Прогнозирование долгосрочного развития топливно-энергетического комплекса Дальнего Востока тема диссертации по экономике, полный текст автореферата

Автореферат диссертации по теме "Прогнозирование долгосрочного развития топливно-энергетического комплекса Дальнего Востока"

На правах рукописи

КУРАКИН Леонид Геннадиевич

УСТОЙЧИВОСТЬ И БИФУРКАЦИИ СЕМЕЙСТВ РАВНОВЕСИЙ И СТАЦИОНАРНЫХ ДВИЖЕНИЙ СИММЕТРИЧНЫХ И КОСИММЕТРИЧНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

специальность 01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск 2006 г.

Работа выполнена на кафедре вычислительной математики и математической физики механико-математического факультета Ростовского государственного университета

Научный консультант: заслуженный деятель науки и техники РФ,

доктор физико-математических наук,

профессор В. И. Юдович

Официальные оппоненты: член-корреспондент РАН,

доктор физико-математических наук, профессор В. В. Пухначев

доктор физико-математических наук, профессор A.B. Борисов.

доктор физико-математических наук, профессор Ю. Н. Григорьев

Ведущая организация: Институт механики МГУ

Защита состоится < ¿V » омыл.3/11 2006 г. в 15 часов на заседании диссертационного совета Д 212.174.02 при Новосибирском государственном университете по адресу:630090, Новосибирск, ул. Пирогова, 2

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского государственного университета

Автореферат разослан «. горб г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук Н.И. Макаренко

В диссертации развита общая теория локальных бифуркаций в динамических системах с косимметрией, обладающих в условиях общего положения непрерывным семейством равновесий с переменным спектром устойчивости. Исследованы бифуркации таких семейств равновесий, приводящие к рождению вторичных и третичных стационарных режимов (в том числе и при разрушении косимметрии системы), а также автоколебательных периодических режимов. Получен ряд критериев устойчивости равновесий непрерывного семейства.

Результаты диссертации для динамических систем с симметрией связаны с проблемами устойчивости стационарного вращения системы точечных вихрей. Полностью решены задача Кельвина об устойчивости стационарных вращений правильных вихревых многоугольников на плоскости, а также ее обобщение для сферы, когда точечные вихри лежат в вершинах правильного многоугольника или правильного многогранника.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. Наличие у динамической системы нетривиальной симметрии или косимметрии приводит к существованию непрерывных семейств равновесий. В обоих случаях мы имеем дело с вырождением бесконечной коразмерности, которое никогда не появляется в общей теории, основанной на последовательном рассмотрении вырождений коразмерностей 1,2,....

Причины сильной неединственности равновесий в системах с косимметрией и в системах с симметрией двойственны: наличие косимметрии указывает на скрытую недоопределенность системы, .тогда как наличие симметрии говорит о ее скрытой переопределенности.

Теория косимметрии (В. И: Юдович, Мат. заметки, 1991 г.; Chaos, 1995 г.) возникла в связи с объяснением необычного характера первого перехода в двумерной задаче фильтрационной конвекции (Д. В. Любимов, ПМТФ, 1975 г.). Д. В. Любимов обнаружил, что в результате первого бифуркационного перехода при возникновении конвективных движений в подогреваемой снизу пористой среде, заполняющей горизонтальный цилиндр с произвольной формой поперечного сечения, возникает однопараметриче-ское семейство устойчивых стационарных течений. В. Й. Юдович доказал существование этого семейства и показал, что причиной такого специфи-

ческого перехода в этой задаче является наличие у соответствующего дифференциального уравнения нетривиальной косимметрии.

Члены семейства равновесий косимметричной динамической системы обладают изменчивым спектром устойчивости, что принципиально отличает такое семейство от орбиты действия любой динамической группы симметрии. Равновесия, принадлежащие одной орбите группы симметрии, лишены индивидуальности, и поэтому теория бифуркаций в симметричных системах рассматривает скорее бифуркации орбит, а не равновесий в отдельности.

Роль симметрии в современной физике, и, в частности, в теории бифуркаций, хорошо известна. Что касается косимметрии и ее роли, то исследование все еще находится в самом начале но, как мы верим, имеет немалые перспективы. Развитие теории устойчивости и теории локальных бифуркаций в несимметрических динамических системах актуально,,в частности, в связи с обнаруженными в последнее время нетривиальными косиммет-. риями в ряде задач математической физики. Известные ныне примеры — фильтрационная конвекция жидкости, в частности, многокомпонентной и магнитной, системы классической механики с симметричной потенциальной энергией, модели фазовых переходов антиферромагнетиков, задачи о волнах на поверхностях раздела жидкостей. Разумеется, речь здесь идет о неголономных косимметриях, голономные косимметрии суть дифференциалы интегралов системы, и, конечно, хорошо известны.

Результаты диссертации для динамических систем с симметрией связаны с проблемами устойчивости стационарного вращения системы точечных вихрей. Эти режимы описываются точным решением уравнений, обладающих непрерывной группой симметрии. Общая теория сводит проблему устойчивости стационарных движений в системах с симметрией к задаче устойчивости непрерывного семейства равновесий приведенного уравнения. Поэтому методы исследования довольно разных по содержанию задач устойчивости - стационарных вращений и равновесий непрерывного семейства косимметричной системы — имеют много общего.

Модель точечных вихрей на плоскости была использована Кельвином (1878 г.) для построения его вихревой теории атома. Хотя эта теория была отвергнута, математическая модель выжила и в настоящее время приобрела новую актуальность и в связи с теорией вихрей в сверхтекучей жидко-

сти, и для исследования электронных колонн. Кельвином была поставлена проблема устойчивости стационарного вращения системы п одинаковых точечных вихрей, расположенных в вершинах правильного п-угольника. Этот режим описывается точным решением уравнений Кирхгофа. Для матрицы линеаризации уравнений Кирхгофа на этом решении задача на собственные значения решается явно. Это использовало в работах Дж. Дж. Томсона (1883 г.) и Т. X. Хавелока (1931 г.), в которых получены исчерпывающие результаты о линейной устойчивости. В работах Л. Г. Куракина (дис. к.ф^мдь, 1991 г.; Докл. РАН, 1994 г.) было показано, что при п < 6 из орбитальной устойчивости по линейному приближению следует и нелинейная орбитальная устойчивость. Случай п = 7 оставался сомнительным — в литературе можно найти как утверждения об устойчивости, так и утверждения о неустойчивости с неполными или неточными доказательствами.

В диссертации доказано, что при п = 7 нелинейная устойчивость всё ещё имеет место. Таким образом, полный ответ на вопрос Кельвина состоит в том, что правильный вихревой п-угольник устойчив при п < 7, а при п > 8 — неустойчив.

В последнее время наблюдается всплеск интереса к задаче движения точечных вихрей на сфере. Это вызвано потребностями метеорологии, геофизической и астрофизической гидродинамики. Большую популярность приобрела модель колебаний центров действия атмосферы, основанная на взаимодействии конечной системы точечных вихрей на сфере. Аналогом проблемы Кельвина для сферы является задача устойчивости вихревых полигонов, расположенных на одной широте. Заметим, что ответ зависит от того на какой широте расположен этот полигон. Известны и другие многочисленные стационарные режимы движения одинаковых точечных вихрей на сфере. Анализ их устойчивости находится пока на начальном этапе и далёк от своего завершения. Среди таких задач особо стоит проблема устойчивости правильных вихревых многогранников (Платоновых тел). Такие многогранники неподвижны, в то время как практически все найденные стационарные режимы на сфере, в том числе и вихревые полигоны вращаются. Отметим^ что на плоскости система одинаковых точечных вихрей не может быть неподвижной. В диссертации в строгой нелинейной постановке дано полное решение задачи устойчивости вихревых полиэдров (к счастью Платоновых тел всего пять), а также завершено исследование

устойчивости вихревых полигонов, начатое в работах В. А. Богомолова (1979 г.), С. Пикарски, Дж. Марсдена (S. Pekarsky, J. Marsden, 1998 г.), A.B. Борисова, А. А. Килина (2000 г.). В результате в диссертации изложены необходимые и достаточные условия устойчивости и неустойчивости всех правильных систем одинаковых точечных вихрей на сфере.

Цели работы: для динамических систем с косимметрией развить аналитическими методами общую теорию устойчивости равновесий непрерывных семейств и локальную теорию бифуркаций; получить полное математически строгое решение проблемы устойчивости всех правильных конфигураций точечных вихрей на плоскости и сфере.

Методы исследования. Применяются оба существующих подхода к исследованию локальных бифуркаций — метод Ляпунова-Шмидта и метод центрального многообразия. Устойчивость равновесий изучена прямым методом Ляпунова, а при анализе устойчивости правильных конфигураций точечных вихрей использована теория устойчивости стационарных движений динамических систем с непрерывной группой симметрии.

Научную новизну составляют основные положения, выносимые на защиту.

Развита локальная теория бифуркаций в динамических системах с косимметрией:

1. Исследованы бифуркации, сопровождающие монотонную потерю устойчивости равновесия, являющегося в косимметричной системе в ситуации общего положения членом однопараметрического семейства. Методами Ляпунова-Шмидта и центрального многообразия проанализированы бифуркации такого семейства равновесий, а также внутренние бифуркации: переходы типа фокус — узел, узел — седло и т.д. при движении вдоль семейства. Описан ряд сценариев ветвления семейств равновесий и изменения структуры их дуг, состоящих из однотипных равновесий. Детально исследованы бифуркации устойчивых и неустойчивых дуг, слипание и распад семейств равновесий, бифуркация потери гладкости семейством равновесий, а также ответвление малого равновесного цикла от угловой точки семейства равновесий. Переменность спектра вдоль семейства вызывает

ряд новых явлений, которые не встречаются ни в классическом случае изолированного равновесия, ни при бифуркации семейств равновесий системы с симметрией. Среди них затягивание по параметру ветвления семейства равновесий, потеря устойчивости по Ляпунову семейством равновесий с сохранением свойства притяжения, возникновение и гибель новых устойчивых и неустойчивых дуг на семействе равновесий.

2. Изучена бифуркация ответвления предельного цикла (бифуркация Пуанкаре-Андронова-Хопфа) от одномерного гладкого подмногообразия равновесий динамической системы, зависящей от векторного параметра и допускающей косимметрию. Применяется метод центрального многообразия. Основной результат — топологическая классификация локальных фазовых портретов вблизи известного равновесия, когда параметр системы близок к его критическому значению, отвечающему колебательной неустойчивости. Тем самым дано детальное описание явлений, не наблюдающихся в классическом случае изолированного равновесия: (а) потери устойчивости семейством равновесий с сохранением свойства притяжения, (Ь) затягивания рождения цикла по параметру, (с) возможности сверхкритических неустойчивых автоколебаний. Явления (Ь) и (с) впервые были обнаружен-ны в работах В. И. Юдовича (1994 г., 1998 г.), в которых применялся метод Ляпунова-Шмидта.

3. Методами Ляпунова—Шмидта и центрального многообразия изучена бифуркация ответвления предельного цикла (бифуркация Пуанкаре-Андронова—Хопфа) от ¿-мерного подмногообразия равновесий динамической системы, обладающей к косимметриями. Показано, что предельный цикл может ответвляться от одного из равновесий семейства как в случае регулярного изменения области устойчивости, так и при ее бифуркации. Лишь в последнем случае цикл может рождаться без запаздывания, вместе с образованием области неустойчивости. В общей ситуации он ответвляется от границы развитой области грубой устойчивости или неустойчивости.

4. Описаны бифуркации, сопутствующие распаду непрерывного семейства равновесий косимметричной динамической системы (или, вообще, семейства решений косимметричного операторного уравнения) при возмущении, разрушающем косимметрию. Применяется метод Ляпунова - Шмидта. Проведен детальный анализ, когда уравнение, разветвления двумерно. Одномерный случай разобран в работах В. И.. Юдовича (1996 г., 2004 г.).

Получены следующие результаты по устойчивости в динамических системах.

5. Развита общая теория устойчивости равновесий непрерывного семейства в динамических системах с косимметрией. Получен ряд критериев устойчивости граничных равновесий, устойчивость которых зависит от нелинейных слагаемых системы.

6. Доказана устойчивость стационарного вращения системы семи одинаковых точечных вихрей, расположенных в вершинах правильного семиугольника. Вместе с уже известными результатами многих авторов, вывод об устойчивости правильного вихревого семиугольника приводит к полному решению проблемы Кельвина (1878 г.): каково максимальное число вершин устойчивого правильного вихревого n-угольника на плоскости? Ответ на него: 7.

7. Доказана устойчивость стационарного вращения системы п одинаковых точечных вихрей, расположенных на сфере в вершинах правильного п - угольника (п = 3,4,5,6) при критическом значении широты. Тем самым завершено исследование устойчивости вихревых полигонов на сфере, начатое в работах В. А. Богомолова, С. Пикарски и Дж. Маредена, A.B. Борисова и А. А. Килина.

Исследована также устойчивость равновесной конфигурации одинаковых точечных вихрей, расположенных в вершинах правильных многогранников. Доказано, что среди таких вихревых многогранников тетраэдр, октаэдр, икосаэдр — устойчивы, а куб и додекаэдр — неустойчивы.

Достоверность полученных выводов обусловлена последовательным применением математически обоснованных методов, совпадением результатов с известными в тех случаях, когда таковые имеются в литературе.

Практическая значимость диссертационной работы следует из отмеченной выше актуальности темы исследования.

Все результаты теории бифуркаций, полученные в диссертации методом Ляпунова-Шмидта, представлены в виде полиномиальных неравенств для коэффициентов уравнений разветвления, заданных в виде явных формул - через корневые векторы линеаризованной системы и ее сопряжен-

ной. Таким образом, применение этих результатов к конкретным системам сводится просто к вычислению по явным формулам. Указанная форма коэффициентов разветвления удобна для вычислений и программирования на ЭВМ. Она эффективна как для конечномерных, так и для бесконе:чно-мерных систем. "

Полученные в диссертации результаты об устойчивости конфигураций точечных вихрей относятся к давно поставленным проблемам гидродинамики. Их решение поможет при изучении устойчивости других вихревых конфигураций.

В диссертации не нашлось места для приложений полученных в ней общих результатов для косимметричных динамических систем. Дело в том, что в физически осмысленных задачах значительная часть работы (вычисление критических значений, собственных векторов, коэффициентов уравнений разветвления метода Ляпунова-Шмидта или коэффициентов модельных уравнений метода центрального многообразия) может быть проделана лишь с применением компьютера. Такая работа последние десять лет регулярно проводится ростовскими и пермскими математиками и физиками. Бифуркации, описанные в диссертации, исследованы в их работах численными методами в моделях фильтрационной конвекции жидкости в пористой среде.

Теория и вычислительный эксперимент идут в тесной связи при изучении динамических систем с косимметрией, подсказывая друг другу направления исследования. Например, бифуркация ответвления цикла от непрерывного семейства равновесий сначала была обнаружена численно, и лишь затем уже обоснована теоретически. В то же время теория нередко шла впереди вычислительного эксперимента. Например, долгое время в моделях фильтрационной конвекции жидкости не удавалось обнаружить бифуркацию ответвления тора от семейства равновесий, описанную в работах [18,19]. Недавно она была найдена (сообщение В. Н. Говорухина и И.В. Шевченко, результат направлен в печать).

Апробация работы. Результаты, полученные в диссертации представлялись на Школах-семинарах МГУ "Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости" (Москва, 1994, 1996, 1998, 2002, 2004), международных конференциях "Структуры и волны: теория и приложения"

(Санкт-Петербург, 2002); "Симметрия и косимметрия и их приложение в теории бифуркаций и фазовых переходов," (Азов, 2000, Сочи, 2002); "Современные проблемы Механики сплошной среды" (Ростов-на-Дону, 1996, 2000, 2001); "Крымской осенней математической школе симпозиуме по спектральным и эволюционным задачам," (Севастополь 2003, 2004); "Математическая гидродинамика: модели и методы" (Ростов-на-Дону, 2004).

Основные результаты диссертации докладывались на семинарах "Аэромеханика" академика РАН Г. Г. Черного (НИИ Механики МГУ), "Проблемы механики" член-корреспондента Национальной Академии Наук Украины А. Ф. Улитко (Киевский национальный университет), "Математические вопросы гидродинамики" под руководством проф. В. И. Юдовича (кафедра ВМ и МФ РГУ), на заседании Ростовского математического общества.

На разных этапах данная работа поддерживалась грантами РФФИ (Ж№ 93-01-17337, 96-01-01791, 99-01-01023, 01-01-22002, 02-01-00337, 04-01-96815-р2004юг, 05-01-00567), Межвузовской научной программы "Университеты России - фундаментальные исследования" (№№ 4087, УР.04.01.063, УР.04.01.035), Минобразования РФ (КЦФЕ при СПбГУ) (№№ 95-0-2.1-115, Е02-1.0-145), Президентской программы поддержки ведущих научных школ Российской Федерации (НШ.1768.2003.1, НШ. 5747.2006.1), Международного научного фонда Сороса (№ ШЗООО), Американским Фондом Гражданских Исследований и Развития СГШР (№ ЕМ1-2084), международного научного фонда ШТАБ (№ 04-80-7297).

Публикации и вклад автора. Основные результаты диссертации отражены в 15 публикациях в реферируемых журналах. При этом 4 работы написаны без соавторов, а остальные вместе с проф. В. И. Юдовичем. Из публикаций в соавторстве на защиту вынесены только те результаты и выводы, которые принадлежат авторам в равной мере. Кроме того, соискателем опубликовано в реферируемых журналах 4 статьи по смежной тематике.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, семи глав и списка литературы. Полный объем диссертации составляет 288 страниц. Список литературы содержит 154 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение

Во введении дана общая характеристика работы, кратко изложено содержание и сформулированы основные результаты, представленные к защите. Приводится ряд фактов,1 определений и терминов, содержащихся и введенных в основном в работах В. И. Юдовича и используемых в диссертации. ' ,г ''''

Косимметрия векторного поля (и определяемого им автономного дифференциального уравнения на многообразии), по определению, есть аннулирующая его в каждой точке дифференциальная 1-форма (В. И. Юдович, Мат. заметки, 1991г.). Если задана риманова или псевдориманова структура на многообразии, то косимметрию можно отождествить с векторным полем.

Поскольку в диссертации все рассмотрения носят локальный характер, ограничимся диференциальными уравнениями на линейном (банаховом или гильбертовом) пространстве.

Равновесие векторного поля косимметрично, если косимметрия на нем аннулируется. В динамической системе с косимметрией в условиях общего положения встречается непрерывное однопараметрическое семейство некосимметричных равновесий. В невырожденном случае спектр устойчивости меняется вдоль такого семейства, но из-за неизолированности равновесий обязательно содержит точку нуль. Равновесие семейства устойчиво, если весь его спектр устойчивости, кроме простого нулевого собственного значения, лежит внутри левой полуплоскости.

Устойчивость равновесия понимается как нейтральная устойчивость вдоль семейства равновесий и, одновременно, асимптотическая устойчивость в трансверсальных к нему направлениях.

Семейство равновесий в условиях общего положения разбивается на устойчивые и неустойчивые по линейному приближению дуги. Разделяющие их равновесия будем называть граничными.

В то время как все равновесия, принадлежащие одной орбите группы симметрии, теряют устойчивость при одном и том же значении параметра, в косимметричной системе потеря устойчивости оказывается растянутой. Сначала на устойчивой дуге равновесий при некотором значении парамет-

ра появляется нейтрально-устойчивая в линейном приближении точка, которая затем при изменении параметра превращается в неустойчивую дугу.

Колебательная потеря устойчивости изолированного равновесия сопровождается, как правило, ответвлением от него предельного цикла. Между тем появление нейтральной колебательной моды у одного из равновесий первоначально устойчивого семейства, вообще говоря не приводит к возникновению автоколебательного режима. Для этого должно выполняться некоторое скалярное равенство. В работе (В. И. Юдович, Деп, ВИНИТИ, 1994 г.) отмечается, что к выводу о несуществовании периодического автоколебания в условиях общего положения пришли также Д. Любимов и Д. Брацун (результат был доложен на школе НЕЗАТЕГИУС-92) на основе анализа амплитудных уравнений на физическом уровне строгости.

Предельный цикл в условиях общего положения может вообще не родиться, а может родиться из граничного равновесия в ходе развития неустойчивой дуги. Этот эффект затягивания бифуркации рождения цикла был обнаружен и проиллюстрирован примерами в работах В. И. Юдо-вича (1994, 1998 г.), в которых использовался метод Ляпунова-Шмидта.

Глава I

Скрытая недоопределенность системы, на которую указывает нетривиальная косимметрия, выражается в появлении нового свободного параметра, скажем, длины дуги вдоль одномерного семейства равновесий. Когда явно входящие параметры косимметричной системы изменяются, происходят необычные бифуркации как самих непрерывных семейств, так и входящих в них равновесий. В первой главе диссертации проанализированы переходы в окрестности значения параметра, при котором некоторое равновесие семейства монотонным образом теряет устойчивость.

Пункт 1.1 носит вводный характер.

В п. 1.2 изложены результаты, полученные методом Ляпунова — Шмидта. Исследована бифуркация семейств равновесий в динамической системе с косимметрией и вещественным параметром в результате монотонной потери устойчивости равновесий однопараметрического семейства. Рассмотрен как случай общего положения, так и все вырождения коразмерностей один и два.

Дана постановка задачи, и с применением спектральных проекторов

выведено общее уравнение разветвления. Существенно, что уравнение разветвления наследует косимметрию.

Разобран случай одномерного уравнения разветвления1 когда применима косимметричная версия теоремы о неявной функции.

Показано, что основные вырождения в задаче о структуре множества равновесий связаны с размерностью ядра линеаризованного поля, а не со строением спектрального подпространства. Детально исследованы двумерные уравнения разветвления. Рассмотрена ситуация, когда линейная часть уравнения разветвления невырождена, а также и случай ее вырождения. Изучены возможные вырождения — вплоть до самого сильного вырождения, когда равновесные режимы существуют лишь при критическом значении параметра и заполняют двумерную поверхность в окрестности теряющего устойчивость равновесия. Описаны:

1) двустороняя седловая бифуркация,

2) одностороняя бифуркация рождения равновесного цикла "из воздуха",

3) бифуркация потери гладкости семейством равновесий — образование нулевого угла на гладком семействе.

Рассмотрены также следующие бифуркации семейств равновесий:

4) столкновение — расхождение пары семейств равновесий,

5) двусторонняя бифуркация рождения равновесного цикла из изолированного равновесия,

6) бифуркация "вспыхивающего" равновесия — случай, когда изолированное равновесие существует лишь при единственном значении параметра.

В пунктах 1.3, 1.4 метод центрального многообразия применяется для исследования ветвления равновесий, а также изменения их устойчивости. Мы следуем плану, предложенному в лекциях В.И. Арнольда (УМН, 1972 г.). Рассмотрение различных критических случаев позволило указать ряд типичных сценариев (последовательностей бифуркаций) распада и слияния различных семейств равновесий. Исследованы бифуркации

двух видов: а) семейств равновесий; Ь) устойчивых дуг на этих семействах. Разобраны также и пересечения таких бифуркаций.

Рассмотрены все вырождения коразмерности < 2, кроме двух: 1) трехмерная жорданова клетка.при дополнительном нелинейном вырождении, Н) четырехмерная жорданова клетка.

Говоря о ситуации (скажем, бифуркации или сценарии) коразмерности 1, мы подразумеваем, что она встречается неустранимым образом (сохраняется при малых гладких косимметричных возмущениях) в однопарамет-рических семействах косимметричных векторных полей.

Оставшиеся, неразобранными случаи ¡) и И) заслуживают отдельного рассмотрения, поскольку наиболее интересные эффекты в них связаны с бифуркацией ответвления медленного предельного цикла, требующей иных методов исследования.

Для каждого вида вырождения указаны условия типичности и построены главные семейства. Они получаются переходом от заданной системы к ее сужению на центральное многообразие, разложением векторного поля системы в ряд Тейлора, уменьшением числа параметров заменами переменных и отбрасыванием несущественных слагаемых.

В каждом случае, когда центральное многообразие двумерно, для главной системы построены бифуркационные диаграммы и характерные фазовые портреты, топологический тип которых не меняется, пока векторный параметр, двигаясь в пространстве параметров, не пересечет нейтральное множество. Для трехмерных главных семейств мы ограничились аналитическим исследованием бифуркаций семейств равновесий и их разбиением па устойчивые и неустойчивые дуги без приведения соответствующих фазовых портретов (принципиально это трудностей не составляет, но ответ чрезвычайно разветвлен и громоздок). В трехмерном случае, помимо граничных, указаны равновесия, отделяющие в семействе равновесия разного типа, например, устойчивый фокус и устойчивый узел. Бифуркации равновесий при движении вдоль семейства (изменение устойчивости, переходы типа фокус-узел, узел-седло и т.д.) можно назвать внутренними.

Пункт 1.3 посвящен случаю, когда спектр устойчивости равновесия имеет двукратное нулевое собственное значение.

Прежде всего разбирается случай одномерного ядра линеаризованного оператора. В этих условиях семейство равновесий меняется регулярным

образом, но устойчивые дуги на нем могут бифурцировать. Наряду со случаем общего положения, изучены бифуркации рождения одной неустойчивой дуги либо пары дуг — устойчивой и неустойчивой.

Затем рассматривается случай двумерного ядра линеаризованного оператора. Последовательно описаны четыре бифуркации, каждой из которых соответствует один из фрагментов (а) — на Рис. 1.

В п. 1.4 сначала разбирается случай трехкратного нулевого собственного значения (жорданова клетка). Показано, что в рассматриваемых условиях все сводится к исследованию трехмерной системы, имеющей семейство равновесий, расположенное на прямой. Описана бифуркация,рождения устойчивой дуги, одно граничное равновесие которой соответстветвует монотонной потере устойчивости, а второе — колебательной. На этой малой устойчивой дуге имеется точка, разделяющая два типа устойчивых равновесий: фокусы и узлы.

Остальная часть п. 1.4 посвящена случаю трехкратного нулевого собственного значения;при двумерном ядре. Установлен общий вид системы. Описаны бифуркации ее семейств равновесий, а также равновесий, отделяющих в семействах ^равновесия различного типа.

В п. 1.5 показано, что на плоскости Л2 косимметричное векторное поле можно распрямить в окрестности любой неособой точки косимметрии (даже и равновесия данной системы), то есть привести систему к виду:

У1 = МУ1,У2, £), :& = о, \

где (У1,У2) € Я2 — переменная, а е — параметр системы. Заметим, что в этой системе невозможна бифуркация ответвления цикла от семейства равновесий.

Результаты главы I опубликованы в работах [10, 11].

Глава II

Во второй главе изучена бифуркация ответвления предельного цикла (бифуркация Пуанкаре-Андронова-Хопфа) от одномерного гладкого подмногообразия равновесий динамической системы, зависящей от векторного параметра и допускающей косимметрию. Применяется метод центрального многообразия.

Пункт 2.1 носит вводный характер.

Рис. 1: Типичные примеры фазовых портретов главных систем, возникающих при исследовании методом центрального многообразия. В каждом случае (а),..., (¿) переход 1 -> 3 соответствует одной из бифуркаций, описанных в п. 1.3: (а) седловая бифуркация; (Ь) бифуркация рождения цикла равновесий "из воздуха"; (с) бифуркация семейства равновесий, сопровождаемая бифуркацией рождения малой неустойчивой дуги; (с!) ответвление малого равновесного цикла от семейства равновесий. Номер 2 везде отвечает случаю обращения в нуль всех малых параметров соответствующей главной системы. Белыми кружками обозначены устойчивые равновесия, а черными — неустойчивые; (г, у) — координаты записи главных систем.

В п. 2.2 переходим к системе уравнений на центральном многообразии, которая затем приводится к нормальной форме. Эта система наследует косимметрию и обладает однопараметрическим семейством равновесий.

В п. 2.3 проводится дальнейшая обработка системы уравнений на центральном многообразии. Отбрасывая высшие члены разложения Тейлора, приходим к модельной системе (нормализованная струя по терминологии В. И. Арнольда). При помощи масштабных замен переменных и ещё одной нетривиальной замены, уменьшается число параметров. В итоге задача приводится к исследованию серии главных семейств векторных полей, которые и определяют возможные топологические типы фазовых портретов. Главные системы оказываются двумерными — размерность понижается до двух, благодаря вращательной симметрии нормализованных систем на центральном многообразии. Выясняется, что каждая главная система зависит не более чем от двух независимых параметров, а в ситуации общего положения даже вообще не содержит непрерывных параметров.

Остальная часть раздела п. 2.3 посвящена исследованию главных систем, которое приводит к выводам о возможных бифуркациях и различных сценариях возникновения автоколебательного режима.

Для каждой главной системы строятся фазовые диаграммы на плоскости параметров, и приводятся фазовые портреты, которые не могут меняться, пока точка, двигаясь по параметрической плоскости, не пересекает нейтральных кривых. Рассмотрен случай, когда неустойчивая дуга развивается, не порождая предельных циклов. Граничные точки неустойчивой дуги бывают двух типов: устойчивые и неустойчивые. В первом случае движение, начинающееся вблизи неустойчивой дуги, возвращается на устойчивую часть дуги, а во втором случае — уходит на «бесконечность», либо возвращается на устойчивую дугу семейства, перепрыгивая через неустойчивую дугу.

Далее в п. 2.3 приведены бифуркационные диаграммы и фазовые портреты в ситуации, когда необходимое условие рождения предельного цикла выполнено, и он действительно возникает.

В п. 2.4 обсуждаются результаты главы II вместе с возможными приложениями и перспективами их развития.

Пункт 2.5 состоит из двух приложений. В первом приложении приведена с доказательством косиммстрическая версия теоремы о неявной функ-

ции для случая, когда косимметрия зависит от параметра, в той форме, в какой она используется в работе. Во втором приложении дана сводка основных результатов по бифуркациям, полученных в. главе II: приведены модельные и главные семейства вместе с характеризующими их условиями типичности и ссылками на рисунки фазовых портретов.

Результаты главы II опубликованы в работах [5, 6].

Глава III

Для динамической системы, допускающей к независимых косиммет-рий, типично существование /с-мерных подмногообразий, заполненных равновесиями. В третьей главе изучена бифуркация ответвления предельного цикла (бифуркация Пуанкаре—Андронова—Хопфа) от такого подмногообразия равновесий. В предыдущей главе II в случае одной косиммет-рии были детально исследованы новые эффекты, связанные с бифуркацией ответвления предельного цикла от семейства равновесий (запаздывание по параметру и возможность сверхкритических неустойчивых автоколебаний). Здесь эти результаты распространяются на случай любого к. При к > 1 приходится иметь дело с новым явлением — бифуркацией областей устойчивости на семействе равновесий. Применяются оба основных подхода к задаче возникновения автоколебаний — метод Ляпунова—Шмидта и метод центрального многообразия.

Глава III организована следующим образом. В п. 3.1 изложены результаты, полученные методом Ляпунова — Шмидта. Выведено и проанализировано уравнение разветвления циклов. Показано, что предельный цикл ответвляется от равновесия семейства лишь при выполнении некоторого необходимого условия. В случае, когда оно выполнено, для периодического режима и его частоты получаются сходящиеся разложения Ляпунова-Шмидта. Разобраны некоторые возможные вырождения - вплоть до сильного вырождения, . когда периодические режимы существуют лишь при критическом значении параметра и заполняют целую поверхность в окрестности теряющего устойчивость равновесия.

В п. 3.2 методом центрального многообразия изучены бифуркация рождения цикла и бифуркации областей устойчивости семейства равновесий в динамической системе с несколькими косимметриями. Разобранны

различные варианты взаимодействия этих бифуркаций.

Результаты главы III опубликованы в работах [7, 8, 9].

Глава IV

Четвертая глава посвящена исследованию бифуркаций, сопутствующих распаду непрерывного семейства равновесий косимметричной динамической системы (или, вообще, семейства решений косимметричного операторного уравнения) при возмущении, разрушающем косимметрию. Как показано в работах В. И. Юдовича (1993, 1996, 2004 г.) при таких возмущениях, в предположении аналитичности операторов, в условиях общего положения сохраняется не более конечного числа равновесий. Если исчезают все равновесия — цикл равновесий превращается в предельный цикл — траекторию периодического режима с большим периодом.

В. И. Юдовичем разобран случай невырожденного семейства равновесий, когда размерность ядра производной оператора совпадает с размерностью семейства и с числом нетривиальных косимметрий. Основная цель данной главы — рассмотреть случай вырожденных равновесий семейства, когда соответствующее уравнение разветвления двумерно. Ранее, в главе I были изучены возмущения, сохраняющие косимметрию. Можно сказать, что в данной главе исследовано разрушение бифуркаций, описанных в главе I.

Распаду семейства стационарных режимов фильтрационной конвекции в невырожденном случае посвящена работа Д. А. Брацуна, Д. В. Любимова, Б. Ру (В. 11оиЬ)(1995 г.). Р. Ю. Гурниковская (2001 г.) для одной конечномерной модели фильтрационной конвекции рассмотрела и вырожденный случай.

Данная глава организована следующим образом. В п. 4.1 дана постановка задачи, и с применением спектральных проекторов выведено общее уравнение разветвления. Напоминается, что уравнение разветвления наследует косимметрию при косимметричном возмущении. Доказано, что в условиях общего положения в результате возмущения непрерывное семейство полностью исчезает.

В п. 4.2 разобран случай одномерного уравнения разветвления. Сначала приводятся результаты главы I для косимметричного возмущения, когда применима косимметричная версия теоремы о неявной функции. Затем описываются бифуркации при разрушении косимметрии. Показано, в частности, что распад семейства равновесий может сопровождаться бифуркацией рождения пары равновесий "из воздуха." Рассмотрен как случай

общего положения, так и случай линейного вырождения коразмерности 1 и произвольных нелинейных вырождений.

Вырождение коразмерности 1 в нашей задаче означает, что соответствующая невозмущенная система встречается неустранимым образом в однопараметрических семействах косимметричных векторных полей, т. е. сохраняется при малых гладких косимметричных возмущениях.

В п. 4.3 детально исследованы двумерные уравнения разветвления. Снова сначала разбирается косимметричный случай. Рассмотрена ситуация, когда линейная часть уравнения разветвления невырожденна, а также и случай ее вырождения. Изучены возможные вырождения — вплоть до самого сильного, когда равновесные режимы существуют лишь при критическом значении параметра и заполняют двумерную поверхность в окрестности невозмущенного равновесия. Описаны: а) двустороняя седловая бифуркация, Ь) одностороняя бифуркация рождения равновесного цикла "из воздуха" и с) бифуркация потери гладкости семейством равновесий — образование нулевого угла на гладком семействе. Затем исследован распад бифуркаций а) и Ь) под действием некосимметричных возмущений.

Результаты главы IV опубликованы в работе [15].

Глава V

В пятой главе развита общая теория устойчивости равновесий непрерывного семейства в динамических системах с косимметрией. Получен ряд критериев устойчивости граничных равновесий, устойчивость которых зависит от нелинейных слагаемых системы.

Перемещаясь вдоль семейства некосимметричных равновесий, при переходе с устойчивой дуги на неустойчивую будем наблюдать как бы потерю устойчивости равновесием, точнее изменение устойчивости, связанное с изменением параметра - дуги кривой равновесий. Она может быть мягкой или жесткой, как и в случае изолированного равновесия системы с параметром. Не приводя строгих определений, заметим, что мягкой (жесткой) она является, если соответствующее граничное равновесие устойчиво (неустойчиво). Уже это показывает, что полезно знать, устойчиво граничное равновесие или нет.

Спектр устойчивости граничного равновесия лежит в замыкании левой полуплоскости, и его нейтральную часть составляют собственные зна-

чения: нулевое с кратностью и индексом п, а также к пар чисто мнимых (п > 1, тг + к > 2).

Наличие в системе с косимметрией граничного равновесия есть случай общего положения. В главе V получены критерии устойчивости граничных равновесий для трех критических случаев (п,к) = (3,0), (2,1), (1,1). Из всех случаев коразмерности 0 и 1 остались неразобранными два (п, к) ~ (2,0), (1,2). Первый случай нет нужды рассматривать, поскольку он полностью исследован А. М. Ляпуновым . Что касается второго, то он не прост, но достаточно полное решение задачи устойчивости для него можно извлечь из результатов одной работы Л. Г. Хазина.

Используются теоремы об асимптотической устойчивости по отношению к части переменных (А. М. Ляпунов, В. В. Румянцев). Применяется прямой метод Ляпунова. Построенные функции Ляпунова полиномиальны во всех случаях, кроме одного, когда построена трансцендентная (и к тому , же многозначная) функция Ляпунова и доказано, что полиномиальных не существует.

Наличие косимметрии определяет специфику рассматриваемых вырождений. В определённом смысле, верно и обратное. Пусть динамическая система допускает гладкое однопараметрическое семейство равновесий. Тогда, как показано в п. 5.1, по крайней мере, локально, вблизи каждого невырожденного равновесия, входящего в состав семейства, можно определить нетривиальную косимметрию — такую, что равновесия семейства оказываются некосимметричными, то есть косимметрия на них не аннулируется. Это позволяет в разобранных далее критических случаях устойчивости рассматривать исследуемую косимметричную систему просто как систему, имеющую однопараметрическое семейство равновесий, для которой выполнены определенные условия гладкости и невырожденности.

В п. 5.2 рассмотрены задачи устойчивости граничных равновесий для трех различных случаев нейтрального спектра устойчивости:

I) трехкратное нулевое собственное значение,

II) двукратное нулевое и простая пара чисто мнимых собственных значений,

III) простые нуль и пара чисто мнимых собственных значений.

Результаты главы V опубликованы в работах ¡1, 2].

Глава VI

Шестая глава посвящена задаче исследования устойчивости перманентного вращения системы п точечных вихрей, расположенных в вершинах правильного n-угольника. Она была поставлена В. Кельвином (1878 г.), указавшим на глубокую аналогию этой проблемы и проблемы устойчивости равновесия системы п плавающих магнитов во внешнем магнитном поле. Последняя была изучена A.M. Майером (А. М. Mayer) экспериментально. Кельвин особо подчеркивал важность определения наибольшего значения п, для которого данный стационарный режим устойчив.

В дальнейшем задача была исследована многими авторами. После результатов Дж. Дж. ТомсонА и T. X. Хавелока стало ясно, что при п > 8 режим экспоненциально неустойчив, а при п < б имеет место устойчивость по линейному приближению. При этом случай п = 7 оставался сомнительным, поскольку в линейной задаче нулевое собственное число имеет повышенную кратность, равную шести (нормой является кратность два).

В диссертации устанавливается, что правильный вихревой семиугольник устойчив. Доказательство потребовало специального исследования роли нелинейности; при п < 6, как показано в работах Л. Г. Куракина (дис. к.ф.-м.н., 1991 г.; Докл. РАН, 1994 г.), достаточно линейного приближения. Таким образом, полный ответ на вопрос Кельвина состоит в том, что устойчивость имеет место лишь при п <7.

Отметим, что правильный вывод'об устойчивости при п = 7 сделан в работах Г. Т. Мерца (G.T. Mertz, 1978 г.) и X. Е. Кэбрала, Д. С. Шмидта (H. Е. Cabrai and D. S. Schmidt, 1999 г.). Однако проведенный в них анализ недостаточен.

Рассмотрим п точечных вихрей, расположенных на плоскости и имеющих одинаковую интенсивность >t. Гамильтоновые уравнения Кирхгофа, описывающие их движение запишем в комплексной форме:

¿к = -2iffzj, ¿1 == 2iH2t, к = 1,..., и, (1)

я = Е Me*,-(2)

Здесь Я — функция Гамильтона, величина arfc = Xk + iyk, где Хк,Ук - декартовы координаты вихря с номером к. Фазовое пространство Z системы (1) есть С с вырезами вдоль всех гиперплоскостей Zj = z^, j ф к.

Система (1) инвариантна относительно группы G евклидовых движений плоскости R2. Действие д ь-> Lg этой группы на фазовом пространстве Z определяется равенством: Lgz — {gz\,..., gzn) для любой точки z = (zj,..., zn) б Z и любого движения д е G. Образующие группы G суть зеркальное отражение j: z г*, трансляции gtT: гиг + Ji, ЬеСи вращения grot: z eiaz, agE,

Напомним, что стационарным называется движение, которое осуществляется преобразованиями некоторой однопараметрической подгруппы группы симметриии данного уравнения.

Стационарное движение, отвечающее подгруппе вращений gTOt, разыскиваем в виде Zk = elutUk. Получаем уравнение стационарных движений

х п 1

-^-¿•E'íI^T. (3)

j=i

для неизвестных щ,..., ип G С и ш S К. Штрих означает пропуск слагаемого j = к.

Конфигурация вихрей, расположенных на окружности радиуса R в вершинах правильного n-угольника вращается с постоянной угловой скоростью. Этому движению соответствует точное решение системы (3) (R > О произвольно)

щ = Де2^*-1)/", к = 1,...,п, ш = (4)

Соответствующий стационарный режим дается равенствами

zk{t) = eiutu к, fc = l,...,n. (5)

Замена переменных Zk{t) = Re^Vkft) в системе (1) приводит к гамильто-новым уравнениям относительного движения с относительным (редуцированным) гамильтонианом

E{v) = H{v) + ^M{v), М = (6)

где v = (иь..., vm ví,..., «*) € С2п.

На каждой плоскости переменных Vk введем полярные координаты и запишем Vk в виде

vk = R(1 + гк)е'№к-»+в'\ R > 0. (7)

В переменных г = (п,... ,г„),б = .., ,вп) € R71 стационарному движению (5) отвечает непрерывное семейство равновесий системы (6), расположенное на прямой Г = {(г, в) е R2n : т — 0,6i — ■ • • = 0„}.

Ввиду очевидной и несущественной неустойчивостью по Ляпунову решения (5), связанной с зависимостью угловой скбрости и>(Л) от радиуса R, естественны другие определения устойчивости. Скажем, что стационарное решение (5) устойчиво по Раусу, если устойчиво семейство равновесий Г уравнения относительного движения с гамильтонианом (6). ""

Для обоснования устойчивости tiö Раусу стационарного решения (5) достаточно показать, что относительный гамильтониан Е(р) достигает на семействе равновесий F трансверсально строгого минимума.

Разложение функции E(v(p)),p d= (г, в) в ряд Тейлора около любого равновесия семейства Г одно и то же. Для любого п > 2 оно имеет вид:

ЕШ) = ¿(So + Ei{v{p)) + ЯзКр)) + Я4(«(р)) + ...), (8)

где точками обозначены слагаемые выше четвертой степени, а формы fc-ой степени задаются равенствами

Ei{v{p)) = (В1г,г) + (В3в,в),

Es Hp)) = (Взг, Г2) + (В40, Г2) + 2(£?4Г, гб) - (В40, б2),

Ei{v(r,0)) = (B5r2,r2) + (B6r,r3).

Здесь введены обозначения (к — 2,3):

rh & (rf.....г*), гв W (п0ь... ,гпвл), в2 d~f {в2,... ,02).

Все матрицы Bj,j— 1,..., 6 суть циркулянты, то есть полиномы от циклической матрицы С = (су)?-=1, у которой отличны от нуля только коэффициенты над главной диагональю с^г = • • • = с„_i>n = 1 и в левом нижнем углу сi„ = 1. Матрицы Bj и их собственные значения выписываются явно.

Для обоснования устойчивости по Раусу стационарного решения (5) достаточно показать, что относительный гамильтониан Е(р) достигает на семействе равновесий Г трансверсально строгого минимума.

Разложение (8) переписываем в координатной форме, переходя в пространстве Rn к общему собственному базису матриц В\, Вг- В результате одна из переменных оказывается циклической и мы приходим к задаче о локальном минимуме в нуле функции Е от 2n—1 переменной пространства

Г-1 = Я2п © Г. В случая п < 6 все собственные значения матриц В\, В2 положительны, кроме одного простого нуля, которому отвечает собственное подпространство Г. Поэтому квадратичная форма Е^ является положительно - определённой в подпространстве Гх. Из разложения (8) следует, что относительный гамильтониан Е(у(р)) достигает трансверсально строгого минимума на семействе равновесий Г.

В случае п = 7 матрица В\ имеет двукратное нулевое собственное значение, так что для решения задачи о трансверсальном минимуме приходится привлекать слагаемые третьей и четвертой степени разложения (8). Проблему, с которой мы при этом сталкиваемся, проиллюстрируем на примере полинома Р(х, у) = х2+2дху3+у4 от двух переменных (х, у) 6 Я.2. Квадратичная часть у) = х2 является знакоположительной. Сам полином Р принимает положительное значение на ядре х = 0 своей квадратичной части при у ^ 0 (Р(0,у) = у4), однако является положительно определенным только при условии |д| < 1. Для доказательства устойчивости правильного вихревого семиугольника приходится решать аналогичную проблему для полинома (¡) от 13 переменных, когда ядро квадратичной части двумерно. Полином <2, как и полином Р является квазиоднородным. Это позволяет свести доказательство его положительной определенности к проверке критерия Сильвестра для соответствующей квадратичной формы (для полинома Р это х2 + 2цхг + г2). Таким образом, в диссертации доказана теорема.

Теорема. Стационарное вращение (5) правильного вихревого семиугольника устойчиво по Раусу.

Скажем несколько слов о структуре главы VI. Пункт 6.1 носит вводный характер, освещается история вопроса. В п. 6.2 изложены некоторые общие результаты о стационарных движениях в системах с симметрией и их устойчивости. Изложение основывается здесь на докторской диссертации В. И. Юдовича (1972 г.). Мы полагаем, что эта общая теория пригодится, в частности, и при исследовании многих других задач о вихрях. Нелишне заметить, что во многих работах строгое определение устойчивости стационарного движения оставалось в тени, что уже не раз приводило к недоразумениям.

В п. 6.3 общая теория п. 6.2 применяется к уравнениям движения системы п точечных вихрей на плоскости.

В п. 6.4 обсуждаются результаты главы VI вместе с возможномыми

25

приложениями и перспективами их развития.

Завершают главу VI четыре приложения 6А — 60.

В приложении 6А приведены известные результаты о циркулянтных и косо-циркулянтных матрицах, использованные в данной главе. В приложении 6С получена операторная форма разложения относительного гамильтониана до четвертого порядка включительно в окрестности стационарного режима для любого п > 2. Координатной же форме такого представления в случае п = 7 посвящено приложении

Чтобы облегчить читателю ориентировку в цитируемой литературе, в приложении 6В обсуждаются парадоксы и недоразумения, сопровождающие задачу устойчивости перманентного вращения правильного вихревого многоугольника.

Результаты главы VI опубликованы в работах [12, 13, 14}-

Глава VII

Седьмая глава посвящена устойчивости правильных конфигураций одинаковых точечных вихрей на сфере.

Пункт 7.1 носит вводный характер, освещается история вопроса. В 1885 г. Громека рассмотрел задачу о движении вихрей на сфере, указанную ему Преображенским. В дальнейшем она была исследована многими авторами с разных точек зрения. Общая гамильтонова форма уравнений движения п точечных вихрей на сфере, приведенная в п. 7.2, выведена Богомоловым (1977 г.). Он же первым проанализировал задачу устойчивости конфигурации Уд(п,в) одинаковых точечных вихрей, расположенных на сфере радиуса Я на одной широте в в вершинах правильного п-угольника, который вращается с постоянной угловой скоростью и>(0). В работе В.А. Богомолова (ФАО, 1979 г.) показано, что соответствующая линеаризованная система имеет экспоненциально растущие решения при п > 7, а также при тг = 4,5,6, когда широта в лежит в интервале 3 — (9,п, тт—в,п). Во всех остальных случаях в линейной системе имеется лишь степенная неустойчивость, обычная и неизбежная для такого рода систем.

Согласно известной теореме Ляпунова, равновесие полной системы неустойчиво, когда линеаризованная система экспоненциально неустойчива. Богомолов ставит вопрос о нелинейной устойчивости и, в частности, о

Рис. 2: Стационарное вращение системы пяти одинаковых точечных вихрей, расположенных на одной широте в вершинах правильного пятиугольника.

Рис. 3: Конфигурация 12 одинаковых точечных вихрей, расположенных на сфере в вершинах правильного икосаэдра. Приведены два варианты изображения: слева — вихри на видимой стороне сферы, а справа — в вершинах правильного икосаэдра. (X, У, Z) — декартовы координаты.

возможности подавления степенной неустойчивости линеаризованной системы действием нелинейных слагаемых.

Доказательство устойчивости стационарного вращения вихревого многоугольника Уд(п, в) в точной нелинейной постановке, когда в £ J при п — 3 получено С. Пикарски, Дж. Марсденом (1998г.), а при п = 4,5,6 A.B. Борисовым, А. А. Килиным (2000г.). В п.7.3 мы предлагаем свой вариант решения этой нелинейной проблемы, когда в £ J при п = 4,5,6. Устойчивость стационарного движения трактуется как устойчивость по Раусу-

Далее в диссертации исследуется случай, когда широта 9 лежит на границе интервала J : в — в,п или тг — в,п. Доказательство требует специального исследования роли нелинейности и аналогично обоснованию устойчивости вихревого семиугольника на плоскости (см. главу VI). Устойчивость для граничных значений параметра интересно изучить, чтобы выяснить "опасной" или "безопасной" (по Баутину) является эта граница.

В п. 7.4 исследуется устойчивость конфигурации одинаковых точечных вихрей, расположенных в вершинах правильных многогранников. Правильным вихревым многогранникам отвечают равновесия основной системы, принадлежащие непрерывным трехпараметрическим семействам равновесий (орбитам группы симметрии SO(3)). Доказано, что среди вихревых многогранников тетраэдр, октаэдр, икосаэдр — устойчивы, а куб и додекаэдр — неустойчивы. При этом под устойчивостью (неустойчивостью) многогранника понимается устойчивость (неустойчивость) соответствующей ему 50(3) - орбиты. Здесь оказывается, что нелинейная задача устойчивости всегда полностью решается линейным приближением. В приложении к главе VII аналитическими методами построены характеристические полиномы матриц линеаризации, отвечающих правильным многогранникам.

Результаты главы VII опубликованы в работах [3, 4]-

Основные публикации автора по теме диссертации

[1] Куракин Л. Г. Критические случаи устойчивости. Обращение теоремы о неявной функции для динамических систем с косимметрией // Мат. заметки. 199S. Т. 63, № 4. С. 572-578.

[2] Куракин Л.Г. Об устойчивости граничных равновесий в системах с косимметрией // Сиб. мат. журн. 2001. Т. 42, № 6. С. 1324-1334. .

[3] Куракин Л. Г. О нелинейной устойчивости правильных вихревых многоугольников и многогранников на сфере // Докл. РАН. 2003. Т. 388, № 4. С. 482-487; см. также сб.: Фундаментальные и прикладные проблемы теории вихрей, ред. Борисов А. В., Мамаев И.С., Соколовский М. А. Москва-Ижевск: ИКИ. 2003. С. 354-366. ■

[4] Kurakin L. G. On nonlinear stability of the regular vortex systems on a sphere // Chaos. 2004. V. 14, № 3. P. 592-602.

[5] Kurakin L. G., Yudovich V. I. Bifurcation of the branching of a cycle in n-parameter family of dynamic systems with cosymmetry // Chaos. 1997. V. 7, JVi 3. P. 376-386.

[6] Куракин Л.Г., Юдович В.И. Бифуркация рождения цикла в системе с косимметрией // Докл. РАН. 1998. Т. 358, № 3. С. 346-349.

[7] Куракин Л. Г., Юдович В. И. Ответвление предельного цикла от подмногообразия равновесий в системе с мультикосимметрией // Мат. заметки. 1999. Т. 66, № 2. С. 317-320.

[8] Куракин Л Г., Юдович В.И. Применение метода Ляпунова-Шмидта в задаче ответвления цикла от семейства равновесий системы с мультикосиметрией // Сиб. мат. журн. 2000. Т. 41, т. С. 136-149.

[9] Куракин Л Г., Юдович В.И. Бифуркация ответвления цикла от семейства равновесий динамической системы с мультикосимметрией // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36, № 10.С. 1315-1323.

[10] Куракин Л Г., Юдович В.И. Бифуркации при монотонной потере устойчивости равновесия косимметричной динамической системы // Докл. РАН. 2000. Т. 371, № 1. С. 29-33.

[11] Kurakin L.G., Yudovich V.I. Bifurcations accompanying monotonic instability of an equilibrium of a cosymmetric dynamical system // Chaos. 2000. V. 10, № 2. P. 311-330.

[12] Kurakin L. G-, Yudovich V. I. The stability of stationary rotation of a regular vortex polygon // Chaos. 2002. V. 12, № 3. P. 574-595.

[13] Куракин Л. Г., Юдович В. И. О нелинейной устойчивости стационарного вращения правильного вихревого многоугольника // Докл. РАН. 2002. Т. 384, № 4. С. 476-482.

[14] Куракин Л. Г., Юдович В. И. Устойчивость стационарного вращения правильного вихревого многоугольника. В сб.: Фундаментальные и прикладные проблемы теории вихрей, ред. Борисов А. В., Мамаев И.С., Соколовский М. А. Москва-Ижевск: ИКИ. 2003. С.238-303.

|15] Куракин Л.Г., Юдович В. И. О бифуркациях равновесий при разрушении косимыетрви динамической системы // Сиб. мат. журн. 2004. Т. 45, № 2. С. 356-374.

Работы автора по смежным вопросам диссертации — рассматриваются родственные проблемы, результаты в диссертацию не включены

[16] Куракин Л. Г. Устойчивость, резонансы и неустойчивость правильных вихревых многоугольников внутри круговой области // Докл. РАН. 2004. Т. 399, № 1. С.52-55.

[17] Kurakin L. G. On stability of a regular vortex polygon in the circular domain // J. math, fluid mech. 2005. V. 7, Supplem. 3. P. S376-S386.

[18] Kurakin L. G., Yudovich V. 1. Branching of 2D tori off an equilibrium of a cosymmetric system (codimension-l bifurcation) // Chaos. 2001. V. 11, № 4. P. 780-794.

[19] Куракин Л. Г., Юдович В. И. Бифуркация коразмерности 1 ответвления двумерных ин-' вариантных торов от семейства равновестй в системах с косимметрией // Мат. заметки.

2003. Т. 73, № 5. С. 796-800.

Автор выражает глубокую благодарность своему Учителю профессору Виктору Иосифовичу Юдовичу за радость многолетнего сотрудничества.

Издательство ООО «ЦВВР». Лицензия ЛР № 65-36 от 05.08.99 г. Сдано в набор 12.09.06 г. Подписано в печать 12.09.06 г. Формат 60*84 1/16 Заказ № 757. Бумага офсетная. Гарнитура «Тайме». Оперативная печать. Тираж 100 экз. Печ. Лист 1,88. Усл.печ.л. 1,75. Типография: Издательско-полиграфический комплекс « Биос» РГУ 344091, г. Ростов-на-Дону, ул. Зорге, 28/2, корп. 5 «В», тел (863) 247-80-51. Лицензия на полиграфическую деятельность № 65-125 от 09.02.98 г.

Диссертация: содержание автор диссертационного исследования: кандидата экономических наук, Гулидов, Руслан Витальевич

СПИСОК ПРИНЯТЫХ СОКРАЩЕНИЙ.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ПРЕДПОСЫЛКИ

ДОЛГОСРОЧНОГО РАЗВИТИЯ ТЭК ДАЛЬНЕГО ВОСТОКА.

1.1. Современная структура топливо-, энергоснабжения Дальнего Востока.<\ <\

1.2. Природно-ресурсный потенциал ТЭК Дальнего Востока.

1.3. Внешние условия для энергетического развития региона: кооперационная емкость систем энергоснабжения стран СВА.

1.4. Восточный вектор энергетической политики России.

ГЛАВА 2. МЕТОДИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ

ДОЛГОСРОЧНОГО РАЗВИТИЯ ТЭК ДАЛЬНЕГО ВОСТОКА.

2.1. Современные представления о подходах и принципах долгосрочного прогнозирования ТЭК региона.

2.2. Применение сценарного подхода к прогнозированию ТЭК региона.

2.3. Производственно-экономическая модель ТЭБ Дальнего Востока на основе ПВК LEAP.

2.4. Статистическая оценка топливно-энергетического баланса региона.

2.4.1. Методические принципы статистической оценки топливно-энергетического баланса региона.

2.4.2. Статистическая оценка топливно-энергетического баланса Дальнего Востока для условий 2002 года.

ГЛАВА 3. ИССЛЕДОВАНИЕ СЦЕНАРИЕВ ДОЛГОСРОЧНОГО РАЗВИТИЯ ТЭК

ДАЛЬНЕГО ВОСТОКА.

3.1. Моделирование сценариев развития ТЭК Дальнего Востока на период до 2030 года.

3.1.1. Ключевые сценарные предпосылки развития ТЭК региона.

3.1.2. Анализ сценариев долгосрочного развития ТЭК Дальнего Востока

3.2. Сравнительная оценка сценариев развития ТЭК Дальнего Востока.

Диссертация: введение по экономике, на тему "Прогнозирование долгосрочного развития топливно-энергетического комплекса Дальнего Востока"

Актуальность исследования. В последнее время утверждаются новые направления стратегического развития ТЭК восточной части России на базе освоения и экспорта топливно-энергетических ресурсов, создания межгосударственной трубопроводной и электросетевой инфраструктуры. В Энергетической стратегии РФ поставлена задача «формирования и развития новых крупных центров добычи нефти и газа в первую очередь в восточных районах России.».1 Ведутся работы над государственной программой развития газовой промышленности в Восточной Сибири и на Дальнем Востоке. На разных стадиях проработки и реализации находятся несколько крупномасштабных энергосырьевых и инфраструктурных npoeiaoB, ориентированных на рынки топлива и энергии стран СВА. Эти проектные инициативы определили новую стратегическую концепцию - «восточный вектор энергетической политики России».

В русле этой концепции выполнен ряд прогнозных исследований, посвященных в основном развитию нефтегазовой промышленности и электроэнергетики, обладающих крупных экспортным потенциалом (Институт систем энергетики им. J1 А.Мелентьева СО РАН, Институт нефтегазовой геологии и геофизики СО РАН, ВНИИГаз, Институт «Энергосетьпроект»). В то же время пока отсутствуют согласованные и системные оценки эффектов долгосрочного развития топливно-энергетического комплекса Дальнего Востока, обусловленные реализацией крупномасштабных экспортно ориентированных проектов, формированием комплексной инфраструктуры топливо-, энергоснабжения, стимулированием энергосбережения и использования возобновляемых источников энергии, усилением стандартов воздействия на окружающую среду.

К настоящему времени в России создана и достаточно хорошо апробирована научно-методическая база долгосрочного прогнозирования развития ТЭК страны и его региональных подсистем (Институт энергетических исследований РАН, Институт систем энергетики им. J1.A. Мелентьева СО РАН, Институт народнохозяйственного прогнозирования РАН), в основе которой лежит методология системных исследований в энергетике, а также широкий арсенал формальных средств, методических подходов. Вместе с тем в отечественных исследованиях перспектив развития энергетических систем пока не получили достаточного применения универсальные методы и возможности сценарного прогнозирования. В частности, нужда

1 Энергетическая стратегия России на период до 2020 года, утвержденная распоряжением Правительства РФ от 28 августа 2003 года № 1234-р С 61 ется в уточнении понятийный аппарат, принципы и методы сценарного анализа в энергетике.

Важный инструмент анализа текущего состояния ТЭК региона - его топливно-энергетический баланс (ТЭБ), который является также основой для формирования прогнозных параметров и показателей развития энергетического сектора региона. Статистическая оценка ТЭБ по регионам РФ в отечественной статистике не ведется. Федеральная служба государственной статистики оценивает только национальный ТЭБ, причем для его составления используется методический подход, сформировавшийся еще в середине прошлого столетия. Он принципиально отличается от общепризнанной в мире методики МЭА/Евростата для составления сводных энергетических балансов, что не позволяет получить корректные оценки ряда важнейших показателей, характеризующих функционирование ТЭК региона. Поэтому разработка ТЭБ региона с использованием принципов и методики МЭА/Евростата является актуальной задачей для прогнозирования развития ТЭК региона.

Все вышесказанное предопределило актуальность, постановку цели и задач диссертационного исследования.

Целью исследования является разработка долгосрочного прогноза ТЭК с учетом предпосылок и особенностей социально-экономического развития Дальнего Востока.

В соответствии с целью в диссертационном исследовании поставлены и решены следующие задачи:

- изучить и обобщить методы прогнозирования энергетического хозяйства региона, сценарного анализа экономических процессов, разработать методику прогнозирования долгосрочного развития ТЭК региона с учетом принципов и подходов сценарного анализа;

- исследовать предпосылки, определяющие направления развития ТЭК Дальнего Востока в долгосрочной перспективе с учетом природно-ресурсных, энергопроизводственных, региональных, национальных, международных факторов формирования энергетической динамики в восточном направлении;

- разработать производственно-экономическую модель перспективного топливно-энергетического баланса Дальнего Востока для анализа и оценки показателей альтернативных сценариев долгосрочного развития ТЭК Дальнего Востока; адаптировать методические принципы МЭА/Евростата к статистической оценке современного топливно-энергетического баланса Дальнего Востока;

- определить в терминах разработанной методики сценарного прогнозирования основные факторы, условия и приоритеты развития ТЭК Дальнего Востока в долгосрочной перспективе, сформировать на их основе непротиворечивые, экономически приемлемые сценарии развития ТЭК региона на период до 2030 г.;

- реализовать программу имитационных экспериментов на производственно-экономической модели ТЭБ Дальнего Востока для получения набора перспективных оценок основных энергетических, экономических и экологических показателей альтернативных сценариев развития ТЭК Дальнего Востока;

- провести сравнительную оценку альтернативных сценариев развития ТЭК Дальнего Востока по основным целевым показателям, отражающим приоритеты в энергетической политике региона.

Объект исследования - топливно-энергетический комплекс Дальнего Востока как совокупность взаимосвязанных нефтяной, газовой, угольной отраслей, электро- и теплоэнергетики.

Предмет исследования - факторы и условия перспективного развития отраслевых систем топливно-энергетического комплекса региона.

Методологическая и информационная основа исследований. Решение исследовательских задач в диссертации основывается на методологии системных исследований в энергетике, сценарном подходе к изучению перспектив развития энергетических систем, методах прогнозирования и экономико-математического моделирования.

Теория и методология системных энергетических исследований, долгосрочного прогнозирования энергетики, в том числе применительно к уровню территориальных и отраслевых подсистем созданы и развиваются^в трудах Л.С.Беляева, А.А.Бесчинского, В.В.Бушуева, А.Г.Вигдорчика, Н.И.Воропая, Ю.Д.Кононова, А.Э.Конторовича, М.И.Краевой, ЛД.Криворуцкого, А.А.Макарова, Н.А.Манова, А.М.Мастепанова, Л.А.Мелентьева, А.П.Меренкова, А.С.Некрасова, Н.АПетрова, Б.Г.Санеева, Ю.В.Синяка, В.А.Стенникова, Н.И.Суслова, В.Н.Чурашева и других исследователей.

Системное рассмотрение вопросов развития ТЭК Дальнего Востока невозможно без учета сложной проблематики социально-экономического развития России, Дальнего Востока, а также входящих в ДФО субъектов Федерации. Большое влияние на научные взгляды автора оказали труды ученых-экономистов А Г.Аганбегяна, П.Я.Бакланова, А.Р.Белоусова, Е Н Галичанина, А Г.Гранберга, Я.Корнай, В.В.Ивантера, ПАМинакира, Н.Н.Михеевой, В.М.Полтеровича, С.А.Суспицына, В.И.Сыркина, А.С.Шейнгауза, Ю.В.Яременко и других авторов.

Представления автора об особенностях функционирования и приоритетах развития ТЭК Дальнего Востока и его отраслевых систем базируются на работах и взглядах А.К.Витюка, Е.Н.Галичанина, Н Д Гамоли, Э.И.Ефремова, В Д.Калашникова, А.Г.Коржубаева, П.А. Коровко, В.Н.Минакова, В.Ф.Мороза, В.П.Ларионова, А.Ю.Огнева, Н А.Петрова, Б.Г.Санеева, С.В.Подковальникова, Ю.Ю.Савельевой, А.П.Сорокина, И.В.Садардинова, А.Д.Соколова, В.С.Турецкого, А Д.Филатовой, Ю.В.Щукина и др.

Диссертационная работа была выполнена с привлечением широкого круга разнообразных информационных источников: стратегических и программных документов различных уровней власти, посвященных перспективам экономического и энергетического развития России, Дальнего Востока в целом, отдельных дальневосточных субъектов РФ; материалов органов исполнительной власти дальневосточных субъектов РФ, представительства Президента РФ в Дальневосточном федеральном округе, результатов исследований профильных академических институтов: Института энергетических исследований РАН, Института систем энергетики им. Л.А.Мелентьева СО РАН, Института нефтегазовой геологии и геофизики СО РАН, Института физико-технических проблем Севера СО РАН, Института народнохозяйственного прогнозирования РАН, Института экономики и организации промышленного производства СО РАН, Института экономических исследований ДВО РАН. разработок проектных институтов: ОАО «Энергосетьпроект», ОАО «Дальэнергосетьпроект», филиалов ОАО «ИЦ ЕЭС» Институтов «Ленгидропро-ект» и «Гидропроект», ЗАО НПО «Гидроэнергопром», Института «Саха-линНИПИморнефть», ОАО «ВНИИГаз», ОАО «ГипроНИИгаз», ОАО «ДальвостНИИпроектуголь». материалов энергетических компаний: ОАО «РАО ЕЭС России», ОАО «Газпром», ОАО «НК «Роснефть», ОАО «СУЭК», представительства ЗАО «Ин-терРАО ЕЭС» «Востокэнерго», дальневосточных АО-энерго; обзорных и прогнозных разработок Asia Pacific Energy Research Center (APERC), Economic Research Institute for Northeast Asia (ERINA), Energy Information Administration US Department of Energy (EIA US DOE), Energy Research Institute of China (ERI), International Energy Agency (IEA), Institute of Energy Economics of Japan (IEEJ), Korea Electrotechnology Research Institute (KERI), Korea Energy Economics Institute (KEEI), Nautilus Institute, публикаций no проблемам перспективного развития ТЭК Востока России и возможного энергетического сотрудничества со странами СВА. Основные научные результаты, полученные в диссертационном исследовании, заключаются в следующем:

- разработана и апробирована методика сценарного прогнозирования развития ТЭК региона;

- разработана динамическая, производственно-экономическая модель ТЭБ Дальнего Востока для 2002-2030 гг., включая статистическую оценку топливно-энергетического баланса Дальнего Востока в формате МЭА/Евростата для базовых условий 2002 г.;

- сформированы два альтернативных сценария развития ТЭК Дальнего Востока на период до 2030 г.;

- получены количественные оценки в рамках двух сценариев развития ТЭК Дальнего Востока, обусловленные сценарными условиями развития энергопотребления и энергоемкости регионального продукта, энергосбережения, реализации крупномасштабных проектов экспорта энергоресурсов, развития возобновляемых источников энергии, минимизации выбросов вредных веществ в секторе электро-, теплоэнергетики Дальнего Востока. Научная новизна диссертационной работы состоит в следующем:

- разработана методика сценарного прогнозирования развития ТЭК региона, основанная на согласовании внешних, внутренних, целевых, инструментальных предпосылок и факторов энергетического развития региона;

- разработана и верифицирована динамическая производственно-экономическая модель ТЭБ Дальнего Востока для 2002-2030 гг. с реализацией экспериментальных расчетов на ней; получены количественные оценки перспективных параметров производства и потребления энергии, энергоемкости, энергосбережения и системных эффектов реализации крупномасштабных проектов в ТЭК Дальнего Востока. Практическая значимость работы. Разработанные методика прогнозирования регионального ТЭК и динамическая производственно-экономическая модель ТЭБ региона могут использоваться для исследования стратегических перспектив развития ТЭК федеральных округов, крупных экономических районов, субъектов РФ.

Полученные прикладные результаты могут быть использованы Правительством РФ, федеральными органами исполнительной власти, представительством Президента РФ в ДФО при разработке концепции и/или стратегии развития ТЭК Дальнего Востока, формировании региональной энергетической политики.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы использованы в коллективных монографиях и докладах ИЭИ ДВО РАН, при подготовке прикладных научно-исследовательских работ «Анализ современного состояния и разработка концепции развития минерально-сырьевого комплекса Дальневосточного федерального округа на период до 2020 года», «Оценка условий и направлений развития ТЭК Дальнего Востока на период до 2020 года с учетом вариантов реализации экспорта электрической энергии из ОЭС Востока в энергосистему Китая», а также докладывались и обсуждались на международной конференции «Дальний Восток России: плюсы и минусы экономической интеграции» (Хабаровск, 2003), региональной научно-практической конференции «Стратегия развития Дальнего Востока: возможности и перспективы» (Хабаровск, 2003), российско-китайской конференции молодых ученых и аспирантов (Харбин, 2003), на IV-VI семинарах «East Asia Energy Futures/Asian Energy Security Project» (Ванкувер, 2003; Пекин, 2004, 2005), международной конференции «Энергетическая кооперация в Азии: межгосударственная инфраструктура и энергетические рынки» (Иркутск, 2004), на «Тихоокеанском энергетическом форуме» (Владивосток, 2005), всероссийской конференции «Энергетика России в XXI веке: развитие, функционирование, управление» (Иркутск, 2005), международной научно-практической конференции «Проблемы комплексного освоения минерального сырья Дальнего Востока» (Хабаровск, 2005), на VI и VIII краевых открытых конференциях-конкурсах работ молодых ученых Хабаровского края (Хабаровск, 2004, 2006).

Основные положения и результаты диссертационного исследования опубликованы в 12 научных работах общим объемом 5,9 печатных листов. В научных журналах и изданиях из списка ВАК опубликовано 3 работы.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложений. Основной текст изложен на 132 страницах, включает 37 таблиц, 6 рисунков. Список использованных источников содержит 234 наименования.

Диссертация: заключение по теме "Экономика и управление народным хозяйством: теория управления экономическими системами; макроэкономика; экономика, организация и управление предприятиями, отраслями, комплексами; управление инновациями; региональная экономика; логистика; экономика труда", Гулидов, Руслан Витальевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Адаптируя универсальные принципы сценарного анализа к потребностям энергетического прогнозирования региона, автором разработана структурная схема сценарных исследований ТЭК региона, интегрирующая все «чистые» подходы к разработке сценариев дедуктивный, последовательный, индуктивный и нормативный Она позволяет явным образом структурировать условия и факторы развития ТЭК региона в разрезе четырех типов1 внешних параметров, структурных показателей и проектных решений в области энергоснабжения, параметров энергетической политики, целевых приоритетов энергоснабжения региона

2. Для целей поставленных в диссертационной работе автором использован ПВК LEAP (Long-range Energy Alternatives Planning system), относящийся к имитационному типу. В основе этого комплекса лежит метод ТЭБ, объединяющий в единую расчетную схему все основные стадии реального энергетического потока На платформе LEAP была разработана динамическая производственно-экономическая модель для прогнозирования ТЭБ ДВР. Модель учитывает отраслевую, территориальную, технологическую структуры топливо-, энергоснабжения ДВР и включает собственно энергетический, экономический и экологический блоки

3. Стартовым годом расчетов на разработанной модели ТЭК ДВР является 2002 г. По этому году выполнялась настройка и верификация модели, которая представляла собой итеративный процесс достижения эквивалентности между ТЭБ ДВР за 2002 год, рассчитанным в LEAP, и ТЭБ ДВР за этот же год, оцененным автором самостоятельно с использованием имеющейся статистической базы. Разработанный автором ТЭБ Дальнего Востока на основе предложенного алгоритма позволил получить ряд важных статистических агрегатов, характеризующих состояние ТЭК ДВР в 2002 г.

4. Базируясь на методологии сценарного анализа, были сформированы два крайних сценария развития ТЭК ДВР до 2030 г. - инерционный и стратегический. Для каждого сценария факторы, условия и приоритеты развития ТЭК региона были структурированы с выделением четырех типов сценарных условий, каждое из которых наполнялось качественным и количественным содержанием, характеризующим соответствующий сценарий. Затем на разработанной производственно-экономической модели ТЭБ ДВР было спрогнозировано развитие ТЭК ДВР в предпосылках обоих сценариев

5 Прежде всего сценарии различаются по характеру и структуре целевых приоритетов энергоснабжения региона. В инерционном сценарии ключевым приоритетом является сохранение инфраструктурных (обеспечивающих) функций ТЭК. Приоритет реализуется достаточным производством топлива и энергии для нужд экономики региона при минимальных затратах Согласно условиям стратегического сценария на отрасли ТЭК возлагается роль сектора специализации экономики Дальнего Востока. Эта роль реализуется приоритетами роста производства и экспорта энергоресурсов, развития переработки сырьевых ТЭР в регионе, создания соответствующей инфраструктуры доставки и переработки сырьевых ТЭР. Кроме того, важным целевым приоритетом становится комплексность энергетического развития региона: обеспечение структурной надежности энергоснабжения, снижение экологического ущерба от объектов ТЭК региона, повышение эффективности использования энергии, развитие возобновляемых источников

6. Высокие темпы экономического роста, прирост численности населения в стратегическом сценарии объективно обусловят повышенный рост внутреннего энергопотребления. В результате в 2030 г. потребление первичной энергии в стратегическом сценарии достигнет почти 74 млн тут, превысив базовый уровень 2005 г. почти в 2 раза. Качественное улучшение структуры энергопотребления (повышение доли природного газа, гидроэнергии) будет связываться с активной политикой диверсификации топливоснабжения, вовлечения возобновляемых источников энергии, развития транспортной и перерабатывающей энергетический инфраструктуры.

7. Производство первичной энергии в условиях стратегического сценария может достичь в 2030 г. 225 млн тут. Это выше показателей 2005 г. в 6,5 раз и в 3,0 раза выше показателей 2030 г. инерционного сценария. Наибольшие успехи в производственной сфере ТЭК будут связаны с отраслями электроэнергетики и газодобычи. Выработка электроэнергии на конец прогнозного периода может вырасти до 154 млрд кВт ч (в 4,2 раза в сравнении с уровнем 2005 г.). Добыча газа возрастет на несколько порядков, достигнув в 2030 г 85 млрд м3.

8. Мощный рост производства топлива и энергии в стратегическом сценарии будет обеспечен значительными объемами поставок ТЭР на экспорт. Валовые объемы экспорта первичной энергии увеличатся с 16 до почти 190 млн тут. Основные экспортные поставки будут обеспечиваться сырой нефтью, природным газом, электроэнергией.

9. В стратегическом сценарии Дальний Восток трансформируется в регион производства и транзита масштабных потоков углеводородов, электроэнергии, угля в направлении основных центров энергопотребления стран СВА. Это потребует обустройства территории как в части производственной, так и энерготранспортной инфраструктуры.

Ожидается ввод крупных мощностей по добыче и обогащению углей в Южной Якутии, строительство каскадов мощных ГЭС на юге ДВР, современных газовых станций в Хабаровском, Приморском краях. На Сахалине в дополнение к сооружаемой добычной инфрастуктуре шельфовых проектов «Сахалин-1,2» предполагается освоение лицензионных блоков в рамках «Сахалин-3,5»

Планируется масштабное строительство газотранспортных систем с шельфа Сахалина на Корейский п-ов, в Китай, Японию, нефтепровода «Восточная Сибирь - Тихий океан», мощных ЛЭП постоянного тока «ОЭС Востока - Китай», «ОЭС Востока - КНДР - Республика Корея», «Сахалин - Япония».

10. «Вскрытые» благодаря экспортно ориентированным проектам крупные запасы нефти и газа, а также сформировавшийся каркас специализированной энерготранспортной инфраструктуры создадут благоприятные возможности для расширения внутреннего спроса на региональные ТЭР.

Следует ожидать масштабной газификации регионов юга Дальнего Востока (а также Камчатки, Якутии), сооружение предприятий по переработке газа и газохимии в Якутии, на Сахалине, Приморье, Хабаровском крае, строительство крупного НПЗ в Приморье на конечной точке нефтепровода ВСТО

11. Масштабное инфраструктурное строительство в стратегическом сценарии будет предъявлять повышенный спрос на капитальные вложения. Объем требуемых инвестиций в стратегическом сценарии составит 153,5 млрд долл. США. Наибольший удельный вес в структуре накопленных инвестиций будет иметь нефтегазодобывающая промышленность.

12. На заключительном этапе исследования выполнен сравнительный анализ сценариев в разрезе основных приоритетов развития ТЭК Дальнего Востока. С использованием производственно-экономической модели ТЭБ Дальнего Востока получены оценки показателей, характеризующих следующие приоритеты энергетической политики региона: достаточное обеспечение экономического роста топливом и энергией при минимальных затратах вклад в региональный экономический рост как функция от масштабов производства и экспорта энергоресурсов; повышение эффективности использования топлива и энергии; обеспечение структурной надежности топливо-, энергоснабжения; снижение нагрузки отраслей ТЭК на окружающую среду Накопленные приведенные затраты в стратегическом сценарии превысят сумму затрат в ТЭК в инерционном сценарии почти на 40%. При этом заметно более низкие значения соотношений приведенных затрат по сценариям в сравнении с различием в инвестициях обусловлены тем, что существенная часть производственных затрат в стратегическом сценарии будет скомпенсирована колоссальными доходами от экспорта топлива и энергии

Физическое сальдо ввоза-вывоза ТЭР превысит показатели инерционного сценария в 2030 г. в 13,5 раз, суммарное за период торговое сальдо в стоимостной форме увеличится в 4,7 раза.

Средние за период приведенные затраты в ТЭК региона на производство 1 тут первичной энергии в стратегическом сценарии к 2020 г. будут ниже, чем в инерционном на 13%. На конец прогнозного периода расхождение по этому показателю усилиться еще больше (до 43%) Тем самым создается потенциальная возможность установления более низких значений цен и тарифов на ТЭР для внутреннего потребления благодаря большей отдаче от использованных в ТЭК денежных ресурсов.

Тенденция более медленного наращивания внутреннего спроса энергию в сравнении с темпами экономического роста проявит себя интенсивнее в стратегическом сценарии. Это предопределит усиливающееся расхождение в показателях энергоэффективности между сценариями

Успехи в энергоэффективности в стратегическом сценарии будут сочетаться положительными эффектами в области структурной надежности энергоснабжения. Разрыв в значении индекса диверсификации в пользу стратегического сценария, достигнув максимума в 2020 г., к концу расчетного периода несколько сократится в результате дальнейшего ожидаемого увеличения доли газового топлива.

Характерно, что для условий двух принципиально разных сценариев в ТЭБ региона по-прежнему сохранится относительно высокое значение привозного топлива и энергетического сырья, хотя в стратегическом сценарии оно несколько снизится.

Заметное снижение энергоемкости и высокая доля в балансе первичной энергии экологически чистых видов топлива (газа, возобновляемых ТЭР) позволят обеспечить примерно такой же эффект по экологической составляющей приоритетов энергетического развития в стратегическом сценарии как и в инерционном, несмотря на существенно большие масштабы добычи топлива и выработки электроэнергии