Управление портфелем опционов на основе многоэтапного стохастического программирования тема диссертации по экономике, полный текст автореферата

Автореферат диссертации по теме "Управление портфелем опционов на основе многоэтапного стохастического программирования"

На правах рукописи

Абрамов Анатолий Маркович

УПРАВЛЕНИЕ ПОРТФЕЛЕМ ОПЦИОНОВ НА ОСНОВЕ МНОГОЭТАПНОГО СТОХАСТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Специальность 08.00.13 -Математические и инструментальные методы экономики

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата экономических наук

2 2 НОЯ 2012

Москва - 2012

005055489

Работа выполнена в Московском финансово-промышленном университете

«Синергия»

Научный руководитель: доктор технических наук, доцент

Голембиовский Дмитрий Юрьевич

Официальные оппоненты: Мищенко Александр Владимирович

доктор экономических наук, профессор, профессор кафедры логистики Национального исследовательского университета «Высшая школа экономики»

Ивлиев Сергей Владимирович

кандидат экономических наук, доцент кафедры информационных систем и математических методов в экономике Пермского государственного национального исследовательского университета

Ведущая организация: Федеральное государственное образовательное

бюджетное учреждение высшего профессионального образования «Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации»

Защита состоится 12 декабря 2012 г. в 09 час. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 521.042.02 на базе Московского финансово-промышленного университета «Синергия» по адресу: 105318, г. Москва, ул. Измайловский Вал, д. 2, ауд. 511.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского финансово-промышленного университета «Синергия».

Автореферат разослан_ноября 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Е.В. Улитина

I. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Рынок производных финансовых инструментов, в том числе опционов, является важной частью рынка ценных бумаг. Первоначально предложенные с целью хеджирования, сегодня опционы также активно используются для спекуляций. Опционы позволяют использовать эффект финансового рычага, выстраивать гибкие торговые стратегии, соответствующие ожидаемой динамике цены и волатильности базового актива.

Теория ценообразования опционов хорошо известна благодаря формулам Блэка-Шоулса и их различным модификациям. Однако, существует относительно небольшое количество исследований, посвященных оптимальному управлению портфелем, содержащим опционные контракты. Задача хеджирования базового актива портфелем опционов является частной задачей управления портфелем опционов.

Модель управления портфелем опционов должна удовлетворять следующим общим требованиям:

- возможность выбора уровней риска и доходности инвестиций;

- учет возможности будущей перестройки портфеля;

- учет транзакционных издержек;

- учет наличия требования гарантийного обеспечения.

Классическая постановка задачи оптимизации портфеля в форме задачи Марковица нецелесообразна в виду нелинейной зависимости стоимости портфеля опционов от факторов, определяющих его цену, таких как цена и волатильность базового актива, безрисковая ставка процента, время до экспирации. Модель управления портфелем опционов в форме задачи многоэтапного стохастического программирования с вероятностными ограничениями, разработке которой посвящена диссертация, позволяет удовлетворить указанным требованиям.

Степень изученности темы исследования. Небольшое число работ посвящено проблеме оптимального управления портфелем производных финансовых инструментов, в частности портфелем опционов. Среди исследователей

данного направления можно выделить следующих зарубежных и отечественных специалистов: Merton R.C., Korn R., Korn E., Trautmann S., Carino D.R., Turner A.L., Голембиовский Д.Ю., Долматов A.C., Самоявчева M.B., Пузановский A.A. Однако в работах данных авторов не рассматривалась модель динамического управления портфелем опционов, учитывающая особенности реального биржевого рынка производных финансовых инструментов.

Целью исследования является разработка модели оптимального управления портфелем опционов, учитывающая особенности реального биржевого рынка. Для достижения указанной цели были поставлены следующие задачи:

1. Разработать модель биржевого рынка опционов, учитывающую его наиболее существенные особенности.

2. Построить динамическую модель оптимального управления портфелем опционов на основе многоэтапного стохастического программирования.

3. Создать дискретную модель изменения цены базового актива опционов.

4. Модифицировать разработанную модель управления портфелем опционов с целью обеспечения возможности динамического хеджирования базового актива портфелем опционов.

5. Провести имитационное моделирование процесса управления портфелем опционов на основе разработанной динамической модели с целью анализа ее эффективности.

Область исследования. Исследование проведено в соответствии с п. 1.6. Математический анализ и моделирование процессов в финансовом секторе экономики, развитие метода финансовой математики и актуарных расчетов Паспорта специальности 08.00.13 - Математические и инструментальные методы экономики.

Объект и предмет исследования. Объектом исследования является рынок опционов. Предметом исследования является процесс управления портфелем опционов с использованием математического аппарата многоэтапного стохастического программирования.

Методологическая основа исследования. Решение поставленных для достижения цели исследования задач потребовало использования специальных методов научного познания, таких как методы математического анализа, теории вероятностей, математической статистики, многоэтапного стохастического программирования, оптимизации, имитационного моделирования.

Научная новизна исследования. Разработана динамическая модель оптимального управления портфелем опционов на основе многоэтапного стохастического программирования с вероятностными ограничениями.

Основные научные результаты исследования. При решении поставленных задач получены следующие новые научные результаты:

1. Разработана модель безарбитражного биржевого рынка опционов, отражающая его наиболее существенные особенности: одновременное обращение опционов с различными сроками и ценами исполнения, наличие требования гарантийного обеспечения, необходимость несения комиссионных расходов.

2. Построена динамическая модель оптимального управления портфелем опционов на основе многоэтапного стохастического программирования с вероятностными ограничениями. Модель учитывает наличие транзакционных издержек и требование гарантийного обеспечения. Управление портфелем опционов сведено к решению задачи целочисленного линейного программирования. Модель позволяет формировать портфель опционов, обеспечивающий получение заданной доходности с максимально возможной вероятностью.

3. Создана дискретная модель изменения цены базового актива опционов -дерево сценариев. Модель используется для постановки и решения задачи оптимального управления портфелем опционов. Дерево сценариев основано на аппроксимации непрерывного распределения вероятностей изменения цены базового актива. Модель учитывает нелинейную зависимость стоимости портфеля опционов от цены базового актива и исключает возможность совершения арбитража.

4. Модифицирована разработанная динамическая модель управления портфелем опционов на основе многоэтапного стохастического программирования с целью обеспечения возможности хеджирования базового актива портфелем опционов. Для обеспечения указанной возможности в модель управления портфелем опционов введена стоимость позиции по базовому активу.

5. Результатами проведенного имитационного моделирования подтверждено преимущество разработанной модели динамического управления портфелем опционов над статической моделью. Динамическая модель обеспечивает получение требуемой доходности с более высокой вероятностью. Для динамической модели отклонение фактической частоты получения требуемой доходности от ожидаемой меньше по сравнению со статической моделью. Обоснованность результатов исследования, выносимых на защиту,

подтверждается применением известных теорий и методов, верификацией разработанных моделей средствами имитационного моделирования. Достоверность результатов проведенных экспериментов обеспечена применением известных алгоритмов генерации случайных процессов.

Теоретическая значимость исследования. Разработанная модель управления портфелем опционов является развитием теории оптимального управления портфелем ценных бумаг и создает основу для разработки теории управления портфелем опционов в условиях реального биржевого рынка.

Практическая значимость исследования. Модель управления портфелем опционов позволяет инвесторам решать задачу хеджирования базового актива в условиях наличия транзакционных издержек и требования гарантийного обеспечения.

Апробация результатов исследования. Основные результаты исследования прошли апробацию в научном сообществе в рамках Международных научных конгрессов «Роль бизнеса в трансформации российского общества» (МФПА, 2009, 2011, 2012), XII International Conference on Stochastic Programming (Halifax, Nova Scotia, Canada, 2010).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 печатных работ общим объемом 4,75 п.л. (авторский объем 4,13 п.л.). В том числе 3 работы общим объемом 3,63 п.л. (авторский объем 3,01 п.л.) опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка из 107 источников информации. Объем диссертации составляет 108 страниц. Диссертация содержит 21 рисунок и 11 таблиц. Структура диссертации обусловлена целью, задачами и логикой исследования: Введение

Глава 1. Опционные контракты. Рынок опционов

1.1. Спецификация и ценообразование опционов

1.2. Древовидные модели ценообразования опционов

1.3. Модель рынка опционов

Глава 2. Многоэтапное стохастическое программирование в модели управления портфелем опционов

2.1. Модели многоэтапного стохастического программирования

2.2. Модель управления портфелем опционов

2.3. Дерево сценариев в модели управления портфелем опционов

Глава 3. Имитационное моделирование процесса управления портфелем опционов

3.1. Динамическое управление портфелем опционов

3.2. Статическое управление портфелем опционов

3.3. Динамическое хеджирование базового актива опционами Заключение

Список источников информации

П. ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

1. Модель безарбитражного биржевого рынка опционов. В диссертации рассматривается гипотетический риск-нейтральный рынок, на котором отсутствуют арбитражные возможности. На рынке обращаются европейские опционы разных сроков экспирации и разных страйков на один вид базового актива. Возможность торговли базовым активом отсутствует. При покупке или продаже опциона уплачивается комиссия с.

Процесс изменения цены базового актива S следует геометрическому броуновскому движению с ожидаемой доходностью ц, равной безрисковой процентной ставке г, и постоянной волатильностью <7. Это предположение приводит к выводу о логнормальном распределении цены базового актива. Рыночные цены опционов на предложенном рынке определяются по формулам Блэка-Шоулса для бездивидендных акций.

Важной частью модели биржевого рынка опционов является наличие требования гарантийного обеспечения портфеля опционов. Величину гарантийного обеспечения на модельном рынке предлагается определять в соответствие с первым шагом методики SPAN1. SPAN, получившая широкое распространение в биржевой индустрии, является неофициальным стандартом для определения величины требуемого гарантийного обеспечения позиций по производным финансовым инструментам.

В соответствие с первым шагом данной методики, рассматриваются различные сценарии изменения цены и волатильности базового актива. На основании сценария, дающего максимальный убыток, для портфеля определяется величина требуемого гарантийного обеспечения. Когда стоимость портфеля становится меньше требуемого гарантийного обеспечения, биржа выставляет инвестору требование о внесение дополнительных денежных средств. Данная ситуация носит название маржин-колл.

1 Standard Portfolio Analysis of Risk - SPAN.

2. Динамическая модель оптимального управления портфелем опционов на основе многоэтапного стохастического программирования с вероятностными ограничениями. Ожидаемая доходность любого портфеля опционов на риск-нейтральном рынке соответствует безрисковой ставке процента. Получить ожидаемую доходность выше безрисковой ставки можно только с вероятностью меньше единицы. Введем следующие обозначения для построения модели:

{l,..., Г} - множество рассматриваемых на инвестиционном периоде моментов времени, t = Т - терминальный момент времени, соответствующий инвестиционному горизонту.

г = 1,..., Т - номер этапа принятия решения. Этап Т = 1 соответствует начальному

моменту времени f = l. Этап Г = Т соответствует терминальному моменту времени

t=T. Каждый элемент множества этапов {l, ...,Т} соответствует одному из

элементов множества моментов времени {l,..., Г}.

V = 1,..., N - номер сценария изменения цены базового актива.

pv: v = 1,..., N - вероятность реализации соответствующего сценария.

Мт - множество месяцев экспирации опционов, обращающихся на рынке на

этапе т.

Мт с Мт - множество месяцев экспирации опционов, момент экспирации которых соответствует этапу т. На предложенном модельном рынке данное множество либо пусто, либо содержит единственный элемент. m е Мт - индекс месяца экспирации опциона.

Н™ - множество страйков опционов, экспирирующихся в месяце m на этапе г при осуществлении сценария v. h 6 Н - индекс страйка опциона.

I = {call, put] - множество типов опционов, где "call" и "put" означает соответственно опционы колл и пут. i е / - индекс типа опциона.

w™h - цена опциона на этапе г при осуществлении сценария v, рассчитанная по формуле Блэка-Шоулса.

л£\ у™": т = 1,...,Т, г = 1,..., N, те {МГ\МТ), he Нiel - число соответствующих опционов, рекомендуемых соответственно к покупке и к продаже на этапе т при осуществлении сценария v. На этапе г для торговли доступны все обращающиеся на рынке опционы, за исключением экспирирующихся на данном этапе. Переменные определены на множестве неотрицательных действительных чисел.

г™л: т = 1,..., Т, v = l,..., N, meMT, he Нiel — число соответствующих опционов в портфеле до его перестройки на этапе г при осуществлении сценария v. Значение z"!h положительно, если позиция длинная, и отрицательно, если позиция короткая. В начальный момент времени переменная z™h равна заданному числу соответствующих опционов Zo'h. фактически находящихся в портфеле. А„,: г = 1,..., Т, к = 1,..., N - остаток счета до перестройки портфеля на этапе г при осуществлении сценария V. В начальный момент времени остаток счета \v равен заданному фактическому остатку счета Д,.

L^: г = 1,..., Т, v = 1,..., N - ликвидационная стоимость портфеля на этапе Т при осуществлении сценария v. Если ликвидационная стоимость положительна, то для закрытия позиции необходимы денежные средства в объеме Если

ликвидационная стоимость отрицательна, то в результате закрытия позиции могут быть получены денежные средства в объеме —Ljy.

Для формулировки ограничений незнания будущего2 требуется ввести следующие обозначения:

Пг, r = 1,..., Т-1 - количество непересекающихся множеств £/ст, таких, что каждое множество Um есть максимальное подмножество множества сценариев {l,..., N}, элементы которого являются сценариями, совпадающими до этапа т включительно.

2 Англ. anticipative constraints. Anticipation в переводе с англ. означает ожидание, предчувствие, упреждение.

Очевидно, что в начальный момент времени число П, равно единице, а множество ии содержит все рассматриваемые сценарии.

Сформулируем теперь ограничения задачи оптимизации портфеля опционов. Неотрицательность переменных:

х^>0,уС>0, (1)

7 = 1,...,Т, у = 1,...,1Ч, те /геЯ™, ге/.

Ограничения незнания будущего:

тй __тш'А _ 'п[>!

ХГУ, - ХП>2 ' Ущ - Уту2 '

7 = 1,...,Т-1, ж = 1,...,Пт, уг,у2еи„, т е М}МТ, /геЯ™, ге/. Количество опционов в портфеле в начальный момент времени:

г™" =г0т,'\ 7 = 1, у = теМг, /геЯ™, ге/. (3)

Количество опционов в портфеле до перестройки на этапе г при осуществлении сценария V из числа доступных для торговли на предыдущем этапе:

тгЬ _ тИг , >тк _ тгИ / л л

¿"СУ — у + хт-1у Ут- > V4.'

7 = 2,...,Т, у = те(мД)пМм, /¡еЯ™, ге/.

Количество опционов в портфеле до перестройки на этапе г при осуществлении сценария V из числа введенных в обращение на данном этапе:

г£*=0, (5)

7 = 2, ...,Т, У = те (МТШТ)\МГ^, 1ге Я™ , ге/.

Комиссия за перестройку портфеля:

0„=с икЧ1д = 1.....(6)

"ЕМЖ/еД^Е/

Стоимость перестройки портфеля:

I (7)

7 = 1,...,Т, Г = 1,...,Ы.

Ликвидационная стоимость портфеля до перестройки:

Цу=- I S 5>#*г£\т = 1,...,Т, v = l,...,N. (8)

тєМг/єн™. ІЄ/

Остаток счета до перестройки портфеля в начальный момент времени:

Л^Ло, г = 1, v = l,...,N. (9)

Остаток счета до перестройки портфеля:

Arv = AT_ly-Zr_lx, г = 2,..., Т, v = l,...,N. (10)

Остаток счета после перестройки портфеля не должен быть отрицательным:

Aty>Z„, г = 1,...,Т, v = l,...,N. (11)

Оценка стоимости портфеля после перестройки составляет:

W„ = An,-LTV-C„, r = l,...,T, v = l,..., N. (12)

Пусть — потери по соответствующему опциону, определяемые на основе сценария SPAN с номером к, к = 1,..., 16, где 16 — количество сценариев SPAN. Начальная маржа по SPAN определяется переменной :

Ц„> 2 + (13)

msМr\Мт ЬєНІЦ 'Є/

г = 2, ...,Т, v = l,..., N, fc = l,...,16. Из данного ограничения следует, что значение параметра не может быть меньше максимального из возможных для сценариев SPAN убытка, называемого сканируемым риском. Если ограничение (формула 13) выполняется как равенство, то в точности равно сканируемому риску SPAN.

Для удержания позиции стоимость портфеля после его перестройки должна быть не меньше требуемой начальной маржи. Для обеспечения этого требования вводится бюджетное ограничение:

W^Ptb, г = 1,...,Т, v = l,...,N, (14)

где Р — коэффициент запаса начальной маржи для снижения вероятности ситуаций маржин-колл. Требования биржи соответствуют /? = 1.

Стоимость портфеля на последнем этапе, соответствующем инвестиционному горизонту, должна быть не меньше заданной величины, определяющей доходность

инвестиций. Ожидаемая доходность любого портфеля опционов на риск-нейтральном рынке соответствует безрисковой ставке процента. Получить ожидаемую доходность выше безрисковой ставки можно только с вероятностью меньше единицы. Будем называть сценарий V активным, если соответствующая булева переменная av= О и неактивным если av— 1. Введем следующее ограничение, называемое вероятностным ограничением:

Wlv>u, V v = l,...,N: ¿v=0, (15)

где и - минимальная требуемая инвестором стоимость портфеля в терминальный момент времени для активных сценариев.

Критерий оптимизации портфеля:

N

min ZavPv • (16)

Данный критерий позволяет минимизировать сумму вероятностей неактивных сценариев, то есть сценариев, в которых стоимость портфеля WTv может быть меньше величины и, определяющей доходность инвестиций. Далее будем говорить, что, используя критерий оптимизации (формула 16), инвестор стремится минимизировать риск портфеля.

3. Дискретная модель изменения цены базового актива опционов - дерево сценариев. В предложенной модели управление портфелем осуществляется с учетом возможности в будущем перестраивать портфель. Предполагается существование ограниченного числа N различных сценариев изменения цены базового актива. Каждый сценарий v = l,..., N имеет вероятность реализации pv,

ZN 1

Сценарии удобно представлять в виде дерева сценариев. Первый этап дерева соответствует начальному моменту времени с известной ценой базового актива. На остальных этапах, соответствующих будущим моментам времени, цена заранее не известна и может принимать различные значения.

Необходимо предложить модель аппроксимации непрерывного распределения вероятностей дискретным распределением, исключающую возможность реально

несуществующего арбитража при оптимизации портфеля опционов. Узел дерева на этапе г = 1,..., Т с номером п = 1,..., Nт будем обозначать с помощью круглых скобок (% я), где Т - последний этап дерева, Nr - количество узлов на этапе т. Узел (1,1) является корневым. Вероятность того, что цена базового актива в будущем будет точно совпадать с ценой в одном из узлов дерева на соответствующем этапе, равна нулю. Вследствие этого реальные характеристики портфеля при управлении будут отличаться от планируемых.

В момент экспирации выплата по опциону имеет кусочно-линейную зависимость от стоимости базового актива, поэтому и стоимость портфеля опционов одного срока имеет кусочно-линейную зависимость от стоимости базового актива. Следовательно, экстремумы стоимости портфеля находятся в точках страйков. Поэтому целесообразно, чтобы узлы этапов дерева, соответствующих моментам экспирации опционов, представляли все страйки опционов, доступных для торговли или находящихся в портфеле.

В моменты до экспирации стоимость портфеля опционов имеет нелинейную зависимость от стоимости базового актива. Минимумы стоимости портфеля в моменты времени, предшествующие экспирации, могут быть смещены относительно точек страйков. Поэтому, необходимо не только представлять на дереве узлы, соответствующие страйкам опционов, но и обеспечивать достаточно близкие значения цены базового актива в соседних узлах-последователях одного предка.

Обозначим разность между значениями цены базового актива в таких узлах через . В общем случае данный параметр может быть разным для разных этапов дерева и даже для разных узлов. Далее будем называть данный параметр шагом сетки дерева.

Множество последователей каждого узла должно достаточно точно аппроксимировать непрерывное распределение вероятностей на соответствующем горизонте времени. Пусть - количество последователей узла (т, п). Первый

последователь соответствует максимально возможному росту цены базового актива.

Соответственно, последователь с номером /•(,.„) соответствует максимально

возможному снижению цены базового актива.

Вероятность перехода из узла (г; п) в его і -й узел-последователь на следующем этапе, і = 1,..., , определяется по формулам:

Р'м = ф рЬп)=1~ф

( \ / \

1 ^г) К 2 }

, если |=2,...,(К1л)-1),

V 2 /

, если і = 1,

¿V ,если І =

V 2

(17)

(18) (19)

где ф(л) - интегральная фикция нормального распределения с параметрами

х гг и сГд/Т^, где !т - время от этапа г до этапа т +1. Значение х'

определяется по формуле:

5

" 2 131

(20)

(г. л)

где 5(1п) - цена базового актива в узле (т, и), а - цена базового актива в 1-м узле-последователе узла (% п).

Каждому узлу назначается такое количество последователей, что, с учетом Ag, логарифмы отношения цен в первом и последнем узлах-последователях к цене в

данном узле покрывают интервал

<7=

х{т±да^Гт, где д - параметр,

определяющий ширину интервала. Таким образом, количество последователей узла (■г; л) есть функция ^„Д^,„),//, сг, Гг, <7, зависящая от шести параметров: цены

базового актива £(,.„), ожидаемой доходности ¡1, волатильности а, времени до

следующего этапа гг, параметра д и шага сетки ^.

Множество этапов дерева должно включать этапы, соответствующие моментам экспирации опционов. Последний этап дерева должен соответствовать инвестиционному горизонту. Так как на реальном рынке инвестор имеет возможность перестраивать портфель ежедневно, целесообразно иметь на дереве этапы, соответствующие каждому дню инвестиционного периода. Однако в этом случае количество сценариев может стать настолько большим, что задача оптимизации портфеля опционов окажется неразрешимой за приемлемое время с помощью современной вычислительной техники. Это приводит к необходимости выбора максимально возможного числа этапов, обеспечивающего решение задачи формирования портфеля за приемлемое время.

4. Модификация модели управления портфелем опционов для решения задачи хеджирования базового актива. Модель управления портфелем опционов определяется ограничениями (формула 1) - (формула 15) и критерием оптимизации (формула 16). В задаче хеджирования базового актива уравнение (формула 12), определяющее стоимость портфеля после перестройки, примет вид:

ТУ„ = Агу-Ьпг-С„+п5„г г = 1,...,Т, У = (21)

где п — количество единиц хеджируемого базового актива в портфеле, Б„ - цена базового на этапе г при осуществлении сценария V. Позиция по базовому активу не является необеспеченной и поэтому не участвует в расчете величины требуемого гарантийного обеспечения.

На практике при хеджировании базового актива инвесторы стремятся оградиться от сильного снижения его цены и, в то же время, не хотят упустить возможный сильный рост базового актива. С целью учета данного требования в модель оптимизации портфеля опционов были введены следующие ограничения.

Для того, чтобы стоимость портфеля опционов не убывала при снижении цены базового актива на интервале от самого нижнего страйка, представленного в портфеле, до нуля, сумма числа проданных опционов пут и количества единиц базового актива должна быть не более количества купленных опционов пут:

I _ I г;? + ЛГ™" - у™" -П> 0,7 =рм", г = 2,..., Т, V = 1,..., N. (22)

теМт\МгИеН£

Для того, чтобы стоимость портфеля опционов не убывала при росте цены базового актива на интервале от самого верхнего страйка, представленного в портфеле, до бесконечности, количество проданных опционов колл должно быть не более суммы числа купленных опционов колл и количества единиц базового актива: I _ I + Х^ - у+ п>0, г ="«г/Г, г = 2,...,Т, к = 1,...,N. (23)

5. Результаты имитационного моделирования динамической и статической моделей управления портфелем опционов. Проведено имитационное моделирование управления портфелем опционов в соответствии с предложенной моделью. Для простоты анализа рассматривалось обращение на рынке опционов только одного срока экспирации. Для моделирования были использованы входные данные, приведенные в таблице 1.

Таблица 1 - Входные данные для моделирования процесса управления портфелем опционов

Название Значение

Волатильность базового актива, <7 0,10

Безрисковая ставка, г 0,00

Ожидаемая доходность, // 0,00

Крайние страйки опционов обращающихся на рынке $88; $112

Расстояние между соседними страйками, А/г $2,00

Цена базового актива в первый день, ^ $100,00

Остаток счета в первый день, $100,00

Комиссия бирже за покупку/продажу одного контракта, с $0,001

Коэффициент запаса маржи, ¡5 5

Требуемая минимальная стоимость портфеля, и $100,50

Шаг сетки дерева, Ag $0,25

Параметр д 2,326

Был выбран инвестиционный период с 8-го по 21-й день одного месяца. Такой период позволил провести достаточное количество экспериментов за приемлемое время. По плану инвестора портфель должен был перестраиваться в 8-й и 15-й дни. Вследствие того, что в один из дней портфель мог перестать удовлетворять залоговым ограничениям биржи, были возможны внеплановые перестройки. В 21-й день закрывалась позиция по экспирирующимся опционам.

Дерево сценариев строилось по правилам, описанным ниже. В дни с 8-го по 14-й дерево содержит 3 этапа. Этапы соответствуют текущему дню, 15-му и 21-му дням текущего месяца. В разные дни на дереве представлено разное количество сценариев вследствие разной длительности времени между этапами. Например, в 8-й день на дереве представлено 1015 сценариев. В дни с 15-го по 20-й дерево содержит 2 этапа, соответствующие текущему дню и 21-му дням. В 15-й день на дереве представлен 31 сценарий.

Программа, позволяющая моделировать управление портфелем опционов, была разработана в среде разработки «MATLAB 7.9». Задача (формула 1) -(формула 16) формулировалась и решалась в среде «IBM ILOG CPLEX Optimization Studio VI 2.2». Была обеспечена автоматическая интеграция двух приложений с использованием консольной версии «IBM ILOG CPLEX Optimization Studio». В качестве буфера для обмена данными между приложениями использовалась база данных «Microsoft ACCESS». Моделирование проводилось на персональном компьютере с процессором Intel Pentium Dual-Core 2.20 GHz и объемом оперативной памяти 4Гб.

В 8-й день моделирования, когда дерево включало максимальное число сценариев, задача оптимизации имела 37106 переменных, в том числе 1015 булевых переменных и 54514 ограничений.

Моделирование динамического управления портфелем опционов с 8-го по 21-й день одного месяца было проведено 300 раз. Общее время моделирования составило =48 ч. Входные данные из таблицы 1 были одинаковыми для всех экспериментов.

Для сравнения моделировалось статическое управление портфелем опционов. На модельном рынке, как и при моделировании динамического управления, обращались опционы только одного срока экспирации. Были использованы те же входные данные, что и при моделировании динамического управления, приведенные в таблице 1. Инвестиционный период, как и при моделировании динамического управления, был определен с 8-го по 21-й день одного месяца. Портфель опционов формировался в первый день моделирования на основе

статической модели - двухэтапного дерева сценариев и по плану инвестора не должен был перестраиваться. Однако, как и при динамическом управлении, вследствие того, что в один из дней портфель мог перестать удовлетворять залоговым ограничениям биржи, были возможны внеплановые перестройки. На дереве сценариев в 8-й день было представлено 44 сценария.

В таблице 2 приведены сравнительные характеристики результатов имитационного моделирования динамического и статического управления портфелем опционов. Из таблицы 2 видно, что средняя стоимость портфеля в терминальный момент времени для обеих моделей близка к начальной стоимости и несколько ниже ее вследствие наличия комиссии, уплачиваемой при совершении каждой сделки. Данный результат подтверждает тот факт, что ожидаемая доходность любого портфеля на риск-нейтральном рынке опционов соответствует безрисковой ставке процента.

Таблица 2 - Сводная таблица результатов имитационного моделирования динамического и статического управления портфелем опционов

Показатель Динамическое управление Статическое управление

Количество экспериментов 300 300

Средняя стоимость портфеля в терминальный момент времени $99,49 $98,93

Количество экспериментов в которых стоимость портфеля в терминальный момент времени ниже требуемой И 16

Количество ситуаций маржин-колл 2 7

Ожидаемый риск портфеля 2,76% 3,26%

Наблюдаемый риск портфеля 3,67% 5,33%

Абсолютное отклонение наблюдаемого риска портфеля от ожидаемого 0,90% 2,07%

Динамическое управление портфелем предпочтительнее статического управления с точки зрения ожидаемого риска. Так из таблицы 2 видно, что в первый день моделирования ожидаемый риск для динамической модели равнялся 2,76%, а для статической 3,26%.

Наличие на рынке требования гарантийного обеспечения может приводить к необходимости внепланового перестроения портфеля. В этом случае наблюдаемый результат может отличаться от ожидаемого. Также отклонение может возникать вследствие недостаточно точной аппроксимации непрерывного распределения вероятностей цены базового актива деревом сценариев. Из таблицы 2 видно, что наблюдаемый риск портфеля для динамической модели составил 3,67%, а для статической 5,33%. При этом отклонение наблюдаемого риска от ожидаемого для динамической модели составило 0,90%. а для статической 2,07%. Из таблицы 2 также можно сделать вывод, что причиной более значительного расхождения служит большее количество возникших ситуаций маржин-колл: 2 для динамической и 7 для статической модели.

Таким образом, можно сделать вывод о значимом преимуществе динамического управления портфелем опционов над статическим управлением в условиях наличия на рынке требования гарантийного обеспечения.

Проведено имитационное моделирование динамического хеджирования базового актива опционами. Результаты моделирования показали, что в 51 из 300 экспериментов стоимость портфеля в терминальный момент времени была ниже

требуемой, то есть наблюдаемый уровень риска портфеля составил = 17%. При

этом уровень риска портфеля на горизонте инвестирования, определяемый критерием задачи оптимизации при ее решении в 8-й день, составил 13,56%. Полученные результаты свидетельствуют о привлекательности разработанной стратегии хеджирования актива в ситуации надвигающегося кризиса для определенной части инвесторов.

III. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Целью проведенного исследования являлась разработка модели оптимального управления портфелем опционов, учитывающей особенности реального биржевого рынка. Для достижения указанной цели был поставлен и решен ряд задач.

Разработана модель биржевого рынка опционов, отражающая его наиболее существенные особенности. Важной частью модели биржевого рынка опционов является наличие требования гарантийного обеспечения портфеля опционов. Величина гарантийного обеспечения определяется в соответствие с первым шагом методики SPAN.

Построена динамическая модель оптимального управления портфелем опционов на основе многоэтапного стохастического программирования с вероятностными ограничениями. Задача управления портфелем опционов на основе многоэтапного стохастического программирования сведена к задаче целочисленного линейного программирования.

Создана дискретная модель изменения цены базового актива опционов, лежащая в основе модели управления портфелем опционов — дерево сценариев. Дерево сценариев является аппроксимацией непрерывной модели изменения цены базового актива. Предложено трехэтапное дерево сценариев, на основе которого формулируется задача оптимизации портфеля опционов приемлемой для практического применения размерности.

Разработанная модификация модели управления портфелем опционов обеспечивает возможность динамического хеджирования базового актива портфелем опционов и получения в период кризиса доходности выше безрисковой с высокой вероятностью.

Проведено имитационное моделирование управления портфелем опционов на основе динамической модели и на основе статической модели. Сопоставление результатов показало преимущество динамической модели с точки зрения ожидаемого риска портфеля. Вследствие меньшего количества возникших ситуаций маржин-колл отклонение наблюдаемого риска от ожидаемого для динамической модели заметно ниже аналогичного показателя для статической модели. Таким образом, управление портфелем опционов на основе разработанной в диссертации динамической модели имеет преимущество над статическим управлением портфелем опционов. Данное преимущество особенно значимо в условиях наличия на рынке требования гарантийного обеспечения. Также было проведено

имитационное моделирование динамического хеджирования базового актива портфелем опционов, подтвердившее целесообразность использования предложенной модели.

Таким образом, достигнута цель исследования - разработана динамическая модель управления портфелем опционов. Доказано ее преимущество над статическим подходом к управлению портфелем опционов.

IV. ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Публикации в журналах и изданиях, рекомендованных ВАК:

1. Абрамов A.M. Модель управления портфелем опционов / Д.Ю. Голембиовский, A.M. Абрамов // Управление риском. - 2011. - № 4. -1,25 п.л. (авт. - 0,63 пл.).

2. Абрамов A.M. Динамическая оптимизация портфеля опционов на основе полиномиального дерева сценариев // Проблемы анализа риска. - 2012. — №1.-1,50 п.л.

3. Абрамов A.M. Динамическое хеджирование базового актива портфелем опционов // Управление риском. - 2012. - № 2. - 0,88 п.л.

Публикации в других журналах и изданиях:

4. Абрамов A.M. Построение биномиального рекомбинирующего дерева с переменным шагом // Сборник тезисов докладов Четвертого Международного научного конгресса «Роль бизнеса в трансформации российского общества -2009». - М.: Global Conference, 2009. - 0,31 п.л.

5. Абрамов A.M. Биномиальные рекомбинирующие деревья с переменным шагом для расчета опционов // Управление в кредитной организации. - 2010. -№ 1. - 0,69 п.л.

6. Абрамов A.M. Автоматизация процесса управления портфелем производных финансовых инструментов // Сборник тезисов докладов Пятого Международного научного конгресса «Роль бизнеса в трансформации российского общества - 2010». - М.: Global Conference, 2010. - 0,12 пл.

Подписано в печать 10.11.2012 г.

Усл.п.л. -1.0 Заказ №11407 Тираж: 100 экз.

Копицентр «ЧЕРТЕЖ.ру» ИНН 7701723201 107023, Москва, ул. Б.Семеновская 11, стр.12 (495) 542-7389 www.chertez.ru

Диссертация: содержание автор диссертационного исследования: кандидата экономических наук, Абрамов, Анатолий Маркович

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ОПЦИОННЫЕ КОНТРАКТЫ. РЫНОК ОПЦИОНОВ.

1.1. Спецификация и ценообразование опционов.

1.2. Древовидные модели ценообразования опционов.

1.3. Модель рынка опционов.

ГЛАВА 2. МНОГОЭТАПНОЕ СТОХАСТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ В МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ

ПОРТФЕЛЕМ ОПЦИОНОВ.

2.1. Модели многоэтапного стохастического программирования

2.2. Модель управления портфелем опционов.

2.3. Дерево сценариев в модели управления портфелем опционов

ГЛАВА 3. ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА УПРАВЛЕНИЯ ПОРТФЕЛЕМ ОПЦИОНОВ.

3.1. Динамическое управление портфелем опционов.

3.2. Статическое управление портфелем опционов.

3.3. Динамическое хеджирование базового актива опционами.

Диссертация: введение по экономике, на тему "Управление портфелем опционов на основе многоэтапного стохастического программирования"

Актуальность темы исследования. Рынок производных финансовых инструментов, в том числе опционов, является важной частью рынка ценных бумаг. Первоначально предложенные с целью хеджирования, сегодня опционы также активно используются для спекуляций. Опционы позволяют использовать эффект финансового рычага, выстраивать гибкие торговые стратегии, соответствующие ожидаемой динамике цены и волатильности базового актива.

Теория ценообразования опционов хорошо известна благодаря формулам Блэка-Шоулса и их различным модификациям. Однако, существует относительно небольшое количество исследований, посвященных оптимальному управлению портфелем, содержащим опционные контракты. Задача хеджирования базового актива портфелем опционов является частной задачей управления портфелем опционов.

Модель управления портфелем опционов должна удовлетворять следующим общим требованиям:

- возможность выбора уровней риска и доходности инвестиций;

- учет возможности будущей перестройки портфеля;

- учет транзакционных издержек;

- учет наличия требования гарантийного обеспечения.

Классическая постановка задачи оптимизации портфеля в форме задачи

Марковича нецелесообразна в виду нелинейной зависимости стоимости портфеля опционов от факторов, определяющих его цену, таких как цена и волатильность базового актива, безрисковая ставка процента, время до экспирации. Модель управления портфелем опционов в форме задачи многоэтапного стохастического программирования с вероятностными ограничениями, разработке которой посвящена диссертация, позволяет удовлетворить указанным требованиям.

Степень изученности темы исследования. Небольшое число работ посвящено проблеме оптимального управления портфелем производных финансовых инструментов, в частности портфелем опционов. Среди исследователей данного направления можно выделить следующих зарубежных и отечественных специалистов: Merton R.C., Korn R., Korn E., Trautmann S., Carino D.R., Turner A.L., Голембиовский Д.Ю., Долматов A.C., Самоявчева M.B., Пузановский A.A. Однако в работах данных авторов не рассматривалась модель динамического управления портфелем опционов, учитывающая особенности реального биржевого рынка производных финансовых инструментов.

Целью исследования является разработка модели оптимального управления портфелем опционов, учитывающей особенности реального биржевого рынка. Для достижения указанной цели были поставлены следующие задачи:

1. Разработать модель биржевого рынка опционов, учитывающую его наиболее существенные особенности.

2. Построить динамическую модель оптимального управления портфелем опционов на основе многоэтапного стохастического программирования.

3. Создать дискретную модель изменения цены базового актива опционов.

4. Модифицировать разработанную модель управления портфелем опционов с целью обеспечения возможности динамического хеджирования базового актива портфелем опционов.

5. Провести имитационное моделирование процесса управления портфелем опционов на основе разработанной динамической модели с целью анализа ее эффективности.

Область исследования. Исследование проведено в соответствии с п. 1.6. Математический анализ и моделирование процессов в финансовом секторе экономики, развитие метода финансовой математики и актуарных расчетов Паспорта специальности 08.00.13 - Математические и инструментальные методы экономики.

Объект и предмет исследования. Объектом исследования является рынок опционов. Предметом исследования является процесс управления портфелем опционов с использованием математического аппарата многоэтапного стохастического программирования.

Методологическая основа исследования. Решение поставленных для достижения цели исследования задач потребовало использования специальных методов научного познания, таких как методы математического анализа, теории вероятностей, математической статистики, многоэтапного стохастического программирования, оптимизации, имитационного моделирования.

Научная новизна исследования. Разработана динамическая модель оптимального управления портфелем опционов на основе многоэтапного стохастического программирования с вероятностными ограничениями.

Основные научные результаты исследования. При решении поставленных задач получены следующие новые научные результаты:

1. Разработана модель безарбитражного биржевого рынка опционов, отражающая его наиболее существенные особенности: одновременное обращение опционов с различными сроками и ценами исполнения, наличие требования гарантийного обеспечения, необходимость несения комиссионных расходов.

2. Построена динамическая модель оптимального управления портфелем опционов на основе многоэтапного стохастического программирования с вероятностными ограничениями. Модель учитывает наличие транзакционных издержек и требование гарантийного обеспечения. Управление портфелем опционов сведено к решению задачи целочисленного линейного программирования. Модель позволяет формировать портфель опционов, обеспечивающий получение заданной доходности с максимально возможной вероятностью.

3. Создана дискретная модель изменения цены базового актива опционов - дерево сценариев. Модель используется для постановки и решения задачи оптимального управления портфелем опционов. Дерево сценариев основано на аппроксимации непрерывного распределения вероятностей изменения цены базового актива. Модель учитывает нелинейную зависимость стоимости портфеля опционов от цены базового актива и исключает возможность совершения арбитража.

4. Модифицирована разработанная динамическая модель управления портфелем опционов на. основе многоэтапного стохастического программирования с целью обеспечения возможности хеджирования базового актива портфелем опционов. Для обеспечения указанной возможности в модель управления портфелем опционов введена стоимость позиции по базовому активу.

5. Результатами проведенного имитационного моделирования подтверждено преимущество разработанной модели динамического управления портфелем опционов над статической моделью. Динамическая модель обеспечивает получение требуемой доходности с более высокой вероятностью. Для динамической модели отклонение фактической частоты получения требуемой доходности от ожидаемой меньше по сравнению со статической моделью.

Обоснованность результатов исследования, выносимых на защиту, подтверждается применением известных теорий и методов, верификацией разработанных моделей средствами имитационного моделирования. Достоверность результатов проведенных экспериментов обеспечена применением известных алгоритмов генерации случайных процессов.

Теоретическая значимость исследования. Разработанная модель управления портфелем опционов является развитием теории оптимального управления портфелем ценных бумаг и создает основу для разработки теории управления портфелем опционов в условиях реального биржевого рынка.

Практическая значимость исследования. Модель управления портфелем опционов позволяет инвесторам решать задачу хеджирования базового актива в условиях наличия транзакционных издержек и требования гарантийного обеспечения.

Апробация результатов исследования. Основные результаты исследования прошли апробацию в научном сообществе в рамках Международных научных конгрессов «Роль бизнеса в трансформации российского общества» (МФПА, 2009, 2011, 2012), XII International Conference on Stochastic Programming (Halifax, Nova Scotia, Canada, 2010).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 печатных работ общим объемом 4,75 п.л. (авторский объем 4,13 п.л.). В том числе 3 работы общим объемом 3,63 п.л. (авторский объем 3,01 п.л.) опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка из 107 источников информации. Объем диссертации составляет 108 страниц. Диссертация содержит 21 рисунок и 11 таблиц. Структура диссертации обусловлена целью, задачами и логикой исследования.

Диссертация: заключение по теме "Математические и инструментальные методы экономики", Абрамов, Анатолий Маркович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Целью проведенного исследования являлась разработка модели оптимального управления портфелем опционов, учитывающей особенности реального биржевого рынка. Для достижения указанной цели был поставлен и решен ряд задач.

Разработана модель биржевого рынка опционов, отражающая его наиболее существенные особенности. На рынке обращаются европейские опционы разных сроков экспирации и разных страйков на один вид базового актива. Возможность торговли базовым активом отсутствует. Процесс изменения цены базового актива следует геометрическому броуновскому движению и, как следствие, изменение логарифма цены базового актива подчиняется нормальному распределению вероятностей. Рыночные цены опционов на предложенном рынке определяются по формулам Блэка-Шоулса для бездивидендных акций. При покупке или продаже опциона уплачивается комиссия. Важной частью модели биржевого рынка опционов является наличие требования гарантийного обеспечения портфеля опционов. Величина гарантийного обеспечения определяется в соответствие с первым шагом методики SPAN.

Построена динамическая модель оптимального управления портфелем опционов на основе многоэтапного стохастического программирования с вероятностными ограничениями. Время в модели - величина дискретная. Модель включает возможность выбора уровней риска и доходности. Учитывает возможность будущей перестройки портфеля, транзакционные издержки и требование гарантийного обеспечения, определяемого в соответствие с методикой SPAN. Задача управления портфелем опционов на основе многоэтапного стохастического программирования сведена к задаче целочисленного линейного программирования.

Создана дискретная модель изменения цены базового актива опционов, лежащая в основе модели управления портфелем опционов - дерево сценариев. Дерево сценариев является аппроксимацией непрерывной модели изменения цены базового актива. С целью учета нелинейной зависимости стоимости портфеля опционов от цены базового актива шаг сетки дерева сценариев должен быть достаточно малым. Значения цены базового актива, соответствующие страйкам обращающихся опционов, должны быть представлены на дереве. Этапы дерева сценариев должны соответствовать дням, когда планируется перестраивать портфель. Предложено трехэтапное дерево сценариев, на основе которого формулируется задача оптимизации портфеля опционов приемлемой для практического применения размерности.

Ожидаемая доходность любого портфеля опционов на риск-нейтральном рынке соответствует безрисковой ставке процента. Поэтому систематическое получение прибыли от инвестиций в опционы выше этого уровня в длительной перспективе невозможно. Хеджирование осуществляется не систематически, а лишь в периоды предшествующие кризису или в периоды кризиса, когда возможность закрыть позицию по базовому активу отсутствует. В этом случае высока вероятность получения доходности выше безрисковой ставки процента, что отвечает интересам многих инвесторов. Разработанная модификация модели управления портфелем опционов обеспечивает возможность динамического хеджирования базового актива портфелем опционов и получения в период кризиса доходности выше безрисковой с высокой вероятностью.

Проведено имитационное моделирование управления портфелем опционов на основе динамической модели. Средняя стоимость портфеля в терминальный момент времени близка к начальной стоимости и несколько ниже ее вследствие наличия комиссии, уплачиваемой при совершении каждой сделки. Данный результат подтверждает, что ожидаемая доходность любого портфеля опционов на риск-нейтральном рынке соответствует безрисковой процентной ставке. Число экспериментов, в которых стоимость портфеля в терминальный момент времени была меньше требуемой минимальной стоимости, характеризующее наблюдаемый риск портфеля, несколько превысило их ожидаемое число. Причиной превышения являются возникшие при моделировании ситуации маржин-колл в дни, которые не были представлены на дереве сценариев, а также ограниченная точность аппроксимации непрерывного распределения вероятностей изменения цены базового актива деревом сценариев.

Для сравнения проведено имитационное моделирование управления портфелем опционов на основе статической модели. Сопоставление результатов показало преимущество динамической модели с точки зрения ожидаемого риска портфеля. Вследствие меньшего количества возникших ситуаций маржин-колл отклонение наблюдаемого риска от ожидаемого для динамической модели заметно ниже аналогичного показателя для статической модели. Таким образом, управление портфелем опционов на основе разработанной в диссертации динамической модели имеет преимущество над статическим управлением портфелем. Данное преимущество особенно значимо в условиях наличия на рынке требования гарантийного обеспечения. Также было проведено имитационное моделирование динамического хеджирования базового актива портфелем опционов, подтвердившее целесообразность использования предложенной модели.

Таким образом, достигнута цель исследования - разработана динамическая модель управления портфелем опционов. Доказано ее преимущество над статическим подходом к управлению портфелем опционов. К дальнейшим перспективным направлениям исследования задачи управления портфелем опционов относятся:

- с целью учета изменчивости безрисковой процентной ставки и волатильности, наблюдаемой на реальных рынках, разработка дискретной модели совместного поведения трех случайных факторов стоимости портфеля опционов: цены базового актива, безрисковой процентной ставки и волатильности;

- учет в модели оптимизации портфеля опционов ненулевых спрэдов между котировками покупки и продажи опционов, возрастающих с ростом отклонения страйка опциона от текущей цены базового актива;

- разработка более эффективного алгоритма решения задачи оптимизации портфеля опционов.