Эконометрическое моделирование эволюции цен в задачах оценки опционов тема диссертации по экономике, полный текст автореферата

Автореферат диссертации по теме "Эконометрическое моделирование эволюции цен в задачах оценки опционов"

003454078

На правах рукописи

СУРКОВ Павел Викторович ^

ЭКОНОМЕТРИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭВОЛЮЦИИ ЦЕН В ЗАДАЧАХ ОЦЕНКИ ОПЦИОНОВ

Специальность 08.00.13 - Математические и инструментальные методы экономики

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата экономических наук

2 1;:

Воронеж-2008

003454078

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Воронежский государственный университет»

Научный руководитель доктор экономических наук, профессор

Давние Валерий Владимирович

Официальные оппоненты. доктор экономических наук, профессор

Толстых Татьяна Николаевна;

кандидат экономических наук, доцент Булгакова Ирина Николаевна

Ведущая организация Государственное образовательное учрежде-

ние высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный университет экономики и финансов»

Защита состоится 12 декабря 2008 года в 16-00 часов на заседании диссертационного совета ДМ 212.038.21 при Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Воронежский государственный университет» по адресу: 394068 г. Воронеж, ул. Хользунова, 40, ауд. 225.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Воронежский государственный университет».

Автореферат разослан 11 ноября 2008 года.

Ученый секретарь —V

диссертационного совета В И. Тинякова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы исследования. Рынок производных финансовых инструментов является одним из самых важных сегментов современного финансового рынка. Объемы торгов на срочном рынке превышают обороты на рынках базисных активов По общему мнению, такой успех срочные контракты получили благодаря тому, что торговля ими способствует снижению общего системного риска на финансовом рынке

Целенаправленная взаимосвязь операций, проводимых на срочном рынке, с операциями фондового рынка стала новым импульсом в развитии рыночной модели инвестирования. Гибкость производных финансовых инструментов и предоставляемые на их основе новые возможности конструирования сложных финансовых операций предъявили новые требования к инвесторам. Не случайно тех, кто работает со срочными контрактами, относят к элите фондового рынка.

С появлением опционов инвесторы получили, наконец, инструмент, использование которого позволяло строить эффективные стратегии управления риском. Увлечение хеджированием и абсолютная вера в него привели к ситуации, когда границы самоуверенности инвесторов достигли области риска, и они относили маловероятные события к невозможным. Допускаемые ошибки были следствием пренебрежения теоретическими положениями, которые, кстати, имеют сложную содержательную интерпретацию Поэтому одновременно с решением вопросов по развитию срочного рынка возникла необходимость в развитии прикладных аспектов современной теории финансов.

Эконометрическое моделирование является как раз тем инструментом, с помощью которого можно проверить согласованность теоретических концепций с реальностью финансового рынка. В силу этого исследования, основанные на идеях эконометрического моделирования, относятся к разряду актуальных.

Степень разработанности проблемы. Фундамент исследований по оценке опционов и их использованию в задачах построения хеджирующих стратегий был заложен работами Ф. Блэка, М. Шоулза, Р. Мертона, Дж. Кокса, С. Росса, М. Рубинштейна. Вклад российских ученых в решение этой проблемы пока не велик и представлен, в основном, работами В А. Галанова, Д Ю. Голембиовского, А В. Мельникова, Я.М. Миркина, А И. Ширяева.

Разрабатываемый в диссертации подход главным образом ориентирован не только на соблюдение корректности, но и достижение адекватности в моделировании эволюции цен базисных активов, на основе которых определяется стоимость опционов

Объектом исследования является эволюция цен финансовых активов на биномиальном рынке.

Предмет исследования - математический аппарат моделирования эволюции цен финансовых активов

Целью диссертационного исследования является развитие математического аппарата оценки стоимости опционов

Для реализации цели диссертационного исследования поставлены и решены следующие задачи.

- анализ развития и современного состояния российского рынка производных финансовых инструментов;

- рассмотрение современных подходов к оценке опционов;

- построение процедуры предпрогнозной обработки исторических данных, отражающих рыночную динамику цен на финансовые активы;

- разработка эконометрического варианта биномиальной модели эволюции цен базисных активов;

- реализация адаптивного подхода к прогнозированию эволюции цен на биномиальном рынке;

- разработка подхода к прогнозированию волатильности цен финансовых активов в случае слабой тестируемости гетероскедастичности;

- создание методики оценки опционов на основе эконометрической модели мультитрендовых процессов;

- верификация предлагаемых моделей, методик и процедур. Область исследования. Диссертационная работа выполнена в рамках п

1.6. «Математический анализ и моделирование процессов в финансовом секторе экономики ...», п 1.9 «Разработка и развитие математических методов и моделей анализа и прогнозирования развития социально-экономических процессов общественной жизни...» паспорта специальности 08 00.13 - «Математические и инструментальные методы экономики»

Теоретико-методологическую основу исследования составили труды отечественных и зарубежных ученых по вопросам анализа фондового рынка, рынка производных финансовых инструментов, хеджирования рисков, эконометрического моделирования, адаптивного прогнозирования финансовых временных рядов, экспертного оценивания.

Инструментарно-методический аппарат. При разработке математического аппарата оценки опционов применялись методы эконометрического моделирования, адаптивного прогнозирования финансовых временных рядов, элементы теории вероятностей и математической статистики. Расчеты проводились с использованием программно-инструментальных средств MS Excel и ST ATI STIC А.

Информационно-эмпирическую базу исследования составили архивы котировок акций, размещенные на web-сайтах Российской торговой системы (www.rts.ru) и РИА «РосБизнесКонсалтинг» (www rbk ru)

Научная новизна исследования состоит в разработке эконометрического подхода к моделированию эволюции цен на биномиальном рынке, обеспечи-

вающего в рамках теории риск-нейтрального оценивания повышение уровня адекватности принимаемых решений по оценке стоимости опционов

Научную новизну содержат следующие результаты диссертационного исследования:

- эконометрическая модель двухуровневого процесса эволюции цен на биномиальном рынке, позволяющая уточнить величину риск-нейтральной вероятности, используемой при оценке стоимости опционов;

- прогнозная модель с усредненной реакцией адаптивного механизма, позволяющая повысить экстраполяционную точность процессов, отражающих скачки в динамике доходности финансовых активов;

- процедура скользящего сглаживания финансовых временных рядов, предусматривающая замену каждого текущего значения математическим ожиданием дискретной случайной величины, имеющей биномиальный закон распределения Обладая памятью, сглаженные таким образом временные ряды обеспечивают возможность построения прогнозных моделей с высоким уровнем адекватности,

- комбинированная модель для прогнозирования волатильности базисного актива в случае, когда АЛСН-эффекты в динамике доходности этого актива слабо тестируемы. Предлагаемая модель обеспечивает получение прогнозных оценок волатильности, которые можно использовать в модели Блэка-Шоулза при оценке стоимости опциона взамен рекомендуемой «внутренней» волатильности;

- методика определения прогнозной стоимости опциона на основе муль-титрендовых прогнозных расчетов и вероятностной оценки их реальности. В методике не используется понятие риск-нейтральной вероятности, поэтому прогнозные оценки стоимости опционов, получаемые с помощью предлагаемой методики, могут рассматриваться как альтернативные оценкам СЯЯ-модели, учитываемые при обосновании инвестиционных решений.

Теоретическая значимость диссертации состоит в том, что отдельные результаты работы задают ориентиры развития математического аппарата оценки стоимости опционов, в частности, наиболее перспективным представляется комбинированное использование методов эконометрического моделирования, адаптивного прогнозирования и процедур экспертного оценивания

Практическая значимость исследования определяется тем, что результаты, доведенные в диссертации до уровня методик и алгоритмов построения моделей, могут быть использованы участниками рынка деривативов в качестве дополнительного инструментария оценки стоимости опционов, способствующего снижению уровня издержек при хеджировании инвестиционных рисков

Апробация результатов работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на семинарах и научных сессиях в Воронежском государственном университете, международных научно-практических конференциях «Совершенствование финансово-кредитных отношений» (Воронеж, 2008), «Инно-ватика» (Ульяновск, 2008), «Экономическое прогнозирование' модели и методы» (Воронеж, 2008), всероссийской научно-практической конференции «Электронный бизнес, проблемы, развитие и перспективы» (Воронеж, 2007)

Внедрение результатов исследования. Методика прогнозирования эволюции рыночных цен на финансовые активы и их волатильности рекомендована к использованию Филиалом ОАО «ГУТА-БАНК» в г Тамбове в качестве дополнительного инструмента поддержки принятия инвестиционных решений, что подтверждается справкой о внедрении

Публикации. По теме диссертационного исследования опубликовано 6 работ, в том числе 1 статья в журналах, рекомендованных ВАК РФ Список публикаций приведен в конце автореферата Лично соискателю принадлежат работы [4, 6]. Остальные работы выполнены в соавторстве В [1] соискатель разработал модель с комбинированной структурой, позволяющей оценивать ожидаемые варианты стоимости финансовых активов и вероятности реальности этих вариантов, в [2] предложил подход к расчету цены минимального хеджирования и определению на ее основе справедливой цены опциона, в [3] обосновал возможность использования биномиальной модели рынка для оценки эффективности бизнес-проектов, в [5] предложил для моделирования биномиального рынка использовать регрессионную модель с локально действующим адаптивным механизмом.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованной литературы из 160 наименований, приложения. Текст диссертации изложен на 150 страницах, содержит 18 таблиц и 2 рисунка.

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, определены предмет и объект исследования, сформулирована цель и поставлены задачи, решение которых необходимо для ее достижения, раскрыта научная новизна и практическая значимость результатов исследования.

В первой главе рассматриваются основные этапы развития рынка производных финансовых инструментов, проводится классификации опционов и делается критический анализ современным подходам к оценке стоимости опционов

Во второй главе исследуются возможности эконометрического моделирования стоимости финансовых активов в условиях, когда выполняются основные предпосылки, лежащие в основе построения модели биномиального рынка. Предлагаются эконометрический и адаптивный варианты прогнозных моделей эволюции цен на этом рынке

В третьей главе рассматриваются возможности использования экономет-рических моделей специального вида в задачах определения стоимости опционов с помощью формулы Блэка-Шоулза и модели Кокса-Росса-Рубинштейна Представлены результаты верификации, подтверждающие возможность использования предложенных моделей в расчетах стоимости опционов в зависимости от цен базисных активов.

В заключении изложены основные научные результаты и выводы диссертационного исследования.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Эконометрическая модель двухуровневого процесса эволюции цен на биномиальном рынке

Вопрос прогнозирования при рассмотрении инвестиционных задач на финансовом рынке всегда был первостепенным. Его решение связывают с возможностью управлять рисками. К сожалению, успехи в этом направлении очень скромные. Каждый новый метод, вселив надежду в инвестора и не преодолев очередной «кураж» рыночной динамики, вновь и вновь убеждает нас в господстве случая.

В условиях неопределенности, порождаемой недостаточной точностью прогнозных оценок, для поддержания инвестиционной активности разработаны технологии построения специальных стратегий хеджирования, обеспечивающих определенные гарантии инвесторам. Реальность этих стратегий рождает у непосвященных мнение о бесполезности прогнозов. Без сомнения, это ошибочное мнение. Предлагаемая ниже эконометрическая модель биномиального рынка показывает, каким образом при сохранении основных свойств модели можно во всех расчетных схемах использовать прогнозные оценки Кроме того, появляется возможность измерения адекватности построенной модели реальному рыночному процессу. Этот вопрос не рассматривается при описании биномиальной модели, но в попытках практического ее использования интерес к нему резко возрастает

На формальном уровне биномиальная модель в некотором смысле представляет собой аналог известной в теории вероятностей схемы Бернулли. Она строится в предположении, что на рынке финансовые операции осуществляются с банковским счетом В = (Д„);;>0 и одной акцией, цену которой будем обозначать 5 = (5„)„>0. Такой рынок принято называть биномиальным и обозначать (В,Б)- рынок.

Описание эконометрического подхода начнем с выяснения, какие переменные биномиального рынка имеет смысл описывать с помощью эконометри-

ческой модели Понятно, что банковский счет В = (В„)„>о, имея детерминированную динамику, описываемую уравнением

Вп={\+гп)Вп_ъ (1)

(г„- безрисковая процентная ставка) без труда определяется в любой момент времени и, поэтому не представляет интереса для эконометрического моделирования. Иная ситуация с ценой акции, которая в соответствии с уравнением

Я,, =(1+ />,,) (2)

(рп-доходность базисного актива) является случайной величиной, и поэтому для любого упреждающего момента времени корректно говорить только о прогнозной оценке. В принципе можно предложить несколько прогнозных моделей, обеспечивающих получение этих оценок с некоторым уровнем надежности. Однако перед нами стоит совсем другая задача Требуется построить эко-нометрический вариант СЛЯ-моделн, специфика которой предусматривает альтернативную динамику стоимости акций, с известным законом распределения альтернативных вариантов.

Как известно, эконометрический подход для своей реализации требует исторических данных, которые заведомо не содержат альтернативные варианты, и, следовательно, вопрос о возможной их идентификации требует специального исследования. Прежде всего, следует обратить внимание на то обстоятельство, что будущее в отличие от прошлого всегда многовариантно и в силу этого несет в себе неопределенность Однако в каждом моменте прошлого находит отражение только один из возможных вариантов альтернативного будущего. Следовательно, альтернативные варианты будущего не исчезают бесследно, они распределены по всему горизонту прошлого случайным образом Это требует применения специальных приемов при построении эконометрической модели, отражающей альтернативность моделируемого процесса.

В биномиальной модели рассматривается всего два варианта стоимости, по которой торгуются акции Естественно, альтернативность будущего значительно богаче, однако многие расчеты, проводимые с помощью СЯЯ-модели, ориентированы именно на двухуровневое представление цены. Поэтому данный момент должен найти отражение в ниже рассматриваемой модели Мы не будем стремиться к установлению фиксированных уровней, но в соответствии с теми колебаниями цен, которые имеют место на рынке ценных бумаг, будем предполагать, что стоимость акции в каждый момент времени находиться на высоком или низком уровне. Понимание того, какой уровень следует считать высоким, а какой - низким, формируется в процессе построения модели.

В общем виде простейший вариант такой модели записывается следующим образом:

5() = а0 + + с!х + 6„, (3)

где стоимость актива в «-й момент времени, 6п- случайная составляющая, характеризующая ту часть вариации моделируемого показателя, которая не объясняется в рамках данной модели; £/о>я1>с/ - параметры модели;

Г 1, в случае высокого уровня цены х = <

[-1, в случае низкого уровня цены Последовательность значений, которые переменная х принимала на протяжении исследуемого периода, по сути, образует информационный поток Гп, который необходимо воспроизвести, так как без него невозможно построение эконометрической модели (3) Воспроизведение этого потока эквивалентно пониманию того, в какие моменты времени уровень цены был высокий, а в какие низкий. Условимся считать средним значением цены текущего момента величину, которая определяется как условное математическое ожидание в зависимости от цены предыдущего момента времени 5„ = 1). В рамках нашей модели такая величина определяется авторегрессионным уравнением

Бп =а0+аД-1 (4)

Тогда в качестве индикатора, по которому определяется, каким был уровень цены, можно использовать отклонение Д5„ = Бп - Бп.

Таким образом, построение модели (4) следует осуществлять в несколько этапов. На первом этапе оценивается авторегрессионное уравнение, с помощью которого восстанавливается информационный поток

[ 1, если АБ,, > 0;

*и = 1 I Л г л (5)

[-1, если АБ„<0.

В результате этой процедуры формируются значения переменной, которой в модели отведена роль дискриминантной функции. С ее помощью различают, когда наблюдаемый уровень цены следует считать высоким, а когда низким

На втором этапе, используя в качестве значений переменной х восстановленный информационный поток, оцениваются все параметры уравнения (3). В результате получается модель

=а0 + Их„, (6)

с помощью которой воспроизводится динамика ретроспективного периода. Если точность этого воспроизведения достаточно высока, то возникает естественное желание использовать данную модель для получения прогнозных оценок. Однако, что касается перспективного периода, то для него модель позволяет рассчитать только варианты ожидаемых значений без уточнения их предпочтительности.

В биномиальной модели рынка предпочтительность вариантов определяется благодаря вероятностной мере, задаваемой бернуллиевской вероятностью. От периода к периоду величина этой вероятности остается неизменной и ее можно интерпретировать как частоту появления одного из событий, например, высокой цены. В этой интерпретации можно увидеть подсказку, в соответствии с которой вероятность следует оценивать как частоту появления высокой цены на протяжении всего исторического периода.

Будем считать, что на уровень цен существенное влияние оказывают события, происходящие за рамками финансового рынка. Причем можно почти безошибочно на качественном уровне определить направление воздействия каждого из этих событий. Реальность таких событий и возможность их качественной оценки подтверждается результатами фундаментального анализа Если далее предположить, что качественную оценку типа положительное (отрицательное) влияние, или весьма положительное (весьма отрицательное) влияние можно сопоставить с некоторым количеством баллов, то в нашем распоряжении оказывается фактор субъективно-аналитической природы.

Мы предлагаем использовать в качестве таких моделей регрессионные модели с качественной зависимой переменной, например, моделей бинарного выбора. Это связано с тем, что информационный поток, представляющий собой последовательность случайным образом чередующихся положительных и отрицательных значений единицы, может рассматриваться как зависимая переменная модели бинарного выбора. Для этого в этой последовательности необходимо провести замену -1 на 0.

Этап формирования выборочной совокупности завершается построением факторной переменной, с помощью которой можно объяснить эффекты нестабильного поведения цены В основу формирования этого фактора положено предположение о монотонной взаимосвязи его значений с отклонениями фактической цены от среднего значения, т.е некой нелинейной зависимости от величины Д5„ = 5П — Бп.

Окончательно эконометрический вариант СЯЯ-модели с логистическим распределением вероятностей записывается следующим образом.

где гп - обобщенная субъективно-аналитическая оценка состояния экономики В диссертационной работе показано, что предложенный подход повышает надежность всего комплекса расчетов, проводимых с использованием С1У1-модели.

=а0+ + (1хп + 8п;

(7)

(8)

2. Прогнозная модель с усредненной реакцией адаптивного механизма

Ниже с помощью адаптивной модели предлагается реализовать несколько иной механизм описания биномиального рынка Суть идеи заключается в том, что наблюдаемые стоимости финансового актива в каждый конкретный момент интерпретируются как отклонения от тенденции, которой следует цена данного актива. Реализация этой идеи предусматривает построение для каждого момента времени двух экстраполяционных моделей, одна из которых отражает общую тенденцию цены, а вторая - значения цены, отклоняющиеся от тенденции.

Для записи этих моделей на формальном уровне введем следующие обозначения:

=(1,5,), а,=

^ (к ^

ь<=| Г

А/.

где 5,- цена акции в момент времени /; а01, коэффициенты модели, отражающей общую тенденцию цены базового актива; Ьо,, Ьц - коэффициенты модели, отражающие локальную тенденцию в изменении цены базисного актива.

Используя введенные обозначения, можно записать модель эволюции цен на биномиальном рынке в виде двух регрессионных уравнений

5, (9)

5, =вмЬ/+5/, (10)

(И)

Ь" =а, +ДЬ"; (12)

Ъ?=а,+АЪ?, (13)

где Ь" - вектор-столбец коэффициентов модели, отражающей высокий уровень цен на базовый актив; Ъс/ - вектор-столбец коэффициентов модели, отражающей низкий уровень цен на базовый актив; ДЬ'/ - вектор-столбец, с помощью которого корректируются коэффициенты модели общей тенденции в тех случаях, когда фактическое значение цены выше цены, отражающей общую тенденцию; ЛЬ/ - вектор-столбец, с помощью которого корректируются коэффициенты модели общей тенденции в тех случаях, когда фактическое значение цены ниже цены, отражающей общую тенденцию.

Модели обладают различным потенциалом аппроксимационной точности. У второй модели этот потенциал выше, чем у первой. По предположению слу-

чайные составляющие этих моделей должны иметь неравные дисперсии, причем сгЕ> <5$ . Данное положение относится к основным в реализуемом подходе По сути, это то положение, на основе которого формируется новый взгляд на возможность описания механизма функционирования биномиального рынка Отражение этого механизм в новом его понимании осуществляется благодаря тому, что вторая модель имеет адаптивный механизм, с помощью которого корректируются прогнозные оценки первой модели, уточняя их для текущего момента времени

Финишное уравнение, используемое для получения прогнозной оценки, выглядит как обычное регрессионное уравнение

4+1=Я/Ь(/<+1, (14)

где прогнозная оценка моделируемого показателя, в качестве которого в

нашей ситуации используется стоимость актива; в,- в общем случае это расширенный вектор объясняющих переменных, в качестве которых чаще всего используются запаздывающие значения зависимой переменной либо текущие значения индекса В нашем случае это запаздывающее значение зависимой переменной, Ь¡/1+\- оценка вектора параметров прогнозной модели, рассчитанная по данным временного ряда из / наблюдений и предназначенная для прогнозирования на период ? +1.

Построение модели фактически сводится к оценке вектора параметров в котором концентрируется информация исторического характера и упреждающая информация, полученная от экспертов аналитиков финансового рынка. Чтобы понять каким образом получается такая оценка, подробно опишем всю последовательность процедур, используемых в расчетах

В соответствии с основной идеей разрабатываемого подхода, для каждого момента времени строится две модели: модель, описывающая основную тенденцию моделируемого показателя, и модель, с помощью которой рассчитываются отклонения от основной тенденции

Вначале оцениваются параметры модели основной тенденции Это осуществляется с помощью метода наименьших квадратов в скользящем режиме

Ь^фв,)-1^ (15)

где через в, обозначена матрица из I строк .

В процессе получения текущих оценок (2 34) матрица системы нормальных уравнений и правая часть досчитываются для каждого Г по рекуррентной схеме

о?)

Построенная для данного момента времени модель общей тенденции позволяет получать расчетные и прогнозные 5/+] значения цены базисного актива

5/=8,-1Ь,; (18)

(19)

С помощью, полученных таким образом расчетных значений (18), (19), формируются вспомогательные величины, необходимые с одной стороны для построения модели с локально действующим адаптивным механизмом, а с другой - для решения вопроса, связанного с формированием экспертно-аналитических оценок.

Для формирования этих вспомогательных величин рассчитываются отклонения, характеризующие аппроксимационные и экстраполяционные ошибки соответственно

АБ, = 5, -5,; (20)

Д(21)

С помощью (20) формируется текущее среднее значение абсолютного отклонения

+ (22)

используемое при построении адаптивной модели.

По отклонениям вычисляется сумма квадратов прогнозных ошибок

а^х=а}+{ Д^+1)2 (23)

Вектор параметров финишной модели (14) оценивается с помощью обычной формулы метода наименьших квадратов

Ь,/^®^)"1^ (24)

Поэтому не совсем понятно, каким образом в рамках процедуры метода наименьших квадратов удается решить вопрос отражения в оцениваемых параметрах локальных особенностей динамики моделируемого процесса. При решении этого вопроса использовался прием, основанный на специальном формировании матрицы системы нормальных уравнений и правой части этой системы

Кроме того, в оцениваемый вектор параметров «включается» информация о возможном состоянии рынка в ближайшем будущем Это осуществляется благодаря субъективным ожиданиям и технически реализуется с помощью корректировки текущего значения следующим образом-

5, =£,+(//0,5-1 )А§1 (25)

Параметр у в режиме построения модели настраивается совместно с параметром а на оптимизацию прогнозной ошибки С помощью оптимального у отслеживаются ситуации, в которых происходит разворот тренда Значения этого параметра заключены между нулем и единицей.

В режиме прогнозирования параметр у, сохраняя свое назначение, в то же время имеет другую природу и другую интерпретацию. В этом режиме он представляет собой величину вероятности, с которой может сохраниться или измениться тенденция предшествующего периода. Рассчитывается она с помощью логит-модели

у = Р(г„(1) =-; (26)

где ¿(+1 - экспертно-аналитическая оценка, обычно выражаемая в баллах специальной шкалы, с/д, йу- параметры логит-модели.

3. Процедура скользящего сглаживания финансовых временных рядов

Смысл основной идеи предлагаемой процедуры сглаживания в следующем. Предполагается, что данные, на основе которых рассчитывается сглаженное значение, являются случайными величинами и подчиняются на рассматриваемом отрезке некоторому закону распределения. Тогда, естественно, на этом отрезке за сглаженное значение принять математическое ожидание этих случайных величин. Мы будем рассматривать случай, когда наши данные на отрезке подчиняются биномиальному закону распределения.

Расчет сглаженного значения осуществляется по формуле математического ожидания

^ = (28) 1=0 1

где л,, р и д являются параметрами распределения, причем 0 < р,д <\;

1 „ г<1 иИ №=1,2,... - принимает целые положительные значения; С =-!---

биномиальные коэффициенты, рассчитываемые по формуле числа сочетаний, г, - уровень временного ряда, занимающий 1 -ю позицию в сглаживаемом отрезке данных.

Формула (28) записана для произвольной к-й строки. Предполагается, что индекс суммирования / изменяется по номерам позиций сглаживающего окна, и в расчете используются те наблюдения, которые на данном шаге занимают соответствующие позиции По сути, эта формула реализует один из вариантов взвешенного скользящего сглаживания со специально определенными весами.

Веса (вероятности биномиального закона) зависят от параметров распределения р и Л7, зависит от р и поэтому не рассматривается в качестве регулирующего параметра) Специальной настройкой этих параметров можно целенаправленно воздействовать на процесс сглаживания, добиваясь изменения эффектов долговременной памяти в нужном направлении. Это иллюстрируется табл 1.

Таблица 1

Зависимость уровня автокоррелированности в сглаженных данных от параметров биномиального закона

Компания Значения па раметра р

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

Лукойл 0,658 0,827 0,858 0,876 0,890 0,877 0,859 0,829 0,661

Газпром 0,681 0,842 0,868 0,883 0,894 0,882 0,867 0,841 0,682

МТС 0,690 0,845 0,872 0,887 0,898 0,887 0,872 0,845 0,693

НорНикель 0,675 0,840 0,869 0,884 0,897 0,886 0,870 0,842 0,679

РосТелеком 0,693 0,855 0,881 0,895 0,906 0,895 0,880 0,855 0,691

СБ Банк 0,665 0,837 0,867 0,884 0,897 0,884 0,866 0,834 0,662

СургутНГ 0,656 0,841 0,870 0,885 0,898 0,886 0,870 0,841 0,654

Из табл. 1 следует, что самые высокие значения автокорреляции получаются при р = 0,5. Сравнение коэффициентов автокорреляции полученных для сглаженных временных рядов оказалось в пользу последней процедуры сглаживания. Результат несколько неожиданный, но, безусловно, заслуживающий внимания. Механизм формирования долговременной памяти в этой процедуре сложнее, чем в скользящих средних (арифметическом и геометрическом), но достаточно понятен.

Механизм получения сглаженного значения в этой процедуре устроен таким образом, чтобы рассчитываемое текущее значение незначительно отличалось от предшествующего Это достигается благодаря тому, что на очередном шаге из множества сглаживаемых величин удаляется имеющее наименьший вес и включается новое значение с наименьшим весом. У остальных значений весовые коэффициенты изменяются, причем таким образом, что у значений первой половины этого множества весовые коэффициента уменьшаются, а у второй половины - увеличиваются. Логика так устроенного механизма сглаживания не противоречива и достаточно убедительна.

4. Комбинированная модель для прогнозирования волатильности базисного актива

Из всех параметров модели Блэка - Шоулза наиболее трудно определяемым является волатильность. В настоящее время при расчете цен опционов с помощью этой модели используется прием, предусматривающий замену фак-

тической волатильности, так называемой «подразумеваемой». В последнее время этот термин по аналогии с внутренней доходностью, используемой при оценке проектов, заменили термином «внутренняя волатильность»

Основной идеей расчета внутренней волатильности предусматривается ее определение в виде решения уравнения, которое получается, если формулу Блэка - Шоулза с неизвестной волатильностью прировнять к текущей рыночной стоимости опциона Ниже рассматривается подход, позволяющий уточнить расчеты волатильности, используя для этих целей исторические данные и модель, предложенную Инглом

Предложенная методика обеспечивает построение прогнозной модели волатильности в тех случаях, когда условная гетероскедастичность не в достаточной степени объясняется воздействием факторов технического анализа. Основное ее отличие от моделей, которые принято строить в подобных случаях, в том, что в ней используется информация, получаемая в рамках не только технического, но и фундаментального анализа В соответствии с этим моделью предусматриваются расчеты экстраполяционного характера и расчеты, основанные на экспертно-аналитической информации

Теперь результаты прогнозных расчетов используем для определения стоимости опциона с помощью модели Блэка - Шоулза. В общем случае эта модель может быть записана следующим образом.

где се - премия европейского опциона колл, S0- курс спот акции; X - цена исполнения (страйк) опциона, а - мгновенное стандартное отклонение (волатильность) доходности акции; г- непрерывно исчисляемая ставка без риска, Т- время до истечения контракта (время принято определять в виде соответствующей доли от года) ,N(d\)~ функция нормального распределения, которую обычно рассматривают с определенной степенью приближения как фактическую вероятность того, что опцион принесет выигрыш;- как риск-нейтральную вероятность того, что он будет исполнен; N{d^) - функция нормального распределения, рассматриваемая как риск-нейтральная вероятность того, что опцион будет исполнен;

се ~ S0N(dx)- Xe~rTN(d2),

(29)

Несмотря на высокий уровень сложности математического аппарата, который был использован при выводе этой формулы, содержательный смысл ее достаточно понятен, и применение ее в расчетах не вызывает затруднений

По сути, все переменные формулы Блэка - Шоулза, кроме волатильности, можно интерпретировать как начальные условия, которые не претерпевают изменений на протяжении всего периода исполнения опциона и не оказывают влияния на рыночную стоимость опциона Они не являются случайными величинами и в каждый момент времени их можно без труда определить. Волатиль-ность является неуправляемой величиной, зависящей от состояния рынка Поэтому, ее определение является главной проблемой в расчетах стоимости опциона.

Возможность использования ARCH моделей для прогнозирования волатильности высказывалась. Однако в практике моделирования динамики рынка в чистом виде эффекты условной гетероскедастичности встречаются не часто. Поэтому для практических целей предложенный подход моделирования в ситуациях, когда эффекты условной гетероскедастичности слабо тестируются, является полезным.

Известно, что прогнозы практически никогда не сбываются Но, на наш взгляд, они обладают не меньшей надежностью, чем результаты, основанные на волатильности, которая имела место в некоторый момент времени В примере, иллюстрирующем предложенный подход, прогноз рассчитывался при трех значениях экспертно-аналитической оценки Полученные результаты вполне интерпретируемы (см табл. 2). Действительно, стоимость опциона чувствительна к экспертно-аналитическим оценкам

Таблица 2

Варианты прогнозных оценок стоимости опционов

Спот Страйк Безрисковая Время в до- Волатиль- Стоимость Вероятность

цена цена ставка лях года ность опциона варианта

Экспертно-аналитическая оценка = 80

80,86 82 0,06 0,16666667 0,2524578 3,130734858 0,000155163

80,86 82 0,06 0,16666667 0,2950904 3,668551819 0,997967441

80,86 82 0,06 0,16666667 0,3322977 4,131483779 0,001877396

80,86 82 0,06 0,16666667 0,2951536 3,669343961 Взвешенная

Экспертно-аналитическая оценка = 70

80,86 82 0,06 0,16666667 0,2935335 3,649043891 Взвешенная

Экспертно-аналитическая оценка = 90

80,86 82 0,06 0,16666667 0,3142117 3,907260244 Взвешенная

Нужно также отметить, что прогнозная оценка определялась при условии, что за запаздывающее значение квадрата отклонения доходности от своего среднего уровня принималось среднее значение. Это несколько завысило про-

гнозную оценку, так как в периоде непосредственно предшествующем заключению контракта текущее среднее было ниже.

Предложенный подход позволяет получать вполне интерпретируемые результаты. Но его не следует рассматривать как альтернативу действующей методики оценки стоимости опционов с помощью модели Блэка - Шоулза. Скорее это подход, который может стать полезным инструментом для обоснования инвестиционных решений. Предоставляя возможность многовариантного анализа, этот подход «обнажает» те риски, которые опасны тем, что при использовании производных инструментов они не берутся в расчет, но довольно часто приводят к негативным последствиям

5. Методика определения прогнозной стоимости опциона

Считая эконометрическое моделирование одним из вариантов совершенствования методики риск-нейтрального оценивания опционов, рассмотрим подход, основная идея которого лежит в плоскости формирования прогнозного образа будущей стоимости опциона.

Нужно отметить, что идеи формирования прогнозного образа будущей стоимости опциона и идеи построения биномиального дерева «-этапной СШ1-модели достаточно близки. Основной ориентир этих идей - вероятностное описание мыслимых уровней стоимости опциона. Рекомендуемая точность этого описания в методике расчетов с использованием СЯЯ-модели определяется 30 - 50 периодами. Если предположить, например, что вероятность повышения цены Ри = 0,9 и на протяжении всего периода происходило только повышение цен, то вероятность такой траектории будет находиться в пределах 0,05 - 0,005, т е меньше 5%. Фактически получается, что эти рекомендации находятся в полном соответствии с теми требованиями, которые предъявляются к надежности эконометрических моделей

Чтобы понять основной смысл предлагаемого подхода и его отличие от схемы расчетов, проводимых в рамках С1Ш-модели, рассмотрим детали ее практического использования. Стоимость с0 европейского опциона колл в соответствии с этой моделью может быть определено по следующей формуле.

<ч> = [ЪС'пр]{\- р)"-' шах(0(30)

7=0

где и = 1 + ги - множитель наращения цены акции в случае, когда темп прироста равен ги \ с1 = \ + множитель понижения цены акции в случае, когда темп падения равен ; К = 1 + г - множитель наращения кредитной суммы по безрисковой процентной ставке г; р - риск-нейтральная вероятность роста цены базисного актива; 5 - текущая рыночная цена базисного актива в момент заключения опционного контракта (спот цена); Х- цена исполнения опциона.

Чтобы понять смысл предлагаемой методики, рассмотрим трехпериодную СЯЯ-модель В конце третьего периода может наблюдаться один из следующих случаев:

н35 и205, иА/Б, ¿и2 Б ис12Б, с/ис/Б, с12иБ с!3Б

с вероятностями:

р3 С2р2{\-р) С2р{\- р)2 (1 -р)3

и опционными премиями

и35 - X и2с/Б - X ис12Б - X с13Б-Х

Таким образом, стоимость опциона определяется как математическое ожидание биномиально распределенной случайной величины (премии опциона)

с0 = ръ (м35 - X) + С%р2 (1 - р)(и2с!Б ~Х) +

+ С\р{ 1 - р)2(ги12Б - X) + (1 - р)3 (Л3 Б -X). (31)

Особенность этой формулы в том, что в ней использованы риск-нейтральные вероятности, рассчитанные специальным образом

В предлагаемом подходе рассмотренная выше схема заменяется аналогичной

¿>1 $2 53 Б^

Р\ Р2 Рз Ра

5] — X — X 53 - X — X

где Б, - прогнозная оценка / -го варианта стоимости базисного актива в момент исполнения опциона; р, - прогнозная оценка вероятности того, что стоимость базисного актива в момент исполнения опциона окажется на уровне I -го прогнозного варианта.

Стоимость опциона определим в виде математического ожидания, задаваемого в нашем случае следующим выражением:

с0 = р1(БгХ) + р2(Б2-Х) + р3{БгХ)+р4(Б4-Х) (32)

Некоторые слагаемые в этом выражении в процессе расчетов в соответствии с правилом определения опционной премии обращаются в ноль.

Реализация этого подхода ориентирована на использование прогнозных оценок. Для их получения разработана комбинированная модель, формальная запись которой выглядит следующим образом.

- ) = Р/+1; (33)

5/+1 = а0 + ауБ, + а25/-1 + • • • + атБ,+1 + {кй, (34)

Рк _ ехр(г,+1Ь*) ,35ч

1+ 1ехр(г/+1ЬА)

к=О

где - к-й вариант прогнозной оценки стоимости актива; - запаздывающие значения зависимой переменной; а / - оценка У-го коэффициента регрессии; Р^ - вероятность реальности к -го варианта прогнозной оценки стоимости актива; ^ - вектор значений, которые в к -м варианте приняли фиктивные переменные, <1- вектор коэффициентов при фиктивных переменных, Ь*-оценка вектора параметров логит-модели множественного выбора к -го варианта; вектор значений, описывающий условия, ожидаемые в упреждающем периоде (по преимуществу экспертно-аналитическая оценка)

Построение мультитрендовой составляющей модели (33)-(35) осуществляется поэтапно. Пример прогнозирования стоимости базисного актива (ОАО Лукойл) приведен в табл. 3.

Таблица 3

Этапы построения мультитрендовой модели

Переменные Оценки коэффициентов модели Стандартные ошибки коэффициентов Коэффициент детерминации

Модель 0

4,8325 1,6321 0,8836

¿•1 0,9404 0,0201

Модель 1

4,9732 1,0633 0,9508

0,9376 0,0131

Х\ 1,3026 0,0657

Модель 2

¿0 4,3201 0,6969 0,9789

0,9454 0,0086

1,4353 0,0436

х2 0,8535 0,0435

Модель 3

¿0 4,3076 0,5266 0,988

0,9452 0,0065

Хх 1,5069 0,0333

х2 0,8832 0,0329

Хг 0,4838 0,0328

Для понимания логики проводимого комплекса расчетов по оценке стоимости опциона, приведем его детали при условии' средняя спот цена в предпро-гнозный период Л', =83 долл., экспертно-аналитическая оценка г = 88, страйк цена опциона X = 82 долл.

„66.39-0.76*88

Р = 1 + е308.42-4-55*88 + е254,73-3,52*88 +

8?+1=4,31+0,94*83-1,51-0,88-0,48=79,88 , Р(°+1 = -

+ е

408,42-4,55*88

:0, шах(0,5',+1 -Х) = 0,

254,73-3,52*88

5;+1=4,31+0,94*83-1,51-0,88+0,48=80,85, Р,'+1 =-«О, тах(0,£('+1 -ЛГ) = 0,

206,24-2,72*88

=4,31+0,94*83-1,51+0,88-0,48=81,65, Р,2+1 =-я 0, тах(0,5,2+1 - X) = 0,

8,3+1=4,31+0,94*83-1,51+0,88+0,48=82.62, рД, = —

178,78-2,28*88 Р

,133,72-1,64*88

¡0, тах(0,5г+| -Х) = 0,62,

Э^! =4,31+0,94*83+1,51 -0,88-0,48=82,89, Р,4+1 = -—----» 0, тах(0,- X) = 0,89,

8?+1 =4,31+0,94*83+1,51-0,88+0,48=83,86, Р,5+1

,5

Р

,99,28-1,17*1

= 0,0113, тах(0, Л'Д, - X) = 1,86,

8?+1 =4,31+0,94*83+1,51+0,88-0,48=84,66, Р,6+1 = "

66,39-0,76*88

■ = 0,3 594, тах(0,5,6+1 - X) = 2,66,

8,7+1=4,31+0,94*83+1,51+0,88+0,48=85,63, Р,7+1 =^ = 0,6291, тах(0,5'(0+1-Л') = 3>63, с0 = 0 • 0,62 + 0 • 0,89 + 0,0113 • 1,86 + 0,3594 • 2,66 + 0,6291 ■ 3,63 = 3,26

В компактном виде результаты этих расчетов приведены в табл. 4.

Таблица 4

Расчет прогнозной стоимости опциона

Варианты Факторы Прогнозные оценки Вероятность Ожидаемая премия

Х2

0 1 81 -1 -1 -1 77,9955 0,0000 0,0000

1 1 81 -1 -1 1 78,9633 0,0000 0,0000

2 1 81 -1 1 -1 79,7620 0,0000 0,0000

3 1 81 -1 1 1 80,7298 0,0000 0,7298

4 1 81 1 -1 -1 81,0094 0,0288 1,0094

5 1 81 1 -1 1 81,9772 0,4471 1,9772

6 1 81 1 1 -1 82,7758 0,5220 2,7758

7 1 81 1 1 1 83,7436 0,0021 3,7436

Коэффициенты модели 4,3076 0,9452 1,5069 0,8832 0,4839

Цена опциона 2,3697

Полученная прогнозная оценка стоимости опциона мало отличается от того результата, который имел бы место б случае его исполнения (с0 = 3,26, с0 = 3,35 ). Следовательно, методика прогнозирования стоимости опциона вполне может использоваться в практике обоснования инвестиционных решений.

Однако предлагаемая методика она не подменяет расчеты на основе риск-нейтральной вероятности, а лишь позволяет сравнить их с вариантами, основанными на упреждающих данных экспертно-аналитического типа. Ее основное назначение - получение дополнительной информации о возможных ситуациях, с которыми инвестор может столкнуться в будущем.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

В диссертационной работе на основе выполненных теоретических и прикладных исследований в области эконометрического моделирования эволюции цен на биномиальном рынке и применения результатов моделирования для получения прогнозных оценок стоимости опционов сформулированы выводы, заключающиеся в следующем:

1. Сложность математического аппарата, лежащего в основе вывода формулы Блэка-Шоулза и построения модели Кокса-Росса-Рубинштейна превращает процесс определения стоимости опционов с помощью этих формул в таинственную процедуру, не терпящую критических взглядов инвесторов-практиков. Это является сдерживающим фактором исследований, направленных на совершенствование данного аппарата.

2 По своей природе оценки стоимости опционов являются величинами, реальность которых отнесена в будущее и поэтому, в соответствии с логикой эконометрических измерений, должны обладать свойствами прогнозных оценок. В то же время, выполняя роль установленной цены, они должны всеми участниками рынка однозначно интерпретироваться Поэтому введенное понятие риск-нейтрального оценивания, снимающее эту противоречивость, должно рассматриваться в качестве основного принципа определения стоимости опционов

3 Стоимость опциона, определяемая по стоимости базисного актива, подвержена рыночным колебаниям, и поэтому инвестиционные решения, связанные с опционами, требуют прогнозных обоснований. Используемые для этих целей исторические данные должны подвергаться специальной обработке, предусматривающей их предварительное сглаживание.

4 Используемый метод определения внутренней волатильности при оценке стоимости опционов с помощью формулы Блэка-Шоулза, скорее всего, следует отнести к частному приему, позволяющему осуществлять в некотором смысле колибровку модели с целью получения разумных оценок Поэтому ак-

туальным остается вопрос разработки альтернативных способов прогнозирования волатильности, например, на основе идей ARCH-моделирования.

5 Оставляя за риск-нейтральным оцениванием доминирующую роль в задачах определения стоимости опционов имеет смысл развивать на основе эко-нометрического моделирования методы, позволяющие повысить точность параметров, используемых в модели Кокса-Росса-Рубинштейна

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Публикации в изданиях, рекомендуемых ВАК РФ

1. Давние В В. Эконометрический вариант биномиальной модели эволюции цен на финансовом рынке / В.В. Давние, П В. Сурков // Научно-технические ведомости Санкт-Петербургского государственного политехнического университета -2007 -№3 -Т 2,- С. 144-150 (0,8 п л/0,5 п.л )

Публикации в других изданиях

2. Давние В.В Эконометрический подход к задаче хеджирования платежных обязательств / В.В. Давние, П В Сурков // Социально-экономическое развитие России в XXI веке: сб статей VI Всерос. науч -практ конф - Пенза: При-волж Дом знаний, 2007. - С 27-30 (0,2 п л / 0,1 п.л.).

3. Давние В В. Оценка эффективности интернет-проектов с использованием биномиальной модели / ВВ. Давние, М.А. Мартынова, П.В Сурков // Электронный бизнес: проблемы, развитие, перспективы: материалы VI Всерос науч -практ. конф. - Воронеж: ИПЦ Воронеж гос. ун-та, 2007. - С. 63-67(0,3 п.л./ 0,1 пл.).

4. Сурков ПВ Построение хеджирующих стратегий с использованием прогнозных оценок / П В Сурков // Совершенствование финансово-кредитных отношений: сб статей междунар. науч -практ. конф. - Воронеж Изд-во «Истоки», 2008. - С. 68-72 (0,2 п л.).

5. Давние В В Адаптивное моделирование биномиального рынка / ЭР Вартанова, П В. Сурков // Экономическое прогнозирование- модели и методы: материалы IV междунар. науч -практ конф. - Воронеж: ИПЦ Воронеж, гос. унта, 2008 - Ч. II. - С 33-43 (0,6 п.л./0,3 п л.).

6. Сурков П В. Прогнозирование временных рядов с альтернативной динамикой роста / П.В. Сурков // Инноватика - 2008: труды междунар. конф. -Ульяновск: Ульянов гос ун-т, 2008.-С 325-326 (0,1 п л.).

Подписано в печать 10 11 08 Формат 60*84 '/[6 Уел печ л 1,6 Тираж 120 -на Заказ 2136

Огпеча rano с 1 otoboi о оригинала-макета в типографии Издзтсльско-полиграфического Петра Воронежского t осу дарственно! о университета. 394000, Воронеж, ул 11ушкинская, 3

Диссертация: содержание автор диссертационного исследования: кандидата экономических наук, Сурков, Павел Викторович

ВВЕДЕНИЕ.

1. РАЗВИТИЕ РЫНКА ДЕРИВАТИВОВ И

ПОДХОДЫ К ЕГО МОДЕЛИРОВАНИЮ.

1.1. Зарождение и развитие рынка производных финансовых инструментов.

1.2. Основные функции и классификация опционов.

1.3. Современные подходы к оценке стоимости опционов.

2. ПРОГНОЗНЫЕ МОДЕЛИ ЦЕН БАЗИСНЫХ АКТИВОВ

В УСЛОВИЯХ БИНОМИАЛЬНОГО РЫНКА.

2.1. Адекватность и корректность в задачах моделирования динамики финансовых рынков. 40,

2.2. Эконометрический вариант биномиальной модели эволюции цен базисных активов.

2.3. Локально адаптивное прогнозирование эволюции цен на биномиальном рынке.

3. ОЦЕНКА СТОИМОСТИ ОПЦИОНОВ

НА ОСНОВЕ ПРОГНОЗНЫХ РЕШЕНИЙ.

3.1. Анализ и предпрогнозная обработка данных рыночной динамики цен на базисные активы.

3.2. Прогноз волатильности цен базисных активов при слабой тестируемости гетероскедастичности.

3.3. Методики оценки опционов на основе эконометрической модели мультитрендовых процессов.

Диссертация: введение по экономике, на тему "Эконометрическое моделирование эволюции цен в задачах оценки опционов"

Актуальность темы исследования. Рынок производных финансовых инструментов является одним из самых важных сегментов современного финансового рынка. Объемы торгов на срочном рынке превышают обороты на рынках базисных активов. По общему мнению, такой успех срочные контракты получили благодаря тому, что торговля ими способствует снижению общего системного риска на финансовом рынке.

Целенаправленная взаимосвязь операций, проводимых на срочном рынке, с операциями фондового рынка стала новым импульсом в развитии рыночной модели инвестирования. Гибкость производных финансовых инструментов и предоставляемые на их основе новые возможности конструирования * сложных финансовых операций предъявили новые требования к инвесторам. Не случайно тех, кто работает со срочными контрактами, относят к элите фондового рынка.

С появлением опционов инвесторы получили, наконец, инструмент, ис- , пользование которого позволяло строить эффективные стратегии управления риском. Увлечение хеджированием и абсолютная вера в него привели к ситуации, когда границы самоуверенности инвесторов достигли области риска, и они относили маловероятные события к невозможным. Допускаемые ошибки были следствием пренебрежения теоретическими положениями, которые, кстати, имеют сложную содержательную интерпретацию. Поэтому одновременно с решением вопросов по развитию срочного рынка возникла необходимость в развитии прикладных аспектов современной теории финансов.

Эконометрическое моделирование является как раз тем инструментом, с помощью которого можно проверить согласованность теоретических концепций с реальностью финансового рынка. В силу этого исследования, основанные на идеях эконометрического моделирования, относятся к разряду актуальных.

Степень разработанности проблемы. Фундамент исследований по оценке опционов и их использованию в задачах построения хеджирующих стратегий был заложен работами Ф. Блэка, М. Шоулза, Р. Мертона, Дж. Кокса, С. Росса, М. Рубинштейна. Вклад российских ученых в решение этой проблемы пока не велик и представлен, в основном, работами В.А. Галанова, Д.Ю. Голембиовского, А.В. Мельникова, Я.М. Миркина, А.И. Ширяева.

Разрабатываемый в диссертации подход главным образом ориентирован не только на соблюдение корректности, но и достижение адекватности в моделировании эволюции цен базисных активов, на основе которых определяется стоимость опционов.

Объектом исследования является эволюция цен финансовых активов на биномиальном рынке.

Предмет исследования — математический аппарат моделирования эволюции цен финансовых активов.

Целью диссертационного исследования является развитие математического аппарата оценки стоимости опционов.

Для реализации цели диссертационного исследования поставлены и решены следующие задачи: анализ развития и современного состояния российского рынка производных финансовых инструментов; рассмотрение современных подходов к оценке опционов; построение процедуры предпрогнозной обработки исторических данных, отражающих рыночную динамику цен на финансовые активы; разработка эконометрического варианта биномиальной модели эволюции цен базисных активов; реализация адаптивного подхода к прогнозированию эволюции цен на биномиальном рынке; разработка подхода к прогнозированию волатильности цен финансовых активов в случае слабой тестируемости гетероскедастично-сти;

- создание методики оценки опционов на основе эконометрической модели мультитрендовых процессов;

- верификация предлагаемых моделей, методик и процедур.

Область исследования. Диссертационная работа выполнена в рамках п.

1.6. «Математический анализ и моделирование процессов в финансовом секторе экономики .», п. 1.9. «Разработка и развитие математических методов и моделей анализа и прогнозирования развития социально-экономических процессов общественной жизни.» паспорта специальности 08.00.13 - «Математические и инструментальные методы экономики».

Теоретико-методологическую основу исследования составили труды отечественных и зарубежных ученых по вопросам анализа фондового рынка, рынка производных финансовых инструментов, хеджирования рисков, эко-нометрического моделирования, адаптивного прогнозирования финансовых временных рядов, экспертного оценивания.

Инструментарно-методический аппарат. При разработке математического аппарата оценки опционов применялись методы эконометрического моделирования, адаптивного прогнозирования финансовых временных рядов, элементы теории вероятностей и математической статистики. Расчеты проводились с использованием программно-инструментальных средств MS Excel и STATISTIC А.

Информационно-эмпирическую базу исследования составили архивы котировок акций, размещенные на web-сайтах Российской торговой системы fwww.rts.ru) и РИА «РосБизнесКонсалтинг» (www.rbk.rn).

Научная новизна исследования состоит в разработке эконометриче-ского подхода к моделированию эволюции цен на биномиальном рынке, обеспечивающего в рамках теории риск-нейтрального оценивания повышение уровня адекватности принимаемых решений по оценке стоимости опционов.

Научную новизну содержат следующие результаты диссертационного исследования:

- эконометрическая модель двухуровневого процесса эволюции цен на биномиальном рынке, позволяющая уточнить величину риск-нейтральной вероятности, используемой при оценке стоимости опционов;

- прогнозная модель с усредненной реакцией адаптивного механизма, позволяющая повысить экстраполяционную точность процессов, отражающих скачки в динамике доходности финансовых активов;

- процедура скользящего сглаживания финансовых временных рядов, предусматривающая замену каждого текущего значения математическим ожиданием дискретной случайной величины, имеющей биномиальный закон распределения. Обладая памятью, сглаженные таким образом временные ряды обеспечивают возможность построения прогнозных моделей с высоким уровнем адекватности;

- комбинированная модель для прогнозирования волатильности базисного актива в случае, когда ARCH-эффекты в динамике доходности этого актива слабо тестируемы. Предлагаемая модель обеспечивает получение прогнозных оценок волатильности, которые можно использовать в модели Блэка-Шоулза при оценке стоимости опциона взамен рекомендуемой «внутренней» волатильности;

- методика определения прогнозной стоимости опциона на основе мультитрендовых прогнозных расчетов и вероятностной оценки их реальности. В методике не используется понятие риск-нейтральной 6 вероятности, поэтому прогнозные оценки стоимости опционов, получаемые с помощью предлагаемой методики, могут рассматриваться как альтернативные оценкам CRR-модели, учитываемые при обосновании инвестиционных решений.

Теоретическая значимость диссертации состоит в том, что отдельные результаты работы задают ориентиры развития математического аппарата оценки стоимости опционов, в частности, наиболее перспективным представляется комбинированное использование методов эконометрического моделирования, адаптивного прогнозирования и процедур экспертного оценивания.

Практическая значимость исследования определяется тем, что результаты, доведенные в диссертации до уровня методик и алгоритмов построения моделей, могут быть использованы участниками рынка деривати-вов в качестве дополнительного инструментария оценки стоимости опционов, способствующего снижению уровня издержек при хеджировании инвестиционных рисков.

Апробация результатов работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на: семинарах и научных сессиях в Воронежском государственном университете, международных научно-практических конференциях «Совершенствование финансово-кредитных отношений» (Воронеж, 2008), «Инноватика» (Ульяновск, 2008), «Экономическое прогнозирование: модели и методы» (Воронеж, 2008), всероссийской научно-практической конференции «Электронный бизнес: проблемы, развитие и перспективы» (Воронеж, 2007).

Внедрение результатов исследования. Методика прогнозирования эволюции рыночных цен на финансовые активы и их волатильности рекомендована к использованию Филиалом ОАО «ГУТА-БАНК» в г. Тамбове в качестве дополнительного инструмента поддержки принятия инвестиционных решений, что подтверждается справкой о внедрении. 7

Публикации. По теме диссертационного исследования опубликовано 6 работ, в том числе 1 статья в журналах, рекомендованных ВАК РФ. Список публикаций приведен в конце автореферата. В работах, выполненных в соавторстве, соискатель разработал модель с комбинированной структурой, позволяющей оценивать ожидаемые варианты стоимости финансовых активов и вероятности реальности этих вариантов; предложил подход к расчету цены минимального хеджирования и определению на ее основе справедливой цены • опциона; обосновал возможность использования биномиальной модели рынка для оценки эффективности бизнес-проектов; предложил для моделирования биномиального рынка использовать регрессионную модель с локально действующим адаптивным механизмом.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованной литературы из 160 наименований, приложения. Текст диссертации изложен на 150 страницах, содержит 18 таблиц и 2 рисунка.

Диссертация: заключение по теме "Математические и инструментальные методы экономики", Сурков, Павел Викторович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе на основе выполненных теоретических и прикладных исследований в области эконометрического моделирования эволюции цен на биномиальном рынке и применения результатов моделирования для получения прогнозных оценок стоимости опционов сформулированы выводы, заключающиеся в следующем:

1. Сложность математического аппарата, лежащего в основе вывода формулы Блэка-Шоулза и построения модели Кокса-Росса-Рубинштейна, превращает процесс определения стоимости опционов с помощью этих формул в таинственную процедуру, не терпящую критических взглядов инвесторов-практиков. Это является сдерживающим фактором исследований, направленных на совершенствование данного аппарата.

2. По своей природе оценки стоимости опционов являются величинами, реальность которых отнесена в будущее, и поэтому, в соответствии с логикой эконометрических измерений, должны обладать свойствами прогнозных оценок. В то же время, выполняя роль установленной цены, они должны всеми участниками рынка однозначно интерпретироваться. Поэтому введенное понятие риск-нейтрального оценивания, снимающее эту противоречивость, должно рассматриваться в качестве основного принципа определения стоимости опционов.

3. Стоимость опциона, определяемая по стоимости базисного актива, подвержена рыночным колебаниям, и поэтому инвестиционные решения, связанные с опционами, требуют прогнозных обоснований. Используемые для этих целей исторические данные должны подвергаться специальной обработке, предусматривающей их предварительное сглаживание.

4. Используемый метод определения внутренней волатильности при оценке стоимости опционов с помощью формулы Блэка-Шоулза, скорее всего, следует отнести к частному приему, позволяющему осуществлять в некотором смысле колибровку модели с целью получения разумных оценок. Поэтому актуальным остается вопрос разработки альтернативных способов прогнозирования волатильности, например, на основе идей ARCH-моделирования.

5. Оставляя за риск-нейтральным оцениванием доминирующую роль в задачах определения стоимости опционов имеет смысл развивать на основе эконометрического моделирования методы, позволяющие повысить точность параметров, используемых в модели Кокса-Росса-Рубинштейна.