Кусочно-полиномиальные модели анализа и прогнозирования экономических процессов тема диссертации по экономике, полный текст автореферата

Диссертация: содержание автор диссертационного исследования: кандидата экономических наук, Боташева, Фатима Борисовна

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. РЕШЁТЧАТЫЕ ФУНКЦИИ В ЭКОНОМЕТРИКЕ И ПРОБЛЕМЫ ИХ АНАЛИЗА.

1.1. Функции одного переменного, определённые на дискретном множестве точек.

1.2. Разностный оператор.

1.3. Повторные разности.

1.4. Факториальные многочлены.

1.5. Исчисление сумм.

1.6. Уравнения в конечных разностях.

1.7. Кортеж.

1.8. Прямое произведение.

1.9. Проекция.

1.10. График.

ГЛАВА 2. СПЛАЙН-АППРОКСИМАЦИЯ В ЭКОНОМИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ.

2.1. Математические модели экономики.

2.2. Тренды, циклы, тенденции экономического развития

2.3. Кусочно-полиномистъные модели анализа экономических процессов.

2.4. Теория сплайнов.

2.4.1. Сплайны 1 степени (первого порядка).

2.4.2. Сплайны 2 степени (второго порядка).

2.4.3. Кубические сплайны (сплайны 3 степени или третьего порядка).

2.4.4. Сплайны 4 степени (четвёртого порядка).

2.5. Достоинства сплайн-аппроксимационного подхода, необходимые для исследования.

2.6. Рабочие инструменты исследования.

2.7. Фазовые сплайн-портреты в анализе.

2.8. Параметрические взаимозависимости на сплайнфункциях.

ГЛАВА 3. СПЛАЙН-ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ.

3.1. История прогностических исследований.

3.2. Системный анализ типов прогнозов и методов прогнозирования.

3.3. Основные идеи и подходы в сплайн-прогнозировании.

3.4. Системность прогностических исследований. Реализация аналитико-прогнозирующей системы.

3.5. Алгоритмы сплайн-прогнозирования.

3.5.1. Простая экстраполяция.

3.5.2. Оптимальное статистическое обобщение.

3.5.3. Дубль-прогнозирование.

3.6. Трехмерные анализ и прогностика.

Диссертация: введение по экономике, на тему "Кусочно-полиномиальные модели анализа и прогнозирования экономических процессов"

Развитие микро- и макроэкономического моделирования, анализа, планирования и прогнозирования в современных условиях связано с последовательным ростом уровня их формализации. Основу для этого процесса заложил, в частности, прогресс в области прикладной математики, математической статистики, в методах оптимизации, теории приближений, в эконометрике, прогностике и пр.

Количественное представление динамики экономических процессов своеобразно. Как правило, результаты экономической деятельности интегрируют некоторые балансовые соотношения за какой-то период времени (сутки, неделю, месяц, квартал, год), экономический показатель рассчитывается по концу этого периода. Для экономики не характерны гладкие аналитические функции, экономический показатель представляется не как часть непрерывной аналитической кривой, а как отдельная точка. Графическим представлением экономической динамики становится множество дискретных точек, математическим - множество кортежей длины два, где первая компонента кортежа соответствует времени отсчёта, вторая - значению экономического показателя. Такие функции принято называть «решётчатыми». С решётчатыми функциями трудно работать, особенно при определении точек экстремума, наклонов, нельзя вычислять производные. Аналитические модели особенно важны для прогнозирования экономического поведения, поскольку они помогают менеджеру понять тенденции процесса и принять заблаговременно меры по их улучшению. Прогнозирование всегда было актуальным и востребованным. Во все времена, повсюду, в любом роде деятельности хотелось знать перспективы развития, более или менее дальние результаты проводимых преобразований и сопутствующих им прямых и косвенных последствий.

Появившаяся в 1930 г. эконометрика (Р.Фриш) требовала «снабдить то или иное теоретическое понятие численно определяемой характеристикой». В эконометрике единственным аппаратом при работе с решётчатыми функциями был и остаётся аппарат наименьших квадратов. Умозрительно выбирая модель и сравнивая её с решётчатым процессом, мы получаем сумму квадратов невязок, не очень хорошо представляя, насколько это точно или неточно, удачна ли предложенная модель или нет, отражает ли она тенденции процесса, особенно если он представляет собой сложную аддитивную или мультипликативную комбинацию трен-довой и сезонной составляющих. Многолетняя работа с методом наименьших квадратов выявила не только его плюсы, но и минусы, особенно при обращении с временными рядами, при их моделировании, анализе и прогнозировании.

При прогнозировании экономического поведения модель становится продолжением процесса в отчётном периоде и должна очень точно изобразить его тенденции в горизонте прогноза. Прогностика предполагает получение количественных оценок состояний экономической системы в будущем при помощи математических и инструментальных средств реализации. Рабочая прогностика появляется в 1950-1960-х годах, когда стали конструироваться прогнозы экономического поведения стран и континентов. Перечислим знаменитые «прогнозы века»: Г.Ландсберга, Л.Фишмана, Дж.Фишера «Ресурсы в будущем Америки. Потребности и возможности их удовлетворения в 1960-2000 г. г.»; Дж.Ф.Дьюхорста, Дж.О.Коппока, П.Л.Йейтса и др. «Потребности и ресурсы Европы» (1961 г.) - десятилетнего прогноза развития экономики западноевропейских стран; сборника (1962 г.) «Будущее Европы в цифрах» (прогноз до 1970 г., Бельгии - до 1975 г.).

Большой вклад в развитие эконометрики внесли зарубежные учёные, особо отметим Т.Андерсона, Р.Винна, К.Гергели, Дж.Джонстона, К.Доугерти, Э.Кейна, М.Дж.Кендалла, А.Класа, Ю.Колека, Э.Маленво, О.Ланге, Д.Пуарье, А.Стьюарта Г.Тейла, Г.Тинтнера, К.Холдена, И.Шуяна; зарубежные учёные много сделали и для развития прогностики, в первую очередь это Н.Винер,

B.В.Леонтьев, а также И.Бернар, Дж.ФДьюхорст, П.Л.Йейтс, Ж.-К.Колли, Дж.О.Коппок, Г.Ландсберг, Ф.Лион, Дж.Мартино, Р.Отнес, М.Песаран, Л.Слейтер, Дж.Фишер, Л.Фишман, Д.Хейс,

A.Хоскинг, Л.Эноксон, Э.Янч.

В России эконометрические исследования начались очень поздно, а первый учебник появился только в 1997 г., хотя прогностические работы советских и российских школ давно и хорошо известны. Дело в том, что социалистическая экономика, директивно-плановая по определению, естественно предполагала возможность предсказания, предвидения перспектив развития на много лет вперёд, эти прогнозы реализовывались в 5- и 7-летних планах. Тем не менее, в этих директивных рамках были получены прекрасные научные результаты в работах выдающихся советских (российских) учёных: А.Г.Аганбегяна, С.А.Айвазяна,

C.В.Жака, Л.В.Канторовича, В.А.Кардаша, В.С.Немчинова,

B.В.Новожилова, А.А.Первозванского, Н.П.Федоренко, Е.М.Четыркина, С.С.Шаталина и др., отметим труды соотечественников: И.В.Бестужева-Лады, В.Л.Гореловой, Э.Б.Ершова, А.А.Горчакова, А.Г.Гранберга, А.С.Емельянова, И.С.Енюкова, Л.Н.Ковалёвой, А.М.Кочкарова, В.И.Максименко,

Е.Н.Мельниковой, Л.Д.Мешалкина, Т.Г.Морозовой, И.В.Орловой, А.А.Новиковой, А.Л.Новосёлова, Т.А.Салтановой, Н.Х.Токаева, Р.А.Фатхутдинова, В.В.Федосеева и др. Важность прогнозирования в новых экономических условиях подчеркивается принятием закона «О государственном прогнозировании и программах социально-экономического развития Российской Федерации» от 20 июля 1995 г., № 115-ФЗ.

Недостатки метода наименьших квадратов заставляют искать другие методы эконометрического представления экономических законов. Их составляет целый спектр аппроксимацион-ных приближений, где в качестве аппроксимирующих выступают степенные, периодические, экспоненциальные, логистические и другие функции. Сложность получения полиномов, их высокая степень, трудно объясняемая экономистами и не имеющая практических эквивалентов, а также совершенно неудовлетворительное поведение их в перспективе и ретроспективе при прогнозировании требуют поиска и использования нового аппарата моделирования, анализа и прогнозирования.

Выбор в качестве моделей для анализа и прогноза детерминированных объясняется тем, что детерминированные методы основываются на гладких причинно-следственных зависимостях, экстраполяции поведения или развития объектов в будущем по тенденциям их поведения в прошлом и настоящем. Для процессов управления в промышленности, экономике, финансовом бизнесе характерна определённая стабильность, инертность, сложившаяся структура и взаимосвязи. Эта инертность продолжается и в будущем, статистика процесса сохраняется, математически же методы интерполяции и экстраполяции состоят в представлении и обработке поведения экономических показателей как временных рядов в отчётном периоде и в горизонте прогноза. В настоящее время существует большое число различных методов прогнозирования. Среди них есть методы, которые не относятся непосредственно к экстраполядии, например, морфологический анализ, дерево целей, методы построения сценариев и др.

Для выбора подходящей аппроксимирующей функции нужно знать класс экономического поведения показателя, ими могут быть сезонные (периодические) процессы, процессы накопления или распада экспоненциального типа, достаточно гладкие трендовые процессы. Менеджер, как правило, не знает этого временного класса. Поэтому особую актуальность в моделировании, анализе и прогнозировании экономического поведения приобретает выбор единой (унифицированной, универсальной) системы приближающих функций.

Такая система универсальных функций должна хорошо интерполировать (в отчётном периоде) и экстраполировать (в перспективном периоде) все классы типичных экономических процессов, автоматически «приспосабливаясь» своими фрагментами к их сезонности, асимптотичности, экспоненциальности и пр. Она должна обладать некоторыми математическими свойствами «внутренней оптимальности» представления процесса. Система должна быть конструктивной, позволяя просто, быстро и точно получать решение, в чём-то лучшее остальных, не требуя никаких дополнительных представлений, преобразований, допущений и т.п. Система функций должна быть исследована и применена математиками, чтобы при преобразованиях гарантировались правильность и надёжность результатов. Математическая постановка задач, методы прогнозирования должны в наибольшей степени использовать возможности систем компьютерной математики (типа MAPLE 6) с их компьютерной же реализацией и визуализацией.

Актуальность и недостаточная разработанность вопросов трендового (детерминированного) моделирования, анализа и прогнозирования экономического поведения, приспособление для этого системы универсальных кусочно-полиномиальных интерполирующих и экстраполирующих (прогнозирующих) функций определили выбор темы, цель, задачи, логику диссертационного исследования. Исследование посвящено экономико-математическому анализу характеристик процесса во времени, получению эконометрических законов в аналитической форме, получению с помощью этих моделей наилучшего прогнозного поведения экономического (производственного, финансового, маркетингового) процесса при вариациях классов временного поведения экономических показателей в отчётном периоде.

Цель диссертационной работы определим как совершенствование методов моделирования, анализа и прогнозирования процессов, протекающих в неустановившейся экономике. Для этого выбирается, вводится и используется система кусочно-полиномиальных универсальных (анализирующих и прогнозирующих) функций со свойствами наилучшего приближения, которая должна обеспечить нахождение и визуализацию аналитических свойств процессов, показать их производные, оптимумы, фазовые портреты, взаимные параметрические зависимости, «аккумулировать» статистические свойства процесса внутри отчётного периода для построения прогноза. Она должна обеспечивать автоматическую оптимальную «сшивку» отдельных фрагментов функции и её производных как внутри отчётного периода, так и на границе отчётного и перспективного периодов, представляя модель единым ансамблем.

В соответствии с поставленной целью решён целый ряд задач:

• проведён системный анализ проблем представления, моделирования, аналитического исследования и прогнозируемости в экономической области, определены узкие места, нерешённые проблемы. В качестве системы может выступать государство в целом, его сферы, части, отрасли, предприятия, хозяйства;

• определено место предлагаемого моделирующего, аналитического и прогнозирующего аппарата в ряду методов, способов, алгоритмов, методик, особенностей эконометрической и прогностической наук;

• предложен, разработан и исследован подход с универсальной кусочно-полиномиальной системой моделирующих, анализирующих и прогнозирующих сплайн-функций, обладающей внутренними оптимизационными свойствами, самонастройкой на вид процесса;

• для работы с новыми методами приспособлены методы оптимального «статистического обобщения» результатов моделирования, анализа и прогнозирования;

• предложены и использованы три способа прогнозирования: через аналитическое продолжение (экстраполяции) сплайна при неизменности его последнего «момента»; через оптимальное статистическое обобщение прогнозов, полученных сплайнами четырёх степеней, с уточнением результирующей величины; с прогнозированием «моментов» сплайна вплоть до последнего, по которому уже производится прогнозирование самой сплайн-функции;

• при сплайн-анализе экономического поведения широко использованы фазовые портреты (процессов и их производных), в фазовых сплайн-портретах преодолены ограничения аналитического представления многозначных функций, столь характерных для регрессионных соотношений в эконометрике; строятся параметрические взаимные зависимости экономических показателей, которые до этого представлялись временными рядами,

• с помощью синтезированной информационной системы (базирующейся на универсальном математическом пакете MAPLE 6 и реализованной на персональном компьютере) находятся сплайн -функции, их производные, рассчитаны «наклоны» и «моменты», ответственные за наилучшие анализ и прогнозируемость;

• проведена сравнительная экспериментальная проверка новых методов моделирования, анализа и прогнозирования на макроэкономических примерах динамики экономического развития США при широкой вариации экзогенных условий в отчётном периоде.

Объектом исследования выступают макроэкономические, региональные системы и предприятия различных организационно-правовых форм, весь спектр их экономических показателей.

Предметом исследования следует считать моделирование, анализ и прогнозирование сложных социально-экономических процессов, протекающих в неустойчивой рыночной экономической среде при вариации классов их временного поведения.

Теоретические и методологические основы исследования составляют базовые принципы системного и экономического анализа, эконометрики, прогностики, теории функций и функционального анализа, статистики. Основой диссертационного исследования послужили труды российских и зарубежных учёных по теории приближения (интерполяции и экстраполяции), методам оптимизации, численным методам, эконометрике, прогнозированию. В реализованной системе использовались высокие информационные технологии (системы компьютерной математики).

Эмпирическую базу исследования составили статистические сведения о макроэкономических показателях развития экономики США.

Работа выполнялась в соответствии с пунктом 1.8 «Паспорта специальности 08.00.13 - математические и инструментальные методы экономики»: п. 1.8 «Математическое моделирование экономической конъюнктуры, деловой активности, определение трендов, циклов и тенденций развития».

Определим основные пункты новизны диссертационного исследования, она состоит в следующем:

1. После проведения системных исследований, выбора концепции формального подхода, классификации методов, моделей и способов, применяемых для исследуемых экономических процессов, предложен универсальный метод их непрерывного моделирования, анализа и прогнозирования на базе кусочно-полиномиальной модели (многозвенника) динамики при широком спектре изменения классов временного поведения процесса в отчётном периоде.

2. В качестве основного рабочего инструмента использованы сплайн-функции. Предложены новые возможности сплайн-анализа многозначных функций, анализа на фазовых и параметрических портретах основных и побочных ветвей эконометриче-ских зависимостей и законов. В прогнозировании (экстраполяции) предложено активно эксплуатировать свойство сопряжения слева и справа узловых значений сплайн-функции и её производных на специфическом «стыке» отчётного и перспективного периодов, это приводит к уточнению и удлинению прогноза.

3. Для более точного прогнозирования обоснован оригинальный способ «аккумулирования» в «моментах» сплайна статистических характеристик процесса на отрезках отчётного периода. Благодаря минимальности нормы сплайна, полученные прогнозные решения в наибольшей степени сохраняют свойства процесса в отчётном периоде.

4. Предложен, разработан и исследован второй способ сплайн-прогнозирования, сплайны первых четырёх порядков параллельно анализируют и прогнозируют динамику экономического показателя с последующим вычислением единой статистически обобщённой функции, строящей и уточняющей прогноз.

5. В разработанном и исследованном третьем способе сплайн-прогнозирования сначала прогнозируется последний «момент», с которым сам сплайн перестраивается, более точно реализуя прогнозирующую часть функции в перспективном периоде.

6. Синтезирована информационная система, она использует высокие информационные технологии, базируется на системе аналитических вычислений MAPLE 6. Система конструктивно, с доведением расчётов до реальных фазовых и параметрических аналитических и прогнозных характеристик, с выделением важных и легко оцениваемых показателей моделирует, анализирует и прогнозирует экономические процессы, сводит получаемые тремя способами значения прогнозируемой величины к одному обобщённому, более точному и надёжному показателю.

Теоретическая значимость работы заключается в том, что за счёт привлечения нового аппарата (сплайнов) расширен класс аналитически анализируемых и хорошо прогнозируемых экономических процессов. Сплайны помогают более точно моделировать, анализировать и прогнозировать поведение экономических показателей в условиях нестабильности экономической деятельности. Переход от временных рядов экономических показателей к их фазовым соотношениям с построением фазовых картин, к их взаимозависимостям с построением параметрических кривых и генерацией многозначных функций позволил в полной мере использовать возможности аналитического математического аппарата. В то же время он представляет визуализированные результаты в виде, понятном менеджеру для анализа обстановки и принятия решений.

Работа вносит свой посильный вклад в эконометрику и прогностику, она предлагает новую методику и аппарат аналитического представления регрессионных эконометрических соотношений, представляя их на фазовых портретах, параметрических картинах взаимных зависимостей, «сшивая» куски модели наилучшим образом на границе отчётного и перспективного периодов при прогнозировании.

Исследование показывает новые возможности хорошо известного аппарата сплайн-аппроксимации - возможность работы с многозначными функциями в параметрической форме, где параметром выступает время. Эксплуатируется весь спектр свойств сплайнов: сплайн единственен, всегда существует, сходится равномерно и сходится быстро, непрерывен и имеет п-1 непрерывную производную, обладает универсальностью и неизменностью формы отдельных частей, его части фракталоподобны, меняются от участка к участку лишь их параметры, сплайн обладает свойством внутренней оптимальности (наилучшего приближения или минимальности нормы), сплайн хорошо «сшивает» фрагменты в точках отчётного периода и вне его, прост в вычислении.

Исследование полезно для экономики, представляя экономические процессы гладкими функциями невысокой степени и всеми их производными, сплайны легко расшифровывают экономический смысл, что позволяет экономистам в полной мере использовать аналитический математический аппарат для анализа и подготовки решений. Исследование полезно для эконометрики, разнообразя критерии сравнения и возможности получения законов из фазовых портретов и параметрических картин. Исследование полезно для прогностики, новые подходы органически вписались в методику трендового (детерминированного) прогнозирования, переносящую текущие тенденции в прошлое (ретроспекция) или в будущее (проспекция).

Практическое значение результатов исследования состоит в том, что предлагаемые методы, методики, подходы, в наибольшей степени учитывая сложность и многофакторность экономических связей, эконометрических законов и широкую вариативность классов экономического поведения, могут непосредственно применяться в макроэкономическом анализе, предприятиями и региональными объединениями для моделирования, анализа и прогнозирования рынка и своих результатов на нём. Методы универсальны, в связи с этим они могут быть использованы для решения широкого круга экономических, производственных, маркетинговых и финансовых задач, всюду, где точный анализ и прогноз позволяют рационализировать управленческие решения, получать оптимальное, математически точное и полное визуальное представление о процессах в будущем.

Вычисленная и визуализированная на фазовых портретах и в параметрической форме взаимная зависимость экономических показателей, прогноз поведения экономического поведения в перспективном периоде позволяют менеджерам лучше понимать природу процессов, совершать экономически оправданные шаги в управлении ими.

Предложенные методы, методики, алгоритмы, оценки были погружены в модельную и реальную экономику и оправдали себя, их корректность подтвердилась расчётами на макроэкономическом уровне (анализ «смутного» времени 1929-1953 гг. и спокойного периода 1975-1988 гг. экономического развития США).

Синтезированная информационная система реализована на персональном компьютере со средними характеристиками, она базируется на системе аналитических вычислений MAPLE 6 с её удобствами ввода, аналитических преобразований, графического вывода. Система генерирует сплайны и их производные, строит фазовые портреты и параметрические зависимости, прогнозирует тремя способами, оформляет результаты с выпуском документации; система доступна заинтересованным организациям, проста и удобна в пользовании.

Работа может использоваться в высших учебных заведениях при преподавании курсов «Макроэкономика», «Эконометрика», «Математические основы прогнозирования», «Методы приближения» и т.п.

Отметим все те основные положения диссертационного исследования, которые следует вынести на защиту.

Сложное эндогенное и экзогенное взаимодействие индикаторов (где под индикаторами, как всегда, понимается система параметров, характеризующих состояние и развитие экономики) в моделируемых, анализируемых и прогнозируемых экономических процессах требует привлечь к исследованию динамики экономических показателей системный анализ, теорию функций, статистику, дискретную математику с аппроксимацией (интерполяцией и экстраполяцией) решётчатых функций, эконометрику, прогностику.

Регрессионные построения на системах решётчатых функций из критериев согласия вынуждали пользоваться только методом наименьших квадратов. Замена решётчатых функций гладкими сплайнами (и их производными, «наклонами», «моментами») даёт в руки экономиста весь аналитический аппарат математической теории. Невысокий порядок составляющих сплайна и его производных облегчает экономическую интерпретацию модели и управление на её базе.

В современной эконометрике и прогностике недостаточно внимания обращалось на гибкие технологии моделирования, анализа и прогнозирования экономических процессов. Классический детерминированный анализ и прогнозирование с подбором наиболее релевантного (экономическому процессу) многочлена или группы многочленов (в виде комбинированной модели) должны быть дополнены универсальным аппаратом анализа и прогнозирования с казалось бы противоречивыми свойствами (низкая степень, высокая точность, оптимальная автоматическая «сшивка» фрагментов, работа с многозначными функциями, использование аналитического аппарата, получение исчерпывающей информации о процессе в виде фазовых портретов и параметрических зависимостей, плавный переход из отчётного периода в перспективный и пр.), это расширило бы круг хорошо моделируемых, анализируемых и прогнозируемых процессов.

В классических аппроксимационных построениях и прогнозирующих моделях не всегда явно прописывались и использовались внутренние оптимизационные свойства многочленов и их аппарата, нужные для переноса статистических особенностей процесса на фазовую плоскость, на параметрическую картину взаимозависимостей двух процессов, из отчётного периода в прогнозный горизонт. Использование свойства минимальной нормы сплайнов лучше сохраняет статистику процесса, уточняет анализ и строит более надёжный прогноз.

В известных методах прогнозирования много хлопот доставляла точка перехода из отчётного в перспективный период. Поскольку сплайны хорошо реализуют «сшивку» функции и всех её производных в «стыках», то эта проблема просто перестала существовать.

Известные методы прогнозирования не всегда отличались универсальностью, были сложными и громоздкими, что затрудняло экономисту работу с ними. Предлагаемый подход конструктивен, универсален и прост, поддержан возможностями системы аналитических вычислений MAPLE 6, реализован на персональных компьютерах.

Полученные прогнозные решения могут использоваться в текущем анализе, планировании производственных и экономических показателей на перспективу, при заключении форвард-контрактов, просчёте ситуаций, которые могут возникать в будущем.