Динамические модели согласованного выбора параметров лизингового контракта тема диссертации по экономике, полный текст автореферата

Автореферат диссертации по теме "Динамические модели согласованного выбора параметров лизингового контракта"

ц* 1/

ФУДОБИНЛ ЕКАТЕРИНА АНАТОЛЬЕВНА

ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СОГЛАСОВАННОГО ВЫБОРА ПАРАМЕТРОВ ЛИЗИНГОВОГО КОНТРАКТА

Специальность 08.00.13. - Математические и инструментальные методы экономики

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата экономических наук

9 ¡да

Самара-2010

004616936

Работа выполнена на кафедре финансов и кредита Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королева (национальный исследовательский университет)»

Научный руководитель - кандидат технических наук, доцент

Павлов Олег Валерьевич

Официальные оппоненты - доктор экономических наук, профессор

Афоничкин Александр Иванович

- кандидат экономических наук Яркова Ольга Николаевна

Ведущая организация Автономное муниципальное образовательное

учреждение высшего профессионального образования «Самарская академия государственного и муниципального управления», г. Самара

Защита состоится 24 декабря 2010 г. на заседании диссертационного совета ДМ212.215.01 при ГОУ ВПО «Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королева (национальный исследовательский университет)» по адресу: 443086 г. Самара, Московское шоссе, 34.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО «Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королева (национальный исследовательский университет)».

Автореферат разослан 23 ноября 2010 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета ДМ 212.215.01 ___ доктор экономических наук, профессор --- М.Г. Сорокина

1.0Б1ЦАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Промышленные предприятия с целью обеспечения конкурентоспособности стремятся к повышению качества продукции и снижению издержек. Это невозможно без современных средств производства, поэтому фирмам требуется своевременно менять морально и физически устаревшее оборудование на новое. В настоящее время многие российских предприятий нуждаются в модернизации.

Для отечественных предприятий лизинг стал наиболее подходящим способом финансирования инвестиций. Главное преимущество лизинга состоит в том, что предоставляются не денежные средства, а необходимое оборудование, которое сразу можно использовать в производственном процессе.

Важным этапом в организации лизинговой сделки является заключение лизингового контракта между лизингодателем и лизингополучателем. Условия (параметры) контракта определяют сумму лизинговых платежей, которая отражает экономические интересы лизингодателя и лизингополучателя. Исходя из экономических интересов, у участников сделки существуют различные предпочтения но выбору управляющих параметров лизингового контракта. Однако, несмотря на различные экономические интересы, лизингополучатель и лизингодатель заинтересованы в сотрудничестве. Чтобы сделка состоялась, выбор параметров лизингового контракта должен проводиться с учетом экономических интересов, как лизингодателя, так и лизингополучателя.

Таким образом, актуальной задачей является разработка математических моделей, обеспечивающих экономически выгодное взаимодействие лизингодателя и лизингополучателя.

Состояние изученности проблемы. Рассмотрение проблем, связанных с лизингом, отражено в работах В.Д. Газмана, В.А. Горемыкина, В.М. Джуха, М.В. Карпа, А.Н. Киркорова, JI.H. Прилуцкого, E.H. Чекмаревой и других. В работах этих авторов разработаны методики расчета лизинговых платежей, оценки эффективности лизинговых сделок, управление финансами лизинговых компаний.

Однако в указанных работах, решение проблем рассматривается из экономических интересов только одного из участников лизинговой сделки: лизингодателя или лизингополучателя. Методической основой для решения задач согласования интересов участников экономических систем являются теория активных систем и теория иерархических игр, основные положения которых изложены в работах В.Н. Буркова, В.В. Кондратьева, A.B. Щепкина, А.К. Еналеева, Д.А. Новикова, H.H. Моисеева, Ю.Б. Гермейера, А.Ф. Кононенко, М.А. Горелова, Ф.И. Ерешко. Результаты практического применения этих теорий опубликованы в трудах A.A. Ашимова, В.П. Авдеева, Т.В. Киселевой, И.А. Горгидзе, С.А. Баркалова, В.Г. Засканова, Г.М. Гришанова, М.Г. Сорокиной.

Вместе с тем, до настоящего времени не получила должного решения такая проблема, как согласованный выбор параметров лизинговых контрактов, учитывающий экономические интересы лизингодателя и лизингополучателя.

Отсутствие универсальных математических моделей в этой области делает актуальным задачи, решение которых приведет к разработке методов согласованного выбора параметров лизинговых контрактов.

Цель и задачи исследования. Целью настоящей работы является разработка математических моделей и алгоритма согласованного выбора параметров лизингового контракта, обеспечивающих экономически выгодное взаимодейсгвие участников лизинговой сделки.

В соответствии с поставленной целью исследования в работе решаются следующие задачи:

1.Анализ экономических отношений между участниками лизинговой сделки.

2.Анализ параметров лизингового контракта, влияющих на экономические интересы лизингодателя и лизингополучателя.

3.Формулировка динамических моделей принятия решений лизингодателем и лизингополучателем для определения оптимальных параметров лизингового контракта.

4.Решение задач оптимального управления лизинговыми платежами для лизингополучателя и лизингодателя.

5.Разработка алгоритма согласованного выбора параметров лизингового контракта.

6.Решение задач оптимального управления аннуитетными лизинговыми платежами для лизингополучателя и лизингодателя в аналитическом виде.

7.Практическая реализация предложенного алгоритма согласованного выбора параметров лизингового контракта в компании ЗАО «ЛиКо».

Область исследования соответствует пункту 1.4. «Разработка и исследование моделей и математических методов анализа микроэкономических процессов и систем: отраслей народного хозяйства, фирм и предприятий, домашних хозяйств, рынков, механизмов формирования спроса и потребления, способов количественной оценки предпринимательских рисков и обоснования инвестиционных решений» по паспорту специальности 08.00.13 - Математические и инструментальные методы экономики.

Объектом исследования являются лизинговые контракты в коммерческих банках и финансовых организациях, а также процессы экономических взаимодействий участников лизинговой сделки.

Предметом исследования являются математические модели принятия решений лизингодателем и лизингополучателем.

Методы исследования. Исследования базируются на применении методов теории активных систем, теории иерархических игр, финансовой математики, теории оптимального управления непрерывными и дискретными системами.

Научная новизна диссертации. Новые научные результаты, полученные автором в процессе исследования, состоят в следующем:

1.Разработаны динамические модели принятия решений лизингодателем и лизингополучателем, отражающие их экономические интересы.

2.Найдены оптимальные стратегии выплаты лизинговых платежей для лизингополучателя и лизингодателя, обеспечивающие соответственно максимизацию и минимизацию их целевых функций.

3.Разработан алгоритм согласованного выбора параметров лизингового контракта, позволяющий количественно определить границы области компромисса между лизингодателем и лизингополучателем.

4.Получены аналитические формулы, определяющие границы области компромисса между лизингодателем и лизингополучателем в случае аннуитетных платежей.

Практическая значимость диссертационного исследования заключается в том, что предлагаемые автором динамические модели, формулы и алгоритм позволяют количественно определить границы области компромисса между лизингодателем и лизингополучателем, необходимые для успешного ведения переговоров. Разработанные автором алгоритм и аналитические формулы используются в практической деятельности лизинговой компании ЗАО «ЛиКо».

Апробация основных положений работы. Основные теоретические и практические положения работы докладывались и обсуждались на всероссийских и международных научно-практических конференциях и семинарах:

• «Наука, бизнес, образование'2007» (Самара, 2007 г.)

■ «Высшее образование, бизнес, предпринимательство» (Самара, 2009 г.)

Основные положения и результаты исследования опубликованы в 10 работах, в том числе в ведущих рецензируемых изданиях, определённых Высшей аттестационной комиссией - 3 статьи.

Структура диссертации. Диссертация общим объемом 128 страниц состоит из I введения, трех глав, заключения, библиографического списка из 80 наименований. Работа содержит 13 таблиц, 57 рисунков.

И. ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

Во введении автором обоснована актуальность темы диссертационной работы, сформулированы объект и предмет исследования, показана научная новизна и практическая значимость полученных результатов.

В первой главе представлен анализ российского рынка лизинговых услуг по годам, по регионам России, по видам имущества. На рисунке 1 приведена динамика изменения объемов лизинговых сделок с 1998 по 2009 год. С 1999 по 2007 годы происходил быстрый рост рынка, который затем сменился его уменьшением в 2008-2009 годах из-за мирового финансового кризиса. Популярность лизинга в России выражается большими объемами лизинговых сделок, распространением лизинга во все регионы России.

1200

1000

800

600

400

200

ц!

1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009

Годы

Рисунок 1- Динамика объемов лизинговых сделок в России Для регулирования лизинговой деятельности в РФ создана нормативно-правовая база. Основу лизингового законодательства составляют:

- Федеральный закон от 29.10.1998 г. №164-ФЗ «О финансовой аренде (лизинге)»;

- Гражданский кодекс РФ (статьи 665-670);

-Федеральный закон от 08.02.1998 г. №16-ФЗ «О присоединении РФ к Конвенции УНИДРУА о международном финансовом лизинге»;

- региональные законы.

Схема организации многосторонней лизинговой сделки представлена на рисунке 2. Основными участниками лизинговой сделки являются лизингодатель и лизингополучатель, между которыми заключается лизинговый контракт (договор лизинга). Анализ российского

лизинг ового законодательства показал, что с правовой точки зрения регламентируется лишь наличие определенных параметров в договоре. Flo величины этих параметров никак не определяются законодательно, а являются предметом переговоров между лизингодателем и лизингополучателем. Согласованные параметры, устраивающие участников лизинговой сделки, фиксируются в контракте.

Лизингодатель Договор лизинга Лизингополучатель

Инспектирование и контроль

А V*

Договор купли-юдажи

Выбор имуществу-

Поставщик (продавец)

Поставка имущества

▼▼

Кредитор (Банк)

Страховая компания

Обязательные договоры Сопутствующие договоры

Рисунок 2 - Организация многосторонней лизинговой сделки

Анализ сделок на рынке лизинговых услуг показал, что в контракте обязательно указываются следующие параметры:

1. Стоимость лизингового имущества К, руб.;

2. Годовая ставка комиссионного вознаграждения лизингодателя г ;

3. Срок договора Т, лет;

4. Величина аванса Ка, руб.;

5. Общее количество лизинговых платежей и;

6. Количество (периодичность) лизинговых платежей в год т;

7. Величины платежей и, в каждом периоде 1,1=1,п, руб.

Параметры контракта определяют сумму лизинговых платежей, которая является критерием при принятии решений лизингодателем и лизингополучателем.

Рассматривается типичная ситуация, когда ставка комиссионного вознаграждения лизингодателя начисляется на невыплаченную стоимость лизингового имущества (остаток долга) в каждом периоде действия лизингового контракта. В этом случае сумма лизинговых платежей является переменной величиной, зависящей от величины выплат в каждом периоде (графика лизинговых платежей).

Во второй главе сформулированы динамические модели принятия решений лизингодателем и лизингополучателем для определения оптимальных параметров лизингового контракта.

Экономические интересы лизингополучателя заключаются в минимизации дисконтированной суммы лизинговых платежей: и.

J ли ~ Л

(1+г)'

mm .

где г - ставка дисконтирования.

Величина платежа лизингополучателя ограничена его финансовыми возможностями и условиями контракта в рассматриваемый период:

Lmin ^ гшах , 1

О, <U,<b, , t -1,П,

где Ь'"п, Ь™ш - соответственно минимально и максимально возможные лизинговые платежи в период t.

Максимально возможные лизинговые платежи 6,тах определяются финансовым состоянием лизингополучателя. Минимально возможные лизинговые платежи Ь,т,п

устанавливает лизингодатель. При этом выбор лизингодателя является компромиссом между доходностью сделки и риском. Чем меньше лизинговые платежи, особенно в начальные периоды, тем больше доходность лизингодателя, но при этом больше риск не возврата стоимости имущества.

Неоплаченная стоимость лизингового имущества х, определяется дискретным уравнением:

х, =х;ч(1+ /)-«,, / = 1, л ,

где i ~ ставка комиссионного вознаграждения в период г.

Ставка комиссионного вознаграждения определяется выражением: i = —.

т

В начальный период неоплаченная стоимость лизингового имущества х0 равна:

Xq = К0,

где К0 - стоимость лизингового имущества после выплаты аванса.

Стоимость имущества после выплаты аванса определяется по формуле: К0 = К - Ка .

Лизинговый контракт будет успешно выполнен, если в конечный период вся стоимость имущества будет выплачена:

х„=0.

Таким образом, модель принятия решений для лизингополучателя запишется в виде: <=1 (! + '")

Ь™п<Щ$ЬГ, t = \,n, (2)

х, = JC,4(1 + i) - и,, f = 1, и, (3)

х0=К0, (4)

Х„ = 0. (5)

Управляющей функцией в модели (1-5) являются платежи лизингополучателя и,, ¿ = 1 ,п, на которые наложено ограничение (2). Сформулированная задача управления

лизинговыми платежами является задачей оптимального управления дискретной системой. Задача оптимального управления состоит в нахождении такого управления и,, подчинённого ограничению (2), которое переводит дискретную систему (3) из начального состояния (4) в конечное (5), минимизируя критерий оптимальности (1)

Решим задачу оптимального управления для лизингополучателя (1)-(5) с помощью дискретного принципа максимума Понтрягина. Для этого запишем гамильтониан:

//, = </', [V, 0 + 0 - ] - = + тг1^]+О +О' (6)

(1 + г) (НГ)

где Ч*, - сопряженная переменная.

Из условия максимума гамильтониана определим структуру оптимального управления для лизингополучателя:

ьг>если +

иТГ/ 1 = 1, п. (7)

ЬГ,

Запишем уравнение для сопряжённой переменной:

^=1^(1 + 0, ¿ = «,1. (8)

Следует отметить, что сопряжённое уравнение (8) решается независимо от исходного уравнения (3). Так как формула (8) является рекуррентной, выведем формулу для сопряжённой переменной через параметры лизингового контракта. Запишем сопряжённую переменную в периоды t = 1,2 ,...п по уравнению (8), считая, что в начальный период времени сопряжённая переменная равна константе Ч'0=С:

С ,„ С С

UL —___ '// — ш __

2_М2' (1+03'

Обобщая, запишем решение уравнения (8):

^=7Лг- (9)

(l+i/

С учётом (9), выражение для оптимального управления лизингополучателя примет вид:

ЬГ. если L_<0

М (1;r) t = l,n. (10)

min ^ ^ . л

, , если-.-—+-->0

(l + 'j (1 + 0'

Из условия (10) следует, что если константа С положительна, то оптимальным будет только одно управление и"р< = Ь,шш, а это не гарантирует в конечный момент времени выполнения граничного условия х„ = 0. В случае, если константа С отрицательна, то возможна смена стратегии лизингополучателя с и°р' = Ь,тах на и°р' = 6,гаш . В этом случае граничное условие будет выполнено. Таким образом, искомое оптимальное управление имеет релейный вид: на начальном этапе лизингового контракта, до достижения периода смены стратегии £ЛП лизингополучателю выгодно совершать лизинговые платежи как можно большего размера, а затем минимального размера:

иоР, \ъГ,ссли\<Х<{т [6,mi", если t'm<t<n

Оптимальная стратегия выплаты лизинговых платежей лизингополучателем изображена на рисунке 3.

юооо

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 Период лизингового контракта

Рисунок 3 - Оптимальная стратегия выплаты платежей лизингополучателем Подставив в уравнение (3) оптимальное управление (11), используя граничные условия (4) и (5), определим период смены стратегии для лизингополучателя ¡'т в

результате пересечения двух траекторий, выходящих из начальной и конечной точек (рисунок 4). Оптимальная траектория образуется в результате объединения двух участков рассматриваемых траекторий.

500000 400000 300000 200000 100000

У.....-"

) ^

— —

----- т

О 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 Период лизингового контракта I

Рисунок 4 - Оптимальная траектория невыплаченной стоимости имущества для

лизингополучателя

Стратегия лизингодателя заключается в максимизации дисконтированной суммы лизинговых платежей. Запишем динамическую модель принятия решений лизингодателем:

" v

■}лл=У£,-"—*—^ шах, (12)

ЬР*<у,<Ь™\ 1 = п, (13)

xt=x,_l(l + i)-vl, ¡ = 1,п, (14)

= ко> 05)

*„=0, (16

где v,-размер лизингового платежа, выгодный лизингодателю в период

Управляющей функцией в модели (12-16) являются лизинговые платежи лизингодателя V,, / = 1 ,п, на которые наложено ограничение (13). Задача оптимального управления состоит в нахождении такого управления V,, подчинённого ограничению (13), которое переводит дискретную систему (14) из начального состояния (15) в конечное (16), максимизируя критерий оптимальности (12).

Решим задачу оптимального управления (12)-(16) для лизингодателя. Запишем гамильтониан:

= (17)

(1+г) (1+Г)

Определим структуру оптимального управления для лизингодателя из условия максимума гамильтониана. Повторим аналогично вышеописанные действия для лизингодателя. Окончательно оптимальное управление примет релейный вид: до достижения периода смены стратегии Сщ лизингодателю выгодно производить платежи как можно меньшей величины, а затем максимальной величины:

ЪГ, если \<(<1'лд Ь™**, если {щ<Х<п

Оптимальная стратегия выплаты платежей лизингодателем изображена на рисунке 5.

Подставив в уравнение (14) оптимальное управление (18), используя граничные условия (15) и (16) определим период смены стратегии для лизингодателя 1*Ид в результате

пересечения двух траекторий, выходящих из начальной и конечной точек (рисунок 6).

Полученные оптимальные стратегии выплаты платежей лизингополучателя (11) и лизингодателя (18) и соответствующие им траектории определяют минимальную и максимальную сумму лизинговых платежей. Максимальная и минимальная суммы лизинговых платежей являются границами области компромисса для лизингодателя и лизингополучателя. Выбор согласованной суммы лизинговых платежей осуществляется в результате переговоров между лизингодателем и лизингополучателем из области компромисса. Таким образом, область компромисса является экономически обоснованной рекомендацией при принятии решений лизингодателем и лизингополучателем в процессе переговоров.

100000

80000

* 60000

40000

20000

1 2 3 4 5 6 7

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 Период лизингового контракта I

Рисунок 5 - Оптимальная стратегия выплаты платежей лизингодателем

1400000

1200000

1000000

- 800000

600000

400000

200000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 Период лизингового контракта I

Рисунок 6 - Оптимальная траектория невыплаченной стоимости имущества для

лизингодателя

Рассмотрим численный пример, в котором стоимость лизингового имущества ЛГ— 1000000 рублей, авансовый платеж /^=300000 руб., срок договора п= 24 месяца, годовая ставка комиссионного вознаграждения / =12%, имеются данные об ограничениях на лизинговые платежи в каждом периоде. Используя полученные оптимальные стратегии (11) и (18) найдены оптимальные траектории невыплаченной стоимости имущества для лизингодателя и лизингополучателя (рисунок 7).

Период лизингового контракта I

Рисунок 7 - Оптимальные траектории невыплаченной стоимости имущества для лизингодателя и лизингополучателя

Оптимальной траектории невыплаченной стоимости имущества для лизингополучателя (нижняя кривая) соответствует минимальная сумма лизинговых платежей 787000 руб., а оптимальной траектории для лизингодателя (верхняя кривая) соответствует максимальная сумма 864000 руб. Таким образом, найдены границы области компромисса между лизингодателем и лизингополучателем.

На область компромисса участников лизинговой сделки влияют не только размеры ежемесячных платежей щ 1-1,п, но и величина аванса Ка. В таблице 1 приведены расчёты сумм лизинговых платежей , величин удорожания имущества, периодов смен стратегий при различных авансовых платежах.

Таблица 1 - Показатели лизинговой сделки при различных авансовых платежах

Аванс, % К0, руб. п . руб. (=1 Я, % *

лп лд ЛП лд лп лд

20 800000 887000 941000 8,7 14,1 15 19

30 700000 787000 864000 7,9 8,5 13 20

40 600000 672000 779000 7,4 8,4 9 21

Величина удорожания имущества рассчитывается по формуле:

--ЮСРЛ

На основе описанных математических моделей разработан алгоритм согласованного выбора параметров лизингового контракта (рисунок 8).

Шаг 1. Лизингополучатель выбирает лизингодателя из имеющихся на рынке.

Шаг 2. Ведутся переговоры о величине ставки комиссионного вознаграждения /'. Размер ставки определяется финансовым рынком. Следует отметить, что для различных видов имущества могут устанавливаться различные ставки.

Шаг 3. Ведутся переговоры о величине авансового платежа Ка. На выбор аванса наложены следующие ограничения: К"лп < Ка < К™ш . Минимально возможную величину

аванса К™'" устанавливает лизингодатель. При этом он руководствуется двумя основными критериями: риском невозврата стоимости имущества и доходностью сделки. Максимальная величина аванса К™" определяется финансовыми возможностями лизингополучателя.

Шаг 4. На данном шаге лизингодатель и лизингополучатель договариваются о сроке договора лизинга в годах Т и периодичности лизинговых платежей т. Общее количество лизинговых платежей п связанно со сроком договора и периодичностью платежей соотношением: п = Тт. Если предлагаемые сроки договора не удовлетворяют лизингополучателя, предлагается вернуться на предыдущий шаг и пересмотреть решение о величине аванса Ка.

Шаг 5. С использованием полученных оптимальных стратегий лизингополучателя (11) и лизингодателя (18) определяются максимальная и минимальная суммы лизинговых платежей. Эти суммы являются границами области компромисса между лизингодателем и лизингополучателем.

Шаг 6. Ведутся переговоры о согласованной сумме лизинговых платежей из области компромисса. В качестве выбора точки в области компромисса возможны различные варианты: выбор среднего значения от суммы границ области компромисса, выбор значения в процентном отношении от суммы границ, выбор границ области компромисса

Шаг 7. Выбор графика лизинговых платежей, соответствующего согласованной сумме лизинговых платежей из области компромисса. Происходит заключение лизинговой сделки.

Также во второй главе сформулированы и решены задачи оптимального управления лизинговыми платежами в непрерывной постановке. Полученные решения совпали с аналогичными решениями для дискретных задач оптимального управления.

В третьей главе решены дискретные задачи оптимального управления постоянными (аннуитетными) лизинговыми платежами для лизингополучателя и лизингодателя.

В случае аннуитетных платежей оптимальное управление для лизингополучателя (11) запишется:

иоР,\ь™, если 1 <Г<4, ' |бт!п, если 1*лп<1<п'

Начальным периодам 1 < I < {'т, соответствует траектория, определяемая дискретным уравнением:

В начальный период выполняется начальное условие (4).

Начало

iLjL.il.

Шаг 1. Выбор лизингополучателем лизингодателя

Шаг 2. Переговоры о величине ставки комиссионного вознаграждения /'

Шаг 4. Переговоры о сроке договора Т (в годах), периодичности платежей т, количестве платежей п=Тт

1 г

Шаг 5. Определение границ области компромисса между лизингополучателем и лизингодателем

1 г

Шаг 6. Переговоры о согласованной сумме лизинговых платежей

*—-__1^гласование^сушл ы лизинговых п л да

Шаг 7. Выбор графика лизинговых платежей, соответствующего согласованной сумме лизинговых платежей из области компромисса

г

Заключение контракта

Рисунок 8 - Алгоритм согласованного выбора параметров лизингового контракта

Так как формула (19) является рекуррентной, выведем выражение для невыплаченной стоимости лизингового имущества х, через параметры лизингового контракта. Запишем неоплаченную стоимость лизингового имущества в периоды I - 1,2,3,... по уравнению (19), используя начальное условие (4): х1 = Ко(1 + 0-Ьт, х2 = Хв0 + р-Ь~[(1 + 1)-1],

= ^о (1+О3 -ь""" [(*+'У - ('+') -■

Обобщая, запишем выражение для произвольного периода Г.

х, = к0(\ + ¡) - ь""" [(1+¡у-1 - (1 + ¿У"2 - (1+/У"3 -... - (1 +;)°]

Выражение в квадратных скобках представляет собой сумму геометрической прогрессии со знаменателем (1 +;) и числом членов прогрессии г. Применяя формулу для суммы геометрической прогрессии, получим выражение:

х, =К0 (1 + 0' -Ъ"

:(1 + 0'"1

(20)

Конечным периодам 1лп<1<п, соответствует траектория: х,+Ьт

1 + /

(21)

В конечный период выполняется граничное условие (5).

Запишем неоплаченную стоимость имущества по формуле (21) в периоды / - «,«-/,л-2, п-3,... 1т, используя граничное условие (5):

V - ьтт

.*„_! - о —

1п-\ ■

лп-2

= 6"

1 + 1 ' 1 + ( 1

(1 + 02. 1

т + -

1

|_1 + «' ' (1 + 02 ' (1 + 03] Для произвольного периода I выражение запишется:

1

+ ... + -

1

......... о+г-1

Выражение в квадратных скобках представляет собой сумму геометрической

профессии со знаменателем —— и числом членов прогрессии п-1. Применяя формулу для

1 + /

суммы геометрической прогрессии, получим выражение:

1-0 + /)'-"

Х1=ЬП

(22)

Период смены стратегии лизингополучателя Iлп определится в результате пересечения начального и конечного участков траекторий:

4? = 1о&+/

^тах_

Ьтах-К01-Ьт'т{1+/)~"

(23)

Рассмотрим решение задачи оптимального управления аннуитетными платежами с точки зрения лизингодателя. Оптимальное управление для лизингодателя (18) запишется:

х,°Р' =

1ЛД

Ьта\ еслиСщ <1<п

Выполняя аналогичные действия для лизингодателя, определим траекторию невыплаченной стоимости имущества в начальные периоды 1 < < < Сщ :

Х1=К0(1 + 1)' -ЬШп(1 + ') 1

(24)

Траектория невыплаченной стоимости имущества в конечные периоды 1щ < I < п запишется:

х, = Ь"

(25)

Приравнивая уравнения (24) и (25), найдем период смены стратегии для лизингодателя 1Лд :

^тах _/)га'п

(26)

Аналитические формулы (20), (22), (24), (25) определяют оптимальные траектории невыплаченной стоимости имущества для лизингополучателя и лизингодателя. Траекториям соответствуют минимальные и максимальные суммы лизинговых платежей, которые являются границами области компромисса.

Рассмотрим численный пример. Условия лизингового договора: стоимость лизингового имущества - 1000000 рублей, аванс 300000 руб., срок договора - «=24 месяца, годовая ставка

комиссионного вознаграждения < = 12%. Минимальный ежемесячный платеж: Ь""~ =20000

рублей, лизингополучатель может выплачивать не больше 6тах = 70000 рублей в месяц.

По формулам (20), (22) рассчитаем оптимальную траекторию невыплаченной стоимости имущества для лизингополучателя (нижняя ломаная линия на рисунке 9), которой соответствует минимальная сумма лизинговых платежей. С использованием выражений (24), (25) определим оптимальную траекторию для лизингодателя (верхняя ломаная линия на рисунке 9), которой соответствует максимальная сумма лизинговых платежей.

По формулам (23), (26) найдём периоды смены стратегий для лизингополучателя »6 месяцев и для лизингодателя /*1Д я 17 месяцев. Вычислим минимально возможную сумму лизинговых платежей:

= . ьтю + (я - 4т) • = 6 мес. ■ 70000 руб. +18 мес. • 20000руб. = 780000руб. Определим максимально возможную сумму лизинговых платежей:

= 'ад • 6™" + (п - /од) ■ 6та" = 17 мес. ■ 20000+ 7 мес. ■ 70000= 830000руб.

Найденные минимальная и максимальная суммы лизинговых платежей являются границами области компромисса между лизингодателем и лизингополучателем.

Период лизингового контракта I

Рисунок 9 - Оптимальные траектории невыплаченной стоимости имущества для лизингодателя и лизингополучателя Также в третьей главе сформулированы и решены задачи оптимальною управления аннуитетными платежами в непрерывной постановке. Найденные решения совпали с аналогичными решениями для дискретных задач оптимального управления аннуитетными платежами.

III. ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ

Основные научные и практические результаты, полученные в ходе диссертационного исследования, состоят в следующем:

1.Проведен анализ экономических взаимодействий между участниками лизинговой сделки.

2.Проанализированы параметры лизингового контракта, влияющие на экономические интересы лизингодателя и лизингополучателя.

3.Сформулированы динамические модели принятия решений лизингодателем и лизингополучателем.

5.Найдены оптимальные стратегии выплаты лизинговых платежей для лизингополучателя и лизингодателя, обеспечивающие соответственно минимизацию и максимизацию их целевых функций.

5.Разработан алгоритм согласованного выбора параметров лизингового контракта, позволяющий количественно определить границы области компромисса между лизингодателем и лизингополучателем.

6.Для случая аннуитетных платежей получены аналитические формулы, определяющие границы области компромисса между лизингодателем и лизингополучателем.

7.Разработанный алгоритм согласованного выбора параметров лизингового контракта внедрён в практику работы лизинговой компании ЗАО «ЛиКо».

Публикации автора по теме диссертации в ведущих рецензируемых журналах, определённых Высшей аттестационной комиссией

1. Фудобина, Е. А. Оптимальная стратегия возмещения стоимости лизингового имущества. [Текст] / О.В. Павлов, Е. А. Фудобина; Экономические науки. № 2(51) - Самара, 2009, Библиогр.: с. 313-317.

2. Фудобина, Е. А. Дискретные модели оптимального управления параметрами лизингового контракта [Текст] / О.В. Павлов, Е. А. Фудобина; Вестник СГАУ. №3(23) -Самара, 2010, Библиогр.: с. 128-135.

3. Фудобина, Е. А. Математические модели принятия оптимальных решений участниками лизинговой сделки. [Текст] / О.В. Павлов, Б. А. Фудобина; Экономические науки. №7(68)-Самара, 2010, Библиогр.: с. 219-224.

в других журналах

4. Фудобина, Е. А. Согласование экономических интересов участников лизинговой сделки [Текст] / О.В. Павлов, Е. А. Фудобина; Высшее образование, бизнес, предпринимательство 2007: Материалы Всероссийской научно-практической конференции «Наука, бизнес, образование'2007» и Всероссийской научно-технической конференции «Экономика Поволжья». Сб. докл. 4.2. Самар. гос. техн. ун-т, Поволжской ин-т бизнеса-Самара, 2007. - 293 с. - Библиогр.: с. 252-256 .

5. Фудобина, Е. А. Определение области компромисса между участниками лизинговой сделки [Текст] / Е. А. Фудобина; Управление качеством и резервы экономического роста предприятий и организаций. Сборник статей Международной научно-практической конференции. - Пенза, 2008- 143 с. - Библиогр.: с. 133-135 .

6. Фудобина, Е. А. Задача об оптимальной стратегии выплаты лизинговых платежей [Текст] / О.В. Павлов, Е. А. Фудобина; Проблемы управления экономикой в трансформируемом обществе: сборник статей V Международной научно-практической конференции. -Пенза: Приволжский Дом знаний, 2008 -е.. - 300 с. —Библиогр.: с. 91-94.

7. Фудобина, Е. А. Оптимальное управление лизинговыми платежами [Текст] / О.В. Павлов, Е. А. Фудобина; Совершенствование системы управления организацией в современных условиях. Сборник статей Международной научно-практической конференции. -Пенза, 2009, 212 с. - Библиогр.: с. 136-140.

8. Фудобина, Е. А. Решение задачи об оптимальной стратегии выплаты лизинговых платежей [Текст] / О.В. Павлов, Е. А. Фудобина; Высшее образование, бизнес, предпринимательство 2009: Материалы Международной научно-практической конференции «Наука, бизнес, образование'2009» и Международной научно-технической конференции «Экономика и управление: теория, методология, практика». Сб. докл. 4.1. Самар. гос. техн. ун-т, Поволжской ин-т бизнеса. Самара, 2009,272 с. - Библиогр.: с. 250-256.

9. Фудобина, Е. А. Оптимальное управление лизинговым контрактом с точки зрения лизингополучателя [Текст] /Е. А. Фудобина; Современный российский менеджмент: состояние, проблемы, развитие: сборник статей XII Международной научно-методической конференции. - Пенза, Приволжский дом знаний 2010, 176 с. - Библиогр.: с. 109-113.

10. Фудобина, Е. А. Дискретные модели оптимального управления лизинговым контрактом лизингодателем [Текст] / Е. А. Фудобина; Современный российский менеджмент: состояние, проблемы, развитие: сборник статей XII Международной научно-метод. конференции. - Пенза, Приволжский дом знаний 2010, 176 с. - Библиогр.: с. 158-161.

Подписано в печать 19.11.2010 г. Тираж 100 экз. Отпечатано с готового оргинал-макета в СГАУ 443086, Самара, Московское шоссе, 34

Диссертация: содержание автор диссертационного исследования: кандидата экономических наук, Фудобина, Екатерина Анатольевна

введение.:.

1 анализ экономического механизма лизинговых сделок.

11В Анализ российского рынка лизинговых услуг.

1.2 Организация лизинговых сделок, регламентированная законодательством РФ

1.3 Анализ параметров лизингового контракта.

1141 Обзорсуществующих^методов расчёта лизинговых платежей?.

2*: динамические модели? согласованного' выбора параметров^шзинговогоконт1жт.„.

2.1 Постановка и решение дискретных задач оптимального управления лизинговыми платежамш.

2.2 Алгоритм согласованного выбора параметров лизингового контракта.

2.3 Постановка и решение непрерывных задач оптимального управлениящизинговымишлатежамш.

3 аналитическое решение задач оптимального управления аннуитетными лизинговыми платежами.

3.1 Аналитическое решение дискретных задач оптимального управления аннуитетными лизинговыми платежами.

3.2 Аналитическое решение непрерывных задач оптимального управления аннуитетными:лизинговыми платежами?.

Диссертация: введение по экономике, на тему "Динамические модели согласованного выбора параметров лизингового контракта"

Актуальность исследования. Промышленные предприятия с целью обеспечения конкурентоспособности стремятся* к повышению качества продукции и снижению издержек. Это невозможно без современных средств производства, поэтому фирмам требуется своевременно менять морально и физически устаревшее оборудование на новое. В настоящее время^ многие российские предприятия, нуждаются- в модернизации. Для4 решения долгосрочных задач по переоснащению предприятий основными фондами необходимы значительные финансовые ресурсы.

Техническое перевооружение, модернизация и обновление основных фондов российских предприятий раньше, в основном, финансировалось за счет прибыли предприятий. Период 90-х годов двадцатого века и последующие регулярные финансовые кризисы в экономике России привели* к полному отсутствию у предприятий собственных средств, и как следствие не давали возможности предприятиям обновлять изношенный парк промышленного оборудования и применять новые технологии производства. Доступный заемный капитал также отсутствовал.

В этих условиях для отечественных предприятий лизинг стал наиболее подходящим способом финансирования инвестиций. Главное преимущество лизинга состоит в том, что предоставляются не денежные средства, а необходимое оборудование, которое сразу можно использовать в производственном процессе. Лизинг, как механизм альтернативного финансирования, играет огромную роль в выполнении стратегических задач по техническому перевооружению предприятий.

В настоящее время для развития лизинга в России созданы основы нормативно-правовой и методической базы, в тоже время продолжает увеличиваться потребность предприятий в скорейшем, осуществлении технического перевооружения производства для выпуска конкурентоспособной продукции.

Важным этапом в организации лизинговой сделки является заключение лизингового контракта между лизингодателем и лизингополучателем. Условия (параметры)' контракта определяют общую сумму лизинговых платежей, которая отражает экономические интересы, лизингодателя и лизингополучателя. Исходя из экономических интересов, у участниковf сделки существуют различные предпочтения по выбору управляющих параметров- лизингового контракта. Однако,1 несмотря* на различные экономические интересы, лизингополучатель ие лизингодатель заинтересованы в сотрудничестве. Чтобы сделка состоялась, выбор параметров лизингового контракта должен проводиться с учетом экономических интересов, как лизингодателя, так и лизингополучателя.

Таким образом,, актуальной задачей является; разработка-математических моделей, обеспечивающих экономически выгодное взаимодействие лизингодателя и лизингополучателя.

Состояние изученности проблемы. Рассмотрение проблем, связанных с лизингом, отражено в работах В.Д. Газмана, В.А. Горемыкина, В.М. Джуха, М.В. Карпа,.А.Н. Киркорова; JLH. Ирилуцкого, E.H. Чекмаревой и других. В работах этих авторов разработаны методики расчета лизинговых платежей, оценки эффективности лизинговых сделок, управление финансами лизинговых компаний.

Однако в указанных работах решение проблем рассматривается из экономических интересов только одного из участников лизинговой сделки: лизингодателя или лизингополучателя. Методической основой для решения задач согласования интересов участников экономических систем являются теория активных систем и теория иерархических игр, основные положения которых изложены в работах В.Н. Буркова, В.В. Кондратьева, A.B. Щепкина, А.К. Еналеева, Д.А. Новикова, H.H. Моисеева, Ю.Б. Гермейера, А.Ф. Кононенко, М.А. Горелова, Ф.И. Ерешко. Результаты практического применения этих теорий опубликованы в трудах A.A. Ашимова, В.П.

Авдеева, Т.В. Киселевой, И.А. Горгидзе, С.А. Баркалова, В.Г. Засканова, Г.М. Гришанова, М.Г. Сорокиной.

Вместе с тем, до - настоящего времени- не получила должного решения^ такая проблема, как согласованный выбор параметров- лизинговых контрактов, учитывающий* экономические интересы лизингодателя и лизингополучателя.

Отсутствие универсальных математических моделей в этой! области делает актуальным/задачи, решение которых приведет к разработке методов согласованного выбора параметров лизинговых контрактов.

Цель и задачи, исследования. Целью> настоящей работы, является» разработка математических моделей и алгоритма согласованного выбора параметров лизингового контракта, обеспечивающих экономически* выгодное взаимодействие участников лизинговой' сделки.

В соответствии с поставленной целью исследования в работе решаются следующие задачи:

1.Анализ экономических отношений' между участниками лизинговой' сделки.

2. Анализ параметров лизингового1 контракта, влияющих на экономические интересы лизингодателями лизингополучателя.

3.Формулировка динамических моделей принятия решений лизингодателем и лизингополучателем для определения, оптимальных параметров лизингового контракта.

4.Решение задач оптимального управления лизинговыми платежами для лизингополучателя и лизингодателя.

5.Разработка алгоритма согласованного выбора параметров лизингового контракта.

6.Решение задач оптимального управления8 аннуитетными лизинговыми платежами для лизингополучателя и лизингодателя в аналитическом виде.

7.Практическая реализация предложенного алгоритма, согласованного выбора параметров лизингового контракта в компании ЗАО «ЛиКо».

Область исследования соответствует пункту 1.4. «Разработка и исследование моделей и математических методов анализа микроэкономических процессов и систем: отраслей народного хозяйства, фирм и предприятий, домашних хозяйств, рынков, механизмов формирования спроса и потребления, способов' количественной' оценки предпринимательских рисков и обоснования« инвестиционных решений» по паспорту специальности 08.00.13 - Математические и инструментальные методы экономики.

Объектом исследования являются лизинговые контракты в коммерческих банках и финансовых организациях, а также процессы экономических взаимодействий участников лизинговых отношений:

Предметом- настоящего исследования являются математические модели принятия решений лизингодателем и лизингополучателем.

Методы исследования. Исследования- базируются на применении« методов теории активных систем, теории иерархических- игр, финансовой математики, теории оптимального управления непрерывными! и дискретными системами.

Научная новизна диссертации. Новые научные результаты, полученные в процессе исследования, состоят в следующем:

1.Разработаны динамические модели принятия .решений лизингодателем и лизингополучателем, отражающие их экономические интересы.

2.Найдены оптимальные стратегии выплаты лизинговых платежей для лизингополучателя и лизингодателя, обеспечивающие соответственно' максимизацию и минимизацию их целевых функций.

3.Разработан алгоритм согласованного выбора параметров лизингового контракта, позволяющий количественно определить границы- области компромисса между лизингодателем и лизингополучателем.

4.Получены аналитические формулы, определяющие границы области компромисса между лизингодателем и лизингополучателем в случае аннуитетных платежей.

Практическая значимость диссертационного исследования заключается в том, что предлагаемые автором динамические модели, формулы и алгоритм позволяют количественно определить границы области компромисса между лизингодателем и лизингополучателем, необходимые для успешного ведения переговоров. Разработанные автором алгоритм и аналитические формулы используются в практической деятельности лизинговой компании ЗАО «ЛиКо».

Апробация основных положений работы. Основные теоретические и практические положения работы докладывались и обсуждались на всероссийских и международных научно-практических конференциях и семинарах:

Наука, бизнес, образование'2007» (Самара, 2007 г.)

Высшее образование, бизнес, предпринимательство» (Самара, 2009 г.) Основные положения и результаты исследования опубликованы в 10 работах, в том числе в ведущих рецензируемых изданиях, определённых Высшей аттестационной комиссией - 3 статьи.

Структура диссертации. Диссертация общим объемом 128 страниц состоит из введения, трех глав, заключения, библиографического списка из 80 наименований. Работа содержит 13 таблиц, 57 рисунков.

Диссертация: заключение по теме "Математические и инструментальные методы экономики", Фудобина, Екатерина Анатольевна

ВЫВОДЫ. В первом параграфе третьей главы решены дискретные задачи оптимального управления аннуитетными< лизинговыми платежами. Оптимальные стратегии выплаты аннуитетных платежей найдены как частный случай- ранее- полученных стратегий для лизингодателя и лизингополучателя.

Получены аналитические формулы для расчета оптимальных траекторий стоимости^ имущества для лизингополучателя и* лизингодателя. Найдены формулы определения периода смены стратегий для лизингополучателя и. лизингодателя. Полученные аналитические формулы позволяют однозначно определять максимальную и минимальную суммы лизинговых платежей, которые являются границами области компромисса.

Рассмотрен численный пример определения границ области-компромисса между лизингополучателем и лизингодателем в случае аннуитетных платежей.

Во втором параграфе третьей главы решены непрерывные задачи оптимального управления аннуитетными* лизинговыми платежами для лизингодателя и лизингополучателя. Результаты, полученные для непрерывных моделей, совпали с результатам, полученными для дискретных моделей в первом параграфе.

При использовании непрерывных моделей найдены: аналитические формулы для расчета оптимальных траекторий стоимости имущества для лизингополучателя и лизингодателя, формулы определения периода смены стратегий для лизингополучателя и лизингодателя.

Рассмотрен тот же численный пример определения границ области компромисса между лизингополучателем и лизингодателем, что и для дискретных моделей. Полученные численные результаты при использовании дискретных и непрерывных моделей оказались идентичными.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В первой главе представлен анализ российского рынка лизинговых услуг. Произведен анализ объёма лизинговых сделок с 1998 года по 2009 год, распределения лизинговых компаний по регионам России, распределения* объемов сделок по всем видам объектов лизинга, анализ объёмов сделок по всем видам объектов лизинга в 2008' и 2009 годах. С 1999 по 2007 годы происходил быстрый рост рынка лизинговых услуг, который затем сменился его уменьшением в 2008-2009 годах из-за мирового финансового кризиса. Суммарный объем лизинговых сделок по всем видам объектов лизинга в 2009 году превысил 231840 миллиардов рублей. Наблюдался значительный рост объема сделок с железнодорожным и авиаоборудованием - с 64561 миллионов рублей в 2008 году до 115415 миллионов рублей в 2009 году. Сделан вывод о популярности и актуальности лизинга в России.

Выполнен анализ организации лизинговых сделок в соответствии с законодательством Российской Федерации. Описана последовательность заключения лизинговой сделки, составлена схема экономического взаимодействия участников. Основными участниками сделки являются лизингодатель и лизингополучатель, между которыми заключается лизинговый контракт (договор лизинга). С правовой точки зрения регламентируется лишь наличие определенных условий в договоре, а сами условия являются предметом переговоров между лизингодателем и лизингополучателем.

Проведен анализ условий (параметров) лизингового контракта. Параметрами лизингового контракта являются: стоимость имущества, величина аванса, годовая ставка комиссионного вознаграждения, общее количество лизинговых платежей, количество лизинговых платежей в год и график лизинговых платежей. Эти параметры влияют на общую сумму лизинговых платежей, а следовательно и на экономические интересы участников сделки.

Экономические интересы лизингополучателя состоят в минимизации суммы лизинговых платежей, а лизингодателя в максимизации. Исходя из экономических интересов, у участников сделки существуют различные предпочтения по выбору управляющих параметров лизингового контракта.

Сделан обзор существующих методов расчёта лизинговых платежей. Размер комиссионного вознаграждения рассчитывается как процент от: балансовой стоимости имущества, среднегодовой остаточной стоимости имущества, невыплаченной стоимости лизингового имущества.

В практике лизинговых компаний наибольшее распространение получил способ начисления процента комиссионного вознаграждения на невыплаченную стоимость лизингового имущества (на остаток долга). В работе рассматривается именно этот способ расчёта комиссионного вознаграждения. В этом случае общая сумма лизинговых платежей зависит от графика лизинговых платежей. Рассматриваются численные примеры расчёта общей суммы лизинговых платежей и удорожания имущества при регрессивном, аннуитетном и прогрессивном графиках. Наименьшая сумма лизинговых платежей и удорожание соответствует регрессивному графику, наибольшая сумма лизинговых платежей и удорожание соответствуют прогрессивному.

Несмотря на различные экономические интересы, лизингополучатель и лизингодатель заинтересованы в сотрудничестве. Чтобы сделка состоялась, выбор параметров лизингового контракта должен проводиться с учетом экономических интересов, как лизингодателя, так и лизингополучателя. Следовательно, возникают задачи определения оптимальных параметров лизингового контракта с точки зрения лизингодателя и лизингополучателя. Решение этих задач позволит определить максимальную и минимальную суммы лизинговых платежей, а следовательно и границы области компромисса между лизингодателем и лизингополучателем. Выбор согласованной суммы лизинговых платежей осуществляется в результате переговоров между лизингодателем и лизингополучателем из области компромисса. Область компромисса является экономически обоснованной рекомендацией при принятии решений лизингодателем^ и лизингополучателем в процессе переговоров.

Во второй, главе сфо рмулированы дискретные и непрерывные задачи оптимального управления'лизинговыми, платежами исходя-из экономических интересов лизингодателя и лизингополучателя. Для- решения сформулированных задач применена теория оптимального управления дискретными.и непрерывными* системами.

Найдены оптимальные стратегии выплаты платежей для лизингодателя и лизингополучателя. Оптимальная стратегия для лизингополучателя имеет релейный вид: в начальные периоды контракта выгодно совершать платежи как можно большего размера, а затем после смены стратегии - как можно меньшего размера. Оптимальная- стратегия^ для лизингодателя также имеет релейный вид: в начальные периоды контракта выгодно получать платежи как можно меньшего размера, а затем после смены стратегии - как можно большего- размера. Сформулирована последовательность действий, позволяющая определить период смены стратегии для лизингополучателя и лизингодателя. Полученные результаты позволяют определять максимально' и минимально возможные, суммы лизинговых платежей - границы области компромисса между лизингополучателем и лизингодателем.

Рассмотрен численный пример определения границ области компромисса между лизингополучателем и лизингодателем. Рассчитаны границы области компромисса при различных величинах авансового платежа.

Сформулирован алгоритм согласованного выбора параметров лизингового контракта. В результате переговоров между лизингополучателем и лизингодателем определяются параметры лизингового контракта: величина аванса, годовая ставка комиссионного вознаграждения, общее количество лизинговых платежей, количество лизинговых платежей в год. Используя полученные оптимальные стратегии для лизингодателя и лизингополучателя, определяются оптимальные траектории невыплаченной l стоимости имущества для лизингополучателя и лизингодателя. Вычисляются максимальная и минимальная суммы лизинговых платежей, которые являются границами области компромисса. В результате переговоров выбирается согласованная сумма лизинговых платежей из области Sкомпромисса. В качестве выбора точки в области компромисса возможны различные варианты: выбор среднего значения от суммы границ области компромисса, выбор значения в, процентном отношении от суммы границ, выбор границ области компромисса. Выбирается график лизинговых платежей, соответствующий согласованной сумме лизинговых платежей из области компромисса.

Результаты, полученные для непрерывных моделей, совпали с результатам, полученными для дискретных моделей.

В третьей главе решены дискретные и непрерывные задачи оптимального управления аннуитетными лизинговыми платежами. Оптимальные стратегии выплаты аннуитетных платежей найдены как частный случай ранее полученных стратегий для лизингодателя и лизингополучателя.

Получены, аналитические формулы для расчета оптимальных траекторий стоимости имущества для лизингополучателя и лизингодателя. Найдены формулы определения периода смены стратегий для лизингополучателя и лизингодателя. Полученные аналитические формулы позволяют однозначно определять максимальную* и минимальную суммы лизинговых платежей, которые являются границами области компромисса между участниками лизинговой сделки.

Рассмотрен численный пример определения границ области компромисса между лизингополучателем и лизингодателем в случае аннуитетных платежей. Полученные численные результаты при использовании дискретных и непрерывных моделей оказались идентичными.

Согласно целям, задачам и выводам диссертационного исследования выделим основные результаты работы:

1.Проведен анализ экономических взаимодействий между участниками лизинговой сделки.

2.Проанализированы параметры лизингового контракта, влияющие на экономические интересы лизингодателя и лизингополучателя.

3.Сформулированы динамические модели принятия решений лизингодателем и лизингополучателем.

5.Найдены оптимальные стратегии выплаты лизинговых платежей для лизингополучателя и лизингодателя, обеспечивающие соответственно минимизацию и максимизацию их целевых функций.

5.Разработан алгоритм согласованного выбора параметров лизингового контракта, позволяющий количественно определить границы области компромисса между лизингодателем и лизингополучателем.

6.Для случая аннуитетных платежей получены аналитические формулы, определяющие границы области компромисса между лизингодателем и лизингополучателем.

7.Разработанный алгоритм согласованного выбора параметров лизингового контракта внедрён в практику работы лизинговой компании ЗАО «ЛиКо».