Моделирование и оптимизация портфельных инвестиций в стохастических нестационарных условиях тема диссертации по экономике, полный текст автореферата

Автореферат диссертации по теме "Моделирование и оптимизация портфельных инвестиций в стохастических нестационарных условиях"

На правах рукописи

НИКОНОВИЧ Наталья Николаевна

МОДЕЛИРОВАНИЕ И ОПТИМИЗАЦИЯ ПОРТФЕЛЬНЫХ ИНВЕСТИЦИЙ В СТОХАСТИЧЕСКИХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УСЛОВИЯХ

08.00.13 - Математические и инструментальные методы экономики

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата экономических наук

2 1 ОПТ

Кисловодск - 2010

2010

Работа выполнена в НОУ ВПО «Кнсловодский институт экономики и права»

Научный руководитель: доктор экономических наук, профессор

Курдюков Сергей Иванович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Наталуха Игорь Анатольевич

кандидат экономических наук, доцент Кошелев Игорь Викторович

Ведущая организация: Филиал ГОУ ВПО «Северо-Кавказский

государственный технический университет» в г. Пятигорске

Защита состоится 23 октября 2010 года в 13 часов на заседании объединенного диссертационного совета ДМ 521.002.01 по экономическим наукам при НОУ ВПО «Кнсловодский институт экономики и права» (357700, г. Кисловодск, ул. Р. Люксембург, 42).

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке НОУ ВПО «Кнсловодский институт экономики и права»

Автореферат разослан 22 сентября 2010 года

Ученый секретарь диссертационного совета

Бостанова А.И.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Фондовые рынки в условиях глобализации современной экономики характеризуются различного рода нестационарными, кризисными и катастрофическими явлениями. В таких условиях классические модели и методы финансовой математики часто оказываются неадекватными. Так, в рамках классической портфельной теории невозможно разрешить такие проблемы несоответствия популярных рекомендаций фондовых консультантов теоретическим предсказанием, как парадоксы Самуэльсона и Кеннера-Мэнкью-Вейла. Парадокс Самуэльсона состоит в том, что, согласно советам финансовых консультантов, долгосрочные инвесторы должны размещать большую часть капитала в акции, чем краткосрочные, а классическая теория не связывает оптимальное размещение активов с длиной инвестиционного горизонта. Кроме того, отношение долей капитала, размещаемого в облигации и акции, должно, согласно практическим рекомендациям, увеличиваться с ростом неприятия риска инвестором, что находится в противоречии с предсказанием классической портфельной теории об одном и том же отношении капитала, инвестированного в облигации и акции, для всех инвесторов (парадокс Кенне-ра-Менкью-Вейла).

Кроме того, инвестирование неотделимо от потребления (инвесторы, как правило, извлекают полезность не только из конечного капитала в конце инвестиционного периода, но и из промежуточного потребления в различные моменты времени), а инвестиционная стратегия требует динамической реструктуризации портфеля с учетом стохастической эволюции инвестиционной среды, что также не может быть учтено в рамках классической теории. Поэтому возникает необходимость развития методов моделирования оптимального размещения капитала в рисковые активы в условиях стохастического изменения их доходности с учетом стохастической эволюции параметров инвестиционной среды.

Достоверные количественные результаты, касающиеся определения оптимальных стратегий инвестирования в рисковые инструменты фондового рынка и потребления в стохастических условиях, позволяющих агенту оперативно реструктурировать портфель, могут быть получены в рамках строгих экономико-математических моделей портфельного инвестирования в непрерывном времени с учетом функций полезности инвестора. Этим и определяется актуальность диссертационного исследования.

Степень изученности проблемы. Количественный анализ и прогнозирование финансового состояния фондовых рынков базируется на финансовом менеджменте, финансовой математике и эконометрике. Вопросы управления использованием капитала в процессе финансового инвестирования рассматривались в трудах зарубежных и отечественных ученых. Большой вклад в теорию и практику финансового менеджмента внесли Бирман Г., Блауг М., Блех Ю., Брейли Р., Бригхэм Ю., Гетце У., Гитан Л., Дамари Р.,. Дебре Ж., Друри К., Ирвин Д., Карлин Т., Коллас Б., Колб Р., Курц X., Крушвиц Л., Ли Ч., Маркович Г., Маршалл Д., Майерс С., Мертон Р., Миддлтон Д., Миллер М., Модилья-

ни Ф., Моргенштерн О., Нейман Д., Перар Ж., Самуэльсон П., Тобин Д., Шарп У., Шим Д., Эрроу К. Среди отечественных ученых следует отметать Балабанова И.Т., Бланка И.А., Ефимову О.В., Ковалева В.В., Поляка Г.Б., Стоянову Е.С., Тренева H.H., Хоминич И.П.

Большой вклад в развитие таких разделов финансовой математики, как теория ренты, измерение доходности финансовых инструментов, анализ производственных инвестиций и измерителей финансовой эффективности, анализ финансовых рисков внесли российские и зарубежные ученые: Алексеев М.Ю., Башарин Г.П., Капитоненко В.В., Кардаш В.А., Касимов Ю.Ф., Кутуков В.Б., Наталуха И.А., Перепелица В.А., Попова Е.В., Токаев Н.Х., Четыркин Е.М., Аким Э., Браун С., Бригхэм Ю., Гапенски Л., Джордан Н., Карлберг К., Кочо-вич Е., Паррамоу К., Уотшем Т„ Шим Д. Математические основы анализа стохастических процессов в финансах разрабатывались Гнеденко B.C., Колмогоровым А.Н., Макаровым В.Л., Марковым A.A., Мельниковым A.B., Новиковым A.A., Павловым И.В., Прохоровым Ю.В., Ширяевым А.Н. Из иностранных ученых отметим Винера Н., Ито К., Као X., Карни Е., Маковского JI., Мандельбро-та Б., Маркуса С., Муна Ф., Поляка Б., Сигела Д., Фукушиму М., Хо У.

Среди российских и зарубежных ученых, разрабатывающих эконометри-ческие методы анализа и прогнозирования в теории и практике финансов, следует отметить Андерсена Т., Айвазяна С.А., Боллерслева Т., Винтизенко И.Г., Давниса В.В., Диболда Ф., Ингла Р., Кэмпбелла Дж., Перепелицу В.А., Попову Е.В., Тейлора С., Хансена С., Макарова B.JL, Эфрона Б., Яновского Л.П.

Впервые задача оптимизации портфеля инвестиций в стохастической модели с непрерывным временем поставлена в работах Мертона Р. (1971), однако полученные решения соответствуют постоянным инвестиционным возможностям или являются статическими по природе. Несмотря на большое количество публикаций в области моделирования и анализа фондовых рынков и оптимизации портфеля в последние два десятилетия, многие проблемы далеки от разрешения й находятся в стадии обсуждения. В большинстве известных исследований проблемы оптимального портфельного инвестирования задача решается численно (Барберис Н., Брандт М., Бреннан М., Бэлдаззи П., Висейра Л., Ким Т., Кэмпбелл Дж.), что не позволяет выявить вклад составляющих портфеля (спекулятивного спроса на рисковые активы и различных видов спроса на хеджирование) в оптимальное решение и проследить влияние на него параметров инвестиционной среды и функции полезности агента финансового рынка.

Теоретическая и практическая значимость моделирования оптимального размещения капитала в рисковые активы в условиях стохастического изменения параметров инвестиционной среды и определили тему и постановку задач диссертационного исследования.

Объект и предмет исследования. Объектом исследования является инвестиционный портфель агента фондового рынка.

Предметом диссертационного исследования являются стратегии оптимального размещения капитала в рисковые активы в стохастической инвестиционной среде фондового рынка с учетом промежуточного потребления.

Цель и задачи исследования. Целью диссертационной работы является

построение моделей и решение динамических задач оптимального инвестирования при наличии промежуточного потребления на фондовом рынке, характеризующемся стохастичностью инвестиционной среды. Достижение поставленной цели потребовало решения следующих задач:

- разработка экономико-математической модели, позволяющей рассчитывать оптимальные доли капитала, размещаемого в рисковые инструменты фондового рынка с учетом стохастических изменений инвестиционной среды;

- решение задачи оптимизации портфельных инвестиций и исследование свойств оптимальных стратегий инвестирования и хеджирования;

- калибровка модели к реальным параметрам фондовых рынков и численные расчеты оптимальных портфельных инвестиций;

- моделирование оптимального портфельного и потребительского выбора для инвестора с сепарабельной по времени функцией полезности в условиях стохастической эволюции параметров инвестиционной среды;

- анализ оптимального инвестирования в спекулятивную и в хеджирующую части портфеля в зависимости от функции полезности и коэффициента относительного неприятия риска инвестора.

Теоретическая и эмпирическая база исследования. Диссертационное исследование основано на фундаментальных разработках отечественных и зарубежных ученых-экономистов по проблемам финансовых инвестиций, фондового рынка, экономической теории благосостояния, теории полезности, методам стохастического оптимального управления.

Информационно-документальной базой исследования являются статистические материалы Федеральной службы государственной статистики, законодательные акты РФ, решения и нормативные акты Правительства Российской Федерации, Федеральной службы по финансовым рынкам, регулирующие деятельность фондового рынка, статистические данные Центра по исследованию ценных бумаг США (СЯ8Р), а также собственные расчеты автора.

Диссертационное исследование выполнено в рамках п. 1.6 "Математический анализ и моделирование процессов в финансовом секторе экономики, развитие методов финансовой математики и актуарных расчетов" паспорта специальности 08.00.13 - Математические и инструментальные методы экономики.

Методы исследования. В диссертации, в рамках системного подхода, использовались различные методы и приемы экономического исследования: математического моделирования, стохастического оптимального управления, теории полезности, решения и анализа обыкновенных и стохастических дифференциальных уравнений, графический и расчетно-конструктивный.

Научная новизна диссертационного исследования заключается в развитии методологии математического моделирования и анализа портфельного инвестирования в стохастических условиях. В диссертации получены следующие результаты:

- разработана динамическая стохастическая модель размещения капитала в рисковые активы фондового рынка инвестором, характеризующимся степенной функцией полезности с постоянным относительным неприятием риска, позволяющая строить оптимальную стратегию портфельного инвестирования с уче-

том стохастических изменений цен активов, ожидаемых доходностей, вариационно-ковариационной матрицы доходностей, а также стохастической динамики краткосрочной процентной ставки;

- в явном аналитическом виде получены составляющие оптимального инвестиционного портфеля (спекулятивный спрос инвестора и портфель хеджирования) как функции рисковых премий, волатильностей цен рисковых активов, ожидаемого уровня и неопределенности инфляции, длины инвестиционного горизонта и характеристик функции полезности инвестора, позволяющие агенту финансового рынка оперативно реструктурировать портфель (максимизируя свою полезность) в соответствии со стохастически меняющимися инвестиционными возможностями;

- предложена экономическая интерпретация оптимальной стратегии инвестирования и осуществлена калибровка построенной модели к реальным параметрам фондовых рынков, что позволило объяснить парадоксы Самуэльсона и Кеннера-Мэнкью-Вейла, состоящие в несоответствии теоретических результатов классической портфельной теории практическим рекомендациям профессиональных финансовых консультантов;

- построены оптимальные стратегии портфельного инвестирования с учетом промежуточного потребления при произвольной стохастической (в том числе немарковской) динамике цен рисковых активов и процентных ставок, позволяющие инвестору строить оптимальную политику хеджирования инвестиционных рисков в условиях, когда гипотеза эффективных финансовых рынков несправедлива;

- установлено, что инвестор с логарифмической функцией полезности (характеризующийся нейтральным отношением к риску) вообще не хеджирует против изменений стохастически эволюционирующих инвестиционных возможностей, а инвестор с бесконечным коэффициентом относительного неприятия риска не имеет спекулятивного спроса на ценные бумаги.

Практическая значимость исследования. Практическая значимость исследования определяется тем, что разработанные в диссертации модели, методы и алгоритмы ориентированы на решение тактических и стратегических задач при осуществлении участниками финансового рынка управления финансовым инвестированием в рисковые активы в стохастической инвестиционной среде. Рассчитанные в диссертации в аналитическом виде составляющие оптимального портфеля (спекулятивный спрос инвестора и портфель хеджирования) позволяют инвесторам реструктурировать портфель при различных инвестиционных горизонтах (максимизируя свою полезность) в соответствии со стохастически меняющимися рисковыми премиями, волатильностями цен рисковых активов и краткосрочными процентными ставками. Построенные в диссертации оптимальные стратегии хеджирования процентного риска в условиях, когда инвестор извлекает полезность как из конечного капитала, так и из промежуточного потребления, позволяют инвестору наиболее эффективно занимать хеджирующие позиции по облигации с непрерывным купоном (динамика которой определена аналитически) или облигации с нулевым купоном со сроком погашения в конце инвестиционного горизонта в зависимости от коэффициента относительного неприятия риска.

Апробация результатов исследования. Основные положения и результаты диссертационного исследования докладывались автором на Международном симпозиуме «Актуальные теоретические и прикладные проблемы экономической психологии» (г. Кисловодск, 2005), VII Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (г. Йошкар-Ола, 2006, зимняя сессия), Всероссийском симпозиуме «Математические модели и информационные технологии в экономике» (г. Кисловодск, 2007), IX Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (г. Кисловодск, 2008, весенняя сессия), Международной научно-практической конференции «Финансы, денежное обращение и кредит. Организация финансовых систем» (Новочеркасск, 2009), Всероссийской научной конференции «Актуальные проблемы социально-экономического развития» (г. Кисловодск, 2009), XI Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (г. Сочи, 2010, осенняя сессия).

Результаты диссертационного исследования используются Кисловодским институтом экономики и права в учебном процессе и включены в структуру учебных дисциплин «Экономико-математическое моделирование», «Рынок ценных бумаг» и «Финансовая математика».

Публикации. Основные результаты исследования отражены в опубликованных автором 7 печатных работах общим объемом 3,3 пл.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка использованной литературы. Текст диссертации изложен на 133 страницах, включает 7 таблиц, 3 рисунка. Список использованной литературы содержит 143 источника.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы исследования, дана характеристика степени изученности проблемы, сформулированы цель и задачи исследования, научная новизна и практическая значимость.

В первой главе "Управление портфельными инвестициями и классические модели ценообразования активов " рассматриваются виды финансовых инструментов инвестирования капитала и их особенности, методы оценки эффективности инвестирования капитала в финансовые инструменты, а также методы управления портфелем ценных бумаг с учетом финансовых рисков. Дается характеристика факторов, определяющих инвестиционные качества отдельных финансовых инструментов инвестирования. Обсуждаются модели оценки реальной стоимости ценных бумаг. Сделан обзор работ, посвященных формированию портфеля финансовых инвестиций, выбору портфельной стратегии и типа формируемого инвестиционного портфеля. Рассматривается оценка финансовых инструментов инвестирования по показателям уровня доходности, риска и взаимной ковариации. Изложены принципы оперативного управления реструктуризацией портфеля финансовых инвестиций. Рассматриваются

виды отношений инвесторов к риску и характеристики интенсивности нерасположенности к риску.

Во второй главе «Моделирование и оптимизация портфельных инвестиций в стохастических нестационарных условиях» построена оптимальная стратегия динамического размещения капитала в фондовые активы инвестором, характеризующимся степенной функцией полезности с постоянным относительным неприятием риска. Предложена непрерывная по времени динамическая стохастическая модель портфельного инвестирования, которая разрешает оба указанных выше парадокса и находится в согласии с практическими рекомендациями финансовых аналитиков. Поставим задачу инвестирования агентом фондового рынка, обладающим начальным капиталом и желающим инвестировать его в активы фондового рынка на определенном инвестиционном горизонте. Инвестор выбирает динамическую портфельную стратегию с целью максимизации ожидаемой полезности своего капитала IV на инвестиционном горизонте Т: J = шах £р/(И/г)]. Функция полезности инвестора харак-

ц/Н-

теризуется постоянным относительным неприятием риска V(И/)=-, где

1 -у

у - коэффициент относительного неприятия риска. При у = 1 имеем особый предельный случай логарифмической полезности и<}¥)= 1п IV. Цены рисковых активов с учетом реинвестирования дивидендов эволюционируют согласно стохастическому дифференциальному уравнению

^- = (Г1+х,У» + сг,ЛГ„, (1)

где г, - краткосрочная номинальная процентная ставка, х, - ожидаемая избыточная доходность по акциям, а, - волатильность цен активов, - винеров-ский случайный процесс. Избыточная доходность по акциям описывается уравнением Орнштейна- Уленбека

ск, = а(х - х, >Й - ахсЯ¥и, (2)

где х - долгосрочная рисковая премия, а - параметр релаксации х, к установившемуся значению, ах - волатильность избыточной доходности. Динамика номинальной процентной ставки описывается процессом

¿г, = к (в -г,)Л- агс/1Г2,, (3)

где в - установившееся значение процентной ставки на большом временном интервале, к - скорость релаксации процентной ставки к долгосрочному значению, ат - волатильность процентной ставки. Два основных винеровских процесса Щ и IV2, генерирующих динамику цен рисковых активов, коррелированны с постоянным коэффициентом корреляции рп. Мгновенная ковариация между доходностью акций и краткосрочной процентной ставкой обозначается сг5г (= -рпа5ат). Динамика цены облигации В, описывается стохастическим дифференциальным уравнением

dB

—L = (ri+XByit + aBdW2l dB 1

где A„ =ÄrcrB, aB = crrD(r,t), a D(r,t)=----эластичность цены облига-

дг В

ции относительно краткосрочной процентной ставки, которая называется модифицированной дюрацией и является индикатором процентного риска облигаций. Итак, финансовый агент имеет возможность инвестировать капитал в три вида активов: безрисковый актив (банковский счет), акции (индекс акций) и

облигации. Вариационно-ковариационная матрица имеет вид £ =

¡В

Т2

J в у

где <т,в = = Врпсу^г.

Неопределенность инфляции в экономике моделируется следующим образом. Номинальная цена реального потребительского товара в экономике в момент I составляет у,. Реальная цена любого актива в экономике поэтому определяется дефлированием на индекс цен ц/,. Реальная цена акций, например, равна . Динамика номинальной цены потребительского товара определяется следующей системой стохастических дифференциальных уравнений

— = л,Л + а¥й\Уу, ¿я, = р{ж -х,Ук + ажеП¥^, (5)

V,

где л, - ожидаемая ставка инфляции, я описывает долгосрочную среднюю скорость инфляции, р - скорость релаксации л, к своему среднему значению, ап - волатильность инфляционной процентной ставки, а¥ - волатильность индекса цен (фактически ац/ определяет темп краткосрочной инфляции в экономике). Изменения номинального индекса цен и инфляционной ставки коррелированны с доходностью акций и процентными ставками. Например, ковариация между доходностью акций и уровнем цен равна <т5у = рхъа,ац,, а ковариация

между доходностью акций и скоростью инфляции равна = р1Аетгая.

Применяя принцип оптимальности Беллмана, получаем следующее распределение оптимальных пропорций размещения капитала в рисковые активы:

w = -

WJ,

-I

Л,

(х Л ■Ли 'О

tPJww WJww

Ж/

/ _ \ + ( J 1 + J* Z"

l. ^WW J j

(6)

Соотношение (6) определяет оптимальные портфельные веса в зависимости от конкретных условий фондового рынка. Первое слагаемое в (6) представляет собой стандартную спекулятивную часть портфеля («близорукий» спрос на рисковые активы), который оптимален для инвестора с логарифмической полезностью с единичным коэффициентом относительного неприятия риска. Следую-

щие четыре слагаемых в (6) описывают, как инвестор оптимально хеджирует изменения инвестиционных возможностей, которые в рассматриваемом контексте включают изменения ожидаемых избыточных доходностей (второе слагаемое в (6)), номинальных процентных ставок (третье слагаемое), а также изменения будущих темпов инфляции (четвертое слагаемое) и краткосрочной инфляции (пятое слагаемое). Заметим, однако, что хотя пятое слагаемое в (6) исчезает для инвестора с логарифмической полезностью, оно будет в общем случае отлично от нуля при спекулятивном спросе инвестора с нелогарифмической полезностью. Поэтому, строго говоря, пятое слагаемое не является составляющей межвременного спроса на хеджирование, а есть часть оптимального близорукого портфеля инвестора в силу отсутствия на фондовых рынках безрисковых краткосрочных облигаций. Как и в рамках статического подхода, выбор оптимального портфеля при котором основывается на анализе математического ожидания и дисперсии доходности рисковых активов, «близорукий» инвестор комбинирует портфель рисковых активов, выбираемый инвестором с логарифмической полезностью, с другим портфелем, соответствующим на статической границе эффективности. Фактически пятое слагаемое в (6) может быть отождествлено с портфелем минимальной дисперсии при условии, что доходности вычисляются в реальном выражении.

Второе слагаемое в выражении (6) описывает хеджирование против изменений будущих ожидаемых сверхдоходностей акций. Преобразуем эту часть

. я Л* 3 а^

портфеля следующим образом - ггг г 2_

Ж/

' вх;

Оптималь-

ное хеджирование против изменений ожидаемой сверхдоходности акций полностью достигается, таким образом, инвестированием только в акции; облигации для этой цели вообще не используются. Этот результат имеет место благодаря предположению об идеальной отрицательной корреляции между динамическими процессами, определяющими эволюцию цен рисковых активов (акций) 5, и избыточной доходности х,. Аналогично, третье слагаемое в (6), описывающее хеджирование против номинальной процентной ставки, переписывает-

ся следующим образом

■Л»г у -1 Кг 1 '(Г

^ О Л

Следовательно, оп-

тимальное хеджирование против изменении процентной ставки достигается инвестированием целиком в облигации.

Оптимальное размещение капитала инвестора, характеризующегося постоянным относительным неприятием риска с коэффициентом у > 1, в рисковые активы фондового рынка, устанавливается следующим образом

1

у

+

1-

1-11

. У.

ь<т- о

р

о

1

с<Т-(

'Вх)

Оставшаяся часть капитала м>г -1 - е'м =\-м/5~м/в инвестируется в банковский счет. Этот результат формализует оптимальное инвестирование капитала агентом фондового рынка, характеризующимся постоянным относительным неприятием риска, в комбинацию спекулятивного портфеля и различные портфели хеджирования. В предельном случае логарифмической полезности инвестора оптимальный портфельный выбор целиком определяется первой составляющей в выражении (7), которая описывает так называемый спекулятивный портфель. Спекулятивная позиция инвестора, описываемая первым слагаемым в выражении (7), зависит от нестационарной ожидаемой избыточной доходности акций х,, и тем самым вводит время в спекулятивную стратегию. В частности, поскольку ожидаемая избыточная доходность идеально отрицательно коррелированна с ценой акций (индекса акций), спекулятивная стратегия состоит в сокращении позиции по акциям после роста их цен и в увеличении позиции в случае падения цен акций (индекса акций). Спекулятивная (близорукая) стратегия соответствует игнорированию инвестором изменений инвестиционных возможностей. Это ясно видно, если положить волатильности ах, аг, ап и а¥

равными нулю: тогда набор инвестиционных возможностей постоянен, и составляющие в оптимальном размещении, соответствующие хеджированию, исчезают.

Вторая составляющая в выражении (7) описывает хеджирование против изменений будущих ожидаемых сверхдоходностей инвестиций в акции (индекс акций). Соответствующий портфель хеджирования целиком состоит из позиции по инвестициям в акции. Третья составляющая в выражении (7) определяет позицию хеджирования против стохастических изменений номинальной процентной ставки и целиком состоит из позиции по инвестициям в облигации. Возникновение этой составляющей может объяснить парадокс Кеннера-Менкью-Вейла. Последняя составляющая в выражении (7) описывает позицию хеджирования против неопределенности инфляции и в общем случае включает и акции, и облигации. Возникновение этой составляющей объясняет парадокс Самуэльсона, поскольку отражает влияние горизонта инвестирования (определяемого функцией с(Т - Г)). Вторая и четвертая составляющие в выражении (7) оправдывают популярные рекомендации финансовых аналитиков инвесторам с большим инвестиционным горизонтом размещать большую часть своего капитала в рисковые акции. На более формальном уровне, точное влияние инвестиционного горизонта на размещение акций в рассматриваемой постановке описывается производной по времени от позиции оптимального размещения капитала в акции в (7). Пусть т = 7"-/ обозначает остающийся временной горизонт для инвестора в момент I. Дифференцируя выражение для н», в (7) по временному горизонту г, получаем

ди>. [, 1

дт ^ у)

\ У.

ст а -ст а с'(т)

зл г зг гп * '

(8)

«(\-Psr)

Первое слагаемое в соотношении (8) соответствует влиянию инвестиционного горизонта, связанному с релаксацией ожидаемой избыточной доходности акций

к долгосрочной рисковой премии согласно стохастическому процессу (2). Второе слагаемое в (8) описывает эффект инвестиционного горизонта, связанный с использованием акций для хеджирования инфляционного риска долгосрочными инвесторами. В случае если первая производная в (8) положительна, это означает, что долгосрочные инвесторы должны оптимально инвестировать большую часть капитала в акции, чем краткосрочные инвесторы, что находится в согласии с популярными рекомендациями финансовых аналитиков. Является ли размещение капитала в акции возрастающей функцией длины инвестиционного горизонта, зависит от знаков и величин двух составляющих в правой части (8). Первая составляющая, как правило, положительна и, следовательно, приводит к большему размещению в акции для инвесторов с более длинным горизонтом. Влияние второй составляющей зависит от способности акций хеджировать долгосрочный инфляционный риск.

Параметры построенной модели, характеризующие цены рисковых активов и инфляцию, калиброваны к реальным фондовым рынкам. Для оценки параметров, определяющих цены фондовых активов и динамику инфляции в уравнениях (1)-(5), используется фильтр Калмана. Уравнение перехода для вектора состояния^ компонентами которого являются пять переменных состояния .у, = х,, гп Ч1, = \пу/, и я,, описывается дискретным по времени решением системы стохастических дифференциальных уравнений в (1)-(5). Система оценивается с использованием ежемесячных данных рынка облигаций Федеральной резервной системы США в период с марта 1957 г. по январь 2009 г. Полное число наблюдений составило 623. Использовались данные по доходности облигаций со сроками погашения 0,25, 1, 2, 5 и 10 лет. Совокупная доходность рынка акций рассчитывалась с использованием ежемесячной доходности индекса 5 & Р 500.

При записи функции максимального правдоподобия предполагаем, что х0,г0 и я0 совместно распределены в соответствии с их стационарным распределением, а функция максимального правдоподобия зависит от наблюдаемых значений нестационарных процессов и . Фильтрованные временные ряды ожидаемых избыточных доходностей акций достаточно стабильны; избыточная доходность составляет 6,26% в марте 1957 г. и 7,70 в январе 2009г. Минимальное значение избыточной доходности акций 3,69% достигается в феврале 1965 г., а максимальное значение 9,25% - в августе 1982 г. Средняя оценка ожидаемых ставок избыточной доходности акций в течение исследуемого периода составляет 6,04%, и это значение используется для переменной х,. Номинальная рисковая премия Яг оценивается как 0,2747, а волатильность номинальной процентной ставки аг оценивается как 0,0195. Это означает, что облигация со сроком погашения 5 лет характеризуется волатильностью 9,75% и обеспечивает избыточную доходность 2,68%. Долгосрочное среднее значение номинальной процентной ставки оценивается как 3,69%, а долгосрочное среднее значение ожидаемого темпа инфляции составляет 3,57%. Оценка корреляций стохастических процессов модели показывает, что доходность индекса акций слабо

отрицательно коррелированна с номинальной процентной ставкой (р5г - -0,0654), однако положительно коррелированна с реальной процентной

ставкой = 0,2761), где р5 г_к =---; благодаря отрица-

л-ог„ -2огх

тельной корреляции между доходностью индекса акций и темпом инфляции {р5п =-0,2465). Поскольку доходность индекса акций не является отрицательно коррелированной с реальной процентной ставкой, акции не являются естественным субститутом для долгосрочной реальной облигации в хеджировании инфляционного риска. Знак выражения сг^сг,2 - аяатх поэтому отрицателен при оцениваемых значениях параметров, что означает, что долгосрочные инвесторы будут инвестировать меньше в акции для хеджирования инфляционного риска. Однако, как показано ниже, это более чем компенсируется желанием долгосрочных инвесторов вкладывать в акции благодаря присутствию релаксации доходности акций к долгосрочному среднему при оцениваемых значениях параметров.

Рекомендации по размещению капитала в рисковые активы фондового рынка, которые рассматриваются как эмпирические данные и к которым калибруется построенная модель, представлены в табл. 1. Эти рекомендации представляют собой три классических инвестиционных портфеля в соответствии с уровнем рыночного риска: консервативный, умеренный и агрессивный. Портфели по главной диагонали интерпретируются как рекомендации для «консервативных» инвесторов с коротким инвестиционным горизонтом, «умеренных»

Таблица [.-Рекомендации по инвестированию в активы, используемые для калибровки

Инвестиционный горизонт Отношение инвестора к риску

Консервативное Умеренное Агрессивное

короткий

Акции(%) 20,0 42,5 80,0

Облигации (%) 30,0 37,5 7,5

Банковский счет (%) 50,0 20,0 12,5

Облигащш'акции 1,50 0,88 0,09

средний

Акции (%) 27,5 50,0 87,5

Облигации (%) 32,5 40,0 10,0

Банковский счет (%) 40,0 10,0 2,5

Облигации/акции 1,18 0,80 0,11

большой

Акции (%) 40,0 62,5 100,0

Облигации (%) 22,5 30,0 0,0

Банковский счет (%) 37,5 7,5 0,0

Облигации/акции 0,56 0,48 0,00

Источник: авторские расчеты с использованием статистических данных www.crsp.com

инвесторов со средним инвестиционным горизонтом и «агрессивных» инвесторов с длинным инвестиционным горизонтом. Портфельные рекомендации вне главной диагонали построены как взвешенные средние двух диагональных портфельных рекомендаций с таким же отношением к риску и аналогичным инвестиционным горизонтом. Конкретные рекомендации получены использованием веса 0,75 по классическому портфелю с таким же отношением к риску и веса 0,25 по классическому портфелю с таким же инвестиционным горизонтом. Рекомендации в табл. 1 находятся в соответствии с популярными рекомендациями финансовых консультантов о том, что инвесторы с большим инвестиционным горизонтом должны инвестировать большую часть своего капитала в акции. Кроме того, для всех рекомендуемых портфелей для любого инвестиционного горизонта отношение долей капитала, инвестируемого в облигации и акции, растет с ростом коэффициента относительного неприятия риска.

Мы также калибруем параметры таким образом, чтобы минимизировать сумму квадратных отклонений между портфельными рекомендациями в табл. 1 и оптимальными стратегиями инвестирования в соответствии с уравнением (7). Сумма квадратных отклонений, которая будет минимизироваться, вычисляется по всем портфельным весам для трех инвестиционных горизонтов (короткого, среднего и длинного) и трех степеней относительного неприятия риска (консервативного, умеренного и агрессивного). При калибровке модели варьируются три коэффициента относительного неприятия риска (консервативного, умеренного и агрессивного инвестора, уа^,утол,Усо„) и "Фи инвестиционных горизонта (короткий, средний и длинный, ТЛоП, Ттес,, ). Кроме того, предполагается, что инвесторы с различными инвестиционными горизонтами могут использовать облигации, различающиеся сроками погашения. Отдельный инвестор, таким образом, может инвестировать в акции, банковский счет и облигации, срок погашения которых зависит от инвестиционного горизонта трейдера.

Калибровочные результаты в табл. 2 получены с использованием точечных оценок цен активов и параметров динамики инфляции при фиксированной ожидаемой сверхдоходности акций х, при ее среднем фильтрованном значении 6,04%. Из табл. 2 видно, что калиброванные портфельные инвестиции в части А табл. 2 одновременно соответствуют рекомендациям финансовых консультантов о том, что: (1) долгосрочные инвесторы должны инвестировать большую часть капитала в акции и (2) отношение долей капитала, инвестируемого в облигации и акции, должно возрастать с ростом относительного неприятия риска инвестора. В частности, из табл. 2 видно, что отношение долей капитала, инвестируемого в облигации и акции, растет с ростом относительного неприятия риска инвестора для любого инвестиционного горизонта. Однако калиброванный горизонт для среднесрочного инвестора несколько больше (4,415 лет), чем для долгосрочного инвестора (4,284 лет), но оказывается, что теоретическое оптимальное инвестирование в акции возрастает как функция инвестиционного горизонта и, следовательно, предложенная модель оптимизации портфеля может одновременно объяснять известные парадоксы Самуэльсона и Кеннера-Мэнкью-Вейла с использованием оцененных параметров фондового рынка.

Таблица 2. - Калиброванные инвестиции в активы и параметры, характеризующие инвестора

Л: калиброванные инвестиции в активы

Инвестиционный горизонт Отношение инвестора к риску

Консервативное Умеренное Агрессивное

короткий

Акции (%) 34,3 57,0 71,6

Облигации (*/•) 15,6 21,6 25,6

Банковский счет (%) 50,1 21,4 2,8

Облигации/акции 0,45 0,38 0,36

средний

Акции(%) 35,3 59,5 74,9

Облигации (%) 22,1 27,6 31,1"

Банковский счет (%) 42,6 12,9 -6,0

Облигации/акции 0,63 0,46 0,42

большой

Акции(%) 35,1 59,3 74,7

Облигации (%) 21,7 27,1 30,7

Банковский счет (%) 43,2 13,5 -5,4

Облигации/акции 0,62 0,46 0,41

В: калиброванные параметры, характеризующие инвестора

Параметр Оценка Граница

Отношение к риску у 3,830 нет

У mod У con 4,758 7,567 нет нет

Инвестиционные горизонты Т 1 short 2,393 нет

Tmed т long 4,415 4,284 нет нет

Оптимальные дюрации облигаций ^short ^bng 15,00 15,00 15,00 верхняя верхняя верхняя

Источник; авторские расчеты с использованием статистических данных www.crsp.com

Параметры относительного неприятия риска в табл. 2 таковы, что «агрессивные» инвесторы характеризуются терпимостью к риску 0,26 (=1/3,830). Следовательно, для данного инвестиционного горизонта такие инвесторы вкладывают 26% рисковых инвестиций в спекулятивный портфель и 74% - в портфель хеджирования, в соответствии с (7). С другой стороны, «консервативные» инвесторы характеризуются терпимостью к риску 0,13 (=1/7,567). Следовательно, для данного инвестиционного горизонта такие более осторожные инве-

сторы вкладывают 13% рисковых инвестиций в спекулятивный портфель и 87% - в портфель хеджирования.

Итак, в этой главе разработана непрерывная по времени динамическая стохастическая модель размещения рисковых фондовых активов инвестором, характеризующимся степенной функцией полезности с постоянным относительным неприятием риска, на основе которой определена оптимальная стратегия портфельного инвестирования. Инвестиционный набор включает три вида активов различной рисковости: акции, облигации и банковский счет. Динамика цен акций и облигаций описывается стохастическими дифференциальными уравнениями, а динамика номинальной процентной ставки и темпов инфляции определяется стохастическими процессами Орнштейна-Уленбека с релаксацией. Показано, что оптимальное размещение рисковых активов в стохастической инвестиционной среде может быть представлено в виде спекулятивного портфеля, пропорционального рисковой премии, и портфеля хеджирования рисков, который показывает, как инвестор должен оптимально хеджировать изменения инвестиционных возможностей. Построена оптимальная стратегия динамического размещения капитала в фондовые активы инвестором, характеризующимся степенной функцией полезности с постоянным относительным неприятием риска. В явном аналитическом виде получены характеристики оптимального портфеля (спекулятивный спрос на рисковые активы и портфель хеджирования) в зависимости от рисковых премий, стохастических инвестиционных возможностей и функции полезности инвестора. Дана экономическая интерпретация оптимальной стратегии инвестирования. Показано, что предложенная модель объясняет известные парадоксы Самуэльсона и Кеннера-Мэнкью-Вейла, состоящие в несоответствии теоретических результатов классической портфельной теории рекомендациям профессиональных инвесторов.

В третьей главе «Моделирование оптимальных стратегий инвестирования и потребления при немарковской стохастической динамике инвестиционной среды» при произвольной немарковской динамике цен рисковых активов и временной структуре стохастических процентных ставок построены оптимальные стратегии инвестирования и потребления максимизирующего ожидаемую полезность инвестора с сепарабельной по времени функцией полезности

аЕ

+ 0-аЖ(^г)]. (9)

Сх~7 -1 IV''г -1

где С/,(С,0= б'"®-; {/2(Ж)= е'^-, где ¡3 - субъективный дис-

1-у 1 -у

контный фактор инвестора. Параметр предпочтения а определяет относительный вес промежуточного потребления С, и конечного капитала 1У1 в функции полезности инвестора. Экономический агент имеет возможность инвестирования в ряд активов фондового рынка. Один из финансовых активов представляет собой «мгновенно» безрисковый актив (банковский счет), характеризующийся доходностью, равной краткосрочной процентной ставке г,. Кроме того, агент

имеет возможность инвестирования капитала в п рисковых активов фондового

/

рынка, цены которых описываются вектором Vt - (Уи,У2,.....Vn,), где штрих

означает транспонирование. Динамика цен рисковых активов определяется следующими стохастическими дифференциальными уравнениями

dV, = diagíV^l + a,X,)dt + a,dw, ], (10)

где diag(V,) - матрица размерности пхп с элементами V, по главной диагонали и нулями вне главной диагонали, /„- и-мерный вектор из единиц, а, - стохастический процесс волатильностей размерности их и, А, - сг~' (ju, - rtIn )-п- мерный стохастический процесс рыночных цен риска (рисковых премий), fit - п-мерный вектор ожидаемых доходностей. Предполагаем, что матрица стохастического процесса волатильностей с, имеет полный ранг п, что означает, что финансовый рынок является динамически полным. Следствием динамической полноты рынка является существование однозначно определенного так называемого ядра ценообразования (или дефлятора цены состояния)

6 = expí- )rsds-V's <*», ~ VM<4> í¿0- (l¡) loo "¿0 J

Текущая (настоящая) величина любого стохастического денежного потока X, соответствующего некоторому будущему моменту времени s, может быть определена путем вычисления взвешенного по ядру ценообразования платежа следующим образом

Lv

£

X

= Ф)Ё;[Х),

(12)

где Р,(з) представляет собой цену в момент I облигации с нулевым купоном со сроком погашения в момент времени $. Последнее равенство определяет так называемый форвард-ожидаемый платеж £,*[Х].

Обозначим через я, п - мерный процесс, определяющий доли капитала, инвестируемые в каждый из п рисковых активов. Тогда для капитала инвестора можно записать следующее стохастическое эволюционное уравнение

¿Я) = [(г, + я-,' сгД )1У( - С, Э + ¡У,я[ сгА,. (13)

Задача экономического агента состоит в выборе динамической стратегии потребления С, и портфельной стратегии яг,, максимизирующих его ожидаемую полезность (9):

sup \aE, (с, .»V)

cr-i

1 -у

ds

-0V-O "т 1

l-r

(14)

Результат, сформулированный ниже, позволяет получить оптимальные стратегии инвестирования и потребления в замкнутой форме при произвольных изменениях (в том силе немарковских, когда метод динамического программирования непосредственно неприменим) инвестиционных возможностей, харак-

теризуемых случайными процессами <т,, А(, гу. оптимальные стратегии потребления и инвестирования в момент / определяются соотношениями

П/ 1

^ = +<сг/' У1 (15)

О, г

в которых стохастический процесс (), (специфический для инвестора)

Л-0

4

г-1

Л + О-а/'е

--('-о

г

(16)

определяет стратегию хеджирования против изменений инвестиционной среды.

Как видно из (15), оптимальная инвестиционная политика может быть представлена в виде суммы спекулятивного портфеля (первый член в (15)) и портфеля хеджирования, который описывает, как инвестор должен оптимально хеджировать против изменений инвестиционных возможностей (второй член в (15)). Спекулятивный портфель соответствует игнорированию инвестором изменения инвестиционных возможностей. Спрос инвестора на хеджирование, согласно (15), в основном имитирует динамику процесса и, следовательно, (), отражает важнейшие черты хеджирования против изменений инвестиционных возможностей. Из выражения (16) следует, что для данного инвестора только процессы, включенные в описание (моментов) ядра ценообразования, определенного в (11), соответствуют целям межвременного хеджирования. Поэтому инвестор должен хеджировать против изменений процентных ставок и изменений рыночных цен риска (рисковых премий) на финансовом рынке, в то время как, например, волатильности цен ценных бумаг не должны являться предметом заботы инвестора на рассматриваемом полном рынке.

Целесообразно рассмотреть два частных случая: инвестора с логарифмической полезностью (характеризующегося нейтральным отношением к риску при у = 1) и инвестора с бесконечным коэффициентом относительного неприятия риска при у - со (формально результаты для инвестора с бесконечным неприятием риска определяются как предельный случай (15) при у —» оо). Инвестор с логарифмической полезностью вообще не хеджирует против изменений инвестиционных возможностей (второй член в (15) исчезает при у -> 1), а его оптимальный уровень потребления составляет С, =а1¥1 /А(0, т.е. является нестационарной, но детерминированной частью капитала. Инвестор с бесконечным коэффициентом относительного неприятия риска вообще не имеет спекулятивного спроса на ценные бумаги (первый член в (15) исчезает при у —»оо). Если такой инвестор извлекает полезность и из промежуточного потребления, и из конечного капитала, процесс <2, принимает вид

т

= \Р, + Р, (Г). Поэтому портфелем хеджирования в этом случае являет-

ся рентная облигация (не имеющая срока погашения и приносящая владельцу

процент). В случае, если инвестор извлекает полезность только из конечного капитала, т.е. а = О, портфелем хеджирования будет облигация с нулевым купоном со сроком погашения на инвестиционном горизонте. Оптимальный уровень потребления составляет С, = Wt|Qt = ^ /<Эо> те- постоянен и определяется выплатами по рентной облигации.

Построенная модель дает явную характеристику оптимальных стратегий потребления и инвестирования на динамически полном финансовом рынке при самых общих предположениях (в том числе немарковских) о динамике цен рисковых активов и структуре процентных ставок для инвестора, характеризующегося функцией полезности с постоянным относительным неприятием риска. Далее в явном виде получен портфель оптимального хеджирования против стохастических изменений процентных ставок с использованием купонных облигаций. Найдено явное решение проблемы выбора оптимального инвестирования и потребления при общей стохастической динамике процентных ставок. Показано, что портфель хеджирования в основном повторяет динамику специфической облигации с процентными купонами, равными достоверным эквивалентам оптимально планируемых будущих норм потребления.

Формально разделим п - мерный винеровский процесс, определяющий доходности финансовых активов, на две части, соответствующие облигациям и акциям м> = (у/в,и>5), где имеет размерность к, а - размерность / = п — к. Предполагаем, что динамика временной структуры процентных ставок и, следовательно, динамика цен облигаций и других производных ценных бумаг временной структуры, продаваемых на рынке облигаций, зависит только от и>в. Агент рынка имеет возможность инвестировать в безрисковый банковский счет, к активов - производных временной структуры и / акций. Динамика цен указанных активов определяется следующими стохастическими дифференциальными уравнениями

Щ = с1ш8ф, \{г,1к + <уБ1Яв, )Л + <тв^в,], (17)

сВ, = (Иаё{8,1{г,11 + +<г^5)], (18)

где diag(Bt') и diag(Sl') - диагональные матрицы с элементами В, и по главной диагонали и нулями вне главной диагонали, ав, а^ и сг^ - матричные процессы размерности кхк, 1хк я 1x1 соответственно, 1к, I, - векторы из единиц. Матрицы сгв и сг5г предполагаются несингулярными, так что рынки

акций и облигаций являются полными. Изменения доходностей производных временной структуры и акций коррелированны, эти корреляции описываются ковариационной матрицей <тй<т^ размерности кх1 (штрих означает транспонирование). Процесс рисковых премий (рыночных цен риска) может быть

представлен в виде А, =

\А< у

, где Ля = - (Х^'сг^ ЛВ1. При этом введен

/ - мерный стохастический процесс ф3, = сг3и Яв, + л, который может быть

интерпретирован как ожидаемая сверхдоходность акций.

Динамику временной структуры процентных ставок описываем к - факторной моделью Ярроу. Для любой даты погашения г динамика мгновенной форвардной ставки со сроком платежа г определяется следующим образом

.."..'7,(0=/о Ю+)а(5,туЬ+ тУ*>В1, (19)

о о

где сг/(;,т) - к - мерная детерминированная функция, /0(г) - форвардная ставка со сроком погашения г, рассматриваемая с момента времени 0. Краткосрочная процентная ставка есть г, = ft (/). Динамика цены

/)(?-)= ехр^- ^ облигации с нулевым купоном со сроком погашения г

, определяется уравнением

ар, (О = Р, (тХ(г, + <т'Р ((, т)Лд + (т'р (Г, ту^в, ], (20)

г

в котором сгДГ,г)= -^¿■((^У^и. В дальнейшем будет также рассматриваться 1

облигация, выплачивающая непрерывный купон £(/) до момента Т и характеризующаяся единовременной выплатой к(Г) в момент Т. Цена в момент ( та-

т

кой облигации равна В' = (¿УЬ + ¿(Г)/', (7"). Цена облигации с непре-

(

рывным купоном описывается следующим стохастическим дифференциальным уравнением

в котором

■]*<!0Р, (?УтР + к(гу, <7> Д/, Г)

«V = ^-?-:-• (21)

(*)<& +«ГУ, СО

<

Для того чтобы проанализировать механизмы хеджирования против изменения процентных ставок, предполагаем, что рисковые премии А, = Л(/) и волатильности форвардной ставки <у 1 (/, г) являются детерминированными

функциями времени. Тем самым стохастически меняются ,только процентные ставки и, следовательно, нет необходимости хеджирования против стохастических изменений рисковых премий или волатильностей форвардных ставок. Заметим, однако, что никаких предположений о детерминированности диффузионных коэффициентов <тв, сгЛ| и а3г рисковых активов не делается (т.е. эти коэффициенты могут описываться любыми немарковскими процессами).

В диссертации доказано, что если рисковые премии Я, и волатильности рвардных ставок являются детерминированными функциями, то оп-

альная стратегия инвестирования и потребления определяются уравнения-(15),(16), в которых в рассматриваемом случае

а = \2, ОУЬ + г,(Г,) (22)

ад=А (/»0» г 0<t<s<T, (23)

г~! 1 ч 1 -У

У 2 у

тимальная портфельная стратегия описывается соотношением

= — (о-,' Я(/)+ ^ (сг,')"' Г Г

(24)

*<7> = (1 -аТг ^(Р,СГ»7 ехр] (26)

сг - вектор волатильностей цены облигации, определяемый уравнением ), которая платит непрерывный купон, определяемый выражением

)= ЕДС,] = а' ехр{-^(5 0 < *5 * < Т, (25)

а 1 г 2у }

арактеризуется единовременной выплатой к (Г) в момент Т

1 IV 1 \ В 1-у

^-¡-СР.ОТ ехр -^-(7-0+Н

<2, I X 2у

Формула (24) дает явное выражение для оптимальной инвестиционной атегии при весьма общей (в том числе немарковской) многофакторной ди-ике процентных ставок. Оптимальная портфельная стратегия в (24) опреде-ся двумя составляющими, одна из которых описывает спекулятивный ос на рисковые активы, а другая определяет спрос на хеджирование на рис-ые активы. Форма спроса на хеджирование такова, что, выбирая веса риско-х активов в портфеле в соответствии с этим спросом (и инвестируя оставил часть капитала в безрисковый банковский счет), можно получить порть облигаций, в основном повторяющий динамику специфической облигации процентными купонами. Ниже будем называть эту облигацию хедж-игацией. В частности, соотношения (22)-(26) показывают, что с учетом по-ности от промежуточного потребления эта хедж-облигация эквивалентна 1онной облигации с процентными ставками, равными достоверным эквива-там оптимально планируемых будущих норм потребления.

В особом случае, если инвестор извлекает полезность только из конечно-капитала (что соответствует а = 0), соответствующая целям хеджирования игация сводится к облигации с нулевым купоном и сроком погашения, рав-м инвестиционному горизонту. Облигация с нулевым купоном является ин-тивно привлекательным инструментом для хеджирования изменений про-тных ставок в случае извлечения инвестором полезности только из конечно-капитала, поскольку эта ценная бумага характеризуется достоверным плате-

жом на инвестиционном горизонте независимо от того, как изменяются процентные ставки. Аналогично, в случае, если инвестор получает полезность также и от промежуточного потребления, предлагаемая облигация с процентными купонами представляется подходящим инструментом для хеджирования сдвигов в процентных ставках в том смысле, что определенные платежи по облигации соответствуют расходам планируемого будущего потребления независимо от того, как эволюционируют процентные ставки.

Оптимальная портфельная стратегия, описываемая уравнением (24), фактически может быть осуществлена путем размещения части капитала — в спе-

У

кулятивный портфель и части капитала 1— в соответствующую хеджУ

облигацию. Для того чтобы убедиться в этом, рассмотрим п 4-1 - мерный векторный процесс к,, описывающий веса расширенного оптимального портфеля, в который доли капитала, инвестированного в рисковые активы, входят в качестве первых п компонент, а доля капитала, инвестированного в безрисковый банковский счет, является и + 1-ой компонентой. Заметим, что, подставляя оптимальные веса рисковых активов из (24), можно представить оптимальную расширенную портфельную стратегию в форме

я, =

я,

{

у-гмтщ

+1-

ч

1 -/Ж)"

в;

О

(27)

/J

Первый член в (27) описывает веса расширенного оптимального портфеля при логарифмической функции полезности, т.е. при у -1. Этот портфель обычно называется портфелем оптимального роста или, эквивалентно, спекулятивным портфелем. Второй член в (27) определяет веса расширенного оптимального портфеля, необходимые для применения соответствующей хедж-облигации. Согласно (22)-(26), конкретная динамика временной структуры процентных ставок имеет значение для хеджирования против изменений инвестиционных возможностей только в той степени, в которой она влияет на структуру оптимального форвард-ожидаемого потребления. В численных примерах, рассматриваемых в диссертации (табл. 3), основное внимание уделено факторам, влияющих на оптимальные типы форвард-ожидаемого потребления и, в особенности, анализу того, важна ли текущая форма временной структуры или динамика временной структуры для структуры оптимального форвард-ожидаемого потребления. В этом контексте следует отметить, что даже в рамках общей постановки (11)-(16) только форма временной структуры имеет

Таблица 3. - Оптимальные форвард-ожидаемые стратегии потребления инвесторов, характеризующихся различной степенью неприятия риска

Время Форвардная ставка у = \ у = 4/3 Г = 2 II у = 00

Модель Модель Модель Модель Модель Модель Модель Модель Модель Модель

Вациска Ярроу Вациска Ярроу Вациска Ярроу Вацнска Ярроу Вациска Ярроу

Структура форвардных процентных ставок Вациска при г=0,01

0,00 0.0100 5.686 5.686 5.883 5 883 5.929 5.928 5.824 5.824 5.576 5.576

5.00 0.0271 5.404 5 404 5.562 5.561 5.644 5.641 5.649 5.647 5.576 5.576

10.00 0.0342 5.434 5.434 5.487 5.486 5.527 5.526 5.557 5.556 5.576 5.576

15.00 0.0373 5 598 5.598 5.510 5.511 5.476 5 477 5.498 5.500 5.576 5.576

20.00 0.0387 5.830 5.830 5.577 5.580 5.453 5.456 5.453 5.455 5.576 5.576

25.00 0.0394 6.102 6.102 5.665 5.667 5.442 5.445 5.413 5.416 5.576 5.576

Структура форвардных процентных ставок Вациска при г=0,04

0.00 0.0400 5.686 5.686 6.086 6.086 6.342 6.341 6.442 6.442 6.384 6.384

5.00 0.0412 6.005 6,005 6.228 6.226 6.364 6.361 6.415 6.413 6.384 6.384

10.00 0.0409 6.347 6.347 6.378 6.377 6.390 6.388 6.390 6 389 6384 6.384

15.00 0.0405 6.695 6.695 6.519 6.520 6.406 6.407 6.360 6.361 6.384 6.384

20.00 0.0402 7.050 7.050 6.653 6.657 6.414 6.418 6325 6.328 6.384 6.384

25.00 0.0401 7.418 7.418 6.784 6.787 6.418 6.422 6.288 6.291 6.384 6,384

Структура форвардных процентных ставок Вациска при г= 0,07

0.00 0.0700 5.686 5.686 6.295 6.294 6.778 6.778 7.114 7.113 7.285 7.285

5.00 0.0554 6.673 6.673 6.972 6.970 7.170 7,167 7273 7.271 7.285 7.285

10.00 0.0476 7.414 7.414 7.413 7.411 7.381 7,379 7.336 7.334 7.285 7.285

15.00 0.0434 8.006 8.006 7.711 7.712 7.487 7.489 7.344 7.345 7.285 7.285

20.00 0.0417 8.525 8,525 7.936 7.940 7.539 7.544 7.324 7.328 7.285 7.285

25.00 0.0408 9.017 9.017 8.124 8.128 7.563 7.568 7.290 7.294 7.285 7.285

значение для структуры оптимального форвард-ожидаемого потребления для инвесторов, характеризующихся логарифмической функцией полезности (нейтрально относящихся к риску), и инвесторов с бесконечным коэффициентом относительного неприятия риска (полностью отвергающие риск), тогда как динамика временной структуры не влияет на структуру оптимального форвард-ожидаемого потребления. Для инвесторов с бесконечным коэффициентом относительного неприятия риска этот результат следует из того, что оптимальный

Ш

уровень потребления постоянен и равен —^, где описывает цену облигации

0-<

с нулевым купоном, которая полностью определяется временной структурой в момент I, см. (23). Для инвесторов, характеризующихся логарифмической функцией полезности (нейтрально относящихся к риску), можно показать, что оптимальный уровень форвард-ожидаемого потребления определяется соотношением

1;[СЛ = ^(Р,(5)Г'ех о <1<3<Т. (28)

Форвард-ожидаемый конечный капитал в момент Т дается аналогичным выражением, которое полностью определяется текущей временной структурой процентных ставок, что отражается в ценах облигаций с нулевым купоном и не испытывает влияния параметров, описывающих динамику временной структуры процентных ставок.

Публикации по теме диссертации

Публикации в ведущих рецензируемых журналах и изданиях, определенных ВАК

1. Никонович H.H. Моделирование и оптимизация портфельных инвестиций в стохастических нестационарных условиях // Управление экономическими системами: электронный научный журнал, 2010. - № 3 (23). - 0,5 п.л.

Публикации в других изданиях

2. Никонович H.H. Основные подходы к моделированию и анализу оптимальных портфельных стратегий // Сборник докладов Международного симпозиума «Актуальные теоретические и прикладные проблемы экономической психологии». Т. 1. Математические методы и информационные технологии в анализе проблем экономической психологии. Кисловодск, 2005. - 0,3 п.л.

3. Никонович H.H. Моделирование и анализ оптимальных фондовых стратегий // Сборник научных трудов Всероссийского симпозиума «Математические модели и информационные технологии в экономике». - Кисловодск: Издат. Центр КИЭП, 2007. - 0,4 п.л.

4. Никонович H.H. Мартингальное решение задачи управления инвестированием на нестабильном финансовом рынке // Тенденции, проблемы и перспективы развития социально-экономических систем (межвузовский сборник научных трудов) - М.: МИСОН, 2008. - 0,4 п.л.

5. Никонович H.H. Оптимальные хеджирующие стратегии финансового инвестора с учетом стохастических процентных ставок // Сборник научных трудов Всероссийской научной конференции «Актуальные проблемы социально-экономического развития». - Кисловодск: Издат. Центр КИЭП, 2009. -0,5 п.л.

6. Никонович H.H. Оптимизация портфельных стратегий в условиях инвестиционного риска и популярные рекомендации финансовых консультантов // Современные научные исследования. - 2010, № 2. - Кисловодск: Издат. Центр КИЭП. - 0,6 п.л.

7. Никонович H.H. Модели и анализ оптимальных портфельных стратегий при постоянной краткосрочной процентной ставке // Современные научные исследования. - 2010, № 2. - Кисловодск: Издат. Центр КИЭП. - 0,6 п.л.

Подписано в печать 18 сентября 2010 г. Формат 60x84/16, Бумага типографская №1. Гарнитура Тайме. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 110 экз. Заказ №117 Издательский центр Кисловодского института экономики и права 357700, Кисловодск, ул. Розы Люксембург, 42

Диссертация: содержание автор диссертационного исследования: кандидата экономических наук, Никонович, Наталья Николаевна

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. УПРАВЛЕНИЕ ПОРТФЕЛЬНЫМИ ИНВЕСТИЦИЯМИ И КЛАССИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЦЕНООБРАЗОВАНИЯ АКТИВОВ

1.1. Классификация финансовых инструментов инвестирования капитала по различным признакам

1.2. Формирование портфеля финансовых инвестиций и модель ценообразования активов (САРМ)

1.3. Оперативное управление портфелем финансовых инвестиций. Управление рисками финансового инвестирования капитала

ГЛАВА 2. МОДЕЛИРОВАНИЕ И ОПТИМИЗАЦИЯ ПОРТФЕЛЬНЫХ ИНВЕСТИЦИЙ В СТОХАСТИЧЕСКИХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УСЛОВИЯХ

2.1. Экономико-математическая модель портфельного инвестирования в нестационарных условиях с учетом инфляции

2.2. Решение задачи оптимизации портфельных инвестиций

2.3. Анализ влияния инвестиционного горизонта на оптимальное размещение капитала в рисковые активы

2.4. Калибровка модели к реальным параметрам фондовых рынков. Численные расчеты оптимальных портфельных инвестиций

ГЛАВА 3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ СТРАТЕГИЙ ИНВЕСТИРОВАНИЯ И ПОТРЕБЛЕНИЯ ПРИ НЕМАРКОВСКОЙ СТОХАСТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКЕ ИНВЕСТИЦИОННОЙ СРЕДЫ

3.1. Оптимальный портфельный и потребительский выбор при общей стохастической динамике инвестиционной среды

3.2. Оптимальное хеджирование изменений стохастических процентных ставок с учетом промежуточного потребления

3.3. Численные расчеты оптимальных портфельных стратегий при конкретной структуре процентных ставок

3.3.1. Модель временной структуры процентных ставок Вациска ^ ^

3.3.2. Немарковская трехфакторная модель временной структуры процентных ставок Ярроу Л

Диссертация: введение по экономике, на тему "Моделирование и оптимизация портфельных инвестиций в стохастических нестационарных условиях"

Актуальность темы исследования. Фондовые рынки в условиях глобализации современной экономики характеризуются различного рода нестационарными, кризисными и катастрофическими явлениями. В таких условиях классические модели и методы финансовой математики часто оказываются неадекватными. Так, в рамках классической портфельной теории невозможно разрешить такие проблемы несоответствия популярных рекомендаций фондовых консультантов теоретическим предсказанием, как парадоксы Самуэльсона и Кеннера-Мэнкыо-Вейла. Парадокс Самуэльсона состоит в том, что, согласно советам финансовых консультантов, долгосрочные инвесторы должны размещать большую часть капитала в акции, чем краткосрочные, а классическая теория не связывает оптимальное размещение активов с длиной инвестиционного горизонта. Кроме того, отношение долей капитала, размещаемого в облигации и акции, должно, согласно практическим рекомендациям, увеличиваться с ростом неприятия риска инвестором, что находится в противоречии с предсказанием классической портфельной теории об одном и том же отношении капитала, инвестированного в облигации и акции, для всех инвесторов (парадокс Кеннера-Менкыо-Вейла).

Кроме того, инвестирование неотделимо от потребления (инвесторы, как правило, извлекают полезность не только из конечного капитала в конце инвестиционного периода, но и из промежуточного потребления в различные моменты времени), а инвестиционная стратегия требует динамической реструктуризации портфеля с учетом стохастической эволюции инвестиционной среды, что также не может быть учтено в рамках классической теории. Поэтому возникает необходимость развития методов моделирования оптимального размещения капитала в рисковые активы в условиях стохастического изменения их доходности с учетом стохастической эволюции параметров инвестиционной среды.

Достоверные количественные результаты, касающиеся определения оптимальных стратегий инвестирования в рисковые инструменты фондового рынка и. потребления в стохастических условиях, позволяющих агенту оперативно реструктурировать портфель, могут быть получены в рамках строгих экономико-математических моделей портфельного инвестирования в непрерывном времени с учетом функций полезности инвестора. Этим и определяется актуальность диссертационного исследования.

Степень изученности проблемы. Количественный анализ и прогнозирование финансового состояния фондовых рынков базируется па финансовом менеджменте, финансовой математике и эконометрике. Вопросы управления использованием капитала в процессе финансового инвестирования рассматривались в трудах зарубежных и отечественных ученых. Большой вклад в теорию и практику финансового менеджмента внесли Бирман Г., Блауг М., Блех Ю., Брейли Р., Бригхэм Ю., Гегце У., Гитман Л., Дамари Р.,. Дебре Ж., Друри К., ИрвииьД., Карлип Т., Коллас Б., Колб Р., Курц X., Крушвиц Л., Ли Ч., Маркович Г., Маршалл Д., Майерс С., Мертон Р., Миддлтон Д., Миллер М., Модильяни Ф., Моргенштерн О., Нейман Д., Перар Ж., Самуэльсон П., Тобин Д., Шарп У., Шим Д., Эрроу К. Среди отечественных ученых следует отметить Балабанова И.Т., Бланка И.А., Ефимову О.В., Ковалева В.В., Поляка Г.Б., Стоянову Е.С., Тренева H.H., Хоминич И.П.

Большой вклад в развитие таких разделов финансовой математики, как теория ренты, измерение доходности финансовых инструментов, анализ производственных инвестиций и измерителей финансовой эффективности, анализ финансовых рисков внесли российские и зарубежные ученые: Алексеев М.Ю., Башарин Г.П., Капитоненко В.В., Кардаш В.А., Касимов Ю.Ф., Кутуков В.Б., Наталуха И.А., Перепелица В.А., Попова Е.В., Токаев Н.Х., Четыркин Е.М., Аким Э., Браун С., Бригхэм Ю., Гапенски Л., Джордан Н., Карлберг К., Кочович Е., Паррамоу К., Уотшем Т„ Шим Д. Математические основы анализа стохастических процессов в финансах разрабатывались Гнеденко B.C., Колмогоровым А.И., Макаровым B.JL, Марковым A.A.,' Мельниковым A.B., Новиковым A.A., Павловым И.В., Прохоровым Ю.В., Ширяевым А.Н. Из иностранных ученых отметим Винера Н., Ито К., Као X., Карни Е., Маковского Д., Мандельброта Б., Маркуса С., My на Ф., Поляка Б., Сигела Д., Фукушиму М., Хо У.

Среди российских и зарубежных ученых, разрабатывающих эконометрические методы анализа и прогнозирования в теории и практике финансов, следует отметить Андерсена Т., Айвазяна С.А., Боллерслева Т., Винтизенко И .Г., Давниса В.В., Диболда Ф., Ингла Р., Кэмпбелла Дж., Перепелицу В.А., Попову Е.В., Тейлора С., Хансена С., Макарова B.JL, Эфрона Б., Яновского Л.П.

Впервые задача оптимизации портфеля инвестиций в стохастической модели с непрерывным временем поставлена в работах Мертона Р. (1971), однако полученные решения соответствуют постоянным инвестиционным возможностям или являются статическими по природе. Несмотря на большое количество публикаций в области моделирования и анализа фондовых рынков и оптимизации портфеля в последние два десятилетия, многие проблемы далеки от разрешения и находятся в стадии обсуждения. В большинстве известных исследований проблемы оптимального портфельного инвестирования задача решается численно (Барберис Н., Брандт М., Бреннан М., Бэлдаззи П., Висейра JL, Ким Т., Кэмпбелл Дж.), что не позволяет выявить вклад составляющих портфеля (спекулятивного спроса на рисковые активы и различных видов спроса на хеджирование) в оптимальное решение и проследить влияние на него параметров инвестиционной среды и функции полезности агента финансового рынка.

Теоретическая и практическая значимость моделирования оптимального размещения капитала • в рисковые активы в условиях стохастического изменения параметров инвестиционной среды и определили тему и постановку задач диссертационного исследования.

Объект и предмет исследования. Объектом исследования является инвестиционный портфель агента фондового рынка.

Предметом диссертационного исследования являются стратегии оптимального размещения капитала в рисковые активы в стохастической инвестиционной среде фондового рынка с учетом промежуточного потребления.

Цель, и задачи исследования. Целью диссертационной работы является построение моделей и решение динамических задач оптимального инвестирования при наличии промежуточного потребления на фондовом рынке, характеризующемся стохастичностыо инвестиционной среды. Достижение поставленной цели потребовало решения следующих задач:

- разработка экономико-математической модели, позволяющей рассчитывать оптимальные доли капитала, размещаемого в рисковые инструменты фондового рынка с учетом стохастических изменений инвестиционной среды;

- решение задачи оптимизации портфельных инвестиций и исследование свойств оптимальных стратегий инвестирования и хеджирования;

- калибровка модели к реальным параметрам фондовых рынков и численные расчеты оптимальных портфельных инвестиций;

- моделирование оптимального портфельного и потребительского выбора для инвестора с сепарабельной по времени функцией полезности в условиях стохастической эволюции параметров инвестиционной среды;

- анализ оптимального инвестирования в спекулятивную и в хеджирующую части портфеля в зависимости от функции полезности и коэффициента относительного неприятия риска инвестора.

Теоретическая и эмпирическая база исследования. Диссертационное исследование основано на фундаментальных разработках отечественных и зарубежных ученых-экономистов по проблемам финансовых инвестиций, фондового рынка, экономической теории благосостояния, теории полезности, методам стохастического оптимального управления.

Информационно-документальной базой исследования являются статистические материалы Федеральной службы государственной статистики, законодательные акты РФ, решения и нормативные акты Правительства Российской Федерации, Федеральной службы по финансовым рынкам, регулирующие деятельность фондового рынка, статистические данные Центра по исследованию ценных бумаг США (СГ^Р), а также собственные расчеты автора.

Диссертационное исследование выполнено в рамках п. 1.6 "Математический анализ и моделирование процессов в финансовом секторе экономики, развитие методов финансовой математики и актуарных расчетов" паспорта специальности 08.00.13 - Математические и инструментальные методы экономики.

Методы исследования. В диссертации, в рамках системного подхода, использовались различные методы и приемы экономического исследования: математического моделирования, стохастического оптимального управления, теории полезности, решения и анализа обыкновенных и стохастических дифференциальных уравнений, графический и расчетно-конструктивный.

Научная новизна диссертационного исследования заключается в развитии методологии математического моделирования и анализа портфельного инвестирования в стохастических условиях. В диссертации получены следующие результаты:

- разработана динамическая стохастическая модель размещения капитала в рисковые активы фондового рынка инвестором, характеризующимся степенной функцией полезности с постоянным относительным неприятием риска, позволяющая строить оптимальную стратегию портфельного инвестирования с учетом стохастических изменений цен активов, ожидаемых доходностей, вариационно-ковариационной матрицы доходностей, а также стохастической динамики краткосрочной процентной ставки;

- в явном аналитическом виде получены составляющие оптимального инвестиционного портфеля (спекулятивный спрос инвестора и портфель хеджирования) как функции рисковых премий, волатильностей цеп рисковых активов, ожидаемого уровня и неопределенности инфляции, длины инвестиционного горизонта и характеристик функции полезности инвестора, позволяющие агенту финансового рынка оперативно реструктурировать портфель (максимизируя свою полезность) в соответствии со стохастически меняющимися инвестиционными возможностями;

- предложена экономическая интерпретация оптимальной стратегии инвестирования и осуществлена калибровка построенной модели к реальным параметрам фондовых рынков, что позволило объяснить парадоксы Самуэльсона и Кеннера-Мэнкыо-Вейла, состоящие в несоответствии теоретических результатов классической портфельной теории практическим рекомендациям профессиональных финансовых консультантов;

- построены оптимальные стратегии портфельного инвестирования с учетом промежуточного потребления при произвольной стохастической (в том числе немарковской) динамике цен рисковых активов и процентных ставок, позволяющие инвестору строить оптимальную политику хеджирования инвестиционных рисков в условиях, когда гипотеза эффективных финансовых рынков несправедлива;

- установлено, что инвестор с логарифмической функцией полезности (характеризующийся нейтральным отношением к риску) вообще не хеджирует против изменений стохастически эволюционирующих инвестиционных возможностей, а инвестор с бесконечным коэффициентом относительного неприятия риска не имеет спекулятивного спроса на ценные бумаги.

Практическая значимость исследования. Практическая значимость исследования определяется тем, что разработанные в диссертации модели, методы и алгоритмы ориентированы на решение тактических и стратегических задач при осуществлении участниками финансового рынка управления финансовым инвестированием в рисковые активы в стохастической инвестиционной среде. Рассчитанные в диссертации в аналитическом виде составляющие оптимального портфеля (спекулятивный спрос инвестора и портфель хеджирования) позволяют инвесторам реструктурировать портфель при различных инвестиционных горизонтах (максимизируя свою полезность) в соответствии со стохастически меняющимися рисковыми премиями, волатильностями цен рисковых активов -и краткосрочными процентными ставками. Построенные в диссертации оптимальные стратегии хеджирования процентного риска в условиях, когда инвестор извлекает полезность как из конечного капитала, так и из промежуточного потребления, позволяют инвестору наиболее эффективно занимать хеджирующие позиции по облигации с непрерывным купоном (динамика которой определена аналитически) или облигации с нулевым купоном со сроком погашения в конце инвестиционного горизонта в зависимости от коэффициента относительного неприятия риска.

Апробация результатов исследования. Основные положения и результаты диссертационного исследования докладывались автором на Международном симпозиуме «Актуальные теоретические и прикладные проблемы экономической психологии» (г. Кисловодск, 2005), VII Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (г. Йошкар-Ола, 2006, зимняя^ сессия), Всероссийском симпозиуме «Математические модели и информационные технологии в экономике» (г. Кисловодск, 2007), IX Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (г. Кисловодск, 2008, весенняя сессия), Международной научно-практической конференции «Финансы, денежное обращение и кредит. Организация финансовых систем» (Новочеркасск, 2009), Всероссийской научной конференции «Актуальные проблемы социально-экономического развития» (г. Кисловодск, 2009), XI Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (г. Сочи, 2010, осенняя сессия).

Результаты диссертационного исследования используются Кисловодским институтом экономики и права в учебном процессе и включены в структуру учебных дисциплин «Экономико-математическое моделирование», «Рынок ценных бумаг» и «Финансовая математика».

Публикации. Основные результаты исследования отражены в опубликованных автором 7 печатных работах общим объемом 3,3 п.л.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка использованной литературы. Текст диссертации изложен на 133 страницах, включает 7 таблиц, 2 рисунка. Список использованной литературы содержит 143 источника.

Диссертация: заключение по теме "Математические и инструментальные методы экономики", Никонович, Наталья Николаевна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Финансовые рынки в современных условиях (особенно зарождающиеся рынки, к числу которых относится и российский фондовый рынок) характеризуются нестационарными, стохастическими и кризисными явлениями различной природы. В таких условиях традиционная портфельная теория, созданная Марковичем, Шарпом, Тобином и Миллером, и классические методы финансовой математики, представляющие собой основанный на статистических методах механизм оптимизации формируемого инвестиционного портфеля по задаваемым критериям соотношения уровня его ожидаемой доходности и риска (характеризуемого дисперсией доходности), оказываются неадекватными и неспособными объяснить как поведение финансовых временных рядов, так и несоответствие практических рекомендаций финансовых аналитиков по размещению капитала в рисковые активы теоретическим предсказаниям, полученным в предположении о постоянных инвестиционных возможностях, т.е. постоянных процентных ставках, ожидаемых доходностях активов, волатильностях и корреляциях доходностей.

Кроме того, инвестирование неотделимо от потребления (инвесторы, как правило, извлекают полезность из промежуточного потребления в.различные моменты времени, а не только из конечного капитала в конце инвестиционного периода), а инвестиционная стратегия требует динамической реструктуризации портфеля с учетом стохастической эволюции инвестиционной среды, что также не может быть учтено в рамках классической теории. Поэтому возникает необходимость развития методов моделирования оптимального размещения капитала в рисковые активы в условиях стохастического изменения их доходности с учетом стохастических параметров инвестиционной среды.

Первая глава диссертации представляет собой литературный обзор. Впервые задача оптимизации портфеля в стохастической модели с непрерывным временем поставлена в работах Мертона, однако полученные в явном виде решения соответствуют постоянным инвестиционным возможностям или являются статическими по природе. За редким исключением, в большинстве известных исследований проблемы оптимального финансового инвестирования задача решается численно, что не позволяет выявить вклад составляющих портфеля (спекулятивного спроса на рисковые активы и различных видов спроса на хеджирование) в оптимальное решение. Точные аналитические решения задачи инвестирования получены лишь в наиболее простых частных случаях: при простой динамике цен рисковых активов и в предположении о постоянстве процентных ставок и волатильностей цен активов без учета промежуточного потребления; в предположении о бесконечном временном горизонте в условиях, когда краткосрочные процентные ставки постоянны.

Во второй главе диссертации разработана непрерывная по времени динамическая стохастическая модель размещения рисковых фондовых активов инвестором, характеризующимся степенной функцией полезности с постоянным относительным неприятием риска, на основе которой определена оптимальная стратегия портфельного инвестирования. Инвестиционный набор включает три вида активов различной рисковости: акции, облигации и банковский счет. Динамика цен акций и облигаций описывается стохастическими дифференциальными уравнениями, а динамика номинальной процентной ставки и темпов инфляции определяется стохастическими процессами с релаксацией. Показано, чю оптимальное размещение рисковых активов в стохастической инвестиционной среде может быть представлено в виде спекулятивного портфеля, пропорционального рисковой премии, и портфеля хеджирования рисков, который показывает, как инвестор должен оптимально хеджировать изменения инвестиционных возможностей. Построена оптимальная стратегия динамического размещения капитала в фондовые активы инвестором, характеризующимся степенной функцией полезности с постоянным относительным неприятием риска. В явном аналитическом виде получены характеристики оптимального портфеля (спекулятивный спрос на рисковые активы и портфель хеджирования) в зависимости oi рисковых премий, стохастических инвестиционных возможностей и функции полезности инвестора. Дана экономическая интерпретация оптимальной стратегии инвестирования. Показано, что предложенная модель объясняет известные парадоксы Самуэльсона и Кеннера-Мэнкыо-Вейла, состоящие в несоответствии теоретических результатов классической портфельной теории рекомендациям профессиональных инвесторов.

В третьей главе диссертации выведены оптимальные стратегии инвестирования и потребления с учетом стохастической динамики цен рисковых активов и стохастической эволюции параметров инвестиционной среды. При выборе стратегий потребления и инвестирования экономический агент имеет дело с рядом переменных, стохастически эволюционирующих с течением времени:

• краткосрочная процентная ставка;

• цены, ожидаемые ставки доходности, вариационно-ковариационная матрица ставок доходности по рисковым активам;

• ковариации или корреляции между перечисленными переменными.

В общей постановке решена задача инвестирования и потребления на динамически полном фондовом рынке. Получены явные результаты, показывающие, как агенту фондового рынка следует хеджировать против изменений инвестиционных возможностей в случае многофакторных моделей процентных ставок и стохастических рисковых премий. В частности, показано, как изменения инвестиционной среды могу т быть хеджированы единственной облигацией: облигации с нулевым купоном в случае полезности только из конечного капитала и облигации с непрерывным купоном, равным форвард-ожидаемому потреблению в случае полезности из промежуточного потребления. Численные расчеты для немарковской динамики временной структуры процентных ставок показывает, что только форма временной структуры имеет значение для структуры оптимального форвард-ожидаемого потребления и, соответственно, на выбор подходящей хеджирующей облигации, тогда как динамика временной структуры оказывает гораздо более слабое влияние на структуру оптимального форвард-ожидаемого потребления.