Нелинейные динамические модели экономических процессов в АПК тема диссертации по экономике, полный текст автореферата

Автореферат диссертации по теме "Нелинейные динамические модели экономических процессов в АПК"

Нащм^

Карнаухов Виктор Анатольевич

Нелинейные динамические модели экономических процессов в АПК

Специальность 08.00.13 - Математические и инструментальные методы экономики

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата экономических наук

\

МОСКВА 2003

Работа выполнена на кафедре экономической кибернетики Московской сельскохозяйственной академии имени К. А. Тимирязева.

Научный руководитель: доктор экономических наук, профессор,

член.-корр. РАСХН, А.М. Гатаулин

Официальные оппоненты: доктор экономических наук,

профессор К.П. Личко

кандидат экономических наук, Ю.В. Колесников

Ведущая организация: Всероссийский институт аграрных

проблем и информатики (ВИАПИ)

Защита состоится « //» июня 2003 г. в час. на заседании диссертационного совета Д220.043.06 при Московской сельскохозяйственной академии имени К.А. Тимирязева.

Адрес: 127550, Москва И-550, Тимирязевская ул., д.49.

Ученый совет МСХА С диссертацией можно ознакомиться в ЦНБ МСХА.

Автореферат разослан « £ » мая 2003 г.

Ученый секретарь диссертационного совета -д.э.н., профессор

^ О & ОАЛЯЛА^

Н.Я. Коваленко

цхноЯ'Ч

9>06ЪЪд

Актуальность темы исследования.

Важнейшей задачей экономической науки является целенаправленное управление поведением сложных динамических систем, в том числе хозяйственных, технических, биологических и экологических. Для этого современная наука располагает широким арсеналом методов, среди которых особое значение имеет математическое моделирование. До последнего времени в экономических исследованиях прикладного характера и в управленческой деятельности использовались линейные оптимизационные модели. При достаточно высоком уровне технологической культуры и надежной информационной базе реализация линейных экономико-математических моделей обеспечивает более высокую эффективность по сравнению с традиционными методами принятия управленческих решений. Однако исследования последних лет показали, что существует обширный класс экономических, хозяйственных и биологических задач, где применение линейных оптимизационных моделей либо некорректно, либо затруднено, но в то же время они эффективно решаются на основе нелинейных экономико-математических моделей.

Поэтому в настоящее время многие российские и зарубежные экономисты-математики пришли к выводу о необходимости более широкого прикладного использования наряду с линейными и нелинейных динамических моделей. Действительно, чем сложнее исследуемая система, тем более сложной должна быть и адекватно описывающая эту систему математическая модель. Линейным моделям присущи лишь две альтернативы поведения - затухающее или взрывное движение. Поэтому в настоящем исследовании основное внимание сконцентрировано на выявлении и анализе нелинейных взаимосвязей.

На сегодняшний день аграрно-экономические исследования в области экономико-математического моделирования слабо подкреплены методологическими разработками. Анализ показывает, что мы сильно

отстали не в теоретичео

Юс НАЦИОНАЛЬНА*-}

apee в прикладном применении нелинейных

jopee в

методов в АПК. Такие понятия, как: катастрофа, бифуркация, предельный цикл, странный аттрактор, диссипативная структура, бегущая волна и т.д., возникшие при использовании сравнительно простых нелинейных моделей, позволяют глубже проникнуть в суть многих процессов.

Несмотря на многочисленные разработки оптимальных стратегий в биологии, экологии и экономике, наблюдаемая на практике картина, например, депрессия в экономике или взрыв популяции отдельных видов (насекомых, рыб, зверей и т.п.) свидетельствует, что характер изменения данной структуры требует глубокого дальнейшего изучения.

В связи с этим проблема определения механизмов и сценариев развития динамики в экономических, биологических и экологических системах оказывается весьма важной и своевременной.

Состояние изученности проблемы. Теоретическому обоснованию и разработке общеметодологических подходов в области линейного моделирования в АПК посвящены труды ученых: М.Е. Браславеца; А.М. Гатаулина; Л.В. Канторовича; Р.Г. Кравченко; B.C. Немчинова; И.Г. Попова; нелинейного моделирования: A.A. Андронова; В.Н. Белых; JI. Гардини; К.П. Личко; Э. Лоренца; Г.Г. Малинецкого; С.Б. Огнивцева; Т. Пу; Л. Стеффани; Д. Химмельблау; Г.Е. Хатчинсона; Б.В. Чирикова и др., математического моделирования в экологии: В. Вольтера; Т. Мальтуса; Р. Мэйя; Ю.А. Пыха; У.Е. Рикера; Дж. М. Смитта; Е.И. Скалецкой; Э.В. Сычевой; Е.Я. Фрисмана; Холдинга; А.П. Шапиро.

В то же время специфика моделирования нелинейных взаимосвязей и их влияние на стабильность системы исследована недостаточно полно.

Цель и задачи исследования:

Целью данного диссертационного исследования является теоретическое, научно-методическое обоснование и разработка практических рекомендаций и программ по изучению влияния нелинейных взаимосвязей на оптимальное и устойчивое управление моделируемыми системами.

В соответствии с целью исследования были поставлены следующие задачи:

1. Аналитически и численными методами описать динамику систем, имеющих сложное поведение с бифуркационными переходами между стационарным состоянием, предельным циклом и детерминированным хаосом. Исследовать причины возникновения бифуркаций в экономических, экологических и биологических задачах.

2. Разработать подход введения нелинейности в полностью линейные динамические модели экономических процессов, в рамках которой описывались бы все этапы экономического цикла.

3. Изучить качественные особенности динамических режимов этих моделей и проанализировать возникающие бифуркации фазовых портретов в пространстве параметров.

4. Показать, что введение кубической нелинейности приводит к стабилизации и снимает большинство ограничений исходных моделей по сравнению с квадратичной и линейной моделью.

5. Разработать, исследовать и апробировать модель, в которой учитываются процессы внутрипопуляционной самоорганизации и оптимального промыслового управления популяцией промысловых рыб с получением максимальной прибыли на примере динамики.

Объект исследования - нелинейные математические модели экономических, биологических и экологических процессов.

Предмет исследования - проявление нелинейных взаимосвязей в экономических, биологических и экологических моделях. Нелинейные взаимосвязи исследуются с целью выявления их влияния на оптимальное и устойчивое управление моделируемым объектом.

Методы исследования.

С учетом поставленных задач применены следующие методы исследования: нелинейный и дифференциальный анализ, математическое моделирование, анализ бифуркаций и детерминированного хаоса,

сравнительный анализ, статистический, монографический, расчетно-конструктивный и абстрактно-логический методы.

Научная новизна исследования.

1. Раскрыты механизмы возникновения нерегулярной динамики и расширена область применения методов анализа нерегулярных динамических режимов математических моделей для формализованного описания устойчивости в экономических и биологических моделях.

2. Для модели дуополистов, в которой обе фирмы не достигают сразу своих новых оптимальных положений, но регулируют (корректируют) их предыдущие решения в направлении нового оптимума с разными скоростями корректировки, показано, что бесконечно малые предельные издержки оказывают дестабилизирующие действие на траекторию поведения модели, при котором полностью циклические периоды становятся все длинней и соответственно растет амплитуда.

3. Доказана применимость методов анализа нерегулярных динамических режимов математических моделей для описания устойчивости в экономических и биологических моделях.

4. Построена и исследована модель управления динамикой популяции численности промысловых рыб, в которой учитываются процессы внутрипопуляционной самоорганизации и оптимального промыслового управления. Оценена экономическая эффективность различных стратегий промысла при длительном функционировании. Выделен ряд показателей влияющих на стабилизацию модели при возникновении нерегулярной динамики. Получено новое объяснение роли промысла в оценке экологических последствий различных антропогенных факторов.

5. Обоснована некорректность употребления терминов " динамические линейные системы" и "оптимальность в динамических системах".

Практическая значимость исследования:

1. Выявлены существенные факторы, используемые при разработке стратегической концепции рынка, на котором несколько фирм контролируют

его основную часть. При этом номенклатура продукции может быть как малочисленной (зерно, комбайны), так и достаточно обширной (мясные полуфабрикаты, хлебобулочные изделия).

2. Разработанный метод оценки оптимального диапазона параметров промысла (рыбы, дикие животные), способствующий стабилизацию численности, может найти применение при разработке критериев рациональной эксплуатации и сохранения устойчивого биоразнообразия экологических систем, получения максимальной прибыли от их эксплуатации.

3. Теоретические положения работы и разработанный пакет прикладных программ в среде MathCad Professional 2001 рекомендуются к использованию в качестве методического пособия в учебном процессе при подготовке специалистов АПК, а также для введения нового учебного курса по специальности "математические методы в экономике АПК".

Разработанные автором научные и практические рекомендации переданы для практического использования Россельхозбанку, что подтверждается актом о внедрении.

Апробацня результатов

Результаты исследования обсуждались и получили одобрение на международных научных конференциях Московской сельскохозяйственной академии имени К.А. Тимирязева (далее МСХА), научных конференциях молодых ученых МСХА в 2001-2002 гг., Независимого научного аграрно-экономического общества в 1999 и 2002 гг. На основе исследования разработана новая дисциплина "Нелинейное динамическое моделирование в среде MathCad Professional 2001", для студентов специальности "математические методы в экономике АПК". По результатам исследования опубликовано 7 печатных работ объемом 2,1 п.л.

Объем я структура диссертационной работы.

Диссертация состоит из введения, трех глав, выводов и предложений. Работа изложена на 152 страницах основного текста, содержит 10 таблиц, 27

рисунков, 21 страницу приложения, библиографический список состоит из 176 наименований.

Во введении обоснована актуальность темы исследования, определены цели и задачи, предмет и объект исследования, показана научная новизна и практическая значимость полученных результатов.

В первой главе "Теоретические основы нелинейного моделирования " рассмотрены основные подходы к исследованию нелинейных взаимосвязей возникающих в динамической системе, показаны основные отличия нелинейных систем от линейных. Теоретически обосновывается необходимость применения нелинейного моделирования в АПК, в качестве исходной концепции принимается бифуркационная теория поведения системы. Проанализирован и обобщен опыт построения и решения нелинейных моделей за достаточно большой промежуток времени как в России (СССР), так и за рубежом.

Во второй главе "Методика анализа нелинейных процессов в экономических и биологических системах" доказано, что невозможно игнорировать возникающие нелинейные взаимосвязи при разработке оптимальных стратегий управления биологическими и экономическими процессами. Демонстрируется неизбежность смены динамических режимов, рассматриваются возникающие вследствие этого различные эволюционные стратегии. Применительно к экономике и биологии на простых моделях проиллюстрированы такие понятия нелинейной динамики, как аттрактор, бифуркация, рождение цикла, удвоение периода, переход к хаосу.

В третьей главе "Моделирование нелинейных взаимосвязей экономических и биологических процессов " доказано, что стационарные решения линейных моделей являются результатом структурной неустойчивости модели, а введение кубической нелинейности приводит к стабилизации и снимает большинство ограничений применимости модели. Описан процесс нахождения и исследования нелинейных взаимосвязей экономической модели олигополии Курно-Нэша. Предложена модель

динамики популяции, посредством которой проведена оценка экономического состояния и показаны пути повышения экономической эффективности предприятий Дальневосточного бассейна, ведущих промышленный промысел минтая.

Результаты исследования обобщены в выводах и предложениях.

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

Работы последних 30-ти лет показали, что детерминированный хаос -не экзотический, редко встречающийся феномен, а широко распространенное свойство природных систем различных уровней организации. Анализ многочисленных моделей динамических систем в АПК привел нас к выводу о том, что упорядоченное поведение скорее случайность, чем правило. Исследования в области динамики популяций и экосистем также выявили широкое распространение детерминированного хаоса. В непрерывных моделях хаос как обязательный динамический режим появляется на уровне трехвидовых систем типа «хищник - две жертвы» при введении нелинейности в функции внутривидовых и межвидовых взаимодействий. В более сложных моделях стохастической динамики это обычное явление. Поэтому в настоящем исследовании основное внимание сконцентрировано на выявлении и анализе нелинейных взаимосвязей в экономических, биологических и экологических системах.

В настоящее время ученые всего мира пришли к убеждению, что линейное динамическое моделирование дает крайне мало. В отличие от линейного моделирования для задач нелинейного моделирования нет универсальных методов решения, что объясняется многообразием математических моделей задач оптимизации, относящихся к нелинейным моделям, и их сложностью. Вместе с тем для определенных классов моделей, представляющих собой частные случаи нелинейных моделей, существуют

общие подходы и эффективные алгоритмы решения входящих в эти классы задач (рис. 1).

К числу наиболее распространенных нелинейных методов применительно к народнохозяйственным проблемам относятся такие классические методы как: квадратического программирования; методы спуска; метод множителей Лагранжа; штрафных функций и геометрического программирования. Нами же, в связи с развитием теории нелинейной экономической динамики в последнее время, предложено использовать классический метод возмущений, берущий начало от Пуанкаре, а также теорию бифуркаций, катастроф и детерминированного хаоса.

С использованием этих методов, на примере модели численности популяции вида Хи+; =г-Х„ - у-(Х^а была предложена и реализована аналитическими и численными методами методика по выявлению нелинейных взаимосвязей, которые возникают в нелинейных системах.

Рис. 1. Методы нелинейного моделирования

Демонстрируется обязательность смены динамических режимов в зависимости от значения мальтузианского параметра г (устойчивое стационарное состояние - предельный цикл - детерминированный хаос) и рассматриваются возникающие вследствие этого различные эволюционные стратегии.

Для наглядного представления динамики таких систем используют так называемую бифуркационную диаграмму (рис. 2).

0 45 Д.? 0.7$ 0 8 0J5 0.9 0,95 R е[0,1 ООО]

Рис 2. Бифуркационная диаграмма динамики популяций описываемая отображением Ферхюльста. По оси абсцисс - мальтузианский параметр г, по оси ординат - численность популяции.

Выявление нелинейных взаимосвязей нами предложено проводить в следующей последовательности:

1. Исследование системы на точки покоя и их устойчивость. Мы ищем все такие в, для которых выполняется в = /(в). Используя критерий устойчивости, мы находим все такие в, при переходе через которые система испытывает качественное изменение.

2. Исследование системы на бифуркацию. Изменение характера орбиты наглядно демонстрирует график зависимости хп = /(Я), представленный на рис. 2. Видно, что с ростом мальтузианского параметра система испытывает каскад бифуркаций удвоения периода колебаний и в ней реализуются различные предельные циклы, начиная с периода 2 (два, четыре и более), то есть происходит бифуркация неподвижной точки х на два осциллирующих значения и х2, или другими словами, пара величин X] и образует устойчивый аттрактор с периодом 2. Исходя из этих результатов, мы получаем важное заключение: в линейном случае неустойчивость точки всегда сопровождается уходом решений в бесконечность. В нелинейном случае потеря устойчивости ведет к появлению новых качественных особенностей в поведении системы и к рождению новых аттракторов.

3. Исследования на непериодическое движение системы — хаос. У последовательности Я„ при п—> ос существует предел, равный 0.89248, при котором система формирует сложную непериодическую последовательность - хаос. Для наглядного представления отличий нехаотического от хаотического режима отображения мы сравниваем орбиты с близкими начальными условиями в этих режимах. В качестве меры этого отличия мы выбираем модуль разности между значениями соответствующих орбит отображения, отнесенный к значению одной из орбит.

4. Устойчивость системы по Ляпунову. Сложные системы неустойчивы. Обычно говорят о неустойчивости системы по Ляпунову, т.е. о сильной (не непрерьюной) зависимости решения от входных (начальных) данных. И для более строго отличия типов динамического поведения одного от другого применяется количественный критерий - показатель Ляпунова. Для бифуркационной диаграммы, изображенной на рис. 2., показатель Ляпунова имеет вид, представленный на рис. 3. Положительные значения показателя соответствуют хаотическому режиму динамики системы, а отрицательные указывают на регулярный режим. Сопоставив бифуркационную диаграмму (рис. 2) с этим графиком, видим, что при переходе через критическое

значения параметра г показатель Ляпунова становится положительным и сохраняет свое положительное значение в областях хаотического поведения. В области регулярной динамики он меняет свой знак на отрицательный. Таким образом, с помощью показателя Ляпунова мы наглядно можем видеть возникновение периодического движения внутри областей хаоса при увеличении параметра роста г, т.е. показатель Ляпунова есть мера неустойчивости движения нелинейной сложной системы.

Рис. 3. Показатель Ляпунова.

Исходя из анализа, проведенного с квадратичной нелинейностью на примере более общей модели Хотеллинга, учитывающей неоднородность возраста, миграцию и диффузию популяции показано, что когда популяция неравномерно распределена в среде обитания, возникает тип неоднородности, называемый диффузией. Для описания эволюции в этом случае рассмотрим плотность популяции 0(с,х,у) в момент времени t в точке с координатами (х,у)-

8Щ,х,у)^а { д2Р(1,х,у) | ё Р(!,х,у) д1 \ дх2 дуг

где а - коэффициент плотности; И>0 — временное запаздывание.

Мы показали, что введение простейшей нелинейности (квадратичной) в линейную систему позволяет получить устойчивые стационарные решения, которые наиболее удовлетворяют реальности. Но также нами доказано, что стационарные решения первоначальной модели Хоттелинга являются результатом структурной неустойчивости модели. Устойчивыми решениями модели Хотеллинга являются замкнутые траектории в фазовом пространстве. Периодические решения захватывают отрицательные численности популяции, не имеющие фактического смысла.

Если выбрать единицы измерения популяции, времени и пространства

!

так, чтобы все три постоянные (скорость роста, распространения и 1

насыщенной плотности) стали единичными, и использовать оператор Лапласа для суммы вторых прямых производных по пространственным координатам, то условие стационарности для этой модели будет иметь вид:

= /1(1-2*)/^ - Цт2ск^2

¿м я я я

Таким образом, любое стационарное решение является асимптотически устойчивым при условии, что это решение всюду превышает 1/2 величины насыщенной плотности. Этот критерий устойчивости является необходимым, но недостаточным условием, так как компьютерные имитации подтверждают, что непериодическое решение устойчиво. Основываясь на принципе теории возмущений, мы предлагаем заменить член роста •

р = р-(\-р) следующим:

Р = р(\ + а-и3р2-ръ)-гр), где мы предлагаем ввести простейшую производственную функцию с возрастающим в начале, но в конечном итоге снижающимся эффектом масштаба: аф-р-р3).

Это усеченный ряд Тейлора для любой функции производства с переменным эффектом масштаба. Коэффициент а определяет технологическую эффективность, а Р представляет масштаб производства. Таким образом, переход от возрастающего к снижающемуся эффекту

12

масштаба происходит при р= 1/2-Д производительность максимальна при /з=2/3 и сокращается до нуля при р = Д Из вышеизложенного мы делаем вывод, что введение явной производственной функции в модель Хотеллинга снимает большинство ограничений по применяемости первоначальной модели. При этом появляются устойчивые пространственные неоднородные стационарные решения с чередующимися сгущениями и разрежениями популяции.

Результат моделирования позволяет выявить интересные возможности для бифуркаций в виде нескольких устойчивых стационарных периодических решений, которые соединяются на мгновенье и затем сразу исчезают. Этот факт заслуживает внимание с целью изучения поведения упорядоченных структур.

В только что рассмотренной нами модели видно, что эффектные явления, включая хаос, существенно зависят от кубической функции производства. Нашим доводом в ее пользу стало то, что для всякой нечетной функции столь же разумно использовать линейно-кубическое приближение, как и линейное. Пространственно периодические решения полностью ограничивают разумный интервал положительной численности популяции. В работе показано, что стационарные решения (включая седловые циклы и центральные особенности) модели Хотеллинга фактически являются структурной неустойчивостью модели. Принимая это во внимание, нами введены необходимые изменения для стабилизации исходной модели Хоттелинга.

Выше изложенная методика была опробована при выявлении нелинейностей для модели дуополии Курно-Нэша.

где 0 < Я, ц < 1, в предположении, что обе фирмы не достигают сразу своих новых оптимальных положений, но регулируют (корректируют) их предыдущие решения в направлении нового оптимума со скоростями корректировки Л и ¡л. Процесс регулирования может быть наглядно описан

отдельное уравнение 2-го порядка воспроизводит характеристики динамики 2-переменной системы (рис. 4).

При построении рекурсивного аттрактора можно наблюдать следующую картину. При изменении предельных издержек он распадается. При убывающих предельных издержках хаотический аттрактор становится подобным кривой. Таким образом, бесконечно малые предельные издержки оказывают дестабилизирующее действие на модель, при котором полностью циклические периоды становятся все длинней и соответственно растет амплитуда.

Основываясь на исследовании этой модели, можно сделать следующий

также в соответствии с уравнением х, =

Это

0 163 0.164

0.16 0.161 0.162

бифуркационный параметр (а)

Рис. 4. Бифуркационная диаграмма процесса. 14

вывод: минус модели с квадратичной нелинейностью - как только процесс начинается за пределами определенного интервала, создается взрывное движение по спирали. То же самое происходит, когда параметр превышает определенное критическое значение. Тем не менее, мы считаем, что такая модель лучше, чем модели линейного роста, которые не воспроизводят динамику системы ни для каких значений параметра и начальных условий.

Исследование экономических процессов с помощью многомерных нелинейных отображений, характеризующих динамику макроэкономических переменных, привело нас к заключению, что этим процессам присущи, в зависимости от значений параметров, многообразные динамические режимы: равновесие, цикличность и достаточно сложное квазистохастическое поведение (детерминированный хаос). При относительно небольших значениях коэффициентов реакций цены и ставки процента на дисбаланс между спросом на товары и их предложением, а также коэффициентов реакции экономики на несоответствие спроса и предложения, система в перспективе ведет себя просто: со временем устанавливается либо равновесие, либо периодические колебания с малым периодом. Однако при увеличении даже одного из коэффициентов реакции происходит усложнение динамики переменных модели. Это означает, что в общем случае равновесное решение неустойчиво, а динамика переменных обобщенной макроэкономической модели может быть достаточно сложной и при некоторых значениях параметров приобретать стохастические свойства. Сложный характер решений - не следствие внешнего случайного воздействия, а внутреннее свойство используемой детерминированной модели.

Анализ динамики рассмотренных моделей позволяет предположить: сложное поведение переменных (цикличность, хаотичность и др.) есть неотъемлемое свойство самой моделируемой макроэкономической системы. Поэтому использование квазистационарного подхода к прогнозированию макроэкономики может иметь смысл лишь в том случае, когда

коэффициенты реакции соответствующей динамической модели лежат в области устойчивости ее равновесного решения. Это может происходить, например, при таком государственном регулировании изменений процентной ставки и уровня цен и такой реакции экономики на отклонение системы от равновесия, при которых не допускаются резкие взлеты и падения макроэкономических переменных.

Сформулированные выше выводы означают, что квазистационарный подход может быть эффективен лишь при анализе макроэкономических тенденций сложившейся, эволюционно изменяющейся экономики, в которой действуют механизмы государственного регулирования, направленные не только на стимулирование спроса, но и на устранение отклонений макроэкономической системы от траектории "равновесных рыночных механизмов" развития.

Объектом исследования, для численной иллюстрации, мы выбрали дальневосточные моря - один из высокопродуктивных регионов мирового океана. Основным промысловым районом бассейна является Охотское море, а главным объектом промысла - минтай. В настоящее время широкое распространение в ряде биологических и экономических изданий, получило мнение о том, что промысел в этом регионе достиг своих пределов и дальнейшая его интенсификация маловероятна. С нашей точки зрения, сырьевые ресурсы могут быть увеличены за счет сокращения потерь и упорядочения промысловых операций, что мы и показали. Для получения максимального экономического эффекта мы должны прийти к оптимальному управлению выловом рыбы, хотя следует учитывать, что само оптимальное управление может привести как к стабилизации численности на оптимальном уровне, так и к возникновению негармонических колебаний. Поэтому полученные решения нуждаются в подробном изучении. Перед нами стоит задача: выяснить характер влияния промысла при условии максимального уравновешенного вылова (для достижения максимального экономического эффекта) на динамическое поведение системы. Для выяснения характера

действия механизмов промысла конкретной популяции и определения модели необходимо определить следующие коэффициенты: г - коэффициент, характеризующий изменение репродуктивного потенциала популяции в зависимости от текущей численности и уровня изъятия; F - коэффициент оптимальной промысловой смертности; m - коэффициент, отражающий стационарный уровень изъятия; х0 - начальная численность популяции. Параметры модели должны удовлетворять условиям m, г, F, х0 > 0. Информацией для их оценки служили опубликованные данные о промысловой статистике в дальневосточных морях (урожайности поколений, плодовитости, размерно-весовому составу), собранные и обработанные известными российскими ихтиологами. Статистические данные по выловам западнокамчатского минтая были взяты за период 1962-2001 гг. Для этой популяции коэффициент оптимальной промысловой смертности составляет 0.46 - 0.5. На рис. 5 изображена динамика численности западнокамчатского минтая за 1965-2001 гг. (реальная и модельная).

Рисунок 5

Динамика численности западнокамчатского минтая за 1965-2001 г.г.

года

Реальная численность ■ Модельная чисенностъ

Исследование чувствительности модели показало, что она устойчива к изменениям коэффициентов и начальных данных. Нами также показано,

каким образом можно стабилизировать численность популяции при различных стратегиях промысла и какая стратегия при этом выигрывает в экономическом плане. Для иллюстрации экономического эффекта от предложенной нами модели мы рассмотрели деятельность ОАО «Владивостокская база тралового и рефрижераторного флота» (далее ВБТРФ) за период 1996-2001 гг. (табл. 1) и проанализировали основные экономические показатели за указанный промежуток времени. В табл. 1 представлены фактические и моделируемые уловы заподнокамчатского минтая.

Таблица 1 '<«

Фактические и моделируемые объемы вылова западнокамчатского минтая за 1996-2001 гг., тыс. тонн.

Показатели Года

1996 1997 1998 1999 2000 2001

Фактические уловы 1250 1182 852 514 343 180

Моделируемые уловы 1070 1020 985 780 540 480

Моделируемые в % к фактическим 85,6 86,3 115,6 151,7 157,4 266,6

Выловы ВБТРФ

фактические 195 206 286 394 186 72

моделируемые 167 179 340 560 306 192

Из таблицы видно, что именно неправильное управление популяцией минтая сказалось на показателях 2000 и 2001 гг. Исходя из модельного вылова численности рыбы, представленного в табл. 1, можно провести модельную картину основных экономических показателей ОАО ВБТРФ за 1996-2001 гг. Суммарная реализованная продукция ОАО ВБТРФ за 19982001 гг. (фактическая) составляет 1411,6 млн. руб., в то время как расчетная 1876,3 млн. руб. Таким путем мы можем добиться увеличения выручки от реализации продукции на 32,9 % за счет смены стратегии промысла. Таким образом, можно с уверенностью сказать, что при стратегии промысла "больше рыбы - больше изъятия" среднегодовой доход выше. При

продолжении такой стратегии уловы резко падают и мы входим в нерегулярную область биффуркационной диаграммы, и повысить уловы становиться либо невозможным, что ведет к гибели стада, либо повышение возможно только в течение длительного времени. В то же время при фиксированной доле изъятия численность через некоторое время выйдет на оптимальный аттрактор, и тем самым невысокие доходы первых лет компенсируются в последующие годы. Суммарная прибыль будет значительно выше. Мы доказали, что при использовании тактики плавной стабилизации колебаний численности подорванной популяции, устойчивое состояние может быть достигнуто с помощью самого же промысла.

В диссертационной работе даются конкретные выводы и предложения, они носят теоретико-методический и прикладной характер. Основные их положения приводятся в автореферате по ходу изложения материала.

Основные положения диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Карнаухов В.А. Оценка перспектив использования информационных технологий в целях повышения производительности // Российский аграрно-промышленный комплекс и мировые продовольственные рынки. Научные труды НАЭКОР. Вып. 4. Том IV. М.: Изд-во МСХА. 2000. С. 344-352. 0,4 п.л.

2. Карнаухов В.А. Метод возмущений - как основа средств анализа нелинейной функции инвестиций и ее предельных циклов // Материалы международной юбилейной конференции молодых ученых (июнь 2001 год). Сборник научных трудов. Выпуск 7. М.: Из-во МСХА. 2001. с. 72-75. 0.1 п.л.

3. Карнаухов В.А. Проблемы и подходы к решению задачи о использовании удобрений при выращивании сельскохозяйственных культур // Материалы международной научной конференции (декабрь 2001 год). Сборник научных трудов. Выпуск 8. М.: Из-во МСХА. 2002. с.128-132. 0.25 п.л.

4. Карнаухов В.А. Методика анализа линейной и нелинейной динамической модели численности популяции // Материалы международной юбилейной конференции молодых ученых (июнь 2002 год). Сборник научных трудов. Выпуск 9. М.: Из-во МСХА. 2002. с. 66-71. 0.3 п.л.

5. Карнаухов В.А. Методика исследования нелинейных динамических систем на примере модели дуополии Курно-Нэша // Научные основы функционирования и управления АПК. Научные труды НАЭКОР. Вып. 6. Том Ш. М.: Изд-во МСХА. 2002. С. 223-229. 0,37 п.л.

6. Карнаухов В.А. Основные методы анализа и решения нелинейной экономико-математической модели // Материалы международной юбилейной научной конференции (декабрь 2002 год). Сборник научных трудов. Выпуск 10. М.: Изд-во: МСХА. 2003. С. 146-153. 0.44 пл.

7. Карнаухов В.А. Особенности использования экономико-математических методов в АПК // Материалы международной юбилейной научной конференции (декабрь 2002 год). Сборник научных трудов. Выпуск 10. М.: Изд-во: МСХА. 2003. С. 153-157. 0.25 пл.

РНБ Русский фонд

2005-4 18943

1 2 MÁ'/i 2003

Диссертация: содержание автор диссертационного исследования: кандидата экономических наук, Карнаухов, Виктор Анатольевич

Введение.

ГЛАВА 1. Теоретические основы нелинейного моделирования

Ф 1.1. Основные понятия теории динамических систем. Нелинейные связи в экономических системах.

1.2. Нелинейная экономико-математическая модель и ее место в классификации математических моделей.

1.3. Основные методы анализа и решения нелинейной экономико-математической модели.

1.4. Особенности использования математических методов в АПК.

1.5. Детерминированный хаос как следствие нелинейных свойств динамических систем.

1.6. Развитие и современное состояние исследований в области нелинейного математического моделирования в экономике АПК.

1.6.1. История формирования нелинейных математических методов в экономике АПК.

1.6.2. Современное состояние исследований в области нелинейного математического моделирования.

ГЛАВА 2. Методика анализа нелинейных процессов в экономических и ф биологических системах

2.1. Анализ линейной и нелинейной динамической модели численности популяции.

2.2. Анализ модели динамики численности популяции с различными стратегиями промысла.

2.3. Выявление нелинейных взаимосвязей на примере задачи Хищник-Жертва.

ГЛАВА 3. Моделирование нелинейных взаимосвязей экономических и биологических процессов

3.1. Использование кубической нелинейности в качестве метода для стабилизации исходных моделей.

3.2. Моделирование нелинейных взаимосвязей на примере модели дуополии Курно-Нэша.

3.3. Моделирование динамики численности популяции рыбы с различными стратегиями промысла.

Диссертация: введение по экономике, на тему "Нелинейные динамические модели экономических процессов в АПК"

Актуальность темы исследования.

Важнейшей задачей экономической науки является целенаправленное управление поведением сложных динамических систем, в том числе хозяйственных, технических, биологических и экологических. Для этого современная наука располагает широким арсеналом методов, среди которых особое значение имеет математическое моделирование. До последнего времени в экономических исследованиях прикладного характера и в управленческой деятельности использовались линейные оптимизационные модели. При достаточно высоком уровне технологической культуры и надежной информационной базе реализация линейных экономико-математических моделей обеспечивает более высокую эффективность по сравнению с традиционными методами принятия управленческих решений. Однако исследования последних лет показали, что существует обширный класс экономических, хозяйственных и биологических задач, где применение линейных оптимизационных моделей либо некорректно, либо затруднено, но в то же время они эффективно решаются на основе нелинейных экономико-математических моделей.

Действительно, чем сложнее исследуемая система, тем более сложной должна быть и адекватно описывающая эту систему математическая модель. Это вызвано также скудностью набора альтернатив - затухающее или взрывное движение - относящихся к линейным моделям. Поэтому в настоящем исследовании основное внимание сконцентрировано на выявлении и анализе нелинейных взаимосвязей.

На сегодняшний день аграрно-экономические исследования в области экономико-математического моделирования слабо подкреплены методологическими разработками. Анализ современного состояния в этой области показывает, что мы сильно отстали не в теоретическом, а скорее в прикладном применении нелинейных методов в АПК. Такие понятия, как: катастрофа", "бифуркация", "предельный цикл", "странный аттрактор", "диссипативная структура", "бегущая волна" и т.д., возникшие при использовании сравнительно простых нелинейных моделей, позволяют глубже проникнуть в суть многих процессов.

Несмотря на многочисленные разработки оптимальных стратегий в биологии, экологии и экономике, наблюдаемая на практике картина, например, депрессия в экономике или взрыв популяции отдельных видов (насекомых, рыб, зверей и т.п.) свидетельствует, что характер изменения данной структуры требует глубокого дальнейшего изучения.

В связи с этим, проблема определения механизмов и сценариев развития динамики в экономических, биологических и экологических системах оказывается весьма важной и своевременной.

Объект исследования - нелинейные математические модели рыночной экономики, биологии и экологии.

Предмет исследования - нелинейные взаимосвязи и их проявления в экономических, биологических и экологических моделях. Нелинейные взаимосвязи исследуются с целью выявления их влияния на оптимальное и устойчивое управление моделируемым объектом.

Основные задачи исследования:

1. Аналитически и численными методами описать механизмы динамики системы, имеющие сложное поведение с бифуркационными переходами между стационарным состоянием, предельным циклом и детерминированным хаосом. Исследовать причины возникновения бифуркаций в экономических, экологических и биологических задачах.

2. Разработать подход введения нелинейности в полностью линейные модели, в рамках которой описывались бы все этапы экономического или биологического цикла.

3. Изучить качественные особенности динамических режимов этих моделей и проанализировать возникающие бифуркации фазовых портретов в пространстве параметров.

4. Показать, что введение кубической нелинейности приводит к стабилизации и снимает большинство ограничений исходных моделей по сравнению с квадратичной и линейной моделью.

5. Разработать, исследовать и апробировать модель, в которой учитываются процессы внутрипопуляционной самоорганизации и оптимального промыслового управления на примере динамики популяции численности промысловых рыб.

Методы исследования:

В работе использовались методы нелинейного и дифференциального анализа, математического моделирования биологических и экономических систем, качественной теории бифуркаций и детерминированного хаоса. Все модели и численные выкладки, используемые в работе, аналитически и численно были реализованы в среде MathCad Professional 2001 с помощью встроенных функций.

Научная новизна исследования состоит в следующем:

1. Обосновано, что употребление терминов " динамические линейные системы" и "оптимальность в динамических системах" является не корректным.

2. Раскрыты механизмы возникновения нерегулярной динамики и расширена область применения методов анализа нерегулярных динамических режимов математических моделей для формализованного описания устойчивости в экономических и биологических моделях.

3. Подробно описан процесс регулирования для дуополистов, при котором обе фирмы не достигают сразу своих новых оптимальных положений, но регулируют (корректируют) их предыдущие решения в направлении нового оптимума с разными скоростями корректировки.

4. Показано, что рекурсивный аттрактор при изменении предельных издержек распадается. При убывающих предельных издержках хаотический аттрактор становиться подобным кривой. Таким образом, бесконечно малые предельные издержки оказывают дестабилизирующие действие на модель, при котором полностью циклические периоды становятся все длинней и соответственно растет амплитуда.

5. Расширена область применения методов анализа нерегулярных динамических режимов математических моделей для описания устойчивости в экономических и биологических моделях.

6. На примере динамики популяции численности промысловых рыб построена и исследована модель, в которой учитываются процессы внутрипопуляционной самоорганизации и оптимального промыслового управления. Оценена экономическая эффективность различных стратегий промысла при длительном функционировании. Выделены ряд показателей влияющих на стабилизацию модели при возникновении нерегулярной динамики. Получено новое объяснение роли промысла в оценке экологических последствий различных антропогенных факторов. Теоретическая и практическая значимость исследования:

- Дана математическая формализация процесса регулирования для дуополистов и выявлены существенные факторы, которые используются при разработке стратегической концепции рынка, на котором несколько фирм контролируют его основную часть. При этом номенклатура продукции может быть как малочисленной (зерно, комбайны), так и достаточно обширной (мясные полуфабрикаты, хлебобулочные изделия).

- Разработан общий подход оценки оптимального диапазона параметров промысла (рыбы, диких животных), способствующего стабилизации численности. Полученные результаты могут найти применение при разработке критериев рациональной эксплуатации и сохранения устойчивого биоразнообразия экологических систем при получении максимальной прибыли от их использования.

- Теоретические положения работы и разработанный пакет прикладных программ в среде MathCad Professional 2001 рекомендуется к использованию в качестве методического пособия в учебном процессе при подготовке специалистов АПК, а так же для введения нового курса в учебный процесс студентов по специализации "математические методы в экономике АПК".

Теоретическую и методологическую базу исследования составили труды ученых в области линейного моделирования: М.Е. Браславца; А. Виндера; A.M. Гатаулина; JI.B. Канторовича; Р.Г. Кравченко; B.C. Немчинова; И.Г. Попова; нелинейного моделирования: А.А. Андронова; B.C. Анищенко; В.Н. Белых; Г.Л. Бици; J1. Гардини; К.П. Личко; Э. Лоренца; Г.Г. Малинецкого; Т. Пу; Л. Стеффани; В.В. Трофимова; Д. Химмельблау; Г.Е. Хатчинсона; Б.В. Чирикова, математического моделирования в экологии: В. Вольтера; Т. Мальтуса; Р. Мэйя; Ю.А. Пыха; У.Е. Рикера; Дж. М. Смитта; Е.И. Скалецкой; Э.В. Сычевой; Е.Я. Фрисмана; Холлинга; А.П. Шапиро.

Апробация результатов

Результаты исследования обсуждались и получили одобрение на научных конференциях профессорско-преподавательского состава Московской сельскохозяйственной академии имени К.А. Тимирязева (далее МСХА) в 2001 году, Независимого научного аграрно-экономического общества в 1999 и 2002 годах, научных конференциях молодых ученых и специалистов МСХА в 2002 году. На основе исследования разработана новая дисциплина "Нелинейное динамическое моделирование в среде MathCad Professional 2001", для студентов по специализации "математические методы в экономике АПК". По результатам исследования опубликовано шесть печатных работ.

Диссертация: заключение по теме "Математические и инструментальные методы экономики", Карнаухов, Виктор Анатольевич

Выводы и предложения

1. Аналитическими и численными методами описаны механизмы динамики популяции, имеющие сложное поведение с бифуркационными переходами между стационарным состоянием, предельным циклом и детерминированным хаосом. Исследованы причины возникновения бифуркаций в экономических, экологических и биологических задачах.

2. Проведен анализ экономической эффективности различных стратегий промысла при длительном действии. Смена стратегии промысла с переменной долей изъятия приводит к мягкой стабилизации колебаний численности подорванной популяции. Кроме того, с увеличением временного интервала растет среднегодовой и суммарный доход при стратегии промысла с фиксированной долей изъятия. Разработан общий подход оценки оптимального диапазона параметров промысла, способствующего стабилизации численности. Полученные результаты могут найти применение при разработке критериев рациональной эксплуатации и сохранения устойчивого биоразнообразия экологических систем при получении максимальной прибыли от их использования.

3. На основе модели дуополии с квадратичной нелинейностью и с помощью предложенной нами методики, нами показано, каким образом простая модель вызывает неподвижные точки, регулярные циклы или хаос. Выявили недостатки модели с квадратичной нелинейностью: как только процесс начинается за пределами определенного интервала, создается взрывное движение по спирали. То же самое происходит, когда параметр превышает определенное критическое значение. Такая модель лучше, чем модели линейного роста, которые не работают четко ни для каких значений параметра и начальных условий. Подробно описали процесс регулирования для дуополистов, при котором обе фирмы не достигают сразу своих новых оптимальных положений, но регулируют корректируют) их предыдущие решения в направлении нового оптимума с разными скоростями корректировки. Также мы показали, что рекурсивный аттрактор при изменении предельных издержек распадается. При убывающих предельных издержках хаотический аттрактор становится подобным кривой. Таким образом, бесконечно малые предельные издержки оказывают дестабилизирующее действие на модель, при которых полностью циклические периоды становятся все длинней, и соответственно растет амплитуда. Эти и другие выявленные факты могут быть использованы при разработке стратегической концепции рынка, на котором несколько фирм контролируют его основную часть. При этом номенклатура продукции может быть как небольшой (2-3 вида), так и достаточно обширной.

4. Мы делаем вывод, что введение кубической нелинейности приводит к стабилизации и снимает большинство ограничений исходных моделей. При этом появляются устойчивые пространственные неоднородные стационарные решения с чередующимися сгущениями и разрежениями.

5. Исследование экономических процессов с помощью многомерных нелинейных отображений, характеризующих динамику макроэкономических переменных, привело нас к заключению, что этим процессам присущи, в зависимости от значений параметров, многообразные динамические режимы: равновесие, цикличность и достаточно сложное квазистохастическое поведение (детерминированный хаос). При относительно небольших значениях коэффициентов реакций цены и ставки процента на дисбаланс между спросом на товары и их предложением, а также коэффициентов реакции экономики на несоответствие спроса и предложения, система в перспективе ведет себя просто: со временем устанавливается либо равновесие, либо периодические колебания с малым периодом. Однако при увеличении даже одного из коэффициентов реакции происходит усложнение динамики переменных модели. Это означает, что в общем случае равновесное решение неустойчиво, а динамика переменных обобщенной макроэкономической модели может быть достаточно сложной и при некоторых значениях параметров приобретать стохастические свойства. Следует отметить, что сложный характер решений не следствие внешнего случайного воздействия, а внутреннее свойство используемой детерминированной модели. Более того, анализ динамики рассмотренных моделей позволяет предположить: сложное поведение переменных (цикличность, хаотичность и др.) есть неотъемлемое свойство самой моделируемой макроэкономической системы. Поэтому использование квазистационарного подхода к прогназированию макроэкономики может иметь смысл лишь в том случае, когда коэффициенты реакции соответствующей динамической модели лежат в области устойчивости ее равновесного решения. Это может происходить, например, при таком государственном регулировании изменений процентной ставки и уровня цен и такой реакции экономики на отклонение системы от равновесия, при которых не допускаются резкие взлеты и падения макроэкономических переменных.

6. На основе вышеизложенной методики нами доказано, что подход, который используется, как правило, в работах об оценке экологических последствий различных антропогенных факторов, где в качестве одного из главных показателей измеряют численность популяций, подвергшихся воздействию, и повышение или понижение численности берут за критерий оценки фактора (положительного или отрицательного) — неверен. С точки зрения теории детерминированного хаоса такой методический подход неправомерен, по крайней мере, для популяций с неперекрывающимися поколениями. Уменьшение или увеличение численности популяции может быть просто началом перехода в другой динамический режим, колебательный или хаотический, экологическую оценку которому можно давать только после многофакторного анализа последствий.

7. Теоретические положения работы и разработанный пакет прикладных программ в среде MathCad Professional 2001 можно использовать в качестве методического пособия в учебном процессе при подготовке специалистов АПК, а так же для введения нового курса в учебный процесс студентов по специализации "математические методы в экономике АПК".