Моделирование инвестиционного портфеля страховой компании тема диссертации по экономике, полный текст автореферата

Автореферат диссертации по теме "Моделирование инвестиционного портфеля страховой компании"

На

правых-рукописи

Буреш Антон Игоревич

Моделирование инвестиционного портфеля страховой

компании

08.00.13 - Математические и инструментальные методы экономики

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата экономических наук

5 ДЕК 2013

Оренбург-2013

005542739

Работа выполнена в федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет»

Научный руководитель — Реннер Александр Георгиевич,

кандидат технических наук, доцент, заведующий кафедрой математических методов и моделей в экономике ФГЪОУ В ПО «Оренбургский государственный университет»

Официальные оппоненты: Дрогобыцкий Иван Николаевич,

доктор экономических наук, профессор, заведующий кафедрой моделирования экономических и информационных систем ФГОБУ ВПО «Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации» Арженовский Сергей Валентинович, доктор экономических наук, профессор, профессор кафедры математической статистики, эконометрики и актуарных расчетов ФГБОУ ВПО «Ростовский государственный экономический университет (РИНХ)»

Ведущая организация - ФГБОУ ВПО «Самарский государственный

аэрокосмический университет имени академика С.П. Королева (национальный исследовательский университет)»

Защита состоится «25» декабря 2013 г. в 12.00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.181.08, созданного на базе федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет» по адресу: 460018, г. Оренбург, пр. Победы, д. 13, ауд. 170215.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет» (ОГУ).

Автореферат диссертации размещен на сайте Высшей аттестационной комиссии при Министерстве образования и науки Российской Федерации vak.ed.gov.ru и на сайте ОГУ www.osu.ru.

Автореферат разослан » ноября 2013 г.

Учёный секретарь диссертационного совета

Е.М. Крипак

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы исследования. В рыночной экономике существенна роль страхования и значима сфера страховых услуг. Страхование является средством защиты бизнеса и благосостояния людей и в то же время видом экономической деятельности, приносящим доход. Рост количества страховых компаний и, как следствие, усиление конкуренции между ними обуславливают повышенные требования к платежеспособности, а следовательно, и к её оценке. Математической характеристикой, отражающей уровень платежеспособности компании, принято считать вероятность неразорения страховой компании, т.е. вероятность того, что капитал компании является неотрицательным.

В целях повышения вероятности неразорения и одновременно улучшения основных бизнес-показателей страховщики, помимо осуществления непосредственно страховой деятельности, занимают активную инвестиционную позицию, осуществляя инвестирование временно свободных средств - страховых резервов. Этому способствует наличие временного лага между поступающими средствами от страховой деятельности в виде страховых премий и осуществлением страховых выплат по искам при возникновении страховых случаев. В условиях кризиса высока динамика рисков, поэтому целесообразно изучать вероятность неразорения, в том числе и в динамике.

Таким образом, актуальными являются исследования по решению задач повышения вероятности неразорения страховой компании в условиях инвестиционной деятельности как в статике, так и в динамике.

Степень разработанности темы исследования. Работы отечественных и зарубежных авторов Г.Ш. Цициашвили, Е.С. Скварника, Т. Андерсона, Ф. Де Вильдера, X. Гжессинга, Г. Гранделла, X. Крамера, Ф. Лундберга, Дж. Паульсена, К. Сегердала посвящены влиянию собственного капитала на вероятность неразорения. Но зависимости вероятности неразорения от начального капитала получены только в частных случаях распределения размеров выплат и зачастую лишь для определенного диапазона входных

параметров.

В работах A.B. Мельникова, С. Асмуссена и С. Броуна проведен анализ влияния начального капитала на вероятность неразорения страховой компании с учетом инвестирования свободных средств в рисковый и безрисковый активы как способа повышения вероятности неразорения, но решение получено лишь при существенных ограничениях на характер распределения размера выплат и больших значениях начального капитала.

В работах А.Г. Реннера, О.Н. Ярковой исследовались зависимости вероятности неразорения от начального капитала, инвариантные относительно характера распределения размеров исков, в том числе при инвестировании в безрисковые активы, а также влияние стратегии инвестирования свободных средств в рисковые и безрисковые активы на вероятность неразорения.

Однако в вышеперечисленных работах рассматриваются случаи инвестирования средств не более чем в один рисковый и безрисковый активы.

В работах О.В. Бурмистрова, В.В. Калашникова, К. Кнессела, Дж. Паульсена, К. Танга и др. исследуются характеристики функционирования страховой компании в динамике, а задача определения параметров инвестирования, обеспечивающих максимальную вероятность неразорения страховой компании в динамике, фигурирует в исследованиях отечественных и зарубежных авторов O.A. Змеева, А.Г. Фроловой, Ж. Гаера, И. Грандела, В.В. Калашникова, Р. Норберга, Дж. Паульсена, но результаты получены либо при определенном характере распределения размеров выплат, либо для характеристик, не позволяющих оценить платежеспособность страховой компании.

Еще одним подходом к поиску наилучшей стратегии инвестирования свободных средств является имитационное моделирование. К.А. Багриновский, О.П. Бусленко, С.М. Ермаков, И.Я. Лукасевич, С.Б. Перминов, И.М. Соболь, JI. Андерсен, П. Джэкел, П. Глассермен, Ф. Лонгстафф применили метод Монте-Карло в задачах обоснования инвестиционных решений, но без учета специфики деятельности страховых компаний. В работах В.А. Бахмач, X. Альбрехера, Р. Кайнхофера, М. Моралеса предложен подход к построению

имитационных моделей динамики капитала страховой компании, но без учета инвестиционной деятельности страховой компании.

Таким образом, в работах отечественных и зарубежных авторов в недостаточной мере исследованы вопросы формирования инвестиционного портфеля, максимизирущего вероятность неразорения страховой компании как в статике, так и в динамике.

Научно-практическая значимость и недостаточная разработанность указанных вопросов обусловили выбор темы и структуру исследования.

Цель и задачи исследования. Цель исследования заключается в разработке моделей формирования инвестиционного портфеля, максимизирующего вероятность неразорения страховой компании как в статике, так и в динамике.

В соответствии с целью поставлены следующие задачи:

- провести анализ существующих методов и моделей оценки платежеспособности страховой компании;

- осуществить моделирование инвестиционного портфеля страховой компании, максимизирующего вероятность ее неразорения;

- осуществить моделирование инвестиционного портфеля страховой компании, максимизирующего вероятность ее неразорения как функцию времени;

- проанализировать влияние характеристик процесса риска на параметры инвестиционного портфеля и вероятность неразорения страховой компании;

- сформировать инвестиционный портфель страховой компании методом имитационного моделирования.

Объектом исследования являются страховые компании РФ.

Предметом исследования являются методы и модели процесса формирования инвестиционного портфеля страховой компании.

Теоретической и методологической основой явились труды отечественных и зарубежных авторов по страхованию и актуарной математике, теории вероятностей, случайным процессам, математической статистике,

численному анализу, имитационному моделированию. Численное моделирование реализовано с помощью среды разработки программ Delphi 7.0.

Информационной базой исследования явились данные по договорам автострахования страховых компаний ОАО «Энергогарант», ОАО «Югория» Оренбургской области за 2008-2012 гг., котировки акций нефтегазового и банковского сектора биржи ММВБ, публикации ученых и практиков, доклады отечественных и зарубежных ученых на конференциях и симпозиумах, связанных с темой исследования, материалы периодической печати и сети Интернет.

Область исследования. Исследование проведено в рамках п. 1.6. «Математический анализ и моделирование процессов в финансовом секторе экономики, развитие метода финансовой математики и актуарных расчетов» паспорта специальности 08.00.13 - Математические и инструментальные методы экономики Паспортов специальностей ВАК (экономические науки).

Вклад автора в проведенное исследование. В представленной диссертации автор внес определенный вклад в постановку задач исследования и разработку научно-практических рекомендаций. Фамилии соавторов, принимавших участие в отдельных направлениях исследования, указаны в списке основных публикаций по теме диссертации. Все результаты, составляющие научную новизну диссертации и выносимые на защиту, получены автором лично.

Научная новизна исследования заключается в моделировании и исследовании инвестиционного портфеля страховой компании, максимизирующего вероятность ее неразорения как в статике, так и в динамике.

Наиболее существенные научные результаты:

- построены модели, позволяющие формировать инвестиционный портфель страховой компании, максимизирующий вероятность ее неразорения в статике;

- разработаны модели формирования динамического инвестиционного

портфеля, максимизирующего вероятность неразорения страховой компании;

- выявлен характер влияния на вероятность неразорения страховой компании параметров процесса риска, таких как размер начального капитала, относительная рисковая надбавка, доходность и волатильность рисковых активов, доходность безрискового актива и т.д., позволяющих управлять процессом формирования оптимального инвестиционного портфеля;

- предложена имитационная модель, позволяющая формировать инвестиционный портфель как функцию времени, максимизирующий вероятность неразорения страховой компании.

Практическая значимость выполненного исследования определяется возможностью использования разработанных моделей при формировании инвестиционного портфеля страховой компании.

Результаты исследования могут представлять интерес для страховых компаний, занимающихся инвестиционной деятельностью. Теоретические и практические выводы, полученные в ходе исследования, используются в курсах учебных дисциплин «Актуарные расчеты в страховании», «Оценка страхового бизнеса», «Статистика страхового дела». Результаты исследования приняты к внедрению в страховых компаниях ОАО «Энергогарант», ОАО «Югория».

По результатам исследования автор награжден дипломом лауреата премии Губернатора Оренбургской области в сфере науки и техники за 2011 г.

Апробация результатов исследования. По итогам диссертационного исследования автор выступил с докладами на международных научных и научно-практических конференциях в республике Казахстан, г. Актобе (2007 г.); г. Волгоград (2011 г.); г. Уфа (2011 г.); Болгарии, г. София (2012 г.); г. Георгиевск (2012 г.); Чехии, г. Прага (2013 г.) и научно-практических семинарах (с получением сертификатов) в ОАЭ, г. Дубай (2008 г.); Испании, г. Пальма (2009 г.); Италии, о. Сицилия (2012 г.); Греции, о. Корфу, г. Каламата (2011, 2013 гг.).

Основные научные результаты диссертационного исследования, изложенные в диссертации, отражены в НИР № 25-г от 28 ноября 2011 г.,

выполненной в рамках гранта Правительства Оренбургской области по теме «Управление социально-экономическими процессами региона».

По результатам выполненного исследования опубликовано 17 работ (из них 6 статей в изданиях, рекомендованных ВАК Минобрнауки России, и 2 зарегистрированных программных средства) общим объемом 4,71 пл., авторский вклад 4,17 пл.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованных источников (167 наименований) и приложений. Работа изложена на 209 страницах текста, содержит 14 приложений.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

В первой главе «Модели и методы оценки вероятности неразорения страховой компании с учетом инвестирования» раскрыто понятие и особенности процесса риска в страховании. Проведен анализ моделей и методов оценки вероятности неразорения страховой компании в статике и динамике. Проанализированы методы и модели формирования инвестиционного портфеля страховой компании. Показано, что в работах отечественных и зарубежных авторов недостаточно внимания уделяется вопросам оценки вероятности неразорения как функции времени в условиях инвестирования свободных средств страховой компанией, а также вопросам формирования инвестиционного портфеля, максимизирующего платежеспособность страховой компании.

Во второй главе «Моделирование стратегии инвестирования собственных средств, максимизирующей вероятность неразорения страховой компании» проведен фундаментально-стоимостной анализ компаний - потенциальных объектов для инвестирования, на основании которого сделан вывод, что акции ОАО Банк ВТБ, ОАО «Газпром», ОАО «Сбербанк» и ОАО «Сургутнефтегаз» целесообразно включить в инвестиционный портфель. Предложена модель формирования стратегии инвестирования из нескольких рисковых и безрискового активов, максимизирующая вероятность неразорения страховой

компании. Проведен анализ влияния характеристик процесса риска на стратегию инвестирования страховой компании в статике.

В третьей главе «Моделирование динамического инвестиционного портфеля, максимизирующего вероятность неразорения страховой компании» предложена модель формирования динамического инвестиционного портфеля, максимизирующего вероятность неразорения страховой компании; построена зависимость вероятности неразорения страховой компании от времени и характеристик процесса риска и активов в условиях инвестирования свободных средств. Выявлен характер влияния характеристик процесса риска и активов на структуру инвестиционного портфеля и вероятность неразорения страховой компании в динамике. Разработана имитационная модель формирования динамического инвестиционного портфеля, максимизирующего вероятность неразорения страховой компании, инвестирующей свободные средства в рисковые и безрисковый активы.

ПОЛОЖЕНИЯ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1 Модели, позволяющие формировать инвестиционный портфель страховой компании, максимизирующий вероятность ее неразорения в статике

Пусть инвестиционный портфель страховой компании ж = ,

р + =1, где р- доля инвестирования в безрисковый актив с доходностью

1-1

г 2 0, а а = (а,,..., а„ )г - доли рисковых активов в портфеле.

Модель для вероятности неразорения страховой компании при условии инвестирования свободных средств страховщика в безрисковый и п некоррелированных рисковых активов можем записать в виде:

Лц,(и) = | ч/"(и)• ((а,от, )2 +... + (а„ст„ )2 )• и1

" (1)

■ +- + а„у"„ +гр)-и + с) + Л\у/{и-2)/( г)дг\

о

= с1/( 0) = ЯИ0), |И>^(|о-2||, где у/(и) = Р(У, > 0,г > 0 | У,=а = и) - вероятность неразорения страховой

компании;

У, - капитал компании в момент времени V,

и - начальный капитал компании;

- доходность г-ого рискового актива, / = 1 ,п, = ,/л.....М„У

- волатильность /-ого рискового актива, г=1 ,п, а = (<т, ,сг2,...,а-,1У;

с - интенсивность поступления страховых премий;

Л — интенсивность поступления исков;

/О) - плотность распределения размеров исков.

Численно решая задачу (1), на сетке узлов, покрывающих параллелепипед {()<«, <1,/ = 1^; 0</?< 1}, получим вероятность неразорения как численно заданную функцию от параметров инвестирования при фиксированных значениях параметров процесса риска, относительно которой перейдём к оптимизационной модели:

Ц'{а1,...,сс г,а,/л,и,с,Х)^> тах

(»1.....

— . (2) Р 6 [0,1],а, в[0,1],/ = \,п, р = 1 -

Для получения решения задачи (2) использован метод проекции градиента. С помощью разработанного автором программного средства определим параметры инвестиционного портфеля.

В качестве доходности безрискового актива выбрано среднее значение доходностей (в размере 0,000274 в день) следующих инструментов: ставка по депозитам ОАО «Сбербанк», ставка рефинансирования Центрального Банка РФ, ставка по государственным облигациям внутреннего займа, ставка по еврооблигациям. Доходности и волатильности цен акций рассчитаны для компаний ОАО Банк ВТБ, ОАО «Газпром», ОАО «Сбербанк», ОАО «Сургутнефтегаз», отобранных для включения в инвестиционный портфель по результатам фундаментального стоимостного анализа (таблица 1).

Задача (2) решена для случая договоров ОСАГО, КАСКО и ОСАГО-КАСКО. Результаты для договоров ОСАГО приведены в таблице 2.

Таблица 1 - Доходности и волатильности цен акций компаний

Компания Доходность цен Волатильность цен

ОАО Банк ВТБ 0,002754 0,01551

ОАО «Газпром» 0,002334 0,012573

ОАО «Сбербанк» 0,002875 0,016394

ОАО «Сургутнефтегаз» 0,001496 0,011428

Таблица 2 - Доли активов в портфеле с несколькими рисковыми активами для договоров ОСАГО при ^ = 395,8 тыс. руб./день, \ = 9,98 иска/день; и = 300 тыс. руб., г = 0,000274

Кол-во риск, активов Вер-ть нер-я Доля безриск. актива Рисковые активы (доли)

ОАО «Газпром» ОАО Банк ВТБ ОАО «Сбербанк» ОАО «Сургутнефтегаз»

2 0,885773 0,034512 0,542795 0,422693 - -

2 0,885764 0,04221 0,558054 - 0,399736 -

2 0,885494 0,065697 0,552343 - - 0,38196

2 0,885736 0,129667 - 0,435933 0,434399 -

2 0,885469 0,179384 - 0,439744 - 0,380872

2 0,885736 0,129667 - - 0,435933 0,434399

3 0,886107 0,08064 0,331662 0,300637 0,287061 -

3 0,885873 0,093455 0,37925 0,335143 - 0,192152

3 0,885896 0,047361 0,432819 - 0,333719 0,186099

3 0,885810 0,063608 - 0,378300 0,356262 0,201831

4 0,886121 0,081398 0,258302 0,256968 0,252802 0,15053

Среди портфелей, состоящих из двух рисковых активов и безрискового, вероятность неразорения оказывается наибольшей в случае инвестирования в акции ОАО «Газпром» и ОАО Банк ВТБ. В случае портфеля, состоящего из трех рисковых активов и безрискового, наибольшую вероятность неразорения получаем при инвестировании в акции ОАО «Газпром», ОАО Банк ВТБ и ОАО «Сбербанк». Среди всех составленных портфелей наибольшая вероятность неразорения, как и следовало ожидать, достигается в случае инвестирования в четыре рисковых и безрисковый активы.

Аналогичные расчеты проведены для договоров КАСКО и портфеля договоров ОСАГО-КАСКО. Наибольшая вероятность неразорения достигается при инвестировании в случае договоров ОСАГО, наименьшая — в случае договоров КАСКО.

2 Модели формирования динамического инвестиционного портфеля, максимизирующего вероятность неразорения страховой компании

Рассмотрим задачу определения вероятности неразорения страховой компании с учетом инвестирования в безрисковый и рисковые активы, цены которых удовлетворяют стохастическому дифференциальному уравнению Блэка-Шоулза:

с/5; + = (3)

где <!>,' - цена г'-ого актива в момент времени /, 1=1,л;

IV,' - и-мерный винеровский процесс, ¿ = 1,я.

Динамика капитала, характеризующая процесс риска страховой компании в случае инвестирования в безрисковый и п некоррелированных рисковых активов, удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению:

(с ~ Л А,

dY(t,(D) = Y(t,a))(rP+YJaiмi)dt+c(t)dt-Л ¡хй^.хdt+Ya^^t>ф)dWl

м и / 1=1 (4)

где

1М)

с(0 = _ — интенсивность поступления премий к моменту времени /; ' 1=1

С; - последовательность независимых, одинаково распределенных случайных величин - размеров премий по г'-му договору, г = 1..лг2(г);

- аппроксимация плотности распределения размеров исков Д/,х) поступивших к моменту времени г.

Здесь р = Р(1)и а-а{0 являются функциями времени (параметр «время» в дальнейшем опущен для краткости записи).

Условную плотность распределения вероятностей того, что размер капитала в момент времени 1 был равен х, а в момент времени г станет равным у, обозначим Р(с,х,т,у). Плотность распределения вероятностей того, что марковский скалярный случайный процесс ¥(т,а), геГ, в течение любого интервала времени (т,т + Ат) не выходит за пределы области 0 < У (г, со) < Утах -Ру(1,х,т, у) (для удобства далее первые два аргумента будем опускать),

удовлетворяет уравнению Колмогорова-Фокера-Планка вида:

+ ^[(ХоЗ + + с(т) -■Мттт,у)}-1^{£а>а12у2Р(т,у)] = 0 (5)

4 дт ду /=1 н

Лг,0) = 0; Р(т,Гтах) = 0.

Вероятность неразорения страховой компании в момент времени г определяется равенством:

у

Р(г)= ^{т^ук. (6)

о

Для численного решения задачи (5)-(6) нами разработано программное средство «Исследование динамики вероятности неразорения и формирование инвестиционного портфеля страховой компании». В качестве входных данных в нем используются: размеры исков, интенсивность поступления исков, интенсивность поступления премий, характеристики активов (доходность безрискового и рискового активов, волатильность цены рискового актива, начальные доли активов, в которых страховая компания инвестирует свободные собственные средства), длина временного промежутка. Выходными данными является значения вероятности неразорения в узлах сетки разбиения по времени.

Варьируя доли рисковых и безрискового активов при решении задач (5)-(6) будем получать различные вероятности неразорения как функции времени, следовательно возникает потребность в выборе оптимальной стратегии инвестирования в каждый момент времени.

Таким образом, предлагается модель формирования инвестиционного портфеля, максимизирующего вероятность неразорения:

Щ)

_ (7)

о<ау«<1; о</?(/)< 1; 2>у.(0+ДО=1;У=1 ■ л;'£[0,Л■

Решение задачи нелинейного программирования (7) осуществлено численно по методу штрафных функций и проекции градиента.

Результаты, к примеру для случая инвестирования свободных средств в

безрисковый актив и в акции ОАО «Газпром», ОАО «Сбербанк» при 1=2,62 исков/день, и = 90 тыс. руб., Д= 0,016338, ¿,= 0,088011, Д,= 0,020125, а2= 0,114758, Р = 0,01918, представленные на рисунке 1, позволяют формировать стратегию инвестирования, максимизирующую вероятность неразорения во времени. Так, на первой неделе нужно инвестировать 26% свободных собственных средств в безрисковый актив, 22% в акции ОАО «Газпром» и 52% в акции ОАО «Сбербанк». Затем до третьего месяца увеличивать долю безрискового актива, увеличивать долю акций ОАО «Газпром» и снижать долю акций ОАО «Сбербанк» в инвестиционном портфеле до значений 43%, 33%, 24% соответственно и т.д.

1 2 3 4 5 8 7 8 9 10 11 12 и

Месяц

- - - • а) Доля безрисковога актива -б) Доля акций ОАО «Газпром»

--в) Доля акций ОАО «Сбербанк» -г) Вероятность неразорения

Рисунок 1 - Зависимость максимальной вероятности неразорения и долей а) безрискового актива б) акций ОАО «Газпром» в) акций ОАО «Сбербанк» от времени при и = 90 тыс. руб.

3 Характер влияния на вероятность неразорения страховой компании параметров процесса риска, таких как размер начального капитала, относительная рисковая надбавка, доходность и волатильность рисковых активов, доходность безрискового актива и т.д., позволяющих управлять процессом формирования оптимального инвестиционного портфеля

Продемонстрируем влияние начального капитала на вероятность неразорения и параметры инвестирования. Для договоров страхования ОСАГО

при инвестировании в три рисковых и безрисковый активы результаты приведены на рисунке 2. Анализ показывает, что в портфеле с тремя рисковыми активами с ростом капитала наблюдается увеличение доли безрискового актива и доли акций ОАО «Газпром», а также уменьшение долей акций ОАО Банк ВТБ и ОАО «Сбербанк».

Аналогичные расчеты проведены для случая инвестирования в три и четыре рисковых и безрисковый активы для договоров ОСАГО, КАСКО и ОСАГО-КАСКО.

Исследование зависимости вероятности неразорения и структуры инвестиционного портфеля от относительной рисковой надбавки представлено на примере договоров страхования ОСАГО в таблице 3. Естественно, что с ростом относительной рисковой надбавки наблюдается увеличение вероятности неразорения. При инвестировании в три рисковых и безрисковый активы для договоров ОСАГО с ростом относительной рисковой надбавки наблюдается увеличение доли безрискового актива и уменьшение долей рисковых активов. Аналогичные зависимости построены для случая инвестирования в четыре рисковых и безрисковый активы для договоров ОСАГО, КАСКО и ОСАГО-КАСКО.

0,4

0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0

-►-Доля безрискового

актива -»-Доля ОАО Банк ВТБ

-*- Доля ОАО «Газпром»

-«-Доля ОАО «Сбербанк»

200 тыс. 250 тыс. 300 тыс. 350 тыс. 400 тыс. руб. руб. руб. руб. руб.

Начальный капитал

Рисунок 2 - Зависимость долей активов в портфеле с тремя рисковыми и безрисковым активами от начального капитала для договоров ОСАГО при с1 =395,8 тыс. руб./день, І, =9,98 иска'день; г = 0,000274

Таблица 3 - Доли активов в портфеле с тремя рисковыми активами для договоров ОСАГО при \ = 9,98 иска/день; и = 300 тыс. руб., г = 0,000274

Отн. риск, надбав ка,% Вер-ть нер-я Доля безриск. актива Рисковые активы (доли)

ОАО Банк ВТБ ОАО «Газпром» ОАО «Сбербанк»

15 0,823634 0,008448 0,324271 0,357396 0,309885

20 0,889214 0,034044 0,310776 0,361417 0,293763

25 0,928421 0,052952 0,301187 0,36332 0,282541

30 0,952195 0,082062 0,291017 0,355241 0,27168

35 0,967133 0,084205 0,287496 0,360696 0,267603

40 0,976638 0,133765 0,276934 0,33717 0,252131

45 0,982883 0,134728 0,275686 0,340036 0,24955

50 0,987089 0,134727 0,275686 0,340034 0,249553

Приведем исследования влияния начального капитала на вероятность неразорения как функцию времени (здесь и далее время дискретизируется с шагом 1 неделя, капитал дискретизируется с шагом 10 тыс. руб. начиная с 50 тыс. руб., при г= 0, /¿ = 0, <7 = 0). Результаты для страховой компании ОАО «Югория» представлены на рисунке 3.

Рисунок 3 - Зависимость вероятности неразорения от времени для размера начального капитала а) 50 тыс. руб.; б) 60 тыс. руб.; в) 70 тыс. руб.; г) 80 тыс. руб.; д) 90 тыс. руб.; е) 100 тыс. руб. для случая отсутствия инвестирования

Высокий уровень платежеспособности достигается уже при начальном капитале, равном 100 тыс. руб., что объясняется объемом поступающих

премий и выплаченных исков (интенсивность исков - 2,62 иска/день: средний размер иска - 60308,87 руб., интенсивность премий - 5,1 ед./день, средний размер премии - 38418,59 руб.). Однако, если начальный капитал меньше 100 тыс. руб., г = 0, /¿ = 0, <г = 0, то на 22 неделе происходит значительное снижение вероятности неразорения. Поскольку начальным моментом времени является конец 2011 года, а выплаты по искам происходят в течение 30 рабочих дней с момента поступления, то страховые случаи, по которым иски оплачивались на 22 неделе, происходили в неблагоприятных погодных условиях, которые привели к увеличению числа аварий. Схема выплат по искам представлена на рисунке 4. По всей видимости, поступление большого количества исков размером много выше среднего и малое количество денежных средств, полученных от премий, и служит объяснением приведенной ситуации.

иск поступил о ■ II 1 1 иск удовлетворен о

»-1-1- 1 1 Декабрь 2011г. Январь 2012т Февраль 2012т г.-------- (1-5 недепя) (5-9 неделя) (9-13 неделя) РМ' неделя)..... превзошел страховой случай Апрель 2012г. :(17-21 неделя) :30 дней на оценку ущерба !"! мая 2012 22 неделя ¡выплата по ¡-страховому случэю

Рисунок 4 - Схема выплат по искам

Исследование вероятности неразорения страховой компании как функции времени в различных условиях инвестирования показало, что инвестирование в рисковый актив (/¿ = 0,4, <т = 0,25) позволило повысить вероятность неразорения на 22 неделе с 0,51 до 0,88 (рисунок 5). Пик снижения в этом случае приходится на 12 неделю. Вероятность неразорения на этот момент времени составила 0,77. Помимо этого в период с 27 по 31 неделю наблюдается превышение вероятности неразорения для случая отсутствия инвестирования над вероятностью для случаев инвестирования в рисковый и в безрисковый активы. Приведем размеры исков и размеры поступивших премий в страховую компанию за эти периоды (таблица 4).

0.95 0.9 5 0.85 І" і0-75 1 0,7 | 0.65 0.6 0.55

ЛЛ /ч /-Лл / А -

і- - «Я ^ Чс^,^..-... .

. „ \

\ ■І !

' 1

м

<1

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 |-в) инвестирование в рисковый аггив — —б) инвестирование в безрисковый актив......а) без инвестирования ]

Рисунок 5 - Зависимость вероятности неразорения от времени в случае а) без инвестирования б) инвестирования в рисковый актив (¿ = 0,4, а = 0,25) в) инвестирования в безрисковый актив при фиксированном наборе параметров Л = 2,62 исков/день, и = 90 тыс. руб.

Таблица 4 - Размеры поступивших премий и выплаченных исков

Неделя Вероятность неразорения в случае инвестирования Размер исков (тыс. руб.) Размер премий (тыс. руб.)

Рисковый актив Безрисковый актив Без инвестирования

12 0,771 0,869 0,871 21734,48 6755,39

28 0,850 0,925 0,900 9469,65 5189,77

30 0,841 0,875 0,861 16338,14 8340,19

Размер исков в указанные периоды превышает размер премий, полученных страховой компанией, поэтому возникает ситуация, когда свободных собственных средств не хватает для удовлетворения всех предъявленных исков. В такой ситуации дополнительное изъятие собственных средств на инвестирование повлечет, как мы видим на рисунке 5, только уменьшение вероятности неразорения.

4 Имитационная модель, позволяющая формировать инвестиционный портфель как функцию времени, максимизирующий вероятность неразорения страховой компании

В рамках описанных выше моделей мы придерживались определенных ограничительных предположений относительно характера изменения цены

актива. Метод имитационного моделирования свободен от таких предположений. С его помощью возможно генерировать всё многообразие ожидаемых вариантов доходностей активов, оценивать вероятность неразорения независимо от характера распределения размера выплат по искам страховой компании и объема страховых премий.

Рассмотрим инвестиционный портфель к = \р } страховой

компании. Капитал компании У, в момент времени I будет равен

у, =п-

м ; ¿=о ^

Г0 = и, 1 = 1,2-Т,

где с, - случайная величина, характеризующая премии, поступившие в период

[м.А;

ЛГ, - случайная величина, характеризующая количество исков, поступивших в период [(-1,/];

Хи - случайные величины, характеризующие размер г'-го иска (/=0 поступившего в период [/-1,/];

Ми - случайная величина - доходность у-го рискового актива (/=1,..«) в

момент времени Ц

Т— горизонт планирования.

Вероятность неразорения в течение периода планирования Т при начальном капитале и определим как (р («,/) = Р(У, > 0, V; = 1,2,...Г / У0 = и). Тогда задача формирования инвестиционного портфеля примет вид

<р {и,0 = Р% > 0,Уг = 1,2..Г | У0 = и) -> тах (9)

А0 + 2>./(0 = 1, А0*0, «Д0>0, j = Ьt,í = 1,2...7".

М

Оптимальным будем считать портфель, обладающий максимальной вероятностью неразорения при условии, что количество имитаций стремится к бесконечности. В реальных ситуациях число имитаций конечно, поэтому полученный портфель будет в некоторой степени «случаен». Учитывая этот

факт и необходимость снижения влияния эффекта переоптимизации, связанного с тем, что оптимальный портфель на практике показывает худшие результаты, оптимальные веса в портфеле будем усреднять по первой сотне портфелей, давших максимальные значения вероятности неразорения.

Для решения задачи (9) предлагается следующий алгоритм:

0 Задаем К - количество рассматриваемых вариантов портфеля, Ь -общее количество имитаций доходностей рисковых активов для каждого варианта портфеля, и, Т, п, г, статистические данные наблюдений о размерах премий, количестве исков, размерах исков, доходностях рисковых активов

1 к= 1 (счетчик вариантов портфеля)

2 Генерируем портфель я - \p,ceJ■} / = 1 ,-п

3 1=1 (счетчик имитаций доходностей активов)

4 р,=0 - счетчик числа имитаций, приведших к отрицательным значениям капитала в каждый момент времени ¿=1,2..Т

5 70=и

6 ¿=1

7 Генерируем доходности рисковых активов , ,у=1 ..п

8 Генерируем размер премий с,

9 Генерируем количество исков М,

10 Генерируем размеры исков Хи, :=1.. Ы,

11В соответствии с моделью (8) вычисляем капитал У,

12 Если ¿<Гто (¿=¿+1; идти на шаг 7) иначе 13

13 Если 1<Ь, то (/=/+1; идти к шагу 5) иначе 14

14 Вычисляем вероятность неразорения для к-го портфеля в момент времени V. (рК, =(ь~ р,)/Ь

15 Если к<Кто (к=к+1, идти к шагу 2) иначе 16

16 Определяем 100 портфелей, дающих максимальные значения вероятностей неразорения <рк^, / = 1,2.1

17 Усредняем доли активов и вероятность неразорения по сотне

портфелей, давших максимальные значения <рк1, ¿ = 1,2..Г 18 Конец алгоритма

Значения вероятности неразорения и долей активов в инвестиционном портфеле, максимизирующем платежеспособность страховой компании, полученные в соответствии с представленным алгоритмом, приведены на рисунке 6.

я С.9 •

0.8 -0.7

.2

и.ь

5

ё и. 1 —А— -А-н -Лг-1 —А.

,г "V— —Ж— -с- -3-і —¡9— -а— -ЄН-1

з

з

2 3 А 5 6 7 8 Э 10 11 12 13 н«д 1А •ли 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2А 25 26

— — вероятность нераэорения —ле— беэрисковыи актив -сг— ОАО Банк ВТБ —ОАО «Сбербанк» ОАО « -•—ОАО « азпром» Сургутнефтегаз»

Рисунок 6 - Зависимость вероятности неразорения и долей активов для договоров автострахования от периода времени при инвестировании в безрисковый актив и рисковые активы: ОАО «Газпром», ОАО Банк ВТБ, ОАО «Сбербанк», ОАО «Сургутнефтегаз», при Я = 2,62 исков/день, и =100 тыс. руб.

Анализ результатов показал, что наибольшая доля в портфеле, максимизирующем вероятность неразорения, приходится на безрисковый актив. Доля акций ОАО «Сургутнефтегаз» в портфеле меньше, чем остальных рисковых активов. Наибольшая доля приходится на акции ОАО «Газпром». Вероятность неразорения с течением времени увеличивается.

Некоторые различия в зависимостях вероятности неразорения от времени, полученных с одной стороны в результате решения задачи (7), а с другой стороны методом имитационного моделирования, можно объяснить следующими причинами: при решении задачи (7) не учитывалась корреляция между активами, а доходности активов рассчитывались как оценки точечных характеристик отношений логарифмов цен рисковых активов, в то время как

при формировании портфеля методом имитационного моделирования доходности активов генерировались случайным образом в соответствии с законом распределения указанных случайных величин. Кроме того, имитационное моделирование позволило учесть случайную составляющую притока премий.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Цель диссертационной работы заключалась в разработке моделей формирования инвестиционного портфеля, максимизирующего вероятность неразорения страховой компании как в статике, так и в динамике.

В результате проведенного исследования получены следующие результаты:

1) обоснована актуальность разработки моделей формирования инвестиционного" портфеля страховой компании, максимизирующего вероятность неразорения;

2) показано, что с помощью предложенных в работе моделей задача формирования инвестиционного портфеля, максимизирующего вероятность неразорения страховой компании в статике, сводится к решению краевой задачи для интегро-дифференциального уравнения с последующим решением оптимизационной задачи нелинейного программирования;

3) задача формирования инвестиционного портфеля, максимизирующего вероятность неразорения страховой компании в динамике, сводится к решению уравнения Колмогорова-Фокера-Планка с последующим решением задачи условной нелинейной оптимизации;

4) выявлен характер влияния на вероятность неразорения таких параметров процесса риска, как начальный капитал, относительная рисковая надбавка, а также характеристик активов: доходность и волатильность рисковых активов, доходность безрискового актива. Исследования показали, что:

- увеличение капитала страховой компании и относительной рисковой надбавки ведет к увеличению вероятности ее неразорения и незначительно меняет структуру инвестиционного портфеля, максимизирующего вероятность

неразорения;

- диверсификация инвестиций ведет к увеличению вероятности неразорения;

- при сравнительно небольших значениях капитал оказывает существенное влияние на вероятность неразорения;

5) разработана имитационная модель формирования динамического инвестиционного портфеля, максимизирующего вероятность неразорения страховой компании, позволяющая при формировании стратегии инвестирования учитывать корреляцию между активами и случайную составляющую притока премий.

Предлагаемые в диссертационной работе математические модели рекомендуются к использованию при формировании инвестиционного портфеля страховой компании. Результаты проделанной работы могут представлять интерес для страховых компаний.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

В журналах и изданиях, рекомендованных ВАК Минобрнауки России:

1 Буреш, А.И. Фундаментальный стоимостной анализ акционерных компаний РФ / А.И. Буреш // Вестник Оренбургского государственного университета,-2010.-№ 13. - С. 249-253. - 0,31 п.л.

2 Буреш, А.И. Формирование и управление портфелем ценных бумаг/ А.И. Буреш // Вестник экономической интеграции. - 2011. - № 6. - С. 15-23. -0,56 п.л.

3 Буреш, А.И. Построение модели оптимального портфеля ценных бумаг/ А.И. Буреш // Экономика и предпринимательство. - 2012. - № 1. — С. 223-227. -0,31 п. л.

4 Буреш, А.И. Динамическая модель формирования инвестиционнго портфеля страховой компании РФ / А.Г. Реннер, А. И. Буреш // Вестник Оренбургского государственного университета. - 2012. - № 13. - С. 295-297. -0,2 п.л. (0,1 авт. п.л.)

5 Буреш, А.И. Оптимизация стратегии инвестирования страховой компании в случае нескольких рисковых активов / А.Г. Реннер, О.Н. Яркова,

А.И. Буреш // Вестник Оренбургского государственного университета. - 2012. -№ 1. - С. 84-88. - 0,31п.л. (0,15 авт. пл.)

6 Буреш, А. И. Формирование инвестиционного портфеля имитационным моделированием / А.И. Буреш // Экономика и предпринимательство. - 2013. -№ 12. -Ч. 1. -С. 754-758.-0,31 п.л.

Общие публикации:

7 Буреш, А.И. Многомерный статистический анализ для комплексной оценки финансовой устойчивости предприятия / А.И. Буреш // Конкурентоспособность национальной экономики в условиях глобализации: материалы международной научной конференции. - Актобе, 2007. — С. 287-288. -0,13 п.л.

8 Буреш, А.И. Формирование инвестиционного портфеля / А.И. Буреш // Математические методы и инструментальные средства в информационных системах: сборник научных трудов. - Оренбург: ИПК ГОУ ОГУ, 2008. -С. 311-315.-0,31 п.л.

9 Буреш, А.И. Теоретические основы портфельного инвестирования / А.И. Буреш // Формирование рыночного хозяйства: теория и практика: сборник научных статей / под ред. проф. М.Г. Лапаевой. - Оренбург: ИПК ГОУ ОГУ, 2011. - Выпуск XI. - С. 38-45. - 0,5 пл.

10 Буреш, А.И. К вопросу формирования оптимального портфеля на основе имитационного моделирования/ А.И. Буреш // Актуальные проблемы науки и техники: сборник научных трудов Ш Международной научно-практической конференции молодых ученых, посвященной году химии. - Уфа: Нефтегазовое дело, 2011. - С. 147-149. - 0,19 пл.

11 Буреш, А.И. Методология портфельного управления в коммерческом банке / А.И. Буреш // Вопросы экономики и управления в современном обществе: сборник научных статей по итогам Международной научно-практической конференции. - Волгоград: Волгоградское научное издательство, 2011. - С.42-44. — 0,19 пл.

12 Буреш, А.И. Основы моделирования инвестиционного портфеля страховой компании / А.И. Буреш //Актуальные вопросы современной науки:

сборник научный статей. - Оренбург: ООО ИПК «Университет», 2011. -Выпуск I. - С. 61-63. - 0,19 п.л.

13 Buresh, A.I. Investment Portfolio Organization of Insicrance Companios. / A.I. Buresh // Problems and trends of economy and management in the modern world. Proceedings of the International Conference - Sofia, 24.12.2012. - Issue 1. -Bulgaria, Sofia: Science and economy, 2012. - 1 electron, wholesale, disk (CD-ROM), pp. 29-34. - 0,4 п.л.

14 Buresh, A.I. Realization of Insurance Institution in Russian Renovating Economy / O.V. Buresh, A.I. Buresh // Economics, organization and management of enterprises, industries and complexes in market conditions: methods, mechanisms, tools and technologies: proceedings of the annual international conference, 18-20 February 2013, Czech Republic, Prague. Ed. B.I. Boyarintsev. Kirov, MTSNIP, 2013.-323 p. - 1 electron, wholesale, disk (CD-ROM), pp. 78-83. - 0,4 п.л. (0,37 авт. п.л.)

15 Буреш, А.И., Оптимизация стратегии инвестирования страховой компании методом имитационного моделирования / О.Н. Яркова, А.И. Буреш, О.А. Чеснокова //Актуальные вопросы технических, экономических и гуманитарных наук: материалы VIII Международной заочной научно-практической конференции. - Георгиевск: Георгиевский технологический институт (филиал) ФГАОУ ВПО «Северо-кавказский федеральный университет», 2012. - С. 108-112. - 0,4 пл. (0,15 авт. п.л.)

Программные средства:

16 Буреш, А.И. Автоматизированный программный комплекс «Оптимизация стратегии инвестирования и перестрахования страховой компании»: прикладная программа [Электронный ресурс] / О.Н. Яркова, А.И. Буреш. - Зарегистрирован в ЦИТИС-ВНТИЦ, № 50201251102 от 30.08.2012 г., г. Москва, 2012. - 1,54 Мбайт.

17 Буреш, А.И. Имитационное моделирование инвестиционного портфеля страховой компании: прикладная программа [Электронный ресурс] / О.Н. Яркова, О.А. Чеснокова, А.И. Буреш. - Зарегистрирована в УСИТО ОГУ, № 862 от 21.10.2013 г., г. Оренбург: ОГУ, 2013,- 1 Мбайт.

Подписано в печать 22.11.2013 г. Формат 60x84'/16, бумага офсетная, гарнитура «Тайме». Усл. печ. листов 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 242.

Участок оперативной полиграфии ОГУ 460018, г. Оренбург, пр-т Победы 13, Оренбургский государственный университет