Ценообразование лизинговых операций с применением модели случайного блуждания в случайной среде тема диссертации по экономике, полный текст автореферата

Автореферат диссертации по теме "Ценообразование лизинговых операций с применением модели случайного блуждания в случайной среде"

На правах рукописи

ЕРМАКОВ Михаил Юрьевич

ЦЕНООБРАЗОВАНИЕ ЛИЗИНГОВЫХ ОПЕРАЦИЙ С ПРИМЕНЕНИЕМ МОДЕЛИ СЛУЧАЙНОГО БЛУЖДАНИЯ В СЛУЧАЙНОЙ СРЕДЕ

Специальность 08.00.13 - математические и инструментальные методы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата экономических наук

3 О ИЮН 2011

Ижевск-2011

4851250

4851250

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Удмуртский государственный университет»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Летчиков Андрей Владимирович

Официальные оппоненты: доктор экономических наук,

профессор Дедов Леонид Анатольевич кандидат экономических наук Васильев Вячеслав Александрович

Ведущая организация:

Уральский государственный экономический университет, г. Екатеринбург

Защита состоится «6» июля 2011 г. в 13-00 на заседании диссертационного совета ДМ 212.Щ07 в ГОУ ВПО «Пермский государственный университет» по адресу: 614990, г. Пермь, ул. Букирева, 15, зал заседаний Ученого совета.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО «Пермский государственный университет», с авторефератом - в библиотеке и на сайте Пермского государственного университета www.psu.ru.

Автореферат разослан « ^ » июня 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор экономических наук

Пьянкова К.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследования.

В период после экономического кризиса 2008-2009 гг. лизинг играет важную роль в активном восстановлении экономики России, поскольку благодаря возможности применения ускоренной амортизации он является не только экономически выгодным инструментом финансирования инвестиций, но и порой единственно возможным способом финансирования для предприятий, не имеющих в достаточном объеме собственных средств и не имеющих деловой (кредитной) истории. Таким образом, модернизация реального сектора экономики России во многом зависит от развития рынка лизинговых операций.

Одним из основных движущих факторов роста рынка лизинга в 2010 г. стало снижение стоимости финансирования. Уже в 2-ом квартале 2010 г. крупнейшие банки страны стали кредитовать на аналогичных условиях, которые были в конце 2007 г. Дальнейшее снижение стоимости финансирования, привлекаемого лизинговыми компаниями, в 2011 г. возможно за счет применения кредитных продуктов с плавающей (переменной) процентной ставкой, в том числе в рамках постимпортного финансирования. Такая схема позволяет лизинговой компании не только застраховаться от риска переплаты процентов по кредиту, поскольку ставка по кредиту всегда будет «в рынке», но и гарантирует ей существенное снижение расходов по обслуживанию кредита при улучшении экономической конъюнктуры. Однако при этом весь риск роста процентных ставок при ухудшении экономической конъюнктуры полностью перекладывается с кредитора на лизингодателя.

Применение плавающих процентных ставок накладывает определенную специфику в работе лизингодателя, появляется так называемый фактор случайности. Прогнозирование с учетом фактора случайности требует разработки эффективных математических инструментов, позволяющих проводить глубокий экономический анализ рынка заемных средств и оценивать динамику его развития. Такого рода инструменты должны иметь под собой определенную научную основу, сформированную из построения соответствующей стохастической экономико-математической модели.

Наибольшее распространение в области моделирования случайности в динамике финансовых временных рядов получила модель простого случайного блуждания. Одним из главных достоинств такой модели является простой вид распределения будущего значения финансового временного ряда, которое позволяет вычислять ее вероятностные характеристики без особых трудозатрат. Несмотря на это, множество статистических исследований показывают, что существуют феномены, которые не свойственны данной модели. На практике установлено, что динамика финансовых временных рядов зависит от общего состояния внешней экономической среды. В периоды подъема экономики стоимость активов имеет тенденцию к росту, а процентные ставки, как правило, снижаются. В периоды спада, наоборот, стоимость активов падает, а процентные ставки растут. Поэтому актуальным является построение математической модели, описывающей эволюцию финансовых временных рядов, в частности рыночных индикаторов

стоимости заемных средств, с учетом зависимости от состояния экономической системы.

Степень разработанности проблемы

В отечественных и зарубежных литературных источниках исследование вопросов, возникающих в результате деятельности лизинговых компаний в целом и вопросов ценообразования в частности, рассмотрено в трудах многих авторов. К числу зарубежных авторов можно отнести: А. Батиста, Боуман, Р. Бауэр, Браунд, Р. Брил, Д. Дилл, Дж. Франке, В. Левелин, М. Лонг, Дж. Макконел, Майерс, Т. О'Брайн, Смит, А. Херст, Ходжес, Л. Шелл, Янг и др. Также существенный вклад в рассмотрении данных вопросов внесли отечественные ученые такие, как В. Аверченко, И. Батин, В. Газман, В. Горемыкин, Е. Каменев, В. Киселев, А. Колесников, М. Лещенко, Л. Примак, М. Рыбальченко, А. Ряховская, Г. Устинов, П.Рябчук, В. Ковалев, Е. Четыркин, П.Виленский, Н. Бутенина.

Вместе с тем, отдельные теоретические и методические вопросы оценки стоимости лизинговых операций и оценки эффективности лизинга по сравнению с другими формами финансирования приобретения имущества носят частный характер и применяются для конкретно взятого случая. Что же касается вопроса ценообразования лизинговых операций в условиях плавающей ставки по кредиту, то в указанных источниках он остается малоизученным, а ряд положений носят не более чем описательный характер.

Актуальность проблемы и недостаточная изученность отдельных ее аспектов предопределили выбор темы диссертационной работы и решение рассматриваемого в ней круга вопросов.

Целью диссертационного исследования является разработка математических методов ценообразования лизинговых операций, основанных на применении модели случайного блуждания в случайной среде и позволяющих повысить эффективность лизинговых операций в условиях финансирования с плавающей процентной ставкой.

Достижение поставленной цели потребовало решение следующих задач:

■ исследовать теоретические и методологические основы лизинга с позиции современной экономической теории, оценить значимость лизинга для экономики России на нынешнем этапе ее развития;

■ построить математическую модель динамики финансового временного ряда, основанную на случайном блуждании в случайной среде и позволяющую учитывать зависимость динамики финансового временного ряда от состояния внешней экономической среды;

■ выписать аналитические формулы основных вероятностных характеристик построенной модели, необходимых для построения алгоритма ценообразования лизинговых операций, и исследовать статистические методы оценки параметров построенной модели;

■ на основе предложенной модели разработать математические методы оценки величины лизинговых платежей, обеспечивающих безубыточность сделки для лизинговой компании в условиях финансирования с плавающей процентной ставкой.

Объектом диссертационного исследования являются инвестиционные процессы в реальном секторе экономики, связанные с деятельностью лизинговых компаний.

Предметом диссертационного исследования являются математические методы ценообразования лизинговых операций в условиях финансирования с плавающей процентной ставкой.

Теоретической и методологической основой диссертационного исследования являются труды отечественных и зарубежных ученых в области ценообразования услуг лизинговых компаний, стохастической финансовой математики и теории случайных процессов. При выполнении диссертационной работы использовались методы математического и экономического анализа, методы линейной алгебры и теории случайных процессов.

Информационная база исследования представлена нормативно-правовыми актами Российской Федерации, статистическими данными Госкомстата России, исследованиями рынка лизинга, проводимыми Рейтинговым Агентством «Эксперт РА», аналитическими обзорами Российской Ассоциации лизинговых компаний, методической, научной, учебной и справочной литературой, информационными источниками сети Интернет, сведениями и отчетными материалами о деятельности ряда лизинговых компаний.

Диссертационная работа выполнена в рамках паспорта научной специальности ВАК 08.00.13 - «Математические и инструментальные методы экономики», п. 1.6. Математический анализ и моделирование процессов в финансовом секторе экономики, развитие метода финансовой математики и актуарных расчетов.

Научная новизна диссертации. В процессе исследования лично автором получены следующие результаты, определяющие научную новизну и являющиеся предметом защиты:

1. Построена модель ценообразования лизинговых операций, основанная на покрытии прямых затрат лизингодателя и получении заданной маржи (нормы рентабельности) для общего случая, когда ставка по кредитным ресурсам меняется во времени.

2. Уточнены критерии выбора маржи лизингодателя, определены условия сопоставимости лизинга по чистому дисконтированному потоку для лизингополучателя с другими способами приобретения имущества.

3. На основе случайного блуждания в марковской случайной среде построена математическая модель динамики финансового временного ряда, позволяющая учитывать зависимость динамики финансового временного ряда от состояния внешней экономической среды.

4. В рамках построенной модели получены аналитические формулы математического ожидания и дисперсии будущего значения финансового временного ряда и предложены статистические методы оценки неизвестных параметров модели.

5. Разработана модель ценообразования лизинговых операций, основанная на построенной модели динамики финансового временного ряда и позволяющая заложить резерв под возможный рост процентных ставок в случае финансирования с переменной процентной ставкой.

Практическая значимость проведенных исследований состоит в том, что их результаты могут быть непосредственно использованы лизинговыми компаниями для улучшения качества планирования их деятельности.

Отдельные материалы исследования могут быть использованы в процессе повышения квалификации руководителей и специалистов лизинговых компаний, а также в учебном процессе при проведении занятий по дисциплинам «Экономика предприятия», «Финансовая математика».

Апробация исследований. Основные результаты проведенных исследований докладывались на Всероссийской научно-практической конференции «Математические методы и интеллектуальные системы в экономике и образовании» (Ижевск, 2010), VIII Всероссийской научно-практической конференции «Социально-экономическое развитие России в XXI веке» (Пенза, 2009), VI Всероссийской выставке научно-технического творчества молодежи НТТМ-2006 (Москва, 2006).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 печатных работ общим объемом 4,88 п.л., в т.ч. авторских 3,36 п.л.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и библиографического списка, включающего 105 источников. Она изложена на 144 страницах машинописного текста с таблицами, графиками, уравнениями и рисунками.

Во введении обосновывается актуальность диссертационного исследования, ставятся его цели и задачи, определяется объект и предмет исследования. Приводится научная новизна полученных результатов и практическая значимость.

В первой главе «Основные понятия лизинга и история его развития» рассмотрены основные понятия, связанные с функционированием лизинга. Представлены основные этапы в истории развития самого лизинга и одного из его главных элементов - арендных отношений. Проанализировано текущее состояние лизингового рынка в Удмуртской Республике.

Во второй главе «Ценообразование лизинговых операций» предложена модель расчета лизинговых платежей, основанная на покрытии всех прямых затрат лизингодателя и получении заданной маржи (нормы рентабельности) для общего случая, когда ставка по кредитным ресурсам может меняться во времени. Определены критерии выбора маржи лизингодателя, а также ее влияние на безубыточность деятельности лизингодателя и на сопоставимость в терминах чистого дисконтированного потока с другими способами финансирования приобретения имущества.

Третья глава «Математические модели случайного блуждания» посвящена рассмотрению наиболее распространенной в стохастической финансовой математике концепции случайного блуждания. Построена модель динамики временного ряда, основанная на случайном блуждании в марковской случайной среде. Рассмотрены ее основные вероятностные характеристики и предложены способы оценки параметров модели.

В четвертой главе «Лизинг в условиях финансирования с плавающей процентной ставкой» рассмотрены основные способы минимизации процентного риска в лизинговой деятельности. Разработана модель ценообразования лизинговых операций, основанная на математической модели случайного блуждания в марковской случайной среде и позволяющая заложить резерв под возможный рост процентных ставок в случае переменной процентной ставки по кредиту.

В заключении подводятся основные итоги исследования.

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ И РЕЗУЛЬТАТЫ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1. Предложена модель ценообразования лизинговых операций, основанная на покрытии прямых затрат лизингодателя и получении заданной маржи для общего случая, когда ставка по кредитным ресурсам меняется во времени. Получена аналитическая формула расчета ставки удорожания и выделены ее основные компоненты.

При заключении любой лизинговой сделки чрезвычайно важным как для лизингодателя, так и для лизингополучателя является величина лизинговых платежей. Расчет их экономически обоснованного размера обеспечивает лизингодателю определенный уровень доходности, а лизингополучателю - выгодность сделки и приемлемый уровень затрат.

Существует множество методик по расчету лизинговых платежей. Но несмотря на их большое количество, все они в большей или меньшей степени сводятся к тому, что в ценообразовании лизинговых операций существует лишь два главных фактора — затратный и рыночный.

1. Затратный фактор. В этом случае при формировании стоимости лизинговых операций должны закладываться следующие элементы:

■ Погашение стоимости предмета лизинга (амортизация);

■ Проценты за кредитные ресурсы;

■ Налоги: на имущество, НДС, транспортный и прочее;

■ Прочие прямые затраты лизингодателя, связанные с предметом лизинга (например, страхование в случае, если это предусмотрено);

■ Маржа лизингодателя, которая включает в себя покрытие накладных расходов лизингодателя, рисковую премию и норму чистой прибыли.

2. Рыночный фактор: ставка удорожания, предлагаемая лизингодателем, должна соответствовать рыночным условиям.

Затратный фактор ценообразования основывается на расходах лизингодателя и не отражает реальную конъюнктуру рынка лизинговых услуг. Однако не учитывать данный фактор нельзя, поскольку в противном случае лизингодатель может работать в убыток.

Далее представлена модель ценообразования лизинговых операций, основанная на затратном подходе. Влияние рыночного фактора учитывается в марже лизингодателя, значение которой определяется последним исходя из рыночных ставок удорожания.

Основные предположения и допущения, принятые в модели:

1. Приобретение имущества, выплата лизинговых платежей и другие значимые события происходят в дискретное множество моментов времени Т= {ОД,...}. Приобретение имущества поу'-му договору осуществляется в

Т^-й момент времени, а выплата первого лизингового платежа в (Г/ +1)-й момент времени. Дискретизация Т соответствует месячной разбивке.

2. Срок полезного использования имущества с учетом коэффициента ускорения соответствует сроку действия договора лизинга.

3. Выкупную стоимость по окончанию срока действия договора будем считать минимальной и поэтому исключим ее из расчетов.

4. Форма лизинговых платежей - регрессивная.

5. Кредитные ресурсы (кредит), взятые под финансирование лизинговой сделки, гасятся равными частями в течение срока действия договора лизинга.

6. Первоначальная сумма кредита определяется исходя из первоначальной стоимости предмета лизинга за минусом аванса.

7. Ставка по кредиту в общем случае может быть переменной во времени и зависеть от лизингового договора.

8. Маржа лизингодателя исчисляется в % от задолженности по кредиту.

9. Прочие прямые расходы лизингодателя постоянны в течение срока лизинга. Согласно сделанным предположениям и допущениям величина лизингового

платежа в г'-й месяц (г е[Г/ + 1,Г/ + 7,у]) поу'-му договору будет определяться следующим образом

'а

где:

1 с1> _+ — + .

Р 12

г/ + т1 12

(1 + Яадс)(1-Л^)

Гу+Г/-/ +1

г

НниР+Т'-1 +1 12 Р

,0)

- первоначальная стоимость предмета лизинга (без учета НДС);

то

Т' - срок у -го договора лизинга;

й*— прочие прямые расходы лизингодателя за год, в % от первоначальной стоимости предмета лизинга;

г/- эффективная «простая» годовая процентная ставка по кредиту, действующая на период времени [г -1, /'], по у -му договору; т1 - годовая маржа лизинговой компании по у -му договору; Нтс и Нни - ставка налога на добавленную стоимость и налога на имущество соответственно;

АВ' - размер вносимого лизингополучателем аванса по у'-му договору, в % от первоначальной стоимости имущества.

Общая сумма лизинговых платежей по у'-му договору будет определяться следующей формулой:

1Л

12 12 2

+(1 + Явдс)(1-^0

т1 Р+1

1

Т> г'

12

2 Р ^ 12

1

л

к+Т>

г'£? 12

(2)

где:

1 средняя процентная ставка по кредиту в период действия

|2 ' у -го лизингового договора (в пересчете на месяц).

Как видно, общая сумма лизинговых платежей состоит из двух компонент:

^ 12 12 2 Одинаковая для всех лизингодателей компонента, включающая себя амортизацию, налог на имущество и прочие дополнительные расходы.

т' ^

2. +

гп> Т1+\ ,„, 1 ^Су 1

12

- + (Г+1):

12

12

^ / Компонента, которая отличается в зависимости от лизинговой компании. Ее величина, главным образом, зависит от уровня маржи и величины процентных ставок.

Соответствующая размеру лизинговых платежей I! годовая ставка удоро-

жания СУ' будет определяться следующим образом:

СУ1 =с1]

1 + Х

Р

+ ~ (1 + ИНДС )(1 ~ АВ1)

1 +

+(\ + Нтс)(\-АВ>)

Р

Р

(г 1 ^ 1 т> 1 т> 1+_!_ __—У/с-

"" Р ^ к+То' (Р )2

Г*

(3)

Из указанной формулы следует, что прямое сравнение ставки удорожания с процентной ставкой по кредиту, которым бы воспользовался лизингополучатель, если бы купил предмет лизинга не через лизинг, а через кредит, не возможно в виду включения в лизинговые платежи налога на имущество и прочих прямых расходов с1'.

2. Уточнены критерии выбора маржи лизингодателя. Определены условия сопоставимости лизинга по чистому дисконтированному потоку для лизингополучателя с другими способами приобретения имущества.

При выборе того или иного уровня маржи лизингодатель должен ориентироваться на следующие факторы: 1. Внутренние факторы:

1.1 Минимально допустимый уровень маржи, обеспечивающий безубыточность деятельности.

В этом случае лизинговые платежи должны закрывать не только прямые затраты по сделке, но и накладные затраты лизинговой компании. При уровне ежемесячных накладных затрат лизингодателя ¥С и при заключении в среднем в месяц однотипных лизинговых сделок на сумму 5ср и сроком Рр минимально допустимая маржа в момент времени / > Тср должна составить:

24 -РС

5ср( 1 + Явдс)( 1 - АВср)(Тср +1)

Полученная формула четко показывает проявление «эффекта масштаба»:

при условии обеспечения безубыточности деятельности

■ чем больше объем заключаемых сделок, тем меньший уровень маржи в состоянии закладывать лизингодатель;

■ чем длительнее срок договора лизинга, тем меньший уровень маржи в состоянии позволить лизингодатель при прочих равных условиях.

1.2 Заданный собственниками лизингодателя общий уровень рентабельности и

соответствующая ей стратегия развития. 2. Внешние факторы

2.1 Рыночный уровень ставок удорожания по предмету лизинга при сопоставимом уровне аванса и сроке действия договора.

2.2 Ставка удорожания, обеспечивающая сопоставимость лизинга по чистому дисконтированному потоку (ЧДП) для лизингополучателя с другими способами приобретения имущества.

2.3 Уровень риска при работе с конкретным лизингополучателем, риск ухудшения экономической конъюнктуры и пр.

В рамках построенной модели ценообразования лизинговых операций определена зависимость уровня маржи т*, обеспечивающего сопоставимость лизинга в терминах ЧДП с другими способами приобретения имущества, от различных факторов (в случае фиксированной процентной ставки). Далее представлена их графическая интерпретация.

&

• собственные средства

■заемные средства

срок ПИ, мес.

Рис. 1. График зависимости уровня маржи т * от срока полезного использования (мес.) (срок лизинга=срок ПИ / коэффициент ускорения)

собственные средства(срок ПИ 72 мес)

заемные средства(срок ПИ 72 мес)

Коэффициент ускорения Рис. 2. График зависимости уровня маржи т * от коэффициента ускорения

Из рис. 1 видно, что экономическая эффективность лизинга как способа финансирования приобретения имущества растет по мере увеличения срока полезного использования предмета лизинга. Этот эффект основан на применении ускоренной амортизации и возникающей вследствие этого экономии на налоге на имущество.

На рис. 2. графически проиллюстрировано, что при отсутствии коэффициента ускорения амортизации лизинг экономически не выгоден.

— ■ собственные средства (срок ПИ 36 мес)

----заемные средства (срок

ПИ 36 мес)

ох rf

X &

5

0% 10% 20% аванс, %

30%

- ■ собственные средства

(Срок ПИ 54 мес) ■ • заемные средства (срок ПИ 54 мес)

- собственные средства

(срок ПИ 108 мес)

- заемные средства (срок ПИ 108 мес)

Рис. 3. График зависимости уровня маржи т * от срока полезного использования и первоначального аванса

Интересный эффект наблюдается на рис. 3. При сроке полезного использования более 56 мес. увеличение аванса приводит к увеличению уровня маржи, обеспечивающей сопоставимость лизинга в терминах ЧДП с другими способами приобретения имущества. В действительности, в построенной модели, с одной стороны, с увеличением аванса уменьшается размер маржи со сделки в абсолютном выражении и размер процентов, включаемых в лизинговые платежи, с другой стороны, растет экономия на налоге на имущество за счет ускоренной амортизации.

3. Построена математическая модель, основанная на случайном блуждании в марковской случайной среде и позволяющая учитывать зависимость динамики финансового временного ряда от состояния внешней среды. Произведена оценка математического ожидания и дисперсии будущего значения финансового временного ряда. Предложены статистические методы оценки неизвестных параметров модели.

Важной составляющей лизинговых платежей является процентная ставка по кредиту, который привлекается лизингодателем. При увеличении срока лизинга, а также в случае использования постимпортного финансирования актуальным становится вопрос привлечения кредитных ресурсов с плавающей (переменной) ставкой.

В случае благоприятной экономической ситуации это гарантирует лизингодателю минимальные ставки по кредиту. Однако при ухудшении экономической конъюнктуры весь процентный риск полностью перекладывается с кредитора на лизингодателя. Применение плавающих процентных ставок накладывает опреде-

ленную специфику в работе лизингодателя, появляется так называемый фактор случайности.

Широкое распространение в области моделирования случайности в динамике финансовых временных рядов получили биномиальная модель, основанная на простом случайном блуждании, а также ее различные модификации. Согласно данной модели в следующий момент времени значение финансового временного ряда может либо увеличиться и раз с вероятностью р, либо и раз уменьшиться с вероятностью 1 -р. Одним из главных достоинств такой модели является простая формула распределения будущего значения финансового временного ряда, которое позволяет вычислять ее вероятностные характеристики без особых трудозатрат.

Гипотеза случайного блуждания привела к ставшей сегодня классической концепции рационально функционирующего (или эффективного) рынка. Эффективность рынка заключается в том, что рынок рационально реагирует на новую «информацию», коррекция цен происходит мгновенно, цены всегда справедливы, участники рынка однородно интерпретируют информацию и их действия носят «коллективно-рациональный» характер.

Несмотря на широкое распространение простого случайного блуждания, множество статистических исследований показывают, что существуют феномены, которые не свойственны данной модели. Вполне очевидно, что динамика финансовых временных рядов зависит от общего состояния экономической системы и от самого значения финансового временного ряда в текущий момент.

Для учета этого дополним биномиальную модель предположением, что вероятности переходов зависят от времени и текущего состояния, а также что они могут быть случайными величинами.

f+1

?{Sl+i = S-u\S, = S} = p V{SHl=s-ul\S, = s}^l-p ?{S,+l=s\S, = s} = 0

te T, и > 1, S0 > 0,5 e A = S0uz Рис. 4. Простая биномиальная модель (слева) и обобщение биномиальной модели (справа).

f f+1

?{S,+,=s-u\S,=s} = mls((o) P{1S'(+l=5-«-1|5,=i} = l-m(iSH ?{SM=s\S,=s} = 0 te T, u> 1, S0 >0,s eA = S/

Для учета зависимости динамики финансовых временных рядов от общего состояния экономической системы представим, что /им(<а) = /я,(<») - соответствует состоянию экономической системы и является однородной цепью Маркова с

множеством состояний {¿,,62.....Ьк} (где Ь1 е [0; 1]) и матрицей перехода

Л = {«!,},,ум..*-

Модель динамики Б, в этом случае будем называть случайным блужданием в марковской случайной среде.

Построенная модель будет эквивалентна горизонтальной проекции блуждания частицы на полосе Лх{1.....Щ. Координаты блуждающей частицы в момент

времени ? обозначим как £(/). При попадании в точку (5,1) частица с вероятностью 6, переходит вправо и с вероятностью 1 - 6, переходит влево. Аналогично при попадании в точку (.?,/) частица с вероятностью Ъ, переходит вправо и с вероятностью 1 — Ь, переходит влево. При этом перемещение по вертикали, иными словами смена состояния среды, не зависит от блуждания по горизонтали.

N -.-.--.-.-

sir1 s su> Рис.5. Случайное блуждание на полосе Лх {1,..., N}

+ l) = (s- u\j) 11(0 = (s,i)} = at]{ 1 - b,) Введем следующие величины:

r pm={s, m4 f Pi \ 0 оN

p(s,0 = P(S0,0) = B = 0 ... 0

,0 о bN>

(5)

(6)

Взаимосвязь между p(s,t) и p{su,t-1), p(su ',¿-1) в общем виде может быть описана следующим рекуррентным уравнением:

p(s,t) = АТ-(В- p(sul,t-1) + (£ - В) ■ p(su,t-1)), (7)

где: Е - единичная матрица.

Найдем математическое ожидание S,. Путем несложных преобразований можно убедиться, что нахождение матожидания сводится к возведению матрицы V = АТ(В ■ и + (Е - В) • и'1) в степень t.

Щ = eN ' X (p(Ï.O 's) = So '■eN ■ Z os>0 ■ s) = (g)

seSauz seuz

= ■ е„ ■ X (АТ(В ■ piS.su -1 ) + {Е-В)- р^и^-1)) • = где: еы - единичный вектор-строка размером N.

N раз

В общем виде эта задача решается с помощью приведения матрицы V к Жордановой форме:

V = вЗв'1, V = О/'СГ', (9)

где:

У - Жорданова форма матрицы V;

С - матрица перехода, столбцы которой соответствуют собственным векторам матрицы V.

Таким образом, математическое ожидание будет определяться как

Ж, =50 -(Г1-р^О) (10)

Рассмотрим более подробно случай N = 2. Такое ограничение для большинства экономических приложений является вполне приемлемым. Так, например, это может соответствовать состояниям подъема и спада.

спад

подъем

подъем

Рис.6. Распространенный вид динамики финансового временного ряда

Заметим, что матрица V является произведением стохастической и диагональной матриц.

' а,, ат

0^ (ап а21У1-6, 0

,0 ¿2,

ч о 1-6,,

(П)

1-а,.

ч1-а„

(1 + Ь,(и2 -1))/м 0

0

(1 + 2>2(«2-1))/М

"п 1-а,,

1-а,, V с, О'

О с,

Определитель матрицы (V - ЯЕ) равняется: (( а,

| К-ЛЕНЫ '

= Я2 - Я(аис, + апс2) + схс2(ап + агг -1)

1-а^ о4 \

(о -ЯЕ

«22 , С2, /

(14)

Характеристическое уравнение в этом случае будет иметь вид:

Я2 - Л(а1 + а21с2 ) + с1с2(ап+а22-1) = О Дискриминант квадратного уравнения всегда не отрицателен: О = (аис, + апс2)2 - 4с,с2(ои + а22 -1)

= (аИС1 - а22С2)2 + 4аНС1а22С2 ~ 4сЛ(а11 +а22 ~1) = = (д11с1 - а22с2)2 + 4с1с2(1 - «п)0 - а22) = (йцС, - а22с2)2 + Лсхс2апа2х > О Таким образом, собственные числа \2 матрицы V, соответствующие корням характеристического уравнения, будут вещественны:

_ апсх + а22сг ± 7(а„С| - а22е2)2 + 4схс2а12а~ \2 2 Корни Я, и совпадают в следующих вариантах:

(15)

1)

«.2=0

+ 2) 22 с2 1 + ¿>2 (м — 1)

«21=0

1 + 62(и2 -1) \а2у = «12 = О

с, 1 + 6,(гг -1)

3)

(16)

[Ь<=Ь2

А <ъг

Первый и второй варианты являются крайними случаями, в которых одно из состояний среды является поглощающим, третий вариант - вырожденный. В дальнейшем ограничимся рассмотрением случаев, когда собственные числа различны.

Для упрощения расчета собственных чисел введем следующие обозначения: 0 = Оц 0 + Ъ1 ("2 ~ !)) = ад" , 0 = а22 0 + Ь1 ("2 - = а22С2й .

^=(а+е2)2+4(а21-ап)^ (17)

а\\а12

Тогда собственные числа и вектора будут определяться следующим образом:

2 и

\2 =

2^(1 +^(и2-1)) 1

(18)

В случае, когда корни характеристического уравнения различны, матрицу V в степени / можно найти, ограничившись нахождением собственных чисел \д

и векторов й[ 2. При этом необходимо учесть, что любой вектор х е М2, в том числе р(50,0), можно представить в виде линейной комбинации собственных векторов \2:

Щ =^0-е2-г[ ¿>Д 1 = ^0 {^агЛ^Щ =5-0-ен (19)

V /=1 ) V 1=1 ) 1=1

где а, - коэффициенты разложения р(50,0) по собственным векторам /г, 2.

Используя стандартные методы линейной алгебры, получаем следующие

коэффициенты разложения а, и а2:

Тй +4¥)±2р°1а21(1+ Ь,(ц2 -1)) 2^

С учетом полученных собственных чисел, собственных векторов и коэффициентов разложения получаем, что математическое ожидание М5( равняется:

(21)

где:

_л,ч & (& + 2ДЧ. (1 + (и1 -1)) ( ,

г2=(1,1)-а2-/г2 =

р\ (а - а+Щ- 2дЧ. +- о)

^2а12(1 + А(«2-1))

На поведение при различных (е Т оказывает большое влияние знак собственных чисел и их отношение к единице. В зависимости от соотношения собственных чисел к единице МБ, может быть как возрастающей функцией относительно г, так и убывающей. В случае если хотя бы одно из собственных чисел является отрицательным, возможно возникновение эффекта цикличности. В зависимости от знака собственных чисел возможно два варианта:

1. Если а21 >аи, то Л, >0, <0. В этом варианте мы будем наблюдать затухающую цикличность.

2. Если а21 < ап, тоЛ,,/^ >0. Эффект цикличности будет отсутствовать.

При нахождении дисперсии заметим, что в рассматриваемой модели (£,)" можно построить, заменив и на и" и 5"0 на (50)". С учетом этого 1)5*,, при N = 2 будет иметь следующий вид:

Щ =Б20 \z\iK)' + -(М' + ^)2), (22)

где:

К 2 _

2и

а.,аг

+ 1

0* = а» (1 + Ьх(и* -1)). б/ = «22 (1 + Ьг(и4 -1)),

р\ - б,'(1+(и4 -1)) Г

2л/Г \2ви(1 + ^(114-1))+ ,

При оценке параметров случайного блуждания в марковской случайной среде применительно к конкретному временному ряду основная сложность заключается в том, что состояния среды и их изменения не являются непосредственно наблюдаемыми, а обнаруживают себя лишь через призму значений иссле-

дуемого временного ряда. Для решения указанной проблемы целесообразнее всего воспользоваться методами, разработанными в рамках скрытых марковских цепей.

В общем случае для оценки параметров модели G = (pa,A,{bJ}l N) воспользуемся методом Баума-Велша. Согласно ему оптимальной признается та комбинация параметров, при которой вероятность фактической последовательности наблюдаемых переменных максимальна (максимум правдоподобия):

maxP(r„r2.....|G4), где т, = S, /(23)

Алгоритм Баума-Велша состоит из следующих основных этапов:

1. Задание начальных параметров модели G0 = (р°, А,{Ь,\ N). Начальные значения параметров модели можно задавать произвольно.

2. Вычисление вспомогательных функций в рамках прямой и обратной прогонки (forward-backward).

■ вычисление в рамках прямой «прогонки»:

vlU) = P°J-P(h\m(0) = bJ), j=l,...,N

( N

v20') =

£v,(0e„ . P(r21 „(1) = b]), j = 1 ,...,N

\ >=i

( V

(24)

v,u) = Ev.O'H • p(T:i.....N

V i'=i

N

^ P(TVT2,...,TT^ I =

i=i

вычисление в рамках обратной «прогонки»:

^„„.(0 = 1, ¡ = 1,...Л

^-.(0== IK (л-s• I ^ -1)=V),/=u,N

м

(25)

w,(0 = • ^»i I = bj)) > ' = 1>-,лг

7=1

ЛГ

Дг,,^,...,^ I Gner_,) = X w,(0

i=i

N

Справедливо: P(r„r2.....| G,.^) = £(v,(i) • w,(0), V/ e

¡=i

вычисление вероятности что в момент времени t среда нахо-

дится i -м состоянии, а в момент времени / +1 - в у'-м состоянии

5,0.7) = 1ГП»-1-1-.Vietl,...,^-!}

l£(v,(*)• «b • * 1 m(0 = bnj)

■ вычисление вероятности что в момент времени Г среда находится /-м состоянии

(27)

¡=1

3. Перевычисление (уточнение) параметров модели

Т —1

I Ш) 2 г,(0

^,(0, ---(28)

I /,(о . £ /до

4. Повторение 2-ого и 3-его этапов до тех пор, пока не будет достигнут порог сходимости £

с0р! = сиег :|Р(т1,г2,...,г7_ I аиег)~ Р{т;,т2,...,тТшь I С7йег_,)|<£ (29)

К основным недостаткам данного метода следует отнести следующее:

1. Метод Баума-Велша позволяет найти лишь локальный максимум функции Р{т1Утг,...,тт | С). Нахождение глобального максимума аналитически не возможно. Таким образом, учитывая, что у функции Р(т1,т2,...,тт^ | б) может быть несколько локальных максимумов, на практике алгоритм Баума-Велша следует запускать несколько раз при различных начальных параметрах модели. Затем из полученного множества локальных максимумов выбирается наибольшее значение.

2. При достаточно больших Тнабд вычисляемые в рамках последовательных итераций вспомогательные переменные и>( (г) и у,(г) могут оказаться значительно меньше минимальных аппаратно реализуемых чисел «типичных» компьютеров. Для решения указанной проблемы нужно либо программно реализовывать неограниченную точность вычислений, либо масштабировать все промежуточные результаты, чтобы они не стремились к нулю.

Рассмотрим, какие изменения необходимо внести в процедуры алгоритма в случае одного из возможных вариантов масштабирования. Коэффициент масштабирования обозначим как К!сЫе.

■ вычисление в рамках прямой «прогонки»:

^П-Каи = = ; = (30)

Ш = ■ МЛ = К5сЫе {^К^у^Хр^ I т{ 1) = Ъ,), ; = 1,...,^

V ¡=1 )

= Кые ■ МЛ = К,сЫе• УМ(0«Д Р{Т, I т(!-1) = ь,),] = 1.....ЛГ

V 1=1 У

■ вычисление в рамках обратной «прогонки»:

^(0=^1^^(0=1,/=1.....лг (31)

(0<= К!Сак. = КкЛ ■ ± (К1, • м^С/) • в#. ^№,-1) = ^.)

/=1

*,(0 = К^' ■ = Kscal!. YIkts%;'-\aU) ■ ач ■ P(r,+I I mit) = £,))

J= 1

С учетом введенных обозначений, справедливо

Р(т т г un = y =Y

V 2.....IЛ V ¿J j^l-1 ZJ

. ^ scale ^ scale J

v, (0-4(0

•"■Jcofe

. Vieil,...,^} (32)

■ вычисление вероятности ^ (;',_/) :

~ v,(0• Oy• 00• P(jM1mjt) = b)

ËË(v,(*)■ аы ■ w,+1(„) • 1 И(0 = Ю) К }

п=1 i=l

■ вычисление вероятности у,О)'

/,(0 = I^a,;),Vie{l,...,7;aül-l} (34)

h I

Следующая задача заключается в том, чтобы при найденных оптимальных параметрах модели и имеющейся последовательности наблюдаемых переменных tvz2,...,tt ^ найти «оптимальную» последовательность скрытых состояний:

mWMlX-MT^-l) (35)

Для решения этой задачи воспользуемся методом Витерби. Критерий оптимизации данного метода - это максимум вероятности всей последовательности скрытых и наблюдаемых величин.

B«oWRu-/(m(0)'M(1)..........^ I (36)

Метод основан на последовательном расчете максимальной вероятности ¿>, (г) достичь г'-е состояние в момент времени /среди всех путей с заданными наблюдаемыми переменными, а также состояния среды y/,(j) в момент времени

i-1, при котором вероятность нахождения системы в j-м состоянии в момент

)

времени t принимает максимальные значения.

Алгоритм Витерби состоит из следующих основных этапов:

1. Инициализация: 8X(Î) = • Р(т, \ m(0) = b,), y/t(i) = 0 (37)

2. Рекурсивное вычисление:

5ïU) = max Г5,(0 ■ ' PiJi I т(0 = . V2Ü) = arg max [5,(0 • а \

(38)

30')= max\8t_x(j)-a ]-P(t,\m{t-\) = b ), y/,(j) = ^g max [£,_,(/)■ а ]

J 1Щ1 r.,N)

3. Вычисление наиболее вероятное состояния, в котором среда пребывала в последний момент времени: = arg max(/) (39)

4. Вычисление наиболее вероятных состояний в момент времени t < Тнабл -1 :

Для оценки параметров случайного блуждания в марковской случайной среде применительно к конкретному временному ряду, был разработан программный продукт на языке Delphi. В его основу легли предложенные выше алгоритмы Баума-Велша, модифицированный с учетом масштабирования, и Витерби. Пользователю достаточно загрузить файл, содержащий анализируемый временной ряд, выбрать порог сходимости и предполагаемое количество состояний среды. После обработки программа выдаст наиболее вероятные параметры модели и динамику изменения состояний среды.

4. Разработана модель ценообразования лизинговых операций, основанная на математической модели случайного блуяедания в марковской случайной среде и позволяющая заложить резерв под возможный рост процентных ставок в случае финансирования с переменной процентной ставкой.

В качестве способов минимизации процентного риска можно использовать: включение в лизинговый договор условия об изменении размера лизинговых платежей в случае существенного изменения процентной ставки и хеджирование с помощью различных производных финансовых инструментов. Также возможен расчет первоначальной суммы лизинговых платежей с учетом резерва на предполагаемый рост процентных ставок, полученный в результате математического моделирования.

Плавающая процентная ставка состоит из двух составляющих. Первая составляющая называется база В (именно она изменяется во времени). В качестве базы используются, например, Libor, MosPrime и прочее. Вторая составляющая -постоянная надбавка к базе N, так называемая маржа кредитной организации. Предположим, что величина базы определяется на начало периода. Таким образом, размер плавающей ставки за период [г -1;/] по j-му договору будет соответствовать следующему выражению:

Вполне очевидно, что динамика рыночных индикаторов стоимости заемных средств зависит от общего состояния экономической системы. Данный эффект учитывает построенная ранее модель динамики временных рядов, основанная на случайном блуждании в марковской случайной среде.

Рассмотрим применение указанной модели для определения лизинговых платежей. В этом случае размер лизинговых платежей по у-й сделке, обеспечивающий в среднем заданный лизингодателем уровень маржи т, будет определяться во многом математическим ожиданием базы процентной ставки в моменты выплат лизинговых платежей и погашения взятого лизингодателем кредита.

г/ = Вы + NJ

(41)

где:

FJ=1 +—Т' + 12

FJ=1 +—Т'+--

12 12 2

М] = (1 + НИДС){1 - АВ1)—

m' + N1 TJ+1 12 2

/у = (1 + Нтс)(\ - АВ')

Вт1

'О 12

1_1 я!''1-1

1 + г.Х. —-+ г7Я, —--

Л, -1 2 ^ Лз -1

V

* (Л-1)2 ^ (Л-1)2

Как видно, общая сумма лизинговых платежей в этом случае складывается из трех составляющих:

1. ^ - одинаковая для всех лизинговых компаний составляющая, которая включает в себя амортизацию, налог на имущество и прочие прямые расходы.

2. М' - составляющая, образованная за счет маржи лизингодателя и надбавки плавающей процентной ставки.

3. V - составляющая, образованная за счет'базы плавающей процентной ставки.

Для оценки параметров случайного блуждания в марковской случайной среде применительно к динамике МоэРпше был использован ранее упомянутый программный продукт собственной разработки, основанный на методах Баума-Велща и Витерби.

Приведем далее точечные оценки параметров модели, полученные для динамики МоэРпше (интервал наблюдений один день). Количество состояний среды (экономической системы) взято равным двум.

- Мозрпте, % ■

-Состояние системы (1 или 2)

Рис.7. Динамика МсиРпте и состояния экономической системы

(0,88 0,12^1 А= ; ¿. = 0,70; Ъ2 = 0,35;

1^0,10 0,90/ ' 2 (43)

\ =1,000376; \ =0,780796.

Полученная с помощью метода Витерби наиболее вероятная динамика экономической системы вполне согласовывается с общепринятыми экономическими взглядами. При этом состояния системы можно интерпретировать следующим образом: состояние «1» (соответствует нижней части линии на рис.7): рост процентных ставок; состояние «2» (соответствует верхней части линии на рис.7): снижение процентных ставок.

Согласно полученным результатам экономическая система в конце анализируемого периода находится в состоянии «2». Таким образом:

р(3

г 4 К(

) =

анализируемого анализируемого периода периода

; =0,981447; =0,018553

(44)

В случае если в дальнейшем текущий момент времени будет соответствовать состоянию «1», то справедливо следующее:

'О

* 4 кг.

) =

анализируемого анализируемого периода периода

чОу

; г, = 0,851315; г2 =-0,0179813

(45)

Далее на рис. 8 представлена динамика математического ожидания в рамках построенной модели случайного блуждания в марковской случайной среде.

•Случайное блуждание в марковской случайной среде (текущее состояние системы -2)

- Случайное блуждание в марковской случайной среде (текущее состояние системы -1)

время, год

Рис.8. Динамика цепного индекса роста математического ожидания значения МовРгше

Отметим, что наличие кризиса 2008-2009 гг. в анализируемом периоде, когда ставка МоэРпше взлетела в 5 раз, существенно повлияло на полученные результаты. Из рис. 8. видно, что математическое ожидание ставки Моэрпше в долгосрочном периоде имеет тенденцию к росту. Согласно построенной модели через пять лет ставки должны возрасти на 43% (при условии, что в текущий момент времени мы находимся в состоянии снижения процентных ставок), что вполне согласовываются с общепринятыми экономическими взглядами.

Следует при этом понимать, что на любом рынке, в том числе на рынке заемных средств именно действия экономических агентов, а не модель ценообразования, являются главным фактором успеха. В конечном счете, значение МоэРпше определяется рыночным спросом и предложением, а не математической моделью. Однако это не означает, что построение математической модели финансового временного ряда не несет никакой информации для его исследователя. Наоборот, как правило, построенная модель позволяет получать описание процесса динамики временного ряда на другом более качественном уровне.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ:

1. Экономическая эффективность лизинга как способа финансирования приобретения имущества растет по мере увеличения срока полезного использования предмета лизинга. Этот эффект основан на применении ускоренной амортизации и возникающей вследствие этого экономии на налоге на имущество. При отсутствии коэффициента ускорения по амортизации лизинг экономически не эффективен.

2. Построена модель ценообразования лизинговых операций, основанная на покрытии прямых затрат лизингодателя и получении заданной маржи (нормы рентабельности) для общего случая, когда ставка по кредитным ресурсам меняется во времени.

3. При увеличении срока лизинга, а также в случае использования постимпортного финансирования становится актуальным вопрос применения плавающих (переменных) ставок по кредитным ресурсам. При этом в деятельности лизинговой компании существенно возрастает процентный риск и влияние фактора случайности.

4. В условиях финансирования с плавающей процентной ставкой лизинговая компания для планирования процентных платежей может воспользоваться предложенной в работе математической моделью динамики финансового временного ряда, основанной на случайном блуждании в марковской случайной среде и которая в отличие от наиболее распространенного простого блуждания позволяет учитывать зависимость динамики процентной ставки от состояния внешней экономической среды.

5. Для данной модели получены аналитические формулы основных вероятностных характеристик, а именно математического ожидания и дисперсии будущего значения финансового временного ряда.

6. Предложены статистические методы оценки параметров построенной модели динамики финансового временного ряда, основанные на методе наибольшего правдоподобия.

7. В качестве одного из вариантов минимизации процентного риска лизинговой компании предлагается при расчете лизинговых платежей закладывать резерв под возможный рост процентных ставок в соответствии с построенной моделью, основанной на случайном блуждании в марковской случайной среде. С учетом этого разработана соответствующая модель ценообразования лизинговых операций.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Статьи, опубликованные в изданиях, определенных ВАК

1. Ермаков, М.Ю. Ценообразование опционов на основе модели геометрического случайного блуждания в случайной среде. / М.Ю. Ермаков, A.B. Летчиков, Т.Ю. Федоров // Известия ТулГУ. Серия. Математика. Механика. Информатика. -2006. - Т. 12, Выпуск 3,0,90 п.л. (0,30 п.л. авт.).

2. Ермаков М.Ю. Расчет лизинговых платежей на основе динамической модели плавающей процентной ставки. / М.Ю. Ермаков // Вестник УдГУ. Серия Экономика и Право. -2011. - Выпуск 1, 0,57 п.л.

Статьи, материалы конференций:

3. Ермаков М.Ю. Предельное распределение для геометрического случайного блуждания в случайной среде / М.Ю. Ермаков, A.B. Летчиков, Т.Ю. Федоров // Вестник УдГУ. Серия Математика. - 2007. - Выпуск 1,1,38 п.л. (0,46 п.л. авт.).

4. Ермаков М.Ю. Кредитная нагрузка компании: оптимальные значения. / М.Ю. Ермаков // Социально-экономическое развитие России в XXI веке: сборник статей VIII Всероссийской научно-практической конференции. - Пенза: Приволжский Дом знаний. - 2009, 0,12 п.л.

5. Ермаков М.Ю. Случайное блуждание в марковской случайной среде. / М.Ю. Ермаков // Математические методы и интеллектуальные системы в экономике и образовании: материалы Всероссийской заочной научно-практической конференции / УдГУ / под. ред. A.B. Летчикова - Ижевск - 2010, 0,23 п.л.

6. Ермаков М.Ю. Оценка будущего ожидаемого значения финансового временного ряда на основе модели случайного блуждания в марковской случайной среде. / М.Ю. Ермаков // Математические модели и системный анализ в экономике: сборник научных трудов молодых ученых кафедры информационных систем и математических методов в экономике - Пермь: Издательство Пермского государственного университета. - 2010, 0,70 п.л.

7. Ермаков М.Ю. Случайное блуждание в марковской случайной среде и его применение в моделировании плавающих процентных ставок. / М.Ю. Ермаков // Сборник научных трудов кафедры математических методов УдГУ / под редакцией проф. A.B. Летчикова - Ижевск - 2011,0,98 п.л.

Сдано в производство 31.05.2011. Формат 60x84/16 Отпечатано на ризографе. Уч.-изд. л. 1,00. Усл.-печ.л. 0,99 Заказ 348. Тираж 100 экз.

Ассоциация по методологическому обеспечению деловой активности и общественного развития "Митра" 426008, г. Ижевск, ул. Пушкинская, 241

Диссертация: содержание автор диссертационного исследования: кандидата экономических наук, Ермаков, Михаил Юрьевич

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ЛИЗИНГА И ИСТОРИЯ ЕГО РАЗВИТИЯ.

1.1. Понятие «лизинг».

1.2. История лизинга и арендных отношений на Западе.

1.3. История лизинга и арендных отношений в России.

1.4. Классификация лизинга.

1.5. Преимущества лизинга как способ финансирования инвестиций.

1.6. Типы лизинговых компаний.

1.7. Обзор лизингового рынка в Удмуртской Республике.

Диссертация: введение по экономике, на тему "Ценообразование лизинговых операций с применением модели случайного блуждания в случайной среде"

Актуальность исследования. В период после экономического кризиса 2008-2009 гг. лизинг играет важную роль в активном восстановлении экономики России, поскольку благодаря возможности применения ускоренной амортизации он является не только экономически выгодным инструментом финансирования инвестиций, но и порой единственно возможным способом финансирования для предприятий, не имеющих в достаточном объеме собственных средств и не имеющих деловой (кредитной) истории. Таким образом, модернизация реального сектора экономики России во многом зависит от развития рынка лизинговых операций.

Одним из основных движущих факторов роста рынка лизинга в 2010 г. стало снижение стоимости финансирования. Уже в 2-ом квартале 2010 г. крупнейшие банки страны стали кредитовать на аналогичных условиях, которые были в конце 2007 г. Дальнейшее снижение стоимости финансирования, привлекаемого лизинговыми компаниями, в 2011 г. возможно за счет применения кредитных продуктов с плавающей (переменной) процентной ставкой, в том числе в рамках постимпортного финансирования. Такая-схема позволяет лизинговой компании не только застраховаться от риска переплаты процентов по кредиту, поскольку ставка по кредиту всегда будет «в рынке», но и гарантирует ей существенное снижение расходов по обслуживанию кредита при улучшении экономической конъюнктуры. Однако при этом весь риск роста процентных ставок при ухудшении экономической конъюнктуры полностью перекладывается с кредитора на лизингодателя.

Применение плавающих процентных ставок накладывает определенную специфику в работе лизингодателя, появляется так называемый фактор случайности. Прогнозирование с учетом фактора случайности требует разработки эффективных математических инструментов, позволяющих проводить глубокий экономический анализ рынка заемных средств и оценивать динамику его развития. Такого рода инструменты должны иметь под собой определенную научную основу, сформированную из построения соответствующей стохастической экономико-математической модели.

Наибольшее распространение в области моделирования случайности в динамике финансовых временных рядов получила модель простого случайного блуждания. Одним из главных достоинств такой модели является простой вид распределения будущего значения финансового временного ряда, которое позволяет вычислять ее вероятностные характеристики без особых трудозатрат. Несмотря на это, множество статистических исследований показывают, что существуют феномены, которые не свойственны данной модели. На практике установлено, что динамика финансовых временных рядов зависит от общего состояния^ внешней экономической среды. В периоды подъема экономики стоимость активов имеет тенденцию к росту, а процентные ставки, как правило, снижаются. В периоды спада, наоборот, стоимость активов падает, а процентные ставки растут. Поэтому актуальным является построение математической модели, описывающей эволюцию финансовых временных рядов, в частности рыночных индикаторов стоимости заемных средств, с учетом зависимости от состояния экономической системы.

Степень разработанности проблемы. В отечественных и зарубежных литературных источниках исследование вопросов, возникающих в результате деятельности лизинговых компаний в целом и вопросов ценообразования в частности, рассмотрено в трудах многих авторов. К числу зарубежных авторов можно отнести: А. Батиста, Боуман, Р. Бауэр, Браунд, Р. Брил, Д. Дилл, Дж. Франке, В. Левелин, М. Лонг, Дж. Макконел, Майерс, Т. О'Брайн, Смит, А. Херст, Ходжес, Л. Шелл, Янг и др. Также существенный вклад в рассмотрении данных вопросов внесли отечественные ученые такие, как В. Аверченко, И. Батин, В. Газман, В. Горемыкин, Е. Каменев, В. Киселев, А. Колесников, М. Ле-щенко, Л. Примак, М. Рыбальченко, А. Ряховская, Г. Устинов, П.Рябчук, В. Ковалев, Е. Четыркин, П.Виленский, Н. Бутенина.

Вместе с тем, отдельные теоретические и методические вопросы оценки стоимости лизинговых операций и оценки эффективности лизинга по сравнению с другими формами финансирования приобретения имущества носят частный характер и применяются для конкретно. взятого случая. Что же касается вопроса ценообразования лизинговых операций в условиях плавающей ставки по кредиту, то в указанных источниках он остается малоизученным, а ряд положений1 носят не более чем описательный характер.

Актуальность проблемы и недостаточная изученность отдельных ее аспектов предопределили выбор темы диссертационной работы и решение рассматриваемого в ней круга вопросов.

Целью диссертационного исследования* является разработка математических методов ценообразования лизинговых операций, основанных на применении модели случайного блуждания в случайной среде и позволяющих повысить эффективность лизинговых операций в условиях финансирования- с плавающей процентной ставкой.

Достижение поставленной цели потребовало решение следующих задач: исследовать теоретические и методологические основы лизинга с позиции современной экономической теории, оценить значимость лизинга для экономики России на нынешнем этапе ее развития; построить математическую модель динамики финансового временного ряда, основанную на случайном блуждании в случайной среде и позволяющую учитывать зависимость динамики финансового временного ряда от состояния внешней экономической среды; выписать аналитические формулы основных вероятностных характеристик построенной модели, необходимых для построения алгоритма ценообразования лизинговых операций, и исследовать статистические методы оценки параметров построенной модели; на основе предложенной модели разработать математические методы оценки величины лизинговых платежей, обеспечивающих безубыточность сделки для лизинговой компании в условиях финансирования с плавающей процентной ставкой.

Объектом диссертационного исследования являются инвестиционные процессы в реальном секторе экономики, связанные с деятельностью лизинговых компаний.

Предметом диссертационного исследования являются математические методы ценообразования лизинговых операций в условиях финансирования с плавающей процентной ставкой.

Теоретической и методологической основой диссертационного исследования являются труды отечественных и зарубежных ученых в области ценообразования услуг лизинговых компаний, стохастической финансовой математики и теории случайных процессов. При выполнении диссертационной работы использовались методы математического и экономического анализа, методы линейной алгебры и теории случайных процессов.

Информационная база исследования представлена нормативно-правовыми актами Российской Федерации, статистическими данными Госкомстата России, исследованиями рынка лизинга, проводимыми Рейтинговым Агентством «Эксперт РА», аналитическими обзорами Российской Ассоциации лизинговых компаний, методической, научной, учебной и справочной литературой, информационными источниками сети Интернет, сведениями и отчетными материалами о деятельности ряда лизинговых компаний.

Диссертационная работа выполнена в рамках паспорта научной специальности ВАК 08.00.13 — «Математические и инструментальные методы экономики», п. 1.6. Математический анализ и моделирование процессов в финансовом секторе экономики, развитие метода финансовой математики и актуарных расчетов.

Научная новизна диссертации. В процессе исследования лично автором получены следующие результаты, определяющие научную новизну и являющиеся предметом защиты:

1. Построена модель ценообразования лизинговых операций, основанная на покрытии прямых затрат лизингодателя и получении заданной маржи (нормы рентабельности) для общего случая, когда ставка по кредитным ресурсам меняется во времени.

2. Уточнены критерии выбора маржи лизингодателя, определены условия сопоставимости лизинга' по чистому дисконтированному потоку для. лизингополучателя с другими способами приобретения имущества.

3. На основе случайного- блуждания- в марковской случайной среде построена математическая модель динамики финансового временного ряда, позволяющая учитывать зависимость динамики финансового временного ряда от состояния внешней экономической среды.

4. В рамках построенной модели получены аналитические формулы математического ожидания и дисперсии будущего значения финансового временного ряда и предложены статистические методы оценки неизвестных параметров модели.

5. Разработана модель ценообразования лизинговых операций, основанная на построенной модели динамики финансового временного ряда и позволяющая заложить резерв под возможный рост процентных ставок в случае финансирования с переменной процентной ставкой. Практическая значимость проведенных исследований состоит в том, что их результаты могут быть непосредственно использованы лизинговыми компаниями для улучшения качества планирования их деятельности.

Отдельные материалы, исследования могут быть использованы в процессе повышения квалификации руководителей и специалистов лизинговых компаний, а также в учебном процессе при проведении занятий по дисциплинам «Экономика предприятия», «Финансовая математика».

Апробация исследований. Основные результаты проведенных исследований докладывались на Всероссийской научно-практической конференции «Математические методы и интеллектуальные системы в экономике и образовании» (Ижевск, 2010), VIII Всероссийской научно-практической конференции «Социально-экономическое развитие России в XXI веке» (Пенза, 2009), VI Всероссийской выставке научно-технического творчества молодежи НТТМ-2006 (Москва, 2006).

Публикации

По теме диссертации опубликовано 7 печатных работ общим объемом 4,88 пл., в т.ч. авторских 3,36 пл.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и библиографического списка, включающего 105 источников. Она изложена на 144 страницах машинописного текста с таблицами, графиками, уравнениями и рисунками.

Диссертация: заключение по теме "Математические и инструментальные методы экономики", Ермаков, Михаил Юрьевич

4.9. Основные выводы

1. Лизинговая деятельность подвержена множеству рисков. Помимо общей группы рисков таких, как политические, макроэкономические, правовые, налоговые, лизингодатель подвержен таким специфичным видам риска, как риск нарушения платежной дисциплины лизингополучателем, риск досрочного возврата предмета лизинга и, безусловно, процентный и валютные риски.

2. При финансировании долгосрочных лизинговых сделок, а также при использовании постимпортного финансирования становится актуальным вопрос применения плавающих (переменных) ставок по кредитным ресурсам, что гарантирует лизингодателю «всегда» рыночные условия кредитования. Однако при ухудшении экономической конъюнктуры весь процентный риск полностью перекладывается с кредитора на лизингодателя, что является безусловным преимуществом для кредитора.

3. В качестве способов минимизации процентного риска можно использовать 1) включение в лизинговый договор условия об изменении размера лизинговых платежей в случае существенного изменения процентной ставки; 2) расчет первоначальной суммы лизинговых платежей с учетом предполагаемого роста процентных ставок 3) хеджирование с помощью различных производных финансовых инструментов.

4. Основными инструментами хеджирования являются опционы IRG, соглашения FRA, опционы Cap, Floor, Collar, свопционы и пр. Каждый из этих инструментов, исходя из своей структуры, должен быть использован в соответствующей ситуации.

5. Разработана методика расчета лизинговых платежей, основанная на применение модели случайного блуждания в марковской случайной среде и позволяющая заложить резерв под возможный рост процентных ставок в случае финансирования с переменной процентной ставкой.

6. Произведена оценка параметров модели случайного блуждания в Марковской случайной среде для динамики Mosprime за последние пять лет. Полученные результаты вполне согласовываются с общепринятыми экономическими взглядами на динамику данного индикатора.

7. Для практического применения предложенной модели создан программный продукт, позволяющий оценивать параметры модели для заданного временного ряда и получать наиболее вероятную динамику изменения состояний экономической среды.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате проведенного исследования решены следующие задачи: исследованы теоретические и методологические основы лизинга с позиции современной экономической теории, дана оценка значимости лизинга для экономики России на нынешнем этапе ее развития; построена математическую модель динамики финансового временного ряда, основанная на случайном блуждании в случайной среде и позволяющая учитывать зависимость динамики финансового временного ряда от состояния внешней экономической среды; получены аналитические формулы основных вероятностных характеристик построенной модели, необходимых для построения алгоритма ценообразования лизинговых операций, и исследованы статистические методы оценки параметров построенной модели; на основе предложенной модели разработана математическая модель оценки величины лизинговых платежей, обеспечивающие безубыточность сделки для лизинговой компании в условиях финансирования с плавающей процентной ставкой.

В рамках проведенного исследования получены следующие выводы и результаты:

1. Экономическая эффективность лизинга как способа финансирования приобретения имущества растет по мере увеличения срока полезного использования предмета лизинга. Этот эффект основан на применении ускоренной амортизации и возникающей вследствие этого экономии на налоге на имущество. При отсутствии коэффициента ускорения по амортизации лизинг экономически не эффективен.

2. Построена модель ценообразования лизинговых операций, основанная на покрытии прямых затрат лизингодателя и получении заданной маржи (нормы рентабельности) для общего случая, когда ставка по кредитным ресурсам меняется во времени.

3. При увеличении срока лизинга, а также в случае использования постимпортного финансирования становится актуальным вопрос применения плавающих (переменных) ставок по кредитным ресурсам. При этом в деятельности лизинговой компании существенно возрастает процентный риск и влияние фактора случайности.

4. В условиях финансирования с плавающей процентной ставкой лизинговая компания для планирования процентных платежей может воспользоваться предложенной в работе математической моделью динамики финансового временного ряда, основанной на случайном блуждании в марковской случайной среде и которая в отличие от наиболее распространенного простого блуждания позволяет учитывать зависимость динамики процентной ставки от состояния внешней экономической среды.

5. Для данной модели получены аналитические формулы основных вероятностных характеристик, а именно математического ожидания и дисперсии будущего значения финансового временного ряда.

6. Предложены статистические методы оценки параметров построенной модели динамики финансового временного ряда, основанные на методе наибольшего правдоподобия (метод Баума-Велша модифицированный с учетом масштабирования и метод Витерби), произведено их практическое применение для динамики российского индикатора стоимости заемных средств МовРпше.

7. В качестве одного из вариантов минимизации процентного риска лизинговой компании предлагается при расчете лизинговых платежей закладывать резерв под возможный рост процентных ставок в соответствии с построенной моделью, основанной на случайном блуждании в марковской случайной среде. С учетом этого разработана соответствующая модель ценообразования лизинговых операций.