Оптимальное распределение капиталовложений с учетом демографического прогноза тема диссертации по экономике, полный текст автореферата

Автореферат диссертации по теме "Оптимальное распределение капиталовложений с учетом демографического прогноза"

На правах рукописи

УДК 519.866:330.14 (06)

КЕТОВА КАРОЛИНА ВЯЧЕСЛАВОВНА

ОПТИМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КАПИТАЛОВЛОЖЕНИЙ С УЧЕТОМ ДЕМОГРАФИЧЕСКОГО ПРОГНОЗА

080013 - Математические и инструментальные методы экономики

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ижевск - 2004

Работа выполнена в Ижевском государственном техническом университете

Научный руководитель Русяк И.Г. - доктор технических наук,

профессор, член-корреспондент РАРАН, заслуженный деятель науки УР

Официальные оппоненты Кузнецов ЮА. - доктор физико-

математических наук, профессор (Нижегородский государственный университет);

Тененев В. А. - доктор физико-математических наук, профессор (Ижевский государственный технический университет)

Ведущая организация Центральный экономико-математический

институт РАН (Москва)

Защита состоится « 12 » ноября 2004 г. в 14 часов на заседании диссертационного совета К 212.065.02 по адресу: 426069, г. Ижевск, ул. Студенческая, 7.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ижевского государственного технического университета.

Отзыв на автореферат, заверенный печатью, просим выслать по указанному адресу в двух экземплярах.

Автореферат разослан

2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук, доцент

лЫ^-

М.М. Горохов

IOOS-Н

3

Общая характеристика работы

Актуальность проблемы

Демографический кризис в современном российском обществе, коснувшийся всех основных демографических процессов, относится к числу проблем глобального масштаба. По оценкам ученых-демографов, при сложившейся ситуации в ближайшие 25 лет население страны сократится на 20-25 млн. Действительно, начиная с 1993, года регистрируется катастрофическое сокращение численности населения, смертность превышает рождаемость. По прогнозам ООН, к середине XXI века численность населения России уменьшится на шестую часть и составит чуть больше 120 млн человек.

Учет демографической ситуации и прогноз будущих изменений численности населения, возрастной структуры и других, сопряженных с ними показателей необходимы при разработке региональной стратегии социально-экономического развития. При разработке подобного рода стратегии и программ развития очень важно выявление связи между демографической ситуацией и экономикой региона.

Математический аппарат, развиваемый в работе, является основой для прогнозирования численности и состава населения, а также величины и динамики трудовых ресурсов общества, которые, в свою очередь, необхрдимы для решения задачи оптимального управления распределением капиталовложений и перспективной оценки экономического развития региона.

Существенный вклад в разработку математических моделей и развитие математических методов в демографии внесли П. Лесли, Хелигман, Полард, Коул, Мак-Нейл, Трассел, Р. Век, В.И. Борткевич, В.В. Папаевский, Т. Гре-вилл, Н. Кейфиц, У. Брасс, А. Новосельский, М.В. Птуха, В.Я. Буняковский, К.Ф. Герман, А.Г. Вишневский, И.Г. Венецкий, О.В. Староверов др.

Существенный вклад в разработку математических моделей и развитие математических методов в экономике внесли Л. Вальрас, О. Курно, В. Паре-то, Ф. Эджворт, В.К. Дмитриев, Е.Е. Слуцкий, B.C. Немчинов, В.В. Новожилов, Л.В. Канторович, Б.Н. Михалевский, А.И..Анчишкин,.Д.А. Черников, В.Л. Макаров, С.А. Айвазян, Е.Г. Голынтейн, В.М. Полтерович, В.З Беленький, В.И. Данилов и др. В ХХ веке математические методы моделирования применялись очень, широко, с их использованием связаны практически все работы, удостоенные Нобелевской премии по экономике (из 36 ученых-экономистов 26 получили премию за исследования на стыке экономики и математики).

Одномерные макромодели экономической динамики основаны на

классических работах Рамсея, Касса, Купманса, Солоу. Развитие этих моделей представлено работами В.Л. Макарова, И.В. Романовского, A.M. Рубино-ва, В.З. Беленького, В.Д. Матвеенко.

Отдельно следует выделить работы Л.С. Понтрягина, внесшего большой вклад в разработку инструментальных методов, математического анализа экономики. .

Объектом исследования является трприя пптимяпкнг»гг> раг;у]ррпргтрния капиталовложений, а также задачи экономичеа с

Предметом исследования является постановка и решение задачи оптимального управления с учетом связи макроэкономических и демографических процессов.

Целью диссертационной работы является разработка математического и инструментального аппарата для решения задачи оптимального распределения капиталовложений с учетом демографического прогноза.

В ходе работы решались следующие научные и практические задачи.

1. Создание баз данных по экономическим и демографическим показателям Удмуртской Республики (УР), на основе которых производится цифровая обработка и визуальное представление информации.

2. Построение прогностической математической модели для изучения различных демографических характеристик.

3. Разработка эффективных математических (аналитических и численных) методов реализации модели.

4. Осуществление прогноза численности, возрастного состава и других демографических характеристик населения на период, заданный пользователем.

6. Построение модели взаимосвязи экономических и демографических показателей с учетом разделения численности трудоспособной и нетрудоспособной части населения.

7. Исследование структуры оптимального управления при распределении капиталовложений и определение соответствующих аналитических зависимостей.

8. Проведение имитационного моделирования различных экономико-демографических показателей.

9. Проектирование и реализация проблемно-ориентированного программного обеспечения (информационно-аналитической системы демографического и экономического анализа (ИАСДЭА) УР).

Территориальные рамки диссертационного исследования составляют УР в ее современных административно-территориальных границах.

Хронологические рамки выбираются в зависимости от необходимости глубины анализа, а также наличия и полноты статистического материала, и варьируются в пределах от 1920 до 2001 года. Оценка основных демографических показателей проводится с 1980 года. В работе 2001 год выбран как начальный временной элемент для осуществления прогноза демографических показателей.

Источниками данных для исследования послужили статистические данные Госкомстата УР по демографическому и экономическому разделам с 1980 по 2001 год. Также анализировалась информация Госкомстата России, распространяющаяся в Интернете по адресу: http: //www.infb.gks.ru. Демографические материалы можно получить и на сайте Центра демографии и экологии человека Института народнохозяйственного прогнозирования РАН по адресу: http: //www.demoscbpe.ru. Данные по экономическим показателям распространяются на сайте: http: //www.dist-ecbnbmics.eu.spb.ru, http: //www.e2000.

Методика работы основана на использовании методов статистической обработки данных, на численных и аналитических методах решения дифференциальных уравнений, на применении методов математического анализа и теории оптимального управления, на использовании аппарата математического компьютерного моделирования и на методах математического прогнозирования.

На защиту выносятся

1. Результаты теоретических исследований моделей экономической динамики типа модели Рамсея-Касса-Купманса-Солоу (РККС-модели) с использованием принципа оптимальности Беллмана и принципа максимума Понтрягина.

2. Математическая модель демографической динамики и расчета производных демографических характеристик.

3. Алгоритм решения совместной задачи оптимального управления капиталовложениями и демографической динамики.

4. Результаты анализа демографической ситуации в УР и прогнозирование различных демографических характеристик.

5. Программно-вычислительный комплекс демоэкономического анализа.

6. Результаты параметрических исследований и прогнозирования влияния демографического состояния на макроэкономические показатели. Научная новизна

1. Сформулирована замкнутая краевая задача демографической динамики на основе подхода к выводу уравнений сохранения, развитого в механике гетерогенных сред. Получены формулы для определения производных демографических характеристик.

2. Исследовано влияние вычислительной погрешности, погрешности аппроксимации, а также статистических погрешностей граничных условий, функций распределения рождений и силы смертности на погрешность прогнозирования локальных и интегральных демографических характеристик.

3. Дано обобщение РККС-модели на случай, когда потребляющая и производящая части населения учитываются отдельно. Рассмотрены автономная и совместная задачи. Для автономной задачи доказана теорема о синтезе управления и получено полное аналитическое решение. Для совместной задачи построен синтез оптимального управления и определен вид уравнений для нахождения параметров квазистационарного режима оптимальной траектории развития экономической системы.

4. Проведены аналитические исследования и численные расчеты по обобщенной РККС-модели с конечным горизонтом планирования при реальном демографическом прогнозе общей численности населения £"(/) и трудоспособной части населения

5. Представлено комплексное параметрическое исследование и прогнозирование демографических и экономических процессов с использованием аппарата математического моделирования.

Практическая ценность работы: содержащаяся в работе информация и

выводы могут быть использованы для выработки научно обоснованной региональной программы развития УР. ИАСДЭА может быть адресована Государственному комитету по труду УР, Министерству экономики, Министерству народного образования УР, Государственному комитету по делам молодежи УР, городским и сельским районным администрациям УР.

Материалы диссертационной работы используются при обучении студентов факультета прикладной математики по специальности 061800 - Математические методы в экономике. Апробация работы

Результаты исследований докладывались на следующих научных конференциях:

□ Научно-практическая конференция ИжГТУ (Ижевск, 15-16 июля 2002г);

□ IV Научная конференция молодых ученых и аспирантов с международным участием "Управление экономикой в условиях интеграции хозяйственных систем" (Ижевск, 19 февраля 2003г);

□ VII Научная конференция молодых ученых и специалистов; секция "Информационные технологии и их применение". (Дубна, 3-8 февраля 2003г); IV Международная научно-техническая конференция "Информационные технологии в инновационных проектах" (Ижевск, 29-30 мая 2003 г). Полностью работа докладывалась на научном семинаре профессора

С.А. Айвазяна в Центральном экономико-математическом институте РАН (Москва).

Публикации

По теме диссертации опубликовано 8 печатных работ. Структура и объем работы

Объем диссертации составляет 152 страницы, включая 86 рисунков и 11 таблиц. Работа состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы, включающего 122 источника.

Содержание диссертации Во введении обосновывается актуальность выбранной темы, определены цель и задачи исследования.

В первой главе проводится обзор существующих подходов к изучению демографических и экономических процессов. Рассмотрены основные исторические этапы развития математических методов исследования в демографии; инструменты анализа экономического роста. Анализируется состояние изученности вопроса взаимосвязи демографических и экономических процессов.

Вторая глава посвящена разработке математической модели анализа и прогноза демографических характеристик. Дается вывод уравнения динамики возрастного состава (ДВС) на основе принципов механики гетерогенных сред, статистически определяется аналитический вид функций распределения рождений и силы смертности населения. Приводится численное и аналитиче-

ское решение задачи, дается оценка погрешности прогноза демографических характеристик.

Моделирование демографических показателей осуществляется на основе уравнения динамики возрастного состава:

Ш+ЭМ.-^Ш+ФМЛ 0)

где t - время; х - возраст; p(t,x) - функция плотности распределения населения по возрастам; ц(/,т) - функция силы смертности; /(/,т) - функция миграционного взаимодействия, задающая долю мигрирующих в каждой возрастной группе в единицу времени.

Начальное условие: при t = tQ р('о.т) = Ро('с). т>°. (2)

где - известная функция. Граничное условие:

при

(3)

где Р(/,т) - плотность распределения рождений из диапазона фертильности женщин [т^.ТгД

Уравнение (1) с начальными условиями (2) и граничными условиями (3) может быть решено как численно, так и аналитически.

После определения функции р(*,т) находятся производные демографические характеристики. Например, такие как:

общая численность населения: L° (t) = Jp(f, т)&;

(4)

численность трудоспособного населения:

(5)

41

где - плотности распределения по возрастам мужчин и

женщин соответственно; т^ и хх{ь - начало и конец трудоспособного возраста мужчин соответственно, - начало и конец трудоспособного возраста женщин соответственно; в дальнейшем полагаем т^ = т^ = т)Д.

Количество людей, возраст которых выше т > X], ниже х<х2 определенного порога или находится в определенном временном диапазоне [Т] ,т2]:

со Ч

Доля активного населения:

Коэффициент общей нагрузки на активное население:

Средний возраст населения:

Средний возраст умерших:

(8)

(9)

(10)

Используя данный подход, можно определить среднее количество детей в семье , обеспечивающее ускоренное воспроизводство населения. Иско-

мое значение определим из уравнения баланса:

х2ф

т> ф

откуда получаем

(11)

Таким образом, построена замкнутая математическая модель для прогнозирования плотности распределения населения по возрастам. В результате такого прогноза появляется возможность определять численность населения для любой интересующей возрастной группы. На основе полученной модели рассматриваются группы населения в разбиении по возрасту, полу и типу

поселения, а также производится расчет различных производных показателей.

При определении аналитического вида функций распределения рождений и смертности для населения региона рассматриваются данные по Удмуртской Республике. В качестве начального момента времени выбирается 1995 год. Плотность распределения населения по возрастам имеет вид, пред-

ставленный на рис. 1 :

Рис. 1. Плотности распределения по возрастам для 1995 года

Зависимость функций И р(',т) от времени / в диапазоне

1995^/^2001 оказалась незначительной, поэтому полагалось ц(/,т) = р(т),

аппроксимировались полиномами четвертой степени, коэффициенты которых определялись методом наименьших квадратов.

Г.*

1 /

1 г = <-/0 И X ш Т = 1-1„~Т ч у У т = 1-10-2т

/1 / Ол) У / / /\ У

У X / /

/ /1 / X

.......Х......УЛ../....X.Ï__________„

/ 7Т Y71 ! X Xх / ' /\ У ! / >

' / '■/ \ / ! / У У У \ У

/ / \ У ! X

/ / V 1 ' '■/ 1 ' ---ь.

и +т.

'.+2 т.

Рис. 2. Области интегрирования уравнения (1) методом характеристик

Уравнение (1) с начальными и граничными условиями (2) - (3) аналитически решается с помощью метода характеристик. Для чего записываем уравнение (1) в виде обыкновенного дифференциального уравнения вдоль характеристических направлений (см. рис. 2):

Л

(12)

т=/-с

Сначала уравнение интегрируется в конусе х>1-10, / >. /0 (см. рис. 2, область I). На эту область не распространяется влияние новых рождений, происходящих после /0 . Заметим, что в области I для произвольной точки выполняется равенство

В силу начального условия (2) с учетом равенства (13)

Решая уравнение (12) вдоль характеристик в произвольной точке (/,т) области I, получим:

= + при т>*-Г0,

После нахождения р(/,т)в области I можно найти граничное условие (плотность новорожденных на интервале времени от по фор-

муле(З).

Для любой произвольной точки области поэтому

р((1,0) = - т,0) . Решение в области II имеет вид

Р(',х) = р(/-т,0)ехр[- +

при , удовлетворяющих условиям:

тах{0,/-/0 -т} <т</-*0, /0<Г<Г0+Т1.

Повторением этого цикла интегрирования можно найти решение уравнения динамики возрастного состава в любой точке плоскости

При реализации численного решения на разностной сетке в плоскости (/,т) шагиповремени & = -г, и по в о з р аАтр^тдо-«^ и м а ю т с я

одинаковыми. Решение дифференциального уравнения (1) проводилось с использованием явной разностной схемы Лакса и явно-неявной схемы с односторонними разностями, которые дали практически одинаковые результаты.

На рис. 3 (график 1) представлена функция плотности распределения по возрастам, полученная при решении уравнения ДВС численным методом на временно-возрастной плоскости с шагом А/ = Дт = 1 год. Базисным годом

является 2001 год. Период прогноза составляет 25 лет. Для оценки погрешности численного метода проводилось сравнение его с аналитическим решением. Прогнозное распределение плотности при аналитическом методе решения на тот же период прогноза представлено на рис. 3 (график 2) р(*,т)-1(Г5,чеп.

Рис. 3. Плотности распределения по возрастам для 2026 года

Прогнозирование общей численности населения обоими методами дало расхождение на конец прогнозного периода менее 1%. В целом, прогнозное значение падения населения за 25 лет для УР составляет немногим более 200 тыс. чел. (см. рис. 4), что в пересчете на Российскую Федерацию дает почти 20 млн чел.

Рис. 4. Прогнозирование общей численности населения УР

Анализ ошибок прогнозирования проводился на основе аналитического решения уравнения ДВС.

С использованием аналитического решения задачи была проведена также оценка накапливаемой погрешности прогнозирования демографических характеристик, связанной с погрешностью определения начальных условий, а также статистической погрешностью определения функций Определены погрешности прогнозирования для различных возрастных групп

населения. Показано, что при увеличении возраста погрешности прогнозирования возрастают, однако поскольку с увеличением возраста удельный вес возрастных групп резко уменьшается, то при расчете интегральных демографических показателей увеличение погрешности прогнозирования старших возрастов существенной роли не играет. При этом в первой области (2001 < I на погрешность прогнозирования демографических характеристик оказывают влияние погрешность задания исходных данных и погрешность определения силы смертности, во второй и последующих областях к ним добавляется погрешность определения плотности распределения рождений. В целом же, при прогнозе на 25 лет, как показывают расчеты, погрешность определения общей численности населения УР не превосходит 3 %.

Третья глава посвящена разработке математической модели связи демографических и макроэкономических показателей региона. Ставится задача оптимизации пропорций потребления и накопления в условиях региональной экономики с учетом динамики трудовых ресурсов и нетрудоспособной части населения. Задача управления решается с использованием принципа оптимальности Беллмана и принципа максимума Понтрягина.

Изменение макроэкономических показателей (согласно классической схеме воспроизводства экономики) объясняется двумя причинами:

1) изменением численности экономически активного населения ¿(/),

2) изменением объема имеющегося капитала К(/)

В отличие от классических постановок задачи, будем различать трудоспособное население £(/) и все население замкнутой экономической единицы

(/)>£(*). Данный подход позволяет более точно моделировать расходы и доходы в моделях экономического роста.

Предполагается, что производственная функция подчиняется закону убывающей интенсивности по каждому фактору, инвариантна по времени и дважды дифференцируема. Также принимается предположение, что отдача от масштаба производства постоянна. В таком случае имеем:

У = /(*), (14)

где >>(/) - удельный (на единицу трудоспособного населения) валовый региональный продукт (производительность труда); - удельная (на единицу трудоспособного населения) стоимость основных производственных фондов (фондовооруженность).

Будем рассматривать задачу управления благосостоянием населения в интервале от , и целевой функционал имеет вид

V = шах 'I с0е-Ы(Ь = тах ) (1 -.$)/(*)А,<Г8' Л (15)

при условиях:

*=*/(*)-?*, *(/0) = *о. *('1)=*1> *>0, 0<*(/)<;1, (16)

где Л. = = ; у = у(') = Г[ + Ь/Ь; с0- удельный (на душу населения) объем текущего потребления; 5 - норма накопления; 5 - норматив дисконта полезности; Г) - коэффициент износа фондов.

Задача (15), (16) является задачей оптимального управления, решение которой можно найти, используя либо принцип оптимальности Беллмана, который строит синтез оптимального управления как функцию текущего состояния системы, либо принцип максимума Понтрягина, который строит оптимальное управление как функцию времени. Определение численности трудовых ресурсов Х(/) и численности всего населения £"(/) в общем случае осуществляется на основе решения задачи демографической динамики.

Задача (15),(16) в работе определена как совместная в случае, когда моделирование численности трудовых ресурсов и численности всего населения осуществляется на основе уравнений (1)-(7), и как автономная в случае, когда численность трудовых ресурсов и численность всего населения задаются экзогенно и меняются по экспоненциальному закону с постоянными темпами

прироста соответственно:

(17)

Вначале рассматривается автономная задача управления. В этом случае решение зависит только от длины планового периода Т (горизонта планирования), но не зависит от его положения на оси реального времени. При этом интересы поколений за пределами горизонта планирования можно учесть не с помощью правого граничного условия (16), а путем введения терминального функционала ^(ку) (здесь к-г = к(т)), с помощью которого дается априорная оценка состояния (на одного работника), оставляемого потомкам. Такой подход предложен В.З. Беленьким. В данном случае функционал благосостояния в задаче (15), (16) принимает вид ~т

¡(1-*)Дк)Х0е~а1 А+4>{кт )Х0е"и

IV = шах

5

(18)

где Х0=Ь0/Ц>\ а = 5 + п° -п ; к = к0. В (18) функция Кг(а) называется функцией выигрыша Беллмана горизонта Т и является апостериорным функционалом, оценивающим конечное состояние системы. Преобразование *Р У-р можно рассматривать как переоценку априорного функционала Ч* в

апостериорный Ут . Результат такой переоценки можно формально представить как действие оператора Беллмана на функцию . В работе показано, что оператор Беллмана при определенных условиях является сжатием, отображающим полное метрическое пространство решений само в себя. Это значит . Такое решение называется стационарным; оно не

меняется при любом горизонте Т, поэтому стационарное решение может интерпретироваться и как решение задачи (18), (16) с бесконечным горизонтом т.е. справедливо представление:

W = max J(1 - s)/(*) Vе"' Л = V{h).

(19)

Для автономной стационарной задачи (19), (16) доказана теорема о синтез зе управления, в рамках которой определена стратегия оптимального управления как функция состояния системы:

.si/)=arg шах jIA*-^). ie[0,l] 4 '

(20)

Получены явные формулы для функции выигрыша и времени перехода на стационарный режим сбалансированного роста к* =сопз1. Определен

Запишем автономную задачу (18), (16) в форме W = max

:J(l -s)fm0e-a<d< = V(h),

k = sf(k)-yk, k(o)=h>Q, к(т)=кт>0, 5e[0,l],

(21)

(22)

где . В данном случае вместо терминального члена введено правое

граничное условие.

После применения принципа максимума Понтрягина к задаче (21), (22) получаем систему

где д- двойственная переменная Лагранжа. Оптимальная стратегия управления имеет вид

(24)

(23)

s(t)=arg max s(q-?i0).

Анализ, проведенный в работе, показал, что результаты решения задач (19), (16) и (21), (22) в случае ку =к* полностью совпадают, при этом в задаче (23) вместо стратегии (24) можно использовать стратегию оптимального управления (20).

Применяя принцип максимума к совместной задаче (15), (16) и используя результаты решения автономной задачи, приходим к следующей задаче управления:

[р = + + [¿ = л/(А)-уА, А(/„)=*о> *И=*'И

1, если р>"К, 1, если А<А*(/),

0, если р< X

(25)

s*(i), если k = k*(t),(26) 0, если k>k*(t),

и вид уравнений для нахождения параметров стационарного режима к*, s*

где (* - время достижения квазистационарного режима.

Режим поведения экономической системы при />(/) = определен в работе как квазистационарный. Для поддержания такого режима необходимо, чтобы V/ выполнялось равенство (см. первое уравнение (23)):

где а =а(/)= 8 + Ь°/Ь°-¿//,. Таким образом, уравнение (3.81) определяет

квазистационарную фазовую траекторию £*(/).

Из второго уравнения (23) находим оптимальное управление на квазистационарной траектории:

s^ =(?*'+*'у/1**). (28)

В заключении данной главы исследуется устойчивость квазистационарного режима. Приводится алгоритм решения совместной задачи оптимального управления.

Четвертая глава посвящена вопросам создания информационно-аналитической системы экономического и демографического анализа УР. Приводятся структура базы данных ИАСДЭА и возможности разработанного программно-вычислительного комплекса.

ИАСДЭА представляет собой совокупность программных средств для хранения всей необходимой информации по демографическим и экономическим показателям УР, по элементам демографической структуры населения региона, для графического представления данных, а также для оперативного ведения расчетов производных показателей и прогнозных значений. ИАСДЭА реализует следующие функции:

1. Наглядное графическое представление исходной статистической информации и производных показателей, дающее комплексную оценку демографической ситуации в Удмуртской Республике в целом, ее районах и городах (например, численность населения, рождаемость, смертность, средний возраст живущих и т.д.).

2. Расчет прогнозной плотности распределения населения по возрастам, общей численности населения, а также по группам населения (трудоспособное, нетрудоспособное и т.д.) на период, выбранный пользователем. Прогноз может быть осуществлен в разбивке по полу, по типу поселения.

3. Расчет и прогнозирование производных демографических характеристик.

4. Проведение параметрических исследований и прогнозная оценка экономического состояния региона в зависимости от развития демографической ситуации.

В пятой главе приводятся результаты численных исследований: анализируется динамика и производится прогнозирование основных демографических показателей, решается задача управления демоэкономическим состоянием региона, представлены результаты параметрического исследования и

прогнозирования влияния демографического состояния на макроэкономические показатели.

• 10-'", чел.

Рис. 5. Плотности распределения по возрастам для 2001 года

Рис. 6. Изменение коэффициентов нагрузки на трудоспособное население: 1 - неработающим населением; 2 - детьми; 3 - пенсионерами

. Рис. 7. Изменение доли активного населения

Примеры динамики некоторых демографических показателей представлены на рис. 5-7.

Также дается оценка основных демографических показателей для районов УР и проводится параметрический анализ при варьировании характеристик уровней рождаемости и смертности.

Определяется вид производственной функции Кобба-Дугласа для УР на основе имеющегося статистического материала с использованием метода наименьших квадратов. В результате получено у = 16,55-Л0,5'4.

Анализ задачи управления производится по следующим пунктам.

1) Решается модельная задача, в которой производится разделение населения на производящую и потребляющую группы, динамика групп задается в виде экспоненциальных зависимостей. Рассматриваются все возможные варианты развития демографической динамики. В результате решения задачи определяются значения параметров оптимальной точки: время выхода на оптимальную траекторию, оптимальное значение удельной фондовооруженности, оптимальное значение нормы накопления, оптимальное удельное значение ВРП и значение функционала благосостояния в конце периода прогноза.

2) Проводится сравнение результатов решения уточненной задачи (с разделением численности производящей и потребляющей частей населения) и классической задачи, не предполагающей подобного разделения. Оценивается величина внесенной поправки.

3) Решается сопряженная задача, в которой динамика указанных групп населения моделируется на основе уравнения динамики возрастного состава.

На рис. 8. Представлены расчетная (1) и оптимальная (2) траектории зависимости удельной фондовооруженности от времени.

кЛ0'\ руб/чел

2002 2 001 2006 2 009 2 010 2012 2014 2010 2018 2020 2 022 2 024 2020

Г, ГОД

Рис. 8. Расчетная (1) и оптимальная (2) зависимости фондовооруженности от

времени при

Как видно из графиков, величина удельной фондовооруженности с течением времени уменьшается. Такая тенденция обусловлена тем, что в настоящее время производственные фонды неоправданно велики и неэффективны. Осуществлять вложения в неэффективно работающие фонды экономически нецелесообразно. При этом, как показали расчеты, для достижения траектории сбалансированного роста необходимо существенное уменьшение удельного значения ВРП.

4) Проводятся параметрические исследования модели с целью изучения влияния начального состояния экономики (рис. 9) и изменений в демографической ситуации на оптимальные макроэкономические показатели региона в конце периода планирования.

Аг-10"3, руб/чея

<>'!■"■■■:......¡»»и ■ м' ;...;. 11; I "

2002 2004 2006 200« 2010 2012 2014 2016 201В 2020 2 022 2 024 2 020 /ГОД

Рис. 9. Расчетная (1) и оптимальная (2) зависимости фондовооруженности от

времени при

Заключение

1. Сформулирована краевая задача демографической динамики на основе подхода к выводу уравнений сохранения, развитого в механике гетерогенных сред. Выведены соотношения для расчета основных демографических характеристик. Замыкание уравнений осуществлено с помощью статистических моделей функций распределения рождений и силы смертности.

2. Представлено аналитическое и численное решение уравнения. Исследована сходимость численного решения. Проведен анализ вычислительной погрешности, погрешности аппроксимации, а также статистических погрешностей граничных условий и функций распределения рождений и силы смертности на погрешность прогнозирования локальных и интегральных демографических характеристик. Показано, что разработанная мате-

матическая модель с погрешностью не более 3 % может быть использована при прогнозировании демографических характеристик на период до 25 лет.

3. Проведено теоретическое исследование РККС-модели в случае, когда потребляющая и производящая части населения учитываются отдельно. Для автономной задачи построен синтез оптимального управления, в рамках которого получены явные формулы для удельного функционала благосостояния (функции выигрыша) модели и времени перехода в стационарный

режим k{t) = k* = const траектории сбалансированного роста. Определен вид уравнений для нахождения параметров стационарного режима.

4. Решена задача оптимального управления распределением капиталовложений с учетом реального демографического прогноза. Построен синтез управления и исследованы параметры устойчивости совместной задачи; получены уравнения для определения параметров квазистационарного

режима k(t)=k*(t) оптимальной траектории развития экономической

системы.

5. Показано, что отдельный учет общей численности населения L°(t) и трудоспособной части населения вносит существенные поправки в результаты решения по сравнению с классической постановкой задачи, не предполагающей подобного разделения. Проведен анализ возможных траекторий решения модели. В зависимости от соотношения первоначального и оптимальных значений удельной фондовооруженности выработаны стратегии оптимального экономического роста.

6. Разработана информационно-аналитическая система, позволяющая проводить совместный анализ всего комплекса локальных и интегральных демографических характеристик и макроэкономических параметров региона, а также проводить параметрические и имитационные исследования различных вариантов развития экономики.

7. Проведенный параметрический анализ задачи показал, что стратегия оптимального экономического роста не всегда сопряжена с увеличением ВРП. Совместное или противоположное изменение функции выигрыша и удельного значения объема производства (валового регионального продукта) зависит от начального соотношения удельных фондовооруженности и ВРП и удельных значений фондовооруженности на оптимальной траектории развития экономической системы.

8. Значение функции выигрыша на конец периода планирования слабо зависит от выбранного сценария развития демографической ситуации. Максимальное расхождение для всех исследуемых случаев составляет не более 7,4%. Значения удельных фондовооруженности и ВРП изменяются более существенно, при этом максимальные расхождения исследуемых параметров на конец периода планирования составляют 22 % и 42 % соответственно.

Повышение благосостояния населения (уровня жизни) не всегда 2005~4

связывать с ростом ВРП. Наоборот, выход на траекторию сбалансв--

ного роста экономики при существующей структуре произволеп 15895 фондов и производительности труда в УР обусловлен снижением с

сти основных производственных фондов и удельного валового рег1___

ного продукта.

Публикации по теме диссертацией ^ 9 0 7 2

1. Русяк И.Г., Кетова К.В. Математическое моделирование демографических показателей // Сб. статей- Ижевск: Изд-во ИжГТУ, 2002. - С. 163-169.

2. Кетова К.В. Задача моделирования оптимального экономического роста региональной экономики с учетом прогноза демографической ситуации // Тез. докл. VII Научной конференции молодых ученых и специалистов. Секция: "Информационные технологии и их применение". (Дубна, 3-8 февраля, 2003г.) - С . 305-306.

3. Кетова К.В. Математическая модель оптимального экономического роста и динамики возрастного состава населения // Тез. докл. IV Научной конференции молодых ученых и аспирантов с международным участием "Управление экономикой в условиях интеграции хозяйственных систем". Ижевск, февраль, 2003 г. - С. 27-31.

4. Русяк И.Г., Кетова К.В. Постановка задачи управления демоэкономиче-ским состоянием региона // Материалы IV Международной научно-технической конференции "Информационные технологии в инновационных проектах", ч. 2.,Ижевск: Изд-во ИжГТУ, 2003.- С. 62-64.

5. Русяк И.Г., Кетова К.В. Анализ решения задачи управления демоэконо-мическим состоянием региона // Интеллектуальные системы в производстве.- Ижевск: Изд-во ИжГТУ, 2003 .-№ 2.- С. 151-160.

6. Кетова К.В. Применение принципа оптимальности Беллмана к решению задачи оптимального экономического роста в стационарной постановке // Интеллектуальные системы в производстве.- Ижевск: Изд-во ИжГТУ, 2004.-№1.-С. 145-155.

7. Русяк И.Г., Кетова К.В. К вопросу о выводе уравнения динамики возрастного состава // Вестник ИжГТУ 2004 № 2 - С.49-52.

8. Русяк И.Г., Кетова К.В. Анализ погрешностей прогнозирования демографических показателей // Вестник ИжГТУ 2004 № 3 - С .44-46.

Подписано в печать 6.10.04. Формат 60x84/16 Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,2. Тираж 100 экз. Заказ № ¿8 7

Отпечатано с оригинал-макета заказчика

Издательство Ижевского государственного технического университета 426069, Ижевск, ул. Студенческая, 7, корп. 1

Диссертация: содержание автор диссертационного исследования: кандидата физико-математических наук, Кетова, Каролина Вячеславовна

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ.

ВВЕДЕНИЕ.

1. ОБЗОР СУЩЕСТВУЮЩИХ ПОДХОДОВ К ИЗУЧЕНИЮ ДЕМОГРАФИЧЕСКИХ И ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ.

1.1. Подходы и методы исследования в демографии.

1.2. Инструменты анализа экономического роста.

1.3. Взаимосвязь демографических и экономических процессов.

2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ АНАЛИЗА И ПРОГНОЗА ДЕМОГРАФИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК.

2.1. Постановка задачи на основе уравнения динамики возрастного состава

2.2. Определение аналитического вида функций силы смертности и плотности распределения рождений населения региона.

2.3. Аналитическое решение задачи.

2.4. Численное решение задачи.

2.4.1. Конечно-разностные схемы.

2.4.2. Исследование сходимости численного решения.

2.5. Анализ погрешностей прогнозирования демографических показателей

3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ СВЯЗИ ДЕМОГРАФИЧЕСКИХ

И ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ.

3.1. Основное уравнение модели экономического роста.

3.2. Постановка задачи оптимального распределения капиталовложений.

3.3. Применение принципа оптимальности Беллмана для решения автономной задачи.

3.3.1. Две леммы. Объективный функционал.

3.3.2. Структура оптимального управления в стационарной автономной задаче. Основная теорема.

3.4. Применение принципа максимума Понтрягина для решения задачи управления демоэкономическим состоянием региона.

3.4.1. Автономная задача.

3.4.2. Совместная задача.

3.5. Алгоритм решения совместной задачи оптимального управления.

4. ПРОГРАММНО-ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ КОМПЛЕКС ДЕМОГРАФИЧЕСКОГО И ЭКОНОМИЧЕСКОГО АНАЛИЗА УР.

4.1. Структура базы данных цифровой информации.

4.2. Основные возможности программно-вычислительного комплекса.

5. РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ.

5.1. Анализ и прогноз демографических показателей.

5.1.1. Ретроспективный анализ демографических показателей.

5.1.2. Прогнозирование демографических показателей.

5.1.3. Параметрический анализ демографических показателей.

5.2. Управление демоэкономическим состоянием региона.

5.2.1. Построение производственной функции региона.

5.2.2. Анализ результатов решения автономной задачи.

5.2.3. Анализ результатов решения совместной задачи.

5.2.4. Параметрические исследования модели.

Диссертация: введение по экономике, на тему "Оптимальное распределение капиталовложений с учетом демографического прогноза"

Актуальность темы исследования. Демографический кризис в современном российском обществе, коснувшийся всех основных демографических процессов, относится к числу проблем глобального масштаба. По оценкам ученых-демографов при сложившейся ситуации в ближайшие 25 лет население страны сократится на 20-25 млн [1,2]. Действительно, начиная с 1993 года регистрируется катастрофическое сокращение численности населения, смертность превышает рождаемость. По прогнозам ООН, к середине XXI века численность населения России уменьшится на шестую часть и составит чуть больше 120 млн человек.

Изменения, происходящие в обществе - это комплексный процесс, захватывающий все сферы общественной жизни. Изменение демографических отношений неизбежно повлечет изменение и в экономических отношениях, поскольку резкое увеличение либо спад рождаемости приведет к нарушению существующих пропорций между производящей и потребляющей группами населения. Степень серьезности этих изменений и их влияния на макроэкономические показатели практически не изучена [3]. Актуальность исследования в этой области определяется необходимостью выявления тенденций сложившейся неблагоприятной демографической ситуации с целью устранения либо сглаживания негативных последствий для развития экономики.

Учет демографической ситуации и прогноз будущих изменений численности населения, возрастной структуры и других, сопряженных с ними показателей необходимы при разработке региональной политики (экономической, демографической, социальной и т.д.), стратегии и тактики поведения. При разработке подобного рода политики очень важно выявление связи между демографической ситуацией и экономикой региона.

Следует отметить, что демоэкономические исследования, анализирующие закономерности взаимосвязей демографических и экономических процессов, проводятся давно. До последнего времени они велись главным образом в плане теоретического анализа динамики оптимальных экономических и демографических пропорций, и лишь в последние годы стали появляться работы, посвященные анализу и моделированию реальных экономических и демографических соотношений в конкретных регионах и в определенных условиях места и времени. Это не означает, что теория демоэкономических процессов уже разработана и осталось только прилагать полученные результаты к различным частным случаям. Скорее наоборот, поворот к практическим исследованиям, ориентированным на нужды конкретного региона, сделал актуальной разработку целого ряда важнейших вопросов теории и убедил в необходимости их безотлагательного решения. Достаточно назвать такие проблемы, как регулирование рождаемости и увеличение средней продолжительности жизни, снижение уровня бедности и увеличение среднего уровня жизни.

Согласно [4], предположительное исчисление населения показывает изменение народонаселения в зависимости от предполагаемых условий общественного развития, которые могут не всегда отвечать действительному положению вещей. Когда в результате анализа демографических данных эти предположения принимают конкретную форму, производится перспективное исчисление населения и составляются демографические прогнозы. Математическое моделирование - один из важнейших методов, позволяющих проводить методологические исследования и изучать прогнозные оценки при исследованиях различного рода. Это один из способов перспективного изучения явления. Математическое моделирование должно основываться на эмпирических наблюдениях и постоянно сопровождаться исследованиями, развивающими информационную базу. Важным моментом при этом является согласование "сложности" используемой модели с количеством имеющейся статистической информации об изучаемом явлении.

Математическая модель, развиваемая в работе, является основой для демографического прогноза и используется при определении количественных характеристик отдельных демографических процессов и перспективном исчислении численности и состава населения. Прогнозирование на основании построенной демографической модели численности и состава населения позволяет определять величину и динамику трудовых ресурсов общества, которые необходимы для перспективной оценки экономического развития региона.

Объектом исследования является теория оптимального распределения капиталовложений, а также задачи экономической динамики.

Предметом исследования является постановка и решение задачи оптимального управления с учетом связи макроэкономических и демографических процессов.

Целью работы является разработка математического и инструментального аппарата для решения задачи оптимального распределения капиталовложений с учетом демографического прогноза.

В ходе работы решались следующие научные и практические задачи.

1. Создание баз данных по экономическим и демографическим показателям УР, на основе которых производится цифровая обработка и визуальное представление информации.

2. Построение прогностической математической модели для изучения различных демографических характеристик.

3. Разработка эффективных математических (аналитических и численных) методов реализации модели.

4. Осуществление прогноза численности, возрастного состава и других демографических характеристик населения на период, заданный пользователем.

5. Построение модели взаимосвязи экономических и демографических показателей с учетом разделения численности трудоспособной и нетрудоспособной части населения.

6. Исследование структуры управления при оптимальном распределении капиталовложений и определение соответствующих аналитических зависимостей.

7. Проведение имитационного моделирования различных экономико-демографических показателей.

8. Проектирование и реализация проблемно-ориентированного программного обеспечения (информационно-аналитической системы демографического и экономического анализа УР). На последней задаче хотелось бы остановиться подробнее. С некоторого времени наметился переход от разработки практически не связанных (автономных) программных продуктов к созданию интегрированных диалоговых систем поддержки демографического прогнозирования [5-8]. Такие системы, как правило, включают: модели демографических процессов; средства сбора, хранения и преобразования исходных статистических данных и результатов моделирования; средства наглядного представления результатов прогнозирования и статистической информации в виде графиков, таблиц и т.д.; интерфейс, обеспечивающий удобный доступ к интегрированной системе прогнозирования пользователям-демографам, не являющимся специалистами в области программирования.

Информационно-аналитическая система демографического и экономического анализа (ИАСДЭА), представленная в диссертационной работе, обладает всеми вышеперечисленными свойствами.

Территориальные рамки диссертационного исследования составляют УР в ее современных административно-территориальных границах.

Хронологические рамки выбираются в зависимости от необходимой глубины анализа, а также наличия и полноты статистического материала, и варьируются в пределах от 1920 до 2001 года. Оценка основных демографических показателей проводится с 1980 года. 2001 год в работе выбран как начальный временной элемент для осуществления прогноза демографических показателей.

Источниками данных для исследования послужили статистические данные Госкомстата УР по демографическому и экономическому разделам с 1980 по 2001 год [9]. Существенным дополнением для работы явились материалы текущего учета населения Госкомстата УР периода 1989-2001г.г. [9-18]. Также анализировалась информация Госкомстата России, распространяющаяся в Интернете по адресу: http: //www.info.gks.ru. Демографические материалы можно получить и на сайте Центра демографии и экологии человека Института народнохозяйственного прогнозирования РАН по адресу: http: //www.demoscope.ru. Данные по экономическим показателям распространяются на сайте: http: //www.dist-economics.eu.spb.ru, http: //www.e2000.

Для решения указанных задач использовались методы статистической обработки данных, методы решения дифференциальных уравнений, методы математического анализа и теории оптимального управления, а также средства объектно-ориентированного программирования и методы математического компьютерного моделирования.

По теме диссертации опубликовано 8 печатных работ [19-26].

Диссертационная работа состоит из 5 глав и заключения.

В первой главе проводится обзор существующих подходов к изучению демографических и экономических процессов. Рассмотрены основные исторические этапы развития математических методов исследования в демографии, инструменты анализа экономического роста. Анализируется состояние изученности вопроса взаимосвязи демографических и экономических процессов.

Вторая глава посвящена разработке математической модели анализа и прогноза демографических характеристик. Ставится задача их определения на основе уравнения динамики возрастного состава (УДВС), определяется аналитический вид функций распределения рождений и силы смертности населения региона на основе имеющейся статистической информации. Приводится аналитическое и численное решение задачи. Исследована сходимость численного решения. Дается анализ погрешности вычисления и прогнозирования демографических характеристик, связанной как с погрешностью конечно-разностной аппроксимации, так и со статистической погрешностью определения функций распределения рождений, силы смертности населения и входных демографических данных. В дальнейшем именно численное решение УДВС, как алгоритмически наиболее простое, по сравнению с аналитическим, используется при решении задачи оптимального управления демоэкономическим состоянием региона.

Третья глава посвящена разработке математической модели связи демографических и экономических показателей региона. В основе подхода лежит классическая макромодель Рамсея-Касса-Купманса-Солоу (РККС-модель). Ставится задача оптимального распределения капиталовложений с учетом динамики численности трудовых ресурсов и нетрудоспособной части населения. С использованием принципа оптимальности Беллмана для автономной стационарной задачи доказана теорема о синтезе управления, в рамках которой определена стратегия оптимального управления как функция состояния макроэкономической системы. Показано наличие устойчивого стационарного режима, в которое система приходит за конечное время. Выведены аналитические выражения для времени выхода на стационарный режим оптимальной траектории и функции выигрыша. Определен вид уравнений для нахождения параметров стационарного режима. Результаты теоремы были использованы для решения обобщенной РККС-модели с учетом демографического прогноза. Построен синтез управления и исследованы параметры устойчивости совместной задачи; получены уравнения для определения параметров квазистационарного режима оптимальной траектории развития экономической системы.

Четвертая глава посвящена вопросам создания информационно-аналитической системы экономического и демографического анализа УР. Приводятся структура базы данных ИАСДЭА и возможности разработанного программно-вычислительного комплекса.

В пятой главе приводятся результаты численных исследований: анализируется динамика и производится прогнозирование основных демографических показателей, решается задача управления демоэкономическим состоянием региона, представлены результаты параметрического исследования и прогнозирования влияния демографического состояния на макроэкономические показатели.

Автор выражает глубокую признательность научному руководителю -декану факультета прикладной математики Ижевского государственного технического университета, члену-корреспонденту РАРАН, доктору технических наук, профессору И.Г. Русяку - за огромную помощь при подготовке диссертации и научному консультанту - заведующему лабораторией "Динамические модели экономики" Центрального экономико-математического института РАН (Москва), доктору физико-математических наук, профессору В.З. Беленькому-за ценные консультации по теории оптимального управления в моделях экономической динамики.

Диссертация: заключение по теме "Математические и инструментальные методы экономики", Кетова, Каролина Вячеславовна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Сформулирована краевая задача демографической динамики на основе подхода к выводу уравнений сохранения, развитого в механике гетерогенных сред. Выведены соотношения для расчета основных демографических характеристик. Замыкание уравнений осуществлено с помощью статистических моделей функций распределения рождений и силы смертности.

2. Представлено аналитическое и численное решение уравнения. Исследована сходимость численного решения. Проведен анализ вычислительной погрешности, погрешности аппроксимации, а также статистических погрешностей граничных условий и функций распределения рождений и силы смертности на погрешность прогнозирования локальных и интегральных демографических характеристик. Показано, что разработанная математическая модель с погрешностью не более 3 % может быть использована при прогнозировании демографических характеристик на период до 25 лет.

3. Проведено теоретическое исследование РККС-модели в случае, когда потребляющая и производящая части населения учитываются отдельно. Для автономной задачи построен синтез оптимального управления, в рамках которого получены явные формулы для удельного функционала благосостояния (функции выигрыша) модели и времени перехода в стационарный режим k(t) = к* = const траектории сбалансированного роста. Определен вид уравнения для нахождения точки к*.

4. Решена задача оптимального управления распределением капиталовложений с учетом реального демографического прогноза. Построен синтез управления и исследованы параметры устойчивости совместной задачи; получены уравнения для определения квазистационарного режима k(t) = k*(t) оптимальной траектории развития экономической системы.

5. Показано, что отдельный учет общей численности населения L°(t) и трудоспособной части населения L(t) вносит существенные поправки в результаты решения по сравнению с классической постановкой задачи, не предполагающей подобного разделения. Проведен анализ возможных траекторий решения модели. В зависимости от соотношения первоначального и оптимальных значений удельной фондовооруженности выработаны стратегии оптимального экономического роста.

6. Разработана информационно-аналитическая система, позволяющая проводить совместный анализ всего комплекса локальных и интегральных демографических характеристик и макроэкономических параметров региона, а также проводить параметрические и имитационные исследования различных вариантов развития экономики.

7. Проведенный параметрический анализ задачи показал, что стратегия оптимального экономического роста не всегда сопряжена с увеличением ВРП. Совместное или противоположное изменение функции выигрыша и удельного значения объема производства (валового регионального продукта) зависит от начального соотношения удельных фондовооруженности и ВРП и удельных значений фондовооруженности на оптимальной траектории развития экономической системы.

8. Значение функции выигрыша на конец периода планирования слабо зависит от выбранного сценария развития демографической ситуации. Максимальное расхождение для всех исследуемых случаев составляет не более 7,4 %. Значения удельных фондовооруженности и ВРП изменяются более существенно при этом максимальные расхождения'исследуемых параметров на конец периода планирования составляют 22 % и 42 % соответственно.

9. Повышение благосостояния населения (уровня жизни) не всегда можно связывать с ростом ВРП. Наоборот, выход на траекторию сбалансированного роста экономики при существующей структуре производственных фондов и производительности труда обусловлен снижением стоимости основных производственных фондов и удельного валового регионального продукта.