Модификация алгоритма бокса и специфика его применения в нелинейных задачах оптимизации экономических систем тема диссертации по экономике, полный текст автореферата

Автореферат диссертации по теме "Модификация алгоритма бокса и специфика его применения в нелинейных задачах оптимизации экономических систем"

На правах рукописи

005006722

Чернигина Елена Аркадьевна

МОДИФИКАЦИЯ АЛГОРИТМА БОКСА И СПЕЦИФИКА ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ В НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧАХ ОПТИМИЗАЦИИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Специальность: 08.00.13 Математические и инструментальные методы экономики

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата экономических наук

Воронеж 2011

-8 ДЕК 2011

005006722

Диссертационная работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Воронежский государственный университет» Научный руководитель доктор экономических наук, профессор

Давние Валерий Владимирович

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Матвеев Михаил Григорьевич

кандидат экономических наук, доцент Булгакова Ирина Николаевна

Ведущая организация Федеральное государственное бюджетное

образовательное учреждение высшего профессионального образования «Мичуринский государственный аграрный университет»

Защита состоится 20 декабря 2011г. в 10 час. 00 мин. на заседании объединенного диссертационного совета ДМ 212.038.21 в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Воронежский государственный университет» по адресу: 394068, г. Воронеж, ул. Хользунова, 40, ауд.225

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Воронежский государственный университет»

Автореферат разослан 17 ноября 2011 года. Ученый секретарь

диссертационного совета ___/ Тинякова В.И.

1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Современное развитие экономики выявило неадекватность построения экономико-математических моделей, основанных исключительно на линейных зависимостях между производственно-экономическими показателями. Признание нелинейности в экономике потребовало от разработчиков применения новых принципов построения моделей, отвечающих насущным потребностям экономических субъектов. Актуальной стала потребность в моделях, способных одинаково эффективно работать с критериями оптимальности различной природы - линейными, нелинейными, совокупностями критериев, что существенно расширило бы возможности решения реальных экономических задач, особенно в аграрном секторе экономики. Примеров подобного рода особенно много в аграрной отрасли, для которой характерно наличие стохастичности в исходных данных (урожайность, цены на факторы производства и производимую продукцию) и актуальна потребность в инструментах быстрого реагирования на изменение условий хозяйствования. Возможность решения экономико-математической модели относительно различных альтернативных критериев оптимальности - максимум прибыли, минимум производственных затрат, максимум рентабельности и т.д., представляется эффективным механизмом адаптации предприятия к нестабильной экономической среде.

Наличие широкого набора факторов производства и вариантов их взаимодействия позволяет предприятиям при планировании своей производственно-экономической деятельности активно использовать и методы многокритериальной оптимизации.

На заключительном этапе принятия решения о реализации конкретной экономической программы предприятия особая роль отводится анализу количественного распределения изменений между различными источниками вариации входных параметров. Поэтому в процессе решения актуален анализ чувствительности каждой целевой функции к возможным изменениям условий производства и реализации, позволяющий оценить влияние природно-климатических, производственно-хозяйственных или экономических факторов на результаты деятельности.

Перечисленные задачи экономико-математического моделирования формируют вектор специфических исследований по совершенствованию и модификации аппарата оптимальных решений.

Степень изученности проблемы. Существенный вклад в развитие теории решения оптимизационных задач внесли Б. Банди, Р. Беллман, М. Бокс, Дж. Данциг, Л. Канторович, Г. Кун, Дж. Нелдер, А. Таккер, Р. Штойер и др.

Изучению проблем развития линейного и нелинейного программирования посвящены исследования Б. Бахшияна, И. Дикина, Г. Зойтендейка, Н. Кармаркара, Дж. Розена, Д. Химмельблау и др.

Решению ряда проблем оптимального планирования развития предприятий на основе методов математического моделирования посвящены работы В. Бережного, А. Курносова, М. Матвеева, Л. Растригина, Б.Смагина, X. Тахи, А. Улезько, Е. Шикина, Л. Яновского и др.

Однако на данный момент остаются малоизученными аспекты применения методов нелинейного программирования к решению задач экономико-математического моделирования. Недостаточно внимания уделено развитию методов, позволяющих эффективно получать приближенное к оптимальному решение при нелинейном критерии оптимальности. Несмотря на наличие множественной системы целей в процессе принятия решений в экономике, возможности поиска компромиссного решения на практике экономистами используются незаслуженно редко. Данная диссертационная работа посвящена разработке универсального инструмента решения экономико-математических задач для удовлетворения практических потребностей планово-экономических служб предприятий.

Объект исследования - экономические системы, моделирование которых осуществляется с помощью аппарата нелинейной оптимизации.

Предмет исследования - алгоритм Бокса и возможность его модификации для решения нелинейных экономических задач.

Цель исследования - совершенствование математического аппарата для решения экономико-математических задач оптимизации с функционалами различной природы.

В процессе работы над достижением поставленной цели была решена следующая совокупность задач, определившая логику диссертационного исследования:

• рассмотреть обоснованность и имеющиеся методики использования принципа нелинейности для решения задач экономико-математического программирования;

• модифицировать метод М.Бокса для его применения к решению экономико-математических задач с критериями оптимальности различной природы;

• сформулировать основные положения применения комплексного метода Бокса для приближенного решения экономической задачи нелинейного программирования;

• разработать методику формирования специальной структуры исходной матрицы для применения метода случайного поиска при решении оптимизационных экономических задач в аграрной отрасли;

• создать программный модуль на языке Visual Basic for Application для решения прикладной экономической задачи с линейным, нелинейным и многокритериальным целевым функционалом;

• исследовать практические аспекты применения разработанной модифицированной версии на основе метода Бокса для определения оптимальных параметров производства на примере сельскохозяйственных предприятий.

Область исследования. Предметная область исследования находится в рамках п. 1.4 «Разработка и исследование моделей и математических методов анализа микроэкономических процессов и систем: отраслей народного хозяйства фирм и предприятий...» и п. 2.3 «Разработка систем поддержки принятия решений для рационализации организационных структур и оптимизации управления экономикой на всех уровнях» специальности 08.00.13 Математические и инструментальные методы экономики паспорта специальностей ВАК РФ.

Теоретико-методологической основой исследования послужили современные достижения ученых отечественной и зарубежной школы в области экономико-математического моделирования. При разработке концепции алгоритма решения задач на основе трансформированного метода Бокса были использованы методы теорий производственных функций, системного анализа и экономико-математического моделирования с привлечением методов теории множеств, нелинейных функций, теории алгоритмов и случайного поиска.

Эмпирическая база исследования представлена производственно-финансовыми планами сельскохозяйственных предприятий Воронежской области. Экспериментальная часть работы выполнена с использованием языка программирования Visual Basic for Application в среде табличного процессора MS Excel.

Научная новизна исследования состоит в создании универсального алгоритма приближенного решения экономико-математических задач с линейной, нелинейной и многокритериальной целевой функцией на основе модификации метода Бокса со встроенным алгоритмом случайного поиска.

Научная новизна реализована в результатах, полученных лично автором:

• Модифицирован метод Бокса для решения экономико-математических задач оптимизации отраслевой структуры с нелинейным функционалом, отличием которого является встроенный алгоритм метода случайного поиска, позволяющий избежать попадания оптимального решения в локальный экстремум.

• Предложен метод построения матрицы ограничений экономико-математической задачи, отвечающий требованиям метода Бокса и отличный от общепринятой матрицы ограничений для стандартного симплекс-метода.

• Определены оптимальные параметры производства исследуемых сельскохозяйственных предприятий при приближенной оптимизации с нелинейной (максимум рентабельности) и линейной (максимум прибыли) целевыми функциями.

• Разработана методика решения многокритериальной задачи на основе модификации метода Бокса.

• Создан программный комплекс «Устойчивое решение», позволяющий пользователю решать экономико-математические задачи многокритериальной оптимизации с функционалами различной природы и с модулем оценки чувствительности искомой целевой функции к изменениям условий внешней среды.

Теоретическая значимость исследования заключается в разработке метода решения оптимизационных задач на основе метода Бокса и создании для его реализации экономико-математического инструментария, который дополняет совокупность методов теории моделирования экономических процессов в целом, и определения оптимальных параметров производственных систем в изменяющихся условиях хозяйствования в частности.

Практическая значимость исследования состоит в возможности использования основных положений и научных выводов предприятиями агропромышленного комплекса, а также предприятиями других отраслей для определения оптимальных параметров развития производства и необходимых структурных изменений. Наиболее значимым для практического использования является разработанный метод решения экономико-математической задачи на основе

комплексного метода Бокса, обеспечивающий получение устойчивого квазиоптимального решения при оптимизации линейных, нелинейных и многоцелевых критериев оптимальности и предоставляющий лицу, принимающему решение, возможность выбора соответствующей производственной программы из набора альтернативных оптимальных вариантов с учетом ожидаемых изменений условий хозяйствования.

Апробация и реализация результатов исследования. Разработанный программный модуль «Устойчивое решение» зарегистрирован в Государственном информационном фонде неопубликованных документов ФГНУ «Центр информационных технологий и систем органов исполнительной власти», регистрационный номер № 50201000573.

Основные результаты исследования прошли апробацию и получили положительную оценку на международных, всероссийских, вузовских научно-практических конференциях: на X международной научно-методической конференции «Информатика: проблемы, методология, технологии», секция «Математические модели в научных исследованиях» (ВГУ, г. Воронеж, 2010г.); Международном молодежном научном форуме «Ломоносов-2010», Подсекция «Прикладные экономико-математические методы» (МГУ, Москва, 2010г.), Международной научной конференции «Теоретические и прикладные аспекты кибернетики» (КНУ, Киев, Украина, 2011г.).

Отдельные положения диссертационного исследования выполнены в рамках внутреннего гранта Автономной Образовательной Некоммерческой Организации Высшего Профессионального Образования «Институт менеджмента, маркетинга и финансов» №16 «Разработка программного обеспечения для решения задач линейного программирования методом Бокса».

Основные результаты исследования внедрены в учебный процесс Автономной Образовательной Некоммерческой Организации Высшего Профессионального Образования «Институт менеджмента, маркетинга и финансов».

Результаты исследования используются в практической деятельности ООО НПКФ «Агротех-Гарант» «Березовский» Рамонского района Воронежской области.

Публикации. Основные результаты диссертационного исследования изложены в 11 опубликованных работах, в том числе 2 статьи в журналах, рекомендованных ВАК РФ и 1 зарегистрированный программный модуль. Список публикаций приведен в конце автореферата. В работах, выполненных в соавторстве, соискатель предложил: модификацию комплексного метода Бокса, соответствующую особенностям задач экономико-математического моделирования для аграрного сектора; применение разработанного метода для решения задач с линейной, нелинейной и многокритериальной целевыми функциями.

Структура и содержание работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованной литературы из 169 источников, приложения. Результаты работы изложены на 154 страницах машинописного текста, включают 15 таблиц, 21 рисунок, 10 приложений.

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, степень разработанности, определены предмет и объект исследования, сформулирована цель

и поставлены задачи исследования, раскрыта научная новизна работы, ее теоретическая и практическая значимость и степень апробации.

В первой главе «Развитие методов математического моделирования для анализа экономических систем» рассматриваются классические и современные методы моделирования производственных процессов в экономике. Приводится анализ развития аппарата математического моделирования как универсального, так и специфичного для конкретных экономических задач, который позволяет строить более гибкие и реалистичные экономико-математические модели.

Во второй главе «Разработка модификации метода Бокса и аспекты ее применения для решения экономико-математических задач» излагаются ключевые идеи и основные этапы разработки модифицированной версии метода Бокса для решения оптимизационных экономических задач. В качестве примера рассматриваются задачи определения оптимальных параметров производства на предприятиях агропромышленного комплекса.

В третьей главе «Практическое использование модифицированного метода Бокса для решения экономических задач предприятий агропромышленного комплекса» на практических примерах доказана экономическая эффективность применения разработанного адаптированного способа решения экономико-математических задач на основе метода Бокса; описаны дополнительные функции разработанного программного модуля, позволяющие лицу, принимающему решение, своевременно проводить изменения производственной структуры предприятия в условиях нестабильной внешней среды.

В заключении работы сформулированы основные выводы и предложения, имеющие значение для решения теоретических и практических задач определения оптимальных параметров экономических систем.

2. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ И РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

2.1. Модификация метода Бокса и методика построения матрицы для решения задачи по разработанному алгоритму

Для решения оптимизационной задачи экономико-математического моделирования нами был выбран метод Бокса, так же известный как комплексный метод. Для поиска минимума/максимума функции п переменных Г(Х)=ЦХЬХ2,...,ХП) в п-мерном пространстве строят многогранники - комплексы, содержащие ц>п+1 вершин. Изначально метод Бокса предполагает построение системы уравнений и неравенств, которые ограничивают зону допустимых точек решения; далее находится хотя бы одна допустимая точка, после чего в найденной зоне строится комплекс, где будет осуществлен поиск оптимального решения. Построенный комплекс приводится в движение в направлении экстремума внутри области ограничений. Сначала определяется первая наихудшая по значению ДХ) точка Хь, которая отражается через центр тяжести остальных точек, и если последующая точка Хг «лучше» предыдущей, то «отраженная» точка заменяет «худшую». В результате происходит движение комплекса в направлении искомой оптимальной точки. Как только среднее квадратичное отклонение для к значений Г(Х) и максимальное расстояние между любыми двумя

точками комплекса станут достаточно малы, процесс завершается. В результате последовательной замены худших точек на лучшие, комплекс постепенно сжимается в точку, координаты которой и являются решением задачи.

Отметим, что прямое применение метода Бокса к задаче линейного программирования невозможно, поскольку только для ограниченного количества переменных известны явные ограничения, а диапазоны изменения остальных переменных задаются неявно. Анализ исходных данных задач данного класса показал, что ограничения можно классифицировать по следующим типам Zk:

I. Zk = 0 - все константы согласно условию задачи (площади пастбищ, сенокосов и садов; поголовье КРС и свиноматок);

II. Zk = 1 - жесткие ограничения на равенство, значения которых вычисляются согласно условиям типа «О» (на основе переменных, определённых по I типу - молоко, обрат, кормовая свекла, силос, зеленый конвейер);

III. Zk = 2 - ограничения связанные с изменением значений в заданных границах от минимума до максимума согласно агротехническим требованиям (площадь пара, сахарной свеклы, подсолнечника);

IV. Zk = 3 - значения данных переменных определяются с учетом определённых ранее констант (например, площадь сенокосов и поголовья КРС) и двустороннего ограничения на группы культур (площадь однолетних трав);

V. Zk = 4 - значения переменных, независимых от констант и имеющих четкое двустороннее ограничение (площадь зерновых, озимых, яровых, овса, гороха и т.д.; причем площадь озимых входит в общую площадь зерновых, поэтому определение озимых предшествует определению общей площади зерновых; данные величины определяются случайным образом);

VI. Zk = 5 - общая площадь пашни задана на равенство или и Zk = 6 -если площадь задана в интервале;

VII. Zk = 7 - условие обеспечения озимых культур предшественниками;

VIII. Zk = 8 - дополнительные ограничения, которые используются при разделении значений между переменными при Zk = 4 (использование урожая на продажу и фуражные цели - овес, горох, ячмень);

IX. Zk = 9 - проверочные значения на выполнение плановых показателей по основным производственным культурам, приросту КРС. Результирующие показатели по объемам продукции.

X. Zk = 10 - вычисление коэффициентов функционала - товарная продукция, производственные затраты и затраты труда.

В соответствии с этой классификацией производится построение матрицы коэффициентов задачи (Рис. 1). Первые строки матрицы - это ограничения, определяющие константы (Zk=0), далее - Zk=l с условием, что в столбцах с начальными номерами находились уже "известные" по предыдущим строкам переменные и далее до Zk=10.

Анализ построенной матрицы коэффициентов показывает, что реальное количество неизвестных, определяющих решение, существенно меньше их общего количества.

Файл Главка Вид Вставка Формат Сервис ¿анные Окно ¿правка

шаши«* ЛиНУ® • & а а

-Л ::Ж I* Ш : Й • ■ ф "'Щв'^г =*!«!*»>

Times New Roman

*. А '1 f *1Ш

% »: %

ф ш - -J» • A, ■

В

в

Ommitiiiclbitftoul

iíi.i'ífпня по решешоо

стлрт

......с.....

100 (

D

-L

VI

Счмг

,CL

xsl

ххЗ

ггх—

X'26

9 59

xx4

939

R

Xl3

188

xxl2

256

S......

X25

93"

xxl3

и.....

625

«15

624

x16

156

236

x19

302

xx26

xx2r

AH

X)1

xx28

56S2C

CR

BE

5 ; 2

71 3

Eha

'wiitboai ПлстГ' Нижняяграница

ПоипцЪ....... flri.,IHll4WH>l ,,,,.,

S J3 9 44

Молоко

Oópivr

/ 450

ц.к.ед.

z

ц.к.ед./

3

$ Тш о гвянш|ш1ш

23.

zfe=o

0.63

-2.00

:Д 450

10 i 3?

11 : 38

12 ¡ 3»

13 i 40

-2,72

-2.72

в июле ц.к.ед.

-2.72

-5.44

41

в август«

10

5,44

в сыггяо]

-272

i 16 J6_

117 Li.

118 JA

119 Lü

1 20 i 35

Силос

12

-20.05

38,18

312

93

Площадь подсолнечника

14

312

Zk=2

Площадь il.tp.i lililí пых

15

312

Ceno

16

2,40

12.51

21.60

9,85

12i:l 9

i 22 i

Площадь очнмых min

1250

Горох

18

0

312.4 -

If < > ИСД;Д.|Ы8 ^расчет!/р^чет2Храсиетз/КРС /рац|10нь:КРГ / модень/анализ /'пист! \модепь (2)/

Рис. 1. Матрица для поиска решения по разработанному методу Бокса

Для генерации значений, реально влияющих на решение неизвестных, от простейших случаев явных ограничений (2к=2) до групп переменных, заданных неявными ограничениями (7к=3 и 4), применяется метод Монте-Карло. Для каждого ограничения по методу Монте-Карло имитируется случайная выборка и проводится её анализ с учетом дополнительных ограничений (2к=8). Если выборка не удовлетворяет ограничениям данной строки - она повторяется. Таким образом, решается задача построения начальной точки в области допустимых значений для всех ограничений задачи линейного программирования.

Оптимальное решение задачи линейного программирования всегда лежит на краю зоны - на вершине многогранника ограничений. Процедура ввода отраженной "худшей" точки, используемая Боксом, не отвечает требованиям экономико-математической задачи, поскольку вводит вышедшую за установленные пределы точку просто внутрь зоны, а сдвиг отдельной координаты не дает эффекта при неявных ограничениях. Мы предлагаем возвращать вышедшую за пределы точку с помощью метода половинного деления, что позволяет расположить точку Хк внутри зоны ограничений.

В отдельных случаях, зона допустимых значений может оказаться столь малой, что потребуется бесконечно большое количество испытаний по методу Монте-Карло для построения начальной точки. Дня таких случаев мы предлагаем оперировать ограничением, на котором "застревает" построение начальной точки, как промежуточной оптимизируемой функцией.

Таким образом, модификация метода Бокса для решения задачи линейного программирования сводится к следующим моментам:

1 .Проведен анализ ограничений и их классификация, позволяющие определить реальное количество неизвестных, определяющих оптимальное решение.

2.Предложен метод построения начальной точки внутри зоны допустимых значений.

3.Реализована процедура построения отраженной точки в окрестности границы зоны допустимых значений.

4.0рганизована процедура построения внутренней точки для случая малых зон допустимых значений.

На основе разработанной модифицированной версии метода Бокса создан и зарегистрирован программный модуль «Устойчивое решение», обеспечивающий получение оптимального решения экономико-математической задачи линейного и нелинейного программирования.

2.2. Решение экономико-математической задачи оптимизации с линейным и нелинейным функционалом

В современных нестабильных условиях деятельность предприятия можно оценить с помощью критериев, отличных от величины показателя прибыли, например рентабельности, которая представляет собой отношение прибыли к производственным издержкам. Стремление максимизировать прибыль позволяет направить ресурсы по каналам, обещающим максимальный доход, что, в свою очередь, помогает в оптимальном использовании общественных факторов производства. В то же время максимизация показателей рентабельности позволяет

протестировать эффективность финансовых решений, ориентированных на эффективное использование капитала.

Разработанная методика на основе модифицированного метода Бокса была апробирована при решении экономико-математических задач оптимизации отраслевой структуры производства ООО НПКФ «Агротех-Гарант» «Березовский» Рамонского района и ЗАО «Дон» Хохольского района Воронежской области. В качестве критерия оптимальности были заданы максимизация линейного (прибыли) и нелинейных (рентабельность продаж и рентабельности производства) показателей. Матрицы были построены согласно требованиям метода Бокса, а результаты решения сравнивались со значениями, полученными при использовании средств Microsoft Excel Solver (Поиск решения), который наиболее распространен среди пользователей.

На первом этапе были решены экономико-математические задачи оптимизации отраслевой структуры производства на поиск максимального значения линейного показателя - величины суммы прибыли. Так как «Поиск решения» в MS Excel предполагает решение задачи по симплекс-методу, то априори это решение является абсолютно оптимальным для линейной задачи.

Результаты решения, полученные указанными методами, совпали как по величине суммы прибыли (для ООО НПКФ «Агротех-Гарант» «Березовский» 56 636 тыс. руб., для ЗАО «Дон» 36 925 тыс.руб.) так и по значениям всех переменных (Таблица 1). Можно сделать вывод о равной эффективности применения симплекс-метода и модифицированного метода Бокса для решения задач с линейным функционалом.

На следующем этапе была решена задача оптимизации отраслевой структуры производства у исследуемых предприятий с использованием нелинейного функционала (Таблица 1). Полученные различия результатов объясняются попаданием «Поиска решения» в локальный максимум и невозможностью оттуда выбраться на глобальный экстремум функции.

Здесь очевидно преимущество разработанного метода, который способен успешно обходить локальные экстремальные значения, эффективно определяя при этом глобальный оптимум. Последующее сравнение значений переменных, полученных по результатам обоих методов говорят о серьезных различиях по некоторым показателям - произошло перераспределение значительных площадей внутри группы технических и кормовых культур; изменились величины производственных затрат, выручки, прибыли и необходимых затрат труда.

Следует отметить так же, что «Поиск решения» в случае решения задачи на максимум рентабельности продаж и максимум рентабельности производства выдал абсолютно идентичные решения. Признавая общую природу рассчитанных нами показателей рентабельности:

Д. = — х 100% R„ = — х 100%

Р" у ' С '

где Rpd и Rpv - соответственно рентабельность продаж и производства, РЬ - прибыль, V- выручка, С - производственные затраты; укажем, что наличие различных делителей подразумевает различные направления перебора вариантов в процессе поиска оптимальных значений.

Таблица 1

Сравнительная таблица результатов решения для ООО НПКФ «Агротех-Гарант» «Березовский» и ЗАО «Дон»

Переменные Критерии оптимальности

максимум прибыли (линейный показатель) максимум рентабельности продаж (нелин. показатель) максимум рентабельности производства (нелин. пок-ль.)

модиф. м. Бокса Поиск решения 4 модиф. м. Бокса Поиск решения Д модиф. м. Бокса Поиск решения Д

ООО НПКФ «Агротех-Гарант» «Березовский»

озимая пшеница, га 1386 1 386 0 1365 1369 -4 1 364 1 369 -4

ячмень товарный, га 1 256 1 256 0 2 0 2 0 0 0

овес товарный, га 0 0 0 1277 1273 4 1 278 1 273 5

подсолнечник, га 750 750 0 749 750 -1 750 750 0

сахарная свекла, га 937 937 0 937 937 0 936 937 -1

стоимость товарной продукции, тыс.р. 157 764 157 764 0 149 256 148 833 423 149 177 148 833 344

производственные затраты, тыс.р. 101 128 101 128 0 93 798 93 608 190 93 756 93 608 147

прибыль, тыс.р. 56 636 56 636 0 55 458 55 225 233 55 422 55 225 197

рентабельность продаж 35,90% 35,90% 0,00% 37,16% 37,11% 0,05% 37,15% 37,11% 0,05%

рентабельность производства 56,00% 56,00% 0,00% 59,11% 59,00% 0,11% 59,12% 59,00% 0,12%

ЗАО «Дон»

озимая пшеница товарная, га 795 795 0 902 904 -2 903 904 -1

яровая пшеница фуражная, га 32 32 0 65 70 -5 65 70 -5

ячмень фуражный, га 172 172 0 138 60 78 138 60 78

сахарная свекла, га 115 115 0 80 80 0 82 80 2

подсолнечник, га 156 156 0 178 178 0 178 178 0

стоимость тов. продукции, тыс.р. 98 779 98 779 0 90 567 90356 210 90 552 90 356 196

производственные затраты, тыс. р. 61 853 61 853 0 53 934 53893 41 53 927 53 893 34

прибыль, тыс.р. 36 925 36 925 0 36 632 36 462 169 36 625 36 462 163

рентабельность продаж, % 37,38% 37,38% 0,00% 40,45% 40,35% 0,1% 40,40% 40,35% 0,05%

рентабельность производства, % 59,70% 59,70% 0,00% 67,91% 67,66% 0,25% 67,92% 67,66% 0,26%

Однако в случае применения «Поиска решения» для определения оптимальных параметров в задаче с нелинейным функционалом, данный инструмент оказывается нечувствительным к особенностям каждого из математических выражений. Результаты применения основанного на методе Бокса алгоритма поиска экстремума говорят о большей восприимчивости данного метода к особенностям искомого соотношения.

Предусмотрен доступ пользователя к значениям переменных при каждом значении целевой функции, полученном в процессе поиска решения. Часто, при решении экономической задачи, удовлетворительным или приемлемым решением является не само экстремальное значение функции, а ее величина на уровне близком к оптималыюму (на уровне 95-99% от максимума), что помимо повышения устойчивости результата, может оградить предприятие от принятия часто рискованных обязательств.

Представленные эмпирические результаты позволяют сделать вывод об эквивалентной эффективности предложенного метода решения линейных экономико-математических задач симплекс-методу и о значительно более плодотворном поиске экстремальных значений нелинейных функций.

2.3. Решение задачи многокритериальной оптимизации на основе разработанной модификации метода Бокса

В разработанном методе решения задачи многокритериальной оптимизации прописана соответствующая процедура, осуществляющая поиск идеальной точки в условиях нескольких критериев. Избранный подход позволяет определить оптимальные параметры развития сельскохозяйственного предприятия через поиск максимальных оптимальных значений показателей прибыли, рентабельности продаж и рентабельности производства. По результатам данного этапа формируется таблица, где перечислены все результаты решения задачи, которые находятся в зоне Парето, а так же указана величина уступки для каждого шага. Анализ полученных результатов дает возможность лицу, ответственному за принятие решения, самостоятельно сделать выбор в пользу конкретного сочетания величины каждого, интересующего его, экономического показателя деятельности предприятия.

С точки зрения моделирования, для реализации поставленной задачи нами была разработана следующая экономико-математическая модель многокритериальной оптимизационной структуры производства.

Максимизировать значения функций:

Вариант 1. максимизация суммы прибыли; = Х'-Х",

максимизация уровня рентабельности продаж ZRpljmsK = (X'-X")I X'-

Вариант 2. максимизация суммы прибыли; ZFh т;к максимизация уровня рентабельности производства ZRpvmm = (Х'-Х")/ X", где X' - денежная выручка от реализации продукции по хозяйству; X" - производственные затраты по хозяйству.

Предполагаемая точка утопии, к которой мы будет стараться приблизиться в процессе решения поставленной многокритериальной задачи, условно имеет координаты [max Pb; max R], где РЬ и R соответственно прибыль и рента-

бельность. Для каждого из вариантов был получен набор точек, составляющих указанный отрезок. Соответственно кратчайшее расстояние от точки из зоны Парето до точки утопии было определено как наименьшее значение квадратного корня расстояния до точки.

Многокритериальная задача оптимизации структуры производства на основе разработанной модификации метода Бокса была решена для ООО НПКФ «Агротех-Гарант» «Березовский» Рамонского района Воронежской области. На первом этапе была определена зона Парето (Таблица 1):

Вариант 1 «Решение задачи на определение максимум суммы прибыли и максимума рентабельности продаж», где идеальная точка принадлежит отрезку: [тах РЬ = 56636; 11рс1 = 35,9] и [РЬ = 55220; тах Яре! = 37,1], (Рис. 2).

Рис. 2. Расположение идеальной точки при решении задачи на максимум суммы прибыли (max РЬ) и максимум рентабельности продаж (max Rpd) Вариант 2 «Решение задачи на определения максимума суммы прибыли и максимума рентабельности производства», где идеальная точка принадлежит отрезку: [max РЬ = 56636; Rpv = 56,1,] U [РЬ = 55442; max Rpv = 59,1], (Рис. 3).

Рис. 3. Расположение идеальной точки при решении задачи на максимум суммы прибыли (max РЬ) и максимум рентабельности производства (max Rprv).

Следующим шагом в алгоритме метода прописан поиск в установленных границах зоны Парето минимального значения среди расстояний от точки утопии до точек внутри зоны оптимальности Парето. Точка, наименее удаленная от точки утопии, и является искомым оптимальным решением поставленной многокритериальной задачи. Результаты решения поставленной экономико-математической задачи позволили определить основные структурные изменения, реализация которых обеспечивает достижение максимальных уровней выбранных критериев.

Таблица 2

Основные показатели оптимального развития сельскохозяйственного

Критерии оптимальности

Переменные шах Прибыль шах Прибыль

шах Рентабельность шах Рентабельность

продаж производства

озимая пшеница 21,9% 22,2%

ячмень 2,0% 7,6%

итого зерновые 50,0% 50,0%

итого технические 27,0% 27,0%

однолетние травы 4,7% 5,2%

многолетние травы 3,0% 2,5%

итого кормовые 13,0% г~ 13,0%

Получено в расчете на 100 га сельскохозяйственных угодий, тыс. руб

товарной продукции 2152,5 2192,1

прибыли 798,7 805,2

рентабельность продаж, % 37,1% 36,7%

рентабельность производства, % 56,9% 58,1%

Полученное компромиссное решение экономико-математической задачи в данной постановке и при планируемых условиях хозяйствования предполагает готовность лица, принимающего решение, идти на уступки в отношении избранных критериев оптимальности. Для Варианта 1 (максимум суммы прибыли (шах РЬ) и максимум показателя рентабельности продаж (шах Rpd)) уступка по прибыли составила 2,5%; для Варианта 2 (максимум суммы прибыли (шах РЬ) и максимум показателя рентабельности производства (max Rprv)) уступка по прибыли составила 1,7% (Таблица 2).

2.4.Программный модуль «Устойчивоерешение»

Модуль представляет собой набор процедур и функций на языке программирования VBA (Visual Basic for Application), позволяющий считывать исходные данные задачи линейного и нелинейного программирования активного листа электронной таблицы MS Excel, проводить необходимые расчеты и возвращать результат решения на исходный лист.

Из общего количества 25 переменных для экономико-математической модели ООО НПКФ «Агротех-Гарант» «Березовский» в итоге осталось 13 варьи-

руемых переменных. Перечисленные действия позволяют оперировать не всеми имеющимися координатами комплекса, а только варьируемыми, что существенно сокращает процедуру поиска решения за счет уменьшения размерности матрицы. Итоговое решение задачи определяется не на границе, а внутри многогранника, что обеспечивает известную устойчивость решения. Метод на каждом шаге использует информацию только о значениях целевой функции и функций ограничений задачи, что позволяет получать решение также и для плохо обусловленных систем и систем ограничений, склонных к зацикливанию.

При решении экономико-математической задачи важным моментом является определение «чувствительности» или «отзывчивости» функции, которая выявляет экономический эффект вариации конкретной величины.

Понятие эластичности подразумевает под собой отзывчивость одной величины в ответ на изменения другой. В экономике специалистов наиболее часто интересует ценовая эластичность спроса, которая отражает изменение количества приобретаемого продукта в ответ на изменения его цены. Для модели оптимизации отраслевой структуры производства в сельском хозяйстве актуальной так же является эластичность по урожайности.

В нашем случае важна чувствительность целевой функции прибыли, рентабельности продаж и рентабельности производства к изменению показателей урожайности и цены реализации выращиваемых в хозяйстве сельскохозяйственных культур.

Разработанный метод решения задач экономико-математического моделирования на основе модифицированного метода Бокса позволяет оценить чувствительность целевой функции к изменениям входных параметров.

Чувствительность целевой функции была рассчитана для ООО НПКФ «Агротех-Гарант» «Березовский», как результат изменения значения функционала в ответ на повышение и понижение урожайности и цены реализации озимой пшеницы (Таблица 3).

Представлена динамика изменения показателей целевой функции при варьировании показателей урожайности озимой пшеницы и цены ее реализации (80%-85%-90%-95%-99%-101%-105%-110%-115%-120% от контроля (100%)) при вычислении максимальных значений суммы прибыли, показателя рентабельности продаж и рентабельности производства. В диссертации приведены аналогичные расчеты по ячменю, по подсолнечнику и сахарной свекле.

Анализ показывает, что колебания входных параметров по-разному отражаются на показателях эффективности деятельности предприятия. Несмотря на одинаковые количественные величины по некоторым вариациям, структура производства при данных «схожих» вариантах может существенно различаться. В частности, из приведенной в данном разделе таблицы видно, что в некоторых случаях выгоднее и надежнее внедрять производственную программу исходя из критериев оптимальности, отличных от максимума суммы прибыли.

Показатели рентабельности в данном случае позволяют не только наиболее эффективно использовать имеющиеся, часто недостаточные, производственные ресурсы, но и экономить на производственных затратах значительные средства без относительно значимых потерь в плане эффективности и даже прибыли.

Таблица 3

Чувствительность целевой функции при изменении урожайности и цены _реализации основных сельскохозяйственных культур_

результаты решения урожайность, % от исходного

90% | 95% 1 99% | 100% | 101% | 105% | 110%

критерий оптимальности - максимум суммы прибыли

шах прибыль, тыс. руб 53 369 55 000 56 305 56 636 56 967 58 288 59 939

стоимость тов. прод, тыс. руб 154 489 156 152 157 428 157 764 158 100 159 449 161 138

произв. затраты, тыс. руб 101 120 101 152 101 122 101 128 101 133 101 161 101 199

рентабельность продаж 34,55% 35,22% 35,77% 35,90% 36,03% 36,56% 37,20%

рентабельность производства 52,78% 54,37% 55,68% 56,00% 56,33% 57,62% 59,23%

критерий оптимальности - максимум рентабельности продаж

прибыль, тыс. руб 51 975 53 601 54 899 55 458 55 541 56 550 58 475

стоимость тов.прод, тыс. руб 145 583 147 209 148 507 149 256 149 159 150 466 152 083

произв. затраты, тыс. руб 93 608 93 608 93 608 93 608 93 622 93 697 93 699

рентабельность продаж 35,70% 36,41% 36,97% 37,16% 37,24% 37,58% 38,45%

рентабельность производства 55,52% 57,26% 58,65% 59,24% 59,32% 60,35% 62,41%

критерий оптимальности - максимум рентабельности производства

прибыль, тыс. руб 51 927 53 561 54 879 55 422 55 535 56 499 58 467

стоимость тов.прод., тыс. руб 145 585 147 208 148 507 149 133 149 159 150 450 152 081

произв. затраты, тыс. руб 93 510 93 513 93 549 93 608 93 609 93 609 93 610

рентабельность продаж 35,67% 36,38% 36,95% 37,16% 37,23% 37,55% 38,44%

рентабельность производства 55,53% 57,28% 58,66% 59,21% 59,33% 60,36% 62,46%

результаты решения цена реализации, % от исходного

90% | 95% | 99% | 100% | 101% | 105% | 110%

критерий оптимальности - максимум суммы прибыли

тах прибыль, тыс. руб 53 659 55 144 56 335 56 636 56 937 58 140 59 645

стоимость тов. прод, тыс. руб 154 849 156 334 157463 157 764 158 065 159 268 160 773

произв. затраты, тыс. руб 101 190 101 190 101 128 101 128 101 128 101 128 101 128

рентабельность продаж, % 34,65% 35,27% 35,78% 35,90% 36,02% 36,50% 37,10%

рентабельность произв., % 53,03% 54,50% 55,71% 56,00% 56,30% 57,49% 58,98%

критерий оптимальности - максимум рентабельности продаж

прибыль, тыс. руб 52 253 53 739 54 948 55 458 55 542 56 712 58 178

стоимость тов.прод, тыс. руб 145 861 147 347 148 536 149 256 149 132 150 320 151 806

произв. затраты, тыс. руб 93 608 93 608 93 608 93 608 93 612 93 618 93 629

шах рентаб.продаж, % 35,82% 36,47% 36,99% 37,16% 37,24% 37,73% 38,32%

рентабельность произв., % 55,82% 57,41% 58,70% 59,24% 59,33% 60,58% 62,14%

критерий оптимальности - максимум рентабельности производства

прибыль, тыс. руб 52 237 53 726 54 927 55 422 55 536 56 711 58 168

стоимость тов.прод., тыс. руб 145 860 147 345 148 536 149 133 149 131 150 320 151 806

произв. затраты, тыс. руб 93 564 93 572 93 573 93 608 93 608 93 608 93 608

рентабельность продаж, % 35,81% 36,46% 36,98% 37,16% 37,24% 37,73% 38,32%

тах рентаб.производства, % 55,83% 57,42% 58,70% 59,21% 59,33% 60,58% 62,14%

В то же время, ориентир на максимизацию прибыли позволяет получить решения, которые менее чувствительны к колебаниям отдельных факторов, таких как цена и урожайность. В свою очередь это помогает избежать радикальных мер при корректировке или переориентации производственной программы предприятия.

Программный модуль «Устойчивое решение» может применяться в качестве средства поддержки принятия решений в составе систем управления, в первую очередь, аграрным предприятием. Однако модуль может быть модифицирован в соответствии с особенностями деятельности предприятий других сфер экономики.

3. ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

В диссертационной работе на основе выполненных теоретических и прикладных исследований в области решения оптимизационных задач экономико-математического моделирования сформулированы следующие выводы:

1. Распространенная на данный момент в экономике практика принудительного сведения нелинейных зависимостей к линейным с целью применения популярных способов решения линейных задач, лишает лицо, принимающее решение, неискаженных результатов экономико-математического моделирования при формировании производственной программы предприятия. Рост нестабильности условий предпринимательской деятельности и специфические особенности рыночной экономики, для которого характерен принципиально нелинейный характер многих взаимосвязей между факторами производства, объективно требуют применения нелинейных методов программирования при производственно-финансовом планировании на уровне предприятия.

2. Выбор созданного М.Боксом комплексного метода для решения задачи оптимизации производственных параметров предприятий обусловлен его способностью решать задачи нелинейного программирования с ограничениями-неравенствами. Важной характеристикой метода Бокса является расположение промежуточных значений внутри зоны допустимых решений, что повышает устойчивость результатов решения. Однако классический вариант данного метода предполагает наличие ограничений для каждой переменной, тогда как в случае решения экономико-математической задачи имеют место ограничения на группы переменных, т.е. функциональные ограничения и ограничения на переменные совмещены. Поэтому применение данного метода для решения подобных задач требует определенных модификаций. Модифицированная версия метода Бокса, разработанная и представленная в диссертации, позволяет решать задачи с линейным функционалом, не уступая в эффективности симплекс-методу. Результаты решения оптимизационной задачи линейного программирования, полученные при решении симплекс-методом и разработанной модификацией, абсолютно совпали как по величине суммы прибыли (для ООО НПКФ «Агротех-Гарант» «Березовский» 56 636 тыс. руб., для ЗАО «Дон» 36 925 тыс. руб.), которая использовалась в качестве линейного критерия оптимальности, так и по значениям всех переменных.

3. В условиях нестабильной внешней среды деятельность предприятия можно оценить с помощью критериев, отличных от линейного показателя при-

были - например, рентабельности, которая представляет собой отношение прибыли к производственным издержкам и является нелинейным показателем. Решение задачи на определение максимального значения рентабельности продаж ООО НПКФ «Агротех-Гарант» «Березовский», полученное при использовании модификации метода Бокса (37,16%) лучше полученного с использованием «Поиска решения» нелинейной модели (37,11%). Аналогично для ЗАО «Дон» -40,45% против 40,35% соответственно. Таким же образом был осуществлен поиск максимального значения рентабельности производства. Результатом использования модификации метода Бокса стала величина 59,12% против полученного «Поиском решения» в MS Excel 59,00% для ООО НПКФ «Агротех-Гарант» «Березовский»; для ЗАО «Дон» 67,92% против 67,66% соответственно. Очевидна неспособность «Поиска решения» самостоятельно выбираться из локального экстремума, тогда как разработанный метод более успешен в обходе локальных экстремальных значений, эффективно определяя глобальный оптимум.

4. Адаптированный нами метод Бокса позволяет решать оптимизационные задачи при линейном, нелинейном и многокритериальном функционале, используя исходную матрицу ограничений. Применение созданной модификации метода сопряжено с необходимостью проведения перестановки строк и столбцов матрицы по определённым правилам, что приводит матрицу системы ограничений к виду, близкому к нижней треугольной. Другими словами, метод требует расположения значений по диагонали матрицы для их соответственного последовательного определения (т.е. назначения случайным образом в случае неравенства в требуемом интервале или определенных из уравнений). Такое построение облегчает применение данного метода и повышает наглядность системы ограничений.

5. В разработанном методе для решения задачи многокритериальной оптимизации прописана соответствующая процедура, осуществляющая поиск идеальной точки в условиях нескольких критериев. Результаты поиска компромиссного решения в условиях многокритериальной целевой функции (максимизация прибыли и рентабельности) дали искомую точку, уступки по которой с обеих сторон минимальны. Одновременно в процессе поиска были определены границы, в которых лицо, принимающее решение, сможет выбрать наиболее подходящий для внедрения результат, проведя анализ представленных основных показателей оптимального развития производства при различном сочетании значений искомых критериев оптимальности.

6. Разработанный программный модуль «Устойчивое решение» обеспечивает получение оптимального решения экономико-математической задачи с линейным, нелинейным и многокритериальным функционалом с повышенной степенью устойчивости. Основу разработанного модуля составляет комплексный метод (метод Бокса), адаптированный для решения экономико-математической задачи. В отличие от широко распространенного симплекс-метода, когда решение получается движением по границе допустимого множества и перебором вершин в поисках наилучшей (в смысле минимума или максимума линейной целевой функции), метод Бокса работает с точками внутри допустимого множества, определяемого системой ограничений. Способность

разработанной модификации не только к вычислению, но и к агрегации данных по отзывчивости целевой функции на изменение входных параметров в сводную таблицу, предоставляет лицу, принимающему решение, более полную картину о возможности внесения оперативных изменений в производственную программу для нивелирования негативного влияния изменения условий производства. Сформированная при этом выходная таблица позволяет отследить наиболее и наименее чувствительные к колебаниям отдельных факторов решения, проанализировать варианты экономии производственных ресурсов для достижения максимально возможной, в сложившихся условиях, прибыли или рентабельности.

4. ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Публикации в изданиях из перечня ВАК РФ

1. Чернигина Е.А. Решение оптимизационной задачи экономико-математического моделирования с линейным и нелинейным функционалом/ Е.А.Чернигина, А.С.Чернигин// Научные труды Вольного экономического общества России. - 2010. - том 143. - С. 172-176 (0,25 п.л./0,17 п.л.).

2. Чернигина Е.А. Исследование возможностей разработанной модификации метода Бокса в решении экономико-математических задач/ Л.П.Яновский, Е.А.Чернигина // Вестник ВГАУ. - 2011. - том 1(28). - С. 135-138 (0,25 п.л./0,22 п.л.).

Публикации в других изданиях

3. Чернигина Е.А. Применение метода нелинейного программирования при решении технических задач / А.С.Чернигин, Е.А.Чернигина // Повышение эффективности функционирования АПК и применение методов математического моделирования в исследованиях агроэкономических систем. -Воронеж: ВГАУ, 2001. - С. 313-318 (0,22 п.л./0,1 пл.).

4. Чернигина Е.А. Повышение устойчивости решения экономико-математической модели на основе использования числа обусловленно-сти//А.С.Чернигин, Е.А.Чернигина//Информационные технологии в науке, бизнесе, образовании: Материалы научно-практической конференции, ВГНА, Москва, 2009. - С. 216-220 (0,25 п.л./0,17п.л.).

5. Чернигина Е.А. Повышение устойчивости решения оптимизационной задачи на основе метода случайного поиска// А.С.Чернигин, Е.А.Чернигина// Информационное обеспечение бизнеса: Материалы всероссийской научно-практической конференции, ИГУ, Иваново, 2010. -С. 121-125 (0,25 п.л./0,17 п.л.).

6. Чернигина Е.А. Использование комплексного метода Бокса в экономико-математическом моделировании / А.С.Чернигин, Е.А.Чернигина // Информатика: проблемы, методология, технологии: материалы X Международной научно-методической конференции, ВГУ, Воронеж, 2010; в 3 т. -Воронеж: Издательско-полиграфический центр ВГУ 2010.- С. 324-327 (0,2 пл./0,13 пл.).

7. Чернигина Е.А. Адаптация метода комплексов для решения оптимизационной задачи экономико-математического моделирования с целью повышения устойчивости результатов решения// Материалы Международного молодежного научного форума «ЛОМОНОСОВ-ЗОЮ», Секция «Экономика», МГУ, Москва, 2010г.; [Электронный ресурс] — М.: МАКС Пресс, 2010. — С.34-36 (0,14 пл.).

8. Чернигина Е.А. Перспективы развития отрасли животноводства на предприятии по результатам решения оптимизационной задачи с помощью модифицированного метода Бокса/ А.С.Чернигин, Е.А.Чернигина// Перспективы развития сельского хозяйства: кормопроизводство и кормление КРС: материалы III российско-германской научно-практической конференции, 28-29 ноября 2010г.- Воронеж: издательство «Истоки», 2011. -С.88-91 (0,25 п.л./0,15 п.л.).

9. Чернигина Е.А. Поиск экстремальных значений оптимизационной задачи с линейным и нелинейным функционалом// Theoretical and Applied Aspects of Cybernetics. Proceedings of the International Scientific Conference of Students and Young Scientists - Kyiv: Bukrek, 2011. - C. 300 - 302 (0,22 пл.)

10. Чернигина Е.А. Нелинейные экономические системы и возможности поиска их предельных значений / А.С.Чернигин, Е.А.Чернигина// Моделирование и информационное обеспечение экономических процессов в АПК: сборник научных трудов. - Воронеж: ФГОУ ВПО Воронежский ГАУ, 2011. - С.131-135 (0,25 п.л./0,22 пл.).

Патенты и изобретения

И. Чернигина Е.А. Программный модуль «Устойчивое решение» / A.C. Чернигин, Е.А. Чернигина, A.A. Голощапов // Информационный бюллетень «Алгоритмы и программы». - 2011 - Выпуск 1. - РТО 5 с.-Рег. № 50201000573,2010.03.10.

Подписано в печать 16.11.11. Формат 60><84 7]6. Усл. псч. л. 1,4. Тираж 100 экз. Заказ 1409

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии Издатсльско-полиграфического центра Воронежского государственного университета. 394000, Воронеж, ул. Пушкинская, 3.