Модели оценки резервов убытков по рисковым видам страхования тема диссертации по экономике, полный текст автореферата

Автореферат диссертации по теме "Модели оценки резервов убытков по рисковым видам страхования"

На правах рукописи ББК: 65.271-861.1b6j!

Р83

Руденко Алексей Викторович

МОДЕЛИ ОЦЕНКИ РЕЗЕРВОВ УБЫТКОВ ПО РИСКОВЫМ ВИДАМ СТРАХОВАНИЯ

08.00.13 - Математические и инструментальные методы

экономики

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата экономических наук

Москва - 2007

003174349

Работа выполнена на кафедре «Информационные технологии» ФГОУ ВПО «Финансовая Академия при Правительстве Российской Федерации»

Научный руководитель

доктор экономических наук, профессор Чистов Дмитрий Владимирович

Официальные оппоненты

доктор экономических наук, профессор Бабешко Людмила Олеговна кандидат экономических наук, доцент Морозова Елена Алексеевна

Ведущая организация

Научно-исследовательский финансовый институт Академии бюджета и Казначейства Министерства финансов Российской Федерации

Защита состоится «25» октября 2007 г в 10-00 часов на заседании диссертационного совета Д 505 001 03 при ФГОУ ВПО «Финансовая академия при Правительстве Российской Федерации» по адресу 125468, г Москва, Ленинградский проспект, д 49, аудитория 213

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГОУ ВПО «Финансовая академия при Правительстве Российской Федерации» по адресу 125468, г Москва, Ленинградский проспект, д 49, комн 203

Автореферат разослан «24» сентября 2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета, — ) /

кандидат экономических наук, доцент /у4^* Городецкая О Ю

I. Общая характеристика работы

Актуальность темы диссертационного исследования.

Технические страховые резервы составляют основу деятельности любой страховой компании Ни один показатель, характеризующий деятельность страховой компании, не может рассматриваться в отрыве от величины сформированных страховых резервов

В составе страховых резервов особое место занимают резервы убытков Между моментом наступления страхового события и моментом его окончательного урегулирования всегда проходит определенный срок Сначала убыток должен быть заявлен страховщику, а последующее урегулирование убытка, включающее его оценку, возможное рассмотрение дела в суде и окончательное согласование, может потребовать много времени, особенно в случае больших убытков Во многих случаях формируется общий резерв произошедших, но не урегулированных убытков, включающий в себя убытки произошедшие, но не заявленные (EBNR, Incurred But Not Reported), и заявленные, но недооцененные (IBNER, Incurred But Not Enough Reserved) В диссертационной работе рассматривается именно такой подход к формированию резерва убытков, не предполагающий выделения IBNR и IBNER резервов

Детерминистические методы расчета резервов убытков известны очень давно Самыми популярными являются метод цепочной лестницы и метод айсберга В последнее время существенно возрос интерес к стохастическим методам расчета резервов, использование которых позволяет получить не просто точечную оценку резерва, но определить границы доверительного интервала, который заключает истинное значение резерва с заданной вероятностью Помимо чисто теоретического интереса, законодательства многих стран предусматривают обязательное включение в сумму резервов маржи для обеспечения надежности, являющейся аналогом «рисковой надбавки» в структуре тарифной ставки

Общим правилом для построения вероятностной модели резервирования убытков является совпадение прогноза резерва, равного математическому ожиданию случайной величины, с результатом одного из детерминистических алгоритмов (обычно, с методом цепочной лестницы) В зарубежной литературе с использованием аппарата обобщенных линейных моделей были рассмотрены сверх рассеянное пуассоновское, отрицательное биноминальное, нормальное, логнормальное, гамма распределения для инкрементальных данных треугольника развития Для этих видов распределений были получены оценки максимального правдоподобия для ковариат Важным шагом в понимании вероятностных основ метода цепочной лестницы стала предложенная Т Маком вероятностная модель, не опирающаяся на конкретную форму распределения, и основанная на условном математическом ожидании В рамках этой модели Т Мак получил формулу расчета изменчивости совокупного резерва (MSEP, Mean Squared Error of Prediction)

Другим направлением, в котором развивается резервирование убытков, является повышение эффективности работы с исходными данными Так, исходные данные нормируются с учетом действующей структуры перестрахования, темпов инфляции, очищаются от выбросов и т п Наиболее значимым является выбор в пользу данных об оплаченных убытках или данных о произошедших убытках (произошедшие убытки представляют собой сумму оплаченных к данному моменту и заявленных на данный момент убытков) Как правило, актуарий рассчитывает резерв отдельно для треугольников на базе оплаченных и произошедших убытков и, пользуясь своим опытом, делает выбор в пользу одной из оценок Очевидно, что при таком подходе часть информации о развитии убытков теряется. В условиях, когда достоверность финансового результата является фактором, определяющим капитализацию компании, такие потери не должны иметь место Таким образом, разработка метода резервирования, который бы максимально полно использовал всю имеющуюся информацию, является одной из наиболее актуальных задач, стоящих перед актуарным сообществом

Степень разработанности проблемы.

В настоящее время существует достаточно большое количество как западной, так и отечественной литературы, посвященной резервированию убытков В ней описываются различные методы резервирования, обсуждаются ограничения применимости методов для разных видов страхования При разработке данной проблематики автор опирался на работы как отечественных авторов, таких как Р Г Глейзер, В Малиновский и других, так и иностранных, таких, как Т Мак, Г Куарг, К Браун, Г Тейлор, Р Вералл, П Ингланд и др

В 2003 году немецкими актуариями Т Маком и Г Куаргом был предложен метод, получивший название метода Мюнхенской цепочной лестницы Данный метод явился настоящим прорывом в резервировании убытков, так как учитывал взаимное влияние процессов развития произошедших и оплаченных убытков Предложенный метод не был лишен некоторых недостатков, которые впоследствии пытались устранить Б. Вердиер и А Клинджер, предложив метод 1АВ-СЬат

Тем не менее, применение Мюнхенского метода цепочной лестницы, как и его дальнейших модификаций, в результате приводит все также к двум значениям резерва произошедших, но неурегулированных убытков, хотя и более близких, но в общем случае различных При определении окончательного размера резерва актуарий должен сделать выбор между двумя полученными значениями В диссертационной работе предложен подход, позволяющий получать единую оценку резерва

Целью диссертационной работы является разработка метода резервирования убытков страховой компании, позволяющего рассчитать единое значение резерва произошедших, но не урегулированных убытков на основе информации об оплаченных и произошедших убытках; полученная величина резерва должна являться оптимальным прогнозом для двух случайных величин одновременно

Для достижения поставленной цели были поставлены и решены следующие задачи

1 Анализ существующих методов резервирования на предмет возможности получения точечной оценки величины резерва на основе данных одного вида либо накопленные оплаченные, либо произошедшие убытки,

2 Выбор подходов к оценке чувствительности размера резерва, рассматривающих величину резерва как случайную величину и оценивающих ее характеристики (начальные и центральные моменты, вид функции распределения),

3 Выявление причин, определяющих недостатки метода Мюнхенской цепочной лестницы и его модификации - метода JAB Cham,

4 Расчет характеристик индивидуальных случайных величин, описывающих размер резерва страховщика, на основании статистики произошедших и оплаченных убытков соответственно,

5 Определение формы и степени зависимости между индивидуальными случайными величинами, описывающими размер резерва,

6 Выбор критерия оптимальности прогноза резерва при имеющейся информации,

7 Анализ результатов, полученных с использованием разработанного автором метода, их сравнение с результатами метода Мюнхенской цепочной лестницы, а также сопоставление с реальными историческими данными деятельности российских и зарубежных страховых компаний Научная новизна исследования заключается в разработке комплекса

методов и моделей оценки резервов убытков по рисковым видам страхования, позволяющего рассчитать единое значение резерва произошедших, но не урегулированных убытков с учетом взаимного влияния процессов развития оплаченных и произошедших убытков

Научную новизну в настоящей работе представляют следующие положения

1 Произведен выбор базового метода резервирования, дающего наиболее устойчивые оценки резерва при неоднородном развитии убытков и наличии крупных убытков

2 Модифицирована модель дисперсии прогнозируемых убытков, предложенной Т Маком, с учетом особенностей выбранного базового метода резервирования

3 Предложен критерий оптимальности прогноза для двух коррелированных случайных величин, описывающих одно физическое явление - величину окончательного убытка

4 Область применения критерия оптимальности расширена для прогнозирования значений накопленных оплаченных и произошедших убытков в промежуточные периоды развития;

5 Построена модель ковариации значений окончательных убытков для метода цепочной лестницы при а = 0 (фактор развития определяется как простая средняя индивидуальных факторов),

6 Разработан метод резервирования убытков, использующий аппарат теории вероятностей и математической статистики, позволяющий получить единый прогноз резерва произошедших, но не урегулированных убытков с учетом информации как об оплаченных, так и о произошедших убытках,

7 Сформулировано базовое предположение об относительной устойчивости отношения сумм оплаченных и произошедших убытков для любого периода развития убытков Обосновано, что при выполнении базового предположения предложенный в работе метод является обобщением существующих подходов, которые могут рассматриваться как его частные случаи,

8 Построена имитационная модель функции распределения вероятностей значений резерва на основе эмпирической дискретной функции распределения факторов развития убытков

Объектом исследования являются процессы формирования резервов произошедших, но не заявленных убытков

Предметом исследования является математический аппарат оценки рисков страховой компании связанных с резервированием убытков

Методика исследования. Теоретической основой диссертационной работы являются основные положения экономической теории, актуарной науки в области рисковых видов страхования При написании работы использовались нормативные акты Российской Федерации, статьи и монографии зарубежных авторов в области резервирования убытков, отечественные книги и учебники В качестве эмпирической базы исследования были использованы данные Мюнхенского Перестраховочного общества и немецкой финансовой группы Альянс треугольники развития как оплаченных, так и произошедших убытков по нескольким видам страхования ответственности, страхованию имущества от огня и других опасностей, страхованию грузов

Практическую значимость исследования представляет использование предложенного в работе метода резервирования убытков, как в качестве основного метода резервирования, так и в качестве альтернативного метода, результаты которого используются для сравнительного анализа Предложенный в работе новый подход к имитационному моделированию функции распределения вероятностей значений резерва позволит рассчитывать маржу для обеспечения достаточности резерва с требуемой вероятностью Таким образом, практическая значимость исследования состоит в разработке инструментария, позволяющего повысить точность оценки резерва убытков, что в свою очередь позволит страховым компаниям

1 Повысить достоверность и прозрачность финансовой отчетности, снизить величину премии за риск и, как следствие, увеличить рыночную капитализацию компании,

2 Повысить эффективность инвестиционной политики, неотъемлемой частью которой является сопоставление активов и обязательств по срокам и величине,

3 Рассчитывать более объективные финансовые показатели, в том числе показатели убыточности, более точные страховые тарифы

Внедрение и апробация результатов исследования. Результаты работы прошли апробацию в «ЗАО «Страховая компания «Альянс» Наиболее значимые результаты были получены при использовании формального подхода для оценки резерва в страховании грузов и страховании от несчастных случаев и болезней, т е в тех видах страхования, объем данных об убытках по которых достаточно велик Материалы диссертации используются кафедрой «Информационные технологии» ФГОУ ВПО «Финансовая академия при Правительстве Российской Федерации» в преподавании учебной дисциплины «Информационные системы в страховании»

Публикации. По теме диссертации опубликовано две работы общим объемом 1 0 п л, в т ч одна работа в журнале «Страховое Дело» - издании, включенном в перечень ВАК

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения Работа содержит 20 рисунков, 19 таблиц Список использованной литературы включает 41 наименование

II. Основное содержание исследования

В 2003 году немецкими актуариями Т Маком и Г Куаргом был предложен метод, позволяющий сблизить индивидуальные оценки резерва, полученные на базе произошедших и оплаченных убытков В основе метода лежит отмеченная авторами связь между соотношением оплаченных убытков к произошедшим (Р/1) и последующей динамикой развития убытков Так, например, если доля оплаченных убытков относительно мала, то вероятно относительно более динамичное развитие оплаченных убытков в следующем периоде Метод Мюнхенской цепочной лестницы, как назвали его авторы, опирается на вероятностную модель метода цепочной лестницы, разработанную Т. Маком Метод явился настоящим прорывом в резервировании убытков и активно обсуждался в актуарной литературе Среди недостатков метода основным является не зависящее от периода развития одинаковое влияние соотношения (Р/1) на последующую динамику развития Впоследствии Б Вердиером и А Клинджером был предложен МВ-СЬат метод, который учитывал возможность изменяющегося во времени влияния соотношения (РЯ)

Тем не менее, применение Мюнхенского метода цепочной лестницы, как и его дальнейших модификаций, в результате приводит все также к двум отдельным оценкам резерва произошедших, но неурегулированных убытков и при определении окончательного размера резерва актуарий должен сделать выбор между этими двумя оценками Один из возможных подходов к получению единой оценки состоит в следующем Вероятностная модель классического метода цепочной лестницы позволяет оценить математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение для случайной величины, описывающей значения резерва Отдельный расчет для оплаченных и произошедших убытков дает две пары оценок для 2-х случайных величин, каждая из которых описывает одно и то же физическое явление - величину резерва произошедших, но не урегулированных убытков.

и

В общем случае 2-е рассмотренные случайные величины могут быть взаимно зависимы Для определения степени зависимости вероятностная модель метода цепочной лестницы дополняется предположением о существовании постоянных коэффициентов корреляции между факторами развития для произошедших и оплаченных убытков для заданного периода развития Данное предположение является наиболее естественным для метода цепочной лестницы, и впервые было исследовано К Брауном в 2004 году В настоящей работе предлагается модификация модели зависимости, предложенной Брауном, которая позволяет получить более простое выражение для ковариацш индивидуальных величин окончательных убытков В работе рассматривается только линейная форма зависимости индивидуальных оценок, в будущем могут быть рассмотрены другие формы зависимости

В качестве критерия оптимальности в работе используется минимизация функции расстояния от точки прогноза до «центра масс» совместного распределения 2-х величин Такой прогноз будет учитывать особенности каждого треугольника выбывания и относительную стабильность коэффициентов развития

Выбор критерия оптимальности прогноза резерва при имеющейся информации

Задачу построения оптимального прогноза можно сформулировать следующим образом существуют 2-е случайные величины, описывающие одно н то же физическое явление Требуется построить наилучший прогноз, основываясь на знании первых двух моментов для обеих случайных величин и заданной величины линейной зависимости Один из подходов заключается в минимизации функции ошибки, представляющей собой расстояние от прогноза до «центра масс» совместного распределения 2-х случайных величин Если 2-е случайные величины полностью независимы (точнее некоррелированы, так как рассматривается только линейная зависимость), то функция ошибки (или

функция расстояния) и условие достижения минимума выглядят следующим образом

U = E(RP) 2Д2(Ч i/!Rpl s (1

где

U - оптимальный прогноз физического явления

Rp - резерв, рассчитанный на базе оплаченных убытков

R, - резерв, рассчитанный на базе произошедших убытков

Если случайные величины являются коррелированными, то функцию ошибки нельзя определить способом, аналогичным вышеприведенному Наличие корреляции в общем случае требует применения другой нормы при определении расстояния Более простой подход состоит в переходе к 2-м новым случайным величинам, с одной стороны представляющим линейную комбинацию первых двух, но не являющихся коррелированными - с другой Условием некоррелированности будем считать равенство дисперсии суммы двух случайных величин сумме их дисперсий, или Var ([аХ + bY]+[cX + dY]) = Var ([аХ + bY])+Var ([сХ + dY}) (2)

Соотношение для коэффициентов, удовлетворяющих условию некоррелированности, имеет следующий вид

acVar (X) + bdVar (7) + {ad + cb) Cov(X,Y) = 0

Без ограничения общности можно положить а = с, b = -d Тогда значения коэффициентов будут равны a = c = a(Y),b = -d = о{Х)

Новая пара некоррелированных случайных величин Z\ и Z2 будет выглядеть следующим образом

Zl = o{Y)X+a{X)Y,E(Zl) = a{Y)E{X) + a(X)E{Y), Vor (Z,) = 2Fer (У) Var (X) + 2a (Y)a (X) Cov (X, Y) Z2=<T(Y)X~o-(X)Y,E(Z2) = O-(Y)E(X)-O-(X)E(Y), Var(Z2) = 2Var (Y)Var(X) - 2a(Y)cr(X) Cov (X, Y)

Для полученных некоррелированных случайных величин можно воспользоваться уже рассмотренной выше функцией ошибки Минимум данной функции достигается при

Т о оптимальный прогноз для коррелированных случайных величин также является взвешенной средней ожидаемых индивидуальных значений резерва

Расчет характеристик индивидуальных случайных величин, описывающих размер резерва. Выбор подходов к оценке чувствительности резерва.

Для расчета оптимального прогноза величины резерва необходимы оценки стандартных отклонений для индивидуальных резервов и оценка ковариации индивидуальных резервов Рассмотренные в первой главе методы расчета резерва фактически позволяют получить точечный прогноз величины резерва На практике в качестве меры изменчивости прогноза обычно используется ошибка прогноза, определяемая как стандартное отклонение распределения прогнозных значений резерва

Первым шагом к получению ошибки прогноза является формулировка базовой вероятностной модели, содержащей предположения о распределении исходных данных Как правило, к вероятностной модели предъявляется требование о совпадении прогнозного значения резерва, полученного в рамках вероятностной модели, с результатами использовании метода цепочной лестницы Для этого существует два способа

• Явное определение функции распределения данных,

• Или определение только первых двух моментов

На практике применяются модели, которые используют сверх рассеянное Пуассоновское распределение, отрицательное биноминальное распределение, Нормальное распределение, Гамма-распределение

Оценка изменчивости фактически подразумевает оценку среднеквадратической ошибки Рассмотрим случайную величину у и ее прогнозное значение у Среднеквадратическую оценку прогноза в этом случае можно записать как

Е [(у- у)2 ] = Е [{(у - Е(у)) -(у- Е(у))2 ] (4)

Учитывая несмещенность оценки у, те е(у)~е(у) и предполагая, что будущие наблюдения не зависят от предыдущих получаем разложение ошибки прогноза на ошибку процесса и ошибку оценки

Е [(У ~уУ] = Е [(у - Е(у))2 ]+Е [{у - Е(у))2 ]

Когда ошибка прогноза окончательных убытков и величины резерва оценивается с использованием классических статистических методов, задача сводится к оценке двух составляющих компонент Если может быть построено распределение прогнозных значений, среднеквадратическая ошибка прогноза может быть рассчитана непосредственно как дисперсия полученного распределения, что имеет место при использовании техники бутстрап

В работе рассматривается вероятностная модель на базе условных математических ожиданий, не требующая специальных предположений о распределении исходных данных, предложенная Т Маком" (ШШ: Существуют коэффициенты развития/ь ,_//_ь такие что

Е

К с*

1,к+\ | (-1

■-/к;1<1<Ц<1с<1-1,С1к>0 (б)

или, что то же самое, £(С1{+1 ]С„, ,С,к) = С,к/к Следует отметить, что рассматривается именно условное мат ожидание при наблюдаемых до

текущего момента данных При использовании безусловного мат ожидания коэффициенты развития усреднялись бы по всем возможным наборам данных (ЩЩ. Года событий {С,ь ,.,Са), 1 < г </, независимы

(IXЛ3): Существуют постоянные коэффициенты пропорциональности ст,2, .ст2.,, такие что

Т Мак показал, что именно эта модель дисперсии совместно с предположениями (ЦЛ1) и (ЦЛ2) лежит в основе классического метода цепочной лестницы Можно предположить существование альтернативных моделей дисперсии, однако следует иметь в виду, что выражения для факторов развития для альтернативных моделей будут другими Две очевидные альтернативы (зависимость среднеквадратического отклонения от 1-ой степени объясняющей переменной и полное отсутствие гетероскедастичности) и соответствующие формулы для оценки факторов развития приводятся ниже

В работе рассматривается 1-ая альтернативная модель дисперсии Оценка факторов развития в этой модели наиболее устойчива, что особенно важно для тех видов страхования, по которым имеющаяся статистика убытков мала Особенности развития крупных убытков в этой модели не определяют развитие в среднем (как это происходит в обычном методе цепочной лестницы)

Несмещенная оценка коэффициента пропорциональности для модифицированного (ЦЛЗ) рассчитывается по следующей формуле

(В)

(9)

ак = Vor,

"ICn, ,C,k

N-k

1 j=i

г

■Л

(10)

(ID

Формула для расчета дисперсии оценки резерва для выбранной модели дисперсии выводится по аналогии с выводом в работе Т Мака

Var(С,м | D, ,„+1)= E(Var(C,м | D, к)| D,)■+ !Var(E(с,l+1 iD,к)|| D,,_м) = E[$t\D)ol + Var{Ctl\D)f*~ Var{C, к | D)al + Е2 (С, 11 D)o* + Var {С, к1 D)f? = E2(C,k I ß)^2 + Var(C, k1 Z))(a-2 +//)

Выход из рекурсии определяется следующими условиями-

е (с, ,_(+11д ,_1+1 )-с, ,.1+1

Заменив неизвестные параметры fk, ak несмещенными оценками , , приходим к оценке дисперсии Var(C,i | D) Для оценки для ан можно

(12)

воспользоваться предложенным Т Маком соотношением а)_х = mmf^1,^,)

о,.

Построение модели ковариации оценок резервов

Для определения меры линейной зависимости между значениями индивидуальных резервов для определенного периода наступления убытков модель цепочной лестницы дополняется следующим предположением ЩЛ4): Модель ковариации

Существуют постоянные коэффициенты пропорциональности /Эр такие что

р(сГ*+1>с/м I -0) = Рк*1>^ = {с,1, ,с'л)

С0У(С!Ш,С!М1 \ и) = рк+1а(с[м I о)а(с!'М11 о) (13)

Учитывая принятую модель дисперсии, а именно <т(са+11 С,,, ,С,к) = С1к<тк имеем

Соу(С^+1,С/,+1 | И) = рка(С?к+1 | £>)ОГ(С/4+1 1£>) = лХ^Х* (14)

Оценку коэффициента пропорциональности можно записать следующим образом

Н-к* 1 Пр С1

Л =

« ^ у~<Р 7к 1к

А (=1 ^¡к к

сРк°'к (15)

В данном случае в знаменателе стоит количество наблюдений минус 1 (по аналогии с оценкой для дисперсии) В работе К Брауна предложена формула, позволяющая получить несмещенную оценку для параметра Множитель 1/(И-к) заменяется следующим

V с' ср

2 /_, Ч иЧ к-1

А ~ д-^Г'—лад- Значения являются положительными в

м-к+11~1 I с;,, £ с,',., 1=1

интервале то 0 до 1

Далее используется разложение ковариации двух случайных величин через мат ожидание условной ковариации и ковариацию условных мат ожиданий Соу{А,В) = Е(СОУ(А,В | 3)) + Соу(£(Л | %),Е(В | 3))

Теперь можно вывести выражение для ковариации оценок резервов, полученных на базе данных о произошедших и оплаченных убытках Соу(С^,С^) = Е(Ст>(С?„\ДС^+ \О),Е(С!„\Б)) ^

Для первого слагаемого имеем Е(СОУ{С%,С!, I £>)) = Е^гу^С^С!^)

{С^С^С^ + Е^ЩС]^) = (17)

Разложение второго слагаемого выглядит следующим образом

сЦс^/Д | АС,^/^ 1¿>) = (18)

Подставив оба разложения в (16), имеем рекуррентную зависимость для ковариации и условия выхода из рекурсии

Соу(С^,с;м iа 7_,+1) = £(сд )Е(с;к )ркМ + сцсд,С'1к )(рм<т{*1 + ////)

Следует отметить, что выражение для ковариации и рекуррентное выражение для дисперсии имеют сходную форму Так, если оба треугольника развития идентичны, то оценка ковариации будет совпадать с оценкой дисперсии для каждого из треугольников, что, безусловно, и должно иметь место

Анализ результатов

Был произведен анализ результатов, полученных методом Мюнхенской цепочной лестницы и результатов, полученных с использованием формального подхода для расчета взвешенной оценки резерва При этом расчеты производились на данных о развитии убытков по портфелю страхования от огня и других опасностей, приведенных в работе Т. Мака и Г Куарга

Для первых 6-ти лет наступления результаты взвешенной оценки с использованием формального подхода и результаты Мюнхенского метода цепочной лестницы очень близки Наиболее значимое отличие наблюдается для самого позднего 7-го периода наступления, для которого мюнхенский метод дает результат примерно на 8% выше Расчеты показывают, что веса индивидуальных оценок для репликации результатов Мюнхенского метода должны быть

б 352 м>(с?„) + 8 603 у»(с!„)» 7600 ) * 45%, у>(с;„) я 55%

Предложенный в работе формальный подход дает значения весов в 71% и 29% соответственно Веса, полученные на основании результата Мюнхенской

(19)

цепочной лестницы, не согласуются с оцененными значениями дисперсий, так как оценка дисперсии окончательных убытков для 7-го года наступления почти в 2 раза выше для произошедших убытков, чем для оплаченных Результаты, полученные с применением предложенного в статье метода, можно признать более убедительными

Главным научным результатом проведенного исследования является разработка нового метода резервирования произошедших, но неурегулированных убытков, учитывающего взаимное влияние данных о произошедших и данных об оплаченных убытках, и позволяющего рассчитать единое значение резерва.

Основные положения, выводы и результаты диссертационного исследования нашли отражение в следующих опубликованных автором работах общим объемом 1,0 п л

1 Руденко А В «Моделирование функции распределения окончательных убытков» // Новые информационные технологии в образовании Доклады и выступления участников шестой Международной научно-практической конференции «Использование программных продуктов фирмы «1С» в инновационной деятельности учебных заведений» 30-31 января 2006 г под общей редакцией д э н проф Чистова Д В , г Москва, 1С, 2006г

2 Руденко А В «Метод расчета резерва произошедших, но неурегулированных убытков на базе статистики произошедших и оплаченных убытков» // «Страховое Дело» №8 изд «Анкил», Москва, 2007г

Подписано в печать 21 09 2007 г Исполнено 21 09 2007 г г Печать трафарегная

Заказ № 756 Тираж 100 экз

Типография «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 115230, Москва, Варшавское ш, 36 (495)975-78-56 www autoreferat га

Диссертация: содержание автор диссертационного исследования: кандидата экономических наук, Руденко, Алексей Викторович

Введение.

Глава 1.

Предположения и альтернативы в основе модели.

Индивидуальные резервы или статистические методы.

Простые статистические методы или вероятностные модели.

Все убытки или выделение групп убытков.

Значения брутто или нетто-перестрахование.

Отдельный прогноз для расходов или включение расходов в сумму убытка.

Группировка убытков на базе года наступления или года заявления.

Модель развития убытков или коэффициент убыточности.

Общие суммы убытков или количества убытков и средние убытки.

Развитие оплаченных или произошедших убытков.

Прогнозирование окончательных убытков.

Треугольник развития.

Метод Grossing-Up.

Метод Цепочной Лестницы (Chain Ladder).

Мюнхенский Метод Цепочной Лестницы.

Предположения в основе метода.

Систематический недостаток индивидуальных оценок.

Корреляции между оплаченными и произошедшими убытками.

Решение проблемы (P/I).

Применимость и ограничения Мюнхенского метода цепочной лестницы.

Выводы по 1-ой главе.

Глава 2.

Формальный подход к единому прогнозу резерва.

Комбинация несмещенных оценок или задача оптимального прогноза.

Подходы к оценке точности метода цепочной лестницы.

Модель на основе модифицированного распределения Пуассона.

Связь метода цепочной лестницы с моделью на базе модифицированного распределения Пуассона.

Модель дисперсии Т. Мака и ее модификация.

Построение модели ковариации оценок резервов.

Вывод ковариации для классического метода цепочной лестницы.

Взаимосвязь с методом Мюнхеской цепочной лестницы.

Выводы по 2-ой главе.

Глава 3.

Анализ результатов.

Оценивание промежуточных значений.

Практический подход к оценке чувствительности метода цепочной лестницы.

Бутстрап.

Имитационное моделирование.

Выводы по 3-ей главе.

Диссертация: введение по экономике, на тему "Модели оценки резервов убытков по рисковым видам страхования"

Актуальность темы диссертационного исследования.

Технические страховые резервы составляют основу деятельности любой страховой компании. Ни один показатель, характеризующий деятельность страховой компании, не может рассматриваться в отрыве от величины сформированных страховых резервов.

В составе страховых резервов особое место занимаю резервы убытков. Между моментом наступления страхового события и моментом его окончательного урегулирования всегда проходит определённый срок. Сначала убыток должен быть заявлен страховщику, а последующее урегулирование убытка, включающее его оценку, возможное рассмотрение дела в суде и окончательное согласование, может потребовать много времени, особенно, в случае больших убытков. Во многих случаях рассчитывается единое значение резерва произошедших, но не урегулированных убытков, включающее в себя убытки произошедшие, но не заявленные, и заявленные, но не достаточно оцененные. В настоящей работе будет рассматриваться именно такой подход, не предполагающий разделения на IBNR (Incurred But Not Reported) и IBNER (Incurred But Not Enough Reserved) резервы.

Детерминистические методы расчета резервов убытков известны очень давно. Самыми популярными являются метод цепочной лестницы и метод айсберга. В последнее время существенно возрос интерес к стохастическим методам резервирования, использование которых позволяет получить не просто точечную оценку резерва, но определить границы доверительного интервала, который заключает истинное значение резерва с заданной вероятностью. Помимо чисто теоретического интереса, законодательства многих стран предусматривают обязательное включение в сумму резервов маржи надежности, являющейся аналогом «рисковой надбавки» в структуре тарифной ставки.

Общим правилом для построения стохастической модели резервирования является совпадение прогноза резерва, равного математическому ожиданию случайной величины, с результатом одного из детерминистических алгоритмов (обычно, с методом цепочной лестницы). В зарубежной литературе с использованием аппарата обобщенных линейных моделей были рассмотрены сверх рассеянное пуассоновское, отрицательное биноминальное, нормальное, логнормальное, гамма распределения для инкрементальных данных треугольника развития. Для этих видов распределений были получены оценки максимального правдоподобия для ковариат. Важным шагом в понимании вероятностных основ метода цепочной лестницы стала предложенная Т. Маком вероятностная модель, не опирающаяся на конкретную форму распределения, и основанная на условном мат. ожидании. В рамках этой модели Т. Мак получил оценку изменчивости совокупного резерва (MSEP).

Другим направлением, в котором развивается резервирование убытков, является повышение эффективности работы с исходными данными. Так, исходные данные нормируются с учетом действующей структуры перестрахования, темпов инфляции, очищаются от выбросов и т.п. Наиболее значимым является выбор в пользу оплаченных убытков или произошедших убытков (произошедшие убытки представляют собой сумму оплаченных к данному моменту и заявленных на данный момент убытков). Как правило, актуарий рассчитывает резерв отдельно для треугольников на базе оплаченных и произошедших убытков и, пользуясь своим опытом, делает выбор в пользу одной из оценок. Очевидно, что при таком подходе часть информации о развитии убытков теряется. В условиях, когда достоверность финансового результата является фактором, определяющим капитализацию компании, такие потери не должны иметь место. Таким образом, разработка метода резервирования, который бы максимально полно использовал всю имеющуюся информацию, является одной из наиболее актуальных задач, стоящих перед актуарным сообществом.

Степень разработанности проблемы.

В настоящее время существует достаточно большое количество как западной, так и отечественной литературы, посвященной резервированию убытков. В ней описываются различные методы резервирования, обсуждаются ограничения применимости методов для разных видов страхования. При разработке данной проблематики автор опирался на работы как отечественных авторов, таких как Р.Г. Глейзер, В. Малиновский и других, так и иностранных, таких, как Т. Мак, Г. Тейлор, Р. Вералл, П. Ингланд, Г. Куарг и др.

В 2003 году немецкими актуариями Т. Маком и Г. Куаргом был предложен метод, получивший название Метода Мюнхенской цепочной лестницы, который явился настоящим прорывом в резервировании убытков. Предложенный метод не был лишен ряда серьезных недостатков, которые впоследствии пытались устранить Б. Вердиер и А. Клинджер, предложив J АВ-Chain метод.

Тем не менее, применение Мюнхенского метода цепочной лестницы, как и его дальнейших модификаций, в результате приводит все также к двум отдельным оценкам резерва произошедших, но неурегулированных убытков и при определении окончательного размера резерва актуарий должен сделать выбор между этими двумя оценками. В настоящей работе предлагается развить имеющиеся подходы таким образом, чтобы в итоге получать одну оптимальную оценку.

Целью диссертационной работы является разработка метода резервирования убытков страховой компании, позволяющего рассчитать единое значение резерва произошедших, но не заявленных убытков на основе информации об оплаченных и произошедших убытках. Полученная величина резерва должна являться оптимальным прогнозом для 2-х случайных величин одновременно.

Для достижения поставленной цели были поставлены и решены следующие задачи:

1. Анализ существующих методов резервирования на предмет возможности получения точечной оценки величины резерва на основе данных одного вида: либо накопленные оплаченные, либо произошедшие убытки;

2. Выбор подходов к оценке чувствительности размера резерва, рассматривающих величину резерва как случайную величину и оценивающих ее характеристики (начальные и центральные моменты, вид функции распределения);

3. Выявление причин, определяющих недостатки метода Мюнхенской цепочной лестницы и его модификации - метода JAB Chain;

4. Расчет характеристик индивидуальных случайных величин, описывающих размер резерва страховщика, на основании статистики произошедших и оплаченных убытков соответственно;

5. Определение формы и степени зависимости между индивидуальными случайными величинами, описывающими размер резерва;

6. Выбор критерия оптимальности прогноза резерва при имеющейся информации;

7. Анализ результатов, полученных с использованием разработанного автором метода, их сравнение с результатами метода Мюнхенской цепочной лестницы, а также сопоставление с реальными историческими данными деятельности российских и зарубежных страховых компаний.

Научную новизну в настоящей работе содержат следующие положения:

1. Разработка метода резервирования убытков, использующего аппарат теории вероятностей и математической статистики, позволяющего получить прогноз резерва произошедших, но не урегулированных убытков с учетом информации как об оплаченных, так и о произошедших убытках;

2. Определение критерия оптимальности прогноза для двух коррелированных случайных величин;

3. Построение модели ковариации значений окончательных убытков для метода цепочной лестницы при а = 0 (фактор развития определяется как простая средняя индивидуальных факторов);

4. Обоснование того, что предложенный в работе метод является обобщением существующих подходов, которые могут рассматриваться как его частные случаи.;

5. Разработка подхода к имитационному моделированию функции распределения вероятностей значений резерва на основе эмпирической дискретной функции распределения факторов развития убытков.

Объектом исследования являются актуарные департаменты страховых компаний, рассчитывающие величину страховых резервов. Предметом исследования является математический аппарат оценки рисков страховой компании, в частности методы резервирования убытков.

Методика исследования. Теоретической основой диссертационной работы являются основные положения экономической теории, актуарной науки в области рисковых видов страхования. При написании работы использовались нормативные акты Российской Федерации, статьи и монографии зарубежных авторов в области резервирования убытков, отечественные книги и учебники, периодические издания. В качестве эмпирической базы исследования были использованы данные Мюнхенского Перестраховочного общества и немецкой финансовой группы Альянс: треугольники развития как оплаченных, так и произошедших убытков по нескольким видам страхования ответственности, страхованию имущества от огня и других опасностей, страхованию грузов за период с 2000 по 2006 годы.

Практическую значимость представляет использование предложенного в работе метода резервирования убытков, как в качестве основного метода резервирования, так и в качестве альтернативного метода, результаты которого используются для сравнительного анализа. В работе также предложен новый подход к имитационному моделированию функции распределения вероятностей значений резерва. Таким образом, практическая значимость состоит в разработке инструментария, позволяющего повысить точность оценки резерва убытков, что в свою очередь позволит страховым компаниям:

1. Повысить достоверность и прозрачность финансовой отчетности, снизить величину премии за риск и, как следствие, увеличить рыночную капитализацию компании;

2. Повысить эффективность инвестиционной политики, неотъемлемой частью которой является сопоставление активов и обязательств по срокам и величине;

3. Рассчитывать более объективные финансовые показатели, в том числе показатели убыточности, более точные страховые тарифы.

Внедрение и апробация результатов исследования. Результаты работы прошли апробацию в «ЗАО «Страховая компания «Альянс». Наиболее значимые результаты были получены при использовании формального подхода для оценки резерва в страховании грузов и страховании от несчастных случаев и болезней, т.е. в тех видах страхования, объем данных об убытках по которых достаточно велик.

Применение предложенного метода в области страхования имущества и строительно-монтажных рисков не было столь эффективным. Это объясняется тем, что по этим видам страхования нормой является завышенные резервы заявленных убытков, которые снижаются с течением времени. Так как формирование отрицательного резерва произошедших, но не заявленных убытков в международной отчетности обычно не допускается аудиторами (российская методика явно запрещает отрицательные резервы), то по этим видам применение формального подхода не было столь эффективным.

Публикации. По теме диссертации опубликовано две работы общим объемом 1.0 п.л., в т.ч. одна работа в журнале «Страховое Дело» - издании, включенном в перечень ВАК.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения. Работа содержит 20 рисунков, 19 таблиц. Список использованной литературы включает 41 наименование.

Диссертация: заключение по теме "Математические и инструментальные методы экономики", Руденко, Алексей Викторович

Выводы по 3-ей главе

В 3-ей главе проведено сравнение метода мюнхенской цепочной лестницы и предложенного автором формального подхода к оценке резерва. Сравнение показало, что результаты в рамках формального подхода являются более объяснимыми и рациональными. Для проведения более глубокого анализа расхождений между результатами формального подхода и мюнхенского метода цепочной лестницы, формальный подход был применен для прогнозирования промежуточных значений в треугольнике развития. Для этого введенный во 2-ой главе критерий оптимальности прогноза был расширен для прогнозирования исхода реализации 3-х случайных величин. Проведенный анализ промежуточных значений подтвердил обоснованность результатов формального подхода. Во всех случаях единая оценка резерва, полученная с использованием формального подхода, наиболее полно отражала особенности обоих наборов данных.

Также в 3-ей главе приведены примеры численного расчета чувствительности (дисперсии) величины окончательных убытков как с использованием методов, описанных во 2-ой главе, так и с применением имитационного моделирования. Была предложена техника построения функции плотности распределения окончательных убытков, позволяющая рассчитывать любые вероятностные характеристики случайной величины. На различных наборах данных (портфель страхования грузов и портфель страхования от огня и других опасностей) были построена распределения сумм окончательных убытков и произведено сравнение с результатами, полученными аналитически. Сравнение показало, что точность предложенной техники является достаточной для проведения полноценного анализа величины окончательных убытков и, следовательно, резерва убытков, рассчитанных на основании одного набора данных. Естественным дальнейшим шагом должно стать расширение предложенной автором техники имитационного моделирования для получения совместного распределения окончательных убытков с учетом данных как об оплаченных, так и о произошедших убытках.

Таким образом, цель работы, состоящую в разработке формального подхода к расчету единой оценки резерва, можно считать достигнутой.