Адаптивное моделирование инвестиционных решений на основе одноиндексной модели У. Шарпа тема диссертации по экономике, полный текст автореферата

Автореферат диссертации по теме "Адаптивное моделирование инвестиционных решений на основе одноиндексной модели У. Шарпа"

На правах рукописи

Бахолдин Сергей Владимирович

АДАПТИВНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ИНВЕСТИЦИОННЫХ РЕШЕНИЙ НА ОСНОВЕ ОДНОИНДЕКСНОЙ МОДЕЛИ У. ШАРПА

Специальность: 08.00.13 - Математические и инструментальные методы экономики

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата экономических наук

1 п : 2012

Воронеж-2012

005017588

Диссертационная работа выполнена в ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный университет»

Научный руководитель

Давние Валерий Владимирович, доктор экономических наук, профессор

Официальные оппоненты:

Бабешко Людмила Олеговна, доктор экономических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации», профессор кафедры математического моделирования экономических процессов;

Филатов Данила Александрович, кандидат экономических наук, AHO ВПО «Институт экономики, маркетинга и финансов», доцент кафедры математики и математических методов экономики

Ведущая организация

ФГБОУ ВПО «Тамбовский государственный технический университет»

Защита состоится 21 мая 2012 г. в 10 час. 00 мин. на заседании объединенного диссертационного совета ДМ 212.038.21 при ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный университет» по адресу: 394068, г. Воронеж, ул. Хользунова, 40, ауд. 225.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный университет».

Автореферат разослан 20 апреля 2012 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета с.v""" / Тинякова Виктория Ивановна

1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Современная финансовая теория не в полной мере отвечает требованию адекватного отображения реалий предметной области в некоторых аспектах. В частности это касается рынка акций. Мы склонны полагать, что большинство моделей финансовой теории полезны разве что для формирования некоторого непротиворечивого представления об объекте исследования и отдаленного представления о факторах, оказывающих влияние на его состояние. Использование их без существенных модификаций, способных повысить адекватность, вряд ли может принести пользу при обосновании стратегических и тактических решений на фондовом рынке. Правдоподобный прогноз рыночной динамики скорее является предпочтительным результатом моделирования, нежели ее описание.

В самой теории финансов очевиден определенный диссонанс: моделирование de facto нестационарных процессов фондового рынка осуществляется в предположении их стационарности. Этот вывод справедлив и для моделей портфельного инвестирования. В своей сущности нестационарность представляет собой не что иное, как результат влияния неопределенности, имманентной как процессам фондового рынка, так и любым недетерминированным рыночным процессам. Размышляя о вопросах моделирования процессов фондового рынка в условиях неопределенности, мы находим привлекательными решения, использующие адаптивный подход. В то же время мы не настаиваем на том, что адаптивный подход является единственно верным, но склонны считать, что аппарат, при разработке которого будут реализованы принципы адаптации, будет более выигрышным.

Подтверждением нашей точки зрения является практика организации торгов на фондовом рынке. Большинство фондовых бирж, будучи заинтересованными в перманентном притоке и обороте капитала на организуемом ими рынке, как правило, применяют модели, в которых в неявном виде используется адаптивный механизм (модель Блека-Шоулса-Мертона с подразумеваемой волатильностью, ежедневный пересчет бета-коэффициентов модели Шарпа-Линтнера). Однако целью такой адаптации является иллюстрация практической значимости рекомендаций финансовой теории, а не забота о доходности инвестора. По-нашему мнению, инвесторам целесообразно проводить адаптивные расчеты, но исходя из собственных целевых установок. Будучи интуитивно понятной, идея портфельного инвестирования представляется нам в высшей степени привлекательной для изучения и включения в соответствующий математический аппарат адаптивных механизмов.

Степень разработанности проблемы. Проблема портфельного инвестирования было поставлена задолго до исследования Г. Марковица. В то же время стоит признать, что основу первого варианта завершенной научной теории портфеля составила именно его работа. Как и любое начинание, относительно молодая теория содержала некоторые поводы для критики. Однако это не помешало группе последователей, в частности У. Шарпу, Дж. Линтнеру, Ф. Блеку, Дж. Тобину, развивать предложенные Г. Марковичем идеи, тем са-

мьгм формируя ядро современной теории портфельного инвестирования. В настоящий момент теория портфеля является высокодифференцированной. В значительной степени этому способствуют отечественные ученые: В.М. Аски-надзи, А.Н. Буренин, Е.М. Бронштейн, И.В. Волошин, A.B. Воронцовский, В.В. Давние, A.B. Мельников, И.А. Наталуха, И.Г. Наталуха, А.О. Недосекин, В.И. Тинякова, A.C. Шапкин, А.Н. Ширяев, Л.П. Яновский и другие.

Многообещающим направлением, намеченным в современных работах, являются исследования, посвященные проблеме построения портфеля ценных бумаг с использованием возможностей эконометрического моделирования. Безусловно, результаты эмпирических исследований, полученных, в частности, в диссертационных работах Э.Р. Вартановой, Е.А. Ра-тушной, О.В. Тимченко, а также Е.А. Хлебниковой показали перспективность развиваемого ими направления.

Будет справедливо отметить, что настоящее диссертационное исследование, выполненное в рамках этого нового направления, вносит существенные изменения в понимание самого сути рыночного процесса как неоднородного, предлагая использование специальных адаптивных механизмов для некоторого обуздания неопределенности, присущей фондовому рынку, и повышения описывающих его моделей.

Объект исследования - портфель акций российских эмитентов.

Предмет исследования ~ математический аппарат формирования портфеля ценных бумаг.

Цель исследования - развитие математического аппарата формирования портфеля акций, позволяющего реализовывать адаптивные механизмы в моделях портфельных решений на фондовом рынке.

В соответствии с поставленной целью возникла необходимость в решении следующего комплекса задач, определивших логику диссертационного исследования:

• проанализировать сущность неопределенности, присущей экономической деятельности, а также выявить порождающие ее факторы;

• рассмотреть эволюцию взглядов на категорию «адаптация» в экономических и неэкономических науках, выявить возможности использования адаптивных механизмов в качестве инструмента преодоления неопределенности будущего в задачах прогнозирования;

• предложить принцип, способствующий распространению моделей эффективного рынка на случаи, нарушающие гипотезу о рыночной однородности;

• разработать класс модифицированных моделей портфельного инвестирования У. Шарпа с фиксированной структурой адаптивного механизма;

• разработать класс модифицированных моделей портфельного инвестирования У. Шарпа с настраиваемой структурой адаптивного механизма;

• обосновать критерий оптимальности значений настраиваемых параметров адаптивной модели портфельного инвестирования;

• осуществить полномасштабные вычислительные эксперименты с разработанными моделями.

Область исследования. Содержание диссертации соответствует п. 1.6 «Математический анализ и моделирование процессов в финансовом секторе экономики, развитие метода финансовой математики и актуарных расчетов» специальности 08.00.13 Математические и инструментальные методы экономики Паспорта специальностей ВАК РФ.

Теоретико-методологической основой исследования послужили разработки отечественных и зарубежных авторов в области обоснования инвестиционных решений в целом и портфельных инвестиций в частности, моделирования рыночного процесса, эконометрики.

Эмпирическая база исследования сформирована на основе архива котировок акций отечественных компаний первого эшелона и индекса РТС, доступ к которому предоставлен сайтом объединенной биржи ОАО ММВБ-РТС (http://rts.micex.ru/). Экспериментальные расчеты проводились в среде Microsoft Excel 2010.

Научная новизна исследования состоит в разработке нового класса моделей портфельного инвестирования, отличающихся встроенным адаптивным механизмом и применимых в случаях нарушении основных гипотез теории эффективного рынка.

Научная новизна реализована в следующих результатах, полученных лично автором:

• предложен принцип адаптивного воспроизведения динамики неоднородного рынка на основе моделей эффективного рынка с инкорпорированным механизмом экспоненциального «старения» информационного потока биржевых торгов;

• разработана одношаговая адаптивная модель портфельного инвестирования с настраиваемым на тенденцию последних наблюдений параметром экспоненциального сглаживания, обеспечивающая эффективное вложение средств в краткосрочном периоде;

• разработана многошаговая адаптивная модель портфельного инвестирования с параметром экспоненциального сглаживания, настраиваемым на тенденцию специально определенной группы последних наблюдений, обеспечивающая эффективное инвестирование в средне- и долгосрочном периодах;

• предложен обобщенный вариант модели портфельного инвестирования, адаптивный механизм которой за счет настраиваемой структуры обеспечивает возможность в процессе идентификации параметров сглаживания определять не только структуру портфеля, но и оптимальный горизонт инвестирования.

Теоретическая значимость исследования определяется обоснованием принципа адаптивного воспроизведения текущих рыночных ситуаций, разработкой класса модифицированных моделей портфельного инвестирования (модель портфеля У. Шарпа с одношаговым адаптивным механизмом, модель портфеля У. Шарпа с многошаговым адаптивным механизмом, модель портфеля У. Шарпа с настраиваемой структурой адаптивного механизма), формирующего теоретико-методологическую базу и развивающего математический аппарат обоснования портфельных инвестиций на фондовом рынке.

Практическая значимость исследования заключается в том, что его основные результаты, выводы и рекомендации могут быть использованы институциональными и частными инвесторами при формировании и реструктуризации портфеля акций на российском фондовом рынке. Использование разработанных моделей в управлении активами существенно повышает вероятность устойчивого получения субъектом инвестиционной деятельности положительного финансового результата на упреждающем периоде.

Апробация и внедрение результатов исследования. Основные результаты работы прошли апробацию и получили положительную оценку на семинарах и научных сессиях в ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный университет», международных научно-практических конференциях: «Анализ, моделирование и прогнозирование экономических процессов» (Воронеж, 2010, 2011); «Финансовые рынки: модели, риски, решения» (Воронеж, 2010).

Работа выполнялась в соответствии с комплексной программой научных исследований кафедры информационных технологий и математических методов в экономике ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный университет»: «Математическое моделирование и информационные технологии в управлении экономическими процессами».

Математические модели, разработанные в ходе проведения исследования, используются в учебном процессе по подготовке магистров экономики в ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный университет» при проведении занятий по дисциплинам: «Управление портфелем ценных бумаг», «Эконометрика финансовых рынков».

Публикации. По теме диссертационного исследования опубликовано 7 работ, в том числе 3 статьи в журналах, рекомендованных ВАК РФ. Список публикаций приведен в конце автореферата. В работах, выполненных в соавторстве, соискатель: обосновал необходимость применения адаптивного подхода при моделировании процессов фондового рынка [5], что легло в основу принципа адаптивного воспроизведения динамики неоднородного рынка [1], предложил вариант модели портфельного инвестирования У. Шарпа усовер-

шенствованную адаптивным механизмом [4, 6, 7], провел вычислительный эксперимент с предложенной моделью [2], обосновал критерий оптимальности значений настраиваемых параметров экспоненциального сглаживания.

Структура и содержание работы. Диссертационное исследование состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованной литературы из 138 источников, приложения.

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, определены предмет и объект исследования, сформулирована цель и поставлены задачи, решение которых необходимо для ее достижения, раскрыта научная новизна, теоретическая и практическая значимость результатов исследования.

В первой главе «Происхождение и сущность адаптивного подхода в прогнозировании» рассмотрены проблемы исследования экономических процессов вообще, и процессов фондового рынка в частности, в условиях неопределенности, наряду с этим обоснована необходимость включения адаптивных механизмом и процедур в алгоритмы эконометрического моделирования. Рассматривается специфика природы неопределенности и порождающих ее факторов. Предпринимается попытка уточнить трактовку понятия «адаптация» с позиций решения риск-упреждающих задач на фондовом рынке. Анализируются особенности решения прогнозных задач в условиях, когда поведение процесса в прошлом не отличалось стабильностью.

Во второй главе «Адаптивные модели портфельного инвестирования» обсуждается специфика реального процесса фондового рынка, который, будучи неоднородным и как следствие нестационарным, не подлежит адекватному отображению посредством моделей эффективного рынка. Предлагается принцип адаптивного воспроизведения динамики неоднородного рынка. На основе данного принципа действие моделей эффективного рынка можно распространить на случаи неоднородного рынка, благодаря приведению моделей в соответствие изменяющему характеристики рыночному процессу с помощью встроенного адаптивного механизма. Разработаны варианты модели портфельного инвестирования У. Шарпа, расширенные действием адаптивного механизма. Показано, что модифицированные варианты не нарушают специфической структуры модели У. Шарпа. Кратко приводятся результаты вычислительных экспериментов, подтверждающие эффективность использования разработанных адаптивных моделей в практике портфельного управления активами.

В третьей главе «Обобщенный подход к адаптивному моделированию инвестиционных решений» изложены основные идеи построения моделей портфельного инвестирования с настраиваемой структурой адаптивного механизма. Рассматриваются вопросы, построения моделей портфеля с более тонким механизмом настройки реакции на изменения в целях обеспечения адекватности вне зависимости от величины упреждающего периода. Дополнительно вводятся несколько настраиваемых параметров сглаживания. Обсуждается проблема выбора структуры адаптивного из некоторого множе-

ства ее вариантов в ходе настройки параметров адаптации. Приводятся результаты полномасштабных вычислительных экспериментов с моделями портфельного инвестирования, где реализованы одношаговый и многошаговый адаптивные механизмы настраиваемой структуры.

В заключении сформулированы основные выводы диссертационного исследования.

2. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ И РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1. Принцип адаптивного воспроизведения динамики неоднородного рынка

В рамках теории эффективного рынка формальное описание рыночного процесса выглядит следующим образом. Биржевые торги как проявление рыночного процесса рассматриваются как случайный эксперимент с элементарными событиями <у;. образующими последовательность &> = (&>,,...,£УГ). В соответствии с аксиоматикой А.Н. Колмогорова, биржевые торги, протекающие до момента Т, можно представить в виде вероятностного пространства (□,РГ,Р), где О- множество элементарных событий, Рг— множество подмножеств О или информационный поток, который фиксируется рынком в виде последовательности элементарных событий, Р- вероятностная мера. Тогда, если Р0сР, с...сР, поток информации, доступной всем участникам фондового рынка, цена финансового актива может быть представлена следующим мартингальным соотношением:

Е(5,+„|Р,) = 5„ п = 1,2... (1)

В соответствии с этим соотношением лучшим прогнозом цены на «завтра» является цена текущего момента, а точнее цена на момент закрытия биржи. До тех пор пока нет информации о будущем, нет представления и о цене, которая будет иметь место в этом будущем. Причем даже полное представление о будущем не позволяет определить цену, которая будет иметь место в этом ожидаемом будущем. Будущее должно наступить и рыночные механизмы, сразу же ассимилировав информацию, изменят цены. В связи с этим мартингал оказался удобным инструментом для определения прогнозных значений. Его свойства соответствуют гипотезам эффективного рынка.

Так или иначе, в рамках этих гипотез был разработан мощный инструментарий, в т.ч. модели портфельного инвестирования (Г. Маркович, У. Шарп, Дж. Тобин и др.) и ценообразования опционов (Ф. Блек, М. Шоулс, Р. Мертон). Гипотезы сформировали прочный фундамент для теоретизирования по поводу рыночного процесса в различных его проявлениях. Без сомнения, построенные математические модели внешне корректны, не всегда адекватны отражаемому процессу фондового рынка. Как оказалось, модели теории эффективного рынка работают лишь при условии стационарного протекания рыночного процесса. Но рынок никогда себя не повторяет. Реальность опровергает гипотезы эффективного рынка, попросту не укладываясь в их тесные

рамки. В неизменном виде эффективное использование этих моделей, пусть в замысле и полезных, на реальном фондовом рынке крайне затруднено.

Проблема теории эффективного рынка в том, что она сфокусировала все свое внимание на объекте - рынке - без какой бы то ни было привязки к субъекту - инвестору. За исключением того, что инвесторов рекомендуется признать однородным совокупностью, одинаково, автоматически и синхронно реагирующей на изменение информационного потока, теория в значительной степени игнорирует их индивидуальные характеристики.

В связи с этим вполне очевидным представляется появление исследований различного рода фактов за рамками теории эффективного рынка. Одним из результатов данных исследований стали гипотезы фрактального рынка:

■ инвесторы по-разному интерпретируют информацию в зависимости от своего инвестиционного горизонта, при этом сама реакция может быть не мгновенной, а осуществляться лишь после ее подкрепления;

■ цены в каждый момент времени отображают взаимодействие «краткосрочных» и «долгосрочных» инвесторов;

■ рынок потеряет ликвидность и устойчивость, если исчезают инвесторы с разными инвестиционными горизонтами, т.е. исчезнет фрактальность.

Не трудно заметить, что такие предположения выводят инвестора - действующего субъекта - на первый план рассуждений о рыночном процессе, именно они формируют и детерминируют своей активностью его течение. В адекватности положений, зафиксированных в данных гипотезах, сомневаться не приходится. Приняв их за исходные, рыночную природу можно интерпретировать как неоднородную, а рыночный процесс - как нестационарный.

Несмотря на принципиальное отличие видения рыночной природы в теории фрактального рынка, аппарат его моделирования не стал комплексным, единственно определенным и теоретически завершенным.

По нашему мнению, понимание рынка как неоднородного обеспечивает возможность моделирования динамики рынка с помощью эконометриче-ских методов, применяемых в случаях эффектов гетероскедостичности в данных, в частности метод взвешивания данных. Информация, рассматриваемая инвестором как существенная для принятия решений, содержится в данных за промежуток времени, сравнимый с его горизонтом инвестирования. Их значимость, «вес» для инвестора выше, поэтому в модели должен быть предусмотрен механизм корректировки долгосрочной тенденции в соответствии с ограниченным набором последних событий на рынке, информация о которых содержится в некоторой группе наблюдений.

Основной смысл идеи моделирования в условиях гипотезы фрактального рынка в том, чтобы модели, разработанные и имеющие смысл в рамках гипотезы эффективного рынка стали основой моделирования фрактального рынка. Это позволяет сохранить значимость основных результатов финансовой теории, но с уточнением возможностей их динамического обобщения. Создание аппарата моделирования рыночных процессов, удовлетворяющих постулатам теории фрактального рынка, может быть разработано на основе аппарата теории эффективного рынка с учетом обоснованного выше принципа адап-

тивного воспроизведения динамики неоднородного рынка. Замысел реализуем в различных видах. В рамках настоящего исследования предложено несколько вариантов, обеспечивающих построение портфеля ценных бумаг с адаптивной реакцией на изменения, происходящие в динамике фондового рынка.

2. Одношаговая адаптивная модель портфельного инвестирования У. Шарпа

Согласно У. Шарпу, модель портфельного инвестирования строится по коэффициентам так называемой одноиндексной модели (de facto однофак-торной регрессионной модели, отражающей взаимосвязь между доходностью активов, включаемых в портфель, и доходностью рыночного индекса):

где гл - доходность г-го актива в момент времени V,

гп - доходность рыночного индекса в момент времени /; а,, Д- оцениваемые параметры регрессионной модели; е, — случайная ошибка регрессии.

Безусловно, предложенный У. Шарпом подход к формированию портфеля ценных бумаг на основе одноиндексной модели является оригинальным, но в то же время отметим, что возможности современного регрессионного анализа использованы не в полном объеме. Правда, некоторые из этих возможностей, в частности адаптивный регрессионный анализ, в то время только зарождались. Но не решены проблемы и по более простым ситуациям. Например, как поступать в случае, когда коэффициент а, одноиндексной модели статистически незначим? Нужно ли это понимать, что средняя доходность соответствующего актива равна нулю, или финансовый актив, для которого не удается построить одноиндексную модель со статистически значимыми коэффициентами, исключается из рассмотрения. Рекомендаций нет. К счастью, данных проблем не возникает в случае применения адаптивного регрессионного анализа, но об этом ниже.

Опустив детали формирования модели портфеля У. Шарпа, выпишем матричный вид оптимизационной задачи для понимания того, каким образом в ней задействованы коэффициенты одноиндексной модели (2):

где =(и'1,...,и'п,и'п+1)- вектор весовых коэффициентов, определяющих

структуру портфеля, включающего дополнительный актив, которым является рыночный индекс;

— диагональная матрица с элементами из остаточных дисперсий до-ходностей активов сг], и дисперсии доходности рыночного индекса а);

(2)

• w'i = 1,

(3)

мг' = (и>1,...,и'л )- вектор структуры портфеля;

а' = (а,,...,ал,7у)- вектор коэффициентов одноиндексной модели (2) с последней компонентой, равной ожидаемой доходности рыночного индекса;

Р' = (Д,...,Д1)- вектор коэффициентов при факторной переменной одноиндексной модели (2);

п - число финансовых активов, включаемых в портфель. Адаптивный вариант одноиндексной модели превращает ее коэффициенты в величины, изменяющиеся с течением времени. Причем происходящие изменения в большей степени отражают тенденции, содержащиеся в последних наблюдениях. Вычисление остаточной дисперсии в этих моделях тоже осуществляется с учетом весовых коэффициентов, учитывающих старение данных. Из сказанного непосредственно следует, что модель портфельного инвестирования, построенная с использованием адаптивной регрессии, формально не отличается от модели У. Шарпа. Но содержательный смысл величин, формирующих модель, несколько иной. Основное отличие в том, что эти величины уже не являются усредненными значениями по всему исследуемому периоду. Они получаются как значения, оцененные по экспоненциально взвешенным данным выборочной совокупности. Процедура экспоненциального взвешивания устроена таким образом, что позволяет, со специально определенной через значение параметра скоростью, забывать тенденции прошлого, усиливая за счет этого тенденции текущего периода. Именно поэтому, модель портфельного инвестирования, построенная на основе адаптивной регрессии, ориентирована на доходность, которую включенные в нее активы могут принести в конце исторического периода. В виду того, что данные упреждающего периода, как правило, в меньшей степени отличаются от последних данных исторического периода и, вероятность потери портфелем своих оптимальных свойств невысока, и он окажется эффективным на упреждающем отрезке времени. Именно такой эффект, будет обеспечивать портфель ценных бумаг, построенный на основе адаптивных одноиндексных моделей.

Для понимания механизма формирования такого эффекта ниже приведено подробное описание процедуры построения адаптивной регрессии.

Матричное представление одноиндексной модели /-го актива в момент / имеет вид (4). Соглашаясь с тем, что коэффициенты модели (4) изменяются во времени, причем эти изменения происходят несколько медленнее, нежели изменение доходности активов, то их значения для момента времени / будем определять путем минимизации экспоненциально взвешенной суммы квадратов отклонений фактических значений от расчетных (5).

гл=1;Л+£•«■» (4)

МР) = АгЁтт г,.,Ь(1-(/>)]' • (5)

у=1

где Ь,'(. = (а,., Д)- вектор коэффициентов одноиндексной модели;

г(/ = (1, гарасширенный вектор-строка доходностей рыночного индекса;

р = (0,1) - параметр экспоненциального сглаживания. В нашем исследовании минимизация выражения (5) осуществляется с помощью рекуррентной процедуры экспоненциально взвешенного метода наименьших квадратов (хотя аналогичный результат можно получить путем решения системы уравнений, сформированной после дифференцирования выражения (5)), что позволяет рассматривать модель (4) как адаптивную и записать ее в виде (6).

где С,' - матрица обратная к матрице системы нормальных уравнений экспоненциально взвешенного метода наименьших квадратов.

Значения параметра сглаживания р заключены между 0 и 1. Поскольку он является единым для одноиндексных моделей, справедливо заключить, что общая модель портфельного инвестирования зависит от этого параметра. Данная зависимость ставит вопрос о способе определения этого параметра. С одной стороны, на параметре р можно не и заострять внимание, действуя в соответствии с логикой построения независимых моделей. В таких ситуациях параметр настраивается локально с целью повышения экстраполяционной точности каждой модели доходности активов портфеля. С другой стороны, в описанном выше случае модель портфельного инвестирования в целом не наделяется собственными адаптивными свойствами. Желание наделить ее такими свойствами требует, чтобы параметр адаптации р был единственным и настраивался в соответствии с оптимизацией критерия, характеризующего эффективность портфеля ценных бумаг.

Возможность реализации такого подхода существует. Все регрессионные модели имеют единственный и общий фактор - рыночный индекс. Это обстоятельство позволяет значительно сократить расчеты, связанные с построением модели портфельного инвестирования. Сокращение происходит за счет того, что адаптивная корректировка каждой модели содержит одну и ту же величину, которая без труда определяется из соотношения (7) и, которая, естественно, рассчитывается один раз, но используется во всех моделях. Обратная матрица С,""1 также рассчитывается в единственном экземпляре. В совокупности эти два обстоятельства позволяют говорить о специфических условиях формирования адаптивной модели портфельного инвестирования, в которой преобладают тенденции последнего периода.

Последняя операция, завершающая построение этой модели, предусматривает корректировку остаточных дисперсий, стоящих на главной диагонали матрицы . Корректировка осуществляется после пересчета коэффициентов

К=г„ь „(р),

(6)

К(р) = 1' [г, - гЛ-ЛР)] ,

г1/<-/-|г</ + р

(7)

(8)

одноиндексных моделей в соответствии с выражением (5), определяющим экспоненциально взвешенную сумму квадратов отклонений расчетных значений от фактических, по следующей формуле:

, V _ (гм1 - Г,+1/Ь)+1,- {р)\

--зт—;-

+ 1 ' (9) где аги\,{р)~ остаточная дисперсия г'-ой акции, рассчитанная с учетом действия адаптивного механизма по /+/-му наблюдению;

_ остаточная дисперсия г'-ой акции, рассчитанная на предыдущем шаге вычислений;

С -число степеней свободы в знаменателе формулы определения остаточной дисперсии модели, оцененной на предыдущем шаге вычислений.

Завершенный вариант задачи формирования портфельного инвестирования, усовершенствованной одношаговым адаптивным механизмом (6)-(8), в момент / записывается следующим образом:

(р)™т>I ->41111

где диагональная матрица, элементы которой представляют собой

остаточные дисперсии адаптивных одноиндексных моделей доходностей финансовых активов, включенных в портфель ценных бумаг, в момент времени и Очевидно, что особенностью данной модели является зависимость ее характеристик от параметра сглаживания р, который должен настраиваться по критерию, характеризующему эффективность портфеля. По нашему мнению, для этих целей разумно использовать модификацию известного коэффициента У. Шарпа. В связи с тем, что основным назначением адаптивных моделей портфельного инвестирования является формирование портфеля, устойчивого к неопределенности упреждающего периода, оригинальный вид коэффициента У. Шарпа, характеризующий отношение ожидаемой портфельной премии за риск к стандартному отклонению его доходности, для нас неприемлем. Наша модификация заключается в замене вероятностной оценки премии в числителе формулы на фактическое значение доходности портфеля на упреждающем периоде (11). Мы склонны полагать, что параметр р достигает оптимального значения р', когда на всем периоде обучения минимум модифицированного коэффициента У. Шарпа является максимальным по сравнению с минимумами при иных р.

БИагре, (р) = лу;Л(] (р)лу,„„ (11}

где г/+1 - вектор фактических доходностей активов портфеля на периоде тестирования.

Результат вычислительного эксперимента, осуществленного с использованием данных о ценовой динамике четырех акций первого эшелона за период с 03.01.2012 по 07.03.2012 гг. на объединенной фондовой бирже ОАО ММВБ-РТС, подтвердил эффективность портфеля У. Шарпа, включающего одношаговый адаптивный механизм (см. табл. 1). Более того, положительный финансовый результат адаптивного портфеля (0,647) на упреждающем периоде был получен на фоне снижения доходности рыночного индекса (-0,660).

Таблица 1

Характеристики адаптивных портфелей на периодах обучения и упреждения

^ Период Г [оказатель~~~-~-____ Назначение периода

Обучение Проверка

1+1 1+2 1+3 1+4 1+5

Доходность, % 0,985 -0,221 -0,372 0,672 0,647

Риск, % 0,995 1,046 1,042 0,989 0,962

Коэффициент Шарпа 0,990 -0,211 -0,357 0,679 0,673

3. Многошаговая адаптивная модель портфельного инвестирования У. Шарпа

Рассмотренный адаптивный механизм, нередко подвергается чрезмерному влиянию последнего наблюдения. Этот эффект распространяется и на модель портфельного инвестирования. Для инвестора с краткосрочным горизонтом инвестирования данный эффект следует признать полезным. В то же время при периоде упреждающих расчетов г > 1 вероятность негативного проявления эффекта последнего наблюдения высока и может привести к искаженному представлению о доходности активов портфеля. Объясняется эффект последнего наблюдения очень просто. В каждом отдельном наблюдении текущего момента, по которому осуществляется корректировка модели, доля полезной информации о будущем по мере роста упреждающего периода снижается. Из этого следует, что модели с одношаговым адаптивным механизмом имеют ограниченный диапазон применения.

Любые усложнения одношагового адаптивного механизма хотя и могут привести к некоторому снижению негативных последствий этого эффекта, но полного решения этой проблемы обеспечить не могут. Проблема носит принципиальный характер. В связи с этим возникает необходимость в разработке моделей, предусматривающих использование иных принципов обработки вновь поступающих наблюдений. Один из разумных шагов в этом направлении заключается в построении таких алгоритмов, которые предусматривают использование нескольких наблюдений для корректировки коэффициентов регрессионной модели на каждом шаге адаптации вместо одного.

Такие алгоритмы, в соответствии с принятой в литературе по адаптивному моделированию терминологией, называют многошаговыми. Механизм многошаговой процедуры устроен таким образом, что предусматривает одновременную реализацию в одном шаге нескольких шагов одношаговой процедуры. В основе построения такой модели лежит адаптивная регрессия,

поэтому сначала исследуем особенностями построения адаптивной регрессионной модели на основе многошаговой рекуррентной схемы оценивания.

В качестве процедуры для ее построения будем использовать рекуррентную схему МНК с многошаговой схемой обработки вновь поступающих данных. Варианты конкретной реализации этой схемы могут отличаться с одной стороны количеством вновь поступающих на обработку наблюдений, а с другой - способом формирования этих наблюдений в группу, которая принимается для одновременной обработки на каждом шаге. Очевидно, что нас интересуют случаи, когда группы обрабатываемых данных формируются из нескольких наблюдений. Если учесть, что в реальных ситуациях обновление динамических рядов, как правило, осуществляется периодическим добавлением одного наблюдения, то при построении вычислительной процедуры многошагового адаптивного алгоритма целесообразно использовать способ формирования порции данных из наблюдений по принципу скользящей замены, который применяют в процедуре вычисления скользящего среднего. В соответствии с этим принципом вновь поступившее наблюдение добавляется в конец группы, а хронологически самое раннее исключается из нее, т.е. группа из последовательности наблюдений (га>г„), (^„г^,), ...,(г,„г„) заменяется соответственно на {гы

'г*+1/)' (г*+2/'г*+2/)' ••ч('*,+1лг,+1/) • Такой способ формирования порции особенно удобен в тех случаях, когда для получения прогнозных оценок используются короткие временные ряды. Число наблюдений в группе одновременно обрабатываемых данных может быть произвольным, но его стремятся выбирать, исходя периода упреждения и, как станет ясно из дальнейшего изложения, в зависимости от получаемой точности результатов моделирования.

Для случая, когда вектор поправок адаптивной модели определяется по группе из т наблюдений, сформированной по вышеописанному принципу, экстремальная задача вычисления оценок вектора коэффициентов модели /го актива с использованием экспоненциально взвешенного квадратичного критерия может быть записана следующим образом:

Л п

Ь,Хр, т) = Агвппп Дгу+И -г,+иЬв(А т)Т (12)

м *=1 -1

Как и в случае одношаговой обработки, здесь минимизируется экспоненциально взвешенная сумма квадратов отклонений, но в отличие от нее, одно и то же значение весового коэффициента одновременно приписывается т различным отклонениям. Фактически взвешивается не отдельно каждое наблюдение, а сразу вся группа. Изменение размера группы (величины т) приводит к соответствующему перераспределению весовых коэффициентов между отдельными наблюдениями. А это значит, что коэффициенты регрессионной модели зависят еще от одного параметра, принимающего значения натурального ряда т = 1, 2,.... В записи коэффициента Ьл{р,т) присутствует параметр т, который также как и параметр р можно настраивать.

Дифференцирование функционала задачи (12) по Ь„(р,т) приводит для получения оценок Ъи{р,т) к следующей системе уравнений:

1Р'-"'"ТГ;„ь„(Р>>") = 03)

у=о *=1 М *=1

Если использовать весовую функцию из выражения (13) и Ь,в качестве матрицы весов, то систему (13) можно записать в более компактной форме:

г;;Ь,г,/Ь,,(Ат) = г;/Ь,г„. (14)

Решая систему (14) относительно Ь„(р,/я), получаем выражение для вычисления оценки вектора коэффициентов:

ь„(Аш)=(г;;ь,г„)-|г;/ь,г„ (15)

Чтобы (15) превратить в рекуррентную формулу для вычисления тех же самых оценок Ъи(р,т), будем считать, что после того, как была рассчитана

Ь,_и(р,от), поступило т новых наблюдений гт:1, в качестве которых рассматриваются последние наблюдения, известные к моменту Л Основываясь на этом предположении, запишем систему (15) в виде:

Ь,Хр,т) = (рг'г_иЬ,_,г,_„ + г'т„гт„У х + г'ш1гт,). (16)

Первая круглая скобка представляет собой обратную матрицу суммы двух матриц, первая из которых есть матрица системы нормальных уравнений, полученной для /-/наблюдения, а вторая - для п последних. Вторая - представляет сумму соответствующих слагаемых правой части этой системы.

Используя обозначение С, =г,^Ь,г,/и рекуррентную формулу обращения матриц, преобразуем систему к следующему виду:

ьи{р,т) = р-\с-;_, - с;>:,;(гт1/с;>:,, + р1„)-'г^С"',]х

X (рг;_1;Ь,+ г'т„гМ1). (17)

Продолжая преобразования, получим рекуррентную формулу:

гт„ -г>,-Ц(Л»0], (18)

Ь„.(р,ш) = Ь,_и(р,т) +С;>:„ (гт„С-\г'м, + р1т )

где С = р][с;' -с;>:„(г,„,;с;>:, + Р\т)"'г;„с

Выведенные рекуррентные формулы позволяют записать одноиндекс-ную модель с многошаговым адаптивным механизмом в следующем виде:

гт,/=гт,/Ь ,_у(р,т), (19)

Ь„(р,1я) = Ь_,(/>,т) + C:\rl,(г,„„С;>;„; + р1т)''[г„„, -г„,„], (20)

(21)

с;' = р' [с;.1, - с-',г:; (г„„,сг>:,;+Р\я)"' гт1/с;

Таким образом, многошаговая адаптивная модель портфельного инвестирования для момента времени / с использованием характеристик многошаговой адаптивной регрессии (19), зависящих от настраиваемых параметров, может быть записана следующим образом:

Г<+|«,(А = <1 = 1,

где диагональная матрица, элементы которой представляют со-

бой остаточные дисперсии многошаговых адаптивных одноиндексных моделей финансовых активов, включенных в портфель ценных бумаг;

Оптимальные значения параметров адаптации р = р и т = т как и в случае одношаговой модели настраиваются по коэффициенту У. Шарпа.

Нами был осуществлен вычислительный эксперимент с описанной выше моделью портфельного инвестирования. Начальное приближение моделей были получены по данным о ценовой динамике четырех «голубых фишек» с 03.01.2012 г. по 29.02.2012 г. Адаптивный пересчет коэффициентов модели осуществляется пять раз, четыре из которых относятся к периоду обучения (01.-07.03.2012 г.). По результатам же последней корректировки формируется портфель, который подлежит тестированию на упреждающем отрезку времени. Результаты моделирования при р' =0,15 и т = 5 приведены в таблице 2. Вычисление средних доходностей портфеля осуществим за пять дней, как при обучении, так и при проверке на упреждающем периоде, что соответствует величине группы одновременно обрабатываемых наблюдений т.

Таблица 2

Период По казател ь ии^фши-п па псричдал изучения и упреждения Назначение периода

Обучение Проверка

Г+7 Н-2 1+3 г+4 1+3

Средняя доходность 0,059 0,065 0,430 0,117 -0,022

Риск 0,469 0,264 0,160 0,154 0,231

Коэффициент Шарпа 0,126 0,247 2,696 0,763 -0,094

Среднее значение доходности адаптивного портфеля хоть и близко к нулю (-0,022), но средняя доходность рыночного индекса за аналогичный период оказалась на порядок ниже (-0,677). Как и в предыдущем примере с одношаговым адаптивным механизмом, данное обстоятельство делает закономерным вывод об эффективности портфеля У. Шарпа, включающего многошаговый адаптивный механизм.

4. Обобщенный вариант адаптивной модели портфельного инвестирования

Адаптивные регрессионные модели, приведенные ранее, имеют жесткую структуру адаптивного механизма. Настроенный на высокую точность кратко- и среднесрочных прогнозов жестко устроенный адаптивный механизм не позволяет с достаточной адекватностью отражать характер многообразия изменений, происходящих на фондовом рынке за пределами этих периодов

Желание расширить круг задач, эффективно решаемых с помощью адаптивного подхода, привел к необходимости создания моделей с более тонким механизмом настройки их реакции, обеспечивающей адекватность вне зависимости от величины упреждающего интервала. Ключевая идея построения таких моделей в способности настраивать структуру адаптивного механизма.

Специфика таких моделей состоит в том, что структура их адаптивного механизма заранее не фиксируется. Она выбирается автоматически из некоторого множества вариантов в процессе настройки параметров адаптации. Реализация такой возможности обеспечивает построение адаптивных моделей с оптимальной для конкретного набора данных рекуррентной формулой пересчета их коэффициентов. Эти модели, обладая более тонким механизмом подгонки к конкретным данным, обеспечивают и более высокий уровень надежности результатов, получаемых с их помощью.

В качестве базовой будем рассматривать адаптивную одноиндексную модель (4). Получение обобщенной адаптивной модели осуществлялось в соответствии с принципом комбинирования критерия. Оптимизационная задача для вычисления оценок коэффициентов регрессии в этом случае имеет вид (23):

Ь„ = Агешш|(1 -у-~гД,]2 + уЪр'4Мм- "ГА]2 +

I м м

+л£р'-'[ г,Л-2/ "2гЛ-1/ +гА]21' (23)

где Ь„.=Ь„(р,А,у).

Рассмотрим назначение каждого из слагаемых функционала задачи (23).

Первое слагаемое комбинированного критерия (взвешенная сумма квадратов отклонений расчетных значений от фактически наблюдаемых) ориентирует на получение оценок Ъ,Хр,А,у), обеспечивающих максимально возможную точность аппроксимации, за счет сглаживающего параметра ре[0;1), управляющего распределением степени влияния ретроспективных данных на прогнозное значение в зависимости от их «возраста».

Второе слагаемое (взвешенная сумму квадратов отклонений расчетных значений от предсказанных) предназначено для снижения реакции в оптимальном решении до минимально возможного уровня, когда текущие оценки Ь1((р,Я,у) мало отличны от предыдущих Ь,_и(р,Л,у). Вклад двух первых слагаемых регулируется величиной параметра ре[0;1]. Чем выше доля вклада стабилизирующего члена, тем меньше относительный уровень реакции. Оптимальная настройка параметра у повышает корректирующие возможности адаптивного механизма, обеспечивая, в случае необходимости, более осторожную корректировку коэффициентов по вновь поступающим данным, что позволяет сбалансировать степень точности аппроксимации новых наблюдений и устойчивость прогностических свойств модели. Модификация значи-

тельно расширяет диапазон варьирования уровнем реакции адаптивной модели, его границы не уже, чем у моделей адаптивной фильтрации.

Параметр Л е[0;1] также предназначен для управления реакцией модели. Свою роль он выполняет несколько иначе, чем параметр у. Отличие состоит в том, что управление реакцией осуществляется не за счет непосредственного снижения ее уровня. Здесь применяется процедура сглаживания текущего вектора поправок предусматривающая замену значения текущего вектора поправок на линейную комбинацию, в которую кроме текущего включается значение предшествующего вектора поправок, определяемого разностью (b,_„.-Ь,_2/). Стабилизирующая роль третьего слагаемого заключается не в минимизации самого уровня реакции, а в минимизации отклонений между соседними по времени уровнями. Это сглаживает чрезмерные скачки реакции адаптивной модели в случае «выбросов» или отдельных наблюдения с высоким уровнем случайной ошибки, аппроксимация которых искажает модель, ухудшая ее прогностические возможности. Это является существенным, потому как в адаптивном моделировании обработка данных осуществляется последовательно, а проверка исходных данных на однородность a priori не предусмотрена.

Значения параметров у и Л, определяющих долю участия каждого слагаемого в комбинированном критерии, удовлетворяют следующим неравенствам: у>0, Л > 0, у + Л<1. Очевидно, что в случае у = 0 и Л = 0 уровень реакции при прочих равных определяется только величиной параметра р, т.е. обобщенная адаптивная модель превращается в базовую модель вида (4).

Адаптивный алгоритм вычисления оценок Ь„. = Ь„(р,у,Л), минимизирующих функционал задачи (23), с точностью до настраиваемых параметров адаптации р, у и Л задается рекуррентной формулой:

b,; = Ь,_„. + л[ъ,_и - b,_,] + ffi (1 - Г - Л)[г„ - r„b,„] (24)

i-l1»/ + и л

Тогда одноиндексная модель, в которой текущие значения коэффициентов вычисляются с помощью этой формулы (24), имеет вид:

^г, =г,+гД_„., г = 0, 1, 2, ..., (25)

6,М-,, + 4<W-К^-^-^-у-Л)^ -гД J,

+Р

ГГ'г'г С"1

с:',- ,

Реакцию модели (25)-(27) представим в следующем виде:

(26) (27)

и„ = г„ |л' [ь01 - Ь,_„] + (1 - г - А)ХЯ''-ЛЬ,,. (р)е, |. (28)

В зависимости от настройки параметров р = р', у = у\ Л = Я', реакция может изменять не только свой уровень при одном и том же входном воздействии г,, но и сам принцип формирования этого уровня. Все возможные случаи нетрудно проследить, комбинируя различные сочетания граничных значений параметров у и Л. Такая гибкость реакции обеспечивается многовариантной структурой самого адаптивного механизма. В связи с этим будем называть его адаптивным механизмом с настраиваемой структурой. Основное отличие прогнозных моделей с настраиваемой структурой адаптивного механизма от моделей, имеющих неизменную его структуру, очевидно. Они позволяют подбирать из некоторого множества алгоритм, наиболее приемлемый для корректировки коэффициентов для каждого набора данных.

Стоит признать, что повышение надежности достигается за счет более громоздкой процедуры настройки параметров адаптации. Это связано с тем, что в адаптивном механизме рассматриваемых моделей предусматривается использовать не один, а несколько настраиваемых параметров сглаживания.

С учетом вышеизложенных рассуждений и ранее введенных обозначений, модель портфельного инвестирования У. Шарпа с настаиваемой структурой од-ношагового адаптивного механизма (25)-(27) в момент / имеет вид:

<+1а п+1(р,А,у) =/I, (29)

<1 = 1,

По аналогии с рассмотренным одношаговым механизмом настраиваемой структуры можно выстроить рассуждения и в отношении многошагового адаптивного механизма с настраиваемой структурой.

Учитывая ранее введенные обозначения, модель портфеля У. Шарпа с настраиваемой структурой многошагового адаптивного механизма имеет вид:

' ' <1 = 1,

где т - параметр, отражающий число одновременно обрабатываемых наблюдений в группе.

Вычислительный эксперимент с описанными выше моделями был осуществлен по данным, аналогичным ранее использованным. В ходе настройки параметров сглаживания в модели с одношаговым адаптивным механизмом настраиваемой структуры было выяснено, что оптимальная конфигурация ме-

ханизма адаптации для используемых данных достигается при значении параметров р,у,Х соответственно 0,95, 0, 0. Этот результат соответствует ранее полученному (см. табл. 1). Нет необходимости приводить его вновь.

В эксперименте с моделью (30) оптимальные значения параметров сглаживания следующие: /7 = 0,15, Я и у определяются из соотношения Л + у*1. Значение т=5 выбрано экзогенно. Результат моделирования приведен в таблице 3. Вывод о преимуществах портфельного инвестирования с использованием модели У. Шарпа, усовершенствованной адаптивным механизмом настраиваемой структуры, очевиден. Об этом в частности свидетельствует соотношение значений средних доходностей адаптивного портфеля (0,130) и рыночного индекса (-0,677) на упреждающем периоде. Несмотря на то, что результат тестирования ?+/-го адаптивного портфеля несколько уступает результату рыночного индекса в среднем, он является устойчиво положительным.

Таблица 3

^^^^^ Период Показатель — Назначение периода

Обучение Проверка

1+1 1+2 1+3 1+4

Средняя доходность портфеля, % 0,533 0,319 0,579 0,360 0,130

Риск, % 0,498 0,411 0,355 0,315 0,290

Коэффициент Шарпа 1,072 0,776 1,629 1,143 0,447

Средняя доходность рыночного индекса, % | 0,970 0,054 0,276 -0,374 -0,677 1

3. ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

На основе выполненных в диссертационной работе теоретических и прикладных исследований в области адаптивного моделирования портфельных инвестиционных решений сформулированы выводы, заключающиеся в следующем:

1. Принцип адаптивного воспроизведения динамики неоднородного рынка на основе аппарата эффективного рынка в диссертационной работе использован для модификации моделей портфельного инвестирования с целью повышения и расширения ее прикладных возможностей. Вопрос об универсальности данного принципа, позволяющей его применять в других моделях эффективного рынка, в диссертации не обсуждался. В то же время успех практического использования некоторых моделей эффективного рынка, как правило, связан с неявно присутствующими в расчетах элементами адаптации. Если согласиться с тем, что реальность лучше описывается гипотезами фрактального рынка, чем эффективного, то из логики наших рассуждений

следует вывод, в соответствии с которым модели эффективного рынка с инкорпорированным адаптивным механизмом могут успешно использоваться в условиях фрактального рынка.

2. Модель портфельного инвестирования Шарпа имеет уникальные возможности, благодаря которым она легко модифицируется в зависимости от изменений ее образующей одноиндексной модели. Поэтому закономерно, что адаптивный вариант одноиндексной модели является основой для построения адаптивной модели портфельного инвестирования. Возникает закономерный вопрос: «Является ли модель портфельного инвестирования, построенная на основе адаптивных одноиндексных моделей сама адаптивной?» Результаты диссертационного исследования позволяют утверждать, что модель адаптивная, так как в ней предусмотрен механизм изменения коэффициентов в зависимости от настраиваемого по специальному критерию параметра адаптации. Модель, по сути, реализует подход, который можно рассматривать как пример адаптивного моделирования инвестиционных решений. С ее помощью можно осуществлять обоснование решений, принимаемых инвесторами с краткосрочным инвестиционным горизонтом.

3. Если согласиться с гипотезой фрактального рынка, постулирующей наличие на рынке инвесторов с различными инвестиционными горизонтами, то возникает вопрос построения адаптивных моделей, обеспечивающих обоснование инвестиционных решений, ориентированных на среднесрочный горизонт инвестирования. В диссертационной работе для построения таких моделей предлагается использовать многошаговую адаптивную процедуру. В отличие от одношаговой многошаговая адаптивная процедура позволяет в параметрах адаптивной модели концентрировать информацию, содержащуюся не в одном, а в целой группе последних наблюдений. Это позволяет надеяться на то, что подобную модель можно использовать для обоснования портфельных решений со среднесрочным инвестиционным горизонтом. Возможность построения адаптивных моделей портфельного инвестирования с различной целевой направленностью позволяет говорить о создании специального класса моделей обоснования решений, принимаемых на фрактальном рынке.

4. В рассмотренных выше двух моделях возможности адаптивного подхода использованы не в полном объеме. Это модели с заранее определенной структурой адаптивного механизма. Понятно, что адаптация по заранее определенной схеме ограничена в способах, с помощью которых предусматривается корректировка параметров модели, Возможности адаптации расширяются, если способ корректировки определяется одновременно с настройкой параметров адаптации. Достигается это за счет введения дополнительных настраиваемых параметров адаптации. Применение процедуры с настраиваемой структурой адаптивного механизма обеспечивает построение обобщенного варианта адаптивной модели портфельного инвестирования, которая на данном этапе исследования завершает формирование нового класса адаптивных моделей портфельного инвестирования.

4. ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Публикации в изданиях из перечня ВАК РФ

1. Бахолдин C.B. Адаптивный портфель ценных бумаг на основе модели Шарпа / C.B. Бахолдин // Современная экономика. - 2011. - №12 (24) -С. 173-178.

2. Бахолдин C.B. Одношаговая адаптивная модель портфельного инвестирования У. Шарпа / C.B. Бахолдин, В.В. Коротких // Современная экономика. - 2012. - №1 (25). - С. 187-192.

3. Акопян Е.А. Адаптивные стратегии портфельного инвестирования / Е.А. Акопян, C.B. Бахолдин // Современная экономика. - 2012. - №1 (25). -С. 181-186.

Публикации в других изданиях

4. Давние В.В. Адаптивный подход к обоснованию инвестиционных решений на фондовом рынке / В.В. Давние, C.B. Бахолдин // Современная экономика.-2011,-№5 (17).-С. 146-152.

5. Бахолдин C.B. О необходимости применения механизма адаптации при моделировании процессов фондового рынка / C.B. Бахолдин, В.В. Коротких // Анализ, моделирование и прогнозирование экономических процессов: материалы III международной научно-практической интернет-конференции / под ред. JI.IO. Богачковой, В.В. Давниса. - Воронеж: ЦНТИ, 2011.-С. 42-44.

6. Бахолдин C.B. Адаптивные портфельные решения на фондовом рынке / C.B. Бахолдин // Финансовые рынки: модели, риски, решения: материалы I международной научно-практической интернет-конференции / под ред. В .И. Тиняковой. - Воронеж: ЦНТИ, 2011. - С. 7-9.

7. Давние В.В. Адаптивный вариант одноиндексной модели Шарпа / В.В. Давние, C.B. Бахолдин // Анализ, моделирование и прогнозирование экономических процессов: материалы II международной научно-практической интернет-конференции / под ред. Л.Ю. Богачковой, В.В. Давниса. - Воронеж: ЦНТИ, 2010. - С 110-112.

' ь

Подписано в печать 19.04.2012. Формат 60x84/16. Усл. печ. л. 1,5. Тираж 100 экз. Заказ 10064

Отпечатано с готового оригинал-макета в репроцентре ООО РИФ "Кварта" 394016, Воронеж, Ученический пер., 5 Тел. (473) 275-55-44.