Метод краткосрочного прогнозирования фондовых индексов тема диссертации по экономике, полный текст автореферата

Автореферат диссертации по теме "Метод краткосрочного прогнозирования фондовых индексов"

На правах рукописи

Щигрев Сергей Владимирович

МЕТОД КРАТКОСРОЧНОГО ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ФОНДОВЫХ ИНДЕКСОВ (НА ОСНОВЕ НЕЧЁТКО-МНОЖЕСТВЕННОГО ОПИСАНИЯ «ГУСЕНИЧНЫХ» ГЛАВНЫХ КОМПОНЕНТ)

Специальность 08.00.13 00345Э433

Математические и инструментальные методы экономики

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата экономических наук

U filiB 2009

Новосибирск 2008

003459493

Работа выполнена в

Институте экономики и организации промышленного производства Сибирского отделения Российской академии наук

Научный доктор технических наук, профессор

руководитель: Павлов Виктор Николаевич

Официальные доктор экономических наук, профессор

оппоненты: Коломак Евгения Анатольевна

кандидат экономических наук, доцент Ягольницер Мирон Аркадьевич

Ведущая организация:

Алтайский государственный университет

Защита состоится 30 января 2009 года в 16-00 часов на заседании диссертационного совета Д.212.174.04 при Новосибирском государственном университете по адресу: 630090, г. Новосибирск, ул. Пирого-ва, 2, ауд. 304А.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского государственного университета.

Автореферат разослан декабря 2008 г.

2/,

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат экономических наук, доцент

ЖсМЛ^и* А.В. Комарова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ИССЛЕДОВАНИЯ

Экономическая конъюнктура - это совокупность признаков, выражающих текущее состояние экономики или рынка товаров на определённый промежуток времени. Говоря словами основателя первого в России Института по изучению экономической конъюнктуры Н.Д. Кондратьева (1892-1938), «понятие конъюнктуры указывает на стечение обстоятельств, от которых зависит и в которых проявляется успех хозяйственной деятельности» (см. [7]).

Прогнозирование рыночной конъюнктуры подразумевает рассмотрение экономических явлений в процессе их изменения во времени. Цель конъюнктурного прогноза - определение возможностей проведения хозяйственных операций, прежде всего покупки и продажи по наиболее выгодным ценам.

Фондовый рынок занимает важное место как инструмент перераспределения денежного капитала в различные сферы экономики. Этот рынок в настоящее время является наиболее динамичным.

Основными показателями, характеризующими конъюнктуру фондового рынка, являются фондовые индексы. В изменении индекса отражается тенденция движения рынка, знание которой необходимо для принятия инвестиционных решений.

Актуальность темы диссертации. Повышение эффективности методов прогнозирования фондовых индексов направлено на повышение качества инвестиционных решений и, как следствие, должно привести к вовлечению в экономическую деятельность большего числа потенциальных инвесторов. Рост инвестиционной деятельности, в свою очередь, приводит к повышению темпов экономического развития и уровня жизни. Поэтому разработка эффективных методов прогнозирования фондовых индексов является актуальной задачей в повышении эффективности как самого фондового рынка, так и экономической системы в целом.

Этим обстоятельством обосновывается актуальность темы диссертации.

Степень разработанности проблемы. Одним из наиболее развитых методов краткосрочного прогнозирования фондовых индексов является метод главных компонент, или различные его модификации (см. [3, 13]). В работе [б] предложена одна из модификаций метода главных компонент, так называемый метод «Гусеница», в котором прогнозирование выполняется на основе преобразования главных компонент «гусеничной» ковариационной матрицы. Первоначально

метод использовался для выявления периодических составляющих временных рядов. С появлением алгоритма реконструкции временного ряда в 1989 г. появилась возможность применять этот метод для сглаживания данных.

В современной зарубежной литературе описан достаточно широкий класс методов, алгоритмически и идейно близких к методу «Гусеница». Большая часть этих методов известна в русском переводе как «Анализ сингулярного спектра» (АСС). Истоки зарубежного варианта АСС восходят к работам Д.С. Брумхида (Broomhead D.S.) [12] и Р. Ваутарда (Vautard R.) [15].

Целыо данного исследования является разработка нового метода краткосрочного прогнозирования фондовых индексов «Нечёткая гусеница», построенного на основе совмещения метода «гусеничных» главных компонент и теории нечётких множеств.

Обоснованием выбранной цели являются следующие соображения.

В настоящее время существует множество статистических методов анализа и прогнозирования временных рядов. К числу таких методов относятся регрессионный анализ, анализ Фурье, методы Бокса-Дженкинса и множество других методов (см. [1, 2, 4, 5, 11, 11, 14идр.]). В то же время большинство эконометрических методов анализа и прогнозирования временных рядов базируется на заранее принятых гипотезах о классе функциональных зависимостей, среди которых ведётся поиск наилучшей. Это обстоятельство не позволяет утверждать однозначно, что построенная эконометрическая зависимость является действительно наиболее эффективной. Указанный недостаток полностью отсутствует в методе «Гусеница» (методе, основанном на использовании для прогноза «гусеничных» главных компонент, построенных на основе исходного ряда значений индекса) [3, 10, 13]. Однако, по убеждению автора, и сам метод «Гусеница» может быть значительно улучшен. Целью диссертации является реализация одного из направлений повышения эффективности метода «Гусеница» на основе разработки метода краткосрочного прогнозирования «Нечёткая гусеница».

В соответствии с формулой специальности 08.00.13, диссертация посвящена «развитию математического аппарата экономических исследований, методов его применения».

По области исследования диссертация относится к разделу 1.8 паспорта специальности: «Математическое моделирование экономической конъюнктуры, деловой активности, определение трендов, циклов и тенденций развития».

Задачи исследования:

1) анализ методов исследования рыночной конъюнктуры;

2) анализ статистических методов исследования фондовых индексов, сравнение эконометрических методов и одной из модификаций метода главных компонент (метода «Гусеница»);

3) разработка метода «Нечёткая гусеница» прогнозирования фондовых индексов;

4) построение краткосрочного post fact прогноза индексов ММВБ и Dow Jones Industrial по методу «Гусеница» и по методу «Нечёткая гусеница» и сравнение на этой основе эффективности методов.

Объект исследования: фондовые индексы, их статистическое описание.

Предмет исследования: статистические методы анализа и прогнозирования фондовых индексов, нечётко-множественное описание экономической неопределённости, прогнозирование фондовых индексов на основе их нечётко-множественного описания.

Теоретико-методологической базой исследования являются экономическая теория, труды российских и зарубежных учёных по эконометрике, математической статистике, теория нечётких множеств.

Научная новизна диссертации заключается:

• в разработке нового оригинального метода анализа временных рядов «Нечёткая гусеница»;

• в модификации стохастического алгоритма построения функции принадлежности прогнозируемого элемента числового ряда - одной из базовых процедур метода «Нечёткая гусеница»;

• в экспериментальном исследовании свойств метода «Нечёткая гусеница»;

• в статистической оценке и сравнении эффективности метода «Нечёткая гусеница» с методом «Гусеница» на краткосрочном post fact прогнозе индекса ММВБ и индекса Dow Jones Industrial.

Теоретическая значимость работы. Разработан новый метод анализа и прогнозирования временных рядов «Нечёткая гусеница». Выполнена экспериментальная проверка эффективности этого метода.

Практическая ценность работы. Разработанный в диссертации метод «Нечёткая гусеница» оказался более эффективным по сравнению с методом «Гусеница», поэтому применение метода «Нечёткая гусеница» в прогнозировании фондовых индексов приводит к повышению качества принимаемых инвестиционных решений.

Публикации. По теме диссертации опубликованы две научных статьи общим объемом 2 п.л., препринт объемом 1,5 п.л. и тезисы доклада в трудах научной конференции. В том числе одна статья в «Вестнике НГУ: серия социально-экономических наук», включенном ВАК РФ в список журналов, рекомендуемых для опубликования основных научных результатов кандидатских и докторских диссертаций по экономическим наукам.

Использование результатов диссертации. Научные результаты диссертации использовались при выполнении исследований по теме № РНП.2.1.3.2428 Программы Рособразования по развитию научного потенциала высшей школы, а также в преподавании дисциплины «Прогнозирование Российской экономики с использованием межотраслевых динамических моделей с распределенными строительными лагами» на экономическом факультете НГУ.

Апробация работы. Основные результаты диссертации были доложены на международной научной конференции, докладывались на научных семинарах НГУ и ИЭОПП Сибирского отделения РАН.

Структура работы и её объем. Диссертация состоит из введения, трёх глав основного текста, заключения, библиографического списка из 119 наименований, трёх дополнений. Основной текст содержит 126 страниц, 10 таблиц, 34 рисунка.

В первой главе «Обзор методов исследования рыночной конъюнктуры» рассмотрены подходы к исследованию конъюнктуры рынков, их моделированию, определена проблема исследования фондовых рынков и освещены основные подходы к решению этой проблемы.

Во второй главе « Математическое описание метода краткосрочного прогнозирования фондовых индексов «Нечёткая гусеница»» содержится описание метода «Гусеница» и разработанного в диссертации метода «Нечёткая гусеница».

Третья глава «Экспериментальное краткосрочное прогнозирование фондовых индексов» содержит описание результатов прогнозных расчетов по методам «Гусеница» и «Нечёткая гусеница», а также сравнительный анализ этих результатов.

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

Первое положение. Новый метод краткосрочного прогнозирования фондовых индексов «Нечёткая гусеница», который является нечётким обобщением метода «Гусеница». Метод предназначен для краткосрочного прогнозирования фондовых индексов, заданных нечёткими числами.

Краткое описание метода «Нечёткая гусеница».

Основные определения. Динамика фондового индекса обычно описывается числовым рядом значений индекса в заданные моменты времени = /(//_.), где связаны соотношениями = + А. Числовые ряды /к = /(**), которые получены в результате регулярных наблюдений у+Д) за показателем /, называются временны'ми. Пусть динамика фондового индекса описывается временным рядом . Предполагается, что неопределённость, содержащаяся в каждом элементе исходного временного ряда /,, описывается в виде нечёткого множества.

Базовые процедуры метода «Нечёткая гусеница».

1. Построение матрицы F по исходному временному ряду.

Выбирается некоторое число /<т<N , называемое длиной гусеницы, и при помощи однопараметрической сдвиговой процедуры преобразуется одномерный ряд ft в многомерную выборку, то есть в последовательность вектор-столбцов Дт, где п = N-г + 1, следующим образом:

ГЛ

/2

/2 1з

чЛ /т+/

/„

/п+1

Здесь через Р1 (( = 1,...,т),обозначена /-я строка матрицы Р, а верхним индексом Т обозначена процедура транспонирования.

2. Построение матрицы вторых моментов («гусеничной» ковариационной матрицы)

1 т СР=-РРГ . п

3. Вычисление собственных чисел Л2,...,ЛГ и собственных векторов

ГО) у(2) 1

С) ^

2 2

,,(') „(2)

,(х)

"г ;

матрицы Ср. Обозначим через Лр Жорданову форму матрицы Ср. Так как матрица Ср по построению является симметричной и положительно определённой, то все собственные числа её вещественные и положительные, а Жордановы клетки простые. Из этого вытекает, что матрица Ар диагональная.

Из линейной алгебры следует, что Ар = (Ур)тСрУр. При этом будем предполагать, что собственные векторы упорядочены по убыванию соответствующих собственных чисел, то есть Л1>Л1>...>ЛТ >0.

4. Вычисление главных компонент матрицы F по формуле

вр=УрР =

5. Частичное восстановление исходного ряда по г первым компонентам:

( п \

С,

с последующей ганкелизациеи

I у,.

1 V -

)=1 ] N-1+1

т, Г7 гл—7+7,/+л-

N-5 + 1 j=J

7 < ^ < X -с < 5- < /г , п < ^ < /V

где через г,у обозначены элементы матрицы Р. 6. Прогнозирование элемента /д,+1 по формуле:

где о! = (д,-= (/д(_1+2>•■•>/м)> У = г<т-У,

1/* =

г (О „О

Л

•а

т-1 у

Если исходный ряд Д, & = У,...,ЛГ состоит из нечётких чисел, то элементы матрицы будут нечёткими. Следовательно, все элементы

п

с^ матрицы Ср, вычисленные по формулам с,у = £//+(-; -//+у_/ на

1=1

основе правил нечёткой арифметики, будут нечёткими числами. Далее, элементы матрицы V/-, полученные в результате решения линейных

систем уравнений, все собственные числа Л[>Л, >... >ЛТ , вычисленные по формуле Ар = (Ур)тСрУр , и элементы фильтра V*т будут также нечёткими. Таким образом, вычисленный элемент /лг+1 = оказывается нечётким числом.

В этих условиях задача продолжения ряда /г, /=/,...,М, заключается в вычислении функции принадлежности нечёткого числа /д,^ . 7. Приближённое построение функции принадлежности элемента

Приближённое построение функции принадлежности элемента /д,+1 основано на следующих двух преобразованиях:

1) преобразование нечёткого множества в случайную величину;

2) интервальное преобразование случайной величины в нечёткое множество,

предложенных и изученных в работе [8].

На основе этих двух преобразований в работе [9] предложен стохастический алгоритм приближённого построения функции принадлежности нечётких макроэкономических показателей, вычисленных по динамической межотраслевой модели с нечёткими параметрами, состоящий из двух шагов.

Однако этот алгоритм в оригинальном виде не может использоваться для приближенного построения функции принадлежности нечёткого числа /д,+], так как по построению матрицы F нечёткие элементы и при всех /</<х и 1<]<п равны друг другу. Следовательно, после преобразования их в случайные величины , для них также должны быть выполнены равенства !;,•_/= ^ .

Предложенная в данной диссертации модификация стохастического алгоритма заключается в следующем.

Берётся ряд выборочных матриц

фЧС:: .....

сгенерированных при выполнении условий ;Ч1 = .

Для каждой из них выполняется обычный «гусеничный» прогноз /¡¡¡+!. Затем выполняется приближённое интервальное преобразование (см. [8]) полученной выборки /¡¡¡+1 с использованием эмпирической функции распределения Ф^-(х), построенной по этой выборке. Этим преобразованием завершается приближённое построение функции принадлежности элемента fN+l по модифицированному стохастическому алгоритму.

8. Наиболее правдоподобный прогноз +1 элемента /Л,+1 находится через решение следующей оптимизационной задачи:

Я+1 =Дг?тах^7 (а-) .

9. Методика оценки надежности нечёткого прогноза разработана в [9]. Эта методика основана на вычислении степени совпадения двух нечётких множеств:

т{А,в) = тт{Р1{А,в),Р1{в,А)},

Где Р1(а,в) = —-, Хд(.г) - функция принадлежности

JjuMflfr

—оо

нечёткого множества А .

Определение 1. Носителем нечёткого множества А является следующее множество:

я(А)={хеК|хА(л-)>0}.

Определение 2. Пусть А - нечёткое множество. Обозначим через х0 + А нечёткое множество с функцией принадлежности X,\ix^xo)-

Полученное множество называется сдвигом исходного множества А на величину xq .

Пусть имеется т прогнозных элементов / , к = 1,..., /;;, продолжающих нечёткий числовой ряд {ftJZ^ ■

Схема вычисления надёжности применительно к элементу f заключается в следующем. Выбирается эталонный показатель S с функцией принадлежности %s , симметричной относительно начала координат. Затем надёжность прогноза Hk(s) вычисляется по формуле

Очевидно, значение Hf.(s) существенным образом зависит от выбора эталонного показателя S . При выборе другого эталонного показателя надёжность прогноза Hj.(s) может увеличиться или уменьшиться. Поэтому оценка //¿(s) может использоваться только для сравнительного анализа надёжности вычисленных элементов f . Исследования,

J N + 1

проведённые в [9], показали, что если носитель эталонного показателя достаточно мал, то оценка надёжности Hi(s) пропорционально убывает при всех к , когда носитель E(s) уменьшается, т.е. от эталона S выполняется переход к эталону S' такому, что Z?(s')c E(s). Это свойство функции Hk(s) позволяет использовать её для сравнительной оценки надёжности элементов fN+k, к = 1,..., m •

Для того чтобы надёжность Hj.(s) пропорционально убывала при всех к , достаточно, чтобы e(s)c ) к = 1,..., т ■

Второе положение. Экспериментальное доказательство возможности применения методов «Гусеница» и «Нечёткая гусеница» для краткосрочного прогнозирования фондовых индексов.

Для экспериментального исследования были выбраны представители двух групп индексов: агрегированных по капитализации (индекс ММВБ) и агрегированных с равными весами (индекс Dow Jones Industrial). Этими группами охватываются практически все наиболее известные фондовые индексы.

Рис. 1. Результаты краткосрочного прогноза индекса ММВБ по методу «Гусеница»

Рис. 2. Наиболее правдоподобный прогноз по методу «Нечёткая гусеница» и интервал неопределённости

Рис. 3. Результаты краткосрочного прогноза индекса БЛ по методу «Гусеница»

Рис. 4. Наиболее правдоподобный прогноз ОЛ и интервал неопределённости

Выполненные в третьей главе диссертации экспериментальные расчёты по краткосрочному ретро-прогнозированию индексов ММВБ и ОЛ на пятидневный период (с 21 по 27 мая 2008 г) при т = 100, г =42 (см. рис. 1-4) показывают высокую степень соответствия фактических значений индексов за этот период и рассчитанных по методам «Гусеница» и «Нечёткая гусеннца». Обращает на себя внимание обнаружение и методом «Гусеница» и методом «Нечёткая гусеница» смены направления движения индекса ММВБ 20 мая и смены движения индекса БЛ 23 мая. Средняя величина квадрата отклонения прогноза от факта индекса ММВБ по методу «Гусеница» равна 845,068, а по методу «Нечёткая гусеница» - 238,68; индекса БЛ 10433,19 и 4224,125 соответст-

венно. Стандартная ошибка прогноза в каждом случае составляет менее полутора процентов от средней величины индексов.

Этим обосновывается возможность применения перечисленных методов для краткосрочного прогнозирования фондовых индексов.

Третье положение. Экспериментальная проверка эффективности метода «Нечёткая гусеница». На основе вычислительного эксперимента по краткосрочному post fact прогнозу индекса ММВБ и индекса DJI методом «Гусеница» и методом «Нечёткая гусеница» выявлено, что метод «Нечёткая гусеница» оказывается значительно более эффективным, чем метод «Гусеница». Средняя величина квадрата отклонения фактических значений индекса от прогноза в методе «Нечёткая гусеница» получена по индексу ММВБ в три с лишним раза меньше, а по индексу DJI - в два с половиной раза меньше, чем в методе «Гусеница».

Данный вывод вытекает из следующих результатов краткосрочного прогноза.

По индексу ММВБ: Таблииа I. Фактические значения индекса ММВБ на периоде ретро-прогноза

20 мая 21 мая 22 мая 23 мая 26 мая 27 мая

1937,943 1939,357 1922,518 1898,537 1897,125 1881,615

Таблица 2. Прогноз индекса ММВБ по методу «Гусеница»

20 мая 21 мая 22 мая 23 мая 26 мая 27 мая

«Гусеница» 1944,019 1919,415 1870,509 1861,473 1871,601

Средняя величина квадрата отклонения прогноза от факта равна 845,068, стандартная ошибка прогноза-29.07.

Таблица 3. Наиболее правдоподобный прогпоз по методу «Нечёткая гусеница»

21 мая 22 мая 23 мая 26 мая 27 мая

Прогноз 1953,798 1936,827 1893,931 1896,728 1905,744

Мах 1978,8 1961,8 1918,9 1921,7 1930,7

Min 1928,8 1911,8 1868,9 1871,7 1880,7

Надёжность 93,46% 64,14% 47,49% 38,00% 32,88%

Средняя величина квадрата отклонения прогноза от факта равна 238,68, стандартная ошибка прогноза - 15.45.

По индексу БЛ:

Таблица 4. Фактические значения индекса 1)Л па периоде ретро-прогноза

20 мая 21 мая 22 мая 23 мая 26 мая 27 мая

12828,68 12601,19 12625,62 12479,63 12548,35 12594,03

Таблица 5. Прогноз нндекса IJ.il по методу «Гусеница»

20 мая 21 мая 22 мая 23 мая 26 мая 27 мая

«Гусеница» 12640.25 12501,14 12303,54 12504,07 12610,4

Средняя величина квадрата отклонения прогноза от факта равна 10433,19, стандартная ошибка прогноза 102.14.

Таблица 6. Наиболее правдоподобный прогноз БД по методу «Нечёткая гусеница»

21 мая 22 мая 23 мая 26 мая 27 мая

Прогноз 12641,95 12546,14 12439,2 12477,21 12513,74

Мах 12416,95 12321,14 12214,2 12252,21 12288,74

Мт 12866,95 12771,14 12664,2 12702,21 12738,74

Надёжность 66,28% 34,66% 21,65% 16,18% 12,94%

Средняя величина квадрата отклонения прогноза от факта равна 4224,125, стандартная ошибка прогноза 64.99.

Функции принадлежности каждого из пяти прогнозируемых элементов индекса ММВБ изображены на рис. 5. Здесь самая высокая функция принадлежности соответствует элементу ^ (прогноз на

21 мая 2008 г), по мере удаления от 20 мая 2008 г. максимальная высота функции принадлежности соответствующего прогнозируемого элемента монотонно снижается.

Аналогичные графики функций принадлежности получаются и для прогнозируемых элементов индекса ОЛ.

Четвертое положение. Выявленные в диссертации математические свойства метода «Нечеткая гусеница», которые заключаются в следующем. Первый прогнозируемый элемент /¡¡+/ по методу «Нечеткая гусеница» имеет наиболее высокую надежность и наиболее высокую степень правдоподобности прогноза. Степень правдоподобности и надежность каждого следующего прогнозируемого элемента снижается.

Обоснованием этого положения в части надежности прогноза являются результаты экспериментальных расчетов, содержащиеся в таблицах 3 и б (строка 4). Визуально свойство снижения степени правдоподобности прогноза для индекса ММВБ с ростом t отражено на рис. 5.

Основное содержание диссертации отражено в следующих публикациях:

1. Щнгрев C.B. Применение метода «Нечёткая гусеница» для краткосрочного прогнозирования индекса ММВБ. Вестник НГУ. Серия: социально-экономические науки. Т. 8. 2008, выпуск 3, с. 99-104.

2. Щнгрев C.B. Метод прогнозирования биржевых индексов. В сб. Анализ и прогнозирование экономических процессов. - Новосибирск: ИЭОПП СО РАН, 2006, с. 231-242.

3. Щнгрев C.B. Проблема выхода российских организаций на рынок ценных бумаг. Тезисы доклада на международной конференции. Экономика и бизнес: позиция молодых ученых. - Барнаул: АГУ, 2007, с. 289-291.

4. Щнгрев C.B. Методы исследования конъюнктуры рынка. Препринт. - Новосибирск: ИЭОПП СО РАН, 2008,24 с.

Основная нспользованиая литература

5. Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов. - М: Мир, 1976.

6. Бокс Дяс., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. Вып. 1.-М.: Мир, 1974.

7. Главные компоненты временных рядов: метод «Гусеница» / Ред. Д.Л. Данилов, А.А. Жиглявский. - Санкт-Петербург: Изд-во СПбГУ, 1997.

8. Джонстон Дж. Эконометрические методы. - М.: Статистика, 1980.(6).

9. Кендалл М.Дж., Стыоарт А. Многомерный статистический анализ и временные ряды. - М.: Наука, 1976.

10. Кислицын М.М. Биотехнические системы в авиационной эргономике. - М.: Вопросы кибернетики, 51, 1978.

11. Кондратьев Н.Д. Избранные сочинения. - М. Экономика, 1993.

12. Павлов А.В. Интервальный метод построения нечетких макроэкономических показателей. Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических паук. - Новосибирск: ИЭОПП СО РАН, 2004.

13. Павлов А.В., Павлов В.Н. Применение интегральных преобразований в исследовании экономической неопределенности // Вестник НГУ. Серия: Социально-экономические науки, 2007, том 7, выпуск 2, с. 21-31.

14. Рао С.Р. Линейные статистические методы и их применение. -М.: Наука, 1968.

15. Суслов В.И., Ибрагимов Н.М., Талышева Л.П., Цыпла-

ков А.А. Эконометрия. - Новосибирск: Изд-во НГУ, 2005.

16. Broomhead D.S., King G.P. Extracting qualitative dynamics from experimental dada. Phisica D, 20, 1986, p. 217-236.

17. Hotelling H. Analysis of a complex statistical variables into principal components. J. Educ. Phych., 24, 1933, p. 417-441, 498-520.

18. Kendall M., Ord J.K. Time Series. Edward Arnold, Great Britain, 1990.

19. Vantard R., Ghil M. Singular-spectrum analysis in nonlinear dynamics, with applications to paleoclimatic time series. Phisica D, 35, 1989, p. 395-424.

20. Zadeh L.A. Fuzzy Sets // Inf. And Control. 1965. Vol. 8, p. 338-353.

ИД № 03575 от 19.12.2000 г. Подписано в печать 18 декабря 2008 г. Формат бумаги 60х84'Л6. Гарнитура «Тайме». Объем 1 н.л. Уч.-пзд. л. 1. Тираж 100 экз. Заказ №135.

Издательство ИЭОПП СО РАН. Участок оперативном полиграфии Института экономик» и организации промышленного производства СО РАН. 630090, г. Новосибирск, проспект Академика Лаврентьева, 17.

Диссертация: содержание автор диссертационного исследования: кандидата экономических наук, Щигрев, Сергей Владимирович

Введение

Глава 1 Обзор методов исследования рыночной конъюнктуры

§ 1.1 Исторический аспект развития конъюнктурных исследований

§ 1.2 Основные факторы формирования конъюнктуры рынка

§ 1.3 Особенности исследования конъюнктуры фондового рынка

§ 1.4 Методологические вопросы прогнозирования рыночной конъюнктуры

§ 1.5 Применение статистических методов в техническом анализе

Глава 2 Математическое описание метода краткосрочного про- 39 гнозирования фондовых индексов «Нечеткая гусеница»

§ 2.1 Прогнозирование конъюнктуры фондового рынка с использованием эконометрических моделей и нейронных сетей

§ 2.2 Математическое описание метода «Гусеница»

§ 2.3 Описание процедуры «Нечеткая гусеница» для прогнозирования фон- 66 довых индексов

Глава 3 Экспериментальное краткосрочное прогнозирование 78 фондовых индексов

§ 3.1 Наиболее широко используемые индексы фондовых рынков

§ 3.2 Экспериментальное сравнение методов краткосрочного прогнозирова- 84 ния фондовых индексов «Гусеница» и «Нечеткая гусеница»

3.2.1 Ретро-прогнозирование индекса ММВБ

3.2.2 Ретро-прогнозирование индекса Dow Jones Industrial 97 Заключение 108 Список литературы 117 Дополнение 1. Основные понятия теории нечетких множеств 127 Дополнение 2. Статистика усредненного индекса ММВБ за период 2 133 июля 2007 - 27 мая 2008 гг.

Дополнение 3. Статистика индекса Dow Jones Industrial за период 30 де- 136 кабря 2005 - 27 мая 2008 г.

Диссертация: введение по экономике, на тему "Метод краткосрочного прогнозирования фондовых индексов"

Экономическая конъюнктура - это совокупность признаков, выражающих текущее состояние экономики или рынка товаров на определенный промежуток времени. Говоря словами основателя первого в России Института по изучению экономической конъюнктуры Н.Д. Кондратьева (1892 - 1938), "понятие конъюнктуры указывает на стечение обстоятельств, от которых зависит и в которых проявляется успех хозяйственной деятельности" (см. [34]).

Прогнозирование рыночной конъюнктуры подразумевает рассмотрение экономических явлений в процессе их изменения во времени. Цель конъюнктурного прогноза - определение возможностей проведения хозяйственных операций, прежде всего покупки и продажи по наиболее выгодным ценам.

Фондовый рынок занимает важное место как инструмент перераспределения денежного капитала в различные сферы экономики. Этот рынок в настоящее время является наиболее динамичным.

Основными показателями, характеризующими конъюнктуру фондового рынка, являются фондовые индексы. В изменении индекса отражается тенденция движения рынка, знание которой необходимо для принятия инвестиционных решений.

Актуальность темы диссертации. Повышение эффективности методов прогнозирования фондовых индексов направлено на повышение качества инвестиционных решений и, как следствие, должно привести к вовлечению в экономическую деятельность большего числа потенциальных инвесторов. Рост инвестиционной деятельности, в свою очередь, приводит к повышению темпов экономического развития и уровня жизни.

Поэтому, разработка эффективных методов прогнозирования фондовых индексов является актуальной задачей в повышении эффективности, как самого фондового рынка, так и экономической системы в целом.

Этим обстоятельством обосновывается актуальность темы диссертации.

Одним из наиболее развитых методов краткосрочного прогнозирования фондовых индексов является метод главных компонент, или различные его модификации (см. [22]). В работе [35] предложена одна из модификаций метода главных компонент, так называемый метод «Гусеница», в котором прогнозирование выполняется на основе преобразования главных компонент «гусеничной» ковариационной матрицы.

Целью данного исследования является разработка нового метода краткосрочного прогнозирования фондовых индексов «Нечеткая гусеница», построенного на основе совмещения метода «гусеничных» главных компонент и теории нечетких множеств.

Обоснованием выбранной цели являются следующие соображения.

В настоящее время существует множество статистических методов прогнозирования временных рядов. К числу таких методов относятся регрессионный анализ, анализ Фурье, модели Бокса-Дженкинса и множество других методов (см. [3, 16, 25, 32, 56, 60, 94 и др.]). В то же время, большинство эконометрических методов прогнозирования временных рядов базируется на заранее принятых гипотезах о классе функциональных зависимостей, среди которых ведется поиск наилучшей. Это обстоятельство не позволяет утверждать однозначно, что построенная эконометрическая зависимость является действительно наиболее эффективной. Указанный недостаток полностью отсутствует в методе прогнозирования «Гусеница» (методе, основанном на использовании для прогноза «гусеничных» главных компонент) [91, 22, 56]. Однако, по убеждению автора, и сам метод «Гусеница» может быть значительно улучшен. Целью диссертации и является реализация одного из направлений повышения эффективности метода «Гусеница» на основе разработки метода краткосрочного прогнозирования «Нечеткая гусеница».

Задачи исследования: 1) анализ методов исследования рыночной конъюнктуры;

2) анализ статистических методов исследования фондовых индексов, сравнение эконометрических методов и одной из модификаций метода главных компонент (метода «Гусеница»);

3) разработка метода «Нечеткая гусеница» прогнозирования фондовых индексов;

4) построение краткосрочного post fact прогноза индексов ММВБ и Dow Jones Industrial по методу «Гусеница» и по методу «Нечеткая гусеница» и сравнение на этой основе эффективности методов.

Объект исследования: фондовые индексы, их статистическое описание.

Предмет исследования: статистические методы анализа и прогнозирования фондовых индексов, нечетко-множественное описание экономической неопределенности, прогнозирование фондовых индексов на основе их нечетко-множественного описания.

Теоретико-методологической базой исследования являются экономическая теория, труды российских и зарубежных ученых по эконометрике, математической статистике, теория нечетких множеств. Научная новизна диссертации заключается:

1. в разработке нового оригинального метода анализа временных рядов «Нечеткая гусеница»;

2. в модификации стохастического алгоритма построения функции принадлежности прогнозируемого элемента числового ряда;

3. в экспериментальном исследовании свойств метода «Нечеткая гусеница»;

4. в статистической оценке и сравнении эффективности метода «Нечеткая гусеница» с методом «Гусеница» на краткосрочном post fact прогнозе индекса ММВБ и индекса DJI.

Теоретическая значимость работы.

Разработан новый метод анализа и прогнозирования временных рядов «Нечеткая гусеница». Выполнена экспериментальная проверка эффективности этого метода.

Практическая ценность работы.

Разработанный в диссертации метод «Нечеткая гусеница» оказался более эффективным по сравнению с методом главных компонент «Гусеница», поэтому применение метода «Нечеткая гусеница» в прогнозировании фондовых индексов приводит к повышению качества принимаемых инвестиционных решений.

Публикации. По теме диссертации опубликованы две научных статьи объемом 2 п.л., препринт объемом 1,5 п.л. и тезисы доклада в трудах научной конференции. В том числе одна статья в «Вестнике НГУ: серия социально-экономических наук», включенном ВАК РФ в список журналов, рекомендуемых для опубликования основных научных результатов кандидатских и докторских диссертаций по экономическим наукам.

Использование результатов диссертации. Научные результаты диссертации использовались при выполнении исследований по теме № РНП.2.1.3.2428 Программы Рособразования по развитию научного потенциала высшей школы, а также в преподавании дисциплины «Прогнозирование Российской экономики с использованием межотраслевых динамических моделей с распределенными строительными лагами» на экономическом факультете НГУ.

Апробация работы. Основные результаты диссертации были доложены на международной научной конференции, докладывались на научных семинарах НГУ и ИЭОПП СО РАН.

Структура работы и ее объем.

Диссертация состоит из введения, трех глав основного текста, заключения, библиографического списка из 119 наименований. Основной текст содержит 126 страниц, 10 таблиц, 34 рисунка.

Диссертация: заключение по теме "Математические и инструментальные методы экономики", Щигрев, Сергей Владимирович

Выводы

Для выполнения экспериментальных расчетов были выбраны представители двух групп фондовых индексов. Индекс ММВБ является представителем фондовых индексов, построенных на основе взвешивания котировок по капитализации. Индекс Dow Jones Industrial является представителем индексов, построенных на основе простого арифметического взвешивания котировок с равными весами. Этими двумя группами исчерпываются все наиболее известные фондовые индексы.

Выполненные экспериментальные краткосрочные прогнозы индекса ММВБ и индекса DJI, а также полученные соотношения между стандартными

3 Стандартная ошибка прогноза равна 64.99, что составляет 0.5% от среднего значения индекса за базовый период. ошибками прогнозов и средними значениями индексов, доказывают применимость методов «Гусеница» и «Нечеткая гусеница» к краткосрочному прогнозированию фондовых индексов.

Разработанный в диссертации метод «Нечеткая гусеница» при краткосрочном прогнозировании фондовых индексов по критерию Л2 оказывается более эффективным, чем метод «Гусеница».

Заключение

Прогнозирование рыночной конъюнктуры подразумевает рассмотрение экономических явлений в процессе их изменения во времени. Цель конъюнктурного прогноза - определение возможностей проведения хозяйственных операций, прежде всего покупки и продажи по наиболее выгодным ценам.

Фондовый рынок занимает важное место как инструмент перераспределения денежного капитала в различные сферы экономики. Этот рынок в настоящее время является наиболее динамичной сферой экономической деятельности. Развитие эффективного рынка ценных бумаг обычно сопровождается ростом всей национальной экономики. Индексы фондового рынка служат индикаторами текущего состояния рынка, поэтому они дают ориентир, с которым инвесторы могут сравнивать эффективность своих собственных портфелей как с известной инвестиционной базой.

Фондовые индексы являются основными показателями, характеризующими конъюнктуру фондового рынка. Одной из главных проблем исследования конъюнктуры является изучение изменений в динамике и соотношении цен. В изменении индекса отражается тенденция движения рынка, знание которой необходимо для принятия инвестиционных решений. Повышение эффективности прогнозирования фондовых индексов направлено на повышение качества инвестиционных решений и, как следствие, должно привести к вовлечению в экономическую деятельность большего числа потенциальных инвесторов. Рост инвестиционной деятельности, в свою очередь, приводит к повышению темпов экономического развития и уровня жизни.

Общая концепция статистического прогнозирования конъюнктуры фондового рынка основана на выборе списка конъюнктурообразующих параметров, спецификации параметров, выборе вида математической модели, идентификации параметров модели и применении построенной модели для выполнения прогноза. Слабым звеном этой концепции является наличие ловушек, связанных с возможностью подгонки прогноза «под результат». Эта опасность возрастает, когда в исследовании выбирается большое количество объясняющих параметров. Здесь исследователь вынужден применять методы исключения ложной регрессии и др.

В ситуации, когда выбирается один конъюнктурообразующий параметр фондового рынка /,, I (чаще всего это бывает фондовый индекс), прогнозирование должно проводиться на основе авторегрессионной модели: т

Л = +с + е,, где в качестве параметра распределенного лага выступает число т>0.

Хорошо известно, что в авторегрессионных моделях при достаточно большой величине распределенного лага т исследователя подстерегает эффект мультиколлинеарности факторов, который снижает качество статистического исследования. Единственным методом избавления от мультиколлинеарности в авторегрессионной модели является переход к главным компонентам (см. [91]). В настоящее время наиболее распространенными являются два метода построения главных компонент: на основе нахождения собственных векторов выборочной автоковариационной матрицы и на основе нахождения собственных векторов «гусеничной» ковариационной матрицы.

Взятый за основу в диссертации метод прогнозирования временных рядов «Гусеница» построен на вычислении «гусеничной» ковариационной матрицы и формально не предполагает оценки каких-либо коэффициентов. Это обстоятельство является выигрышным моментом в сравнении с авторегрессионными моделями.

Выносимые на защиту основные научные результаты диссертации.

1. Новый метод краткосрочного прогнозирования фондовых индексов «Нечеткая гусеница», который является нечетким обобщением метода «Гусеница». Метод предназначен для краткосрочного прогнозирования фондовых индексов, заданных нечеткими числами.

Базовые процедуры метода «Нечеткая гусеница».

Каждое значение исследуемого индекса описывается нечетким числом. Затем, используя правила нечеткой арифметики, над рядом значений индекса выполняется следующая последовательность операций.

1). Построение матрицы F по исходному временному ряду.

Выбирается некоторое число 1 < х < N, называемое длиной гусеницы, и при помощи однопараметрической сдвиговой процедуры преобразуется одномерный ряд ^ в многомерную выборку, то есть в последовательность вектор-столбцов , где п = Ы-т + 1, следующим образом:

Ч) Г2

2 Гз т+1 f \ } п н+i

Здесь через ¥1 (г = 1,.,х), обозначена г-я строка матрицы ^ , а верхним индексом т обозначена процедура транспонирования.

2). Построение матрицы вторых моментов («гусеничной» ковариационной матрицы)

1 т

С,

3). Вычисление собственных чисел Л1, 12,.,ЛГ и собственных векторов

V?) у?) # ут ух матрицы Ср. Обозначим через А^- Жорданову форму матрицы Ср. Так как матрица Ср по построению является симметричной и положительно определенной, то все собственные числа ее вещественные и положительные, а Жордановы клетки простые. Из этого вытекает, что матрица Ар диагональная.

Из линейной алгебры следует, что АР =(Ур)гСрУР. При этом будем предполагать, что собственные векторы упорядочены по убыванию соответствующих собственных чисел, то есть \ > Л2 >. > Лг >0.

4). Вычисление главных компонент матрицы р по формуле

5). Частичное восстановление исходного ряда по г первым компонентам:

ЮЛ вр р с последующей ганкелизацией н

1 5 <.х

--- У-2Г

N-5+1 ¡¡Ь ' X

I N-¡+1

П <. 5 <; N

Т5 5 ^ И где через обозначены элементы матрицы Р.

6). Прогнозирование элемента по формуле: где <2Г v = (víiUv(r))J г<х-1, и „(2) . „И\

V'

V}' V)' ■■• V] V?) V?) . ^

У^ . У^

Если исходный ряд Д, к=1,.,Ы состоит из нечетких чисел, то элементы матрицы F будут нечеткими. Следовательно, все элементы п матрицы С^, вычисленные по формулам с на основе правил

1=1 нечеткой арифметики, будут нечеткими числами. Далее, элементы матрицы Ур, полученные в результате решения линейных систем уравнений, все собственные числа Л1>Л2>.>ЛТ, вычисленные по формуле АР =(уРУСрУР, и элементы фильтра у^'^У^У*7 будут также нечеткими. Таким образом, вычисленный элемент ^у^^у'Уу^О, оказывается нечетким числом.

В этих условиях задача продолжения ряда /г, г=1,.,ы, заключается в вычислении функции принадлежности нечеткого числа /м+1.

7). Приближенное построение функции принадлежности элемента лг+7 •

Приближенное построение функции принадлежности элемента ¡ы+1 основано на следующих двух преобразованиях: преобразование нечеткого множества в случайную величину; интервальное преобразование случайной величины в нечеткое множество, предложенных и изученных в работе [48].

На основе этих двух преобразований в работе [49] предложен стохастический алгоритм приближенного построения функции принадлежности нечетких макроэкономических показателей, вычисленных по динамической межотраслевой модели с нечеткими параметрами, состоящий из двух шагов.

Однако, этот алгоритм в оригинальном виде не может использоваться для приближенного построения функции принадлежности нечеткого числа л так как по построению матрицы /*■ нечеткие элементы -+1 и г- при всех /<г <;т и Ь ]<п равны друг другу. Следовательно, после преобразования их в случайные величины для них также должны быть выполнены равенства = Щ.

Предложенная в данной диссертации модификация стохастического алгоритма заключается в следующем.

Берется ряд выборочных матриц сгенерированных при выполнении условий = .

Для каждой из них выполняется обычный «гусеничный» прогноз . Затем выполняется приближенное интервальное преобразование (см. [48]) полученной выборки с использованием эмпирической функции распределения Ф5{х), построенной по этой выборке. Этим преобразованием завершается приближенное построение функции принадлежности элемента Л по модифицированному стохастическому алгоритму.

8). Наиболее правдоподобный прогноз элемента }ы+1 находится через решение следующей оптимизационной задачи: таххг (*). хЕЯ

9). Методика оценки надежности нечеткого прогноза разработана в [49]. Эта методика основана на вычислении степени совпадения двух нечетких множеств

Т(А,В)~ тт{Р1(А,В),Р1{в,А)}, где Р1(А,В) =

ХАПВ %а(х) - функция принадлежности нечеткого

00 со

Ха со множества а .

Определение 1. Носителем нечеткого множества А является следующее множество:

Пусть имеется т прогнозных элементов [ы+к, к = 1,.,т,

Схема вычисления надежности применительно к элементу }ы+к заключается в следующем. Выбирается эталонный показатель 5 с функцией принадлежности Хя > симметричной относительно начала координат. Затем надежность прогноза ЯЛ(5) вычисляется по формуле

Очевидно, значение Нк (з) существенным образом зависит от выбора эталонного показателя 5. При выборе другого эталонного показателя надежность прогноза ЯА(5) может увеличиться или уменьшиться. Поэтому, оценка Нк{Б) может использоваться только для сравнительного анализа надежности вычисленных элементов }ы+к. Исследования, проведенные в [9], показали, что если носитель эталонного показателя достаточно мал, то оценка надежности Нк(з) пропорционально убывает при всех к, когда носитель е{8) уменьшается, т.е. от эталона 5 выполняется переход к эталону 5" такому, что Это свойство функции ЯЛ(5) позволяет

А) = {хе%л(х)>0}. продолжающих нечеткий числовой ряд использовать ее для сравнительной оценки надежности элементов к = 1,.,т.

Для того, чтобы надежность hk(s) пропорционально убывала при всех к, достаточно, чтобы e(s)СE(fN+k) к=1,.,т.

2. Экспериментальное доказательство возможности применения методов «Гусеница» и «Нечеткая гусеница» для краткосрочного прогнозирования фондовых индексов.

Для экспериментального исследования были выбраны представители двух групп индексов: с агрегированием котировок по капитализации (индекс ММВБ) и агрегированием котировок с равными весами (индекс Dow Jones Industrial). Этими группами охватываются практически все наиболее известные фондовые индексы.

Выполненные в третьей главе диссертации экспериментальные расчеты по краткосрочному ретро-прогнозированию индексов ММВБ и DJI на пятидневный период (с 21 по 27 мая 2008 г) при т = юо, г = 42 (см. рис. 1-4) показывают высокую степень соответствия фактических значений индексов за этот период и рассчитанных по методам «Гусеница» и «Нечеткая гусеница». Обращает на себя внимание обнаружение и методом «Гусеница» и методом «Нечеткая гусеница» смены направления движения индекса ММВБ 20 мая и смены движения индекса DJI 23 мая. Средняя величина квадрата отклонения прогноза от факта индекса ММВБ по методу «Гусеница» равна 845,068, а по методу «Нечеткая гусеница» - 238,68; индекса DJI 10433,19 и 4224,125 соответственно. Стандартная ошибка прогноза в каждом случае составляет менее полутора процентов от средней величины индексов.

Этим обосновывается возможность применения методов «Гусеница» и «Нечеткая гусеница» для краткосрочного прогнозирования фондовых индексов.

3. Экспериментальная проверка эффективности метода «Нечеткая гусеница». На основе вычислительного эксперимента по краткосрочному post fact прогнозу индекса ММВБ и индекса Dow Jones Industrial методом «Гусеница» и методом «Нечеткая гусеница» выявлено, что метод «Нечеткая гусеница» оказывается значительно более эффективным, чем метод «Гусеница». Средняя величина квадрата отклонения фактических значений индекса от прогноза в методе «Нечеткая гусеница» получена по индексу ММВБ в три с лишним раза меньше, а по индексу DJI - в два с половиной раза меньше, чем в методе «Гусеница».

Данный вывод по индексу ММВБ вытекает из таблиц 3.3-3.6, полученных в результате краткосрочного прогноза индекса ММВБ.

Вывод по индексу DJI вытекает из таблиц 3.9-3.12, полученных в результате краткосрочного прогноза индекса DJI.

4. Выявленные в диссертации математические свойства метода «Нечеткая гусеница», которые заключаются в следующем. Первый прогнозируемый элемент по методу «Нечеткая гусеница» имеет наиболее высокую надежность и наиболее высокую степень правдоподобности прогноза f£+1. Степень правдоподобности и надежность каждого следующего прогнозируемого элемента временного ряда снижается.

Обоснованием этого положения в части надежности нечеткого прогноза являются результаты экспериментальных расчетов, содержащиеся в таблицах 3.6 (строка 4) и 3.12 (строка 4). Визуально свойство снижения степени правдоподобности прогноза f£+t с ростом t отражено на рис. 3.20 и 3.34.