Адаптивное моделирование (B,S)-рынка в задачах риск-нейтрального и риск-трендового оценивания опционов тема диссертации по экономике, полный текст автореферата

Автореферат диссертации по теме "Адаптивное моделирование (B,S)-рынка в задачах риск-нейтрального и риск-трендового оценивания опционов"

005006304

Федосеев Александр Михайлович

АДАПТИВНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ (Д5)-РЫНКА

В ЗАДАЧАХ РИСК-НЕЙТРАЛЬНОГО И РИСК-ТРЕНДОВОГО ОЦЕНИВАНИЯ ОПЦИОНОВ

Специальность: 08.00.13 Математические и инструментальные методы экономики

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата экономических наук

1 5 ДЕК 2011

Воронеж 2011

005006304

Диссертационная работа выполнена в федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Воронежский государственный университет»

Научный руководитель доктор экономических, наук, профессор

Давние Валерий Владимирович

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Хацкевич Владимир Львович;

доктор экономических наук, профессор Чернов Виктор Петрович

Ведущая организация

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Волгоградский государственный университет»

Защита состоится 30 декабря 2011 г. в 12 час. 00 ч. на заседании объединенного диссертационного совета ДМ 212.038.21 при федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Воронежский государственный университет» по адресу: 394068, г. Воронеж, ул. Хользунова, 40, ауд. 225.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Воронежский государственный университет».

Автореферат разослан 29 ноября 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

I. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Опционы, несмотря на их отнесение к факторам системного риска мировой финансовой системы, продолжают оставаться самым востребованным инструментом на фондовом рынке. Значительная часть спекулятивных возможностей торговли производными финансовыми инструментами реализуется через опционы. Идеи, заложенные в теорию ценообразования опционов, используются не только на фондовом рынке, но и за его пределами при оценке стоимости так называемых реальных опционов. Термин «справедливая цена», которым часто называют теоретическую стоимость опционов, играет роль почти непреодолимого барьера для критического взгляда на методику, применяемую фондовой биржей в соответствующих расчетах. И все же критический взгляд есть.

Интересы инвесторов и биржи не всегда совпадают. Биржа, следуя рекомендациям теории полного рынка, торгует опционами с различными страйка-ми. Это создает потенциал абсолютной защиты, но выбор из этого потенциала остается за инвестором. Используемый биржей адаптированный вариант формулы Блэка - Шоулза позволяет разделить спрос и предложение исходя из текущей ситуации без учета действующих на рынке трендов. Но надежность этого разделения не обсуждается, что оставляет открытым вопрос об адекватности результатов моделирования. Это создает условия неопределенности, в которых начинают доминировать спекулятивные операции, снижающие эффективность рынка как универсального регулятора экономики.

Для повышения надежности необходимы расчеты с применением альтернативного подхода. Такой подход есть (CRR-модель), но он не используется в расчетах проводимых биржей. Однако на основе этой модели удается реализовать эконометрический подход, в рамках которого тестируется адекватность. Кроме того, эконометрический вариант CRR-модели позволяет получать риск-трендовые оценки стоимости опционов, которые могут использоваться инвесторами для обоснования принимаемого решения.

Сложность применения эконометрического варианта CRR-модели в том, что биржа, компенсируя недостаток надежности частотой расчетов, создает проблему воспроизведения этой частоты. Эффективным решением данной проблемы является адаптивный подход, обеспечивающий необходимую корректировку с требуемой частотой. Поэтому разработка адаптивной модели (B,S)-pbiHKa является актуальной научной задачей.

Степень разработанности проблемы. Современная теория оценивания стоимости опционов была заложена в работах Ф. Блэка, М. Шоулза, Р. Мер-тона, Дж. Кокса, С. Росса, М. Рубинштейна. Предложенные этими учеными модели до сих пор используются в практической деятельности фондовых бирж, а концепция риск-нейтрального оценивания исследовалась в работах зарубежных (С. Вайна, Дж. Грэби, Ш. Натенберга, А. Такера, Дж. Халла) и отечественных (А.Н. Буренина, В.А. Галанова, Д.Ю. Голембиовского, A.B. Мельникова, А.Б. Фельдмана, А.Н. Ширяева, Л.П. Яновского) ученых.

Разработанные в рамках концепции риск-нейтрального оценивания модели для своего корректного применения требуют выполнения достаточно

идеализированных предположений, гарантирующих полноту срочного рынка. Поэтому в настоящее время ведутся исследования, замысел которых предусматривает расширение границ практической реализации идей надежного хеджирования, в том числе, на неполных рынках и за рамками рынка. Те результаты, которые уже получены, носят пока теоретический характер и в основном не касаются вопросов практического использования.

В диссертации исследуется подход,предусматривающий оценку стоимости опционов на основе адаптивного эконометрического моделирования, что обеспечивает без нарушения корректности адекватность получаемых результатов.

Объект исследования - динамика базовых активов опционов.

Предмет исследования - аппарат адаптивного моделирования и возможности его использования для оценки стоимости опционов в условиях полного и неполного рынка.

Цель исследования - развитие математического аппарата оценивания опционов в условиях полного и неполного рынка.

Цель исследования предопределила необходимость решения следующих основных задач:

■ провести анализ разработанного к настоящему времени аппарата оценки стоимости опционов на полных и неполных рынках и выделить то направление, которое следует развивать;

■ предложить модель, которую можно было бы использовать в качестве начального приближения при построении адаптивной модели (В,8)-рынка;

■ разработать адаптивную модель, обеспечивающую воспроизведения скачкообразных изменений в динамике базового актива;

■ предложить схему, позволяющую методику оценивания на полном рынке адаптировать к ситуации неполного рынка;

■ разработать методику оценивания стоимости опционов, базирующуюся на адаптивной модели;

■ провести верификацию предлагаемых моделей и методик.

Область исследования. Содержание диссертации соответствует пункту

1.6 «Математический анализ и моделирование процессрв в финансовом секторе экономики, развитие метода финансовой математики и актуарных расчетов» специальности 08.00.13 Математические и инструментальные методы экономики Паспорта специальностей ВАК РФ.

Теоретической и методологической основой исследования послужили современные достижения экономической и математической науки, содержащиеся в трудах отечественных и зарубежных ученых по теории финансовых рынков и проблемам его моделирования, инвестиционному менеджменту в целом и оцениванию стоимости опционов в частности. Для решения поставленных задач прикладного исследования применялись методы эконометрического моделирования, адаптивного прогнозирования. Расчеты проводились с использованием программно-инструментальных средств MS Excel и Statistica.

Информационную базу исследования составили данные информационно-аналитических материалов по исследуемой проблеме, представленные в научной литературе, периодической печати и сети Интернет, в частности, данные, размещенные на сайте Российской торговой системы (www.rts.ru).

Научная новизна исследования состоит в разработке адаптивного подхода к моделированию стоимости опционов в ситуации комбинирования условий полного и неполного рынка в зависимости от приближения текущего момента к моменту экспирации опциона, что обеспечило более высокую точность получаемых оценок.

Научная новизна реализована в следующих результатах, полученных лично автором:

1. Предложена эконометрическая модель специального вида, описывающая альтернативную динамику базового актива на фондовом рынке и используемая в качестве начального приближения адаптивной модели (В,Б)- рынка.

2. Разработана вероятностная модель (В,Б)- рынка со ступенчатым адаптивным трендом и дополнительной локальной корректировкой, позволяющая воспроизводить скачкообразные изменения в динамике базового актива, происходящие как между торговыми днями, так и внутри торгового дня.

3. Предложена комбинированная схема оценивания стоимости опционов на основе многоствольного биномиального дерева, понятие которого введено в процессе исследования возможностей применения методики оценивания на полном рынке к ситуациям неполного рынка.

4. Разработана методика риск-трендового оценивания стоимости опционов на основе адаптивной модели (Я,5)-рынка и комбинированной схемы расчетов, предусматривающей применение методики риск-нейтрального оценивания на полном рынке в условиях неполного.

Теоретическая значимость исследования определяется введением в научный оборот нового понятия «многоствольное биномиальное дерево», а также разработкой новых и адаптацией известных моделей, используемых в задачах оценки стоимости опционов. Полученные результаты формируют научно-методическую основу дальнейших исследований, ориентированных на развитие и совершенствование математического аппарата оценки стоимости опционов на полных и неполных рынках.

Практическая значимость исследования заключается в том, что его результаты, доведенные до уровня практических рекомендаций и конкретных методик расчета оценки стоимости опционов, могут быть использованы участниками рынка опционных контрактов.

Апробация и внедрение результатов исследования. Основные результаты работы прошли апробацию и получили положительную оценку на семинарах и научных сессиях в Воронежском государственном университете; международных научно-практической конференциях: «Анализ, моделирование и прогнозирование экономических процессов» (Воронеж, 2010), «Эконо-

мическое прогнозирование: модели и методы» (Воронеж, 2009), «Совершенствование финансово-кредитных отношений» (Воронеж, 2008).

Работа выполнялась в соответствии с комплексной программой научных исследований кафедры информационных технологий и математических методов в экономике Воронежского государственного университета «Математическое моделирование и информационные технологии в управлении экономическими процессами».

Основные результаты исследования используются в учебном процессе Воронежского государственного университета.

Публикации. По теме диссертационного исследования опубликовано 9 работ, в том числе 2 статьи в журналах, рекомендованных ВАК РФ.

Структура и содержание работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, библиографического списка из 142 наименований.

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, определены предмет и объект исследования, сформулирована цель и поставлены задачи, решение которых необходимо для ее достижения, раскрыта научная новизна, теоретическая и практическая значимость результатов исследования.

В первой главе «Современный рынок деривативов и математический аппарат оценки их стоимости» проведено исследование современного рынка производных финансовых инструментов - рассмотрены его сущность и структура, подробно описаны особенности функционирования рынка опционов, его инфраструктурная и микроструктурная составляющие, определены проблемы и перспективы функционирования, отмечены специфические черты российского срочного рынка. Рассмотрены также механизмы, оказывающие заметное влияние на определение риск-нейтральной цены опционов. Изложен авторский взгляд на современные подходы к оценке стоимости опционов. Наряду с общепризнанным аппаратом приводятся результаты последних диссертационных исследований в этой области.

Во второй главе «Адаптивные регрессионные модели в задачах оценки стоимости опционов в условиях полного и неполного рынка» на основе дискретно-непрерывной регрессионной модели (В,5)-рынка построены модели с двойным адаптивным механизмом. Модели предназначены для воспроизведения природы формирования стоимости базового актива внутри торгового дня и за его рамками. Это позволяет для расчета текущей стоимости опциона использовать биномиальное дерево CRR-модели в реализуемом фондовой биржей режиме. Введено понятие «многоствольное биномиальное дерево», на основе которого разработана процедура, в которой используется аппарат оценки опционов на полном рынке в условиях неполного рынка. Предложен комбинированный подход к оценке стоимости опционов, обеспечивающий более высокую точность расчетов в ситуации, когда текущий момент и момент экспирация опциона рядом.

В третьей главе «Верификация адаптивного риск-трендового оценивания опционов на полном и неполном рынке» иллюстрируются вычислительные возможности применения адаптивных моделей в режиме, который имеет место в биржевой торговле опционами. Особое место в этой главе занимает ме-

тодика комбинированного риск-трендового оценивания опционов на основе адаптивной модели (Д5)-рынка. В рамках этой методики предлагается использовать различные подходы к оценке опционов в зависимости от количества торговых дней, оставшихся до момента экспирации опциона. На основе эмпирических исследований сделан вывод о возможности практического использования предложенной методики

В заключении сформулированы основные выводы диссертационного исследования.

II. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ И РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1. Эконометрическая модель специального вида, описывающая альтернативную динамику базового актива на фондовом рынке

Предлагаемая эконометрическая модель (Д,^)-рынка записывается в виде следующих уравнений:

Я, =(1+/>,)$_„ (1)

■п~гп аЮ а1\Гк-\' (2)

р< =1

^Н II - /и "IV

1

а0 + а.г , + с/ • - -

1 -)- еьо+ь1ги

где 5,- стоимость базового актива в момент времени /; ги - доходность индекса в момент времени ¡; а0, а, - оцениваемые коэффициенты трендовой составляющей базового актива; оцениваемый коэффициент дискретно-непрерывной модели; а10, ап-оцениваемые коэффициенты авторегрессионной модели индекса.

Модель (1) - (3) позволяет осуществлять расчет возможных скачкообразных изменений стоимости базового актива, которые используются при построении биномиального дерева в процессе определения риск-трендовой стоимости опциона. С помощью этой модели скачкообразные изменения определяются для каждого текущего момента времени. Они равны расчетному значению по тренду, измененному на величину среднего скачка умноженного на вероятность его возможной реальности. Определение скачкообразных изменений в каждый момент времени позволяет пересчитывать биномиальное дерево и, по сути, непрерывно осуществлять расчет риск-трендовой стоимости опциона.

Методика определения риск-трендовой цены практически ничем не отличается от методики определения риск-нейтральной цены опциона. Следовательно, если путем исключения тренда скорректировать скачкообразные изменения стоимости базового актива, то можно результаты моделирования использовать для расчета риск-нейтральной цены опциона.

Можно предложить другой вариант эконометрической модели (В, 5) -рынка, в котором идентифицируется не текущие скачки, а усредненные значения ожидаемых скачков:

+ (4)

= Г1,-а1Ь~аПГ1,-\' (5)

1 + 6 . (6) ~а0- -с1+2с1--

\ + е

Основное отличие модели (4) - (6) от модели (1) - (3) в том, что в ней используется величина усредненного скачка, а не текущего. Это естественно снижает колебания расчетных значений и соответственно снижает колебание финальных результатов, для получения которых использовались результаты моделирования. Однозначно ответить на вопрос, какая из моделей предпочтительней практически, невозможно. На самом деле в рассматриваемой ситуации проблема выбора не стоит, так как оба механизма моделирования предполагается использовать в адаптивной модели.

Нужно отметить обязательное условие, которому должны удовлетворят результаты моделирования, получаемые с помощью этих моделей. В соответствии с этим условием безрисковая процентная ставка или процентная ставка, определенная по тренду, должны находиться между верхним и нижним уровнями доходности. Если данное условие не выполняется, то использовать схему построения биномиального дерева при определении риск-нейтральной или риск-трендовой стоимости результаты моделирования нельзя. Если возникает подобная ситуация, то необходима корректировка построенных моделей.

Модели (1) - (3) и (4) - (6) являются эконометрическими вариантами известной модели (В, Б) -рынка. В основном они предназначены для определения текущих значений скачкообразных изменений доходности базового актива, которые, по замыслу, должны использоваться в расчете риск-нейтральной или риск-трендовой цены опциона. Эконометрическое моделирование имеет ряд преимуществ перед традиционными методами. В отличие от моделей Кокса - Росса - Рубинштейна и Блэка - Шоулза в его рамках предусмотрено тестирование на адекватность, что позволяет оценить уровень надежности практического использования результатов моделирования. Достигается это благодаря тому, что при спецификации эконометрических моделей максимально учитываются предположения финансовой теории, а при идентификации их параметров учитываются конкретные условия, обеспечивающие адекватность моделируемому процессу.

По замыслу, эти модели должны стать основой для адаптивного моделирования доходности базового актива. К сожалению, их структура не позволяет решить проблему их трансформации в адаптивные модели применением известных схем адаптации, построенных на основе обратной связи. Поэтому

далее будут рассмотрены адаптивные модели специального вида, наделенные двумя адаптивными механизмами.

2. Вероятностная модель (В,5)- рынка со ступенчатым адаптивным трендом и дополнительной локальной корректировкой Ниже предлагаются базовые варианты моделей, которые, на наш взгляд, могут потребоваться при решении практических задач по оценке стоимости опционов.

Модель с адаптивным трендом и дополнительной локальной корректировкой

Р, ~

(7)

(8)

к _ к 21+1 _/г+1 а01 а1гп

"0+1

1и+1

\а" )

с,"1

\г>+\)

'(+1

)с;

,-1

— г

7+1 >

+ а

с-1 -I

а

\г(+1) (\ 4

с;1-

СГ1 (1. >",+1)с;

1-1

(1.

1

Ч'/+1

+ а

(9) (10) (П)

(12)

(13)

{= Т0 +1,..., Т; к = 1, 2,..., п, где цена базового актива в момент времени /; г^- величина ожидаемого скачка вверх в момент времени к торгового дня / ; г^- величина ожидаемого скачка вниз в момент времени к торгового дня а(11, а1: - значения изменяющихся во времени коэффициентов тренда в момент времени средняя величина скачкообразного изменения доходности базового актива; г]-отклонение расчетного значения доходности от фактически наблюдаемого в момент к торгового дня !; Р(-) - функция распределения дискретной случайной величины, характеризующей альтернативность динамики доходности базового актива; С,"'- матрица, обратная к матрице системы нормальных уравнений метода наименьших квадратов, получаемая при оценке коэффициентов тренда; а- настраиваемый параметр адаптации; Т0- номер последнего

наблюдения временного ряда, который использовался для построения начального приближения адаптивной модели; t- порядковый номер текущего торгового дня; к- порядковый номер котировки внутри торгового дня.

В данной модели предусмотрено два адаптивных механизма, обеспечивающих корректировку расчетных значений. В первом адаптивном механизме с помощью уравнений (И) - (13) реализуется корректировка коэффициентов тренда. В соответствии с логикой, которая положена в основу адаптивной модели, тренд может изменяться только между торговыми днями и не изменяется внутри торгового дня. Из этого следует, что обратная связь в этом адаптивном механизме настроена таким образом, что обеспечивает изменения модели в тех случаях, когда изменяется характер динамики цен закрытия.

Процедура корректировки основана на схеме взвешенного рекуррентного метода наименьших квадратов. Модель с таким адаптивным механизмом получается весьма чувствительной к любым изменениям стоимости базового актива. Повышенная чувствительность не всегда полезное свойство модели. Проблема в том, что уровень изменчивости результатов моделирования, как правило, мало отличается от уровня изменчивости фактически наблюдаемых величин, что порождает неустойчивость решений, для получения которых использовалась адаптивная модель. Поэтому ниже будет рассмотрена возможность моделирования (B,S) - рынка с использованием многошаговой адаптивной модели, которая заметно снижает уровень волатильности, сохраняемый в расчетных значениях.

Что же происходить с моделью в течение торгового дня? Модель остается неизменной. Но рассчитываемые по модели значения корректируются на усредненную величину скачка. Эта усредненная величина определяется в виде произведения средней величины скачка на вероятность, с которой ожидается скачок. Вероятность зависит от отклонения z\ и в этом смысле можно говорить об обратной связи, действие которой носит локальный характер, т.е. приводит к изменению только расчетного значения без изменения самой модели. Реализуется этот механизм с помощью уравнений (9) - (11). Благодаря двойному адаптивному механизму с помощью данной модели удается отразить и природу эволюции цен на (B,S) - рынке и механизм биржевых торгов опционами. Результаты адаптивного моделирования могут использоваться в расчетах риск-нейтральной и риск-трендовой стоимости опционов.

Модель с многошаговым адаптивным механизмом и дополнительной локальной корректировкой

S,=(l + Pl)SlA, (14)

А=К (15)

\rd"

r^tb+W-i+di l-Ftf)), (16)

к _

2 1+1 аШ а1гп

сг'. -с^ник^К, +

а

-а,, -а, г,

'м+1>

(18) (19)

(20)

{-Т0 + \,...,Т) к = \,2,...,п где а, =(аш, )' — вектор коэффициентов тренда адаптивной модели;

адаптивного алгоритма; гш = - вектор столбец откло-

нений от тренда; т- количество наблюдений, обрабатываемых за один шаг адаптации.

Многошаговость в этой модели предполагает, что предварительно определен способ формирования матрицы 11т( и вектора гт1. Удобным, на наш

взгляд, является скользящий способ формирования. В этом способе предусматривается вновь появившееся наблюдение включать в матрицу 11га, последней строкой, а вновь полученное отклонение включать последним элементом в вектор столбец гт1. Одновременно из матрицы исключается первая

строка, а из вектора - первый элемент. Такой скользящий принцип практически полностью исключает случайную составляющую из корректировки коэффициентов тренда, что, естественно, повышает устойчивость результатов адаптивного моделирования.

Практическое использование приведенных выше моделей связано с дополнительными расчетами, о которых пока не упоминалось. Эти расчеты предусматривают настройку параметра адаптации а. Причем модель с многошаговым адаптивным механизмом имеет дополнительный настраиваемый параметр т.

Рекуррентный способ обновления коэффициентов трендовой составляющей модели достаточно трудоемкий. Для практического использования этих моделей необходима их программная реализация. Но проблема не в программной реализации, а в разнообразии закономерностей, которым следуют рыночные процессы. Разнообразие столь велико, что его не удается адекватно воспроизвести даже такими универсальными моделями, как адаптивные. Необходимо соответствующее разнообразие адаптивных моделей. В связи с таким пониманием проблемы ниже приводятся описания моделей, в которых адаптивные механизмы построены на принципах, отличных от тех, на которых построены адаптивные механизмы рекуррентного типа.

В отличие от выше описанных ниже рассматриваемые модели охватывают случаи, когда у моделируемого процесса отсутствует трендовая составляющая. Нужно заметить, что ситуаций, когда у рыночного процесса нет устойчивой тенденции, описывающей эволюцию его характеристик, доста-

(\

\Г1-т+1 Г1-т + 2 • • • г> ,

- матрица данных, обрабатываемая за один шаг

точно много. В силу этого необходимость в разработке специального класса адаптивных моделей, ориентированных на воспроизведение закономерностей (Д5)- рынка, очевидна.

Вероятностная модель со ступенчатым адаптивным трендом и дополнительной локальной корректировкой

««

Л-К га

[гл

¥&)), (23)

+0,^,-^(2*). (24)

атх=а01+<1-Ш(2;+1), (26)

/ = Г0+1,...,Г;' * = 1,2,...,«.

Модель (21) - (26) строится в предположении, что моделируемый процесс имеет тренд, который скачкообразно изменяется с течением времени. В отличие от выше описанных моделей адаптивный механизм данной модели построен на использовании вероятностного механизма корректирующих воздействий на коэффициенты модели, а не на использовании рекуррентной схемы метода наименьших квадратов. Поэтому модель вероятностная. Механизм же дополнительной локальной корректировки аналогичен тому, который реализован в предыдущих моделях. В его основе лежит идея вероятностного взвешивания риск-эффекта. Поэтому эффективность этой модели полностью зависит от точности идентификации вероятностного распределения Б^).

Идентификация распределения, как известно из предыдущего параграфа, осуществляется в процессе построения эконометрической модели (В,5) -рынка. Само распределение рассматривается как эконометрическая модель специального вида, с помощью которой определяется вероятность ожидаемого риск-эффекта. Для оценки параметров эконометрической модели применяется метод максимального правдоподобия, в рамках которого предусмотрен расчет всех необходимых для проверки адекватности статистик. Из этого можно сделать вывод, смысл которого в том, что если все составляющие адаптивной модели адекватны, то можно гарантировать адекватность и самой модели в целом.

Логику расчетов с использованием этой модели понятна из рис. 1.

Данную модель можно рассматривать как базовый вариант, в котором реализованы новые принципы построения адаптивного механизма, Идея использования в адаптивном механизме вероятностного распределения расширяет возможности адаптации. Она может осуществляться как с ориентацией на реальные события, так и виртуальные, имеющие место только в предпо-

ложениях экспертов. Причем уровень адаптивного воздействия на модель зависит не только от величины ошибки предсказания, но и от вероятностной перспективы этой ошибки.

Еще одна особенность этой модели - отсутствие настраиваемого параметра. Это с одной стороны упрощает построение адаптивной модели (отсутствует этап обучения), а с другой снижает ее экстраполяционные возможности. Серьезным ограничением практического применения этой модели является необходимость построения предусмотренного в ней тренда. Не все процессы на фондовых рынках имеют устойчивые закономерности и, следовательно, не всегда удается построить эконометрическую модель, принимаемую за начальное приближение адаптивной со ступенчатым трендом. Поэтому имеет смысл построения на основе базового варианта адаптивных моделей без тренда.

Рис. 1. Принципиальная схема расчетов по адаптивной модели (В,$-рынка

Таким образом, реализация идеи применения адаптивного подхода в решении практических задач по определению стоимости опционов привела к необходимости создания специального класса адаптивных моделей. Представленные в этом параграфе модели наделены свойствами, которые отлича-

ют их от ранее известных адаптивных моделей и которые обеспечивают возможность их использования в практике биржевой торговли опционами.

3. Комбинированная схема оценивания стоимости опционов на основе многоствольного биномиального дерева

Согласно классической теории (B,S)-pbiHKa, мы вправе допустить, что на рынке существует возможность сформировать портфель из денежных средств и акций, генерирующий денежные потоки, эквивалентные денежным потокам, генерируемым опционом, в каждый промежуток времени. В начальный момент времени имеет место следующее равенство:

nS -В =с0. (27)

Полагая, что до исполнения опциона остается один период, стоимость сформированного нами портфеля возможно оценить в соответствии с одним из приведенных ниже уравнений:

nSu -RB = с„; (28)

nSd - RB = с d, (29)

где си - стоимость портфеля (опциона) в случае рост цены акции; cd - стоимость портфеля (опциона) в случае снижения цена акции; и = 1 + ги- множитель изменения цены акции в случае роста цены; d = l + rd- множитель изменения цены акции в случае снижения цены R = l + r- множитель изменения кредитной суммы.

Решение системы уравнений (1.7)-(1.8) определяет структуру портфеля. В общем виде решение имеет вид:

с„ -с.

п

А- (30)

(и-Л)З

В = (31)

{и-(1)11

Рассчитаем стоимость опциона в начальный период: с _си~с<! ас,~исл 0 и-й (и-с!)К Некоторая перегруппировка придает этой формуле более наглядный вид:

с0 =

R-dЛ ( и — R R-d

р =

u-d

/Л, (32)

(33)

Начальная стоимость опциона рассчитывается как стоимость выплат по опциону в конце периода, дисконтированная по безрисковой ставке.

В силу того, что в полученное уравнение не включены параметры, которые характеризовали бы отношение инвестора к риску, имеет место следую-

щее умозаключение: оценка стоимости опциона по приведенной выше формуле осуществляется в мире «без риска» или же в экономике, где инвесторы к риску нейтральны.В соответствии с этим весовые коэффициенты, стоя-щиепри с„ и с,, технически играют роль риск-нейтральных вероятностей роста и падения цены, к тому же, согласно классической теории, фактические значения этих вероятностей не принимаются во внимание инвесторами. Очевидно, что выплата по опциону с„ наступают с вероятностью/?, а выплата са~ с вероятностью^, и дополнительных пояснений здесь не требуется.

Методика риск-нейтрального оценивания по СИД-технологии также применима в случаях, когда до исполнения опциона остается два и более периодов. Центральной идеей, обеспечивающей практическую ценность методики, заключается в учете всех возможных вариантов развития событий. Ниже кратко проиллюстрированоопределение стоимости опциона для двухпе-риодной и многопериодной биномиальной модели.

Для случая двухпериодной модели дополним ранее введенные обозначения. В конце второго периода стоимость базового активаравна

, причем = а выплата по опциону колл может быть равна одному из следующих значений См, сл, =сш1, ст.

Значения с, и с„ через см, сЦи, ст определим, используя известные риск-нейтральные вероятностир и

(35)

я. (36)

В случае однопериодной задачи получим:

Со = (Ргс„„ + 2Ис, +д2см)/Я2. (37)

Многопериодная модель предполагает введение в рассмотрение цены исполнения X, и для опциона колл имеет вид:

с0 = ( X' тах(0УсГ^ - X)] / Г. (38)

Ы )

Однако реальность финансового рынка намного сложнее, искусственный полный рынок не настолько универсален, да и риски никто не отменял. По нашему мнению, именно учет рисков в моделях ценообразования опционов является первым приближением к построению моделей, полезных преимущественно для инвестора, нежели для биржи.

Вероятностный механизм адаптации реализуется на часовых данных о котировках базисного актива и фьючерса на индекс РТС. Далее в рамках известной СШ1-технологии рассчитываются средние темпы прироста г и снижения га с учетом усредненного по вероятности риск-эффекта относительно рыночного тренда /;.. Расчет параметров биномиального дерева реализуется по формулам, приведенным ниже

(40)

(41)

(42)

Рассчитав все необходимые параметры, можно осуществить непосредственное вычисление значений риск-трендовой премии по опциону.

Теоретически вопрос применения результатов адаптивного моделирования в схеме построения биномиального дерева можно считать решенным. Однако практическое применение ограничено той же самой проблемой, что и любые расчеты по оценке стоимости опциона. Ошибка в определении расчетной стоимости опциона растет по мере приближения текущего момента к моменту экспирации опциона. Причем это происходит вне зависимости от того, применяется ли СЯЯ-модель или формула Блэка - Шоулза. По нашему мнению, это происходит из-за неточности, которая допускается при оценке волатильности.

Если согласиться с этой точкой зрения, то в С1Ш-модсли необходимо уточнить описание динамики цен на базовый актив. Для уточнения волатильности целесообразно при описании динамики цен рассматривать более двух скачкообразных изменений и, следовательно, действовать в рамках неполного рынка. Единственное ограничение по числу скачкообразных изменений заключается в сохранении различия между дискретной и непрерывной моделью, а также недопущение ситуации, когда слишком большое число скачкообразных изменений может привести к их статистической незначимости. На неполном рынке для каждой пары скачков формально можно определить риск-трендовую цену, которая будет единственной для данной пары.К сожалению, гарантировать, что эти цены будут обладать всеми свойствами справедливой цены полного рынка нельзя. Именно для этих целей предусмотрена их взвешенная оценка.

Изложим суть подхода на формальном уровне.

Предполагается, что за некоторое число шагов до исполнения опционного контракта на рынок перестает быть полным. В этой ситуации описание эволюции цен только через два скачка становится очень грубым. Фактически на рынке существует несколько точек зрения относительно динамики цен базисного актива. Формально это означает, что биномиальная модель (В,5)-рынка заменяется мультиномиальной моделью. Цены активов В = (В,),>0 и 5 = (•$■/),>0 на таком рынке изменяется скачками в дискретные моменты времени.

В, =(1 + г, )В,

(43)

+ (44)

В таком случае доходность акции р = (р,\^есть ничто иное как последовательность независимых случайных величин р^р2,..., принимающих в общем случае т различных значений, имеющих одинаковое вероятностное распределение. Рассмотрим случай, когда т = 4. Тогда с вероятностями Р0 = ?(р1 = г0), /> = Р(р, = г,), Р2 = ?(р,=г2) и Р] = Р(р1=г}) соответственно имеет место следующее:

Р,

'о < П < г2 < л. (45)

г2. 1. Го.

Оценка скачкообразных изменений будет производиться в соответствии с величинами риск-эффектов и значение тренда в каждый момент времени. Риск-эффекты доходности базисного актива предполагается получить путем оценки коэффициентов дискретно-непрерывной модели эволюции цен базисного актива с двухуровневой дискриминацией:

г,=а0+ + + с12х21 + е,, (46)

где г,- доходность базисного актива в момент времени V, ай, а,- оцениваемые параметры трендовой составляющей; с/,, с/2 оцениваемые параметры стохастически составляющей модели, характеризующие средние уровни возможного отклонения фактически наблюдаемой доходности от тренда, т.е. риск-эффекты; х„, х2, - фиктивные переменные, принимающие два значения: 1 или -1; е,-ненаблюдаемая случайная величина.

Полученные значение риск-эффектов позволяют охарактеризовать четыре ситуации: крайне неблагоприятную (-*„-х2|), неблагоприятную (-хи+х2,),

благоприятную (+хи-х2,) и крайне благоприятную {+хи+х2,). Если закодировать эти ситуации с помощью переменной у1, то их вероятность в будущем будет можно определять по эконометрической модели множественного выбора. В качестве регрессора в названной модели целесообразно использовать нормированные отклонение рыночного индекса, что позволяет увязать колебания

доходности базисного актива с колебаниями индекса через вероятность

Р(Л=7'|27,) =-г-, 7=0,1, 1; (47)

м

?{у,=к\2„)=-г-> (48)

1 + 1У""'

у=о

где у, - номер ситуации, вероятность которой оценивается; ъи - вектор-

строка независимых переменных регрессионной модели; Ь] - вектор-столбец

оценок коэффициентов регрессионной модели, задействованных при расчете вероятности того, что зависимая переменная примет значение равное у значение зависимой переменной.

Тогда, имея взвешенные по вероятности риск-эффекты, рассчитываются отклонения от тренда. Это и будут искомые г0 <г, <г2<гъ.В таком случае все значения р, возможно разделить на две непересекающиеся группы. В первую будут отнесены значения, не превышающие величину тренда в момент I, а во вторую - превышающие это значение. При таком разделении обе группы окажутся непустыми. Исходя из того, что скачки будут определены через риск-эффекты доходности базисного актива в каждый момент справедливо, чтог0,г, < г,', а г2,г3 > г'г. В этом случае возможно сформировать четыре варианта сочетания скачков (г0,г2), (г0,г3), (г„г2), (г„г3), в соответствии с которыми будет протекать изменение цен базисного актива.

Однако прежде чем пользоваться полученными по модели множественного выбора значениями вероятностей их необходимо адаптировать. Реализация вероятностного механизма адаптации предполагает использование формулы Байеса. Для первого адаптивного пересчета она имеет вид:

= * = 0Д (49)

¡=1

Такая адаптация предполагает определение вероятностей гипотез Р(Я,.), / =0^3, отражающих ту или иную ситуацию на историческом периоде, что необходимо, когда адаптация производится в первый раз. Они вычисляются на основании распределения частот появления той или иной ситуации на историческом периоде. При последующих пересчетах в качестве вероятностей гипотез исторического периода будем принимать значение вероятностей, полученные на предыдущем этапе. Также необходимо вычислить матрицу условных вероятностей Р(у, ¡Я,), свойственных реализации каждой гипотезы. В дальнейшем в качестве вероятностей гипотез будут использоваться расчетные значения вероятностей на предыдущем шаге и строка матрицы условных вероятностей, соответствующая реальной ситуации в предыдущий день.

Полученные значения вероятностей будут нами использованы при расчете весов, используемых при вычислении взвешенной риск-трендовой оценки для данного момента времени. Рассчитанные условные вероятности требуются также для усреднения риск-эффектов по формуле ниже. Значение условных вероятностей для каждой гипотезы можно взять из столбцов ранее полученной матрицы.

рк = + ¿2 - | Нк)4 - 2Р2 (г,1 Нк)Зг - 2Р0(г1 \ Нк )(</, + <?,),* = Р, (50)

где рк - усредненная величина риск-эффекта в к-й ситуации;

Р0(г!\Нк),Р^,\Н,),Р2(г, \Нк),Рг(г,\Нк) - условные вероятности, полученные по модели множественного выбора при г,, характерном для Нк,

т.е. для гипотезы наиболее неблагоприятной ситуации подбирается соответствующее значение г,.

Подытоживая изложенные модификации классического аппарата оценивания премии по опционам, необходимо проиллюстрировать их графически (рис. 2, рис. 3). Так, на рис. 2 выше приведена известная структура биномиального дерева в условия полного рынка при безрисковой ставке близкой к нулю.

На рис. 3 приведен общий вид биномиального дерева в условиях неполного рынка без учета вероятностного распределения каждого частного дерева, характеризующего одно из четырех сочетаний скачков вокруг рыночного тренда. В данном случае для наглядности значение рыночного тренда близко к нулю. В условиях рыночной неполноты действительно можно реализовы-вать стратегии полного рынка, используя для этого многоствольное биномиальное дерево. Но ввиду вероятностного характера, их надежность вызывает определенные сомнения. Однако если вероятность одного из вариантов достаточно высоко, то такую стратегию можно использовать для хеджирования на неполном рынке.

4. Методика риск-трендового оценивания стоимости опционов на основе адаптивной модели (В,5)-рынка и комбинированной схемы расчетов

Предлагаемая методика предусматривает выполнение расчетов в следующей последовательности:__________

~~ ПОЛНЫЙ РЫНОК (расчеты прекращаются за 10 дней до экспирации)

1. Построение регрессионной модели (В,8)-рынка

1.1. Формирование данных для построения модели

1.2. Оценка параметров тренда

1.3. Формирование переменных для построения модели бинарного выбора

1.4. Оценка параметров модели бинарного выбора

1.5. Построение дискретно-непрерывной модели

2. Реализация адаптивной схемы оценки стоимости опционов

Внутри торгового дня

2.1. Расчет отклонений от тренда

2.2. Расчет вероятностей ожидаемых риск-эффектов

2.3. Корректировка скачкообразных изменений доходности базового актива

2.4. Расчет риск-трендовой вероятности

2.5. Построение биномиального дерева

2.6. Риск-трендовая оценка стоимости опциона

Между торговыми дняии

2.7. Расчет отклонения от тренда

2.8. Расчет вероятности ожидаемого риск-эффекта

2.9. Адаптивная корректировка тренда

2.10. Корректировка скачкообразных изменений доходности базового актива

2.11. Расчет риск-трендовой вероятности

2.12. Построение биномиального дерева

2.13. Риск-трендовая оценка стоимости опциона_____

НЕПОЛНЫЙ РЫНОК (расчеты начинаются за 10 дней до экспирации)

3. Уточнение регрессионной модели (В,8)-рынка

3.1. Расчет отклонений от ожидаемой доходности

3.2. Формирование переменных для построения мультиномиальной модели

3.3. Оценка параметров мультиномиальной модели

3.4. Построение уточненной дискретно-непрерывной модели

4. Реализация адаптивной схемы оценки стоимости опционов в условиях неполного рынка

Внутри торгового дня

4.1. Расчет отклонений от тренда

4.2. Расчет вероятностей ожидаемых риск-эффектов

4.3. Корректировка вероятностей по формуле Байеса

4.4. Корректировка скачкообразных изменений доходности базового актива

4.5. Формирование пар скачкообразных изменений, удовлетворяющих условиям полного рынка

4.6. Расчет для каждой пары риск-трендовой вероятности

4.7. Построение многоствольного биномиального дерева

4.8. Взвешенное риск-трендовое оценивание опциона

Между торговыми днями

4.9. Расчет отклонения от тренда

4.10. Расчет вероятностей ожидаемых риск-эффектов

4.11. Корректировка вероятностей по формуле Байеса

4.12. Адаптивная корректировка тренда

4.13. Корректировка скачкообразных изменений доходностей

4.14. Формирование пар скачкообразных изменений, удовлетворяющих условиям полного рынка

4.15. Расчет для каждой пары риск-трендовой вероятности

4.16. Построение многоствольного биномиального дерева

4.17. Взвешенное риск-трендовое оценивание опциона_

В таблице ниже приведены результаты расчетов, которые показали, что начиная с 5-го дня до экспирации расчеты по комбинированной методике (3-й столбец) давали более точный результат, чем расчеты биржи (4-й столбец), что свидетельствует об эффективности предлагаемой методики.

Таблица

Взвешенные риск-трендовые оценки стоимости опциона _на акции ОАО «Сбербанк России»_

Дата Прибыль от исполнения в текущий момент Взвешенная риск-трендовая оценка Фактическое значение риск-нейтральной цены прпХ= 10500

22 декабря 312 562,16 454

23 декабря 313 543,97 435

24 декабря 286 502,46 385

27 декабря 225 421,30 309

28 декабря 161 291,68 280

29 декабря 98 98,70 241

30 декабря 49 47,15 237

11 января 95 93,49 104

12 января 5 19,71 335

13 января 295 322,98 339

III. ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

В диссертационной работе на основе выполненных теоретических и прикладных исследований в области адаптивного моделирования (Д5)-рынка сформулированы выводы, заключающиеся в следующем:

1. Важнейшими характеристиками модели (Д^-рынка являются скачкообразные изменения цены базового актива. Именно эти характеристики используются для определения риск-нейтральной вероятности, по которой строится биномиальное дерево и оценивается риск-нейтральная стоимость опциона. Поэтому к эконометрической модели (Д5)-рынка предъявляется ряд требований. Прежде всего, она должна отражать природу изменения этой скачкообразной величины. Кроме того, эконометрическая модель - это начальное приближение адаптивной модели и при ее построении нужно учитывать это обстоятельство. Нужно также учитывать, что эконометрика не исключает ситуации, когда один и тот же процесс может описываться несколькими адекватными моделями. Предложенные в диссертации эконометриче-ские модели учитывали все эти требования.

2. Необходимость применения адаптивной модели для расчета характеристик, используемых при построении биномиального дерева, возникла в связи с частотой расчетов проводимых биржей. Исследования показали, что дело не только в частоте, но и в природе моделируемого процесса. Расчеты, проводимые внутри торгового дня, отличаются от расчетов, проводимых при переходе от одного торгового дня к другому. Естественно, это нашло отражение в адаптивной модели. Адаптивная модель (В,Б)- рынка имеет два адаптивных механизма с различными принципами адаптации. В одном используется обратная связь, а в другом - целевое изменение рассчитываемых значений. Можно считать, что построенные в диссертации адаптивные модели (В,Б)- рынка образуют отдельный класс, применяемый для моделирования стоимости опционов.

3. Биржи для расчета теоретической цены опциона используют формулу Блэка - Шоулза с использованием специальной процедуры определения подразумеваемой волатильности. Методика, основанная на СЮ1-модели, в практических расчетах не используется. Адаптивная модель (В,Б)- рынка открывает такую возможность. Но есть еще одна проблема. По мере приближения текущего момента к экспирации опциона катастрофически теряется точность расчетов вне зависимости от того, по какой из моделей они осуществлялись. Выход из данной ситуации при использовании адаптивного варианта СЯЯ-модели оказался довольно оригинальным. Смысл выхода в отказе от жестких условий полного рынка, когда текущий момент близок к моменту экспирации. Это превращает последовательный расчет стоимости опционов в комбинированную процедуру.

4. Применение для оценки риск-трендовой стоимости опционов адаптивной модели значительно усложнило схему расчетов с использованием биномиального дерева. А необходимость применения комбинированной схемы, в которой используется многоствольное биномиальное дерево, однозначно

потребовала разработку специальной методики, интегрирующей весь комплекс расчетов. В диссертации такая методика разработана и верифицирована на конкретных данных. Верификация показала возможности практического использования данной методики.

IV. ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Давние В.В. Адаптивное моделирование (B.S)-pbiHKa / В.В. Давние, A.M. Федосеев // Современная экономика: проблем и решения {из Перечня ВАК). - 2011. - № 6( 18). - С. 202-213.

2. Федосеев A.M. Значимость верного определения вида функции распределения приращений цен базового актива при оценке опционов / A.M. Федосеев, М.Е. Семенов, И.С. Тихомиров // Наукоемкие технологии {из Перечня ВАК).-2011.-Т. 12.-№ 1.-С. 50-53.

3. Федосеев A.M. Особенности оценки стоимости опционов на полном и неполных рынках / A.M. Федосеев, В.В. Коротких // Современная экономика: проблемы и решения. -2011. -№ 4 (16). - С. 137-144.

4. Федосеев A.M. Современные подходы к определению стоимости опционов / A.M. Федосеев, В.В. Коротких // Современная экономика: проблемы и решения. - 2011. - № 3 (15). - С. 162-170.

5. Давние В.В. Вопросы портфельного инвестирования на биномиальных рынках /В.В. Давние, A.M. Федосеев // Анализ, моделирование и прогнозирование экономических процессов: материалы II международной научно-практической интернет-конференции. - Воронеж: ЦНТИ, 2010. - С 125127.

6. Федосеев A.M. Определение законов распределения приращений цен активов (на примере акций Сбербанка) / A.M. Федосеев // Экономическое прогнозирование: модели и методы: материалы V международной научно-практической конференции: в 2 ч. - Воронеж: Воронеж, гос. ун-т, 2009. Ч. 1.-С. 277-281.

7. Сысоева Е.Ф. Применение опционных стратегий в условиях российского фондового рынка / Е.Ф. Сысоева, A.M. Федосеев // Совершенствование финансово-кредитных отношений: сборник статей международной научно-практической конференции. - Воронеж: Истоки, 2008. - С. 84-87.

Подписано в печать 29.11.11. Формат 60^84 '/к,. Усл. иеч. л. Тираж 100 экз. Заказ 1530.

Отпечатано с готового орш инал-макста в типофафии Издатсльско-полгпрафичсского исшра Воронежского государственного университета. 394000, Воронеж, ул. Пушкинская, 3

Диссертация: содержание автор диссертационного исследования: кандидата экономических наук, Федосеев, Александр Михайлович

ВВЕДЕНИЕ.

1. СОВРЕМЕННЫЙ РЫНОК ДЕРИВАТИВОВ И МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ОЦЕНКИ ИХ СТОИМОСТИ.

1.1. Рынок деривативов: сущность и структура.

1.2. Особенности функционирования рынка опционов.

1.3. Современные модели оценки стоимости опционов.

2. АДАПТИВНЫЕ РЕГРЕССИОННЫЕ МОДЕЛИ В ЗАДАЧАХ ОЦЕНКИ СТОИМОСТИ ОПЦИОНОВ В УСЛОВИЯХ ПОЛНОГО И НЕПОЛНОГО РЫНКА.

2.1. Эконометрический вариант модели (В,Э)-рынка.

2.2. Адаптивное моделирование (В, 5)-рынка.

2.3. Комбинированное оценивание стоимости опционов с использованием многоствольного биномиального дерева.

3. ВЕРИФИКАЦИЯ АДАПТИВНОГО РИСК-ТРЕНДОВОГО ОЦЕНИВАНИЯ ОПЦИОНОВ НА ПОЛНОМ И НЕПОЛНОМ РЫНКЕ.

3.1. Основные процедуры и вычислительный эксперимент адаптивного риск-трендового оценивания опционов на полном рынке.

3.2. Методика и вычислительный эксперимент комбинированного оценивания опционов на неполном рынке.

Диссертация: введение по экономике, на тему "Адаптивное моделирование (B,S)-рынка в задачах риск-нейтрального и риск-трендового оценивания опционов"

Актуальность темы исследования. Опционы, несмотря на их отнесение к факторам системного риска мировой финансовой системы, продолжают оставаться самым востребованным инструментом на фондовом рынке. Значительная часть спекулятивных возможностей торговли производными финансовыми инструментами реализуется через опционы. Идеи, заложенные в теорию ценообразования опционов, используются не только на фондовом рынке, но и за его пределами при оценке стоимости так называемых реальных опционов. Термин «справедливая цена», которым часто называют теоретическую стоимость опционов, играет роль почти непреодолимого барьера для критического взгляда на методику, применяемую фондовой биржей в соответствующих расчетах. И все же критический взгляд есть.

Интересы инвесторов и биржи не всегда совпадают. Биржа, следуя рекомендациям теории полного рынка, торгует опционами с различными страйками. Это создает потенциал абсолютной защиты, но выбор из этого потенциала остается за инвестором. Используемый биржей адаптированный вариант формулы Блэка - Шоулза позволяет разделить спрос и предложение исходя из текущей ситуации без учета действующих на рынке трендов. Но надежность этого разделения не обсуждается, что оставляет открытым вопрос об адекватности результатов моделирования. Это создает условия неопределенности, в которых начинают доминировать спекулятивные операции, снижающие эффективность рынка как универсального регулятора экономики.

Для повышения надежности необходимы расчеты с применением альтернативного подхода. Такой подход есть (СШ1-модель), но он не используется в расчетах проводимых биржей. Однако на основе этой модели удается реализовать эконометрический подход, в рамках которого тестируется адекватность. Кроме того, эконометрический вариант СЯЯ-модели позволяет получать риск-трендовые оценки стоимости опционов, которые могут использоваться инвесторами для обоснования принимаемого решения.

Сложность применения эконометрического варианта CRR-модели в том, что биржа, компенсируя недостаток надежности частотой расчетов, создает проблему воспроизведения этой частоты. Эффективным решением данной проблемы является адаптивный подход, обеспечивающий необходимую корректировку с требуемой частотой. Поэтому разработка адаптивной модели (В,8)-рынка является актуальной научной задачей.

Степень разработанности проблемы. Современная теория оценивания стоимости опционов была заложена в работах Ф. Блэка, М. Шоулза, Р. Мер-тона, Дж. Кокса, С. Росса, М. Рубинштейна. Предложенные этими учеными модели до сих пор используются в практической деятельности фондовых бирж, а концепция риск-нейтрального оценивания исследовалась в работах зарубежных (С. Вайна, Дж. Грэби, Ш. Натенберга, А. Такера, Дж. Халла) и отечественных (А.Н. Буренина, В.А. Галанова, Д.Ю. Голембиовского, A.B. Мельникова, А.Б. Фельдмана, А.Н. Ширяева, Л.П. Яновского) ученых.

Разработанные в рамках концепции риск-нейтрального оценивания моv дели для своего корректного применения требуют выполнения достаточно идеализированных предположений, гарантирующих полноту срочного рынка. Поэтому в настоящее время ведутся исследования, замысел которых предусматривает расширение границ практической реализации идей надежного хеджирования, в том числе, на неполных рынках и за рамками рынка. Те результаты, которые уже получены, носят пока теоретический- характер и в основном не касаются вопросов практического использования.

В диссертации исследуется подход,предусматривающий оценку стоимости опционов на основе адаптивного эконометрического моделирования, что обеспечивает без нарушения корректности адекватность получаемых результатов.

Объект исследования - динамика базовых активов опционов.

Предмет исследования - аппарат адаптивного моделирования и возможности его использования для оценки стоимости опционов в условиях полного и неполного рынка.

Цель исследования - развитие математического аппарата оценивания опционов в условиях полного и неполного рынка.

Цель исследования предопределила необходимость решения следующих основных задач: провести анализ разработанного к настоящему времени аппарата оценки стоимости опционов на полных и неполных рынках и выделить то направление, которое следует развивать; предложить модель, которую можно было бы использовать в качестве начального приближения при построении адаптивной модели (В,8)-рынка; разработать адаптивную модель, обеспечивающую воспроизведения скачкообразных изменений в динамике базового актива; предложить схему, позволяющую методику оценивания на полном рынке адаптировать к ситуации неполного рынка; разработать методику оценивания стоимости опционов, базирующуюся на адаптивной модели; провести верификацию предлагаемых моделей и методик.

Область исследования. Содержание диссертации соответствует пункту

1.6 «Математический анализ и моделирование процессов в финансовом секторе экономики, развитие метода финансовой математики и актуарных расчетов» специальности 08.00.13 Математические и инструментальные методы экономики Паспорта специальностей ВАК РФ.

Теоретической и методологической основой исследования послужили современные достижения экономической и математической науки, содержащиеся в трудах отечественных и зарубежных ученых по теории финансовых рынков и проблемам его моделирования, инвестиционному менеджменту в целом и оцениванию стоимости опционов в частности. Для решения поставленных задач прикладного исследования применялись методы эконометрического моделирования, адаптивного прогнозирования. Расчеты проводились с использованием программно-инструментальных средств MS Excel и Statistica.

Информационную базу исследования составили данные информационно-аналитических материалов по исследуемой проблеме, представленные в научной литературе, периодической печати и сети Интернет, в частности, данные, размещенные на сайте Российской торговой системы (www.rts.ru).

Научная новизна исследования состоит в разработке адаптивного подхода к моделированию стоимости опционов в ситуации комбинирования условий полного и неполного рынка в зависимости от приближения текущего момента к моменту экспирации опциона, что обеспечило более высокую точность получаемых оценок.

Научная новизна реализована в следующих результатах, полученных лично автором:

1. Предложена эконометрическая модель специального вида, описывающая альтернативную динамику базового актива на фондовом рынке и используемая в качестве начального приближения адаптивной модели (B,S)~ рынка.

2. Разработана вероятностная модель (B,S)~ рынка со ступенчатым адаптивным трендом и дополнительной локальной корректировкой, позволяющая воспроизводить скачкообразные изменения в динамике базового актива, происходящие как между торговыми днями, так и внутри торгового дня.

3. Предложена комбинированная схема оценивания стоимости опционов на основе многоствольного биномиального дерева, понятие которого введено в процессе исследования возможностей применения методики оценивания на полном рынке к ситуациям неполного рынка.

4. Разработана методика риск-трендового оценивания стоимости опционов на основе адаптивной модели (Д5)-рынка и комбинированной схемы расчетов, предусматривающей применение методики риск-нейтрального оценивания на полном рынке в условиях неполного.

Теоретическая значимость исследования определяется введением в научный оборот нового понятия «многоствольное биномиальное дерево», а также разработкой новых и адаптацией известных моделей, используемых в задачах оценки стоимости опционов. Полученные результаты формируют научно-методическую основу дальнейших исследований, ориентированных на развитие и совершенствование математического аппарата оценки стоимости опционов на полных и неполных рынках.

Практическая значимость исследования заключается в том, что его результаты, доведенные до уровня практических рекомендаций и конкретных методик расчета оценки стоимости опционов, могут быть использованы участниками рынка опционных контрактов.

Апробация и внедрение результатов исследования. Основные результаты работы прошли апробацию и получили положительную оценку на семинарах и научных сессиях в Воронежском государственном университете; международных научно-практической конференциях: «Анализ, моделирование и прогнозирование экономических процессов» (Воронеж, 2010), «Экономическое прогнозирование: модели и методы» (Воронеж, 2009), «Совершенствование финансово-кредитных отношений» (Воронеж, 2008).

Работа выполнялась в соответствии с комплексной программой научных исследований кафедры информационных технологий и математических методов в экономике Воронежского государственного университета «Математическое моделирование и информационные технологии в управлении экономическими процессами».

Основные результаты исследования используются в учебном процессе Воронежского государственного университета.

Публикации. По теме диссертационного исследования опубликовано 9 работ, в том числе 2 статьи в журналах, рекомендованных ВАК РФ.

Структура и содержание работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, библиографического списка из 142 наименований.

Диссертация: заключение по теме "Математические и инструментальные методы экономики", Федосеев, Александр Михайлович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе на основе выполненных теоретических и прикладных исследований в области адаптивного моделирования (В,5!)-рынка сформулированы выводы, заключающиеся в следующем:

1. Важнейшими характеристиками модели (Д£)-рынка являются скачкообразные изменения цены базового актива. Именно эти характеристики используются для определения риск-нейтральной вероятности, по которой строится биномиальное дерево и оценивается риск-нейтральная стоимость опциона. Поэтому к эконометрической модели (Д5)-рынка предъявляется ряд требований. Прежде всего, она должна отражать природу изменения этой скачкообразной величины. Кроме того, эконометрическая модель - это начальное приближение адаптивной модели и при ее построении нужно учитывать это обстоятельство. Нужно также учитывать, что эконометрика не исключает ситуации, когда один и тот же процесс может описываться несколькими адекватными моделями. Предложенные в диссертации эконометриче-ские модели учитывали все эти требования.

2. Необходимость применения адаптивной модели для расчета характеристик, используемых при построении биномиального дерева, возникла в связи с частотой расчетов проводимых биржей. Исследования показали, что дело не только в частоте, но и в природе моделируемого процесса. Расчеты, проводимые внутри торгового дня, отличаются от расчетов, проводимых при переходе от одного торгового дня к другому. Естественно, это нашло отражение в адаптивной модели. Адаптивная модель (В,Б)- рынка имеет два адаптивных механизма с различными принципами адаптации. В одном используется обратная связь, а в другом - целевое изменение рассчитываемых значений. Можно считать, что построенные в диссертации адаптивные модели (В,8)- рынка образуют отдельный класс, применяемый для моделирования стоимости опционов.

3. Биржи для расчета теоретической цены опциона используют формулу Блэка — Шоулза с использованием специальной процедуры определения подразумеваемой волатильности. Методика, основанная на СШ^-модели, в практических расчетах не используется. Адаптивная модель (В,Б)- рынка открывает такую возможность. Но есть еще одна проблема. По мере приближения текущего момента к экспирации опциона катастрофически теряется точность расчетов вне зависимости от того, по какой из моделей они осуществлялись. Выход из данной ситуации при использовании адаптивного варианта СЮ^.-модели оказался довольно оригинальным. Смысл выхода в отказе от жестких условий полного рынка, когда текущий момент близок к моменту экспирации. Это превращает последовательный расчет стоимости опционов в комбинированную процедуру.

4. Применение для оценки риск-трендовой стоимости опционов адаптивной модели значительно усложнило схему расчетов с использованием биномиального дерева.- А необходимость применения комбинированной схемы, в которой, используется многоствольное биномиальное дерево, однозначно потребовала разработку специальной методики, интегрирующей весь комплекс расчетов. В диссертации такая методика разработана и верифицирована на конкретных данных. Верификация показала возможности практического использования данной методики.