Моделирование риск-предикторных оценок стоимости опционов с учетом распределенной волатильности тема диссертации по экономике, полный текст автореферата

Автореферат диссертации по теме "Моделирование риск-предикторных оценок стоимости опционов с учетом распределенной волатильности"

На правах рукописи

0046И

Суюнова Гульжан Бектимировна

МОДЕЛИРОВАНИЕ РИСК-ПРЕДИКТОРНЫХ ОЦЕНОК СТОИМОСТИ ОПЦИОНОВ С УЧЕТОМ РАСПРЕДЕЛЕННОЙ ВОЛАТИЛЬНОСТИ

Специальность: 08.00.13 Математические и инструментальные методы экономики

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата экономических наук

Воронеж 2010

2 2 ИЮЛ 2010

004607230

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Воронежский государственный университет»

Научный руководитель доктор экономических наук, доцент

Тинякова Виктория Ивановна

Официальные оппоненты: доктор экономических наук, профессор

Яновский Леонид Петрович;

кандидат экономических наук, доцент Булгакова Ирина Николаевна

Ведущая организация Государственное образовательное учреж-

дение высшего профессионального образования «Волгоградский государственный университет»

Защита состоится 6 июля 2010 г. в 15 час. 00 мин. на заседании объединенного диссертационного совета ДМ 212.038.21 в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Воронежский государственный университет» по адресу: 394068, г. Воронеж, ул. Хользунова, 40, а. 225.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Воронежский государственный университет».

Автореферат разослан 4 июня 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Тинякова В.И.

I. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Текущий экономический кризис корнями уходит в процессы, протекающие на финансовых рынках. Особенно благоприятной средой для развития кризиса оказались срочные рынки.

Инструменты срочного рынка, изначально предназначенные для хеджирования риска неблагоприятного изменения рыночных цен, превратились в средство получения инвесторами сверхприбыли за счет предоставляемого этими инструментами мощного финансового плеча.

Большими спекулятивными возможностями обладают опционы, торговля которыми в силу либерализации регуляторов финансовых рынков может осуществляться вне биржи, что позволяет не отражать результаты этих сделок в бухгалтерских балансах банков и инвестиционных фондов.

Кроме того, ситуация осложняется отсутствием методов реальной оценки стоимости опционов. Широко известная методика риск-нейтрального оценивания, создав миф справедливой цены, на самом деле обеспечивает расчет только теоретической цены, используемой в качестве инструмента регулирования биржевой торговли опционами.

Все это создает условия, в которых инвесторы берут на себя неоправданно высокие риски, способствуя тем самым появлению необеспеченных виртуальных активов. Их недостаточная обоснованная стоимостная оценка, а также повышенная рисковая нагрузка приводят к потере ликвидности и устойчивости рынка.

Таким образом, актуальность темы диссертационного исследования определяется необходимостью разработки математического аппарата моделирования реальных оценок стоимости опционов, в которых учтена волатиль-ность, измеряющая уровень неопределенности текущей рыночной ситуации.

Работа выполнялась в соответствии с комплексной программой научных исследований кафедры информационных технологий и математических методов в экономике Воронежского государственного университета «Математическое моделирование и информационные технологии в управлении экономическими процессами».

Степень изученности проблемы. Теоретические исследования срочного рынка, в том числе, рынка опционных контрактов, всегда были тесно связанными с практикой инвестиционной деятельности. Не случайно результаты, полученные Ф. Блэком, М. Шоулсом, Р. Мертоном, Дж. Коксом, С. Россом, М. Рубинштейном и широко используемые фондовыми биржами, принято считать основами современной теории оценивания опционов. Исследования в рамках предложенной ими концепции риск-нейтрального оценивания проводились зарубежными (С. Вайном, Дж. Грэби, Р. Колбом, М. Миллером, Ш. Натенбергом, Л. Скоттом, А. Такером, М. Томсетом, Дж. Халлом) и оте-

чественными (А.Н. Балабушкиным, А.Н. Бурениным, В.А. Галановым, Д.Ю. Голембиовским, A.B. Мельниковым, А.Б. Фельдманом, JI.A. Чалдаевой, А.Н. Ширяевым, Л.П. Яновским) учеными.

Рамки данной концепции позволяют получать оценки, с помощью которых удается отделить друг от друга спрос и предложение опционов, что представляет практический интерес, главным образом, для биржи. В то же время инвесторы нуждаются в эффективном инструменте, с помощью которого они могли бы обосновать собственные решения и оценить возможные потери.

Измерение возможных потерь связывают с оценкой волатильности. Проблемам моделирования и прогнозирования волатильности посвящены работы многих отечественных и зарубежных ученых: Т. Андерсен, Т. Боллерслев, Ф. Брейдт, Дж. Бюссе, В.В. Давние, Р. Ингл, Дж. Кэмпбелл, Ю.П. Лукашин, М. МакАлир, С. Тейлор, Дж. Флэминг и др. В то же время не до конца исследованной осталась проблема точности воспроизведения фактически наблюдаемой волатильности, что зачастую приводит к формированию ошибочного представления о возможных рисках.

Объект исследования - эволюция и волатильность цен базовых активов опционов, торгуемых на площадках ОАО «Фондовая биржа РТС».

Предмет исследования - математический аппарат моделирования оценок стоимости опционов и волатильности цен базовых активов.

Цель и задачи исследования. Целью исследования является развитие математического аппарата оценивания опционов путем разработки моделей, обеспечивающих расчет прогнозных оценок внутренней стоимости опционов.

Цель исследования предопределила постановку и необходимость решения следующих задач:

■ определить перспективное направление развития математического аппарата оценки стоимости опционов;

■ предложить, проведя соответствующее теоретическое обоснование, новый измеритель риска в виде распределенной волатильности;

■ разработать модель оценки распределенной волатильности для прогнозирования шоковых составляющих динамики финансовых активов;

■ предложить процедуру определения порядка модели распределенной волатильности;

■ разработать методику, обеспечивающую получение более правдоподобных оценок стоимости опционов, чем риск-нейтральные оценки;

■ провести верификация разработанного математического аппарата.

Область исследования. Содержание диссертации соответствует п. 1.6

«Математический анализ и моделирование процессов в финансовом секторе экономики, развитие метода финансовой математики и актуарных расчетов»

специальности 08.00.13 Математические и инструментальные методы экономики Паспорта специальностей ВАК РФ.

Теоретико-методологическую основу исследования составили фундаментальные разработки отечественных и зарубежных ученых в области моделирования финансового рынка в целом и рынка опционных контрактов в частности, прогнозирования эволюции цен финансовых активов и анализа их волатильности. Для решения задач прикладного характера применялись методы теории вероятностей, финансовой математики, эконометрического и имитационного моделирования, экспертного оценивания. Расчеты проводились с использованием программно-инструментальных средств MS Excel и Statistica.

Информационно-эмпирическую базу исследования составили данные, содержащиеся в информационно-аналитических материалах по исследуемой проблеме, представленные в научной литературе, периодической печати, а также архивы котировок акций, размещенные на сайте Российской торговой системы (www.rts.ru).

Научная новизна исследования состоит в разработке подхода к моделированию правдоподобных оценок стоимости опционов на основе введенных понятий: «риск-предикторная оценка» и «распределенная волатильность». Данный подход не требует выполнения предположений классической теории оценивания опционов, что обеспечивает возможность его использования в задачах оценки стоимости экзотических опционов.

Научную новизну содержат следующие результаты, полученные лично автором:

1. Введено понятие «распределенная волатильность», трактуемое как математическое ожидание случайной величины со значениями в виде усредненных оценок возможных отклонений доходности финансового актива от тренда. Распределенная волатильность:

■ реализует вероятностный механизм взаимосвязи доходности финансового инструмента с активностью рынка;

■ позволяет получать не только метрическую, но и энтропийную оценку неопределенности ситуации;

■ является дифференцируемой функцией, для которой можно рассчитать предельные эффекты,

что очень важно при реализации опционных стратегий, основанных на торговле волатильностью.

2. Разработана система из двух линейных и одного нелинейного эконометрического уравнения, реализующая идею стохастической взаимосвязи между уровнем активности рынка и волатильностью финансового актива, что позволяет создать инструмент в виде модели распределенной волатильности

для прогнозирования шоковых составляющих эволюции цен финансовых активов.

3. Предложена процедура определения порядка модели распределенной волатильности, в соответствии с которой выбирается модель, наиболее точно по квадратичному критерию воспроизводящая на историческом периоде колебания в динамике актива.

4. Введено понятие «риск-предикторная оценка стоимости опциона», которое интерпретируется как математическое ожидание прогнозных оценок внутренней стоимости опциона. Риск-предикторные оценки, обладая более высокой правдоподобностью, чем риск-нейтральные, являются предпочтительным инструментом для инвесторов при обосновании принимаемых решений.

5. Разработана методика риск-предикторного оценивания стоимости опционов с учетом распределенной волатильности, реализующая схему расчетов по комбинированной модели из трех составляющих: экстраполяцион-ной, отвечающей за многовариантное описание динамики финансового актива на упреждающем периоде; экспертно-аналитической, отвечающей за формирование шкал оценки уровня активности рынка и предпочтительного варианта ожидаемой стоимости базового актива; имитационной, воссоздающей многообразие возможных ситуаций упреждающего периода.

Теоретическая значимость исследования определяется введением в научный оборот новых понятий («риск-трендовая оценка стоимости опционов», «распределенная волатильность»), а также разработкой новых и адаптацией известных моделей, используемых в задачах оценки стоимости опционов и прогнозирования волатильности цен базовых активов. Полученные результаты формируют научно-методическую основу дальнейших исследований, ориентированных на развитие и совершенствование математического аппарата обоснования инвестиционных решений на рынке опционных контрактов.

Практическая значимость диссертации определяется тем, что сформулированные в ней теоретические положения, разработанные модели и методики, практические выводы и рекомендации могут быть использованы широким кругом инвесторов (инвестиционными компаниями, предприятиями, специалистами, занимающимися инвестированием), осуществляющими свою деятельность на рынке опционных контрактов с целью страхования своих рисков или для получения дополнительной прибыли.

Апробация и внедрение результатов исследования. Основные результаты работы прошли апробацию и получили положительную оценку на семинарах и научных сессиях в Воронежском государственном университете и Пятигорском государственном технологическом университете; международных научно-практических конференциях: «Анализ, моделирование и прогно-

зирование экономических процессов» (Воронеж, 2009), «Управление экономическими системами» (Пенза, 2009), «Теория и практика функционирования финансовой и денежно-кредитной системы России» (Воронеж, 2009), «Экономическое прогнозирование: модели и методы» (Воронеж, 2010), «Актуальные проблемы учета, экономического анализа и финансово-хозяйственного контроля деятельности организаций» (Воронеж, 2010).

Основные результаты исследования используются в учебном процессе ГОУ ВПО «Пятигорский государственный технологический университет» и в практической деятельности ООО «Финам - Пятигорск».

Публикации. По теме диссертационного исследования опубликовано 12 работ, в том числе 2 статьи в журналах, рекомендованном ВАК РФ. Список публикаций приведен в конце автореферата. В работах [1-3, 7-11], выполненных в соавторстве, соискатель: ввел понятие «распределенная волатиль-ность» и предложил модель для оценки такой волатильности; исследовал возможности эконометрического моделирования для оценки внутренней стоимости опционов; предложил эконометрическую модель эволюции цен базового актива на (В,8)-рынке; разработал методику расчета риск-предик-торной оценки стоимости опционов.

Структура и содержание работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, библиографического списка из 149 наименований и приложения.

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, определены предмет и объект исследования, сформулирована цель и поставлены задачи, решение которых необходимо для ее достижения, раскрыта научная новизна, теоретическая и практическая значимость результатов исследования.

В первой главе «Моделирование стоимости опционов: теоретические основы и проблемные аспекты» дается характеристика основным типам опционов и раскрываются особенности функционирования рынка опционных контрактов. Анализируется современный аппарат оценивания стоимости опционов и определяется перспективное направление его развития. Обосновывается необходимость использования прогнозных оценок при оценке опционов. Выделяется специфика моделирования прогнозных оценок стоимости базовых активов.

Во второй главе «Моделирование распределенной волатильности базовых активов» рассматриваются проблемы моделирования волатильности финансовых активов. Вводится понятие «распределенная волатильность». Исследуются свойства распределенной волатильности и для ее прогнозирования предлагаются модели первого, второго и третьего порядка. Подробно обсуждаются вопросы ее практического использования в задачах прогнозной оценки внутренней стоимости опционов. Приводятся результаты вычислительных экспериментов по моделированию распределенной волатильности.

В третьей главе «Моделирование риск-предикторных оценок стоимости опционов» вводится понятие «риск-предикторная оценка стоимости опционов». Проводится сравнительный анализ риск-нейтральной, риск-трендовой и риск-предикторной оценок опционов. Предлагается методика риск-предик-торного оценивания стоимости опционов с учетом распределенной волатиль-ности. В основу методики положена комбинированная модель, в которой реализована идея многоуровневого стохастического взаимодействия рыночных процессов, формирующих стоимость базового актива. Приводятся результаты эмпирических исследований, свидетельствующих о практической реализуемости предлагаемой методики.

В заключении сформулированы основные выводы диссертационного исследования.

II. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ И РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1. Понятие «распределенная волатильность»

Волатильность является одной из важнейших характеристик доходности любого финансового инструмента. Понимаемая как общая мера неопределенности в динамике стоимости финансовых активов и характеризующая изменчивость их рыночной цены, она неоднозначно интерпретируется и может быть измерена различными способами. Чаще всего этим термином называют:

■ эмоциональную характеристику активности рынка;

■ колеблемость доходности финансового актива;

■ «истинное» значение величины, определяемой этим термином;

■ подразумеваемую (внутреннюю) изменчивость актива, используемую в оценках стоимости опционных контрактов;

■ риск портфеля ценных бумаг.

Неоднозначность смысла, вкладываемого в этот термин, естественным образом ориентирует на создание соответствующего многообразия моделей и методов для оценки уровня волатильности.

В настоящее время наибольшей популярностью пользуются две оценки волатильности: среднеквадратическое отклонение и УаЯ. Обе эти оценки обычно интерпретируют как риск и используют в различных методиках, применяемых для обоснования инвестиционных решений.

Как правило, в моделях, являющихся основой данных методик, волатильность рассматривается как фиксированный параметр, хотя в действительности ее величина с течением времени изменяется. Это касается и модели Марковица, и формулы Блэка - Шоулса. В них неявно предполагается, что волатильность в виде среднеквадратического отклонения зафиксирована на таком уровне, который будет иметь место в упреждающем периоде времени.

Другими словами, расчеты по этим моделям должны были бы проводиться с использованием прогнозных оценок волатильности. В классических вариантах названных моделей прогнозные оценки не используются, в силу чего они потеряли свою практическую ценность. Поэтому исследованиям по моделированию волатильности, с помощью которых делаются попытки исправить сложившуюся ситуацию, посвящено много работ.

В подавляющем большинстве работ, содержатся подходы к моделированию волатильности финансовых активов, в которых реализована идея, хорошо корреспондирующаяся с гипотезой эффективного рынка. Согласно этой гипотезе, вся информация о финансовом активе содержится в его цене, поэтому во всех моделях волатильности используется только та информация, которая содержится в цене самого моделируемого актива.

В диссертации предлагается подход, в котором реализуется предположение о том, что волатильность актива зависит от волатильности рынка. Но эта зависимость не корреляционно-регрессионная, хотя и такая, возможно, существует, а вероятностная в том смысле, что вероятность высокой волатильности любого актива повышается с ростом волатильности финансового рынка.

Данное предположение не противоречит гипотезе эффективного рынка, так как находится в полном соответствии с результатами, полученными У. Шарпом в рамках одноиндексной модели. В одноиндексной модели устанавливается регрессионная взаимосвязь между доходностью финансового актива и доходностью индекса. Эмпирические исследования подтверждают, что между доходностью индекса РТС и доходностью ценных бумаг, торгуемых на фондовой бирже РТС, такая взаимосвязь существует. Если существует взаимосвязь между доходностями, то, в силу того, что изменение доходности индекса и актива происходит одновременно, существует взаимосвязь и между волатильностями этих двух процессов.

Реализация предлагаемого подхода предусматривает построение модели, в которой должны найти отражение основные идеи, используемые при моделировании процессов финансового рынка. В этих идеях можно увидеть дискретное и непрерывное представление случайных процессов, описывающих эволюцию цен на базовые активы опционов, механизм отражения сложной природы случайной составляющей эконометрических моделей, описание моделируемых процессов несколькими уравнениями. Описываемые ниже модели в некотором смысле являются специфической реализацией этих идей.

Специфическая реализация предусматривает формирование модели, с помощью которой можно оценить распределенную волатильность, под которой понимается математическое ожидание случайной величины со значениями в виде усредненных оценок возможных отклонений доходности финансового актива от тренда и условными вероятностями реальности этих отклонений.

2. Модель прогнозирования распределенной волатильности.

Процедура определения порядка модели.

Чтобы понять, каким образом следует формировать механизм модели распределенной волатильности, с помощью которого в ней отражаются изменения, происходящие в динамике моделируемого актива, рассмотрим те модели, которые использовались в качестве примера для подражания. Это модели, которые, по сути, стали эталонными в силу того, что на них ориентируются все исследователи.

Важное место в данном списке занимает уравнение, которое связывают с именем Башелье и которое в модели Блэка - Шоулса описывает на микроуровне механизм формирования доходности акции

— = иМ + <7Ел/А?, (1)

где /1- средний уровень доходности; Анебольшой отрезок времени, на котором эта модель имеет смысл; а - риск, измеренный среднеквадратическим отклонением; е— нормально распределенная случайная величина с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией.

Первое слагаемое этого уравнения является непрерывной составляющей и представляет собой ожидаемый уровень доходности акции, а второе слагаемое - величину риска, который в каждом конкретном случае оказывает шоковое (заранее неизвестное) воздействие на уровень ожидаемой доходности, изменяя ее в ту или иную сторону в зависимости от знака и значения случайной величины е.

Модель распределенной волатильности тоже имеет две составляющих, одна из которых отражает изменения, происходящие во времени, а другая -возможность шоковых эффектов. Но механизм воспроизведения шоковых явлений построен на другом принципе. Чтобы его понять обратимся к биномиальной модели (5,5)-рынка, которую принято называть С/?/?-моделыо (моделью Кокса - Росса - Рубинштейна). Для корректного построения этой модели предполагается, что на рынке финансовые операции осуществляются с банковским счетом В = (В1)1г0 и одной акцией, цена которой обычно обозначается через £ = (5,),г0.

Цена на (В, 5) -рынке изменяется скачками в последовательные моменты времени и описывается уравнениями

В,={\ + г,)В,_и (2)

Я,=(1 + р,)£,-1 (3)

с В0 > 0 и 50 > 0.

Банковская ставка в (2) является константой, а доходность акции р = (р,),>1 представляет собой бернуллиевскую последовательность незави-

симых одинаково распределенных случайных величин ри р2,..., принимающих два значен™

Р,=\Ги' rd<ru (4)

Vd,

с вероятностями р = Р(р, = ги) и q = Р(р, =rd) соответственно.

В биномиальной модели (В, S) -рынка механизм воспроизведения шоковых эффектов построен на основе использования дискретной случайной величины. Отсутствие трендовой составляющей не означает, что с помощью этой модели описываются процессы без тренда. Если применить методологию имитационного моделирования и с помощью данной модели воспроизвести траекторию процесса, то окажется что полученная траектория обладает трендом, который сформирован под влиянием вероятностного распределения и величины скачкообразных изменений цены актива (4). Это интересный факт, но для нас важно то, что шоковую составляющую можно представлять как с помощью непрерывной случайной величины, так и с помощью дискретной.

Использование дискретной случайной величины для представления шоковой составляющей позволяет расширить возможности моделирования рисков. В частности, с ее помощью удается реализовать новую концепцию оценки волатильности финансовых активов. В рамках этой концепции волатиль-ность определяется как взвешенная величина шоковых эффектов (возможных значений дискретной случайной величины), оценка которых проводится с использованием данных исторического периода. Инструментом концепции являются эконометрические модели специального вида.

В простейшем случае модель, с помощью которой можно прогнозировать величину распределенной волатильности, записывается следующим образом:

г1=Щг,/г1_1) + <т1', (5)

d = М(г, / г, - М(г, / гм) < О U г, - М(г, / гм) > 0), (6)

а? = d-2d¥(z,b), (7)

- (8)

z,=r;,-M(r/(/r/M), (9)

где г,- доходность базовой акции в момент времени /; М(г, /г,_,)— условное математическое ожидание доходности базовой акции; d - средняя величина отклонения доходности акции от условного математического ожидания; af-распределенная волатильность доходности базовой акции в момент времени /; г,- отклонение значений индекса в момент времени t от условного матема-

тического ожидания; rlt - доходность индекса в момент времени I; М(гл / гпл)- условное математическое ожидание доходности индекса.

В отличие от выражения (1), имеющего смысл только на бесконечно малых отрезках времени, данная модель сохраняет возможность корректного применения на определенных интервалах времени. Это обстоятельство позволяет применять ее как для анализа, так и для прогнозных расчетов.

Условное математическое ожидание в выражении (5), как правило, представляет собой авторегрессионную модель первого порядка, с помощью которой описывается тренд стоимости актива. В качестве тренда можно использовать и другие модели экстраполяционного типа. В частном случае тренд может отсутствовать, и тогда условное математическое ожидание заменяется безусловным.

Оцениваемый параметр d является измерителем средней величины риска, с помощью которого в рамках модели определяется верхний предел и нижний предел ожидаемой средней доходности, по которым без труда рассчитываются потери покупателя и продавца ценной бумаги. Такой подход к измерению риска напоминает методику «риск-метрика», предложенную компанией J.P. Morgan для расчета VaR. И в предлагаемом подходе, и в подходе компании J.P. Morgan величина риска определяется в зависимости от вероятности. Но если при оценке VaR вероятность указывается инвестором, то величина риска, рассчитываемая по d с помощью выражения (7), в явном виде зависит от вероятностного распределения и индекса, характеризующего активность фондового рынка.

В модели (5)-(9) фигурирует логистическое распределение, которое в том виде, в котором оно записано, в эконометрике принято называть логит-моделью. Для этих же целей можно использовать пробит-модель с нормальным законом распределения. Однако логит-модель для наших целей предпочтительнее. Это связано с тем, что логит-модель допускает обобщение на случай более сложного вероятностного описания риска, чем это представлено в выражении (7). Необходимость построения более сложных вероятностных конструкций возникает, например, при моделировании неполных рынков.

Волатильность, представленная в виде (7), является дифференцируемой по z функцией. Следовательно, появляется возможность проведения предельного анализа, результаты которого дают наиболее полное представление о характере локального поведения доходности актива в зависимости от активности рынка. Дифференцируя (7) по z, получаем

(Ю)

где f(z,b) - функция плотности, связанная с соответствующим кумулятивным распределением F(z,b).

Анализ предельной эффективности фактора позволяет обнаружить, что максимально возможная предельная эффективность фактора достигается в тех точках, в которых плотность имеет наибольшее значение. Интересно, что именно в этих точках ситуация предпочтения варианта обладает самым высоким уровнем неопределенности. Это становится совершенно очевидным для логит-модели, если выражение для предельного эффекта записать через функцию распределения дар

—= -2i/f(z,b) F(z,b)(l - F(z,b))ft,. (11)

dz,

Максимальное значение первой составляющей, которая в данном выражении представлена произведением вероятностей, достигается при F(z,b) = 0,5, т.е. когда имеет место самый высокий уровень неопределенности. Вторая составляющая менее интересна для анализа. Она равна постоянной величине -2ей, и, в основном, играет роль мультипликатора, усиливающего или снижающего вклад первой в предельную эффективность.

Особенность распределенной волатильности в том, что она в отличие от а и VaR позволяет определить не только величину среднего или максимально возможного отклонения, но и через величину энтропии

Я, =-F(z,b)log2F(z,b)-(l-F(z,b))log2(l-F(z,b)) (12)

оценить уровень неопределенности. Причем между абсолютной величиной распределенной волатильности и уровнем неопределенности существует обратно пропорциональная взаимосвязь: чем ниже значение распределенной волатильности, тем выше уровень неопределенности.

Энтропийная характеристика распределенной волатильности может использоваться в качестве критерия для оценки того, насколько точно вола-тильность воспроизводит колебания моделируемого процесса. Введем для этого коэффициент

Н(е) Н{аУ

где Н{е) = -£(F(e,b)log2F(e,b) + (1 - F(e,b))log2(l-F(e,b))),

(13)

е, =г, -М(г,/гм),

Н(а) = -£(Р(а,Ь)1оё2Р(а,Ь) + (1 - Р(а,Ь))1оё2(1 - Р(о,Ь))). /

Значение введенного коэффициента заключено между 0 и 1. Если Кн = 0, то волатильностью воспроизводятся не те колебания, которые имеют место в реальности. При Кн = I волатильностью в точности воспроизво-

дятся колебания исторического периода. В отличие от сги УаЯ, с помощью которых воспроизводится средние и максимально возможные потери, с помощью распределенной волатильности удается получить оценку возможных потерь в каждой конкретной ситуации. Это свойство делает распределенную волатильность особенно привлекательной для практического использования.

Модель (5) - (9) позволяет определить простейший вариант распределенной волатильности, когда случайная величина, воспроизводящая значения волатильности, принимает всего два значения с вероятностями, зависящими от активности рынка. Эти два значения, по сути, задают интервал ожидаемых изменений доходности актива. Естественно, границы этого интервала ограничивают возможности описания изменчивости финансовых активов. Поэтому имеет смысл, сохранив основную идею распределенной волатильности, рассмотреть более сложный вариант этой модели. Принципы, заложенные в расширенный вариант модели, ориентированы на расширение диапазона возможных изменений доходности финансового актива и формирование более сложного механизма вероятностного описания природы распределенной волатильности.

Чтобы различать между собой распределенные вероятности, полученные с помощью моделей различной сложности введем понятие «порядок распределенной волатильности». Волатильность, которая получается с помощью модели (5) - (9) будем называть распределенной волатильностью первого порядка и обозначать <т{р'''. Модель, с помощью которой получается распреде-

ленная волатильность второго порядка, имеет вид

r(=M(rt/rM) + oi*21, (14)

dx = М(г, /г, - М(г, /гм) < О U г, - М(г, /гм) > 0), (15)

d2 = Щг,/г, - М(г,/гм>*м)< 0 U г, - М(г, /г_!,*м) > 0), (16)

а\р'1] = dt+d2-2P0(dx +d2)~2Pxdx -2P2d2, (17)

P0=P(a\p'1]=-dx-d2/zt), (18)

Px^P{a)^^-dx+d2lz,), (19)

P2=P(cT\p-2]=dx-d2lz,), (20)

P3 = = dx+d2lz,) = \-P0-Px -P2, (21)

2,=г/(-М0-/(/Г/,-.)- (22)

Таким образом, значения распределенной волатильности второго порядка формируются на основе распределения случайной величины с множеством возможных значений из четырех элементов. В качестве распределения этой случайной величины используется мультиномиальная логит-модель множественного выбора. Для удобства ее записи введем кодированные зна-

чения рассматриваемых значений случайной величины, прокомментировав содержательный смысл этих значений. Установим следующие соответствия: - - с/2 <=> 0 = у0 - самая неблагоприятная ситуация на рынке; -с/,+£/2 <=> 1 = >', - неблагоприятная ситуация на рынке; + с/, - с/2 <=> 2 = у2 - благоприятная ситуация на рынке; + </,+£/2 <=> 3 = >>з - очень благоприятная ситуация на рынке. Используя введенную кодировку, в общем виде мультиномиальную модель множественного выбора можно записать в следующем виде:

р (Уг=Л^) = —к-, 7 = 0,1,...Д-1; (23)

1+2У'"'

>0

?{у,=к\2,) =-1-. (24)

7=0

Из приведенных моделей нетрудно понять, что повышение порядка распределенной волатнльности требует удвоения количества возможных значений случайной величины, на основе которой она строится. Бесконечное увеличение числа элементов, входящих в множество возможных значений этой случайной величины, бессмысленно. Теоретически это увеличение ограничено различием, которое существует между непрерывным и дискретным. Но на практике можно ограничиться 16-ю, или, в крайнем случае, 32-мя возможными значениями случайной величины.

Все <1, оцениваемые как коэффициенты этих моделей, положительные величины. Причем, по построению модели, всегда выполняется цепочка неравенств с/, > с/2 > с/3.... Из этих свойств можно сделать вывод, в соответствии с которым, чем выше порядок распределенной волатильности, тем шире интервал возможных значений случайной величины, и, следовательно, распределенная волатильность наиболее полно воспроизводит весь спектр возможных изменений доходности финансового актива.

Выражение для расчета распределенной волатильности второго порядка намного сложнее выражения для расчета распределенной волатильности первого порядка. Нелинейность этого выражения не всегда позволяет оценить реакцию доходности или стоимости финансового актива на изменения, которые происходят на рынке. Для этих целей удобно использовать предельный анализ. Формула оценки предельного эффекта, для случая, когда распределенная волатильность второго порядка и произошло незначительное изменение активности финансового рынка, может быть получена дифференцированием выражения (17). Дифференцируя это выражение по г,, получаем

дР,.

8Р,

дР,

= -2(4 + йг) - 2с/, - 2С12 -!-

(25)

се, се, ¿ж, йг,

Анализ конкретной ситуации можно дополнить энтропийной оценкой неопределенности, в которой рассчитывалась распределенная волатильность. Выше при рассмотрении распределенной волатильности первого порядка уже отмечалось, что самый высокий уровень неопределенности наблюдается в ситуации, когда вероятности всех возможных отклонений оцениваемого процесса от тренда или средней величины равны между собой. Для распределенной волатильности второго порядка также, как и для более высоких порядков, это положение сохраняется, а энтропия в точке 2, рассчитывается по формуле

Л г,

(26)

Практическая реализуемость изложенных новых идей по измерению изменчивости финансовых активов в диссертации была продемонстрирована на примере моделирования волатильности акции ОАО «Сургутнефтегаз» за период с 20.02.2009 г. по 31.12.2009 г. (см. рис. 1).

0,6000

0,4000

-0,2000

-0,4000

-0,6000

Время

-Отклонения доходное™ акций от среднего -Текущая волатильность по Инглу

^—Волатильность 1-го порядка -Волатигъность 2-го порядка

-Волатильность 3-го порядка

Рис. 1. Графики волатильности доходности акций ОАО «Сургутнефтегаз»

Конфигурация кривых позволяет сделать вывод о том, наибольшей чувствительностью к изменениям обладает распределенная волатильность третьего порядка и низкой чувствительностью текущая волатильность, ис-

пользуемая в модели Иигла в качестве зависимой переменной. Среднеквад-ратическое отклонение а и УаЛ являются статическими характеристиками изменчивости, и сравнивать с ними распределенную волатильность бессмысленно. В то же время аппроксимационная точность, с которой распределенные волатильности различных порядков воспроизводят фактические колебания доходности, оказалась наиболее высокой у модели для расчета волатильности второго порядка.

3. Понятие «риск-предикторная оценка стоимости опционов»

Чтобы согласиться с необходимостью введения понятия «риск-предик-торные оценки стоимости опционов» и разобраться в их содержательном смысле, рассмотрим сначала оценки, используемые в практике торговли опционами.

В биржевой практике торговли опционами используются риск-нейтральная цена, названная справедливой ценой. Термин «справедливая», отражая основную идею методики получения этой цены, стал защитным от критики фактором этой методики. Не каждый инвестор, даже если его что-то в этой цене не устраивает, сможет выступить с аргументированной критикой справедливой цены. И это происходит, несмотря на то, что никто на срочном рынке по справедливой цене не продает опционы и не покупает. Более того, опционы являются инструментом спекулятивных финансовых операций, в которых доминирует выгода, и расчеты по справедливой цене не имеют места.

В практике срочного рынка используется два подхода, на основе которых осуществляется расчет риск-нейтральной цены опциона. Первый основан на формуле Блэка - Шоулса, которая широко применяется биржами для оценки стоимости европейских опционов. Второй подход, основанный на СШ1-модели (модель Кокса - Росса - Рубинштейна), является более универсальным, так как позволяет осуществлять расчет справедливой цены и для европейских опционов, и для американских.

Риск-нейтральная оценка используется биржей в качестве теоретической цены, разделяющей спрос на опционы и предложение опционных контрактов. Инвесторы в своей практической деятельности не ориентируются на риск-нейтральную оценку, хотя ее и называют справедливой ценой. Перед ними стоит проблема выбора из всех торгуемых опционов тех, с помощью которых они смогут обеспечить себе реальную защиту.

Не все торгуемые опционы пригодны для этой цели. Дело в том, что биржа торгует целым набором опционов, которые отличаются только страй-ками. С одной стороны, это создает ситуацию полного рынка, на котором обращается достаточно количество финансовых инструментов, с помощью которых инвестор сможет сформировать портфель, обеспечивающий надежную защиту его инвестициям. Но, с другой стороны, этот портфель может ока-

заться чрезмерно дорогим. Поэтому инвестору необходим целенаправленный ориентир на те опционы, которые на момент экспирации окажутся «около денег». Получить такой ориентир можно только с помощью прогнозных оценок. Но доминирующая точка зрения, в соответствии с которой «рынок не прогнозируем», является серьезным препятствием на пути развития этой идеи.

На наш взгляд, возражение данной точке зрения основывается на том, что риск-нейтральные оценки являются по своей природе прогнозными оценками, полученными с помощью специальным образом сконструированного многовариантного описания упреждающей динамики базового актива. Если доверяют риск-нейтральным оценкам, то следует доверять и прогнозным оценкам, процедура получения которых предусматривает многовариантные исследования упреждающего периода.

Профессором В.В. Давнисом и его ученицей С.Ю. Богдановой предложен подход , предусматривающий использование биномиального дерева для получения так называемых риск-трендовых оценок стоимости опционов. Этот подход основан на использовании ключевых идей риск-нейтрального оценивания, учитывающего реальную эволюцию цены базового актива, а не гипотетическую, в которой через вероятности, определенные специальным образом, предусмотрен рост по безрисковой ставке.

Между риск-нейтральной и риск-трендовой оценками существует принципиальное различие. Смысл этого различия в том, что риск-нейтральная цена представляет собой стоимость портфеля, по которому определяется стоимость хеджа в мире нейтральном к риску, а риск-трендовая цена - это стоимость портфеля, по которому определяется стоимость хеджа в изменяющемся (дрейфующем) мире. Под дрейфующим миром понимаются ситуации, в которых принимаемые инвестором решения учитывают эволюцию цен базовых активов в соответствии с существующими на рынке трендами.

По замыслу риск-трендовые оценки - это инструмент инвестора, на основе которого принимаются инвестиционные решения. Введение риск-предик-торной оценки ориентировано на решение того же самого вопроса. В чем же различие между этими двумя подходами? Чтобы понять различие, сначала дадим определение риск-предикторной оценке и сравним ее с риск-нейтральной.

Под риск-предикторной оценкой стоимости опциона будем понимать математическое ожидание прогнозных оценок его внутренней стоимости. Это оценки, которые можно получить в мире рациональных ожиданий и экс-траполяционных надежд. Существует ли такой мир?

Давние В.В. Моделирование риск-трендовых оценок стоимости опционов / В.В. Давние, С.Ю. Богданова // Современная экономика: проблемы и решения (науч.-практ. журнал). -Воронеж, 2010.-№ 1 (1).-С. 119-129.

На наш взгляд, правдоподобность ситуаций, когда инвесторы принимают решения, ориентируясь на рациональные ожидания и прогнозные оценки, выше правдоподобности ситуаций, когда инвесторы нейтральны к риску. Но это различие теряет свою контрастность при сравнении риск-предикторных и риск-трендовых оценок. Если риск-предикторные оценки не сравнимы с риск-нейтральными оценками, то с риск-трендовыми они сравнимы.

Основное различие между риск-трендовыми и риск-предикторными оценками в том, что при их получении используются различные подходы к описанию возможных ситуаций на упреждающем периоде, в течение которого действует опционный контракт. Как известно, при получении риск-трендовых оценок строится биномиальное дерево с соблюдением тех же самых правил, что и при получении риск-нейтральных оценок. Это требует соблюдение всех необходимых предпосылок, обеспечивающих условия корректного оценивания. Это подход, который, как и риск-нейтральное оценивание, применим в условиях биржевой торговли опционами.

При получении риск-предикторных оценок стоимости опционов варианты биномиального дерева заменяются множеством прогнозных вариантов. Это не только меняет схему расчетов, но и приводит к ситуации, когда для получения оценок не требуется специальных предположений, а сами оценки не приравниваются к стоимости портфеля, воспроизводящего платежи по опциону.

Возможность практического использования этих оценок зависит от ответа, по крайней мере, на один вопрос - вопрос, касающийся реальности ситуаций, целесообразность применения в которых данного подхода для получения оценок стоимости опционов не вызывает сомнений. Ответ на этот вопрос положительный. Такие ситуации имеют место при торговле экзотическими опционами. Известно, что среди экзотических есть такие, для оценки стоимости которых классические подходы не применяются. Именно к этим опционам имеет смысл применять оценки, основанные на прогнозных расчетах.

4. Методика риск-предикторного оценивания стоимости опционов с учетом распределенной волатильности

Риск-предикторную оценку нельзя понимать как оценку, при расчете которой используются только прогнозные варианты. Методика ее получения предусматривает имитационные расчеты по модели, в которой учтена стохастическая взаимосвязь стоимости базового актива с имитируемыми через вероятностные распределения состоянием рынка и финансово-экономическим состоянием эмитента. Имитационные расчеты компенсируют отсутствие того многообразия, которое предоставляет биномиальное дерево в расчетах по модели Кокса - Росса - Рубинштейна. Благодаря комбинированию имитационных вариантов с распределенной волатильностью удается наиболее пол-

но воспроизвести все возможные ситуации на упреждающем отрезке времени и учесть их при определении внутренней цены опциона. Принципиальная схема расчетов по имитационной модели приведена на рис. 2.

Рис. 2. Схема имитационных расчетов по комбинированной модели оценки стоимости опционов

Результаты моделирования, полученные в ходе одного имитационного эксперимента, представлены в табл. 1 - табл. 3. Эти результаты демонстрируют трехуровневую структуру вероятностного взаимодействия процессов, определяющих усредненный уровень цен базового актива. Модель позволила с достаточно высокой точностью определить азиатский опцион с реальной

внутренней ценой.

Таблица 1

Расчет волатильности

Отклонение индекса, долл. Вероятности Варианты отклонения цены актива, руб. Вола-тиль-ность, руб.

Р\ Р2 Рг Ъ Ps Р, ñ

20,31 0,00 0,00 0,02 0,05 0,02 0,27 0,37 0,27 0,56 0,35

13,64 0,00 0,01 0,06 0,12 0,07 0,29 0,29 0,16 0,38 0,26

8,15 0,00 0,02 0,15 0,19 0,13 0,23 0,18 0,09 0,23 0,13

-1,49 0,03 0,14 0,32 0,19 0,20 0,08 0,04 0,01 -0,05 -0,10

1,49 0,01 0,09 0,28 0,21 0,20 0,12 0,07 0,02 0,05 -0,04

-8,15 0,10 0,29 0,32 0,11 0,16 0,02 0,01 0,00 -0,23 -0,23

-13,64 0,22 0,39 0,23 0,05 0,10 0,01 0,00 0,00 -0,38 -0,33

-20,31 0,42 0,41 0,12 0,02 0,04 0,00 0,00 0,00 -0,56 -0,42

Таблица 2

Промежуточные расчеты вариантов внутренней стоимости опционов

Оценка вероятности активности рынка Прогнозные варианты стоимости актива, руб.

1 2 3 4 5 6 7 8

0,9012 27,03 26,85 26,69 26,41 26,51 26,23 26,08 25,90

0,0962 26,93 26,75 26,60 26,31 26,42 26,13 25,98 25,80

0,0026 26,80 26,62 26,47 26,19 26,29 26,01 25,86 25,68

0,0000 26,57 26,39 26,24 25,95 26,06 25,77 25,62 25,44

0,0000 26,64 26,45 26,30 26,02 26,12 25,84 25,69 25,51

0,0000 26,44 26,26 26,11 25,82 25,93 25,64 25,49 25,31

0,0000 26,35 26,16 26,01 25,73 25,83 25,55 25,40 25,22

0,0000 26,25 26,07 25,92 25,64 25,74 25,46 25,31 25,13

Таблица 3

Финальный расчет риск-предикторной оценки

Вероятность прогнозного варианта Прогнозный вариант цены базового актива, руб. Страйк, руб. Прогноз внутренней стоимости опциона, руб. Риск-предик-торная оценка стоимости опциона, руб. Фактическая стоимость опциона на дату экспирации, руб.

0,0002 27,02 26,50 0,34 0,08 0,09

0,0519 26,84 0,19

0,3372 26,69 -0,10

0,0863 26,40 0,00

0,5147 26,50 -0,28

0,0097 26,22 -0,43

0,0000 26,07 -0,43

0,0000 25,89 -0,61

Таким образом, вычислительный эксперимент показал, что логика расчетов, предусмотренная методикой риск-предикторного оценивания, выстроена правильно, поскольку обеспечивает получение непротиворечивых результатов, адекватно отражающих рыночную стоимость опционов.

III. ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

В диссертационной работе на основе выполненных теоретических и прикладных исследований в области моделирования риск-предикторных оценок стоимости опционов с учетом распределенной волатильности при описании множества возможных вариантов стоимости базовых активов на упреждающем отрезке времени сформулированы выводы, заключающиеся в следующем:

1. Введенное в диссертации понятие «распределенная волатильность» достаточно точно воспроизводит текущую изменчивость финансовых активов в предположении, что уровень этой изменчивости определяется соответствующим уровнем изменчивости рыночного индекса. Зависимость характеристики актива от характеристики индекса напоминает одноиндексную модель У. Шарпа, в которой на основе регрессионных зависимостей доходности активов от доходности индекса была решена задача построения эффективного портфеля. Это позволяет предположить, что распределенную волатильность можно использовать не только в задачах оценки опционов, как это было сделано в диссертации, но и при решении задач портфельного инвестирования.

2. Специфические свойства распределенной волатильности, обусловленные возможностью ее дифференцирования, а также энтропийной оценкой ситуации, в которой принимается инвестиционное решение, значительно расширяют круг задач, постановка которых предусматривает оценку риска или ожидаемых его изменений. Причем модель распределенной волатильности в подобных ситуациях может использоваться как самостоятельный инструмент, например, при реализации опционной стратегии торговли волатильно-стью.

3. В диссертации рассмотрена распределенная волатильность первого, второго и третьего порядков. В принципе, порядок можно повышать, но есть естественные пределы этого повышения. Таким пределом является непрерывное распределение. Скажем, распределенная волатильность пятого порядка представляет собой математическое ожидание дискретной случайной величины, множество возможных значений которой равно 32. Такую случайную величину можно аппроксимировать непрерывным условным распределением. Непрерывно распределенная волатильность вполне может потребоваться при решении некоторых задач эффективного инвестирования.

4. Предложенная в диссертация риск-предикторная оценка стоимости опционов не вписывается в теорию риск-нейтрального оценивания, поскольку имеет другое целевое назначение, и, кроме того, аппарат ее формирования отличается от используемого в модели Кокса - Росса - Рубинштейна. В то же время оценка ее реальной полезности для инвесторов выше, чем риск-нейтральной, поскольку она обеспечивает получение ориентиров на текущую рыночную стоимость опционов, которая, в конечном счете, позволяет понять выгодность финансовой операции с опционами.

5. Методика риск-предикторного оценивания стоимости опционов является естественным завершением диссертационного исследования. Ее основой стала комбинированная модель, в которой реализована оригинальная идея, предусматривающая воздействие на один и тот же результат двух независимых стохастических процессов, один из которых возникает в недрах финансового рынка, а второй генерируется финансово-экономическим состоянием эмитента ценной бумаги. Изменения в таких процессах трансформируются в моделируемый результат с помощью специально построенных вероятностных распределений. По сути, реализация этой идеи повышает адекватность отражения сложных вероятностных механизмов, действующих на финансовых рынках.

IV. ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Суюнова Г.Б. Риск-нейтральный подход к оценке опционов и возможности его развития / Г.Б. Суюнова, В.И. Тинякова // Вопросы современной науки и практики. Университет им. В.И. Вернадского (из перечня ВАК). - Тамбов, 2009. - № 12(26). - С. 199-204 (0,62 п.л./ 0,3п.л.).

2. Давние В.В. Модели (В,8)-рынка и риск-нейтральная цена опционов / В.В. Давние, С.Ю. Богданова, Г.Б. Суюнова // Вестник ОрелГИЭТ (из перечня ВАК). - 2010.-№ 1(11).-С. 134-140 (0,9 п.л./0,3 п.л.).

3. Тинякова В.И. Распределенная волатильность: модель и свойства / В.И. Тинякова, Г.Б. Суюнова // Современная экономика: проблемы и решения (науч.-практ. журнал). - Воронеж, 2010. -№ 3 (3). - С. 138-149 (0,8 пл./0,4 пл.).

4. Суюнова Г.Б. О перспективном направлении исследования проблем риск-нейтрального оценивания опционов / Г.Б. Суюнова // Современная экономика: проблемы и решения (науч.-практ. журнал). - Воронеж, 2010. - № 2 (2).-С. 156-162 (0,3 пл.).

5. Суюнова Г.Б. Моделирование тренд-зависимых оценок стоимости опционов / Г.Б. Суюнова // Экономическое прогнозирование: модели и методы: материалы VI междунар. науч.-практ. конф.: в 2-х ч. - Воронеж: ИПЦ Воронеж, гос. ун-та, 2010. - Ч. 2. - С. 114-116 (0,2 п.л.).

6. Суюнова Г.Б. Прогнозирование волатильности базового актива при оценке опциона / Г.Б. Суюнова // Актуальные проблемы учета, экономического анализа и финансово-хозяйственного контроля деятельности организа-

ций: материалы III междунар. науч.-практ. конф.: в 2-х ч. - Воронеж: ЦНТИ, 2010. - Ч. 2. - С. 233-236 (0,2 пл.).

7. Давние В.В. Эконометрическое моделирование внутренней стоимости опционов / В.В. Давние, Г.Б. Суюнова // Основные направления повышения эффективности экономики, управления и качества подготовки специалистов: материалы VII междунар. науч.-практ. конф. - Пенза: Приволж. Дом знаний, 2009. - С. 38-40 (0,2 п.л./0,1 пл.).

8. Суюнова Г.Б. Комбинированная модель прогнозирования эволюции цен на биномиальном рынке / Г.Б. Суюнова, В.И. Тинякова // Управление экономическими системами: сб. ст. междунар. науч-метод. конф. - Пенза: Приволж. Дом знаний, 2009. - С. 99-102 (0,2 п.л./0,1 пл.).

9. Давние В.В. Эконометрический подход к оценке стоимости опционов / В.В. Давние, С.Ю. Богданова, Г.Б. Суюнова // Анализ, моделирование и прогнозирование экономических процессов: сборник материалов I междунар. науч.-прак. интернет-конференции. - Воронеж: ЦНТИ, 2009. - С. 129-139.

10.Суюнова Г.Б. Комбинированный метод восстановления пропусков в финансовых временных рядах / Г.Б. Суюнова, В.И. Тинякова // Теория и практика функционирования финансовой и денежно-кредитной системы России: материалы междунар. науч.-практ. конф. - Воронеж: Воронеж, гос. пед. ун-т, 2009. - С. 162-165(0,2 пл./0,1 пл.).

11.Суюнова Г.Б. Об одном подходе к построению комбинированных прогнозов / Г.Б. Суюнова, В.И. Тинякова // Развитие предприятий, отраслей, регионов России: материалы Всерос. науч.-метод. конф. - Пенза: Приволж. Дом знаний, 2008. - С. 126-128 (0,2 пл./0,1 пл.).

12.Суюнова Г.Б. Прогнозирование макроэкономических процессов / Г.Б. Суюнова // Стратегия развития образования и обеспечение качества: материалы науч.-метод. конф. - Пятигорск: Пятигорск, гос. технолог, ун-т, 2007. -С. 373-377 (0,2 пл.).

Подписано в печать 04.06.10. Формат 60*84 'Аб. Усл. печ. л. 1,4. Тираж 100 экз. Заказ 787

Отпечатано с готового оригинала-макета в типографии Издательско-полиграфического центра Воронежского государственного университета. 394000, Воронеж, ул. Пушкинская, 3.

Диссертация: содержание автор диссертационного исследования: кандидата экономических наук, Суюнова, Гульжан Бектимировна

Введение.

1. Моделирование стоимости опционов: теоретические основы и проблемные аспекты.

1.1. Опционы и рынок опционных контрактов.

1.2. Современные модели оценки стоимости опционов.

1.3. Специфика моделирования прогнозных оценок стоимости базовых активов.

2. Моделирование распределенной волатильности базовых активов.

2.1. Основные подходы к моделированию волатильности в задачах оценки стоимости опционов.

2.2. Распределенная волатильность: понятие, основные свойства, модели оценки.

2.3. Вычислительные эксперименты по моделированию распреде- ; ленной волатильности.

3. Моделирование риск-предикторных оценок стоимости опционов.

3.1. Понятие риск-предикторных оценок опционов и их сравнительный анализ с риск-трендовыми оценками.

3.2. Риск-предикторное оценивание экзотических опционов с учетом распределенной волатильности базовых активов.

Диссертация: введение по экономике, на тему "Моделирование риск-предикторных оценок стоимости опционов с учетом распределенной волатильности"

Актуальность темы исследования. Текущий экономический кризис корнями уходит в процессы, протекающие на финансовых рынках. Особенно благоприятной средой для развития кризиса оказались срочные рынки.

Инструменты срочного рынка, изначально предназначенные для хеджирования риска неблагоприятного изменения рыночных цен, превратились в средство получения инвесторами сверхприбыли за счет предоставляемого этими инструментами мощного финансового плеча.

Большими спекулятивными возможностями обладают опционы, торговля которыми в силу либерализации регуляторов финансовых рынков может осуществляться вне биржи, что позволяет не отражать результаты этих сделок в бухгалтерских балансах банков и инвестиционных фондов.

Кроме того, ситуация осложняется отсутствием методов реальной оценки стоимости опционов. Широко известная методика риск-нейтрального оценивания, создав миф справедливой цены, на самом деле обеспечивает расчет только теоретической цены, используемой в качестве инструмента регулирования биржевой торговли опционами.

Все это создает условия, в которых инвесторы берут на себя неоправданно высокие риски, способствуя тем самым появлению необеспеченных виртуальных активов. Их недостаточная обоснованная стоимостная оценка, а также повышенная рисковая нагрузка приводят к потере ликвидности и устойчивости рынка.

Таким образом, актуальность темы диссертационного исследования определяется необходимостью разработки математического аппарата моделирования реальных оценок стоимости опционов, в которых учтена волатиль-ность, измеряющая уровень неопределенности текущей рыночной ситуации.

Работа выполнялась в соответствии с комплексной программой научных исследований кафедры информационных технологий и математических методов в экономике Воронежского государственного университета «Математическое моделирование и информационные технологии в управлении экономическими процессами».

Степень изученности проблемы. Теоретические исследования срочного рынка, в том числе, рынка опционных контрактов, всегда были тесно связанными с практикой инвестиционной деятельности. Не случайно результаты, полученные Ф. Блэком, М. Шоулсом, Р. Мертоном, Дж. Коксом, С. Россом, М. Рубинштейном и широко используемые фондовыми биржами, принято считать основами современной теории оценивания опционов. Исследования в рамках предложенной ими концепции риск-нейтрального оценивания проводились зарубежными (С. Вайном, Дж. Грэби, Р. Колбом, М. Миллером, Ш. Натенбергом, Л. Скоттом, А. Такером, М. Томсетом, Дж. Халлом) и отечественными (А.Н. Балабушкиным, А.Н. Бурениным, В.А. Галановым, Д.Ю. Голембиовским, A.B. Мельниковым, А.Б. Фельдманом, Л.А. Чалдаевой, А.Н. Ширяевым, Л.П. Яновским) учеными.

Рамки данной концепции позволяют получать оценки, с помощью которых удается отделить друг от друга спрос и предложение опционов, что представляет практический интерес, главным образом, для биржи. В то же время инвесторы нуждаются в эффективном инструменте, с помощью которого они могли бы обосновать собственные решения и оценить возможные потери.

Измерение возможных потерь связывают с оценкой волатильности. Проблемам моделирования и прогнозирования волатильности посвящены работы многих отечественных и зарубежных ученых: Т. Андерсена, Т. Боллерслева, Ф. Брейдта, Дж. Бюссе, В.В. Давниса, Р. Ингла, Дж. Кэмпбелла, Ю.П. Лука-шина, М. МакАлира, С. Тейлора, Дж. Флэминга и др. В то же время не до конца исследованной осталась проблема точности воспроизведения фактически наблюдаемой волатильности, что зачастую приводит к формированию ошибочного представления о возможных рисках.

Объект исследования — эволюция и волатильность цен базовых активов опционов, торгуемых на площадках ОАО «Фондовая биржа РТС».

Предмет исследования — математический аппарат моделирования оценок стоимости опционов и волатильности цен базовых активов.

Цель и задачи исследования. Целью исследования является развитие математического аппарата оценивания опционов путем разработки моделей, обеспечивающих расчет прогнозных оценок внутренней стоимости опционов.

Цель исследования предопределила постановку и необходимость решения следующих задач: определить перспективное направление развития математического аппарата оценки стоимости опционов; предложить, проведя соответствующее теоретическое обоснование, новый измеритель риска в виде распределенной волатильности; разработать модель оценки распределенной волатильности для прогнозирования шоковых составляющих динамики финансовых активов; предложить процедуру определения порядка модели распределенной волатильности; разработать методику, обеспечивающую получение более правдоподобных оценок стоимости опционов, чем риск-нейтральные оценки; провести верификация разработанного математического аппарата.

Область исследования. Содержание диссертации соответствует п. 1.6

Математический анализ и моделирование процессов в финансовом секторе экономики, развитие метода финансовой математики и актуарных расчетов» специальности 08.00.13 Математические и инструментальные методы экономики Паспорта специальностей ВАК РФ.

Теоретико-методологическую основу исследования составили фундаментальные разработки отечественных и зарубежных ученых в области моделирования финансового рынка в целом и рынка опционных контрактов в частности, прогнозирования эволюции цен финансовых активов и анализа их волатильности. Для решения задач прикладного характера применялись методы теории вероятностей, финансовой математики, эконометрического и имитационного моделирования, экспертного оценивания. Расчеты проводились с использованием программно-инструментальных средств MS Excel и Statistica.

Информационно-эмпирическую базу исследования составили данные, содержащиеся в информационно-аналитических материалах по исследуемой проблеме, представленные в научной литературе, периодической печати, а также архивы котировок акций, размещенные на сайте Российской торговой системы (www.rts.ru).

Научная новизна исследования состоит в разработке подхода к моделированию правдоподобных оценок стоимости опционов на основе введенных понятий: «риск-предикторная оценка» и «распределенная волатильность». Данный подход не требует выполнения предположений классической теории оценивания опционов, что обеспечивает возможность его использования в задачах оценки стоимости экзотических опционов.

Научную новизну содержат следующие результаты, полученные лично автором:

1. Введено понятие «распределенная волатильность», трактуемое как математическое ожидание случайной величины со значениями в виде усредненных оценок возможных отклонений доходности финансового актива от тренда. Распределенная волатильность: реализует вероятностный механизм взаимосвязи доходности финансового инструмента с активностью рынка; позволяет получать не только метрическую, но и энтропийную оценку неопределенности ситуации; является дифференцируемой функцией, для которой можно рассчитать предельные эффекты, что очень важно при реализации опционных стратегий, основанных на торговле волатильностью.

2. Разработана система из двух линейных и одного нелинейного эконо-метрического уравнения, реализующая идею стохастической взаимосвязи между уровнем активности рынка и волатильностью финансового актива, что позволяет создать инструмент в виде модели распределенной волатильности для прогнозирования шоковых составляющих эволюции цен финансовых активов.

3. Предложена процедура определения порядка модели распределенной волатильности, в соответствии с которой выбирается модель, наиболее точно по квадратичному критерию воспроизводящая на историческом периоде колебания в динамике актива.

4. Введено понятие «риск-предикторная оценка стоимости опциона», которое интерпретируется как математическое ожидание прогнозных оценок внутренней стоимости опциона. Риск-предикторные оценки, обладая более высокой правдоподобностью, чем риск-нейтральные, являются предпочтительным инструментом для инвесторов при обосновании принимаемых решений.

5. Разработана методика риск-предикторного оценивания стоимости опционов с учетом распределенной волатильности, реализующая схему расчетов по комбинированной модели из трех составляющих: экстраполяцион-ной, отвечающей за многовариантное описание динамики финансового актива на упреждающем периоде; экспертно-аналитической, отвечающей за формирование шкал оценки уровня активности рынка и предпочтительного варианта ожидаемой стоимости базового актива; имитационной, воссоздающей многообразие возможных ситуаций упреждающего периода.

Теоретическая значимость исследования определяется введением в научный оборот новых понятий («риск-трендовая оценка стоимости опционов», «распределенная волатильность»), а таюке разработкой новых и адаптацией известных моделей, используемых в задачах оценки стоимости опционов и прогнозирования волатильности цен базовых активов. Полученные результаты формируют научно-методическую основу дальнейших исследований, ориентированных на развитие и совершенствование математического аппарата обоснования инвестиционных решений на рынке опционных контрактов.

Практическая значимость диссертации определяется тем, что сформулированные в ней теоретические положения, разработанные модели и методики, практические выводы и рекомендации могут быть использованы широким кругом инвесторов (инвестиционными компаниями, предприятиями, специалистами, занимающимися инвестированием), осуществляющими свою деятельность на рынке опционных контрактов с целью страхования своих рисков или для получения дополнительной прибыли.

Апробация и внедрение результатов исследования. Основные результаты работы прошли апробацию и получили положительную оценку на семинарах и научных сессиях в Воронежском государственном университете и Пятигорском государственном технологическом университете; международных научно-практических конференциях: «Анализ, моделирование и прогнозирование экономических процессов» (Воронеж, 2009), «Управление экономическими системами» (Пенза, 2009), «Теория и практика функционирования финансовой и денежно-кредитной системы России» (Воронеж, 2009), «Экономическое прогнозирование: модели и методы» (Воронеж, 2010), «Актуальные проблемы учета, экономического анализа и финансово-хозяйственного контроля деятельности организаций» (Воронеж, 2010).

Основные результаты исследования используются в учебном процессе ГОУ ВПО «Пятигорский государственный технологический университет» и в практической деятельности ООО «Финам — Пятигорск».

Публикации. По теме диссертационного исследования опубликовано 12 работ, в том числе 2 статьи в журналах, рекомендованном ВАК РФ. Список публикаций приведен в конце автореферата. В работах, выполненных в соавторстве, соискатель: ввел понятие «распределенная волатильность» и предложил модель для оценки такой волатильности; исследовал возможности эконометрического моделирования для оценки внутренней стоимости опционов; предложил эконометрическую модель эволюции цен базового актива на (В,8)-рынке; разработал методику расчета риск-предикторной оценки стоимости опционов.

Структура и содержание работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, библиографического списка из 149 наименований.

Диссертация: заключение по теме "Математические и инструментальные методы экономики", Суюнова, Гульжан Бектимировна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе на основе выполненных теоретических и прикладных исследований в области моделирования риск-предикторных оценок стоимости опционов с учетом распределенной волатильности при описании множества возможных вариантов стоимости базовых активов на упреждающем отрезке времени сформулированы выводы, заключающиеся в следующем:

1. Введенное в диссертации понятие «распределенная волатильность» достаточно точно воспроизводит текущую изменчивость финансовых активов в предположении, что уровень этой изменчивости определяется соответствующим уровнем изменчивости рыночного индекса. Зависимость характеристики актива от характеристики индекса напоминает одноиндексную модель У. Шарпа, в которой на основе регрессионных зависимостей доходности активов от доходности индекса была решена задача построения эффективного портфеля. Это позволяет предположить, что распределенную волатильность можно использовать не только в задачах оценки опционов, как это было сделано в диссертации, но и при решении задач портфельного инвестирования.

2. Специфические свойства распределенной волатильности, обусловленные возможностью ее дифференцирования, а также энтропийной оценкой ситуации, в которой принимается инвестиционное решение, значительно расширяют круг задач, постановка которых предусматривает оценку риска или ожидаемых его изменений. Причем модель распределенной волатильности в подобных ситуациях может использоваться как самостоятельный инструмент, например, при реализации опционной стратегии торговли волатильно-стью.

3. В диссертации рассмотрена распределенная волатильность первого, второго и третьего порядков. В принципе, порядок можно повышать, но есть естественные пределы этого повышения. Таким пределом является непрерывное распределение. Скажем, распределенная волатильность пятого порядка представляет собой математическое ожидание дискретной случайной величины, множество возможных значений которой равно 32. Такую случайную величину можно аппроксимировать непрерывным условным распределением. Непрерывно распределенная волатильность вполне может потребоваться при решении некоторых задач эффективного инвестирования.

4. Предложенная в диссертация риск-предикторная оценка стоимости опционов не вписывается в теорию риск-нейтрального оценивания, поскольку имеет другое целевое назначение, и, кроме того, аппарат ее формирования отличается от используемого в модели Кокса - Росса - Рубинштейна. В то же время оценка ее реальной полезности для инвесторов выше, чем риск-нейтральной, поскольку она обеспечивает получение ориентиров на текущую рыночную стоимость опционов, которая, в конечном счете, позволяет понять выгодность финансовой операции с опционами.

5. Методика риск-предикторного оценивания стоимости опционов является естественным завершением диссертационного исследования. Ее основой стала комбинированная модель, в которой реализована оригинальная идея, предусматривающая воздействие на один и тот же результат двух независимых стохастических процессов, один из которых возникает в недрах финансового рынка, а второй генерируется финансово-экономическим состоянием эмитента ценной бумаги. Изменения в таких процессах трансформируются в моделируемый результат с помощью специально построенных вероятностных распределений. По сути, реализация этой идеи повышает адекватность отражения сложных вероятностных механизмов, действующих на финансовых рынках.