Моделирование оптимальных контрактов рискового страхования тема диссертации по экономике, полный текст автореферата

Автореферат диссертации по теме "Моделирование оптимальных контрактов рискового страхования"

На правах рукописи

Эльканов Расул Дахирович

МОДЕЛИРОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ КОНТРАКТОВ РИСКОВОГО СТРАХОВАНИЯ

08.00.13 - Математические и инструментальные методы экономики

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата экономических наук

Кисловодск - 2003

Диссертация выполнена в Кисловодском институте экономики и права

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Наталуха Игорь Анатольевич Официальные оппоненты: доктор экономических наук, профессор

Кардаш Виктор Алексеевич, кандидат экономических наук, доцент Васильева Марина Евгеньевна

Ведущая организация: Кабардино-Балкарский территориальный фонд

обязательного медицинского страхования

Защита состоится 21 декабря 2003 г. в 16 часов на заседании диссертационного совета ДМ 521.002.01 по экономический наукам в Кисловодском институте экономики и права (357700, г. Кисловодск ул. Р. Люксембург, 42)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Кисловодского института экономики и права.

Автореферат разослан 20 ноября 2003 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат экономических наук, доцент

Дмитриев В.А.

0.0455-

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. В условиях рыночной экономики страхование относится к числу наиболее динамично развивающихся и востребованных отраслей сферы услуг. Оно обеспечивает социально-экономическую стабильность путем гарантирования собственникам возмещения ущерба при гибели или повреждении их имущества и потере дохода. Страхование позволяет юридическим и физическим лицам возмещать ущерб, причиненный случайными неблагоприятными событиями, предоставляет гражданам возможность получения страхового обеспечения при дожитии до определенного возраста, наступлении временной нетрудоспособности, инвалидности. Таким образом, страхование обеспечивает непрерывность экономической деятельности, а также поддержание уровня жизни и доходов людей при наступлении страховых случаев. Предпосылками для дальнейшего развития страхования в нашей стране являются не только наметившаяся финансовая стабилизация и оживление экономики, но и становление источников такого развития. Во-первых, рост негосударственного сектора экономики: частный предприниматель в силу своей экономической обособленности от государства вынужден страховать свои риски. Во-вторых, источником спроса на страховые услуги является рост объемов и разнообразия частной собственности физических и юридических лиц. В-третьих, важным источником развития страхового рынка является сокращение некогда всеобъемлющих гарантий, предоставляемых системой государственного соцстрахования и соцобеспечения. В настоящее время отсутствие этих гарантий восполняется различными формами личного страхования.

Определение оптимальной стратегии страхователя (т.е. оптимального соотношения между использованием внутренних механизмов нейтрализации риска и страхования) в краткосрочном и долгосрочном периодах весьма важно для страховых компаний и страхователей при выборе различных схем контрактов рискового страхования. Большое практическое значение имеет также опреде-

РОС. национальная ]

БИБЛИОТЕКА ]

ление условий конкурентоспособности страховщика, выяснение оптимальной формы страхового контракта при страховании одного или нескольких рисков, исследование влияния формы страхового контракта на спрос на страхование, определение оптимальной величины франшизы. Этим и определяется актуальность исследования.

Степень изученности проблемы. Организационно-экономические вопросы, возникающие в процессе функционирования рынка страховых услуг, активно исследуются в трудах отечественных ученых A.A. Александрова, Ш.Р. Агеева, Н.М. Васильева, К.Г. Воблого, A.A. Гвозденко, C.JI. Ефимова, Ю.М. Журавлева, Э.Т. Кагаловской, Т.В. Никитиной, В.А. Сухова, Т.А. Федоровой,

A.К. Шихова, а также зарубежных ученых А. Андерсена, Е. Вагнера, Р. Коха, Г. Лукарша, Д. Маглера, Т. Ричтера, Д. Фарни, Е. Хелтена, Д. Хэмптона, Р. Шмец-ке, А. Шульца.

Методы актуарных расчетов (демографическая статистика и оценка ожидаемой величины страховых выплат для основных типов страхования жизни, различные способы уплаты страховых взносов, расчет страховых нетто- и брут-то-резервов) активно развивались в течение 20 века. Детальному изложению методов актуарных расчетов посвящены монографии X. Гербера, А.И. Калих-мана, И. Карри, Ю.Ф. Касимова, А.А.Кудрявцева, , В.Б. Кутукова, Ф. Нейла,

B.И.Рябикина, Г.И. Фалина, Э. Хелферта, Е.М. Четыркина, Э. Штрауба.

В основе страхования лежит понятие риска как случайного события, приводящего к ущербу. Вопросы управления рисками, включающего идентификацию, измерение и контроль риска, рассматриваются в работах В.В. Аленичева, И.Т. Балабанова, Ю. Белова, В.А. Кардаша, X. Марнина, Т.В. Никитиной, В.А. Перепелицы, Е.В. Поповой, К. Рэдхэда, В.Х.Сижажева, К. Стокера, Д. Хумме-ля, С. Хьюза.

Оптимальная форма страхового контракта в статических условиях исследовалась в работах А. Равива, Ф. Рэмси, X. Шлезингера, К. Эрроу. Фундамен-

тальную роль в исследовании оптимальной структуры страхового контракта сыграла теорема Эрроу, в которой установлено, что при страховой премии, зависящей только от актуарной стоимости страхового полиса, отвергающий риск страхователь предпочитает полис с прямой франшизой любой другой форме страхового полиса. А. Равив распространил этот результат на страхование нескольких рисков одновременно, рассмотрев Парето-оптимальные страховые контракты и показав, что оптимальной формой страхового контракта с несколькими рисками является контракт с совокупной франшизой. Однако реальные рынки страхования, как правило, страхуют каждый риск в отдельности, применяя отдельные франшизы. Поэтому теорема Эрроу - Равива имеет весьма ограниченное применение и требует распространения на реальные ситуации. Заметим, что оптимальную величину фактора нагрузки упомянутая теорема не устанавливает.

Кроме того, недостаточно разработаны вопросы оптимального соотношения страхования и самострахования (в зависимости от частоты страховых случаев, франшизы, нормы прибыли банковского депозита, фактора нагрузки и отношения страхователя к риску). Принципиально важной задачей является также исследование динамического спроса на страхование, что определило тему и постановку задач диссертационного исследования. Решение всех этих проблем требует развития методологии экономико-математического моделирования и совершенствования математических моделей отображения процессов страхования экономической деятельности в условиях рыночной экономики.

Цель и задачи исследования. Цель диссертационного исследования заключается в разработке оптимальных форм контрактов рискового страхования и в определении оптимального соотношения страхования и самострахования в краткосрочном и долгосрочном периодах.

Достижение поставленной цели потребовало решения следующих задач:

- постановка задачи динамического стохастического программирования, описывающей взаимодействие страхования и самострахования с учетом накопления капитала, потребления и экзогенного риска;

- вывод системы уравнений, определяющих оптимальную стратегию страхователя; определение на их основе оптимальных уровней потребления и страхования при различных функциях полезности страхователя в зависимости от величины фактора нагрузки, коэффициента относительного неприятия-риска страхователя и интенсивности страховых случаев;

- определение областей параметров задачи, в которых самострахование предпочтительнее страхования; изучение влияния цены страхования на спрос на страхование в долгосрочном и краткосрочного периодах;

- выяснение влияния наложения обязательного страхования на оптимальную норму потребления страхователя;

- выяснение структуры оптимального страхового контракта при страховании нескольких рисков; анализ различий страховых полисов с агрегированными и совокупными франшизами.

Предмет и объект исследования. Предметом диссертационного исследования являются финансово-экономические отношения, складывающиеся на страховом рынке. Объектом исследования являются участники страхового рынка: страховщики, оказывающие услуги добровольного и обязательного страхования, и страхователи, пользующиеся этими услугами.

Теоретическая и эмпирическая база исследования. Диссертационное исследование основано на фундаментальных разработках отечественных и зарубежных ученых-экономистов по проблемам страхования, теории риска, экономики благосостояния, теории стохастической оптимизации. Информационно-документальной базой исследования являются законодательные и нормативные акты, данные Госкомстата РФ, а также собственные расчеты автора.

Представленное диссертационное исследование выполнено в рамках п. 1.2 "Теория и методология экономико-математического моделирования, исследование его возможностей и диапазонов применения: теоретические и методологические вопросы отображения социально-экономических процессов и систем в виде математических, информационных и компьютерных моделей" и п. 1.6 "Математический анализ и моделирование процессов в финансовом секторе экономики, развитие метода финансовой математики и актуарных расчетов" паспорта специальности 08.00.13 - Математические и инструментальные методы экономики.

Методы исследования. В диссертации, в рамках системного подхода, использовались различные методы и приемы экономических исследований: монографический, сравнительный, динамического стохастического программирования, графический, расчетно-конструктивный.

Научная новизна работы заключается в развитии методологии математического моделирования процессов на рынке страховых услуг на основе комплексного подхода к оценке и выбору оптимальной стратегии страхователя при определении условий контрактов рискового страхования. Конкретное приращение научного знания характеризуется следующими положениями:

- сформулирован подход к экономико-математическому описанию процессов формирования условий контрактов по оказанию услуг страхования с учетом взаимодействия внешних и внутренних факторов: сочетания страхования и самострахования, потребления и экзогенного риска;

- поставлена задача динамического стохастического программирования и на ее основе определены оптимальные уровни потребления и страхования (т.е. величины франшизы) в зависимости от величины фактора нагрузки, коэффициента относительного неприятия риска страхова-

теля, интенсивности страховых случаев и фактора временного предпочтения страхователя. Получено аналитическое выражение для эволюции оптимального благосостояния страхователя во времени как функции числа страховых случаев, франшизы, нормы прибыли безрискового депозита, фактора временного предпочтения страхователя, фактора нагрузки и коэффициента относительного неприятия риска страхователя;

- получен критерий сходимости оптимальной траектории благосостояния страхователя к состоянию полного страхования. Определены области параметров задачи, в которых накопление капитала (самострахование) предпочтительнее страхования, а также области, в которых страхование является временной переходной стратегией. Показано, что непрерывное увеличение цены страхования сокращает спрос на страхование в долгосрочном периоде, однако неоднозначно влияет на спрос на страхование в краткосрочном периоде: спрос на страхование определяется соотношением эффекта замещения (положительного) и эффекта благосостояния (отрицательного).

- установлено граничное значение фактора нагрузки (условие конкурентоспособности страховщика), ниже которого в долгосрочном периоде страхователь покупает полное страхование, а выше которого спрос на страхование вообще отсутствует;

- выяснено влияние наложения обязательного страхования на оптимальную норму потребления страхователя. Показано, что при изо-эластичных функциях полезности обязательное страхование сокращает оптимальную норму потребления, если коэффициент относительного неприятия риска страхователя меньше единицы, и увеличивает оптимальную норму потребления, если этот коэффициент меньше единицы. При логарифмической функции полезности наложение полного обязательного страхования не влияет на потребление;

- выяснена структура оптимального страхового контракта при страховании нескольких рисков: установлено, что оптимальный страховой контракт для одного риска в присутствии других независимых рисков предполагает наличие страховой франшизы. Показано, что страховые полисы с раздельными франшизами обеспечивают страхователю меньшие страховые выплаты при высоких совокупных уровнях нескольких источников убытка и большие страховые выплаты при незначительных убытках;

- выяснено влияние формы франшизы на спрос на страхование. Показано, что при малом значении фактора нагрузки, что соответствует почти полному страхованию рисков, оптимальная величина страховой премии выше для страхового контракта с отдельными франшизами, чем с совокупной франшизой. При больших значениях фактора нагрузки, соответствующих отсутствию спроса на страховые контракты с отдельными франшизами, существует положительный спрос на страховые контракты с совокупной франшизой.

Практическая значимость исследования определяется тем, что разработанные в диссертации модели, методы и алгоритмы могут быть использованы страховыми компаниями и страхователями при выборе контрактов рискового страхования. Рассчитанные в работе оптимальные уровни потребления и страхования в зависимости от величины фактора нагрузки, коэффициента относительного неприятия риска страхователя, интенсивности страховых случаев и фактора временного предпочтения страхователя являются основой определения оптимального соотношения страхования и самострахования. Результаты исследования спроса на страхование в зависимости от величины формы фактора нагрузки, а также сравнительный анализ страховых контрактов с агрегированными и раздельными франшизами определяют условия конкурентоспособности страховой компании. Результаты исследования использованы в учебном про-

цессе при разработке программ и учебных курсов по страхованию и актуарным расчетам и экономико-математическому моделированию.

Апробация результатов исследования. Результаты и выводы диссертационного исследования докладывались автором на IV и V Всероссийских симпозиумах "Математическое моделирование и компьютерные технологии (г. Кисловодск 2000,2002 гг.), региональных научных семинарах "Методология системных исследований в гуманитарных отраслях науки" (г. Волгоград, г. Кисловодск, г. Нальчик, 2000-2003 гг.).

Публикации. Основные положения диссертационного исследования отражены в 4 публикациях автора объемом 2,2 п. л.

Объем и структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, 3 глав, заключения и списка использованной литературы. Работа изложена на 127 страницах машинописного текста, содержит 1 таблицу и 11 рисунков.

Во введении обоснована актуальность темы исследования, дана характеристика степени изученности проблемы, изложена цель и задачи исследования, научная новизна и практическая значимость.

В первой главе "Страхование и актуарные расчеты" раскрывается экономическая сущность страхования, вводятся основные понятия страхования и рассматриваются принципы страховой деятельности. Дается классификация видов страхования. Рассматривается управление рисками в страховании и принципы расчета страховой премии. Сделан краткий обзор математических методов расчета рискового страхования.

Во второй главе "Моделирование оптимального соотношения страхования й самострахования в краткосрочном и долгосрочном периодах" формулируется задача динамического стохастического программирования, описывающая взаимодействие страхования и самострахования. Анализируются ос-

новные классы функций полезности, характеризующие различную степень относительного неприятия риска. Проведем подробный анализ задачи при степенных функциях полезности. Получено аналитическое выражение для эволюции благосостояния страхователя во времени в зависимости от частоты инцидентов, франшизы, банковского процента по депозиту, фактора нагрузки и коэффициента относительного неприятия риска страхователя. Исследован спрос на страхование в краткосрочном и долгосрочном периодах.

В третьей главе "Оптимальная форма страхового контракта при страховании нескольких рисков" установлено, что оптимальный страховой контракт для одного риска в присутствии других независимых рисков предполагает наличие страховой франшизы. Проведено сравнение страховых полисов с раздельными и агрегированными франшизами при фиксированной страховой премии. Исследовано влияние формы страхового контракта на спрос на страхование при условии выбора размера страховой премии страхователем.

В заключении содержатся основные теоретические и практические выводы по проведенному диссертационному исследованию.

Основные научные положения, результаты и выводы Для определения оптимальной стратегии в условиях, когда в качестве противостояния риску используется как страхование, так и накопление банковских депозитов (т.е. самострахование), рассмотрим индивидуума, непрерывно сталкивающегося в каждый момент времени с риском, генерирующим некоторую потерю благосостояния из-за неблагоприятного случая. В краткосрочном периоде для индивидуума предпочтительна передача большей части риска страховщику, если он (индивидуум) не имеет финансовых резервов. Если индивидууму удается избежать несчастных случаев, и если его норма потребления не слишком велика, он сможет накопить резервы в форме депозитов, что позволит ему в будущем противостоять риску.

При следовании такой стратегии должны быть решены две важные про-

блемы: (1) каков оптимальный уровень резервов и спрос на страхование в долгосрочном периоде? (2) необходимо согласовать две противоположные цели в краткосрочном периоде - защиту индивидуума от больших убытков и увеличение резервов для защиты от риска в будущем (путем сокращения расходов на страхование). Эти цели противоречивы, поскольку первая достигается путем достаточно больших затрат на страхование, а вторая требует сокращения потребления, в том числе и расходов на страхование.

Рассмотрим непрерывную по времени модель, в которой экономический агент выбирает правила потребления и страхования о целью максимизации ожидаемой дисконтированной полезности своего плана потребления C(t) на жизненном временном горизонте [to,T]. Задача оптимизации записывается следующим образом:

7

I{W0,t0) = max Е |м [С (t) ] f^d t+ ё6(ТЧо)В [Ж(Г)], (1)

'о

W(to) = WQ,

где W(t) и W0 - благосостояние и начальное благосостояние, Е - оператор математического ожидания, 5 - множитель, определяющий норму дисконта (т.е. норму, используемую при дисконтировании доходов и расходов вследствие существования временного предпочтения), u[C(t)] - функция полезности, B[W(T)]- функция наследства. Предполагаем, что функция полезности и функция наследства являются возрастающими и вогнутыми функциями.

Бюджетное ограничение предполагает, что финансовые резервы принимают форму депозитов. Доходность г по депозитам предполагается свободной от риска. Мгновенный поток некапитализируемого дохода обозначим w. Обе эти экзогенные переменные могут меняться со временем. Наконец, индивидуум сталкивается с экзогенным риском. Предполагаем, что этот риск описывается случайным процессом Пуассона q(t) с параметром я>0. Случайная переменная

ц(1) представляет собой число инцидентов, происшедших во временном интервале роД]. Таким образом, вероятность к инцидентов определяется выражением:

для любых < 5 < I < Т. Тяжесть убытка в случае инцидента описывается случайной величиной х(1), кумулятивная функция распределения которой У7, может зависеть от времени. Бюджетное ограничение с учетом страхования принимает следующий вид:

с1]¥{1) = [40 + г(1)Щ0 - С(0 - (1 - В(0)Р(()]Ж - Л(()х(()с/д(0, (2)

Задача состоит в том, чтобы выбрать законы потребления и страхования и таким образом, чтобы максимизировать 1(\Уо,1о) с учетом урав-

нения (2). Функция 1(>УД) представляет собой дисконтированную величину ожидаемой полезности вдоль оптимальной траектории. Оптимальную траекторию благосостояния обозначим . Предполагая, что функция дважды непрерывно дифференцируема, можно применить принцип оптимальности Беллмана и записать:

/(ГУ,0 = тахЕ[и(С)Л + ё**/(1Г& + а0 , а(г + <Ш.

с,о

Переходя к пределу при А—»0 и используя дифференциальный оператор Пуассона, получаем:

д1¥

0=гпахм(С) -<5Г+/. +/ш--я[Щ^)-ЕЩ-Вх{0,/)], „ч

С.£> ^

причем

д IV

-= м, + г Т/Г-С-$.-В)Р. ш

д г у '

Условия (3) и (4) определяют оптимальную стратегию владельца страхового полиса. Задача для индивидуума в каждый момент времени сводится к двумерной задаче выбора уровня текущего потребления и страхования (франшизы) и, напротив, уровня сбережения. Условия первого порядка для С и В смогут быть записаны следующим образом:

= (5)

Р{Г)1Ш (IV,о = тгЕ х(0 1ш (Ш-И (6)

Условие (5) устанавливает, что предельная полезность текущего потребления вдоль оптимальной траектории должна быть равна предельной величине запаса капитала, т.е. предельной ожидаемой полезности будущего потребления. Условие (6) может быть интерпретировано как балансовое условие. Ввиду наличия нелинейностей система условий (5), (6) в общем случае не может быть решена аналитически. Однако существуют два исключения. Первый случай представляет собой ситуацию, когда функция полезности соответствует постоянному относительному неприятию риска. Другое исключение имеет место, когда страховка продается по актуарно справедливой цене

Ех

В этом случае все не принимающие риск индивидуумы купят полную страховку, поскольку условие (6) с очевидностью выполняется при = О

при любых \¥л . При полной страховке неопределенность исчезает, и задача сводится к хорошо известной задаче оптимального потребления в условиях определенности: при актуарно справедливой цене на страхование стратегии потребления и страхования независимы друг от друга.

Известной особенностью статического спроса на страхование является то, что страхование может быть товаром Гиффена при условии, что коэффициент относительного неприятия риска Эрроу-Пратга

RRA(W0) = -

УЖЖо и'(IVо)

больше единицы. В диссертации показано, что в динамической модели страхование не может быть товаром Гиффена, поскольку основную роль играет эффект замещения.

Дальнейший анализ был проведен для изоэластичных функций полезности, соответствующих постоянному относительному неприятию риска

м(С) =—, у< 1 Г

где 1-у - коэффициент относительного неприятия риска. Определим «исправленное благосостояние» в момент (следующим образом:

7(0 = ж (О + ж (О,

т Г , \

W(t) = J(w(s) - P(s))exp - ¡r(r)dr

ds ,

где W (t) представляет собой дисконтированную величину в момент t будущих некапитализируемых доходов за вычетом будущих полных страховых премий. Такое определение предполагает, что полное страхование оптимально, если текущее благосостояние снижается до - fV(t). В диссертации получено соотношение, связывающее величину франшизы, нормированную на рубль «исправленного благосостояния» d(t), с фактором нагрузки 0(t), коэффициентом относительного неприятия риска и ожидаемой величиной ущерба при страховом случае:

(1+в (0) = (0 (1 - d(t) X (ОГ1 j.

Нетрудно видеть, что ¿(1) зависит только от текущего риска и от текущей цены страхования; (1 = 0, если страхование обеспечивается по справедливой цене; увеличение фактора нагрузки в приводит к увеличению с ростом относительного неприятия риска индивидуума ¡1 уменьшается.

Проведен анализ оптимальной траектории благосостояния, потребления и страхового покрытия на бесконечном временном горизонте. Получено аналитическое выражение для эволюции оптимального благосостояния страхователя в зависимости от числа страховых случаев, франшизы, банковского процента по депозиту, фактора временного предпочтения страхователя, фактора нагрузки и коэффициента относительного неприятия риска страхователя:

При этом потребление и нормированная франшиза определяются выражениями:

Показано, что оптимальная траектория благосостояния страхователя сходится к состоянию полного страхования с вероятностью, равной единице, тогда и только тогда, когда параметры задачи связаны с соотношением:

При 5 < р накопление капитала предпочтительнее страхования в долгосрочном периоде. В краткосрочном периоде, тем не менее, страхование в этом случае является временной переходной стратегией.

Р = Г + 7Гб - (1 - у )м1.

8 > Р = г + жв у)лх( >г + тгв.

Проанализировано влияние непрерывного увеличения цены страхования на спрос на страхование в краткосрочном и долгосрочном периодах. В краткосрочном периоде это влияние неоднозначно: спрос на страхование может повышаться или понижаться в зависимости от соотношения эффектов замещения и благосостояния

сЮ /11Г - . йй .

— = (Ж + ЖП)— + й--.

йв ав д.в

Первый член в правой части этого уравнения (эффект замещения) положителен, в то время как второй член (эффект благосостояния) отрицателен.

Обратимся к анализу влияния непрерывного изменения цены страхования в долгосрочном периоде. Вычислим частную производную от /3 по фактору нагрузки в:

д£ дв

= л

2-у

\-{\ + в)Г~Х

Производная др/дв положительна, поскольку /¿1 и 0>О. Поэтому существует граничное значение в , ниже которого в долгосрочном периоде оптимальной стратегией является покупка полного страхования, а выше которого спрос на страхование в долгосрочном периоде вообще отсутствует, причем с полной определенностью. Верхняя граница в фактора нагрузки, определяющая конкурентоспособность страховщиков в долгосрочном периоде, является решением следующего нелинейного относительно в уравнения:

8-г

п

= в-{\-у)

1-(1 + 0)

I

г-1

(7)

Нетрудно показать, что это уравнение имеет единственный корень. Критическое значение в положительно, если дисконтный фактор держателя страхового полиса превосходит процентную ставку по депозиту. Зависимость критического значения от параметров задачи иллюстрируется Рис. 1.

Рис. 1. Критическое значение фактора нагрузки в как функция {5 — г)!тс (условиеконкурентоспособности страховщика); 1:1-у = 1, 2: /-v = 2.3: 1-у = 4

Предложенная модель позволяет проанализировать влияние наложения перманентного обязательного полного страхования на оптимальную стратегию потребителя. В этом случае мы получаем проблему потребление-сбережение в условиях определенности с потоком некапитализируемых доходов за вычетом страховой премии \v-P- На бесконечном временном горизонте при постоянном относительном неприятии риска потребление в расчете на рубль "исправленного благосостояния" составляет

1 -у

Эта формула может быть получена, если положить л = 0 и заменить нека-питализируемый доход на ш-Р. Влияние обязательного страхования на норму потребления ясно видно из сравнения статического потребления С0 с динамическим оптимумом нормы потребления:

1 -у

1-(1 + 0)

1_

у-1

(1 + 0)я.

(8)

Первый член в правой части этого уравнения определяет эффект благосостояния, который отрицателен; второй член определяет положительный рисковый эффект. Знак суммы этих слагаемых является функцией параметра у. В частности, если у=0, правая часть уравнения (8) равна нулю. Таким образом, при логарифмической функции полезности [/(№') = \r\lV наложение полного обязательного страхования не влияет на норму потребления. В диссертации показано, что для модели с бесконечным временным горизонтом с изоэластичны-ми функциями полезности наложение полного обязательного страхования сокращает оптимальную норму потребления на рубль «исправленного благосостояния», если относительное неприятие риска больше единицы, и увеличивает оптимальную норму потребления, если относительное неприятие риска меньше единицы. При этом скорость роста накопления капитала в отсутствие инцидентов снижается на величину

пв

1-У

и скорость роста ожидаемого «исправленного благосостояния» уменьшается на величину

-2Ц(1 -У)с1-в}. 1 -У

Выяснена структура оптимального страхового контракта при страховании нескольких рисков. Теорема Эрроу-Равива утверждает, что страховой договор,

который максимизирует функцию полезности страхователя при наличии нескольких рисков, имеет форму полного покрытия совокупного убытка сверх минимума, определяемого франшизой. Несмотря на большое теоретическое значение этой теоремы, на практике она имеет весьма ограниченное применение, поскольку реальные рынки страхования, как правило, страхуют каждый риск в отдельности. Разумным основанием такой политики страховых компаний является то, что в этом случае более низки посреднические издержки и информационная асимметрия.

Для распространения теории на реальные схемы страхования рассмотрим две различные функции страховых выплат: ¡¡(х^ и соответствующие

двум различные возможным ущербам X) и х} . Отметим, что в этом случае нельзя в точности воспроизвести так называемое оптимальное решение первого порядка I* (х1, хт) (указываемое теоремой Эрроу), когда мы связаны ограничением, что полная страховая выплата должна равняться /,) + 12(х2).

Целью анализа является выяснить различие между оптимумами первого и второго порядка. Задача для индивидуума с учетом того, что он приобретает два отдельных страховых контракта, записывается следующим образом: требуется определить максимум функции

ЕиО¥-Х,-Х2+1{Х,) + 1(Х2)-Рх-Р2) (9)

при условиях:

/>=*,(£[/(*,)] 1=1.2;

Функции А/ и к: представляют собой полную ожидаемую стоимость страхового полиса 2 для страховщика, включая посреднические издержки.

В диссертации доказано, что оптимальность отдельных страховых контрактов в условиях, когда убытки независимы, достигается при индивидуальных франшизах: если X/ и X: - независимые случайные переменные, представляющие убытки, тогда для страховых премий Р/ и Р2, которые зависят только

от актуарных стоимостей страховых полисов, существуют франшизы, такие, что

Ц (х,) = max(0,xt - dl), / = 1.2;

где f,(x-J - оптимальное решение задачи (9). Установлено, что страховые полисы с раздельными франшизами обеспечивают страхователю меньшие страховые выплаты при высоких совокупных уровнях нескольких источников убытка и большие страховые выплаты при незначительных убытках, чем страховая выплата, соответствующая оптимуму первого порядка.

Исследовано влияние формы страхового контракта на спрос на страхование. Рассмотрим общепринятые в страховании линейные функции, определяющие пошлину

к(Е) = кх (Е) = к2 (Е) = (1 + с)Е,

где с - фактор нагрузки. Если страховщик предлагает страховые контракты, имеющие оптимум первого порядка, задача для потребителя записывается в следующем виде:

d = arg max J ji/(W - min(x, + x2, d) - P)dFt (x, )dF2 (x,)

при условии:

P = (1 + с) J Jmax(0, x, + x2 - d)dFx (x, )df2 (x2), где F/fxi) и F2(x2) - кумулятивные функции распределения убытков. Условие первого порядка по франшизе d имеет следующий вид:

(1 + с) J \U'{W - min(x, +x2,d)~ P)dFx (*, )dF1(x1)>U'{W -d-P). Если страховщик предлагает только страховые контракты, имеющие оп-тимумы второго порядка, то задача для потребителя формулируется следующим образом:

с!1 = англах ||£/(Ж - - Р] - Р^Р^х^Р^х^

1=1,2

при условии

Р1 = (1 + с) |тах( О, х,. - с/,.)^,(х,.), / = 1,2.

Условие оптимума второго порядка по франшизам ¿1, принимает вид: (1 + с)\\U\W- X(тш(1я,с1т) + Рт(х,)с1Р2(х2) ^

т=1,2

Установлено, оптимальная реакция не принимающих риск потребителей на малое увеличение фактора нагрузки от значения с - 0 удовлетворяет следующему свойству:

а.р

¿с

с=0 — , с=0

ас

и полная страховая премия при двух различных контрактах превосходит страховую премию при совокупной франшизе. Это означает, что при малом значении фактора нагрузки, что соответствует цене страхования, близкой к актуарно справедливой, спрос на страховые контракты с раздельными франшизами выше, чем на страховые контракты с совокупной франшизой.

При больших значениях фактора нагрузки, соответствующих отсутствию спроса на страховые контракты с отдельными франшизами, существует положительный спрос на страховые контракты с совокупной франшизой. Если при большом значении фактора нагрузки спрос на страховые контракты с агрегированной франшизой отсутствует, то отсутствует и спрос на страховые контракты с отдельными франшизами.

Полученные в диссертации теоретические и методологические результаты применены нами в анализе роли страхования риска в масштабе национапь-

ной экономики. В частности, была проведена оценка доли рискового страхования как сектора экономики. Прирост национального благосостояния, генерируемый страхованием, может быть вычислен путем сравнения ВВП при наличии рынка страхования и без рынка страхования. Обозначим эти величины соответственно Wc и W. Величины Wc и W определяются следующей системой уравнений:

u(Wc) = maxEu(W0 -min(?,D)- p(D)); u(W) = Eu(W0-x).

Прирост ВВП, создаваемый сектором страхования, получается равным

AW = WC- W.

В качестве иллюстрации рассмотрим численный пример, полагая 6 = 0,3; используем степенную функцию полезности

и предположим, что относительный ущерб принимает значения 0 или I соответственно с вероятностями 1-р и р . Тогда может быть получено точное выражение для франшизы

D [\-к){\-{\+в)р1) W0~ \-{\-к){\ + в)р '

к =

о+т-р) * 1-0+в)р

Рис. 2. Прирост ВВП, генерируемый сектором страхования, как функция коэффициента относительного неприятия риска; I: в = 0,4;

2:0 = 0,3 ; 3 :в = 0,2

Источник' авторские расчеты

Расчеты были проведены при различных значениях степени относительного неприятия риска у. На Рис. 2 и в Таблице I представлены результаты расчетов. Данные в Таблице 1 соответствуют 2002 г., когда ВВП России составил 10,863 трлн. руб. Нетрудно видеть, что прирост ВВП, генерируемый страховым рынком, существенно зависит от коэффициента относительного неприятия риска и для реальных граничных значений этого коэффициента у = 1 и у = 4 может отличаться на порядок. Так, при коэффициенте относительного неприятия риска у = 1 прирост ВВП составляет 3,5% , а при у = 4 это значение возрастает до 39,2 %. Для наиболее вероятного значения коэффициента относительного неприятия риска у = 2 получаем прирост ВВП 13,5%, что представляет собой весьма внушительную величину. Заметим, что поскольку коэффициент относительного неприятия риска увеличивается с ростом благосостояния, проведен-

ный анализ показывает, что доля рынка страхования в ВВП увеличивается с ростом уровня жизни в стране.

Таблица 1

Оценка вклада сектора страхования в ВВП страны в зависимости от коэффициента относительного неприятия риска

Коэффициент от- Прирост ВВП Прирост ВВП Отношение при-

носительного не- страны, % страны, трлн. руб. роста ВВП к наи-

приятия риска, у более вероятному значению прироста ВВП (при у = 2)

1 3,5 0,3802 0,26

2 13,5 1,4665 1,00

3 19,1 2,0748 1,41

4 39,2 4,2583 2,90

Источник" авторские расчеты по данным Госкомстата РФ

Основные положения диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Эльканов Р.Д. Моделирование оптимального соотношения страхования и самострахования// Приложение к журналу «Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион». 2001, № 2, 0,8 пл.

2. Эльканов Р.Д. Оптимальная форма страхового контракта при страховании нескольких рисков// Приложение к журналу «Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион». 2001, № 4,0,7 п.л.

3. Эльканов Р.Д. Влияние формы страхового контракта на спрос на страхование// Приложение к журналу «Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион». 2002, № 2,0,4 п.л.

4. Эльканов Р.Д., Наталуха И.А. Исследование спроса на страхование и условие конкурентоспособности страховщика// Научные исследования: экономика и право. КИЭП, 2003, № 1, 0,8 п.л. (в т.ч. автора 0,3 п.л.)

Для заметок

Подписано в печать 13.11.03 г. Формат 60x84/16. Бумага типографская №1 Гарнитура Тайме. Усл. печ. 1,5. Тираж 100 экз. Заказ 294 Издательский центр Кисловодского института экономики и права Лицензия на полиграфическую деятельность ВРО 100558 Лицензия на издательскую деятельность ВРО 100559 357700, Кисловодск, ул. Розы Люксембург, 42

"loo!-А

»20459

!

Диссертация: содержание автор диссертационного исследования: кандидата экономических наук, Эльканов, Расул Дахирович

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1.ХОВАНИЕ И АКТУАРНЫЕ РАСЧЕТЫ.

1.1. Экономическая сущность страхования. Основные понятия страхования и принципы страховой деятельности.

1.2. Классификация страхования. Виды страхования.

1.3. Понятие риска. Управление рисками в страховании.

Принципы расчета страховой премии.

1.4. Математические методы расчета рискового страхования.

ГЛАВА 2. МОДЕЛИРОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО СООТНОШЕНИЯ СТРАХОВАНИЯ И САМОСТРАХОВАНИЯ В КРАТКОСРОЧНОМ И ДОЛГОСРОЧНОМ ПЕРИОДЕ.

2.1. Формулировка задачи динамического стохастического программирования, описывающей взаимодействие страхования и самострахования.

2.2. Неприятие риска, нейтральность к риску и расположенность к риску

2.3. Замкнутое решение при степенных функциях полезности.г.

2.4. Оптимальная траектория благосостояния, потребления и страхового покрытия на бесконечном временном горизонте.

ГЛАВА 3. ОПТИМАЛЬНАЯ ФОРМА СТРАХОВОГО КОНТРАКТА ПРИ

СТРАХОВАНИИ НЕСКОЛЬКИХ РИСКОВ.

3.1. Моделирование оптимальных страховых контрактов при фиксированной страховой премии.

3.2. Сравнение страховых полисов с отдельными и агрегированными франшизами при фиксированной страховой премии.

3.3. Влияние формы страхового контракта на спрос на страхование.

Диссертация: введение по экономике, на тему "Моделирование оптимальных контрактов рискового страхования"

Актуальность темы исследования. В условиях рыночной экономики страхование относится к числу наиболее динамично развивающихся и востребованных отраслей сферы услуг. Это обусловлено многообразием видов риска, с которыми сталкиваются предприятия и индивидуумы. Наиболее сложные и опасные по своим последствиям риски, не поддающиеся нейтрализации за счет внутренних механизмов, подлежат страхованию. Специфическим товаром страхового рынка является страховая защита - услуга, предоставляемая страховыми компаниями в отраслях имущественного, личного страхования и страхования ответственности. Цена страховой услуги, как и всякая рыночная цена, колеблется под влиянием спроса и предложения. Нижняя граница цены страхования определяется равенствами между поступлениями платежей от страхователей (страховыми премиями) и выплатами страховых возмещений по договорам плюс издержки страховой компании. При таком уровне цены страхования страховая компания не получает никакой прибыли по страховым операциям. Верхняя граница цена страховой услуги определяется размерами спроса на нее, подверженностью страхователей конкретным видам риска и величиной банковского процента по депозитам. Поскольку страховые премии должны покрывать управленческие расходы и приносить некоторую прибыль, страховые компании обычно взимают их в размере, немного превышающем размер ожидаемых убытков. Если страховых компаний достаточно, чтобы страховой рынок стал конкурентным, эти премии будут близки к актуарно справедливому уровню (страхование называется актуарно справедливым, если страховая премия равна ожидаемой страховой выплате).

Определение оптимальной стратегии страхователя (т.е. оптимального соотношения между использованием внутренних механизмов нейтрализации риска и страхования) в краткосрочном и долгосрочном периодах весьма важно для страховых компаний и страхователей при выборе различных схем контрактов рискового страхования. Большое практическое значение имеет также определение условий конкурентоспособности страховщика, выяснение оптимальной формы страхового контракта при страховании одного или нескольких рисков, исследование влияния формы страхового контракта на спрос на страхование, определение оптимальной величины франшизы. Этим и определяется актуальность исследования.

Степень изученности проблемы. Организационно-экономические вопросы, возникающие в процессе функционирования рынка страховых услуг, активно исследуются в трудах отечественных ученых A.A. Александрова, Ш.Р. Агеева, Н.М. Васильева, К.Г. Воблого, A.A. Гвозденко, C.JI. Ефимова, Ю.М. Журавлева, Э.Т. Кагаловской, Т.В. Никитиной, В.А. Сухова, Т.А. Федоровой,

A.К. Шихова, а также зарубежных ученых А. Андерсена, Е. Вагнера, Р. Коха, Г. Лукарша, Д. Маглера, Т. Ричтера, Д. Фарни, Е. Хелтена, Д. Хэмптона, Р. Шмец-ке, А. Шульца.

Методы актуарных расчетов (демографическая статистика и оценка ожидаемой величины страховых выплат для основных типов страхования жизни, различные способы уплаты страховых взносов, расчет страховых нетто- и брут-то-резервов) активно развивались в течение 20 века. Детальному изложению методов актуарных расчетов посвящены монографии X. Гербера, А.И. Калих-мана, И. Карри, Ю.Ф. Касимова, А.А.Кудрявцева, В.Б. Кутукова, Ф. Нейла,

B.И.Рябикина, Г.И. Фалина, Э. Хелферта, Е.М. Четыркина, Э. Штрауба.

В основе страхования лежит понятие риска как случайного события, приводящего к ущербу. Для оценки риска необходимо знать среднюю величину ущерба и вероятность его наступления. Вопросы управления рисками, включающего идентификацию, измерение и контроль риска, рассматриваются в работах В.В. Аленичева, И.Т. Балабанова, Ю. Белова, В.А. Кардаша, X. Марнина, Т.В. Никитиной, К. Рэдхэда, В.Х.Сижажева, К. Стокера, Д. Хуммеля, С. Хьюза.

Оптимальная форма страхового контракта в статических условиях исследовалась в работах А. Равива, Ф. Рэмси, X. Шлезингера, К. Эрроу. Фундаментальную роль в исследовании оптимальной структуры страхового контракта сыграла теорема Эрроу, в которой установлено, что при страховой премии, зависящей только от актуарной стоимости страхового полиса, отвергающий риск страхователь предпочитает полис с прямой франшизой любой другой форме страхового полиса. А. Равив распространил этот результат на страхование нескольких рисков одновременно, рассмотрев Парето-оптимальные страховые контракты и показав, что оптимальной формой страхового контракта с несколькими рисками является контракт с совокупной франшизой. Однако реальные рынки страхования, как правило, страхуют каждый риск в отдельности, применяя отдельные франшизы. Поэтому теорема Эрроу - Равива имеет весьма ограниченное применение и требует распространения на реальные ситуации. Кроме того, оптимальную величину фактора нагрузки упомянутая теорема не устанавливает.

Кроме того, недостаточно разработаны вопросы оптимального соотношения страхования и самострахования (в зависимости от частоты страховых случаев, франшизы, нормы прибыли банковского депозита, фактора нагрузки и отношения страхователя к риску) и динамики спроса на страхование, что определило тему и постановку задач диссертационного исследования.

Цель и задачи исследования. Цель диссертационного исследования заключается в разработке оптимальных форм страховых контрактов рискового страхования и в определении оптимального соотношения страхования и самострахования в краткосрочном и долгосрочном периодах.

Достижение поставленной цели потребовало решения следующих задач:

- постановка задачи динамического стохастического программирования, описывающей взаимодействие страхования и самострахования с учетом накопления, потребления и экзогенного риска;

- вывод системы уравнений, определяющих оптимальную стратегию страхователя; определение на их основе оптимальных уровней потребления и страхования при различных функциях полезности страхователя в зависимости от величины фактора нагрузки, коэффициента относительного неприятия риска страхователя и интенсивности страховых случаев;

- определение областей параметров задачи, в которых самострахование предпочтительнее страхования; изучение влияния цены страхования на спрос на страхование в долгосрочном и краткосрочного периодах;

- выяснение влияния наложения обязательного страхования на оптимальную норму потребления страхователя;

- выяснение структуры оптимального страхового контракта при страховании нескольких рисков; анализ различий страховых полисов с агрегированными и совокупными франшизами.

Предмет и объект исследования. Предметом диссертационного исследования являются финансово-экономические отношения, складывающиеся на страховом рынке. Объектом исследования являются страховые компании (страховщики) оказывающие услуги добровольного и обязательного страхования, и домашние хозяйства, фирмы и предприятия (страхователи).

Теоретическая и эмпирическая база исследования. Диссертационное исследование основано на фундаментальных разработках отечественных и зарубежных ученых-экономистов по проблемам страхования, теории риска, экономики благосостояния, теории стохастической оптимизации. Информационно-документальной базой исследования являются законодательные и нормативные акты, данные Госкомстата РФ, а также собственные расчеты автора.

Представленное диссертационное исследование выполнено в рамках п. 1.4 "Разработка и исследование моделей и математических методов анализа микроэкономических процессов и систем: отраслей народного хозяйства, фирм и предприятий, домашних хозяйств, рынков, механизмов формирования спроса и предложения, способов количественной оценки предпринимательских рисков и обоснования инвестиционных решении" и п. 1.6 "Математический анализ и моделирование процессов в финансовом секторе экономики, развитие метода финансовой математики и актуарных расчетов" паспорта специальности 08.00.13 - Математические и инструментальные методы экономики.

Методы исследования. В диссертации, в рамках системного подхода использовались различные методы и приемы экономических исследований: монографический, сравнительный, математического программирования, графический, оптимизации, расчетно-конструктивный.

Научная новизна работы заключается в комплексном подходе к анализу оптимальной стратегии страхователя при выборе контрактов рискового страхования. Конкретное приращение научного знания характеризуется следующими положениями:

- сформулирована задача динамического стохастического программирования, описывающая взаимодействие страхования и самострахования с учетом накопления, потребления и экзогенного риска. Риск ущерба описывается случайным процессом Пуассона. На основе предложенной модели получена система уравнений, определяющая оптимальную стратегию страхователя;

- показано, что в отличие от статического опроса на страхование в динамических условиях страхование не может быть товаром Гиффена: увеличение мгновенной цены страхования (страховой премии) сокращает мгновенный спрос на страхование;

- определены оптимальные уровни потребления и страхования (т.е. величины франшизы) в зависимости от величины фактора нагрузки, коэффициента относительного неприятия риска страхователя, интенсивности страховых случаев и фактора временного предпочтения страхователя;

- получено аналитическое выражение для эволюции оптимального благосостояния страхователя во времени как функции числа страховых случаев, франшизы, нормы прибыли безрискового депозита, фактора временного предпочтения страхователя, фактора нагрузки и коэффициента относительного неприятия риска страхователя;

- получен критерий сходимости оптимальной траектории благосостояния страхователя к состоянию полного страхования. Определены области параметров задачи, в которых накопление капитала (самострахование) предпочтительнее страхования, а такие области, в которых страхование является временной переходной стратегией. Показано, что непрерывное увеличение цены страхования сокращает спрос на страхование в долгосрочном периоде, однако неоднозначно влияет на спрос на страхование в краткосрочном периоде: спрос на страхование определяется соотношением эффекта замещения (положительного) и эффекта благосостояния (отрицательного).

- установлено граничное значение фактора нагрузки (условие конкурентоспособности страховщика), ниже которого в долгосрочном периоде страхователь покупает полное страхование, а выше которого спрос на страхование вообще отсутствует;

- выяснено влияние наложения обязательного страхования на оптимальную норму потребления страхователя. Показано, что при изоэла-стичных функциях полезности обязательное страхование сокращает оптимальную норму потребления, если коэффициент относительного неприятия риска страхователя меньше единицы, и увеличивает оптимальную норму потребления, если этот коэффициент меньше единицы. При логарифмической функции полезности наложение полного обязательного страхования не влияет на потребление;

- выяснена структура оптимального страхового контракта при страховании нескольких рисков: установлено, что оптимальный страховой контракт для одного риска в присутствии других независимых рисков предполагает наличие страховой франшизы. Показано, что страховые полисы с раздельными франшизами обеспечивают страхователю меньшие страховые выплаты при высоких совокупных уровнях нескольких источников убытка и большие страховые выплаты при незначительных убытках;

- выяснено влияние формы франшизы на спрос на страхование. Показано, что при малом значении фактора нагрузки, что соответствует почти полному страхованию рисков, оптимальная величина страховой премии выше для страхового контракта с отдельными франшизами, чем с совокупной франшизой. При больших значениях фактора нагрузки, соответствующих отсутствию спроса на страховые контракты с отдельными франшизами, существует положительный спрос на страховые контракты с совокупной франшизой. Если при большом значении фактора нагрузки спрос на страхование с агрегированной франшизой отсутствует, то отсутствует и спрос на страховые контракты с отдельными франшизами.

Практическая значимость исследования определяется тем, что разработанные в диссертации модели, методы и алгоритмы могут быть использованы страховыми компаниями и страхователями при выборе контрактов рискового страхования. Определенные в работе оптимальные уровни потребления и страхования в зависимости от величины фактора нагрузки, коэффициента относительного неприятия риска страхователя, интенсивности страховых случаев и фактора временного предпочтения страхователя являются основой определения оптимального соотношения страхования и самострахования. Результаты исследования спроса на страхование в зависимости от величины формы фактора нагрузки, а также сравнительный анализ страховых контрактов с агрегированными и раздельными франшизами определяют условия конкурентоспособности страховой компании. Результаты исследования использованы в учебном процессе при разработке программ и учебных курсов по страхованию и актуарным расчетам и экономико-математическому моделированию.

Апробация результатов исследования. Результаты и выводы диссертационного исследования докладывались автором на IV и V Всероссийских симпозиумах "Математическое моделирование и компьютерные технологии (г. Кисловодск 2000,2002 гг.), региональных научных семинарах "Методология системных исследований в гуманитарных отраслях науки" (г. Волгоград, г. Кисловодск, г. Нальчик, 2000-2003 гг.).

Публикации. Основные положения диссертационного исследования отражены в 4 публикациях автора объемом 2,2 п. л.

Объем и структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, 3 глав, заключения и списка использованной литературы. Работа изложена на 129 страницах машинописного текста, содержит I таблицу и 11 рисунков.

Диссертация: заключение по теме "Математические и инструментальные методы экономики", Эльканов, Расул Дахирович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации исследован широкий спектр проблем, связанных с моделированием и анализом оптимальных контрактов рискового страхования при страховании одного иди нескольких рисков.

Поставлена задача динамического стохастического программирования, описывающая взаимодействие страхования и самострахования (накопления безрисковых банковских депозитов). Модель включает условие максимизации ожидаемой дисконтированной полезности плана потребления экономического агента на жизненном временном горизонте, бюджетное ограничение, учитывающее поток некапитализируемого дохода, капитализацию в форме депозитов, потребление, расходов на страхование; и экзогенный риск. Экзогенный риск описывается случайным процессом Пуассона. Получено уравнение Гамильто-на-Беллмана-Якоби, определяющее оптимальную стратегию владельца страхового полиса. Задача для страхователя в каждый момент времени сводится к двумерной задаче выбора текущего уровня потребления и страхования (франшизы) и, напротив, уровня сбережения.

Определены условия, при которых эта задача может быть проанализирована аналитически. Первый случай представляет собой ситуацию, когда функция полезности страхователя соответствует постоянному относительному неприятию риска. Другое условие состоит в том, что страховка должна продаваться по актуарно справедливой цене. В последнем случае неопределенность исчезает, и задача сводится к хорошо известной задаче оптимального потребления в условиях определенности: при актуарно справедливой цене стратегии потребления и страхования независимы друг от друга.

Известной особенностью статического спроса на страхование является то, что страхование может быть товаром Гиффена при условии, что коэффициент относительного неприятия риска Эрроу -Пратта больше единицы. В диссертации показано, что в динамической модели страхование не может быть товаром

Гиффена, поскольку основную роль играет эффект замещения.

При изоэластичннх функциях полезности страхователя проведен анализ оптимальной траектории благосостояния, потребления и страхового покрытия на бесконечном временном горизонте. Получено аналитическое выражение для эволюции оптимального благосостояния страхователя в зависимости от числа страховых случаев, франшизы, банковского процента по депозиту, фактора временного предпочтения страхователя, фактора нагрузки и коэффициента относительного неприятия риска. Получено условие, при котором оптимальная траектория благосостояния сходится к состоянию полного страхования с вероятностью, равной единице, а также условие, при котором накопление капитала предпочтительнее страхования. Проанализировано влияние непрерывного увеличения цены страхования на спрос на страхование в краткосрочном и долгосрочном периодах. В краткосрочном периоде это влияние неоднозначно спрос на страхование может повышаться или понижаться в зависимости от соотношения эффектов замещения и благосостояния (эффект замещения положителен, а эффект благосостояния отрицателен).

Определено граничное значение фактора нагрузки, ниже которого в долгосрочном периоде оптимальной стратегией является покупка полного страхования, а выше которого спрос на страхование вообще отсутствует, причем с полной определенностью. Это условие является условием конкурентоспособности страховщика.

Проанализировано влияние наложения перманентного обязательного страхования на оптимальную стратегию потребителя. Показано, что при бесконечном временном горизонте и изоэластичных функциях полезности наложение полного обязательного страхования сокращает оптимальную норму потребления на рубль "исправленного благосостояния" , если относительное неприятие риска больше единицы, и увеличивает оптимальную норму потребления если относительное неприятие риска меньше единицы. При этом сокращается скорость роста накопления капитала в отсутствие инцидентов и скорость роста ожидаемого "исправленного благосостояния".

Выяснена структура оптимального страхового контракта, при страховании нескольких рисков. Теорема Эрроу - Равива утверждает, что страховой договор, который максимизирует функцию полезности страхователя при наличии нескольких видов риска, имеет форму полного покрытия совокупного убытка сверх минимума, определяемого франшизой. Несмотря на большое теоретическое значение этой теоремы, на практике она имеет весьма ограниченное применение, поскольку реальные рынки страхования, как правило, страхуют каждый риск в отдельности. Разумным основанием такой политики страховых компаний является то, что в этом случае более низки посреднические издержки и информационная асимметрия.

В диссертации доказано, что оптимальность отдельных страховых контрактов в условиях, когда убытки независимы, достигается при индивидуальных франшизах. Установлено, что страховые полисы с раздельными франшизами обеспечивают страхователю меньшие страховые выплаты при высоких совокупных уровнях нескольких источников убытка и большие страховые выплаты при незначительных убытках, чем страховая выплата, соответствующая оптимуму первого порядка.

Исследовано влияние формы страхового контракта на спрос на страхование. Установлено, что оптимальная реакция не принимающих риск потребителей на малое увеличение фактора нагрузки от нулевого значения соответствует тому, что страховая премия при двух различных контрактах превосходит страховую премию при совокупной франшизе. Это означает, что при малом значении фактора нагрузки, что соответствует цене страхования, близкой к актуарно справедливой, спрос на страховые контракты с раздельными франшизами выше, чем на страховые, контракты с агрегированной франшизой.

При больших значениях фактора нагрузки имеет место противоположный результат. Если предлагаются страховые контракты с агрегированной франшизой в условиях отсутствия спроса на страховые контракты с раздельными франшизами, имеется положительный спрос на страхование. По непрерывности, если существует незначительный спрос на страховые полисы с отдельными франшизами, то страховые полисы с агрегированными франшизами повысят спрос на страхование. Если при большом значении фактора нагрузки спрос на страховые контракты с агрегированной франшизой отсутствует, то отсутствует и спрос на страховые контракты с раздельными франшизами.