Математическое моделирование системы аллокации экономического капитала банка тема диссертации по экономике, полный текст автореферата

Автореферат диссертации по теме "Математическое моделирование системы аллокации экономического капитала банка"

На правах рукописи

ЛУЖБИН АЛЕКСЕЙ АНАТОЛЬЕВИЧ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМЫ АЛЛОКАЦИИ ЭКОНОМИЧЕСКОГО КАПИТАЛА БАНКА

Специальность 08.00.13 - Математические и инструментальные методы

экономики,

08.00.10 - Финансы, денежное обращение и кредит

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата экономических наук

VI гон

005556646

Санкт-Петербург - 2014

005556646

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего образования «Санкт-Петербургский государственный экономический университет» (СПбГЭУ)

Научный руководитель -

кандидат экономических наук, доцент Поснов Владимир Григорьевич

Официальные оппоненты:

Ведущая организация -

Конюховский Павел Владимирович,

доктор экономических наук, профессор ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный университет», профессор кафедры экономической кибернетики Швец Сергей Константинович, доктор экономических наук, профессор ФГАОУ ВПО «Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики», профессор кафедры финансовых рынков и финансового менеджмента (Санкт-Петербург)

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Санкт-Петербургский государственный политехнический университет»

Защита диссертации состоится «20» января 2015 года в 15-00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.354.06 при Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего образования «Санкт-Петербургский государственный экономический университет» по адресу: 191023, Санкт-Петербург, ул. Садовая, д.21, СПбГЭУ, ауд._

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке и на сайте http://www.unecon.ru/dis-sovety Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего образования «Санкт-Петербургский государственный экономический университет».

Автореферат разослан «_»_201_г.

Ученый секретарь

диссертационного совета, ^-п

кандидат экономических наук, доцент <^^^^^/^___М.И.Барабанова

I. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертационного исследования. В условиях перехода российской банковской системы на международные стандарты регулирования конкуренция между отдельными представителями отрасли будет смещаться в область затрат на капитал и индивидуального ценообразования. Принципы количественной оценки кредитного риска и минимальных требований на капитал на основе внутренних рейтингов Базель II (Internal Ratings-Based Approach, или IRB-подход) ориентируют коммерческие банки на самостоятельную разработку и внедрение соответствующих измерительных моделей. В этой связи возникает проблема формирования у российских кредитных организаций действенных микроэкономических стимулов для активизации усилий в заданном реформой направлении и сокращения адаптационного периода. Таким образом, актуальной представляется концепция первоначального освоения банками IRB-подхода безотносительно к его регулятивному назначению, иными словами, вне контекста прямого взаимодействия между кредитной организацией и национальным регулятором. Такое освоение может осуществляться путем интеграции ключевых элементов IRB-подхода в соответствующие локальные регламенты и бизнес-процессы банков с целью повышения обоснованности и эффективности внутренних управленческих решений. В частности, при наличии адекватного модельного инструментария может быть успешно решена задача рационального использования собственных ресурсов банка в критериях эффективного инвестиционного выбора с учетом сопряженного с ним уровня кредитного риска.

Приведенная аргументация определила выбор темы исследования, состоящего в разработке с применением математического аппарата модели системы аллокации экономического капитала банка в качестве нормативного средства совершенствования процессов управления риском и капиталом.

Степень разработанности научной проблемы. Современное состояние научного поиска и научных представлений в области совершенствования системы управления кредитным риском и капиталом применительно к банковскому сектору характеризуется наличием обширного корпуса исследовательских монографий, которые, в частности, освещают общетеоретические и узкоспециальные вопросы Базельского процесса, фокусируются на теме практического воплощения принципов IRB-подхода, формулируя соответствующие методические рекомендации.

При этом следует отметить, что зачастую уделяется недостаточное внимание проблеме разработки основанных на международных стандартах измерения риска моделей комплексных систем поддержки принятия решений в области оптимизации инвестиционной политики и управления собственным капиталом на микроуровне отдельного участника отрасли - коммерческого банка. Комплексность в данном случае может подразумевать наличие и сочетание измерительного и управляющего элементов названных систем.

Цель и задачи исследования. Проведенный анализ подтверждает отсутствие в российских коммерческих банках широкого применения

ЖВ-подхода к измерению кредитного риска и количественной оценки требований на экономический капитал, продиктованного желанием повысить эффективность внутренних управленческих практик. В этой связи целью настоящего исследования является разработка и исследование моделей и математических методов анализа микроэкономических процессов, основанных на международных принципах измерения кредитного риска и предназначенных для обоснования инвестиционных решений банка и оптимизации использования его собственных ресурсов. Для достижения поставленной цели в рамках диссертации были поставлены и успешно решены следующие взаимосвязанные задачи:

- Осуществлена содержательная экспликация стандартов измерения кредитного риска и количественной оценки требований на экономический капитал Базель II;

- Получили развитие научные представления об экономико-математических основаниях и функционально-прикладных характеристиках модели ЖВ-подхода;

- Осуществлена спецификация системы аллокации экономического капитала банка как средства рационализации использования его собственных ресурсов, интегрирующей комплекс экономико-математических моделей трех функциональных элементов: измерительного (основанного на модели ЖВ-подхода), регулирующего и исполнительного (управляющего);

- Разработан в рамках измерительного элемента системы технологический порядок, представляющий собой экспериментальный метод, направленный на параметризацию и идентификацию модели оценки вероятности дефолта (контрагента банка) как ключевого параметра ЖВ-подхода в условиях дефицита исторических данных;

- Разработана в рамках исполнительного элемента системы модель оптимизации профиля субпортфеля кредитных активов банка и аллокации его экономического капитала, установлены свойства целевой функции названной модели;

- Выполнен анализ и оценка параметров модели вероятности дефолта на основе полученных выборочных данных в рамках экспериментальной части исследования;

- Выполнен расчет значения вектора аллокации экономического капитала банка как результирующего (выходного) показателя работы системы.

Объектом исследования являются российские коммерческие банки как специфические хозяйственно-экономические системы сферы обмена, осуществляющие сопряженные с кредитным риском инвестиционные операции. Предметом исследования выступают протекающие в коммерческих банках процессы аллокации экономического капитала как составной части их собственных средств. Под аллокацией экономического капитала в целях настоящего исследования понимается критериальная оптимизация использования названного капитала в условиях классификации инвестиционных активов банка по уровню кредитного риска.

Теоретической и методологической основой исследования являются научные работы отечественных и зарубежных авторов, касающиеся предмета исследования, а также нормативные документы, выпущенные Банком международных расчетов, Базельским комитетом по банковскому регулированию, Банком России. В целях конструирования системы аллокации в исследовании применялись как активный эксперимент, так и логические умозрительные выводы, основанные на общенаучных методах познания: анализе и синтезе, индукции и дедукции, методах абстрагирования (формализации), аппроксимации и экстраполяции, эконометрических и оптимизационных методах, численных методах математического программирования и других. В качестве инструментальных средств применялись пакет статистического анализа 51аЙ5Йса™ и система компьютерной алгебры МаЙ1са<1™.

Информационную базу исследования составили нормативно-правовые документы национальных и международных официальных регулирующих органов, материалы статистических служб, материалы периодических изданий и интернет-ресурсов, данные о кредитном портфеле одного из отделений филиала коммерческого банка в Санкт-Петербурге.

Обоснованность и достоверность результатов исследования подтверждается:

- использованием научных методов исследования, проверенных различными исследователями на обширном материале в разных областях знания;

- использованием в качестве теоретико-методологической основы диссертации фундаментальных исследований и прикладных разработок ведущих отечественных и зарубежных специалистов в области математического моделирования экономических систем, управления банковскими рисками и капиталом;

- использованием для анализа и расчетов реальных исходных экономических данных, предоставленных хозяйствующими субъектами сферы банковских услуг;

- получением устойчивых сопоставимых результатов на независимых выборках экспериментальных данных (обучающей и тестовой), полученных в реальных условиях операционной деятельности одного из отделений филиала коммерческого банка в г.Санкт-Петербург.

Соответствие диссертации паспорту научной специальности. Содержание диссертационной работы соответствует пунктам 1.6 - «Математический анализ и моделирование процессов в финансовом секторе экономики, развитие метода финансовой математики и актуарных расчетов», 1.4 - «Разработка и исследование моделей и математических методов анализа микроэкономических процессов и систем: отраслей народного хозяйства, фирм и предприятий, домашних хозяйств, рынков, механизмов формирования спроса и потребления, способов количественной оценки предпринимательских рисков и обоснования инвестиционных решений» Паспорта специальностей ВАК (экономические науки) по специальности 08.00.13 «Математические и инструментальные методы экономики»; пункту 10.12 - «Совершенствование

системы управления рисками российских банков» Паспорта специальностей ВАК (экономические науки) по специальности 08.00.10 «Финансы, денежное обращение и кредит».

Научная новизна результатов исследования заключается в разработке экономико-математических моделей количественной оценки кредитного риска и обоснования инвестиционных решений, что позволило предложить комплексное средство оптимизации использования собственных ресурсов банка в виде единой системы управления.

Наиболее существенные результаты исследования, обладающие научной новизной и полученные лично соискателем

- по специальности 08.00.13 - «Математические и инструментальные методы экономики»:

1. Установлен перечень функционально-прикладных характеристик модели количественной оценки кредитного риска ШВ-подхода на основе редуцирования указанной модели к ее экономико-математическим основаниям;

2. Идентифицирована и использована в роли критерия оптимальности (целевой функции) в рамках оптимизационной модели исполнительного элемента системы аллокации функция ожидаемой полезности благосостояния инвестора (акционеров банка);

3. Модифицирован теоретический подход микроэкономического моделирования банковской фирмы как управляющего портфелем ценных бумаг, соответствующая модель использована в роли параметрических ограничений на область определения (изменения) названной целевой функции;

4. Определены свойства целевой функции оптимизационной модели исполнительного элемента системы аллокации, строго доказана возможность сведения поиска оптимального решения модели к решению задачи выпуклого нелинейного программирования;

5. Формализованы связующие ресурсные ограничения (область допустимых решений) оптимизационной модели исполнительного элемента системы, сформулирована и решена в общем виде задача нахождения вектора аллокации экономического капитала банка;

- по специальности 08.00.10 - «Финансы, денежное обращение и кредит»:

6. Уточнен и расширен дескриптивный аппарат в области управления рисками, осуществленная концептуализация современных альтернативных моделей измерения кредитного риска позволила сформулировать новые классификационные критерии названных моделей;

7. Разработана и предложена система аллокации экономического капитала банка в качестве нормативного средства повышения эффективности его инвестиционной деятельности, совершенствования управления кредитным риском и собственным капиталом.

Теоретическая и практическая значимость исследования. Теоретическая значимость исследования состоит, во-первых, в развитии и систематизации научных представлений об экономико-математических основаниях современных подходов к измерению кредитного риска, количественной оценке требований на

экономический капитал и вероятности дефолта контрагента-заемщика банка; во-вторых, в обосновании с применением математического аппарата системы аллокации экономического капитала банка, что в дальнейшем может способствовать выработке подходов в части повышения эффективности кредитно-инвестиционной деятельности кредитных организаций на основе рационального применения собственных ресурсов. Практическая значимость исследования заключается в возможности использования полученных автором теоретических выводов и сформулированных рекомендаций для разработки российскими коммерческими банками внутренних методик и регламентов, ориентированных на широкое использование в их операционной деятельности.

Апробация результатов исследования. Основные положения и результаты проведенного автором исследования отражены в опубликованных им статьях, прошли апробацию на научных семинарах и конференциях, использованы в рамках учебного процесса в СПбГЭУ по курсу «Методы и модели в экономике».

Публикации результатов исследования. Основные результаты исследования изложены в 9 печатных работах общим объемом 2,2 п.л., в том числе 4 печатные работы в изданиях, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ.

Структура и содержание диссертации определена, исходя из целевой установки и логической последовательности решения задач исследования. Работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованных источников из 131 наименования и 3 приложений.

Во введении диссертации обосновывается актуальность темы, определяются объект и предмет исследования, формулируется существующая в области исследования проблемная ситуация, а также гипотеза, инициирующая исследовательскую программу, осуществляется постановка цели и задач диссертации, раскрывается научная новизна работы.

Первая глава диссертации «Исследование международных стандартов измерения кредитного риска и количественной оценки требований на экономический капитал Базель II» посвящена подготовке к последующему углубленному анализу и самостоятельному научному исследованию автора, в ней аккумулируется и уточняется профильный понятийный аппарат, осуществляется сбор необходимых фактов, делаются выводы.

Во второй главе «Спецификация математической модели системы аллокации экономического капитала банка на основе 1ЯВ-подхода» представлено самостоятельное научное исследование автора, осуществленное для подтверждения заявленной во введении гипотезы и придания цели исследования вида количественно и качественно определенного результата.

Третья глава «Разработка технологического порядка параметризации и идентификации модели оценки вероятности дефолта контрагента банка» представляет собой основанную на ранее полученных результатах экспериментальную часть исследования, в результате которой формируется пакет научных предложений и практических решений.

В заключении диссертации сформулированы основные научно-теоретические выводы и прикладные результаты исследования, намечены направления дальнейшего научного поиска в развитие материала диссертации.

II. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ И РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1. Концептуализация современных альтернативных моделей измерения кредитного риска, выделение классификационных критериев измерительных моделей, обоснование функционально-прикладных характеристик модели ШВ-подхода

В результате проведенного анализа современных подходов к обеспечению платежеспособности банковских институтов, в том числе управлению кредитным риском, показано, что вопросы приобретения кредитно-инвестиционных активов коммерческими банками оказываются прочно связанными с проблемой рационального использования их собственных ограниченных ресурсов. Функция абсорбции ожидаемых потерь как реализованного кредитного риска возложена на ценообразование и резервы банков, непредвиденных потерь — на собственный капитал.

Предложен альтернативный подход к выделению существенных признаков (классификационных критериев) конкурирующих моделей кредитного риска на основе их концептуализации и раскрытия общности подходов к спецификации названных моделей. Во-первых, в зависимости от способа учета эффекта синхронизации кредитного риска индивидуальных активов в составе портфеля -иными словами, явным или неявным образом учитывается влияние систематического риск-фактора - модели предлагается классифицировать на эксплицитные и имплицитные соответственно. Во-вторых, в зависимости от выбора формы (закона) кондиционального (т.е. в условиях отдельно взятого макроэкономического сценария) распределения частоты дефолтов контрагентов для аппроксимации эмпирических данных - на дискретные и непрерывные. В-третьих, в зависимости от выбора метода агрегации для получения некондиционального распределения частоты дефолтов в масштабах портфеля - на тштационные и рекурсивные.

Упомянутые критерии используются в качестве аналитического инструментария для развития научных представлений об экономико-математических основаниях и функционально-прикладных характеристиках модели ШВ-подхода:

"4 + Р&Г х (о,999)1 _ Рп

где кш - требования на экономический капитал; РВ — вероятность дефолта контрагента-заемщика банка; ¿(7/5 - доля материальных потерь в случае дефолта контрагента; Я - корреляция актива с общим состоянием экономики (систематическим риск-фактором); М - корректирующий коэффициент

: М(РО), (1)

в зависимости от горизонта риска; ф(») - интегральная функция стандартного нормального распределения.

В результате делаются выводы о том, что выделяемые автором основные типы неопределенности при измерении кредитного риска — ошибка модели, неопределенность параметров, процессный риск - компенсируются в модели ЖВ-подхода путем наделения последней следующими характеристиками: 1. плюрализм методов оценки ключевого параметра РИ; 2. предустановленное консервативное значение систематического риск-фактора; 3. минимизация каузальных связей между переменными модели (дефолт моделируется как дискретное и внезапное событие, логика наступления которого предполагается неизвестной); 4. неизменность силы влияния значимых факторов в течение релевантного периода времени (экстраполяция). Данные выводы используются при разработке технологического порядка построения модели оценки РБ.

2. Спецификация системы аллокации экономического капитала банка как нормативного средства совершенствования управления кредитным риском и собственным капиталом

Система дифференцируется на два смысловых блока: объект управления и регулирующую подсистему. В качестве объекта управления, 5, рассматривается гомогенный субпортфель кредитных активов, состояние которого характеризуется текущим профилем. Регулирующая подсистема, Я, включает в себя три следующих функциональных элемента. Во-первых, модель количественной оценки кредитного риска и требований на экономический капитал ЖВ-подхода, выполняющую измерительную функцию, ИЗМ. Во-вторых, регулятор, Р, представляющий набор количественных показателей эффективности использования собственного капитала и ресурсных ограничений. В-третьих, модель оптимальной параметризации (оптимизации профиля) субпортфеля кредитных активов и аллокации экономического капитала, ИСП, выполняющую исполнительную (управляющую) функцию (рисунок 1).

Рисунок 1 - Система агюктщи экономического капитала банка.

Измерительный элемент, ИЗМ, регистрирует фактическое значение выходной переменной объекта управления, т.е. текущий профиль кредитного субпортфеля. Далее внутри элемента происходит плановая/внеплановая настройка (актуализация) шкалы внутренних рейтингов: осуществляется перекалибровка модели оценки вероятности дефолта контрагентов (РП) и обновление (компонент) вектора количественных оценок требований на экономический капитал в срезе выделенных рейтинговых групп. Таким образом, выходной сигнал, Хс, элемента ИЗМ содержит вектор ктБ = [к1^,...,к!£в], где т - количество выделенных в рамках шкалы рейтинговых групп.

Регулятор, Р, включает набор количественных измерителей эффективности использования собственного капитала и ресурсных ограничений. Измерителем ресурсных ограничений служит показатель наличия «неиспользованного остатка экономического капитала» (НОЖ), относимого на данный кредитный субпортфель. Величина показателя рассчитывается на основе планируемых объемных и структурных изменений в собственном и экономическом капитале в течение релевантного периода времени (как правило, одного года) и предполагается неотрицательной:

К нож = Кшст ~ ЭКшан > 0 . (2)

Данные о целевой рентабельности на авансируемый акционерами капитал, КОЕ, регулятор получает из внешнего источника, Х0.

Регулятор, Р, передает управление, £/, в исполнительный элемент, ИСП, сообщая при этом значение Ктэк. ИСП осуществляет регулирующее воздействие на вход объекта, 5", задавая вектор его оптимального состояния (оптимального профиля) и обеспечивая аллокацию НОЖ.

3. Идентификация критерия оптимальности (целевой функции) в рамках оптимизационной модели исполнительного элемента системы аллокации

В теории принятия инвестиционных решений идентификация кардиналистской функции ожидаемой полезности благосостояния инвестора, к{}у), осуществляется в аксиоматическом пространстве Неймана-Моргенштерна (здесь и далее «волна» в обозначении переменной обозначает случайный характер последней). Если предположить, что на предпочтения инвестора оказывают влияние лишь два первых момента распределения случайной величины его благосостояния в конце релевантного периода времени, Ж (т.е. математического ожидания, // = е((у), и вариации, а1 = я), то функцию ожидаемой

полезности благосостояния инвестора можно записать следующим образом:

4<И] = 7«(р + х<г)аф(х) 3 и{/л,г), (3)

-00

~ УУ-ц

где х 2=- нормированная нормальная случайная величина. В целях

а

идентификации функции (3) формализуются требования к ее свойствам:

-предположение о ненасыщаемости потребностей инвестора;

-убывающая предельная полезность благосостояния; -нерасположенность инвестора к риску: инвестор останется индифферентным к изменениям в собственном благосостоянии лишь в том случае, если каждая дополнительная единица риска будет компенсироваться все возрастающим благосостоянием;

-чем выше благосостояние инвестора, тем больший риск он готов принять.

Предложенный в диссертации вариант функции (3) соответствует всем перечисленным требованиям и тем самым наиболее полно описывает предпочтения инвестора:

и = 1п ¡л - р, (4)

где у > О — коэффициент, характеризующий индивидуальные предпочтения инвестора.

4. Модификация теоретического подхода моделирования банковской фирмы как управляющего портфелем ценных бумаг

Наиболее адекватным из имеющихся альтернатив в контексте целей и задач исследования признан существующий подход, в рамках которого финансовый посредник рассматривается в качестве управляющего портфелем ценных бумаг. Стремясь максимизировать на временном отрезке Г ожидаемую прибыль, Е{тг), в первоначальный момент времени финансовый посредник располагает собственными средствами в размере К. Скаляры хь и хв означают сумму средств, инвестированных в ценные бумаги двух типов с соответствующими стохастическими ставками доходности, гь и гв, имеющими нормальное распределение. Остаток средств, К - хь -х0, инвестируется в безрисковый актив с детерминированной ставкой доходности, г. Привлечение капитала интерпретируется как короткая позиция финансового посредника на рынке (продажи без покрытия) с последующим инвестированием данных средств в безрисковый актив в объеме — х*0 >0, где х* = (х1,х*Г)) - оптимальный вектор инвестиций.

В данный подход в рамках диссертации вносятся следующие изменения и дополнения, соответствующие задачам исследования и отражающие институциональную специфику банка как финансового посредника: 1. Вместо скалярных величин рассматриваются ти-мерные векторы-столбцы, компоненты которых соответствуют выделенным в рамках шкалы рейтинговым группам: вектор инвестиций в рамках субпортфеля кредитных активов, л:; случайный вектор экзогенных ставок доходности, г; вектор требований на экономический капитал, рассчитываемых в соответствии с (1), кш; вектор долей ожидаемых потерь (ЕЬ) в номинальной стоимости актива, / = (£С£)х />£>1,...ДС£>хР£)т). Кроме того, для удобства вводятся векторы е,

ди!дц > о

д2и!д1и2 < 0

оС//& < 0 \и=сош1>0

д2и:дц2

—:—-— х и = сот1 дШд/и

все компоненты которого равны единице, и р, такой что p¡ =E(r¡)-l¡ -(2r-ROE)>0, i = \,...,m. Тогда выражения rx, xk!RB, xl, xp, ex означают скалярные произведения соответствующих векторов.

2. Под уровнем благосостояния инвестора, W, понимается показатель нормы

прибыли на авансируемый капитал, , учитывающий в том числе

альтернативные затраты использования капитала в размере (ROE - г)-(К - ех), рассчитанные исходя из целевой ставки доходности, ROE, и расходы по формированию обязательных резервов в размере xl.

3. Плановый период Т характеризуется числовыми характеристиками распределений экзогенных ставок доходности по кредитным активам, полученными на основании экспертных суждений, значением К и соотношением ставок: 2г > ROE > г.

4. Затраты на привлечение депозитов включают выплату процентов вкладчикам по ставке rD, отчисления на оплату страховых премий и операционные затраты. В соответствии со взятым за основу подходом привлекаемые в объеме xD депозиты не финансируют кредитные операции и в полном объеме размещаются в безрисковый актив по ставке г > rD. Тогда если C(xD) суть функция затрат, то для соответствующих предельных издержек должно выполняться dc[x*n)/dxD = г. Пусть C'(xD) = C(xD) - rxD.

С учетом введенных выше обозначений микроэкономическую модель банковской фирмы можно представить в виде:

7Г = гх + г(к - ex)- (ROE -r)-(K~ex)-xl- C'(xD) = = x(r-l)+(K-ex)-{2r-ROE)-C'(xD), и целевая функция, как композиция субъективного (4) и объективного (5) критериев оптимальности, принимает вид:

„/х т/Е(я) varfe)^

(6)

Согласование в (6) субъективного и объективного критериев оптимальности достигается путем введения фактора альтернативных затрат.

5. Определение свойств целевой функции

Утверждение: гладкая целевая функция (6) аргумента л: выпуклая вверх на области определения при условии невырожденности квадратной ковариационной матрицы V порядка m ставок доходности по рисковым активам г .

Доказательство. Не нарушая общности, здесь и далее положим К = 1, C'(xD) = 0. Введем обозначения:

л; - вектор-столбец, хт- транспонированный вектор, b = 2r- ROE,

fi = E(ñ)=2r-ROE + xTp = b + xrp, ^

s = var(/r) = xTVx, где V = E[r - £(r)|F - E(r)f.

Тогда целевая функция (6) и ее частные (смешанные) производные будут: F = In i-i-ys = 1п(б + л:гр)-/-л:гУд:,

W =-В---2yVx,

b + x'p (8)

\b + xTpf

Матрица Гессе, H, суть:

H = -V(VF)= РР[ +2 rV. (9)

\Ъ + хТр)

Согласно своим свойствам ковариационная матрица V является неотрицательно определенной, поэтому если она невырожденная, то положительно определенная. Матрица Р = ррт является неотрицательно определенной, поскольку для любого л: справедливо

хтРх = xTppTx = (xTpf >0. (10)

Сумма неотрицательно определенной и положительно определенной матриц положительно (знако)определена, поэтому целевая функция (6) выпуклая вверх (вогнутая) при условии невырожденности матрицы V.

Данный результат позволяет решать оптимизационную задачу в терминах хорошо исследованной области — выпуклого нелинейного программирования: в частности, задача максимизации вогнутой функции на выпуклом множестве является одноэкстремальной.

6. Решение задачи выпуклого программирования нахождения вектора аллокации экономического капитала банка

В силу ресурсных ограничений скалярная величина иммобилизованной в безрисковый актив части собственных средств банка, К - ех, должна быть не менее расчетного размера требований на экономический капитал: хкшв <К-ех. Данное условие наряду с х > 0 задает область допустимых решений (ОДР), и математическая модель элемента ИСП системы аллокации приобретает следующий вид:

F(x) —» max

<x(kIRB+e)<K (11)

х>0,хеГ

Поскольку функция F вогнута, ее максимум находится либо в стационарной точке внутри ОДР (при наличии таковой), либо на границе ОДР. Дополнительного исследования стационарной точки не требуется. Оптимальное решение модели (11) определяется путем сравнения значений целевой функции при двух упомянутых значениях аргумента.

Необходимое и достаточное условие для безусловного максимума целевой функции (6):

д/и й?

Для нахождения условного максимума на границе ОДР составляется функция Лагранжа для которой в стационарной точке должно

выполняться:

У^ = 6>-(/с/м+ е). (13)

Учитывая (7) и (12), запишем это условие в виде:

^Р+28^Ух = в.(к™+е). (14)

дц 05

Особенности векторного уравнения (14) приводят к задаче решения системы скалярных нелинейных уравнений с использованием численных методов, что было осуществлено на основе экспериментальных данных в рамках третьей главы диссертации. В силу установленных свойств (6) выбор точек первоначального приближения некритичен. Искомый вектор инвестиций, л:, однозначно определяет вектор аллокации экономического капитала банка.

7. Разработка в рамках измерительного элемента системы аллокации технологического порядка параметризации и идентификации модели оценки вероятности дефолта контрагента банка

Разработанный с учетом результатов содержательной экспликации модели ШВ-подхода, технологический порядок опирается на рекомендации, изложенные в нормативных документах Банка России, некоторые образцы зарубежной практики и включает в себя следующие этапы:

- формирование представительной статистической выборки экспериментальных данных, включающую обучающую и тестовую ее части;

- экспертное определение расширенного списка потенциально значимых факторов риска;

- проведение однофакторного анализа и определение сокращенного списка факторов;

- проведение многофакторного анализа, идентификация (калибровка) и верификация полученной эконометрической модели.

Выборочная совокупность для калибровки модели была сформирована на основе данных о кредитном портфеле, содержащихся в СУБД одного из отделений филиала коммерческого банка в Санкт-Петербурге. Для обеспечения однородности обучающей выборки в фокусе исследования находились кредиты, предоставленные предприятиям оптово-розничной торговли сегмента малого и среднего предпринимательства. Из 953 первоначально отобранных кредитов состояние дефолта было зафиксировано в 6% случаев, из которых пригодными к статистической обработке были признаны 50 отрицательных исходов. Пропорция между стратами выборки была выбрана «один к двум». Соответственно, случайным образом было отобрано еще 100 наблюдений с положительными исходами (отсутствием дефолта).

В качестве объясняющих переменных (предикторов, факторов) на основании экспертных рекомендаций были отобраны четырнадцать финансовых

коэффициентов, характеризующих различные аспекты финансово-хозяйственной деятельности предприятий-заемщиков: уровень ликвидности, деловой активности, платежеспособности, рентабельности (VAR1-14). В рамках однофакторного анализа составлялся сокращенный список факторов путем исключения высоких парных корреляций (свыше 0,8) между факторами модели и тестирования тесноты линейной связи между отдельными факторами и логарифмом шансов независимой переменной (переменной отклика).

Итоговая регрессионная модель оценки вероятности дефолта строилась методом пошаговой логистической регрессии переменной отклика на факторы из сокращенного списка. В результате использования статистики Вальда (Wald statistic) с ¿»-уровнем значимости критерия не более 0,05 в окончательную модель вошли факторы VAR2 (Краткосрочные обязательства/ Активы), VAR7 (Выручка от реализации/ Активы), VAR13 (Чистая прибыль/ Выручка от реализации) с соответствующими точечными (estimate) и 95%-ми доверительными интервальными (lower/upper confidence level) оценками коэффициентов регрессии и свободного члена (intercept), указанными на рисунке 2.

Effect Default - Parameter estimates (PacHeTbi3final) Distribution : BINOMIAL, Link function: LOGIT Modeled probability that Default = 0

Estimate Standard Wald Lower CL Upper CL p Error Stat. 95, % 95, %

Intercept VAR7 VAR2 VAR13 Scale 5,0239 1,786887 7,90485 1,5217 8,5262 0,004930 -25,6306 5,791364 19,58648 -36,9815 -14,2798 0,000010 8,7601 2,560067 11,70897 3,7425 13,7778 0,000622 -25,4088 6,622807 14,71925 -38,3893 -12,4284 0,000125 1,0000 0,000000 1,0000 1,0000

Рисунок 2 - Оценочные значения параметров модели регрессии (отчетная форма ПСА ^'.аХ'лйса : )

В качестве теста подгонки модели вероятности дефолта к эмпирическим данным применялся критерий согласия Хосмера-Лемешова (рисунок 3).

Response Default - Goodness of Fit: Hosmer-Lemeshow Test (PacHeTbi3final) Distribution : BINOMIAL, Link function: LOGIT Hosmer Lemeshow = 5.3311, p value = 0.7216

Groupl Group Group Group Group Group Group Group Group Group Row 23456789 10 Tot.

0: Observed Expected 1: Observed Expected All Groups 14,0 13,0 13,0 10,0 10,0 8,0 7,0 9,0 5,0 5,0 94 13,4 12,6 11,9 11,2 10,2 9,5 8,6 7,2 5,8 3,6 0,0 1,0 1,0 4,0 4,0 6,0 7,0 5,0 9,0 13,0 50 0,6 1,4 2,1 2,8 3,8 4,5 5,4 6,8 8,2 14,4 14,0 14,0 14,0 14,0 14,0 14,0 14,0 14,0 14,0 18,0 144

Рисунок 3 - Проверка значимости модели регрессии с помощью теста Хосмера-Лемешова

Полученное достаточно высокое значение уровня значимости критерия р = 0,72 при равенстве статистики 5,33 указывает на приемлемую калибровку и качество модели: последняя объясняет значительную часть изменчивости переменной отклика. Классифицирующие качества регрессионной модели оценивались с помощью показателя А1ЛЮС: площадь под ЯОС-кривой составила 79%, что

говорит о хороших функциональных способностях модели по распознаванию

положительных и отрицательных исходов (рисунок 4).

1,2

1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 -0.2

-0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2

Рисунок 4 ~ Оценка дискриминирующих свойств модели с помощью ЯОС-кривой

В целях получения искомого вектора аллокации экономического капитала в рамках элемента системы ИСП результаты теста Хосмера-Лемешова использовались в качестве прототипа рейтинговой шкалы (группы 1 -7). На основе независимых экспертных оценок были получены данные о ставках доходности по кредитным активам. Кроме того, использовались следующие исходные данные: К = \, г = 0,07, ЛО£ = ОД2, у = 0,5, £<3£> = 45%, М = 1,5. Результаты расчетов с применением системы МаЛсаб™ представлены в таблице.

Таблица 1 - Расчет вектора аллокации экономического капитала.

Рейтинг PD т var(r) kIRB х" Аллокация экономического капитала

1 0,04 0.14 0,000119 0,0604 0,09 0,0054

2 0,10 0,16 0,000233 0,1002 0,07 0,0070

3 0,15 0,17 0,000267 0,1307 0,13 0,0170

4 0,20 0,18 0,000291 0,1443 0,15 0,0216

5 0,27 0,20 0,000425 0,1548 0,16 0,0248

6 0,32 0,22 0,000711 0,1575 0,10 0,0158

7 0,39 0,26 0,000867 0,1566 0,18 0,0282

Итого 0,88 0,1198

Значение функции ожидаемой полезности инвариантно относительно К\ U* =f(x*)= -2,441. В случае К = 1 компоненты вектора д: удобно интерпретировать как интенсивности использования соответствующих рейтинговых групп.

III. ВЫВОДЫ И РЕКОМЕНДАЦИИ (ЗАКЛЮЧЕНИЕ)

Предложенная модель системы аллокации предоставляет банку возможность улучшать количественные параметры (профиль) субпортфеля кредитных активов в условиях конкурентной и неопределенной рыночной среды на основе рационального применения собственных ресурсов. Следует учитывать,

что в связи со специфическими познавательными трудностями такой сложный объект, как коммерческий банк, и протекающие в нем процессы управления невозможно смоделировать без приемов упрощения и абстрагирования. В реальных условиях практического применения системы аллокации - особенно на первоначальном этапе освоения - в порядке компенсации описательной неполноты требуется содержательный (неформальный) контроль работы системы посредством разработки внешних дополняющих регламентов.

IV. ОСНОВНЫЕ НАУЧНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИОННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ

1. Лужбин A.A. Регулятивные требования к банковскому капиталу: моделирование возможной альтернативы / A.A. Лужбин // Вестник Инжэкона. - 2013. - №1. - С. 257-260. - 0,3 п.л.

2. Лужбин A.A. Регулирование капитала на покрытие кредитных рисков в модели Базель II: состоятелен ли применяемых подход? / A.A. Лужбин // Вестник Инжэкона. - 2013. - №3. - С.182-185. - 0,3 п.л.

3. Лужбин A.A. К вопросу о разработке статистических моделей вероятности дефолта в условиях дефицита данных / A.A. Лужбин // Известия Санкт-Петербургского университета экономики и финансов. - 2013. - №6. - С.114-117.-0,3 п.л.

4. Лужбин A.A. Развитие системы внутренних кредитных рейтингов в российских коммерческих банках / A.A. Лужбин // Вестник Инжэкона. - 2013. - №6. - С.189-192. - 0,3 п.л.

5. Лужбин A.A. Портфельный подход к моделированию банковской фирмы: принципы и применение / A.A. Лужбин // Научная перспектива. - 2012. - №12. -С. 32-35.-0,25 п.л.

6. Лужбин A.A. IRB-подход к управлению кредитным риском в Базель II: недостатки методологии / A.A. Лужбин // Научный обозреватель. - 2013. - №6. -С. 23-27. - 0,25 п.л.

7. Лужбин A.A. Математическая модель системы аллокации экономического капитала банка / A.A. Лужбин // Научный обозреватель. - 2014. - №9. - С. 5-8. -0,25 п.л.

8. Лужбин A.A. Моделирование и оптимизация системы нормативов регулирования кредитных организаций // Пятый научный конгресс студентов и аспирантов Инжэкон-2012 25, 26 апр. 2012 г. Науч.-практ. конф. факультета информационных систем в экономике и управлении: тез.докл./ A.A. Лужбин. -СПб.: СПбГИЭУ, 2012. - 0,12 п.л.

9. Лужбин A.A. Регулирование собственного капитала банков на покрытие кредитных рисков в соответствии со стандартами Базель II: недостатки методологии // Шестой научный конгресс студентов и аспирантов Инжэкон-2013 18, 19 апр. 2013 г. Науч.-практ. конф. факультета информационных систем в экономике и управлении «Инфокоммуникационные технологии и математические методы»: тез.докл./ A.A. Лужбин. - СПб.: СПбГЭУ, 2013. - 0,12 п.л.

ЛУЖБИН АЛЕКСЕЙ АНАТОЛЬЕВИЧ АВТОРЕФЕРАТ

Подписано в печать 14.11.14. Формат 60x84 1/16. Бум. офсетная. Печ. л. 1,1. Бум. л. 0,55. Тираж 70 экз. Заказ 651.

Издательство Санкт-Петербургского государственного экономического университета 191023, Санкт-Петербург, Садовая ул., д. 21.

Отпечатано на полиграфической базе СПбГЭУ