Моделирование риск-нейтральных и риск-трендовых оценок стоимости опционов тема диссертации по экономике, полный текст автореферата

Автореферат диссертации по теме "Моделирование риск-нейтральных и риск-трендовых оценок стоимости опционов"

На правах рукописи

004601370

БОГДАНОВА Светлана Юрьевна

МОДЕЛИРОВАНИЕ РИСК-НЕЙТРАЛЬНЫХ И РИСК-ТРЕНДОВЫХ ОЦЕНОК СТОИМОСТИ ОПЦИОНОВ

Специальность: 08.00.13 Математические и инструментальные методы экономики

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата экономических наук

Воронеж 2010

1 2 ДПР 2010

004601370

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Воронежский государственный университет»

Научный руководитель доктор экономических наук, профессор

Давние Валерий Владимирович

Официальные оппоненты: доктор экономических наук, профессор

Яновский Леонид Петрович;

кандидат экономических наук, доцент Зайцева Юлия Владимировна

Ведущая организация Федеральное государственное образова-

тельное учреждение высшего профессионального образования «Южный федеральный университет»

Защита состоится 7 мая 2010 г. в И час. 00 мин. на заседании диссертационного совета ДМ 212.038.21 в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Воронежский государственный университет» по адресу: 394068, г. Воронеж, ул. Хользунова, 40, а. 225.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Воронежский государственный университет».

Автореферат разослан 5 апреля 2010 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета —''Тинякова В.И.

I. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. По мнению большинства экономистов, причины современного финансового кризиса кроются в чрезмерной либерализации процессов регулирования фондового рынка. В первую очередь это касается операций с деривативами, осуществляемых как в рамках биржевой торговли, так и вне биржи. Спекулятивные возможности торговли деривативами превратили их из инструментов, изначально предназначенных для снижения локальных рисков, в один из мощнейших факторов системного риска всех мировых финансов. Лидерство в процессе реализации этих спекулятивных возможностей прочно закрепилось за опционами.

«Справедливая» цена, которую научились для опционов рассчитывать биржи, явно не оправдывает возлагаемых на нее надежд. Используя формулу Блэка - Шоулза для получения теоретической цены, биржа, прежде всего, решает свои проблемы, оставляя инвесторам выбор среди опционов с разными страйками. Фактически искусственным образом создаются условия полного рынка, в рамках которого инвестор может получить гарантированную защиту. Однако для этого нужно сделать правильный выбор в созданных биржей условиях неопределенности, которая является благоприятной средой для проведения спекулятивных операций, порождающих неуправляемые процессы кризисных явлений.

Для целенаправленного изменения сложившейся ситуации необходимы исследования по разработке моделей, обеспечивающих расчет внутренней стоимости опционов с учетом действующих на рынке трендов, которые не принимаются во внимание в классических формулах оценки опционов. Ориентируясь на результаты этих расчетов, инвесторы смогли бы повысить обоснованность принимаемых решений, минимизировав тем самым риск своего выбора.

Степень разработанности проблемы. Основы современной теории оценивания опционов были сформированы Ф. Блэком, М. Шоулсом, Р. Мер-тоном, Дж. Коксом, С. Россом, М. Рубинштейном. Разработанные ими модели и по сей день широко используются фондовыми биржами, а сама концепция риск-нейтрального оценивания получила развитие в работах зарубежных (С. Вайна, Дж. Грэби, Ш. Натенберга, А. Такера, Дж. Халла) и отечественных (А.Н. Буренина, В.А. Галанова, Д.Ю. Голембиовского, А.В. Мельникова, А.Б. Фельдмана, А.Н. Ширяева, Л.П. Яновского) ученых, исследования которых посвящены финансовым рынкам.

Однако корректность применения разработанных моделей требует выполнения чрезмерно идеализированных условий полного рынка. Поэтому в стремлении расширить границы практической реализации идей надежного хеджирования в последнее время усилия исследователей главным образом направлены на решение проблем оценивания опционов на неполных рынках.

Полученные результаты пока носят, по преимуществу, теоретический характер и не касаются вопросов практического использования.

Разрабатываемый в диссертации подход предусматривает расчет оценок стоимости опционов на основе эконометрического моделирования, что позволяет, не нарушая корректности, повысить их адекватность.

Объект исследования - динамика базовых активов опционов, торгуемых на ОАО «Фондовая биржа «РТС».

Предмет исследования - математический аппарат оценивания опционов в условиях полного и неполного рынка.

Цель исследования - совершенствование математического аппарата оценивания опционов в условиях полного и неполного рынка.

В соответствии с поставленной целью возникла необходимость в решении следующего комплекса задач, определивших логику диссертационного исследования:

- исследовать особенности функционирования российского рынка срочных финансовых инструментов в современных условиях;

- провести анализ современного аппарата оценки стоимости опционов на полных и неполных рынках и определить наиболее перспективные направления его совершенствования;

- разработать методику оценивания внутренней стоимости опциона, использование которой позволит инвестору повысить обоснованность принимаемых решений;

- предложить эконометрический вариант биномиальной модели (Б,8)-рынка и разработать процедуру идентификации значений ненаблюдаемой переменной для этого случая;

- разработать мультиномиальную модель неполного финансового рынка и предложить ее эконометрический вариант;

- провести верификацию предлагаемых моделей и методик.

Область исследования - Содержание диссертации соответствует пункту 1.6 «Математический анализ и моделирование процессов в финансовом секторе экономики, развитие метода финансовой математики и актуарных расчетов» специальности 08.00.13 Математические и инструментальные методы экономики Паспорта специальностей ВАК РФ.

Теоретической и методологической основой исследования послужили современные достижения экономической и математической науки, содержащиеся в трудах отечественных и зарубежных ученых по теории финансовых рынков, теории риска и моделированию рисковых ситуаций, инвестиционному менеджменту. Для решения поставленных задач прикладного исследования применялись методы эконометрического моделирования, прогнозирования, имитационного моделирования, экспертного оценивания. Расчеты

проводились с использованием программно-инструментальных средств MS Excel и Statistica.

Информационную базу исследования составили данные информационно-аналитических материалов по исследуемой проблеме, представленные в научной литературе, периодической печати и сети Интернет, в частности, данные, размещенные на сайте Российской торговой системы (www.rts.ru).

Научная новизна исследования состоит в разработке подхода к моделированию стоимости опционов на основе введенного понятия «риск-трендовая оценка» и эконометрических моделей специального вида, обеспечивающих получение таких оценок.

Научная новизна реализована в следующих результатах, полученных лично автором:

1. Введено понятие «риск-трендовая оценка», которое было положено в основу методики расчета оценки внутренней стоимости опциона, ориентация на которую, позволяет инвестор повысить обоснованность принимаемых решений по выбору необходимого опциона.

2. Разработан эконометрический вариант биномиальной модели (B,S)~ рынка, с помощью которой удается в рамках методики риск-нейтрального оценивания рассчитать риск-трендовую оценку стоимости опциона.

3. Сформулирована гипотеза альтернативных ожиданий, предназначенная для идентификации значений ненаблюдаемой переменной при построении эконометрического варианта биномиальной модели (B,S)-рынка.

4. Предложена мультиномиальная модель неполного рынка, позволяющая обосновать возможность применения на неполных рынках инструментов хеджирования полного рынка с вероятностной оценкой надежности.

5. Разработан эконометрический вариант мультиномиальной модели неполного рынка, обеспечивающий распространение методики риск-трендового оценивания стоимости опционов на неполные рынки.

Теоретическая значимость исследования. С формулированные в диссертации положения могут служить научно-методической основой для дальнейших исследований, ориентированных на развитие и совершенствование математического аппарата оценки стоимости опционов на неполных рынках.

Практическая значимость исследования заключается в том, что его результаты, доведенные до уровня практических рекомендаций и конкретных методик расчета оценки стоимости опционов, могут быть использованы участниками рынка срочных финансовых инструментов.

Апробация и внедрение результатов исследования. Основные результаты работы прошли апробацию и получили положительную оценку на семи-

нарах и научных сессиях в Воронежском государственном университете; международных научно-практической конференциях: «Экономическое прогнозирование: модели и методы» (Воронеж, 2009), «Анализ, моделирование и прогнозирование экономических процессов» (Воронеж, 2009); всероссийских научно-практических конференциях: «Инноватизация в России: успехи, проблемы и перспективы (Пенза, 2009); «Электронный бизнес: проблемы, развитие и перспективы» (Воронеж, 2008), «Современная математика и проблемы математического образования» (Орел, 2009).

Работа выполнялась в соответствии с комплексной программой научных исследований кафедры информационных технологий и математических методов в экономике Воронежского государственного университета «Математическое моделирование и информационные технологии в управлении экономическими процессами».

Основные результаты исследования используются в учебном процессе Воронежского государственного университета.

Руководством Акционерного коммерческого банка «Национальный резервный банк» (ОАО) признана целесообразность использования отдельных результатов диссертационного исследования в практической деятельности банка.

Публикации. По теме диссертационного исследования опубликовано 10 работ, в том числе 2 статьи в журналах, рекомендованном ВАК РФ. Список публикаций приведен в конце автореферата. В работах [1, 2, 6, 7, 9, 10], выполненных в соавторстве, соискатель: обосновал возможность использования эконометрического подхода к оценке стоимости опционов; разработал эко-нометрическую модель, позволяющую повысить адекватность расчетов риск-нейтральной цены опционов; описал стартовый и финальный риски опционных стратегий; предложил методику моделирования риск-трендовых оценок стоимости опционов.

Структура и содержание работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, библиографического списка из 145 наименований и приложения.

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, определены предмет и объект исследования, сформулирована цель и поставлены задачи, решение которых необходимо для ее достижения, раскрыта научная новизна, теоретическая и практическая значимость результатов исследования.

В первой главе «Рынок срочных инструментов и математический аппарат моделирования их стоимости» проведено исследования рынка срочных финансовых инструментов - рассмотрены этапы его развития, проанализирована инфраструктурная и микроструктурная составляющие, определены проблемы и перспективы функционирования, выявлена специфика российского срочного рынка. Приведена классификация опционов и рассмотрены

основные стратегии их практического использования. Проведен анализ современного аппарата оценки стоимости опционов на полных и неполных рынках и определено перспективное направление его совершенствования.

Во второй главе «Эконометрическое моделирование в задачах оценки стоимости опционов» на основе дискретной модели (В^-рынка и непрерывной модели мгновенного изменения доходности базового актива построена дискретно-непрерывная эконометрическая модель, которая предназначена для получения надежных оценок, необходимых при расчете риск-нейтральной цены опциона в рамках СШ-модели. Введено понятие «риск-трендовая оценка стоимости опциона». Предложено методику расчета риск-трендовой цены опциона реализовать на основе построенной эконометриче-ской модели. Приведены результаты эмпирических исследований.

В третьей главе «Взвешенные риск-трендовые оценки опционов на неполных рынках» предложена мультиномиальная модель неполного рынка. Показано, что неполный рынок можно представить в виде псевдополных, обеспечивающих возможность минимального хеджирования с некоторой вероятностью. Построен эконометрический вариант мультиномиальной модели (В.Б)-рынка, с помощью которой реализована идея риск-трендового оценивания на неполных рынках. Получены взвешенная и наиболее вероятная риск-трендовые оценки стоимости опционов. Приведены результаты эмпирических исследований.

В заключении сформулированы основные выводы диссертационного исследования.

II. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ И РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1. Эконометрический вариант биномиальной модели (В, Б)- рынка.

Гипотеза альтернативных ожиданий.

Использование в СШ1-модели довольно грубых оценок эволюции цен базовых активов может привести к получению смещенных оценок риск-нейтральной цены опционов. Эконометрическое моделирование эволюции цен базового актива естественным образом учитывает наличие тренда и тем самым обеспечивает получение более обоснованного представления о риск-нейтральной цене.

В результате проведенного автором анализа СЛй-модели, в диссертации сделан вывод о том, что эконометрический вариант такой модели должен отражать как минимум два свойства эволюции цен на (Д^-рынке: непрерывное их изменение и дискретное. Следовательно, эконометрическая модель, одновременно отражающая оба свойства эволюции цен, должна быть дискретно-непрерывной. В некотором смысле, ее можно рассматривать и как

аналог СКЯ-модели, и как аналог уравнения, описывающего в модели Блэка - Шоулса механизм формирования доходности акции

— = иМ + аЕтЩ, (1)

Б

где стоимость базового актива; ¡х- средний уровень доходности; А<-небольшой отрезок времени, на котором эта модель имеет смысл; а- риск, измеренный среднеквадратическим отклонением; е— нормально распределенная случайная величина с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией.

Формально эконеметрический аналог модели (1) можно записать в следующем виде:

гг =ао + а1г1~1 +<1х1+51 , (2)

где г,— доходность базовой акции в момент времени /; а0, а,— оцениваемые параметры той части модели, которая отвечает за тренд уровня доходности базовой акции; с? - оцениваемый параметр стохастической составляющей модели, характеризующий средний уровень возможного отклонения фактически наблюдаемой доходности от тренда и интерпретируемый как величина риска; хг~ ненаблюдаемая дискретная переменная, принимающая случайным образом два значения: 1 или -1; 5 — ненаблюдаемая случайная величина, характеризующая ту часть вариации моделируемой переменной, которая не объясняется включенными в модель регрессорами.

В отличие от выражения (1), которое имеет смысл только на бесконечно малых отрезках времени, эконометрическая модель сохраняет возможность корректного ее использования на ограниченных интервалах времени. Это позволяет применять ее как для анализа, так и для прогнозных расчетов.

Интерпретация параметра с) как измерителя средней величины риска требует определенных пояснений. Такой подход к измерению риска, по всей вероятности, предлагается впервые. В модели (2) с помощью с1 измеряется средняя величина колебаний вокруг тренда. Это отличает данный подход от общепринятого, в котором риск оценивается по отклонениям от среднего значения. Отличие не является принципиальным, так как можно построить модель (2) без тренда, и тогда с1 будет измерителем колебаний вокруг среднего. Но есть и более существенные отличия.

Во-первых, измерение риска с помощью коэффициента регрессии, которым является с1, имеет ряд преимуществ перед традиционным измерением с помощью <т, так как одновременно с его оценкой по методу наименьших квадратов рассчитываются характеристики статистической надежности.

Во-вторых, использование величины с? в качестве риска снимает вопрос о необходимости понимания риска как симметричного эффекта. Модель (2) позволяет описать механизм, в котором риск рассматривается только как потери.

Построение эконометрической модели, прежде всего, предусматривает определение зависимой переменной. Известно, что (Дф-рынок описывается только двумя переменными. Понятно, что банковский счет В = (В1)1г0, имея детерминированную динамику, без труда может быть определен в любой момент времени и, поэтому не представляет интерес для эконометрического моделирования. Иная ситуация с ценой акции = )(>0, которая определяется как случайная величина, и поэтому для любого упреждающего момента времени можно корректно говорить только о прогнозных ее оценках.

В принципе можно разработать несколько прогнозных моделей, обеспечивающих получение этих оценок с некоторым уровнем надежности. Можно также предложить различные схемы использования полученных результатов моделирования. Однако перед нами стоит несколько иная задача. Требуется построить эконометрический вариант СДЛ-модели, в котором предусматривается альтернативная динамика стоимости акций с известным законом распределения альтернативных вариантов. Другими словами, эконометрическая модель должна отражать альтернативность динамики стоимости акций и вопрос, который необходимо решить при ее построении, связан с тем, каким образом в данных исторического периода обнаружить эту альтернативность.

Ответ на поставленный вопрос дают следующие рассуждения. Эконометрический подход предусматривает для своей реализации использование данных исторического периода, который заведомо не содержит альтернативные варианты, и, следовательно, вопрос о возможной их идентификации требует специального изучения. При исследовании этого вопроса имеет смысл обратить внимание на то обстоятельство, что будущее в отличие от прошлого всегда многовариантно и в силу этого несет в себе неопределенность.

Но между прошлым и будущим есть определенная взаимосвязь. Каждый момент прошлого отражается в одном из возможных вариантов будущего. Следовательно, альтернативные варианты будущего рождены безальтернативными вариантами прошлого, распределенными по всему горизонту исторического периода случайным образом. Это требует применения специальных приемов при построении эконометрической модели, чтобы можно было, идентифицировав в ее параметрах распределенную во времени альтернативность прошлого, сгенерировать для каждого момента упреждающего периода альтернативную динамику будущего. Различие между альтернативностью, распределенной во времени, и альтернативностью в конкретный момент времени интуитивно понятно и не требует специальных пояснений.

В биномиальной модели (В, Б)-рынка рассматривается всего два варианта стоимости, по которой торгуются акции. Понятно, что альтернативность будущего значительно богаче, однако мы вынуждены рассматривать только два варианта, так как в противном случае мы выйдем за рамки предположений

полного рынка и расстанемся с возможностью корректного определения риск-нейтральной или справедливой цены опциона. Теоретически, несмотря на всевозможные вариации, существуют средние характеристики роста и падения цен базового актива, с помощью которых из цены актива в момент заключения контракта путем ее трансформирования можно получить цену актива в момент завершения контракта.

В модели, с помощью которой рассчитываются альтернативные прогнозные варианты, необходимо для логической ее завершенности предусмотреть возможность определения вероятностей, оценивающих реальность этих прогнозных вариантов. А это значит, что для дискретной составляющей модели, а точнее для ее ненаблюдаемой переменной должно быть идентифицировано вероятностное распределение. Таким образом, появляется третья составляющая модели в виде вероятностного распределения, а сама модель, понимаемая как условное математическое ожидание, записывается следующим образом:

Е(г, | г,_„г,) = а0 + 5,гм + 41 ■ (1 - Я*,)) + (-1) • Р(2„)] (3)

или

г,=а0+^ + а:г1А-2^¥(г,), (4)

где ¥(г,) - функция, с помощью которой определяется вероятность того, что при определенных условиях, описываемых переменной ненаблюдаемая переменная х, примет значение равное 1, т.е.

Р(7,) = Р(*,=1к). (5)

В модели (4) уже нет ненаблюдаемой переменной х,, и поэтому ее без проблем можно использовать в расчетах прогнозных вариантов. Но при построении модели возникает необходимость в замене значений ненаблюдаемой переменной специально полученными значениями. Обычно в подобных случаях выдвигается гипотеза, в соответствии с которой модель преобразуется к виду, содержащему только наблюдаемые переменные, или формируются значения, обеспечивающие корректную замену ненаблюдаемых значений наблюдаемыми. Например, в эконометрике известны модели с ненаблюдаемыми переменными, для построения которых используются гипотеза адаптивных ожиданий и гипотеза рациональных ожиданий.

В рассматриваемом случае предлагается использовать гипотезу альтернативных ожиданий. Смысл этой гипотезы в том, что ожидаемый инвестором результат носит альтернативный характер. Одна и та же сумма средств, вложенная в одну и ту же ценную бумагу, может порадовать инвестора, а может огорчить. Но в каждый момент времени исторического периода альтернативное событие происходило, и этот результат его реализации можно идентифицировать, договорившись о правилах этой идентификации.

Таким правилом может быть сравнение с некоторым пороговым значением. Другими словами, на историческом периоде ненаблюдаемой переменной присваивается значение равное +1, если фактическое значение моделируемого показателя выше заранее заданного порогового значения, и присваивается значение равное -1, если фактическое значение меньше этого порогового значения.

Тогда в качестве индикатора, по которому определяется, каким был уровень доходности, можно использовать отклонение Дг, = г, - а0 - ах г,_х. На основе этого индикатора формируются значения ненаблюдаемой переменной, которые она должна была бы иметь на историческом периоде, по следующему правилу:

В результате этой процедуры формируются значения ненаблюдаемой переменной, которые она имела в прошлом. Полученные значения имею двойное назначение. Они используются в качестве значений факторной переменной при оценке коэффициентов модели (2) и в качестве дискретной зависимой переменной (с заменой -1 на 0) для построения модели бинарного выбора р(:г), по которой оценивается вероятность реальности альтернативных вари-

Естественно, после выбора зависимой переменной модели бинарного выбора возникает вопрос о независимой переменной (переменных), от которой зависит вероятность, с которой реализуется альтернативность динамики доходности базового актива. Доходность актива, как правило, зависит от активности рынка ценных бумаг, в качестве индикатора которой чаще всего используется рыночный индекс, например, индекс РТС (гк). Поэтому доходность индекса можно использовать как независимую переменную модели бинарного выбора. Это имеет смысл, так как взаимосвязь индекса с доходностью акций известный факт, который был использован У. Шарпом при модификации модели Г. Марковица. Проблема реализации этой идеи в том, что нужны не просто значения доходности индекса, а прогнозные оценки, с помощью которых можно рассчитать вероятности реальности альтернативных вариантов для упреждающих моментов времени. С целью получения прогнозных оценок строится дискретно-непрерывная модель индекса (7), средняя величина отклонения от тренда с используется при прогнозировании доходности базового актива.

Таким образом, в окончательном виде оцененная эконометрическая модель (В, Б)-рынка, предназначенная для прогнозных расчетов, записывается в виде системы линейных и нелинейных регрессионных уравнений

1, если Лг, > 0; -1, если Дг, < 0.

(6)

антов.

1 — + G\rlt +CXt,

(7)

(8)

Модель (7) - (8) предназначена для проведения прогнозных расчетов на (2?,ф-рынке и поэтому наделена специфическими свойствами, которые необходимы для того, чтобы обеспечить соблюдение корректности при получении прогнозных оценок динамики этого рынка. Благодаря этой специфике рассчитывается только два прогнозных варианта, что гарантирует проведение всех последующих расчетов в условиях полного рынка. В свою очередь, условия полного рынка обеспечивают возможность применения методики риск-нейтрального оценивания опционов.

Эконометрический подход в отличие от чисто математического обеспечивает построение моделей, при спецификации которых максимально учитываются предположения соответствующей теории, а при идентификации их параметров достигается адекватность. Сформулированное отличие явно в пользу эконометрического подхода, однако, справедливости ради обратим внимание на отсутствие четкого представления о том, что важнее - корректность или адекватность. На наш взгляд, корректность должна доминировать в теоретических исследованиях, а адекватность - при решении частных задач, ориентированных на получение практических результатов.

2. Понятие «риск-трендовая оценка стоимости опциона»

Формула, по которой в соответствии с предположениями СЮ^-модели рассчитывается риск-нейтральная цена опциона с, может быть записана следующим образом:

где п - число уровней биномиального дерева; к - число подъемов цены, необходимых для того, чтобы опцион оказался с выигрышем; и = 1 + г„- множитель наращения цены акции в случае, когда средний темп прироста равен ги; d = \ + rd- множитель понижения цены акции в случае, когда средний темп падения равен rd; R = \ + r— множитель наращения кредитной суммы по безрисковой процентной ставке г;р — риск-нейтральная вероятность.

В данной формуле без труда узнается математическое ожидание случайной величины, имеющей биномиальный закон распределения. Таким образом, основная идея, которая реализуется с помощью С#К-модели, заключается в том, чтобы для упреждающего периода построить биномиальное дерево, и с помощью этого дерева рассмотреть все возможные варианты эволюции цен базового актива, которые могут иметь место на упреждающем отрезке

(9)

времени и использовать эти варианты для определения справедливой цены опциона.

Из сказанного следует, что риск-нейтральная цена - это математическое ожидание, при расчете которого использовалась риск-нейтральная вероятность и расчетная внутренняя цена опциона. В свою очередь, риск-нейтральная вероятность и внутренняя цена опциона определяются через множители роста и и падения с1. В то же время истинные значения этих величин не известны и поэтому возникает проблема их определения. В подобных ситуациях, как правило, рекомендуется использовать оценки. Известно, что оценки, полученные с помощью эконометрического подхода, обладают свойствами, обеспечивающими им высокую надежность. Следовательно, подход, позволяющий получить надежные оценки этих характеристик, является перспективным направлением исследования проблем, связанных с риск-нейтральным оцениванием опционов.

Кроме того, что эконометрический подход позволяет решить вопрос с обоснованием оценок, используемых в качестве множителей усредненного роста и снижения цены базового актива, с его помощью удается ввести новые элементы анализа справедливой цены опционов.

Чтобы понять смысл этих новых элементов, рассмотрим механизм современной торговли опционами. Он устроен таким образом, что позволяет настроить формулу Блэка - Шоулса для решения проблем, которые необходимо решить бирже, и исключает возможность настройки модели для решения проблем, возникающих перед инвесторами. Проблема инвесторов возникает в связи с тем, что один и тот же опцион торгуется с несколькими страй-ками. Такой способ торговли опционами предоставляет инвестору возможность выбрать опцион, который действительно ему необходим для хеджирования.

Но реализация данной возможности требует, по сути, принятия решения в условиях неопределенности, которая возникает в силу следующих причин. Если, например, выбирается опцион, который «глубоко в деньгах», то понятно, что такое решение влечет излишние затраты на хеджирование. В таком случае, как правило, имеет смысл купить эту ценную бумагу сразу. Если же с высокой вероятностью ожидается ситуация, что опцион будет «вне денег», то его приобретение теряет всякий смысл. Поэтому рациональным можно считать такое решение, в соответствии с которым из торгуемых опционов с одной и той же датой исполнения, но с разными страйками, выбирается тот, с помощью которого удастся решить реальную проблему хеджирования. Как правило, это опционы, о которых принято говорить «опцион около денег».

Осуществить выбор требуемого опциона, используя для этого его риск-нейтральную цену, к сожалению, не удается. Поэтому для решения данной задачи предлагается специальный подход, в котором на основе использова-

ния ключевых идей риск-нейтрального оценивания строятся оценки стоимости опционов, учитывающие реальную эволюцию цены базового актива.

Такую оценку стоимости опциона будем называть риск-трендовой стоимостью опциона. Если риск-нейтральная цена представляет собой стоимость портфеля, по которому определяется стоимость хеджа в мире нейтральном к риску, то риск-трендовая цена — это стоимость портфеля, по которому определяется стоимость хеджа в дрейфующем мире. Под дрейфующим миром понимаются ситуации, в которых принимаемые инвестором решения учитывают эволюцию цен базовых активов в соответствии с существующими на рынке трендами.

В чем различие между этими двумя подходами? Риск-нейтральное оценивание предполагает, что в модели (В,8)-рынка вероятностное распределение р = Р(р, = г„) и <7 = Р(р, =га) скачкообразного изменения цены базового

актива заменяется другим распределением р* =Р{р, =ги) и д* =Р(р, =гс/), которое получило название риск-нейтрального. Это новое вероятностное распределение устроено таким образом, что математическое ожидание цены базового актива совпадает с траекторией, которая соответствует росту цены базового актива по безрисковой ставке Е(5г | = .

Если в расчетах справедливой цены безрисковую ставку заменить на риск-трендовую Я'г, в соответствии с которой происходит изменение тренда, то математическое ожидание вершин этого дерева на любом уровне í совпадает с трендом, т.е.

±С>пРУ{\ - д^о» V"' = . (10)

у=о

Это значит, что в целом все дерево ориентировано вдоль тренда с ростом по риск-трендовой ставке.

Возникает естественный вопрос: «А существует ли защита, применение которой имело бы смысл в этом случае?». Ответ положительный. Такая защита существует, но она не обладает свойством минимального хеджа, так как при ее обосновании предлагается использовать не безрисковую ставку, а ставку, значение которой равно средней доходности базового актива. В этом случае, полагая, что для конкретного временного периода выплаты аналогичные выплатам по опциону можно получить, сформировав портфель из базовой акции и заемных средств под ставку равную средней доходности базового актива.

Результаты, приведенные в таблице, были получены при оценке стоимости трехмесячных опционов на акции ОАО «Газпром». Эти результаты показали, что предлагаемая методика риск-трендового оценивания, действительно, может оказаться полезным инструментом для инвестора.

Таблица

Результаты моделирования оценок стоимости опциона на акции ОАО «Газпром»

Параметры СЯК-модели Риск-трендовая оценка Риск-нейтральная оценка

Ставка заимствования, г 0,0793 0,0002

Скачок доходности вверх, ги 0,1257 0,0004

Скачок доходности, вниз г^ 0,0358 0,00003

Стоимость базового актива в момент заключения опционного контракта, ,У0 175,93

Стоимость базового актива в момент экспирации, Бг 183,39

Риск-нейтральная / трендовая вероятность, р' 0,4840 0,5000

* 1 * д =1 -р 0,5160 0,5000

Страйк 1, Хх 183,00 183,00

Страйк 2, Х2 184,00 184,00

Стоимость опциона в момент заключения контракта (на одну акцию) при страйке 1, с. 1,75 0

Стоимость опциона в момент (на одну акцию) при страйке 2, с2 0,82 0

3. Мультиномиальная модель неполного рынка

Понятие полных и неполных рынков было введено К. Эрроу. Полный рынок представляет собой набор рынков, охватывающий все возможные в будущем случайные события и предоставляющий инвестору при реализации любого из этих событий получать гарантированный доход. Предположения, которые лежат в основе теории полного рынка соответствуют представлениям об идеальной модели развитой финансовой системы, включающий широкий спектр производных инструментов. Только в случае, когда набор этих инструментов достаточно разнообразен, можно, действуя рационально, обеспечить реальность запланированных финансовых потоков. Поэтому в практике биржевой торговли, пытаясь реализовать рекомендации теории, инвесторам предоставляется возможность формирования портфеля из опционных контрактов «пут» и «колл» со всевозможными ценами исполнения. По сути, как бы искусственно создаются условия полного рынка.

Реальность намного богаче искусственно созданного полного рынка биржевой торговли опционами. Поэтому неполные рынки, по общему признанию, являются первым шагом отхода от идеальности (5,5)-рынка, так как

позволяют отражать более сложное вероятностное устройство цен рисковых активов.

Исследования по оценке внутренней цены опциона в условиях неполных рынков естественно ведутся. В настоящее время результаты этих исследований, по преимуществу, носят теоретический характер, не затрагивая аспекты, связанные с расчетами для практического использования. Те несколько подходов, в которых рассматриваются оригинальные идеи решения проблемы определения безарбитражной цены опциона в условиях неполного рынка, затрагивают лишь незначительную часть проблем, которые появляются за пределами полного рынка. Ситуация с неполными рынками, в некотором смысле, похожа на проблему, связанную с построением нелинейных моделей в эконометрике, когда возникает проблема выбора и проблема приведения неизвестной ситуации к известной.

При рассмотрении некоторых вариантов неполного рынка удается выяснить, что основную идею определения цены опциона с помощью хеджирующих портфелей можно сохранить, но получить аналог справедливой цены, которая определяется на полном рынке, не удается. Поэтому целесообразно ориентироваться на варианты, в которых в той или иной степени может быть реализована основная идея определения цены опциона.

Среди возможных вариантов ослабления требований к свойствам, которым должен удовлетворять полный рынок, будем рассматривать такой, в котором эволюцией цен базового актива предусматривается более двух скачкообразных изменений. В принципе, число скачкообразных изменений не лимитируется, но их должно быть столько, чтобы сохранялось различие между дискретной и непрерывной моделью.

Если скачкообразных изменений более двух, то и риск-нейтральных вероятностей несколько, а следовательно и несколько риск-нейтральных оценок стоимости опциона. Возникает ситуация выбора, но окончательного ответа на вопрос о риск нейтральной цене, которую целесообразно использовать в практических целях, нет. В данном случае риск-нейтральную цену рекомендуется определять в виде интервала с заданием ее нижнего и верхнего уровней. Сохраняя свойство риск-нейтральности, она теряет свойство справедливой цены, так как появляется элемент торга. Кроме того, интервал значений риск-нейтральных цен не во всех случаях сможет выполнять роль разделителя спроса и предложения на опционы с разными страйками, как это предусмотрено на полном рынке в случае единственной риск-нейтральной цены.

Из описания специфики риск-нейтрального оценивания в условиях неполного рынка, когда действует более сложный механизм изменения цены базового актива, не позволяющий однозначно определить риск-нейтральную вероятность, следует ряд полезных выводов. Самый важный состоит в том,

что на неполном рынке для каждой пары скачков формально можно определить риск-нейтральную цену. Но нельзя гарантировать, что эти цены будут обладать всеми свойствами риск-нейтральной цены полного рынка. Предлагаемый ниже подход для оценки опционов на неполных рынках предусматривает реализацию этого вывода.

Учитывая неопределенность будущего, будем предполагать, что в момент заключения опционного контракта есть несколько точек зрения по поводу эволюции цен базового актива. Формально это означает, что биномиальная модель (Д5)-рынка превращается в мультиномиальную модель, в соответствии с которой эволюция цен активов этого рынка В = (5,),>0 и S = (5,),>0 происходит скачками в дискретные моменты времени и описывается уравнениями

В,=(1 + г,)Вы, (11)

S,=(l+A)S,-i. (12)

с В0 > 0 и S0 > 0.

Как и в биномиальной модели предполагается, что банковская ставка rt не измена, а доходность акции р = {р,)гл представляет собой последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин рх,рг,..., принимающих в общем случае m различных значений. Для простоты изложения будем считать, что m = 4. Тогда

г2>

Л :

г0 <Г1 <г2 <г3 (13)

1.

'О'

с вероятностями

Ро = Р(А = го)> Р\ = р(Л = ri)> Рг = р(Л = и л = Р(р, = г3).

Предполагается, что все значения р, можно разделить на две непересекающиеся группы, одна из которых содержит те значения, которые меньше безрисковой ставки, а другая - те, которые больше безрисковой ставки. Обе группы не пустые. Для определенности положим, что r0,rl<r,a r2,r3>r. Тогда можно сформировать четыре варианта (г0,г2), (г0,г3), (г{,гг), (г1гг}), в соответствии с которыми будет протекать эволюция цен базового актива.

Далее будем считать, что на протяжении того промежутка времени, на котором действует опционный контракт, эволюция цены базового актива будет протекать в соответствии с одним из этих вариантов. Но проблема в том, что в момент заключения контракта этот вариант неизвестен. Однако можно определить вероятность, с которой ожидается реализация того или иного варианта. С этой целью проведем перенормировку вероятностей в соответствии

с тем, каким образом ожидаемые доходности базового актива разделились на группы. Для рассматриваемого нами случая перенормировка выглядит следующим образом:

Ра ="

Р о

Ро+Рг

Рг

_ Рг

Рг+Рг

(14)

Ро+Р1 Ро+Рг Рг+Рг

Тогда вероятности того, что эволюция цены базового актива будет развиваться по соответствующему варианту, могут быть определены следующим образом:

Р,=

Р,=

г)

— Р0Р2 ~ Рог >

= РоРз =Роз>

Р,=

Р, =

= Р\Рг = Р\г>

= Р\Ръ = Аз-

(15)

V

Сформированные пары скачкообразных изменений цены базового актива обеспечивают возможность определения для каждой пары риск-нейтральной вероятности и соответственно риск-нейтральной цены опциона. Реальность каждой пары оценивается вероятностями (15). Данной ситуации можно дать следующую интерпретацию. Рассматриваемый неполный рынок имеет такую структуру, что позволяет для некоторых случаев реализовать с соответствующей вероятностью возможности полного рынка, т.е. для каждого варианта рассчитать риск-нейтральную цену опциона с*т, сп, с*т, с*3.

Формально эти оценки рассчитываются в соответствии с логикой определения риск-нейтральной цены по формулам СЯЛ-модели, но природа этих оценок отличается от природы риск-нейтральной цены, определенной на полном рынке. Риск-нейтральная цена является детерминированной величиной, а полученные оценки на неполном рынке являются случайными величинами и для них можно определить математическое ожидание

с* = с'агРог + с\гРи + соз/'оз + с'мРп • (16)

Таким образом, можно сделать вывод, что неполные рынки в некоторых ситуациях позволяют реализовать стратегии полного рынка. На неполном рынке таких стратегий несколько, но ни одна из них, к сожалению, не обладает абсолютной надежностью. Реальность каждой стратегии оценивается вероятностью, и, следовательно, надежность защиты корреспондируется с этой вероятностью. Если, например, вероятность реальности стратегии равна 0,8, то данная стратегия в восьмидесяти случаях из ста может сыграть роль минимального хеджа.

Построенную модель в отличие от биномиальной будем называть мультиномиальной моделью (В,Б)-рынка. С ее помощью можно реализовать идею риск-трендового оценивания опционов на неполных рынках. Для этого необходимо построить эконометрический вариант этой модели. Основные

идеи, которые были использованы при построении эконометрического варианта биномиальной модели (В,5)-рынка, здесь сохраняются, но возникает необходимость в отражении специфики неполного рынка.

4. Эконометрический вариант мультиномиальной модели неполного рынка

Эконометрический вариант мультиномиальной модели для случая четырех скачкообразных изменений цены базового актива записывается в виде

П = ао + а1гг-1 + хи + ¿г хг, + 5,. О7)

где г,— доходность базисного актива в момент времени /; а0, с^-оцениваемые параметры той части модели, которая отвечает за тренд уровня доходности базового актива; с/,, с12- оцениваемые параметры стохастической составляющей модели, характеризующие средние уровни возможного отклонения фактически наблюдаемой доходности от тренда и интерпретируемые как величины, по которым определяются риски; хи, х2,- ненаблюдаемые дискретные переменные, принимающие случайным образом два значения: 1 или -1; 6- ненаблюдаемая случайная величина, характеризующая ту часть вариации моделируемой переменной, которая не объясняется включенными в модель регрессорами.

Модель позволяет отразить четыре ситуации:

-¿/, -с1г <=> 0 = у0 - самая неблагоприятная ситуация; -с!] + с12 о 1 = у, - неблагоприятная ситуация; + - ¿/2 <=> 2 = уг — благоприятная ситуация; + с/, + с12 <=> 3 = уъ - очень благоприятная ситуация.

Предполагается, что возникновение той или иной ситуации зависит от состояния рынка, которое можно представить аналогичной моделью индекса с тем же самым числом скачкообразных изменений

гп=ак+апгп-\ + с\уи +с1уь +г" (18)

где Гц - доходность индекса в момент времени V, д/0, ап - оцениваемые параметры той части модели, которая отвечает за тренд индекса; с1; с2- оцениваемые параметры стохастической составляющей модели, характеризующие средние уровни возможного отклонения фактически наблюдаемой доходности рынка от тренда и интерпретируемые как величины, по которым определяются риски; V],, г2,- ненаблюдаемые дискретные переменные, принимающие случайным образом два значения: 1 или -1; б,- ненаблюдаемая случайная величина, характеризующая ту часть вариации моделируемой переменной, которая не объясняется включенными в модель регрессорами.

Построение модели осуществляется по аналогии с эконометрическим вариантом биномиальной модели.

Оцененная модель доходности базового актива имеет вид

= а0 + а^м + с!1хи + с1гхь. (19)

Для оценки вероятностей реальности каждого из вариантов строится две модели: эконометрическая модель индекса (18), характеризующая активность рынка, и эконометрической модель множественного выбора

РС,=Ук)= С'к ' . , у = 0,1,...Д-1; (20)

1+1еж'ь'

7=0

Р0>,=*|г,) =--, (21)

;=о

где у,- зависимая дискретная переменная регрессионной модели, вероятность возможных значений которой оценивается; г, - вектор-строка независимых переменных регрессионной модели; - вектор-столбец оценок коэффициентов регрессионной модели, задействованных при расчете вероятности того, что зависимая переменная примет значение, равное у;

Для решения задачи оценивания стоимости опционов на неполных рынках необходимо, чтобы рассчитывались прогнозные оценки со своими вероятностями по всем вариантам, предусмотренным мультиномиальной моделью.

Расчет прогнозных вариантов осуществляется в соответствии с выражением

г1+1 =а0+а1г,+Х,^й, (22)

где 5 = с12)'; Х- матрица возможных значений дискретных переменных.

Вероятность реальности вариантов рассчитываются по (20) - (21) для:

~ С, С2 : ~ С| с2 ] ~2 " ^ ! ^ ' 23 ~ ^ С:2'

Однако для построения биномиального дерева нужны не варианты возможной доходности, а оценки скачкообразных изменений, которые могут иметь место при реализации этих вариантов. Поэтому рассмотрим вероятностный механизм формирования этих скачкообразных изменений.

С помощью (22) рассчитывается для любого текущего уровня доходности г, четыре прогнозных вариант

^/+1 = «о + + <?! - С?2 ,

= ай+а^г, + <?2, (23)

а с помощью (20), (21) - вероятности этих вариантов, рассчитанные в зависимости от активности рынка при 2 = г0

Р„° = ?(у = 01 г0), Р?=?(У = 1\ го), Р2° = Р(>> = 21 г0), Р3° = 1 -Р0-Р,-Р2; при г = г]

Р0' = Р(у = 01Р,1 = Р(у = 11г,), Р2> = Р(у = 21г,), Р3' = 1 -Р„-Р, -Р2; при г = г2

Р02 = Цу = 0122), Р,2 = ?(у = 1122), Р22 = Р(у = 21 г2), Р32 = 1-Р0 -Р,-Р2; при г = 2ъ

Р03 = ?(у = 01 *з), Р,3 = РО» = 1 123), Р23 = РО> = 21Р33 = 1-Р0 -Р2.

Используя полученное вероятностное описание возникающих на рынке ситуаций, можно для каждой ситуации определить математическое ожидание скачкообразного изменения, возникающего в динамике доходности базового актива. Учитывая, что трендовая составляющая во всех ситуациях одна и та же, математическое ожидание скачкообразного изменения в Ьй ситуации можно записать в виде

Гк=ах+с12-гр*(^ + 32)-2Р]кЗу-2Р2Зг, к = 0,1,2,3. (24) Чтобы завершить построение модели неполного рынка необходимо оценить вероятности, с которыми возникают ситуации изменения активности рынка. Систематического фактора, от которого зависит активность рынка, нет. Поэтому единственным способом, на наш взгляд, к которому в данной ситуации имеет смысл обратиться, является экспертное оценивание.

С помощью (24) мы можем рассчитать прогнозные варианты скачкообразных изменений в стоимости базового актива, а с помощью эконометриче-ской модели множественного выбора, построенной для индекса, - вероятности рк, с которыми эти скачкообразные изменения могут иметь место в динамике базового актива, т.е.

Г0' Г1> Г2> Г3'

Ро> Р1> Р2' Рг- (25)

Определив величину, характеризующую средний рост тренда,

я" = «о +^+[772] (2б)

и действуя по аналогии с тем, как это предусмотрено в мультиномиальной модели (Дф-рынка, для каждой из рассматриваемых ситуаций получим риск-трендовые оценки стоимости опциона с'0г2, с"г, с'0г}, с,'3 и вероятности их реальности р02, р12, р0}, />13. По полученным риск-трендовым оценкам расчитывается взвешенная риск-трендовая цена опциона

с'г = С02Р02 + с'пРп + с'юРоз + с'хзРп ■ (27)

Полученное выражение позволяет сделать вывод, что на неполном рынке можно сформировать портфель из минимальных хеджей, сформированных по технологии полного рынка, но обладающих возможностью минимального хеджа с некоторой вероятностью. С помощью этих вероятностей определяется структура портфеля (27). Другими словами, неполный рынок можно представить в виде ряда псевдополных, каждый из которых реализует возможности полного с некоторой вероятностью. Кроме того, данный подход не исключает возможность, когда из всех полученных таким образом минимальных хеджей выбирается наиболее вероятный, ориентируясь на который нужно помнить, что подобное хеджирование не безрисковое.

III. ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

В диссертационной работе на основе выполненных теоретических и прикладных исследований в области моделирования риск-нейтральных и риск-трендовых оценок стоимости опционов на (5,5)-рынке сформулированы выводы, заключающиеся в следующем:

1. Авторы термина «справедливая цена опциона» вложили в него такой содержательный смысл, который, по сути, стал индульгенцией, надежно защитившей его от критики. В рамках этой индульгенции справедливой цене прощают даже то, что по этой цене никто не продает, и никто не покупает опционы. Поэтому, теоретическая цена, определяемая биржей по Блэку -Шоулсу, устанавливает только барьер между предложением и спросом на опционы, оставляя проблемы инвесторов не решенными. Введение в диссертации понятия «риск-трендовая цена» позволяет создать аппарат, ориентированный на обоснование инвестиционных решений.

2. Расчет риск-трендовой цены опциона предполагает применение эко-нометрического подхода. Известно, что экономегрическое моделирование не всегда приводит к однозначному результату. Возможны ситуации, когда один и тот же процесс может описываться несколькими адекватными моделями. Поэтому важно при реализации эконометрического подхода построить модели, в которых будут отражены общепризнанные механизмы эволюции цен базовых активов. На полном рынке эти механизмы описываются биномиальной моделью (Д5)-рынка, которая является дискретной, и непрерывным выражением, которое используется при выводе формулы Блэка -Шоулса. Реализуя идею воспроизведения проверенных механизмов эволюции цен, в диссертации была построена дискретно-непрерывная модель, в которой нашел отражение опыт моделирования (5,5)-рынка.

3. Особенность эконометрической модели (Д<5)-рынка в том, что при ее спецификации необходимо предусмотреть возможность применения для рас-

чехов в интерполяционном режиме, когда воспроизводится однозначность исторического периода, и в экстраполяционном режиме, когда воспроизводится альтернативность ожидаемых результатов. Естественно, это требует специальной методики воспроизведения на исторических данных эволюции цен, альтернативность которой распределена во времени, путем восстановления ненаблюдаемой переменной с помощью гипотезы альтернативных ожиданий. Несмотря на сложность разработанной для этих целей методики, логика всех расчетов легко поддается алгоритмизации и может быть автоматизирована для практического использования.

4. Неполные рынки, допуская более сложное вероятностное устройство цен базового актива, демонстрируют серьезный шаг отхода от идеальности Д5)-рынка. Несмотря на это, во всех исследованиях неполного рынка неявным эталоном присутствует риск-нейтральная цена, с которой без достаточных на то оснований сравниваются предлагаемые оценки. В диссертационной работе предложена мультиномиальная модель (Д5)-рынка, объясняющая природу неполного рынка и его взаимосвязь с полным. В соответствии с этой моделью, неполный рынок допускает возможность использования инструментов хеджирования полного рынка, но с некоторым риском в виде вероятностной оценки. Это означает, что в некоторых ситуациях для моделирования оценок стоимости опционов на неполных рынках можно использовать аппарат, разработанный для условий полного рынка, с соответствующей вероятностной оценкой надежности получаемых результатов.

5. Для распространения методики риск-тревдового оценивания опционов на неполные рынки разработан эконометрический вариант мультиномиальной модели (5,5)-рынка. Модель может рассматриваться как обобщение экономет-рического варианта биномиальной модели, в котором многофакторное устройство дискретной составляющей и более сложный вероятностный механизм эволюционирования цены базового актива. Модель обеспечивает расчет риск-трендовых оценок стоимости опционов на неполном рынке, а также формирование взвешенной и наиболее вероятной риск-трендовой оценки опционов. Эмпирические исследования показали, что предлагаемая модель переводит идею риск-трендового оценивания опционов в практическую плоскость.

IV. ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Давние В.В., Богданова С.Ю. Взвешенные риск-нейтральные оценки опционов // Вестник Тамбовского университета. Серия: Гуманитарные науки. - 2009. -№11.- 0,62 п.л. (из перечня ВАК) (лично автором - 0,3 пл.).

2. Давние В.В., Богданова С.Ю., Суюнова Г.Б. Модели (В,8)-рынка и риск-нейтральная цена опционов // Вестник ОрелГИЭТ. - 2010. - № 1. - 1,2 п.л. (из перечня ВАК)(ттно автором - 0,4 пл.).

3. Богданова С.Ю. Хеджирование с использованием опционов // Экономика и обеспечение устойчивого развития хозяйственных структур: межрегион. сб. науч. трудов. - Воронеж: Воронеж, гос. технолог, ак-я, 2008. - Вып. 8, ч. 3. - 0,2 п.л.

4. Богданова С.Ю. Эффективное использование опционов на фондовой бирже // Электронный бизнес: проблемы, развитие и перспективы: материалы VII Всерос. науч.-практ. конф. - Воронеж: ИПЦ Воронеж, гос. ун-та, 2008. -0,2 пл.

5. Богданова С.Ю. Кредитные риски экзотических опционов // Экономика и обеспечение устойчивого развития хозяйственных структур: межрегион. сб. науч. трудов. - Воронеж: Воронеж, гос. технолог, ак-я, 2008. - Вып. 8, ч. 3. - 0,2 п.л.

6. Давние В.В., Богданова С.Ю. Стартовый и финальный риски опционных стратегий // Современная математика и проблемы математического образования: материалы Всерос. науч.-практ. конф. - Орел: ОрелГУ, 2009. - 0,2 п.л. (лично автором - 0,1 п.л.).

7. Давние В.В., Богданова С.Ю. Эконометрические подходы к моделированию внутренней стоимости опционов // Экономическое прогнозирование: модели и методы: материалы V междунар. науч.-практ. конф.: в 2-х ч. -Воронеж: ИПЦ Воронеж, гос. ун-та, 2009. - Ч. 1. - 0,4 п.л. (лично автором -0,2 пл.).

8. Богданова С.Ю. Риск-нейтральное оценивание опционов на неполном финансовом рынке // Инноватизация в России: успехи, проблемы и перспективы: сборник статей II Всерос. науч.-практ. конф. - Пенза: Приволж. Дом знаний, 2009.-0,2 пл.

9. Давние В.В., Богданова С.Ю., Суюнова Г.Б. Эконометрический подход к оценке стоимости опционов // Анализ, моделирование и прогнозирование экономических процессов: сборник материалов I междунар. науч.-прак. конф. - Воронеж: ЦНТИ, 2009. - 0,7 п.л. (лично автором - 0,3 п.л.)

Ю.Давнис В.В., Богданова С.Ю. Моделирование риск-трендовых оценок стоимости опционов // Современная экономика: проблемы и решения. - Воронеж, 2010. - № 1. - 1,1 пл. (лично автором - 0,6).

Подписано в печать 05.04.10. Формат 60x84 '/|6. Усл. печ. л. 1,4. Тираж 100 экз. Заказ 429

Отпечатано с готового оригинала-макета в типографии Издатсльско-полиграфического центра Воронежского государственного университета. 394000, Воронеж, ул. Пушкинская, 3.

Диссертация: содержание автор диссертационного исследования: кандидата экономических наук, Богданова, Светлана Юрьевна

введение.

1. рынок срочных инструментов и математический аппарат моделирования их стоимости.

1.1. Срочный рынок, его развитие и особенности функционирования в современных условиях.

1.2. Разновидности финансовых опционов и основные стратегии их практического использования.

1.3. Современные подходы к оценке стоимости опционов на полных и неполных рынках.

2. эконометрическое моделирование в задачах оценки стоимости опционов.

2.1. Эконометрическое моделирование (В, 8)-рынка.

2.2. Оценивание опционов на основе результатов эконометрического моделирования.

2.3. Эмпирические исследования эконометрического подхода к оценке опционов.

3. взвешенные риск-трендовые оценки опционов на неполных рынках.

3.1. Специфика оценивания опционов на неполных рынках и взвешенные риск-трендовые оценки.

3.2. Методика оценки опционов на неполных рынках.

Диссертация: введение по экономике, на тему "Моделирование риск-нейтральных и риск-трендовых оценок стоимости опционов"

Актуальность темы исследования. По мнению большинства экономистов, причины современного финансового кризиса кроются в чрезмерной либерализации процессов регулирования фондового рынка. В первую очередь это касается операций с деривативами, осуществляемых как в рамках биржевой торговли, так и вне биржи. Спекулятивные возможности торговли деривативами превратили их из инструментов, изначально предназначенных для снижения локальных рисков, в один из мощнейших факторов системного риска всех мировых финансов. Лидерство в процессе реализации этих спекулятивных возможностей прочно закрепилось за опционами.

Справедливая» цена, которую научились для опционов рассчитывать биржи, явно не оправдывает возлагаемых на нее надежд. Используя формулу Блэка — Шоулза для получения теоретической цены, биржа, прежде всего, решает свои проблемы, оставляя инвесторам выбор среди опционов с разными страйками. Фактически искусственным образом создаются условия полного рынка, в рамках которого инвестор может получить гарантированную защиту. Однако для этого нужно сделать правильный выбор в созданных биржей условиях неопределенности, которая является благоприятной средой для проведения спекулятивных операций, порождающих неуправляемые процессы кризисных явлений.

Для целенаправленного изменения сложившейся ситуации необходимы исследования по разработке моделей, обеспечивающих расчет внутренней стоимости опционов с учетом действующих на рынке трендов, которые не принимаются во внимание в классических формулах оценки опционов. Ориентируясь на результаты этих расчетов, инвесторы смогли бы повысить обоснованность принимаемых решений, минимизировав тем самым риск своего выбора.

Степень разработанности проблемы. Основы современной теории оценивания опционов были сформированы Ф. Блэком, М. Шоулсом, Р. Мертоном, Дж. Коксом, С. Россом, М. Рубинштейном. Разработанные ими модели и по сей день широко используются фондовыми биржами, а сама концепция риск-нейтрального оценивания получила развитие в работах зарубежных (С. Вайна, Дж. Грэби, Ш. Натенберга, А. Такера, Дж. Халла) и отечественных (А.Н. Буренина, В.А. Галанова, Д.Ю. Голембиовского, А.В. Мельникова, А.Б. Фельдмана, А.Н. Ширяева, Л.П. Яновского) ученых, исследования которых посвящены финансовым рынкам.

Однако корректность применения разработанных моделей требует выполнения чрезмерно идеализированных условий полного рынка. Поэтому в стремлении расширить границы практической реализации идей надежного хеджирования в последнее время1 усилия исследователей главным образом направлены на решение проблем оценивания опционов на неполных рынках. Полученные результаты пока носят, по преимуществу, теоретический характер и не касаются вопросов практического использования.

Разрабатываемый в диссертации подход предусматривает расчет оценок стоимости опционов на основе эконометрического моделирования, что позволяет, не нарушая корректности, повысить их адекватность.

Объект исследования - динамика базовых активов опционов, торгуемых на площадках ОАО «Фондовая биржа «РТС».

Предмет исследования - математический аппарат оценивания опционов в условиях полного и неполного рынка.

Цель исследования — совершенствование математического аппарата оценивания опционов в условиях полного и неполного рынка.

В соответствии с поставленной целью возникла необходимость в решении следующего комплекса задач, определивших логику диссертационного исследования: исследовать особенности функционирования российского рынка срочных финансовых инструментов в современных условиях;

- провести анализ современного аппарата оценки стоимости опционов на полных и неполных рынках и определить наиболее перспективные направления его совершенствования;

- разработать методику оценивания внутренней стоимости опциона, использование которой позволит инвестору повысить обоснованность принимаемых решений;

- предложить эконометрический вариант биномиальной модели (B,S)~ рынка и разработать процедуру идентификации значений ненаблюдаемой переменной для этого случая;

- разработать мультиномиальную модель неполного финансового рынка и предложить ее эконометрический вариант;

- провести верификацию предлагаемых моделей и методик.

Область исследования — Содержание диссертации соответствует пункту 1.6 «Математический анализ и моделирование процессов в финансовом секторе экономики, развитие метода финансовой математики и актуарных расчетов» специальности 08.00.13 Математические и инструментальные методы экономики Паспорта специальностей ВАК РФ.

Теоретической и методологической основой исследования послужили современные достижения экономической и математической науки, содержащиеся в трудах отечественных и зарубежных ученых по теории финансовых рынков, теории риска и моделированию рисковых ситуаций, инвестиционному менеджменту. Для решения поставленных задач прикладного исследования применялись методы эконометрического моделирования, прогнозирования, имитационного моделирования, экспертного оценивания. Расчеты проводились с использованием программно-инструментальных средств MS Excel и Statistica.

Информационную базу исследования составили данные информационно-аналитических материалов по исследуемой проблеме, представленные в научной литературе, периодической печати и сети Интернет, в частности, данные, размещенные на сайте Российской торговой системы (www.rts.ru).

Научная новизна исследования состоит в разработке подхода к моделированию стоимости опционов на основе введенного понятия «риск-трендовая оценка» и эконометрических моделей специального вида, обеспечивающих получение таких оценок.

Научная новизна реализована в следующих результатах, полученных лично автором:

1. Введено понятие «риск-трендовая оценка», которое было положено в основу методики расчета оценки внутренней стоимости опциона, ориентация на которую позволяет инвестору повысить обоснованность принимаемых решений по выбору необходимого опциона.

2. Разработан эконометрический вариант биномиальной модели (B,S)~ рынка, с помощью которого удается в рамках методики риск-нейтрального оценивания рассчитать риск-трендовую оценку стоимости опциона.

3. Сформулирована гипотеза альтернативных ожиданий, предназначенная для идентификации значений ненаблюдаемой переменной при построении эконометрического варианта биномиальной модели (B,S)~ рынка.

4. Предложена мультиномиальная модель неполного рынка, позволяющая обосновать возможность применения на неполных рынках инструментов хеджирования полного рынка с вероятностной оценкой надежности.

5. Разработан эконометрический вариант мультиномиальной модели неполного рынка, обеспечивающий распространение методики риск-трендового оценивания стоимости опционов на неполные рынки.

Теоретическая значимость исследования. Сформулированные в диссертации положения могут служить научно-методической основой для дальнейших исследований, ориентированных на развитие и совершенствование математического аппарата оценки стоимости опционов на неполных рынках.

Практическая значимость исследования заключается в том, что его результаты, доведенные до уровня практических рекомендаций и конкретных методик расчета оценки стоимости опционов, могут быть использованы участниками рынка срочных финансовых инструментов.

Апробация и внедрение результатов исследования. Основные результаты работы прошли апробацию и получили положительную оценку на семинарах и научных сессиях в Воронежском государственном университете; международных научно-практической конференциях: «Экономическое прогнозирование: модели и методы» (Воронеж, 2009), «Анализ, моделирование и прогнозирование экономических процессов» (Воронеж, 2009); всероссийских научно-практических конференциях: «Инноватизация в России: успехи, проблемы и перспективы (Пенза, 2009); «Электронный бизнес: проблемы, развитие и перспективы» (Воронеж, 2008), «Современная математика и проблемы математического образования» (Орел, 2009).

Работа выполнялась в соответствии с комплексной программой научных исследований кафедры информационных технологий и математических методов в экономике Воронежского государственного университета «Математическое моделирование и информационные технологии в управлении экономическими процессами».

Основные результаты исследования используются в учебном процессе Воронежского государственного университета.

Руководством Акционерного коммерческого банка «Национальный резервный банк» (ОАО) признана целесообразность использования отдельных результатов диссертационного исследования в практической деятельности банка.

Публикации. По теме диссертационного исследования опубликовано 10 работ, в том числе 2 статьи в журналах, рекомендованном ВАК РФ. Список публикаций приведен в конце автореферата. В работах, выполненных в соавторстве, соискатель: обосновал возможность использования эконометриче-ского подхода к оценке стоимости опционов; разработал эконометрическую модель, позволяющую повысить адекватность расчетов риск-нейтральной цены опционов; описал стартовый и финальный риски опционных стратегий; предложил методику моделирования риск-трендовых оценок стоимости опционов.

Структура и содержание работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, библиографического списка из 145 наименований и приложения.

Диссертация: заключение по теме "Математические и инструментальные методы экономики", Богданова, Светлана Юрьевна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе на основе выполненных теоретических и прикладных исследований в области моделирования риск-нейтральных и риск-трендовых оценок стоимости опционов на (Д£)-рынке сформулированы выводы, заключающиеся в следующем:

1. Авторы термина «справедливая цена опциона» вложили в него такой содержательный смысл, который, по сути, стал индульгенцией, надежно защитившей его от критики. В рамках этой индульгенции справедливой цене прощают даже то, что по этой цене никто не продает, и никто не покупает опционы. Поэтому, теоретическая цена, определяемая биржей по Блэку — Шоулсу, устанавливает только барьер между предложением и спросом на опционы, оставляя проблемы инвесторов не решенными. Введение в диссертации понятия «риск-трендовая цена» позволяет создать аппарат, ориентированный на обоснование инвестиционных решений.

2. Расчет риск-трендовой цены опциона предполагает применение эконометрического подхода. Известно, что эконометрическое моделирование не всегда приводит к однозначному результату. Возможны ситуации, когда один и тот же процесс может описываться несколькими адекватными моделями. Поэтому важно при реализации эконометрического подхода построить модели, в которых будут отражены общепризнанные механизмы эволюции цен базовых активов. На полном рынке эти механизмы описываются биномиальной моделью (Д5)-рынка, которая является дискретной, и непрерывным выражением, которое используется при выводе формулы Блэка — Шоулса. Реализуя идею воспроизведения проверенных механизмов эволюции цен, в диссертации была построена дискретно-непрерывная модель, в которой нашел отражение опыт моделирования (Д5)-рынка.

3. Особенность эконометрической модели (Д5)-рынка в том, что при ее спецификации необходимо предусмотреть возможность применения для расчетов в интерполяционном режиме, когда воспроизводится однозначность исторического периода, и в экстраполяционном режиме, когда воспроизводится альтернативность ожидаемых результатов. Естественно, это требует специальной методики воспроизведения на исторических данных эволюции цен, альтернативность которой распределена во времени, путем восстановления ненаблюдаемой переменной с помощью гипотезы альтернативных ожиданий. Несмотря на сложность разработанной для этих целей методики, логика всех расчетов легко поддается алгоритмизации и может быть автоматизирована для практического использования.

4. Неполные рынки, допуская более сложное вероятностное устройство цен базового актива, демонстрируют серьезный шаг отхода от идеальности Д5)-рынка. Несмотря на это, во всех исследованиях неполного рынка неявным эталоном присутствует риск-нейтральная цена, с которой без достаточных на то оснований сравниваются предлагаемые оценки. В диссертационной работе предложена мультиномиальная модель (Д£)-рынка, объясняющая природу неполного рынка и его взаимосвязь с полным. В соответствии с этой моделью, неполный рынок допускает возможность использования инструментов хеджирования полного рынка, но с некоторым риском в виде вероятностной оценки. Это означает, что в некоторых ситуациях для моделирования оценок стоимости опционов на неполных рынках можно использовать аппарат, разработанный для условий полного рынка, с соответствующей вероятностной оценкой надежности получаемых результатов.

5. Для распространения методики риск-трендового оценивания опционов на неполные рынки разработан эконометрический вариант мультиномиальной модели (Д5)-рынка. Модель может рассматриваться как обобщение эконометрического варианта биномиальной модели, в котором многофакторное устройство дискретной составляющей и более сложный вероятностный механизм эволюционирования цены базового актива. Модель обеспечивает расчет риск-трендовых оценок стоимости опционов на неполном рынке, а также формирование взвешенной и наиболее вероятной риск-трендовой оценки опционов. Эмпирические исследования показали, что предлагаемая модель переводит идею риск-трендового оценивания опционов в практическую плоскость.