Структура оптимальных траекторий в моделях экономической динамики тема диссертации по экономике, полный текст автореферата

Автореферат диссертации по теме "Структура оптимальных траекторий в моделях экономической динамики"

На правах рукописи

Матвеенко Владимир Дмитриевич

СТРУКТУРА ОПТИМАЛЬНЫХ ТРАЕКТОРИЙ В МОДЕЛЯХ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ

Специальность 08.00.13 - математические и инструментальные методы экономики

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Санкт-Петербург - 2004

Работа выполнена в Санкт-Петербургском экономико-математическом институте РАН

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор В.З.Беленький,

доктор физико-математических наук Н.П.Дементьев

доктор физико-математических наук, профессор А.А.Шананин

Ведущая организация - Факультет вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета имени М.В .Ломоносова

Защита состоится часов на

заседании диссертационного совета Д 002.013.02 в Центральном экономико-математическом институте РАН по адресу: 117418 Москва, Нахимовский пр., 47, ауд. 520.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Центрального экономико-математического института РАН.

Автореферат разослан ноября 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета к.ф.-м.н.

С.В.Борисова

I. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Математические модели экономической динамики представляют собой один из основных инструментов, применяемых в современном экономическом анализе. Их область приложения широка и разнообразна: долгосрочное и среднесрочное планирование фирм, макроэкономическое прогнозирование, выработка экономической политики и стратегий экономических реформ, направленных на экономическую стабилизацию и на устойчивое развитие на национальном, региональном и глобальном уровнях, в том числе, на решение проблем экономического неравенства и бедности. Таким образом, исследование математических моделей экономической динамики не только представляет академический интерес, но служит решению жизненно важных экономических проблем.

Как правило, изучение каждого класса математических моделей экономической динамики проходит определенную последовательность этапов:

а) нахождение и исследование стационарных (сбалансированных) траекторий, т.е. таких, на которых остаются постоянными те или иные экономические показатели;

б) сравнение стационарных траекторий, выбор класса наилучших стационарных траекторий в смысле того или иного определения (принципа, критерия) оптимальности;

в) нахождение необходимых и/или достаточных условий оптимальности (в смысле того или иного критерия) нестационарной траектории при тех или иных краевых условиях;

г) исследование асимптотического поведения оптимальных траекторий с бесконечным горизонтом или с достаточно большим конечным горизонтом (в частности, изучение «конвергенции» - сближения экономических показателей стран и регионов);

РОС НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА СПстсрвшг^а I/ з ' О» ж ¿4г>ЪС1,

д) качественное исследование нестационарных оптимальных траекторий на начальном участке (так называемый, анализ переходной динамики);

е) качественное исследование всего множества оптимальных траекторий с конечным и с бесконечным горизонтом при различных значениях параметров (описывающих краевые условия, величину горизонта, предпочтения, технологии и т.п.)

Последний из перечисленных этапов, по-видимому, наиболее важный и интересный, вместе с тем, является и наиболее сложным; именно к нему относится основная часть результатов, полученных в диссертации.

Изучению структуры оптимальных траекторий моделей экономической динамики посвящена обширная литература (см. обзоры в [1-8] по моделям неймановского и рамсеевского типов и работы [9-14], относящиеся к модели с конечным числом состояний). Однако, вопрос о поведении Т-шаговых оптимальных траекторий на финальном участке, поставленный в ранних работах [15-17] оставался открытым до появления независимо работ В.З.Беленького [18] и автора. Не менее актуален вопрос о критериях отсутствия сложной динамики, изучение которого начали Болдрин и Монтруккио [19-20]. Модели эндогенного роста (см. [21-23]), позволяющие исследовать связь долгосрочного темпа роста ВВП с другими экономическими показателями, находятся сегодня в центре внимания макроэкономистов. Эти вопросы рассматриваются в диссертации.

Цель и задачи исследования. Основная цель работы состоит в качественном исследовании структуры оптимальных траекторий моделей экономической динамики. Рассматриваются модели с конечным числом состояний без дисконтирования и с дисконтированием, многопродуктовые модели неймановского типа и однопродуктовые модели неймановского и рамсеевского типа, в том числе модели эндогенного роста. Основной задачей является изучение структуры Т-шаговых оптимальных траекторий при достаточно больших значениях горизонта Т. В частности, рассматриваются ранее

практически неизученные вопросы о поведении оптимальных траекторий в конце временного промежутка [0,7] и о трехмастной структуре траекторий. Рассматривается также относительно мало изученный вопрос о поведении оптимальных траекторий в начале временного промежутка [0,7] — так называемая, переходная динамика.

Методология исследования. В основе работы лежат методы экономико-математического моделирования. Используются теория оптимального управления, в частности, принцип максимума Л.С.Понтрягина, динамическое программирование, выпуклое программирование, теория суперлинейных многозначных отображений, экстремальная алгебра, теория графов.

Научная новизна. Введено понятие финальной магистрали, симметрично дополняющее известное понятие ранней магистрали. Для модели с конечным множеством состояний с дисконтированием и для однопродукто-вой модели рамсеевского типа впервые получены теоремы о финальной магистрали (т.е. о поведении конечных оптимальных траекторий на финальном участке). Для модели фон Неймана - Гейла теорема о финальной магистрали получена независимо от результатов ВЗ.Беленького.

Для характеризации финальной магистрали в моделях рамсеевского типа введено понятие второй функции-значения, которое дополняет понятие функции-значения, играющее сегодня центральную роль в рекуррентных методах. Установлено, что финальная магистраль может быть построена пошагово с помощью второй функции-значения. Аналогом второй функции-значения в модели неймановского типа является второй эффективный функционал.

Для ряда моделей установлено наличие «трехчастной» структуры оптимальных Г-шаговых траекторий. Получена теорема о представлении значения задачи рамсеевского типа с горизонтом коэффициентом дисконтирования Р и граничными состояниями х0,хт в виде

где V - функция-значение, [V - вторая функция-значение.

Построена модель фон Неймана специального вида, которая в качестве аппарата привлекается для анализа схемы динамического программирования. Показано, что основные объекты, характеризующие эту модель (состояния равновесия, неймановская грань и др.), соответствуют основным понятиям, характеризующим схему динамического программирования. Установлена связь между экстремальными собственными векторами матрицы, соответствующей схеме динамического программирования, векторами неймановских цен введенной модели фон Неймана, а также ее эффективным функционалом и вторым эффективным функционалом.

Доказаны теоремы о ранней магистрали для весьма общей модели неймановского типа без предположения о выпуклости производственного отображения. В качестве магистрали выступает эффективная траектория с началом х0.

Впервые исследована модель рамсеевского типа с конечным множеством состояний с дисконтированием. Доказаны теоремы о структуре оптимальных Т- шаговых траекторий и о представлении функции-значения. Показано, каким образом случай может быть сведен к случаю Получены результаты, касающиеся сравнительной динамики при изменении коэффициента дисконтирования Получено достаточное условие, при котором данный контур не входит в состав ни одной оптимальной траектории, независимо от значения

Для моделей неймановского типа исследованы на основе понятия второго эффективного функционала вопросы о построении эффективной обратной траектории и о структуре Г-шаговой оптимальной траектории при достаточно большой величине горизонта Т. Изучен аналог эффективного функционала для моделей, задаваемых многозначным отображением, на которое не накладываются требования выпуклости и однородности. Для неоднородных моделей введено понятие сходимости по доминированию, обобщающее

понятие строгого темпа роста модели фон Неймана-Гейла. Эффективный функционал использован для уточнения теоремы Никайдо о магистрали в сильной форме.

Получены новые условия доминирования траекторий в моделях эндогенного роста.

Теоретическая и практическая значимость. Теоретическая значимость работы заключается в том, что предложен новый подход к изучению семейства оптимальных траекторий с конечным горизонтом, основанный на понятиях финальной магистрали, второй функции-значения и второго эффективного функционала, получены результаты, касающиеся «трехчастной» структуры оптимальных траекторий, представления значений, условий отсутствия сложной динамики, условий доминирования траекторий в моделях эндогенного роста. Введенные понятия и полученные результаты, хотя в основном носят теоретический характер, могут быть использованы при анализе и прогнозировании развития экономических систем разного уровня. Непосредственно в диссертации исследованы однопродуктовые макроэкономические модели, имеющие широкое применение в теоретической и прикладной экономике (модель аккумуляции капитала, модель эндогенного роста Лукаса). Разработан алгоритм построения всех лексикографически максимальных траекторий в схеме динамического программирования. Примеры использования полученных результатов при анализе прикладных моделей содержатся также в приложениях 1-3 (модель развития п экономических агентов с взаимными положительными экстерналиями, однопродукто-вая макроэкономическая модель эндогенного роста и спада, модель экономической интеграции).

Исследование выполнялось в соответствии с плановыми темами РАН. Результаты нашли применение в учебном процессе в курсах, читаемых на Факультете экономики Европейского университета в Санкт-Петербурге и на

Кафедре прикладной математики и математического моделирования Санкт-Петербургского государственного морского технического университета.

Апробация работы. Результаты работы были представлены на научных семинарах в Центральном экономико-математическом институте РАН, Санкт-Петербургском экономико-математическом институте РАН, в Президиуме Санкт-Петербургского Научного центра РАН, на математико-механическом факультете Санкт-Петербургского государственного университета, в Европейском университете в Санкт-Петербурге, Университете Питтсбурга (США), Университете Кошице (Словакия), Стокгольмской школе экономики, Центрально-Европейском университете (Прага и Будапешт), на Всесоюзных научных конференциях и совещаниях (Апатиты, Ашхабад, Брест, Воронеж, Вильнюс, Душанбе, Звенигород, Киев, Новосибирск, Одесса, Славское, Тбилиси), на международных конференциях и семинарах, проводимых Институтом информатики Польской Академии Наук (Варшава, 1987), Институтом математики АН Азербайджана (Баку, 1989), Германским и Чешским союзами математиков (Карловы Вары, 1992), Social Science Research Council (Питтсбург, США, 1992), Mid-West Conference on Mathematical Economics (Энн-Арбор, США, 1994), на международных исследовательских семинарах Консорциума экономических исследований и образования EERC (Москва, 1996-2002), на Всероссийском симпозиуме по экономической теории (Екатеринбург, 2003, на V Международной научной конференции «Конкурентоспособность и модернизация экономики» (Москва, 2004), на Международной научной конференции «Мемориал Канторовича: старые проблемы и новые подходы» (Санкт-Петербург, 2004), на 4-й Московской международной конференции по исследованию операций «0RM2004» (Москва, 2004) и других.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 31 печатной работе (7 в соавторстве) общим объемом 41 п. л.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, трех приложений и списка литературы (212 наименований). Объем диссертации - 277 страниц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Глава 1 носит вводный характер. В разделе 1 вводятся основные понятия теории моделей экономической динамики с дискретным временем.

Пусть X — множество состояний, {а,} - последовательность многозначных (точечно-множественных) отображений а,: X—>2Х. Траекторией с началом х0 € X называется последовательность состояний {х,} = {х0, Л,,...}, для которой баДд:,), / =0,1,... Конечный участок {х) траектории называется ^шаговой траекторией с началом .

Обратной траекторией с началом называется последовательность состояний такая, что где

Устанавливаются необходимые условия, при выполнении которых терминально оптимальная ^шаговая траектория с началом х0 проходит по паретовским границам областей достижимости а'(х0), I = 1,...,Т. Следующая теорема 1.1 показывает, что для терминально оптимальных траекторий справедлив своеобразный закон сохранения.

Пусть производственное отображение задано как

х,+1 =Ь,(хпи1), где Ь, - непрерывно дифференцируемая вектор-функция, вогнутая по управлению множества - телесные выпуклые замкнутые. Пусть на множестве состояний задана непрерывно дифференцируемая функция и задача состоит в построении -оптимальной шаговой траектории с началом т.е. такой, что

у/(хт)= гпах у/{х).

Теорема 1.1. Если функции перехода Ь, положительно однородны первой степени по х, то на у/ -оптимальной Т-шаговой траектории гамильтониан Н^р^х^и^ - р^Ь^х^й^сохраняется. (Здесь {р,} - последовательность косостояний (векторов двойственныхоценок), существующая в силу дискретного принципамаксимума).

Далее неравенство х>у для п-мерных векторов означает, что х' > у', / = 1,...,л; неравенство х> у означает, ч т^ушетр^в е н -ство означает, что

Центральную роль при исследовании экономической динамики играет понятие эффективной траектории, которое имеет несколько модификаций. Пусть X = ; {х,} и {х1} - две траектории. Будем говорить, что траектория {х,} доминирует (слабо доминирует, Л--доминирует) траекторию {х,} и использовать обозначение (соответственно, {*,}>-,}{*,}) если найдется натуральное число к, такое, что хк >хк (соответственно, хк »хк, хк = Лхк для некотороТоТраектория {*,} с началом называется эффективной (слабо эффективной, эффективной), если не существует доминирующей (соответственно, слабо доминирующей, доминирующей) ее траектории с тем же начальным состоянием.

Пусть /г - положительное число. Эффективным функционалом с показателем эффективности называется непрерывная функция определенная на множестве принимающая неотрицательные значения и обладающая тем свойством, что

тахг/(>>) =м(х) прИвсех хеХ.

Если эффективный функционал является возрастающей, в том или ином смысле, или положительно однородной первой степени функцией, он позволяет пошагово построить эффективную (слабо эффективную, эффективную) траекторию для любого начального состояния. По существу, эффективный функционал представляет собой нелинейные цены, пользуясь

которыми для оценки альтернативных вариантов перехода в очередные состояния, экономическая система будет автоматически двигаться по эффективной траектории. Эффективный функционал отражает "качество" текущего состояния с точки зрения критерия эффективности.

Будем говорить, что обратная траектория } с началом х0 является эффективной (соответственно, Л - эффективной) если не существует натурального числа к и состояния х_к еа'к(ха), таких, что х_к <х_к (соответственно, для некоторого

Вторым эффективным функционалом с показателем эффективности v (где называется определенная в пространстве состояний

функция такая, что

Раздел 2 посвящен основным свойствам одной из наиболее известных моделей экономической динамики - модели фон Неймана - Гейла. В частности, дается определение характеристики обратной траектории и доказывается, что обратная траектория с началом является - эффективной в том и только в том случае, если она имеет характеристику.

В разделе 3 рассматриваются важные частные случаи модели фон Неймана-Гейла: модель со строгим состоянием равновесия и модель с почти строго выпуклым конусом.

Пусть модель нормальна (если а(х), у'< у, то у'е а(х)), обладает почти строго выпуклым конусом, и из каждого ненулевого состояния можно перейти хотя бы в одно ненулевое состояние. Такая модель далее называется моделью с п.св. конусом. Для нее устанавливается, в частности, совпадение понятий эффективной, слабо эффективной и -эффективной траекторий, а также совпадение понятий эффективной и -эффективной обратных траекторий. Доказаны теорема 3.2 о существовании эффективной обратной траек-' тории и теорема 3.3, согласно которой эффективная обратная траектория

и

}, нормированная множителями , обладает свойством, аналогичным указанному в «теореме о классификации траекторий»:

а'хч —» кх,

где х - неймановский вектор, к-постоянная, зависящая от состояния х0.

В главе 2 изучается модель с конечным множеством состояний X = М с числом элементов п. По существу, предположение о конечности числа состояний составляет единственное ограничение в этой модели; оно может, например, отражать тот факт, что в ряде случаев в реальных экономических системах близкие друг к другу состояния плохо различимы и могут моделироваться как одно состояние. Также модель с конечным числом состояний может служить для аппроксимации моделей, для которых пространством состояний является компакт, а в таком виде при специальном выборе переменных состояния могут быть представлены многие практически важные модели. (В качестве примера можно привести однопродуктовые модели экономического роста Солоу и Рамсея, где в качестве состояния рассматривается капиталовооруженность к,, и основной интерес представляют траектории, лежащие на отрезке [ОД], где к - стационар чистого накопления). Модель с конечным числом состояний свободна от массы технических предположений, которые приходится накладывать в случае

Каждой Т-шаговой траектории соответствует Т-звенный путь в ориентированном графе (М,ЛТ) с множеством вершин М и множеством дуг N - {(1>./): , е а(«)}- Граф предполагается вполне связным.

Путь с началом в вершине и концом в вершине называется -путем. Пусть на множестве дуг N задана функция полезности у); следуя терминологии теории графов, она называется также весом дуги (у'). Считаем, что "(г, Л = -о° при (/, у) «Е N.

Исследуется структура траекторий-решений для двух семейств задач. Задача За (г) состоит в нахождении для заданного начального состояния

траектории, обладающей максимальной суммарной дисконтированной полезностью

а — аналогичная задача о Т-шаговых траекториях, соединяющих

заданные состояния.

В разделе 4 рассматривается случай 0 -1, известный как схема динамического программирования.

Характеристикой контура О = {^ц,...,^ =ц} называется число

т.е. отношение суммы весов к числу дуг контура. Через Л обозначим максимальную возможную характеристику контуров графа (Д/,Л?}.

Контуры, характеристика которых равна Л , называются оптимальными. Доказывается, что всякий контур, составленный из дуг оптимальных контуров, сам является оптимальным контуром. Обозначим через Г подграф, составленный из всех дуг оптимальных контуров.

Введем модифицированные веса дуг обозначим максимальный суммарный модифицированный вес -пути.

Лемма 4.7. Пусть ¿¡¡.^еМ; Г, - некоторая связная компонента графа Г. Тогда веяЩина- л(1,/г) не зависит от выбора вершины Iв графе Г,.

Через обозначим наибольший общий делитель количеств дуг во всевозможных контурах графа Далее рассматриваются следующие случаи.

1. Граф связен, Второе условие выполняется, если граф со-

держит хотя бы одну петлю или пару контуров с взаимно простыми количествами дуг. Это условие гарантирует для любой пары вершин

/, ;еГ прилюбомдостаточнобольшомГналичиеТ-шагового </,/)-пути, лежащего в Г.

2. Для каждой компоненты связности Г графа Г выполняется Яг=1.

Случай 2 непосредственно обобщает случай 1. Обобщением случая 2

является следующий случай.

3. =1, т.е. матрица А примитивна.

Противоположным является следующий случай.

4. = А > 1, т.е. матрица А импримитивна.

В [11,12] в ином контексте рассматривался случай 1, а в [10] исследовался подслучай случая 2, когда граф (М,Я) ПОЛНЫЙ, а каждая компонента связности графа является петлей.

Случай 1. Пусть / - произвольная вершина графа Г. Тогда для любых <0,»'г е М и для любого достаточно большого натурального числа Г, существует Т-звенный путь, являющийся решением задачи состоящий из трех участков:

1) ('о.' )-путь без самопересечений;

2)контур (возможно, с самопересечениями) в графе Г;

3) -путь без самопересечений.

Всякий Т-звенный путь, являющийся решением задачи при

достаточно большом Г имеет указанную структуру относительно некоторой вершины I графа Г. Выберем произвольную вершину « еГ. Из леммы 4.7 вытекает, что для вершин максимальный вес Т-звенного -пути

при достаточно больших Г равен

Набор позволяет пошагово построить для достаточно длин-

ного оптимального пути с произвольным начальным состоянием первый участок (до выхода на граф

гы = arg max{M(it, j) + vy}.

Набор wt, iE M позволяет построить "с конца" третий участок оптимального пути (переход с контурного графа Г в вершину j):

i

Если принять, что e"u'J) = 0 при u(i, j) = -о», то ориентированному графу и функции и однозначно соответствует квадратная матрица Л

с неотрицательными элементами

й. =euai\ (i,j)eMxM.

На языке экстремальной алгебры [10], матрица А имеет единственное экстремальное собственное число, оно равно вектор является правым, а вектор - левым экстремальным собственным вектором матрицы А. Экстремальные степени матрицы А= fl'A стабилизируются, при этом элемент (г,у) стабилизировавшейся степени равен е"'е.

Случай 2.

Предложение 43. Пусть каждая компонента связности \ е К графа Г удовлетворяет условию Нг~\. Тогда имеются такие числа vF ,wf 0 = 1,...,п;ГеК), что максимальный вес Т-звенного (Ц)-пути при достаточно больших Травен

v(i, j,t) = ЛТ + max(v,r + wj).

Случай 3. Для каждой пары вершин {ij) последовательность начиная с некоторого является периодической (воз-

можно, с периодом 1).

Случай 4. Последовательность \v(i,j,t) — ¿t}^, начиная с некоторого номера, является периодической с периодом причем хотя бы один из

повторяющихся элементов равен — оо (т.е. в графе {M,N) не(г,Л-утей с соответствующим числом дуг).

[v{i,j,t)-Ät]t

При наличии к связных компонент графа Г, множество всех правых экстремальных собственных векторов матрицы А имеет к степеней свободы.

В разделе 5 рассматривается специальным образом определенная модель фон Неймана N, которая соответствует описанной в разделе 4 модели с конечным множеством состояний (схеме динамического программирования). В модели И, X ~К1\ уе а(х), е ей, оде Ъ- замкнутая коническая оболочка следующих 2п-мерных векторов (элементарных процессов)

здесь 1 стоит на месте I, - на месте (п + у). Процессы г(0 обеспечивают нормальность модели N и не используются на оптимальных траекториях.

Установлена связь между основными понятиями, относящимися к схеме динамического программирования и к модели фон Неймана N. Неймановский темп роста равен а = е*. Если элементарный процесс 1(1, ]) используется в неймановском состоянии равновесия, то дуга принадлежит графу Г. Неймановская грань представляет собой коническую оболочку всех элементарных процессов, соответствующих дугам графа

Рассмотрим следующую задачу динамического программирования: в графе найти Т-звенный путь с началом в вершине обладающий

максимальной суммой

где / - некоторая функция, определенная на множестве вершин М.

Как показал В.Л.Макаров (см. [1]), для справедливости теоремы о магистрали (относительно грани) моделей фон Неймана - Гейла существенен факт сходимости последовательности - темп роста моде-

ли, ■ГцЕ.У.В модели N, е с^й1т о последовател {¿Е'а'сГоЫц л я произвольного начального состояния стабилизируется. Применяя теоре-

му о магистрали относительно неймановской грани, получаем теорему 5.1 о средней магистрали для решений указанной задачи динамического программирования.

Доказывается также, что если у - правый экстремальный собственный вектор, <5 - левый экстремальный собственный вектор матрицы А, то функция <?(.*) = ух является эффективным функционалом модели N а функция г(х) = 3~1х - вторым эффективным функционалом. (Через обозначается вектор с координатами, обратными координатам вектора 3). При этом у и 5~1 являются векторами неймановских цен модели N.

Раздел 6 посвящен изучению структуры бесконечных оптимальных траекторий в модели с конечным числом состояний с дисконтированием. При 0</}<1, как и при = 1, исследование основано на сравнении средних (теперь средних взвешенных) весов контуров. Принципиальное отличие состоит в том, что средний вес теперь зависит от того, относительно какой вершины контура он определен, при этом нет аналога единой максимальной характеристики Л . С другой стороны, при 0<Р<\ задачи имеют решение, тем самым определена функция-значение ^»(0, удовлетворяющая уравнению Беллмана

= тах{и0\ у)) + рУри)}-

Траектория {¿„,(',,...} является решением зад а^^Го г д а и только тогда, когда она пошагово оптимальна, т.е.

е А^шах{гг((„ ¡) + 0 У/;")}.

При малых коэффициентах дисконтирования оптимальные траектории можно охарактеризовать непосредственно: решениями задач /еМ

являются лексикографически максимальные траектории и только они. Построен алгоритм построения всех таких траекторий.

Контур называется оптимальным относительно вершины если существует оптимальная траектория с началом ,/„ (решение задачи 5/Л>))> включающая хотя бы один обход контура ст. Контур <г называется оптимальным, если он оптимален относительно какой-либо вершины. Доказывается, в частности, что всякий контур а, составленный из дуг контуров, оптимальных относительно вершины сам является оптимальным относительно этой вершины, а всякий контур составленный из дуг оптимальных контуров, сам является оптимальным. Тем самым, подграф состоящий из дуг всевозможных оптимальных контуров, распадается на (максимальные) вполне связные контурные компоненты

Для контура обозначим через множество вершин, относи-

тельно которых контур а оптимален. Все контуры в контурной компоненте Г, являются оптимальными относительно одного и того же набора вершин, который будем обозначать

Какова структура оптимальной траектории с началом (решения задачи Возможно несколько случаев.

Если контурная компонента Г4, для которой }й е М ~(Г\), единственна, то траектория выходит на и далее может двигаться произвольным образом по дугам этой контурной компоненты. Движение будет заведомо регулярным (нехаотичным), лишь если Г4 представляет собой контур (в частности, петлю).

Покинув какую-либо контурную компоненту, оптимальная траектория никогда в нее не возвращается (иначе, промежуточный путь тоже принадлежал бы этой контурной компоненте).

Если существует несколько контурных компонент для которых то для каждой из них можно указать приходящую в эту компоненту оптимальную траекторию с началом

Контурные компоненты могут «следовать» друг за другом. Пусть - две контурные компоненты. Если то будем гово-

рить, что контурная компонента Г, следует за Г4 и использовать обозначение ГЛ —> Г,. Видим, что Г4 —»Г, тогда и только тогда, когда Л/~(Г4)сМ~(Г,). В этом случае оптимальная траектория может сколь угодно долго находиться в Г,,азатем перейти в Г,.Такое поведение траектории является аналогом хаоса в моделях с непрерывным множеством состояний.

В литературе по экономической динамике активно обсуждается проблема нахождения условий, при которых исключается возможность сложной динамики (периодических орбит, странных аттракторов, хаоса). В нашей модели стационарными состояниями являются оптимальные петли, а сложная динамика связана с наличием оптимальных контуров с числом вершин более 1. Таким образом, возникает вопрос о достаточных условиях, при которых не существует иных оптимальных контуров, кроме петель. Ответ на этот вопрос дают следующие утверждения.

Теорема 6.1. Если контур а удовлетворяет неравенству

то он не является оптимальным ни для какой задачи ^О), где 0</3< 1, у'еМ.

Следствие 6.3. Если (*) выполняется для любого контура О с числом дуг М>1, то при любом /Зе(0,1) оптимальнымиконтурамимогут быть лишь петли.

Следствие 6.3 дает достаточное условие невозможности сложной динамики в модели с конечным числом состояний. Подобное утверждение для модели с непрерывным пространством состояний получено в [19-20].

Интересно сравнить полученное в теореме 6.1 достаточное условие неоптимальности контура с необходимым и достаточным условием, которое дает следующая теорема.

Теорема 6.2. При заданном /9(0</?<1), контур а = {1,,... не оптимален в том и только в том случае, если

Остановимся на случае положительной полезности.

Теорема 6.3. Пусть и(г> 0 при всех (г,]]€ N. Пусть контур

<7 = (/],(2,...,г|0|,^ст|+1 = г,) таков, что и(/х,1л1)<У0^г)хотя бы для одного 5 = 1,...,\а\, где У0 (гг) = шах и(г,,г). ГогЭа контур а не является оптимальным при /?€ (0,1 — У в), где

И

*=1

Рассматривается также задача сравнительной динамики: как изменяются оптимальные траектории при изменении дисконтирующего множителя

В разделе 7 для модели с конечным числом состояний изучается семейство задач нахождения Т-шаговых траекторий с максимальной суммарной дисконтированной полезностью. В отличие от задач одной только полной связности графа G может быть при каких-то значениях Г недостаточно для существования решения. Чтобы снять эту проблему, считаем, что для каждой из компонент связности Г графа

При условии, что контурная компонента Г, для которой _/0 е М~(Г), единственна, доказывается, что, если Т достаточно велико, то Т-шаговая оптимальная траектория состоит из трех участков:

1) переход из у0 в некоторую вершину /еГ; этот участок совпадает с соответствующим участком бесконечной оптимальной траектории (решением задачи этот участок отсутствует, если

2) путь, соединяющий вершину ¿6 Г с некоторой вершиной убГ, целиком лежащий в контурной компоненте Г;

3) переход из убГ в ]т по некоторому пути Т; этот участок отсутствует, если уг £ Г.

Путь оптимального перехода из Г в /г является решением задачи нахождения

Здесь максимум определяется по всевозможным (у, уг) -путям Т\ 5 — суммарная дисконтированная полезность, - число дуг пути.

Таким образом, при достаточно большом Т, финальный участок Т-шаговой оптимальной траектории (решения задачи не зависит

ни от ни от Т.

Доказывается, что величина Л{]) инвариантна по j(z Г, Т.е., при достаточно больших Г , существуют траектории-решения задачи проходящие через любые вершины контурной компоненты Г. Если граф Г связен, то определена вторая функция-функция ¿6 М, которая удовлетворяет следующему аналогу уравнения Белл-

мана:

При этом на самом графе выполняются равенства:

Вторая функция-значение позволяет пошагово построить финальный участок Т-шаговой оптимальной траектории при достаточно большом горизонте Т.

Теорема 7.1 (о представлении функции-значения). Пусть контурный граф Г связен и Н^ =1. При достаточно большом Т имеет место представление

для любых /0, ]т € М.

В общем случае, когда граф Г не связен, но Нг = 1 для каждой компоненты связности Г, имеет место представление

Результаты, полученные для случая Р< 1, применяются для исследования задачи

В главе 3 изучаются модели неймановского типа. В разделе 8 исследуются свойства эффективных траекторий обобщенной модели экономической динамики неймановского типа, где X = Л", и выполняются условия полунепрерывности сверху многозначного отображения и ограниченности областей достижимости.

Доказывается, что, в случае единственности слабо эффективной траектории с началом ха, достаточно длинные ^-оптимальные Т-шаговые траектории близки к эффективной на "начальном" участке. Более того, при естественных предположениях, оказывается, что при построении достаточно длинных терминально оптимальных траекторий можно начать движение непосредственно по слабо эффективной траектории.

Доказано, что, при естественных условиях, независимо от конкретного вида функции полезности и и от значения дисконта,/?, начальный участок Т-шаговой оптимальной траектории (для задачи о Т-шаговой траектории с заданным начальным состоянием, обладающей максимальной суммарной дисконтированной полезностью) при достаточно большом горизонте Т близок к соответствующему участку слабо эффективной траектории.

Раздел 9 посвящен построению эффективных функционалов в моделях неймановского типа и их применению для пошагового построения эффективных траекторий.

Обратим внимание на важное отличие эффективного функционала и характеристики траектории. Эффективный функционал пригоден для построения эффективной траектории, начиная с любого начального состояния, в то время как характеристика соответствует конкретной эффективной траектории. Между тем, оказывается, что векторы цен, построенные на основе эффективного функционала, также имеют, в некотором смысле, универсальный характер как векторы характеристик.

- Эффективный функционал в весьма широком классе моделей может быть построен следующим образом. Будем считать, что модель обладает полунепрерывностью сверху, слабой монотонностью (если то существует у'б а(}1), такое, что у'» у), и множества а(х) ограничены. Также будем предполагать, что в пространстве состояний X = Л" задана кривая L, обладающая следующими двумя свойствами:

1) если х, у&Ь,х'>у' для н е к о т/ор.о^Г, ТО(*к>р;уи в а я возрастающая);

2) для каждого начального состояния х0еЬ имеется эффективная траектория {хг},такая, что х, £ Ь при всех X = 1,2,...

Такую кривую назовем эталонной кривой. Например, для модели фон Неймана-Гейла с положительным неймановским вектором х эталонной кривой является неймановский луч. Эффективные траектории, целиком лежащие на эталонной кривой, будем называть эталонными траекториями. Каждому состоянию модели х можно сопоставить множество эталонных траекторий, которые могут быть доминированы, исходя из Таким образом, порядок, который имеется на эталонной кривой, переносится на все пространство X, и, при некоторых условиях, определенная на L возрастающая функция, будучи распространенной на все пространство X, является эффективным функционалом.

Понятие строгого темпа роста обобщается применительно к общей модели экономической динамики при наличии эталонной кривой L.

Теорема 9 6 показывает, что, при определенных условиях, всякая слабо эффективная траектория является пошагово оптимальной в смысле эффективного функционала и доминирует всякую траекторию с тем же начальным состоянием, не являющуюся пошагово оптимальной в смысле Щ.

Раздел 10 посвящен построению второго эффективного функционала, пошаговому построению эффективной обратной траектории и изучению структуры Т-шаговой оптимальной траектории при достаточно большой величине горизонта Т.

Теорема 10.1. В модели с п.с.в. конусом для любого начального состояния х0 существует единственная эффективная обратная траектория с началом Хд,- она является пошагово оптимальной в смысле второго эффективного функционала г.

Подобно тому, как это делается в разделе 9 для эффективного функционала, для второго эффективного функционала определяется функция так, что последовательность определенная равен-

ством является характеристикой эффективной обратной тра-

ектории

Одна из основных оптимизационных задач экономической динамики состоит в следующем. Заданы векторы состояний Т}£ X и натуральное число Т. Найти число

т/) = тах{Л: Лт)еат(£)},

а также Т-шаговую траекторию с началом и концом

хт = к(т\£, 7])Т]. Симметричная задача состоит в нахождении числа

а также Т-шаговой обратной траектории с началом ха — Т] и концом

х_т=ка\£, Т})£. Имеет место равенство к(Т)(<Ц, Т]) = 1/£(Г)(£ V)- Через будем обозначать, соответственно, семейства Т-шаговых траекторий при различных Г, являющихся решениями этих двух задач.

Для моделей с п.с.в. конусом поведение Т-шаговых траекторий семейства при достаточно больших Г определяется эффективной траекторией с началом и эффективной обратной траекторией с началом

Теорема 10.3 (о финальной магистрали). Пусть в модели с п.с.в. конусом {£_,} - эффективная обратная траектория с началом Т]; -N-шаговые обратные траектории семейства Тогда х_1(И)—>х_, для каждого t = 1,2,...

Использование понятия эффективного функционала позволяет упростить доказательство и существенно уточнить формулировку классической теоремы о магистрали - теоремы Никайдо. Через Ус{х) обозначается £-окрестность точки х.

Теорема 10.4 (о структуре оптимальных траекторий). Для модели с пх.в. конусом пусть х- неймановский вектор, р- вектор неймановских цен, такие, что рх—\. ПусЩь- элементы симплекса {х: х > 0, рх = 1}, {*,} -

эффективная траектория с началом {*_,} - обратная эффективная траектория с началом. Для любого £ > 0 существуют такие числа Тх{£),Тг(Г]),Т{£, Т)), что если - Т-шаговая траектория семейства

Е^,,« Г>Г(£ ц), то

В модели с п.с.в. конусом эффективный функционал (](х) является правой экстремальной собственной функцией (в смысле максимума) функции Второй эффективный фу нкцио наф^ в ля ется левой экстремальной собственной функцией (в смысле минимума) функции . Функ-

ция 1 / г(х) является левой экстремальной собственной функцией (в смысле максимума) функции

Теорема 10.6 (о представлении экстремальных степеней функции). Для модели с п. с. в. конусом

Теорема 10.7 (о представлении областей достижимости). Для модели с п. св. конусом

Ита~'а'(х) = {у:г(у) < Ч(х)}, х € Я+\

Ита'а-'(у) = {х-. 4{х) > г(у)}, уе^.

Теорема 10.7 получена независимо от результатов В.З.Беленького [18], который доказал аналогичную теорему при иных предположениях и другим способом.

В главе 4 рассматриваются однопродуктовые макроэкономические модели. В разделе 11 изучается структура оптимальных траекторий в модели рамсеевского типа с дискретным временем. Оптимальная траектория определяется как решение задачи

при условиях

где с1 - потребление, к1 - производственный капитал, / — производственная функция, - моментная функция полезности, - коэффициент дис-

контирования. Граничные значения к0 > 0, Ау > 0 заданы. Функции /, к удовлетворяют стандартным предположениям.

Определим функцию

С(х< У)= min{i: f'(x)> у}, где f - s-я итерация функции/ (т.е. /'(*) = f(x), f'*\x) = /(/'(*)))•

Теорема 11.1 (о структуре оптимальной траектории). Пусть и(с) = с. При достаточно большом горизонте Т (точнее, при

трех последовательных участков:

а) перехода из начального состояния кв в стационар модифицированного золотого правила к (при этом с, = 0, пока не будет достигнуто состояние , для которого затем немедленно следует переход в

б) пребывания в стационаре

в) схода из к в кТ, (Если /(к) > кт, то сход происходит за один шаг; в противном случае на участке схода

Участок входа зависит лишь от к0 (не зависит от кТ и7)и представляет собой часть ранней магистрали. Участок схода (если рассматривать его как конечную обратную траекторию с началом кт) зависит лишь от кт (не зависит от каиТ),и является частью финальной магистрали.

Лемма 11.5. При и (с) = с функция-значение имеет вид

Т > £{ка,к) + £(к,кт)) оптимальная Т-шаговая траектория состоит из

к);

при 0 <к<к . Вторая функция-значение имеет вид

W(k) = Д<1'кГ> к f-MW(k)

Теорема 11.2 (о представлении значения). При и(с) = с пусть \/(ка,кТ,Т) - значение задачи 5р(кд,кт,Т). Тогда, при достаточно большом горизонте Т, справедливо представление

м(к0,кТ,Т) = У(кв) + /3Т~ЩкТ).

Для случая м(с) = 1пс; /{к) = ка,0<а<\ \ кт=0 (см., например, [24]) доказывается следующее утверждение.

Теорема 11.3 (о финальной магистрали). Существует обратная траектория {%.!,) с началом %0 = 0 такая, что если (Т)^^| - семейство (при различных горизонтах Т) оптимальных Т-шаговых траекторий с началом

Раздел 12 посвящен исследованию структуры равновесных траекторий в модели эндогенного роста Лукаса [22], которая сочетает некоторые идеи моделей рамсеевского и неймановского типов. В модели Лукаса рассматривается два вида капитала: физический и человеческий, и ставится вопрос о наличии «конвергенции» стран, имеющих первоначально различные запасы капиталов двух типов, и в частности о возможности того, что страна, первоначально отстающая по обоим видам капитала, догонит более богатую страну по уровням или по темпам роста капитала. В этой модели несвободное время репрезентативного домохозяйства может использоваться на работу в материальном производстве (доля времени и(1)) и на накопление человеческого капитала (доля времени 1-u(t)). Задача максимизации полезности имеет вид:

с(|Ц(1),ад>о,о<и(()<1,

где начальные значения ЙГ(0) ,/г(0), N(0) > 0 заданы. Здесь с - душевое потребление, К - физический капитал, h - человеческий капитал репрезентативного агента, ha - средний уровень человеческого капитала в экономике (эта величина представляет собой экстерналию и рассматривается репрезентативным агентом как экзогенная) , N - численность населения, которая имеет постоянный темп прироста Л, и - доля времени, посвященная материальному производству, р - норма временного предпочтения (е'р - коэф-фициентдисконтирования), А,У,8,(Г> 0, 0</?<1 - экзогенные параметры. В качестве управляющих переменных выступают u(t) и c(i).

Пусть { K{t),h(t),c{t),u(t)} - решение задачи (**) при заданной функции hj.t). Это решение называется равновесной траекторией, если

НО = КО) ПРИ всех t > 0.

Оказывается, что при определенных сочетаниях параметров в модели Лукаса возможно доминирование не только по уровням капитала, как это было ранее известно, но и по темпам роста. Доказывается, что при условиях p—S-Л= 0, у — о + of}-оу = 0 существует континуум равновесных сбалансированных траекторий с различными постоянными управлениями и различными темпами роста. Тем самым не всегда верна высказанная в [22] гипотеза о том, что для любой равновесной траектории, где - некоторое общее для всех равновесных траекторий значение.

Также доказано, что при для каждого началь-

ного состояния существует континуум равновесных траекторий с различными долгосрочными темпами роста.

В приложениях 1 и 2 предлагаются две модели, объясняющие процессы, происходившие в российской экономике в переходный период. В приложении 1 рассматривается модель развития п экономических агентов с взаимными положительными экстерналиями.

"Значение" 1-го агента х'^ зависит от его собственного значения и значений других агентов в предыдущий период:

где аи >0 - коэффициент, описывающий собственные возможности роста агента I, а.ч >0 (у = 1,...,/ —1,/+ 1.....п,) - коэффициенты, описывающие ограничения для развития /-го агента, возникшие из-за ограниченности положительных экстерналий, создаваемых другими агентами. Если агенту не создает экстерналии для агента

Для объяснения динамики этой модели привлекаются результаты раздела 4. Вводятся понятия связывающих, несвязывающих и актуальных экстерналий. Нелегальные платежи (коррупция) объясняются как политики агентов, направленные на увеличение связывающих положительных экстер-налий, создаваемых другими агентами.

В приложении 2 рассматривается однопродуктовая модель эндогенного роста, которая описывается соотношениями:

Здесь К, - выпуск в период времени t, К, - капитал, V, - заработная плата на единицу капитала, - потребление (заработная плата), - инвести-

ции, УЕ (0,1) - доля капитала, которая остается после износа. Функция f обладает стандартными свойствами.

Эта модель, введенная первоначально в [27], может рассматриваться как обобщение популярной сейчас в западной литературе АК-модели эндогенного роста (см., [7]).

зо

Указанный вид производственной функции обосновывается на основе моделей, учитывающих институты рынка труда, которые подтверждаются эмпирическими исследованиями [51,55].

В рассматриваемой модели, так же как и в модели с поколениями производственного капитала [28-29], оказывается, что различные оптимальные траектории могут быть построены по простому общему правилу. Если модель находится в состоянии то текущее управление строится как

где V - «порождающее» управление, соответствующее принятому критерию оптимальности и не зависящее от состояния. Иными словами, если выпуск на предыдущем шаге был достаточно велик, то применяется порождающее управление, а если выпуск недостаточен, то инвестиции отсутствуют. Таким образом, нулевые инвестиции возможны на оптимальной траектории.

Заметим, что позднее Ромер [21] использовал сходный способ описания отдельных оптимальных траекторий, тогда как здесь речь идет о целом семействе траекторий, соответствующих различным альтернативным критериям оптимальности. Возможность рассматривать одновременно несколько альтернативных критериев оптимальности полезна при изучении переходной экономики, где критерий оптимальности траектории не определен окончательно и может меняться.

Устанавливаются условия, при которых имеет место экономический рост или экономический спад.

Динамика российской экономики последних 15 лет может быть объяснена на основе данной модели. Появление с конца 1980-х годов частных фирм и возможностей индивидуального предпринимательства означало увеличение альтернативной ставки заработной платы и привело к уменьшению темпа роста a(V) в старом секторе, так что экономический рост сменился

спадом. Новый сектор оказался в целом низкопродуктивным, и его развитие не компенсировало спад в старом секторе. Кризис 1998 года привел к снижению альтернативной ставки заработной платы, что и было одной из основных причин улучшения функции /(V) и увеличения темпа роста в старом секторе.

Приложение 3 посвящено дискретным сублинейным и дискретным суперлинейным операторам, которые обобщают, в частности, экстремальные матричные операторы, использовавшиеся в разделе 4.

Исследуются сжимающие свойства операторов на основе квазиметрики Гильберта. Вводится понятие левого собственного элемента оператора, описан алгоритм его вычисления. Это понятие применяется для построения эффективного функционала в модели Неймана-Леонтьева, который, в свою очередь, используется для изучения модели экономической интеграции.

Выводы. Введены понятия финальной магистрали и второй функции-значения. Уточнено понятие второго эффективного функционала. Для ряда моделей эти объекты найдены в явном виде. Для модели с конечным множеством состояний, много продуктовых моделей фон Неймана-Гейла и одно-продуктовых моделей рамсеевского типа выявлена "трехчастная" структура Т-шаговых оптимальных траекюрий. Достаточно длинная Т-шаговая оптимальная траектория с фиксированными концами состоит из трех последовательных участков: первый участок зависит лишь от начального состояния (не зависит от финального состояния и от длины траектории) и близок к соответствующему участку бесконечной оптимальной траектории (ранней магистрали); на втором участке траектория проходит по определенному множеству (средней магистрали) или вблизи него; третий участок зависит лишь от финального состояния и близок к соответствующему участку некоторой обратной траектории (финальной магистрали). Ранняя магистраль может быть построена пошагово с помощью функции-значения (или эффективного

функционала), а финальная магистраль - с помощью второй функции-значения (или второго эффективного функционала). Для ряда моделей имеет место теорема о представлении функции-значения задачи с конечным горизонтом при посредстве функции-значения (или эффективного функционала) и второй функции-значения (или второго эффективного функционала). В модели эндогенного роста Лукаса выявлена возможность доминирования траекторий не только по уровням развития, но по темпам роста. Для модели эндогенного роста, обобщающей АК модель, найдены условия экономического роста и экономического спада, установлена положительная зависимость темпа роста от нормы накопления при низкой норме накопления и отрицательная зависимость - при высокой норме накопления.

1. Макаров В.Л., Рубинов А.М. Математическая теория экономической динамики и равновесия. М., Наука, 1973.

2. McKenzie L.W. Turnpike theory// Econometrica, 1976, v.44, n.5, pp.841-865.

3. Рубинов A.M. Суперлинейные многозначные отображения и их приложения к экономико-математическим задачам. Л., Наука, 1980..

4. Рубинов A.M. Экономическая динамика// Итоги науки и техники, т. 19. М, ВИНИТИ, 1982, с.59-110.

5. McKenzie L.W. Optimal economic growth, turnpike theorems and comparative dynamics // Handbook of mathematical economics, v. 13, Amsterdam, North Holland, 1986, pp. 1281-1355.

6. Дементьев Н.П. Магистральные свойства моделей экономической динамики с потреблением. Новосибирск, Наука, 1991.

7. Barro R.J., Sala-i-Martin X. Economic growth. New York, McGraw-Hill, 1995

Список литературы

РОС НАЦИОНАЛЬНА» БИБЛИОТЕКА

COmi»eyff О» Я» м*

8. McKenzie L.W. Turnpikes// American Economic Review, 1998, v. 88, n. 2, pp.1-14.

9. Беллман Р. Динамическое программирование. М, Иностранная литература, 1960.

10. Воробьев Н.Н. Экстремальная алгебра положительных магриц// Elec-tronische biformationsverarbeitung, 1967,3, S. 39-71.

11. Романовский И.В. Оптимизация стационарного управления дискретным детерминированным процессом// Кибернетика, 1967, № 2, с. 66-78.

12. Романовский И.В. Алгоритмы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1977.

13. Cuninghame-Green R. Minimax algebra, Lecture Notes in Econom. and Math. Systems. 166. Berlin, Springer-Verlag, 1979.

14. Маслов В.П., Колокольцов В.Н. Идемпотентный анализ и его применение в оптимальном управлении. М., Физматлит, 1994.

15. Dorfman R., Samuelson P.A., Solow R.M. Linear programming and economic analysis. N.-Y.: McGraw-Hill, 1958.

16. Furuya H., Inada K. Balanced growth and intertemporal efficiency in capital accumulation// International Economic Review, 1962, v. 3, n. 1, pp. 94-107.

17. Samuelson P. A catenary turnpike theorem involving consumption and the golden rule// American Economic Review, 1965, v. 55, June, pp. 486-496.

18. Беленький В.З. Экономическая динамика: обобщающая бюджетная факторизация гейловской технологии// Экономика и матемагические методы, 1990, т. 26, в. 1, с. 165-177.

19. Boldrin M., Montrucchio L. Acyclicity and stability for intertemporal optimization models// International Economic Review, 1998, v. 29, n. 1, pp. 37-146.

20. Boldrin M., Montrucchio L. Acyclicity and dynamic stability: generalizations and applications//J. of Economic Theory, 1995, v. 65, n. 2, pp. 303-326.

21. Romer P. Increasing returns and long-run growth// Journal of Political economy, 1986, v 94, pp. 1002-1037.|

22. Lucas R.E. On the mechanics of economic development//Journal of Monetary Economics, 1988, v. 22, pp.3-42.

23. Aghion P., Howitt P. Endogenous growth theory. Cambridge (Massachusets), London, MIT Press, 1998.

24. Stokey N.L., Lucas R.E. Recursive methods in economic dynamics. Cambridge, Harvard Univ. Press, 1989..

Основные публикации по теме диссертации

25. Матвеенко В.Д. Дискретная модель с фондами, различающимися по срокам службы// Оптимизация, в. 26(43), Новосибирск, 1981, с. 90-102.

26. Матвеенко В.Д. Бесконечно-оптимальные траектории в дискретных од-нопродуктовых моделях экономической динамики// Математические модели и статистический анализ научно-технического прогресса. Отв. редакторы Л.В.Канторович, А.Г.Кругликов. М.: ВНИИСИ, 1982, с.37-43.

27. Матвеенко В.Д. Оптимальные значения макроэкономических показателей в дискретных в однопродуктовых динамических моделях// Оптимальные модели и системном анализе. Отв. редакторы Л.В.Канторович, А.Г.Кругликов. М.: ВНИИСИ, 1983, с.58-65.

28. Матвеенко В.Д. Эффективные траектории в дискретной однопродукто-вой модели с дезагрегированными фондами// Оптимизация, в. 31(48), Новосибирск, 1983, с. 105-127.

29. Матвеенко В.Д. Оптимальные траектории в дискретной однопродукто-вой модели экономической динамики// Доклады Академии наук СССР, 1984,т.277,№3,с.534-537.

30. Матвеенко В.Д. Оптимальные траектории в однопродуктовых моделях с эндогенным НТП// Системное моделирование и оптимизационные методы в исследованиях научно-технического прогресса. Отв. редакторы Л.В.Канторович, А.Г.Кругликов. М.: ВНИИСИ, 1985, с.40-45.

31. Матвеенко В.Д. Об одном методе построения оптимальных траекторий в однопродуктовой управляемой динамической системе// Журнал вычисл. математики и мат. физики, 1985, т.10,1560-1561.

32. Матвеенко В.Д. Горизонт эффективности в однопродуктовой модели экономической динамики// Оптимизация, в. 36(53), Новосибирск, 1985, с. 113-120.

33. Матвеенко В.Д. Порождающие управления в однопродуктовой модели экономической динамики. // Математические исследования, в. 87, Кишинев, 1986, с. 111-115.

34. Матвеенко В.Д. О законах сохранения в экономической динамике// Сб. тр. ВНИИСИ, в. 19, М., 1986, с. 105-109.

35. Матвеенко В.Д. Некоторые применения моделей экономической динамики с переменной технологией// Измерения и моделирование в экономике. Л.: Ленингр. инж.-экон. инст., 1987.

36. Матвеенко В.Д. Применение модели Неймана-Гейла для исследования динамических процессов// Анализ и применение математических моделей экономической динамики. Новосибирск: Институт экономики и организации промышленного производства СО АН СССР, 1987, с.31-41.

37. Матвеенко В.Д. Применение модели Неймана для исследования схемы динамического программирования// Автоматика и телемеханика, 1988, № 12, с.62-70.

38. Матвеенко В.Д. Эффективный функционал и магистраль в моделях экономической динамики// Математические модели экономической динамики под ред. А.М.Рубинова. Вильнюс: Институт экономики АН Литвы, 1988, с.97-117.

39. Матвеенко В.Д. Эффективные траектории как ранние магистрали в моделях экономической динамики// Некоторые вопросы анализа и моделирования народнохозяйственных процессов. М.: ЦЭМИ АН СССР и журнал «Экономика и математические методы», 1988, с. 81-97.

40. Матвеенко В. Д. Плановые и рыночные механизмы управления в моделях экономической динамики. Препринт научного доклада. Л.: Институт социально-экономических проблем АН СССР, 1989, 52 с.

41. Матвеенко В.Д. Оптимальные траектории схемы динамического программирования и экстремальные степени неотрицательных матриц// Дискретная математика, 1990, т. 2, в. 1, с. 59-71.

42. Матвеенко В.Д. О дискретных сублинейных и суперлинейных операторах // Дискретная математика, 1998, т. 10, в.2, с. 87-100.

43. Матвеенко В.Д. Структура оптимальных траекторий дискретной детерминированной схемы с дисконтированием// Дискретная математика, 1998, т. 10,в.З,с. 100-114.

44. Матвеенко В.Д. Структура траекторий и вторая функция-значение в оптимизационных динамических системах с дисконтированием// Автоматика и телемеханика, 1999, № 1, с. 26-34.

45. Матвеенко В.Д. Об исследованиях по математической и теоретической экономике// Экономико-математические исследования: математические модели и информационные технологии, в. 2. СПб: Санкт-Петербургский экономико-математический институт РАН, 2002, с. 27-50.

46. Матвеенко В.Д. Теория экономического роста и динамика российской экономики// Теория представлений, динамические системы. XI. Специальный выпуск. Сборник работ под ред. А.М.Вершика. Записки научных семинаров ПОМИ, т. 312, С.-Петербург, 2004, с. 215238.

47. Матвеенко В., Вострокнутова Е., Буев М. Трансформационный спад и перспективы роста в России// Научные доклады, № 3. Российская программа экономических исследований. Фонд "Евразия". М., 1998, 62 с.

48. Матвеенко В.Д., Гуревич A.M. Модели эндогенного роста, их развитие и перспективы// Экономические исследования: теория и приложения, в. 1, СПб.: Европейский университет в С.-Петербурге, 2000, с. 260-295.

49. Матвеенко В.Д., Пашаев Р.Т, Рубинов A.M. Выпуклый анализ на плоскости, Баку: Элм, 1994, 140 с.

50. Матвеенко В.Д., Рубинов A.M. Об эндогенном определении критерия оптимальности в динамических народнохозяйственных моделях// Моделирование оптимизации управления производственными системами. Л.: ЛИЭИ, 1988, с. 9-17.

51. Матвеенко В.Д., Савельев ПА. Влияние сторонних возможностей занятых на предложение труда в России// Экономические исследования: теория и приложения, в. 2. СПб.: Европейский университет в С.-Петербурге, 2002, с. 193-228.

52. Оптимальное управление в агрегированных моделях экономики / А.М.Рубинов, В.Н.Десницкая, К.Ю.Борисов, В.Д.Матвеенко. Л.: Наука, 1991,272 с.

53. Matveenko V. Development with positive externalities: the case of the Russian economy// Journal of Policy Modeling, 1995, v. 17, No 3, pp.207-221.

54. Matveenko V. Eigenvectors in systems with operations max and ®// 4-я Московская международная конференция по исследованию операций (0РМ2004). Труды. Отв. ред. П.С.Краснощеков, А.А.Васин. М.: МАКС Пресс, 2004, с. 148-150.

55. Matveenko V.D., Saveliev P.A. Labor supply in the state sector of the Russian economy// ASPE Research Paper Series/Серия научных докладов ASPE, № 5, Ассоциация исследователей экономики общественного сектора ASPE, 2001,42 с.

Формат 60x90. Бумага офсетная. 2 печ.л. Отпечатано на ризографе Тираж 100 экз.

»23 0 76

Диссертация: содержание автор диссертационного исследования: доктора физико-математических наук, Матвеенко, Владимир Дмитриевич

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. Модели экономической динамики

1. Основные понятия.

2. Модель фон Неймана - Гейла.

3. Модели со строгим состоянием равновесия.

ГЛАВА 2. Структура оптимальных траекторий в моделях с конечным числом состояний

4. Модель с конечным числом состояний без дисконтирования схема динамического программирования).

5. Модель фон Неймана, соответствующая схеме динамического программирования.

6. Структура бесконечных оптимальных траекторий в модели с конечным числом состояний с дисконтированием.

7. Структура Г-шаговых оптимальных траекторий в модели с конечным числом состояний с дисконтированием.

ГЛАВА 3. Структура оптимальных траекторий в моделях неймановского типа

8. Эффективные траектории как ранние магистрали.

9. Эффективный функционал и магистраль.

10. Второй эффективный функционал и структура оптимальных траекторий.

ГЛАВА 4. Структура оптимальных траекторий в малоразмерных моделях рамсеевского типа

11. Структура оптимальных траекторий и функции-значения в модели рамсеевского типа с дискретным временем.

12. Структура равновесных траекторий в модели эндогенного роста Лукаса.

Диссертация: введение по экономике, на тему "Структура оптимальных траекторий в моделях экономической динамики"

Математические модели экономической динамики представляют собой один из основных инструментов исследования, применяемых в современной экономической науке. Среди динамических моделей, разработанных для нужд экономики, особую роль играют два класса моделей, привлекшие наибольшее внимание исследователей: многосекторные модели неймановского типа и однопродуктовые модели рамсеевского типа. Такого рода модели были сформулированы и начали исследоваться еще в довоенные годы в работах Дж. Фон Неймана (von Neumann, 1937) и Ф.Рамсея (Ramsey, 1928), однако широкий интерес к ним экономистов и математиков возник в конце 1950-х - начале 60-х годов после появления компьютеров и разработки методов теории оптимального управления. Удачное обобщение модели фон Неймана было предложено Д.Гейлом (1959), а идеи модели Рамсея были непосредственно развиты Д.Кассом (Cass, 1965) и Т.Купмансом (Koopmans, 1965). В те же годы были предложены другие родственные модели: многосекторные модели Леонтьева (см. Leontief, 1961, 1966), однопродуктовые модели экономического роста с постоянной нормой накопления (Solow, 1956, 1957, Swan, 1956), модели с овеществленным научно-техническим прогрессом (Канторович, Горьков, 1959, Johansen, 1959, Solow 1960), модели эндогенного роста (Uzawa, 1961, Arrow, 1962). Эти исследования во многом определили магистральный путь развития динамических моделей экономики до конца XX столетия.

Сложность реальной экономической системы делает невозможным ее адекватное описание в рамках одной модели. С другой стороны, разнообразие предлагаемых моделей делает невозможным создание единой универсальной формальной теории, включающей все отдельные модели как частные случаи. Тем не менее, в ходе исследования отдельных моделей и их классов, различными авторами были разработаны подходы и методы, применимые ко многим моделям экономической динамики, показывающие сходство и родство различных моделей. В этом смысле, была создана теория математических моделей экономической динамики.

Формирование этой теории отражено в монографиях и учебниках В.Л.Макарова, А.М.Рубинова (1973), Ю.Н.Черемных (1975), И.А.Красса (1976), А.М.Рубинова (1980, 1983), С.А.Ашманова (1984), Н.П.Дементьева (1991), А.М.Рубинова, К.Ю.Борисова, В.Н.Десницкой, В.Д.Матвеенко (1991), М.И.Левина, В.Л.Макарова, А.М.Рубинова (1993), А.А.Петрова, И.Г.Поспелова, А.А.Шананина (1996), Р.Дорфмана, П.Самуэльсона, Р.Солоу (1958), Р.Аллена (1963), Д.Гейла (1963), Е.Бурмейстера, А.Добелля (Burmeister, Dobell, 1970), Р.Солоу (Solow, 1970), М.Моришимы (1972), К.Ланкастера (1972), А.Такаямы (Takayama, 1985, 1994), Т.Сарджента (1987), У.Брока, М.Маллиариса (Brock, Malliaris, 1989), Н.Стоки, Р.Лукаса (Stokey, Lucas, 1989), А.Диксита (Dixit, 1990), К.Азариадиса (Azariadis, ш

1993), Р.Барро, К.Сала-и-Мартина (Barro, Sala-i-Martin, 1995), Д.Ромера (Romer, 1996), С.Турновского (Tumovsky, 1997), Ф.Агиона, П.Ховитта (Aghion, Howitt, 1998), Ч.Джонса (Jones, 1998), Л.Люнквиста, Т.Сарджента (Ljungqvist, Sargent, 2000) и других авторов.

Как правило, изучение каждого класса математических моделей экономической ^ динамики проходит определенную последовательность этапов: а) нахождение и исследование стационарных (сбалансированных) траекторий, т.е. таких, на которых остаются постоянными те или иные экономические показатели (например, темпы роста продуктов); б) сравнение стационарных траекторий, выбор класса наилучших стационарных траекторий, в смысле того или иного определения(принципа, критерия) оптимальности; в) нахождение необходимых (или необходимых и достаточных) условий оптимальности (в смысле того или иного определения) нестационарной траектории при тех или иных краевых условиях; г) исследование асимптотического поведения оптимальных траекторий (с ♦ бесконечным горизонтом или с конечным горизонтом Г при Т —»со); д) качественное исследование отдельных нестационарных оптимальных траекторий (так называемый, анализ переходной динамики); е) качественное исследование всего множества оптимальных траекторий - с конечным и бесконечным горизонтами, при различных значениях параметров, относящихся к краевым условиям, величине горизонта, предпочтениям, технологиям и т.п.)

Последний из перечисленных этапов, по мнению автора, наиболее важный и интересный, вместе с тем, является и наиболее сложным. Такого рода исследование удается провести лишь частично и для весьма конкретных моделей или классов моделей.

Основной задачей, рассматриваемой в настоящей диссертации, является качественное исследование структуры оптимальных траекторий для ряда моделей экономической динамики, в частности, для модели с конечным числом состояний и для моделей неймановского и рамсеевского типа.

Большинство работ, относящихся к математическим моделям экономической динамики, посвящены построению и исследованию оптимальных, в том или ином смысле, Г-шаговых траекторий с фиксированным начальным состоянием л-„. В качестве оптимизационных задач часто рассматривают типичные для теории оптимального управления задачи о максимуме терминального целевого функционала у/ в момент Т и о максимуме интегрального функционала ф на временном отрезке [О, Г]. Типичным для моделей рамсеевского типа является целевой функционал т-\ 1=0 где г = {х, },г=0 - Г-шаговая траектория, ¡3 е (0,1) - субъективный коэффициент дисконтирования, и — функция полезности, относящаяся к переходу из состояния х, в состояние х,+1. Поскольку горизонт Т и целевые функционалы ц/, ср выбираются, вообще говоря, произвольно, большое значение имеют результаты о независимости поведения оптимальных траекторий от величины горизонта и от вида целевого функционала.

В 1958 г. Дорфман, Самуэльсон и Солоу (Оогйпап а1., 1958) высказали гипотезу о наличии в моделях экономической динамики магистралей — особых множеств состояний, на которых (или вблизи которых) проводит большую часть времени Г-шаговая оптимальная траектория, если горизонт Т достаточно велик. Эти авторы предложили удачную аналогию магистрали со скоростной дорогой: водители автомашин при длительных поездках выводят машину на скоростную дорогу (магистраль), движутся по магистрали, а затем в какой-то момент покидают ее. Наличие магистралей позволяло экономистам сделать важные выводы об общих «магистральных путях» развития тех или иных стран и регионов (так называемых, клубов) и о существовании определенных оптимальных пропорций, на которые следует ориентироваться в долгосрочном планировании и прогнозировании. Подтверждению указанной гипотезы послужили теоремы о магистрали, доказанные в 1961 г. Р.Раднером и М.Моришимой для модели фон Неймана и в 1964 г. Х.Никайдо для модели фон Неймана - Гейла. В дальнейшем магистральной теории была посвящена обширная научная литература (см. обзоры McKenzie, 1976, 1986, 1998, Рубинов, 1982).

В книге Дорфмана, Самуэльсон и Солоу впервые приведена фазовая ^ диаграмма для модели экономической динамики, изображающая семейство оптимальных траекторий с фиксированными начальным и конечным состояниями х0, хт (см. рис. 1). Здесь х - фазовая переменная, g — управляющая переменная. Заметим, что рисунок очень схематичен, он не может буквально относиться к модели с дискретным временем, которую рассматривали авторы, но имеет характер гипотезы, относящейся к значительно более широкому классу моделей. Авторы замечают важное свойство структуры траекторий: чем больше горизонт Г, тем большее время оптимальная траектория ab проводит в окрестности стационарного состояния Р. В современной терминологии, Р является средней магистралью. Фуруя и Инада (Furuya, Inada, 1962) сделали дальнейшее наблюдение: оптимальная траектория ab сходится к своей асимптоте, сегменту АРВ. Они заметили также, что ^ по сегменту АР проходит бесконечная оптимальная траектория, в современной

Рис. 1. Структура оптимальных траекторий в модели Дорфмана, Самуэльсона, Солоу. терминологии, ранняя магистраль, к которой сходятся конечные оптимальные траектории при Т —> со.

Естественным следующим шагом было бы исследование природы сегмента РВ. Самуэльсон (Samuelson, 1965), имея в виду модель рамсеевского типа с непрерывным временем, довольно туманно пишет, что РВ - это «рамсеевская траектория, которая отправилась из точки полного счастья (bliss)» (т.е. точки Р) в «незапамятные времена» и которая «не имеет простой экономической интерпретации». Еще одно наблюдение, которое делает Самуэльсон: по мере увеличения горизонта Г, начало а конечной оптимальной траектории приближается к точке А, а ее конец Ъ - к точке В.

До недавнего времени дальнейшие исследования, проясняющие структуру оптимальных траекторий на финальном участке, отсутствовали. В известном обзоре Мак-Кензи (McKenzie, 1976, см. также McKenzie, 1983, 1985, 1998, Рубинов, 1982) выделено три типа теорем о магистрали: о средней магистрали (близость достаточно длинных оптимальных траекторий к магистрали за исключением конечного числа периодов), о ранней магистрали (близость достаточно длинных конечных оптимальных траекторий на начальном участке к некоторой бесконечной траектории) и о поздней магистрали (сходимость бесконечных оптимальных траекторий к магистрали). В терминах рис. 1, такие теоремы описывают близость траекторий к сегменту АР и их поведение в окрестности точки Р. По сути, к изучению поздней магистрали можно отнести и многочисленные исследования, посвященные сходимости (конвергенции) экономических показателей стран и регионов (см., например, Baumol, 1986, Barro, Sala-i-Martin, 1995, Galor, 1996).

Очевидной лакуной в классификации Мак-Кензи и в многочисленных исследованиях, которые она отражает, является отсутствие результатов о поведении оптимальных траекторий на финальном участке. Мы называем такого рода результаты теоремами о финальной магистрали. «Финальные магистрали» наглядно видны на фазовых диаграммах, распространенных в экономико-математической и макроэкономической литературе последних десятилетий (например, Takayama, 1985,

Blanchard, Fisher, 1989, McCafferty, 1990, Tu, 1991, Chiang, 1992, Azariadis, 1993, Takayama, 1994, Barro, Sala-i-Martin, 1995), однако их природа не получила объяснения, до того, как теоремы о финальной магистрали были получены для модели фон Неймана - Гейла независимо В.З.Беленьким (Беленький, 1990) и автором (Матвеенко, 19886, 1989). Затем автором были получены теоремы о финальной магистрали для модели с конечным числом состояний без дисконтирования (Матвеенко, 1990), с дисконтированием (Матвеенко, 1998а) и для однопродуктовой модели рамсеевского типа (Матвеенко, 1999).

Основная линия диссертации - исследование структуры Г-шаговых оптимальных траекторий при достаточно больших значениях горизонта Т для моделей с конечным множеством состояний без дисконтирования и с дисконтированием (глава 2), моделей неймановского типа (глава 3) и однопродуктовых моделей рамсеевского типа (глава 4).

Как известно, в моделях рамсеевского типа, с бесконечными оптимальными траекториями тесно связана функция-значение, иногда называемая функцией Беллмана. Аналогом функции-значения в моделях неймановского типа является эффективный функционал (см. раздел 9). Для характеризации финальной магистрали в моделях рамсеевского типа автором введено понятие второй функции значения. Установлено, что финальная магистраль может быть построена пошагово с помощью второй функции-значения (разделы 7, 11). Аналогом второй функции-значения в моделях неймановского типа является второй эффективный функционал (раздел 10). Для ряда моделей получена теорема о представлении значения задачи с конечным горизонтом в виде суммы функции-значения и второй функции-значения (разделы 7,10,11).

При определенных предположениях, для рассматриваемых классов моделей выявлена следующая «трехчастная» структура Г-шаговых оптимальных траекторий. При достаточно большом горизонте, Г-шаговая оптимальная траектория с фиксированными концами состоит (или близка к траектории, состоящей) из трех последовательных участков: первый участок близок или совпадает с соответствующим участком бесконечной оптимальной траектории (ранней магистрали), которая зависит лишь от начального состояния (не зависит от конечного состояния и от величины горизонта); на втором участке траектория проходит по средней магистрали или вблизи нее; на третьем участке траектория, рассматриваемая в обратном времени, проходит по финальной магистрали или вблизи нее, финальная магистраль определяется только конечным состоянием. Начальный участок может быть построен пошагово с помощью функции-значения (или эффективного функционала), а финальный участок (в обратном времени) - с помощью второй функции-значения (или второго эффективного функционала).

В диссертации рассматривается также ряд других мало исследованных ранее вопросов, относящихся к качественному и количественному исследованию структуры оптимальных траекторий, среди них связь различных способов двойственной характеризации оптимальных траекторий (принцип максимума, динамическое программирование, теорема о характеристике), теоремы о ранней магистрали, уточнение теорем о средней магистрали, сравнение оптимальных траекторий для различных критериев оптимальности.

Также изучаются модели эндогенного роста (раздел 12 и приложение 2). Исследование такого рода моделей стало в последние десятилетия основным направлением в теории экономического роста.

Диссертация включает четыре главы и три приложения.