Моделирование динамики структуры кредитного портфеля банка с учетом неполноты информации тема диссертации по экономике, полный текст автореферата

Автореферат диссертации по теме "Моделирование динамики структуры кредитного портфеля банка с учетом неполноты информации"

На правах рукописи

Тимофеев Николай Андреевич

Моделирование динамики структуры кредитного портфеля банка с учетом неполноты информации

08.00.13 - Математические и инструментальные методы экономики (математические методы)

5 ДЕК 2013

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата экономических наук

005542417

Екатеринбург — 2013

005542417

Диссертационная работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Уральский государственный университет путей сообщения»

Научный руководитель: Никонов Олег Игоревич

доктор физико-математических наук, профессор

Официальные оппоненты: Акбердина Виктория Викторовна,

доктор экономических наук, доцент, Федеральное государственное бюджетное учреждения науки «Институт экономики» Уральского отделения Российской академии наук, заведующая сектором

Буценко Елена Владимировна,

кандидат экономических наук, доцент, Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный экономический университет», доцент кафедры статистики, эконометрики и информатики Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное

образовательное учреждение высшего

профессионального образования «Южно-Уральский государственный университет» (национальный исследовательский университет), г. Челябинск

Защита диссертации состоится 18 декабря 2013 года в 10.00 часов на заседании диссертационного совета Д 004.022.01 на базе Федерального государственного бюджетного учреждения науки «Институт экономики» Уральского отделения Российской академии наук по адресу: 620014, г. Екатеринбург, ул. Московская, 29.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Федерального государственного бюджетного учреждения науки Институте экономики Уральского отделения Российской академии наук.

Автореферат размещен на сайте Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института экономики Уральского отделения Российской академии наук (www.uiec.ru) и на сайте Высшей аттестационной комиссии Министерства образования и науки РФ (www.vak.ed.gov.ru).

Автореферат разослан 15 ноября 2013 года.

Ученый секретарь (р/й^-^

диссертационного совета О.А. Козлова

I. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования

Кредитование является важным элементом экономического развития и одним из основных источников дохода для кредитных организаций. Но в тоже время получение этого дохода сильно сопряжено с кредитным риском, то есть риском частичного либо полного не возврата заёмных средств.

В настоящее время кредитование, в том числе кредитование физических лиц составляет значительную и все возрастающую долю рынка банковских услуг. На начало 2013 года объем кредитов физическим лицам в Российской Федерации составлял 7400 млрд. руб., а в августе 2013 года - уже 8600 млрд. руб. Анализ данных Банка России о средневзвешенных ставках по кредитам в банках РФ показывает, что ставки кредитования физических лиц росли в течение 2012 года и оставались на высоком уровне от 18% до 21% в 2013 году на фоне ухудшения качества кредитных портфелей. Динамика кредитования населения говорит о том, что российские банки как компенсацию за риск кредитования используют процентную ставку по кредиту, которая растёт вместе с уровнем просроченной задолженности и объёмами кредитования. Как отмечает в своих исследованиях С.Р. Моисеев, неоправданный рост объемов кредитования может привести к финансовому кризису в стране.

Американские ученые Дж. Стиглиц и Э. Уейсс, исследуя повышение ставок кредитования при увеличении вероятности невозврата кредитов, пришли к выводу, что такой путь не приводит к увеличению прибыли банка, так как повышение ставок по кредитам приводит к потере части добросовестных заемщиков, которые не могут платить такие высокие проценты, и дальнейшему ухудшению качества портфеля.

Банки в случае ухудшения качества портфелей должны прибегать к рационированию кредитов, их ограничению по объему и совершенствованию системы отбора заемщиков. Для формирования правильной стратегии в области кредитования банкам необходимо прогнозировать структуру кредитных портфелей, оценивать их риск и доходность. Такое прогнозирование проводится в условиях, когда вероятность изменения состояния кредитов (возникновения задержки платежей различного срока) точно не известна. Таким образом, разработка модели динамики структуры кредитного портфеля является актуальной темой исследований.

При управлении кредитным портфелем требуется соблюдать баланс между риском и доходностью портфеля, корректно оценивать уровень необходимых резервов на возможные потери. Актуальной проблемой финансового анализа является разработка математического описания потоков платежей и аналитических методов оценки уровня резервирования в рамках единой модели с учетом неполноты информации о переходных вероятностях.

Степень изученности проблемы

В последние годы рядом исследователей и финансовых учреждений стала использоваться математическая модель динамики кредитного портфеля в форме

3

дискретной марковской цепи (S&P, Т. Schuermann, Ю.Ю. Журавель и др.). Теория марковских цепей - это составная часть теории случайных процессов, относящаяся к моделям с дискретным временем и конечным числом состояний и восходящая к фундаментальным исследованиям российского ученого

A.A. Маркова. Модели марковских цепей описывают широких круг процессов, протекающих в экономических, технических и финансовых системах. Исследованию и развитию современной теории марковских случайных процессов, в том числе проблемам оценивания динамики таких систем, посвящены работы A.B. Борисова, И.Я. Каца, Б.М. Миллера, К.В. Семенихина, Р. Эллиотта и др. В работах Т.В. Андерсона и JI.A. Гудмана изучен вопрос адекватности модели марковской цепи в рамках теории математической статистики, сформулированы и обоснованы критерии проверки статистических гипотез о постоянстве переходных вероятностей и структуре модели. Изучению особенностей применения модели марковской цепи при оценке риска кредитного портфеля посвящены работы Т. Шуермана, Ю. Джефри, М.Т. Джонса, Ю.Ю. Журавеля и др.

Рациональное поведение инвестора в условиях риска и неопределенности предполагает выбор инвестиционных решений, оптимизирующих сразу два критерия: максимум ожидаемой доходности и минимум риска. Конструктивным методам анализа инвестиционных портфелей посвящены работы О.И. Никонова. Фундаментальные результаты в области современной теории оптимизации и её экономических приложений получены в исследованиях И.И. Еремина,

B.Д. Мазурова, H.H. Астафьева.

Рассмотрению теоретических и практических проблем финансовой политики государства, в том числе её региональным особенностям, посвящены работы В.В. Акбердиной, Х.Н. Гизатуллина, A.B. Гребенкина, Е.В. Попова, А.И. Татаркина. В диссертационной работе анализ динамики кредитного портфеля проводится на основе модели марковской цепи с учетом неполноты информации о переходных вероятностях и опирается на методы и подходы теории управления и оценивания в условиях неполной информации, развитой в работах H.H. Красовского, А.Б. Куржанского, И.Я Каца, О.И. Никонова, М.И. Гусева, Е.К. Костоусовой, В.И. Ширяева, А.Ф. Шорикова и др.

Управление кредитньм портфелем требует анализа и прогнозирования его риска и доходности. Качество портфеля характеризуется, обслуживанием задолженности, по ссудам, сгруппированным в портфель. Мера качества обслуживания задолженности - кредитный риск. Под кредитным риском понимается потеря ссудной стоимости вследствие неисполнения либо ненадлежащего исполнения заёмщиком обязательств по ссуде перед кредитной организацией либо существования реальной угрозы такого неисполнения (ненадлежащего исполнения) (Положение ЦБ РФ № 254 от 26.03.2004). Проблемы анализа риска кредитного портфеля и оценки уровня созданных резервов рассмотрены в статьях Ю.Ю. Журавеля, С.П. Насельского, Д.В. Якименко, A.B. Мищенко, Е.И. Тимошенко, А.С.Чижовой и др.

Исследование доходности инвестиционных проектов основано на расчете потоков платежей и прогнозе чистой приведенной стоимости проекта (А.А. Первозванский, Т.Н. Первозванская, В.И. Ширяев, Е.В. Буценко и др.) Изучению потока платежей, порождаемого кредитным портфелем, посвящены работы Т.Ю. Грабаря и Е.В. Беляева, в которых поток моделируется на основе предшествующей статистики без учета деления портфеля на группы по качеству кредитов.

Объект исследования — кредитные портфели российских банков. Предмет исследования - экономические отношения по поводу управления риском кредитования в российских банках посредством оценки динамики структуры их кредитных портфелей.

Основная гипотеза. Структура кредитного портфеля коммерческого банка может быть описана с помощью экономико-математической модели, отвечающей дискретному марковскому процессу с неопределенностью в матрице переходных вероятностей. На основе модели может быть разработан метод определения ставок создания резерва на возможные потери, получено аналитическое описание потоков платежей и остаточной стоимости кредитного портфеля и построены иные характеристики управления кредитным процессом.

Цель работы: Разработка единой математической модели динамики структуры кредитного портфеля с учетом неполноты информации о переходных вероятностях.

Для достижения данной цели поставлены следующие задачи:

• Разработать математическую модель динамики структуры портфеля с учетом неполноты информации, построить алгоритм прогнозирования кредитного риска с учетом неполноты информации о переходных вероятностях;

• Разработать метод оценки ставок резервирования, базирующийся на математической модели;

• Предложить методы расчетов потоков платежей, порождаемых кредитным портфелем и метод оценки текущей стоимости кредитного портфеля. Теоретическую и методологическую основу исследования составили

труды отечественных и зарубежных ученых в области финансового анализа, риск — менеджмента, математического моделирования случайных процессов, теории управления и оценивания в условиях неполной информации.

Достоверность и обоснованность подходов и выводов подтверждается достаточным объемом и результатами аналитических исследований, обоснованным использованием методов математического и имитационного моделирования, математической статистики, сходимостью результатов аналитических расчетов с экспертными данными; положительным эффектом внедрения результатов исследований в банках.

Основные методы исследования. В процессе исследования использованы общенаучные методы системного, логического, структурного и сравнительного анализа. Применялись методы линейной алгебры, теории вероятностей и

5

математической статистики, экономико-математического моделирования, теории цепей Маркова, методы оптимизации, математической теории управления в условиях неопределенности, имитационного моделирования, использовались пакет прикладных программ МаШСАБ и пакет статистического анализа.

Информационную базу исследования составили положения, письма, инструкции, статистическая информация ЦБ РФ, данные Федеральной службы государственной статистики, формы бухгалтерской и статистической отчетности банков Екатеринбурга, методики оценки кредитных рисков, используемые российскими и зарубежными банками, а также сведения, содержащиеся в публикациях отечественных и зарубежных авторов.

Основные научные результаты, полученные лично автором, и их научная новизна

1. Разработана единая математическая модель, описывающая динамику структуры кредитного портфеля с учетом неполноты информации о миграционной матрице, отличающаяся систематическим учетом неполноты информации о переходных вероятностях. На основании модели описаны процессы управления кредитным риском и сформированы рекомендации по оценке их эффективности (п. 1.1 Паспорта специальностей ВАК РФ), (глава 1, раздел 1.4; глава 2, разделы 2.1 и 2.2; глава 3, раздел 3.2).

2. Разработан и апробирован метод определения ставок создания резерва на возможные потери, учитывающий в отличие от обязательных нормативов, установленных Банком России, статистические данные по обслуживанию кредитного портфеля и дисконтирование будущих потерь (п. 1.6 Паспорта специальностей ВАК РФ), (глава 2, раздел 2.3; глава 3, раздел 3.3).

3. Обоснована авторская математическая модель, дающая описание потоков платежей и остаточной стоимости кредитного портфеля на базе марковской модели, на основании разработанной модели вычисляются денежные потоки по погашению ссудной задолженности (п. 1.6 Паспорта специальностей ВАК РФ), (глава 2, раздел 2.4; глава 3, раздел 3.3).

Теоретическая и практическая значимость исследования определяется

тем, что теоретические результаты исследования содержат приращение знаний по экономическим наукам и имеют практическое приложение, позволяющее улучшить качество активов коммерческого банка.

Апробация результатов исследования осуществлена в коммерческих банках ОАО «Банк24.ру» (г. Екатеринбург) в 2011-2012гг и в ОАО «Уральский банк реконструкции и развития» (г. Екатеринбург) в 2012-2013гг.

Работа выполнена в ходе исследований по госбюджетным темам № 01200606943 «Задачи оценивания, управления и стабилизации для стохастических систем с неполной информацией» и №01201258235 «Прикладные исследования задач оценивания и оптимизации систем с неполной информацией», выполняемым в Уральском государственном университете путей сообщения.

Основные результаты диссертационной работы докладывались и получили положительную оценку на международных и всероссийских научных конференциях:

• Всероссийская конференция «Математическое программирование и приложения», Екатеринбург, ИММ УрО РАН, 28 февр. - 4 марта 2011 ;

• Всероссийская конференция Статистика, Моделирование, оптимизация. Челябинск. ЮрГУ, 28 нояб. - 2 дек. 2011;

• 25th IFIP Conference on System Modeling and Optimization. Berlin, September 12-16, 2011;

• 3rd International Conference on Optimization Methods and Software, May 1317, 2012, Chania, Crete, Greece.

Результаты диссертации обсуждались на вузовском семинаре аспирантов и научном семинаре кафедры «Высшая и прикладная математика» Уральского государственного университета путей сообщения (ФГБОУ ВПО УрГУПС), на открытом семинаре кафедры «Анализ систем и принятия решений» Высшей школы экономики и менеджмента Уральского федерального университета (ФГБОУ ВПО ВШЭМ УрФУ).

Результаты диссертационной работы используются в учебном процессе при изучении студентами специальности «экономика» (УрГУПС) дисциплины «методы моделирования и прогнозирования экономики».

Публикации. Основные положения диссертации опубликованы в 11 публикациях общим объемом 3,62 пл. (авторских 2,8 п.л.), из них - 5 статей в журналах, входящих в перечень изданий рекомендованных ВАК («Вестник УрФУ. Сер. Экономика и управление», «Автоматика и телемеханика», «Управленец», «Экономика и менеджмент систем управления»), 1 статья - в иностранном издании ("IFIP Advances in Information and Communication Technology sériés"), входящем в базу цитирования Scopus, 2 статьи в материалах конференций.

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, 3-х глав, заключения, списка литературы из 114 наименований. Основной объем работы составляет 160 страниц машинописного текста, включает 18 таблиц и 21 рисунок.

Во введении обоснована актуальность исследования, отражена степень изученности проблем, описаны цели и задачи диссертационной работы, перечислены основные результаты.

Первая глава «Методы оценки кредитного риска» носит обзорный характер. В ней описаны основные подходы к оценке риска кредитования и определения ставок создания резерва на возможные потери, приведены требования ЦБ РФ к резервированию, проанализированы методы контроля кредитного риска со стороны регуляторов, в том числе подходы на основе внутренних рейтингов.

Далее приведены основные положения теории рационального поведения инвесторов в условиях риска и неопределенности, проанализированы основные

подходы к оценке риска инвестирования, систематизированы методы анализа и инструменты управления кредитным риском.

Во второй главе «Математический инструментарий оценки риска и доходности» описан математическая модель, расчетные формулы и имитационные программы, разработанные автором диссертации для оценки риска и доходности кредитного портфеля в условиях неполной информации.

В главе предложены способы учета неточности оценивания вероятностей переходов при прогнозировании структуры портфеля с использованием модели марковской цепи. Рассмотрены два основных подхода к прогнозированию динамики кредитного портфеля с учетом неполноты информации о вероятностях переходов. Первый подход основан на построении доверительных множеств для переходных вероятностей, второй подход основан на методе Монте-Карло и использует имитационное моделирование

Проанализированы традиционные подходы к расчету ставок создания резерва на возможные потери. Предложен новый аналитический способ расчета резервов на возможные потери, основанный на прогнозировании структуры портфеля. Получено математическое описание потоков платежей, порождаемых кредитным портфелем с учетом изменения его структуры.

В третьей главе дается полная характеристика объектов исследования, в качестве которых выступают кредитные портфели двух коммерческих банков, анализируется использование методов моделирования структуры портфеля в анализе риска и доходности. Изучены различные способы группировки однородных ссуд, исследуется динамика структуры портфеля с учетом погашения. Проведено прогнозирование структуры кредитного портфеля банка с учетом неполноты информации на примере ОАО Банк24.ру, расчёты проведены с использованием разработанной автором имитационной модели. На основе предложенного во второй главе аналитического метода расчета ставок резервирования проведен расчет ставок для кредитного портфеля Уральского банка реконструкции и развития, в том числе и с учетом неполноты информации о миграционной матрице (переходных вероятностей). Также приведены расчеты потока платежей кредитного портфеля Банка24.ру.

В заключении обобщены результаты проведенного исследования, сформулированы выводы, приведены практические рекомендации.

II. ОСНОВНЫЕ НАУЧНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ И РЕЗУЛЬТАТЫ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ 1. Разработана единая математическая модель описывающая динамику структуры кредитного портфеля с учетом неполноты информации о миграционной матрице, отличающаяся систематическим учетом неполноты информации о переходных вероятностях. На основании модели описаны процессы управления кредитным риском и сформированы рекомендации по оценке их эффективности (п. 1.1 Паспорта специальностей ВАК РФ).

Кредитный портфель — совокупная задолженность перед Банком. Кредитный портфель рассматривается как совокупность однородных групп выделенных в зависимости от длительности просроченной задолженности. Под структурой портфеля понимается процентное соотношение групп в портфеле.

Исследование динамики структуры портфеля основано на описании изменения состояния отдельно взятого, «случайного» кредита как Марковской цепи с конечным числом состояний. «Состояние» кредита описывается принадлежностью той или иной группе кредитов в зависимости от наличия и сроков задолженности по выплатам. Марковская модель позволяет на основе оценки матрицы переходных вероятностей сделать прогноз структуры портфеля.

Обозначим переходные вероятности через р^), вектор вероятностей состояний через = {х1(1),х2(^),..., хк($}Т. На рис.1 приведен граф состояний для упрощенной модели с тремя группами кредитов.

Р 21 Р 32

Рис. 1. Граф состояний для упрощенной схемы

Если известны переходные вероятности, то можно спрогнозировать поведение портфеля, состоящего из ссуд, выданных в течение одного периода. Так как новые кредиты не являются просроченными, то есть всегда относятся к первой группе, то при /=0 имеем: х(0)={1,0,...,0}т. Распределение кредитов по группам (структуру портфеля) при / = 1, 2,..., N месяцев по формуле:

х(* + 1 ) = Ртх(0, (1)

где Р - транспонированная матрица переходных вероятностей. В другой форме:

х(1) = (Рг)'х(0), /=1,2 (2)

На рис.2 представлено изменение долей портфеля. Жирная линия — проблемные кредиты, доля кредитов без задержек платежей не приведена.

Рис.2 Динамика долей для портфеля с пятью группами кредитов

9

На основании результатов моделирования проанализировано влияние коэффициентов матрицы переходных вероятностей Р на конечный финансовый результат (см. схему на рис. 3).

'Ухудшение качества кредитного портфеля

/ Увеличение объёма Уменьшение потока

.¡.резервов 5

ей ■

Рц

Р21 Р22

-Рщ! Рт2

Р1т Ргт

г:Увелйченйё,'потока; платежей

^Снижение объёма.;;

Улучшение кач-естеа кредитного..'..:.-портфеля

Рис.3. Влияние коэффициентов матрицы на финансовый результат

Классифицированы методы воздействия на кредитный риск:

1. Андеррайтинг (процедура одобрения кредитной заявки).

Качество организации этого процесса отражается на коэффициентах перехода из первой группы в остальные, а также в объемах короткой по длительности просроченной задолженности на ранних сроках обслуживания обязательств. Увеличение объёма таких обязательств говорит об одобрении заявок неблагонадёжных заёмщиков и требует оптимизации процедуры андеррайтинга.

2. Взыскание.

Для отслеживания эффективности процесса взыскания можно использовать показатели миграции ссуд между группами при длительности просроченных платежей от 30 дней. Так как при таких сроках просроченной задолженности на практике применяются методы досудебного взыскания.

На более длительных сроках просроченной задолженности на показатели матрицы переходных вероятностей оказывают влияние судебные иски и реализация залогового обеспечения.

г.

Характеризует эффективность андеррайтинга

Ри Р12 ...... Ргт

Характеризует эффективность взыскания

Р21 Р22 ...... Р2т

Р 31 Р32 Рзз '" Рзт

Характеризует эффективность судебных исков, реализации залогов

Рт 1 Рт 2

Ртт

V 1

Рис.4. Влияние управляющих действий на коэффициенты миграционной матрицы

Основной проблемой при использовании классической модели марковской цепи является вопрос об оценке переходных вероятностей. В реальных системах переходные вероятности неизвестны и оцениваются на основании статистических данных о числе переходов из одной группы кредитов в другую (миграционном анализе).

На основе статистических данных о переходах из одной группы кредитов в другую вычисляются оценки переходных вероятностей

и, (О

(3)

где и,(Г-1) - количество кредитов г'-ой группе в момент t - - количество

кредитов, перешедших из г'-ой группы в 7-ую на шаге г.

Утверждение (Андерсон, Гудман). Наблюдаемые частоты луц, определяемые соотношением (2) являются несмещенными оценками вероятностей состояний, то есть М(\Уу) = ру, разности \уу - ру имеют асимптотически нормальное распределение. Ковариации и дисперсии оценок равны соответственно

= <яМу>9,у»т} = 0, соу(т^,м>*)=-—РцРь,- (4)

Обозначим (к - 1)-мерный вектор вероятностей переходов из г-го состояния во все остальные через рт ={рп,р,2,—,ра}, г = \,...,к, _/'=£/. На основе свойств нормального распределения найдем доверительные множество вероятности Р для каждой строки матрицы переходов р{0 = {рп,р12,...,р,к}, г =\,...,к.

При нахождении оценок вероятностей переходов в реальных системах учитывают, что не все переходы возможны.

Для построения доверительных оценок для всех элементов матрицы переходных вероятностей возьмем /? = лГа и построим доверительные множества для векторов вероятностей переходов р{!). Множество Ъ^ можно задать в виде эллипсоидов или параллелепипедов. Тогда доверительное множество уровня а для вероятностей переходов р^, ] Ф г, запишется в виде

Решение задачи доверительного оценивания

1. Построение доверительного множества 2а* для элементов матрицы переходных вероятностей.

2. Построение множества допустимых решений Х(Т, 2.,*) многошаговой системы при известном значении х(т):

хЦ+\)=РТ х(г), Р&2'а, 1=т,...Д (5)

3. Нахождение границ изменения доли проблемных кредитов, то есть последней координаты вектора структуры портфеля на шаге N.

Для построения используются результаты по описанию информационных множеств нелинейных динамических систем с неопределенностью, полученные в работах А.Б. Куржанского, О.И. Никонова, М.И. Гусева, Е.К. Костоусовой.

Применение предложенного алгоритма к прогнозу структуры кредитного портфеля показало, что метод дает достаточно точный прогноз на небольшое количество периодов (до полугода), прогнозирование на более длительный промежуток дает слишком широкие доверительные оценки долей портфеля, кроме того требуется значительный объем вычислений, связанный с нелинейной зависимостью структуры портфеля от миграционной матрицы.

Для преодоления этих недостатков в диссертации была разработана методика применения имитационного моделирования для учета неопределенности коэффициентов перехода в марковской модели (глава 2, раздел 2.2, с. 78 - с. 79 и глава 3, раздел 3.2, с. 134 — с. 138).

Как показано в диссертации, имитационное моделирование упрощает численное нахождение доверительных областей и позволяет оценить структуру портфеля с учетом неточности определения переходных вероятностей, используя многократное моделирование динамики портфеля для различных возможных значений миграционной матрицы.

Алгоритм имитационного моделирования динамики структуры портфеля состоит из следующих шагов.

1. На основе статистических данных оцениваем моменты распределения переходных вероятностей, то есть их математические ожидания и ковариационные матрицы. Для оценки матрицы ковариаций используем формулу (4), в которой переходные вероятности заменяются их оценками.

2. Генерируем М раз случайный вектор неизвестных вероятностей как гауссовский вектор с заданными статистическими моментами.

3. Выполняем вычисления по формуле (1) и определяем доли портфеля для каждого сгенерированного значения вероятностей.

4. На основании вычислений определяем средние значения, и доверительные интервалы для долей портфеля, в том числе для доли проблемных кредитов.

20

15

% 0.05 0.1 0.15 0.2

Рис.5. Гистограмма доли проблемных кредитов через 12 месяцев. Прогноз для

кредитного портфеля Банка24.ру

На основании имитационной модели получили среднее значение доли проблемных кредитов через 12 месяцев и доверительный интервал для этой доли:

хср0+12) = 9%; 6% < х 0+12)< 12% с вероятностью 0,9.

Имитационная модель используется также при расчете ставок резервирования для учета того факта, что переходные матрицы заданы неточно.

После моделирования динамики структуры портфеля проводится расчет ставок резервирования для различных значений миграционных матриц, полученные результаты анализируются, выбирается уровень ставок с высокой вероятностью (95% или 90%) покрывающий возможные убытки.

При анализе потоков платежей кредитного портфеля неполнота информации о переходных вероятностях учитывается аналогично.

2. Разработан и апробирован метод определения ставок создания резерва на возможные потери, учитывающий в отличие от обязательных нормативов, установленных Банком России, статистические данные по обслуживанию кредитного портфеля и дисконтирование будущих потерь (п. 1.6 Паспорта специальностей ВАК РФ).

В соответствии с требованиями Центрального Банка любой актив, находящий на балансе банка, должен быть обесценен путём создания резервов на возможные потери. Основные подходы, ограничения и минимальные процентные ставки обесценения описаны в положениях № 254-П и №283-П.

Несмотря на то, что регулятор предлагает только минимальные ставки резервирования (табл. 1), риск-менеджер банка должен устанавливать ставки в соответствии с реально существующим кредитным риском.

Таблица 1. Процентная ставка резерва на возможные потери

Портфели однородных ссуд, предоставленных физическим лицам Минимальный размер резерва, в процентах

вариант 1 вариант 2

по портфелям обеспеченных ссуд (ипотека, автокредит) по портфелям ссуд заёмщиков, имеющих счета в банке кредиторе по портфелям прочих ссуд по портфелям обеспеченных ссуд (ипотека, авто-кредит) По портфелям ссуд заёмщиков, имеющих счета в банке кредиторе по портфелям прочих ссуд

1 Портфель ссуд без просроченных платежей 0,5 1 2 0,75 1,5 3

2 Портфель ссуд с просроченными платежами продолжительностью от 1 до 30 дней 1,5 3 6

3 Портфель ссуд с просроченными платежами продолжительностью от 31 до 90 дней 10 20 10 20

4 Портфель ссуд с просроченными платежами продолжительностью от 91 до 180 дней 35 50 35 50

5 Портфель ссуд с просроченными платежами продолжительностью свыше 180 дней 75

6 Портфель ссуд с просроченными платежами продолжительностью свыше 360 дней 100

Выбор минимально возможных ставок резервирования может привести к дальнейшей невозможности списания проблемных ссуд, а искусственно завышенный уровень резервов уменьшает доходность кредитных операций и может трактоваться как необоснованное занижение налогооблагаемой базы по налогу на прибыль.

Модели, основанные на марковской модели, в отличие от нормативов ЦБ, предполагают расчет ставок резервирования на основе статистики предыдущих периодов по обслуживанию кредитного портфеля, что позволяет быстрее реагировать на возможные негативные макроэкономические факторы.

Методики расчета ставок резервирования, основанные на марковской модели динамики портфеля, различаются между собой следующими параметрами: учетом или не учетом погашения; различными периодами перехода из каждой группы в группу проблемных кредитов, с учетом (или не учетом) возможности перехода через другие группы за разные периоды времени; расчетом вероятности невосстановления (в некоторых методиках вероятность восстановления не учитывают). Наличие значительного количества различных методик расчета резервов, отсутствие единого подхода и строгого математического обоснования формул для вычисления ставок говорит об актуальности развития аналитических методов расчета.

В диссертации предлагается следующий подход к расчету ставок резервирования на возможные потери. Выберем одну г-ую группу кредитов.

В качестве ставки резервирования используется максимум отношения дисконтированной суммы просроченных кредитов, то есть тех кредитов, которые перегили из исходной (¡-ой группы) группы в группу «180+» в момент ¡=к к исходной сумме кредитов ¡-ой группы. Максимум берется по значениям 1

В диссертации расчет ставки резервирования рассмотрен на примере вновь выданных кредитов. Пусть С(0) — сумма всех выданных кредитов при (=0. Так как все кредиты новые, то доли портфеля составляют х(0)={1,0,...,0}т. Распределение долей в портфеле через к месяцев вычисляем по формуле (2). Доля проблемных кредитов будет равна т-ой координате вектора х(к). В рассматриваемых условиях доля проблемных кредитов через к месяцев составит

Хт = Ры ~ Р\т ' (6)

Здесь р{*' - элемент матрицы которая является к-ой степенью матрицы Р. Получаем, что через к месяцев сумма основного долга кредитов с просрочкой «180+» равна сумме основного долга по кредитам, перешедшим в группу т, и составляет в соответствии с моделью Маркова

Ст(к)=С(0)р^х1(0) = С(0)^, где С(0) — сумма всех выданных кредитов в начальный момент. Так как сумма проблемных кредитов Ст(к) возникает в момент времени ? = к, то в соответствии с общим подходом финансового анализа, при котором бушующие доходы и расходы дисконтируются, эту сумму дисконтируем:

С (к)

(1 + Р)*'

В качестве уровня резервирования выберем максимум из дисконтированных сумм проблемных кредитов (максимум берется по всем будущим периодам времени существования портфеля)

Д = тахЛ(£).

При расчете ставки дисконтирования разделим данное выражение на сумму выданных кредитов и получим

1

К сЛк)

■-= шах-— = таЛ-

С(0) * (1 + р)*С(0) * (1 + р)'

-р™ =тах/?,(£).

(7)

Для других групп кредитов ставка резервирования рассчитывается аналогично. На графике ниже представлена зависимость функции

\ (к) =--—— от времени к, прошедшего с момента выдачи кредитов.

(1 + Р)

Рис. 6. График к ¡(к) для кредитного портфеля Банка24.ру. Максимум равен 6,5%.

Сравнение полученных ставок с экспертными оценками для различных кредитных портфелей показало, что предложенный метод дает оценки ставок резервирования близкие к экспертным.

При применении данного подхода возникает проблема определения безрисковой процентной ставки на российском рынке кредитования. По мнению многих российских исследователей, в том числе С.Р.Моисеева, Л.Ф. Мельниковой, С.Д. Прокшиной ставку дисконтирования на Российском рынке ценных бумаг следует выбирать на основе анализа средней доходности государственных ценных бумаг. При расчете ставки дисконтирования и реальной доходности банковских вкладов и кредитов аналитики учитывают также уровень инфляции, ставку межбанковского кредита, используют аналитические прогнозы развития экономики страны. Проведенные расчеты показали, что средняя ставка по государственным ценным бумагам за 2012г. составила 7,8% годовых. С учетом остальных параметров ставка дисконтирования в расчетах принята равной 8%.

В таблице 2 приведены рассчитанные ставки резервирования для различных групп кредитов портфеля Уральского Банка Реконструкции и Развития.

В работе получены уточнения формулы для аналитического расчета ставки резервирования (7) для случая, когда переходные вероятности вычисляются по количеству кредитов в каждой группе. Автором показано, что в этом случае

следует учесть уменьшение сумм основного долга по кредитным договорам в связи с выплатами.

Таблица 2. Ставки резервирования для портфеля кредитов физических лиц УБРиР (данные на 01.03.2013г.)

Номер Группа качества Ставка резервирования

1 Без просрочки 3,9%

2 просрочка менее 30 дней 9,5%

2 От 30 до 60 дней 25%

3 От 60 до 90 дней 42%

4 От 90 до 120 дней 52%

5 От 120 до 150 дней 59%

б От 150 до 180 дней 72%

7 От 180 до 360 дней 75%

Автором предложен также метод учета неточности информации о коэффициентах миграционной матрицы (вероятностях переходов) и разработана имитационная модель, с помощью которой выполнены расчеты ставок резервирования для случая неточно заданных переходных вероятностей (гл. 2.2).

3. Обоснована авторская математическая модель, дающая аналитическое описание потоков платежей и остаточной стоимости кредитного портфеля на базе марковской модели; на основании разработанной модели вычисляются денежные потоки по погашению ссудной задолженности (п. 1.6 Паспорта специальностей ВАК РФ). В данном исследовании разработано аналитическое описание потоков платежей на базе марковской модели, Отличием от предшествующих работ (Заиченко Е.М., Грабаря Т.Ю., Беляева Е.В.) является учет того, что кредиты различных групп порождают различные потоки платежей. При детальном анализе можно учесть, что коэффициенты миграционной матрицы точно не заданы, и получить на основе предложенного в диссертации имитационного метода оценку доходности портфеля в форме доверительного интервала.

В банковской практике существуют два подхода к расчету миграционных вероятностей. При теоретическом анализе риска портфеля исследователи часто рассматривают расчет переходных вероятностей по количеству кредитов, однако в практическом анализе зачастую применяется подход, основанный на учете переходов сумм основного долга. Отметим, есть разница (иногда существенная) при расчете вероятностей переходов в марковской модели по количеству кредитов или по суммам. При расчете потоков платежей вероятности переходов будем определять в соответствии с банковской практикой по суммам остатков основного долга, а не по количеству кредитов, находящихся в той или иной группе.

формуле: Ъ = —м ^, где г — ежемесячная процентная ставка по кредиту, то

Наиболее распространенным методом гашения долга являются аннуитетные платежи, то есть ежемесячный платеж по кредиту составляет одну и ту же сумму а = ЬАо, где Ад - Л(0) - сумма кредита, коэффициент Ъ рассчитывается по г(1 + г)"

(1+ /■)"-Г

есть г=гГод/12, N — количество месяцев выплат по договору.

Обозначим: через сумму остатков основного долга по договорам, находящимся в г-ой группе в момент /, С0 - сумму всех выданных кредитов, Сд = МА(0), Су - сумму остатков основного долга по договорам, перешедшим из г -го состояния ву'-ое на шаге I.

1) Сохранение у кредита номера группы (за исключением проблемной) означает выплату одного аннуитетного платежа а = ЬА(0), содержащего всю сумму процентов по основному долгу и часть основного долга;

2) Уменьшение номера группы (переход из 2-ой в 1-ую или из 3-ей во вторую и т.д.) означает, что выплачены 2 аннуитетных платежа и погашены проценты по основному долгу за 2 периода.

3) Увеличение номера группы на единицу (увеличение длительности просроченной задолженности) или сохранение кредита в группе «проблемных» означает, что погашения основного долга не было. В этом случае будем считать, что и выплат процентов по кредиту также не было.

4) Переход суммы из какой-либо группы в группу погашенных сумм также сопровождается выплатой текущих процентов по основному долгу на эту сумму.

В момент времени t будут выплачены суммы основного долга из разных групп, эти суммы перейдут в разряд «погашенных». Сумму всех погашений основного долга в момент t будем обозначать через У(/).

Будут выплачены также проценты по основному долгу на эти суммы и на суммы, оставшиеся в своих группах (кроме группы проблемных). Кроме того, проценты выплачены за 2 периода на суммы, по которым номер группы уменьшился. Сумму полученных банком процентов в период / обозначим через

т-

Если считать переходные вероятности для сумм основного долга постоянными, то поток платежей зависит лишь от суммы выданных ссуд С0, ставки по кредиту г и матрицы переходных вероятностей Р и может быть найден на основании описания динамики составляющих.

Обозначим доли основного долга в момент Г через г .

о

Матрицу переходных вероятностей будем обозначать Р={ру}, а вектор состояний системы х(0={х1(О,-■■,Хк(0}Т- Распределение долей сумм основного долга по кредитам в момент времени / определяется по формуле (2).

Суммы платежей в момент 1 по основному долгу составят а выплаты процентов г2({), где г — процентная ставка по кредиту

¥(0 = С,у(0, 20) = С„.2(0, (8)

КО = лл(0+•■■+Рк-х,кхк-№, 2(0 = А 1*1 (0 + •••+Рк-и-2хк-г (0 + ^Рих2 (0 + •••+*А-1.А (0. (9)

Найдем ЫРУ(0 — чистую приведенную стоимость портфеля, учитывающую платежи за ? месяцев при заданной ставке дисконтирования р. Для этого вычтем начальные расходы на выдачу кредитов и прибавим дисконтированные выплаты части основного долга и выплаченные проценты:

м>по 4- с0+У(1)++7(2)+г?2)+...+

I 0 (1+Р) (1+р)2 (1+р)' ,

где выплаты по основному долгу и процентов определяются по формулам (8) и (9) в соответствии с динамикой структуры портфеля.

Получили математическое описание потоков платежей, порождаемых кредитным портфелем с заданной матрицей переходных вероятностей Р. Исследование графиков ЫРУ(() для различных портфелей с учетом задержек выплат по части договоров и миграционного анализа говорит о существовании уровня насыщения графиков чистой приведенной стоимости. После некоторого момента / дальнейшее увеличение чистой приведенной стоимости незначительно, то есть ЫРУр +А1)~ИРУ0 ).

Знание матрицы переходных вероятностей и текущего распределения сумм кредитов С]®,..., Сы(0 по группам также дает возможность прогнозировать порождаемый поток платежей и оценить остаточную стоимость портфеля.

ругл ггл(У« + 1) + Г2(( + 0 , У« + 2>+ + 2) | , у{Т) + г2(Т)л

() (\ (1 + Р) (1 + Р)2 (1 + Р)Г

где С(?) = С^О+.-.+ОмМ общая сумма основного долга на момент Л

При описании выплат не были учтены выплаты пени, штрафов и процентов начисленных на просроченные проценты, а также затраты на обслуживание, создание резервов и взыскание просроченных кредитов.

т

Рис.7. Анализ чистой приведенной стоимости кредитного потрфеля Банка24.ру

19

Расчеты показывают, что качество кредитного портфеля постепенно ухудшается из-за уменьшения суммы основного долга у «хороших» заемщиков и уменьшения их доли в общей сумме остаточного долга. На основании полученных соотношений можно точку безубыточности и время получения достаточного дохода, после чего портфель следует продавать.

На рисунке отражена зависимость - сплошная линия. Взяты данные

по кредитному портфелю Банка24.ру о вероятностях переходов, рассчитанные на основании анализа остаточных сумм основного долга. Расчеты выполнены при ггод=26% и ргод=8%. Для сравнения на графике приведен расчет ЫРУЦ) для «идеального» заемщика, то есть при внесении всех платежей точно в срок (пунктирная линия).

Автор предлагает методику учета неполноты информации о переходных вероятностях при описании потоков платежей и оценке чистой приведенной стоимости портфеля (гл. 2 , раздел 2.4, с.109 — 111).

III. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе проведен анализ методов и подходов к описанию динамики структуры кредитного портфеля, показано, что марковская модель динамики структуры кредитного портфеля адекватно описывает изменение долей портфеля. Автором описаны процессы управления кредитным риском на базе описания динамики портфеля в рамках марковской модели и сформированы рекомендации по оценке их эффективности.

При применении марковской модели исследователи, как правило, не учитывают, что коэффициенты переходной матрицы (вероятности переходов) точно не заданы и оцениваются на основании предшествующей статистики. Автором обоснована необходимость учета неопределенности в задании коэффициентов миграционной матрицы, выведены теоретические основы для статистических характеристик оценок коэффициентов.

Автором разработаны математическое описание и имитационная модель динамики структуры кредитного портфеля с учетом неполноты информации, которая дает возможность не только прогнозировать средние ожидаемые значения долей портфеля, но и оценивать доверительные интервалы для элементов структуры портфеля. Разработанная методика используется для уточнения прогноза риска портфеля.

Проведенный автором сравнительный анализ существующих методик расчета резерва на возможные потери показал отсутствие строго логического обоснования выбора ряда параметров расчетов (таких как период перехода в проблемные кредиты и период восстановления). Автором был разработан аналитический метод определения ставок создания резерва на возможные потери на основе статистических данных по обслуживанию портфеля, учитывающий дисконтирование будущих потерь, показано, что предлагаемый подход дает оценки близкие к экспертным.

Ранее российскими исследователями отмечалось, что использование марковской модели динамики структуры кредитного портфеля не позволяет рассчитывать потоки платежей. Этот недостаток модели был устранен в данном исследовании, в котором автор разработал математическое описание потоков платежей кредитного портфеля в рамках марковской модели. Особенностью применения модели является в данном случае расчет вероятностей переходов на основе отношений сумм основного долга по кредитам, перешедшим из одной группы в другую.

В диссертационной работе, на основе проведенного анализа ранее разработанного инструментария для прогнозирования динамики структуры кредитного портфеля, обоснована необходимость учета неполноты информации о переходных вероятностях, что позволяет риск - менеджерам финансовых организаций прогнозировать не только средние ожидаемые значения важнейших параметров портфеля (риска и доходности), но и анализировать возможные отклонения от средних, строить доверительные оценки долей портфеля, доходности портфеля и возможных убытков.

Теоретическая и практическая значимость исследования определяется тем, что в работе построена математическая модель динамики кредитного портфеля с учетом неполноты информации о переходных вероятностях, в рамках которой решены основные задачи управления кредитным портфелем: оценка риска на основе прогноза структуры портфеля; оценка уровня созданного резерва на возможные потери и оценка доходности портфеля на базе описания потоков платежей.

По мнению автора одним из перспективных направлений дальнейших исследований по тематике диссертационной работы является построение имитационной модели, характеризующей процесс динамики структуры кредитного портфеля с учётом постоянной выдачи новых ссуд и погашения старых.

IV. ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Результаты исследования отражены в публикациях, которые представлены ниже. Статьи в изданиях, рекомендованных ВАК для публикаций научных результатов диссертаций:

1. Тимофеев, H.A. Потоки платежей кредитного портфеля в условиях неполной статистической информации / О.И. Никонов, H.A. Тимофеев // Вестник УрФУ. Сер. Экономика и управление.-2013.-№2.-С. 106-111.

2. Тимофеев, H.A. Прогнозирование составляющих кредитного портфеля на основе модели марковской цепи / H.A. Тимофеев, Г.А. Тимофеева // Автоматика и телемеханика. - 2012. - № 4. - С. 47-65.

3. Тимофеев, H.A. Методы расчета резервов на возможные потери для кредитного портфеля / H.A. Тимофеев // Экономика и менеджмент систем управления.-2012.-Т. 6.-№4.1.-С. 168-172.

4. Тимофеев, Н.А. Анализ обесценивания кредитного портфеля и формирование резервов / Н.А. Тимофеев II Управленец. - 2012. — № 9. — С. 59-61.

5. Тимофеев, Н.А. Оценка потоков платежей порождаемых кредитным портфелем / Н.А. Тимофеев // Экономика и менеджмент систем управления. — 2012. - Т. 6. - № 4.2. - С. 291-296.

Статьи в рецензируемых изданиях и материалах конференций:

6. Timofeev, N. Estimation of Loan Portfolio Risk on the Basis of Markov Chain Model / N. Timofeev, G. Timofeeva // IFIP Advances in Information and Communication Technology, Vol.391: System Modeling and Optimization, IFIP TC7 Conference: CSMO 2011. Eds.: D. Homberg, F. Troltzsch. - Springer, 2013. -P. 207-216.

7. Тимофеев, Н.А. Математическая модель винтажного анализа кредитного портфеля банка / Н.А. Тимофеев // Вестник Уральского государственного университета путей сообщения. - 2011. — Т. 9. - № 1. С. 86-92.

8. Тимофеев, Н.А. Учёт неполноты информации при прогнозировании динамики кредитного портфеля / Н.А. Тимофеев // Статистика, Моделирование, оптимизация: сб. тр. Всерос. конф., г. Челябинск. - Изд. центр ЮрГУ, 2011. — С. 324-328.

9. Тимофеев, Н.А. Об оценивании составляющих кредитного портфеля / Н.А. Тимофеев // Математическое программирование и приложения: тез. докл. Всерос. конф., под ред. М.Ю. Хачая. Информационный бюллетень Ассоциации математического программирования. — Екатеринбург: УрО РАН, 2011.-С. 134.

10.Timofeev, N.A. Mathematical model of a credits portfolio dynamics / N.A. Timofeev // System Modeling and Optimization: Book of Abstracts 25th IFIP Conference, Berlin, Sept. 12-16, 2011. - P. 223.

11.Timofeev, N.A. Loan portfolio reservation in condition of incomplete information / N.A. Timofeev // 3rd International Conference on Optimization Methods and Software, Chania, Crete, Greece, Mayl3-17,2012. - P. 96-97.

ТИМОФЕЕВ Николай Андреевич

МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ СТРУКТУРЫ КРЕДИТНОГО ПОРТФЕЛЯ БАНКА С УЧЕТОМ НЕПОЛНОТЫ ИНФОРМАЦИИ

08.00.13 — Математические и инструментальные методы экономики (математические методы)

620034, Екатеринбург, ул. Колмогорова, 66 Издательство УрГУПС

Усл. печ. л. 1,4 Заказ 135.

Подписано в печать 12.11.13. Формат 60x84/16.

Бумага офсетная. Тираж 130 экз.