Моделирование и оптимизация стратегий портфельного инвестирования тема диссертации по экономике, полный текст автореферата

Автореферат диссертации по теме "Моделирование и оптимизация стратегий портфельного инвестирования"

На правах рукописи

005ил

каранашев Ашор Хасанбиевич

моделирование и оптимизация стратегии портфельного инвестирования

08.00.13 - Математические и инструментальные методы экономики

1 5 :г.? 2012

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора экономических наук

Кисловодск - 2012

005014052

Диссертация выполнена в ФГБОУ ВПО «Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова»

Научный консультант: Курдюков Сергей Иванович,

доктор экономических наук, профессор, НОУ ВПО «Кисловодский институт экономики и права», профессор кафедры финансов, денежного обращения и кредита

Торйпцев Евгений Львович,

доктор экономических наук, профессор, ФГБОУ ВПО "Ставропольский государственный университет", заведующий кафедрой информационных систем в экономике

Официальные оппоненты:

Сербииовский Борис Юрьевич,

доктор экономических наук, профессор, ФГАОУ ВПО «Южный федеральный университет», профессор кафедры системного анализа и управления

Наталуха Игорь Анатольевич,

доктор физико-математических наук, профессор, НОУ ВПО «Кисловодский институт экономики и права», профессор кафедры математики и информационных технологий

Ведущая организация: ФГОУ ВПО «Кубанский государственный

аграрный университет»

Защита состоится 24 марта 2012 года в 10 часов на заседании объединенного диссертационного совета ДМ 521.002.01 по экономическим наукам при НОУ ВПО «Кисловодский институт экономики и права» (357700, г. Кисловодск, ул. Р. Люксембург, 42).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке НОУ ВПО «Кисловодский институт экономики и права»

Автореферат разослан 22 февраля 2012 года Ученый секретарь /^¡/^г^

диссертационного совета Бостанова А.И.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Проблема управления портфелем ценных бумаг, активов и пассивов, финансовых инструментов является фундаментальной в финансовой теории и практике. В то же время эта проблема как задача управления в условиях неопределенности также относится и к фундаментальным проблемам в теории принятия решений. Оперативное управление портфельными финансовыми инвестициями обусловливает широкое использование методов теории случайных процессов и финансового инжиниринга. В последние годы теоретический и практический выбор оптимального фондового портфеля осложняется двумя отличительными особенностями динамических временных рядов доходное™ финансовых инструментов: стохастичностыо изменения цен активов и наличием редких катастрофических (скачкообразных) изменений доходных характеристик финансовых инструментов. Указанные особенности оказывают существенное влияние на распределение доходности фондовых активов, которое может значительно отличаться от нормального распределения, на котором базируется классическая портфельная теория Марко-вица-Шарпа-Тобина.

Инвестиционный процесс неотделим от процесса потребления. Агенты фондового рынка заинтересованы не только в конечном капитале на горизонте инвестирования, но и в текущем потреблении в течение инвестиционного периода. Поэтому наилучшая реализация инвестиционных стратегий требуег непрерывного реструктурирования фондовых портфелей в условиях стохастических изменений параметров фондового рынка, которые не могу т быть учтены с использованием классических портфельных теорий.

В процессе фондовых инвестиций и управления ими грейдеров интересуют реальные доходности фондовых инструментов. Инфляционные процессы являются основными источниками снижения реальной доходности активов. Защита портфеля от инфляции представляет собой нетривиальную задачу, т.к. большинство фондовых бирж предлагают лишь номинальные финансовые инструменты,- Кроме того, краткосрочные депозиты также выплачивают номинальные процентные ставки. Поэтому номинальные ценные бумаги имеют рискованные доходности с учетом инфляции. Следовательно, модели процессов инвестирования при наличии в экономике умеренной инфляции должны учитывать инфляционные риски: ..■.Указанные обстоятельства определяют актуальность настоящего диссертационного исследования, которое посвящено разработке методов моделирования и анализа процессов оптимизации портфеля инвестора в условиях, когда параметры фондового рынка могут испытывать скачкообразные и стохастические изменения.

Степень разработанности проблемы. Фундаментальные проблемы финансового менеджмента в процессах инвестирования на .фондовых инвестиций рассматривали Балабанов И.Т., Бланк И.А,, Бочаров В.В., Герчикова И.Н., Ефимова О.В., Ковалев В.В.^Миркин Я.М., Поляк Г.Б., Рубцов Б,Б., .Стоянова Г.С., и др. Среди зарубежных ученых отметим Александера Г., Бирмана Г.,

Блауга М., Блеха Ю., Брейли Р., Брипхэма Ю., Гетце У., Гитмана Л., Ирвина Д., Карлина Т., Колласа Б., Крушвица Л., Курца X., Ли Ч., Майерса С., Мертона Р ' Миллера М., Модильяни Ф., Перара Ж., Самуэльсона П., Тобина Д., Фабоцци Ф., Фридмена М, Хикса Дж., Холта Р., Шарпа У., Шима Д. и др.

Большой вклад в разработку таких проблем финансовой математики, как теория ренты, ценообразование на финансовых рынках, финансовые риски, а также финансовый инжиниринг внесен российскими и зарубежными учеными: Алексеевым М.Ю., Башариным Г.П., Боди 3., Брауном С., Бригхэмом Ю, Бронштейном Е.М., Винтизенко И.Г., Гапенски Л., Даффи Д., Евстигнеевым И.В., Капитоненко В.В., Кардашем В.А., Карлбергом К., Касимовым Ю.Ф., Коксом Д., Колбом Р., Кочович Е., Кочрейном Дж., Крушвицем Л., Кутуковым В.Б., Марковичем Г., Маршаллом Д., Мертоном Р., Миллером М., Маркиным Я.М., Наталухой И.А., Недосекиным А.О., Паррамоу К., Перепелицей В.А., Поповой Е.В., Россом С., Самуэльсоном П., Смоляком С.А., Тобином Дж. Уот-шемом Т„ Фабоцци Ф., Фамой Е„ Четыркиным Е.М., Шарпом У., Шведовым

A.C., Шимом Д., Ширяевым А.Н., Шоулсом М., Эрроу К: и др. Экономико-математические методы исследования случайных процессов портфельного инвестирования разрабатывали Белявский Г.И, Винер Н„ Ито К., Кабанов Ю М Каратзас И., Карни Е, Колмогоров А.Н., Крамков Д.О., Липцер Р.Ш., Макаров

B.Л., Мандельброт Б., Мельников A.B., Новиков A.A., Павлов И.В., Плиска С., Прохоров Ю.В., Роджерс Л., Рутковски М., Скейдсм К., Черный A.C., Швейзер М„ Ширяев А.Н., Шреве С., Шродер М. и др.

Методы зконометрического анализа и прогнозирования финансовых процессов разрабатывались Андерсеном Т., Айвазяном С.А., Афанасьевым М.Ю., Белдаззи П., Бейтсом Д., Боллерслевом Т., Винтизенко И.Г., Давнисом В.В.! Диболдом Ф„ Энглом Р., Кэмпбеллом Дж., Паганом А., Перепелицей В.А., Поповой Е.В., Рачевым С., Тейлором С., Тиммерманом А., Тиняковой В И Хансеном Л., Хубаевым Г.Н., Яновским Л.П. и др.

Наряду с этим, несмотря на обилие теоретических и прикладных исследований, посвященных моделированию и анализу фондовых рынков и оптимизации портфельных инвестиций, многие из упомянутых проблем в настоящее время не решены и находятся в стадии обсуждения. Кроме того, большинство работ, посвященных проблемам оптимизации фондового инвестирования в условиях-неопределенности, используют численные методы (Барберис Н., Белдаззи П., Харви К, Шварц Е. и др.), которые не позволяют выявлять относительные вклады активов портфеля в оптимальные решения и проследить влияние на него параметров фондового рынка и функций полезности инвесторов.

Актуальность и недостаточная разработанность проблем управления рискованными активами в условиях стохастического изменения параметров фондового рынка и определяют тему и задачи диссертации.

Объект и предмет исследования. Объектом диссертационного исследования является фондовый рынок и инвестиционный портфель фондовых инвестиций. Предметом исследования являются стратегии вложения капитала в рискованные активы с учетом текущего потребления.

Цель и «плачи исследования. Цель диссертации заключается в модулировании и оптимизации динамических инвестиционных процессов (с учетом текущего потребления) на турбулентных фондовых рынках. Достижение поставленной цели потребовано постановки и решения перечисленных ниже задач:

- построение и анализ экономико-математической модели, позволяющей оптимизировать вложение капитала в рискованные фондовые инструменты, характеризующиеся стохастической динамикой их цен, ожидаемой доходности, вариационно-ковариационных матриц доходности, а также стохастических изменений краткосрочной ставки процента; ■

- анализ особенностей реализации оптимальной стратегии инвестирование-потребление в различных условиях;

- моделирование и оптимизация стратегии потребления инвестора с заданной функцией полезности (соответствующей инвестиционной стратегии) с учетом того, что источником полезности инвестора являются конечный капитал и/или промежуточное потребление;

- моделирование и оптимизация стратегий хеджирования в условиях, когда источником полезности инвестора являются как конечный капитал, так и текущее потребление, при общих предположениях о стохастических процессах краткосрочной ставки процента и цен рискованных финансовых инструментов;

- разработка модели и оптимизация портфельных и потребительских решений для реологических функций полезности (учитывающих характерный для инвестора уровень потребления) в условиях стохастических изменений доход-ностей рискованных активов и параметров фондового рынка;

- оптимизация инвестиционной и потребительской стратегии при реологической функции полезности и характерной динамики инвестиционной среды: сходимости риск-премий к долгосрочным значениям в соответствии с моделью Орнштейка-Уленбека и эволюции ставки процента в рамках модели Ингерсол-ла-Кокса-Росса;

- оптимизация стратегии инвестирование-потребление с учетом инфляционных рисков в условиях случайной (немарковской) эволюции цены рискованных активов; анализ возможности осуществления оптимальной стратегии хеджирования инфляции и стохастических изменений параметров фондового рынка с использованием номинальных облигаций;

- анализ влияния доходов инвестора вне фондового рынка па оптимальные стратегии инвестирование-потребление;

- построение и оптимизация портфельной стратегии, учитывающей возможные скачкообразные (катастрофические) изменения цен финансовых титулов, индуцированных сильно воздействующими на фондовый рынок событиями.

Теоретическая и ииформацнонно-эмпирическан база исследовании.

Теоретическую базу исследования составили фундаментальные разработки ученых-экономистов по проблемам финансовых рынков, инвестиционному менеджменту, теории случайных процессов, теории оптимального управления

стохастическими процессами, теории стохастических дифференциальных уран-нений.

Информационно-документальную базу диссертации составили статистические материалы Федеральной службы государственной статистики, законодательные акты РФ, решения и нормативные акты Правительства Российской Федерации, Федеральной службы по финансовым рынкам, регулирующие деятельность фондового рынка, материалы научно-практических конференций, публикации отечественных и зарубежных экономистов, тематические Интернет-ресурсы.

Диссертационное исследование выполнено в соответствии с п. 1.6 "Математический анализ и моделирование процессов в финансовом секторе экономики, развитие методов финансовой математики и актуарных расчетов" паспорта специальности 08.00.13 - Математические и инструментальные методы экономики.

Научная новизна диссертационной работы заключается в развитии методов моделирования, анализа и оптимизации стохастических процессов портфельного инвестирования. Научная новизна заключается в следующем:

- разработана экономико-математическая модель портфельного инвестиционного процесса на фондовом рынке, учитывающая стохастическую динамику цены рискованных активов и стохастическую эволюцию параметров фондового рынка, которая позволяет в аналитической форме рассчитывать составляющие оптимального инвестиционного портфеля (спекулятивную составляющую спроса инвестора и хеджирующий портфель), осуществлять оперативное реструктурирование портфеля в условиях стохастически меняющихся инвестиционных возможностей рынка и оптимизировать стратегию потребления инвестора в зависимости от риск-премии, волатильности цен рискованных активов и особенностей функций полезности;

- доказано, что среди всех портфелей хеджирующий портфель имеет максимальную абсолютную корреляцию с переменной состояния, характеризующей стохастическую эволюцию инвестиционных возможностей. Для полного фондового рынка максимальная корреляция равна единице, и спрос на хеджирование в основном повторяет динамику переменной состояния. Оптимальная портфельная стратегия представляет собой единственную стратегию, минимизирующую флуктуации потребления со временем, среди всех портфельных стратегий с одинаковой с оптимальной стратегией ожидаемой доходностью;

- разработан метод построения замкнутых оптимальных решений инвестирование-потребление для широкого класса стохастических моделей на полном и неполном финансовом рынке, что позволило провести исследование необходимости защиты от рисков, обусловленных эволюцией инвестиционной среды, и установить, что при функции полезности с постоянной относительной нетерпимостью к риску инвестор должен хеджировать только случайные колебания ставки процента и квадрата величины риск-премий;

- построены, в аналитической форме, оптимальные стратегии инвестирование-потребление для аффинных моделей краткосрочной ставки процента и риск-премий, применимые и к полному, и к неполному финансовым рынкам;

это позволяет интерпретировать спрос на хеджирование инвестора с полезностью от промежуточною потребления и конечным инвестиционным горизонтом как средневзвешенное спросов на хеджирование инвесторов с инвестиционными горизонтами, принимающими значения из определенного интервала и полезностью только от конечного капитала. Введено понятие эффективного горизонта инвестирования, позволяющего свести задачу выбора оптимальной стратегии хеджирования в условиях, когда источником полезности инвестора являются как конечный капитал, так и текущее потребление, к задаче оптимизации хеджирующего портфеля инвестора с эффективным инвестиционным горизонтом, получающим полезность только из конечного капитала;

- построена оптимальная стратегия хеджирования процентных рисков в условиях стохастических изменений ставки процента (описываемой уравнением Уленбека-Орнштейна) и цеп рискованных активов в условиях, когда источником полезности инвестора являются как конечный капитал, гак и текущее потребление. Доказано, что если для инвестора имеет значение только конечный капитал, то наиболее подходящей хеджирующей позицией являются облигации, имеющие нулевой купон, со сроком погашения в конце горизонта инвестирования инвестора. Для инвестора, извлекающего полезность из текущего потребления, наиболее подходящей хеджирующей позицией являются облигации (имеющие непрерывные купоны);

- установлено, что спрос на хеджирование процентного риска при достаточно общих стохастических процессах изменения краткосрочной ставки процента (описываемой уравнением Уленбека-Орнштейна) и цен рискованных активов предполагает использование только облигаций. С уменьшением коэффициента относительной склонности инвестора к риску оптимальное инвестирование в спекулятивный портфель снижается, а в хеджирующие облигации -растет. Инвесторы, нейтрально относящиеся к риску, оптимально не осуществляют хеджирование изменения параметров фондового рынка. Хеджирующая позиция инвестора с большим коэффициентом относительной склонности к риску отрицательна, а более осторожные инвесторы занимают длинные позиции по облигации. Инвестор с близким к нулю коэффициентом относительной склонности к риску вкладывает капитал в облигации, имеющие нулевые купоны, со сроком погашения в конце горизонта инвестирования;

- построена оптимальная стратегий ипвестирование-потреблецие при peo« логической функции полезности (с учетом характерного для инвестора потребления) в условиях, когда эволюция параметров фондового рынка описывается стохастическими, в том числе и немарковскими случайными процессами (т.е. в условиях несправедливости гипотезы «эффективного финансового рынка»), что позволяет выявлять качественное и количественное отличие от стратегии инвесторов, характеризующихся степенными функциями полезности, и анализировать оптимапьные стратегии инвестирование-потребление в двух предельных случаях нетерпимости к риску инвестора - безразличного отношения к риску и бесконечной нетерпимости к риску;

- выведены, в аналитической форме, оптимальные инвестиционные и потребительские стратегии для практически важных законов динамики характе-

ристнк фондового рынка: релаксации риск-премий к долгосрочным значениям <" соответствии с моделью Уленбека-Орнштейна) и эволюции стохастической краткосрочной ставки процента в соответствии с моделью Ингерсолла-Кокса-Росса. Проведен сравнительный численный анализ оптимальной стратегии инвестора, имеющего степенную функцию полезности, и инвестора с реологической функцией полезности и выяснено, что учет в полезности инвестора характерного уровня потребления значительно понижает спрос на рискованные активы и предельную предрасположенность к потреблению;

- построена оптимальная стратегия инвестирование-потребление в условиях стохастических, в том числе немарковских процессов изменения цены рискованных активов, а также ожидаемых уровней и неопределенности инфляционного риска. Аналитически определены компоненты оптимального портфеля (спрос на рискованные активы и хеджирующий портфель) как функции риск-премии, волатильности цен рискованных фондовых инструментов и параметров функций, полезности трейдера, что позволило проанализировать структуру оптимального портфеля и установить риски, которые следует хеджировать;

- построена оптимальная стратегия инвестирование-потребление на финансовом рынке, на котором динамика временной структуры номинальных процентных ставок описывается немарковской многофакторной моделью. Показано, что оптимальная стратегия хеджирования может быть осуществлена с использованием номинальных облигаций, соответствующих ожидаемому номинальному потреблению относительно форвардной мартингальной меры;'

- разработана экономико-математическая модель оптимальной портфельной и потребительской стратегии, учитывающая наличие у инвестора неликвидных активов, приносящих ликвидные дивиденды. Найдено оптимальное вложение капитала в позиции по облигации, акциям и банковскому счету; определена оптимальная потребительская стратегия. Проведен анализ причин, по которым относительное вложение капитала в облигации и акции может испытывать существенное влияние дохода вне фондового рынка;

- доказано, что относительное вложение капитала в облигации и акции может испытывать существенное влияние присутствия дохода вне фондового рынка по ряду причин. Во-первых, облигации и акции могут быть по-разному коррелированны с доходом вне фондового рынка, в силу чего облигации или акции в зависимости от конкретных условий могут оказаться лучшим инструментом хеджирования связанного с доходом вне фондового рынка риска. Во-вторых, инвесторы, характеризующиеся неприятием риска, имеют положительный спрос на хеджирование полного капитала. В-третьих, поскольку капитал, связанный с существованием доходов инвестора вне фондового рынка, определяется как дисконтированная стоимость будущих доходов вне фондового рынка, он в общем случае чувствителен к уровню и волатильности краткосрочной ставки процента (подобно облигации) и, следовательно, фактически представляет собой неявное инвестирование в облигацию;

- построена модель фондовых инвестиций, описывающая оптимальные портфельные стратегии с учетом возможных скачкообразных (катастрофических) колебаний цен.активов большой амплитуды. Установлено, что скачкооб-

разные изменения цен активов приводят к тому, что распределение доходности характеризуются ненулевыми асимметрией и эксцессом, а дисперсия доходно-стей активов растет. Доказано, что оптимальный вес рискованного актива в портфеле может как расти, так и снижаться При отклонении распределений доходности от нормального;

- доказано, что при умеренной нетерпимости к риску инвесторов риски, связанные с катастрофическими изменениями цен на фондовом рынке, приводит к росту спроса на хеджирование при отрицательном коэффициенте корреляции между рисковой премией и процессом, определяющим доходность рискованного актива. Абсолютное воздействие этого риска увеличивается с ростом горизонта инвестирования. Для не принимающих риск инвесторов вероятность скачка цены рискованного актива, независимо от направления скачка, сокращает спекулятивную составляющую спроса инвестора (короткую или длинную позицию) на этот актив. Увеличение волатильности скачкообразного изменения цены активов приводит к снижению совокупного спроса на раскованные активы. Этот эффект усиливается со снижением относительной склонности инвестора к риску.

Практическая значимость результатов работы. Практическая значимость диссертации обусловлена тем, что разработанные в работе модели, методы и алгоритмы позволяют решать тактические и стратегические задачи при осуществлении участниками фондового рынка управления финансовым инвестированием в рискованные активы в стохастических условиях. Вычисленные в работе составляющие оптимального портфеля (спекулятивную составляющую спроса инвестора и хеджирующий портфель) позволяют инвесторам осуществлять реструктурирование портфеля при различном инвестиционном горизонте (максимизируя свою полезность) с учетом стохастической риск- премии, волатильности цены рискованных активов и краткосрочных процентных ставок. Оптимальные хеджирующие процентный риск стратегии в условиях, когда источником полезности инвестора являются как конечный капитал, так и текущее потребление, дают возможность инвесторам занимать выгодные хедж-позиции по облигациям с непрерывными купонами или облигациям, имеющим нулевой купон с погашением в конце горизонта инвестирования в зависимости от коэффициента относительного нетерпимости к риску. Обобщение полученных результатов на реологической функции полезности позволяет оптимизировать портфельные стратегии, потребительские стратегии и предельную расположенность к потреблению с учетом у характерного для инвестора потребления. Построенные стратегии инвестирование-потребление с учетом стохастической (в т.ч. немарковской) эволюции цены рискованных активов, возможных скачкообразных изменений цен активов, стохастических параметров фондового рынка и неопределенности инфляции позволяют инвестору строить оптимальную портфельную политику в нестабильных макроэкономических условиях.

Апробация н внедрение результатов исследования. Результаты диссертационного исследования обсуждались на следующих международных и всероссийских конференциях: V Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике, Сочи, 2004, осенняя сессия; V! Всероссийский

симпозиум «Математическое моделирование и компьютерные технологии», Кисловодск, 2004; И Всероссийская научно-практическая конференция «Корпоративное управление в условиях переходной экономики: теория и практика», Ставрополь, 2004; Международный симпозиум «Математическое моделирование и компьютерные технологии», Кисловодск, 2005; V Международная конференция «Новые технологии в управлении, бизнесе и праве», Невинномысск, 2005; VIII Международная конференция «Экономико-организационные проблемы проектирования и применения информационных систем», Ростов-на-Дону, 2005; IV Международная научно-практическая конференция «Проблемы регионального управления, экономики, права и инновационных процессов в образовании», Таганрог, 2005; VII Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике, Йошкар-Ола, 2Q06, зимняя сессия; Всероссийская научно-практическая конференция «Экономика современной России», Волгоград, 2006; Всероссийский симпозиум «Математические модели и информационные технологии в экономике»^ Кисловодск, 2007; Научно-практическая конференция «Проблемы социально-экономического развития регионов», Сочи, 2007; IV Международная научно-практическая конференция «Проблемы регионального управления, экономики, права и инновационных процессов в образовании», Таганрог, 2007; Всероссийская научная конференция «Актуальные проблемы социально-экономического развития», Кисловодск, 2009; Всероссийские научные чтения «Математическая экономика и экономическая информатика», Кисловодск, 2010; Всероссийская научная конференция «Формирование, развитие и прогнозирование социально-экономических систем: методы и способы управления», Кисловодск, 2011.

Результаты диссертационной работы используются ООО «Центр финансовых операций» (г. Нальчик), ООО банк «Прохладный», ООО банк «Майский» при выработке эффективных стратегий фондовых инвестиций на фондовом рынке. Результаты диссертации используются Кабардино-Балкарским государственным университетом в учебных дисциплинах «Финансовый менеджмент». «Рынок ценных бумаг», «Инвестиции» и «Теория финансовых рисков».

Объем и структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения и списка использованной литературы.

ОСНОВНЫЕ НАУЧНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ, РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

Во введении обоснована актуальность темы исследования, дана характеристика степени изученности проблемы, сформулированы цель и задачи исследования, научная новизна и практическая значимость.

В первой главе "Моделирование управления фондовыми активами" рассматриваются инструменты финансовых инвестиций, их особенности и методы оценки эффективности инвестирования в финансовые инструменты. Дается характеристика факторов, определяющих инвестиционные качества отдельных финансовых инструментов инвестирования. Обсуждаются модели оценки

реальной стоимости ценных бумаг. Сделан обзор работ, посвященных формированию портфеля финансовых инвестиций, выбору портфельной стратегии и типа формируемого инвестиционного портфеля. Рассматривается оценка инвестиционных качеств финансовых инструментов инвестирования по показателям уровня доходности, риска и взаимной ковариации. Изложены принципы оперативного управления реструктуризацией портфеля финансовых инвестиций. Рассматриваются виды отношений инвесторов к риску и характеристики интенсивности нерасположенности к риску.

Вторая глава «Моделирование оптимального вложения капитала в рискованные активы при постоянных параметрах инвестиционной среды» посвящена моделированию фондовых инвестиций в непрерывном времени, на основе которой выведены оптимальные портфельные и потребительские стратегии инвестора с различной степенью нетерпимости к риску при постоянных ожидаемых доходностях рискованных активов.

Финансовый инвестор выбирает непрерывный во времени процесс потребления с -- (с, )(г1(| ,и непрерывный во времени процесс инвестирования

О = (0, )„.)(,■,■)■ Здесь В1 - л-мерный вектор количества капитала IV,, инвестируемого в момент I в (I рискованных активов. Оставшаяся часть капитала инвестора = IV, -01 1 - [V, (/ - ¿/-мерный вектор из единиц, а верхний

I 1

индекс Т соответствует транспонированию), инвестируется в безрискованный актив (банковский счет). Целью инвестора является максимизация ожидаемой полезности на горизонте инвестирования, которая предполагается аддитивно сепарабельной по времени

F.

¡eau(c,yit + e*'u(H/r)

где Е - оператор математического ожидания, и и й - возрастающие и вогнутые функции полезности Неймана - Моргенштерна, о - субъективный дисконтный фактор инвестора (фактор временного предпочтения). Определим неявный процесс полезности J = (./,) следующим образом

т

J(IV,1)= sup Eiy,[je^4s'')u(ct)ds + eSiT')ii{iV,)]. (I)

Оптимальная стратегия потребление-инвестирование (с ,9 ) характеризуется тем, что она обеспечивает по крайней мере такую лее высокую ожидаемую полезность, как любая другая допустимая стратегия.

При выборе стратегий потребления и инвестирования экономический агент имеет дело с рядом переменных, стохастически эволюционирующих с течением времени:

• краткосрочная ставка процента г,;

• цены, ожидаемые ставки доходности, вариационно-ковариационная матрица ставок доходности по рисковым активам;

• ожидаемая скорость изменений доходов инвесторов вне фондового рынка;

• ковариация или корреляция между указанными переменными.

Будем предполагать, что все 'зкзогенные возмущения указанных переменных могут быть представлены стандартным броуновским движением. Прямым

■ следствием этого предположения является отсутствие катастрофического изменения цены активов. Динамика цен рискованных активов описывается векто-

- ром цен l't, следующим стохастическому процессу следующего вида dP, = diag{/;)[(/-,/ + <т,Я,)dt + a,dz, ], где z, = (£„,..,,zlft)' - стандартный броуновский случайный процесс, т.е. вектор d независимых одномерных броуновских движений, diag(PJ - пх п диагональная матрица с элементами Р, по главной диагонали, ц - вектор ожидаемых доходностей рискованных активов, а, - «хя - мерная матрица волатилыюстей.

, Вектор риск-премий Л, -- а,1 (/;, - /-,/) является мерой избыточной доходности актива.

Если ставка процента г, ожидаемые нормы доходности // и матрица волатилыюстей рискованных активов сг постоянны во времени, го вектор риск-премий Л также не зависит от времени. Динамику капитала инвестора при данных стратегиях потребления с, и инвестирования к, (вектор весов рискованных активов в портфеле инвестора определяется отношением к, - OJWt) записываем в виде:

dW, - IVr (г + n'aX)dt~ cdt + Wlx'adz,.

Применяя к (I) принцип оптимальности Беллмана, получаем следующее уравнение

&J{Wj) = sup {и(с) + -~(W,i) + Jw{W,t%W[r + ж'аЛ\- с) +

с>а.*,>/;" I о!

■ ■ (2) 1 1 +~Jlvw(W,t)W1nl'aal

Максимизация правой части уравнения (2) по с дает следующее условие первого порядка и'(с) = Jfy(lV,t). Это условие оптимальности устанавливает, что предельная потребительская полезность одной дополнительной единицы должна равняться предельной полезности от оптимального инвестирования этой единицы. Безусловная максимизация правой части уравнения (2) но ж дает оптимальную инвестиционную стратегию

,r(ivj), и,,-,-/). О)

>»'/„,,("'./) / о Ju (II ,/)

заметим, что множитель---------- представляет собой коэффициент отно-

■ сительной склонности инвестора к риску (обратный коэффициенту относительного нетерпимости к риску Эрроу - Пратта) для функции неявной полезности.

Оптимальные инвестиции в рискованные активы поэтому равны коэффициенту относительной терпимости к риску, умноженному на вектор, одинаковый для всех инвесторов (при условии, что они одинаково воспринимают переменные <у, // и г). Этот вектор представляет собой произведение матрицы, обратной к вариационно-ковариационной матрице, и вектора избыточных ожидаемых до-ходностей рискованных активов.

Из оптимальной инвестиционной стратегии (3) следует важный результат: при постоянных параметрах инвестирования, т.е. постоянных г,'// ист, оптимально вложение капитала в два фонда: инвестор вкладывает часть своего

капитала —/' (а1) 'Я в рисковый фонд, а остальную часть в без-

ИХ ;, (» ', О

рискованный актив (банковский счет).

В диссертации получены замкнутые решения для оптимальных стратегий инвестирование-потребление при наиболее употребительных функциях полезности: функции полезности с постоянной относительной нетерпимостью к риску и логарифмической функции полезности. Рассмотрены три интересных для приложений типа задач: источником полезности инвестора являются: (1) только потребление; (2) только конечный капитал; (3) потребление и конечный капитал. Эти три задачи можно решить одновременно, вводя два параметра - индикатора г, и ¿;?, которые принимают значения 0 и I. Положим

с1~г И''~г

"(С) = £, --, №) = А'2 ---,

1-у 1-у

где у - коэффициент относительной склонности инвестора к риску. Три ситуации, упомянутые выше, соответствуют следующим комбинациям параметров ¿г, и е2 ■ (а) ¿'1=1, £г = 0 ; (б) е, = 0, £2 = 1; (в) тг, = ег -1. В диссертации доказано, что оптимальная стратегия инвестирования состоит в поддержании час-гей капиталов, инвестированных в каждый актив, неизменной. Заметим, что при этом условии требуется постоянная корректировка занятых позиций, т.к. цены финансовых инструментов непрерывно изменяются. Рассмотрим актив, входящий в оптимальный профиль с положительным весом. Если цена этого актива увеличивается больше, чем цены других активов в портфеле, то доля капитала, соответствующая этому активу, будет увеличиваться. Поэтому инвестор должен сократить количество единиц этого актива в своем портфеле! Поэтому оптимальная стратегия состоит в продаже активов, цена которых растет быстрее остальных, и покупке более медленно растущих активов. Чем ниже коэффициент относительной склонности инвестора к риску у, тем ниже инвестирование в рискованные активы и тем выше инвестирование в безрискованный актив. Стратегия инвестирования в рассматриваемых условиях не зависит от горизонта инвестирования.

Далее в диссертации определены оптимальные стратегии фондовых инвестиций при наличии текущего потребления, учитывающие стохастическую динамику цены рискованных активов и параметров фондового рынка. В аналити-

ческой форме рассчитаны компоненты оптимального решения (спекулятивную составляющую спроса инвестора и хеджирующий портфель) как функции риск-премим, волатйльности цены рискованных активов и свойств функций полезности;

Предполагаем; что существует стохастически эволюционирующая переменная состояния х = (х,), определяющая изменения во времени процентной ставки по' безрйсковому активу г, п - мерного вектора ожидаемой доходносги-рискованных активов ft и матрицы стохастического процесса волатильностей <т размерности их и, т.е. г, =>(*,), ц( = =a(x,j). Изменения пе-

ременной состояния дг определяют будущие ожидаемые доходности и ковариационную структуру фондового рынка. Риск-премия по рисковому активу также определяется переменной состояния

Сначала рассмотрена ситуация, когда переменная состояния является одномерной/ Динамика цен рискованных активов описывается стохастическими дифференциальными уравнениями

dP,=c/iag(Pt)Mxl)I + cr(xl,t)X(xl))dt + a(x„t)dz,]. (4) Предполагается, что х определяется одномерным диффузионным процессом

dx, = т{х, )dt + v(x,)'' dzt + v{xt)dz,, (5)

где z - одномерный стандартный броуновский случайный процесс, не зависящий от z. Поэтому при v(*,) Ф 0 существует экзогенное возмущение переменной состояния, которое не может быть хеджировано инвестициями на финансовом рынке. Другими словами, рынок в этом случае является неполным (в противном случае, если v(x,) = 0, фондовый рынок является полным). Вектор v(x,) описывает чувствительность переменной состояния к экзогенным возмущениям рыночных цен активов, вектор cr(x,t)v(x) есть вектор мгновенных коэффициентов ковариации между доходностями по рисковым активам и переменной состояния, а матрица исг' - вариационно-ковариационная матрица ожидаемых доходностей.

Эволюция капитала инвестора описывается уравнением

dlVt = W\r{xt) + 7C1,a{xl,t)X{x,)}dt - c,di + Wrfa{x,J)dzn (6) где с, - стратегия потребления, а п, - стратегия инвестирования. Неявная функция полезности инвестора определяется следующим образом

le-sl",)u(c,)ds + e-'ir-')\u(Wr)

(7)

J(JV,xJ)= sup EWXt,

)„ф,7|

где E - оператор математического ожидания, и(с) - мгновенная функция полезности инвестора, 8 - субъективный дисконтный фактор.

На основе уравнения Беллмана, соответствующего задаче (7), в диссертации выведено выражение, определяющее оптимальную инвестиционную стра-

Ш1Г1Г(1Т,х,0

■-(СГ(Х,(У) Л(х)-

-.(<т(х,/У) \(х).

Оптимизированный портфель состоит из (кроме безрискового актива) (1) спекулятивного ("близорукого") спроса (первая составляющая выражения (8)) и (2) спроса на хеджирование (вторая составляющая выражения (8)).

По мере сокращения горизонта инвестирования неявная функция полезности ,/(И/,х,1) приближается к конечной функции полезности и(IV), независящей от состояния х. Следовательно, производная ./н,х(1¥,х,1) и второй член портфельной стратегии стремятся к нулю при ! —у Т . Другими словами, краткосрочные инвесторы (т.е. имеющие короткий горизонт инвестирования) не хеджируют изменений параметров фондового рынка. Кроме того, вторая составляющая в (8) исчезает для инвесторов с конечным инвестиционным горизонтом в двух специальных случаях:

(1) JИ,x(W,x,t) = 0. Переменная состояния не влияет на предельную полезность инвестора. Как показывает анализ, проведенный в диссертации, это всегда справедливо для инвестора, имеющего логарифмическую функцию полезности. Такой инвестор не заинтересован в хеджировании изменений переменной состояния.

(2) у'(х)= 0. Переменная состояния не коррелированна с мгновенной доходностью продаваемых активов. В этом случае инвестор не способен хеджировать изменения переменной состояния.

Во всех остальных случаях переменная состояния приводит к появлению дополнительного спроса инвестора в оптимальном портфеле (спроса на хеджирование) по сравнению со случаем постоянных инвестиционных возможностей.

Заметим, что структура спекулятивного спроса и спроса на хеджирование меняется со временем благодаря изменениям переменной состояния. В диссертации доказано, что абсолютное значение мгновенной корреляции между изменением инвестиционной стратегии и изменением переменной состояния максимально для инвестиционной стратегии хеджирования тг'"1". Для полного фондового рынка максимальная корреляция равна единице, и спрос на хеджирование повторяет динамику переменной состояния.

Рассмотрим ситуацию, когда имеется единственный рискованный актив, так что ст(л-,0 и у(х) суть скаляры. Спрос на хеджирование в оптимальной

портфельной стратегии принимает вид —- -. Заметим, что ,/т, <0 в

\VJww а

силу вогнутости функции ./. Если V и а имеют одинаковый знак, то доходность по рисковому активу будет положительно коррелированна с изменениями переменной состояния. В этом случае видно, что спрос на хеджирование по активу положителен, если предельная полезность Jw возрастает с ростом х, так

что JWк > 0. По сравнению с ситуацией с постоянными инвестиционными возможностями при наличии спроса на хеджирование инвестор будет размешать большую долю капитала в рискованный актив, имеющий высокую доходность в состояниях рынка с высокой предельной полезностью. Противоположная ситуация имеет место, если V и а имеют разные знаки, т.е. коррелированны отрицательно.

В диссертации предложена еще одна интерпретация оптимальной портфельной стратегии. Докатано, что оптимальная портфельная стратегия ж* представляет собой единственную стратегию, минимизирующую флуктуации потребления со временем, среди всех портфельных стратегий с одинаковой с к' ожидаемой доходностью.

Далее в диссертации при общей динамике стохастических процессов ставок процента и цен рискованных активов определены оптимальные стратегии инвестирования в акции (индекс акций) и облигации в условиях, когда инвестор получает полезность и от накопленных активов, так и из промежуточного потребления. Динамику краткосрочной ставки процента описываем уравнением Орнштейна - Уленбека

где г - долгосрочное значение г,, г„ - стандартное одномерное броуновское движение, к - скорость релаксации г; к долгосрочному значению. Динамика цены В, произвольной облигации определяется стохастическим дифференциальным уравнением

¿3, = В, [(/; +Л1стя (г„ фк + сгв (г,, 1)сЬи ], (9)

где А, -г,)!ан - риск-премия, //, - ожидаемая норма доходности, <тп -волатильность цены облигации. Цена акции 5, с учетом реинвестирования дивидендов эволюционирует согласно стохастическому процессу

<¿5, = [(г, +у/а^)с11 +рахскх1 -р'гт^,], (10) где р - корреляция между доходностями облигации и акции, - еще одно броуновское движение, (Гц ■ волатильность акции, у - коэффициент Шарпа. Если источником полезности инвестора является только конечный капитал, получаем оптимальную инвестиционную стратегию в виде

о

Ь(Т-1), (11)

где ¿(г) = ~(1 - ект). Как следует из выражения (11), оптимальная инвестици-к

онная политика может быть представлена в виде двух компонент. Первая представляет собой спекулятивный портфель (соответствующую игнорированию инвестором изменений параметров фондового рынка), а вторая - спрос на хеджирование, который показывает, как инвестор должен оптимально хеджировать против изменений параметров фондового рынка. Из (11) нетрудно видеть, что

позиция по хеджированию использует только облигации. При снижении коэффициента относительной склонности инвестора к риску оптимальное инвестирование в спекулятивный портфель падает, а в хедж-облигацию - растет. Можно записать доли капитала, инвестируемые в акцию и облигацию, в следующем виде

П, (И', /-,/) =

Л,

уст

П„ (И',/',( ) =:

У°ц(Г,0

Я,-

р

г Л,

1-1

агЬ(Г-0

(12)

(13)

•■Ф~р2 К' у) <ти<г,0

Если облигация в портфеле представляет собой облигацию, имеющую нулевой купон, со сроком погашения в конце горизонта инвестирования инвестора, т.е. в момент Г, то ан (г,1)- <тгЬ(Г -/), и в этом случае хеджирующая часть портфеля заключается во вложении части капитала 1 ••• 1// в облигацию, имеющую нулевой купон. Это естественный выбор инструмента хеджирования, поскольку указанная облигация является действительно безрисковым активом для инвестора, заинтересованного только в капитале в момент Т. Инвестор, нейтрально относящийся к риску, не хеджирует изменения параметров фондового рынка. Хеджирующая позиция инвестора с большим коэффициентом относительной склонности к риску {у < 1) отрицательна, а более осторожные инвесторы (у > 1) занимают длинные позиции по облигациям. Инвестор с у —> оо вкладывает все свои средства в облигацию, имеющую нулевой купон, со сроком погашения в момент Т. Заметим, что если в качестве облигации используется облигация, имеющая нулевой купон, со сроком погашения Т, из (11) следует, что можно представить рисковую часть оптимальной инвестиционной стратегии в виде

У {у

Полная стратегия инвестирования может быть представлена в форме 7 т

П0 4

/П1.Л

п'" 11 и

п'п

У

1

л

(14)

Согласно (14), стратегия инвестирования является простой комбинацией портфеля инвестора, имеющего логарифмическую полезность, и облигации (имеющей нулевой купон и срок погашения на горизонте инвестирования). При снижении коэффициента относительной склонности инвестора к риску позиция, занимаемая по акциям, сокращается, в то время как позиция по облигациям растет'. Следовательно, отношение капиталов, вложенных в облигацию и акцию, повышается при снижении относительной склонности Инвестора к риску.

В диссертации доказано, что если инвестор получает полезность только из текущего потребления, то можно интерпретировать хеджирование стохастической процентной ставки в момент t как инвестирование доли капитала 1 - 1 ¡у в облигацию с непрерывным купоном

K(s)= ехр[я(т - 0+ A(s - О- — (у - 0+ - ¡У], (15)

Y Y

где я(-) и А{ ) - известные функции. Заметим, что для инвестора, извлекающего полезность из текущего потребления в течение всего периода [/, Т], облигация, имеющая нулевой купон, со сроком погашения не является безрисковым активом (в отличие от рассмотренного ранее случая, когда источником полезности инвестора является только конечный капитал). Поскольку инвестор заинтересован в платежах в любые моменты времени из промежутка [t, Т], он хеджирует риск, связанный со стохастическим изменением процентной ставки, путем инвестирования в комбинацию всех облигаций с нулевыми купонами со сроками погашения в промежутке [/, Т], т.е. в облигацию с непрерывным купоном (15).

- В диссертации рассмотрены численные примеры, иллюстрирующие построенную модель, в которых использованы многолетние статистические данные об инвестиционных возможностях (средних доходностях, средних квадра-тических отклонениях и корреляциях между доходностями) фондового рынка США.

В третьей главе «Оптимальный портфель при реологической функции полезности» моделируется оптимальная стратегия инвестирование-потребление с учетом характерного для инвестора потребления (реологической функции полезности) в условиях случайного изменения доходности рискованных активов и динамики параметров фондового рынка.

Рассматриваем фондовый рынок с одним безрисковым финансовым инструментом, характеризующемся ставкой доходности ги п рисковыми активами, цены которых обозначаем вектором Pt. Динамику цен рискованных активов описываем стохастическими дифференциальными уравнениями (4).

Агент фондового рынка на фиксированном временном горизонте Т имеет полезность с — (с,), определяемую таким образом:

U(c)= Е

~т

\eau{c,.h,)dt

, где ht - уровень характерного для инвестора по-

I

требления И, = И0е"' + а \е /л' У)с(£&. Здесь И0, а и Р - неотрицательные кон-

0

станты. Параметр а интерпретируется как фактор масштаба, а р - характеризует инертность потребления. Инвестор максимизирует полезность и (с), соответствующим образом выбирая неотрицательный процесс потребления с = {с,) и инвестирования л = (я, ). При данной стратегии си к имеем

сііу, = [IV, (г, + л-,' аг,Л,)с, + IV, я] а, сії,. (16)

Динамика процессов г и Л может быть и немарковской.

Неявная полезность Jl определяется как наивысший уровень полезности, который достигается на горизонте инвестирования

"у

./, = йир Е,

<с,лМ</>

je %(су,И,Ук

(17)

где /1(0 обозначает множество допустимых стратегий потребления и инвестирования в период [/,7].

Поставленную немарковскую задачу решаем, используя процессы/• -- (!']) И (/•: ((-',):

G, = Е.

г ~(i-l)

{а Г

( у V""

у

4

I)

(1 + aFs) r ds

(1В)

F

I , Lj .

< Ss

= |ехр[-(/?- «X.i-OKW.v, (!9)

I о о ¿о I

где - цена в момент I облигации, а - дефлятор цены состояния. В диссертации доказано, что оптимальный процесс потребления с = (с') определяется соотношением

* I * „ 7- W Fl

с, =h, +.(1 + «/-,) '

О,

(20)

а стратегия инвестирования в оптимуме есть вектор

■г,

I V - А, F, 1

W. -к F.

h'.F

- (а/)-' л, + (о-/) + ^(о-;) v,;. (21)

Ж, у W W,

Здесь Ж' = (IV, ) есть капитал, индуцированный оптимальными стратегиями, а h ~{h,) - процесс, определяющий характерный для инвестора уронена потребления, индуцированный .оптимальной стратегией потребления.

Оптимальные потребительские стратегии (20) соответствуют потреблению на текущем минимальном уровне и «свободной» части капитала, которая зависит ог I и параметров рынка, т.е. капитала сверх издержек обеспечения в будущем потребления на минимальном уровне.

Проанализированы наилучшие решения инвестирование-потребление в случаях у - I и у -> со. В первом случаен получаем логарифмическую полезность In (с-А). Поэтому оптимальная стратегия инвестирования принимает вид

w> . ,, .„ w. , ,,

Следовательно, в этом случае инвестор обеспечивает будущее потребление на минимальном уровне, но не хеджирует ни изменения инвестиционной среды рынка, ни против изменения будущих затрат на обеспечение потребления на минимальном уровне. В другом предельном случае / —> оо оптимальная стратегия инвестирования определяется соотношением

' W' ' ' ' JP* к ' ' '•'

т.е. инвестор, вообще не склонный к риску, не занимает спекулятивную позицию. Оптимальные потребительские стратегии определяются следующим обра. ■.. w;~h]Ft

зом с. = h. -f- ----.

G,

В качестве примера рассмотрено инвестирование в актив, имеющий доходность 4% и рискованный актив с волатильностыо 20%, имеющий доходность 6% (табл. 1) при /-=0,03; сг =0,2; Л =0,3; р =2; ¿'=0,02; W =100; h= 4. На рис. 1 показаны оптимальные стратегии как функции у и инвестиционного горизонта Т для двух видов функции полезности (степенная и реологическая). При обеих функциях полезности оптимальная часть средств, инвестируемых в рискованный актив, снижается по гиперболическому закону с ростом относительной нетерпимости инвестора к риску (рис.1,а). Из рис. 1,6 видно, что хотя MPC для реологической функции полезности меньше при всех у, эти трейдеры имеют более высокий уровень потребления при очень малых и очень больших у. Согласно рис. 1,в, оптимальная доля вложения капитала в рискованный актив инвесторами с реологической функцией полезности убывает с ростом горизонта инвестирования. Наконец, согласно рис. 1,г, что отношение оптимального уровня потребления агентов при реологической и стандартной функции полезности зависит от величины их горизонта инвестирования.

Далее в диссертации установлены некоторые важные свойства оптимальных стратегий для конкретной динамики параметров фондового рынка. Рассмотрен интересный с точки зрения практических приложений случай, когда рыночная цена риска Л, (риск-премия по активам, имеющим ожидаемую избыточную доходность) описывается случайным процессом Орнштейна - Уленбе-ка. Предполагаем, что рынок акций представлен единственным рисковым активом, цена которого описывается стохастическим процессом

clP, =/>[(/• + aX,)dt + odz, ], в котором волатилыюсть а цены актива предполагается положительной константой, г - безрисковая процентная ставка. Установлены основные свойства оптимальных стратегий: (1) спрос на хеджирование на акции положителен, (2) среднее и предельное отношение потребление/капитал увеличивается с

Таблица I. Оптимальные портфельные стратегии с учетом характерного для инвестора потребления

Р L по 0(0 Л МРС С

стандартная степенная функция 18,3 75,0% 5,47% 5,47

полезности

0,1 0,2 7,54 23,3 52.4% 3,24% 6,26

0.1 0.3 4.34 21,6 62,0% 3,87% 7,20

0.2 0,3 I 7,54 27,4 52,4% 2,31% 5,61

0,1 0,4 3,03 20,7 65,9% 4,23% 7,72

0,2 0,4 4,34 24,4 62,0% 3,00% 6,48

о.з 0,4 7,54 30,9 52,4% 1,79% 5,25

0,1 0,5 2,33 20.2 68,0% 4,46% 8,04

0,2 0,5 3,03 22,9 ^ 65,9% ~1 3,45% 7,03

0,3 0,5 4,34 27,0 62,0% 2,44% 6,02

0,4 0,5 7,54 34,1 52,4% 1,47% 5,02

Источник: авторские расчеты

ростом риск-премии, (3) оптимальная часть свободного капитала, инвестиро-/т(С

ванного в акции я =----, увеличивается с ростом горизонта инвестирова-

IV - hF

ния. Заметим, что первые два свойства оптимальных стратегий потребления и инвестирования справедливы для инвестора со степенными сепарабельными по времени функциями полезности (при такой полезности оптимальный уровень потребления пропорционален уровню капитала, так что в этом случае нет различия между средним и предельным отношениями потребление/капитал). Поскольку при степенной сепарабельной по времени функции полезности нет различия между свободным капиталом и полным капиталом, в этом случае оптимальная часть полного капитала, инвестируемого в акции, растет с ростом горизонта инвестирования, что соответствует практическим рекомендациям финансовых аналитиков. С учетом зависимости функции полезности от уровня характерного для инвестора потребления зависимость части капитала, размещаемого в акции, от горизонта инвестирования становится более тонкой. Функция F(t) возрастает с ростом горизонта инвестирования Т, поскольку затраты на финансирование потребления на характерном для инвестора уровне в течение более длительного периода больше. Поэтому при фиксированных h и W свободный капитал составляет меньшую часть капитала для больших инвестиционных горизонтов и, следовательно, доля полного капитала, инвестируемого в акции, л - л0 - hFjW), может уменьшаться с ростом горизонта инвестирования. Эволюция оптимального веса акций в портфеле инвестора на временах порядка жизненного горизонта инвестирования еще более сложна, поскольку h и W в этом случае не являются постоянными. Большинство агентов имеют тенденцию потреблять меньше и накапливать капитал в начале своей

J__L.

MI'C, %

8 6 4 2 0

0

10

(a) инвестиции в акции как функция кочффи-циента относительного нетерпимости к риску

12 У

(б) норма потребления и MPC как функции коэффициента относительного нетерпимости к риску

7 , голы

, (в) инвестиции в акции как функция горизон- (г) уровень потребления и МРС как функции та инвестирования горизонта инвестирования

Рис. 1. Оптимальные стратегии с учетом характерного для инвестора потребления при постоянных параметрах инвестиционной среды. Жирные (тонкие) кривые соответствуют функции полезности с учетом характерного для инвестора потребления. Параметры рынка г =0,03; а - 0,2; Л =0,3. Параметры инвестора 5=0,02; И', =100; а =0,3; /?=0,4; й=4. На рис. 5.1 (а) и (б) Г =30', на рис. 5.1 (в) и (г) у=2 (авторские расчеты)

самостоятельной жизни, а далее постепенно увеличивают потребление (и уровень характерного для инвестора потребления) и сокращают капитал к концу жизни. При таком сценарии вероятно, что доля капитала, инвестируемого в акции, будет возрастать в начале деятельности агента на финансовом рынке. С сокращением жизненного горизонта инвестирования доля капитала, инвестируемого в акции, будет иметь тенденцию к уменьшению благодаря влиянию процесса релаксации для риск-премии на л и увеличению отношения hF/W. Однако конкретная динамика /г со временем будет зависеть от эволюции цен акций.

В диссертации исследовано, как функция полезности с характерным для инвестора уровнем потребления влияет на оптимальное вложение капитала в облигации и акции в предположении, что процентные ставки определяются моделью Ингерсолла-Кокса-Росса.

В четвертой главе «Оптимальные стратегии ннвестированис-потрсбленис с учетом инфляции при нсмарковской динамике ставок процента» исследуются оптимальные стратегии инвестирование-потребление с учетом случайной динамики цены рискованных активов, стохастических параметров фондового рынка и неопределенности инфляции. Для динамики номинальных цен потребительских товаров П( записываем следующее стохастическое уравнение

dП, =П,(/г ,dl+ a'n,dzl), где оТТ,/П, - величина реализуемого уровня инфляции, ж, - уровень ожидаемой инфляции, а ¡сгГ1(| - неопределенность инфляционного процесса (индекс Т означает транспонирование). Агенты фондового рынка имеют возможность инвестировать в /; +1 фондовых и инструментов. Для номинальной цены безрискового актива At записываем уравнение dA, = RtAtdt, где R - непрерывно начисляемая краткосрочная ставка процента. Заметим, что этот финансовый инструмент является реально рискованным, поскольку реальная цена AjП, содержит диффузионную составляющую. Еще п фондовых титулов представляют собой рискованные инструменты, цены которых определяются столбцом Р, - , для которого записываем следующее стохастическое диффе-

ренциальное уравнение

dP, = diag(P,)[(R,I + о>Д )dt + andz, ], где <Jr, - случайный процесс, описывающий волатильноегь цены актива и корреляционно-ковариационные матрицы рынка, A, - aP](ji, - R,!) - случайный процесс, описывающий номинальные риск-премии.

Так как в построенной модели учитывается риск инфляции, задача агента определить реальный процесс потребления с = (с, ) и реальный конечный капитал и1. При данных сих реальный капитал инвестора w''"' ~Wf1'*¡11, эволюционирует следующим образом

dw*-" = К1 {г, + (Л-/ah - а71Ь )Л,) - с, }dt + (х/ о>, - а/„ )dz,.

При реальных выражениях потребления и капитала задача инвестора состоит в том. чтобы оптимизировать ожидаемую полезность

sup Г

\Ui{ci,s)ds+U1{w)

U.(c,t)

fít с

= ¿M" ' ......

.1 У

/II

„I-г

у > 0.

(23)

I / . 1-у

Функции полезности (23) для у - 1 можно интерпретировать в качестве предельного случая логарифмической функции полезности. Положительные постоянные £, и ег описывают различный вес текущего потребления и накопленного капитала.

В диссертации доказано, что оптимальные стратегии потребления и оптимальная стратегия инвестирования трейдера, имеющего постоянное относительное неприятие риска определяется следующим образом

Ъ Q,

Г

1д 1-1 ю-,

У

(24)

Оптимальная стратегия потребление-инвестирование выражаются через случайный процесс <2 = (2,):

Q,

Г -£{.-,)

-El\e '

-(T"i)

q',ds+e¡er q¡, q'= Е,

т.

где дефлятор /и, определяется процессом

• = exp-í- fr^íft - f A^íé:, - - l.

loo 2 о

Как видно из (24), оптимальные инвестиционные решения включают три составляющие. Первый член --(о-/,,)'Ч, - спекулятивный портфель, т.е. вложе-

У " .:•

ние капитала в активы инвестором, игнорирующим изменений параметров фондового рынка. Спекулятивный портфель в значительной степени определяется случайной ожидаемой доходностью Л,. Если ожидаемые сверхдоходности отрицательно коррелированны с ценами активов, спекулятивные стратегии состоят в уменьшении позиции по активам после увеличения их цены и росте позиции при снижении цен активов. Еще два члена в (24) показывают оптимальное хеджирование изменений параметров фондового рынка, включающие изменение темпа инфляции и изменение параметров фондового рынка (краткосрочной ставки процента и риск-премии). Отметим, что портфель (24) дает возможность установить, какие рисковые процессы должен хеджировать инвестор. Конкретно, кроме риска инфляции, инвестор должен хеджироват ь те изменения инвестиционных условий, которые оказывают влияние на ядро ценообразования, т.е. в случае полных фондовых рынков нужно хеджировать против изме-

нений ставки процента и риск-премий. Компонента^/,) 1 (Т(),, описывающая

хедж-стратегию, зависит от волатильности отношения капитал/потребление инвестора.

Из решения (24) следует, что оптимальный уровень потребления зависит от I и параметров фондового рынка. Для постоянной ставки процента /", и постоянной реальной риск-премии а, получаем

1 ( і і і" \

<2, = 7 < +

4 V /

г+ ' Я7 Я

У V У А 2г

Рассмотрены две важные частные ситуации: инвестора, нейтрально относящегося к риску, у = 1, и инвестора с бесконечной нетерпимостью к риску (определяемого как предельный случай стратегий (24) при у -->со ). Для инвестора, нейтрально относящегося к риску, имеем = (¿', +(/?£-, - ¿•1)с /'</"'>)

и ст „ = 0, т.е. такой трейдер не хеджирует ни изменений параметров фондового рынка, ни инфляционный риск, а его оптимальный уровень потребления является нестационарной, но детерминированной долей капитала. Трейдер, имеющий бесконечный коэффициент нетерпимости к риску, вообще не имеет спекулятивный спрос на рискованные ценные бумаги (первый член в (24) исчезает при у ->оо). Если источником полезности инвестора являются как конечный капитал, так и текущее потребление, процесс записывается в форме-

1

Следовательно, хедж-портфель включает рентную облигацию, имеющую непрерывный купон и единовременную выплату. Если источником полезности инвестора является только конечный капитал, т.е. = 0, хедж-портфель представляет собой реальные облигации, имеющие нулевой купон, со сроком погашения на горизонте инвестирования.

В диссертации определены оптимальные стратегии, хеджирующие про стохастические процентные ставки облигациями в реальном выражении. Доказано, что ставка процента в реальном выражении г, описывается гиуссовским процессом, и процесс риск-премий Я, детерминирован, то стратегия оптимального инвестирования определяется выражением

ІП сіз + Е, щ

_л_

т.

и

+11 -—

(Р'н, +<7п/>

V У,

где ан, ^о",,, - волатилыюсть номинальных цен реальных облигаций, выплачивающих непрерывные реальные купоны в соответствии с соотношением

к<?)=Ей'[сл) = (В[Г,%гс> exp

а

-Vo . у

<7,\ 0<t<s <Т,

и характеризующихся конечными выплатами при Т размера

k(T) = hf[w].] = (Blr

Q,

ехр

1. Г

СТ-1)

я,

В диссертации построены хеджирующие стратегии против случайного изменения параметров фондового рынка при отсутствии реальных облигаций. В частности, показано, что концептуально аналогичный ранее рассмотренному хеджирующий портфель может быть построен с использованием номинальных купонных облигаций, соответствующих ожидаемому номинальному потреблению относительно форвардной мартингальной меры.

Традиционный подход к моделированию инвестиций на финансовом рынке предполагает, что все активы могут продаваться в любой момент времени. В работе найдены оптимальные стратегии инвестирование-потребление в модели с непрерывным временем с учетом наличия у агента неликвидного актива (неликвидный актив определяется как актив, продажа которого на финансовом рынке невозможна - например, человеческий капитал, трудовой доход инвестора вне фондового рынка, некоторые виды собственности; неликвидные активы, однако, как правило, приносят ликвидные дивиденды). Когда проблема вложения активов решается без учета существования неликвидных активов, получаемое решение является субоптимальным. Инвестор имеет возможность вкладывать средства в банковский счет, единственную облигацию и п акций.

Введем вектор Р, =(Вп:У,/ цен п +1 рискованных активов. В результате для динамики Р, получаем dP, = diagij])[(/-,/„., + £(r,,t)X)dl + £(/*,,t)dz,], где z = (z,,z4.)7, есть (/7 + l)x(/j + l) матрица

tr„{r„t) 0

diag(ps )pK diag(crs)K/

X'=(Xr,Xs)', где Xs - «-мерный вектор Xs = К A[diag{as)У -pSHX,]. Инвестор получает непрерывный поток трудового дохода с интенсивностью у( в течение времени t е [О, Т], так что его доход за малый период [tj I dt] составляет y,dl, а у, эволюционирует следующим образом

<*У, = У, (40) - )di + <7,(o{pV~, + д/i - \ру,\

где zy, - одномерный стандартный броуновский случайный процесс, независимое от zr и zs, руР = {pyH,pyS)', где руН = ~руг есть мгновенная корреляция между у, и ценой облигации, pyS = К''(pyS -pSBpyH)r где pyS есть вектор

коэффициентов корреляции между у, и ценами акций. При

||р,у.| = 1 доход у,

чувствителен только к рискам, представленным и может рассматриваться как финансовый актив. Инвестор выбирает стратегию потребления с = (с,) и инвестиционную стратегию 0 = (0,). Уравнение Беллмана относительно с и О дает опт имальное пот ребление

и\с,) = ./„. (IV, ,гпу„1)=> с, = ГУ,,, (IV,, /;, у,, 0] и оптимальную инвестиционную стратегию

•'и'Ш ^ №Н' ту &н(г,,1)

где е, = (1,0,,)'. Первая составляющая оптимального портфеля (25) соответствует стандартному портфелю САРМ, основанному на анализе соотношения математическое ожидание - дисперсия доходностей рискованных активов и игнорирующему стохастические изменений параметров фондового рынка. Вторая часть представляет собой спрос инвестора на хеджирование против изменений доходности активов инвестора вне фондового рынка, а третья составляющая оптимального портфеля описывает хеджирование против изменений краткосрочной ставки процента. С'нрос на хеджирование против изменений доходности активов вне фондового рынка отражает позицию портфеля инвестора с относительными весами, определяемыми соотношением

(Е(гпОГУ'Р.,/-

С(Е(г„0 гУ:р.,/

Это портфель с максимальной абсолютной корреляцией с доходностью активов инвестора вне фондового рынка. Эта максимальная корреляция равна ¡Ре/'!' так чт0 ес-"и лоход активов вне фондового рынка полностью хеджируется финансовыми инструментами фондового рынка, коэффициент корреляции равен единице. Поскольку цена облигации идеально отрицательно коррелированна с краткосрочной процентной ставкой, риск, связанный с последней, полностью хеджируется только позицией по облигации. Напротив, составляющая портфеля, соответствующая хеджированию изменений доходности активов инвестора вне фондового рынка, и «близорукая» компонента спроса инвестора (первое слагаемое в выражении (25)) в общем случае включают все рискованные активы.

Детальный анализ показывает, что оптимальное вложение капитала в облигации включает спекулятивную составляющую и три хеджирующие составляющие, первая из которых представляет собой защиту от изменения параметров рынка, генерируемых стохастически меняющимися процентными ставками. Эта хеджирующая позиция положительна для консервативного инвестора (у > I) и отрицателен для агрессивного инвестора (0 < у < I). Вторая хеджирующая составляющая описывает вклад облигаций в хеджирование текущих флуктуаций дохода трейдера вне фондового рынка. Знак этой составляющей зависит от коэффициентов парной корреляции между доходностями по облига-

циям, акциям и по неликвидным активам. Например, если в портфель входит только одна акция, имеем

ва> = _и ^ <')/> ~ Рун Рхп

7* 1-Рхй

Если коэффициент корреляции руН = -руготрицателен, инвестирование в облигацию возрастает, и облигация является эффективным хеджирующим инструментом против флуктуации доходов вне фондового рынка. Третья хеджирующая составляющая связана с чувствительностью процентной ставки к капитализируемому доходу от неликвидных активов. При < 1 эта составляющая отрицательна, что означает сокращение спроса на облигации. Если < 1, капитализируемый доход от неликвидных активов убывает с ростом процентной ставки, как и доход по облигации, так что капитализируемый доход от неликвидных активов может частично заменить инвестирование в облигацию.

Присутствие дохода вне фондового рынка увеличивает оптимальное инвестирование в акции (и длинные, и короткие позиции). Спрос на хеджирование зависит от корреляционной структуры. Например, если инвестирование осуществляется в единственную акцию, доходность по которой не коррелированна с доходностью облигации, хеджирующая позиция положительна (отрицательна), если коэффициент корреляции между доходностями по акции и вне фондового рынка отрицателен (положителен).

Перепишем спрос на акции следующим образом

0» - ~W[diagcrs] * + »{diaga^ К

-Av -ст (i)pv.v

у

(26)

¡ny,r,0=ylh(t,s)(B>(r,t))l{-ds

(функция h{t,s) определена в диссертации). Суммарное влияние доходов вне фондового рынка на спрос на акции зависит от знака компонент векгора К ' Py.s ■ Поскольку // возрастает по Т, этот знак также определяет, как оптимальный спрос на акции зависит от горизонта инвестирования. Для акций, характеризующихся положительным спросом, популярный совет финансовых аналитиков сокращать долю капитала, размещаемого в акции, с сокращением горизонта инвестирования (так что 0st возрастает по Т) верен только для безрискового дохода вне фондового рынка, однако при наличии неопределенности дохода от неликвидных активов правильность этого совета существенно зависит от степени нетерпимости к риску инвестором, риск-премии и коэффициентов корреляции. При 4, < 1 доходность активов вне фондового рынка убывает с ростом процентной ставки, и поэтому оптимальное инвестирование в акции будет убывать (возрастать) по г, если второе слагаемое в (26) положительно (отрицательно). Интуитивно ясно, что более высокие процентные ставки снижают текущее значение будущего дохода вне фондового рынка и, следовательно, настоящий совокупный капитал, что приводит к сокращению спроса на

акции. При отсутствии доходов вне фондового рынка оптимальное инвестирование в акции не зависит от уровня процентных ставок. Более высокий уровень нетерпимости к риску инвестора оказывает понижающее воздействие на спрос на акции как при наличии дохода вне фондового рынка, так и при его отсутствии.

Итак, относительное вложение капитала в облигации и акции может испытывать существенное влияние присутствия дохода вне фондового рынка по ряду причин. Во-первых, облигации и акции могут быть по-разному коррелированны с доходом вне фондового рынка, в силу чего облигации или акции в зависимости от конкретных условий могут оказаться лучшим инструментом хеджирования связанного с доходом вне фондового рынка риска. Во-вторых, инвесторы, характеризующиеся неприятием риска, имеют положительный спрос на хеджирование полного капитала-против изменений параметров фондового рынка. В-третьих, поскольку капитал, связанный с существованием доходов инвестора вне фондового рынка, определяется как дисконтированная стоимость будущих доходов вне фондового рынка, он в общем случае чувствителен к уровню и волатилыюсти краткосрочной ставки процента (подобно облигации) и, следовательно, фактически представляет собой неявное инвестирование в облигацию. Кроме того, уровень доходов вне фондового рынка может быть сам по себе чувствителен к изменению уровня процентных ставок (например, заработная плата быстрее растет в периоды экономического подъема, чем в периоды рецессии).

В мятой главе «Модели и оптимизация портфельных решений с учетом отклонении распределений доходности рискованных активов от нормального» получено приближенное аналитическое выражение, определяющее портфель агента фондового рынка как функцию математического ожидания, дисперсии, асимметрии и эксцесса распределения сверхдоходности рискованных активов и исследовано воздействие скачкообразного изменения цен активов на оптимальные портфельные решения. Предполагаем, что инвестор максимизирует свою ожидаемую полезность в следующем периоде тах ¿'/«(И7, ,,),

инвестируя средства в безрискованный актив (банковский счет) и один рискованный актив, так что для капитала инвестора можно записать следующее уравнение [У)й = 1У1\01(111 м| Здесь Ж, и начальный и ко-

нечный капитал инвестора, 11ил - доходность рискового актива, Кг- доходность безрискованного актива, 0Г - вес рискованного актива в портфеле инвестора. Запишем условие первого порядка, которому должно удовлетворять оптимальное решение

к,)]--<>. : (27)

Решение этой статической (однопериодической) задачи определяет спекулятивную составляющую спроса инвестора на рискованный актив, соответствующий игнорированию инвестором изменений параметров фондового рынка. Разложим предельную функцию полезности инвестора ) в ряд Тейлора в

окрестности ожидаемого капитала в следующем периоде Е, Подстав-

ляя полученное разложение в условие (27), получаем уравнение

О = um{E,{WM})x, х

, (28)

х (mv + тг,х,) + - м<4> (Е, [W„,\)W?e] (m4l + ) + ), о

где xt = E,R[nl -Rf - ожидаемая сверхдоходность, тп1 - п-ый центральный момент распределения доходности рискованного актива /?|(+|, а и{"\-) - и- ая производная функции полезности.

Заметим, что традиционные результаты портфельной теории, основанные на анализе соотношения матожидание-дисперсия распределения, следует из уравнения (28) в первом приближении:

д.. «m(E,[WM])X, X, (

' um(EXW^])W,m2, ут2,'

где у = -u(2)íV / м(|) - коэффициент относительного нетерпимости к риску. Дальнейший анализ показывает, что:

1) оптимальный вес рискованного актива в портфеле растет, если асимметрия распределения доходности положительна и снижается, если эксцесс распределения положителен;

2) воздействие отклонения распределений доходности рискованных активов от нормального распределения увеличивается при снижении относительной склонности инвестора к риску;

3) влияние асимметрии на оптимальный вес рискованного актива в портфеле увеличивается с ростом среднего квадратического отклонения, а влияние эксцесса усиливается с ростом дисперсии.

Далее в диссертации изучен вопрос о влиянии высокоамплитудных колебаний цены активов на оптимальные портфельные решения. Инвестор максимизирует свой конечный капитал на временном горизонте г = Т-í, инвестируя средства в безрискованный актив с постоянной непрерывно начисляемой ставкой г и один рискованный актив (который может представлять индекс акций), динамика цены которого Pt описывается следующим образом dP

—^ = (ji, - AS)dt + a,dz, + {ек -1 )dV(Á) (30)

' i

где z, - стандартный броуновский случайный процесс, ¡л, - тенденция, <т, - во-латильность цены актива, a dV(l) определяет случайный процесс Пуассона с интенсивностью скачкообразных изменений Я (вероятность появления одного скачка за малый промежуток времени dt равна Pr(dV )=Adt). Вероятность осуществления п скачкообразных изменений на горизонте инвестирования г

(Лт)"

определяется вероятностью Пуассона Рг„(г)--е Яг -—'—. Член S = Е(ек -1)

п\

( Е - оператор математического ожидания) описывает средний вклад скачкообразных изменений в цепу актива в расчете на один скачок, а # - нормально

распределенная случайная величина с N(/¿ ,17*).

Риск-премия по активу с ожидаемой избыточной доходностью у, — (//, - /Я - К/)/ст, описывается случайным процессом Орнштейиа - Улен-бека с релаксацией к своему долгосрочному значению

с/у, -- V, - 17)с/1 + аускуп где о-,, - волатпльность риск-премии, - стандартный броуновский случайный процесс, коррелированный с процессом 1, Е[скпс1ги] = рс)1, р - коэффициент корреляции. Динамика капитала инвестора УУ, эволюционирует следующим образом

сПУ, = Мг1У,сЛ + 0,И',\а,у,Л + а,(¡г, + (еК - 1 )</К(Д)], где 0, - доля капитала, размещаемого в рискованный актив. Неявная функция полезности инвестора, соответствующая максимизации его конечного капитала на горизонте инвестирования г = Т - /, имеет вид ..■-.■••

л\л)--т-лхЕ1\еН1'и{\\Г1)\. ' (31)

Анализ уравнения Всллмана, соответствующего задаче максимизации (31), приводит к следующему выражению для оптимальной инвестиционной стратегии

О (/Р.к,/) =

! ) л

V ^т' 1

о,

( I \

J

1 IV

V ''II к'г I )

аур -\)]

-----I---------^-------_

а, - .)ту\У,ст;

Оптимальное решение (32) представляет собой суммы трех компонентов. Первый член представляет собой спекулятивный портфель, второй член показывает, как инвестор должен оптимально хеджировать изменений параметров фондового рынка. Последняя часть портфеля индуцирована случайным процессом Пуассона к динамике изменения цены актива.

В диссертации доказано, что для умеренной нетерпимости инвесторов к риску (у > 1 (хеджирующая позиция положительна и возрастает с ростом горизонта инвестирования г тогда и только тогда, когда риск-премия отрицательно коррелированна с процессом, определяющим доходность рискованного актива. По существу, отрицательная корреляция между рисковой премией и доходностью обеспечивает страховой механизм для инвестора, который поэтому рассматривает рискованный актив как «менее» рискованный и решает инвестировать в него больше. Если корреляция положительна, наблюдается противоположная ситуация. Установлено, что для не принимающих риск инвесторов {у > 0) вероятность скачка цены рискованного актива, независимо от направления скачка, сокращает спекулятивную составляющую спроса инвестора (короткую или длинную позицию) на этот актив. Этот эффект усиливается с ростом нетерпимости к риску инвестора.

Рис. 2. Зависимость оптимального веса вложения капитача в рискованный актив от амплитуды скачкообразных изменений цены актива: 1 - полный спрос па рискованный актив; 2 - «близорукий» спрос; 3 - спрос на хеджирование; г = 10 лег; оу= 0; / = 4; =5%; р = -0,8; к =0,05; сг,/0,05; а=0,15; Я =0,5 (авторские расчеты)

Рис. 3. Зависимость оптимального веса вложения капитала в рискованный актив от волатильности скачкообразных изменений цены актива: 1 -- полный спрос; 2 -- «близорукий» спрос; 3 - спрос на хеджирование; г=10 лет; // =-0,05;

у = 4; =5%; р = ~0,8; к =0,05; сг=0,15; Л =0,5 (авторские расчеты)

Для демонстрации влияния скачкообразных изменений цены актива на «близорукую» позицию и на хеджирующую позицию был проведен численный анализ соотношения (32). Па рис. 2 показано влияние на портфельное решение средней амплитуды скачкообразных изменений при нулевой волатилыюсти скачкообразных изменений а . При отрицательных коэффициентах корреляциях между доходностью рискованного актива и рисковой премией (р = -0,8) спрос на хеджирование в отсутствие скачкообразных изменений =0) положителен! С ростом средней амплитуды скачка в положительном направлении спрос па хеджирование убывает. Изменение спроса на хеджирование оказывает также неявное влияние на «близорукий» спрос. При уменьшении // оптимальный вес рискованного актива О увеличивается за счет спроса на хеджирование, величина

Я, = £Д1 + 0(у,1, т)(ек -1)] "'(е* -1) поэтому уменьшается и отрицательная разность 5, -5 увеличивается по абсолютной величине, что приводит к снижению спекулятивного спроса. С увеличением средней амплитуды скачкообразных изменений цены актива в отрицательном направлении «близорукий» спрос резко снижается. При увеличении средней амплитуды скачкообразных изменений в положительном направлении «близорукий» спрос возрастает. Итак, по мере роста средней амплитуды скачка в положительном или отрицательном направлении «близорукая» и хеджирующая позиции становятся очень большими, однако имеют противоположные знаки. Это приводит к тому, что с ростом средней амплитуды скачка (отрицательной или положительной) оптимальный вес рискованного актива в портфеле инвестора сокращается. Так, в отсутствие скачкообразных изменений (р =0) оптимальный вес рискованного актива составляет 0 = 130,2 % (инвестор использует заемные средства для инвестирования в рискованный актив). Однако когда средняя амплитуда скачка достигает ц = 1, инвестор имеет только очень маленькую короткую позицию но рисковому активу: 0 =-2,7 %. При больших отрицательных амплитудах скачкообразных изменений (// =1) инвестор имеет длинную позицию, но также очень маленькую (0=-16,8 %.). Итак, в случае вероятности скачкообразных изменений цены рискованного актива оптимальная доля вложения капитала в рискованный актив резко сокращается.

На рис. 3 показано влияние волатилыюсти скачка <т на оптимальный вес

рискованного актива в портфеле. Спекулятивную составляющую спроса инвестора сокращается с ростом волатильности скачкообразных изменений. Кроме того, при наличии отрицательных корреляций между доходностью рискованного актива и рисковой премией увеличение волатильности скачкообразных изменений сокращает спрос на хеджирование. Поскольку рост волатильности скачкообразных изменений оказывает понижающее воздействие и на «близорукую», и на хеджирующую позиции, суммарный спрос на рискованный актив при этом снижается. Как показывает рис. 3, с ростом волатилыюсти скачкооб-

разных изменений от 0 до 50% полный спрос на рискованный актив снижается со 130% до 15%.

Таким образом, отклонения распределения доходности рискованных активов от нормального является источником риска и/или выгоды, которые не могут быть описаны в рамках традиционного анализа на основе расчета математического ожидания и дисперсии. Как "жирные" хвосты, так и отрицательная асимметрия, наблюдаемые на фондовых рынках, означают существование дополнительного риска для инвестора и поэтому сокращают спекулятивную составляющую спроса инвестора на рискованные активы. Оптимальный вес рискованного актива в портфеле инвестора резко снижается, когда наблюдается-(1) высокая вероятность возникновения скачкообразных изменений цены рискованного актива, (2) скачкообразные изменения цены рискованного актива в любом направлении, (3) большая неопределенность (волатильность) амплитуды скачкообразных изменений.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИОННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ

1. Монографии

1. Каранашев А.Х. Моделирование и оптимизация финансовых инвестиций. - М.: МИСОН, 2009. - 6,5 пл.

2. Каранашев А.Х. Портфельное инвестирование в стохастических условиях. - М.: МИСОН, 2010. - 10,7 пл.

2. Статьи в периодических изданиях, рекомендованных ВАК для публикации основных результатов диссертации на соискание ученой степени доктора наук

3. Каранашев А.Х. Оптимизация инвестиционных решений на рынке ценных бумаг // Южный Федеральный Университет «TERRA F.CONOMICUS» 2011,-№3.-0,4 пл.

4. Каранашев А.Х. Моделирование портфельного и потребительского выбора инвестора, характеризующегося постоянной относительной терпимостью к риску // Управление экономическими системами: электронный научный журнал, 2011. - № 10 (31). - 0,5 п.л.

5. Каранашев А.Х. Моделирование портфельного и потребительского выбора инвестора, характеризующегося постоянной относительной терпимо-

етыо к риску // Управление экономическими системами: электронный научный журнал, 2011. - № 10 (31). - 0,5 пл.-.

6. Каранашев А.Х. Мартингалыюе решение задачи стохастического управления инвестированием и.потреблением // Вестник Адыгейского государственного университета, серия "Экономика", 201!. - Вып. 4(87) - 0,4 п.л.

7. Каранашев А.Х: Математическое моделирование и оптимизация портфельного инвестирования //Управление экономическими системами: электронный научный журнал, 20I I. - № 11 (32). - 0,5 п.л.

8. Каранашев А.Х. Прогнозирование Спроса на рисковые активы фондового рынка при наличии у инвестора неликвидного актива // Южный Федеральный Университет «TERRA ECONOMICUS», 2011. - № 4. - 0,4 п.л.

9. Каранашев А.Х. Моделирование и оптимизация хеджирования инвестиционных рисков // Управление экономическими системами: электронный научный журнал, 2011. - № 11 (32). - 0,4 п.л.

10. Каранашев А.Х. Оптимальная динамика фондовых инвестиций при полезности инвестора с памятью // Управление экономическими системами: электронный научный журнал, 2011. - № 12 (33). - 0,5 п.л.

11. Каранашев А.Х. Оптимизация инвестиционных стратегий на турбулентных фондовых рынках /7 Известия Кабардино-Балкарского государственного университета, 2.011. - Т. 1, № 4. - 0,4 п.л.

12. Каранашев А.Х. Моделирование оптимальных стратегий инвестирование-потребление при немарковской динамике процентных ставок // Управление экономическими системами: электронный научный журнал, 2011. - № 12 (33). -0,5 п.л.

13. Каранашев А.Х. Хеджирование долгосрочных финансовых инвестиций // Риск, 2011. - № 4. - 0,5 п.л.

14. Каранашев А.Х. Оптимальные портфельные решения, учитывающие скачкообразные изменения цены фондовых активов // Управление экономическими системами: электронный научный журнал, 2012. - № 1 (34). - 0,4 п.л.

15. Каранашев А.Х. Облигации как инструмент хеджирования случайных колебаний процентных ставок // Управление экономическими системами: электронный научный журнал, 2012. - № 1 (34). - 0,4 п.л.

3. Статьи в центральных научных изданиях и в сборниках Международных п Всероссийских конференций

16. Каранашев А.Х. Моделирование оптимальных инвестиций в рискованные активы // Материалы Всероссийской научно-практической конференции «Механизмы эффективного управления в рыночной экономике». - Кисловодск, 2004. - 0,3 п.л.

17. Каранашев А.Х. Анализ модели полного фондового рынка в непрерывном времени методом динамического программирования // Сборник научных трудов VI Всероссийского симпозиума «Математическое моделирование и

компьютерные технологии». Секция 2 «Математическое моделирование в экономике и других общественных науках». - Кисловодск, 2004. - 0,4 п.л.

18. Каранашев А.Х. Оптимизация стратегий, хеджирующих процентный риск, с использованием облигаций // Сборник научных трудов VII Международного симпозиума «Математическое моделирование и компьютерные технологии». -- Кисловодск, 2005. - 0,3 п.л.

19. Каранашев А.Х. Мартингальный метод решения задач определения оптимальной стратегии инвестирование-потребление // Современные научные исследования. Кисловодск: КИЭП, - 2005, № 2. - 0,5 п.л.

, 20. Каранашев А.Х. Влияние характерного для инвестора потребления на портфельный и потребительский выбор инвестора // Современные научные исследования. Кисловодск: КИЭП, - 2005, № 4. - 0,6 п.л.

21. Каранашев А.Х. Динамическое хеджирование ставок процента, определяемых немарковскими случайными процессами // Современные научные исследования. Кисловодск: КИЭП, - 2006, № 2. - 0,6 п.л.

22. Каранашев А.Х. Оптимальное управление инвестированием и потреблением с учетом инфляции // Материалы научно-практической конференции «Проблемы социально-экономического развития регионов». - Сочи: Академия повышения квалификации руководящих работников и специалистов курортного дела, спорта и туризма, 2007. - 0,5 пл.

23. Каранашев А.Х. Оптимизация инвестирования и потребления в сто-хастйческих условиях при реологической полезности трейдера II Современные научные исследования. Кисловодск: КИЭП, - 2007, № 1. - 0,7 п.л.

24. Каранашев А.Х. Оптимальные хедж-стратегии инфляционного риска в стохастических условиях // Сборник научных трудов Всероссийского симпозиума «Математические модели и информационные технологии в экономике». - Кисловодск, 2007. - Т. 2. - 0,4 п.л.

25. Каранашев А.Х. Моделирование и оптимизация портфельных решений с учетом отклонения распределений доходности рискованных активов от нормального распределения // Современные научные исследования. Кисловодск: КИЭП,- 2007, №2. - 0,5 п.л.

26. Каранашев А.Х. Моделирование фондового инвестирования в условиях неопределенности // Материалы научно-практической конференции «Проблемы социально-экономического развития регионов». - Сочи: Академия повышения квалификации руководящих работников и специалистов курортного лела, спорта и туризма, 2007. - 0,4 п.л.

27. Каранашев А.Х. . Экономико-математическая модель инвестирование-потребление, учитывающая стохастическую динамику инвестиционной среды. Свойства оптимальных стратегий // Тенденции, проблемы и перспективы развития социально-экономических систем: межвузовский сборник научных трудов. - М.: Международный институт системной организации науки, 2008. -Том 1. - 0,6 п.л.

28. Каранашев А.Х. Оптимальное инвестирование в акцию и опцион на акцию с учетом волатилыюсги их цен // Современные научные исследования. Кисловодск: КИЭП, - 2008, № 1. - 0,3 п.л.

29. Каранашев А.Х. Какие риски следует хеджировать на полном финансовом рынке? // Современные научные исследования. Кисловодск: КИЭП, -

2009, № 4. - 0,4 п.л.

30. Каранашев А.Х. Анализ оптимальной стратегии инвестирование-потребление и сравнение модели со статистическими данными // Материалы Всероссийской научной конференции «Актуальные проблемы социально-экономического развития» 16-18 апреля 2009. - Кисловодск: Издательский центр «КИЭП». - 2009. - 0,4 п.л.

31. Каранашев А.Х. Исследование оптимальной стратегии инвестирование-потребление дпя аффинных моделей краткосрочной ставки процента и риск-премии // Современные научные исследования. Кисловодск: КИЭП, -

2010, №2.-0,5 п.л.

32. Каранашев А.Х. Оптимальные стратегии инвестирование-потребление при многомерной переменной состояния // Материалы Всероссийской конференции «Формирование, развитие и прогнозирование социально-экономических систем: методы и способы управления». Кисловодск, 21-22 апреля 2011 г. - Кисловодск: КИЭП, 2011. - 0,3 п.л.

Отпечатано в типографии ООО «Магик», тираж 110 экз., заказ № 296, бумага офсетная, Ф. Л4, гарнитура «Times New Roman». Усл. пл. 2,0. Подписано в печать 20.02.2012. Ставропольский край, г. Кисловодск, ул. Азербайджанская, 17, тел. 8(87937) 7-18-77

Диссертация: содержание автор диссертационного исследования: доктора экономических наук, Каранашев, Анзор Хасанбиевич

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. МОДЕЛИРОВАНИЕ УПРАВЛЕНИЯ ФОНДОВЫМИ АКТИВАМИ.

1.1. Виды финансовых инструментов инвестирования капитала и их особенности.

1.2. Формирование портфеля финансовых инвестиций.

1.3. Оперативное управление портфелем финансовых инвестиций. Управление рисками финансового инвестирования капитала.

1.4. Функции полезности и измерение степени неприятия риска.

1.5. Анализ модели полного финансового рынка с непрерывным временем методами стохастического динамического программирования.

1.6 Мартингальный подход к задачам определения оптимальных стратегий инвестирования и потребления.

ГЛАВА 2. МОДЕЛИРОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО ВЛОЖЕНИЯ КАПИТАЛА В РИСКОВАННЫЕ АКТИВЫ ПРИ ПОСТОЯННЫХ ПАРАМЕТРАХ ИНВЕСТИЦИОННОЙ СРЕДЫ.

2.1. Моделирование оптимального размещения капитала в рисковые активы при постоянных инвестиционных возможностях.

2.2. Сравнение теоретических предсказаний построенной модели с эмпирическими данными.

2.3. Экономико-математическая модель инвестирования и потребления с учетом стохастической динамики инвестиционной среды. Свойства оптимальных стратегий.

2.4. Оптимальное решение задачи инвестирование-потребление при функции полезности инвестора с постоянным относительным неприятием риска.

2.5. Оптимальные стратегии инвестирования и потребления при многомерной переменной состояния.

2.6. Анализ оптимальных стратегий инвестирования и потребления для аффинных моделей краткосрочной процентной ставки и рисковой премии.

2.7. Стратегии оптимального хеджирования процентного риска облигациями с учетом реальной стохастической динамики краткосрочных процентных ставок.

2.8. Анализ оптимальных стратегий инвестирования и потребления и калибровка модели к статистическим данным.

2.9. Долгосрочное хеджирование инвестиционного риска, вызванного стохастическими процентными ставками.

ГЛАВА 3 . ОПТИМАЛЬНЫЙ ПОРТФЕЛЬ ПРИ РЕОЛОГИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ ПОЛЕЗНОСТИ.

3.1. Математическая модель и задача оптимизации.

3.2. Оптимальное инвестирование и потребление с учетом привычного уровня потребления и релаксации рисковой премии к долгосрочному значению.

3.3. Финансовое инвестирование с учетом привычного уровня потребления и стохастических процентных ставок.

ГЛАВА 4. ОПТИМАЛЬНЫЕ СТРАТЕГИИ ИНВЕСТИРОВАНИЕ-ПОТРЕБЛЕНИЕ С УЧЕТОМ ИНФЛЯЦИИ ПРИ НЕМАРКОВСКОЙ ДИНАМИКЕ СТАВОК ПРОЦЕНТА.

4.1. Математическая модель.

4.2. Решение задачи при функции полезности с постоянным относительным неприятием риска.

4.3. Оптимальные стратегии хеджирования против стохастических процентных ставок реальными облигациями.

4.4. Немарковская динамика временной структуры процентных ставок.

4.5. Хеджирование инфляционного риска при помощи номинальных облигаций.

4.6. Решение задачи при функции полезности с учетом привычного уровня потребления.

4.7. Оптимальные стратегии инвестирования и потребления в стохастических условиях с учетом неликвидных активов

5. МОДЕЛИ И ОПТИМИЗАЦИЯ ПОРТФЕЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ С УЧЕТОМ ОТКЛОНЕНИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ДОХОДНОСТИ

РИСКОВАННЫХ АКТИВОВ ОТ НОРМАЛЬНОГО.

5.1. Влияние отклонений распределения доходности рисковых активов от нормального на спекулятивный спрос.

5.2. Влияние скачков цен рисковых активов на асимметрию и эксцесс распределения доходности рисковых активов.

5.3. Оптимальные портфельные решения в стохастической инвестиционной среде с учетом скачков цен активов.

Диссертация: введение по экономике, на тему "Моделирование и оптимизация стратегий портфельного инвестирования"

Актуальность темы исследования. Финансовое инвестирование непосредственно связано с формированием инвестиционного портфеля. Финансовые рынки в современных условиях (особенно зарождающиеся рынки, к которым относится и российский фондовый рынок) характеризуются нестационарными, стохастическими и кризисными явлениями различной природы. В таких условиях традиционная портфельная теория (модель САРМ) и классические методы финансовой математики, представляющие собой основанный на статистических методах механизм оптимизации формируемого инвестиционного портфеля по задаваемым критериям соотношения уровня его ожидаемой доходности и риска (характеризуемого дисперсией доходности), оказываются неадекватными. Кроме того, инвестирование неотделимо от потребления (инвесторы, как правило, извлекают полезность не только из конечного капитала в конце инвестиционного периода, но и из текущего потребления в различные моменты времени), а инвестиционная стратегия требует динамической реструктуризации портфеля с учетом стохастической эволюции инвестиционной среды, что также не может быть учтено в рамках классической теории. Поэтому возникает необходимость развития методов моделирования оптимального размещения капитала в рисковые активы в условиях стохастического изменения их доходности с учетом стохастической эволюции параметров инвестиционной среды.

В процессе финансового инвестирования и управления портфелем инвесторы заинтересованы в реальных доходностях активов. Инфляция является одним из источников неопределенности реальных доходностей финансовых инвестиций. Хеджирование инфляционного риска является нетривиальной задачей, поскольку на большинстве финансовых рынков предлагаются только номинальные облигации (лишь на нескольких биржах США и Великобритании продаются индексируемые с учетом инфляции облигации). Аналогично, по краткосрочным депозитам выплачивается номинальная процентная ставка. В силу стохастических изменений цен потребительских товаров номинальные облигации и депозиты характеризуются рисковой доходностью в реальном выражении. Поэтому в условиях инфляционной экономики модели финансового инвестирования должны учитывать инфляционный риск.

Фундаментальное значение в портфельной теории имеет проблема анализа ситуации, когда распределение доходности финансовых инструментов существенно отклоняется от нормального. Имеются многочисленные свидетельства того, что распределение доходности рисковых активов на финансовых рынках в условиях стохастического и скачкообразного изменения цен активов характеризуется значительными асимметрией и эксцессом (так называемые «жирные» хвосты распределений, когда на концах хвостов, т.е. в области очень больших и очень малых доходностей, имеет место повышенная плотность распределения по сравнению с нормальным, а также «лептоэксцесс» - островершинность и «платоэксцесс» - плосковершинность). Поскольку модель оценки финансовых активов и большая часть методов эконометрического анализа предполагают, что ожидаемые доходности подчиняются нормальному или логнормальному распределению, возникает проблема распространения этих теорий и методов на ситуации, когда доходности активов не распределены нормально.

Достоверные количественные результаты, касающиеся определения оптимальных стратегий инвестирования в рисковые финансовые инструменты и потребления в стохастических условиях, позволяющих агенту финансового рынка оперативно реструктурировать портфель, могут быть получены в рамках строгих экономико-математических моделей финансового инвестирования в непрерывном времени с учетом функций полезности инвестора. Этим и определяется актуальность диссертационного исследования.

Степень разработанности проблемы. Количественный анализ и прогнозирование финансового состояния фондовых рынков базируется на финансовом менеджменте, финансовой математике и эконометрике. Вопросы управления использованием капитала в процессе финансового инвестирования рассматривались в трудах зарубежных и отечественных ученых. Большой вклад в теорию и практику финансового менеджмента внесли Александер Г., Бирман Г., Блауг М., Блех Ю., Брейли Р., Бригхэм Ю., Гетце У., Гитман Л., Дамари Р., Друри К., Ирвин Д., Карлин Т., Коллас Б., Крушвиц Л., Курц X., Ли Ч., Майерс С., Мертон Р., Миллер М., Модильяни Ф., Перар Ж., Самуэльсон П., Тобин Д., Фабоцци Ф., Холт Р., Шарп У., Шим Д. и др. Среди отечественных ученых следует отметить Балабанова И.Т., Бланка И.А., Бочарова В.В., Герчикову И.Н., Ефимову О.В., Ковалева В.В., Поляка Г.Б., Стоянову Е.С., Тренева H.H., Хоминич И.П. и др.

Большой вклад в развитие таких разделов финансовой математики, как теория ренты, измерение доходности финансовых инструментов, анализ производственных инвестиций и измерителей финансовой эффективности, анализ финансовых рисков, а также финансового инжиниринга внесли российские и зарубежные ученые: Алексеев М.Ю., Башарин Г.П., Боди 3., Браун С., Бригхэм Ю., Бронштейн Е.М., Гапенски Л., Даффи Д., Евстигнеев И.В., Капитоненко В.В., Кардаш В.А., Карлберг К., Касимов Ю.Ф., Кокс Д., Колб Р., Кочович Е., Кочрейн Дж., Крушвиц Л., Кутуков В.Б., Марковиц Г., Маршалл Д., Мертон Р., Миллер М., Миркин Я.М., Недосекин А.О., Паррамоу К., Перепелица В.А., Попова Е.В., Росс С., Самуэльсон П., Смоляк С.А., Тобин Дж., Уотшем Т„ Фабоцци Ф., Фама Е., Четыркин Е.М., Шарп У., Шведов A.C., Шим Д., Ширяев А.Н., Шоулс М., Эрроу К. и др. Математические основы анализа стохастических процессов в финансах разрабатывались Белявским Г.И., Винером Н., Ито К., Кабановым Ю.М., Каратзасом И., Карни Е., Колмогоровым А.Н., Крамковым Д.О., Макаровым В.Л., Мандельбротом Б., Мельниковым A.B., Новиковым A.A., Павловым И.В., Плиска С., Прохоровым Ю.В., Роджерсом Л., Рутковски М., Скейдсом

К., Черным A.C., Швейзером М., Ширяевым А.Н., Шреве С., Шродером М. и ДР

Финансовая эконометрика является в настоящее время одной из наиболее бурно развивающихся областей эконометрики. Среди российских и зарубежных ученых, разрабатывающих эконометрические методы анализа и прогнозирования в теории и практике финансов, следует отметить Андерсена Т., Айвазяна С.А., Афанасьева М.Ю., Белдаззи П., Бейтса Д., Боллерслева Т., Винтизенко И.Г., Давниса В.В., Диболда Ф., Энгла Р., Кэмпбелла Дж., Пагана А., Перепелицу В.А., Попову Е.В., Рачева С., Тейлора С., Тиммермана А., Хансена JL, Хубаева Г.Н., Яновского Л.П. и др.

В то же время, несмотря на большое количество публикаций в области моделирования и анализа финансовых рынков и оптимизации финансового портфеля, многие упомянутые выше проблемы далеки от разрешения и находятся в стадии обсуждения. Отметим также, что в большинстве известных исследований проблемы оптимального финансового инвестирования в стохастических условиях задача решается численно (Барберис Н., Брандт М., Бреннан М., Белдаззи П., Висейра Л., Ким Т., Кэмпбелл Дж. и др.), что не позволяет выявить вклад составляющих портфеля (спекулятивного спроса на рисковые активы и различных видов спроса на хеджирование) в оптимальное решение и проследить влияние на него параметров инвестиционной среды и функции полезности (предпочтений) агента финансового рынка.

Теоретическая и практическая значимость моделирования оптимального размещения капитала в рисковые активы в условиях стохастического изменения параметров инвестиционной среды и определили тему и постановку задач диссертационного исследования.

Предмет и объект исследования. Предметом диссертационного исследования являются стратегии оптимального размещения капитала в рисковые активы в стохастической инвестиционной среде фондового рынка с учетом текущего потребления. Объектом исследования являются финансовый рынок и инвестиционный портфель финансового инвестора.

Цель и задачи исследования. Целью диссертационной работы является построение моделей и решение динамических задач оптимального инвестирования (с учетом текущего потребления) на финансовом рынке, характеризующемся стохастичностью инвестиционной среды.

В соответствии с поставленной целью в диссертации решались следующие задачи: разработка экономико-математических моделей, позволяющих рассчитывать оптимальные доли капитала, размещаемого в рисковые финансовые инструменты с учетом стохастических изменений их цен, ожидаемых доходностей, вариационно-ковариационной матрицы доходностей, а также стохастической динамики краткосрочной процентной ставки; исследование свойств оптимальных стратегий инвестирования и потребления; моделирование и анализ оптимальных стратегий потребления инвестора с заданной функцией полезности (соответствующих инвестиционным стратегиям) с учетом того, что инвестор извлекает полезность из конечного капитала и/или промежуточного потребления; построение оптимальных стратегий хеджирования процентного риска в условиях, когда инвестор извлекает полезность как из конечного капитала, так и из текущего потребления при общей стохастической динамике краткосрочной процентной ставки и цен рисковых активов; анализ оптимального спроса на хеджирование и эффективности хеджирования процентного риска акциями и облигациями. Анализ оптимального инвестирования в спекулятивную и в хеджирующую части портфеля в зависимости от коэффициента относительного неприятия риска инвестора; построение облигации с непрерывным купоном, оптимально хеджирующей стохастические изменения краткосрочной процентной ставки для инвестора, извлекающего полезность из текущего потребления и конечного капитала; моделирование оптимального портфельного и потребительского выбора при функции полезности инвестора с памятью (с учетом привычного уровня потребления) в условиях стохастического изменения доходности рисковых активов с учетом стохастической (в том числе и немарковской) эволюции параметров инвестиционной среды; анализ оптимальных инвестиционных и потребительских стратегий при функции полезности с памятью и конкретной динамике инвестиционных возможностей: релаксации рисковой премии к долгосрочному значению и стохастической динамике краткосрочных процентных ставок, описываемых моделью Кокса - Ингерсолла - Росса; сравнение оптимальных стратегий инвестора со степенной функцией полезности и инвесторов с различными уровнями привычного потребления; построение оптимальных стратегий инвестирования и потребления с учетом стохастической (в том числе немарковской) динамики цен рисковых активов, стохастической эволюции параметров инвестиционной среды, а также ожидаемого уровня и неопределенности инфляции; построение оптимальных стратегий инвестирования и потребления с учетом инфляции на финансовом рынке, на котором динамика временной структуры номинальных процентных ставок описывается немарковской многофакторной моделью; анализ возможности осуществления оптимальной стратегии хеджирования инфляции и стохастических изменений параметров инвестиционной среды с использованием номинальных облигаций; анализ влияния дохода инвестора вне финансового рынка на оптимальные стратегии инвестирования и потребления; построение оптимальных портфельных стратегий в стохастической инвестиционной среде с учетом возможных скачков цен активов, индуцированных сильно воздействующими на финансовый рынок событиями.

Теоретическая и эмпирическая база исследования.

Диссертационное исследование основано на фундаментальных разработках отечественных и зарубежных ученых по теории финансового инвестирования и финансовым рынкам, теории случайных процессов, финансовой математике, методам стохастического оптимального управления.

Информационно-документальной базой исследования являются статистические материалы Федеральной службы государственной статистики, законодательные акты РФ, решения и нормативные акты Правительства Российской Федерации, Федеральной службы по финансовым рынкам, регулирующие деятельность фондового рынка, статистические данные Центра по исследованию ценных бумаг США (СБ^Р).

Диссертационное исследование выполнено в рамках п. 1.6 "Математический анализ и моделирование процессов в финансовом секторе экономики, развитие методов финансовой математики и актуарных расчетов" паспорта специальности 08.00.13 - Математические и инструментальные методы экономики.

Методы исследования. В диссертации использовались различные методы и приемы экономических исследований: математические методы экономики, включающие финансовую математику, теорию стохастического оптимального управления, теорию полезности, теорию случайных процессов, теорию мартингалов, методы сравнительной статики и сравнительной динамики равновесия, аналитические и численные методы анализа стохастических и обыкновенных дифференциальных уравнений.

Научная новизна диссертационного исследования состоит в развитии аппарата моделирования, а также методов качественного и количественного анализа процессов финансового инвестирования в стохастических условиях. Научная новизна характеризуется следующими положениями:

- построена модель финансового инвестирования, позволяющая проанализировать оптимальные стратегии инвестирования и потребления с учетом стохастической динамики цен рисковых активов и стохастической эволюции параметров инвестиционной среды. В явном аналитическом виде получены составляющие оптимального портфеля (спекулятивный спрос инвестора и портфель хеджирования) как функции рисковых премий, волатильностей цен рисковых активов и характеристик функции полезности инвестора, позволяющие агенту финансового рынка оперативно реструктурировать портфель (максимизируя свою полезность) в соответствии со стохастически меняющимися инвестиционными возможностями; исследованы свойства оптимальных стратегий инвестирования и потребления;

- при функции полезности инвестора с постоянным относительным неприятием риска разработан метод определения замкнутых оптимальных решений инвестирования и потребления в широком классе стохастических моделей эволюции параметров инвестиционной среды на полном и неполном финансовом рынке, что позволило провести анализ целесообразности хеджирования рисков, связанных с меняющимися инвестиционными возможностями, и установить, что инвестору с аддитивной по времени функцией полезности следует хеджировать только стохастические изменения краткосрочной процентной ставки и квадрата величины рисковых премий;

- в аналитической форме найдены оптимальные стратегии инвестирования и потребления для аффинных моделей краткосрочной процентной ставки и рисковой премии, применимые и к полному, и к неполному финансовым рынкам; это позволяет интерпретировать спрос на хеджирование инвестора с полезностью от промежуточного потребления и конечным инвестиционным горизонтом как средневзвешенное спросов на хеджирование инвесторов с инвестиционными горизонтами, принимающими значения из определенного интервала и полезностью только от конечного капитала. Введено понятие эффективного инвестиционного горизонта, позволяющего свести задачу выбора оптимальных стратегий хеджирования инвестором, извлекающим полезность из текущего потребления и конечного капитала, к задаче определения оптимального спроса на хеджирование инвестора с эффективным инвестиционным горизонтом, извлекающим полезность только из конечного капитала;

- при достаточно общей стохастической динамике краткосрочной процентной ставки (описываемой уравнением Орнштейна-Уленбека) и цен рисковых активов (индекса акций и облигаций) построены оптимальные стратегии хеджирования процентного риска в условиях, когда инвестор извлекает полезность как из конечного капитала, так и из текущего потребления. Доказано, что если инвестор извлекает полезность только из конечного капитала, то наиболее эффективным инструментом хеджирования процентного риска является облигация с нулевым купоном со сроком погашения в конце инвестиционного горизонта инвестора. Для инвестора, извлекающего полезность из текущего потребления, оптимальным инструментом хеджирования стохастических изменений процентной ставки является облигация с непрерывным купоном, динамика которой определена аналитически;

- построены оптимальные стратегии инвестирования и потребления при функции полезности с памятью (с учетом привычного уровня потребления) в условиях стохастического изменения доходности рисковых активов с учетом стохастической, в том числе и немарковской эволюции параметров инвестиционной среды (в условиях, когда гипотеза «эффективных финансовых рынков» несправедлива), позволяющие установить качественные и количественные отличия от стратегий инвестора, характеризующегося аддитивной по времени функцией полезности. Аналитически проанализированы оптимальные стратегии инвестирования и потребления в двух предельных случаях неприятия риска инвестором -нейтрального отношения инвестора к риску и бесконечного неприятия риска;

- получены аналитические выражения для оптимальных инвестиционных и потребительских стратегий при конкретной динамике инвестиционных возможностей: релаксации рисковой премии к долгосрочному значению (модель Орнштейна - Уленбека) и стохастических краткосрочных процентных ставках (модель Кокса - Ингерсолла - Росса). На основе численного анализа проведено сравнение оптимальных стратегий инвестора со степенной функцией полезности и инвесторов с различными уровнями привычного потребления. Выяснено, что привычный уровень потребления существенно снижает спрос на рисковый актив и предельную склонность к потреблению;

- построены оптимальные стратегии инвестирования и потребления с учетом стохастической, в том числе немарковской, динамики цен рисковых активов, а также ожидаемого уровня и неопределенности инфляции. В явном аналитическом виде получены составляющие оптимального портфеля (спекулятивный спрос на рисковые активы и портфель хеджирования) как функции рисковых премий, волатильностей цен рисковых активов и характеристик функции полезности инвестора. Проанализирована структура оптимального портфеля и выяснено, какие риски, связанные со стохастически меняющимися инвестиционными возможностями, следует хеджировать;

- построены оптимальные стратегии инвестирования и потребления на финансовом рынке, на котором динамика временной структуры номинальных процентных ставок описывается немарковской многофакторной моделью. Показано, что оптимальная стратегия хеджирования может быть осуществлена с использованием номинальных облигаций, соответствующих ожидаемому номинальному потреблению относительно форвардной мартингальной меры;

- предложена модель оптимального портфельного и потребительского выбора, учитывающая наличие у инвестора неликвидных активов, приносящих ликвидные дивиденды. Найдено оптимальное размещение капитала в позиции по облигации, акциям и банковскому счету; определена оптимальная стратегия потребления. Проведен анализ причин, по которым относительное размещение капитала в облигации и акции может испытывать существенное влияние дохода вне финансового рынка;

- построена модель финансового инвестирования, позволяющая проанализировать оптимальные портфельные стратегии в стохастической инвестиционной среде с учетом возможных скачков цен активов большой амплитуды. Установлено, что скачки цен активов приводят к возникновению ненулевых асимметрии и эксцесса, а также к увеличению дисперсии доходности активов; получены соотношения, связывающие асимметрию и эксцесс с параметрами скачков цен активов (величиной и интенсивностью скачков). Доказано, что оптимальный вес рискового актива в портфеле возрастает при положительной асимметрии и уменьшается при положительном эксцессе; влияние отклонений распределения доходности по активам от нормального увеличивается с ростом относительного неприятия риска инвестором.

Практическая значимость результатов исследования. Практическая значимость исследования определяется тем, что разработанные в диссертации модели, методы и алгоритмы ориентированы на решение тактических и стратегических задач при осуществлении участниками финансового рынка управления финансовым инвестированием в рисковые активы в стохастической инвестиционной среде. Рассчитанные в диссертации в аналитическом виде составляющие оптимального портфеля (спекулятивный спрос инвестора и портфель хеджирования) позволяют инвесторам реструктурировать портфель при различных инвестиционных горизонтах (максимизируя свою полезность) в соответствии со стохастически меняющимися рисковыми премиями, волатильностями цен рисковых активов и краткосрочными процентными ставками. Построенные в диссертации оптимальные стратегии хеджирования процентного риска в условиях, когда инвестор извлекает полезность как из конечного капитала, так и из текущего потребления, позволяют инвестору наиболее эффективно занимать хеджирующие позиции по облигации с непрерывным купоном (динамика которой определена аналитически) или облигации с нулевым купоном со сроком погашения в конце инвестиционного горизонта в зависимости от коэффициента относительного неприятия риска. Обобщение полученных результатов на функции полезности с памятью позволяет рассчитывать оптимальные портфели инвесторов, оптимальное потребление и предельную склонность к потреблению при различных уровнях привычного потребления с учетом конкретной динамики стохастических процентных ставок и рисковых премий. Построенные стратегии инвестирования и потребления с учетом стохастической (в т.ч. немарковской) динамики цен рисковых активов, возможных скачков цен активов, стохастической эволюции параметров инвестиционной среды и неопределенности инфляции позволяют инвестору строить оптимальную портфельную политику в нестабильных макроэкономических условиях.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Оптимальный портфель финансового инвестора включает (1) безрисковый актив (банковский счет), (2) спекулятивный ("близорукий") спрос, соответствующий игнорированию инвестором стохастических изменений инвестиционных возможностей (краткосрочной процентной ставки; цен, ожидаемых ставок доходности, вариационно-ковариационная матрицы ставок доходности по рисковым активам; ожидаемой скорости изменения дохода инвестора вне финансового рынка; ковариации или корреляции между перечисленными переменными) и (3) спрос на хеджирование. Структура спекулятивного спроса и спроса на хеджирование меняется со временем благодаря изменениям инвестиционных возможностей.

2. Среди всех портфелей портфель хеджирования имеет максимальную абсолютную корреляцию с переменной состояния, характеризующей стохастическую эволюцию инвестиционных возможностей. Для полного финансового рынка максимальная корреляция равна единице, и спрос на хеджирование в основном повторяет динамику переменной состояния. Оптимальная портфельная стратегия представляет собой единственную стратегию, минимизирующую флуктуации потребления со временем, среди всех портфельных стратегий с одинаковой с оптимальной стратегией ожидаемой доходностью.

3. Спрос на хеджирование процентного риска при достаточно общей стохастической динамике краткосрочной процентной ставки (описываемой уравнением Орнштейна-Уленбека) и цен рисковых активов (индекса акций и облигаций) включает только облигацию, так что облигации являются более подходящим инструментом хеджирования процентного риска, чем акции. С увеличением коэффициента относительного неприятия риска инвестора оптимальное инвестирование в спекулятивную часть портфеля снижается, а в хеджирующую облигацию - увеличивается; отношение долей капитала, вложенного в облигации и акции, растет с увеличением относительного неприятия риска инвестора. Инвестор, характеризующийся логарифмической полезностью (нейтрально относящийся к риску), не хеджирует против изменения инвестиционных возможностей. Хеджирующая позиция инвестора с меньшим коэффициентом относительного неприятия риска отрицательна, в то время как более осторожный инвестор занимает длинную позицию по облигации. Инвестор с бесконечным коэффициентом относительного неприятия риска размещает весь свой капитал в облигацию с нулевым купоном со сроком погашения в конце инвестиционного горизонта.

4. Оптимальное портфельное решение при полезности инвестора, учитывающей привычный уровень потребления, есть сумма трех составляющих. Первый член представляет собой спекулятивную часть портфеля, (специфическая для инвестора позиция определяется относительной терпимостью инвестора по отношению к риску) и максимизирует мгновенное число Шарпа. Второй член определяет размещение капитала в рисковые активы, соответствующее оптимальному хеджированию инвестором изменения инвестиционных возможностей.

Последний член в портфеле соответствует инвестированию в купонную облигацию с непрерывными платежами, обеспечивающими экономическому агенту будущий минимальный процесс потребления по крайней мере на привычном уровне.

5. Инвестор с логарифмической полезностью с учетом привычного уровня потребления накапливает средства для обеспечения будущего минимального уровня потребления, однако не хеджирует ни против изменений инвестиционных возможностей, ни против изменений издержек обеспечения минимального уровня потребления в будущем. Инвестор с бесконечным неприятием риска вообще не инвестирует в спекулятивную часть портфеля. При релаксации рисковой премии к долгосрочному значению спекулятивная и хеджирующая составляющие оптимального портфеля снижаются за счет присутствия уровня привычного потребления, причем спрос на хеджирование снижается существеннее при полезности с учетом привычного уровня потребления, чем спекулятивный спрос. Предельная склонность к потреблению выше при условии, что рисковая премия определяется процессом с релаксацией, чем при постоянной рисковой премии. Относительное увеличение реальной нормы потребления благодаря процессу релаксации на рынке акций меньше для инвесторов с полезностью с учетом привычного уровня потребления, чем для инвесторов со стандартной степенной функцией полезности.

6. И спекулятивный спрос, и спрос на хеджирование на акции увеличивается с ростом рыночной рисковой премии, однако спрос на хеджирование относительно менее чувствителен к изменению рисковой премии. Поскольку инвестор может использовать высокие отрицательные значения рыночной рисковой премии, занимая короткие позиции по акциям, то и предельная склонность к потреблению, и сама норма потребления увеличивается по мере того, как рисковая премия увеличивается по абсолютной величине.

7. Спекулятивный спрос на акции гиперболически убывает с ростом коэффициента относительного неприятия риска, в то время как спрос на хеджирование возрастает с ростом коэффициента относительного неприятия риска при его значениях, меньших 2, и убывает при больших значениях, однако с более низкой скоростью, чем спекулятивный спрос, однако даже при высоких значениях коэффициента относительного неприятия риска спрос на хеджирование составляет только 1/3 полного спроса на акции. Норма потребления и предельная склонность к потреблению стремительно возрастают при низких значениях коэффициента относительного неприятия риска, а затем медленно снижаются при умеренных и высоких значениях этого коэффициента. Учет уровня привычного потребления в функции полезности оказывает снижающее воздействие на спекулятивный спрос инвестора и спрос на хеджирование, которое для малых и умеренных значений коэффициента относительного неприятия риска достаточно существенно, а при больших значениях рисковой премии влияние привычного уровня потребления ослабевает.

8. На финансовом рынке номинальных ценных бумаг (имеющих рисковые доходности в реальном выражении) в условиях неопределенности инфляции оптимальная инвестиционная стратегия инвестора включает спекулятивный портфель и единственную реальную облигацию, хеджирующую против изменений реальных инвестиционных возможностей, даже если эти изменения генерируются многомерным броуновским движением. Если инвестор извлекает полезность только из конечного капитала, хеджирующая облигация представляет собой реальную облигацию с нулевым купоном со сроком погашения на инвестиционном горизонте. Если, кроме того, инвестор извлекает полезность из текущего потребления, хеджирующая облигация характеризуется непрерывным купоном, пропорциональным ожидаемой интенсивности потребления в реальном выражении.

9. Относительное размещение капитала в облигации и акции может испытывать существенное влияние присутствия дохода вне финансового рынка по ряду причин. Во-первых, облигации и акции могут быть по-разному коррелированны с доходом вне финансового рынка, в силу чего облигации или акции в зависимости от конкретных условий могут оказаться лучшим инструментом хеджирования связанного с доходом вне финансового рынка риска. Во-вторых, инвесторы, характеризующиеся неприятием риска, имеют положительный спрос на хеджирование полного капитала против изменений инвестиционных возможностей. В-третьих, поскольку капитал, связанный с существованием доходов инвестора вне финансового рынка, определяется как дисконтированная стоимость будущих доходов вне финансового рынка, он в общем случае чувствителен к уровню и волатильности краткосрочной процентной ставки (подобно облигации) и, следовательно, фактически представляет собой неявное инвестирование в облигацию.

10. Для умеренно не принимающих риск инвесторов риск, связанный со скачками цен на фондовом рынке, увеличивает спрос на хеджирование при отрицательной корреляции между рисковой премией и процессом, определяющим доходность рискового актива; при положительной корреляции имеет место противоположный результат. Абсолютное воздействие этого риска увеличивается с ростом инвестиционного горизонта. Для не принимающих риск инвесторов вероятность скачка цены рискового актива, независимо от направления скачка, сокращает спекулятивный спрос инвестора (короткую или длинную позицию) на этот актив. Увеличение волатильности скачков цен активов сокращает совокупный спрос инвестора на рисковые активы. Этот эффект усиливается с ростом относительного неприятия риска инвестора.

Апробация и внедрение результатов исследования. Основные положения и результаты диссертационного исследования докладывались автором на Всероссийской научно-практической конференции «Механизмы эффективного управления в рыночной экономике» (г. Кисловодск, 2004), V Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Сочи, 2004, осенняя сессия), VI Всероссийском симпозиуме «Математическое моделирование и компьютерные технологии», (г. Кисловодск, 2004), II Всероссийской научно-практической конференции «Корпоративное управление в условиях переходной экономики: теория и практика» (Ставрополь, 2004), Международном симпозиуме «Математическое моделирование и компьютерные технологии» (г. Кисловодск, 2005), V Международной конференции «Новые технологии в управлении, бизнесе и праве» (Невинномысск, 2005), VIII Международной конференции «Экономико-организационные проблемы проектирования и применения информационных систем» (Ростов-на-Дону, 2005), IV Международной научно-практической конференции «Проблемы регионального управления, экономики, права и инновационных процессов в образовании» (Таганрог, 2005), VII Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (г. Йошкар-Ола, 2006, зимняя сессия), Всероссийской научно-практической конференции «Экономика современной России» (Волгоград, 2006), Всероссийском симпозиуме «Математические модели и информационные технологии в экономике» (г. Кисловодск, 2007), IV Международной научно-практической конференции «Проблемы регионального управления, экономики, права и инновационных процессов в образовании» (Таганрог, 2007), IX Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (г. Кисловодск, 2008, весенняя сессия), Всероссийской научной конференции «Актуальные проблемы социально-экономического развития» (г. Кисловодск, 2009), VI Международной научно-практической конференции «Экономическое прогнозирование: модели и методы» (Воронеж, 2010), Всероссийских научных чтениях «Математическая экономика и экономическая информатика» (г. Кисловодск, 2010), Международной научно-практической конференции «Математика и ее приложения. Экономическое прогнозирование: модели и методы» (Орел, 2011).

Результаты диссертационного исследования апробированы и используются ООО «Центр финансовых операций» (г. Нальчик), ООО банк «Прохладный», ООО банк «Майский» при выработке эффективных стратегий финансового инвестирования на фондовом рынке.

Результаты диссертации используются Кабардино-Балкарским государственным университетом и Кисловодским институтом экономики и права в учебном процессе и включены в структуру учебных дисциплин «Экономико-математическое моделирование», «Рынок ценных бумаг», «Биржевое дело», «Инвестиционно-инновационый анализ», «Финансовые вычисления», «Экономико-математические методы и модели», «Имитационное моделирование» и «Математические модели рынка ценных бумаг».

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка использованной литературы.

Диссертация: заключение по теме "Математические и инструментальные методы экономики", Каранашев, Анзор Хасанбиевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Финансовое инвестирование непосредственно связано с формированием инвестиционного портфеля. Финансовые рынки в современных условиях (особенно зарождающиеся рынки, к числу которых относится и российский фондовый рынок) характеризуются нестационарными, стохастическими и кризисными явлениями различной природы. В таких условиях традиционная портфельная теория (модель САРМ) и классические методы финансовой математики, представляющие собой основанный на статистических методах механизм оптимизации формируемого инвестиционного портфеля по задаваемым критериям соотношения уровня его ожидаемой доходности и риска (характеризуемого дисперсией доходности), оказываются неадекватными.

Кроме того, инвестирование неотделимо от потребления (инвесторы, как правило, извлекают полезность не только из конечного капитала в конце инвестиционного периода, но и из промежуточного потребления в различные моменты времени), а инвестиционная стратегия требует динамической реструктуризации портфеля с учетом стохастической эволюции инвестиционной среды, что также не может быть учтено в рамках классической теории. Поэтому возникает необходимость развития методов моделирования оптимального размещения капитала в рисковые активы в условиях стохастического изменения их доходности с учетом стохастической эволюции параметров инвестиционной среды.

Достоверные количественные результаты, касающиеся определения оптимальных стратегий инвестирования в рисковые финансовые инструменты и потребления в стохастических условиях, позволяющих агенту финансового рынка непрерывно реструктурировать портфель, могут быть получены в рамках строгих экономико-математических моделей финансового инвестирования в непрерывном времени с учетом функций полезности инвестора.

В первой главе диссертации рассматриваются виды финансовых инструментов инвестирования капитала и их особенности, методы оценки эффективности инвестирования капитала в финансовые инструменты, а также методы управления портфелем ценных бумаг с учетом финансовых рисков. Дается характеристика факторов, определяющих инвестиционные качества отдельных финансовых инструментов инвестирования. Обсуждаются модели оценки реальной стоимости ценных бумаг. Сделан обзор работ, посвященных формированию портфеля финансовых инвестиций, выбору портфельной стратегии и типа формируемого инвестиционного портфеля. Рассматривается оценка инвестиционных качеств финансовых инструментов инвестирования по показателям уровня доходности, риска и взаимной ковариации. Изложены принципы оперативного управления реструктуризацией портфеля финансовых инвестиций. Рассматриваются виды отношений инвесторов к риску и характеристики интенсивности нерасположенности к риску.

Во второй главе построена модель финансового инвестирования в непрерывном времени, на основе которой выведены оптимальные портфельные и потребительские стратегии инвестора с различной степенью неприятия риска при постоянных ожидаемых доходностях рисковых активов и краткосрочной процентной ставке. Доказано, что оптимальная инвестиционная стратегия состоит в поддержании части капитала, инвестированного в каждый актив, постоянной во времени (заметим, что это условие требует постоянной корректировки портфеля, поскольку цена активов меняются с течением времени).

Определены оптимальные стратегии инвестирования и потребления с учетом стохастической динамики цен рисковых активов и стохастической эволюции параметров инвестиционной среды. В явном аналитическом виде получены составляющие оптимального портфеля (спекулятивный спрос инвестора и портфель хеджирования) как функции рисковых премий, волатильностей цен рисковых активов и характеристик функции полезности инвестора, позволяющие агенту финансового рынка непрерывно реструктурировать портфель (максимизируя свою полезность) в соответствии со стохастически меняющимися инвестиционными возможностями. Исследованы свойства оптимальных стратегий. При функции полезности с постоянным относительным неприятием риска предложен подход к определению замкнутых оптимальных решений инвестирования и потребления в широком классе стохастических моделей эволюции параметров инвестиционной среды. Проведен анализ целесообразности хеджирования рисков, связанных с меняющимися инвестиционными возможностями, и доказано, что инвестору с аддитивной по времени функцией полезности следует хеджировать только стохастические изменения краткосрочной процентной ставки и квадрата рыночных цен риска.

Предположение о постоянстве краткосрочных процентных ставок, используемое в большинстве работ по оптимизации портфеля финансового инвестора, вряд ли можно считать адекватным, особенно в условиях российского фондового рынка. В диссертации при достаточно общей стохастической динамике процентных ставок и цен рисковых активов определены оптимальные инвестиционные стратегии в условиях, когда инвестор извлекает полезность как из конечного капитала, так и из промежуточного потребления.

Большинство исследований процесса финансового инвестирования основано на далеких от реальности предположениях о предпочтениях инвестора. А именно, функция полезности инвестора считается степенной функцией конечного капитала или аддитивной сепарабельной по времени степенной функцией потребления. Более правдоподобным представлением предпочтений инвестора является учет в функции полезности привычного уровня потребления; при этом полезность данного текущего уровня потребления является убывающей функцией уровня потребления в прошлом. В третьей главе диссертации моделируются оптимальные стратегии инвестирования и потребления при функции полезности с памятью в условиях стохастического изменения доходности рисковых активов с учетом стохастической (в том числе и немарковской) эволюции параметров инвестиционной среды. В диссертации доказано, что оптимальное портфельное решение при полезности инвестора, учитывающей привычный уровень потребления, есть сумма трех составляющих. Первый член представляет собой спекулятивную часть портфеля, (специфическая для инвестора позиция определяется относительной терпимостью инвестора по отношению к риску) и максимизирует мгновенное число Шарпа. Второй член определяет размещение капитала в рисковые активы, соответствующее оптимальному хеджированию инвестором изменения инвестиционных возможностей. Последний член в портфеле соответствует инвестированию в купонную облигацию с непрерывными платежами, обеспечивающими экономическому агенту будущий минимальный процесс потребления по крайней мере на привычном уровне.

Установлено, что инвестор с логарифмической полезностью с учетом привычного уровня потребления накапливает средства для обеспечения будущего минимального уровня потребления, однако не хеджирует ни против изменений инвестиционных возможностей, ни против изменений издержек обеспечения минимального уровня потребления в будущем. Инвестор с бесконечным неприятием риска вообще не инвестирует в спекулятивную часть портфеля. При релаксации рисковой премии к долгосрочному значению спекулятивная и хеджирующая составляющие оптимального портфеля снижаются за счет присутствия уровня привычного потребления, причем спрос на хеджирование снижается существеннее при полезности с учетом привычного уровня потребления, чем спекулятивный спрос. Предельная склонность к потреблению выше при условии, что рисковая премия определяется процессом с релаксацией, чем при постоянной рисковой премии. Относительное увеличение реальной нормы потребления благодаря процессу релаксации на рынке акций меньше для инвесторов с полезностью с учетом привычного уровня потребления, чем для инвесторов со стандартной степенной функцией полезности.

В диссертации доказано, что и спекулятивный спрос, и спрос на хеджирование на акции увеличивается с ростом рыночной рисковой премии, однако спрос на хеджирование относительно менее чувствителен к изменению рисковой премии. Поскольку инвестор может использовать высокие отрицательные значения рыночной рисковой премии, занимая короткие позиции по акциям, то и предельная склонность к потреблению, и сама норма потребления увеличивается по мере того, как рисковая премия увеличивается по абсолютной величине. Спекулятивный спрос на акции гиперболически убывает с ростом коэффициента относительного неприятия риска, в то время как спрос на хеджирование возрастает с ростом коэффициента относительного неприятия риска при его значениях, меньших 2, и убывает при больших значениях, однако с более низкой скоростью, чем спекулятивный спрос, однако даже при высоких значениях коэффициента относительного неприятия риска спрос на хеджирование составляет только 1/3 полного спроса на акции. Норма потребления и предельная склонность к потреблению стремительно возрастают при низких значениях коэффициента относительного неприятия риска, а затем медленно снижаются при умеренных и высоких значениях этого коэффициента. Учет уровня привычного потребления в функции полезности оказывает снижающее воздействие на спекулятивный спрос инвестора и спрос на хеджирование, которое для малых и умеренных значений коэффициента относительного неприятия риска достаточно существенно, а при больших значениях рисковой премии влияние привычного уровня потребления ослабевает.

В условиях инфляционной экономики модели финансового инвестирования должны учитывать инфляционный риск. Инфляция является одним из источников неопределенности реальных доходностей финансовых инвестиций. Хеджирование инфляционного риска является нетривиальной задачей, поскольку на финансовых рынках предлагаются только номинальные облигации, которые наряду с депозитами имеют рисковые реальные доходности. В процессе финансового инвестирования и управления портфелем инвесторы заинтересованы в реальных доходностях активов. Однако на большинстве финансовых рынков предлагаемые облигации являются номинальными (только на нескольких биржах США и Великобритании продаются индексируемые с учетом инфляции облигации). Аналогично, по краткосрочным депозитам выплачивается номинальная процентная ставка. В силу стохастических изменений цен потребительских товаров номинальные облигации и депозиты характеризуются рисковой доходностью в реальном выражении.

В четвертой главе построены оптимальные стратегии инвестирования и потребления с учетом стохастической (в т.ч. немарковской) динамики цен рисковых активов, стохастической эволюции параметров инвестиционной среды и неопределенности инфляции. В явном аналитическом виде получены составляющие оптимального портфеля (спекулятивный спрос на рисковые активы и портфель хеджирования) как функции рисковых премий, волатильностей (мгновенных средних квадратических отклонений) цен рисковых активов и характеристик функции полезности инвестора, позволяющие агенту финансового рынка непрерывно реструктурировать портфель (максимизируя полезность промежуточного потребления и / или конечного капитала) в соответствии со стохастически меняющимися инвестиционными возможностями. Показано, какие риски следует оптимально хеджировать агенту финансового рынка и как финансировать реальный процесс потребления с учетом инфляции. Установлено, что в случае, когда реальная процентная ставка описывается гауссовским случайным процессом (в том числе немарковским), инвесторы, характеризующиеся постоянным относительным неприятием риска, могут оптимально хеджировать стохастические изменения краткосрочной процентной ставки и инфляционный риск с помощью единственной реальной облигации. Рассмотрен пример немарковской динамики временной структуры процентных ставок, для которой в явном виде найдены оптимальные стратегии инвестирования и потребления (которые могут быть также использованы для изучения влияния текущей формы и динамики временной структуры процентных ставок на оптимальные стратегии хеджирования). Построены оптимальные стратегии хеджирования против стохастических изменений инвестиционных возможностей с использованием номинальных облигаций (при отсутствии реальных облигаций). Предложен метод определения оптимальных стратегий инвестирования и потребления при функции полезности инвестора с учетом привычного уровня потребления.

Традиционный подход к моделированию размещения активов на финансовом рынке предполагает, что все активы могут продаваться в любой момент времени. В диссертации найдены оптимальные стратегии инвестирования и потребления в модели с непрерывным временем с учетом наличия у финансового агента неликвидного актива (неликвидный актив определяется как актив, продажа которого на финансовом рынке невозможна - например, человеческий капитал, трудовой доход финансового агента вне финансового рынка, некоторые виды собственности; неликвидные активы, однако, как правило, приносят ликвидные дивиденды). Когда проблема размещения активов решается без учета существования неликвидных активов, получаемое решение является субоптимальным.

Найдено оптимальное размещение капитала в позиции по облигации, акциям и банковскому счету; определена оптимальная стратегия потребления. Проведен анализ причин, по которым относительное размещение капитала в облигации и акции может испытывать существенное влияние дохода вне финансового рынка. Анализ показывает, что относительное размещение капитала в облигации и акции может испытывать существенное влияние присутствия дохода вне финансового рынка по ряду причин. Во-первых, облигации и акции могут быть по-разному коррелированы с доходом вне финансового рынка, в силу чего облигации или акции в зависимости от конкретных условий могут оказаться лучшим инструментом хеджирования связанного с доходом вне финансового рынка риска. Во-вторых, инвесторы, характеризующиеся неприятием риска, имеют положительный спрос на хеджирование полного капитала против изменений инвестиционных возможностей. В рассматриваемой постановке инвестиционные возможности определяются краткосрочной процентной ставкой, так что облигация является более подходящим активом для такого хеджирования. В-третьих, поскольку капитал, связанный с существованием доходов инвестора вне финансового рынка, определяется как дисконтированная стоимость будущих доходов вне финансового рынка, он в общем случае чувствителен к уровню и волатильности краткосрочной процентной ставки (подобно облигации) и, следовательно, фактически представляет собой неявное инвестирование в облигацию. Кроме того, уровень доходов вне финансового рынка может быть сам по себе чувствителен к изменению уровня процентных ставок (например, заработная плата быстрее растет в периоды экономического подъема, чем в периоды рецессии).

Фундаментальное значение в портфельной теории имеет проблема анализа ситуации, когда распределение доходности финансовых инструментов существенно отклоняется от нормального. Имеются многочисленные свидетельства того, что распределение доходности рисковых активов на финансовых рынках в условиях стохастического и скачкообразного изменения цен активов характеризуется значительными асимметрией и эксцессом (так называемые «жирные» хвосты распределений, когда на концах хвостов, т.е. в области очень больших и очень малых доходностей, имеет место повышенная плотность распределения по сравнению с нормальным, а также «лептоэксцесс» -островершинность и «платоэксцесс» - плосковершинность). Поскольку модель оценки финансовых активов (САРМ) и большая часть методов эконометрического анализа предполагают, что ожидаемые доходности подчиняются нормальному или логнормальному распределению, возникает проблема распространения этих теорий и методов на ситуации, когда доходности активов не распределены нормально. В пятой главе получено приближенное аналитическое выражение, определяющее портфельный выбор («спекулятивный» спрос) инвестора как функцию математического ожидания, дисперсии, асимметрии и эксцесса распределения избыточной доходности рисковых активов. Полученное решение показывает, как отклонения распределения доходности влияют на инвестиционный спрос на рисковые активы. Установлено, что: (1) оптимальный вес рискового актива в портфеле возрастает при положительной асимметрии и уменьшается при положительном эксцессе; (2) влияние отклонений распределения доходности рисковых активов от нормального распределения увеличивается с ростом относительного неприятия риска инвестором; (3) влияние асимметрии на оптимальный вес рискового актива в портфеле увеличивается с ростом среднего квадратического отклонения, а влияние эксцесса усиливается с ростом дисперсии. Доказано, что отклонения распределения доходности рисковых активов от нормального является источником риска и/или выгоды, которые не могут быть описаны в рамках традиционного анализа на основе расчета математического ожидания и дисперсии. Как "жирные" хвосты, так и отрицательная асимметрия, наблюдаемые на фондовых рынках, предполагают существование дополнительного риска для инвестора и поэтому сокращают спекулятивный спрос инвестора на рисковые активы. Оптимальный вес рискового актива в портфеле инвестора резко снижается всякий раз, когда наблюдается: (1) высокая вероятность возникновения скачков цены рискового актива, (2) скачки цены рискового актива в любом направлении, (3) большая неопределенность (волатильность) амплитуды скачков.