Методы оценки основных показателей договоров непропорционального перестрахования тема диссертации по экономике, полный текст автореферата

Автореферат диссертации по теме "Методы оценки основных показателей договоров непропорционального перестрахования"

\

На правах рукописи

Буров Кирилл Александрович

Методы оценки основных показателей договоров непропорционального перестрахования

Специальности

08.00.13 - математические и инструментальные методы экономики, 08.00.10 - финансы, денежное обращение и кредит

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата экономических наук

Москва-2003 г.

Работа выполнена на кафедре математических методов в экономике Российской экономической академии им. Г.В. Плеханова

Научный руководитель: Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор экономических наук, профессор Тихомиров Н.П. доктор экономических наук, профессор Ивашкин Е.И. кандидат физико-математических наук Богатырева Н.А. Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, факультет вычислительной математики и кибернетики

Защита состоится 26 ноября 2003г. в 1400 на заседании диссертационного совета Д 212.196.01 по присуждению ученой степени доктора экономических наук в Российской экономической академии им. Г.В. Плеханова по адресу: 113054, Москва, Стремянный пер., д.36, к.З, ауд^ >3

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Российской экономической академии им. Г.В. Плеханова.

Автореферат разослан ^ /октября 2003 г.

Ученый секретарь Диссертационного совета к.э.н., доцент Г.Д. Серов

1. Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования

В условиях увеличения числа неблагоприятных событий, размеров вызываемых ими ущербов одним из основных методов обеспечения стабильности страхового рынка, повышения надежности страховых операций является разделение принимаемых страховыми компаниями рисков, путем передачи некоторой их части в перестрахование. Особенно значительна роль перестрахования для российских страховых компаний, не обладающих большими ресурсами и работающих в среде, подверженной воздействию разных неблагоприятных событий экономического, природного и техногенного характера, и к тому же при ограниченной емкости рынка.

Такая среда часто порождает рост частоты мелких и средних убытков, а также появление крупных, увеличивая для страховых компаний риски неисполнения взятых на себя обязательств и подрывая устойчивость страхового рынка РФ в целом. Именно от таких последствий надежной защитой является непропорциональное перестрахование.

Однако при организации непропорционального перестрахования возникает ряд научно-практических проблем, обусловленных трудностями определения достоверных параметров договоров. В основном они связаны с неустойчивостью оценок этих параметров к изменениям исходных данных о страховых событиях, со сложностями обоснования согласованных принимаемых цедентом и перестраховщиком рисков, определением достаточных компенсаций за них.

Ошибки в оценках параметров договоров непропорционального перестрахования влекут за собой либо потерю компаниями части дохода (прибыли), либо увеличивают вероятность их разорения. В этой связи особую актуальность приобретает повышение качества методов оценки этих параметров, позволяющих свести подобные ошибки и их последствия к минимуму.

Степень научной разработанности проблемы

Вопросы оценки параметров договоров непропорционального перестрахования рассматривались в работах целого ряда отечественных и зарубежных специалистов - теоретиков и практиков. Среди научных трудов, посвященных этой теме, следует выделить работы В.Е. Бенинга, Ю.М. Журавлева, А.Н. Зубца, Л.Н. Клоченко, Е.В. Коломина, Ф.В. Конынина, В.Ю. Королева, В.В. Малиновского, Л.А. Орланюк-Малицкой, Л.И. Рейтмана, В.А. Сухова, Г.И. Фалина, В.В. Шахова, С.Я. Шоргина, X. Бюльмана, X. Гербера, К. Пфайфера, Э. Штрауба.

Однако, несмотря на полученные в этих работах теоретические результаты и предложенные практические рекомендации, многие проблемы непропорционального перестрахования до сих пор остаются нерешенными. К ним, например, относятся обоснование закона распределения ущербов в наилучшей степени подходящего для оценки страховых выплат, оценки уровней премий за принимаемые риски, величины собственного удержания с учетом особенностей начисления этих премий и ряд других.

Нерешенность этих проблем на общетеоретическом уровне и для российского страхового рынка, в частности, и предопределило цель и задачи диссертационного исследования.

Целью диссертационной работы является обоснование подходов к оценке основных параметров договоров непропорционального перестрахования и разработка и совершенствование методов получения этих оценок с учетом условий российского рынка страховых услуг.

В соответствии с выбранной целью исследования в работе были поставлены и решены следующие задачи:

- выявления преимуществ и недостатков договоров непропорционального перестрахования по сравнению с другими методами страховой защиты в российских условиях;

- разработки подходов к определению законов распределения ущербов, используемых при оценке параметров договоров непропорционального

перестрахования с учетом особенностей накопленной статистической информации;

- разработки методов оценки страхового риска и его дисперсии в условиях недостаточности исходной информации;

- обоснованию подходов к определению страховой премии и совершенствованию методов ее оценки;

- выявления факторов, влияющих на величину собственного удержания страховой компании, при различных подходах к оценке страховой премии;

- разработки подходов к решению задачи количественной оценки оптимальной величины собственного удержания.

Объект и предмет исследования

Объектом исследования являются количественные и качественные показатели договоров непропорционального перестрахования - страховые риски, премии, собственное удержание цедента.

Предметом исследования являются методы оценки показателей договоров перестрахования.

Методологической и теоретической основой исследования явились труды отечественных и зарубежных специалистов в области страхового дела, актуарной математики, теории риска, теории вероятностей и математической статистики. В ходе диссертационного исследования была использована информация, отражающая состояние мирового и отечественного страхового рынка, содержание законов и нормативных актов, регулирующих страховую деятельность в развитых странах мира и РФ, Постановления Правительства РФ по вопросам организации и развития перестрахования в РФ, а также нормативные акты и методические материалы российских страховых профессиональных организаций - Всероссийского союза страховщиков и Российского общества актуариев.

Научная новизна результатов диссертационного исследования состоит в определении подходов и разработке методов, позволяющих повысить достоверность и обоснованность оценок показателей договоров непропорционального перестрахования.

Наиболее существенные результаты исследования, полученные лично автором и выдвигаемые на защиту, состоят в следующем:

- выявлены достоинства и недостатки использования договоров непропорционального перестрахования в качестве метода страховой защиты и обоснована целесообразность использования этого метода на российском страховом рынке;

- в целях повышения достоверности и обоснованности оценок параметров договоров непропорционального страхования предложены подходы к определению законов распределения ущербов и методы оценки страховой премии, адекватные имеющейся статистической информации, в том числе:

- обоснованы подходы к формированию законов распределений реальных ущербов страховых компаний как кривых Пирсона, законов с меняющимися параметрами;

- разработаны методы оценки уровня риска и его дисперсии в условиях недостоверной и нечеткой информации;

- предложены методы начисления и оценки премии, пропорциональной дисперсии риска;

- представлено теоретическое обоснование факторов, влияющих на уровень собственного удержания цедента, при разных методах оценки страховой премии;

- показана возможность определения оптимальной величины собственного удержания цедента с использованием итеративного метода последовательных приближений.

Теоретическая и практическая значимость исследования состоит в развитии методологических подходов к определению показателей договоров

непропорционального перестрахования и определяется целесообразностью и возможностью их использования на российском страховом рынке при организации перестрахования с целью повышения финансовой устойчивости работающих на этом рынке отечественных страховых компаний.

Апробация работы

Основные теоретические положения и результаты диссертационной работы доложены, обсуждены и одобрены на заседаниях кафедры математических методов в экономике РЭА им. Г.В. Плеханова, на международных научных конференциях «XV и XVI Международные Плехановские чтения» в 2002 и 2003 гг. Основные результаты диссертационного исследования были использованы в практической деятельности страховых компаний «Интеллект-Гарант» и «Галакт».

Публикации

По теме диссертации опубликовано 4 работы, общим объемом 2,8 п.л.

Структура работы

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы на 122 страницах машинописного текста, содержит 3 таблицы и 5 рисунков. Список используемой литературы включает 122 наименования, в том числе 28 источников на иностранных языках.

2. Основное содержание работы

При рассмотрении проблем организации перестрахования в целом и непропорционального перестрахования, в частности, в диссертации отмечено, что развитие страхового рынка в России приобретает особую значимость для ее экономики и социальной сферы, поскольку на современном этапе производство и население страны характеризуются повышенной уязвимостью от воздействия различных неблагоприятных

факторов, приводящих к причинению вреда жизни и имуществу. При этом необходимым условием этого процесса является рост экономики, обеспечивающий увеличение платежеспособного спроса на страховые услуги. Рост потребностей в страховании и повышение возможностей их удовлетворения привели к тому, что в РФ объемы страховых взносов и выплат, как в целом по страховому рынку, так и по операциям перестрахования с 1999 по 2001 г.г. увеличились более, чем в три раза.

Одновременно с этим на страховом рынке усиливается и конкуренция, заставляющая страховщиков искать пути повышения своей финансовой устойчивости на основе повышения качества анализа и эффективности движения страховых средств, отбора рисков, диагностики неблагоприятных событий и т.п. Одним из наиболее эффективных направлений этой деятельности является перестрахование.

Значимость перестрахования особенно возрастает именно в условиях высокой конкуренции, когда страховщики не имеют возможности отказываться от чрезмерно высоких рисков и даже одно неблагоприятное событие может для них обернуться финансовой катастрофой. В то же время, имея возможность перестраховывать свои риски основные страховщики (цеденты) способны вступать в жесткую конкурентную борьбу за приобретение страхований, увеличивая свои финансовые резервы, и одновременно с этим - выравнивать портфельные риски, повышая тем самым свою финансовую устойчивость.

Среди форм перестрахования в России особое значение, на наш взгляд, приобретает именно непропорциональное перестрахование. Это связано с тем, что в стране, как и во всем мире постоянно возрастают угрозы понести крупные убытки, как разовые, так и за счет кумуляции мелких и средних, в частности, из-за увеличения рисков техногенных аварий и природных катастроф.

В подтверждение этому в работе приводятся следующие данные. В мире за последние 30 лет количество крупных природных катастроф с

величиной ущерба, превышающей 1% ВВП пострадавшей территории, увеличилось более чем в 4 раза. Вероятности ежегодного возникновения наиболее тяжелых техногенных катастроф оцениваются небывало высокими

показателями от 0,2-Ю" до 1<Г , а ущербы от каждой из них суммой от 1 до 100 млрд.$. Только на территории РФ ежегодно происходят свыше 1300 техногенных или природных ЧС, которые по имеющимся оценкам только в 1999 г. принесли ущерб свыше 21 млрд. рублей. В техногенной сфере этому способствуют физический и моральный износ фондов.

К тому же непропорциональное перестрахование характеризуется более низкими административными расходами, более простыми по сравнению с пропорциональным процедурамй удовлетворения требований, более широким выбором типов ковера и рядом других преимуществ.

В работе отмечено, что развитие непропорционального перестрахования в РФ началось в 90 годы, благодаря появившейся возможности выхода слабых в финансовом отношении российских компаний на международный рынок и участия зарубежных партнеров в их уставных капиталах. Непропорциональное перестрахование в настоящее время активно развивается благодаря операциям на лондонском рынке, прямому участию или через брокеров немецких и швейцарских компаний (Седжвик, Александр Хауден, Виллис Фабер, Бэйн Хогг и других).

Однако развитию непропорционального перестрахования в РФ препятствует отсутствие обоснованных и достоверных оценок параметров перестраховочных договоров, что в значительной степени объясняется недостаточностью и недостоверностью исходной статистической информации. Без нее не представляется возможным определить адекватные риску размеры премий цедента и перестрахователя, величину собственного удержания цедента - основных характеристик перестраховочной операции.

Использование в практической деятельности российских страховых компаний параметров договоров и методических рекомендаций по их оценке, принятых в развитых странах, на наш взгляд, может лишь усугубить

сложившуюся ситуацию, поскольку базой для подобных разработок является информация об объектах и процессах, функционирующих и протекающих в условиях, существенно отличающихся от российских. Это относится и к законам распределения ущерба, к оценкам риска, и размерам возмещаемого ущерба, и премиям, и удержанию и другим характеристикам.

Отсутствие достоверных исходных данных, снижает степень прозрачности этого вида страховой деятельности, а это свойство является важнейшим условием его осуществления. Кроме того, непропорциональное перестрахование требует существенно более мощного научного обоснования, что в российских условиях сдерживается отсутствием кадрового потенциала и недостаточно развитой методологией актуарных расчетов.

При рассмотрении проблемы повышения научной обоснованности оценок параметров договоров непропорционального перестрахования в диссертации отмечено, что ее особенностью является тот факт, что страховщики при получении таких оценок на будущий период действия договора используют исходную информацию, относящуюся к прошлым периодам развития событий и страхового рынка в целом. В связи с этим они вынуждены опираться на определенные гипотеза в отношении предполагаемых тенденций развития рассматриваемых процессов.

В диссертации выделены четыре возможные гипотезы в отношении закономерностей распределения ущерба - базовой информации при определении параметров договоров.

Первая гипотеза предполагает, что закон распределения ущерба относится к семейству законов классического типа и с течением времени для рассматриваемых страховых случаев он не меняется. К таким законам, в частности, относятся нормальный, логнормальный, Парето, Вейбулла и некоторые другие.

Вторая гипотеза исходит из того, что закон распределения ущерба с течением времени не меняется, однако он имеет специфические черты, не позволяющие отнести его к распределениям классического типа. При

наличии необходимой информации его можно построить в виде кривой Пирсона.

Согласно требуемой гипотезе предполагается, что со временем не меняется тип закона распределения, однако его параметры (в первую очередь математическое ожидание и дисперсия) могут изменяться. В такой ситуации возникает проблема прогнозирования будущих параметров закона распределения ущерба.

Четвертая гипотеза допускает, что имеющаяся информация недостаточна для формирования подходящего закона распределения ущерба и его основные характеристики можно определить лишь с использованием субъективных методов оценивания, методов обработки нечеткой информации. Часто их использование обусловлено несопоставимостью исходной информации за разные периоды времени. Процедуры, направленные на обеспечение ее сопоставимости, не вполне эффективны, кроме того, в новых видах страхования данные за прошлые периоды вообще отсутствуют.

В диссертации проведен сравнительный анализ свойств основных законов распределений ущербов классического типа, используемых в непропорциональном перестраховании. При этом отмечено, что распределение Вейбулла с функцией плотности

где д; > а - ущерб, а, Ь и с - параметры распределения, имеет очевидные достоинства из-за наличия трех параметров, благодаря своей гибкости, возможности настраиваться на реальную статистику, Оно способно отображать убытки с любого уровня а. Однако для достоверной оценки его параметров необходима значительная по объему статистика. При получении их оценок, особенно в области больших убытков, необходимо использовать специальные численные методы решения нелинейных задач.

0)

Лагорифмически нормальный закон распределения с функцией плотности

(\п(х-а)-ц)г

/(х,<т,/л,а) = -1=-е 2а т

4ъ^<т{х-а) (2)

где а - параметр сдвига, ц и а1 - математическое ожидание и дисперсия соответственно, обладает теми же преимуществами, что и распределение Вейбулла.

Однако при его использовании возможно завышение вероятности больших убытков.

Аналогичные недостатки присущи и логарифмическому гамма распределению. Кроме того, достоверная оценка параметров всех видов этих типов распределений возможна только при больших объемах исходной информации.

В диссертации отмечено, что из-за этой причины в непропорциональном перестраховании широкое распространение получило распределение Парето с функцией распределения следующего вида

(3)

[ 0, х<\

В частности, с параметром а=0,25-0,45 она используется при описании относительной смертности от землетрясений, с параметром а=0,4-0,6 -ущербов от ураганов, с параметром л~2/3 - ущербов от сильных землетрясений с магнитудой менее 7,5 и с а~1 - для более сильных.

Особенностью этого распределения является то, что оно реально учитывает возможность проявления недостаточно редких, но тяжелых по последствиям событий, приходящих на его «хвост». Кроме того, при ограничениях на величину ущерба можно использовать распределение Парето с «усеченным хвостом».

Простые процедуры оценки основного параметра распределения Парето, в том числе и при небольших объемах исходной информации предопределили его популярность в теории и практике непропорционального перестрахования, даже при наличии очевидных недостатков - плохой гибкости, вследствие наличия только одного параметра, и относительно неточной аппроксимации вероятностей малых убытков.

По мнению автора работы, ориентация на распределения классического типа при получении оценок параметров договоров непропорционального перестрахования может привести к значительным погрешностям, поскольку эти распределения отражают лишь самые общие закономерности в распределении ущерба по величине и не учитывают отдельные его нюансы, отражаемые реальной статистической информацией. Вследствие этого более целесообразным в теории и практике таких расчетов использовать эмпирические законы распределения ущербов, сформированные, например, в виде кривых Пирсона.

В диссертации отмечено, что из семи возможных типов кривых Пирсона для непропорционального перестрахования в большей степени подходят только модификации трех из них: la, IITg и Vif. Напомним, что тип кривой Пирсона определяется значением ее критерия со, рассчитываемого на основании следующего выражения

а = —2-Ъ-— (4)

где д = , „3—т Зг3 - 2г4 - 6

и r; = —i - i'-й основной момент эмпирического ущерба,

(7

m, - i-й центральный момент. Эти моменты оцениваются на основании реальных ущербов Xt с частотами п,.

У кривых Пирсона 1-го типа со < 0, а уравнение ее модификации 1а имеет следующий вид:

/йО) = Ло

1+-

ч

1-

(5)

'■и

где х ~ X - X - модифицированный ущерб, могущий принимать и отрицательные значения в пределах -1х<х<12\ Х - реальный ущерб и

сг - г3 54-2

Х = Х-

s-2

Параметры кривой % q2\ i¡ и а также масштабирующий множитель, определяются также на основании третьего и четвертого основных моментов и среднеквадратического отклонения эмпирического распределения ущерба.

У кривых Пирсона третьего типа СО — ±°о. Общее уравнение этой кривой имеет вид

fin (х) — fui, о

1 + ^

(6)

где для модификации кривой Illg -1<р<0, ^ ] >0.

Критерий кривой Пирсона VI-го типа находится в пределах от 1 до со, 1<со<ао. Ее общее уравнение имеет вид

fvi(x) = fviy(x-tr-x~92 (7)

Для модификации Vif, q^ < 0.

Параметры кривых типа Illg и Vif также определяются на основании моментов и среднеквадратического отклонения эмпирического распределения.

Отметим, что кривые Пирсона 1а и Illg применяются как распределения с усеченными хвостами, а кривая Vif - с неусеченным.

Достаточно широкий выбор типов и модификаций кривых Пирсона, однозначные процедуры оценки их параметров позволяют подстроить их под любые особенности эмпирического распределения ущерба. В частности,

диссертации показано с использованием эмпирических распределений, что кривые Пирсона характеризуются значительно большей гибкостью по сравнению с распределениями классического типа, что позволяет им подстраиваться даже под незначительные изменения эмпирических данных.

В работе отмечено, что задача оценки параметров закона распределения при принятии третьей гипотезы об их непостоянстве в будущий период действия договора может быть решена, если известны ряды значений этих параметров, относящихся к прошлым периодам. В частности, для распределения Парето это означает, что на основании известных значений а(1), а(2),...,а(Т), характеризующих уровни параметра этого распределения в периоды 1+1), 1=0, 1,...,Т-1, можно оценить значение этого параметра в момент (Т+1), т.е. а(Т+1). Однако, при реализации такого подхода следует иметь в виду, что достоверность такого прогноза может быть не высока по той причине, что распределение Парето на каком-либо из интервалов может потерять свои «аппроксимирующие свойства». Иными словами, может оказаться, что на каких-то интервалах вместо него лучше использовать другие распределения как более точные.

При использовании кривых Пирсона эта проблема снимается, поскольку прогнозировать на период (Т, Т+1) необходимо значения основных моментов г3(Г + 1) и г4 (Т +1) и и(Т+ Х) по известным их значениям, полученным для эмпирических распределений прошлых лет. Далее по этим прогнозам восстанавливается наиболее подходящая кривая Пирсона. Такая «гибкость» кривых Пирсона предопределяет их дополнительные преимущества перед распределениями классического типа.

В общем случае, при наличии достаточной статистики выбор в пользу того или иного распределения может быть сделан с использованием критерия 2

X в ходе решения задачи аппроксимации эмпирических данных возможными аналитическими зависимостями.

В диссертации отмечено, что отсутствие достоверной статистической информации об ущербах, характерное для российского страхового рынка в

15

целом и, особенно, по операциям непропорционального перестрахования, затрудняет решение проблем выбора наиболее приемлемого закона вероятностей ущербов и оценки вероятностей наиболее крупных ущербов. Заметим, что на практике вероятности крупных ущербов часто определяются путем аппроксимации плотностей распределения, сформированных на статистике мелких и средних ущербов. Однако подобная аппроксимация может привести к существенным ошибкам из-за необоснованности выбора закона распределения.

В такой ситуации для оценки основных параметров распределения в работе предложено использовать «нечетко определенную» статистику. При этом рассмотрены три возможных случая ее формирования.

1. Для известной вероятности проявления ущерба его значение

представлено нечетко определенной величиной X,.

2. При заданном уровне ущерба X< нечетко определенной является вероятность .

3. Нечетко определенными являются и вероятность д, и ущерб X,.

В работе обосновывается предположение, что на практике неопределенность в исходной информации может быть учтена в рамках первого случая, а оба других - сводятся к нему путем преобразования данных.

Автор отмечает, что неопределенность может быть задана различными

способами, в том числе: представлением ущерба Х1 в виде интервальной

величины (определенной на известном интервале Х\<Х1<Хг,), - в виде случайной величины. В работе подробно исследован второй случай, когда

ущерб Х1 рассматривается как случайная величина с известным

математическим ожиданием ЛГ/ и дисперсией о-2(Х/).

При этом в работе показано, что для всех трех вариантов отображения неопределенности в исходных данных математическое ожидание выплат страховой компании (среднего риска компании) определяется традиционным способом:

e[z]=e

1,9, X,

= (8)

где qt и Xi - математические ожидания случайных величин q, и X, соответственно.

Дисперсия риска в первом случае определяется следующим выражением

D\2) = £в|(ЛГ, -Xf - X,)2 = D(X) + D{Xt) (9)

i • 1

где Xv - случайная величина, отражающая j-й возможный уровень ущерба в i-й группе;

c:j - вероятность ее проявления в i-й группе;

D(x) - межгрупповая и D(Xt) - средняя внутригрупповая дисперсии, причем D(XJ = ^qiD(X,).

Рассмотренные подходы к оценке законов распределения ущербов и их основных параметров были учтены при определении основных характеристик договоров непропорционального перестрахования - страховых премий и собственного удержания цедента.

В работе отмечено, что в общем случае страховые компании и в страховании, и в перестраховании на практике обычно следуют принципу эквивалентности уровня принимаемого риска и размера премии, что учитывается следующим соотношением

P~E[Z]

где Р - размер премии, E[Z] - математическое ожидание выплат.

На практике рисковая премия увеличивается за счет нагрузки Р=(1+3)Е[г]

(П)

И нагрузка S=f+g - делится на две части: рисковую Г и платы за обслуживание договоров

В диссертации отмечено, что установление нагрузки обслуживания § пропорционально риску, в целом обосновано. Однако в отношении рисковой нагрузки £ в работе выдвинуты ряд альтернативных предложений, вытекающих из результатов теории риска. В частности, ее уровень продолжается устанавливать пропорционально ожидаемому отклонению от среднего уровня выплат. В итоге премия за риск может быть определена согласно следующим соотношениям:

При этом выражение (12) является более предпочтительным для полностью зависимых рисков, поскольку а = ]Г<т(2(), а выражение (13)

- для полностью независимых рисков, что вытекает из аналогичного выражения для их дисперсий о1 = £<т2(£,), где а-2(г,) - дисперсия риска

¿-го портфеля.

В диссертации обсуждаются также возможности оценки страховой премии исходя из концепции полезности договора. Однако, поскольку эта концепция не позволяет сформировать универсальные для всех ситуаций подходы к оценке этой характеристики, в дальнейшем этот подход не используется.

Рассмотренные подходы к оценке страховых премий были использованы в работе для определения страховых премий цедента и перестраховщика в договорах непропорционального перестрахования при допущении однородности и независимости рисков основных договоров. При этом были рассмотрены договора эксцедента убытка и эксцедента

Р = (\ + §)Е&]+М2]

P = {\ + g)E[z\+y<т1[z]

(12) (13)

убыточности, которые характеризуются следующими условиями для выплат перестраховщика:

договор эксцедента убытка:

2 =

если

г = ^хк<г

о,

7,—г, если 2 >г договор эксцедента убыточности:

(14)

2 =

(15)

О, если 2 < рР 2 - рР, если 2 > рР

где 2 - выплаты перестраховщика; г - собственное удержание цедента; Р - премия по основному договору,

рР - уровень премии, за которым начинается ответственность перестраховщика;

Хк - выплаты по договору к.

Очевидно, что при начислении премии пропорционального риску, т.е. согласно выражению (11), ожидаемая сумма выплат цедента и перестраховщика в обоих договорах равна ожидаемой сумме выплат по основному договору

Е[г]=Ег+Е2 (16)

Иную ситуацию имеем при начислении нетто-премии пропорционально дисперсии риска, т.е. согласно выражению (13). В работе, на примере договора эксцедента убытка приведено аналитическое доказательство, что в этом случае ожидаемая сумма выплат цедента и перестраховщика оказывается меньше выплат по основному договору поскольку оказывается справедливым следующее соотношение:

+ а2[г] (17)

<г2[ф,

При этом размер снижения ожидаемых выплат определяется следующей величиной:

Аналогичные результат имеет место и для договора эксцедента убыточности.

В работе также показано, что в случае нарушения условия однородности рисков при наличии достаточной статистики, отражающей динамику страховых выплат за Т лет, 1=1,2,...,Т; по п однородным группам договоров г = 1,л; лучшая оценка нетто-премии за риск в ¡-й группе по критерию максимального правдоподобия (в предположении, что он пропорционален величине риска) определяется согласно следующему выражению:

где X, - показатель убыточности по 1-й группе рисков за Т лет (отношение

суммы выплат к размеру премии);

X - показатель убыточности по всем группам за Т лет;

у, - коэффициент «максимального правдоподобия», рассчитываемый на

основе статистики выплат и премий по группам договоров за

рассматриваемые годы.

В диссертации достаточно детально исследована проблема определения рациональной величины собственного удержания цедента для договора эксцедента убыточности. Отмечено, что ее обоснованное решение способствует снижению вероятности разорения компании, увеличению ее ожидаемого дохода, повышению финансовой устойчивости. Сложность этой проблемы связана с тем обстоятельством, что уровень этого показателя не всегда может быть поставлен в зависимость от объективных и количественно измеряемых факторов. На практике он определяется на основе соглашения цедента и перестраховщика и зависит от сложившейся практики, конкретной

(18)

1, = г1х,+<\-7.)х,

(19)

ситуации на рынке и ряда других обстоятельств. В работе приведены рекомендации по оценке уровня удержания на практике, обоснованные специалистами актуариями.

Вместе с тем, по мнению автора, может быть предложен некоторый общий теоретический подход к определению этого показателя, реализация которого позволяет установить степень влияния на размер собственного удержания «страховых» факторов и определить область нахождения его оптимального значения. При этом, диссертант использовал эмпирически обоснованную и теоретически доказанную зависимость собственного удержания от факторов следующего вида:

капитал х готовность к перестрахованию х прибыльность

удержание»--—----. (20)

несбалансированность

Используя известный результат преобразования выражения (20) к следующему формализованному виду:

- Е[У]/Е[г] ....

потребность в перестраховании «-^———, (21)

Р У ^ УагЩ/УагЩ

где У = Р~2, и потребность в перестраховании - понятие, обратное удержанию, диссертант получил следующие результаты:

для нетто-премии, определяемой пропорционально уровню риска (выражение (11)):

удержание--—--(22)

потребность в перестраховании

т.е. размер удержания пропорционален брутго-нагрузке прибыли;

- для нетто-премии, определяемой пропорционально дисперсии риска

(выражение (13)):

потребность в перестраховании ~ у--, (23)

ЕЩ

т.е. потребность в перестраховании пропорциональна неопределенности в оценке риска до перестрахования, соотнесенной с его величиной.

В работе с использованием условно-реальной информации эти теоретические результаты подтверждены расчетными данными.

Автором также предложен общий подход к оценке оптимальной величины собственного удержания цедента, основанный на итерационной процедуры нахождения этого значения в предположении, что оптимум соответствует минимальному значению целевой функции Л(г)/Е[и(г)] -характеризующей отношение вероятности разорения компании к математическому ожиданию ее прибыли, остающейся у нее после перестрахования. При этом показано, что решение ищется с использованием следующего соотношения:

где Я - вероятность разорения цедента после перестрахования, зависящая от размера удержания, Е[Щ - математическое ожидание капитала компании после перестрахования, Я' и Е'[Ц] - производные этих функций по удержанию.

В работе приведены аналитические выражения для этих показателей.

Поскольку удержание как неизвестная переменная входит в левую и правую части выражения (24), которые являются нелинейными функционалами по г, то его решение может быть получено лишь путем итерационных приближений.

В заключении работы приведены основные результаты диссертационного исследования и вытекающие из них выводы.

Основное содержание диссертации отражено в следующих научных публикация автора.

(24)

1. Буров К.А. Оценивание распределения убытков по договорам непропорционального перестрахования. В сб.: «Пятнадцатые Международные Плехановские Чтения». Тезисы докладов профессорско-преподавательского состава. - М., 2002. - 0,1 п. л.

2. Буров К.А. Проблемы оценки распределения страховых выплат по договорам непропорционального перестрахования. В сб.: «Шестнадцатые Международные Плехановские Чтения». Тезисы докладов аспирантов, докторантов и научных сотрудников. - М., 2003. - 0,1 п.л.

3. Буров К.А., Тихомиров Н.П., Тихомиров С.Н. проблемы непропорционального перестрахования эколого-экономических рисков // Экономика природопользования, ВИНИТИ, 2003, №3. - 1,5 п.л. (авторский вклад 0,5 п.л.).

4. Буров К.А., Тихомиров С.Н. Методы определения параметров договоров непропорционального перестрахования // Экономика природопользования, ВИНИТИ, 2003, №4. - 1,1 п.л. (авторский вклад 0,6 п.л.).

Отпечатано в типографии Российской экономической академии им. Г.В. Плеханова Заказ № 123 Тираж 100 экз.

»1702S

Диссертация: содержание автор диссертационного исследования: кандидата экономических наук, Буров, Кирилл Александрович

Введение

Глава I. Методологические проблемы организации перестрахования

1.1. Перестрахование в системе страховых услуг

1.2. Формы и методы перестрахования и их особенности

1.3. Проблемы использования непропорционального перестрахования на российском рынке

Глава II. Теоретические основы оценки показателей договоров непропорционального перестрахования

2.1. Основные предпосылки, используемые в расчетах показателей договоров

2.2. Законы распределения ущербов, используемые в непропорциональном перестраховании

2.3. Кривые Пирсона как законы распределения ущербов

2.4. Методы оценки страхового риска и его дисперсии в условиях недостоверной статистики

Глава III. Методы определения параметров договоров непропорционального перестрахования

3.1. Методы оценки страховой и перестраховочной премии

3.2. Аналитическое обоснование выбора собственного удержания цедента (на примере договора эксцедента убытка)

3.3. Общий подход к оценке оптимальной величины собственного удержания 1 Заключение 1 Литература

Диссертация: введение по экономике, на тему "Методы оценки основных показателей договоров непропорционального перестрахования"

В условиях увеличения числа неблагоприятных событий, размеров вызываемых ими ущербов одним из основных методов обеспечения стабильности страхового рынка, повышения надежности страховых операций является разделение принимаемых страховыми компаниями рисков, путем передачи некоторой их части в перестрахование. Особенно значительна роль перестрахования для российских страховых компаний, не обладающих большими ресурсами и работающих в среде, подверженной воздействию разных неблагоприятных событий экономического, природного и техногенного характера, и к тому же при ограниченной емкости рынка.

Такая среда часто порождает рост частоты мелких и средних убытков, а также появление крупных, увеличивая для страховых компаний риски неисполнения взятых на себя обязательств и подрывая устойчивость страхового рынка РФ в целом. Именно от таких последствий надежной защитой является непропорциональное перестрахование.

Однако при организации непропорционального перестрахования возникает ряд научно-практических проблем, обусловленных трудностями определения достоверных параметров договоров. В основном они связаны с неустойчивостью оценок этих параметров к изменениям исходных данных о страховых событиях, со сложностями обоснования согласованных принимаемых цедентом и перестраховщиком рисков, определением достаточных компенсаций за них.

Ошибки в оценках параметров договоров непропорционального перестрахования влекут за собой либо потерю компаниями части дохода (прибыли), либо увеличивают вероятность их разорения. В этой связи особую актуальность приобретает повышение качества методов оценки этих параметров, позволяющих свести подобные ошибки и их последствия к минимуму.

Степень научной разработанности проблемы

Вопросы оценки параметров договоров непропорционального перестрахования рассматривались в работах целого ряда отечественных и зарубежных специалистов - теоретиков и практиков. Среди научных трудов, посвященных этой теме, следует выделить работы Ю.М. Журавлева, А.Н. Зубца, JI.H. Клоченко, Е.В. Коломина, Ф.В. Конынина, В.Ю. Королева, В.В. Малиновского, JI.A. Орланюк-Малицкой, Л.И. Рейтмана, В.А. Сухова, Г.И. Фалина, В.В. Шахова, С.Я. Шоргина, X. Бюльмана, X. Гербера, К. Пфайфера, Э. Штрауба.

Однако, несмотря на полученные в этих работах теоретические результаты и предложенные практические рекомендации, многие проблемы непропорционального перестрахования до сих пор остаются нерешенными. К ним, например, относятся обоснование закона распределения ущербов в наилучшей степени подходящего для оценки страховых выплат, оценки уровней премий за принимаемые риски, величины собственного удержания с учетом особенностей начисления этих премий и ряд других.

Нерешенность этих проблем на общетеоретическом уровне и для российского страхового рынка, в частности, и предопределило цель и задачи диссертационного исследования.

Целью диссертационной работы является обоснование подходов к оценке основных параметров договоров непропорционального перестрахования и разработка и совершенствование методов получения этих оценок с учетом условий российского рынка страховых услуг.

В соответствии с выбранной целью исследования в работе были поставлены и решены следующие задачи:

- выявления преимуществ и недостатков договоров непропорционального перестрахования по сравнению с другими методами страховой защиты в российских условиях;

- разработки подходов к определению законов распределения ущербов, используемых при оценке параметров договоров непропорционального перестрахования с учетом особенностей накопленной статистической информации;

- разработки методов оценки страхового риска и его дисперсии в условиях недостаточности исходной информации;

- обоснование подходов к определению страховой премии и совершенствованию методов ее оценки;

- выявления факторов, влияющих на величину собственного удержания страховой компании, при различных подходах к оценке страховой премии;

- разработки подходов к решению задачи количественной оценки оптимальной величины собственного удержания.

Объект и предмет исследования

Объектом исследования являются количественные и качественные показатели договоров непропорционального перестрахования - страховые риски, премии, собственное удержание цедента.

Предметом исследования являются методы оценки показателей договоров перестрахования.

Методологической и теоретической основой исследования явились труды отечественных и зарубежных специалистов в области страхового дела, актуарной математики, теории риска, теории вероятностей и математической статистики. В ходе диссертационного исследования была использована информация, отражающая состояние мирового и отечественного страхового рынка, содержание законов и нормативных актов, регулирующих страховую деятельность в развитых странах мира и РФ, Постановления Правительства РФ по вопросам организации и развития перестрахования в РФ, а также нормативные акты и методические материалы российских страховых профессиональных организаций - Всероссийского союза страховщиков и Российского общества актуариев.

Научная новизна результатов диссертационного исследования состоит в определении подходов и разработке методов, позволяющих повысить достоверность и обоснованность оценок показателей договоров непропорционального перестрахования.

Наиболее существенные результаты исследования, полученные лично автором и выдвигаемые на защиту, состоят в следующем:

- выявлены достоинства и недостатки использования договоров непропорционального перестрахования в качестве метода страховой защиты и обоснована целесообразность использования этого метода на российском страховом рынке;

- в целях повышения достоверности и обоснованности оценок параметров договоров непропорционального страхования предложены подходы к определению законов распределения ущербов и методы оценки страховой премии, адекватные имеющейся статистической информации, в том числе:

- обоснованы подходы к формированию законов распределений реальных ущербов страховых компаний как кривых Пирсона, законов с меняющимися параметрами;

- разработаны методы оценки уровня риска и его дисперсии в условиях недостоверной и нечеткой информации;

- предложены методы начисления и оценки страховой премии, пропорциональной дисперсии риска;

- представлено теоретическое обоснование факторов, влияющих на уровень собственного удержания цедента, при разных методах оценки страховой премии;

- показана возможность определения оптимальной величины собственного удержания цедента с использованием итеративного метода последовательных приближений.

Теоретическая и практическая значимость исследования состоит в развитии методологических подходов к определению показателей договоров непропорционального перестрахования и определяется целесообразностью и возможностью их использования на российском страховом рынке при организации перестрахования с целью повышения финансовой устойчивости работающих на этом рынке отечественных страховых компаний.

Апробация работы

Основные теоретические положения и результаты диссертационной работы доложены, обсуждены и одобрены на заседаниях кафедры математических методов в экономике РЭА им. Г.В. Плеханова, на международных научных конференциях «XV и XVI Международные Плехановские чтения» в 2002 и 2003 гг. Основные результаты диссертационного исследования были использованы в практической деятельности страховых компаний «Интеллект-Гарант» и «Галакт».

Публикации

По теме диссертации опубликовано 4 работы, общим объемом 2,8 п.л.

Структура работы

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы на 122 страницах машинописного текста, содержит 3 таблицы и 5 рисунков. Список используемой литературы включает 122 наименования, в том числе 28 источников на иностранных языках.

Диссертация: заключение по теме "Математические и инструментальные методы экономики", Буров, Кирилл Александрович

Заключение

В работе получены следующие результаты.

1. Проанализированы тенденции развития страхового рынка в мировом экономическом сообществе во второй половине XX века и за период 19982002 гг. в РФ.

2. Определены причины, обусловливающие необходимость повышения устойчивости страховых компаний, работающих на российском страховом рынке.

3. Выявлена роль перестрахования в повышении финансовой устойчивости страховых компаний и определены особенности развития системы перестрахования в РФ.

4. Классифицированы формы и методы перестрахования и выявлены условия, при которых непропорциональное перестрахование является предпочтительным.

5. Дано обоснование развития непропорционального перестрахования на страховом рынке РФ.

6. Проанализированы проблемы, сдерживающие развитие непропорционального перестрахования на российском страховом рынке.

7. систематизированы и классифицированы теоретические предпосылки и допущения, используемые при оценке показателей договоров непропорционального перестрахования.

8. Систематизированы основные теоретические законы распределения ущербов, применяемые при оценке договоров непропорционального перестрахования, и определены условия целесообразности их использования на практике.

9. Обоснована целесообразность использования в практике оценки параметров договоров эмпирических законов распределения, построенных в виде кривых Пирсона, и выявлены типы этих кривых, которые могут использоваться при проведении расчетов.

10. Разработаны методы оценки уровня страхового риска и его дисперсии в условиях недостоверной статистики.

11. Классифицированы основные подходы, применяемые при оценке страховой и перестраховочной премий.

12. Проведен сопоставительный анализ оценок страховых премий договоров непропорционального страхования для различных подходов и получено теоретическое доказательство целесообразности использования на практике метода, предполагающего оценку уровня премии пропорционально дисперсии риска.

13. Определены основные подходы к оценке величины собственного удержания цедента в договорах непропорционального перестрахования.

14. Получены аналитические зависимости размера собственного удержания цедента от условий страхования для договоров непропорционального перестрахования.

15. Доказана возможность нахождения оптимальной величины собственного удержания цедента с использованием итеративной процедуры расчета и разработаны подходы к ее определению на практике.

Из полученных результатов вытекают следующие выводы.

1. Развитие рынка страховых услуг в РФ сопровождается ростом конкуренции между страховыми компаниями, которая ожесточается из-за ожидаемого прихода на российский рынок иностранных компаний, невысокими инвестиционными возможностями российских страховщиков на отечественном фондовом рынке. Все это способствует снижению финансовой устойчивости страховых компаний и угрожает стабильности российской экономики в целом.

2. Отсутствие возможности повысить финансовую устойчивость в условиях конкуренции за счет увеличения страховых тарифов заставляет страховые компании изыскивать внутренние резервы за счет повышения эффективности движения финансовых ресурсов, направленного отбора рисков и ранней их диагностики, развития стратегий перестрахования и повышения научной обоснованности условий и параметров договоров прямого страхования и перестрахования.

3. Перестрахование и повышение обоснованности условий и параметров страховых договоров при не слишком больших размерах капиталов российских компаний является наиболее эффективным подходом, обеспечивающим стабилизацию российского рынка страховых услуг. Его использование способствует значительному снижению уровней рисков неисполнения своих финансовых обязательств страховыми компаниями путем их распределения по большому числу компаний и оптимизации принимаемой каждой из них части риска.

4. Среди множества форм и методов перестрахования для российских условий наиболее перспективным является непропорциональное перестрахование на основе договоров эксцедента убытка и эксцедента убыточности. Это вызвано, во-первых, относительной незначительностью расходов по обслуживанию таких договоров, и, во-вторых, возможным ростом масштабов убытков, в особенности от пожаров, наводнений, техногенных аварий и других действий, частота и ущербы от которых в России имеют тенденции к увеличению. Как показывает практика, именно непропорциональное перестрахование в такой ситуации наиболее эффективно защищает страховые компании от разорения.

5. Вместе с тем, развитию непропорционального перестрахования в России мешает целый ряд факторов, среди которых в работе выделены факторы, снижающие уровень научной обоснованности параметров доходов:

- отсутствие достаточной статистической информации;

- несовершенство критериев определения и методик расчетов убытков применительно к российским условиям;

- несовершенство российского законодательства и непрозрачность перестраховочного бизнеса;

- недостаточная квалификация персонала компаний.

6. Повышение достоверности оценок параметров договоров непропорционального перестрахования (как и прямых договоров) может быть обеспечено за счет: а) уточнения законов распределения рисков на основе расширения состава исходных гипотез относительно возможных тенденций этих распределений в перспективе и их более тщательной проверки. В работе с этой целью предлагается использовать как стандартные, так и нестандартные законы распределения (типа кривых Пирсона) с постоянными и меняющимися параметрами, интервальные распределения, особенно эффективные в условиях нечеткой информации; б) за счет повышения научной обоснованности оценок страховых премий и размера собственного удержания - важнейших параметров договоров непропорционального перестрахования. В частности, установление страховой премии пропорционально дисперсии (или среднеквадратическому отклонению) риска снижает суммарный риск цедента и перестраховщика по сравнению с ситуацией, когда премия устанавливается пропорционально уровню риска.

7. Решение проблемы оценки величины собственного удержания осложняется из-за необходимости поиска компромисса между интересами прямого страховщика и перестраховщика, с учетом ряда объективных и субъективных факторов, характеризующих финансовую устойчивость компаний, уровень риска, готовность принять риск и т.п. При объективной оценке уровня риска основного договора решение этой проблемы может быть получено на основе процедуры решения нелинейной оптимизационной задачи, с критерием, выражающим стремление компании к снижению уровня риска, приходящегося на единицу ожидаемой прибыли.