Стационарные динамические модели управления экономическими системами (методология, аналитические и вычислительные методы) тема диссертации по экономике, полный текст автореферата

Автореферат диссертации по теме "Стационарные динамические модели управления экономическими системами (методология, аналитические и вычислительные методы)"

центральный экономико-матежтическип институт ран

На правах рукописи

В.З.БЕЛЕНЬКШ

ДОКЛАД-АВТОРЕФЕРАТ по материалам диссертации на тему

Стациокнрние дннаштескке подели управления эконош1ческт.а1 снстенаип (:;зтодолог я, аиа..~:~1чзс1с:э и вычислительные методы)

Специальность 08.00.13 - Экономик^ и математические методы

Диссертация представляется н защите по совокупности работ на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва 1992 г.

Работа выполнена в Центральном кономино-математическом

институте РАН Официальные оппоненты:

член-корреспондент РАН Петров A.A.

доктор фиг -мат. наук

профессор , - Ашманов С.А.

доктор физ.-мат. наук

профессор Романовский И.В.

Ведущая организация - Институт системного анализа РАН

Защита состоится " 2& " SlIT^) SL. 1392 г" на заседании

специализированного совета ДР 002.27.03 в Центральном экономико-математическом институте РАН по адресу 117418, Москва, ул.Красикова 32

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Центрального экономико-математического института РАН

Автореферат разослан " ^ " 1992

г.

Ученый секретарь специализированного совета

(Й-^

Скоков В.А.

- 3 -. Оглавленир

Сшсок работ, представляемых к защите 5

§ О . Введение ' 8

1°. Основная тема работы 8

2 . Вводный обзор диссертации, основные результаты

и их место в общем русле исследований

по математической экономике 11

3 . Структура реферата, принятые обозначения 16

Раздел 1 . Модель Неймэна-гГейла 18

§ 1 . Описание модели. Пространство допустимых функций 18

1°. Описание модели 18

2 . Класс допустимых функций 20

§ 2 . Основные результаты,

углубляющие описание НГ-шделл 21

1°. Об'ектисьиз Функцпон&та

2°. Потенциал 22

Зп. Огюрзтори Бэл^ана, функция стоимости 24

4°, Аокжтотпчвская "Оздаэ лшя" факторизация 25 Б . Полное прэдсташшша орбит

копзчлих ефйк'кгкшх траекторий 26

6°. Базис-шЯ ггиплог 27

7° Ядро Лдпунова 28 8 . Восстаповлзхгпэ тохиологза

по еэ опорзтору Еэлллппа 28

§ 3 . О'псрчтет ?"адэй?

с нор;.:зт:тп:юй псэкзппой шалаЯ потребления 29

Постановка " 29

2°. Уршзкожо Озлялааа 30

3°. Сопрп:г;ошюэ урапхзнпэ, спзрзтор ¿.-'.ченэ 31

4°. Гипотеза о ?.:агпатралп • 33

§ 4 . !.!одэли оптпетзецпл щзарлепая

в пэр-од тоеполоиШ 33

1°. Зс.\"а'17?ая молодь о0 —ь п-зрэгода 35

2°. Отгсритая щггогь перехода 37

. т,йн^.о:.!И2ацгтя посол тахнагогап , зг'

§ 5 . Опвратор Еадгаша и тс:.и растр.

в стохастическоЛ НГ-?аод(Ш! 38

1°. Формудирогда глодЗ.ш 38

2 . Оператор Еэапкгла п тзш роста ' 38

Раздал 2 . Веролтностонэ {¿одэли управления

зкономпчестсгп сцстскагл <11

§ 6 . Оптемальиоэ рггпптиэ производства

. при стационарно растуцэм спросе 41

■1°. [!одэль 41

2°. Уравноикэ дтшагтлчэского программирования А

3°. Структура репенпя 43

4°. Решение детерминированного варианта 44

4.1. Переходное отображение 45

4.2. Основной пример 46

5 . Экспонь.щиальши вариант модели • 46

§ 7 . Модели инвестирования исследовательских проектов.

. Процесс уточнения 47

1°. Исходные посылки 47 2 . Процесс уточнения

в vopMö сужения интервала неопределенности 48 3°. Уравнение оптимальности , 49

4°. Кратная сводка результатов 49 5°. Общий марковский процесс уточнения - 50

6 . Схема Беиеса как процесс уточнении 51

§ 8*. Фидуциалышй подход

в задачах последовательного анализа 52

1°. Классическая задача оптимального выбора 53

2°. Инвариантная задача выбора (ИЗВ) 54

3°. Сведение ИЗВ к классической задаче 56

4°. Критика 57 5 . Фвдуциальные распределения

на пространстве параметров 57

6°. Фидуциальная цепь (<Ц) 58

7°. О сущности фидуциального подхода 59

8 . Заключительные результаты 61

Раздел 3 . Аналитические и вычислительно метода 63

§ 9 . Итеративные метода

в теории игр и программировании 63

1°. Игровой процесс 63

2°. Теоретическая схьма 64

§10 . Разные работы 67 1 . Диаграмма роста монотонной функции

и задача восстановления ее оригинала 67 2°. Вековое уравнение для неподвижных точек

стационарного уравнения Беллмана 69 .3 . О нахождении эффективного базиса .

в общей модели Лестьева 71 4 . Достаточные условия оптимальности

для линейных дифференциальных неравенств

с разрывными траекториями 72

Краткий заключительный комментарий . 7^

Литература

Данный парагрчф рассматривается как дополнительный

- 5 -

Список работ, представляемых к защите

К Разделу 1

1. Беленький В.З. Стационарные модели экономической динамики.

Препринт ЦЭМИ АН СССР, 1981

2. Беленький В.З. Об'ективные функционалы в стационарных моде-

лях экономической динамики. - В кн. "Математический аппарат экономического моделирования", М., Наука, 1<Э83, с. 216-222

3'. Беленький В.З. Экономическая динамика: обобщающая "бюджетная" факторизация гейловской технологии. Экон. и мат. методы, 1990, т.26, вып.1

4. Беленький В.З. О представлении гейлоЕской технологии* ее

оператором Беллмана. Экон. и мат. методы, в печати

5. Беленький В.З. Экономическая динамика: развитие с норматив-

ной временной шкалой потребления. Экон. и мат. метода, 1992, т.28, вып.1

6. Беленький В.З. Модель оптимального — перехода для

пары гейловских технологи!1 (промежуточная магистраль).

- В сб. "Вероятность и математическая экономика", ЦЭМИ, 1988

К Разделу 2

7. Беленький В.З. Оптимальное развитие производства при стаци-

онарно растущем спросе. Экон.'и мат. метода, 1979, т. 15.-вып.4

8. Беленький В.З. Неймановский стационарный рост системы с по7

роговой затратной характеристикой. Экон. и мат. метода, 1986, т.22, вып. г

9. Беленький В.З. и др. Оптимальное управление системой с уче-

том уточнения интервала нес гределенности ее параметров в форме случайного процесса "с независимыми вычитаниями"

- В сб. "Исследования по вероятностным проблемам у: давления экономическими процессами", ЦЭМИ, 1985

10. Беленький В.З. и др. Оптимальное инвестирование конкуриру-

ющих проектов новой технологии с учетом динамического процесса уточнения их параметров. - R сб. "Исследования - по стохасти эской оптимизации и математическэй экономике", ЦЭМИ, 1986

11. Беленький В.З. и др. Выбор с неполной информацией и ответ-

ственность ЛПР. Polsson-Markov'ский процесс уточнения. - В сб. "Математическое моделирование процессов управления в условиях неопределенности", ЦЭМИ, 1987

12. Belenky V..Belostotsky A. Control of economic uystenu. 'under

tl\>3 process of data Improvement. Journal of Economic Dynamics and Control, 1988, v.12, Ji 4

13. Belenky v., Belostotsky A. Resource allocation ard project

selection: control of R&D under dynamic process of data improvement. Theory and decision, 1989, y.26, 1

14. Belenky V., Belostotsky A. On optimization of the process

of data improvement. Management sciences, 1991, v.27, № 11

15. Беленький В.З. Связь фидуциальных вероятностей с принципом

иньртности свободных случайных величин. - В сб. "Многомерный статистический анализ и вероятностное моделирование реальных процессов", Наука, 1990

16. Беленький В.З. 4-идуциальный подход в задачах последователь-

ного анализа. Препринт ЦЭМИ РАН, 1992

К Разделу 3

IV. Беленький В.З. и др. Итеративные методы а теории игр и программировании. М., HayKí-, 1974 18. Беленький В.З., Болконский В.А., Иванков С.А. Об одном общем подходе к исследованию сходимости итеративных процессов. Экон. и мат. метода, 1974, т.10, вып.2.

19. Belenky V. and all. On a certaln general approach to the

lnvestlgation of the convergence oi Iterative ргосеззез. - In: "Computing equllirrla: how and why", North-Holand, 1976 (Сборник трудов международного конгресса, Варшава, июль 1975 г.)

20. Беленький В.З. Диаграмма роста монотонной функции и задача

восстановления ее оригинала. Препринт ЦЭМИ, 1990 2". Беленький В.З.'Вековое уравнение для неподвижных точек оптимальной стратегии стационарного уравнения Бе ллмана. Экой, и мат. методы, 1991. т.27, вып.5

22. Беленький В.З. К теореме о замещении в общей модели Леонть-

ева. Экон. и мат. метода, 1Э82, т.18, вып.1

23. Беленткий Б.З. Достаточные условия оптимальности для линей-

ных дифференциальных неравенств с разрывными траекториями. Известия АН СССР, сер.матем., 1992, JS 4

24. Belenky V. Optimum strategies Го-" nuclear energy system de-

velopment (rnet!"od of synthesls). Angewandte Systemanalyse, ;з8з. н з

Прикладные работы

25. Беленький B.3., Белостоцкий А.М. Математическое моделирова-

ние развития ядерной энергетики. М., Наука, 1979

26. Беленький В.З., Арушанян U.M. Сравнение стохастической и

детерминированной моделей развития отрасли. Экон. и мат. метода, 198С," т.16, вып.2

27. Беленький В.З. и др. Вариантный анализ структурных' сдр'тов

в народном хозяйстве в период смени технологий. Экон. и мат. методы, 1990, т.26, вып.З 2%. Беленький В.З. Вариации на тему "Моделирование сходящихся эволюционных процессов". - В со. "Вероятностные модели математической экономики", ЦЭМИ, 1991

- 8 -§0. Введение

1°. Основная тела работы. Диссертация об'единяет цикл иссле-довшлй автора в области моделирования сгационарнгт процессов в экономической, динамике или, если говорить шире, в теории принятия решений, охватывающий период с не шла 70-х годов по настоящее время, т.е. около 20 лет. Термин процесс содержит в себе предстЕзление о врелени, в котором процесс развивается, и о фазовой тонне, описывающей положение изучаемого (наблюдаемого) об'екта в пространстве состояний; родственным этому термину является понятие биналическая система. Стационарный процесс характеризуется тем свойством, что в каждый момент времени t его дальнейшее течение не зависит явным образом от t ; иначе говоря, этот термин выражает свойство однородности во времени (в теории дифференциальных уравнений такие системы называются автономными ).

Конечно, всегда существует возможность ввести "формальное" время, а реальное "физическое" время рассматривать как дополнительную координату фазовой точки, и тогда всякий процесс становится стсдионарным в формальном времени. Однако такая формализация, как правило, несовместима с содержательным смыслом- исходного описания. Таким образом, понятие стационарный процесс процесс подразумевает, что пространство и время содержательно различимы.

1.1.В оптимизационных задачах управления динамическими системами условие стационарности предполагает

а)'независимость от "1 параметров описания системы;

б) независимость.от 1 критериального функционала; (1)

в) босконечность горизонта модели, Т = » .

Эти три обстоятельства в совокупности позволяют, следуя Р.Белл-ману, ввести функцию выигрыша Ф : для произвольной точки х из фазово"о пространства Б значение Ф(х) определяется как максимум критериального функционала на траекториях, выходящих из х . Функционал Ф принадлежит некоторому классу И/ и удовлетворяет уравнению Беллмана, имеющему, в случае дискретного времени, вид

u-€2>C*) 10 °

здесь D(x) - множество управлений,-y€S - состояние, в которое система переходит из х при управлении и . Фазовое пространство S ; класс W допустимых функционалов ä R ' пространство управлений U и точечно-мнокествешпе отображение Ъ• £ V ; функции Х-- & 3 и X: (^«s'a^U-^R

полностью описывают стационарную модель динамической системы

JU = { sf, w, V, Ä, I, ~К } . (3)

1.2. Чем оправдано выделение указанного класса моделей в самостоятельное направление, которому посвящена диссертационная работа ? Фактически это направление сформировано основополагающими работами Беллмана, самой идеей динамического программирования 15], в основе которой - значениэ выигрыша как функция фазовой точки. Эта простая идея оказалась очень плодотворной и теоретически и в практических приложениях, хотя в отношении последнего у нее есть ахлллвсова пята - т.н. "проклятие размерности". Дело а том, что если дажэ нас интересует значение решения только в одной начальной точке х0 , все равно приходится строить всю фазовую картину в целом, беллмановркий подход глобален. Поэтому при разамерности cLim(S) заметно больше единицы решение уравнения (2) связано с большими вычислительными трудностями.

Однако, в тех случаях, когда удается получить функцию- Ф , доставляемая ею информация оказывается исчерпывающей. Главное -Ф определяет оптимальную стратеzwe управления, т.е. отображение х —ь ufx) •= максимизируещее значение и в правой части (2) (оптимальный ход). Стратегия отвечает на коренной вопрос всякой задачи управления - что делась в данном состоянии ? Это придает особую важность моделям, в которых возможен беллма* 'вс-Кл1Й синтез. К таковым относится, в частности модель В.Леонтьева, на которой основаны все динамические модели народнохозяйственного уровня типа межотраслевого баланса.

Автор убежден (и не раз высказывал это в своих работах), что именно стационарные модели - наиболее подходящий метог "»логический аппарат для изучения ключевых свойств динамики модэлир: "'мых

экономических систем. Выявление таких свойств, по самой их ключевой природе, треоует отсечь все второстепенные детали, оставляя лишь главной. Главная часть - основа моделируемого явления, оказывается, в силу самого подхо/ч, стационарной; ¿то дает возможность применить принцип оптимальности Беллмана, причем часто удается не только избежать "проклятия размерности", но и получить' содержательно вполне достаточные одно- или двумерные макромодели. Для автора, по своей натуре математика-прикладника, существенный интерес представляет проблема грамотной постановки задлчи. Отсечь лишнее, сохран в стационарное ядро и кэ "выплеснув ребенка" - нужно определенное искусство, опыт, широта взгляда. Вместе с тем, эта позиция автора приводит к тому, что возникающие в процессе исследования чисто математические задачи не всегда глубоко проработаны, иногда они схвачены только в главном, хотя их можно было бы углубить или развить в деталях. Такой подход - на уровне главной идеи, мижет не удовлетворить "ортодоксального" математика, и все же автор решается предста-.вить свою работу на суд профессионалов.

Замечание. Если условие (1,в) заменить конечным горизонтом Т ,~то получим стационарную в слабол смысле модель: вместо одной функции выигрыша Ф будет конечная последовательность функций Фк , к=0,1,...,Т , которые :логут быть найдены методом динамического программирования из'рекуррентного соотношения, аналогичного уравнению (2).

1.3. Значительное место в диссэртации уделено теме принятия решений в условиях неопределенност.1. Рассмотрены стационар!, .е стохастические постановки линейных моделей экономической динамики, включая модели смены технологий; нелш ,'йные модели развития отрасли в условиях постоянно растущего внешнего спроса; динамические модели выбора проектов и распределения инвестиций в исследовательские разработки. Во всех случаях дается математический анализ модели, требущий развития соответствующего аппарата. Собствен: о математические результаты, не связанные непосредственно с построением моделей, представлены в последней части диссертации.

1.4. Итак, стержневая линия диссертации - развитие понятийного и математического аппарата построения и исследования стационарных моделей как методологической основы выявления и изучения ключевых свойств стратегии управления в динамических моделях экономических систем. Автор полагает, что результатами раооты являются не только математические утверждения и доказательства, но также и постановочно-методологические разработки.

2°. Вводный обзор диссертации, основные результаты и их лес-то' в оОщел ру'-ле исследований по мтэлюшческой эконолике. В широком плане, тема диссертации лекит в области теории принятия решений, в том числе в условиях неопределенности. В работе выделены три тематических раздела (см. Содержание), связанны.*, ой-щей линией, но достаточно самостоятельных.

2.1. Раздел 1 относится к математической теории экономической динамики, ведущей свое начало от работ В.Леонтьева [ 52], Дяс. фон Неймана Е531 и Д.Гвйла С1П; завершенную форму эта теория получила в 60-х юдах в монографии В.Л.Макарова и А.М.Ру-бинова [22]. Особую значимость имеют результаты И.В.Романовского [38,39] по предепышм циклам управляемых динамических систем. Классическими в этой области являются результаты Р.Радаера [55] и Х.Никайдо [54] относительно магистральных свойств эф]хк-тивных траекторий большой длины; вакие результаты получены здесь также в работах С.М.Мовшовича [25,26]. Общий математический аппарат магистральной теории развит в монографии Рубинова [41]. Ученики "школы Рубинова" постоянно ведут интенсивные исследования р эт~й области (см. сб.[42]); особо выде.пим работы В.Д.Матвеенко [23,34]. В литературе ..оследнего времени отмьлм монографию учебного характера Н.Сто^и и Р.Лукаша [57], также тесно примыкающую к данной теме. Стохастические аналоги модели Ьеймана-Гейла изучались в работах этрудников Лаборатории вероятностных проблем управления экономическими системами РАН (зав. лаб. - В.И.Аркин), см. [1,34,35].

Отметим некоторые особенности принятого нами метода.

1) Хорошо известно, что метод динамического программирования центральным в котором является функция Беллмана, альтерь?";иввь

методу двойственных переменных (в непрерывном времени - это принцип максимума Понтрягина [33], в дискретном - теория двойственности;, который в экономике связан с ъэнятиями цен и равновесия. Этот аппарат использован в [22], где двойственные траектории названы "характеристиками"; в работах. В.М.Полтеровича [29,301; внесших важный вклад в изучение моделей экономического роста, понятия цен и равновесия являются основными. Конечно, метод двойственности шире в смысле области возможных применений, но зато информация, доставляемая функцией Беллмана Ф , гораздо богаче, в частности, оптимальная страте:ия позволяет строьть траектории динамической системы; оптимальные цены суть ( бобщенныэ) производные функции Ф на траектории. Подчеркнем, что при выводе уравнения Беллмана понятие "цены" совершен--но не используется.

2) В отличив от'аппарата Рубинова [41], работающего с итерациями точечно-множественного произволе венного (гейловского) отображения, мы имеем дело с итерациями оператора Беллмана в классе Ул/ допустимых функций над фазовым пространством. При этом существенную роль играет переход к сопряженным (двойственным) функциям и использование соогветствующого аппарата выпуклого анализа, развитого в работах Р.Рокафеллара [37], Л.Д.Иоффе и В.М.Тихомирова [15].

Основные авторские результаты Раздела 1 следующие.

1) Дана полная, и повидимому окончательно завершенная "прори-<^вгз" картины для регулярного (т.е. невырожденного, общего положения) случая модели Неймана-Гейла. Расширен понятийный аппа рат модели, показано, что асимптотически всякая регулярная НГ~ модель факторизуется и описывается базисным триплетом (а,С,£). Получена теорема о полной магистрали, представляющая собой законченную форму известной теоремы Раднера-Никайдо.

2) Обнаружено однопараметрическое семейство, об'ективных функ-ционалоь в открытой модели (эффект неединственности).

3) Введено пончтие темпа роста в стохастической НГ-модели как собственного числа операюра Беллм-ша.

4" Дана принципиально новая постановка задачи оптимизации с

нормативной шкалой соотношения уровней потребления разных поколений. Математически проанализирована соответствующая стационарная модель и двойственная ей.

5) Введен "оператор дележа", показано, что он является двойственным к обычной операц".ш сложения функций.

G) Сформулированы и проанализированы два подхода к постановке стационарной модели смены технологий (в т.ч. для случая рандомизированной новой технологии

Замечание. Результаты, близкие по соде-канию к теореме о полной магистрали, почти одновременно и независшо получены другими методами в работах В.Д.Матвеенко [22,23].

Добавп..;, что модели экономической динамшси г основной теоретический аппарат, используемый в научных разработках, связанных с практикой долгосрочного народнохозяйственного прогнозтгрования и планирования. Арсенал таких разработок достаточно широк и разнообразен, большой вклад в этом отношении внесен научными центрами и коллективаш, связашг'ш с именами: Волкснсккй В.А., Ершов Э.Б., Клоцвсг Ф.Н., Петров A.A., Токарев В.В., Шатилов Н.Ф., Уринсон Я.М.

2.2. Тема Раздела 2 принадлежит теории исследования операций и последовательного управления по-неполшм данным. Это - весьма обширная область, будем говорить о каждом параграфе отдельно.

Модель развития производства монопродуктовой отрасли в усло^ виях случайно растущего спроса (§G) наиболее близка к теории управления р^па- ами (см., например, учебник г8]) и идейно родственна известной монографии А.А.Первозванского [28]. Специфика модели определяется двумя факторами: 1) продукт кош1актен, легко складируется п может долго храниться, 2) строител. зтво новых предприятий связано с очень оольшими начальными вложениями. Последнее обстоятельство делает модель существенно нелинейной. Модель использовалась в предплановых разработках по р^зш-тию отрасли топливоснабжения для атомных электростанций.

..методологически сьовобрр^вн подход к теме инвестор зания ис следовательских проектов ('37), которой посвящена большая иуч-ная литература (тема "R&D and project selection"); этот подход

развит в соавторстве с А.М.Белостоцким. Мы полагаем, в отличие от большинства работ, что результатом исследований является не улучшение проектов, а только уточнение информации о разрабатываемой новой технологии. Систематически прозодя эту точку зрения, мы приходим в итоге" к формально-математическому понятию "процесс уточнения"; это - марковский процесс случайных блужданий в параметрическом семействе распределений,, являющийся лар-тюмгалол, сходящимся к предельному точечному (атомарному) распределению. Условие, мартингальности интерпретируется содержательно как свойство "имманентности" добываемой информации - неподе частности усилиям человеке сущности новой технологии,' рассматриваемой как "вещь в себе". БеРчсовская схема уточнений является частным случаем общего понятия. Из литьратуры нам известны только несколько работ, близких по подходу, см [44,47] Подобные идеи прозвучали в недавних исследованиях С.А.Смоляка (сообщение на семинаре Лаборатории проблем риска и страхования, зав. лабораторией - В.И.Ротарь).

Тема "уточнения" продолжена в диссертации и в §8, касающемся фидуциальных вероятностей - малоизвестной главы теории статистического оценивания неизвестного параметра по результатам наблюдений. Фидуциальные вероятности 4 были введены в 20-х годах Р.Фишером [48] из полуинтуитивных соображений как подход, альтернативный понятию "доверительный интервал". Позднее в 6070 гг. подход Фишера получил строгое обоснование в рамках инвариантной теории оценивания в работах Д.Фрэзера [49], Р.Хора и 1-Б.лера [50], Г.П.д.лимова и А.Д.Кузьмина [19,20]. Автор пришел к фидуциальным вероятностям самостоятельно, обдумывая возможныэ подходы к постановке зад^-ш наилучшего выбора в ситуации "полной неопределенности". В традиционной постаговке эта задача -классический пример проблематики т.н. "последовательного анализа" - главы общей теории статистических решений, начатой работами А.Вальда [9.5Р1; специально этой задаче посвящена монография Б.А.Березовского и А.В.Гнедина [71, в более широком плане проблема "травления по неполным данным исследована в монографии Э.Л.Пресмана и Л.М.Сонинь [36].

- 15 -

Основные результаты Раздела 2 таковы.

§6- Предложена модель развития, в условиях случайно растущего (с линейным трендом) спроса, монопрсдуктовой отрасли с существенно нелинейной затратной характеристикой (с начальным скач-скачком); построена аналогичная модель гкспоненциального "неймановского" стационарного роста. Обе модели математически про-гчализированы, выявлены магистральные режимы, параметры которых явным образом связаны с исход ¿ыми данными. Постановочно-содержательная часть принадлежит коллективу соавторов, математические результаты - авторские.

§7- Развит подход, рассматривающий исследовательские раграсо-тки как способ получения (добывания) данных о новой технологии, уточняющий, но не улучшающий ее. С этой точки зрения построена и исследована модель распределения инвестиций среди конкурирующих проектов новой технологии. Введено формально-математическое поняиие процесса уточнения, обобщающее Оейесовскую схему пересчета апостериорных распределений. Вклад автора аналогичен §6.

§8- Исследованы и сопоставлены возможные подходы к остановке задачи наилучшего выоора в ситуации "полной неопределенности" Выяснено, что логически наиболее последователен подход, моделирующий "полную неопределенность" в терминах инвариантности и опирающийся в этом случав на фпдуциальные апостериорные распределения. Введено понятие фидуциальнбй цепи (ФЦ), центральное .в данном параграфе. Показано, что статистически нераз.'щчима (по своим реализациям) с наболюдаемой последовательностью, являясь ее "двойником". Выяснена природа этого родства, 'и в. .эст<* с этим вскрыта сущность фидуциального подхода как такового. При интерпретации наблюдаемой последовательности как ч>Ц оказывается возможным корректно поставить и рг 'ить задачу выбора с произвольным, в т.ч. неинвариантным критерием. Все результаты - авторские, но опубликованы они пока только в предварительном порядке [16*], поэтому §8 следует рассматривать в составе диссертац: л ка- дополнительный.

2.3. Раздел 3 не связан с методологическими проблемами моделирования экономических процессов и просвящен полностью чисто

математическим, в частности вычислительным, вопросам. Изложенные здесь результаты носят общематематический характер, и как таковые могут быть использованы в любых областях приложений, в т.ч. тематически не связанными с диссертацией.

Результаты Раздела 3 - следующие.

1) Построена (в соавторстве) общая теоретическая схема исследования -сходимости итеративных процессов решения игр и задач выпуклого программирования. В основе ее лежат результаты В.А. Волконсюго и С.А.Иванковь [10,15]. Схема охватывает многие известные итеративные методы, и выход коллективной монографии [17*] завершал определенный этап исследований ч этой области.

2) На основе введенного понятия диаграммы роста монотонной функщг' получены [20*] необходимые и достаточна условия существования и единственности решения стационарного уравнения в модели "диффузии технологий" Полтеровича-Хенкина [31,32].

3) Получено уравнение [21*], названное "вековым", которому обязаны удовлетворять неподвижные точки стационарного уравнения Беллмана (необходимое условие неподвижности).

4) Дано описаю:э эффективного базиса в общей модели Леонтьева в терминах двойственных переменных (цен>; на этой основе предложен простой итеративный алгоритм построения базиса [22*].

5) Получены достаточные условия оптимальности в линейных дифференциальных задачах оптимального управления с разрывными траекториями Í23*]. Тшле задачи'не вписываются в принцип максимума Лонтрягина [33]. В абстрактной фо^ ie предложенный подход бт:лзг>к к схеме двойственности Е.Г.Гольштейна [13], но не использует топологических свойств рассматриваемого класса функций.

3? •Структура референта, гриняшые обозначения. В реферате выделены три раздела, внутри каждого из которых 'вдет своя нумерация формул. Параграфы, Леммы, Теоремы, Предложения, Утвервде-н.*я, Задачи, Определения и Рисунки имеют сплошную нумерацию, система ссылок - обычная. Частично обозначения переменных внутри параграфа локальны (имеют иной смысл, нежели в других параграфах). Собственные результаты автора сформулированы в форме Предложений (вспомогательные) и Утверждений (основные).

Собственные работы автора, включенные в диссертацию, собраны в отдельный список с самостоятельной нумерацией; для удобства список сгруппирован по Разделам в соответствии с Оглавлением и помещен непосредственно вслед за ним. Ссылки на работы авторского списка помечаются звездочкой Список внешнттх источников занумерован в алфавитном порядке и помещен, как обычно, в конце диссертации.

* *

' тс

Благодарности. Диссертация многоплановая, и автор, коренной ЦЭ'ЛИст, в своей работе контактировал практически со всем научным коллективом института. Считаю уместным отметить здьзь благотворную атмос&вру творческого поиска, свобода и дружески уважительног отношения к коллега.., сложившуюся в ЦЭМИ (во штагом благодаря дальновидной политике рук:оводства института). Я искренне благодарен, в самом широком смысле, всем коллегам по работе.

Отдельно я хотел бы поблагодарить моих непосредственных помощников в диссертационных хлопотах - И.И.Арушанян и Е.С.Бирюкову .

Наконец, следует сказать что избранная мною форма защити -"по совокупности работ", весьма обременительна для оппонентов, особенно в данном случае многоплановой диссертации. ь приношу уважавши оппонентам извинения за эту нагрузку и, вне зависимости от оценки работы, буду благодарен за отзывы.

Автор

Раздел 1. МОДЕЛЬ НЕИМАНА-ГЕИЛА

Модель Неймана-1ейла - классическая линейная модель экономической динамики, математически представляющая собой динамическую систему с фазовым'"пространством продуктов" Я" . Несмотря на то, что модель подробно исследована в [22,41], удается получить ряд новых результатов, в том числе принципиального характера. В отличие от указанных работ, изучение модели систематически ведется в терминах порождаемого моделью автоморфизма в классе допустимых функций над фазой™ пространством. Расширяется понятийный аппарат модели, получена законченная форма теоремы о магистрали Раднера-Никайдо. Предлагается и анализируете новый подход к оптимизации стратегии развития системч, а также два варианта стационарной модели смены технологии. 4

§1. Описание модели, пространство допустимых функций

1? Описание жидели. Модель Неймана-Гейла (НГ-модель) представляет собой динамическую систему, заданную точечно-множественным тешологичеашл отображением ш фазового пространства продуктов Я" в себя. Включение у € ы(х), х,у € Я^ означает, чте вектор конечных продутор у может быть получен за одш производственный цикл (единицу времени) из вектора начеиъннх продуктов х; время дискретно. Стандартнее условия на технологию ш сформулированы в [17, с. 392) в терминах свойств графика отображения ш

они таковы:

Ъ\. Ъ - замкнутый выпуклый конус в в частности, (О.ОеЙ:

12. если ж,-о* *^ , то Ы,

23. С фъ при у* О ;

24. существует Сж..^)сЗ: тагэе, что ^ > °

При этих условиях в модели существует равновесие - тройка (а,хА,тс), где <* > О -скаляр, эс.* е ; тт е

- вептор (-строка) двойственных переменных (равновесные цены), такая, что

а) ое-х? £ и>Съ*") 6) ТГ^ & <хтгас (2)

Из (2) следует, что а - максимально достижимый в модели темп сбалансированного стационарного тюста,. х*- вектор, на котором такой рост достигается. По имени автора, темп а и луч £:= (Лх* | о | называются нейлаяовсюлт. Равновесие ЬГ-модели - важнейшая ее характеристика.

НГ-модель используется в математической экономике как теоретический аппарат для изучения свойств траекторий Економической системы в долгосрочной перспективе; траектория - это последовательность ^ : - £ с условиями

ссо - задано, зс-ьм С*.-Л - (3)

Обозначил через оот С®^ множество Т-шаговой достижимости, определяемое индуктивно

СОЧ^ ЗС, , СО^'^ •• = , Т-О,,,... ^^

и через Г7ТС*Л • границу Парето этого множества, т.е.

Траектория называется эффективной, если

э^е ПЧ*.) Ч-Ь.

В общем случае в НГ-модели существует магистральное множес-тро - наименьший конический аттрактор эффективных траекторий. Если аттрактор состоит из единстве дюго луча - магистрали, то ясно, что магистралью является неймановский луч, который ^ этом случае единствен. В [41] подробно изучены структура магистрального множества и условия с шествования магистрали; з частности, если в неймановском равновесии (2) векторы х+, % строго положительны, причем равенство в (2,6) достигается только на луче (строгое состояние равновесия [22, с.2341), то - магистраль. В связи с этим введем Определение 1. НГ-модель назовем регулярной, если она обладает магистралью, причем вечторы х*,тс строго положи эльны. О Регулярная модель представляет собой случай "общего пс .оке-

ния" и поэтому содержательно наиболее интересна; именно она изучается автором, гипотеза регулярности подразумевается без

специальных оговорок. _

2? Класс допускслых функций W . При постановке' оптимизационных задач в НГ-модели необходимо дополнить описание технологии со функционалом' Ф '■ R^ -> , имеющим смысл либо критериального функционала, либо функции полезности потребления (в этом случае обычно обозначается через U - utility). Обозначим через W класс положительно-однородных (первой степени) монотонных функций на R*^ ; каждая функция ф С W непрерывна в и полунепрерывна снизу всюду в R'X . Пусть vv

- подкласс непрерывных всюду в R'^- функций из W ; такие функции назовем допуапилили. Для того чтобы функция Ф € W была допустимой, достаточно, чтобы она была полунепрерывна сверху, поэтому операция эсиашания Ф Ф •'

= TUZ Фс-Л , --се ях (6)

ch

"исправляет" фу'здно г на границе ортанта гчч- и пе-

реводит ее в класс w : Фе w причем Ф С- V^^o.

Для дальнейшего удобно ввести специальные обозначения: W

- подаласс допустимых функций,, выпуклых вверх, W - вниз.

Ввиду однородности допустимых функций, с помощью симплекса

ff: (*„..., РД[ EGA-i] , EC«-V=Z.Äi. (7)

I ~ 1

лдобно ввести в W метрику и норму по формулам

eC$i ФзЛ = = Фг(х>1 ' t»*-* (8)

Сходимость в метрике р обозначается "=»" и называется ешь-ной, поточечная сходимость - слабой. Наконец, отношение

« Фг. ■ ic^ Í Ф»^ VtcCR* . (9)

превращает W в полуупорядоченное пространство с естественными операциями max и min .

Свойства допустимых Функций, попробно описаны в [1*1, приведем важнейшие из них.

- 21 -

Предложение 1. а) Если последовательность { 4 к. ] CW слабо~сходится к фе.^7 , то Ф«.Ф ; б) если ^cXv убызает, то она имеет сильный предел; в) всякое ' ограниченное множество в W содержит слабо сходящуюся последовательность. Q

Далее в §§ 2,3 излагаются основные результаты автора, касающиеся НГ-модели. Чтобы устранить неоднозначность в определении равновесия (2), будем предполагать, что х* и % норми]рвны так, чтобы выполнялись услови."

a) б) -гас* = Х . (10)

В пространстве W выделим подмножество X нормированных функций

X : = [4eW I СасЧ- . (11)

§2. Основные результаты, углубляющие описашго НГ-модели

1? Об'етивные фун"ционси.ы. Понятие об'активного функционала (ОФ) было i зедено автором в препринте 1931 года [1s]; вкратце оно изложено затем в [2*1.

В открытой НГ-модели с явным учетом потребления естественная постановка оптимизационной задачи с конечным горизонтом планирования Т такова

Задача 1. т-<

----- 21 М£17СС^ д^Тбс^ т^

•¿so7 (12)'

где V", "f7 £ W (Я/ - функция полезности, "V - терминальный функционал), -'дисконтирующий сожитель, с погощьм которого сопоставляются уровни полезности "разных поколений"; макс.мизация в (12) проводится по траекториям с потреблением, .е. по последовательностям i-X-t с.*] с условиями

Х0 - задано, о 6 с* & ос^ f е - С^ . g (13)

В этой постановке принципиальным моментом является въедешь в критерий (12) терминального члена ~У , смысл которого -дать оценку конечному сост.янию (это - т.н. "проблем; хвоста"). Функционал "V может выбираться из тех или иных соображен;.Л, но в любом случае, до решения Задачи 1, этот выбор априорен. Если

обозначить через оптимальное значение критерия (12),

то легко видеть, что Уг 6. и/ . Вообще говоря, функционал "Н^- , апостериорный по своему смыслу, зависит от Т и от "У ; оказывается, однако, что при подходящем выборе "У будет "Ч^. а "Н7" , такой функционал назван об'ективнш: апостериорный взгляд совпадает с априорным, причем независимо от Т . Об'ективный функционал обязан удовлетворять уравнению Беллмана для Задачи 1:

фСхЛ= УТ^* [^С^^ФС^], ' (14)

Сс.: 6i.oC.x-c.-)

Уравнение (14) - основное в данной модели, оно подробно изучено, причем ситуация существенно зависит от соотношения д* ы. % ^ . При (14) имеет единственное решение*^ при

д«.о< ^ 1 решений нет, в этом случае при .

Наиболее интересен случай = ос~' - основной, ситуь^ш такова.

Утверэдение 1. При уравнение (14) имеет однопара-

метрическое-сёмейство решений. ¿1менко, для каждого ^«ь существует и етдаствен ОЬ ф = 5 удовлетворяющий

уравнению (14), такой, что ФСж.*} = Л . Семейство { Фл\ монотонно :о \ и полно в следующем смысле: при фиксированном V е Т\7 оператор А правой части (14) задает автоморфизм в Тл/ , и какова бы ни была начальная функция и/ , итеративная последоватэльность

4>0'-=Чг1 Фк*<"= А$к , к-•<>,{,... (1б)

сходится (сильно) к одному из функционалов Фл ; значение \о соответствует пределу (15) при V » О . Это означает, в частности, что значение ф(х/) является характеристическим для ОФ: по нему № определяется однозначно.**^ П

2? Потенциал. Оптимизационная терминальная задача в эамсну-той НГ-модвлъ (описание затрат труда и потребления предполаге-

* ^Оптимальная стратегия с = ^ Сх.^ может быть при этом весьма сложной, "хаотичной",это-показано в [46]. Применительно к моделям межотраслевого типа этот случай изучался в диссертации Сб].

**^Позднее этот результат побудил С.Ю.Яковенко глубже разобраться в причинах вырождения (многозначности пешения). Это сделано им в работе (45/ в рамках общей задачи Больца.

ется включенным в технологию w ; размерность п пространства продуктов при этом на единицу вше, чем в открытой модели, в которой труд считается экзогенным фактором ™ не рассматривается как "продукт") такова. Задача 2,

----- (16)

где терминальный функционал "У считается заданным, максимизация осуществляется .по траекториям (3); смысл включения в ч 16) постоягаюго мноштеля с*""1 выяснится ниже. Q

Хотя содержательно открытая и замкнутая модели различны, формально Задача 2 ость частный случай Задачи 1, отвечающий V 2 D и ¡ - ; поэтому применимо У1. В дг.'шсм

jKn = о ( - Q ^ А о , где G есть решение уравнения

Г ? = ф ( ф еТ (17)

Г<£(:сЛ : = ffl^ii / & ^ / ^ е w (18>

^ £ и> Сх"}

и У1 трансформируется в следующее. утверждение.

Утперкдопне 2. Оьзратор (18) задает автоморфизмы в W ив

VJ , уравнение (17) ¡шзот единственное решение - об'ективн"й фушеционал G- е w ; при этом, каков ^ы нь был функционал Уе i^ , имеет место следующее соотношение

г* т. о/~к г* т = ^ = х ст"). (19) ■

Более того, в' силу (17) а есть собственное значение оператора Г: w -> vj ; других собственных чисел Г не имеет. -Q

Автор использует для функции G термин"потенциал (предложен в СЗ*]). Отметим, что впервые уравнение (17) получено A.M.Рубиновым в [40], доказаны существование и единственность решения (названного эффективным функционалом). Термин "потенциал", на наш взгляд, лучше отражает суть следующего ^зультата. Обозначим через "ТЧ. множество эффективных траекторий, выходш з. из (рчксированной точки ж. с ; тогда шеет место ( см. [41, теорема 14.7 и стр. 136])

- 24 -

Теорема 1. Для любой траектории ? =■ { существует

-Lim, оС~ ^ с в*" (VI -зс.* (20)

"fc"» «л

при этом

hvc^x & fo = G Г*^ . и (21)

SeTtOO и '

Таким образом, G - это максимальная координата на магистральном луче L , которой может достичь орбита (так здесь и ниже мы называем траекторию, приведенную с дисконтирующим множителем ы.~' ), выходящая из точки эс. . Траектория, на которой достигается максимум в '21), называете.. оттила.-ъной; она существует и строится по правилу

OZa : = X. , -X., : =т ОЛ? т.о.* ^Ctf-} • (22)

В этом смысле потенциал есть генератор оптимальных траекторий.

3? Операторы Беллмана, функция стоилосш. В этом пункте, как и в п? 2, рассматривается замкнутая модоль, излагаемые результаты получены в [3*].

Оператор (18) называется оператором Беллмана технологии ш , наряду с ним, введем в рассмотрение обратный оператор Беллмана

L= ФМ , , , (23)

0 xfiw-'ф

где оо"1 (: = } х.е R/V j ото мшжэство неограничен-

но, поэтому использован in/ а не min ).

Утверждение 3. Оператор (23) задает автоморфизм в классах w

и W , Оператор L. : w W имеет единственное собственно» число', равное «*с~1 , отвечающая ему собственная функция, т.е. решение уравнения

L Ф - а.'* ф . ф е 1 (24)

единственна и выпукла вниз; она обозначается через ß . Щ Опрегэлим petnpampaeicmopwo как последовательность Q •" - i xt}

£ cö'Сэс^ ( £ = °,(25)

и обозначим через С=сЛ пучок ретротраекторий, выходящих из точки зс. в . Тогда имеет место

Утверждение 4. Для любой ретротраекторик Т] существует предел

ги оГ"4 - е С у) ^

П (26)

при этом

у К -£. (аО

. Согласно этому утверждению, есть инфимальная коорди-

ната точек на луче t , из которых можно выпустить орбиту, приходящую в данную точку х. . Иначе говоря, для того, чтобы попасть (пусть за сколь угодно большое время) в точку х. , надо иметь "каптал'' (= координата на луче С. ) не меньший, чем | ; этт дает основшше назвать g функцией стоимости.

4? Асшшошчеотя "бюджетная" фашоризация. Вышеизложенное становится совершенно ясным в свите следующего "окончательного1' результата, ¿ведем эталонные множества

а) I ¡Ср .-д]

б) = 1хв кЛ- [ л]

тогда имеет место Утверждение 5.

(27)

а) ыГ^^С^Л = СбсУ-О.

(28)

О Г**

у^к;.

б) - в смысле специа-

■Ь

Предел а) погашается в смысле Хаусдорфа, льной, но естествртшой, метрики (4- неограниченное множество).[$ Формулы (28) показывают, что при -Ь области достижи-

мости для различных точек фазового пространства £

становятся подобным!! друг другу, приобретая ¡эталонную форму с коэффициентами подобия . Это еще более выпукло выявляет

л терминов "потенциал" и "фушсция стоимости". Об 'единяя формулы (28), можно записать их символически в виде

-¿¿m- оГ* iL^ = 2 (29)

•Ь i oa

JCJWSW]. (30)

Интерпретация: любая регулярная гейловская технология будучи проитерирована достаточное число раз приобретает простую свпа-раОелъщ"о форму (30); происходит факторизация (разделение переменных) - все технологические связи (сколь угодно сложный в исходной технологии) сводятся в пределе к одному "бюджетному" ограничению: из состояния эс. можно попасть (за один шаг) в те и только те состояния £ , стоимость которых не превосходит

потенциала С-С*).

5? Полное представление орбит конечнах эфретибта траекторий. Центральным результатом магистральной теории в экономической динамике является следующая теорема о магистрали Раднера-Никайдо (см. [22, теорема 14.2]).

Теорема 2 [55.54]. Пусть £. ? о . Для каждой пары (xQ,©) существует ~N=N(x0,®) , такое, что при T&Zrf орбита эффективной траектории Задачи 2 в центральной своей части "почти стационарна", именно (с учетом нормировки (10,6))

I — х,* I < е я* ь ь т-У. а

тгх-t 1 '

Эта теорема ничего не говорит о поведении траектории в ее начале и конце. Следующее утверждение придает теорема полную, завершенную форму.

Утверждение 6. Пусть &>о . Для каждой пары (хо,Ф) сущвс-твуют~чйсла" N1Tx0), Ng(ffi) и N(xo,®) такие, что при Тг- W зффективная орбита Задачи 2 при всех "i е С°,тЗ отличается от специального вида кривой } K-t] не более, чем на . Кривая t склеена из трех кусков (с е-разрывами в точках стыковки) оптимальная G-орбита (см.(22)), выходящая из точки xQ при * J^i

•t : ~ { Нх* = const при 1*1 < ~Г-

оптимальная g-ретроорбита, выходящая из точки \ у при Т- Яг б -t б Т

11ри этом числа N1, Н2, скаляр Н и точка и- даются явными формулами

а) Н = G-СлЛ

С) N., = число шагов (хо,0)-орбить, необходимое для попадания в окрестность 0е точки Нх* ;

в) V - н ■ m«-* YC*^

г) И2 = число шагов (v, g) -ретроорбиты, необходимое для попа-

ла: .ня в окрестность 0g ; ' оптимальная g-ретроороита строится по аналогии с (22), именно

" задано, = ЗУ1, "V-EI )

Б? Базисной триплет.. Триплет (a.G.g) мокно назвать Оаэисол технолопт w . Знание базиса дает гораздо более полное представление о технологии, чем неймановское равновесие (2). Согласно ¿6, через базис выражаются явным образом все эффективные траектории достаточно большой длины. Связь базиса и рарновесия иллюстрирует Рпс.1. х«,

ЧГсс« i

Рис.1.

По базисному триплету мокно построить технологию ^ простейшего вида, которую мокно считать сепарабелъной аппрокси-щи-(.1 для со , именно

= I з в 1 , * £ С ; (32)

базисы технологий м и " совпадают.

Пример. Выделим важнейший частный случай НГ-модели - это т.н простая модель Леонтьева, технология которой задается неотпица-тельной матрицей прямых затрат А С"-* •

= I , (33)

Равновесие здесь: << = ч-"' , где г=г(А) - спектральный радиус матрицы; х*, тс - тавый и левый собственные вектор'' числа г. В

А га.

^ .. . строго положительна прг некотором т.^

модель . (33) регулярна. Потенциалом модели является функция & - До. , где а. = ас-" ,

/\а_ С*} Ла. £. эс^ , ^ ; ( (34)

функция стоимости - ^ С ^) = тг^ . Таким образом сепарабельной аппроксимацией для (33) являеч;я технология

= осе С. (35)

7? Ядро Ляпунова. Это понятие введено в [3*] и качественно пополняет описание НГ-модели.

Определение 2. Ядром Ляпунова 3 назовем подмножеств^ нормированных функций Ф е I 'см. (11)), убывающих вдоль любой орбиты технологии ш . 0

Ядро не пусто - в силу (2) функция ФбЛ«"""-* входит в Б . Утверждение 7. Ядро Ляпунова предстазимо в двух равносильных формах

и обладает свойствами

Б1, если ,ю : = Г* е & ,

в) Фг •■ ~ С Ф , ;

Б2, если , то ш-^Сф,, ю»* О«, ¿О^

ЭЗ. е £ , причем & 4 Ф , т.е. С - минимальный

элемент ядра;

Б4. ^ € £ и является максимальным элементом ядра; Б5. Б - выпуклое подмножество конусного отрезка <С,%> (в пространстве № ). В 8? Восстановление технологии по ее оператору Белллона. Оператор Г задается формулой (18) и определяется технологией ш однозначно. Оказывается, что и обратно, технология ш может быть восстановлена по ее оператору Беллмана. Более точно, если обоз-

начить через О множество регулярны! технологий и определить подходящим образом множество 7 операторов J: ~й7 , то существу т и может быть явно указан изоморфизм' _П. у Изложим эту конструкцию.

Положим 7 := множество операторов J & -> и/ , удовлетворяющих условиям

71. Невырожденность. О W ( фф О .

72. Полож!1тельная однородность.

73. Монотонность. J 4г ^t ■

74. Субаддитивность. 7 (<t*t * «S 7 $3. У ^ге w-

75. -J Стлм(Ф,,Фх\\ « С7<£*,

76. Сохранеше квазивыпуклости вверх. Пусть А - любое выпуклое множество индексов и { Фа. е tv, <a.e Л] - семейство функций такое, что функция двух переменных Фа. Сх"> квазивыпукла вверх на А * R.+ . Тогда функция 1 Фа. С*-) также квазивыпукла BLjpx на А * ■

Эти условия суть экгчвалент стандартных условий Z1-Z4 (см.(1)).

Утверждение 8. Пусть € -П. , тогда оператор Г , зада-ваешй формул0й~(18), входит в 7 . Обратно, если Je у vo формула

¿о-в R\ I 3 Ao-Oï » 1 } t лея* (о6)

опгчделяот регулярную гейловскую технологию € Л. , для' которой J есть ее оператор Беллмана. Здесь для а-ФО функция А . дается формулой (34); при »- = 0 ~=> . g

Из У8 следует, что описание твхнолигии с. помощью операторов ~3 е % равносильно гейловско?/ описанию.

§3. Открытая модель с норма!ивной ременной шкалой потребления

1? Постановка. В §2 выделены два типа НГ- юделей- замкнутая и открытая в зависимости от тоге, включаются труд и потреблена в описание технологии о или нет. Модель, излагаемую ниже можно назвать смешанной, ее наиболее естественная интерпретация такова.

Люди - суб'екты труда и потребления, рассматриваются в- двух асгэктах. С одной стороны, люди - участники производства (трудовые ресурсы), требующе соответствующего производственного обеспечения; этот аспект отражается в описавши ш как технологии замкнутого типа с расширенным пространством продуктов (см. п. 2.2°). С другой стороны, те же люди рассматриваются как потребители (население), обладающие чисто человеческими, внеэкономическими потребностями; такого рода непроизводственное потребление характеризуется в предлагаемой модели функцией полезности V £ IV , дополняющей описание технологии.

Замечание. В этом контексте и описывает высшие, вечные цен-ности~бытйя7 не зависящие от' технологии - V универсальна. О

Исходя из такой трактовки функции и , мы ставим следующую задачу оптимизации траектории развития. Будем считать экзогенн заданными: 1 } нормативную врелейную шкалу соотношения уровней

душевого потребления разных поколений £ ^ закон роста

Л*, -ЬъО численности населения.

Задача 3.

- X/ Г\ -?■ та.* (37)

-1*0

где максимум берется по пучку Т^ С-х&) траекторий с потреблением (13). 2

Смысл задачи: магхимизировать гарантированный всем поколениям уровень душевого потребления, приводе'тный в нормативной шка-№ • Это - кчтрадиционная, не изучавшаяся ранее, поста-

новка модели экономической динамики, принципиально отличная от Задач. 1,2 (первое упоминание о ней имеется в ГЯ*]). Важнейший чатный случай, предполагающий

а) - N. А* / С*в: = 1) (38)

б) = р"*" 9 с (дисконт полезности) анализируется в работе автора [5*], результаты которой излагаются ниже.

2? Уравнение Беллжана. Если при х=хо обозначить через 1(х) максимальное значение критерия (37), то при условиях (38)

(х.} - tna-X. »vul-n. J_ ТгГсЛ (39)

$еТх.ЦЛ ■fcí-o S* '

Принцип Беллмана прхшодит к стационарному уравнению

фС*"\ - [ VCc*», -Í- Г ФС*-с\| ^ хс. R* . (40)

as с. £■ л , Б

Решением уравнения (40) являются функция I (названная норжшив-кый индекс полезости - ПИП) и стратегия потребления ■ Определение 3. Оптимально траекорию Задачи 3 (уравнения

(40)) 5 = [^-t.c-t] назовем равнолерно сбйлпнсироданчой. (РС-тра-ектория), если при всох i ?о выполняются соотношения

тс*,) fi с*^-) - ^ (41)

На РС-траыстории приведенная полезность душевого потребления одинакова во всех поколениях.

Утверждение 9. Уравнение (40) имеет нетривиальное решение

Хф €> тогда и только тогда, когда б < а ; решение единственно , при этом X <"• w . Оптимальная РС- траектория су-цоствует. Решение ¡<ю:;;е? быть построено методом прямых итераций X = -e-irn, ( , АФК , К =0,1,... (42) где А - оператор правой- части (40). Д

Пример. Если V ~ A g (функция (34) с параметром b ,- полезность по Л.В.Канторовичу), то в леонтьевской модели (33) ШШ

I находится явно: . I = Ah , где h*: - С А-} ' £ (при

Ч < матрица С ' строго полонитвльня). -Д

3°. Сопряженное уравнение, оператор óелera. Анализ уравнения (40) удобно вести в терминах двойственных переменных - цен р€ R1^. (р - вектор-строка). Определим над классом tv операцию сопряжения * следующим образом-

ф*СР*.« -- . рсП , фей

(ЭхО - мультипликативный аналог преобразования Фенхеля, основанный на свойстве линейной однородности допустимых функций); легко видеть, что w , кроме того, справедливо равенство

Точна мшшмума правой части (42) есть вектор спроса при ценах р , он пропорционален (обобщенному) градиенту Л ф*(р} . Если * £ Г.* есть вектор спроса для р , то, взаимно, р пропорционален £•«•<»•«* : условия взаим-

ности имеют симметричную форму:

^ Рх.+Мф^Сг^ (43)

Ре Ф*(р) G-xo.cZ ФМ яе ФС«) ■

Пару (х,р), связанную соотношениями (43), назовем ф-вэашной. Далее, введем операцию а> , специфическую для уравнения (40). Определение 4. Оператором далека назовем оператор ъ ■ »\л/

w, действующий на пару функций

е и/ по формуле (Ф,а><Ю(У):= Г<МСХ 4гС*"<0] ( хеЯ"; В(44)

Предложение 2.

(Ф, ОХ^У* = 4* + 4* V Фг€ & . С (45) Используя (45) можно записать уравнение (40) в сопряженной (двойственной) форме. Именно, сопряженная технология (которая также регулярна) определяется отображением (см. [22, п.4.5])

*>«СР> = {^¿я4;! . рея1; (46)

причем справедливо равенство = . т.к. в терминах

дэлежа уравнение (*0) тлеет вид Ф = 17® ("«/г Гф) , то применяя (45),(46), получим двойственное уравнение

Ф« - С/*-г- 8- Г* Ф* . (47)

Траекторией этого уравнения является последовательность

Р0 - задано, р ' = / ,1.. - (48)

СрнЛ

где I* - решение уравнения (47). Связь траекторий прямой и двойственной задач выявляет следующее основное

Утверждение 10. Пусть I есть РС-траектория уравне-

ния- (407,-и-век?ор ро 1-всаимен с начальной точкой х0 . Тогда траектория 148) двойственна к данной РС-траектории в следующем смысле: при всех "1 = 0,1,... пары р*) 1-взаимны,

- 33 -

пары С , Р*} и-взапмны и выполняется равенство

Р±+< = /Ч С*ч-сО- й (49)

Это утверждение получает в [5*1 экономическую интерпретацию из него, в частности, вытекает балансовое равенство

оО

Ро Хо = 21- Р*с± ■ (50)

—о

4? Гипотеза о магистрали. Понятие магистрали в данной мидели аналогично введенному Никайдс. в его "теореме о магистрали в потреблении", [27, §14.2]. Пара С^.^ ^ называется "золотым дуплетом" (термин Никайдо) если последовательность С эс*, с-е-): =

^•£.,£) есть (стационарная) РС-траектория для уравнения (40). Необходимым и достаточным условием этого является выполнение соотнопю1шй

ХСх.) = ис&) , (51)

Возникают два вопроса: 1) существует ли золотой дуплет, 2) если он существует, будет ли луч | магистралью

(аттрактором) для РС-траекторий ? Ответ на первый вопрос дает

Утверждение 11. Золотой дуплет существует (возможно не единственный )Т []

Второй вопрос в -общем случае остается откры-им, для сепьра-белыюй технологии вида-(32) ответ положителен, и леонтьевской модели (см. пример п.2°) ответ также положителен; золотым дуплетом здесь является пара (И,Ь), причем выход на золотой луч осуществляется сразу, за один иаг, из любого состояния зс ^ К.*.

Замерзни0. здесь и далее (п.4.1°) вопрос о магистрали сводится- к "следующему. Пусть ш - регулярная НГ-технология и фб к/ . Отображение

* ал.у гпа.и ФСх}

О уе шс*} 0

обладает неподвижным лучом; вопрос - будет ли (при каких условиях) этот луч аттрактором траекторий данного отображения 7 0

§4. Модели оптимизации управления в период смены технологий

Задачи оптимизации, рассматривавшиеся выше, ставились : рамках одной данной технологии. В данном параграфе излагаюются ре-

зультаты, относящиеся к оптимизации переходного режима смени технологии. Моделируемая ситуация описывается следующим образом Пусть традиционная технология, в которой система "живет" в исходный момент времени 1=0 , задана отобр жением 0>=шо. Если бы все оставалось иопрезкнему, то траектории систеьл определялись стратегией (22) с генератором С=и0 . Предположим, однако, что к моменту 1=0 сформировалась концепция, согласно которой в относительно недалеком будущем технология изменится (либо в лучшую сторону под влиянием ЯТП, либо,напротив, в худшую - ввиду, например, исчерпания ресурсов) и в дальнейшем будет определяться новым отбражени&м ^, прогноз которс о достаточно надежен и достоверен. Принимая эту концепцию, необходимо, оставаясь еще в рамках традиционной технологии ш , изменить тем нэ менее стратегию управления с учетом прогнозных дашшг. Какова должна быть стратегия переходного периода - вот главный вопрос.

Стационарная постановка задачи в этой ситуации возможна, если реально растянутый во времени процесс Пьрехода моделировать мгновенным скачком, момент т которого случаен и имеет экспоненциальное распределение

рс^-п - , (52)

где (1 - средняя длительность переходного периода (предполагаемая известной). Стационарность модели обеспечивается тем свойством распределения ;52), что до тех пор, пок-4 скачка еще не произошло, срок его ожидания в любой текущий момент времени не зависит от того, как долго это ожидание уже длится, и имеет то же самое распределение (52). Это свойство позволяет ввести потенциал перестройки ^ . который по своему смыслу ииолне

аналогичен потенциалу Сш обычной модели Гейлг- важно, что Р

не зависит явно от t . Схематически временную ось модели можно представить в следующем виде

Предыстории I Переходный период- I НоЕое время

с0 i Р |С,

Традиционная | Новая

технология шо | технология ш1

Принципиальную трудность представляет то обстоятельство, что темпы роста технолбгий ш0 и и. различны, особенно это касается варианта модели, когда новая технология известа не точно, а как одна из возможных альтернатив, Ц3', ¿=1,...,г., каждая из которых может реализоваться с вероятностью 9^>0 (предполагается, что известны , '5? ©j = ± ). Методологически трудный вопрос: как сопоставлять технологии ?

. 1? Заякнутая лодель ш0 —V ш., переходи. В рамках замкнутого описания технологии естественно построить стратегию перехода так, чтобы максимизировать значение потенциала новой технологии в момент скачка. Пологам

РОЛ- = >1 /""С, , •* е £ + ; (53)

здесь 1.5 - знак математического ожидания, 'траектория £ вида (3) принадлежит исходной технологии ы , ц - коэффициент дисконтирования. Функцислал Р удовлетворяет уравнению Ееллмана

р= л*- , (54)

^е с*}

где

р : - - Ар (г ^ ] , лгс. := едш-г-ща времени (год) (55)

Дискуссионным вопросом в построении функции (53) пишется выбор значешгя параметра ц . Понятие потенциала исходит из ец-тьствзьлого (единственного для аа'.вшутой модели) значения дисконта |х := а-1 (см. п.1.2°). Для переходного периода значение ¡х формально может быть любим из интервала

Л е Со,/*] ( /X : - (56)

- имыет место

Утверждение 12. При любом р лз интервала (56) функционал

Я € \л) определен правой частью (53) I рректно и является единственным решением уравнения (54). При у /* функционал Р не определен и уравнение (54) решений не имеет. О

Исходя из интерпретации дисконта как величины обратной темпу максимального сбалансированного роста в (6е] предложена следующая постановка задачи оптимального перехода. Каждое ц из ин-

тервала (56) определяет, согласно Утверждению 12, функционал Р=1?ц и, соответственно, стратегию управления как отображение

*Yu : = Лгя»*.* со-р) FC}) f . (57)

^ ^ею.оо 1 °

Отображение (57) имеет имеет собственный вектор z и теш роста 8 такие, что 62 е V/* te) . Полагая, что должно выполняться соотношение д< = 0_< приходим к следущей задаче. • Задача 4. Найти скаляр 0 , вектор 2 в R^. и функцию Р€ W связанные~соотношениями

а) wax f tyl , * €

.С*} '

б) ^г€со0Сг\ В) FС^ = G-1 Съ) (58)

0 кп <х х : ,

Утверждение 13. В регулярной технологии uQ решение Задачи 4

существует, £ и соответствующий потенциал перехода F единственны, при ЭТОМ <5 £ L(*-f)r'o, oiо] . Ц

В случае сепэ^абельной технологии и>0 (т.е. вида (32)) решение Задачи 4 удается выписать явно:

2 = ал.ч mo.* £ С<- р") G-0 Cj) t ji G-, Cjl^

- r P - G- (59)

* = cc. CO , F G-o .

Этот результат можно назвать законом "логарифличе ской интерполяции", луч при этом является "переходной магистралью", выход на него, согласно стратегии (57), происходит за один шаг. Кроме того, имеет место

Утвервдение 14. В сепарабел:ной модели темп роста переходного периода убывает, а потенциал Р возрастает по Р . Ц

Для общей регулярной технологии wQ пока остаются нерешенными вопросы: 1) будет ли луч {. I ^г-о} аттрактором отображения (57) (см. замечание в конце п.3.4°); 2) справедливо ли Утверждение 14 ?

Описанная модель применена в [27*] для оценки возможных структурных сдвигов в народном хозяйстве.

ив) = ±1±. , i. хге) • (8,

Граница Г раздела областей Пд и Об определяется усчовием Ь(Е) = 1 и представляет собой прямолинейный луч

г

л

5^0 ,

О)

выходящий из точки р = на оси

Теперь для построения реше.ля достаточно найти функцию Ф на границе Г . Если .обозначить через 57(1) значение Ф(Ер) в точке границы, отвечающей орбите 1 , то для функции 7! получается одномерное уравгзние Беллмана

(3 , см. Рис.3.

г

«фТ

1

/ V,

/ /\

V \

/ м р \ \

..А

и

Л « я

> / X

Если ¿=.1(1) '- минимизирующее значение правой части, то оптимальное правило управлеия, справедливое во всей фазовой Рис.3. Фазовый пор-полуплоскости, таково: вычислить срок трет детермичиров_д-обеспечения Ь(Е) (см. (О), если ного варианта.

- :кдать, в противном случае вычислить

1=р-М и начать строить мощности в об'еме 2=т(Е)-1+.7(1). ' • 4.1. Переходное отображение. В основных случаях переходное огоОрахение Т(Г; Т^онотошю. Имеет место

Предложение 4. Если функция Л выпукла вверх, то «7(1) во?— растаёт~по ~1~,~если И выпукла вниз, то ,7(1) убывает. О

Важным для анализа ситуации является вопрос о циклических орбитах, т.е. о неподвижных точках переходного отображения. На циклической орбите 1* развитие системы имеет регулярный периодический режим: через каждые с!=21*А лет склад исчерпывается и вводится новое предприятие мощностью ¡8^=21*. Вопрос о таких орбитах решается с помощью общего метода, описанного автором в [21*].

Предложение Б. Индекс 1* циклической орбиты (если она суще-

ствует) удовлетворяет урав. энию

:»/«>, 4» 2L . g (Ю)

* -г

Если последовательность in=J(in-1 ^ п=1,2,... сходится 1,ри любом iQ к i* , то циклическая орбита играет роль магистрали -данной модели. Для основных случаев имеет мэ.то

Утверждение 16. В следующих двух случаях циклическая орбита существует й является магистралью: 1) если R выпукла вниз (тогда J убывает и ксрень уравнения (Î0) единствен); 2) есл15 R выл: ела вверх и уравнение (10) имеет единственный корень. О

/\2. Основной пример. Это - случай■ кварчлинейпой затратной харак .'epiFjf чи

[о , г = о

Я™= I ¿„.С* :

Здесь ураЕ эниэ (10) приводится к виду

' *

м имеет единственный корень i , определяющий магистральную орбиту! при этом, из любого состояли..'выход на магистраль совер-паотся за оди^ шаг.

5? Энспон&щишысий барита ¿одели. В излоеонгой выше модели спрос описан как процесс с независимом прправдншыи, - он растет в среднем линейно. В [8*] предложен вариант модели, когда спрос есть случайный процесс вида рт+;=рг-ехр(Ц), где -процесс с независимая! приращенпми вида (4). ""о означает, что в среднем спрос растет экспоненциалы^ с тег,том А, Такое екс-; эн"иал1.:-:ов описание хорошо корреспондирует с понятием роста и модели Нэймана-Гейла, рассмотренной в Pas .эле 1 - в основе л^лит представление о -елпе роста. Логика' построения и метод решения эксп ненциального варианта ei )лне а- тлогичнз-' описан! эму выше в mi. 4°, хотя технически сложнее. Главное в этом варианте - то, что такую существенно не. шейную модель монопроду-ктовои отрасли удается вписать в межотраслевую НГ-модель, зада-цую А. как' неймановский темп роста. Для детерминированного случая (о=0) &го сделано в 18е] на примере трехсекторной модели'.

§7. Модели инвестирования исследовательских проектов.

Процесс уточнения ■

Ситуация, моделируемая в сежи работ [9*-13*J, описывается вкратце следующим образом. Имеется традиционный базовый технологический способ, позволявший системе ";кить7 с постоянными окегодными затрата1« а (руб/год). Наряду этим, разрабатывается проект (для начала - один) новой технологии, которш'1, в случае его хгтшниия, позволит системе жить с затратами х ipyo/ •год), где s - некоторая величина из интервала неопределенности UIH) S=(b,Q) : Ь-б < х < Ь+о. Благодаря исследовательским работам (в общем случае - платным) проерт мыгет уток :ятсся, юз-тому в кзздый --омоит времени перед ЛИР 'Ятю, Принимающее Решение; crcirr трилелма: а - отлепить проект, б - продолжить исследования, а - принять проект. [Латеглатнчески - ьто задача последовательного анализа "об оптимальной остановке".

Центральным в анализируемом круге вопросов является понятие процесс уточнения, общее определение которого дано в (11*). В нем выражено принципиальнее отличие нашего подхода' от большого числа работ на тему "R & D and project selection", -имеющихся n литературе. Вольно говоря, мы считаем,.что результатом исследовательских работ является не улучшение проекта, а только уточнение знаний о новой технол >гии, подробнее см. пике пл.2°, 5°. .

1? Исходные noctLU i. В модели пршяты следующие посылки.

Д1. Принцип подобия. Предполагается, что все НИ "геометрически подобны" в том смысле, что существует относительная плс_-ность распределения затрат внутри НН, одинаковая для всех гагте-рвалов. Точнее, существует эталонная платность 7t(u) с носителем на отрезке ы. €.[-/, 1] такая, что для ' любого ^=(Ь,0) распределение затрат тлеет плотность

об'

при этом тс - четная функция.

Замечание. В терминах §8 семейство распределений

(си. (16) инвариантно относительно группы преобразований G^.

Д2. Условие безвозвратд зти - принятие проекта окончательно; это означает прекращение 'исследований-, i зэтому 'при бесконечном гори.энте планирования и дисконтировании затрат с коэффициентом р I /Л>Д) полная интегральная оценка проекта дается формулой

&(е)= е / «.-^¿6 = -J- (12)

. . о У

2? Процесс уточнения в форме сужения интервала неопределенности. Уточнение .шформации о новой технологии описывается как последовательность актов уточнения,'каждый из которых состст в том, что Iffl сокращаегся путем отсечения от одного из его концов некг торой части первоначальной длины; формально: <_--*>£

£2 .* Й-Ss , = (<- Is/) S, UUX (13)

здесь в - случайная величина, |в| - доля отсечения. Предполагается, что' плотность распределения f (в) известна и является четной функцией, тогда lib' = lib.

Мсследсзательские рчботы рассматриваются как усилия по добыванию шформации, которые не могут воздействовать на изучаемый объект - новую технологию ( кэ улучшают и не ухудшают ее ). Мы считаем, что -товая технология, как таковая, илланешна. она является "вещью в себе", не подвластна человеку, который способен лишь добывать истину. Формально-это выражает я требованием

~7ГЕ (х) ~ J 4(s)T£S С") J-* у (14)

Принцип подобия (11) и формулы перехода (13) приводят условие (14) к виду

-тгСМ = J JCs) jl-j7[ тг Cjrf^) J-s , ue R. (15)

' Таким образом, эталонное распределение тс и переходная плотность i должны быть связаны соотношением (15), обеспечивающим .'оррэктчость понятия уточнение. Можно показать, что для дш^ной плотности i распределение % (с носителем [-1,1]), определяемое как решение уравнения (15), существует и единственно (обратное неверно). Так, для плотности- i(B)=1-|s| имманентным является равномерное распределение % .

Предполагается, далее, что моменты поступления .уточняющей информации образует пуассоновский поток с интенсивностью а (1/год); это предположение позволяет -построить стационарную модель с фазовым пространством

-а = [Е=(^.)| . (1б)

Параметр а (те..ш поступлении информации) управляется инвестициями с (руб/год), интенсивность которых ограничена некоторой, заданной величиной К (инвэстициош.Ж фонд). Функц-ональ..ая зависимость а=а(с) считается известной..

3? Уравнение ошилалъности. В соответствии с трилеммой ЛПР получаем следующее уравнение для функции Беллмана. Ф(Е), ЕеП з непрерывном времени

ф(Е)- [А, Ф^Се), ЗСв)]/ Е еЛг (17)

где Л = сопз1; - интегральные затраты на базогой технологии -Д : = О- ГеГ^ =

о ?

В(Е) - затраты в случае принятия проекта, см. (12), и Ф^СЕ) -ожидаемые затраты при продолжении исследований

ФгСе)= + ¿Г«*'/. ФСе)) А±

=> I . , ■ '

о< = <*СсЛ 1_ФСЕ):= I . (18)

Утверждение 17. Решение уравнения (17) существует, единст-вешЬ_и~мож<эт_быть найдено- методом прямых итераций. Функция 'Беллмана Ф выпукла вверх на пространстве (16), возрастает по Ъ и убывает по б . д

При характерной функции а :) показанной на рисунке справа, синтез управления в фазовой полуплоскости (16) I 1___

тлеет вид, изображенный на Рис.4. с .

4? Кратная сводка результатов. В [9*] рассмотрена модель с олтм проектом и бесплатной информацией ( а(с)=а-с<?пзХ). В этом случае модель приводится к одномерной с фазовой координатой >г: = С £ - Решение подробно проанализировано, в частности,

даются ответы на вопросы, представляющие инчзрро для ЛПР; 1) .с

какой вероятностью новая технология будет в будущем принята или оавергнута, 2) как долго придеюя ждать, окончательною решения вопроса о целесообразности перехода .к новой технологии.

ВСЮ*] рассмотрена общая модель с платной информацией и несколькими проектами.. Дается решение задачи распределения .швестициошого фонда К по отдельны.'., проекта!,1.

-Л. о.

Рис.4. Вид оптимальной стратеги! в Tepi.nmdX триле-®,м-;ЛПР.

Леобычнш феноменом модели является факт >бывания затрат с ростом неопределенности, измеряемой параметром 6 (сг. У17). В моделях экономики неопределенность играет обычно отрицательную роль^ рост ее нежелателен. Ф&номэн модели обгоняется тем, что неопределенность выступает как пашнцхкы уточнения, повышение которого пр.. оптимальной политике дает дополнительный выигрыш.

5? Общий ларновский процесс уточнения. Этс понятие введено в ¿11*),где предложена законченная формализация процесса принятия окончательного решения ' (выбора) с учетом поступления уточняющей информации. Процесс, описанный в п.2, состоит, с общих позицлй, в том, что под воздействием акта уточнения происходит изменение аспределения itt:=Tt(Et), с известной функцией пере; да от одного, распределения к другому, причём г*гполняется условие имманентности (14).. Дадим теперь'общее

Определение -5.' Пусть П=Стс^, 0 € Q) - семейство (плотностей) распрё£5лёнйй~на выборочном пространстве X (например, на вещественной прямой R ) с параметром 9 . Марковский процэсс слу чайных Олуаданий на иночестве Q с (заданной) переходной функцией 8*) назовем процессом уточнения, если выполняется соотношение; лмман&тности9'

* 1 Уеео.хеХ <19>

и, 1фомэ тою, любя я случайная траектория стремится при

~Ь -> оо к вырожденному точечному распределению. ^

3 рассмотренной выше модели параметр 0 есть состояние системы 8=Е=(Ь,0). Отметим, что с математической точки зрения условие имманентности (19) означьет, что процесс уточнения есть .трпингал на семействе распределений П.

С переходной функцией 1 связывается птюраъор уточнения Ь, осуще'ствлякг"чй автоморфизм пространства функций над С}' , именно

= | ФГе') ¿в', &е0.. (20)

о.

6? Схела Бе>1еса /сш; процесс уточнения. В математической статистике хорошо известна Оейесовская схема пересчета апостериорного распределения неизвестной величины (в нашем случае - затрат по ноцой технологш!) х по результатам наблюдения некоторой первичной случайной величины (с.в.) £ , функция распределения которой зависит от х как от параметра. В нашем контексте наблюдаемой ( в результате акта уточнешш ) первично,! .с.в. является з, но, в отличие от ее распределение £(•) не зависит от ; поэтому описанная модели - не бейесовская. Для нас важно подчеркнуть, что в схеме Бейеса предполагается, что все наблюдаемые значения £ подчиняются одной и той же, хотя и неизвестной величине х . Это предположение есть, в наших терминах, не что иное как принцип имманентности - бейсовский наблюдатель не способен влиять на х, он может его только оценивать.

Важнейший случай схемы Бейеса - это когда семейство распределений { Р,(£), хеХ } обладает полной достаточной статистикой (см.С2<], гл.9) 9 фиксированной размерности, .которая определяет апостериорное распределение Тсд оцениваемой величины х. В этом случае схема Бейеса сводится к процессу случайных блувда-ний на пространстве' значений 0 статистики 9 . Этот случай вписывается в налу схему, и для него справедливо

"тверждечие 18. В указанном случав бейесовскаг. схема является процессом уточнения в смпле Определения 5. I

' * * А

Пргчессч, sJmcaifflHe в [9*.10*], являются частными случаями обще .'с процесса утоления. На основе развитого в [10*] подхода в работе [14*] придана завершенная форма результатам паботы [47], в которой рассмотрена модель накопление информации путем постановки тестовых ис.лтаний. ¿.репринтные публикации [9*, 10*] бы;л изданы позднео в международных журналах, см. [12*,13*].

§8? Фидуциальный подход в задачах последовательного анализа

Тема настоящего параграфа непосредственно примыкает к понятию "процесс уточнения", введенному в §7. В общем плане она является разделом теории'управления по неполным данным, известным как последовательный анализ, .основы которого бкли заложены в работе А.Ва~ъда [9].

Одна из основных проблем математической статистики - оценка неизвестного параметр" tí распределения входной (наблюдаемой) i юледовательности (ВП) независимых одинаково растеделенных

случайных величин (с.в.) . Байесовский подход рассматривает сам параметр 8 kl,k случайную величину, и предполагает, что наблюдателю известно априорное распределение aQ(0) "иа тожестве его возможных знсений О . Ето предположение - слабое место в тео-теории Бейеса, и в 20-1. годах статистиками ¡О.Нейманом и Р.Фишером были предприняты попытки освободиться от него; они предложили две альтернативных подхода к оценке параметра при отсутст-г ч какой-либо априорной информации. Подход Нэймана исторически получил признание, и ныне хорошо известен как метод доверительных интервалов; однако в задачах последовательного управления этот подход неприменим, т.к. он получает свое обоснование только в многократно? серии экспериментов с, воооще говора, разными _

Обозначения §8 не совпадают с п.7.6 . Там параметр семейства обозначался через х , и 6 - достаточная статистика; здесь параметр сомейств^.

значениями 0 . Напротив, фишерогокий подход [48 ]- фидуциалыше вероятности, (ф.в.; fiducial - основанный на доверии, англ.), как и бейесовский, предполагает, что все члены ВП ~одч;.леш одному и тому же значению 0 ; э^о отвечает самой сути процесса последовательного управления. До сих пор фишеровский поход -малоизвестная глава теории вероятностей, хотя р 60-70-е годы ф.в. получили обоснование в рамках инвариантной теории оценивания, развитой в работах [49,50,19,20].

Автор пришел к фидуциальной теории самостоятельно (узнав о ее существовании потом), размышляя над 'возможными подходами к постановке задачи выбора в условиях, когда о параметре 9 априори ничего не известно. Дашшь параграф след"ет рассматривать в состав^ диссертации как дополнительный; он имеет несколько философский характер, и его результаты опубликованы пока лишь в предварительной форме (15*,16*]. Автор по-агает, что интерпретация этих результатов вскрывает сущность фидуциалышх вероятностей, проявляя их смысловое содержшпш; это снимает с них полуинтуитивный, "таинственный" налет, и позволяет смотреть на ситуацию-открытыми глазами, сняв "зеленые очки":

Тут все дело в зеленых очках, которые никогда н~ енж.ают мои подданные.

- А изумруды ? - спросил Страшила.

- Простое стекло, но высшего сорта? - гордо добавил Гудвин."

А.Волкен. Волшебник изумрудного города.

1? Классическая задача огтилального выбора. Сформулируем задачу в удобной для нас форме. Пусть ^>?п - вп с-У-чайных величин с обидам Еыборочгнм пространством Y ; количество наблюдений п и совместное распределение для (£.,,...,£n) € Yn считаются задаными. В момент наблюдения k i,kíJi) необходимо решить вопрос, взять ли об'экт или, отказавшись, продолжить наблюдения, причем вторая возможность имеется лишь при k<n; как то:ъко выбор сделан, процесс останавливается. Оценка выбранного об'екта дается на фоне всей совокупности ■•■обо-

значим эту цену черэо ^(^¡Ц, • •. Ап) • Критериальная функция К также считается заданной, причем она не меняется при перестало-»

вках членов совокупности ,Ên; поскольку, кроме того L

не зависит явно от момента наблюдения к, описываемая ситуация стационарна в слабом смысле (см. введение).

Обозначим для краткости £к:=(£1,. где к - любое натуральное число; рналогичное обозначение применяется и в отношении других величин. Стратегией *• выбора называется набор неслучайных функций в=(е1,...,sn), удовлетворяющие условиям

а) функция ■ в. зависит только от первых к аргументов £к е Y1*

к

и пр1шимает значения 0 или 1; вк(£ )=1 означает, что при данной реализации будет принят об'ект . £к;

б) необходимость и однократность выбора

¿s„CîKW ' V^eY*" (21)

К af

Наблюдааоль решает следующую задачу.

Задача 6. Найти стратегию в, максимизирующую функционал

V(sl : г и ТС (Г) Кз (\"У - L к (v, V") S К Cl ч . О (22) I*- ■ *=<

Эта задача юкет блть конструктивно рэшена методом динамического программирования, см. С7;1б¥, часть 1].

2°. Инвариантная аадсча выоора ^ИЗВ). Интересующая нас проблема - неклясоичэская, мы стремимся смоделировать вгбор в ситуации "полной неопределенности", вот ев типичный случай.

Типовой пример. ВП есть последовательность независимых с.в. равномерно распределенных на некотором отрезке, о положении и величине кот<?рого ничего не известно.

Задача и в этой ситуации не «меет смысла, "о сама ситуация подсказывает "естественный" гыход - задача выбора должна быть нварианткой относительно шкалы измерения, т.е. относительно сдвигов и растяжений прямой (являющейся выбо^ очным пространством дня данного, примере).

Скажем, то' (некоторая) функция г tu Зариантна, если она удовлетворяет условию

с} •= ЪС*.} V>>0,ceR/ scefc;

В тершшах [14, хлава^ 3] стратегия есть марковский момент.

если х - вектор, то преобразо^а- :лв действует на каждую его компоненту. Примером .швариантной критериальной функции является

(V.

г«> * » " ~Г.-Г— (23)

М*. - Шп,

где обозначено

•.п^: = , »«о.* с*., — ', П (24)

В общем случае' инвариантная ситуация задается семейством распределений { , © , имеющим групповую структуру: •множество П является группой (П=С), каждый его элемент 9 индуцирует преобразование выборочного пространства У , при этом I \т> 9 (эта запись означает: £ подчиняется распределению Р9) эквивалентно Г"1 Н" Р , где Г : = , 1 - единица группы О'. На вещественноД прямой существует три группы преобразований ( т.е. перехода от одной шкалы измерений к другой;

а) группа сдвигов (неопредеченость в начале отсчета)

13зсе1Ч с операцией ¿"Д = , У = К

б) группа растяжений полупрямей (неопределенность масштаба)

= с операцией } - Л = К, ^

з) полная группа (неопределенность шкалы в целом)

= К , Лг-о] с операцией = с., У= К •

'Гак, если в типовом прпмэрэ неизвестный отрезок есть [а,Ь],-то ему соответствует.элемент гр;ппы С^ 9=8=(Ь-а,а). ' Таким образом, моделью "политой неопределенности" является групповая структура семейства распределений 1 9е 1>с]; в этом случае

ее._гг.,3вУ. (25)

Инвариантная задача выбора формулируется следующим образом.

Задача 7. Пусть ВП - последовательность независимых с.в.

9. где 9 - параметр группового семейства, значение которого не известно. Предполагая, что критериальная'функция С 'твариантнр, найти инвариантную стратегию в , максимизирующую функционал (22). О

- 66 -

Условие инвариантности произвольной функции г означает ъ.(е>* - -х. Сх.~) V м., ж с Y .

Отметим, что в силу требований инвариантности величина £B(Sn) имеет вполне определенное, не зависящей си значения 0 распределение, которое может Ciгь расчитано исходя из стандартного распределения F . Поэтому Задача 7 : эрректна.

3? 'Сведение ИЗВ к классической задаче. Задача 7 может быть сведена к Задаче.6 пуктем перехода ст абсолютных величин £ ^ к относительным .Проще всего сделать это следующим образом.

Пусть 1:= dim G - размерность группы G=0 . Определим стартовую ощнщию И Y £ G- формулой

( ж, „ JL*Gt

Н('-с J: = < , £м 12Б)

t iK- .Хч^эсО , _Л.= <~-з С =

и с ее помощью построит,i относительную последовательность

>} г» I , i (2?)

Так, в типовом примере будет

= • ..... (28)

Старювий вектор С1 принимает стаздартные значения d £ Y ^ , характеризуема условием. (в примере О £ К1),

и потому не информативен. При 3>1 с.в. С-j одинаково распределены, хотя уже зависимы, т.е. последовательное,гь представляет собой цепь. Существенно, что ^епь С вероятностно вполне определена: ее распределение не зависит от 8 (такие статистики, т.е. функции с- наблюдаемых с.в. £п , называются свободными ).

Из услс ия инвариантности стратепш в Задаче 7 следует, что первые 1 об'ектов должны быть пропущены (инат"э выбор осуществлялся оы по первым 1 наблюдениям, всегда, что бессодержательно). Поскольку, д лее, величина ^Ks в <°.2) инвашантна, то

- J(s . Это позволяет, считая, что наблюдаются не

сами , а г , решать вместо Задрчч 7 другую задачу.

Задавд 8. Предполага: , что критериальная функция С инвари-НаЬдаТ'йдй^ с^рдааддо ч,&^г'-1*шксишзирующую функционал

VCsl = M ; (29)

5"-

при этом требуется, чтобы первые 1 объектов были пропущены. О Здесь требование инвариантности на стратегию- в не накладывается, т.к. она рассматривается только на выборочном пространстве с.в. Ср а не на всем Yn .

4? Критика. Задачи 7 и 8 де .ствительно экви агзнтны, однако процедура сведения одной к другой выявляет слабое место: требование инвариантности стратегии в, представлявшееся "естественным", на самом деле не так безобидно. Дело'в том, что поскольку с.в. Cj приобретают смысл только по наблюдении начального вектора £ , их, строго говоря, надо заменить усло^.шми с.в. (Cjl^). которые не свободны.Таким образом требование инвариантности стратегии в означает одно из двух

■ А) наблюдатель ле умеет измерять а может измерять только №;

Б) гчблюдатель хотя и умее- измерять абсолютные величины чо должен "забыть (отбросить его) и пользоваться только

относителышми значениями £..,

В хорошо известных ранговых задачах выбора (см. монографию [7]) принят подход А , точнее там с самого начала име.т дело с Задачей 8, а Задача 7 не рассматривается. Нас же интересует именно Задача 7, и условие инвариантности стратегии означает для нас требование Б, ее эственность которого ставится под сомнение. Возникает элание'как-то "перерезать пуповину", связывающую С . и S1, так чтобы можно было считать Сj свободными с. в., и в то же время не тэрять . Это, ока:ывается, можно сделать в рамках фидуциального подхода.

5? Фидуциалъные распределения на -проеттанстве пагхиетпрод. Для группового семейства 1 F°, в е М. J фидуциальнал теория (см. £211) определяет при любом сопряженное ему семейстп

распределений (мер), ф = (Фх, х е А на множестве П : Ф* интерпретируется как апостериорное распределение неизвестного параметра 6 , лассматривнемого как случайная величина. Фидуциальные распределения имеют Сейесовский характер и отвечают априорной

плотности на Л , являющейся ¡..эрой Хаара dö на i\ уппе fl=G; d9= Je для fi=G1, ü6=dA/X для de=dc>dA/A. для fi=Gv

Предложение 6. Для инвариантного семейства на прямой общего вида "плотьость "фвдуциальной меры по мере Хаара' представима в

4 de т к \ (30)

s^ | f*KC*-)<t& OD

оел.

где - функция правдоподобия для семейства CFÜ), т.е.

. 6? Фидуцис шюя цеио (ФЦ).. Пароходом к изложению осиоьш.. результатов данного параграфа. Наггамшш, .го длл семейства 7 - С1J, 0 е fi=G) отвечающее эму семейство фидушшлышх мер Ф = {Фх, х. £ YiC) определено только для k£l:= dlra(Q).

Определение 6. Пусть z - 'произвольный вектор из выборочного

пространства . Y1 . Сл.у чайную цепь тг - = {"« j } . , заданную peKjppeimraMii со-тношениями

а) тг £ - г б) для любых к ^ £ , х е. Y к

(33)"

ö со CSL

назовем фидуциальпой цепью со стартовым вектором i, . U

■ Идо,: этого определения очевидна: очередной член ФЦ прогнозируется с помощью фидуциальной меры, отвечающей наблюдению х . В типовом примере

Сjrrj) ,

А » чеСм.хП , ** R 434) Л«- тЛк О J .

I Щ. I , ^

где. га = mln(s1,.-..,Xjt), U = ,шах(х^.....х^). Обратим внимание,

что в отчичие от с.в. Cj. равномерно распределенных кз конечном отрезке, плотность (34) распределена на всей прямой R; однако, при больших к .ее "хвосты" резко убь^ают, и почта вся плотность сосредоточена на конечном отрезке tm,ll], где она равномерна.

( • ж) - . .< .

о' ~ Кг < и-т.

" 59 ~ ~

0 сущности фивуцшлъного подхода. Пусть 5 = ^ ^} - последовательность с.в., подчиненных стандартному распределению Р , отвечающему значегано О - и

соответствующая последовательность относител! шт величин; осе последовательности имеют- вполне определенные распределения.' Подчеркнем, что в силу этого определения реализация - по-

ледовагельности предполагает предварительную реализацию ? последовательности, при этом 5 не наблюдаема, в то время как "V наблюдаема: - $ .

Следующее у-веркцениь является основньм для ргввиваемой темы. Утверздеш?" 19. При любом е У ^ имеет место соотношение

г.е. при любом случайные векторы- тс^Сз) и НСг)*^ ве-

роятностно эквивалентны (ож аково распределены). ¡|

Подчеркнем, что в правой части (36) ~.ектор 2 и последовательность нгасак нэ связаны друг с другом: "пуповина перерезана" (см. п. 4°).

Из Ут. 19 следуют выгоды принципиального характера. Здесь мы походим к самому главному - к сути " фидуциальных вер ятностэй. Оказывается, в семействах с групповой структурой происходит статистически неразличимое совпадение реализаций случайных по-

следовательностей. ьлекщих разную вероятностную природу.

В самом деле, пусть х = (х.п есть реализация Ш1 0 .

Положим у Н'1 х^ , тогда у есть реализация по-

следовательности ^ при реализации, х -- '• = в"'-* я^} стандартной последовательности § . Записар последовательность .в форме зс= ? И; = H(■2)«¿fjJ . где г = х1 , заключаем, что она может интерпретироваться'как реализация последователе- ' ности Н Т - . т.е., согласно Ут.19 , как реализация цепи т %(г). '

обратно, пусть х есть реализация ФЦ со стартовым вектором 2 = хх . Согласно (36), последовательность ^ = ^

эквивалентна некоторой $ - реализации; это означает, что су-

- 60 - ^ щеотвует последовательность 5с = • являющаяся $

реализацией, такая, что Н~' (&*)■* зс. . Но П)гда эс=-Н(г) Н'4 С£е)« ^ • т-е- * есть ^ '- реализация с параметром - ©•- Н&, Н"« . ' (37)

Замечание. Пусть } £"к : Ук->Л , - какая либо состоя-

тельная~последовательнОсть статистик для семейства 7 (см. [2*, . стр. 262]). Почти наверное для любой реализации х ВП £ существует предел

при этом 6 СО = 6 , ели ^ (-»-0 : й К:ак, имеет место

Утверждение 20. ВП и ФЦ статистически неразличимы. Именн., если последовательность ж есть ВП группового семейства 7 , то она монет рассматриваться как тЦх1) - реализация соотьетствую-щего фидуцьального семэйства ф . Обратно, если х есть реализация ФЦ , то существует предел (33), и х может рассматриваться как реализация ВП ^ с параметром 6 = б(х) . ¡2

Сопоставляя друг с другом интерпретации набл эдаемой последовательности х как реализации двух случайных последовательностей:

получим соответствие

© ^ . . . (40)

Если наблюдается вся последовательность х , то значение 9 ,г->-терминировано (см. (Л)) и'даете формулой 6 = 0(х) ; в момент же наблюдения к (Ю1) соответствие МО) определяет 6 л апостериорную с.в.

« (ню н-'Г«***! , = (41)

Соотношение (41) вскрывает природу фидуциальных вероятностей; действительно. справедливо

Утверждение 21. Пусть хк с . и г := х1 . Тогда условная случайная'вёлйчйна в правой части (41) пороздает меру, совпада-щу*> с **идуциальной мерой, отвечающей значению х = хк. 0

Смысл этого принципиально!) ре ультата: если априори о параметре ° ничего не известно, то информация о нем, содержащаяся в наблюдении = хк, в точности совпадает с информацией о случайном стартовом векторе , содержащейся в наОлюдг-дга

= Н_1(г1)Ахк. В п.4° мы отмечали, что приходится забыть но правильнее ра".'сматривать не а условные с.в.

которые совпадают для наблюдателя с безусловными с.п. С-. т.к.

1 р " ' при неизвестном б равенство £ = б* 54- не содержит шппкой и -

формации о ?е . Тем самым критика снимьется, ибо надо забыть не а , но о Iе мы ничего не знаем, забывать нечего !

Подрвдем главный итог. Наблюдая ВП ? , мы можем считать чтг механизм ее генерации устроен след. гадом г правом. Ест^ два пеза-?исимнх датчика, первый из которых генерирует стандартную последовательность а второй - делок, "портит" ее, умножая на некоторое постоянное, но известное только ему о.тпопу, значение . 0. В итоге поступающая информация ость'послодоватьлъпост;. чисел С:; ,}, .шляющаяся реализацией произведешь 0*5 С точки зрения

>1 о

наблюдателя бозмохкы две шторпретсщга последовательности ,).

а) £х.) есть реализация ВП Ц Л ; л 1 з _ ]

0) г := х являете!! реализацией 0а£ , а при ' есть реализация с.в.

= Н С5* )«•*•, = НСг)«*. ■

Б этой интерпретации с.в. ? ; свободны, т.к. значение 5 ¡шнаолюдаемо, а раЕечство й'Н(1£) = Н (?) , определяет 0 соотношением (40).

аЧ Заключительные результат. Вернемся к исходной проблем" -постановке задачи наилучшего в1 "юра. Предыдущее показывает, что по наблюдении стартового вектора з мы можем рассматривать ВП как фидуциальную цепь т(г), распределение, которой известно. Это позволяет сформулировать проблему как задачу выбора из ФЦ, . которая является задачей с- полной информацией .типа Задачи 6. !иы пр зодпм к следующей гостаноьке.

Задача 9. Рассматривая наблюдаемую последовательность как ;?Ц, пропустить первые 1 об'ектов и по наблюдениям стартового вектора ъ , максимизировать функционал

•»"(«Л

на множестве всех стратегия вида (21), пропускающих перше 1 об'ектов. В

В это:! формулировке предполагается', "то семейство 7 имеет групповую структуру, но инвариантность стратегии или критериальной функции ухе не требуется. Оптимальная стратегия и функционал Задачи 9 зависят от % .

Утвервдение 22..Если в Задаче 9 критериальная функция С т-варйантнаТ "то "олтимальная стратегия также инвариантна, не зависит от 2 и с впадаот со стратегией Задчачи 8. В «том случае Задачи 7,8 и Р эквивалентны. 0

Общий вывод: фидуциальный подход по существу снимает проблему неопределенности, связанной с неизвестным параметром, если семейство I обладает групповой структурой. В частности, задача выбора сводится к задаче с полной информацией, зависящей от

стартового вектора г как от параметра.

* *

*

Здесь-приведены результаты, имеющие принцип: альный характер. Кроме этого, ч И6*] подробно изучены свойства ФЦ, особенно для групповых скмейств, обладающих полной достаточной статистикой; в этом случае цепь может быть разложена в последователь-

ность незав1 зимых скалярных величин. Гщ основных групповых семейств (равномерные, нормальные, экспонеш. :альные, Г-распреде-ления) з [15*] выписаны специальные функции (например, ,

см. (33)), необходимые для применения фидуциального подхода в тактических расчетах. Автор надеется опубликовать по данной теме монографию, фактически уже подготовленную.

- вз -

Раздел 3. АНАЛИТИЧЕСКИЕ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ МЬТОДЫ

В данном разделе излагаются некоторые результаты автора в области '' чисто математической", не связанной с постановочно-методологическими проблемами. В этом смысле данная группа результатов имеет самостоятетльную ценность. Обзор материала дается в соответствии с публикациями.

§9. Итеративные метода в теории игр 1» программировании

В период 60-х - начало 70-х годов интенсигно развивались новые по тому времени вычислительные метода для решения задач линейного и выпуклого программирования, (^обенно ос^ро стояла проблема для г,адач большой размернойти. решаемых на ЭВМ; они вызвали к жизни м тоды декомпозиции и итеративные процессы игрового типа.

1? Игровой процесс. Игра Н лиц задается набором 7=СХк,фк>, к = 1,... ' где выпуклые компакты Х^ - множества стратегий игроков, ф^.: X ->- Я - их функщш выигрыша, X := Х1®---®Х{{ : в

ситуации х=(х1.....х^) € X выигрыш игрока к. есть ф^(х);

предполагается, что каждая из функций фк выпукла лверх по "своему" аргументу хк и квазивыпукла вниз по совокупности других аргументов. Рассматривается игра с нулевой суммой т.е.

2. <ек сл «с уэсе х . * .

Положим для к =1,2,...,11

Ф С*;*}: « 2- СЗк'.аО ,

Основная задача состоит в нахождении точек равновесия Н:ла игры 7, т.е. множества неподвижных точек (не пустого в силу теоремч Какутани) отображения

?Сх.\:** Яъь'т** фСч)*) , =с£Х '

^ ¿ех (3)

X * : = [ хбХ [ =€

2(х) есть множество сгптилаиъних ответов на ситуацию х .

Игровой процесс отыскания точек х* € X* состоит в построении итеративной последовательности

ЗС0 е К , (<-'°М X«. + "¿к* , г* 6 ~í (4)

где {а^} -"некоторая последовательность чисел из (0,1] .В Форме игрових процессов удалось представить широкий класс итеративных методов вообще, в т.ч. класс методов градиентного типа. Зта тематика развивалась во многих вычислительных центрах, с' нею связаны известные имена - В.А.Булавскнй, В.А.Волконский, Е.Г.Голый ¿fin, Ю.М.Ермолчев, В.Т.Поляк, А.Б.Поманский, А.Д.Шапиро, Н.Э.Шор и .др.

• В 1465 году Волконский,в работе [10] доказал (для строго выпуклого случая) сводимость игрового процесса, последовательность "шагов" которого Со^) удовлетворяет условиям

«■1 ^^й С) Z. = , ¿Q • (5>

' ПВО

Ранее Дкс.Гj6hhcoh доказала [37] сходимость метода Брауна решения-матричных игр при ап = 1/п . Волконский высказщал глпотс-зу, что условия (Е, необходимы и'достаточны для обеспечения сходимости игровых процессов в общем (в т.ч. линейном, наиболее трудном для показа-'ельства) случае; эта гипотеза была доказана О.А.Пвшшог м (основная',теорема) [15] - сотрудникам лаборато-р:ш Волконского в ЦЭМИ. В начало 70-х годов в лаборатории Волконского, где работал i автор, была задумана монография по исследованиям в области итеративных процессов, их реализаций и применений. -В процессе работы над моьографией автору удалось существенно упростить первоначальное доказательство Иванкова основной теорэмы. Это открыли возмогтисть в последующей, совместной работе Boj .онского и автора построить общую теоретическую схему исследования сходимости игровых итеративных процессов в '. .фишах ш!тегральных ьривых,.

Изложим здегь в}фатце эту схему, с наиоильшей плнотой лш-сэнную в монографии [17*1, а также опубликованную в (18*,19*].

2? Теоретическая схеха.' Пусть 1,Y е Rm - выпуклые компакты и Q - ÍQ(a);X -> v , а е 1:=(0,1]) - однопараметрическое семейство точечно-мнокествешшх отображений. Это семейство ■ опре-

деляет стандартный итеративный процесс (с.п.) в следующем смысле. С.п. 0 - это произвольнн.1 алгоритм,, генерирующий последовательность пар п=0,1,..., подчиненных условиям

а) последовательность удовлетворяет у слов" чм (3);

б) ^ с X для всех п=0,1,. .; (6;

В) 2П+1 = + ' ' ГП € 0<аЦ'Хп> / ■ а

Игровой процесс, описанный в п.1°, есть с.п. О,л) г Ъ- Е . Сопоставим последовательности £ траекторию х(1;) - ломаную, соединяющую точки хп:

к = о

Функция "времени" хШ определена'на полупрямой 0 • ^т.к. 1; ->- со в силу (1.6)) и удовлетворяет условию Липшица

ЖС-ЬОН £ К,--¿г! (7)

с константой : =

Уг\ О- М- II ^ Ц <; оа .

•ьбу

Рассмотрим последовательность "хвостов" траектории х(-). т.е. последовательность функций [ эс14 С-ь") = С-', »»к, Эта последовательность равномерно ограничена (т.к. хп(1) е X) л равностепешго непрерывна в. силу (7); поэтому, согласно теореме Арцела, она содержит сходящуюся подпоследовательность. Кривая х(>) называется предельной траекторией для § , если для' любого найдется подпоследовательность номеров 1'п^)

тчкая, что х"1« С^У х-С^.

Леша 1. Каждая точка предельной траектории есть точка накопления последовательности {хп> . Обратно, каждая точка накопления может служить началом некоторой предельной траектории. [] В качестве вычислительной процедуры ит ративные процессы строятся для отыскания некоторого замкнутого подмножества ХА'еХ, точки которого являются решением определенной задачи; например

V* = Лг.ч та.* -$0*) . (8)

3 хе X Г

для данной функции Исследование сходимости этой процедуры

сводится к вопросу о сходимости последовательности {хп> к X*,

т.ч., r силу Леммы 1, к вопросу о сходимости к X* предельных

траекторий х( •) . Отсюда,-следует, что сходимость с.п. должна изучаться в терминах в каком-то смысле предельного отображения

R := lim Q(cr), а •->- +0 . Отображение k: X ->- Y естественно интерпретировать как касательное поле направлений для предельных траекторий, ибо

• ^ —= - м.

Необход;:мое условие связи семейства Q(a) с предельным отображением R дается следующим определением.

- Определетш 7. Пусть В: X ->- Y -замкнутое выпуклозначное точь^но-множественное отбражение. Семейство Q назовем присое-диненныл к R , если отображение V: J.^ Ä X Y определяемое формулой

<¿61

VC"'XVB 1 ROO Z

о1 в £1

полунепрерывно сверху при а=0 . Ц .

При выполнении условия•присоеданенности дело сводится к вопросу о сходимости интегральных кривых поля И (т.е. кривых, удовлетворяй^.л включению ' ) г искомо-

му множеству X* .

Огтеделение 8. Функцией Ляпунова поля И называете.! функция и на~компаГи,ё ~Х такая, что • ■ ■

а) и(х) = 0 при х <; в!(И) , и(х)>0 при х £ в-ЦН); О) вне множества о1(И) функция времени ЩхШ) строго

убывает по 1 вдоль любой интегральной кривой поля И . ;псь аг(Н) := { х 6 X I КС*"» э о} - множество стационар-нот точек поля К . О

Обычно поле .Я строится для данной задачи так, чтобы X* = о1(Е) , и поэтому следующее 'утверждение пррдставляет собой •основной .сритерий сходимости с.п.

Утверждение £3. Если поле Н облагает функцией Ляпунова, то всякий с.п.-0~,_присоед1шенный к полю Н , сходится к в1;(Н) . Ц Например, ясли X - выпуклая вверх функция, то для отыскания ее точек максимума (8) обычно используются градиентные методы

(в различных модификациях). В этом случае R(x)=Grad f(х) (обо-611191 1й градиент), и функция U'x) = р(х X*) (р - евклидово расстояние) эсть функция Ляпунова. Это, в силу Ут.1, доказывает сходимость метода.

В ьтих терминах основная теорема Волкон-скогс-'Тванкова состоит в том, что функция ~ та.х явля0тся

функцией Ляпунова для поля Р = Z-E .

§10. Разные работы

1? Диагрслла роста лонотонной функции, й задача восстановления ее оригинала [20*]. Эта тема навеяна работой В.М.Полтерови-ча и Г.М.Хенкина [31,321, где предтожена модель "диффузии технологий", на основе которой было даео оо'ясненж наблюда'мому феномену усто,- швости (сохранение во времени) кривой распределения Р- предприятий (некоторой отрасли) по "уровням технологии" [51]; эта работа получила премию им. Н.Д.Кондратьева на конкур -е, посвященном столетию со дня его рождения (Москва, ;992). Кривая F является решением станюнарного уравнения c-F'O-) =• "f CF GoV FCx-tV), KtR (9)

= о , F- С «-»> = J. (1С)

где ф - заданная строго положительная функция на [0,1] , с -положительная постоянная, также (вместе с Р) подлежащая определению. В [31 ] показано существование и единственность решения уравнения (9) прч некоторых дополнительных условиях на функцию ф . Автор заинтересовался моделью Полтеровича-Хенкина (ПХ-модель) в связи с некоторыми своими работами в области кристаллографии [3,4], где гдеи ПХ-модели могли бы быть использованы, если ослабить условия на функцию ф . Удалось показать, что, действительно, все дополнительныь условия излишни, и ПХ-теорема верна при любой ф>0 . Аппарат, развитый автором для получения этого результата, так же как и сам результат, представляются тлеющими'самостоятельный интерес. Дадим здесь краткое изложение результата в упрощенной, в сравнении с [20*], форме.

Пусть Я - класс строго возрастающих функций п(t), teR с

условиями *(-а>)=0, в(ш)=1 . Определим операцию и ->- & формулой X

Х-1 __

Ясно, что я £ Я, , и - непрерывная функция, в отличие от

п, которая может иметь скачки, причем и'^и .(-4 - есте ;твенос отношение в Я). гассматривая гей как параметр, построим з • двумерной плоскости (и,у) диаграмму и=№(1;), 7=и(Ь); она определяет функцию у-С(и), котороую назовем диаграллой роста функции к . Непосредственно из построения следует , что

а) С(0)=0 б)С(1И (12)

в) в интервале (0,1) С строго возрастает и Е(.и)>и . Функции V порождает'диаграмму роста однозначным образом; оказывается, верно и обратное.

Утверждение 2i. Каждая функция С, определенная на отрезке С0,ТЗ-и-удсзлётворяюшая уловиям (.2), является диаграммой роста некоторой единственной (с точностно до сдвига по оси г) функции и е Е? . Ц

Это означает, что класс 7 всевозможных диаграмм роста описывается условиями (12), и соответствие Г/ з и ® С с 7 взаимно -однозначно; оригинал V? восстанавливается по свое*, диаграмме роста .

■ Ут. 24 (в несколько С лое общей, чем дано здесь, формулировке ) составляет основной результат. Кроме' того, в [ 20"*] изучена связь мрвду асимптотическим поведением «(г) при -Ь + и поведением функции й в окрестностях точек а=0 и и=1; дана ■"шология возможных ситуаций.

Покажем, как з У т. 24 следует .суше ствование решения уравнения (9). Запишем его в виде

Л СРОй -.РС*)- ГСх-Л

где и- ,

Интегрируя, с учетом условия Р(-»)=0, получим в терминах (11)

АОС*^ ^ $ «' р СА

- С.9 -

л

или F(x)=G(F(x)), где G:=A (заметим, что А строго возрастает, т.к. ф>0). Это означает, что G является диаграммой роста для Р , поэтому должно быть ^

1« ССА J. > А ОЛ с = ( J Х ;

при этом, в силу Уг.24, функция F существует-л <_ динственна.

Полученный результат позволил автор" предложить свою верстто модели диффузии [28*], в.которой ф зависит не от данного уровня Г(х), а от отношения соседних уровней F(x)/P.(x-1). Эта версия, как и ПХ-модель, об'ясняет наблюдаемый феномен, но, кроме того, она может б«ть использована при моделировании процессов послойного роста кристаллов типа рассмотренных в [4Ü.

2? Вековое уравнение для неподвижных точек стационарного уравнения Беллюна [21*1. Существенный интерес при исследовании • выписшшого во введении уравнения стационарной динамики (см. (0.2)) представляют неподвижные.точки (и.т.) оптимальной стра-тех'ии. Траектория, начинающаяся в такой точке, стационарна xQ), в частности магистраль модели, если она сумчтвуот, является н.т. Поэтому техника отыскания неподвижных точек - ваучый элемент математического аппарата. В О1*] получено уравнение, названное "вековым", которому обязанй удовлетворять п.т. Это необходимое условие.позволяет конструктивно находить "претендентов на неподвижность" в конкретных задачах; в частности, эта техника использовалась в [7*,8*].

Изложим основной результат, переписав (0.2) *в обозначениях работы [2<"*]:

Пусть С:Х D - оптимальная стратегия, т.е.

5GO = = ^^¿ъ* Ск.гУ

Точка xQ называется неподвижной, если T(xQ,£(xq))=xQ .

Предположим, что ¡функция y=T(x,z) обратила по z при каждом фиксированном х е X , т.е. существует обпатная функция

2=LC-c.y, ¡f-ТС*.?).: (14)

. - 70 -Тогда, если iQ неподвижна, то

р.) хо~ в точно xQ вполне определен: z = Z(xQ):= Ь(х0,у0); • б) значение функционала • Ф(х0) не зависит от с-ратегии С ? целом, и тожг вполне определяется самой точкой xQ как решение уравнения относительно формальной переменной v

G-C*. Л -.* U--Zf^VU«x.-o , (15)

обозначим это значение через Ф(хо) : v = Ш(х0) .

Итак в неподвижной точке Cuo) = Z(xQ) , Ф(х0) = ®(xQ) .

Введенная таким образом функция Ф вычислима, ее можно считать известной; онр определена' только для таких состояний, в которых "неподвижный" ход допустим, т.ч. на множестве £ : - X ( 2е .

Назовем тыку xeS регулярной, если Z(x) е Int D(x) ; множество регулярных точек открыто.

Утверждение 2С. Пусть xq - регулярная точка, входящая в S вместе с некоторой своей окрестностью Q(xq) , ^огда справедливы слвдуюш"в два независимых утвервдения.

А. Если для модели (13) выполнено условна: для любого xeQ(xQ) пункция T(x,z) допускает обращение (14), то для юго, чтобы точка xQ была неподвижной для оптимальной стратегии Q , необходимо, чт бы она являлась точкой спектра (множества корней) ьекобого уравнения (относительно . х)

VK £ У*. _ УК ^L "1 _ ук _

З^х 3 = ^(16)

О- =

при этом Ф(::о)=®(хо) Ф' (х0)=[. , где [,] - член в квадратной скобкд левой части (16).

Е. Если /очка х0 неподвижна и выполнено условие: для любого хеШх ) функция С(у,х), определенная в (15) возрастает по v ь опрятности значения 7-®(х), то Ф' (х0)=Ф* (х0) . О

Замечанья. 1) Утв. 25 сохраняет силу и дл многомерного с 1у-чаяТ ¿) Производные могут не существовать в обычном смысле, их надо понимать как обобщенные. 3) Пр \ полагается существование решения уравнения (13), ло единственно, сти его не требуется. □

"1? О нахождении эффективного 'азиса в общей лодели Леонтьева. Хорошо известна и шъроко используется теорела о замещении, устанавливающая существование в общей модели Теонтьева еп простой ьодмоде,ти с тем же пространством выпуска (эффективная пс. модель ). В С12] дано доказательство теоремы и метод нахождения эффективной подмодели, состс лгой в решении ЛП-задачи. Нттке иг-латается результат работы [£2*],_дающий конструктивное доказа-_ тельство, приводящее к значительно бо.юе простому вычгслите.-ь-ному. алгоритму.

Общая модель Леонтьева задается списком продуктов 1=И,т], набором технологических способов J=[1,nJ, разбивающемся на не пустые непересекающиеся подлножес.за Jx способов, производящих каждый из продуктов iei, и (mxn)-матрицей прямых.затрат Д, столбцы которой отвечают технологическим способам. Если xeRn - вектор их интенсивное те й, то вектор конечно? продукции у . имеет вид

Ч. ~ X. Leí . (17)

Множество неотрицательных векторов у , проставляемых в виде (17) при xeR" , образует пространство выпуска У . Модель называется продуктивной, если Y содержит строго положительный вектор. Для получения какого-либо заданного вектора beY обычно ставится задача линейного программирования

^х —v jpax (18)'

- * iL ( Le ij (19)

j6JL

¿V где функционал интерпретируется как затраты труда. Соответствующая двойственная задача имеет вид

рЬ —>- шах (20)

\?> ° > Pj - СР á cj Vj € J¿ , L e 1} (21; '

Запишем множество (21 •) допустимых векторов цен D в форме D = ípeR"| p<F(p)}, где оператор F: R? R™ определен равенствами

р. СрА-ес0 , Leí. (22)

Отметим, что множество В ле зависит от Ь , и при любом Ь из У задача (18) разрешима, поэтсму разрешима а задача (20).

Утверждение 26. Если модель продуктивна, то 1) У=Н™; 2) для любого с1^ого~положительного вектора -с>С :

а) ущеотвует пррстая подмодель ,Н0 построенная на ш технолог :ческих способах по одному от каждого множества :Ц1, ь(Дективная в том смысле, что любой вектор ЬеН™ может быть ь Ной произведен и притом с затратами труда не большими (следова- ' тельно, равными) чем ь оптимальном плане задачи (18);

Л) множество Б имеет точку р , являющуюся жшсилсиънпй (т.е. р^р для любого реЭ),. которая в силу этого, представляет ссЗой оптимальный вектор задачи (20) при любом Ьи1® (и единственный, ьоли Ь>0), причем вектор р строго положителен, р>0 ;

в) ;/каз:нный вектор р есть единственная неподвижная точка ратора Р., и он может бить получен как предел монотонно возрастающей последовгтельности .

р°: ~ о ( р*+<: = Г(р"; , к-о,<,...-_ (23)

г) простая подмодель эффективна тогда и тслько тогда, когда она построена на эффективном базисе, т.е. на технологических способах с индексами

¿1 -Т-?: * СЬ ' С

и J * с

Доказательство Утв. 26 опирается на работу автора [21.

• 4? Достаточные условиг отиеалъности для линейных дифференциальных неравенств с разривныли траектория ш, Рассматривается задача нахождения траектории, заданной системой неравенств вида -

Вас- £ ¿е (24)

■ оптимальной ь смысле некоторого линейного функционала; здесь х^й", Ь€Нт - векчор-функции. Обычно (тл., напр., [18, п.3.1.5]) в таких задачей предполагается, что х -абсолютно непрерывная фу.лодш, и (24) .изучается с помощью ггоинципр максимума Понт^ч-г-ла [331 как задача оптимального управления

В £ * с! х + а: - & , ' « V С С (25)

при этом существенно, что. и - ограниченное множество.

»

В излагаемой работе [23*] условие ограниченности снимается, и к рассмотрению допускаются кусочно-непрерывные траектории с разрывами первого рода (конечные скачки). Суть подхода в том, что ^ рассматривается как ЛП-задача с континуумом га[О,1] переменных и континуумом ггкГО, 1 ] ограничений. -Изложим 'здесь только основную идею, опуская технически сложц..е строгие формулировки. ■ ' Конечномерным аналогом задачи (24) является стандартная ЛП-задача вида •

сх ->- пах х € D1 СхК), Ах<Ь/ , (26)

двойственная к которой есть ЛП-задача

рЪ ->- rain р € D2 := tp^O, рд^с) . '27)

Пара элементов ' (х,р) называется двойственной, если xeD1 , peDg и выполняются условия дополняющей нежесткости:

Cf;í-Ax)-o , С-c-r = 0 (28)

(в эт^й записи А*р:=рА). Справедлива простая

Леша 2. Если (х,р) - двойствегаая пара, то х и р оптимальны в своих задачах, при этом cx=pb . Q

Содержание этой леммы можно интерпретировать как достаточный критерий оптимальности: для того, чтобы допустимый'вектор xíD1, "подозреваемый на оптимальность", действительно был таковым, достаточно, чтс ы нашелся вектор peD2 , с которым х образует двойственную пару. Такого рода критерий и предлагается в [23*] применительно к задаче (24). Отметим, что в конечномерных задачах отдельные компоненты иском го вектора х слабее ''связаны" друг с другом, нежели в дифференциальных задача., и поэтому в последних "подозреваемые" элементы находятся легче, с помощью эвристических соображений; примером может служить работа [24*].

Теоретическая схема построения двойственной пары ЛП-задач в абстрактных сопряженных пространствах дана в [13; главы 2-4] Применительно к задаче (24) основная трудность в формулировке двойственной задачи состоит в построении сопряженного оператора Аа, конкретнее - В необходимости "перебросить" операцию дифференцирования: 4 f

J о В ¿ JLt J р В ctt . '(29) '

Это удается корректно сделать путем введения ориентации'в классах кусочно-нвпрерыйных функций. Именно, траектории прямой задачи x(t) будем считать непрерывными слева (в приложениях это корреспондирует с естественным направлением оси времени), двойственные "траектории p(t) - справа. Производные х , р в точках разрывов траекторий интэрпретир}ются как сингулярные 0-функционалы; кроме этих сингулярностей производные Morji' иметь конечные разрывы, ориентация в которых не требуется. При строгой формализации этой идеи (это реализовано в [23*]) оказывается справедливой обычная формула интегрирования по частям:

/' Р зс ¿L f /Р<L-t = />СО хсо - ХС^ ,

о о ' "

которая позволяет осуществить переброску (2^) и тем самым'сформулировать двойственную задачу и критерий достаточности в форме леммы 2.

- 75 -

Краткий заключительный комментарий

Автор сознает, что в представленной многоплановой диссертаций о'хдечьные ее части проработаны в разной степени. Есть еще не решенные вопросы, и они отмечены в тексте - например, вопрос о магистрали, возникавший а моделях -§§3,4. ' Есть вопросг дискуссионные, напрмер методологический пгчход к модели смены . технологий §4 п..1° или интерпретация д^ндуциальных вероьтностьй в §8 п.7°. Наиболее завершенными являются, по мнению автора, результаты, отраженные в §§1-3,6, а также результаты Раздела 3 •за исключением §10 п.7°.

Что касается последнего, то материал этого пункта изложен схематично, но, главное, автору не удалось довести достаточные условия оптимальности до необходимых. Вопрос о том, являются ли предложенные в [23*] условия не только достаточна ли, но и необ- ■ ходимыми, поставлен в самой публикации [23*], и до сих пор остается открытым.

. - К -Литература

1. Аркин Е.И., Евстигнеев И.В. Вероятностные модели управления

и экономической щшаклки. М., Наука, 1979

2. Беленький В.З. Некоторые модели оптимального планирования,

осьоваяные на схеме межотраслевого баланса. Экон. и мат. методы, 1967, т.З, гчп. 4

3. Беленький В.З. К статистической модели кристаллизацуил.

ДАН СССР. т.¿28, 1976, * 6

4. Беленький В.З. Геометрико-вероятностные модели кристаллиза-

.ции. Ы., Наука, 1980 Ь. Беллман Р. (1957) Динамическое программирование.

М.,'ИЛ, 1960 о. Гчдалян А. Диссертация. ИПУ РАН, 1991

7. Березовский Б.А., Гнедин A.B. Задача наилучшего выбора. М.,

Наука, 1984

8. Вагнер Г. (19С9) Исследование операций. Ы., Мир, 1973

9. Вальд А. (1947) Последовательный анализ. М., Физматгиз,

• i960 '

10. Волконский В.А. Оптимальное планирование в-условиях боль-

, шой размерности. Итеративные метода и причцип декомпозиции. Экон. и мат. метода, 1965, т.1, вып.2 .

11. Гейл Д. !1956) Замкнутая линейная модель производства. -В

сб. "Линейлые неравенства и смежные Вопросы", М., ИЛ, 1959, о. 382-400

12. Гейл Д. (1960) Теория линейных экономических моделей.

М., ИЛ,-1963

13. Голъ'птейн Е.Г. Теория двойстъенности в математическом про-

граммировании и ее приложения. М., Hayna, 1971

14. Дынкин Е.Б., Гашевич A.A. Теоремы и задачи о процессах Мар-

кова. М., Наука, 1967 15..Ивыков С.А..Теоремы о сходимости итеративных процессов решения игр; - В сб. "Труда третьей зимней школь по математическому программированию в г. Дрогобыче", М., ЦЭМИ АН СССР, .1970

16. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.,.

Ьаука, 1^74

17. Карлин С. (1959) Математичесгаю методы в' теории игр iporpa-

ммировании и экономике. М., Мир, 1964

18. Кларк Ф. П983) Оптимизация и негладкий анализ.

М., Наука, 1988 • . .

19. Климов Г.П. Инвариантные выводы в статистик-. М. Изд. МГУ, •

1973

20. Клим в Г.П., Кузьмин А.Д. Инвариантные оценки.- Теория веро-

ятностей и ее применения, т.20, вып.2, 1975

21. Климов Г.П. Теория вероятностей и математичегкая статисти-

ка. Изд. МГУ им. М.В.Ломоносова, 1983

22. Макароь В.Л., Рубинов A.M. Математическая теория экономиче-

• ской динамики и равновесия. М., Наука, 1973

23. Матвеенко В.Д. Эффективный функционал и магистрат в моде

лях экономической ,т: шашки. - В сбЛ . ], с. 97-117 .

24. Матвеенко В.Д. Плановые и рыночше механизмы управления в

моделях экономической динамики. Препрг тг ИОЭП, Ленинград 1989

25. Мовшович С.М. Теоремы о магистрали в моделях 'Неймана-Гейла.

Экон. и мат. методы, 1969, т:5, вып.6

26. Мовшович г.м. Магистральный рост в динамических народно-хо-

зяйственных моделях. Экон. и мат. методы,1972,т.8, вып.г

27. Никайдо X. (1S68) Выпуклые структуры и математическая эко-

номика. М., Мир, 1972 •

28.' Первозванский А.А. Математические модели в управлении про- •

изводством. М., Наука, 1975

29. Полтерович В.М. Модели равновесного экономического роста.

Экон. и мат. методы, 1976, т.12, вып.З

30. Полтерович В.М. Экономическое равновесие и хозяйственный

механизм. М., Наука, 199G о1. Полтерович В.М., Хенкин Г.М. Диффузия технологий и экономический рост. Препринт ЦЭМИ АН СССР, 1988 32. Полтерович В.М., Хенкин Г.М. Эволюционная модель экономического роста. Экон. и мат. метода, 1989, т.25, вып.З

33. Понтрягин Л.С. и др. Математическая теория оптимальных про-

цессов. М., Физматгиз, 1961

34. Пресман 3.JI., Сластников А.Д. Об одном подходе к определе-

нию темпа роста в стохастических моделях Неймана-Гейла. - В сб. "Модели i метода -стохастической оптимизации". И., ЦЭМИ АН СССР, 1983

35. Пресман Э.Л., Слаотников А.Д, Об асимптотическом по_адении

траекторий в стохастичрской модели Ьеймана-Гейла. - В сб. "Исследования по вероятностным проблемам управления ■ эко! эмическимп процессами". М., ЦЭМИ АН СССР, 1935

36.-Пресман Э.Л.. Сонин И.Ы. Последовательное управление по неполны-' данным. М., Нрука, 1982

37. .Ъбинсон Дк. Итрративний ыэтод решешш дгр. - В сб. "Мэт-

ричш.о игры", М., физматиз, 1931

37. Рокафэллар Р. (1970) Выпуклый анализ. !.!., Мир, 1973.

38. Роман-вский к.В. Аасимптотическое поведение процессов дина-

мического про~раширавашя с непрерывные множеством со' стояний. ДШ СССР, 1964, т. 159, & б

39. Романовский И.В. Асимптотическое поведение дискретного де-

. терминированного процесса с непрерывным жожэством сос-тояшй. - Б wd. "Опгкмально© планирование"» Новосибирск, Наукь, 19S7, £3

40. Рубинов A.U. Магистрали в моделях Нэймаыг -Гейла. ДАН СССР,

1978, т.242, Г2 " -

41. Рубинов A.M. СупзрлшзйЕЫо кногозначшэ отображения и их

¡.рилоЕёния it вкозюьсшо-ыагеттцческкгл задачам. Л., }Ly-:а, 1930

\ Рубинов А.г.!. (отв. рэд.) ¡¿атэглатыческие модели экономнчес-, кой дина\..лш. Томатпчоский сборник. Институт экономики Лит..ССР, Влльгага, 1923

43. йгелпер В. (1971) Веэдмшо- е теорзп вероятностей и ее прило-

эшш, т.2. I.!., Шр, 1984

44. Шевелев Я.В. О цепэ информации Ь ядерной энергетике.

Атомная энергия, 1984, т.57, ыш.З

45. Яковенко С.Ю. Нэ"одвшлшз точки полугруппы операторов Белл-