Стохастические модели динамики стоимости акций тема диссертации по экономике, полный текст автореферата

Диссертация: введение по экономике, на тему "Стохастические модели динамики стоимости акций"

Годом становления российского фондового рынка, по-видимому, можно считать 1993 год. Резко возросло число торгуемых акций, расширился рынок кредитов, возрос объем валютных операций, и. как следствие, вошли в практику фьючерсные и опционные контракты. Развитие инфраструктуры фондового рынка сделало реальностью инвестирование денежных ресурсов на фондовом рынке и игру на бирже. До сих пор российский рынок обладает рядом особенностей, характерных для развивающихся рыночных отношений переходного периода.

Первой и наиболее важной особенностью является то, что несмотря на наличие практически всех инструментов фондового рынка, работа с ним ■ осложнена непроработанностью юридической основы проведения операций на фондовом рынке и чисто техническими причинами, например, низкой ликвидностью фондовых инструментов. Вторая особенность - ограниченность числа профессиональных субъектов фондового рынка. И третья - это огромная временная неравномерность и географическая неоднородность рынка и, как следствие, огромное количество потенциальных арбитражных ситуаций. Немаловажную роль играет нестационарность макроэкономических процессов, обусловленная инфляцией и политической нестабильностью.

С 1993 года фондовый рынок России прошел большой путь. Если в начале 1993 года ваучер являлся единственной ликвидной ценной бумагой, то в настоящее время активно развивается вторичный рынок акций. На рынке котируются акции банков, производственных предприятий, инвестиционных компаний, торговых фирм. Наиболее ликвидными и надежными являются акции коммерческих банков. Их отличает стабильный курсовой рост и небольшой спрэд (разница между курсом покупки и продажи). Что касается производственных предприятии, вторичный рынок их акций только начинает развиваться. Наибольших успехов здесь достигли некоторые добывающие предприятия. В последнее время активно развивается вторичный рынок инвестиционных компаний. Велика активность внебиржевого рынка. По мнению экспертов, по объему совершаемых сделок этот рынок соизмерим с биржевым.

Мировой кризис 1997 года впервые четко обозначил принципиальное изменение, произошедшее на российском фондовом рынке. Политическая жизнь внутри России уступила первое место в «рейтинге» факторов, влияющих на формирование стратегии инвесторов. В 1997 г. Россия продемонстрировала свою идентичность рынкам большинства стран - на первое место вышли такие экономические факторы, как внешняя финансовая обстановка и денежно-кредитная политика государства.

Раньше большая политика постоянно вторгалась на фондовый рынок, заставляя цены акции менять сложившуюся динамику.

В 80-е и 90-е гг. влияние политики чувствовалось и на западных, и на дальневосточных рынках. В Великобритании среди событий, наиболее мощно воздействовавших на фондовый индекс, выделялся уход Маргарет Тетчер с поста премьер-министра, присоединение, а затем выход фунта стерлингов из Единой валютной системы стран Европейского Союза, война в Персидском заливе и возвращение лейбористов к власти. На ведущий индекс Гонконга существенное влияние оказывали события в соседнем Китае - смерть Мао и расправа на площади Тяньаньмэнь в Пекине.

В России, где во время выборов и правительственных кризисов речь шла не просто о смене руководства, но и об изменении всего общественного строя, фондовый рынок еще более остро реагировал на политические коллизии. Эти реакции усиливались тем, что емкость рынка относительно невелика, а сам рынок существенно зависит от поведения иностранных инвесторов. Первое обстоятельство повышает нервозность рынка, а второе ведет к росту его непредсказуемости. Если вспомнить выборы в Государственную Думу 1995 г., то тогда рынок, разочарованный успехами оппозиции, стал медленно дрейфовать в сторону понижения курса акций. Это продолжалось до марта 1996 г., когда начался рост рейтинга Б.Ельцина. Болезнь президента (осень 1996 г.) вновь ввела рынок в состояние неуверенности, и до конца года роста больше не последовало. Флуктуации стоимостей различных ценных бумаг в зависимости от тех или иных событий на политической сцене России прослежено в работе [ ]. В ней с помощью простых, но удачных математических моделей продемонстрирована возможность предсказания и резкого повышения цен на акции в день, когда стали известны предварительные итоги первого тура президентских выборов и предшествующее этому событию снижение курса, и его снижение в сентябре 1996, связанное с проблемами со здоровьем Президента.

В 1997 г. влияние политики на динамику ценных бумаг резко снижается. Первый симптом проявился в январе, когда Президент вновь заболел и до 23 февраля избегал публичных выступлений. Но именно в этот период происходит бурный подъем на рынке отечественных акций. Ожидание перестановок в правительстве в конце февраля - начале марта 1997 г. притормозили поступательное движение вверх рыночных цен. Однако после изменений в правительстве цены акций вновь проявили тенденцию к росту.

28 октября 1997 г. российский фондовый рынок получил сильнейший удао. на фоне которого поблекли все политические события и кадровые перестановки. Практически незамеченным оказался ноябрьский правительственный кризис. В качестве главного фактора, влияющего на российский фондовый рынок, прочно утвердилась динамика цен в ведущих мировых финансовых центрах.

Весь 1997 г. на конъюнктуру российского фондового рынка определяющее влияние и оказывало развитие ситуации в Нью-Йорке. Индекс Российской тооговой системы синхронно повышался и падал вслед за американским индексом Доу-Джонса. В результате мирового финансового кризиса Россия оказалась заложницей крупнейших международных инвесторов.

Таким образом, политический фактор в прошлом году уступил лидерство внешним влияниям на рынок. Вторая ступень в этом влиянии принадлежит денежно-кредитной политике Банка России, и только на третьем месте по степени влияния - политические события.

Эти обстоятельства в значительной мере сближают российский фондовый рынок с рынками развитых стран. Теперь аналитики и инвесторы наряду со сводками политических новостей России должны просматривать динамику основных мировых фондовых индексов, следить за кредитно-денежной и финансовой политикой, анализировать ситуации с процентными ставками, наблюдать за действиями не только ЦБ РФ, но и федеральной резервной системы США и ведущих мировых банковских структур.

Так же, как это принято в западных банках, аналитики и инвесторы должны иметь в своем распоряжении математические модели, реализованные на компьютере в виде стандартных программ, для анализа полученных данных, которые позволили бы принимать формализованное, но в некотором смысле оптимальное решение. Разумеется, рекомендации, полученные с помощью математической модели, не являются руководством к действию. Тем не менее, они могут подтвердить правильность решения, принятого на основании предыдущего опыта и интуиции с учетом имеющейся информации, а также, когда решение инвестора противоречит рекомендациям компьютера, побудить его к проведению дополнительного анализа и выяснению причин возникновения противоречия. Так или иначе, наличие компьютерных программ для формирования правила принятия решения по всей имеющейся информации, дисциплинирует инвестора, заставляет его критически взглянуть на принятое решение, а иногда вселяет определенную уверенность и устраняет излишнюю нервозность.

Задача создания упомянутого ранее пакета компьютерных программ грандиозна и многоэтапна, и первый этап состоит в построении приемлемых математических моделей для описания динамики стоимостей акций.

В диссертационной работе предлагается несколько таких моделей. На примере Европейского опциона купли проверяется эффективность действий инвестора, оперирующего на фондовом рынке, решения которого опираются на ту или другую математическую модель рынка.

Прежде чем переходить к изложению содержания работы, остановимся на основных понятиях фондового рынка, которые будут использованы в дальнейшем.

Рынок является многоплановым понятием. В работе данный термин используется как совокупность спроса, предложения и реализации активов по возникающим на этой основе ценам. Главным объектом рассмотрения является фондовый рынок, реализуемый на бирже (акции, облигации и производные ценные бумаги), и внебиржевой рынок финансовых ресурсов (банковские услуги, займы, кредиты, производные инструменты во внебиржевом обороте).

Участниками фондового рынка являются банки, финансовые компании, страховые общества и другие финансово-страховые структуры, включая индивидуумов. Формы участия в финансовой деятельности весьма разнообразны - от покупки, продажи, владения и взятия взаймы ценных бумаг до получения дивидендов отчисления капитала на прямое потребление.

Квалифицированный бизнес в современных условиях требует проведения достаточно точных расчетов цен активов, торгуемых на рынке. Такие расчеты невозможны без известной «идеализации» рынка. Именно так возникают понятия рынка «без трения» (все операции осуществляются мгновенно и бесплатно), высокой ликвидности рынка (возможность мгновенной купли-продажи активов) и т.д. Активы, реализуемые через ценные бумаги, составляют основу фондового рынка. К ним, прежде всего, относятся акции и облигации.

Акции - это долевые ценные бумаги, выпускаемые с целью аккумулирования капитала для последующей деятельности.

Облигации - это долговые ценные бумаги, выпускаемые государством или теми или иными фирмами с целью аккумулирования капитала, реструктурирования своих долгов и т.д. Они выпускаются на некоторый срок, по истечении которого изымаются из обращения посредством погашения (выкупа). Существенным показателем «качества» облигации является ее доход до момента погашения (доходность). Доходность позволяет сравнивать между собой выплаты по облигациям с различными характеристиками и, в сущности, эквивалентна банковской процентной ставке.

Как правило, облигация - это безрисковый актив в сравнении с акцией, цена которой достаточно хаотична. Тем не менее, покупка такой ценной бумаги также связана с риском невыполнения оговоренных долговых обязательств.

Акции и облигации первичны, поскольку они определяются непосредственно через экономические факторы. В отличие от них, производные (вторичные) ценные бумаги функционируют на базе уже имеющихся на рынке основных ценных бумаг (акций и облигаций).

Среди вторичных ценных бумаг остановимся на опционе. Предположим, что компания А приобрела акции компании В, поскольку надеется на доход от владения ими. Однако акции могут понизиться в цене, и , чтобы застраховаться от такого понижения, компания А покупает опцион продавца, т.е. право продать их В в конце года по фиксированной цене К. Для покупки опциона компания А должна заплатить премию, величина которой может быть значительной. Точный расчет этой премии, называемой ценой, представляет собой трудную и весьма актуальную задачу торговли опционами.

Называя любую ценность, подлежащую продаже, покупке или обмену, активом мы определяем фондовый рынок как совокупность таких активов. Участника фондового рынка, помещающего свободные капиталы в те или иные активы, естественно называть инвестором, а совокупность принадлежащих ему активов - инвестиционным портфелем. Настоящее искусство инвестора состоит в умении правильно и динамично формировать свой портфель инвестиций (управлять портфелем). К способам управления относятся такие операции, как хранение актива, его покупка, продажа, взятие актива взаймы. Перераспределение портфеля может иметь целью ограничить или вовсе избежать риск той или иной финансовой сделки (например, покупки или продажи опциона). В этом случае говорят о хеджировании, или защите своих инвестиций, а соответствующий динамический портфель называют хеджирующим портфелем.

Выполнение указанных операций требует от инвестора, как правило, определенных затрат, называемых операционными издержками. К ним относятся комиссионные сборы брокера, биржи, клиринговой платы и т.п. Как правило, комиссионные платежи более существенны для мелкого инвестора, поскольку крупные корпорации, имеющие на биржах свою дилерскую сеть, от большей части комиссионных уже избавлены и для них они составляют доли процента от совершаемых сделок. Поэтому в ряде случаев есть возможность операционными издержками пренебречь.

Важным элементом фондового рынка является ссуда, т.е. капитал, даваемый или получаемый взаймы. Стандартная процедура получения ссуды описывается двумя величинами: временем займа N и процентной ставкой (нормой процента) R(N), равной доходу клиента за время N на единицу ссудного капитала. Следовательно, величина конечного капитала B(N) равна В(0)( 1 +R(N)), где В(0) - начальный ссудный капитал. Для сравнения доходов по ссудам с различными временами займа величины процентных ставок пересчитывают в расчете ни один год:

Н- исло дней в году Г = r(N) = R(N)-—

О величине r=r(N) говорят как о ежегодной процентной ставке. Примером такой ежегодной процентной ставки является известная ставка LEBOR (Лондонская межбанковская процентная ставка).

Другой характеристикой ссуды является учетная ставка, или ставка дисконта. Банк может привлечь капитал на время N, заявляя о процентной ставке R(N), приносящей доход B(Q)R(N), или об учетной ставке 0(N), дающей клиенту возможность получить сумму B(N), если в начальный момент разместить в банке сумму (l-0(N))B(N). Если в первом случае механизм получения дохода реализуется простым открытием банковского счета, то во втором - выпуском облигации с номиналом А, которая продается с дисконтированием Q(N)A и, следовательно, текущая цена облигации B(N) равна (\-0{N))A. Учетные ставки в пересчете на год пересчеты ваются по формуле

-ь исло дней в году Ч = c/(N) = Q(N)---у- = 0(N)m исло дней в году^ т= j

Поскольку все эти величины связаны соотношением

1 + R(AT)X 1 - 0(N)) = [1 + -][ 1 - ^ J = 1, пи V т. их легко пересчитывать.

Статистика цен на ценные бумаги приводит к выводу о случайном характере их динамики. Поэтому достижение более или менее адекватного описания эволюции цен возможно лишь на пути идентификации модели и ее статистических закономерностей. В русле этого направления и лежит настоящая работа.

Диссертация: заключение по теме "Математические и инструментальные методы экономики", Афанасьев, Григорий Александрович

Вводя ' = -2,-1,1,2, мы получим 16 типов поведения, в зависимости от комбинаций неравенств

Д(г)-г>0, т<о.

Два из этих 16 типов $7)>0 при всех / и

0 при всех / опять приведут к независимости оптимального поведения от текущей стоимости акций, а в оставшихся 14 такая зависимость имеется. Например, следующее сочетание неравенств предписывает покупать акцию, когда ее курс либо «умеренно» падает, либо «сильно» растет, и продавать, если он «сильно» падает или «умеренно» растет. Усложнение этой модели по сравнению с М1 не только в том, что теперь приходится оценивать по наблюдениям не два выбирать константы и и V, выражающие понятие «сильного» роста и падения.

Тем не менее, если оказалось, что в акции доминирует первый (или четвертый) тип поведения, следует попытаться усложнить модель описанным выше способом. В случае, когда опять будут доминировать типы ($/)>0, /=-2,-1, 1,2) или (<^/)< 0,/=-2,-1, 1,2), усложненная модель не лучше прежней. Придется остановиться на модели М1 или принять во внимание следующее обстоятельство. Зависимость °т прошлого может осуществляться не только через £„./, но она может быть очень сильной и от Это значит, что мы должны перейти к модели, рассмотренной в п.3 .1, предположив, что выполняется условие

5(-2)<0, <5(-1)>0, ¿(1)«), <5(2)>0 четыре параметра необходимости разумно

Р$я < х/5,,. } = < )}, где

-1,-1), (-1,1), (1-1), О, О, если £„2 <0,4„, <0, если <(),£„, >0, если ¡;„2 >(),£„,<0, если >0

Опять следует оценить четьте параметра

Д(/,7) = = {и)) и = -и

Поскольку д{¡iJУ=A(/,у)-г может быть строго положительным или неположительным, а оптимальное поведение определяется знаком этого параметра, мы снова имеем 16 типов поведения. Из них два типа, когда ф',У)>0 при всех /,/=-1,1 или <5(/,у)<0 при всех /,/=-1,1, приводят к независимости оптимального поведения от текущей стоимости акции. Если окажется, что один из этих типов доминирует, то предложенная модель не улучшает М1. Но может получиться, что доминирующим будет, например, тип

6(-1,-1)<0, 5(1,-1)>0, 5(-1,1)>0, 5(1,1 )>0, так что акцию в момент п следует продавать, если только в два предшествующих момента п-2 и /7-1 ее курс падал, и покупать во всех остальных случаях.

Экспериментальное исследование этих усложненных моделей в работе не проводилось. С одной стороны, это потребовало бы значительного машинного времени, а с другой углубленный анализ различных моделей выходит за рамки поставленных целей.

Мы хотим здесь только наметить пути усовершенствования модели М1 и подчеркнуть то обстоятельство, что качество модели может быть оценено лишь с помощью эксперимента.

Кроме того, только эксперимент может выявить ее слабые стороны и направления ее изменения.

3.4. Простейший многомерный фондовый рынок.

Одна из самых уязвимых сторон модели М3(1) - резкое колебание прибыли после исполнения опциона /л и приращения капитала АХ во времени, т.е. при переходе от одного контракта к другому. Об этом свидетельствуют как таблицы с результатами экспериментов для различных акций, помещенные в приложении, так и таблицы 2.3, 2.13, 2.19, 2.26 колебаний прибыли в течение года.

Для уменьшения колебаний этих параметров, а также числа невыполненных контрактов, естественно перейти к многомерному (Д5")-рынку, в котором существуют несколько типов акций. Можно ожидать, что неудачи инвестора с какой-нибудь акцией компенсируются высокими прибылями по другим акциям и тогда усредненные параметры будут вести себя достаточно гладко. Мы проверим это предположение экспериментально по данным с теми же пятью акциями, которые рассматривались ранее, на простейшей модели многомерного (Д5)-рынка.

Представим себе инвестора, который оперирует на рынке ценных бумаг, состоящего из шести активов: пяти указанных акций и банковского счета. В начале каждого месяца он выпускает опцион по каждой акции сроком на один месяц. Цена опциона назначается в соответствии с формулой Блэка и Шоулса. Общий капитал после продажи опциона составляет сумму цен опциона по разным акциям. Далее по каждой акции осуществляется управление в соответствии с моделями БШ или М1(1). В конце месяца капитал по каждой акции дается таблицами 9-14 приложения.

В момент исполнения опциона его продавец имеет право производить выплаты, исходя из суммарного капитала по всем акциям.

Описанный способ действий предполагает, что в течение месяца управление по каждой акции не зависит от капиталов, имеющихся от других акций и их цен. В конце же месяца, когда происходят выплаты, они осуществляются уже из общего капитала, полученного от оперирования на (ДЛ)-рынке с пятью акциями.

Таким образом, мы ввели простейший многомерный (Д5)-рынок, основное отличие которого от описанного в п.3.1, состоит в том, что управление по каждой акции в течение всего процесса не зависит от цен других акций и капиталов, полученных в процессе оперирования с ними. Возможно, предлагаемая модель представляется неестественной с финансовой точки зрения, но она дает нижнюю оценку характеристик управления таких, как средняя прибыль, средняя относительная прибыль, вероятность выполнения контрактных обязательств, вероятность увеличения капитала, для более сложной многомерной модели в п.3.1. Кроме того, мы преследуем еще две цели.

- доказать, что в условиях стабильного финансового рынка (математически это означает статистическую однородность данных) потери от спекуляции, контракта с опционом одной акцией обычно компенсируются за счет других акций;

- оценить колебания упомянутых характеристик управления при оперировании с пятью акциями с помощью моделей БШ и М1(1) с целью сравнения их эффективности.

Так же, как и в предыдущем пункте, мы можем отвлечься от контракта с Европейским опционом, использовав формулы БШ только для назначения начального капитала инвестора по каждой акции, т.е. сумм, которые он готов тратить изначально для оперирования с этим видом ценных бумаг. В его распоряжении, таким образом, оказывается шесть видов ценных бумаг: пять акций и безрисковая ценная бумага или банковский счет.

Целью инвестора является получение максимальной прибыли в некоторый фиксированный момент времени в будущем. Поскольку стоимости акций меняются хаотически, эта прибыль случайна. Как и раньше, в качестве критерия, с помощью которого оценивается управление портфелем ценных бумаг, мы будем рассматривать математическое ожидание прибыли, а в качестве временного промежутка, на котором строится управление - один месяц.

Прежде всего рассмотрим количество нарушений обязательств в контракте с Европейским опционом. Из таблицы 15 приложения находим, что число случаев, когда прибыль ц отрицательна, равно 23 в модели М1(1) и 34 в модели БШ. В каждом из этих случаев может быть нарушен не один контракт, поскольку в конце каждого месяца необходимо выполнить обязательства по пяти контрактам. При расчете числа невыполненных контрактов считалось, что в первую очередь выполняются контракты с наименьшими суммами выплат.

Например, в октябре 91 г. в модели М1(1) имеются три отрицательных значения прибыли: -0.233, -.173 и -1.824 соответственно для акций ABT, ALD и АЕТ, и два положительных значения: 0.006 для ABS и 0.994 для AIT. Выполняются контракты с акциями АВТ и ALD и остается невыполненным контракт с акцией АЕТ, причем сумма долга составляет 1.230. При таком способе расчета числа невыполненных контрактов мы получаем следующую таблицу.

Заключение и общие выводы.

В работе предлагаются стохастические модели, описывающие динамику стоимостей акций и обобщающие известную модель Кокса, Росса и Рубинштейна. На основе этих моделей разработаны методы оптимизации поведения инвестора, оперирующего на рынке ценных бумаг. Поскольку предложенные методы сравниваются с известными результатами Блэка, Шоулса и Мертона для Европейских опционов купли, именно эта финансовая операция положена в основу проведенных экспериментов. За функцию полезности принимается либо вероятность выполнения продавцом опциона своих обязательств, либо его средний доход на момент выплат. Проведенные эксперименты позволяют сделать следующие выводы.

1. Предположения о статистической природе динамики стоимостей акции и обусловленные ими способы формирования портфеля ценных бумаг существенно влияют на капитал эмитента, а, следовательно, на выполнение контрактных обязательств и прибыль.

Результаты экспериментов, описанные в первой главе, определенно свидетельствуют о преимуществах предложенной в работе обобщенной модели Кокса Росса и Рубинштейна по отношению к модели Блэка и Шоулса. Вероятности выполнения контрактных обязательств примерно одинаковы для обоих методов, а средний доход после исполнения опциона существенно больше в предлагаемом подходе.

2. Изучение зависимости стоимости опциона CS(Z)) от вероятности его исполнения 1-6 показало быстрое возрастание этой величины при приближении 1-е к единице.

Назначение стоимости опциона на доверительном уровне порядка 0.95^-0.97 приведет к ее резкому снижению, что в практической плоскости означает возможность заключения большего числа сделок с различными типами акций.

3. В случае, когда оговоренная цена К близка к стоимости акции в конце процесса, результаты управления с помощью метода Блэка и Шоулса могут быть улучшены, если на последних шагах процесса использовать метод динамического программирования. Получаемая при этом относительная прибыль, рассчитанная по формуле (9), более 20%.

4. С точки зрения средней прибыли после исполнения опциона, а также относительной средней прибыли особенно эффективна модель, в которой текущая стоимость акции зависит от факта роста или падения ее курса в предшествующий момент (модель MI), а также модели Mil и Mill с более сложной зависимостью от прошлого. Управление с помощью модели Ml при контракте с Европейским опционом дает среднюю прибыль после исполнения опциона в 5-8 раз большую, чем при методе Блэка и Шоулса. Частота нарушения контрактных обязательств в экспериментах с 475 контрактами лежали в пределах 0.33-Ю.39 в модели БШ и 0.31-Ю.39 в модели М1, так что управление с помощью этой модели не увеличивает количество невыполненных обязательств по сравнению с методом БШ. Частота уменьшения начального капитала в указанных экспериментах находилась в пределах 0.56-Ю.65 в модели БШ и 0.37-Ю.48 в модели М1, и это обстоятельство также свидетельствует о преимуществе управления с помощью М1.

5. Параметром, по отношению к которому предложенная модель М1 оказывается хуже модели Блэка и Шоулса, является вероятность того, что значение долга превысит некоторый положительный уровень .V. Вместе с тем вероятность того, что прибыль превысит некоторый положительный уровень, также существенно больше в модели М1, что несомненно является ее достоинством. Эти обстоятельства связаны с большой дисперсией прибыли в модели М1 и видом ее эмпирической функции распределения (см. рис. 2.7).

6. Оптимальное поведение в модели М1 определяется параметрами Д(1) и Д(-1), представляющими собой условные средние значения величины —— - 1 - стоимость

•VI акции в момент п) при условии, что в предшествующий период времени курс акции рос или падал. Проведенные эксперименты показали существенную зависимость прибыли в модели М1 от того, какой тип поведения доминирует в процессе управления. Подобная зависимость в модели Блэка и Шоулса не выявлена.

7. В предложенной модели многомерного (Д5)-рынка происходит сглаживание во времени основных параметров, характеризующих качество управления, а также почти в пять раз (в модели М1) и в 2.5 раза (в модели БШ) уменьшается число невыполненных контрактов.

8. То обстоятельство, что средняя прибыль при использовании метода, основанного на модели М1 и опирающегося на средние значения Д(1) и Д(-1), существенно больше, чем прибыль при управлении по методу БШ, учитывающем лишь текущую стоимость акции, свидетельствует о важности этих характеристик при раскрытии стохастической природы динамики стоимости акции.

1. Афанасьев Г.А. Оптимизация среднего дохода инвестора в контракте с Европейским опционом. - Теор. вер. и ее применен., 1997, т. 42, в. 2, стр. 337.

2. Афанасьев Г.А. Сравнение статистических моделей динамики стоимостей акций на примере расчета опционов. - Обозрение прикладной и промышленной математики. 1997, т. 4, в. 4, ТВП.

3. Афанасьев Г.А. Расчет оптимальных стратегий и стоимостей опционов методом динамического программирования. - В кн. «Проблемы современной экономики». М.б Диалог МГУ, 1997.

4. Беллман Р., Дрейфус С. Прикладные задачи динамического программирования. - М., Наука, 1965.

5. Бондаренко М.В., Вишняков А Н. О Российском фондовом рынке. - Теор. вер. и ее применен., т. 39, в. 1, 1994, стр. 229-234.

6. Буренин А Н. Фьючерсные, форвардные и опционные контракты, - М, Тривола, 1995.

7. Вагнер Г. Основы исследования операции. - М,, Мир, 1973, т. 1, 2, 3.

8. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. - М., Наука, 1988.

9. Де Гроот. Оптимальные статистические решения. - М., Мир, 1974.

Ю.Крамер г. Математические методы статистики. - М., Мир, 1976.

П.Кабанов Ю.М., Крамков Д.О. Большие финансовые рынки. - Теор. вер. и ее применен., 1994, т. 39, в. 1, стр. 222-229.

12. Крамков Д А., Ширяев А Н. О расчетах рациональной стоимости «русского опциона» в симметричной биномиальной модели (В,Б)-рынка. - Теор. вер. и ее применен., т. 39, в. 1, 1994, стр. 191-200.

13.Кокс В., Смит В. Теория восстановления. - М., «Советское радио», 1967.

14.Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Статистика случайных процессов. -М., Наука, 1967.

15.Мельников A.B. Финансовые рынки. ТВП, Москва, 1997.

16.Мельников A.B., Нечаев М.Л., Степанов В.М. О дискретной модели финансового рынка и методах расчетов с ценными бумагами. - Препринт. М., Научно-исследовательский актуарно-финансовый центр, 1996, № 3, 13 стр.

17.Ди Мази Дж.Б., Кабанов Ю.М. Рунгальдер В.Й. Хеджирование опционов на агамию при среднеквадратичном критерии и марковских волатильностях. - Теор. вер. и ее применен., 1994, т. 39, в. I, стр. 211-221.

18.Мешалкин Д. Д. Статистические модели развивающихся финансовых рынков. Обозрение прикладной и промышленной математики. Т. 4, в. 4, ТВП, Москва, 1997.

19.Нагаев А.В. К вопросу о вычислении справедливой цены опциона. Обозрение прикладной и промышленной математики, т. 4, в. 4, ТВП, Москва, 1997.

20.Первозванский А.А., Первозванская Т.Н. Финансовый рынок: расчет и риск. М., Инфра-М, 1994.

21.Рачев С.Т., Рушендорф Л. Модели и расчеты контрактов с опционами. - Теор. вер и ее применен., т. 39, в. 1, 1994, стр. 23-79.

22.Роббинс Г., Сигмунт Д., Чао И. Теория оптимальных правил остановки. М., Наука, 1997.

23.Тутубалин В.Н. Теория вероятностей и случайных процессов. -М., МГУ, 1992.

24.Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. - М., Мир, 1964, т. 1.

25.Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. М., Мир, 1967, т. 2.

26.Уилкс С. Математическая статистика. - М., Наука, 1967.

27.Чжун Кай Лай. Однородные цепи Маркова. - М., Мир, 1964.

28.Ширяев АН. Кабанов Ю.М., Крамков В.О., Мельников А.В. К теории расчетов опционов Европейского и Американского типов. II. Непрерывное время. - Теор. вер. и ее применен., 1994, т. 39, в. 1, стр. 80-129.

29.Ширяев А Н. Вероятность. М., Наука, 1980.

30.Ширяев АН. О некоторых понятиях и стохастических моделях финансовой математики. - Теор. вер. и ее применен., т. 39, в. 1, 1994, стр. 5-22.

3 ¡.Ширяев АН., Кабанов Ю.М., Крамков Д.О., Мельников А.В. К теории расчетов Европейского и Американского типов. I. Дискретное время. - Теор. вер. и ее применен., т. 39, в. 1, 1994, стр. 23-79.

32.Ширяев А Н. Статистический последовательный анализ. -М., Наука, 1976.

33.Bachelier L. Theorie de la speculation. - Ann. EcoleNorm. Sup., 1900, v. 17, p. 21-86.

34.Black F., Scholes M. The pricing of options and corporate liabilities. - Journal of Political Economy, 1973, May/June, p. 637-657.

35 .Black F. The pricing of commodity contracts. - Journal of Financial Economics, 1976, v. 3, p. 167-179.

36.Black F. The holes in Black-Scholes. - RISK magazine, March, 1988.

37.Cox J.C., Ross R. A., Rubinstein M. Option pricing: a simplified approach. - Journal of Financial Economics, 1976, v. 3, p. 145-166.

38 Cox J.C., Rubinstein M. Option Markets. New York/London: Prentice-Hall, 1985, 498 p.

39.Fisher I. The Theory of Interests! New York: Macmillan, 1930.

40.Harrison J.M., Kreps D M. Martingales and arbitrage in multiperiod securities markets. -Journal Economic Theory, 1979, v. 20, p. 381-408.

41.Martin J.D., Cox S.H., jr., McMinn R.D. The Theory of Finance. Evidence and Applications. The Dryden Press, 1988, 709 p.

42.Merton R.C. Theory of rational option pricing. - Bell Journal of Economics and Management Science, 1973, 4 (Spring), p. 141-183.

43.Merton R.C. Continuous-time Finance. Cambridge MA/Oxford UK: Blackwell, 1990, 732 p.

44.Ross S. The arbitrage theory of capital asset pricing. - Journal of Economic Theory, 1976, December, p. 343-362.

45.SamueIson PA. Rational theory of warrant pricing. - Industrial Management Review, 1965, 6, p. 13-31.

46.Shepp L.A., Shiryev A.N. The Russian Option: Reduced regret. - Ann. Appl. Probab., 1993.

47.Kabanov Y.M. On Ley land'.v strategy of Option Pricing with Transactions costs. Labor. De Math., Universitñ de Franche-ComtH 16 Route de Gray, F-25030. Besamon Cedex France, 1997.

48.Wilcoxon F., Individual comparisons by ranking methods, Biometrics, v. 1, p.p. 80-83, 1945.

49.Manm H.B. and Whitney D.R. On a test of Whether one of two random variables is stochastically large than the other, Ann. Math. Stat., v. 8, pp. 50-60, 1947.

Оглавление.

Введение» 2 Глава I. Анализ влияния на капитал инвестора статистических предположений 9 относительно эволюции фондового рынка, положенных в основу принятия решений (на примере Европейского опциона купли).

§ 1. Постановка задачи и расчета Европейского опциона. 9 п.1.1. Стохастическая модель фондового рынка. 9 п. 1.2. Модель Кокса, Росса и Рубинштейна (КРР). 13 п. 1.3. Модель Блэка и Шоулса. 14 п. 1.4. Обобщение дискретной модели КРР. 16 $2. Динамическое программирование и расчет Европейского опциона по 17 критерию максимума вероятности его выполнения. п. 2.1. Детерминированный процесс динамического программирования. 18 п. 2.2. Стохастический процесс динамического программирования. 23 п. 2.3. Постановка задачи расчета Европейского опциона для обобщенной 26 модели КРР (ОКРР) в терминах динамического программирования, п. 2.4. Рекуррентные соотношения. Решение задачи расчета Европейского 28 опциона купли.

§3. Сравнение модели Блэка и Шоулса с обобщенной моделью КРР на примере 32 краткосрочных Европейских опционов. п. 3.1. Описание эксперимента. 32 п. 3.2. Результаты эксперимента. 36 п. 3.3. Зависимость стоимости опциона С* (О) от доверительного уровня 1-е. 39 §4. Анализ результатов решений эмитента (на примере контракта с Европейским 43 опционом), когда в начале процесса используется диффузионная модель фондового рынка, а в конце - обобщенная модель КРР. п. 4.1. Постановка задачи. 43 п. 4.2. Описание эксперимента. Обслуживание результатов. Выводы. 46

Глава II. Новые стохастические модели динамики стоимостей акций. Управление 54 по критерию максимума средней прибыли. (Пример Европейского опциона купли).

§1. Математические модели (/?,У)-рынка. в которых случайные величины 54 зависимы. Метод динамического программирования для таких моделей. п. I.I. Описание математических моделей, 54 п. 1.2. Метод динамического программирования как способ построения 58 оптимального поведения инвестора, когда (B,S)-рынок описывается моделями Ml, Mil, Mill.

§2. Построение оптимального управления по критерию максимума средней 62 прибыли инвестора. п.2.1 Функциональные уравнения. Структура оптимального поведения. 62 ((B,S)~ рынок с двумя активами). п.2.2. Структура оптимального поведения в модели с несколькими активами. 71 $3. Оценка эффективности управления составом портфеля ценных бумаг при 79 описании фондового рынка с помощью модели Ml. (Пример Европейского опциона купли). п. 3.1. Описание эксперимента. 79 п.3.2. Описание результатов экспериментов по отдельным акциям. Сравнение с 82 методом Блэка и Шоулса. п.3.3. Сравнительный анализ результатов экспериментов по всем описанным 97 акциям. п.3 .4. Простейший многомерный фондовый рынок. 103

Глава III. Статистические и вычислительные аспекты экспериментов. 110

§1. Статистическое оценивание параметров, необходимых для проведения 111 эксперимента. п. 1.1. Оценка параметров моделей БШ и обобщенной модели КРР. 111 п. 1.2. Оценка условных средних значений Д(1) и Д(-1) и матрицы переходных 122 вероятностей для цепи {е„}. §2. Проверка статистической однородности динамики стоимостей акций. 129 п. 2.1. Проверка статистической однородности в обобщенной модели Кокса, 129 Росса и Рубинштейна. п. 2.2. Построение критерия для проверки статистической однородности 132 данных для модели Ml. §3. Вычислительные аспекты и математическое обеспечение экспериментов. 137