, что ценовой пузырь в построенной модели является следствием различия мнений агентов финансового рынка относительно будущих цен активов, вызванного переоценкой ими информативности отдельных сигналов.

В третьей главе «Равновесные характеристики фондового рынка в условиях спекулятивной торговли» в аналитической форме получены важнейшие равновесные характеристики финансового рынка: величина «ценового пузыря» (являющегося мерой спекулятивной бума), частота продаж и ценовая волатилъность, в том числе связанная с наличием опциона перепродажи. Показано, что предложенная модель находится в согласии с реально наблюдаемыми на финансовых рынках явлениями спекулятивного бума.

В равновесии владелец актива продает актив агентам из другой группы всякий раз, когда оценка фундаментальной переменной агентами другой группы превосходит оценку фундаментальной переменной владельцем актива на критическую величину. Переходы через эту критическую точку определяют оборачиваемость активов. При отсутствии торговых издержек критическая точка равна нулю: для владельца актива является оптимальным продать актив немедленно после того, как его фундаментальная оценка превышена агентами другой группы. Мнения агентов описываются стохастическими дифференциальными уравнениями, и следствием характеристик броуновского движения является то, что если мнения агентов однажды «пересеклись», они пересекутся бесконечное количество раз в любой последующий конечный промежуток времени. Это приводит к спекулятивному торговому буму, при котором безусловный средний объем продаж в любой интервал времени бесконечен.

В диссертации решена оптимальная задача исполнения опциона перепродажи актива. Наличие компоненты опциона перепродажи в цене актива является дополнительным источником ценовой волатильности. Поэтому полная вола-тильность цены актива представляет собой сумму волатильности фундамен-

/ ~ /

тальной оценки актива владельцем — + ——— и волатильности стоимости

г г + Л

опциона перепродажи.

Поскольку состояние равновесия характеризуется непрерывностью относительно торговых издержек, построенная модель при малых торговых издержках может описывать избыточную торговлю, наблюдаемую при ценовых пузырях. При малых торговых издержках величина ценового пузыря и избыточная волатильность максимальны. Показано, что увеличение некоторых режимных параметров, таких, как степень чрезмерной уверенности агентов или информативное содержание сигналов, приводит к росту трех ключевых переменных -цены актива, объем продаж и волатильность. Таким образом, предложенная модель объясняет кросс-секционную корреляцию между ценой активов, объемом продаж и волатильностью цены, наблюдаемую в эпизодах спекулятивного бума.

Построенная модель устанавливает зависимость между ценами актива, ценовой волатильностью и оборачиваемостью активов. Поскольку эти переменные являются эндогенными, их соотношение будет зависеть от того, какая из экзогенных переменных изменяется. Проиллюстрируем эту связь на основе численного анализа при малых торговых издержках.

На рис.1 показано влияние изменения параметра ф на равновесие при малых торговых издержках на торговый барьер к*, ожидаемую дюрацию между сделками, величину ценового пузыря в точке торговли b и волатильность ценового пузыря в точке торговли т)\к'\ Ожидаемая дюрация измеряется в годах. Параметры к', tj[k*) и b измеряются в долях фундаментальной волатильности

°7 _

г + Я'

Поскольку ценовой пузырь генерируется стоимостью перепродажи, естественно нормировать ее на волатильность фундаментальной переменной. Напомним, что при увеличении ф параметр волатильности crg в уравнении, описывающей различие мнений агентов, растет, в то время как скорость релаксации р уменьшается. В результате опцион перепродажи становится более цен ным для владельца актива, ценовой пузырь и избыточная волатильность увеличиваются, и оптимальный торговый барьер становится выше. Дюрация между продажами определяется при увеличении параметра ф двумя взаимно компенсирующими эффектами. С одной стороны, торговый барьер становится выше, что увеличивает дюрацию между продажами актива. С другой стороны, волатильность ag различия мнений агентов увеличивается, приводя к сокращению

дюрации. Изменение торгового барьера к' при изменении параметров crg, р

является величиной второго порядка малости по к*. Поэтому дюрация между продажами сокращается, что иллюстрируется рисунке 1,Ь.

Рис. 2 показывает влияние юменений волатильности шума сигналов crs на равновесие при малыхтрансакционных издержках. Изменения параметра crs измеряются в долях отношения is = ay jas. С ростом ;< скорость релаксации р увеличивается, а параметр волатильности а% не изменяется. Интуитивно

Рис. 1. Влияние переоценки рыночных сигналов: а) торговый барьер, Ь) дюрация между продажами, с) ценовой пузырь, с1) избыточная волатильность, г =0,05, г5=2,0, ¡д=0, С = Ю-6 а) ' Ь)

0 1 2 3

Рис. 2. Влияние информативности сигналов = а^ ¡СТ5 \ а) торговый барьер, Ь) дюрация между продажами, с) ценовой пузырь, <1) избыточная волатильность, г =0,05, ф =0,7, /д =0, С = 10-*

ясно, что увеличение р снижает торговый барьер и дюрацию между продажами. Тем не менее, ценовой пузырь в точке продажи увеличивается в связи с увеличением частоты продажи актива. Параметр избыточной волатильности г/ практически не зависит от ¡г. В обоих случаях имеет место монотонно усиливающаяся связь между размером ценового пузыря в точке продажи и дюрацией между продажами. Кроме того, избыточная ценовая волатилыюсть либо увеличивается, либо не уменьшается. Нами установлено, что эта качественная взаимозависимость сохраняется в широких интервалах практически реализуемых параметров.

Чтобы проиллюстрировать влияние торговых издержек на важнейшие равновесные характеристики фондового рынка, были проведены численные расчеты при следующих значениях параметров: г = 5%, ф = 0,7, Л = 0, = 2,0,

I/, =0. На рис. 3 показано влияние торговых издержек на торговый барьер к*, ожидаемую дюрацию между продажами, величину ценового пузыря в точке продажи Ъ и на волатильность пузыря в точке продажи;/^*]. Торговый барьер, величина ценового пузыря, избыточная волатильность и торговые издержки

оу

юмеряются в долях фундаментальной волатильности актива —:—.

г + Л

Рис. 3,а показывает равновесный торговый барьер к . Для сравнения на этом же рисунке изображена прямая с(г + Л), соответствующая различию мнений, которые оправдывало бы торговлю при игнорировании стоимости опциона перепродажи. Различие между этими двумя величинами представляет собой "прибыль", получаемую владельцем актива от продажи опциона. Когда торговые издержки отсутствуют, владелец актива продает его немедленно, как только это становится выгодным, а прибыль бесконечно мала. По мере роста торговых издержек оптимальный торговый барьер увеличивается, причем скорость его роста вблизи с = 0 велика, поскольку производная йк* ¡<1с бесконечна в начале координат. В результате частота продаж сильно сокращается при увеличении торговых издержек, что иллюстрируется рис. 3,Ь.

Рис. 3,с и 3,(1 показывает, что торговые издержки также снижают величину ценового пузыря и избыточную волатильность, однако с ограниченной скоростью даже вблизи с = 0. Хотя можно было бы ожидать, что существенное снижение частоты продаж должно сильно уменьшить ценовой пузырь, этот эффект частично компенсируется увеличением прибыли при каждой продаже. Аналогично влияние торговых издержек на избыточную волатильность.

Для оценки влияния увеличения торговых издержек, измеренных как часть цены актива (в противоположность измерения как части фундаментальной волатильности), необходимо рассмотреть соотношение между ценой и во-латильностью фундаментальной переменной. Для значений параметров, используемых в рассматриваемом на рис. 3 примере, из рис. 3,с следует, что

О 0,01 0,02 0,03 с 0 0,01 0,02 0,03 с

Рис. 3. Влияние торговых издержек: а) торговый барьер, Ь) дюрация между продажами, с) ценовой пузырь, с!) избыточная волатильность, г=0,05, 0=0,7, /,.=2,0, ¡о=0.

пузырь в точке продажи при с = 0, приблизительно в четыре раза больше фун-

даменгальнои волатильности ——.

г + Я

В этой связи отметим, что падение цен акций Интернет - биржи с конца 1999г. по 2002 г. составило около 80 %. Если принять это изменение за меру величины пузыря в конце 1999 г., тогда величина фундаментальной волатильности должна приблизительно составлять 20 % от цены продажи. Таким способом можно интерпретировать переменные, показанные на рис. 3, как доли цены актива. Численные результаты показывают, что в этом случае налог в 1 % от цены актива вызвал бы сокращение величин пузыря и избыточной волатильности приблизительно на 20 %.

Эффективность налога на продажу на финансовых рынках как средства снижения спекулятивной торговли бурно обсуждалась после предложения То-бином (1978) введения трансакционного налога на зарубежных валютных рынках. Предложенная модель показывает, что при малых торговых издержках их увеличение имеет гораздо большее влияние на частоту продаж, чем на избыточную волатильность или величину ценового пузыря. В реальности торговля возникает также по другим причинам, не рассматриваемом в данном анализе (например, изменения ликвидности или способности управления риском портфеля). Поэтому ограниченное влияние трансакционных издержек на волатиль-

ность и ценовые пузыри не может служить основанием для налогообложения торговли. Рассмотренный численный пример служит также ответом на вопрос о том, почему ценовые пузыри существуют на рынках недвижимости, где тран-сакционные издержки обычно высоки.

Публикации по теме диссертации Публикации в ведущих рецензируемых журналах и изданиях, определенных ВАК

1. Асрян Г.А. Моделирование избыточной волатильности и оборачиваемости активов в условиях спекулятивного бума // Экономический вестник Ростовского государственного университета. - 2007, № 1. Ростов н/Д: Изд-во РГУ. - 0,4 п.л.

Публикации в других изданиях

2. Асрян Г.А. Переоценка рыночных сигналов и ценообразование на спекулятивных финансовых рынках // Современные научные исследования. -2006, № 4. - Кисловодск: Из дат. Центр КИЭП. - 0,5 п.л.

3. Асрян Г.А. Формирование и коллапс спекулятивного бума на финансовом рынке при ограниченном предложении актива // Современные научные исследования. - Кисловодск: Издат. Центр КИЭП, 2007, № 1. - 0,25 п.л.

4. Асрян Г.А. Возникновение спекулятивного бума на финансовом рынке // Сборник научных трудов Всероссийского симпозиума «Математические модели и информационные технологии в экономике». -2007. - Т. 1. -Кисловодск: Издат. Центр КИЭП. - 0,3 п.л.

5. Асрян Г.А. Прогнозирование спекулятивного бума на финансовом рынке при ограниченном предложении актива инсайдерами // Материалы П1 Международной научно-практической конференции «Экономическое прогнозирование: модели и методы». - 2007. - Ч. 2. - Воронеж: ВГУ. - 0, 15 пл.

6. Асрян Г.А. Моделирование спекулятивного бума на фондовом рынке с учетом толерантности агентов к рыночным сигналам // Материалы I Международного научного форума «Толерантное пространство современности: Экономика-право-мораль». - 2008. - Кисловодск: Издат. Центр КИЭП. - 0,2 п.л.

7. Асрян Г.А. Прогнозирование потребительских и инвестиционных стратегий в стохастических условиях // Материалы IV Международной научно-практической конференции «Экономическое прогнозирование: модели и методы». - 2008. - Ч. 2. - Воронеж: ВГУ. - 0,15 п.л.

8. Асрян Г.А. Формирование и коллапс спекулятивного бума на финансовом рынке при ограниченном предложении актива II Управление экономическими системами: электронный научный журнал, 2008. - № 4 (16). -№ рег. статьи 0057.-0,9 пл.

9. Асрян Г.А. Равновесное состояние рынка в условиях спекулятивной торговли // Сборник научных трудов Всероссийской научной конференции «Актуальные проблемы социально-экономического развития». - 2009. - Т. 1. -Кисловодск: Издат. Центр КИЭП. - 0,3 п.л.

Подписано в печать 26 апреля 2010 г. Формат 60 х 84 1/16. Бумага типографская № 1 Усл. печ. листов 1,0. Тираж 110 экз. Заказ № 33 Типография «Новая полиграфия», г. Кисловодск, ул. Тельмана, 8

Диссертация: содержание автор диссертационного исследования: кандидата экономических наук, Асрян, Гретта Артуровна

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. УПРАВЛЕНИЕ ФОНДОВЫМИ АКТИВАМИ.

1.1 Виды финансовых инструментов инвестирования капитала и их особенности.

1.2 Формирование портфеля финансовых инвестиций.

1.3 Оперативное управление портфелем финансовых инвестиций. Управление рисками финансового инвестирования капитала.

ГЛАВА 2. МОДЕЛИРОВАНИЕ СПЕКУЛЯТИВНОГО БУМА НА ФИНАНСОВОМ РЫНКЕ.

2.1. Моделирование инвестиционного процесса на фондовом рынке в стохастических условиях.

2.2. Экономико-математическая модель торговли активами фондового рынка.

2.3. Вывод уравнений, описывающих эволюцию оценок стоимости актива участниками финансового рынка.

2.4. Фундаментальная оценка актива владельцем и стоимость опциона перепродажи.

ГЛАВА 3. РАВНОВЕСНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ РЫНКА: СТОИМОСТЬ ОПЦИОНА ПЕРЕПРОДАЖИ АКТИВА, ДЮРАЦИЯ МЕЖДУ ПРОДАЖАМИ И ВОЛАТИЛЫЮСТЬ СТОИМОСТИ ОПЦИОНА.

3.1. Стоимость опциона перепродажи актива и дюрация между 75 продажами.

3.2. Свойства равновесия при малых торговых издержках.

3.3. Цена, волатильность и оборачиваемость актива.

3.4. Может ли стоимость дочерней компании превосходить стоимость головной?.

Диссертация: введение по экономике, на тему "Моделирование спекулятивной торговли на фондовом рынке в стохастических условиях"

Актуальность темы исследования. Финансовые рынки в современных условиях (особенно зарождающиеся рынки, к числу которых относится и российский фондовый рынок) характеризуются нестационарными, стохастическими и кризисными явлениями различной природы. В таких условиях традиционная портфельная теория (модель САРМ) и классические методы финансовой математики, представляющие собой основанный на статистических методах механизм оптимизации формируемого инвестиционного портфеля по задаваемым критериям соотношения уровня его ожидаемой доходности и риска (характеризуемого дисперсией доходности), оказываются неадекватными. Методы классической инвестиционной теории часто дают неверные результаты также потому, что основаны на предположении о том, что все инвесторы рациональны и одинаково воспринимают рыночные сигналы относительно состояния рынка. Кроме того, инвестиционная и торговая стратегии требуют динамической реструктуризации портфеля с учетом стохастической эволюции инвестиционной среды, что также не может быть учтено в рамках классической теории. Поэтому возникает необходимость развития методов моделирования оптимального размещения капитала в рисковые активы в условиях стохастического изменения их доходности с учетом стохастической эволюции параметров инвестиционной среды.

Поведение рыночных цен и объемов продаж активов во время эпизодов спекулятивного бума, характеризующихся «ценовыми пузырями», неадекватно описывается классическими теориями оценки активов. Общей чертой этих эпизодов, включая недавний бум Интернет-рынка акций, является сосуществование высоких цен и высоких объемов продаж. Кроме того, при этом часто наблюдается высокая волатилыюсть цен рисковых активов. Адекватное описание этих явлений должно основываться на учете психологии агентов финансового рынка и эволюции оценки ими рыночных сигналов.

Достоверные количественные результаты, касающиеся определения оптимальных стратегий инвестирования в рисковые финансовые инструменты и торговли ими в стохастических условиях, могут быть получены в рамках строгих экономико-математических моделей финансового трейдинга на спекулятивных фондовых рынках в непрерывном времени с учетом функций полезности инвестора. Этим и определяется актуальность диссертационного исследования.

Степень изученности проблемы. Количественный анализ и прогнозирование финансового состояния фондовых рынков базируется на финансовом менеджменте, финансовой математике и финансовой эконометрике. Вопросы управления использованием капитала в процессе финансового инвестирования рассматривались в трудах зарубежных и отечественных ученых. Большой вклад в теорию и практику финансового менеджмента внесли Бирман Г., Блауг М., Блех Ю., Брейли Р., Бригхэм Ю., Гетце У., Гитман Л., Дамари Р.,. Дебре Ж., Друри К., Ирвин Д., Карлин Т., Коллас Б., Колб Р., Курц X., Крушвиц Л., Ли Ч., Маркович Г., Маршалл Д., Майерс С., Мертон Р., Миддлтон Д., Миллер М., Модильяни Ф., Моргенштерн О., Нейман Д., Перар Ж., Самуэльсон П., Тобин Д., Шарп У., Шим Д., Эрроу К. Среди отечественных ученых следует отметить Балабанова И.Т., Бланка И.А., Ефимову О.В., Ковалева В.В., Поляка Г.Б., Стоянову Е.С., Тренева Н.Н., Хоминич И.ГТ.

Большой вклад в развитие таких разделов финансовой математики, как теория ренты, измерение доходности финансовых инструментов, анализ производственных инвестиций и измерителей финансовой эффективности, анализ финансовых рисков внесли российские и зарубежные ученые: Алексеев М.Ю., Башарип Г.П., Капитоненко В.В., Кардаш В.А., Касимов Ю.Ф., Кутуков В.Б., Перепелица В.А., Попова Е.В., Четыркин Е.М., Аким Э.,

Браун С., Бригхэм Ю., Ганснски Л., Джордан Ы., Карлберг К., Кочович Е., Паррамоу К., Уотшем Т„ Шим Д. Математические основы анализа стохастических процессов в финансах разрабатывались Гнеденко B.C., Колмогоровым A.PI., Макаровым В.Л., Марковым А.А., Мельниковым А.В., Новиковым А.А., Павловым И.В., Прохоровым Ю.В., Ширяевым А.Н. Из иностранных ученых отметим Винера П., Ито К., Као X., Карни Е., Маковского Л., Мандельброта Б., Маркуса С., Муна Ф., Поляка Б., Сигела Д., Фукушиму М., Хо У.

Сформировавшись буквально в последние два десятилетия, финансовая эконометрика является в настоящее время одной из наиболее бурно развивающихся областей эконометрики. Среди российских и зарубежных ученых, разрабатывающих эконометрические методы анализа и прогнозирования в теории и практике финансов, следует отметить Андерсена Т., Айвазяна С.А., Боллерслева Т., Винтизенко И.Г., Давниса В.В., Диболда Ф., Ингла Р., Кэмпбелла Дж., Перепелицу В.А., Попову Е.В., Тейлора С., Хансена С., Макарова В.Л., Эфрона Б., Яновского Л.П.

В то же время, несмотря на большое количество публикаций в области моделирования и анализа финансовых рынков и оптимизации финансового портфеля, многие упомянутые выше проблемы далеки от разрешения и находятся в стадии обсуждения. Так, практически не изучены экономические механизмы явлений спекулятивного бума и цеповых пузырей, наблюдаемых на фондовых рынках в стохастических условиях. Отметим также, что в большинстве известных исследований проблемы оптимального финансового инвестирования задача решается численно (Барберис Н., Брандт М., Бреннан М., Бэлдаззи П., Висейра Л., Ким Т., Кэмпбелл Дж.), что не позволяет выявить вклад составляющих портфеля (спекулятивного спроса на рисковые активы и различных видов спроса на хеджирование) в оптимальное решение и проследить влияние на него параметров инвестиционной среды и функции полезности (предпочтений) агента финансового рынка.

Теоретическая и практическая значимость моделирования оптимального размещения капитала в рисковые активы и торговли ими в условиях стохастического изменения параметров инвестиционной среды и определили тему и постановку задач диссертационного исследования.

Объект и предмет исследования. Объектом исследования является фондовый рынок. Предметом диссертационного исследования является спекулятивная торговля рисковыми активами и механизмы возникновения спекулятивного бума на фондовом рынке.

Цель и задачи исследования. Целыо диссертационной работы является построение моделей и решение динамических задач инвестирования и спекулятивной торговли активами на фондовом рынке, характеризующемся стохастичностыо инвестиционной среды. В соответствии с поставленной целыо в диссертации решались следующие задачи:

- анализ экономических механизмов возникновения спекулятивного бума и ценовых пузырей на фондовых рынках в стохастических условиях;

- разработка экономико-математической модели спекулятивной торговли активами на фондовом рынке с учетом стохастических изменений их цен, ожидаемых доходностей, а также стохастической динамики краткосрочной процентной ставки;

- моделирование и анализ свойств оптимальных стратегий спекулятивной торговли активами группами инвесторов, характеризующихся различной оценкой рыночных сигналов относительно будущих дивидендов;

- анализ равновесного состояния рынка и соответствующего соотношения между ценами рисковых активов, объемами продаж и ценовой волатильностыо активов;

- исследование влияния торговых издержек и трансакционных налогов на ценовую волатильность и размер ценового пузыря рискового актива.

Методология и методы исследования. Методологическую базу диссертационного исследования составляют труды отечественных и зарубежных экономистов и математиков по теории финансового инвестирования и финансовым рынкам, теории случайных процессов, финансовой математике, методам стохастического оптимального управления, Информационно-документальной базой исследования являются статистические материалы Федеральной службы государственной статистики, законодательные акты РФ, решения и нормативные акты Правительства Российской Федерации, Федеральной службы по финансовым рынкам, регулирующие деятельность фондового рынка, статистические данные Центра по исследованию ценных бумаг США (CRSP).

Диссертационное исследование выполнено в рамках п. 1.6 "Математический анализ и моделирование процессов в финансовом секторе экономики, развитие методов финансовой математики и актуарных расчетов" паспорта специальности 08.00.13 - Математические и инструментальные методы экономики.

Научная новизна диссертационного исследования состоит в следующем:

- разработана модель спекулятивной торговли рисковыми активами, основанная на неоднородности оценок рыночных сигналов участниками фондового рынка будущих дивидендов, позволяющая описывать возникновение ценовых пузырей и явлений спекулятивного бума, наблюдаемых на фондовых рынках в стохастических условиях;

- доказано, что при наличии ограничения короткой продажи владелец актива обладает опционом перепродажи актива другим инвесторам, имеющим более оптимистические прогнозы относительно будущих дивидендов, что позволяет на основе оптимального решения задачи исполнения опциона перепродажи актива рассчитывать важнейшие равновесные характеристики фондового рынка: величину ценового пузыря, частоту продаж и волатильность цены рискового актива;

- выявлены характеристики равновесия на фондовом рынке при малых торговых издержках и установлено, что в этих условиях величина ценового пузыря и избыточная волатильность рисковых активов максимальны, а увеличение таких экзогенных параметров модели, как степень чрезмерной уверенности агентов и информативное содержание рыночных сигналов относительно доходности рисковых активов, приводит к росту ключевых эндогенных переменных - цены активов, объема продаж и волатильности;

- установлено, что применение налога с продаж является эффективным средством сокращения спекулятивной торговли на фондовых рынках, однако эффективность налога с продаж в сокращении ценовой волатильности и размера ценового пузыря рисковых активов значительно ниже;

- рассчитаны характеристики кросс-секционной корреляции между ценой рисковых активов, объемом продаж, дюрацией между продажами и волатильностыо цен активов; это позволило установить, что предложенная модель спекулятивной торговли находится в согласии с реально наблюдаемыми на фондовых рынках явлениями спекулятивного бума.

Практическая значимость результатов исследования. Практическая значимость исследования определяется тем, что разработанные в диссертации модели, методы и алгоритмы ориентированы на решение тактических и стратегических задач при осуществлении участниками фондового рынка управления финансовым инвестированием в рисковые активы в стохастической инвестиционной среде. Предложенная модель формирования пузырей цен активов является эффективным средством изучения спекулятивной торговли и может быть использована для установления связей между ценами активов, объемами продаж и ценовой волатильностыо на спекулятивных финансовых рынках.

Обоснованность и достоверность научных положений, выводов и рекомендаций подтверждается применением: системного анализа; математических методов экономики, включающих финансовую математику, теорию стохастического оптимального управления, теорию полезности, теорию случайных процессов, метод сравнительной статики равновесия, аналитические и численные методы анализа стохастических и обыкновенных дифференциальных уравнений. Достоверность результатов диссертационной работы подтверждается также тем, что в частных случаях полученные в диссертации общие результаты переходят в известные результаты, аналитические асимптотики согласуются с численными результатами. Аналитические результаты, полученные независимо методом стохастического динамического программирования и мартингальным методом, совпадают. Полученные в работе теоретические результаты согласуются с эмпирическими данными по реальным фондовым рынкам.

Апробация и внедрение результатов исследования. Основные положения и результаты диссертационного исследования докладывались автором на Международном симпозиуме «Актуальные теоретические и прикладные проблемы экономической психологии» (Кисловодск, 2005), VII Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (г. Йошкар-Ола, 2006, зимняя сессия), III Международной научно-практической конференции «Экономическое прогнозирование: модели и методы» (г. Воронеж, 2007), Всероссийском симпозиуме «Математические модели и информационные технологии .в экономике» (г. Кисловодск, 2007), I Международном научном форуме «Толерантное пространство современности: Экономика-право-мораль» (г. Кисловодск, 2008), IV Международной научно-практической конференции «Экономическое прогнозирование: модели и методы» (г. Воронеж, 2008), Всероссийском симпозиуме «Актуальные проблемы социально-экономического развития» (г. Кисловодск, 2009).

Результаты диссертационного исследования используются СевероКавказским государственным техническим университетом в учебном процессе и включены в структуру учебных дисциплин «Экономикоматематическое моделирование», «Рынок ценных бумаг» и «Финансовая математика».

Публикации. Основные результаты исследования отражены в опубликованных автором 9 печатных работах общим объемом 3,15 п.л.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка использованной литературы. Текст диссертации изложен на 125 страницах, включает 1 таблицу, 10 рисунков. Список использованной литературы содержит 138 источников.

Диссертация: заключение по теме "Математические и инструментальные методы экономики", Асрян, Гретта Артуровна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Финансовые рынки в современных условиях (особенно зарождающиеся рынки, к числу которых относится и российский фондовый рынок) характеризуются нестационарными, стохастическими и кризисными явлениями различной природы. В таких условиях традиционная портфельная теория и классические методы финансовой математики, представляющие собой основанный на статистических методах механизм оптимизации формируемого инвестиционного портфеля по задаваемым критериям соотношения уровня его ожидаемой доходности и риска, оказываются неадекватными. Подавляющее число исследований процесса финансового инвестирования основано на предположении о рациональном поведении трейдеров, адекватно воспринимающих рыночные сигналы. Вместе с тем известны многочисленные примеры нерационального поведения инвесторов, которое способно привести к формированию спекулятивной составляющей цен активов и спекулятивному буму на финансовых рынках. Хотя такие явления возникают на финансовых рынках достаточно часто, конструктивная теория их отсутствует.

Поведение рыночных цен и объемов пр<эдаж активов во время эпизодов спекулятивного бума, характеризующихся «ценовыми пузырями», неадекватно описывается классическими теориями оценки активов. Общей чертой этих эпизодов, включая недавний бум Интернет-рынка акций, является сосуществование высоких цен и высоких объемов продаж. Кроме того, при этом часто наблюдается высокая волатильность цен активов.

В диссертации предложена модель торговли активами, основанная на неоднородности мнений участников финансового рынка относительно будущих дивидендов, вызванной их чрезмерной уверенностью в оценке рыночных сигналов. Равновесное состояние рынка полностью соответствует указанным наблюдаемым явлениям. Установлены явные соотношения между такими параметрами модели, как издержки продаж и информативность рыночных сигналов, а также равновесные цены актива и объемы продаж. Предлагаемая модель является эффективным средством изучения спекулятивной торговли и может быть использована для установления связей между ценами активов, объемами продаж и ценовой волатильностью.

В предложенной модели владение частью актива обеспечивает возможность (опцион) для извлечения прибыли из переоценки актива другими инвесторами. Для того, чтобы этот опцион существовал, необходимы некоторые ограничения относительно короткой продажи, которые широко распространены на реальных финансовых рынках. Во-первых, на многих рынках короткая продажа требует заимствования активов, а этот механизм приводит к издержкам, в частности, при росте цены актива, даваемого в долг, кредитор назначает дополнительную цену, связанную с риском дефолта. Во-вторых, риск, связанный с короткой продажей, может отпугнуть инвесторов, не склонных к риску. В-третьих, ограничения доступности капитала потенциальным арбитражерам может также ограничивать короткую продажу. Поэтому в предлагаемой модели короткая продажа не рассматривается.

Психологическим основанием предлагаемой модели является установленная экспериментальными исследованиями человеческого поведения склонность к чрезмерной уверенности в точности своей субъективной оценки получаемой информации. Кроме переоценки точности получаемой индивидуумом информации, в психологии известно также явление «иллюзии знания», которое также может являться основанием предлагаемой далее модели спекулятивного бума. «Иллюзия знания» проявляется в том, что мнения индивидуумов, характеризующихся различной оценкой имеющейся у них информации, становятся еще более поляризованными при получении аргументов, устраивающих стороны, имеющие различные мнения.

В модели с непрерывным временем и бесконечным временным горизонтом рассматривается финансовый рынок с единственным рисковым активом с ограниченным предложением и большим количеством нейтральных по отношению к риску агентов. Текущий дивиденд по активу является случайной реализацией фундаментальной переменной. Кроме дивидендов, в каждый момент времени существуют два набора сигналов. Информация доступна всем участникам рынка; однако агенты делятся на две группы и различаются интерпретацией сигналов. Каждая группа переоценивает информативность отдельного сигнала и, вследствие этого, имеет собственные прогнозы относительно будущих дивидендов. Агенты в предлагаемой модели знают, что их предположения отличаются от прогнозов агентов другой группы. По мере получения информации прогнозы агентов двух рассматриваемых групп могут меняться, и группа агентов, которая в один момент времени является относительно более оптимистичной, может в будущем стать менее оптимистичной, чем агенты другой группы. Эти флуктуации относительных оценок агентами будущих дивидендов генерируют торговлю активами.

При оценке актива агенты учитывают собственный взгляд на фундаментальную переменную и тот факт, что владелец актива имеет возможность (опцион) продать актив в будущем агентам другой группы. Этот опцион может быть исполнен текущим владельцем актива в любой момент, и новый владелец актива имеет, в свою очередь, другой опцион продажи актива. Эти характеристики делают рассматриваемый опцион американским и придают ему рекуррентную структуру. Стоимость опциона есть функция стоимости задачи оптимальной остановки. Поскольку готовность покупателя платить является функцией стоимости приобретаемого им опциона, выплата, соответствующая остановке, в свою очередь, связана со стоимостью опциона. Это приводит к задаче с фиксированной точкой, которой должна удовлетворять стоимость опциона. Это различие между ценой спроса текущего владельца и его фундаментальной оценкой (определенной в модели) представляет собой стоимость опциона перепродажи и поэтому называется ценовым пузырем.

Флуктуации величины ценового пузыря являются источником дополнительной ценовой волатильности. Подчеркнем, что ценовой пузырь в построенной модели является следствием различия мнений агентов финансового рынка относительно будущих цен активов, вызванного переоценкой ими информативности отдельных сигналов.

В равновесии владелец актива продает актив агентам из другой группы всякий раз, когда оценка фундаментальной переменной агентами другой группы превосходит оценку фундаментальной переменной владельцем актива на критическую величину. Переходы через эту критическую точку определяют оборачиваемость активов. При отсутствии торговых издержек критическая точка равна нулю: для владельца актива является оптимальным продать актив немедленно после того, как его фундаментальная оценка превышена агентами другой группы. Мнения агентов описываются стохастическими дифференциальными уравнениями, и следствием характеристик броуновского движения является то, что если мнения агентов однажды «пересеклись», они пересекутся бесконечное количество раз в любой последующий конечный промежуток времени. Это приводит к спекулятивному торговому буму, при котором безусловный средний объем продаж в любой интервал времени бесконечен. Поскольку состояние равновесия характеризуется непрерывностью относительно торговых издержек, построенная модель при малых торговых издержках может описывать избыточную торговлю, наблюдаемую при ценовых пузырях. При малых торговых издержках величина ценового пузыря и избыточная волатильность максимальны. Показано, что увеличение некоторых режимных параметров, таких, как степень чрезмерной уверенности агентов или информативное содержание сигналов, приводит к росту трех ключевых переменных - цены актива, объем продаж и волатильность.

Таким образом, предложенная модель объясняет кросс-секционную корреляцию между ценой активов, объемом продаж и волатильностыо цены, наблюдаемую в эпизодах спекулятивного бума.

Согласно результатам предложенной модели, увеличение торговых издержек сокращает частоту продаж и приводит к снижению волатильности цены актива и стоимости опциона перепродажи актива. При малых торговых издержках их влияние на частоту продаж очень существенно. Влияние торговых издержек на ценовую волатильность и размер ценового пузыря значительно слабее. По мере увеличения торговых издержек увеличение критической точки, соответствующей продаже, также увеличивает прибыль владельца актива от каждой продажи, тем самым частично компенсируя уменьшение стоимости опциона перепродажи, вызванное сокращением частоты продаж. Анализ показывает, что трансакционный налог, предложенный Тобином (1978), приводит к существенному снижению объема спекулятивной торговли на финансовых рынках с малыми трансакционными издержками, однако имеет весьма ограниченное влияние на размер ценового пузыря и на ценовую волатильность. Поскольку налог Тобина ограничит торговлю на финансовых рынках, вызванную причинами, не рассматриваемыми в предлагаемой модели, некоторое влияние налога Тобина на величину ценового пузыря и на ценовую волатильность не может служить основанием целесообразности применения налога Тобина. Ограниченное влияние трансакционных издержек на размер ценового пузыря также находится в согласии с наблюдением [111] о том, что пузыри возникают на рынке недвижимости, на котором трансакционные издержки традиционно высоки.

Существование составляющей опциона перепродажи в цене актива создает потенциальную возможность нарушения закона одной цены. На простом примере показано, что наличие ценового пузыря может привести к тому, что стоимость дочерней компании может оказаться больше стоимости материнской компании.