Исследование процессов, протекающих в современных экономических системах, методами теории случайных функций тема диссертации по экономике, полный текст автореферата

Автореферат диссертации по теме "Исследование процессов, протекающих в современных экономических системах, методами теории случайных функций"

На правах рукописи

УДК 519.6

Ермолаев Геннадий Николаевич

Исследование процессов, протекающих в современных экономических системах, методами теории случайных функций

Специальности

08.00.05 - Экономика и управление народным хозяйством

(теория управления экономическими системами) 08.00.13 - Математические и инструментальные методы экономики

ДИССЕРТАЦИЯ в виде научного доклада на соискание учёной степени кандидата экономических наук

Москва - 2001

Работа выполнена в рамках программы актуальных исследований Коллегии по информациологии социально-экономических и технических систем

Официальные оппоненты:

доктор экономических наук, профессор Дорофеев В. И.

кандидат технических наук Аванесян Г. Р.

Защита состоится 27 апреля 2001 г. на заседании диссертационного совета ВМАКа по адресу: Москва, ул. Остоженка, д. 49

Диссертация в виде научного доклада разослана 27 марта 2001 г.

Учёный секретарь У^Ь^^

диссертационного совета,

канд. техн. наук Аванесян Г. Р.

>СУДАРСТВЕННАЯ

БИБЛИОТЕКА __2001

Актуальность проблемы

Процессы, протекающие в современных экономических системах, связаны с функционированием достаточно сложных механизмов как эндогенной, так и экзогенной природы, и формирующих облик экономической системы в целом. Особенностью сложных систем, к которым, безусловно, относятся и все экономические системы, является их многомерность, определяемая большими потоками циркулирующей информации и многообразие возможных форм взаимосвязей элементов, образующих систему. Описание таких систем независимо от их природы, будь то биологические или экономические структуры, приходится давать вероятностными методами, так как детерминированный подход оказывается неспособным дать описание, достаточно близкое к действительности, а позволяет рассматривать идеализированные частные случаи. Сложность представления экономических систем в точном аналитическом виде заключается в том, что невозможно учесть всё обилие переменных, влияющих на формирование конечного результата, во-первых, и во-вторых, даже если бы все эти переменные и были найдены, то крайне сложно установить вид функциональных взаимосвязей между результатами и найденными формирующими воздействиями. По этой причине исследователю и приходится апеллировать к методам вероятностного анализа: заменять неизвестную ему детерминированную модель моделью стохастической, оперирующей параметрами вероятностной природы.

В условиях анализа современных экономических систем предложенный выше теоретико-вероятностный подход зачастую является единственно возможным методом, дающим интегральное (комплексное) описание процесса функционирования изучаемой системы, и позволяющим учесть всё многообразие реальной

обстановки, в которой происходит функционирование экономической системы. Следовательно, поиск эффективного инструмента формализованного изучения реальных экономических структур становится актуальной задачей экономистов-теоретиков, решение которой во многом определит будущие успехи в прикладных экономических разработках.

Цель работы

Целью диссертации является разработка методов повышения эффективности анализа экономических систем, основанных (методов) на предположении о стохастичности экономических процессов.

Научная новизна диссертации

Научная новизна диссертации состоит в следующем:

- показано, что в общем случае экономический процесс целесообразно рассматривать как процесс случайный, допускающий содержание в себе и детерминированной составляющей;

- для отображения результатов действия над исходными случайными процессами экономические системы описаны в терминах вероятностного характера, несущих информацию о преобразованиях, происходящих в системе;

- описано взаимодействие случайных экономических процессов между собой, случайных и неслучайных процессов, а также Преобразование их как в линейных, так и в нелинейных экономических системах.

Практическая ценность диссертации

Научные результаты, полученные в ходе разработки темы диссертации, могут быть использованы для анализа функционирования экономических образований, независимо от степени их сложности и профиля деятельности. Причём особенностью предложенного подхода является учёт именно реальных условий, в которых действуют экономические механизмы, когда велик вес малопредсказуемых, случайных факторов.

Апробация работы

Основные результаты настоящей диссертационной работы неоднократно обсуждалась на семинарах Коллегии по информа-циологии социально-экономических и технических систем.

Детерминированный и стохастический характер экономических процессов

Исследования поведения экономических систем привели специалистов-теоретиков к выводу о целесообразности введения в экономический анализ случайной компоненты. Вопреки существовавшему долгое время представлению об экономических механизмах как о созданиях сугубо детерминированных и вполне управляемых, приходится констатировать, что описание многих явлений в экономике не может быть дано известными и несложными детерминированными методами. Предсказать траекторию поведения экономической системы при помощи одного или нескольких алгебраических уравнений невозможно. Можно лишь с некоторым приближением обозначить на некотором фрагменте времени направление действия системы. Неопределённость, которая является характерной особенностью любой сложной системы не оставляет исследователям возможность оперировать только регулярными функциями с конечным (как правило небольшим) набором переменных.

Нельзя отрицать, что любой исходный экономический процесс, который спланирован и описан регулярной функцией, будет подвержен случайным воздействиям. Тем воздействиям, которые невозможно точно учесть вследствие нашего ограниченного понимания законов природы и социального мира. Например, невозможно точно предсказать, произойдут ли в течении какого-то времени существенные климатические изменения- или возможно ли землетрясение. Единственным выходом в таких примерах является учёт этих факторов в экономическом анализе как сопутствующих случайных компонент с заданными вероятностными характеристиками. Таким образом, если считать, что экономический процесс характеризуется некоторым результирующим признаком у, функционально зависящим от п детерминированных переменных хг х2,..., хп, то справедлива запись вида

V =/(хг х2.....хп,г )

где е - случайная составляющая.

Введённая нами случайная переменная призвана отразить неопределённость в вычислении у и в какой-то мере путём установления статистической закономерности сделать результат вычисления более реальным. В простом примере, если положить, что речь идёт только об одной детерминированной переменной д;, зависящей от времени Г, то можно считать, что результирующий экономический признак у(г), являющийся также функцией времени, представляет собой аддитивную смесь регулярной и стохастической компонент:

у(0 = х(г) + е(0

Решающую роль играет соотношение детерминированной х(0 и случайной е(г) составляющих. В зависимости от их вклада в результат можно говорить о том, какой характер носит исследуемый процесс у(I). На практике нет необходимости считать, что у(г) представляет собой сугубо случайную функцию, если доля е(0 достаточно мала и не может существенным образом в условиях конкретной задачи повлиять на результат. Для примера, приведённого выше, когда результат у(0 образуется как сумма двух составляющих, определить, стоит ли считать характер процесса детерминированным или случайным, достаточно просто, так как данный пример описывает линейную экономическую систему. Для таких систем несложно путём соизмерения значений величин х{г) и вынести решение о близости экономической системы к случайной или регулярной системе. Разумеется, в каждом из решений будет доля погрешностей, вытекающая из самого факта упрощения структуры результирующего признака у (г). Однако зачастую приближённый результат может оказаться более эффективным, чем результат, полученный ценой долгих и громоздких вычислений, требующих высоких материальных и временных затрат.

Характеристика экономической системы может быть не только линейной, как это зачастую полагают, но и нелинейной. В таких системах воздействие случайных факторов надо учитывать

особо, независимо от их соотношения с детерминированными составляющими экономических процессов. Известно, что даже малые случайные возмущения в нелинейных экономических системах могут привести к серьёзным последствиям, в частности, вывести систему из состояния устойчивого равновесия. Причём такое оказывается возможным, даже если внешние флуктуации имеют нулевое среднее. Конечно, это справедливо не для всех нелинейных систем, но не принимать во внимание такой возможный поворот событий нельзя. Важную роль здесь играет именно характеристика экономической системы, определяющая, насколько система является динамически устойчивой. Если доказана устойчивость системы в диапазоне возможных внешних возмущений, то малые случайные колебания могут привести также к относительно малым изменениям результирующих переменных, в соответствии с законом нелинейности данной системы. В то же время те же внешние влияния в случае с неустойчивой экономической системой способны привести к существенному изменению траектории поведения системы.

Отметим также, что действие на конечный результат зависит ещё и от динамических параметров случайных компонент. Причём это одинаково справедливо как для нелинейных экономических систем, так и для линейных. В зависимости от временного масштаба, в котором действуют случайные составляющие, система может по-разному на них реагировать, включая также случаи, когда реакции системы не будет вообще. Объясняется это избирательными свойствами, экономических систем в частотной области. Другими словами, любая экономическая система характеризуется спектральными свойствами, определяющими динамику её функционирования. К сожалению, в экономической теории анализу спектральных свойств экономических систем уделяется недостаточно внимания, что безусловно ограничивает эффективность используемых аналитических инструментов.

Таким образом, исходя из ряда вышерассмотренных аспектов, следует признать, что в общем случае, когда реализуется фор-

мализованный подход, анализ действия экономических систем целесообразно проводить в предположении, что входными переменными являются случайные функции (если речь идёт о непрерывных системах) или случайные последовательности (если речь идёт о дискретных системах). Причём наблюдения и совокупный анализ различных экономических структур показали, что вполне допустимы реальные ситуации, когда в качестве входных переменных принимаются только случайные величины с заданными вероятностными характеристиками.

Описание экономических систем вероятностными параметрами

При воздействии на экономическую систему случайных процессов, независимо от того, какими свойствами наделена система, результат будет также представлять собой случайный процесс. Для описания каждого из этих процессов, а также для отображения результата действия экономической системы над входными процессами необходимо ввести характеристики, являющиеся по своей природе статистическими показателями. К этим показателям отнесём одно- и п -мерные плотности вероятности, математическое ожидание, дисперсию и корреляционную функцию. На наш взгляд, перечисленные параметры и их производные позволят достаточно точно описать принцип функционирования экономической структуры, находящейся под воздействием случайных процессов.

Случайным экономическим процессом будем считать функцию времени х(г), значениями которой являются случайные величины, представляющие собой сечения во временной области. В целом же случайный экономический процесс можно рассматривать как семейство случайных величин {х(/)/, а результат наблюдения над случайным процессом в течении какого-то конкретного интервала времени представляет собой реализацию случайного процесса (выборочную функцию). Область возможных значений функции х(г) есть пространство состояний случайного процесса. Учитывая, что для экономического анализа представляет интерес дифференциация переменных (экономических признаков) на непрерывные и дискретные, дадим некоторые специальные пояснения.

В частных случаях экономические модели могут строиться как модели непрерывного производства и отдельно дискретного производства. В случае с непрерывным производством описание должно производиться в терминах потоков продуктов, например, путём введения такого параметра как интенсивность - количество продукта в единицу времени. Использовать представление в виде

непрерывных величин удобно, когда речь идёт о производстве продукции, принимающей любой заданный объём (размер, массу): жидкости, газы, сыпучие продукты, ткани и т. п. Кроме того, в виде непрерывных функций могут быть представлены результаты производства штучных изделий, когда количество этих изделий в единицу времени достаточно велико, что позволяет вводить округления в ряде случаев, упрощающих анализ. Дискретное же производство, напротив, требует введения в анализ дискретных величин. Поскольку в этом случае речь, как правило, идёт уже о штучных уникальных или мелкосерийных изделиях, для которых используют целочисленные измерения. Учитывая указанные особенности, следует положить, что и случайные экономические процессы требуют дифференциации. В связи с чем выделим четыре типа случайных экономических процессов.

1. Случайный экономический процесс общего типа - процесс с непрерывным пространством состояний и непрерывным временем.

2. Случайный экономический процесс с дискретным временем является процессом с непрерывным пространством состояний.

3. Дискретный случайный экономический процесс с непрерывным временем отличается тем, что имеет дискретное пространство состояний.

4. Дискретный случайный экономический процесс представляет собой пересечение класса процессов с дискретным пространством состояний и класса процессов с дискретным временем.

Одной их характеристик случайного процесса вообще является его «-мерный закон распределения, определяющий взаимозависимость случайных величин. Разумеется, что сравнительный анализ законов распределения или плотностей распределения случайных процессов, являющихся входным и выходным для заданной экономической системы, позволит охарактеризовать саму систему, а при необходимости и идентифицировать её. Максималь-

но же полную информацию о случайном экономическом процессе, зависящем только одного параметра t и заданном на интервале времени [0;Т], можно получить, если при произвольном числе п и для любых моментов времени t]t t2, ..., t на этом интервале известна п -мерная плотность распределения вероятностей

f(xr х2, ..., хп; tv t2.....tj

Если положить, что для многих случайных экономических процессов значения случайной функции x(t) при произвольных значениях аргумента tr t2, ..., t - независимые случайные величины, то п -мерную плотность вероятности можно будет выразить через одномерную плотность при помощи формулы

f{xv Х2, ..., хп; tr t2, ..., tj =f(x1,t1)f(x2,t2)...f(xn,tj.

В свою очередь, для оценки степени взаимосвязи значений случайной функции x(t) полезно знать двумерную плотность вероятности f(xr х2; tr t2), которая представляет собой неслучайную функцию четырёх аргументов.

Ещё одной неслучайной функцией, позволяющей судить о результатах действия стохастической экономической системы, является математическое ожидание mjt) случайной функции:

mjt) = M[x(t)] = j °°хf(x,t)dx

Однако гораздо более информативной характеристикой является автокорреляционная функция K (trt2) случайного процесса jc(X):

Kx(trt2) x(t) = M[{x(t,) - mJtJJMtJ - mx(t2)}],

которая, как это видно из приведённого выражения, представляет собой математическое ожидание произведений центрированных значений случайной функции для двух аргументов t/ и tr Авто-

корреляционная функция выражается также и через двумерную плотность распределения вероятностей

Крр12) х(1) =

Автокорреляционная функция позволяет судить о линейной взаимосвязи двух сечений процессах^) ив моменты времени г и ?2 и, таким образом, оценивать динамические свойства случайных процессов.

Немалый интерес для изучения стохастических экономических систем может представлять взаимокорреляционная функция случайных явлений х(г) и у(г), первое их которых - входное воздействие на систему, а второе - результат, полученный в процессе её функционирования. Неслучайная функция К^^г^ при конкретных значениях ^ и ¿2 определяется корреляционным моментом системы двух случайных величин, одна из которых, х(1,), является сечением входного процесса х(г), а другая, у(г2) - сечением выходного процесса^):

Кх^г12) = М[{х(г,) - тх(11)}{у(12) - тр2)}].

Взаимодействия и преобразования случайных и неслучайных экономических процессов

Результатом действия экономического механизма может быть сложение случайных функций х(0 и у(Г): г(О = х(г) + у(г) . При этом возникает задача определения характеристики по известным вероятностным параметрам исходных случайных процессов х(0 и у(г). Так, математическое ожидание результата М[г{0] несложно вычислить следующим образом:

МШ1 = М[х(г) + у(0] = М[х(0] + М[у(г)] =

= тх(г) + тр) = т2(г)

Относительно автокорреляционной функции результирующего случайного процесса г(0 можно записать

М[{г(1) - тр)} М12) - тр2)}] =

Щ(х(г,) - тр) + у(1) - тр])}{х(12) - тр2) + у(12)- тр2)}=

М[{х- тр,)} (х(12) - тр2)}] +

М[{х(г) - тр)} (у(12) - тр2)} +

М[{у(1}) - тр,)} (х(12) - тр2)}] +

МЦуИ,) - тр,)} {у(г2) - тр2)}] =

При необходимости всё вышеизложенное можно обобщить и на сумму произвольного числа случайных процессов.

Поскольку, как мы уже отмечали ранее, в реальных экономических процессах можно выделить отдельно детерминирован-

ную и случайную составляющие, то есть полагать, что процесс образуется путём сложения регулярной у(0 и случайной функций х( г)-.

г(1) = х{г) + у(0

то для математического ожидания результата запишем

1 пр) = тх(0 + у(0

Из приведённого выражения легко видеть, что чем меньшие значения принимает математическое ожидание случайной компоненты, тем больше конечный результат оказывается похожим не регулярный экономический процесс у(I). Кроме того, для ряда случайных процессов, обладающих достаточно широким частотным спектром (флуктуации, шумоподобные процессы), математическое ожидание может вообще равняться нулю. В этом случае, как несложно убедиться, математическое ожидание результат будет с абсолютной точностью повторять вид детерминированной функции у(1).

Остановимся далее на линейных преобразованиях случайных процессов. Полагая, что экономический объект (система) задан оператором А, который связывает входное воздействие X с выходным результатом (конечным продуктом) 2 = А(Х), зададим следующие свойства линейного оператора Ь = Л:

1) 2 = ЦсХ) = сЦХ) при X = сХ,; 2) г = цх1 + х2) = ЦХ,) + ЦХ2) при х = х, + х2.

Аналогично для экономического объекта, воспринимающего два входных случайных процесса X, У и производящего линейные преобразования X = ЦХ,У), запишем свойства:

I) г = ЦсХ], сУу> ) = сЬ (Х/,У;) при X = сХг У = сУ

2) У = У/+ у2 г = цх, + х„ у1 + У2) = ЦУГХ,) + ЦУ2,Х2) при X = х1 + х2.

Определим далее характеристики случайного результата г(О после линейного преобразования экономическим объектом процесса считая известными характеристики последнего. Ограничимся вычислением математического ожидания и корреляционной функции.

В качестве примера простого линейного преобразования примем ситуацию, когда случайная функция х(1) умножается на регулярную функцию у(г), следовательно, на выходе экономического объекта или системы имеем произведение

7.(1) = уШг).

Математическое ожидание результата определяется, исходя из общего правила

тр) = М[Цх(1)}] = ЦМШ1).

Следовательно,

т2(0 = М[уШ0] = утт] = У(0 тх(1).

Автокорреляционную функцию процесса вычислим следующим образом

К2(1Г12) = М[{ф,) - т2и,)}{1(12) - т2(12)}] =

МЦри,) - тр)} Ь2{х(12) - тх(12)}],

где Ь1 и Ь2 обозначают оператор Ь с той лишь разницей, что в пер-

вом случае линейное преобразование выполнено по переменной

а во втором - по переменной г. Учитывая, что операторы Ь] и Ь2 допускается выносить за знак математического ожидания, получим более компактную форму записи для искомого выражения

К,р:л2) = Ь:Ь2 (М[(х(1,) - тх0,))(х(12) - тхи2))]} =

Или, принимая во внимание вид линейного оператора в нашем примере, получим

=у(11) у(12) КХ(1Г12).

Полезно отметить, что из общей теории кибернетических систем известно, что для нахождения реакции линейной системы на входное воздействие х(г) достаточно вычислить интеграл Дюамеля, требующий, в свою очередь, знания импульсной характеристики системы. В технических приложениях определить импульсную характеристику системы удаётся путём проведения активного эксперимента, имеющего целью найти отклик системы на стандартизованное воздействие. Однако распространить этот способ на экономические системы достаточно сложно, поэтому, на наш взгляд, применение интеграла Дюамеля для вычисления реакции экономической системы в практических задачах может вызвать ряд проблем.

Преобразования случайных процессов в нелинейных экономических системах

Действие экономических систем не обязательно должно подчиняться линейному закону. Представление экономических систем как систем с линейной характеристикой зачастую является лишь математическим приёмом, позволяющим упростить процесс экономического анализа. Такой подход нередко себя оправдывает, поскольку вносимые погрешности расчётов не всегда существенным образом сказываются на конечном результате. Кроме того, нелинейная система при малых внешних возмущениях на практике может вести себя как линейная, проявляя нелинейность лишь при кратковременных всплесках значений входных процессов. Однако, несмотря на приведённые доводы в пользу условной замены нелинейных экономических систем линейными, следует всё же вкратце рассмотреть преобразования случайных процессов и в нелинейных экономических системах.

Будем считать, что связь мгновенных значений х = х(г) и г = г(0 в любой момент времени г задаётся нелинейной характеристикой Z = Ф(Х), описывающей безынерционную систему. Плотность вероятности исходного случайного процесса х(г) описывается одномерной функцией / (хСледовательно, вероятность того, что значение г не превышает г,, определяется из соотношения

Р(г < г) = Р(Ф(х) < г,1 =Х1 \Гх(х,)с1х1,

где интегрирование ведётся по всем отрезкам оси хр где справедливо условие Ф(х) < гг

Поскольку обратная Ф(х) функция х = ср(г) однозначна, то после замены переменной интегрирования х, = ф(а) несложно получить

Р(г <г,)<_ 12/х/ф(а)] 1Ар(ос)/Лх1 с1а. После дифференциации обеих частей вышеприведённого равен-

ства по z , получим выражение для вычисления плотности вероятности результирующего процесса z(t):

fiz,) ^fjyfz,)] lAp(z,)/dz,l.

Приведённая формула является общим правилом вычисления одномерных законов распределения случайных процессов, подверженных нелинейному функциональному преобразованию в любых системах независимо от их природы, будь то система биологическая, техническая или экономическая.

Стационарность и эргодичность случайных экономических процессов

Анализ показывает, что в большинстве практических случаев случайных экономические процессы можно считать стационарными по крайней мере по математическому ожиданию и корреляционной функции. То есть считать их стационарными в широком смысле. Что же касается эргодичности случайных экономических процессов, то эргодичность изначально предполагает стационарность процесса. Эргодичный случайный процесс должен быть обязательно стационарным, а стационарный процесс может обладать частной эргодичностью по отношению к отдельным характеристикам. Реальные экономические процессы, на наш взгляд, следует отнести к эргодическим по отношению к математическому ожиданию и корреляционной функции. Такое вполне обоснованное предположение позволяет облегчить процедуру вычислений, заменяя формирование ансамбля реализаций просто наблюдением одной достаточно «длинной» выборки. Строго говоря, усреднение по ансамблю реализаций заменяется на усреднение по времени. С практической точки зрения это оказывается достаточно удобно, так как с одной стороны уменьшается объём вычислительных операций, а с другой стороны можно легко автоматизировать процесс статистического анализа. В этом случае математическое ожидание и автокорреляционная функция вычисляются по формулам

тр) = Птт->™ [^х(0ск]/Г и

Кх(1) = Птт->~ Ш- тр)) (х(г+%)- тх(0) ¿1]П.

Если в экономической системе происходят преобразования, связанные со сложением стационарных случайных процессов, то результат будет также представлять собой случайный процесс, отвечающий условию стационарности. В то же время, если рассматривать экономический процесс, состоящий из двух частей:

детерминированной у(г) и стационарной случайной с математическим ожиданием тх, то результатом будет нестационарный случайный процесс, так как

тр) = тх + у(0

откуда следует, что математическое ожидание результата есть величина, зависящая от времени г. Для произведения случайного экономического процесса х(г) на регулярную функцию у(г) имеем

т:(0 = у(0тх

Из чего видно, что результирующий процесс также будет нестационарным.