Математические и инструментальные методы анализа и прогнозирования экономических временных рядов с памятью тема диссертации по экономике, полный текст автореферата

Автореферат диссертации по теме "Математические и инструментальные методы анализа и прогнозирования экономических временных рядов с памятью"

На правахрукописи

Узденов Руслан Халитович

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И ИНСТРУМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА И ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ С ПАМЯТЬЮ

08.00.13 — Математические и инструментальные методы! экономики

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата экономических наук

Кисловодск - 2004

Работа выполнена в Карачаево-Черкесской государственной технологической академии

Научный руководитель: - доктор физико-математических наук,

профессор

Перепелица Виталий Афанасьевич

Официальные оппоненты: - доктор экономических наук, профессор

Кардаш Виктор Алексеевич

- кандидат экономических наук, доцент Тахтамышева Зарема Шахамбиевна

Ведущая организация: - Ставропольский государственный

университет

Защита состоится « 30 » октября 2004 г в 10® часов на заседании диссертационного совета ДМ 521.002.01 при Кисловодском институте экономики и права по адресу: 357700, Россия, Ставропольский край, г.Кисловодск, ул. Розы Люксембург, 42, КИЭП.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Кисловодского института экономики и права

Автореферат разослан » сентября 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета.

В.А. Дмитриев

1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Прогнозирование предполагает научно-обоснованное суждение о возможных состояниях экономической системы в будущем, об альтернативных путях и сроках его осуществления, оно должно предполагать получение качественных оценок этих состояний при помощи математических и инструментальных средств реализации. Прогнозирование особенно необходимо в условиях рынка, насыщенного конкурирующими участниками с медленными (товарными), среднего темпа (финансовыми) и быстрыми (информационными) потоками в нем. С ростом объемов экономического программирования и индикативного планирования объемов производства и затрат, прогнозирования с вероятностным характером своих переменных становится все более важным этапом как любого менеджерского проекта, так и, в особенности, в случае государственного регулирования рыночных и социальных отношений.

Сложившейся к настоящему времени методологии экономико-математического прогнозирования присущи общие черты. Практически все прогнозные модели в той или иной мере используют экстраполяцию прошлых тенденций в отношении как общенациональных, так и частичных показателей производства, народонаселения, технического прогресса Общая черта эконометрических и эмпирических прогнозов - стремление на основе отдельных, частичных показателей составить общую картину будущего экономического роста. При этом постулируется, вообще говоря, оправданный принцип, который гласит, что характер поведения его времени основного показателя наблюдаемого эволюционного процесса или системы отражает в завуалированной форме весь спектр воздействия внешней среды на нее и, таким образом, на поведение всей экономической системы. Чаще всего это поведение отражается и представляется в виде временного ряда (ВР)

Тема настоящей диссертационной работы продиктована следующим обстоятельством. Как отмечено в книге математика-экономиста Э.Петерса1, современная экономическая теория вступила в новую фазу своего развития. Это обусловлено несколькими факторами. Во-первых, усложнением и глобализацией мировой экономики. Во-вторых, вторжением в науку математических методов нелинейной динамики. И наконец, рождением новейших компьютерных технологий, сделавших возможным исследование сложных

1 Петере Э Хаос и порядок на рынках каптала Новый аналитический взгляд на циклы, цены и изменчивость рынка. -М. Мир, 2000 -333 с

Г

ЮС. национальная! библиотека i

явлений и процессов, образно говоря, на экране дисплея. Добавим, что эти технологии реализуются через использование новейших математических инструментов: фрактальная геометрия, теория хаоса, клеточные автоматы и другие, входящие составными частями в новую, нелинейную парадигму, точнее в совокупный инструментарий ее реализации. Суть термина «нелинейная парадигма», образно говоря, можно выразить следующим заключением: для многих реальных эволюционных процессов и систем малое изменение или возмущение так называемого параметра порядка может кардинальным (иногда катастрофическим образом) изменить характер поведения этой системы. Для большей ясности добавим, что классическая (линейная) парадигма предполагает, что поведение наблюдаемого эволюционного процесса подчиняется нормальному закону. Последнее обеспечивает выполнение принципа: малое возмущение в малой степени отражается на характере поведения системы. Важно отметить, что классические методы прогнозирования экономических ВР базируются на математическом аппарате эконометрики, при этом, что принципиально важно, это базирование осуществляется в предположении, что наблюдения, составляющие прогнозируемый ВР, являются независимыми, в силу чего выполняется необходимое подчинение нормальному закону. Последнее, однако, является скорее исключением, чем правилом для экономических ВР, которые обладают так называемой долговременной памятью. К настоящему времени отсутствуют сколь нибудь завершенные теории прогнозирования ВР с памятью и, таким образом, несомненно актуальной является необходимость разработки адекватных методов для их прогнозирования.

К вышесказанному следует добавить, что во многих реальных случаях классические методы прогнозирования сохраняют адекватность и обеспечивают эффективность, т.е. достаточную точность получаемых прогнозов. Поэтому, речь идет по существу об актуальной проблеме разработки и обоснования гибридных моделей и методов прогнозирования, использующих подходы и методы как линейной, так и нелинейной парадигмы. Актуальность выбранной темы исследования обусловлена также и тем, что все еще остается не преходящим скепсис практиков в отношении качества прогнозов. Утверждается, что общий темп роста, обычно символизируемый валовым национальным продуктов, не поддается прогнозом; что методы, используемые для получения прогнозов либо чрезмерно упрощены, либо не адекватны, т.е. далеки от реальности; что методы экстраполяции не надежны из-за неопределенности потрясений. В контексте переживаемого этапа

структурной перестройки Российской экономики высказанные упреки в некоторых случаях могут оказаться вполне обоснованными, ибо на этом этапе традиционные методы прогнозирования не дают реального эффекта, поскольку ориентированы на нормально функционирующий рынок, для которого, что принципиально важно, имели место периоды наблюдений и поэтому существуют достаточные объемы необходимых статистических данных. Поэтому актуальной является проблема разработки и обоснования надежных методов прогнозирования в условиях недостаточности данных, т.е. для случая коротких ВР.

Степень разработанности проблемы. Бум прогнозирования пришелся на рубеж 50-60-х годов, когда прогнозы использовались в политике капитальных вложений и научных исследований, в борьбе за рынки и источники сырья, а государственное программирование активно воздействовало на эти тенденции, особенно в долговременных прогнозах.

Большой вклад в развитие теоретической прогностики внесли зарубежные ученые: особо можно отметить труды И.Бернара, Н. Винера, Д.Ж. Джоисто-на, Ж.-К.Колли, В.В.Леонтьева, К.Паррамоу, М. Песарана, О. М.Дж.Кендалла, Ю.Колека, Л.Слейтера и др. История развития продуктивной прикладной прогностики начинается с прогнозов Г.Ландсберга, Л.Фишмана, Дж. Фишера «Ресурсы в будущем Америки. Потребности и возможности их удовлетворения в 1960-2000 г.г.», прогноза Дж.Ф.Дьюхорста, Дж.О.Коппока, П.Л, Йейста и др. «Потребности и ресурсы Европы» (1961 г.) - десятилетнего прогноза развития экономики 18 западноевропейских стран; сборника (1962 г.) «Будущее Европы в цифрах» (прогноз до 1970 г., Бельгии -до 1975 г.) и др.

В бывшем СССР проводились серьезные экономические прогностические исследования. Отметим выдающиеся труды известных советских и российских ученых: А.Г. Аганбегяна, Л.В.Канторовича, С.А. Айвазяна, В.А Кардаша, B.C. Немчинова, В.В. Новожилова, Н.П. Федоренко, С.С. Шаталина, А.Н. Ширяева, а также труды соотечественников: ВАБуторова, И.В.Бестужева-Лады, И.Г.Винтизенко, Г.В.Гореловой, ААХорчакова, В.Е.Демидова, АС.Емельянова, Э.Б.Ершова, С.В.Жака, П. С.Завьялова, А.Н.Ильченко, В.И.Калиниченко, В.В.Ковалева, Ф.М.Левшина, Ю.П.Лукашина, В.И.Максименко, Е.Н.Мельниковой, А.В.Морозова, А.Л. Новоселова, Г.Н. Хубаева, Б.В. Рязанова, Е.М.Четыркина и др.

При большом числе серьезных работ, широте исследований, обилии полученных в прогнозировании результатов, все еще находятся разделы фу-

турологической науки, в которых новые методы могут улучшить решение, сделать его универсальным, конструктивным и более точным. Важно отметить, что последнее десятилетие — это начало активного изучения и переосмысливание вопросов математического моделирования экономических процессов. Пересматриваются законы линейной парадигмы, появляются публикации (Б.М. Фридман, Д.И. Лейсбон, Е. Д. Вейгель, А.Л. Тернер и др.), в которых отмечается, что многие экономические процессы не следуют нормальному закону распределения. Это в свою очередь ставит вопрос о неправомерности применения известных классических методов прогнозирования эволюционных процессов. В контексте экономических теорий появляется экономическая синергетика, как наука, занимающаяся изучением хаоса в поведении, что устойчивой эволюционирующей экономической системы не существует. Исследованию этих вопросов посвящены работы как, в основном, зарубежных, так и отечественных авторов: А.Е. Андерсон, Дж. Грен-дмонт, В.-Б.Занг, Б.Мандельброт, Э.Петерс, АИ. Пригожин, Э.Сигел, Р.Чен, В.А. Долятовский, СП. Курдюмов, Г.Г. Малинецкий и др.

В контексте перехода на нелинейную парадигму возникла необходимость пересмотра классификации типичных экономических процессов и разработки принципиально новых подходов к анализу экономических временных рядов и построению адекватных прогнозных моделей, подразумевая при этом использовать в максимальной степени возможности систем компьютерной математики с компьютерной реализацией и визуализацией.

Цель и задачи исследования. Целью настоящей диссертационной работы является разработка на базе новых компьютерных технологий математических и инструментальных методов анализа и прогнозирования экономических временных рядов с памятью с использованием таких новых математических инструментов, как линейные клеточные автоматы, фрактальная геометрия, теория детерминированного хаоса, нечеткие множества, фазовые траектории, экспертные системы, которые являются составной частью нелинейной парадигмы. В соответствии с поставленной целью работы решались следующие задачи:

- уточнить сущность характерных особенностей динамики эволюционирования экономических временных рядов с памятью;

- сформировать перечень фундаментальных свойств, характеризующих динамику временного ряда, для уровней (наблюдений) которых не выполняются условия независимости (глубина долговременной памяти, персистентность или антиперсистентность, трендоустойчивость или

реверсирование чаще случайного, цвет шума) и сформулировать для каждого свойства его содержательную интерпретацию в контексте проблемы прогнозирования;

- с целью предпрогнозного исследования экономических временных рядов с памятью предложить функционально завершенную систему моделей и методов фрактального анализа этих рядов;

- экспериментальное исследование на ПЭВМ и подтверждение применимости предложенных моделей и методов фрактального анализа на конкретных экономических временных рядах (индексов ВВП и индексов промышленного роста отдельной страны, объемов жилищного строительства региона, индексов цен в строительстве) для получения прогнозной информации и выявления особенностей поведения дина" мики временных рядов, относящихся к различным сферам экономики;

- развитие и адаптация известной клеточно-автоматной прогнозной модели к рассматриваемому семейству экономических временных рядов, в частности, разработка нового метода преобразования числового временного ряда в лингвистический временной ряд и перевод работы клеточного автомата с нулевого радиуса на радиус один и более;

- экспериментальные исследования на ПЭВМ и оценка эффективности работы адаптированной прогнозной клеточно-автоматной модели на рассматриваемых экономических временных рядах, включая ряд, представляющий собой остаточную (нерегулярную или «случайную») компоненту, которая получается после вычленения из рассматриваемого ряда компонент тренда, сезонности и цикличности;

- построение, визуализация и использование фазовых портретов временных рядов для получения дополнительной прогнозной информации. Объектом исследования являются макроэкономические и региональные финансово-экономические и производственные системы, основные показатели которых эволюционируют во времени.

Предметом исследования являются моделирование, анализ и прогнозирование сложных финансово-экономических процессов, протекающих в неустойчивой рыночной экономической среде при вариации классов их временного поведения.

Методология и методы исследования. Теоретической и методологической основой исследования послужили фундаментальные концепции и прикладные исследования, содержащиеся в работах отечественных и зарубежных ученых, посвященные вопросам моделирования и прогнозирования,

а также содержательной экономической интерпретации прогнозных процессов и результатов.

В качестве аппарата исследования применялись методы системного анализа дискретной математики, теории нечетких множеств, статистического анализа временных рядов, фрактального анализа, фазовых портретов и клеточных автоматов.

Информационную базу исследования составили аналитические и статистические материалы Госкомстатов России и Украины, а также органов региональной власти и научно-практические публикации по финансово-экономическим вопросам.

Диссертационная работа выполнена в соответствии с пунктом 1.8 «Паспорта специальности 08.00.13 - математические и инструментальные методы экономики»: «Математическое моделирование экономической конъюнктуры, деловой активности, определение трендов, циклов и тенденций развития».

Научная новизна работы. Научная новизна диссертационного исследования заключается в решении научной задачи — создание целостного теоретического, методологического и инструментального обеспечения для математического моделирования, анализа и прогнозирования экономических временных рядов. Научную новизну содержат следующие положения:

1. Развита концепция фрактального анализа экономических временных рядов с памятью, разработано и апробировано на конкретных временных рядах математическое обеспечение реализации на ПЭВМ этого анализа с целью получения предпрогнозной информации, включая ее содержательную интерпретацию.

2. Разработан и апробирован новый метод преобразования временных рядов макроэкономических показателей в соответствующие лингвистические ряды, что позволяет снять проблему ограниченной преемственности макроэкономических данных и, вместе с тем, использовать известную клеточно-автоматную прогнозную модель.

3. Исследована событийная составляющая динамики временных рядов и предложен метод ее выделения с помощью R/S- анализа.

4. Исследованы временные ряды с неограниченной глубиной памяти, для которых предложены анализ и прогнозирование на базе временных рядов их приращений.

5. На примере временных рядов индексов ВВП осуществлены фрактальный анализ и прогнозирование их остаточной нерегулярной компонен-

ты уровня, полученного после вычленения компонент тренда, сезонности и цикличности.

6. Осуществлено распространение и развитие гибридного подхода, реализованного в виде двух вариантов процесса прогнозирования: 1)совместное использование R/S-анализа, клеточно-автоматной прогнозной модели и фазовых портретов; 2)использование классической декомпозиции временного ряда на детерминированные компоненты и последующее применение клеточно-автоматной прогнозной модели к остаточной компоненте.

Практическая значимость полученных результатов. Практическая значимость работы определяется тем, что основные положения, выводы, рекомендации, модели, методы и алгоритмы диссертации ориентированы на широкое использование организационно-экономического, методического, алгоритмического обеспечения и инструментальных средств и могут быть использованы финансовыми учреждениями, органами регионального управления, разработчиками информационно-аналитических систем для поддержки принятия управленческих решений на различных уровнях социальной, экономической и административной деятельности.

Предложенные методы, алгоритмы, модели и программы апробированы на реальных экономических временных рядах и оправдали себя. Их корректность и адекватность подтверждаются расчетами на конкретных материалах прогнозирования как применительно к макроэкономическими данным, так и региональным показателям в отрасли жилищного строительства, растениеводства, производства стройматериалов.

Обоснованность и достоверность научных положений, выводов и рекомендаций подтверждается применением: системного анализа, математических и инструментальных методов экономики, включая статистику, эконометрику, прогностику; построением информационных моделей, включая проверенные практикой методы экспертных систем; известных методов теории нечетких множеств и теории клеточных автоматов; построением экономико-математических моделей, реализующих методы анализа и прогнозирования на базе современных информационных технологий; наглядной визуализацией результатов моделирования, анализа и прогнозирования; документальным характером использованных данных по объектам приложений разработанных моделей и методов.

На защиту выносятся следующие основные положения:

1. Концепция предпрогнозного исследования экономических временных рядов с памятью, реализуемая на базе инструментария фрактального анализа и теории нечетких множеств.

2. Метод трендовых коридоров для преобразования в лингвистические временные ряды таких числовых временных рядов, для которых существует проблема ограниченной преемственности макроэкономических данных, характерных для экономики переходного периода.

3. Расширенная клеточно-автоматная прогнозная модель, учитывающая прогнозную информацию в окрестности радиуса 1 и более.

4. Экспериментальное установление факта наличия детерминированной прогнозной компоненты в составе остаточной нерегулярной компоненты.

5. Метод обнаружения и выделения событийной составляющей в динамике экономических временных рядов.

6. Метод использования рядов приращений для фрактального анализа и прогнозирования временных рядов с неограниченной памятью.

7. Гибридный подход к построению, визуализации и совместному использованию фазовых портретов и R/S- анализа временных рядов для получения дополнительной прогнозной информации.

Апробация и внедрение результатов исследования. Результаты исследования и его положения докладывались и получили положительную оценку на следующих конференциях и симпозиумах, проводимых различными академическими учреждениями и высшими учебными заведениями России:

- на Международной научно-практической конференции «Основы достижения устойчивого развития сельского хозяйства» (Волгоград, 2004);

- на V и VI Всероссийских симпозиумах «Математическое моделирование и компьютерные технологии» (Кисловодск, 2002,2004);

- на Ш Международной научно-практической конференции «Математическое моделирование в образовании, науке и производстве» (Тирасполь, 2003);

- на Международном российско-казахском симпозиуме «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики» (Нальчик, 2004);

- на III и IV Международных конференциях «Новые технологии в управлении, бизнесе и праве» (Невинномысск, 2003,2004);

- на Ш Международной научно -практической конференции «Проблемы регионального управления, экономики, права и инновационных процессов в образовании» (Таганрог, 2003);

- на Международной школе-семинаре по геометрии и анализу, посвященную памяти Н.В. Ефимова (п.Абрау-Дюрсо, 2004);

- на V Региональной научно-практической конференции «От фундаментальной науки - к решению прикладных задач современности» (Черкесск, 2004).

Результаты исследования, отдельные положения и рекомендации получили принципиальное одобрение Министерства экономики КЧР и Министерства лесного хозяйства КЧР. Разработанные модели фрактального анализа и прогнозирования включены в лекционный материал «Экономическая кибернетика» для студентов специальности «Прикладная математика» Карачаево-Черкесской государственной технологической академии.

Публикации. Основные результаты диссертации были опубликованы в 10 печатных работах общим объемом 4,65 п.л., в которых автору в совокупности принадлежит 1,35 п. л.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения, списка использованной литературы, приложений. Текст диссертации изложен на 135 страницах, включает 11 таблиц, 51 рисунков. Список использованной литературы состоит из 88 источников.

2. СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертационного исследования, сформулирована цель работы, описана структура и дан краткий обзор работы, изложены основные научные результаты, выносимые на защиту.

В главе 1 «Структурирование данных для дискретных эволюционных процессов и классическое прогнозирование временных рядов» дан краткий обзор существующих к настоящему времени методов структурирования. Считается методологически завершенной теория структурирования целей в системном анализе, а также структурирование компонент временных рядов с точки зрения их прогнозирования. Применительно к эволюционным процессам структурирование данных направлено на то, чтобы исследователь имел четкое представление о моделях поведения учитываемых данных, а также о методах, с помощью которых эти данные можно оценить.

Наиболее предпочтительными для прогнозирования являются аналитические модели, включая использование информации об одном из измерений для более качественного предсказания другого измерения. Последнее в рамках эконометрики обычно реализуется двумя базовыми инструментами: корреляционный анализ, позволяющий оценить степень взаимосвязи между двумя факторами и регрессионный анализ, показывающий, как можно предсказать или управлять одной из двух переменных с помощью другой. Эволюционные процессы чаще всего проявляются в виде ряда последовательно расположенных в хронологическом порядке значений того или иного показателя, называемых временными рядами. Временные ряды отличаются от данных об одном временном срезе в том отношении, что в случае временных рядов сама последовательность наблюдений несет в себе важную информацию.

Анализируя основные принципы классических методов прогнозирования временных рядов, следует отметить, что современное прогнозирование предполагает научно обоснованное суждение о возможных состояниях некоторой системы в будущем, об альтернативных путях и сроках его осуществления, оно предпочитает получение количественных оценок этих состояний при помощи математических и инструментальных средств реализации. Прогнозирование необходимо в условиях рынка, насыщенного конкурирующими участниками с медленными (товарными), среднего темпа (финансовыми) и быстрыми (информационными) потоками на нем. С ростом объемов экономического программирования и индикативного планирования качества и затрат, прогнозирование с вероятностным характером своих переменных становится все более важным этапом любого проекта.

Отмечается, что к настоящему времени в экономико-математических публикациях уже сложилось классическое представление о структурировании временного ряда при построении для него прогнозной модели. Эту структуру составляют следующие 4 компоненты: 1) долгосрочная тенденция (тренд); 2) точное повторение сезонных моделей поведения; 3) циклы, т.е. непериодические («блуждающие») циклические подъемы и падения; 4) случайный, нерегулярный шум. Прогноз получается путем наложения прогнозной модели для каждой из перечисленных четырех компонент. В главе 1 представлен перечень простейших известных моделей тренда, которые потенциально могут востребованными в настоящем диссертационном исследовании.

Изучая особенности классификации технического состояния сложных систем, можно говорить о существовании двух параллельных направлений в

этой теории. Объекты первого из этих направлений нередко оказываются востребованными в экономико-математическом моделировании, т.к. имеют социально-экономическое содержание. Объектами второго направления являются сложные системы техногенного происхождения из различных областей жизнедеятельности.

В главе 2 «Получение предпрогнозной информации с помощью фрактального анализа» предлагаются инструментальные и математические методы моделирования таких временных рядов, которые обладают долговременной памятью и, вместе с тем, в характере их поведения появляется хаотичность. При этом следует отметить, что математический инструментарий классической эконометрики разрабатывался и обосновывался, опираясь на следующее предположение: поведение рассматриваемого процесса подчиняется нормальному закону. Проделанные различные исследования с очевидностью говорят о том, что показатели большинства природных и экономических систем не подчиняются нормальному закону или другим известным распределениям, в силу того, что уровни (наблюдения) этих показателей не являются независимыми. Но если экономические показатели не являются нормально распределенными, то тогда множество методов статистического анализа, в частности такие способы диагностики как коэффициенты корреляции, t-статистики др. серьезно подрывают к себе доверие, поскольку могут давать ошибочные результаты.

Используемые в настоящем исследовании инструментальные и математические методы, базирующиеся на методе фрактального анализа, в частности на алгоритме R/S - анализа, представляют собой такую принципиально новую базу для прогнозирования дискретных эволюционных процессов, для которой вопрос о независомости наблюдений просто не стоит. Приведем описание этого алгоритма, используя в качестве иллюстративного предмета проведенного исследования ВР помесячного индекса ВВП в Украине за период 1994-2003гг. (число наблюдений п=118).

Обозначим через Z представленный гистограммой на рис.1 временной ряд(ВР)

в котором последовательно выделяем его начальные отрезки Z,=zl,z1,...,z,, т = 3,4,...,п, для каждого из которых вычисляем текущее среднее z, =— . Далее для каждого фиксированного Zr, т = 3,4,...,п вычисляем накопленное отклонение для его отрезков длины = 2(zi_z*)> i = l>'r- После чего вы-

числяем разность между максимальным и минимальным накопленными отклонениями T? = /?(z')=max(X'„)-min(X'ti,) которую принято называть термином "размах R". Этот размах нормируется, т.е. представляется в виде дроби R/S, где S = S(r)- стандартное отклонение для отрезка ВР , 3<т<п.

Показатель Херста Н = Н(т), характеризующий фрактальную размерность рассматриваемого ВР и соответствующий ему цвет шума, получаем из соотношения R/S=(a-г)*, Н=Н(г). Логарифмируя обе части этого равенства и полагая а = 1/2, получаем значения декартовых к о о р д и н^зтУ о -

чек - траектории, ординаты которых и абсциссы

Требуемая для фрактального анализа ряда (2.1) R/S - траектория представляется в логарифмических координатах последовательностью точек, абсциссы которых х, =log(r/2), а ординаты yt =^(/г(т)/5(т)). Соединяя отрезком соседние точки получаем графическое представление R/S - траектории (Y-траектории) в логарифмических координатах (в обычных декартовых координатах).

Одной из основных фрактальных характеристик ВР является цвет шума, который соответствует этому ряду на том или другом временном отрезке. Значения Я >2/3 определяют собой черный цвет шума. Чем больше значение

тем большая трендоустойчивость присуща соответствующему отрезку ВР. Значения Н в окрестности ~0,5±0,1 определяют собой область белого шума, который соответствует " хаотичному поведению и, следовательно, наименьшей надежности прогноза. Значения Н в окрестности определяют собой пребывание соответствующего отрезка ВР в об-

ласти розового шума. Розовый шум говорит о присущем рассматриваемому отрезку ВР свойстве ангиперсистентуости в случае, который означает, что ВР реверсирует чаще, чем ряд случайный (частый возврат к среднему). Рассматриваемым в настоящей работе рядам, за редким исключением, присущи черный и белый шумы, а также, нестрого говоря, "серый шум", соответствующий области нечеткого разграничения между областями черного и белого шумов.

В настоящей работе осуществлен массовый фрактальный анализ, т.е. построены Н- и R/S-траектории для отрезков Z1: z\, i = tZ,...,nr, nr =п~г, r = l,m, m<n временного ряда (1), где Z't = Z,+r, т.е.

ВР Zr получается путем отсечения первых г элементов ВР (1). На основании полученных результатов можно утверждать, что рассматриваемый ВР состоит из квазициклов (в переводе с греческого «квази»-это «как бы»). На рис.2 представлен иллюстративный пример R/S- и Н- траекторий, где в точке 6 произошла смне тренда в отрезке Z54. Такого вида точки смены тренда чаще всего представляют собой окончание указанных квазициклов.

Рис.2. К/8-траектория и Н- траектория отрезка 254БР(1)

Важнейший вывод, вытекающий из установленного факта наличия долговременной памяти в рассматриваемом временном ряде ВВП, состоит в возможности разработки клеточно-автоматной прогнозной модели для этого ВР. Предложенные в настоящей работе инструментальные методы прогнозирования временных рядов с памятью базируются на математическом аппарате теории клеточных автоматов и теории нечетких множеств.

. Алгоритм оценки глубины долговременной памяти и представления ее в виде нечеткого множества состоит из 5 этапов:

Этап 1. Формирование на базе ВР (1) семейства

s(z) = \z[,i = l,2.....л,; г = 1,2.....т), состоящего из т временных рядов Zr, где

индексом t занумерованы элементы г-го ряда, получаемого из (г-1)-го ВР путем удаления его первого элемента z['1 Здесь т определяется как наибольшее значение индекса г такое, что при z=m ряд zf, j" =l,2,...,nm еще имеет точку смены тренда в его R/S- траектории; исходный ВР (1) также принадлежит семейству S(Z), в котором ему присвоено значение индекса

Этап 2 осуществляет R/S- анализ временных рядов из семейства S{Z) и формирование нечеткого множества значений глубины памяти для всех ВР этого семейства.

Пусть для каждого из ВР Zr, г = 1,т в результате его Rl S - анализа построены R/S- траектория и Я - траектория, определяющие собой номер I, - ой точки, в которой произошла смена тренда, т.е. 1Г — это номер находящейся «выше» зоны белого шума первой по порядку точки, в которой Н— траектория получила отрицательное приращение, a R/S -траектория сменила тренд.

Таблица 1

Глубина 1 4 5 6 7 S 9 10 11 13 15 16

Количество N(l) 20 30 31 12 12 4 1 1 2 1 1

Даля d(l) 0,17 0.26 0,27 0,1 0,1 0,04 0,01 0,01 0,02 0,01 0,01

Значения функции принадлежности Kl) 0,6 0,87 0,9 0,35 0,35 0,12 0,03 0,03 0,06 0,03 0,03

Введем следующие обозначения: Ы{1)-ко.'шчество всех рядов г', г = 1, пГ из семейства S(Z), у каждого го которых номер точки смены тренда /, равен

числу 1; I° =mm 1Л =гпах/л; т = ¿(/) = -^-доля таких рядов в

к«™ iSrim W т

S{Z), у каждого из которых потеря памяти произошла на глубине I; Щ) = {/}-множество значений номеров точек смены тренда в рядах из семейства S(Zy, M(L) = {(/,/i(0)}—нечеткое множество (НМ) глубины памяти для начального BP (1), р(0 - это значения функции принадлежности «глубины I» нечеткому множеству M{Z). Значения ¡х(0 пропорциональны числам d(l), I е L(Z) и получаются путем нормирова-

ния значений долей ¿(7) так, что /4.1) < 1 для всякого /е 1(5) Результат работы этапа 2 для ВР (1) индекса ВВП представлены в таб 1. Значения элементов последней строки в таб 1 вычисляются следующим образом. Сначала находим максимальную долю <1* = шах^(') (в таб.1 з н а ч ¿♦вСЙ'е и соответствующую ей глубину /*=(</(/*)) = /", (в таб 1. значение /*=6) Далее для каждой глубины С экспертным путем устанавливается значение функции принадлежности ц' = ¡М1') (в таб 1 значение 9). После чего для ос-

тальных элементов 1еЦ2) соответствующие им значения функции принадлежности вычисляются по формуле

Этап 3. Формирование НММ(Х) для семейства 5 (г) осуществляется путем попарного объединения элементов первой и последней строк таблицы вида таб 1. Например, конкретно из таб. 1 .получаем НМ М(7)={(4,0.58),(5;.87),(6,0.9),(7;0.35),(8,0.35),(9,0.12),(10,0.03),

(И;0.03), (13,0.06),(15;0.03),(16,0 03). (2)

Для наглядности на рис.3 представлено геометрическое изображение этого НМ.

35-

А ■у.

*

1,, 10 $ N %

- /

П--гп--

4 5 а 7 в « 10 11 13 1$ к

Рис 3. Геометрическое представление НМ глубины памяти для ВР (1) помесячного индекса ВВП

Выводы, вытекающие из результатов выполненных расчетов, состоят в следующем.

1. Глубина памяти конкретного ВР не является фиксированным числом; ее величина меняется вдоль рассматриваемого ВР, т е для различных его отрезков она является различной, например, как видно из таб 1, для ВР индекса ВВП, численное значение глубины памяти колеблется в отрезке натурального ряда 4,5.....16. Однако важно отметить, что свыше 90% ВР из

5(2) имеют значение глубины памяти 4< / <8 и для 70 % этих ВР глубина памяти принимает лишь значение 4< I <6. 2. Для численного представления глубины памяти рассматриваемого ВР 2 наиболее целесообразным приставляется математический аппарат теории нечетких множеств, т.е. оцениваемая глубина представляет собой нечеткое множество

{(/,я(')}> +1,...,ь0}, (3)

где I - численное значение встречающейся глубины памяти,или точнее, значением глубины 1°=п ¡¡(Г) - значение функции принадлежности для этой глубины и

Рис. 4. Гистограмма ВР U приращений индекса цен в строительстве

Для прогнозирования ВР с неограниченной глубиной памяти предлагается использовать вместо исходного ВР временной ряд его приращений (см. рис.4)

С целью выявления информативных для прогнозирования характеристик относительно динамики таких ВР автором рассмотрен ВР У-.у,, 1=1,2,...,п индексов цен в строительстве. Результаты фрактального

анализа этого ВР оказались неинформативными с точки зрения получения предпрогнозной информации. Более информативным явился результат фрактального анализа ВР приращений и:и{ / = 1,2,...,» —1, гдеи,=ум-у,— приращение ьго элемента ВР ^ В реальности достаточно частым является случай, когда тот или иной ВР приращений демонстрирует хаотический характер поведения. При этом Н-траектория этого ВР находится либо в области белого шума (Н—0,5), либо в области розового шума (0,5>Н>0,2), в силу чего для такого ряда не представляется возможным использовать какую либо известную прогнозную модель. В данном случае хаотический характер поведения отсутствует: представленный на рис.5 результат R/S-анализа ВР U демонстрирует глубину памяти , равную при значении показателя Херста Н>0,80, что послужило первичным основанием ожидать эффективного прогнозирования ВР U с помощью клеточно атоматной прогнозной модели.

Рис.5. К^-траекгория и Н- траектории BP U

0.90 1.90

■■-'•у

ОСТ ЦП»

0« ОМ

0.30 оло 0.10 •

/ '

Л / ••

ш

4 9 1 7 • 9 10

Рис.6. Гистограмма нечеткого множества глубины памяти Ц(7) = {(/,/*(/))} 16 {4,5,...ДО} дляВРи

Фрактальный анализ ВР и в целом выявил, что глубина памяти колеблется в пределах от и адекватно представляется нечетким множе-

ством (HM) ци) = {(1,ц{Г))}, 1 = 4,5,..ДО, гдед(0- функция принадлежности(см. рис 6)

В главе 3 «Клеточно-автоматная модель прогнозирования временных рядов с памятью» представлена клеточно-автоматная модель прогнозирования временных рядов, обладающих долговременной памятью Для отражения такой памяти, присущей рассматриваемому ВР, предлагается использовать интервальные значения прогнозируемых показателей. Это предложение реализуем, разделяя весь спектр наблюдаемых уровней индексов ВВП на 3 альтернативы: низкий уровень, средний уровень, высокий уровень. Если каждому числовому значению элементов рассматриваемого ВР поставить в соответствие одну из этих альтернатив, то получим интервальный ВР или, в другой терминологии, лингвистический временной ряд (ЛВР).

Преобразование ВР (1) в ЛВР означает замену числовых элементов zt, < = 1,л лингвистическими переменными, называемыми термами. Совокупность этих термов принято называть терм-множеством, которое в настоящей работе обозначаем U = {«}. При этом принимаем, что множествосостоит из трех элементов: и=Я- низкий уровень индекса В В П=£- средний уровень индекса ВВП, и = В- высокий уровень индекса ВВП. Заменяя элементыВР (1) соответствующими термами из , получаем ЛВР

В терминах клеточного автомата значение лингвистической переменной в ЛВР (4) определяется конфигурациями длины 1=1,2,...,к в отрезке этого ряда

где через к обозначаем глубину памяти рассматриваемого ряда. Из результатов проведенного R/S — анализа вытекает, что для представленного выше ВР (1) помесячных индексов ВВП значение к ограничено сверху цифрой 6, т.е. полугодовым периодом. Алгоритм нахождения глубины памяти основывается на частотной статистике переходов в состояния Н, С и В всех i-конфигураций, имеющих место в ЛВР (4).

Алгоритм прогнозирования на базе клеточного автомата реализуется в системном единстве с процессом моделирования долговременной памяти и завершается получением прогноза, включая валидацию (оценивание погрешности результата). Работа алгоритма состоит из следующих пяти этапов.

Этап 1. Оценка степени прогнозируемости данного семейства временных рядов осуществляется на базе фрактального анализа некоторой выборки

из этого семейства. На выходе вычислительного алгоритма фрактального анализа получаются оценки следующих характеристик для рассматриваемых рядов: признаки наличия трендоустойчивости и долговременной памяти, оценка ее глубины; цвет шума, достаточно удаленный от зоны белого шума. Как показали экспериментальные расчеты, оценки этих характеристик являются, как правило, достаточными, т.е. не выходят за пределы желательных значений для большинства временных рядов, относящихся к агропромышленному комплексу, страхованию, гражданскому строительству, обменным курсам валют и т.д.

Этап 2. Преобразование данного (исходного) числового временного ряда (ВР) в лингвистический временной ряд (ЛВР) с целью создания базиса памяти клеточного автомата. Для выполнения этапа 2 разработан специальный «алгоритм трендовых коридоров». На начальном этапе этого алгоритма формируется терм-множество типичных или характерных состояний

исходного ВР. Алгоритм преобразования ВР в ЛВР является вполне детерминированным, за исключением процедуры принятия решения о мощности формируемого терм-множества (экспертная оценка).

Этан 3. Алгоритм формирования оперативной памяти или кратко, памяти клеточного автомата. Эта память может иметь либо комбинаторное представление, либо теоретико-графовое представление. В последнем случае она строится в виде множества 2-дольных ориентированных графов (орграфов), в каждом из которых вершины второй, т.е. правой доли взаимнооднозначно представляют собой элементы терм-множества и; для каждого фиксированного I вершины первой, т.е. левой доли взаимнооднозначно представляют собой - конфигурации, встречающиеся в ЛВР; значения - глубина памяти ЛВР. Дугам этих орграфов приписаны веса. Вес дуги означает частость переходов соответствующей конфигурации в соответствующий элемент терм-множества.

Этап 4. Алгоритм формирования прогноза для данного ЛВР

алгоритм вычисления и представления прогнозируемого элемента мл+, в виде нечеткого множества (НМ) )}, где — значение функции принадлежности элемента Поскольку перечень и. е и является известным, то формирование прогноза в виде НМ сводится к вычислению значений ]=\,т путем суммирования и нормирования частостей, т.е. весов соответствующих дуг в последовательности орграфов, затребованных из оперативной памяти. Для вычисления значений функции принадлежности в первых долях затребованных орграфов

эти дуги выделяются вершинами, которые соответствуют I-конфигурациям из заключительного отрезка и,,«,,,,....«,, г = п-Ь рассматриваемого ЛВР.

Этап 5. Алгоритм трансформации прогноза полученного в виде нечеткого лингвистического множества в числовой прогноз с помощью использования известной процедуры дефазификации НМ.

В главе 4 «Гибридные подходы к прогнозированию экономических временных рядов» реализована наметившаяся в последнее время тенденция использования гибридного2 подхода к построению интеллектуальных систем. Из известных тех вариантов гибридизации (комбинирование; интеграция; слияние или объединение) в настоящей работе автором использовано комбинирование двух вариантов. В первом варианте комбинируются инструментарии клеточного автомата и фазового портрета. Во втором варианте комбинируются классический метод декомпозиции прогнозируемого ВР на компоненты тренда, сезонности, цикличности и остатка с клеточно-автоматным прогнозированием остаточной компоненты.

Представляя первый из указанных вариантов, отметим, что в арсенале современных методов прогнозирования ВР возрастающее значение приобретает такой подход, как визуализация их фазовых портретов, получаемых в интерактивном режиме использования ПЭВМ. Рассматривая ВР (1) индексов ВВП, в качестве его фазового портрета размерности р используем простейший вариант вида При этом для целей нашего исследования ограничиваемся размерностью р = 2 в силу того факта, что фрактальная размерность рассматриваемых ВР не превосходит 2. На рис.7 представлен фазовый портрет Ф2(2) = {(г1,г111)}, «" = 1,2.....п-1 рассматриваемого ВР (1).

Рис.7. Фазовый портрет ВР (1) индекса ВВП

В фазовом портрете выделяем такие его связные части, которые называем квазициклами. При этом допускается самопересечение начального и ко-

2 Колесников АВ Гибридные интеллектуальные системы. Теория и технология разработки. - СПб * Изд-во СПбГТУ, 2001 -711с

нечного звеньев квазицикла, если это не приведет к максимальному сближению начальной и конечной точек.

В целом фазовый портрет на рис.7 состоит из 18 квазициклов С,, г = 1,2,...,18, из которых первые 4 представлены на рис.8. Примечательно, что большинство квазициклов имеет размерность 5, 6 или 7 (за тремя исключениями, когда размерность квазицикла Си равна 9, а размерность Сц И Си равна 8). Этот факт в достаточной степени согласуется с результатами проведенного в главе 2 фрактального анализа, посвященного оценке глубины памяти ВР (1). Суть этого согласования состоит в том, что область значений глубины памяти и область значений размерности квазициклов практически совпадают.

Для каждого квазицикла Сг строится его габаритный прямоугольник следующим образом. Через точки с максимальным и минимальным значением абсциссы (ординаты) проводим прямые, перпендикулярные оси ординат (абсцисс). Пересечение двух полученных пар параллельных прямых образует габаритный прямоугольник квазицикла С.. Пересечение диагоналей габаритного прямоугольника определяет так называемый центр вращения квазицикла координаты которого обозначим

Рис.8. Квазициклы С2, Сг, С1 фазового портрета на рис.7

Прогнозная информация для всякого ВР получается путем реализации следующих этапов.

1. Разложение фазового портрета на квазициклы Сг с учетом того факта, что могут оказаться незавершенными начальный и конечный квазициклы; анализ направления вращения этих квазициклов (все звенья квазициклов вращаются по часовой стрелке).

2. Анализ эволюции центров квазициклов С,(Х,,УГ) и эволюции размеров (площади) их габаритных прямоугольников. Из визуализации рис.8 и рис.9 вытекает, что для ВР (1) центры квазициклов эволюционируют по определеннйо траектории, точки которой расположены в дос-

таточно узкой окрестности биссектрисы положительного ортанта декартовых координат, а эволюционирование размеров габаритных прямоугольников носит циклический характер.

0.9 1 1,1 1.2 13 1,4 1,5

Рис.9. Эволюция центров квазициклов ВР (1)

Рис.10. Эволюция размеров габаритных прямоугольников квазициклов ВР индекса ВВП

3. Построение прогноза по принципу продолжения (достройки) соответствующего конечного квазицикла с использованием результатов предыдущего этапа для двух случаев, когда последний квазицикл является: а) незавершенным; б) завершенным. В случае а) используем габаритные размеры и характер вращения квазициклов с учетом того, какому сектору габаритного прямоугольника принадлежит прогнозируемая точка. В случае б) осуществляются те же процедуры, но с учетом эволюции центров и переходов от завершающей точки одного квазицикла к начальной точке нового квазицикла.

3. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основные результаты, полученные в ходе исследований можно представить в виде следующего перечня:

1. Проведен сопоставительный анализ существующих подходов к прогнози-

рованию временных рядов, осуществлено обоснование факта ограниченной применимости классических методов прогнозирования дм экономических временных рядов с памятью, составляющих предмет диссертационного исследования.

2. Сформулирована и развита авторская концепция фрактального анализа экономических временных рядов как этапа получения предпрогнозной информации, базирующейся на выявлении таких фундаментальных характеристик временного ряда, как глубина памяти, наличие свойства перси-стентности или, наоборот, реверсирование чаще случайного, а также динамики значения показателя Херста.

3. Исследована событийная составляющая динамики экономических временных рядов на примере рядов объемов жилищного строительства и разработан метод выделения этой составляющей с помощью алгоритма R/S-анализа.

4. Исследованы временные ряды с неограниченной глубиной памяти, для которых предложены адекватные подходы к предпрогнозному анализу и реализации прогнозирования на базе временных рядов их приращений.

5. На примере временных рядов индексов ВВП осуществлены фрактальный анализ и прогнозирование их остаточной нерегулярной компоненты уровня, полученного после вычленения компонент тренда, сезонности и цикличности.

6. Осуществлено распространение и развитие гибридного подхода, реализованного в виде двух вариантов процесса прогнозирования: 1)совместное использование R/S-анализа, клеточно-автоматной прогнозной модели и фазовых портретов; 2)использование классической декомпозиции временного ряда на детерминированные компоненты и последующее применение клеточно-автоматной прогнозной модели к остаточной компоненте.

Список основных трудов по теме диссертации

1. Салпагарова А.А., Узденов Р.Х. Об одной математической модели в логистике /Сб. науч. трудов V Всероссийского симпозиума «Математическое моделирование экономических и экологических систем», г. Кисловодск, 17-19 октября 2002 г.-Кисловодск: Изд.центр КИЭП, 2002. - 0,1 п.л.( в т.ч. автора 0,05 п.л.)

2. Перепелица В.А., Узденов Р.Х., Тебуева Ф.Б Оценки временных рядов с памятью для временных рядов жилищного строительства /Сб. докладов VIII Международной конференции «Нелинейный мир Образование. Экология. Экономика. Информатика».- Астрахань: ГУЛ «Изда-

тельско-полигра-фический комплекс» «Волга», 2003.— 0,1 п.л( в т.ч. автора 0,05 п.л.).

3. Перепелица В.А., Узденов Р.Х., Тебуева Ф.Б. Фрактальный анализ временных рядов развивающихся агросистем /Материалы Ш Международной научно-практической конференции «Математическое моделирование в образовании, науке и производстве».- Тирасполь, 17-20 сентября, 2003г.- Тирасполь: РИО ПТУ, 2003.— 0,1 п.л.( в т.ч. автора 0,05 ИЛЬ)

4. Перепелица В.А., Узденов Р.Х., Тебуева Ф.Б. Фрактальный анализ устойчивости развивающихся агросистем. В сб.Менеджмент.Эклномика и финансы. Региональное управление. Ш Международная научно-практическая конференция «Проблемы регионального управления, экономики, права и инновационных процессов в образовании». - Таганрог: Изд-во ТИУ и Э, 2003. - 0,15 п.л.( в т.ч. автора 0,05 п.л.)

5. Перепелица В.А, Узденов Р.Х., Тебуева Ф.Б. Квазициклы временных рядов объемов жилищного строительства /Труды Ш Международной конференции «Новые технологии в управлении, бизнесе и праве», г.Невинномысск, 2003, 30 мая 2003 г., — Невинномысск: ИУБиП,

2003.— 0,6 п.л.( в т.ч. автора 0,2 п.л.)

6. Зеляковская В.М, Перепелица В.А., Завгороднева О.В., Зеляковский Е.В., Узденов Р.Х., Тебуева Ф.Б. Проблемы формирования инвестиционных условий развития агропромышленного комплекса. Препринт. - Волгоград: Изд-во ВГСХА, 2004 г. - 2,4 п.л.( в т.ч. автора 0,4 п.л.).

7. Перепелица В А., Узденов Р.Х., Тебуева Ф.Б., Такушинов А.Р. Различие фрактальных свойств временных рядов с наличием и отсутствием долговременной памяти /Труды IV Международной конференции «Новые технологии в управлении, бизнесе и праве», г.Невинномысск, 2004, мая 2004 г., - Невинномысск: ИУБиП, 2004.— 0,8 п.л.( в т.ч. автора 0,2 п.л.).

8. Узденов Р.Х., Варфоломеев А.В. Сравнительный анализ двух подходов к прогнозированию объемов промышленного производства государства /Сб.науч.трудов VI Всероссийского симпозиума «Математическое моделирование экономических и экологических систем», г.Кисловодск, 17-19 октября 2004г-Кисловодск: Изд.центр КИЭП,

2004. -0,1 п.л ( в т.ч. автора 0,05 п.л.)

9. Узденов Р.Х., Темирова М.А. Двухуровневый статистический анализ одного класса временных рядов /Материалы Международного Российско-казахского симпозиума «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики», г. Нальчик, 22-26 мая 2004 г. -Изд-во КБНЦ НИИ ПМА РАН, 2004. -0,2 п.л.( в т.ч. автора 0,1 п.л.)

10. Узденов Р.Х. О двух подходах к прогнозированию экономических временных рядов. Сб.тезисов V региональной научно-практической конференции «От фундаментальной науки — к решению прикладных задач современности», г. Черкесск, 15-17 апреля 2004 г., Черкесск: КЧГТА, 2004. -0,1 п.л ( в т.ч. автора 0,1 п.л.)

Отпечатано с готового оригинал - макета на множительно-полиграфическом участке КЧГТА

Публикуется в авторской редакции

Тех. Редактор Шебзухова М.З.

Корректор Шаманова Ф.Х.-М. ***

Сдано в набор 30 08 2004 Подписано в печать 27 09.2004 Формат 60x84 /16 Бумага офсетная Гарнитура Таймс Усл. печ.л. 1,6 Заказ 00142

Тираж 100 ***

369000, г. Черкесск, ул. Ставропольская, 36

»is 2 6 i

РНБ Русский фонд

2005-4 16520

Диссертация: содержание автор диссертационного исследования: кандидата экономических наук, Узденов, Руслан Халитович

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. СТРУКТУРИРОВАНИЕ ДАННЫХ ДЛЯ ДИСКРЕТНЫХ ЭВОЛЮЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ И КЛАССИЧЕСКОЕ ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ.

1.1. К проблеме структурирования данных для эволюционных процессов и систем.

1.2. Анализ основных принципов классических методов прогнозирования временных рядов.

1.3. Простейшие модели тренда.

1.4. Тренды и циклы в техническом анализе.

1.4.1. Компоненты экономико-математических моделей прогнозирования.

1.5. Об особенностях классификации технического состояния сложных систем.

ГЛАВА 2. ПОЛУЧЕНИЕ ПРЕДПРОГНОЗНОЙ ИНФОРМАЦИИ С

ПОМОЩЬЮ ФРАКТАЛЬНОГО АНАЛИЗА.

2.1. Фрактальный анализ временных рядов как инструментарий для новой нелинейной парадигмы.

2.2. Фрактальный анализ временных рядов как методическая и методологическая база для их прогнозирования.

2.2.1. Существующие методы исследования временных рядов.

2.2.2. Алгоритм R/S- анализа временного ряда для оценки глубины его долговременной памяти и свойства трендоустойчивости.

2.2.3. Фрактальный анализ временного ряда с невырожденной ограниченной памятью.

2.3. Событийная составляющая динамики временных рядов и её выделение с помощью R/S-анализа.

2.4. Временные ряды с неограниченной глубиной памяти.

2.4.1. Пример временного ряда с неограниченной глубиной памяти.

2.4.2. Известные подходы к экономическому анализу цикличности.

2.4.3. Фрактальный анализ временного ряда с неограниченной глубиной памяти.

Диссертация: введение по экономике, на тему "Математические и инструментальные методы анализа и прогнозирования экономических временных рядов с памятью"

Актуальность темы исследования. Прогнозирование предполагает научно-обоснованное суждение о возможных состояниях экономической системы в будущем, об альтернативных путях и сроках его осуществления, оно должно предполагать получение качественных оценок этих состояний при помощи математических и инструментальных средств реализации. Прогнозирование особенно необходимо в условиях рынка, насыщенного конкурирующими участниками с медленными (товарными), среднего темпа (финансовыми) и быстрыми (информационными) потоками в нем. С ростом объемов экономического программирования и индикативного планирования объемов производства и затрат, прогнозирования с вероятностным характером своих переменных становится все более важным этапом как любого менеджерского проекта, так и, в особенности, в случае государственного регулирования рыночных и социальных отношений.

Сложившейся к настоящему времени методологии экономико-математического прогнозирования присущи общие черты. Практически все прогнозные модели в той или иной мере используют экстраполяцию прошлых тенденций в отношении как общенациональных, так и частичных показателей производства, народонаселения, технического прогресса. Общая черта эконометрических и эмпирических прогнозов - стремление на основе отдельных, частичных показателей составить общую картину будущего экономического роста. При этом постулируется, вообще говоря, оправданный принцип, который гласит, что характер поведения его времени основного показателя наблюдаемого эволюционного процесса или системы отражает в завуалированной форме весь спектр воздействия внешней среды на нее и, таким образом, на поведение всей экономической системы. Чаще всего это поведение отражается и представляется в виде временного ряда (BP).

Тема настоящей диссертационной работы продиктована следующим обстоятельством. Как отмечено в книге математика-экономиста Э.Петерса1, современная экономическая теория вступила в новую фазу своего развития. Это обусловлено несколькими, факторами. Во-первых, усложнением и глобализацией мировой экономики. Во-вторых, вторжением в науку математических методов нелинейной динамики. И' наконец, рождением новейших компьютерных технологий, сделавших возможным исследование сложных явлений и процессов, образно говоря, на экране дисплея. Добавим, что эти технологии реализуются через использование новейших математических инструментов: фрактальная геометрия, теория хаоса, клеточные автоматы и другие, входящие составными частями в новую, нелинейную парадигму, точнее в совокупный инструментарий* ее реализации. Суть термина «нелинейная парадигма», образно говоря, можно выразить следующим заключением: для многих реальных эволюционных процессов и систем малое изменение или возмущение так называемого параметра порядка может кардинальным (иногда катастрофическим образом) изменить характер поведения этой системы. Для большей ясности добавим, что классическая (линейная) парадигма предполагает, что поведение наблюдаемого эволюционного процесса подчиняется нормальному закону. Последнее обеспечивает выполнение принципа: малое возмущение в малой степени отражается на характере поведения системы. Важно отметить, что классические методы прогнозирования экономических BP базируются на математическом аппарате эконометрики, при этом, что принципиально важно, это базирование осуществляется в предположении, что наблюдения, составляющие прогнозируемый BP, являются независимыми, в силу чего выполняется необходимое подчинение нормальному закону. Последнее, однако, является скорее исключением, чем правилом для экономических BP, которые обладают так называемой долговременной памятью. К настоящему времени отсутствуют сколь нибудь завершенные теории прогнозирования BP с памятью и, таким 1 Петере Э. Хаос и порядок на рынках капитала. Новый аналитический взгляд на циклы, цены и изменчивость рынка. - М.: Мир, 2000. - 333 с. образом, несомненно актуальной является необходимость разработки адекватных методов для их прогнозирования.

К вышесказанному следует добавить, что во многих реальных случаях классические методы прогнозирования сохраняют адекватность и обеспечивают эффективность, т.е. достаточную точность получаемых прогнозов. Поэтому, речь идет по существу об актуальной проблеме разработки и обоснования гибридных моделей и методов прогнозирования, использующих подходы и методы как линейной, так и нелинейной парадигмы.

Актуальность выбранной темы исследования обусловлена также и тем, что все еще остается не преходящим скепсис практиков в отношении качества прогнозов. Утверждается, что общий темп роста, обычно символизируемый валовым национальным продуктов, не поддается прогнозом; что методы, используемые для получения прогнозов либо чрезмерно упрощены, либо не адекватны, т.е. далеки от реальности; что методы экстраполяции не надежны из-за неопределенности потрясений. В контексте переживаемого этапа структурной перестройки Российской экономики высказанные упреки в некоторых случаях могут оказаться вполне обоснованными, ибо на этом этапе традиционные методы прогнозирования не дают реального эффекта, поскольку ориентированы на нормально функционирующий рынок, для которого, что принципиально важно, имели место периоды наблюдений и поэтому существуют достаточные объемы необходимых статистических данных. Поэтому актуальной является проблема разработки и обоснования надежных методов прогнозирования в условиях недостаточности данных, т.е. для случая коротких BP.

Степень разработанности проблемы. Бум прогнозирования пришелся на рубеж 50-60-х годов, когда прогнозы использовались в политике капитальных вложений и научных исследований, в борьбе за рынки и источники сырья, а государственное программирование активно воздействовало на эти тенденции, особенно в долговременных прогнозах.

Большой вклад в развитие теоретической прогностики внесли зарубежные ученые: особо можно отметить труды И.Бернара, Н. Винера, Д.Ж. Джонстона, Ж.-К.Колли, В.В.Леонтьева, К.Паррамоу, М. Песарана, О. М.Дж.Кендалла; Ю.Колека, Л.Слейтера и др. История развития продуктивной прикладной прогностики начинается с прогнозов Г.Ландсберга, Л.Фишмана, Дж. Фишера «Ресурсы в будущем Америки. Потребности и возможности их удовлетворения в 1960-2000 г.г.», прогноза Дж.Ф.Дьюхорста, Дж.О.Коппока, П.Л, Йейста и др. «Потребности и ресурсы Европы» (1961 г.) - десятилетнего прогноза развития экономики 18 западноевропейских стран; сборника (1962 г.) «Будущее Европы в цифрах» (прогноз до 1970 г., Бельгии - до 1975 г.) и др.

В бывшем СССР проводились серьезные экономические прогностические исследования. Отметим выдающиеся труды известных советских и российских ученых: А.Г. Аганбегяна, Л.В.Канторовича, С.А. Айвазяна, В.А. Кардаша, B.C. Немчинова, В.В. Новожилова, Н.П. Федоренко, С.С. Шаталина, А.Н. Ширяева, а также труды соотечественников: В.А.Буторова, И.В.Бестужева-Лады, И.Г.Винтизенко, Г.В.Гореловой, А.А.Горчакова, В.Е.Демидова, А.С.Емельянова, Э.Б.Ершова, С.В.Жака, П.С.Завьялова, А.Н.Ильченко, В.И.Калиниченко, В.В.Ковалева, Ф.МШевшина, Ю.П.Лукашина, В.И.Максименко, Е.Н.Мельниковой, А.В.Морозова, А.Л. Новоселова, Г.Н. Хубаева, Б.В. Рязанова, Е.М.Четыркина и др.

При большом числе серьезных работ, широте исследований, обилии полученных в прогнозировании результатов, все еще находятся разделы футурологической науки, в которых новые методы могут улучшить решение, сделать его универсальным, конструктивным и более точным. Важно отметить, что последнее десятилетие - это начало активного изучения и переосмысливание вопросов математического моделирования экономических процессов. Пересматриваются законы линейной парадигмы, появляются публикации (Б.М. Фридман, Д.И. Лейсбон, Е.Д. Вейгель, А.Л. Тернер и др.), в которых отмечается, что многие экономические процессы не следуют нормальному закону распределения. Это в свою очередь ставит вопрос о неправомерности применения известных классических методов прогнозирования эволюционных процессов. В контексте экономических теорий появляется экономическая синергетика, как наука, занимающаяся изучением хаоса в поведении, что устойчивой эволюционирующей экономической системы не существует. Исследованию этих вопросов посвящены работы как, в основном, зарубежных, так и отечественных авторов: А.Е. Андерсон, Дж. Грендмонт, В.-Б.Занг, Б.Мандельброт, Э.Петерс, А.И. Пригожин, Э.Сигел, Р.Чен, В.А. Долятовский, С.П. Курдюмов, Г.Г. Малинецкий и др.

В контексте перехода на нелинейную парадигму возникла необходимость пересмотра классификации типичных экономических процессов и разработки принципиально новых подходов к анализу экономических временных рядов и построению адекватных прогнозных моделей, подразумевая при этом использовать в максимальной степени возможности систем, компьютерной* математики с компьютерной реализацией и визуализацией.

Цель и задачи исследования. Целью настоящей диссертационной работы является разработка на базе новых компьютерных технологий математических и инструментальных методов анализа и прогнозирования экономических временных рядов с памятью с использованием таких новых математических инструментов, как линейные клеточные автоматы, фрактальная геометрия, теория детерминированного хаоса, нечеткие множества, фазовые траектории, экспертные системы, которые являются составной частью нелинейной парадигмы. В соответствии с поставленной целью работы решались следующие задачи:

- уточнить сущность характерных особенностей динамики эволюционирования экономических временных рядов с памятью;

- сформировать перечень фундаментальных свойств, характеризующих динамику временного ряда, для уровней (наблюдений) которых не выполняются условия независимости (глубина долговременной памяти, персистентность или антиперсистентность, трендоустойчивость или реверсирование чаще случайного, цвет шума) и сформулировать для каждого свойства его содержательную интерпретацию в контексте проблемы прогнозирования;

- с целью предпрогнозного исследования экономических временных рядов с памятью предложить функционально завершенную систему моделей и методов фрактального анализа этих рядов;

- экспериментальное исследование на ПЭВМ и подтверждение применимости предложенных моделей и методов фрактального анализа на конкретных экономических временных рядах (индексов ВВП и индексов промышленного роста отдельной страны, объемов жилищного строительства региона, индексов цен в строительстве) для получения прогнозной информации и выявления особенностей поведения динамики временных рядов, относящихся к различным сферам экономики;

- развитие и адаптация известной клеточно-автоматной прогнозной модели к рассматриваемому семейству экономических временных рядов, в частности, разработка нового метода преобразования числового временного ряда в лингвистический временной ряд и перевод работы клеточного автомата с нулевого радиуса на радиус один и более;

- экспериментальные исследования на ПЭВМ и оценка эффективности работы адаптированной прогнозной клеточно-автоматной модели на рассматриваемых экономических временных рядах, включая ряд, представляющий собой остаточную (нерегулярную или «случайную») компоненту, которая получается после вычленения из рассматриваемого ряда компонент тренда, сезонности и цикличности;

- построение, визуализация и использование фазовых портретов временных рядов для получения дополнительной прогнозной информации.

Объектом исследования являются макроэкономические и региональные финансово-экономические и производственные системы, основные показатели которых эволюционируют во времени.

Предметом исследования являются моделирование, анализ и прогнозирование сложных финансово-экономических процессов, протекающих в неустойчивой рыночной экономической среде при вариации классов их временного поведения.

Методология и методы исследования. Теоретической и методологической основой исследования послужили фундаментальные концепции и прикладные исследования, содержащиеся в работах отечественных и зарубежных ученых, посвященные вопросам моделирования и прогнозирования, а также содержательной экономической интерпретации прогнозных процессов и результатов.

В качестве аппарата исследования применялись методы системного анализа дискретной математики, теории нечетких множеств, статистического анализа временных рядов, фрактального анализа, фазовых портретов: и клеточных автоматов.

Информационную базу исследования составили аналитические и статистические материалы Госкомстате в России и Украины, а также органов региональной власти и научно-практические публикации по финансово-экономическим вопросам.

Диссертационная работа выполнена в соответствии с пунктом 1.8 «Паспорта специальности 08.00.13 - математические и инструментальные методы экономики»: «Математическое моделирование экономической конъюнктуры, деловой активности, определение трендов, циклов и тенденций развития».

Научная новизна работы. Научная новизна диссертационного исследования заключается в решении научной задачи - создание целостного теоретического, методологического и инструментального обеспечения для математического моделирования, анализа и прогнозирования экономических временных рядов. Научную новизну содержат следующие положения:

1. Развита концепция фрактального анализа экономических временных рядов с памятью, разработано и апробировано на конкретных временных рядах математическое обеспечение реализации на ПЭВМ этого анализа с целью получения предпрогнозной информации, включая ее содержательную интерпретацию.

2. Разработан и апробирован новый метод преобразования временных рядов макроэкономических показателей в соответствующие лингвистические ряды, что позволяет снять проблему ограниченной преемственности макроэкономических данных и, вместе с тем, использовать известную клеточно-автоматную прогнозную модель.

3. Исследована событийная составляющая динамики временных рядов и предложен метод ее выделения с помощью R/S- анализа.

4. Исследованы временные ряды с неограниченной глубиной памяти, для которых предложены анализ и прогнозирование на базе временных рядов их приращений.

5. На примере временных рядов индексов ВВП осуществлены фрактальный анализ и прогнозирование их остаточной; нерегулярной компоненты уровня, полученного после вычленения компонент тренда, сезонности и цикличности.

6. Осуществлено распространение и развитие гибридного подхода, реализованного в виде двух вариантов процесса прогнозирования: 1 Совместное использование R/S-анализа, клеточно-автоматной; прогнозной модели и фазовых портретов; 2)использование классической декомпозиции временного ряда на детерминированные компоненты и последующее применение клеточно-автоматной прогнозной модели к остаточной компоненте.

Практическая значимость полученных результатов. Практическая значимость работы определяется тем, что основные положения, выводы, рекомендации, модели, методы и алгоритмы диссертации ориентированы на широкое использование организационно-экономического, методического, алгоритмического обеспечения и инструментальных средств и могут быть использованы финансовыми учреждениями, органами регионального управления, разработчиками информационно-аналитических систем для поддержки» принятия управленческих решений на различных уровнях социальной, экономической и административной деятельности.

Предложенные методы, алгоритмы, модели и программы апробированы на реальных экономических временных рядах и оправдали себя. Их корректность и адекватность подтверждаются расчетами на конкретных материалах прогнозирования как применительно к макроэкономическими данным, так и региональным показателям в отрасли жилищного строительства, растениеводства, производства стройматериалов.

Обоснованность и достоверность научных положений, выводов и рекомендаций подтверждается применением: системного анализа, математических и инструментальных методов экономики, включая статистику, эконометрику, прогностику; построением информационных моделей, включая проверенные практикой: методы экспертных систем; известных методов теории нечетких множеств и теории клеточных автоматов; построением экономико-математических моделей, реализующих методы анализа и прогнозирования на базе современных информационных технологий; наглядной визуализацией результатов моделирования, анализа и прогнозирования; документальным характером использованных данных по объектам приложений разработанных моделей и методов.

На защиту выносятся следующие основные положения:

1. Концепция предпрогнозного исследования экономических временных рядов с памятью, реализуемая на базе инструментария фрактального анализа и теории нечетких множеств.

2. Метод трендовых коридоров для преобразования в лингвистические временные ряды таких числовых временных рядов, для которых существует проблема ограниченной преемственности макроэкономических данных, характерных для экономики переходного периода.

3. Расширенная клеточно-автоматная прогнозная модель, учитывающая прогнозную информацию в окрестности радиуса 1 и более.

4. Экспериментальное установление факта наличия детерминированной прогнозной компоненты в составе остаточной нерегулярной компоненты.

5. Метод обнаружения и выделения событийной составляющей в динамике экономических временных рядов.

6. Метод использования рядов приращений для фрактального анализа и прогнозирования временных рядов с неограниченной памятью.

7. Гибридный подход к построению, визуализации и совместному использованию фазовых портретов и R/S- анализа временных рядов для получения дополнительной прогнозной информации.

Апробация и внедрение результатов исследования. Результаты исследования и его положения докладывались и получили положительную оценку на следующих конференциях и симпозиумах, проводимых различными, академическими учреждениями и высшими учебными заведениями России:

- на Международной научно-практической конференции «Основы достижения устойчивого развития сельского хозяйства» (Волгоград, 2004);

- на V и VI Всероссийских симпозиумах «Математическое моделирование и компьютерные технологии» (Кисловодск, 2002, 2004); на III Международной научно-практической конференции «Математическое моделирование в образовании, науке и производстве» (Тирасполь, 2003);

- на Международном российско-казахском симпозиуме «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики» (Нальчик, 2004);

- на III и IV Международных конференциях «Новые технологии в управлении, бизнесе и праве» (Невинномысск, 2003, 2004);

- на III Международной научно-практической конференции «Проблемы регионального управления, экономики, права и инновационных процессов в образовании» (Таганрог, 2003);

- на Международной школе-семинаре по геометрии и анализу, посвящённую памяти Н.В. Ефимова (п.Абрау-Дюрсо, 2004); на V Региональной научно-практической конференции «От фундаментальной науки - к решению прикладных задач современности» (Черкесск, 2004).

Результаты исследования, отдельные положения; и рекомендации получили принципиальное одобрение Министерства экономики КЧР и Министерства лесного хозяйства КЧР. Разработанные модели фрактального анализа и прогнозирования включены в лекционный материал «Экономическая кибернетика» для студентов специальности «Прикладная математика» Карачаево-Черкесской государственной технологической академии.

Публикации. Основные результаты диссертации были опубликованы в 10 печатных работах общим объемом 4,65 пл., в которых автору в совокупности-принадлежит 1.35 п.л.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения, списка использованной литературы, приложений. Текст диссертации изложен на 135 страницах, включает 11 таблиц, 51 рисунков. Список использованной литературы состоит из 88 источников.

Диссертация: заключение по теме "Математические и инструментальные методы экономики", Узденов, Руслан Халитович

Основные результаты, полученные в ходе исследований можно представить в виде следующего перечня:

1. Проведен сопоставительный анализ существующих подходов к прогнозированию временных рядов, осуществлено обоснование факта ограниченной применимости классических методов прогнозирования для экономических временных рядов с памятью, составляющих предмет диссертационного исследования.

2. Сформулирована и развита авторская концепция фрактального анализа экономических временных рядов как этапа получения предпрогнозной информации, базирующейся на выявлении таких фундаментальных характеристик временного ряда, как глубина памяти, наличие свойства перси-стентности или, наоборот, реверсирование чаще случайного, а также динамики значения показателя Херста.

3. Исследована событийная составляющая динамики экономических временных рядов на примере рядов объемов жилищного строительства и разработан метод выделения этой составляющей с помощью алгоритма R/S-анализа.

4. Исследованы временные ряды с неограниченной глубиной памяти, для которых предложены адекватные подходы к предпрогнозному анализу и реализации прогнозирования на базе временных рядов их приращений.

5. На примере временных рядов индексов ВВП осуществлены фрактальный анализ и прогнозирование их остаточной нерегулярной компоненты уровня, полученного после вычленения компонент тренда, сезонности и цикличности.

6. Осуществлено распространение и развитие гибридного подхода, реализованного в виде двух вариантов процесса прогнозирования: 1)совместное использование R/S-анализа, клеточно-автоматной прогнозной модели и фазовых портретов; 2)использование классической декомпозиции временного ряда на детерминированные компоненты и последующее применение клеточно-автоматной прогнозной модели к остаточной компоненте.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ